Διάλεξη 11 / Διάλεξη 11 - Νικολαϊδης Αργύριος (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Διάλεξη 11: Υπόσχεσθαι, κύριε Παρακοσμίδη, για το πρόγραμμα της Ευρωπαϊκής Επιτροπίας και της Ευρωπαϊκής Επιτροπίας και της ΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕ ΕΝΤΕΚΤΑΝΗΣΜΕΝΙΑΙΕΥΧΜΑΙΝΗΑΙΥΧΜΑΙΥΧΜΑΙΥΧΜΑΙΥΧΜΑΙΥΧΜΑΙΥΧΜΑΙΥΧΜΑΙΥΚΜΑΙΥΧΜΑΙΥΧΜΑΙΥΧΜΑΙΥΧΜΑΙΥΧΜΑΙΥΧΜΑΙΥΧΜΑΙΥΧΜΑΙΥΧΜΑΙ Αναφέραμε ότι αυτό το σύνολο, λοιπόν, των φυσικών αριθμών, ο πληθυκός του αριθμός είναι το Άλευ 0. Είδαμε πως το Άλευ 0 αυτό πως έχει παράξενες ιδιότητες. Με άλλα λόγια, εάν το διαιρέσουμε αυτό το Άλευ 0 με ένα ακέραιο Κ, αυτό που θα ξαναπάρουμε ξανά είναι το Άλευ 0. Για παράδειγμα, εάν θεωρήσουμε τα πολλαπλάσια του Κ, Κ, 2Κ, 3Κ, 4Κ κλπ, είναι σίγουρο ότι μπορούμε να αντιστοιχίσουμε το 1, 2, 3 με το Κ, 2Κ, 3Κ κλπ και συνεπώς η σχέση αυτή εδώ ισχύει. Το άλλο που είδαμε και είναι ακόμα πιο παράξενο, είναι ότι αν θεωρήσουμε τους ρητούς αριθμούς, διτύ αριθμοί είναι αυτοί που γράφονται σαν κλάσμα, το M προς N, όπου λοιπόν η M και η N ανήκουν στους ακεραίους αριθμούς. Εκείνο που είδαμε είναι ότι ενώ κάποιος μπορεί το κλάσμα για να το θεωρήσει σαν ένα γινόμενο των ακεραίων επί τους ακεραίους, δηλαδή στην ουσία έχουμε το σύνολο των ακεραίων πάνω, το σύνολο των ακεραίων κάτω και ο πληθυκός αριθμός αυτός δεν είναι τίποτα άλλο λοιπόν παρά το Ά' 0, επί το Ά' 0, άρα το Ά' 0 τετράγωνο και χάρη στην ιδιοφύτητη τεχνική του Κάντορ, εκείνο που έδειξε είναι ότι μπορούμε να αντιστοιχίσουμε τα κλάσματα με τους φυσικούς αριθμούς και συνεπώς το Ά' 0 τετράγωνο είναι ίσο με Ά' 0. Άρα είναι σίγουρα μια παράξενη ιδιότητα να έχουμε λοιπόν τους αριθμούς αυτούς, το Ά' 0 και το Ά' 0 τετράγωνο να είναι ίσο με Ά' 0. Αν πάρουμε αυτή τη σχέση και την πολλαπλασιάσουμε με Ά' 0, θα πάρουμε το Ά' 0 στον κύβο είναι ίσο με Ά' 0 τετράγωνο. Άρα εμείς ξέρουμε πως το Ά' 0 τετράγωνο είναι ίσο με το Ά' 0, άρα βρίσκουμε ότι το Ά' 0 στον κύβο είναι ίσο με Ά' 0 και εν γένει συνεπάγεται ότι το Ά' 0 σε μια κάποια δύναμη K είναι ίσο με το Ά' 0. Άρα λοιπόν όλες οι δυνάμεις του Ά' 0 είναι ίσο με το Ά' 0. Το επόμενο βήμα που απασχόλησε τον Γκάντορ είναι πέρα από τους ρητούς αριθμούς πάμε και μελετήσουμε τους πραγματικούς αριθμούς. Πραγματική αριθμή τώρα είναι όλη εκείνη η αριθμή με άπειρα δεκαδικά ψηφία. Εάν θεωρήσουμε πως έχουμε ένα κλάσμα είναι σίγουρο στο κλάσμα τα δεκαδικά του ψηφία πως κάπου περατώνονται εκτός φυσικά αν πάρουμε το 1 τρίτο αλλά βλέπουμε ξανά και ξανά τα ίδια νούμερα. Πάμε για αριθμούς όπως για παράδειγμα είναι το π που είναι 3,14 και ακολουθούν άπειρα δεκαδικά ψηφία και προφανώς δεν ξέρουμε τα ψηφία αυτά. Μπορεί κάποιος για να το βάλει σε ένα κομπιούντερ για να βρει τα πρώτα 100, τα πρώτα 500. Μια κάποια στιγμή πιθανόν να βαρεθεί. Μια κάποια στιγμή και θα χαλάσει και το κομπιούντερ το ίδιο. Γιατί, το ξαναλέω, τα ψηφία αυτά εδώ είναι άπειρα. Άρα λοιπόν και ο άλλος πραγματικός αριθμός είναι το ρήζα 2 που δε θυμάμαι ότι είναι 1,00 κάτι, εντάξει. Μάλλον δε θυμάμαι καλά, καθώς δεν το αφήνω. Αλλά αυτό που είναι σίγουρο είναι ότι ακολουθείτε με άπειρα δεκαδικά ψηφία. Ερώτημα, ορίστε. 1,414. Το δέχομαι. 