Διάλεξη 7 / Διάλεξη 7 / Διάλεξη 7 - Τσόκας Γρηγόρης (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2013)
Διάλεξη 7: Λοιπόν, λίγη ησυχία για να αρχίσουμε. Στο προηγούμενο μάθημα ξεκινήσαμε από το νόμο του Κουλόμπ και φτάσαμε στο τέλος να δώσουμε εκφράσεις, να δούμε δηλαδή πώς εκφράζεται το πεδίο διαφόρων κατανομών φορτών Θυμάστε ένα πίνακα που σας έδωσα στο τέλος του προηγούμενου μαθήματος, στον οποίο θα ξαναναφερθούμε σε λίγο, ο οποίος μας έλεγε ποιο είναι το πεδίο σε απόσταση από κάποιες κατανομές φορτίων ξεκινώντας από την πιο απλή κατανομή, δηλαδή αυτή του απλού σημιακού φορτίου είδαμε δηλαδή ένα απλό σημιακό φορτίο, τι πεδίο μας δημιουργεί κάπου. Και συνεχίσαμε και είδαμε μετά τι πεδίο μας δημιουργεί όταν το φορτίο είναι κατανεμημένο πάνω σε ένα σύρμα απείρων διαστάσεων, όταν το φορτίο είναι κατανεμημένο πάνω σε ένα δίσκο, πάνω σε ένα δαχτυλίδι, είδαμε διάφορες τέτοιες περιπτώσεις. Ξαναγυρίζω λίγο πίσω πριν πω στο επόμενο μάθημα γιατί αφήσαμε κάτι το οποίο δεν διαφκρινίσαμε στο προηγούμενο. Καταρχάς ξέρετε όλοι θεωρώ από το Λύκειο την έννοια της δυναμικής γραμμής. Η δυναμική γραμμή ή η γραμμή ηλεκτρικού πεδίου είναι αυτή πάνω στην οποία το διάνυσμα του ηλεκτρικού πεδίου είναι εφαπτόμενο. Το έχουμε πει αυτό και θυμάστε από το Λύκειο ίσως ότι οι δυναμικές γραμμές δεν τέμνονται. Πράγμα που σημαίνει ότι σε κάθε σημείο του χώρου το πεδίο έχει μία και μόνο τιμή. Επίσης θυμάστε από το Λύκειο ότι η πυκνότητα των δυναμικών γραμμών, πόσο πυκνές είναι οι γραμμές πεδίου, δηλώνει και το πόσο δυνατό, πόσο έντονο είναι το πεδίο σε κάποιο σημείο. Λοιπόν, πολύ σύντομα θα αναθερθούμε στην έννοια του ηλεκτρικού διπόλου. Ας θεωρήσω ότι έχω ένα ζεύγος ίσων ηλεκτρικών φορτίων με αντίθετα πρόσημα τα οποία βρίσκονται σε απόσταση L. Θεωρώ δηλαδή ότι έχω ένα θετικό και ένα αρνητικό φορτίο, έτσι σε απόσταση μεταξύ τους L. Λοιπόν, και θεωρώ ότι αυτό το δίπολο είναι τοποθετημένο μέσα σε ομογενές πεδίου ε. Ακριβώς όπως δείχνει η διαφάνεια, θεωρώ δηλαδή ότι έχω ομογενές πεδίο ηλεκτρικό. Θυμάστε τι είναι ομογενές πεδίο, έτσι, αυτό που έχει την ίδια τιμή παντού στον χώρο. Αυτό είναι το ομογενές πεδίο και βάζω μέσα στο ομογενές πεδίο ένα δίπολο, έτσι, ένα θετικό δηλαδή και ένα ίσο του αρνητικό φορτίο σε μια απόσταση μεταξύ τους L. Ξέρω ότι από τη στιγμή που τα φορτία βρεθούν μέσα στο πεδίο θα εξασκηθούν πάνω τους δυνάμεις, έτσι. Τα φορτία είναι ίσα, έτσι σε κάθε ένα φορτίο επομένως θα εξασκηθεί δύναμη η οποία θα έχει μέτρο που δίνεται από τη σχέση αυτή. Δηλαδή η δύναμη που θα εξασκηθεί παρ' ιματος χάρη στο θετικό φορτίο θα είναι το φορτίο επί την τιμή του πεδίου. Προσέξτε αυτό είναι το μέτρο της δύναμης, έτσι. Η κατεύθυνση θα είναι προφανώς αυτή την οποία επιβάλλει η γεωμετρία του συγκεκριμένου προβλήματος. Επομένως, θα έχω δύο δυνάμεις, μια δύναμη FC η οποία θα εξασκείται στο θετικό φορτίο, αντίστοιχα μια δύναμη F' που θα εξασκείται στο αρμητικό φορτίο, οι δύο αυτές δυνάμεις θα έχουν ισομέτρο, έτσι. Προφανώς θα έχουν διαφορετική κατεύθυνση, θα κατευθύνονται αντίθετα. Εντάξει, επομένως εύκολα καταλαβαίνω ότι συνιστάμενη δύναμη τώρα στο πρόβλημα όπως το έχω θέσει δεν υπάρχει, είναι μηδέν. Δηλαδή, επειδή η δύναμη που εξασκείται στο θετικό φορτίο είναι ίση κατά μέτρο με τη δύναμη που ασκείται στο αρνητικό φορτίο, αλλά έχουν αντίθετη κατεύθυνση. Έτσι, είναι φανερό. Για να ξαναπιάσουμε το μύτο της αριάδνης, λέω ότι έφερα το ηλεκτρικό δίπολο μέσα σε ομογενές πεδίο. Εξασκείται πάνω του μηδενική δύναμη. Δεν έχουμε δυνάμεις, έτσι, γιατί οι δύο δυνάμεις αλλοανερούνται. Όμως η ροπή που εξασκείται στο ζεύγος δεν είναι μηδέν. Εντάξει, υπάρχει η ροπή. Λοιπόν, ποια θα είναι η ροπή αυτή από τη μηχανική. Θα είναι η δύναμη επί το μοχλοβραχείονα. Η δύναμη είναι Qy κατά μέτρο, έτσι, είπαμε ότι η δύναμη που εξασκείται στο θετικό φορτίο είναι ίση κατά μέτρο με αυτή που εξασκείται στο αρνητικό φορτίο. Έχω το μέτρο της δύναμης, το μοχλοβραχείονα. Ο μοχλοβραχείονας είναι η απόσταση των φορέων των δύο δυνάμεων. Έτσι, θα είναι προφανώς L επί ημήτωνο Φ. Φ είναι αυτή η γωνία, είναι η γωνία που σκηματίζει το δίπολο με το πεδίο. Έτσι, και L είναι η απόσταση των δύο φορτίων. Δεν έκανα τίποτα μέχρι στιγμής απ' το να ανακαλέσω απλές σχέσεις της μηχανικής. Εντάξει. Ροπή είναι δύναμη επί μοχλοβραχείονας. Αυτό μας λέει αυτή η σχέση. Λοιπόν, εφαρμοζόμενη βέβαια η κλασική μηχανική στο συγκεκριμένο παράδειγμα του πίνακα. Λέω τώρα το μέγεθος QL, δηλαδή αν αυτό το πολλαπλασιάσω με εκείνο, κάνω μια αναδιάταξη εδώ στη σχέση. Το μέγεθος QL αυτό το ονομάζω ηλεκτρική διπολική ροπή και το συμβολίζω με π. Αφού είναι Q επί L, είναι δηλαδή φορτίο επί μήκος, είναι λογικό ότι θα έχει μονάδες κουλόμπ επί μέτρο στο διεθνές σύστημα μονάδων. Εντάξει. Ορισμή. Είναι ορισμός μέχρι στιγμής. Δεν έχω κάνει τίποτα παραπάνω απ' το να ορίσω την ηλεκτρική διπολική ροπή, την οποία ορίζω ως Q επί L. Ωραία. Λοιπόν, ορίζω τώρα ακόμα περισσότερο τη διπολική ηλεκτρική ροπή να είναι διάνισμα, το οποίο θα έχει μέτρο το Q επί L που είπαμε πριν και κατεύθυνση απ' τον αρνητικό προς το θετικό πόλο πάνω στον άξονα του διπόλου. Θα είναι δηλαδή αυτό το διάνισμα, το διάνισμα P, το οποίο θα έχει κατεύθυνση την ευθεία που ενώνει τα δύο φορτεία και φορά από το αρνητικό προς το θετικό φορτείο. Αυτός είναι ο ορισμός του διανύσματος πια, της διπολικής ροπής ως διανύσματος. Λοιπόν, τώρα το μέτρο της μηχανικής ροπής που είδαμε πριν, το θυμάστε έτσι, θα ξαναγυρίσω πίσω, αυτή εδώ είναι η μηχανική ροπή, αλλά προσέξτε τώρα το Q επί L, επί αυτό το L έρχεται μπροστά, μας κάνει την ηλεκτρική διπολική ροπή. Επομένως το μέτρο της ροπής εδώ θα δίνεται από τη σχέση αυτή, P επαναλαμβάνω είναι η ηλεκτρική διπολική ροπή, ύψιλον προφανώς είναι το πεδίο, το οποίο θεώρησα ομογενές και η μήτων ωφή είναι η γωνία την οποία σχηματίζει το δίπολο με το ηλεκτρικό πεδίο ή αλλιώς μπορούμε να πούμε είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα της διπολικής ηλεκτρικής ροπής, αυτής εδώ το P με το πεδίο. Γιατί όρισα την διπολική ηλεκτρική ροπή τέτοια ώστε να είναι πάνω στον άξονα πάνω στην ευθεία που ενώνει τα δύο φορτεία. Ορισμοί είναι μέχρι στιγμής, δεν έχω κάνει τίποτα παραπάνω από να ορίσω. Τώρα αφού Φ είναι η γωνία από την οποία αναφέρθηκα μόλις, είναι η γωνία δηλαδή μεταξύ του διπόλου και του ηλεκτρικού πεδίου, ή με άλλα λόγια είναι η γωνία του διανύσματος της ηλεκτρικής διπολικής ροπής και του ηλεκτρικού πεδίου, εύκολα συμπερένω, γιατί προσέξτε εποσδύνετε αυτό είναι το μέτρο της ηλεκτρικής διπολικής ροπής, αυτό είναι το μέτρο του ηλεκτρικού πεδίου και Φ είναι η γωνία που σχηματίζουν. Αφού και το Π και το Ψ είναι διανυσματικά, εύκολα συμπερένω ότι η μηχανική ροπή είναι το εξωτερικό γινόμενο της διπολικής ηλεκτρικής ροπής και του ηλεκτρικού πεδίου. Με τη μόνη διαφορά ότι η σχέση μου πλέον εδώ είναι διανυσματική, είναι πολύ πιο σωστή. Θυμάστε φαντάζομαι τον κανόνα της δεξιάς σκυρός, έτσι, το εξωτερικό γινόμενο πρέπει να το έχετε συζητήσει με τον κ. Παπαζάχο, στην αρχή, τι είναι. Είναι Π επί εψηλών, εξωτερικός, πολλαπλασιαζόμενο εξωτερικός. Το διανύσμα Τ είναι κάθετο στο επίπεδο της διαφάνειας και έχει φορά αυτή η οποία ορίζεται από την κανόνα της δεξιάς σκυρός. Έτσι, δηλαδή, αν βάλω την παλάμη μου πάνω στο επίπεδο Π, πάνω στους μεσχορίδες το διάνυσμα Π και τη στρίψω έτσι ώστε να έρθει πάνω στο διάνυσμα εψηλών, ο αντίχειρας θα μου δείχνει τη φορά του διανύσματος Τ. Τα θυμάστε αυτά ή σας φαίνονται λίγο κοινέζικα, αν σας φαίνονται λίγο κοινέζικα να τα αναλύσουμε περισσότερο. Εντάξει, είναι εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων. Είναι ένα τρίτο διάνυσμα, έχω το εξωτερικό γινόμενο του διανύσματος Π με το εψηλών. Ή αλλιώς αυτό το λέμε το Π πολλαπλασιαζόμενο εξωτερικός με το εψηλών. Έτσι, αυτό μου δίνει ένα διάνυσμα Τ, το οποίο είναι κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν το Π με το εψηλών, εν προκειμένου το επίπεδο που ορίζεται του Π με το εψηλών είναι το επίπεδο του πίνακα, το επίπεδο προβολής. Έτσι, άρα το διάνυσμα Τ ξέρω ότι θα είναι κάθετο εδώ πάνω. Προς τα πού θα κατευθύνεται, προς τα εδώ ή προς τα εκεί. Ε, αυτό θα το βρω από τον κανόνα της δεξιάς χειρός, δηλαδή θα τοποθετήσω την παλάμη μου πάνω στο διάνυσμα Π, θα την τοποθετήσω είναι έτσι και πρέπει να την στρίψω με τη μικρότερη δυνατή γωνία, να την στρίψω ώστε να έρθει στο εψηλών. Να κάνω δηλαδή αυτό άρα το διάνυσμα Τ κατευθύνεται προς τα μέσα. Λοιπόν, συμφωνήσαμε, προχωράω παρακάτω, ξεχνώντας τις σχέσεις ενέργειες και θα κάνουμε μια σκυσούλα. Θεωρώ ότι έχω ελευθρικό δίπολο, το παράδειγμα αυτό είναι μέσα από το βιβλίο σας. Θεωρώ ότι έχω ελευθρικό δίπολο μέσα σε ομογενές πεδίου, το οποίο έχει μέτρο, το οποίο γράφεται στη διαφάνεια. 5x10 συμπέντη ννακουλόμπ. Λοιπόν, τα φορτία μας τα δίνει πόσο είναι, προσέξτε μιλάμε για δίπολο έτσι, που σημαίνει είναι ίσο το αρνητικό και το θετικό φορτίο, κατά μέτρο. Και βρίσκονται σε απόσταση μεταξύ τους, η οποία μου τη δίνει, 0,125x10.9 μέτρα. Να βρεθεί η συνολική δύναμη που εξασκείται από το πεδίο στον δίπολο. Το μέτρο και η κατεύθυνση της ηλεκτρικής διπολικής ροπής, το μέτρο και η κατεύθυνση της μηχανικής ροπής. Τη δυναμική ενέργεια ξεχάστετε γιατί δεν μιλήσαμε για δυναμική ενέργεια ακόμα εμείς. Λοιπόν, η συνολική δύναμη που εξασκείται από το πεδίο στον δίπολο πόσο είναι? Έχει κανείς καμιά ιδέα? Πόσο? Όχι, η συνολική δύναμη, την δύναμη θέλω. Θυμίζω ότι από το πεδίο θα εξασκηθεί μια δύναμη πάνω στον φορτίο αυτό και μια δύναμη πάνω στον φορτίο αυτό. Έτσι, για την ακρίβεια αυτή θα είναι έτσι και εκείνη θα είναι έτσι. Παρακαλώ. Αυτό είναι η συνολική δύναμη 0. Γιατί θα εξασκηθούν δυνάμεις ή και αντίθετες. Βέβαια όχι πάνω στον ίδιο φορέα, αλλά η συνολική δύναμη είναι 0. Είναι ίσως και αντίθετες αυτούς. Αφού δεν εξασκούνται πάνω στον ίδιο φορέα θα υπάρξει ροπή. Έτσι, πάση δηλαδή καστροφή. Αυτό είναι. Λοιπόν, το μέτρο και η κατεύθυνση της δυμπολικής ροπής. Είναι απλή εφαρμογή τύπων. Έτσι δεν είναι. Αυτά που είπαμε πριν. Η συνολική δύναμη είναι 0. Εφόσον το είπαμε απλώς το επαναλαμβάνω εδώ και το βλέπουμε και στη διαφάνεια πάνω γραμμένο. Αφού ασκούνται δύο ίσες και αντίθετες δυνάμεις. Ωραία. Ωραία. Στο δεύτερο θέλω να βρω το διάνισμα π, το οποίο ξέρω ότι θα κατευθύνεται από τον αρνητικό εξορισμού. Όπως το όρισα. Όρισα ότι θα κατευθύνεται από τον αρνητικό προς το θετικό. Εντάξει δηλαδή θα πηγαίνει πως. Από κει προς τα δω. Έτσι. Από κει προς τα δω. Εντάξει. Λοιπόν. Και ξέρω ότι η γωνία που σχηματίζεται είναι 145 μοίρες. Έτσι βλέπετε γιατί. Η άσκηση μας δίνει άλλα πράγματα. Είναι το μόνο σημείο που πρέπει να σκεφτεί κανείς λίγο. Η άσκηση μας δίνει αυτή τη γωνία. Εδώ 35 μοίρες. Εντάξει. Αλλά επειδή το δίπολο έχει αυτή την κατεύθυνση προς τα κάτω. Είναι έτσι δηλαδή. Η γωνία που σχηματίζεται με το πεδίο είναι 145 μοίρες. Εντάξει. Να το διάνισμα της ηλεκτρικής διπολικής δροπής. Ναι. Και σχηματίζεται η γωνία 145 μοίρων αυτό. Ναι. Και θυμηθείτε ότι η γωνία ορίζεται πάντα η γωνία μεταξύ πεδίου και διπόλου. Εντάξει. Άρα το μέτρο του διάνισματος π, του διάνισματος της ηλεκτρικής διπολικής δροπής εξ ορισμού είναι το φορτίο επί την απόσταση. Αυτό μπορούμε να βρούμε ποια είναι η αριθμητική τιμή του κάνοντας τους υπολογισμούς που έχουν