1,414, ίσως, ναι. Εκείνο λοιπόν που απασχόλησε τον Κάντορ στη συνέχεια είναι το εξής θέμα. Εάν θεωρήσουμε το σύνολο των πραγματικών αριθμών, ποιος είναι ο πληθυκός αριθμός που χαρακτηρίζει το σύνολο αυτό εδώ. Άρα λοιπόν στην ουσία αυτό που θέλουμε είναι να θεωρήσουμε τον άξονα που αρχίζει από το μίον άπειρο και πηγαίνει προς το σύνολο άπειρο. Και μέσα εδώ θα βρούμε όλους τους αριθμούς, πραγματικούς αριθμούς. Δηλαδή μέσα εδώ θα έχουμε, ας πούμε πως κάπου εδώ όπως είναι και το μηδέν, ένα, δύο και τα λοιπά. Μέσα εδώ λοιπόν θα έχουμε τους ακέραιους, 1,2,3,4. Εντάξει, μάλλον και τους φυσικούς το 1,2,3,4. Τους ακέραιους μίον 2, μίον 3, μίον 4. Τους ρήτους, τα 2, 3 θα είναι κάπου εδώ. Εντάξει, αλλά μέσα εδώ θα κρύβονται και οι αριθμοί σαν το ρήζα 2, σαν το π. Εντάξει. Άρα λοιπόν αυτό που θέλουμε για να μάθουμε είναι πόσα ψηφία, πόση είναι οι αριθμοί ή μάλλον καλύτερα πόσο είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών που κρύβονται στην ευθεία που αρχίζει από το μίον άπειρο μέχρι το συν άπειρο. Μια παρατήρηση απλή μας λέει και το εξής, ότι δεν είναι ανάγκη να δούμε όλο το διάστημα από το μίον άπειρο μέχρι το συν άπειρο. Μπορούμε να θεωρήσουμε, αν πούμε εδώ πως έχουμε ένα κύκλο. Νάτος, αυτή εδώ είναι η περιφέρεια. Μπορούμε να πούμε ότι μέσα στην περιφέρεια αυτήν εδώ κρύβονται όλα τα σημεία που υπάρχουν στον άξονα που αρχίζει από το μίον άπειρο και πάει στο συν άπειρο. Πώς γίνεται αυτό, θα πάρουμε την ακτίνα που αρχίζει από το κέντρο του κύκλου, συναντάμε το σημείο αυτό εδώ, το προεκτείνουμε και αυτό που αντιστοιχεί στο σημείο αυτό εδώ. Το ίδιο θα κάνουμε και μετά όλα τα σημεία. Και βλέπετε ότι καθώς πηγαίνουμε προς το σημείο αυτό εδώ, το σημείο αυτό εδώ θα πάει για να συναντήσει και το συν άπειρο. Και το σημείο αυτό εδώ θα πάει για να συναντήσει στο μίον άπειρο. Άρα υπάρχει η αθυμονοσήμαντη αντιστοιχία ανάμεσα σε μία ευθεία που αρχίζει από το μίον άπειρο και πηγαίνει στο συν άπειρο με την ίμη περιφέρεια αυτού εδώ του κύκλου. Τώρα την ίμη περιφέρεια αυτή την παίρνουμε και την ανοίγουμε, φτιάχνουμε ένα κάποιο διάστημα και σίγουρα αυτό το διάστημα μπορούμε και το λέμε 0,1. Μέχρι το 1 μπορεί να είναι κάλλιστα από το 0 μέχρι το 3, από το 0 μέχρι το 10. Από άλλη αυτό μπορούμε και το ανάγκουμε με μία διαίρεση απλή ανάμεσα στο διάστημα 0 μέχρι 1 κλειστό διάστημα. Άρα λοιπόν και το ερώτημα που μπαίνει είναι, κάποια σημεία που υπάρχουν μέσα στο διάστημα αυτό εδώ, αν έχουν πληθυκό τον αριθμό το άλευ 0 ή έχουν κάτι το διαφορετικό. Αυτό είναι το ερώτημα. Λοιπόν, για να το μελετήσει αυτό το θέμα ο Κάντορ προχώρησε σε ένα παράξενο κάπως ιδιοριθμό τρόπο και προχώρησε μέσα από αυτό που λέμε λοιπόν στα μαθηματικά την εισάτοπο απαγωγή. Άρα λοιπόν λέει, ας πούμε ότι όλους αυτούς τους αριθμούς που είναι στο διάστημα από το 0 μέχρι το 1, ότι έχουν πληθυκό αριθμό το άλευ 0, σημαίνει αυτό ότι μπορούμε να βρούμε αφιμονοσύμμαντη αντιστοίχηση ανάμεσα στους αριθμούς που είναι στο διάστημα αυτό και τους φυσικούς αριθμούς, στο 1, 2, 3 και όλα τα υπόλοιπα. Εν γένει, ένας αριθμός που είναι στο διάστημα από το 0 μέχρι το 1, μπορούμε να το γράφουμε σαν α ή ίσον 0, α1, α2, α3, α4, α5 κτλ και τα ψηφία αυτά εδώ είναι άπειρα και δεν τελειώνουν ποτέ. Αυτή είναι η γενική έκφραση για έναν αριθμό, πραγματικό αριθμό που κείται στο διάστημα από το 0 μέχρι το 1. Εάν τώρα κάνουμε και την υπόθεση