βάσει τα δεδομένα που μας έδωσε η άσκηση. Είναι εύκολο. Η κατεύθυνσή του προφανώς είναι από το αρνητικό προς το θετικό φορτίο. Έτσι. Άρα το διάνισμα αυτό σχηματίζει με το πεδίο γωνία 145 μοίρων. Εντάξει. Λοιπόν, η άσκηση μας ζητάει ακόμα παραπάνω. Μας ζητάει το μέτρο της... να βρούμε ποια είναι... όχι το μέτρο. Μας ζητάει, γενικά, βρείτε, λέει, τη μηχανική ροπή. Η μηχανική ροπή είναι διάνισμα, άρα πρέπει να βρούμε το μέτρο και την κατεύθυνσή του. Εντάξει. Εξ ορισμού πάλι, από τους ορισμούς που έχω και απλή εφαρμογή τίπον κάνω, είναι η μηχανική ροπή, θα είναι η ηλεκτρική διπολική ροπή επί το πεδίο, επί το ημύτωνο της γωνίας που σχηματίζουν μεταξύ τους. Αυτό δηλαδή είναι στην πραγματικότητα το μέτρο του εξωτερικού γυνομένου, έτσι. Γιατί θυμηθείτε ότι η μηχανική ροπή είναι ένα διάνισμα το οποίο ορίζεται σαν το εξωτερικό γυνόμενο της διπολικής ροπής. Η μηχανική ροπή, το τάφ, είναι το διάνισμα που ορίζεται σαν το εξωτερικό γυνόμενο της διπολικής ροπής, με το ηλεκτρικό πεδίο, έτσι. Και ξέρουμε ότι το μέτρο επομένως αυτού του διανείσματος, αν θα το γράψουμε πιο σωστά, το μέτρο αυτού του διανείσματος θα είναι το μέτρο του εξωτερικού γυνομένου, θα είναι πίεψιλον επί μύτωνο της γωνίας θ, η οποία σχηματίζεται μεταξύ του. Ανάψουμε λίγο το φως για να φανεί λίγο η σχέση. Εντάξει, απλώς το κάνω πιο αναλυτικά. Λοιπόν, βρήκα το μέτρο της μηχανικής ροπής από τη σχέση αυτή, ή αλλιώς από τη σχέση που είχα γράψει πριν στο Μαυροπίνακα. Λοιπόν, και με τον κανόνα της δεξιάς χειρός, βρίσκουμε ότι η μηχανική ροπή είναι από το επίπεδο της διαφάνειας. Θα το κάνουμε και αυτόν. Έτσι, είναι αυτό το διάνυσμα που κατευθύνεται έξω από το επίπεδο της διαφάνειας. Εντάξει, είναι δηλαδή από το πίναπα ως το εψιλον. Ναι, θα κάνω αυτό, θα κάνω αυτό, άρα κατευθύνεται προς τα έξω το διάνυσμα. Εντάξει, νομίζω ότι είναι απλά πράγματα μέχρι στιγμής και ορισμοί μόνο. Λοιπόν, είπαμε ότι τα ενεργειακά τα αφήνω, κι αυτός επίσης παραλείπω και το πεδίο το οποίο δημιουργεί το δίπολο. Το δίπολο δημιουργεί κάποιο πεδίο μακριά, το οποίο αυτό το παραλείπω, το έχουμε στο διβλίο σας, αλλά το παραλείπω, απλώς θα σας θυμίσω μόνο, ότι, όχι θα σας θυμίσω, αν και το είχαμε πει στο προηγούμενο μάθημα, απλώς τώρα θα αναφερθούμε σε αυτό χωρίς απόδειξη, ότι το πεδίο που δημιουργεί το δίπολο, μαθηματικά μεσχωρείται, σε απόσταση μακριά από το δίπολο, είναι ανάλογο της τρίτης δύναμης της απόστασης, ανάλογο του κύβου της απόστασης. Και εδώ θα κάνουμε μια μικρή επανάληψη τώρα συνολική, εντάξει, και θα πάμε στο επόμενο μάθημα, που είναι ο νόμος του γκάους. Λοιπόν, στον πίνακα αυτό βλέπουμε συνολικά, διάφορες κατανομές φορτίου και τι πεδίο δημιουργούν. Αρχίζω από την απλούστερη, από κάτω προς τα πάνω, η επίπεδη κατανομή φορτίων, δηλαδή αν τα φορτία είναι κατανεμημένα πάνω σε ένα επίπεδο απείρων διαστάσεων, φανταστείτε ένα φύλλο χαρτί, το περαστείων διαστάσεων, το οποίο είναι φορτισμένο. Το πεδίο σε κάθε σημείο εδώ είναι ανεξάρτητο από την απόσταση από το χαρτί. Το είχαμε βρει στο προηγούμενο μάθημα. Εντάξει. Αν πάω τώρα σε ευθύγραμη κατανομή φορτίων, δηλαδή να θεωρήσω ότι έχω ένα τεράστιο σύρμα, φανταστείτε εδώ το στυλό αυτό είναι σύρμα και εκτείνεται σε μεγάλες αποστάσεις, έτσι, πάνω και κάτω, τότε το πεδίο σε ένα σημείο μακριά από το σύρμα θα είναι αντιστρόφος ανάλογο της απόστασης. Αντιστρόφος ανάλογο της απόστασης. Αν πάρω σημιακή πηγή, ισχύει και για σφαίρα αυτό, σημιακή πηγή ή σφαίρα, έτσι, το πεδίο μακριά από τη σημιακή πηγή και μακριά από τη σφαίρα θα είναι αντιστρόφος ανάλογο με το τετράγωνο της απόστασης. Είπα μία ανακρίβεια. Από τη σημιακή πηγή οπουδήποτε, σε οποιοδήποτε σημείο θα είναι αντιστρόφος ανάλογο με το τετράγωνο της απόστασης. Από τη σφαίρα σε κάποια απόσταση από τη σφαίρα θα ισχύει το ίδιο. Εντάξει, θα ισχύει δηλαδή ότι το πεδίο θα είναι αντιστρόφος ανάλογο με το τετράγωνο της απόστασης. Και αν έχω δίπολο, βλέπετε το πεδίο σε κάποια απόσταση είναι αντιστρόφος ανάλογο με τον κύβο της απόστασης. Αυτό συνεχίζεται, ξέρετε. Αν είχα αντί για δίπολο ένα τετράπολο, δηλαδή δύο δίπολα μαζί, το πεδίο σε κάποια απόσταση από τα δύο δίπολα θα ήταν αντιστρόφος ανάλογο της τέταρτης δύναμης της απόστασης. Τώρα, τι μας μένει από το μάθημα? Αυτός ο πίνακας, από το πρώτο μάθημα, έτσι. Το πεδίο σε κάποια απόσταση. Το πεδίο διαφόρων κατανομών σε κάποια απόσταση. Έτσι. Μάλλον, τη μαθηματική σχέση δεν χρειάζεται να την ξέρουμε απ' έξω. Μπορούμε να την βρούμε σε οποιοδήποτε τυπολόγιο. Αλλά πρέπει να αποτυπώσουμε μέσα στο μυαλό μας όμως, τη σχέση της απόστασης, έτσι, με την κατανομή των φορτίων. Δηλαδή το πεδίο, κατανομή φορτίων, ποια θα είναι αυτή η κατανομή, έχει μια σχέση με την απόσταση. Είναι μάλιστα η σχέση αντίστροφη, αλλά οι δυνάμεις βλέπετε, βγαίνουν αυξανόμενες όσο πιο πολύπλοκο γίνεται, όσο πιο πολύπλοκη γίνεται η κατανομή. Έτσι. Λοιπόν, αυτό μας μένει. Και κάτι ακόμα μας μένει, ότι αυτό ισχύει όχι μόνο στο ηλεκτρικό πεδίο, ισχύει για όλα τα πεδία δυνάμων. Για το πεδίο βαρύτητας, το οποίο μας ενδιαφέρει ως γεωλόγους και ως γεωφυσικούς εμάς ακόμα περισσότερο, εκεί ισχύει το ίδιο στο πεδίο βαρύτητας. Εντάξει, αν δηλαδή έχω μια κατανομή μαζών πάνω σε ένα λεπτό θύλο, τότε το πεδίο βαρύτητας που προκαλεί αυτό το λεπτό θύλο, αυτή η μάζα δηλαδή που είναι πάνω στο λεπτό θύλο σε οποιοδήποτε σημείο, είναι το ίδιο. Ό,τι ισχύει και εδώ. Για κατανομή φορτίων εδώ, για κατανομή μαζών εκεί, στο πεδίο βαρύτητας. Έτσι. Το πεδίο μακριά από τη γη, αν θεωρήσω τη γη ως σφαίρα σε πρώτη προσέγγιση, είναι αντιστρόφος ανάλογο με το τετράγωνο της απόστασης. Εξάλλου είναι αυτό που μας είχε φύγει και ο Νεύτωνας κάποτε, πριν από πολλά πολλά χρόνια. Έτσι. Γι' αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο εγώ επιμένω πάρα πολύ στο να έχουμε αποτυπωμένο μέσα στη μνήμη μας αυτόν τον πίνακα που δείχνει διαφάνεια. Ότι ισχύει για όλα τα πεδία δυνάμεων. Δεν ισχύει μόνο για το ελεκτρικό πεδίο. Αυτό. Βγάλετε την κατανομή φορτίων. Εντάξει. Βγάλετε τη λέξη φορτίων, εδώ που ισχύει για το ελεκτροστατικό πεδίο. Όταν βάλουμε μάζα, κατανομή μαζών, ισχύει για το πεδίο βαρύτητας. Το πεδίο βαρύτητας αντίστοιχα θα είναι αντιστροφός ανάλογο κάποιας δύναμης ανάλογα με το πώς είναι η κατανομή των μαζών. Αυτό έγινε κατανοητό. Δεν ξέρω αν υπάρχει ερώτηση εδώ, γιατί αυτό θέλω για να μας μείνει. Εντάξει. Θα δείτε ότι οι διαφάνειες, όπως ήταν ανοιχτημένες στο διαδίκτυο, περιέχουν και σύνοψη κάθε φορά, με οποία μπορείτε να ανατρέχετε για να κάνετε ένα είδος σύντομης επανάληψης. Η σύνοψη μας λέει τα κυριότερα σημεία του μαθήματος, έτσι, εν συντομία. Ναι, υπάρχει αναρτημένη στο διαδίκτυο. Φεύγω από εδώ και προχωράμε στο επόμενο μάθημα, όπου θα μιλήσουμε για έναν άλλο τρόπο, με τον οποίο θα καταλήξουμε στις ίδιες σχέσεις. Έτσι. Αρχίζουμε με κάποιους ορισμούς. Θα θεωρήσω πάλι ένα ομογενές πεδίο, σαν αυτό το οποίο φαίνεται στην διαφάνεια, όπως είναι αυτό το πρόβλημα, όπως είναι αυτό το πρόβλημα, σαν αυτό το οποίο φαίνεται στην διαφάνεια, και θα θεωρήσω ότι βάζω ένα φύλλο χαρτί κάθετα μέσα μια επιφάνεια. Φανταστείτε, μια επιφάνεια σαν το φύλλο χαρτιού αυτό, έτσι, την βάζω κάθετα μέσα στο πεδίο. Το πεδίο έχει αυτή την κατεύθυνση, έτσι, και διαπαιρνά προφανώς αυτή την επιφάνεια την οποία έβαλα εγώ κάθετα. Τότε ορίζω ως ηλεκτρική ροή διαμέσω της επιφάνειας αυτής, η οποία έστω ότι έχει εμβαδό α, έτσι, το γινόμενο αυτό το οποίο φαίνεται στην διαφάνεια, δηλαδή το πεδίο πολλαπλασιαζόμενο επί το εμβαδό αυτής της επιφάνειας, μας κάνει την ηλεκτρική ροή διαμέσω αυτής της επιφάνειας, αυτός είναι ορισμός, έτσι. Προσέξτε, εγώ ορίζω έτσι την ηλεκτρική ροή. Λοιπόν, οπότε τώρα καταλαβαίνουμε ότι όσο μεγαλύτερη είναι η επιφάνεια, που σημαίνει τόσο μεγαλύτερο είναι το εμβαδό α στη σχέση αυτή, τόσο μεγαλύτερη είναι η ροή, έτσι, μεγάλο το α μεγάλη η ροή. Άρα μεγαλύτερη επιφάνεια μεγάλη ροή. Λογικό δεν είναι μεγαλώνει την επιφάνεια, περνάνε περισσότερες γραμμές πεδίου από μέσα. Επίσης μου λέει ότι πιο έντονο το πεδίο, το πεδίο πάλι μεγαλύτερη ροή, έτσι, για την ίδια επιφάνεια αυτή τη φορά. Αυτό σημαίνει μεγαλύτερο πεδίο σημαίνει πιο πυκνές δυναμικές γραμμές, έτσι. Πιο ισχυρό πεδίο σημαίνει πιο πυκνές δυναμικές γραμμές. Πιο πυκνές επομένως δυναμικές γραμμές, μεγαλύτερη η ροή δια μέσου της επιφανίας αυτής. Ωραία. Θεώρησα τη μικρή επιφάνεια αυτή επίπεδη, έτσι, αλλά τη θεώρησα στο πρώτο παράδειγμα, στον ορισμό κάθετη σε ομογενές πεδίου. Προχωράω τη σκέψη μου λίγο παρακάτω. Βάζω την επίπεδη αυτή επιφάνεια, εδώ, όχι να είναι κάθετη στο πεδίο, αλλά υπογωνία, έτσι. Στην περίπτωση αυτή το καταλαβαίνουμε ότι σημασία θα περάσουνε λιγότερες δυναμικές γραμμές, έτσι. Περισσότερες δυναμικές γραμμές περνάνε εδώ, λιγότερες εκεί. Άρα σημασία έχει αυτή τη φορά η προβολή της επιφάνειας σε επίπεδο κάθετο στο πεδίο. Γιατί όσες γραμμές περνάνε από την επιφάνεια αυτή, όπως φαντάζεστε το χέρι μου, έτσι, θα είναι οι ίδιες που θα περνάνε από την προβολή της επιφάνειας σε επίπεδο κάθετο στο πεδίο. Άρα σημασία έχει η προβολή της επιφάνειας σε επίπεδο κάθετο στην κατεύθυνση του πεδίου. Σωστά, για να προχωρήσουμε. Λοιπόν, για να δούμε, να το επίπεδο αυτό το κάθετο και αυτή εδώ είναι η προβολή της επιφάνειας αυτής σε επίπεδο κάθετο στην κατεύθυνση του πεδίου. Έτσι, προσέξτε, η προβολή είναι, έτσι, δεν σημαίνει ότι στρίβω, η προβολή δεν σημαίνει στρίβω αυτό, αλλά το προβάλλω από εδώ εδώ, έτσι. Η προβολή δηλαδή είναι μικρότερη από την επιφάνεια, έχει μικρότερο εμβαδόν από την επιφάνεια την ίδια. Έτσι, δεν στρίβω, δεν στρίβω την επιφάνεια, την προβάλλω, την προβάλλω σε επίπεδο κάθετο στο πεδίο. Η προβολή σαφέστατα έχει μικρότερο εμβαδόν τώρα, έτσι. Λοιπόν, για να το δούμε και καλύτερα, αυτή είναι η προβολή, αυτή είναι η επιφάνειά μου και αυτή η προβολή της σε επίπεδο κάθετο στο πεδίο. Ωραία, όταν τώρα επιφάνεια δεν είναι κάθετη στο πεδίο, εγώ βρίσκω στην πραγματικότητα το εμβαδόν της προβολής. Το εμβαδόν της προβολής είναι η επιφάνεια αυτή, το συμιμήτωνο της γωνίας που σχηματίζει με το επίπεδο το κάθετο στο πεδίο. Προσέξτε, το α συμιμήτωνο φύη είναι το εμβαδόν της προβολής. Έτσι. Άρα τώρα η ροή που περνάει μέσα από αυτή την επιφάνεια, την οποία εγώ θεώρησα και κλειμένη στο πεδίο, είναι η ροή που περνάει από την προβολή της. Η προβολή της έχει μικρότερο εμβαδόν. Εντάξει, είναι εκεί, σε επίπεδο κάθετο στο πεδίο. Και αυτό ακριβώς μου λέει αυτή η σχέση. Άρα, η ροή επομένως μέσα από την επιφάνεια αυτή είναι στην πραγματικότητα η ροή μέσα από την προβολή της επιφάνειας σε επίπεδο κάθετο στο πεδίο εκεί. Και δίνεται από τη σχέση αυτή, γιατί το α συμιμήτωνο φύη είναι η προβολή της επιφάνειας πάνω στο επίπεδο αυτό που θεώρησα κάθετο στο πεδίο. Λοιπόν, εύκολα συμπερένεται τώρα ότι η ροή είναι 0 όταν και το συμιμήτωνο φύη είναι 0. Δηλαδή, όταν η επιφάνεια και το πεδίο είναι παράλληλα. Αν το πεδίο είναι εδώ, όταν η επιφάνεια είναι εκεί. Είναι εκεί. Και εύκολα βγαίνει επίσης ότι η μέγιστη τιμή είναι όταν το συμιμήτωνο φύη είναι 1. Δηλαδή, όταν είναι 90 μοίρες. Έτσι. Όταν δηλαδή η επιφάνεια και το πεδίο σχηματίζουν γωνία 90 μοίρων. Πάμε τώρα... Εδώ. Λοιπόν, προσέξτε τώρα. Θα ορίσω την κάθετη συνηστώσα του πεδίου που είναι κάθετη στην επιφάνεια. Θα την πω ε' κάθετη. Αυτή η συνηστώσα είναι η συνηστώσα