έστω λέμε, έστω, πως το σύνολο των αριθμών που είναι στο διάστημα από το 0 μέχρι το 1 έχει πληθυκό αριθμό το α0. Σημαίνει ότι μπορούμε να ορίσουμε το α1 που πάμε και το κολλάμε στο 1, το α2 που πάμε και το κολλάμε στο 2, το α3 που πάμε και το κολλάμε στο 3 κτλ. Μπορούμε να βάλουμε τους αριθμούς αυτούς που βρίσκονται μέσα εδώ σε μια σειρά και λέμε λοιπόν ότι το α1 που το αντιστοιχώ στο 1 το γράφω έτσι 0 α11 α12 α13 α14 α15 κτλ μέχρι το άπειρο. Το δεύτερο και τον αριθμό που συμφωνήσαμε εμείς ότι πάμε και το κολλάμε στο 2 το γράφω σαν α2 και το γράφω 0 α21 α22 α33 α34 α... Συγγνώμη, α'-2-1, α'-2-2, α'-2-3, α'-2-4, α'-2-5 και τα λοιπά. Μπορούμε να γράψουμε ακόμα και το α'-3, που προφανώς θα είναι το 0. α'-3-1, α'-3-2, α'-3-3, α'-3-4, α'-3-5 και τα λοιπά. Και το α'-4 θα έχει τη μορφή 0, α'-4-1, α'-4-2, α'-4-3, α'-4-4, α'-4-5 και τα λοιπά. Βλέπετε τι έχουμε κάνει. Λέμε ότι τι υπάρχει μέσα στο διάστημα από το 0 μέχρι το 1 δεν το ξέρουμε. Ας παίξουμε λίγο. Ας πούμε ότι ίσως, εφόσον βρήκαμε πως οι ρητοί έχουνε πληθυντικό αριθμό το α'-0, να πούμε ίσως το ίδιο συμβαίνει και εδώ. Εάν το ίδιο συμβαίνει και εδώ, σημαίνει ότι υπάρχει η αντιστοιχία, αφημονοσύμματι, ανάμεσα στους αριθμούς που υπάρχουν εδώ και το 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 κτλ. Αυτό σημαίνει πως ο πληθυκός αριθμός εδώ είναι το α'-0. Άρα γράφω λοιπόν το πρώτο ψηφίο, το α'-1 που πάει και κοδάει στο 1, το γράφω σαν 0, α'-1-1, α'-1-2, α'-1-3, α'-1-4, α'-1-5 κτλ. Και το ίδιο κάνω και με τα υπόλοιπα. Εφόσον ισχύει η βασική αυτή η υπόθεση που κάραμε. Στη συνέχεια ο Κάντρο πήρε τα διαγωνια στοιχεία που συνοντάει στους αριθμούς αυτούς εδώ όλους. Ποια είναι τα διαγωνια στοιχεία, είναι το α'-1-1, το α'-2-2, το α'-3-3, το α'-4-4, το α'-5-5 κτλ. Και γράφει λοιπόν έναν αριθμό D, το γράφει 0, α'-1-1, α'-2-2, α'-3-3, α'-4-4 κτλ., α'-1-1 κτλ. Και πάει αυτό μέχρι το άπειρο προφανώς. Επόμενο βήμα του Κάντρου λέει αυτά τα πράγματα εφόσον εγώ την αντιστοίχηση την έχω κάνει και εφόσον κατά κάποιο τρόπο την ξέρω που παραμένει ερώτημα πώς την έχει κάνει και πώς την ξέρει. Ας αφήσουμε λίγο και τον Κάντρο να αναπτύξει και το δικό του παιχνίδι. Λέει λοιπόν πως έχω και το D που αποτελείται από το 0, α'-1-1, α'-2-2 κτλ. Φτιάχνω μετά έναν άλλο αριθμό Δ, όπου στη θέση του α'-1-1 θα βάλω όποιο νούμερο θέλω εκτός από το α'-1-1. Βάζω λοιπόν κάποιο Δ1. Η μοναδική απέτηση είναι ποιά. Ο αριθμός που θα βάλω εδώ, εντάξει, να μην έχει κανεία σχέση με το α'-1-1. Δηλαδή αν αυτό είναι 5, εδώ μπορώ να βάλω το 3, το 2, το 6, το 7, τίποτα τίποτα που έχει σχέση με το 5 που είναι εδώ. Στη θέση του α'-2-2 πάω και βάζω ένα άλλο ψηφίο το Δ2. Η μοναδική απέτηση είναι το Δ2 να μην έχει καμία σχέση με το α'-2-2. Αν το α'-2-2 είναι το 4, το Δ2 μπορεί να είναι το 1, το 3, το 5, το 6, το 7, κτλ. Φτάνω στο α'-3-3, κατά παραπλήσιο τρόπο βάζω το Δ3. Το Δ3 με κανένα τρόπο δεν μπορεί να είναι με το α'-3-3, α'-4 βάζω το Δ4 που δεν είναι το α'-4-4 κτλ. Φτάνω λοιπόν στον αριθμό του Δ. Οπότε ο Κάντορ παρατηρεί ότι εφόσον το σύνολο αυτό εδώ είναι αριθμίσιμο, ο Δ, με βάση την κατασκευή αυτή εδώ, ανήκει στο σύνολο αυτό εδώ, θα είναι ένα από όλα αυτά τα α. Δεν ξέρουμε ποιο. Ας πούμε λοιπόν πως ο Δ, που ανήκει μέσα στο σύνολο αυτό εδώ, το σύνολο