του πεδίου. Προσέξτε, το πεδίο μου είναι το ε, έτσι, είναι αυτό. Μπορώ να το αναλύσω σε δύο συνηστώσες. Μια συνηστώσα κάθετη πάνω στην επιφάνεια α, θα την πω ε κάθετη, και μια παράλληλη ακριβώς πάνω στην επιφάνεια α. Μπορώ να το κάνω αυτό. Έτσι, και με ενδιαφέρει αυτή η ε κάθετη, γι' αυτό το κάνω. Για να δούμε γιατί. Αυτή είναι η επιφάνειά μου, η οποία δεν είναι κάθετη στο πεδίο, είναι υπογωνία. Να διερευνήσω λίγο την υπόθεση, έστω το πεδίο και η επιφάνεια, υπογωνία λοιπόν αυτά τα δύο, αναλύω το πεδίο σε δύο συνηστώσες, μία συνηστώσα που θα είναι κάθετη πάνω στην επιφάνεια, και μία που θα είναι πάνω στην επιφάνεια, έτσι. Λοιπόν, για να δούμε πώς είναι αυτές, αφού είπαμε για τη γωνία Φ, η οποία είναι η γωνία που σχηματίζει, αν γυρίσω πίσω, είναι η γωνία που σχηματίζει το πεδίο με την επιφάνεια, έτσι. Το πεδίο με την επιφάνεια που σχηματίζει η γωνία Φ. Αυτή η γωνία μεταφέρεται προφανώς μεταξύ πεδίου και καθέτου πάνω στην επιφάνεια αυτής. Το καταλαβαίνουμε, είναι ίδια η γωνία. Να η γωνία αυτή. Εντάξει, είναι αυτή. Αλλά ταυτόχρονα αυτή η γωνία μεταφέρεται και εδώ. Μεταφέρεται μεταξύ καθέτου στην επιφάνεια και πεδίου. Το καταλαβαίνουμε, γιατί αυτή η γωνία, οι πλευρές αυτής της γωνίας και αυτής της γωνίας είναι κάθετες μεταξύ τους. Εντάξει. Άρα, η γωνία μεταξύ επιφάνειας και πεδίου μεταφέρεται μεταξύ ως γωνία μεταξύ του πεδίου και της καθέτου πάνω στην επιφάνεια. Άρα, αν αναλύσω εγώ το πεδίο σε δύο συνισθώσες, μία κάθετη στην επιφάνεια και μία παράλληλη πάνω στην επιφάνεια, τότε αυτές θα έχουν τιμές που δίνονται από τις σχέσεις αυτές. Έτσι, γιατί η γωνία αυτή έχει μεταφερθεί ως γωνία μεταξύ του πεδίου. Άρα, αυτή η γωνία αυτή, αυτή η γωνία αυτή, αυτή έχει μεταφερθεί ως γωνία μεταξύ του πεδίου και της καθέτου πάνω στην επιφάνεια. Είναι κατανοητό? Σας ρωτάω αν είναι κατανοητό, αν δεν είναι να σταματήσουμε να το εξηγήσουμε παραπάνω. Πρέπει κάθε βήμα να είναι πεντακάθαρο μέσα σας, για να μπορούμε να χτίζουμε το επόμενο. Τώρα, προσέξτε κάτι, αφού το ε, επί το σημειμή των οφεί, είναι η συνισθόσα αυτή εδώ, η κάθετη πάνω στην επιφάνεια του, τότε εύκολα βλέπω ότι ο τύπος της ρωής μετασχηματίζεται σε μια καινούργια μαθηματική σχέση όπου εκεί που είχα πριν το α, σημειμή των οφεί, που ήταν η προβολή, το α, σημειμή των οφεί, προσέξτε είναι η προβολή, είναι αυτό που δείχνω τώρα, είναι η προβολή της επιφάνειας που έβαλα μέσα στο πεδίο, σε επίπεδο κάθετο στο πεδίο. Και την προβολή τη συμβολίζω αν θέλετε, βλέπετε εδώ, και σαν α κάθετος. Τώρα, αντί να πάρω το σημειμή των οφεί, της γωνίας φ, με το α, που θα μου δώσει την προβολή, δηλαδή αυτό εδώ, παίρνω το σημειμή των οφεί με το ε, ε επί σημειμή των οφεί μου κάνει τη συνισθόσα του πεδίου, που είναι κάθετη πάνω στην επιφάνεια. Άρα είναι η εύσηλον κάθετη, έτσι. Άρα βρήκα ένα νέο τύπο, μια νέα μαθηματική σχέση για την ροή. Λοιπόν, και παρακάτω λίγο, χρησιμοποιώντας την έννοια του διανισματικού εμβαδού, θυμηθείτε, το εμβαδό είναι διανισμα, έτσι. Δίνει τόσο διανισμα, τα είπε ο κ. Παπαζάχου στο πρώτο μάθημα, πρέπει να σας τα έκανα εκεί, εξωτερικό, εσωτερικό γινόμενο και τέτοια, έτσι. Άρα το εμβαδό είναι διανισμα, κάλυπτα μπορώ να δω ότι αυτή η σχέση εδώ είναι διανισματική και ορίζεται σαν το εσωτερικό γινόμενο του διανίσματος του πεδίου, επί το εμβαδόν. Λοιπόν, προσέξτε, το εσωτερικό γινόμενο δεν είναι νεοδιάνισμα, μας δίνει ένα μονόμετρο μέγεθος, έτσι, το έχουμε πει. Άρα η ροή είναι μονόμετρο μέγεθος που ορίζεται σαν εσωτερικό γινόμενο του πεδίου επί την επιφάνεια. Λοιπόν, οι μονάδες της ροής γράφονται στον πίνακα, αφού το πεδίο είναι νιούτον ανακουλόμπ, έτσι το έχουμε ορίσει εμείς μέχρι στιγμής, αυτό ξέρουμε. Έτσι, θυμηθείτε, είναι νιούτον ανακουλόμπ το πεδίο, κάνουμε και μια μικρή επανάληψη τώρα. Είναι νιούτον ανακουλόμπ το πεδίο, γιατί το πεδίο ορίστηκε σε κάθε σημείο σαν η δύναμη που εξασκείται σε δοκιμαστικό φορτίο, έτσι. Κατά συνέπεια είναι νιούτον ανακουλόμπ οι μονάδες του. Και προφανώς νιούτον ανακουλόμπ, επί τετραγωνικά μέτρα, είναι οι μονάδες της ροής. Τώρα, εγώ θεώρησα τις απλούστερες δυνατές περιπτώσεις, θεώρησα το πεδίο ομογενές και θεώρησα την επιφάνεια που είναι μέσα στο πεδίο επίπεδη και βρήκα σχέσεις για τη ροή. Λοιπόν, το πεδίο όμως μπορεί να μην είναι ομογενές, πάρα πολύ απλό, εντάξει, άρα μεταβάλλεται από θέση σε θέση και επομένως μεταβάλλεται από θέση σε θέση πάνω στην επιφάνεια ε, λέω μια περίπτωση. Επίσης, μπορεί η επιφάνεια α μεσχωρείται στην επιφάνεια α και όχι έψινο, όπως είπα πριν, ή συμβαίνει το α, η επιφάνεια αυτή να μην είναι επίπεδη. Άρα θυμίμα μιας καμπύλης επιφάνειας. Και τότε τι κάνω για να βρω τη ροή, χωρίζω την επιφάνεια σε πολλά στοιχειώδη εμβαδά δι α, το οποία θεωρώ επίπεδα, σε πολλά πολλά μικρά δηλαδή κομματάκια, στοιχειώδη εμβαδά το οποία θεωρώ επίπεδα δι α και κάνω την ολοκλήρωση. Δηλαδή θεωρώ τη ροή μέσα από κάθε στοιχειώδος κομματάκι δι α, από κάθε μικρό, έτσι και ολοκληρώνω για όλα τα δι α για να δω τι γίνεται για όλη την επιφάνεια. Το επαναλαμβάνω εμφανικά. Ξεκίνησα την ανάλυση θεωρώντας τις απλούστερες δυνατές περιπτώσεις. Θεώρησα το πεδίο ομογενές, που σημαίνει ότι δεν μεταβάλλεται από θέση σε θέση. Θεώρησα την επιφάνεια την οποία βάζω εγώ μέσα στο πεδίο ως επίπεδη. Τώρα θέλω να γενικεύσω. Θα δω τι γίνεται στη γενικότητα. Όταν το πεδίο δεν είναι ομογενές και η επιφάνεια την οποία βάζω εγώ μέσα δεν είναι επίπεδη. Είναι κάτι άλλο. Τι κάνω τότε στις περιπτώσεις αυτές. Διαιρώ την επιφάνεια την οποία έβαλα μέσα στο πεδίο σε στοιχειώδη κομματάκια, πολύ πολύ μικρά εμβαδά, τα οποία θεωρώ επίπεδα, βρίσκω τη ροή για κάθε μικρό από αυτά και ολοκληρώνω. Δηλαδή αθρίζω. Αθρίζω για ένα άπειρο σύνολο πολύ μικρών εμβαδών. Αυτή είναι η ολοκλήρωση. Λοιπόν, άρα ο γενικός τύπος που δίνει επιρροή είναι ένα ολοκλήρωμα, το οποίο μπορεί να πάρει αυτές τις τρεις μορφές. Στην ουσία είναι έκφραση του ίδιου πράγματος, έτσι. Αυτή είναι η ροή από ένα στοιχειώδες εμβαδό ΔΑ, από ένα στοιχειώδες κομματάκι ΔΑ, το οποίο προφανώς μπορεί το ηλεκτρικό πεδίο για το στοιχειώδες αυτό κομματάκι να θεωρήσω μόνο την κάθετη συνισθόσα πάνω στο στοιχειώδες κομματάκι. Γιατί το συνειμήτωνο ΦΕ είναι αυτή η κάθετη συνισθόσα ή μπορώ ακόμα καλύτερα αυτό να το εκφράσω σαν εσωτερικό γινόμενο δύο διανισμάτων, έτσι, του πολύ πολύ μικρού εμβαδού ΔΑ και του πεδίου το οποίο διαπερνά αυτό το κομματάκι ΔΑ. Θα παρακαλούσα λίγο τον υψήσυχνο, έτσι, τον υψήσυχνο θόρυβο, φίλτρο, να κοπεί λιγάκι γιατί ακούει ένα βουητό, υψήσυχνο. Λοιπόν, να πάμε να δούμε τώρα το αντίστοιχο μηχανικό παράδειγμα. Θα θεωρήσω ρωή ρευστού, το νερό που ρέει μέσα από το λάστιχο ποτίσματος, λέω ένα παράδειγμα, εντάξει. Τότε ξέρω ότι η παροχή μέσα από ένα σωλήνα είναι πόσα κυβικά μέτρα περνούν από ανασεκόντα, αυτό ορίζω εγώ ως πώς παροχή, έτσι, στο λάστιχο που έχω σπίτι μου για να ποτίσω. Παρέχει νερό, έτσι λέμε, έρχεται νερό από μέσα, εντάξει, πόσο μας παρέχει, πόσα κυβικά μέτρα περνάνε, στη μονάδα του χρόνου, αυτή είναι η παροχή. Επομένως η παροχή είναι ο όγκος DV, ο όγκος ο οποίος διέρχεται από το λάστιχο στη μονάδα του χρόνου. Και ξέρω από τη μηχανική ότι αυτό είναι ίσο με τη διατομή του σωλήνα επί την ταχύτητα ρωής, έτσι. Είναι δηλαδή το εμβαδόν της διατομής του σωλήνα, εντάξει, τη διατομή του, επί την ταχύτητα ρωής, αυτή είναι η παροχή. Προσέξτε τώρα ότι είναι ακριβές αντίστοιχο με το τι κάνουμε εμείς εδώ, έτσι. Αντί για το διάνυσμα της ταχύτητας εγώ θεώρησα το ηλεκτρικό πεδίο εδώ, έτσι. Άρα υπάρχει ακριβές αντίστοιχο μεταξύ παροχής νερού και ρωής ηλεκτρικού πεδίου, μέσα από μια επιφάνεια α. Ναι, να το δούμε λίγο καλύτερα. Ας πούμε ότι σε ένα ποτάμι το οποίο έρχεται βάζω ένα συρμάτινο πλαίσιο, αυτό εδώ. Εντάξει, ένα συρμάτινο πλαίσιο. Τότε θα έχω την παροχή στην περίπτωση που το πλαίσιο είναι κάθετο, είναι κάθετο στη ρωή του ποταμού, έτσι. Και αν το βάλω υπογωνία, όπως εδώ που μπαίνει υπογωνία, έτσι. Για να δούμε τι γίνεται στις δύο περιπτώσεις. Λοιπόν, στην περίπτωση που το συρμάτινο πλαίσιο είναι κάθετο, εδώ, στη ρωή του ποταμού, τότε η παροχή θα δίνεται από το συγκεκριμένο τύπο, τον οποίο είχα βρει και πριν από τη συγκεκριμένη μαθηματική σχέση. Είναι το γινόμενο της ταχύτητας επί το εμβαδόν αυτό, το εμβαδόν του συρμάτινου πλαίσιου, το οποίο έβαλα εγώ μέσα στο ποτάμι. Ναι, λοιπόν, όταν σχηματίζεται γωνία Φ, τότε, εδώ, σχηματίζεται γωνία Φ μεταξύ τους διανύσματος της ταχύτητας, τότε δίνεται από το μαθηματικό τύπο αυτόν, είναι δηλαδή σαν να παίρνω τη ρωή μέσα από την προβολή του πλαισίου, σε επίπεδο κάθετο στη ρωή του ποταμού, ακριβώς όπως ήταν πριν. Σε επίπεδο κάθετο το πλαίσιο, αυτή εκεί πίσω είναι η προβολή του, άρα η παροχή μέσα από το πλαίσιο θα δίνεται από τον τύπο αυτόν. Αλλά προσέξτε το Β, επί το συνειμήτων της γωνίας Φ, αυτής εδώ είναι η κάθετη συνισθόσα της ταχύτητας, την οποία συμβολίζω με το κόκκινο αυτό βέλος στην διαφάνεια. Επομένως σε διανισματική μορφή, η παροχή θα δίνεται από το εσωτερικό γινόμενο αυτό. Λοιπόν, κι αν θεωρήσω τώρα το μοναδιέο διανισμα το κάθετο στην επιφάνεια, μιλήσατε πάλι ετοιμένως στο πρώτο μάθημα για μοναδιέα διανίσματα, έτσι, κι αυτό είναι το μοναδιέο διανισμα το κάθετο πάνω στην επιφάνεια, έτσι, και χρησιμοποιήσω την έννοια του διανισματικού εμβαδού, δηλαδή αυτού, θεωρήσω ότι το εμβαδόν του πλαισίου είναι το εμβαδόν επί το μοναδιέο διανισμα το κάθετο, απάνω, έτσι, οπότε αυτό είναι διανισμα, δεν φαίνεται καλά, δεν έχει από πάνω μία παύλα, είναι το εμβαδόν επί το μοναδιέο διανισμα το κάθετο πάνω στο πλαίσιο. Λοιπόν, και εδώ πέρα πρέπει να κάνω μια σύμβαση, κάθε επιφάνεια έχει δύο όψεις, έτσι, εγώ θεώρησα πριν μία επιφάνεια, είναι αυτή και η άλλη, έτσι, ποια θα ορίσω εγώ ως θετική κατεύθυνση, ποια θα ορίσω δηλαδή ως κατεύθυνση της επιφάνειας, ας πούμε στο παράδειγμα εδώ του φύλου, έχω το φύλο, έτσι, το διανισματικό εμβαδόν είναι το εμβαδόν, δηλαδή αυτό επί αυτό, εδώ που είναι παραλληλόγραμμα αυτό, έτσι, επί το μοναδιέο διανισμα που είναι κάθετο εδώ πέρα, αλλά γιατί να πάρω το μοναδιέο διανισμα έτσι και να μην το πάρω από την άλλη μεριά, δεν υπάρχει κανένας λόγος, όχι, δεν υπάρχει λόγος, άρα είναι θέμα δικιάς μου σύμβασης, άρα εγώ ορίζω ως κατεύθυνση της επιφάνειας αυτή η οποία είναι προς το εξωτερικό της, εντάξει, θα φανταστείτε μια σφαίρα δηλαδή, έτσι, η κατεύθυνση της επιφάνειας της σφαίρας είναι, το κάθε τον ίδιο άνοιγμα είναι αυτό που είναι προς τα έξω, αυτό ορίζω εγώ ως κατεύθυνση της επιφάνειας. Πάμε τώρα να κάνουμε ένα παράδειγμα να κατανοήσουμε τα όσα είπαμε, είναι άσκηση την οποία έχει και το βιβλίο σας, άσκηση την οποία έχω αναρτήσει και εγώ στο διαδίκτυο, στις σημειώσεις τις οποίες έχετε σε ηλεκτρονική μορφή εκεί, έτσι, ανοίγουμε μια μικρή παρένθεση τώρα, να θυμηθούμε ότι οτιδήποτε λέω στο μάθημα είναι και στο διαδίκτυο, δηλαδή οι διαφάνειες αυτές είναι αναρτυμένες στο διαδίκτυο, από όπου μπορείτε να διαβάσετε. Και επίσης να σας θυμίσω ότι υπάρχουν 25 αντίγραφα του δεύτερου τόμου του βιβλίου του Hague, από τον οποίο γίνονται οι παραδόσεις, στην βιβλιοθήκη, άρα μπορείτε και στην βιβλιοθήκη του Τρίμαντος να την επισκεφτείτε και να διαβάσετε από εκεί, ή να σημειώσετε ότι θέλετε. Θεωρώ ένα δίσκο, ένα μικρό δίσκο, έτσι, ακτίνας 0,1 του μέτρου, 10 εκατοστά δηλαδή, και να είναι μέσα σε