αυτό εδώ είναι αριθμίσιμο, δηλαδή τα βάζω σε σειρά 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Δεν ξέρουμε ποιο είναι το Δ. Ας πούμε πως το Δ είναι το 1500 ή εγγένει, ας πούμε πως το Δ είναι ο ακ. Με το που λέμε ότι εγγένει ο Δ είναι ο ακ, σημαίνει πως τα στοιχεία του Δ θα είναι τα ίδια με τα στοιχεία του ακ. Αλλά ο ακ, στα διαγωνία στοιχείας του, θα πρέπει να φανταστείτε κάτω εδώ το ακ, που είναι το 0 τελεία, ακ1, ακ2, ακ3, μια κάποια στιγμή θα φτάνουμε στο ακκ. Σωστά, ναι, αλλά όταν εγώ από το Δ πήγα στο Δ, και είχα εδώ το ακκ, στη θέση του ακκ, πήγα και έβαλα το Δκ με τη συμφωνία το Δκ, να μην είναι το ίδιο με το ακκ, άρα το Δ δεν μπορεί να είναι το ακκ. Πουθενά δεν είπα ποιο είναι και το ακκ. Άρα λοιπόν, ο Δ, ενώ έχει τη δομή του αριθμού που ανήκει στο διάστημα 0-1, δεν χωράει στην αντιστήκηση 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 κτλ. Άρα, λέει ο Κάντορ, η υπόθεση που έκανα στην αρχή, ότι το διάστημα 0-1 είναι αριθμίσιμο, απέτυχε και από εκεί συνάγει το συμπέρασμα ότι θα έχει έναν άλλο πληθυκό αριθμό που το λέμε α1 και το α1 αυτό είναι πιο μεγάλο από το α0. Σταματάω και σας ρωτάω πώς σας φάνηκε η απόδειξη του Κάντορ. Εκτός προτέρων και σας λέω πως υπάρχουν μαθηματικοί που το θεωρούν trick, απάτη. Και υπάρχουν μαθηματικοί που το θεωρούν σαν το πιο μεγάλο επίτευγμα της μαθηματικής σκέψης. Εσείς που το έχετε ακούσει, είτε είστε μαθηματικοί φυσικοί είτε είτε από τη φιλοσοφία, η απόδειξη αυτή που έχει μια κάποια δομή λέει έστω μια κάποια πρόταση ισχύει έστω, τη δουλεύω την πρόταση αυτή, φτάνω σε άτοπο και γυρίζω πίσω και λέω α η αρχική μου υπόθεση είναι πως δεν στέκεται τη θεωρείτε ότι στέκει, ότι όντως μπορούμε να την αποδεχτούμε ή κρύβει κάποιες παγίδες στις οποίες θα πρέπει εμείς για να τις προσέξουμε. Ακούω τη γνώμη σας. Ναι. Έχει και τώρα δηλαδή μέσα από την δράκτρα Αντασούδη μας και μία πρόταση και ερεύησε ότι υπάρχει αυτό το Άλεμ 1 απλώς αυτό σε πράξη σημαίνει ότι υπάρχει έναν ειχοδοτικής ποσότητας ιδιότητας απειών. Σωστά, βέβαια. Αυτό φαίνεται να λέω ότι ενώσουμε το Άλεμ 1 και το διερέξουμε και το προσθέσουμε κάθε εναρτιμό πάνω που μας έρθει Άλεμ 1 ταυτόχρονα υπάρχει ένα Άλεμ 1 που είναι πολύ πολύ πιο έντονο από το Άλεμ 0 πόσο έντονο δεν μπαίνει ακόμα σε μία δύναμη γιατί αν ήταν το Άλεμ 0 σε μία δύναμη 1 θα ξεμαστώσει το Άλεμ 0. Δεν ξέρω αν μπορούμε να προσδιορίσουμε με ποιοτικό τρόπο ή πολύ περισσότερο με κάποιο ποσοτικό τρόπο πόσο πιο μεγάλο είναι το Άλεμ 1. Αυτό φαίνεται. Αυτό φαίνεται. Με κάποιο ποσοτικό τρόπο πόσο πιο μεγάλο είναι αυτό το άπειρο το Άλεμ 1 σε σύγκριση με το Άλεμ 0 που μόλις αφήσαμε σίγουρα είναι πιο μεγάλο κι άρα αρχίζει και διαφαίνεται μια διαβάθμιση στο άπειρο όταν κάποιος σας πει εσάς φίλος σας ή φίλοι σας πω πω αυτό είναι άπειρο θα πρέπει να το ρωτήσετε πιο άπειρο από όλα και μια καμία στιγμή αν αυτό και το συνεχίσουμε διαφαίνεται ο κίνδυνος που έγινε μετά συνέχεια από το Άλεμ 0 αν κάποιος και το σκαλίσει και βρει πώς βγαίνει το Άλεμ 1 κάνουμε πάντα την υπόθεση ότι καταλαβαίνουμε τι κάνουμε το οποίο δεν είναι καθόλου σίγουρο. Το Άλεμ 1 μπορεί να πάει στο Άλεμ 2, στο Άλεμ 3 και φτιάχνουμε μια σκάλα από άπειρα όπως είναι εκείνη η σκάλα που έχει και τον ιό που θέλει να ανέβει για να φτάσει και στο