ένα ομογενές πεδίο, έτσι ώστε το διάνισμα ν, το διάνισμα το κάθετο στο δίσκο δηλαδή, να σχηματίζει γωνία 30 μυρών, προσέξτε, να σχηματίζει γωνία 30 μυρών εδώ, με ομογενές ηλεκτρικό πεδίο, με το πεδίο αυτό, στο οποίο αναφέρθηκα. Μου ζητάει η άσκηση να κάνω μια απλή εφαρμογή τύπων, απλώς για να καταλάβω τι γίνεται με τη ροή, πώς είναι η ολική ηλεκτρική ροή δια μέσου του δίσκου, εδώ, εν προκειμένου. Πώς είναι η ολική ροή αν στραφεί έτσι ώστε το επίπεδό του να είναι παράλληλο προς το ε, δηλαδή, αν το πεδίο είναι αυτό και αυτός είναι ο δίσκος, στην αρχή τον έχω έτσι μέσα, μετά μου λέει να στραφεί το επίπεδο να είναι παράλληλο προς το ε, να έρθει έτσι δηλαδή, και το άλλο, η ολική ροή, όταν στραφεί πάλι και πάει κάθετα προς το πεδίο. Έτσι, είναι τρία απλά πραγματάκια, πολύ απλές καταστάσεις. Τι θα κάνω εδώ πέρα, το δίπω έτσι, δεν πιάνω τίποτα κατευθείαν. Πρώτη περίπτωση, η άσκηση μου έδινε ότι η γωνία Φ είναι η γωνία μεταξύ της καθέτου στο δίσκο και του ηλεκτρικού πεδίου. Εύκολα καταλαβαίνω ότι η γωνία Φ μεταφέρεται επίσης και ως γωνία μεταξύ του δίσκου, έτσι, με ένα επίπεδο το οποίο είναι κάθετο στο πεδίο. Έτσι, προφανές, λόγω της καθετότητας, η Φ μεταφέρεται εκεί μέσα, επίσης. Λοιπόν, εφαρμόζω τον τύπο, πάρα πολύ απλά, εφαρμόζω τη μαθηματική σχέση που δίνει τη ροή. Γι' αυτό και δεν το γράφω στον πίνακα, είναι το πεδίο επί το εμβαδόν του δίσκου, επί το συνειμήτωνο της γωνίας την οποία σχηματίζει ο δίσκος με το επίπεδο κάθετο στο πεδίο, ή αλλιώς, της γωνίας την οποία σχηματίζει το πεδίο με την κάθετο πάνω στο δίσκο. Ωραία, το εμβαδόν πόσο είναι του δίσκου, αν θυμάμαι καλά, η άσκηση δίνει την ακτίνα, έτσι δεν είναι? Θα γυρίσουμε πίσω, ακτίνα, ναι. Πόσο είναι το εμβαδόν, κανείς? Πειρ τετράγωνο, εντάξει, δεν πειράζει, πειρ τετράγωνο. Είναι πίφορες δηλαδή το τετράγωνο της ακτίνας, έτσι? 3,14159, θυμάμαι τα πρώτα πέντε ψηφία απ' έξω, επί την το τετράγωνο της ακτίνας, αυτό είναι το εμβαδόν α, εκεί, ναι. Λοιπόν, άρα βρίσκω, προσέξτε, ότι η ροή είναι 54 μονάδες ροής, οι οποίες μονάδες ροής, το θυμόμαστε νιούτων επί μέτρους στο τετράγωνο ανακουλόμπ. Λοιπόν, η ολική ροή τώρα στραφεί έτσι στο τετροπίπεδό του να είναι παράλληλο προς το πεδίο ε. Τότε, το συνημήτωνό της γωνίας που σχηματίζει κάθετος πάνω στο δίσκο με το πεδίο, έτσι, αφού αυτή η γωνία είναι 90 μήρες, το συνημήτωνό της είναι μηδέν, πράγμα το οποίο σημαίνει ότι και η ροή είναι μηδέν, δεν έχω ροή καθόλου. Αν τώρα βάλω τον δίσκο κάθετα στο πεδίο, τότε η ροή βγαίνει εφαρμόζοντας πάλι τον προηγούμενο τύπο, έτσι, το συνημήτωνο φύ. Εν προκειμένου είναι 1, είναι η μέγιστη τιμή γιατί είναι μηδέν μήρες μεταξύ της καθέτου στον δίσκο μεσχωρείται και του πεδίου, είναι μηδέν μήρες αυτής της γωνίας που σχηματίζει κάθετος στο πεδίο με το πεδίο, κατά συνέδεια το συνημήτωνο είναι 1, άρα η ροή βγαίνει 63 μονάδες. Να γυρίσω λίγο πίσω, όταν είναι κάθετος ο δίσκος είναι 63 μονάδες, όταν ο δίσκος είναι παράλληλος είναι μηδέν και όταν είναι κάπου ενδιάμεσα είναι 54. Δηλαδή την μέγιστη τιμή, προσέξτε είναι 54 εδώ, την μέγιστη τιμή της ροής την παίρνει όταν ο δίσκος είναι κάθετος και αυτό είναι λογικό, είναι το συνημήτωνο εκεί που παίρνει τη μέγιστη τιμή. Έχουμε καμιά πορεία μέχρι εδώ, γιατί τώρα θα πάμε σε άλλες έννοιες λίγο πιο περίπλοκες. Διάλειμμα θα κάνουμε στη μέση περίπου, ένα και μοναδικό, σε λίγο δηλαδή, στη μέση του μαθήματος. Τώρα θα πάω να κάνω κάτι το οποίο θα με οδηγήσει πολύ μακριά, πολύ μακρύτερα από το τι φαντάζομαι στην αρχή. Θα θεωρήσω ένα θετικό φορτίο στο κέντρο ενός μιας σφαίρας. Θα δώσω μια αριθμητική τιμή στην ακτίνα της σφαίρας, θα πω ότι είναι 0,2 μέτρα, 20 εκατοστά δηλαδή. Το θετικό φορτίο είναι στο κέντρο της σφαίρας και θέλω να βρω την ηλεκτρική ροή διαμέσου της σφαίρας. Θυμηθείτε, έχω σημιακό φορτίο στο κέντρο της σφαίρας. Άρα το πεδίο που δημιουργείται, βάσει του νόμου του κουλόμπου, έχει ακτινική συμμετρία, έτσι δεν είναι. Είναι ακτινικό δηλαδή, έτσι, ως το σημιακό φορτίο. Και εγώ βάζω τώρα μια νοητή σφαίρα κάπου, εκεί, και λέω, από τη σφαίρα αυτή, ποια είναι η ροή, τι θα κάνω για να το βρω. Καταρχάς αρχίζουμε, μπράβο, το εναντίον της σφαίρας, το χρειάζομαι. Αρχίζω από τα βασικά όμως, το πεδίο είναι ομογενές, κανείς, δυνατά παιδιά, δεν είναι, δυνατά πείτε τώρα, όχι, μπράβο, γιατί δεν είναι ομογενές, εξηγήστε το λίγο. Μπράβο, δεν έχει την ίδια κατεύθυνση, δεν είναι το ίδιο, πάρα πολύ απλά. Μπορεί πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας να έχει ίδιο μέτρο, και έχει ίδιο μέτρο παντού, γιατί το πεδίο βάσει του νόμου του Κουλόμ, θα είναι αντιστρόφος ανάλογο με το τετράγωνο της απόστασης. Το είπαμε πριν, το αναφέραμε και στον πίνακα τον οποίο δώσαμε. Έτσι, το πεδίο, εν προκειμένου για το σημιακό φορτίο, θα είναι 1 προς 4π ε0, έτσι, q προς r στο τετράγωνο, θα είναι αντιστρόφος ανάλογο με το τετράγωνο της απόστασης βάσει του νόμου του Κουλόμ. Άρα πάνω στη σφαίρα θα έχει παντού την ίδια την ί, γιατί η σφαίρα έχει το ίδιο r προς όλες τις κατευθύνσεις. Άρα δεν είναι όμως ομογενές, γιατί το πεδίο είναι διανισματικό μέγεθος και η κατεύθυνση προφανώς αλλάζει πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας. Πώς θα το λύσω αυτό? Τι θα κάνω για να το λύσω? Θα πάρω τον τύπο της ροής, έτσι, αλλά με τη μόνη διαφορά θα τον πάρω για ένα στοιχειώδας κομματάκι πάνω στη σφαίρα και θα κάνω ολοκλήρωση μετά για να το εμβαδώνω όλη στη σφαίρα. Πολύ απλά, αφού το πεδίο δεν είναι ομογενές, έτσι, θυμηθείτε, δεν είναι ομογενές. Λοιπόν, άρα το πεδίο σε απόσταση r είναι αυτό που έγραψα πριν, εγώ εδώ κάτω, βάσει του νόμου του Κουλόμ. Άρα το μέτρο του πεδίου πάνω στη σφαίρα είναι παντού το ίδιο, η κατεύθυνσή του δεν είναι η ίδια όμως, έτσι, το είπαμε, το επαναλαμβάνω πολλές φορές εμφανικά. Το πεδίο είναι κάθετο πάνω στη σφαίρα γιατί ξέρουμε ότι το πεδίο έχει ακτινική συμμετρία. Το είχαμε αποδείξει στο προηγούμενο μάθημα, το πεδίο σημιακού φορτίου έχει ακτινική συμμετρία. Άρα είναι παντού, αφού το σημιακό φορτίο εγώ το θεώρησα στο κέντρο της σφαίρας, άρα το πεδίο παντού πάνω στη σφαίρα θα είναι κάθετο πάνω στη σφαίρα. Επομένως θα είναι κάθετο σε κάθε στοιχειώδες κομματάκι. Και επομένως στο στοιχειώδες αυτό κομματάκι η κάθετη συμμιστόσα θα είναι το ίδιο το πεδίο. Δεν υπάρχει συμμιστόσα δηλαδή εφαρτομενική πάνω στη σφαίρα. Το ίδιο το πεδίο είναι και η κάθετη συμμιστόσα του, είναι μόνο αυτή. Επομένως, αν πάρω έναν τύπο που θεωρώ ότι ένα στοιχειώδες κομματάκι πάνω στη σφαίρα, να αυτή είναι η σφαίρα μου μεγάλη και εγώ παίρνω ένα στοιχειώδες κομματάκι πάνω εκεί, ένα στοιχειώδες εμβαδόν. Το πεδίο θα είναι κάθετο εκεί πέρα, θέλοντας και μη. Κατά συνέπεια η ροή από το στοιχειώδες αυτό εμβαδόν θα είναι η κάθετη συμμιστόσα, δηλαδή το ίδιο το πεδίο, επί το εμβαδόν αυτό το στοιχειώδες, Δα, ωραία. Ολοκληρώνω για όλα τα στοιχειώδη εμβαδά έτσι ώστε να πάρω την σφαίρα. Να η ολοκλήρωση. Έτσι και έρχομαι τώρα και έχω αυτή τη μαθηματική σχέση εδώ, την πρώτη. Ξέρω όμως ότι το πεδίο πάνω στη σφαίρα είναι σταθερό, κατά μέτρο. Άρα το ε δεν μεταβάλλεται στην ολοκλήρωση και το βγάζω έξω από την ολοκλήρωση. Έχω επομένως το ολοκλήρωμα του εμβαδού, το ολοκλήρωμα του στοιχειώδους τμήματος έτσι. Αυτό είναι προφανές ότι είναι το εμβαδόν όλης της σφαίρας. Άρα είναι το ολοκλήρωμα του στοιχειώδους τμήματος της σφαίρας για όλα τα στοιχειώδη τμήματα θα είναι το εμβαδόν της σφαίρας Α, το οποίο πολλαπλασιαζόμενο επί την κάθετη συμμιστόσα, στην ουσία επί το πεδίο το ίδιο, γιατί μόνο κάθετη συμμιστόσα έχει πάνω στη σφαίρα, θα μου δώσει την ροή. Επομένως η ροή ανάποδα είναι το πεδίο επί το εμβαδόν της σφαίρας. Το εμβαδόν της σφαίρας είναι 4πρ τετράγωνο. Άρα μπορώ να βάλω τις αριθμητικές τιμές που μου δίνει η άσκηση για το πεδίο, που είναι 6,75 x 10⁵ νΩ. Και το εμβαδόν, το οποίο βρίσκεται έχοντας την ακτίνα που είναι 20 εκατοστά, δηλαδή 0,2 του μέτρου, να βρω μια αριθμητική τιμή. Θα το διερευνήσω όμως αυτό, γιατί αυτό θα με οδηγήσει σε κάτι πολύ πιο σπουδαίο τώρα. Η ακτίνα της σφαίρας δεν παίζει κανένα ρόλο στον υπολογισμό. Ξέρετε γιατί δεν παίζει κανένα ρόλο. Γιατί αν πάρω τον πολλαπλασιασμό αυτόν, τον οποίο θεωρήσα ε' x 4πρ τετράγωνο, κοιτάξτε και βάλω και την τιμή του πεδίου. Κοιτάξτε τι γίνεται. Το πεδίο πάνω στη σφαίρα είναι αντιστρόφος ανάλογο του τετραγώνου της απόστασης από το κέντρο, γιατί στο κέντρο εγώ τοποθέτησα το σημιακό φορτίο εκείνο το οποίο δημιουργεί το πεδίο. Επομένως θα δίνεται βάση του νόμου του Κουλόμ από τον τύπο αυτόν, το εμβαδόν της σφαίρας είναι αυτό, αυτό με αυτό θα απαληθεί και κοιτάξτε τι μένει. Μένει ότι η ροή είναι ανάλογη του φορτίου. Το ε0 δεν με ενδιαφέρει, είναι μια σταθερή. Η ροή επομένως είναι ανάλογη του φορτίου και η ακτίνα της σφαίρας δεν παίζει κανένα ρόλο. Κανένα ρόλο στους υπολογισμούς μου, στην πραγματικότητα. Μπορεί να χρησιμοποίησα εκεί την ακτίνα της σφαίρας πάνω αλλά μπορούσα να μην το είχα κάνει. Αν είχα γαργαλήσει λίγο περισσότερο τον τύπο εδώ και έφτανα στο συμπέρασμα αυτό. Αυτό το συμπέρασμα είναι γνωστό όνως νόμος του Γκάους. Η ολική ροή που περνά μια κλειστή επιφάνεια είναι ανάλογη του ελεκτρικού φορτίου που περιέχεται μέσα στην επιφάνεια. Κατέληξα δηλαδή για μια πολύ ειδική περίπτωση, θεωρώντας σημιακό φορτίο τοποθετημένο στο κέντρο σφαίρας. Κατέληξα να βρω ότι η ακτίνα της σφαίρας δεν παίζει κανένα ρόλο. Το γενικέδρο αυτό χωρίς απόδειξη, η απόδειξη είναι παρακάτω, δεν θα την κάνω. Θα κάνουμε μόνο την απόδειξη για σφαιρική επιφάνεια, την οποία ήδη έχουμε πραγματοποιήσει μέσω της άσκησης. Και όχι για οποιαδήποτε επιφάνεια, ακανόνιστη. Σας λέω όμως ότι ισχύει και για ακανόνιστη επιφάνεια. Η απόδειξη υπάρχει και στις διαφάνειες γραμμένοι και στο βιβλίο μέσα. Δεν θα αναφερθούμε στο μάθημα όμως εδώ. Λοιπόν, στο παράδειγμα που είπα πριν, κατέληξα στον νόμο του Γκάου στην πραγματικότητα. Είπα ότι η ροή αυτό είναι το συγκεκριμένο παράδειγμα για τη σφαιρική επιφάνεια. Η ροή μέσα από τη σφαιρική επιφάνεια είναι ανάλογη με το φορτίο τοποθετημένο. Έτσι, είναι ανάλογη με το φορτίο το οποίο περιέχεται μέσα στη σφαιρική επιφάνεια και τίποτα περισσότερο. Αυτός είναι ο νόμος του Γκάου. Έτσι, από τους πιο σημαντικούς νόμους της φυσικής. Και όπως θα αποδείξουμε παρακάτω, ισοδύναμος του νόμου του Κουλόμπ, κυριολεκτικά ισοδύναμος. Ό,τι βγάλαμε από τον νόμο του Κουλόμπ, μπορούσαμε να το έχουμε βγάλει από τον νόμο του Γκάου. Αρχίζοντας από τον νόμο του Γκάου και όχι από τον νόμο του Κουλόμπ. Λοιπόν, η ροή δεν εξαρτάται από την ακτίνα της σφαίρας. Αν πάρω, επομένως εγώ, όπως σας είπα, μια φανταστική σφαίρα, ο συγκεκριμένος τύπος είδαμε ότι απέδειξε τον νόμο του Γκάου. Αν θεωρήσω, δηλαδή, τον νόμο του Γκάου σαν αξίωμα και λέω, πάω για να το αποδείξω. Ωραία, θεωρώ μια σφαίρα. Τι γίνεται, θα πάρω αυτόν τον με τύπο, άρα για τη σφαίρα αποδεικνύεται ο νόμος του Γκάου. Αποδεικνύεται ο νόμος του Γκάου και σας λέω ότι αποδεικνύεται για οποιαδήποτε επιφάνεια. Αυτός είναι ο κύριος Γκάου, ο υπονομαζόμενος και πρίγκιπας των μαθηματικών. Εδώ απεικονίζεται σε πολύ μεγάλη ηλικία. Λοιπόν, θα θεωρήσω τώρα δύο ομόκεντρες σφαίρες με ακτίνες R και δύο R. Έτσι, και σύμφωνα με τον νόμο του Κουλόμπ, δηλαδή μια σφαίρα εδώ, που έχει ακτίνα R και μια σφαίρα εξωτερική που έχει ακτίνα δύο R. Δύο