Θεό μόνο που αυτή η σκάλα είναι σχεγμένη από τα μαθηματικά τα άπειρα και είναι μια ή κομπίνα του Κάντορ ή το πιο μεγάλο δάβμα που έχει δώσει η μαθηματική σκέψη ή κάτι, μια τρίτη λύση θα ήταν δεν μας αφορά αφήνουμε τους μαθηματικούς να βγάλουν τα μάτια τους έχουν τον δικό τους κόσμο πιθανόν αυτοί για να λένε και οι φιλόσοφοι, οι φυσικοί αλλά μόλις σας είπα το κύριο επιχείρημα του Κάντορ εγώ θέλω να την δική σας γνώμη αν αυτός στέκεται, αν έχει λογική βάση αν κρύβει κάτι αν οι υποθέσεις που αποτάθηκε χρησιμοποίησε στέκονται εντάξει, ή κάτι υπάρχει που διαλύπη και στο οποίο θα πρέπει εμείς να προσέξουμε σας ακούω αυτή η έννοια της εισάτωπος απαγωγή την βλέπετε να στέκεται δηλαδή, αν κάποιος και σας πει ότι ο Κώστας δεν είναι εδώ εσείς θα βγάλετε και το συμπέρασμα ότι είναι στην άλλη αίθουσα επειδή δεν είναι εδώ επειδή βρήκε ότι φτάνει σε κάτι που το συμπέρασμά του δεν στέκεται σημαίνει ότι η αρχική υπόθεση σών και καλά πως είναι λάθος δηλαδή δεν κρύβει μια πρόταση που λέει κάτι, ή είναι αληθές ή είναι ψευδές περί αυτού πρόκειται άρα λοιπόν εφόσον αυτό το πράγμα μέσα στην πανιάρα υπάρχει η πρόταση πως άρχισα με το Άλευ Μηδέν παίρνω την πανιάρα όλη και την πετάω και πετάω και το Άλευ Μηδέν άρα λοιπόν εφόσον πρέπει να έχει ένα κάποιο πληθυκό αριθμό αυτό σίγουρα είναι πιο μεγάλος από το Άλευ Μηδέν το λέω Άλευ Ένα και κατά λίγο στο συμπέρασμα ότι έχω δύο άπειρα το Άλευ Μηδέν και το Άλευ Ένα δεν κουβεδιάζω για την αντίρρηση που την είπαμε στην αρχή ότι υπάρχουν άνθρωποι που θέλουν να δουλεύουν με περασμένους αριθμούς 300 πορτοκάλια 2000 πατάτες η έννοια άπειρο δεν τυχωνεύουν και δεν τη θέλουν εμείς κάνουμε την υπόθεση ας παίξουμε λίγο με τον Γκάντορ αλλά το θέμα είναι να τον παρακολουθήσουμε μέχρι εδώ κάποιος θα μπορούσε να πει ότι έχει μια συνάθεια αυτή η απόδειξη δεν σας σοκάρει λίγο όπου λέει ας πούμε ότι έχει το Άλευ Μηδέν τα βάζει σε σειρά την ώρα που λέει έστω ότι έχω το ΆΛΦΑΕΝΑΕΝΑ το γράφει μετά λέει ας πάρουμε το... διαγώνιο λήμμα το D το γράφει το D και σαν να το βλέπει λέει στη θέση του ΆΛΦΑΕΝΑΕΝΑ βάζω το ΆΛΦΑΕΝΑΕΝΑ δεν είναι το ΆΛΦΑΕΝΑΕΝΑ αυτό το πράγμα ότι κάνει πράγματα που δεν τα ελέγχει μπροστά του δηλαδή δεν πρόκειται για κάποιες πράξεις που είναι μπροστά του απλώς λέει εάν εάν εάν εάν εάν εάν λάθος και λέει η πρότασή μου είναι λάθος θα σε ενοχλεί καθόλου εμένα μου φαίνεται πως είναι παρατραβηγμένο πολύ παρατραβηγμένο εγώ να συμφωνήσω μαζί του τι να συμφωνήσω μαζί του ότι αφήσαμε την Ήπειρο που ξέραμε και πήγαμε στη ζούγκλα όπου υπάρχουν τα άγρια θηρία να συμφωνήσω και μαζί του ότι θα συναντήσουμε παράξενα πράγματα να συμφωνήσω μαζί του σε χίλια δυο αλλά εάν να αφήσουμε την γνωστή την Ήπειρο με τους γνωστούς κανόνες όπου έχουμε τους δρόμους που τέρνονται κάθετα όπου έχει τα φανάρια το ένα και το άλλο και πάμε στη ζούγκλα με τα άγρια θηρία κάπου δεν πρέπει κάποιος για να τους σφυρίχει στο αυτί ότι ίσως και η κλασική λογή που ξέρουμε εμείς από τα κλασικά μαθηματικά μήπως δεν ισχύει και συνεπώς την ώρα που πάμε στους υπερπερασμένους αριθμούς μήπως όλες αυτές τις λογικές κατασκευές που τις κουβαλάμε από τους πεπερασμένους αριθμούς παύουν για να ισχύουν δηλαδή είναι σαν κάποιος για να πάει σαν ένα κομίτι με το διαστημό πλειοτού και να μην σκεφτεί