φορές, δηλαδή, έτσι. Σύμφωνα με τον νόμο του Κουλόμπ, το πεδίο στην εξωτερική επιφάνεια θα είναι 1 τέταρτον αυτούνου που είναι στην εσωτερική επιφάνεια, έτσι. Νόμος του Κουλόμπ, αντιστρόφως ανάλογο με το τετράγωνο της απόστασης, έτσι. Άρα το πεδίο στην εξωτερική επιφάνεια θα είναι 1 τέταρτον, μειωμένο κατά 1 τέταρτον, του πεδίου της εσωτερικής επιφάνειας, έτσι. Αφού οι δύο σφαίρες για τις οποίες μιλάω έχουν ακτίνα R και δύο R. Ωραία. Όμως το εμβαδόν της μεγάλης σφαίρας, το εμβαδόν της εξωτερικής, είναι τέσσερις φορές περισσότερο από το εμβαδόν της εσωτερικής σφαίρας. Εντάξει. Επίσης θυμηθείτε ότι το συναλλικός αριθμός δυναμικών γραμμών που περνάει τις δύο σφαίρες είναι ίδιος. Δηλαδή, αν θεωρήσω φορτίο στο κέντρο της εσωτερικής σφαίρας, οι δυναμικές γραμμές, οι γραμμές πεδίου που τέμνουν την εσωτερική σφαίρα είναι οι ίδιες που τέμνουν και την εξωτερική. Προχωράνε μετά και τέμνουν και την εξωτερική, είναι ίδιες δηλαδή. Λοιπόν, ό,τι ισχύει για όλη τη σφαίρα, ναι οι δύο σφαίρες. Η μία εσωτερική που έχει ακτίνα R, η δε εξωτερική έχει ακτίνα δύο R. Εκεί. Λοιπόν, και λέω εγώ ότι ό,τι ισχύει για όλη τη σφαίρα, ισχύει και για τμήμα της επιφάνειάς της. Να είναι ένα τμήμα της επιφάνειας της σφαίρας, της εσωτερικής σφαίρας πάντα, η οποία είναι διάλφα. Έτσι, προφανώς αν αυτή προβληθεί στην εξωτερική σφαίρα θα έχει εμβαδόν τέσσερα διάλφα. Έτσι δεν είναι, προβολή. Άρα η ηλεκτρική ροή είναι ίδια όμως και για τα δύο αυτά εμβαδά. Ηλεκτρική ροή από το εμβαδόν αυτό θα είναι ίδια με την ηλεκτρική ροή από το εμβαδόν εκείνο. Που είναι τέσσερις φορές περισσότερο. Λοιπόν, αν τώρα αντί της εξωτερικής σφαίρας θεωρήσω μια ακανόνιστη επιφάνεια και κάνω κάποιες λογικές σκέψεις που δεν θα τις αναφέρουμε εδώ αναλυτικά, αλλά θα τις βρείτε γραμμένες μέσα στις σημειώσεις, κατά λίγο να αποδείξω το νόμο του Γκάους για ακανόνιστη επιφάνεια. Άρα ο νόμος του Γκάους ισχύει για οποιαδήποτε επιφάνεια. Έτσι, που μας λέει ότι η ροή από την επιφάνεια αυτή είναι ίση με το φορτίο το οποίο περιέχεται μέσα στην επιφάνεια διερημένο για τη σταθερή ε0. Λοιπόν, νόμος του Γκάους στη γενή κευσί του. Ο νόμος του Γκάους είναι μέσα από οποιαδήποτε επιφάνεια, οποιοδήποτε σχήματος. Η ροή μέσα από την επιφάνεια αυτή είναι ανάλογη του ελεκτρικού φορτίου που περιέχεται μέσα στην επιφάνεια. Και αυτό είπαμε ότι την γενική απόδειξη απλώς δεν την κάναμε με λεπτομέρεια εδώ. Το αποδείξαμε μόνο για σφαίρα, όταν η εξωτερική επιφάνεια σφαίρα. Αποδεικνύεται ότι ισχύει για οποιαδήποτε σχήματος, οποιοδήποτε σχήματος επιφάνεια. Αυτό να θυμηθούμε λίγο τις συμβάσεις μας, ότι η ολική ροή είναι θετική όταν το πεδίο κατευθύνεται προς το εξωτερικό της επιφάνειας και αρνητική όταν κατευθύνεται προς το εσωτερικό της. Εντάξει. Και πολύ εύκολα βγαίνει αυτό, γιατί όταν κατευθύνεται προς το εσωτερικό της το πεδίο, τότε το διάνισμα το κάθετο στην επιφάνεια και το πεδίο σχηματίζουν γωνία με τα μεγαλύτερη των 90 μυρών, άρα το συνειμήτωνο είναι αρνητικό. Συμφωνήσαμε με το καταλαβαίνουμε αυτό, το καταλαβαίνουμε κυρίες και κύριοι αυτό, για να προχωρήσουμε παρακάτω. Χωρίς φόβο και πάθος, οπουδήποτε υπάρχει απορία θα με διακόπτεται, θα το συζητάμε και θα προχωρούμε παρακάτω. Δεν μπορούμε να αφήνουμε σκοτεινά σημεία εδώ, έτσι. Λοιπόν, άρα ακολουθώ τώρα τους λογικούς συλλογισμούς μου. Όταν έχω μια κλειστή επιφάνεια, η οποία δεν περιέχει φορτίο καθόλου, όπως η συγκεκριμένη, τότε πως θα είναι η ροή μέσα από την επιφάνεια αυτή. Θυμηθείτε ο νόμος του Γκάουσ, μας λέει ότι η ροή ισούται με το φορτίο το οποίο περιέχεται μέσα στην επιφάνεια, διά την σταθερή ε0. Εδώ δεν περιέχεται στο συγκεκριμένο παράδειγμα φορτίο μέσα στην επιφάνεια αυτή. Να η επιφάνεια αυτή, φανταστείτε ότι είναι ένα γιγάντιο φασόλι, εντάξει όπως είναι σχεδιασμένο, και έχει κάπου έξω ένα φορτίο. Πόση είναι η ροή τώρα μέσα από την επιφάνεια αυτή. Κανείς. 0. Ακριβώς 0. Άρα η ροή είναι 0 και όσες δυναμικές γραμμές εισέρχονται, τόσες εξέρχονται από την επιφάνεια. Αυτό σημαίνει. Η ροή είναι 0 πια μέσα, έτσι. Ή αλλιώς με τον όμο του Γκάους μπορούμε να πούμε ότι αφού στην επιφάνεια αυτή μέσα δεν περιέχεται φορτίο, τότε η ροή μέσα από αυτή είναι 0 πάντοτε. Για να το κάνουμε τώρα υπομορφή, αφού γενικεύσουμε, θα κάνουμε μια άσκηση πάνω σε αυτό. Λοιπόν, αν η επιφάνεια περιέχει προφανώς περισσότερα του ενός φορτίου, φορτία, τότε ο νόμος του Γκάους γενικεύεται και παίρνει αυτή τη συγκεκριμένη μαθηματική μορφή την οποία αναγράφεται εδώ στη διαφάνεια. Το Q enclosed, enclosed, αυτά είναι τα πρώτα τέσσερα γράμματα της λέξης enclosed, της αγγλικής, περιεχόμενο δηλαδή, έτσι είναι το φορτίο το οποίο περιέχεται μέσα στην επιφάνεια. Λοιπόν, άρα τα φορτία έξω από την επιφάνεια δεν συνεισφέρουν στη ροή. Α, το κυκλάκι είναι επί επιφάνεια, ο κλειστό ολοκλήρωμα δηλαδή πάνω στην επιφάνεια. Είναι πιο πιένο έρχεται. Από λάθος του editor των εξισώσεων, του equations editor δεν έχει μπει ακριβώς πάνω στο ολοκλήρωμα. Εντάξει, δεν σημαίνει τίποτα. Λοιπόν, αυτό επομένως, αν το περιεχόμενο φορτίο είναι μηδέν, τότε και η ροή είναι μηδέν. Προσέξτε τι κάναμε μέχρι τώρα, έτσι, αποδείξαμε το νόμο του Gauss ξεκινώντας από το νόμο του Coulomb. Θυμηθείτε, πήρα σφαίρα, έτσι, πήρα πρώτο σφαίρα και φορτίο το οποίο περιέχεται μέσα στη σφαίρα. Άρα χρησιμοποίησα το νόμο του Coulomb, έτσι, είχα βρει το πεδίο πάνω στη σφαίρα με το νόμο του Coulomb και από αυτό κατέληξα στο νόμο του Gauss. Στη συνέχεια θα αποδείξουμε ότι μπορώ να κάνω και το ανάποδο, δηλαδή να πάω από το νόμο του Gauss να βρω το νόμο του Coulomb. Ξέρετε αυτό τι σημαίνει, ότι οι δύο νόμοι είναι ισοδύναμοι, δηλαδή είναι οι δύο όψεις του ίδιου νομίσματος. Λένε το ίδιο πράγμα, οι δύο νόμοι, με διαφορετικά λόγια. Θα κάνουμε το παράδειγμα αυτό και θα κάνουμε μετά διάλειμμα. Θέλω να μου βρείτε την ηλεκτρική ροή δια μέσου των επιφάνιων Α, Α είναι αυτή η επιφάνεια, A, B, C και D αυτές οι επιφάνειες. Τα φορτία βλέπετε είναι το θετικό φορτίο τοποθετημένο μέσα στην επιφάνεια Α και το αρνητικό φορτίο τοποθετημένο μέσα στην επιφάνεια B. Ωραία, να αρχίσω από ένα-ένα. Η ροή μέσα στην επιφάνεια Α ποια θα είναι? Κάποιος? Όχι, εντάξει. Επειδή ξέρω όμως ήδη από το νόμο του Γκάους, χρησιμοποίησα τον, ότι η ροή μέσα στην επιφάνεια Α θα είναι το φορτίο δια ε0. Δεν μας λέει ο νόμος του Γκάους, σωστά? Ωραία. Για πες μου τώρα η ροή μέσα από την επιφάνεια Β, δηλαδή αυτή... Όχι, το φορτίο δια ε0. Παρα πολύ απλά. Έτσι? Το φορτίο που περιέχεται μέσα στην επιφάνεια Β, που είναι αυτό εκεί, δια ε0. Αυτό, δεν είπαμε ότι είναι η ροή, από το νόμο του Γκάους. Λοιπόν, γράφω το νόμο του Γκάους. Γιατί φαίνεται ότι δεν το κατανοήσαμε καλά. Ο νόμος του Γκάους μας λέει ότι η ροή μέσα από μια επιφάνεια είναι το φορτίο, το οποίο περιέχεται στην επιφάνεια δια ε0. Αυτός είναι ο νόμος του Γκάους. Απλά. Τώρα, η επιφάνεια Ά του παραδείγματος... Η επιφάνεια Ά του παραδείγματος αυτή, περιέχει φορτίο, περιέχει το θετικό φορτίο αυτό. Άρα, η ροή μέσα από την επιφάνεια Ά είναι το φορτίο που περιέχεται διεψιλων μηδέν. Επομένως, η ροή μέσα από την επιφάνεια Ά που άρχισα είναι διαφορετική του μηδενός. Από την επιφάνεια Β, επίσης είναι διαφορετική του μηδενός, γιατί η επιφάνεια Β είναι αυτή, περιέχει φορτίο. Από την επιφάνεια Σ όμως, προσέξτε την επιφάνεια Σ. Η επιφάνεια Σ, η μεγάλη, περιέχει φορτίο μέσα? Περιέχει, αλλά έχει αλγευρικό άθρυμα μηδέν το φορτίο που περιέχει. Περιέχει αυτό και αυτό που είναι ίσα. Άρα, έχει αλγευρικό άθρυμα μηδέν. Άρα, η ροή μέσα από την επιφάνεια Σ, τη μεγάλη αυτή επιφάνεια, θα είναι μηδέν. Εντάξει? Γιατί περιέχει με ένα φορτίο μέσα η επιφάνεια, αλλά έχει αλγευρικό άθρυμα μηδέν το φορτίο. Ναι? Μ' άλλα λόγια, πόσες γραμμές πεδίου βγαίνουν, τόσες μπαίνουν στην επιφάνεια. Μπορείτε να το δείτε από τη διαφάνεια αυτή που έχουν χαρακθεί και οι γραμμές του πεδίου απάνω. Αντίστοιχα, την επιφάνεια D που είναι εδώ έξω. Η επιφάνεια D δεν περιέχει φορτίο μέσα. Άρα, η ροή μέσα από αυτή θα είναι μηδέν. Το καταλάβαμε? Για το παράδειγμα, ιδίως προσέξτε τη ροή μέσα από την επιφάνεια Σ, από τη μεγάλη, η οποία είναι μηδέν γιατί το Q enclosed αυτό εκεί είναι μηδέν αλγευρικά. Αυτά τα δύο φορτία είναι ίσα. Αυτό δεν συμβαίνει μέσα από την επιφάνεια Α για τη ροή μέσα από την επιφάνεια Α, όπου περιέχει το θετικό φορτίο αυτό. Νομίζω ότι αρκετά καλεπορηθήκατε, 10 λεπτά όμως. Λοιπόν, θεωρώ ένα στερεό συμπαγιαγωγό. Και έστω ότι βάζω φορτίο, του βάζω συνεχώς φορτίο μέσα. Καταρχάς, τι ξέρω μέχρι σήμερα, ότι το φορτίο που βάζω στον αγωγό, θα κατανεμηθεί στην επιφάνεια του, έτσι δεν είναι? Γιατί είπαμε ότι τα φορτία σπρώχουν το ένα με το άλλο, και αφού ο αγωγός επιτρέπει την κίνησή τους, θα τελειώσει την επιφάνεια του. Και μάλιστα θα πάρουν τέτοια θέση, ώστε το πεδίο που δημιουργείται μέσα στον αγωγό να είναι μηδέν. Έτσι δεν είναι? Το πεδίο στο εσωτερικό του αγωγού θα είναι μηδέν. Ωραία. Να θεωρήσω εγώ αυτό τον αγωγό, θεωρώ ότι του βάζω φορτία, τα φορτία αυτά όπως είπαμε το επαναλαμβάνω, θα διακονιστούν το ένα με το άλλο, θα σπρωχτούν δηλαδή, και θα πάνε στην επιφάνεια του αγωγού. Με τέτοιο τρόπο μάλιστα θα πάνε έτσι ώστε να δημιουργεί το πεδίο εσωτερικά του αγωγού να είναι μηδέν. Αφού το πεδίο εσωτερικά του αγωγού θα είναι μηδέν, θα είναι μηδέν και σε οποιοδήποτε επιφάνεια, την οποία θα λέω εγώ από εδώ και πέρα καουσιανή, νοητή επιφάνεια δηλαδή μέσα στο μυαλό μου την έχω, μέσα στον αγωγό. Έτσι, έχω τον αγωγό εδώ και θεωρώ μια καουσιανή επιφάνεια, μια νοητή επιφάνεια δηλαδή μέσα στον αγωγό. Εντάξει, κλειστεί. Σύμφωνοι? Αφού το πεδίο είπα ότι μέσα στον αγωγό είναι μηδέν, θα είναι και μηδέν πάνω στην επιφάνεια αυτή. Στην καουσιανή επιφάνεια μέσα. Σωστά? Αυτή η επιφάνεια θα είναι μηδέν. Αυτή η επιφάνεια μέσα. Σωστά? Αυτή η επιφάνεια, έστω ότι παίρνω μια τομή του αγωγού, κόβω δηλαδή τον αγωγό κάπου και βλέπω την τομή της εξωτερικής επιφάνειας του αγωγού με τα φορτία και την τομή της καουσιανής επιφάνειας, η οποία είναι η α. Εντάξει, το επαναλαμβάνω εμφανικά. Έχω τον αγωγό, ένα στερεό σώμα φανταστείτε, με φορτία, τα φορτία θα πάνε στην επιφάνεια του στερεού αυτού στόματος και μέσα στον αγωγό έχω μία καουσιανή επιφάνεια, μία επιφάνεια δηλαδή νοητή. Και είπα ότι το πεδίο θα είναι μηδέν πάνω στην επιφάνεια αφού είναι παντού μέσα στον αγωγό. Επομένως, βάσει του νόμου του καους, αφού το φορτίο θα είναι μηδέν πάνω στην επιφάνεια α, δεν μπορεί να υπάρχει φορτίο στο εσωτερικό αυτής της επιφάνειας, στο εσωτερικό της α. Εντάξει, ωραία, να το προχωρήσω λίγο παρακάτω. Η επιφάνεια αυτή μπορεί για να συρρικνωθεί, τη θεώρησε έτσι, υποδεθείστο τώρα ότι αρχίζει και συρρικνώνεται. Και ακόμα περισσότερο μπορεί να καταρρεύσει, δηλαδή μπορεί να συρρικνωθεί τόσο που να φτάσει για να γίνει ένα σημείο. Αφού δεν υπάρχει φορτίο, επομένως δεν υπάρχει φορτίο στο σημείο αυτό και θεώρησα ότι το σημείο αυτό είναι ένα τυχαίο σημείο μέσα στον αγωγό. Κατά συνέπεια δεν υπάρχει φορτίο πουθενά μέσα στον αγωγό. Κατέληξα, δηλαδή, στο ίδιο συμπέρασμα με ό,τι πριν. Κατέληξα ότι δεν μπορεί να υπάρξει φορτίο πουθενά μέσα στον αγωγό. Αρχίζοντας τους συλλογισμούς μου από το ότι δεν μπορεί να υπάρξει πεδίο. Ο αρχικός συλλογισμός μου είδε ότι δεν μπορεί να υπάρξει πεδίο μέσα στον αγωγό και από εκεί και πέρα χρησιμοποίησα τον νόμο του Γκάους με τη νοητή επιφάνεια και καταλήγω ότι δεν μπορεί να υπάρξει και φορτίο. Αν δεν υπάρχει πεδίο, δεν υπάρχει φορτίο. Μέσα στον αγωγό. Από εδώ και πέρα όλες οι ασκήσεις που έχουν σχέση με το νόμο του Γκάους λύνονται κατά κάποιο τρόπο με νοητό τρόπο, δηλαδή με αλληλοδιαδοχή λογικών συμπερασμάτων, όπως εδώ. Θα θεωρώ τώρα το πεδίο μιας συμπαγούς αγώγημης σφαίρας. Να η σφαίρα αυτή την οποία θεωρώ συμπαγή και θεωρώ φορτισμένη, άρα τα φορτία θα κατανεμηθούν στην επιφάνεια της σφαίρας και ξέρω εγώ ότι το πεδίο έξω από τη σφαίρα έχει ακτινική συμμετρία. Κι αν θεωρήσω μια επιφάνεια καουσιανή αυτή εδώ, η οποία περιβάλλει τη σφαίρα, τότε και μάλιστα τη θεωρώ αυτή την καουσιανή επιφάνεια σε απόσταση r μικρό από το κέντρο της σφαίρας. Λοιπόν, ξέρω από αυτά που είπαμε μέχρι τώρα ότι το πεδίο είναι ομογενές πάνω στη σφαίρα αυτή, πάνω στην καουσιανή αυτή επιφάνεια και έχει διεύθυνση που είναι κάθετη στην επιφάνεια αυτή. Επομένως, αν κάνω την ολοκλήρωση του νόμου του γκάους που την έκανα πριν, θα καταλήξω στη σχέση αυτή την οποία θεώρησα και σαν απόδειξη του νόμου του γκάους σε μια προηγούμενη άσκηση. Όταν το φορτίο όμως εκεί δεν ήταν πάνω στη συμπαγγή σφαίρα αλλά ήταν σε ένα σημείο. Το θεώρησα ως απόδειξη του νόμου του γκάους. Καταλήγω πάλι στο ίδιο εδώ. Αν θεωρήσω δηλαδή τη συμπαγγή σφαίρα και θεωρήσω καουσιανή επιφάνεια αυτήν εδώ, η οποία βρίσκεται σε απόσταση r μικρό από το κέντρο της σφαίρας, τότε θεωρώντας τη ροή μέσα από την καουσιανή αυτή επιφάνεια, καταλήγω πάλι στο νόμο του γκάους. Καταλήγω δηλαδή με την ολοκλήρωση να βρω ότι η ροή μέσα από την επιφάνεια αυτή είναι ανάλογη του φορτίου το οποίο περιέχεται. Γιατί Q είναι το φορτίο όλης της σφαίρας, εδώ. Άρα καταλήξαμε στο ίδιο συμπέρασμα. Και βέβαια προσέξτε τώρα κάτι παραπάνω. Από την τελευταία αυτή σχέση, αν τη λύσω ως προς ε, τη λύσω δηλαδή ως προς το πεδίο, καταλήγω ότι το πεδίο πάνω στη σφαίρα, εδώ, το πεδίο ε, θα έχει μέτρο που δίνεται από τη σχέση αυτή. Σας θυμίζει τίποτα αυτή η σχέση? Είναι η σχέση η οποία βρήκα από το νόμο του κουλόμπ, έτσι, για απόσταση r από σημειακό φορτίο ή μακριά από σφαίρα. Πάλι, σωστά. Άρα τι έγινε, χρησιμοποίησα τώρα εγώ το νόμο του γκάους, άρχισα από το νόμο του γκάους, αυτός είναι ο νόμος του γκάους, εδώ. Η ολοκλήρωση είναι από το νόμο του γκάους. Εντάξει, η ροή δηλαδή θα είναι ανάλογη του φορτίου το οποίο περιέχεται. Ο νόμος του γκάους, αυτή είναι η ροή, αυτή εδώ δηλαδή, είναι ίση με το φορτίο το οποίο περιέχεται μέσα στην καουσιανή επιφάνεια αυτή με ακτίνα r, έτσι αυτή εδώ, δια τη σταθερή ε0 και επιλύοντας αυτή τη σχέση βρήκα το πεδίο μεσχωρείται πάνω στην καουσιανή επιφάνεια. Και βλέπω ότου θαύματος ότι είναι η ίδια σχέση στην οποία θα κατέληγα και με το νόμο του κουλόμπ. Ακριβώς τώρα έξω, όταν δηλαδή έχουμε r εδώ, την καουσιανής επιφάνειας είναι ίσο με το r της αγώγινης σφαίρας, έτσι, είναι το πεδίο που βρήκα πριν. Στο εσωτερικό εδώ της σφαίρας έχω ε ίσον μηδέν, το πεδίο είναι μηδέν. Σε πολύ μεγάλη απόσταση τώρα από τη σφαίρα τι γίνεται δηλαδή αν θεωρήσω από την αγώγινη σφαίρα σε πολύ μεγάλη απόσταση και τι γίνεται αν θεωρήσω άλλη σφαίρα εξωτερική αυτών ή ακόμα μεγαλύτερη μια σφαίρα εκεί, εξωτερική, τι γίνεται. Τότε η σφαίρα φαίνεται σαν να είναι σημιακό χορτίο. Τι έγινε, ξέρετε? Κατέληξα στο νόμο του Κουλόμπ πριν, αρχίζοντας από το νόμο του Γκάους. Αυτό έγινε, βρήκα το πεδίο ότι είναι αντιστοφός ανάλογο με το ετοιτράγωνο της απόστασης. Κατέληξα στο νόμο του Κουλόμπ, αρχίζοντας από το νόμο του Γκάους. Επομένως οι δύο νόμοι είναι ισοδύναμοι. Τελεία και πάβλα. Μπορώ να χρησιμοποιήσω οποιοδήποτε από αυτούς τους δύο και θα καταλήξω στα ίδια συμπεράσματα. Έτσι, οι δύο νόμοι είναι ισοδύναμοι. Λοιπόν, εδώ είναι μια γραφική παράσταση του πεδίου για απόσταση από το κέντρο της σφαίρας. Μηδέν είναι το κέντρο της σφαίρας, εκεί. Σε απόσταση ίση με την ακτίνα της σφαίρας, της αγώγυνης, μέχρι εδώ δηλαδή. Το πεδίο είναι μηδέν, βλέπετε, μηδέν, είναι εδώ μέσα. Και από εδώ και πέρα αρχίζει και πέφτει ανάλογα με το αντίστροφο τετράγωνο. Αρχίζει να πέφτει δηλαδή αντίστροφος ανάλογα με το τετράγωνο της απόστασης. Είναι μια γρήγορη πτώση αυτή, βλέπετε. Όσο δηλαδή μετακινούν από το σημείο αυτό από μακρύνων. Εντάξει. Απλώς είναι και μια γραφική παράσταση του πεδίου. Λοιπόν, πάμε τώρα, σε συντομία κιόλας, να βρούμε τις ίδιες σχέσεις που είχα βρει στο προηγούμενο μάθημα, χρησιμοποιώντας τον νόμο του Κουλόμ, αρχίζοντας όμως αυτή τη φορά από τον νόμο του Γκάους. Προσέξτε, μέχρι τώρα απέδειξα ότι οι δύο νόμοι είναι ισοδύναμοι. Δηλαδή, είτε παίρνω τον ένα, είτε τον άλλον, είναι ένα και το αυτό, ένα και του λόγου του αληθές. Θα πάρω τις ίδιες περιπτώσεις κατανομών φορτίων, που θεώρησα στο προηγούμενο μάθημα, έτσι, και θα κάνω την επίλυση αυτή τη φορά, να βρω δηλαδή το πεδίο μακριά από τις κατανομές αυτές, χρησιμοποιώντας όχι τον νόμο του Κουλόμ, όπως έκανα στο προηγούμενο μάθημα, αλλά τον νόμο του Γκάους. Έτσι, και αρχίζω με το απλό παράδειγμα του σύρματος. Φανταστείτε ότι έχω φορτία πάνω σε ένα σύρμα απείρων διαστάσεων. Και αν το σύρμα είναι εδώ, αυτό το χέρι μου ας δούμε, θέλω το φορτίο κάπου εκεί. Το μεσχωρείτε, το πεδίο σε κάποια απόσταση. Έτσι, να το βρω. Λοιπόν, εδώ, ξεκινώντας να κάνω την επίλυση αυτή, με βάση τον νόμο του Γκάους και αν θα κάνω την επίλυση, έτσι, και όχι τον νόμο του Κουλόμ, θεωρώ το φορτίο αναμονάδα μήκους, ότι είναι λ. Είναι λαμδα ελληνικό, μεσχωρείτε, λαμδα ελληνικό μικρό. Είναι το φορτίο αναμονάδα μήκους. Προσέξτε, θεωρήσα ότι ο αγωγός είναι άπειρος, έτσι, εκτείνεται στο άπειρο. Το σύρμα, δηλαδή, αυτό έχει άπειρες διαστάσεις. Πάει στο άπειρο πάνω και κάτω, ε. Άρα, για να μπορέσω να κάνω τη δουλειά μου, αφού θεωρώ ότι έχει φορτίο αυτός ο αγωγός, και το φορτίο είναι ομογενός κατανεμημένο πάνω σε αυτόν, έτσι, μπορώ να πάρω την πυκνότητα του φορτίου. Να πάρω, δηλαδή, το φορτίο αναμονάδα μήκους, για κάποια τμήματα του αγωγού. Σωστά, τμήματα, δηλαδή, του σύρματος αυτού. Λοιπόν, ξέρω από τη συμμετρία του προβλήματος αυτού, ότι το πεδίο είναι ακτινικό. Γιατί τίποτα δεν αλλάζει, αν στρίψω το σύρμα, τίποτα δεν μου λέει ότι θα αλλάξει, δεν αλλάζει απόλυτος τίποτα. Αν το σύρμα στρίψει, κάνει αυτό, και τίποτα δεν αλλάζει, επίσης, για κάποια μετατόπιση, αφού το θεώρησα, παράλληλη μετατόπιση, αφού το θεώρησα άπειρο το σύρμα. Μεσχωρείται, για κάποια μετατόπιση κατά μήκος του σύρματος, δηλαδή, αν το σύρμα το μετατοπίσω έτσι ή έτσι, δεν αλλάζει απόλυτος τίποτα, αφού είναι άπειρο. Αυτό, σωστά. Λοιπόν, το πεδίο, επίσης, δεν μπορεί να έχει συνισθόσα παράλληλη με το σύρμα, γιατί τότε κάτι θα διαφοροποιούσε το ένα άγριο από το άλλο. Αυτές είναι σχέσεις συμμετρίας. Επίσης, δεν μπορεί να έχει συνισθόσα εφαπτόμενη σε κύκλο, με κέντρο το σύρμα, γιατί τότε θα πρέπει να εξηγηθεί, γιατί έχει τη μία φορά και όχι την άλλη. Γιατί έχει τη μία φορά και όχι την άλλη. Αυτές είναι σχέσεις συμμετρίας που μου χρειάζονται, για να προχωρήσω. Λοιπόν, θεωρώ τώρα όλοι γκαουσιανοί ετυφάνια, ένα κύλινδρο με ακτίνα R, ο οποίος περιβάλλει το σύρμα μου. Και ο κύλινδρος αυτός έχει ύψος L, που σημαίνει ότι αφού το σύρμα είναι στον άξονα του κυλίνδρου, περιέχει μέσα ένα κομμάτι του σύρματος, το οποίο και αυτό θα έχει μήκος L, από εκεί έως εκεί. Λοιπόν, θεώρησα το σύρμα, αυτό εδώ φανταστείτε, και ως την καουσιανή επιφάνεια παίρνω ένα κύλινδρο, ο κύλινδρος εξωτερικά, το οποίο περιβάλλει το σύρμα. Μέσα στην καουσιανή επιφάνεια, το σύρμα έχει μήκος όσο και το ύψος του κυλίνδρου, όπως παίρνω εδώ στο χέρι μου, για να μπορέσω να χτίσω τις σχέσεις που μου χρειάζονται. Και βέβαια έχω και τις σχέσεις συμμετρίας, τους οποίες ανέφερα πριν, που είπαμε ότι δεν μπορεί να υπάρχει συνηστώσα παράλληλη με το σύρμα, δεν μπορεί να υπάρχει συνηστώσα εφαπτόμενη σε ένα κύκλο, με κέντρο το σύρμα και ούτω καθεξής. Λοιπόν, το φορτίο το οποίο περιέχεται μέσα στην καουσιανή μου επιφάνεια, το Q enclosed το οποίο χρησιμοποιούσα στους τύκους, το περιεχόμενο φορτίο, θα είναι λ' ελληνικό μικρό, επί L, το μήκος του σύρματος, το οποίο βρίσκεται μέσα στον κύλινδρο. Τα έχω τα άλλα. Τα έχω τα άλλα. Λοιπόν, εντάξει, κατά συνέπεια, αυτό γιατί, αυτή είναι η γραμμική πυκνότητα, δηλαδή το φορτίο αναμονάδα μήκους, και αυτό είναι το μήκος. Άρα το Q enclosed είναι τόσο φορτίο που περιέχεται μόνο μέσα, το φορτίο που περιέχεται μέσα στον κύλινδρο. Αυτό. Για να εφαρμόσω τώρα το νόμο του Gauss, για την καουσιανή επιφάνεια το κύλινδρο, αυτόν, έτσι, απ' έξω, ο οποίος και να βρω τη ροή μέσα στον κύλινδρο αυτόν. Καταρχάς, ξέρω ότι η ροή μέσα από τις δύο βάσεις του κύλινδρου, δεν μπορεί να υπάρξει, γιατί δεν υπάρχει συνήθως τόσα παράλληλη με το θύρμα. Έτσι. Άρα η ροή μέσα από τη βάση αυτή, και από αυτή είναι μηδέν. Πάμε να βρούμε τη ροή μέσα από την παράπλευρη επιφάνεια, από αυτή. Πόσο είναι αυτή η ροή, καταρχάς, πόσο είναι το εμβαδόν αυτής της επιφάνειας. Έλα, το θυμάται κανείς? Πες το. Όχι, η πυρότετραγόνο είναι το εμβαδόν της βάσης. Εσύ θες την περίμετρο της βάσης, το μήκος της βάσης, επί αυτό. Πες το. Μπράβο, αυτό είναι. Είναι δηλαδή σαν να φανταστείτε ότι ο κύλινδρος είναι αυτός. Προσπάσετε να το φανταστείτε. Έτσι. Οπότε, αυτό εδώ είναι δύο πιάρ, σωστά? Δύο πιρό. Γιατί αν τον ανοίξω τον κύλινδρο, αυτό θα είναι δύο πιάρ, έτσι δεν είναι? Αφού το έκλεισα, δύο πιάρ, και αυτό εδώ είναι το ύψος. Καταλάβεις τώρα? Άρα είναι δύο πιάρ επί το ύψος. Εντάξει, το εμβαδόν αυτής της επιφάνειας, της παράπλευρης. Επίσης, ξέρω από τη συμμετρία του προβλήματος, και με βάση στο τι ανέλησα πριν, ότι έχω συμμιστώσα μόνο κάθετη στην επιφάνεια αυτή. Έτσι? Μόνο κάθετη συμμιστώσα έχω εδώ πάνω, μόνο τέτοια. Δεν έχω άλλη συμμιστώσα. Παιδίου. Είναι από τις σχέσεις συμμετρίας. Λοιπόν, άρα μπορώ να εφαρμόσω το νόμο του γκάους, τώρα, έτσι? Η συδιαφάνεια, απλώς εξηγώ αυτό που είπα μόλις πριν από λίγο. Έτσι? Ότι η ροή μέσα από τις δύο βάσεις είναι μηδέν, άρα είναι η ροή μόνο από την παράπλευρη επιφάνεια του μικυλίνδρου, και το ολοκλήρωμα επομένως, έτσι, που έχει ο νόμος του γκάους μέσα, που είναι ολοκλήρωμα επιφανίας, γιατί το πεδίο είναι σε ίση απόσταση από το σύρμα, σταθερό πάνω στην επιφάνεια παντού, έτσι, και προς τα έξω. Λοιπόν, το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας είναι αυτό που είπαμε πριν, άρα εφαρμόζω το νόμο του γκάους, το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας, να το, επί το πεδίο. Το πεδίο ξέρω ότι έχει μόνο ακτινική, αν θα μπορούσα να το πούμε, συνηστώσα, έτσι, δηλαδή συνηστώσα, κάθετη προς το σύρμα μόνο, η οποία είναι και κάθετη και πάνω στην παράπλευρη επιφάνεια του κυλινδρού, και είναι ίδια παντού, πάνω στον κύλινδρο εδώ πέρα, έτσι, άρα βγαίνει έξω από την ολοκλήρωση, γι' αυτό το έχω ως ε, επί την επιφάνεια, θα είναι το φορτίο που περιέχεται μέσα προς ε0. Το φορτίο που περιέχεται μέσα, είναι το φορτίο εδώ του σύρματος, από κει ως εδώ όμως μόνο, γιατί αυτό περιέχεται μέσα, που είναι η πυκνότητα φορτίου επί το μήκος αυτό, επί ε0. Για να την γαργαλίσω λίγο αυτή τη σχέση, θα μου δώσει αυτό, το μέτρο του πεδίου, είναι αντιστρόφος ανάλογο της απόστασης, έτσι, είναι η ίδια σχέση που κατέληξα στο προηγούμενο μάθημα, χρησιμοποιώντας τον όμο του Γκάους όμως, έτσι, για την ίδια κατανομή φορτίου. Στο προηγούμενο μάθημα, για την ίδια κατανομή