καθόλου τι ότι την ώρα που θα πλησιάζει και τον κομίτι είναι έτοιμος να συναντήσει πράγματα τα οποία δεν τα έχει συναντήσει εκεί και να κουβαλάει την εμπειρία του της γης με κανόνες της ιδίνης στη γη για να τα δει να εφαρμόσονται στον κομίτι ο οποίος δεν θα έχει νερό, δεν θα έχει το ένα, δεν θα έχει το άλλο και συνεπώς κανόνες και πρακτικές που τις μάθαμε με τους ρητούς και τα λοιπά να τις μεταφέρουμε πού? Στα άπειρα αυτά εδώ αφήνω τους υπερπερασμένους αριθμούς άρα είναι εγχείρημα εξαιρετικά δύσκολο αφίβολο και δεν νομίζω ότι συνιστά απόδειξη ότι έχει τη γοητή του την έχει αλλά κάποιος μπορεί για να συγχειριστεί πως αυτή η λογική του Αριστοτέλη περισσότεου πρόκειται ότι μια πρόταση ή είναι ψευδής ή είναι αληθής αυτή η εισάτοπο απαγωγή την ώρα που μιλάμε εμείς για το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών το σύνολο των ρητών το σύνολο των πραγματικών αριθμών αν αυτό ακόμα ισχύει την ώρα που πάμε σε πράγματα που είναι τόσο γενικά και που ξεπερνάνε τις καθημερινές μας της εμπειρίας το αφήνω σαν ερώτημα που θέλει να προσθέσει κάτι να τον ακούσουμε που σημαίνει μπράβο είναι πάρα πολύ σημαντικό ότι οι άριθοι που εμείς ξέρουμε στην πράξη μόνο δύο 3-4 δεν ξέρω πόσους βρήκαμε οι άριθοι αυτοί εδώ είναι πολύ πολύ περισσότεροι από τους ρητούς που τους συναντάμε παντού και τους κλάζμων τα κάνουμε πάμε για να πληρώσουμε στο σούπερ μάρκετ στο κογκιούτερ κάνουμε πράγματα οι άριθοι τώρα με βάση αυτή την απόδειξη που μόλις καναμένει σημαντικό πράγμα αυτό που δεν τους ξέρουμε καν εκτός από τα σύμβολα αυτά εδώ το π και το ρ2 οι άριθοι είναι όχι απλώς πιο πολλοί απείρωσεο πολλοί με άλλα λόγια εάν σκεφτούμε ότι έχουμε το διάστημα αυτό εδώ από το 0 μέχρι το 1 αυτό είναι το διάστημα από το 0 μέχρι το 1 και τι κάνουμε ρίχνουμε βελάκια πάνω στο διάστημα από το 0 μέχρι το 1 απλώς πηγαίνουμε για να διαλέξουμε κάτι εδώ μέσα η πιθανότητα να βγάλω ρητό αριθμό από το διάστημα αυτό 0 μέχρι το 1 είναι η ίση με το 0 γιατί αυτό γιατί είναι σαν να ψάχνω να βρω μια μικρή μικρή νησίδα ένα βράχο σε οκεανό λοιπόν οι άριθοι θα πρέπει για να τους φανταστούμε σαν μια θάλασσα όπου μέσα στη θάλασσα υπάρχουν στίγματα ούτε κανισίδες στίγματα και συνεχώς η πιθανότητα να βρω τα δύο τρίτα μέσα εδώ όπου θα παίζω με διάφορα βελάκια είναι η ίση με το 0 γιατί γιατί η ρητή μαζί με τους άριθους είναι το άλλο φένα και το άλλο φένα είναι απίρος πιο μεγάλο από το άλλο 0 που έχει μέσα μόνο τους ρητούς άλλο πράξεμο πράγμα που επίσης ο Κάρη άρα μιλάμε για κάποιους αριθμούς οι οποίοι είναι τόσο πολλοί βουλιάζουμε μέσα σε αυτούς και παρόλα αυτά δεν τους βλέπουμε εκτός από αυτά τα δύο συμβολικά νούμερα σημαντικό θέμα αυτό, ναι δεν ξέρω πως μπορεί κανένας για να το βιώσει ειδικά πως μπορεί για να το βιώσει ένας φυσικός που κάνει πράξεις, διαιρεί και κάνει και κάπου μέσα στις πράξεις τους μπαίνουν τα άπειρα και παραμείνει το θέμα τα άπειρα αυτά τι είναι είναι απλώς το άλλο 0 είναι ένα άλλο 1 είναι κάτι πιο μεγάλο ποια είναι η έννοια του αριθμού δηλαδή αρχίζουμε κάτι πάρα πάρα πολύ απλό και έχουμε τα δάχτυλά μας λέμε ένα, δύο, τρία και το μάθαμε αυτό από μικρά παιδιά και με κάποια στιγμή μέσα από αυτά που μαθαίνουμε σιγά σιγά και σιγά σιγά φτάνουμε σε μια εμπειρία άλλη ότι αυτό το ένα, δύο, τρία στο σύνολο