φορτίου, δηλαδή για την κατανομή φορτίου πάνω στο σύρμα, χρησιμοποιήσα τον όμο του Γκάους, έτσι, το όμο του Κουλόμ, με συγχωρείται, και κατέληξα στην ίδια σχέση. Εδώ, ξεκίνησα από τον όμο του Γκάους, να η εφαρμογή του όμο του Γκάους, για την ίδια κατανομή φορτίων, και καταλήγω στην ίδια σχέση. Εντάξει, θα μου πεις γιατί μας το λες πάλι, αφού το έχουμε ήδη δηλώσει, απλώς είναι μια εφαρμογή, η οποία μας λέει αυτό που δηλώσαμε πριν, και αποδείξαμε πριν, έτσι, ότι οι δύο νόμοι είναι ισοδύναμοι, έτσι. Μπορώ να χρησιμοποιήσω ή τον ένα, ή τον άλλον. Εγώ θεωρώ ότι πολύ πιο εύκολα λύνω αντιασκήσεις με τον όμο του Γκάους. Είναι σαφές, έτσι, ο νόμος του Γκάους ότι τα λύνει πιο εύκολα. Για να κάνω τώρα και μια διερεύνηση. Αυτό σημαίνει, στην πραγματικότητα, κοιτάξτε, όλο το φορτίο συμμετέχει στη διαμόρφωση του πεδίου, αλλά εμείς κάνουμε τους υπολογισμούς μόνο για το κομμάτι που είναι μέσα στην καουσιανή επιφάνεια. Έτσι, αλλά τι γίνεται, έχουμε λάβει όμως υπόψη όλο το φορτίο, πώς? Όταν κάναμε τις υποθέσεις της συμμετρίας. Εντάξει, όταν κάναμε τις υποθέσεις της συμμετρίας, στην πραγματικότητα, αλλά πήραμε υπόψη μας όλο το φορτίο. Ναι. Λοιπόν, πάμε να βρούμε τώρα το πεδίο για ένα έλασμα απίρων διαστάσεων. Θεωρώ δηλαδή ότι τα φορτία μας κατανέμονται πάνω σε ένα έλασμα, σε ένα φύλλο. Απίρων διαστάσεων όμως, έτσι. Θυμηθείτε ότι στο προηγούμενο μάθημα, χρησιμοποίησα την ίδια κατανομή φορτίων και το νόμο του Λομπου τότε, και βρήκα ποιο είναι το πεδίο σε κάποιο σημείο μακριά από το φύλλο αυτό. Έτσι. Το ίδιο θα κάνω και τώρα, αλλά προσέξτε ποια γαουσιανή επιφάνεια παίρνω τώρα. Εδώ. Παίρνω δηλαδή ένα κύλινδρο πάλι, ο οποίος τένει αυτό το φύλλο, δηλαδή αν ο κύλινδρος είναι αυτός εδώ. Ελπίζω να μην χύνει. Έτσι. Αυτή είναι η καουσιανή επιφάνεια, κάπως έτσι δηλαδή. Εδώ πέρα, εντάξει. Το φύλλο και η καουσιανή επιφάνεια. Αυτή είναι η καουσιανή επιφάνεια τώρα. Και εδώ έχω σχέση συμμετρίας. Αλλά εδώ πριν ξεκινήσω, θα πάρω την επιφανειακή πυκνότητα φορτίου. Έτσι, είναι η επιφανειακή πυκνότητα φορτίου. Είναι δηλαδή το φορτίο αναμονάδα επιφανίας. Για να κάνω τους υπολογισμούς μου. Πάλι έχω σχέση συμμετρίας. Έτσι. Ξέρω ότι το πεδίο έχει το ίδιο μέτρο σε ίση απόσταση από τις δύο πλευρές. Είναι φανερό, γιατί αυτό συνάγεται από τη συμμετρία. Και μόνο. Μέχρι τη γνήση ότι πρέπει να είναι το ίδιο, λέω, σε ίση απόσταση από τις δύο πλευρές. Ανεξάρτητα που είμαι δηλαδή, αυτή είναι η καουσιανή επιφάνεια. Και εδώ είναι η κατανομή των φορτίων μου. Άρα είτε εδώ είμαι είτε εκεί, σε ίση απόσταση από τις δύο πλευρές. Το πεδίο πρέπει να είναι το ίδιο. Έτσι, βγαίνει από τη συμμετρία αυτό. Δεν υπάρχει κάτι που να το αλλάζει. Επίσης, από τη συμμετρία βγαίνει ότι το πεδίο θα είναι κάθετο στο έλασμα. Ενεσχωρείτε, το πεδίο θα είναι κάθετο στις βάσεις του κυλίνδρου. Το πεδίο μου θα είναι κάθετο στις βάσεις του κυλίνδρου. Πάλι από τη συμμετρία. Και μάλιστα θα έχει φορά προς τα έξω αν το φορτίο είναι θετικό. Λοιπόν, το πεδίο είναι παράλληλο στην παράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου. Δηλαδή, το πεδίο είναι παράλληλο εδώ, στην επιφάνεια αυτή. Κατά συνέπεια, η ροή μέσα από την παράπλευρη επιφάνεια είναι 0. Και με ενδιαφέρει μόνο η ροή μέσα από τις δύο δάσεις εδώ. Ανάποδα δηλαδή από το πριν. Έτσι, δεν υπάρχει ροή. Έτσι, δεν υπάρχει ροή επομένως στην παράπλευρη επιφάνεια. Και αυτό που όλη η ροή είναι μέσα από τις βάσεις, και μάλιστα το πεδίο εκεί, είναι ίσως με την κατακόρη, με την εκάθετη συνισθόσα του. Με την κάθετη πάνω στις δύο βάσεις. Άρα, αν πάρω τα ολοκληρώματα του γκάους εκεί, εκφυλίζονται αυτά σε ένα απλό πολλαπλασιασμό. Γιατί, είναι η ροή μέσα από τις δύο βάσεις. Η ροή μέσα από τις δύο βάσεις, θα είναι δύο φορές η ροή μέσα από τη μία βάση. Έτσι, δεν είναι. Μέσα από τη μία βάση, είναι το πεδίο προς την επιφάνεια. Η επιφάνεια είναι ένας κύκλος. Έτσι, η επιφάνεια είναι πιάρ τετράγωνο τώρα. Εδώ, σωστά. Και το πεδίο είναι γνωστό. Είπαμε ότι το πεδίο είναι ίδιο, σε ίση απόσταση. Δηλαδή, είναι το ίδιο από εδώ και το ίδιο από εκεί. Άρα, η ροή θα είναι δύο φορές, έτσι, ό,τι βρίσκω για τη ροή από τη μία επιφάνεια. Σωστά. Η ροή από τη μία επιφάνεια είναι το πεδίο επί την επιφάνεια. Είναι δηλαδή, το πεδίο επί την επιφάνεια και η ροή μέσα από τον κύλινδρο ολόκληρο, είναι δύο φορές αυτό. Σωστά. Γιατί είναι δύο, οι βάσεις του κύλινδρου. Κατά συνέπεια, η ροή, αυτός είναι ο νόμος του γκάους πλέον. Η ροή μέσα από τον κύλινδρο, θα είναι το φορτίο που περιέχεται μέσα. Πόσο είναι το φορτίο που περιέχεται μέσα, έτσι, είναι το φορτίο που περιέχεται μέσα στον κύκλο που ο κύλινδρος κόβει το φύλλο. Σωστά. Θα είναι, επομένως, η επιφανειακή πυκνότητα φορτίου, επί την επιφάνεια αυτή, στον κύκλο, διά ε0. Θέλετε να το κάνουμε με σχήμα, γιατί βλέπω ότι λίγο δεν το ζωρίζει να το καταλάβετε αυτό. Εδώ για να βλέπουμε και τον τύπο. Λοιπόν, θεώρησα ένα φύλλο, εντάξει, ένα τεράστιο φύλλο, και ένα κύλινδρο, πανταστείτε τώρα, ο οποίος κύλινδρος είναι το φύλλο έτσι, και βγαίνει από την πίσω του μεριά, εκεί. Αυτή είναι η καουσιανή επιφάνεια, η καουσιανή επιφάνεια για μένα είναι ο κύλινδρος αυτός. Και το ξέρω ότι τα φορτία κατανέμονται πάνω στο φύλλο αυτό, με επιφανειακή κατανομή φορτίων σίγμα. Το σίγμα είναι φορτίο, είναι δηλαδή κουλόμπ, ανα μονάδα επιφανία. Κουλόμπ ανα μονάδα επιφανίας, ανα τετραγωνικό μέτρο. Εντάξει. Και λέω ότι η ροή μέσα από τον κύλινδρο αυτό θα είναι, έτσι δεν μου λέει ο Γκάους, η ροή μέσα από τον κύλινδρο αυτό θα είναι το φορτίο που περιέχεται, Q enclosed, προς ε0, σωστά. Άρα το Q enclosed όμως εκεί που κόβει εδώ ο κύλινδρος το φύλλο, το λεπτό φύλλο, είναι το φορτίο που περιέχεται μέσα στον κύκλο αυτό, μες στη διατομή αυτή. Το φορτίο αυτό εδώ πέρα όσο φορτίο είναι μέσα θα είναι η επιφανειακή πυκνότητα φορτιού που είναι η ίδια επί την επιφάνεια αυτή. Θα είναι δηλαδή αυτό το Q enclosed σίγμα η επιφανειακή πυκνότητα φορτιού επί την επιφάνεια α, προς ε0. Ωραία, ο νόμος του Γκάους όμως μου λέει ότι η ροή τι είναι, η ροή δεν είναι το ολοκλήρωμα του πεδίου έτσι προς επιφάνεια, αλλά για μένα είναι η επιφάνεια του κυλίνδρου ολόκληρου, αυτού πια. Σωστά. Και βρήκα ότι δεν μπορεί να υπάρχει σύνη στόσα τέτοια του πεδίου, κάθε τη στιγμή είναι παράπλευρη επιφάνεια, άρα η ροή όλη μέσα από τον κύλινδρο είναι η ροή μέσα από την επιφάνεια αυτή του πεδίου και μέσα από εκείνη. Που το πεδίο έχει τις συγκεκριμένες κατευθύνσεις αυτές τις οποίες τώρα μόλις ζωγράφησα στον πίνακα, γιατί είναι το φύλλο και είναι από τη μία του πλευρά και από την άλλη του πλευρά. Σωστά. Άρα αυτό το ολοκλήρωμα θα εξυλισθεί, έτσι, στη ροή μέσα από εδώ και μέσα από εκεί, μέσα από τους δύο αυτούς τους κύκλους, που είναι οι βάσεις του κυλίνδρου. Ναι, όπου το πεδίο εδώ στην απόσταση αυτή είναι ίδιο με εκείνο και είναι σταθερό. Άρα το ολοκλήρωμα αυτό θα μου κάνει ε' επί το ολοκλήρωμα δ' για τις δύο βάσεις, το οποίο θα είναι ε' επί δύο φορές το ολοκλήρωμα δ' για τη μία βάση αυτή. Η μία βάση είναι π'Α' το εμβαδόν αυτό, έτσι, άρα η ροή θα είναι ε' επί δύο π'Α' αυτό θα είναι ίσο με αυτό, ή αλλιώς π'Α' όπου α' είναι το π'Α' εδώ, το εμβαδόν της βάσης θα είναι ίσο με το φορτίο δ' ε'Α'. Άρα το παιδί θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και θα είναι ε' επί δύο φορές το π'Α' όπου αλλιώς π'Α' είναι το π'Α' και όσο απομακρύνομαι από την επιφάνεια της σφαίρας έχω πάλι μια εξάρτηση του πεδίου από το αντίστροφο τετράγωνο της απόστασης από εδώ και πέρα δηλαδή δεν με νοιάζει αν η σφαίρα αυτή είναι αγωγός ή μονοτής η σχέση αυτή είναι η ίδια είτε η σφαίρα αυτή ήταν αγωγός είτε ήταν μονοτής όταν είμαι έξω και μακριά της όταν είμαι όμως μέσα στη σφαίρα αν είναι αγωγός το πεδίο θα ήταν 0 εδώ που είναι μονοτής το πεδίο από το κέντρο προς την επιφάνεια της σφαίρας αυξάνεται γρανικά αυτή είναι η διαφορά ξέρω τώρα ότι ξανακυρίζω στους αγωγούς έστω αυτός εδώ ότι είναι ένα συμπαγής αγωγός ξέρω ότι εσωτερικά του δεν υπάρχει πεδίο και δεν υπάρχει και φορτίο το έχω αποδείξει γιατί στον αγωγό αν υπήρχε εσωτερικά φορτίο τότε θα σβροχνόταν ένα κάποιο άλλο και θα πήγαινε στην επιφάνεια αν θεωρήσω τώρα μια κυλότητα εδώ εσωτερικά του αγωγού μία τρύπα δηλαδή ξέρω επίσης ότι όπως είναι τώρα προσέξτε στο β μόνο μέσα στην κυλότητα αυτή δεν μπορεί να υπάρξει πάλι πεδίο αυτή τη στιγμή που δεν υπάρχει φορτίο και αυτό αποδεικνύεται εύκολα αν θεωρήσω μια καουσιανή επιφάνεια α και της δεικνώσω με την ίδια λογική που αποδείξαμε πριν από λίγο ότι δεν υπάρχει φορτίο μέσα σαν αγωγό εντάξει χρησιμοποιώντας το νόμο του γκάους άρα θεωρώντας μια καουσιανή επιφάνεια α οποιαδήποτε μπορώ να αποδείξω ότι αν η κυλότητα είναι κενή φορτιού δεν περιέχει φορτίο μέσα τότε δεν υπάρχει και πεδίο πουθενά εντάξει προσέξτε όμως τι γίνεται αν υπάρχει φορτίο μέσα στην κυλότητα το οποίο είναι μονωμένο από τον αγωγό δεν είναι σε επαφή τότε στην επιφάνεια της κυλότητας θα αναπτυχθεί εξ επαγωγής αρνητικό φορτίο εδώ εν προκειμένου στο παράδειγμα φορτίο δηλαδή αντιφέτου προς εί μου με αυτό που έχω στο εσωτερικό και μάλιστα ίσο έτσι ώστε το συνολικό φορτίο που θα περικλείται από μια καουσιανή επιφάνεια εκεί α να είναι μηδέν εδώ εντάξει αν τοποθετηθεί δηλαδή φορτίο μέσα στην κυλότητα τότε στα τυχόματα της κυλότητας θα αναπτυχθεί ίσο και αντίθετο φορτίο έτσι ώστε το συνολικό φορτίο μέσα σε μια καουσιανή επιφάνεια α εκεί να είναι μηδέν αυτό που σας λέω έχει πολύ μεγάλη σημασία θα το δείτε παρακάτω γιατί λοιπόν θα το κάνουμε με ένα παράδειγμα τώρα έτσι το σχήμα δείχνει εδώ την διατομή ενός αγωγού δηλαδή έχω έναν αγωγός συμπαγή και τον κόμπο χράπνω ένα μαχαίρι εντάξει αυτή είναι η τομή του είναι εδώ λοιπόν λέει η άσκηση ο αγωγός έχει συνολικό φορτίο εφτάναν ο κουλόμ δηλαδή έχει συνολικό φορτίο εδώ μέσα εφτάναν ο κουλόμ ξέρω ότι είναι αγωγός έτσι άρα δεν μπορεί να είναι εκεί μέσα που είπα το φορτίο αυτό θα είναι στην εξωτερική επιφάνεια και στην εσωτερική επιφάνεια εδώ της κυλότητας μόνο έτσι αφού πρόκειται για αγωγό λοιπόν στην κυλότητα μέσα λέει ότι υπάρχει ένα άλλο φορτίο μίον πέντε νανοκουλόμ το οποίο είναι μονομένο τον αγωγό δεν είναι σε επαφή το μπλε εδώ που βλέπετε με τον αγωγό πόσο είναι το φορτίο σε κάθε επιφάνεια του αγωγού εσωτερική και εξωτερική θέλει κανείς να επιχειρήσει για να τη λύσει είναι πολύ απλή πολύ εύκολο παιδιά ορίστε σκέφτε μπράβο σωστά σκέψου λίγο καλύτερα έχεις μίον πέντε εδώ εντάξει σιμ πέντε στα τυχώματα της κυλότητας άρα τα τυχώματα της κυλότητας εδώ έχουν σιμ πέντε η άσκηση μας λέει ότι ο αγωγός έχει συνολικό σιμ εφτά άρα η εξωτερική δύο τόσο απλή ήταν η άσκηση είπε η συναδέρφη σας εδώ μπροστά ότι εφόσον έχω μέσα στην κυλότητα φορτίο μίον πέντε νανοκουλόμπς και είναι απομονωμένο από τον αγωγό σημαίνει ότι στα τυχώματα της κυλότητας θα αναπτυχθεί φορτίο σιμ πέντε νανοκουλόμπ ίσο και αντιθέτου προσήμουμε αυτό που είναι στο εσωτερικό αφού το φορτίο όλου του αγωγού είναι σιμ εφτά και το σιμ πέντε βρίσκεται εδώ στην εσωτερική κυλότητα άρα η εξωτερική επιφάνεια έχει σιμ δύο έτσι αυτό ήταν όλο και όλο εντάξει αυτή ήταν όλη και όλη η άσκηση και το καταλάβαμε ωραία αυτό είναι το γνωστό πείραμα του Φαραντέη που έγινε το 19ο αιώνα που εκείνη την εποχή η κάδη του πάγου ήταν μεταλλική χρησιμοποιήσε ένα κάδο πάγου ένα κάδο που χρησιμοποιούσαν εκείνη την εποχή