των αριθμών που όντως υπάρχουν είναι ένα τίποτα πραγματικά τίποτα δηλαδή το μέτρο για να βρούμε το τρία στον άξονα αυτόν εδώ από το μειον άπειρο μέχρι το συν άπειρο είναι ίσως με το 0 άμα το πετάξω το βέλθος και πάνω 1.100 θα πέσει σε ένα αριθμό άριθο γιατί είναι πάρα πάρα πολύ παρόλο που δεν μπορούμε για να πούμε ποιοι είναι άλλη ερώτηση ναι Με αυτή την αποδοχή του μένους η αγώριξη του πλαντών είναι ενεργμένη να σε οδηγήσει ένας οικογένειας να ξέρω Έχεις δίκιο αλλά παραμένει και το ερώτημα αυτός ο κανόνας που λες τον οποίο πιθανόν να τον αποδεχθούμε να δεχθούμε στα πλαίσια της κοινής λογικής όπως την έχουμε ανασύρει μέσα από τις εμπειρίες μας εντάξει ίσχει εδώ ή όχι γιατί με τη δία λογική που λες όταν στο Άλευ Μηδέν θα βάζαμε κάτι παραπάνω και το ΚΑΠΑ μας δίνει ξανά το Άλευ Μηδέν Άρα μιλάς για μια λογική που μας έχετε από τις εμπειρίες μας αρχιολυνικές Αριστοτέλης και δεν συμμαζεύεται που λέει ή είναι αυτό ή είναι και το κάτι άλλο να συμφωνήσουμε όλοι ότι υπάρχουν οι Άρητοι αλλά μπορεί κάποιος να σου πει ότι το επιχείρημα του ΚΑΠΑ δεν συνιστά απόδειξη ότι οι Άρητοι μαζί με τους Άρητους είναι πιο πολλοί από τους Ρητούς γιατί πάει και καταφεύγει στην άτοπο απαγωγή το οποίο τι είναι είναι μια μαθηματική λογική και οσδήποτε έχει το δικαίωμα της ένστασης να πει συγγνώμη αυτόν τον κανόνα που το μάθαμε εκεί έχουμε το δικαίωμα να τον πάρουμε και να το μεταφέρουμε και μία φάση η οποία είναι δεν ξέρω ότι φαίνεται γιατί κάτι πολύ ωραίο φαίνεται και είναι το θέμα ότι αν το κάνεις μία φορά μετά μπορείς να το ξανακάνεις γι'αυτοί μπορείς άμα το καλωσκεφθείτε λίγο σε λίγο χρόνο να καθίσετε κάπου σύρρα και να το σκεφτείτε από πού βγάζουμε τους Άρητους Μπορούμε για να βγάλουμε μία ιστορία τέτοια. Αρχημάζω α που γράφεται 0 τελεία α1, α2, α3 και πάει μέχρι το άπειρο. Βγαίνει από το συνολό των υποσυνολών των φυσικών, δηλαδή του Άλευ Μηδέν. Αν πάρουμε το σύνολο των φυσικών, 1, 2, 3, 4, 5, και φτιάξουμε το σύνολο των υποσυνόλων, μπορούμε να φανταστείμε όλα τα υποσύνολα που φτιάξεις εσύ από το 1, 2, 3. Ορίστε. Ναι. Άρα, λοιπόν, εκεί μπορεί να υπάρχει το 1, 2, 3, το 4, 2, 5 και να σταματήσει εκεί. Αλλά κάποιος σου λέει, εγώ δεν θέλω να σταματήσω. Και συνεχίζω. 2, 4, 5, 8, 13, 16, 32, 56 και πάει τέρμα. Και, συνεπώς, στο σύνολο των υποσυνολών των φυσικών, υπάρχουν και η άριτη, που σημαίνει η αριθμή αυτή εδώ με τα άπειρα δεκαδικά ψηφία. Τώρα, άλλη κομπίνα πάλι. Εγώ θυμάμαι, από τη θεωρία συνόλων και την πιο απλή, ότι αν έχω ένα σύνολο με πληθυκό αριθμό ν, το σύνολο των υποσυνολών είναι 2 στη ν. Αν κάποιος δεν το ξέρει, μπορεί να καθίσει και να το δει με περιπτώσεις. Δηλαδή, αν έχω ένα σύνολο με δύο στοιχεία, για να το κάνουμε μαζί. Λοιπόν, εγώ λέω, το σύνολο των υποσυνολών είναι 2 στη ν. Η ν είναι ο αριθμός των στοιχείων που υπάρχουν στο σύνολο. Λοιπόν, ας πάρουμε την περίπτωση ότι έχω το σύνολο με στοιχεία το α και το β. Βγάζω το πρώτο κενό που δεν έχει τίποτα. Το α είναι το ένα το σύνολο, το β είναι το άλλο σύνολο και το αβ είναι το τρίτο. Πόσα είναι 1, 2, 3, 4. 2 στη δευτέρα, 4. Αν είχαμε τρία στοιχεία, θα είναι 2 στη τρίτη. 