ως ψυγείο δηλαδή μπορεί να το φανταστεί κανείς γιατί αυτός ο κάδος βάζανε μέσα πάγο και βάζανε ό,τι θέλουν για να διατηρηθεί και να κάνει και το πείραμα του ο κάδος αυτός έχει και ένα κάλυμπα από πάνω λοιπόν, τι έκανε κατέβασε μια φορτισμένη σφαίρα μια φορτισμένη αγώγημη σφαίρα με έναν νήμα, το οποίο είναι μονοτικό προφανώς μέσα στον κάδο όταν η φορτισμένη σφαίρα μπήκε μέσα στον κάδο βλέπετε μάλιστα στη διαφάνεια και με ποιον τρόπο αν η σφαίρα ήταν θετικά φορτισμένη τότε στην εσωτερική κοιλότητα στην εσωτερική επιφάνεια του κάδου αναπτύχθηκαν αρνητικά φορτία και τα θετικά φορτία αποθήθηκαν στην εξωτερική όταν αφήσει προφανώς την σφαίρα να πάει κάτω εδώ τότε έχουμε αποφόρτιση της σφαίρας που μεταφέρεται στην εξωτερική επιφάνεια γιατί η επιφάνεια της σφαίρας είναι στην ουσία επιφάνεια του κάδου μπορούμε να φανταστούμε ότι κάνει αυτό η επιφάνεια του κάδου οπότε η κοιλότητα είναι εκεί και δεν έχει πλέον φορτίο οπότε όλο το φορτίο που έχει ο κάδος μεταφέρεται στην εξωτερική επιφάνεια αυτό μπορούσε να το ελέγξει την εποχή εκείνη ο Φαραντέη και αυτό είναι ένα περίθυμο πείραμα το οποίο αποδεικνύει το νόμο του γκάου στον φανός επειδή κλειώνει 70 ετών απλούστατο πείραμα δεν χρειάστηκε τίποτα φοβερό να το κάνει ένα απλούστατο πείραμα ο Φαραντέη είναι αυτός σας τον δίνω σε δύο αποικονίσεις σε νεαρή και μεγάλη ηλικία ένας από τους μεγαλύτερους φυσικούς ο οποίος είχε και πολύ ταπεινή καταγωγή ήταν γιος ξιδερά γι' αυτό έκανε και τα πειράματα αυτά μια εφαρμογή των όσων είπαμε είναι η γνωστή σας γεννήτρια van der Graaf την οποία βέβαια χρησιμοποιούμε στους επιταχυντές σωματιδίων αλλά την έχετε δει και αλλού σε μία εφαρμογή περισσότερο θα έλεγα η καστική στους κινηματογράφους όταν θέλουμε να εμφανίσουμε διάφορους με τρίχες σηκωμένα και με μηχανήματα που βγάζουν στους πυνθείρες είναι γεννήτρια van der Graaf στην πραγματικότητα είναι ένα κέλυφος δηλαδή το οποίο τροφοδοτούμε συνέχεια με φορτία τα φορτία αυτά βάσει τον όσον ξέρουμε μέχρι σήμερα κατανεύονται πάνω στο κέλυφος, στην εξωτερική επιφάνεια εντάξει και εσωτερικά του κελύφου στο πεδίο είναι πάντα 0 για να έχουμε συμφωνία με το νόμο του Γκάουσ ναι τις γεννήτρια van der Graaf πιθανόν να τις έχετε δει στον κινηματογράφο κάπως έτσι εντάξει, εν προκειμένου τι γίνεται όταν αγγίξουμε εμείς τη γεννήτρια όλο το φορτίο μεταφέρεται σε εμάς πάει στα άκρα μας, στα άκρα μας πάει και στα μαλλιά μας και στα μαλλιά μας επειδή το φορτίο είναι ίδιο σηκώνονται οι τρίχες και αποθούνται εντάξει μην το δοκιμάσετε καλού κακού όμως ναι εντάξει λοιπόν να δούμε τώρα μία άλλη εφαρμογή των όσων είπαμε είναι το γνωστό μας κλουβί του φαραντέη ή στην καθαρέγουσα λοιπόν ήταν κλωβός του φαραντέη αν θεωρήσω ένα κλειστό ένα κλειστό κλουβί, εδώ πέρα βλέπουμε το μήτου έτσι μέσα σε ηλεκτρικό πεδίο τότε επειδή βάσει του νόμου του Γκάους το κλουβί αυτό είναι αγώγημο άρα εσωτερικά το πεδίο θα είναι 0 εντάξει, όσο ισχυρό και αν είναι το πεδίο αυτό έξω στο Μουσείο Max Planck του Μονάχου παραδείγματος χάρη έχει ένα κλουβί τέτοιο που μπαίνεις μέσα και σου βάζουν 30 χιλιάδες βόλτα απ' έξω κανονικά θα είχες ψηφία αλλά επειδή μέσα όμως το πεδίο είναι 0 και δεν παθαίνεις απολύτως τίποτα ενώ έξω πέφτουν κεραυνοί, λάμψεις και τέτοια είναι ένα πολύ εντυπωσιακό πείραμα εδώ βλέπετε μια αναπαράσταση του πώς αυτό συμβαίνει έτσι έχουμε το πεδίο άρα τα φορτισμένα σωματίδια μέσα λαμβάνουν τέτοια θέση λόγω του εξωτερικού πεδίου έτσι ώστε να δημιουργήσουν πεδίο 0 μέσα δηλαδή έτσι είναι η αρχική κατάσταση εφαρμόζονται το πεδίο, ανακατανέμονται δημιουργείται νέο πεδίο, βλέπετε ίσως και αντίθετο με το εξωτερικό, το ανερή και εσωτερικά είναι 0 εντάξει εφαρμογές του κλογού του φαραντέ είναι πάρα πολλές θα σας πω ότι είναι πιο σημαντική ότι δεν παθαίνεται ηλεκτροπληξία μέσα στο αεροπλάνο το θα σκότω γιατί τα αεροπλάνα τα χτυπάνε πολύ σχεδόν κεραυνοί εντάξει παρ' όλα αυτά μέσα δεν παθαίνει, δεν καταλαβαίνει τίποτα είναι ακριβώς λόγω του φαινωμένου αυτό εντάξει ή το φαινωμένο αυτό χρησιμοποιείται για ηλεκτρομαγνητική θωράκηση για να θωρακίσουμε δηλαδή μια ευαίσθητη συσκευή παρέμματος χάρη από τα ηλεκτρομαγνητικά πεδία τα οποία υπάρχουν παντού ιδίως σήμερα με τόσες εκπομπές που γίνονται ραδιοφωνικές, τηλεοπτικές, ό,τι θέλετε κινητά εντάξει κατανοητό το κλουβί του φαραντέ ωραία μια μορφή να μου του κλουβιού και σας επαναλαμβάνω εμφανικά ότι είναι ο τρόπος με τον οποίο επινιχάνουμε θωράκηση ηλεκτροματική θωράκηση δηλαδή μέσα στο κλουβί το πεδίο είναι μηδέν όταν θέλουμε να προστατεύσουμε μια ευαίσθητη συσκευή την περιβάλλουμε με ένα κλουβί του φαραντέ, με ένα πλέγμα δηλαδή πάρα πολύ απλά ένα αγώγιμο πλέγμα λοιπόν, ασκησούλα έχουμε ένα πολύ λεπτό αγωγό όπως είναι αυτός εδώ πέρα, ο μαύρος ο οποίος έχει σχήμα παραλληλογράμμα και έχει μια κυλότητα στο εσωτερικό της κυλότητας βάζω φορτίο μιονκιού αν το συνολικό φορτίο του αγωγού είναι επίσης μιονκιού ποιο είναι το φορτίο στην εξωτερική επιφάνεια του αγωγού είναι παρόμοια με αυτή που κάναμε πριν παρόμοια θέλει να τη λύσει κανείς να μου πει φοβερά απλή είναι έβαλα μέσα στην κυλότητα φορτίο μιονκιού άρα στο τείχωμα της κυλότητας θα αναπτυχθεί πόσο φορτίο συνκιού το είσαι και ανάποδο η άσκηση όμως μου λέει ότι το συνολικό φορτίο αυτού του μαύρου αγωγού εδώ πέρα είναι μιονκιού το συνολικό φορτίο άρα για να έχει συνολικό φορτίο μιονκιού αυτός αφού εδώ έχει συνκιού έξω πόσο πρέπει να έχει μιονκιού άρα ήταν πολύ απλή η άσκηση μας απλώς αυτό που βρήκαμε πριν το έχουμε γραμμένο στη διαφάνεια έτσι, στην εξωτερική επιφάνεια θα έχει φορτίο μιονκιού λοιπόν, πάμε και σε αυτή που νομίζω είναι η τελευταία άσκηση σήμερα σε συνέχεια τώρα της προηγούμενης άσκησης φέρνουμε ένα φορτίο συνκιού αυτό εδώ κοντά στον αγωγό είναι το φορτίο συνκιού και το φέρνω κοντά στον αγωγό να υπολογιστεί τώρα η ηλεκτρική ροή διαμέσου της επιφάνειας που σημειώνεται με κόκκινο χρώμα τι ξέρουμε εμείς από το νόμο του Γκάους πόσο είναι η ηλεκτρική ροή πες το καλύτερα μιονκιού προς εψηλό μηδέν πόσο είναι το μιονκιού εδώ που περιέχεται μέσα μιονκιού αυτός εδώ πέρα έχει μιονκιού επίσης ολόκληρος και αυτό εδώ πέρα είναι συνκιού άρα το όλο φορτίο που περιέχεται μέσα εδώ συνολικά πόσο θα είναι μιονκιού αυτό είναι μιονκιού εντάξει το Q enclosed το συνολικό φορτίο το οποίο περιέχεται μέσα στην κόκκινη επιφάνεια θα είναι μιονκιού αυτό προς μιονκιού που έχει ο μαύρος αγωγός συνκιού το φορτιάκι που έφερα εδώ έξω όλο αυτό μου κάνει μιονκιού προσέξτε όλες οι ασκήσεις και όλες οι θεωρήσεις με το νόμο του Γκάους λύνονται πολύ πιο εύκολα από ό,τι με το νόμο του Κουλόμπ ή κάτι άλλο και απλώς να καταλάβουμε τι σημαίνει το περιεχόμενο φορτίο εντάξει τι είναι τι εκεί έστω τώρα ένας αγωγός σε σχήμα λεπτού σφαιρικού κελίφους φανταστείτε ένα σφαιρικό κελίφος έτσι αυτός είναι ο αγωγός στο κέντρο λέει του αγωγού έχω ένα φορτίο 2 μικροκουλόμπ εδώ ωραία, η ακτίνα του αγωγού είναι 2 μέτρα αυτή εδώ και μου λέει ότι το κελίφος έχει συνολικό φορτίο 1 μικροκουλόμπ εδώ, ένα μικροκουλόμπ πόσο είναι το ηλεκτρικό πεδίο σε απόσταση 5 μέτρα από το κέντρο του κελίφους, δηλαδή κάπου εδώ έξω και πόσο σε απόσταση 1 μέτρο, εδώ μέσα αν γιώσουμε το κελίφος λέει, άλλο ερώτημα πάμε εδώ πέρα και βάλουμε μια γίωση πόσο θα είναι το συνολικό φορτίο του κελίφους θέλει να επιχειρήσει κανείς για να τη λύσει, είναι εύκολη πολύ εύκολη πρώτη περίπτωση, μου λέει, το πεδίο όχι το ηλεκτρικό πεδίο, σωστά σε απόσταση 5 μέτρα, κάπου εκεί έξω εντάξει τι θα κάνω, είμαι όμως του γκάους ωραία πρώτη περίπτωση σε απόσταση 5 μέτρα, κάπου εκεί έξω θα είναι θεωρώ ότι η ροή από μια σφαίρα τεράστια έτσι, με ακτίνα 5 μέτρα η ροή μέσα από μια ακτίνα 5 μέτρα θα είναι αυτή έτσι, το πεδίο επί την επιφάνεια της σφαίρας, η ροή το οποίο ξέρω εγώ όμως ότι θα είναι η ροή το Q enclosed προς ε0 το περιεχόμενο φορτίο δηλαδή προς ε0 το περιεχόμενο φορτίο προσέξτε πόσο είναι εδώ πέρα όμως, είναι αυτό εκεί απλώς επειλείο ως προς το πεδίο εδώ βάζω το 4ΠΠΑ τετράγωνα από την άλλη μεριά άρα επειλείο ως προς το πεδίο με το όμο του γκάους το φορτίο το οποίο περιέχεται μέσα στην καουσιανή επιφάνεια δηλαδή στην επιφάνεια της σφαίρας με ακτίνα 5 μέτρα, της μεγάλης εκεί πέρα θα είναι 2 που είναι το φορτίο αυτό στο κέντρο μειών 1 γιατί μειών 1 μικρόκουλό που μου λέει ότι είναι το φορτίο συνολικά του κελίθους το Q enclosed είναι το φορτίο αυτό συν το φορτίο του κελίθους αυτό περιέχεται μέσα είναι μια σφαίρα που έχει μισή αυτήν από αυτή που φαίνεται στο σκήμα μια σφαίρα εκεί μέσα έτσι, στη σφαίρα αυτή εφαρμόσο πάει την ίδια σχέση την ίδια πλήκο σχέση το Q enclosed είναι αυτό που θα αλλάξει έτσι, γιατί το περιεχόμενο φορτίο τώρα είναι μόνο τούτο το φορτίο που είναι εκτός της σφαίρας της καουσιανής δηλαδή αυτής εδώ το φορτίο του κελίθους δεν συνεισφέρει πια στο περίοδο εκτός έτσι, άρα βλέπετε ότι παίζει ρόλο μόνο το φορτίο που είναι το που θετεινώνει στο κέντρο και δεν υπάρχει δηλαδή το φορτίο του κελίθους που είναι εξωτερικά της καουσιανής σφαίρας την οποία εγώ θεωρώ εσάς εντάξει συμφωνήσαμε, είναι καθαροϊκό εντάξει που μας λέει ότι πάντα για να βρουμε το φορτίο που περιέχεται μέσα στη καουσιανή επιφάνεια μόνο αυτό πες μήπως ωραία πριν τι γύρω σήμερα η εξωτερική επιφάνεια του κελίθους στην εσωτερική μεσοδοτική επιφάνεια του κελίθους αυτό το φορτίο σύμφυρο εδώ στο κέντρο εσωτερικά στο κέντρο εδώ θα έχω φορτίο μίον μίον αυτός μου λέει ότι συνολικά η σφαίρα έχει μίον ένα άρα για να έχει συνολικά σφαίρα μίον ένα το εξωτερικό θα έχει συνένω όχι απλά εντάξει το εξωτερικό έχει συνένω για να έχει σφαίρα συνολικά μίον ένα γιατί εσωτερικά είναι μίον δύο μίον δύο σωστά συνένω στην εσωτερική μας κάνει μίον ένα μένει συνολικά για τη σφαίρα ωραία αυτό είναι πριν την γύρωση έτσι γύρωση σημαίνει ότι με ένα σύρμα συμβαίνει στην εξωτερική επιφάνεια της σφαίρας μέχρι εκεί που σημαίνει ότι το φορτίο και στις εξωτερικές επιφάνειες της σφαίρας έτσι το φορτίο που είναι εκεί στην εξωτερική επιφάνεια πηγαίνει στην εκεί ναι το φορτίο άρα έτσι να βρήκα πριν ότι θα έχει ένα μικροβουλό έτσι αυτό αυτό το φορτίο θα τα φέρετε στη γη ναι το φορτίο που θα έχεις πέρα-πέρα πιο έτοιμο είναι μόνο αυτό που έχει η εσωτερική πιλότητα αυτό είναι και το σωστολικό της αυτό μένει μόνο γιατί το ένα πηγαίνει στη γη ε, κάτσε εντάξει αυτό στην εσωτερική επιφάνεια είναι μίον-μίον θείο και αυτό είναι και το σωστολικό φορτίο της σφαίρας εντάξει έμεινε μόνο το φορτίο στην εσωτερική επιφάνεια που είναι και σωστολικό συμφωνήσαμε λοιπόν έχει κάτι στα σκήσεις θα τις βρείτε από το διαδίκτυο όποιος θέλει μπορεί να τις κάνει και όποιος θέλει επίσης μπορεί να τις θέλει οι μέρες εντάξει υπάρχει και σύνοψη στο διαδίκτυο είναι η σύνοψη των πονόμων που μάθαμε σήμερα για το νόμο του γκάου τι μας μπαίνει ο νόμος του γκάου και ο νόμος του κουλόμου είναι ισοδύνατοι έτσι είναι ισοδύνατοι δεύτερον που μας μπαίνει είναι πιο έδιμο να λέμε μάλλον για σκέψεις με τον νόμο του γκάου από ό,τι είναι το νόμο του κουλόμου εντάξει και ότι ο νόμος του γκάου είναι πάρα πολύ απλός λέει ότι η ροή μέσα από μια κλειστή επιφάνεια είναι ίση με το φορτίο το οποίο περιέχεται μέσα στην επιφάνεια διερημένο για τη σταθερή έξι τον πηρέτη πάρα πολύ απλός είναι ο νόμος του γκάου εντάξει ακούστε αυτούς και να τη δεύτερα συνεχίσουμε με δυναμικά