8. Και τα λοιπά, και τα λοιπά. Άρα, κάποιος λέει, τέλεια, εφόσον μόλις μας είπες ότι το σύνολο των υποσυνολών του Άλευ 0 είναι το Άλευ 1, γράφουμε την τροματική σχέση ότι το Άλευ 1 είναι 2 στη Άλευ 0. Κάποιος τώρα θα μπορούσε να μου πει, συγγνώμη. Εμείς βγάλαμε πιο μπροστά ότι το Άλευ 0 σε οδήποτε δυναμή είναι ξανά το Άλευ 0. Μήπως αυτό μας δώσει πάλι κάτι πίσω το Άλευ 0. Δεν το δίνει, γιατί το 2 στην Άλευ 0 δεν είναι μια δυναμή. Το Άλευ 0 είναι 2 στην Άλευ 0. Αν ισχύει εκείνα τα παλιά που μάθαμε στα συνήθιμαθματικά, το 2 στην Άλευ 0 είναι εκθετικό. Άλευ 0 επί Λογ 2. Εκθετικό όμως. Τώρα μη με ρωτήσει κανένας τι σημαίνει το εκθετικό του Άλευ 0 στα μαθηματικά αυτά εδώ, σ' εικόνα τα χέρια ψηλά. 2 στην Άλευ 0. Σημαίνει ότι παίρνω γινόμενο από διάρρια. Σωστά. Πόσα διάρρια? Δεν είναι ένα διάρι. Δεν είναι διάρρια. Δεν είναι τρία διάρρια. Δεν είναι πέντε διάρρια. Δεν είναι χίλια διάρρια. Είναι άπειρα διάρρια. Κομιά φορά η ακρίβεια δεν βοηθάει πάρα πολύ. Κατάλαβα τι είπες. Απλώς θα έλεγα για τους μη μαθηματικούς να έχουν και το παράδειγμα μπροστά τους. Θα έλεγα ότι τους βοηθάει στην πράξη. Αν το κάνουν δύο-τρεις φορές, πιθανόν μετά για να πιστούν ότι όντως το σύνολο των υποσυνόλων είναι δύο στη ν. Και κατά έναν τρόπο οριακό, στην περίπτωση μας το Άλευ 1 πρέπει να είναι το 2 στην Άλευ 0. Όπου τώρα το 2 στην Άλευ 0 θα έχει το νόημα που σου ανέφερε και ο συνάδελφος ότι είναι η απεικόνιση του Άλευ... Για να θυμηθούμε τον παλιό μας φίλο τον Ζίνωνα, να μην ξεχάσετε ποτέ τον Ζίνωνα. Ο Ζίνωνα έλεγε, αν ένα πράγμα μπορεί να γίνει μια φορά, μπορεί να γίνει και δεύτερη. Άρα κάποιος μπορεί για να του την πέσει του Κάντορ, να πει Κάντορ, το έκανες μια φορά, έλα για να το κάνουμε πάλι μαζί. Άρα, αν πάρουμε το Άλευ 1 και φτιάξουμε το σύνολο των υποσυνόλων του Άλευ 1, θα πάμε σε ένα άλλο σύνολο με πληθυκό αριθμό, το 2 στην Άλευ 1. Το λέμε το Άλευ 2. Άντε πάλι ξανά θα πάρουμε το Άλευ 2, θα φτιάξουμε το σύνολο των υποσυνόλων του Άλευ 2, θα πάμε στο 2 στην Άλευ 2, το λέμε το Άλευ 3. Και ξαφνικά βρισκόμαστε μπροστά σε μια σκάλα, όπου κάτω-κάτω στον μπάτο έχουμε τους αριθμούς που ξέρουμε, τους φυσικούς και τους ρητούς, από πάνω έχουμε το Άλευ 1, από πάνω το Άλευ 2, το Άλευ 3 κτλ. Και το ερώτημα είναι, μέχρι το Άλευ 1 νιώθεις μια κάποια ησυχία, όχι μικροσυγγουριά, γιατί αυτό? Γιατί μπορείς να πεις, ξέρεις, μέσα στο Άλευ 1 υπάρχουν πράγματα που ξέρω εγώ, έστω δεν τα ξέρω όλα, αλλά υπάρχει εκείνο το Ρήζα 2 και το πει, μέσα στο Άλευ 2 τι στο καλό υπάρχει, γιατί είναι τόσο απλό να λες κατασκευάζω, κατασκευάζω, κατασκευάζω, αλλά έχουνε καμία σχέση και με την όλη πραγματικότητα, με αυτό που συναντάμε στη φύση, με αυτό που μπορούμε να σκεφτούμε και να φτιάξουμε. Οπότε μπαίνει μια αφιβολία τεράστια ποια η σχέση μέσα στη δική μας τη μαθηματική σκέψη εισακολικά και την πραγματικότητα. Δεν έχουμε χρόνο, μου φαίνεται πως πέρασε η ώρα, απλώς για να σας διαβάσω την άλλη φορά που θα περθούμε την πέμπτη, μερικά σχόλια που προφανώς δεν συγκλίνουνε. Άλλοι τον θαύουν τον Γκάντορ και άλλοι τον θεωρούν σαν από τα πιο μεγάλα μυαλά του 19ου αιώνα, που άνοιξε καινούργιους δρόμους στη μαθηματική σκέψη, που σημαίνει ότι εσάς δεν σας εμποδίζει κανένας να διαμορφώσει τη δική σας γνώμη και να πείτε αυτοί οι κανόνες που μόλις έχουμε πει, αν όντως έχουνε βάσει, αν υπάρχει τρόπος για να τους ελέγξουμε, για να τους προτείνουμε, για να κάνουμε κάτι άλλο, εντάξει.