Μαθηματικά - Ισοδυναμία & σύγκριση κλασματων - Ε' Δημοτικού Επ. 148 (Υπουργείο Παιδείας και Θρησκευμάτων, 2020)
: travel music Γεια σας παιδιά. Λέγομαι η Λέκτρα και σήμερα θα μιλήσουμε για τα κλάσματα. Και συγκεκριμένα για την ισοδυναμία των κλασμάτων... για την απλοποίηση, για τη σύγκριση, για τη διάταξή τους. Και τώρα εσείς θα μου πείτε, πού μου χρησιμεύουν τα ισοδύναμα κλάσματα, και γιατί πρέπει να μάθω να ξεχωρίζω ποιο είναι μεγαλύτερο και ποιο είναι μικρότερο. Και εγώ θα σας απαντήσω ότι αν μάθετε να βρίσκετε ποια είναι τα ισοδύναμα κλάσματα, δεν θα βγείτε χαμένοι, γιατί δεν θα μπορεί ποτέ κανείς να σας κοροϊδέψει. Και τι εννοώ με αυτό. Σκεφτείτε, λοιπόν, ότι βρίσκεστε σε ένα διαγωνισμό για τη μεγαλύτερη πίτσα του κόσμου, η οποία μετά τη λήξη του διαγωνισμού, θα μοιραστεί στα τρία τμήματα της Πέμπτης Δημοτικού. Για να διαπιστώσουν όμως, εάν είστε και καλοί μαθητές, σας ρωτάνε. Ποιο μέρος της πίτσας θα επιλέξετε για το δικό σας τμήμα? Τα 2 τέταρτα, τα 4 δέκατα έκτα ή τα 5 εικοστά. Είναι εύκολο να αποφασίσουμε με τη μορφή που έχουν τώρα τα κλάσματα. Εσείς, ποιο κομμάτι θα επιλέγατε? Σωστά το σκεφτείτε και επιλέξατε τα 2 τέταρτα, γιατί τώρα το δικό σας τμήμα θα φάει το μεγαλύτερο μέρος της πίτσας. Και πάμε τώρα να δούμε γιατί τα 2 τέταρτα είναι το μεγαλύτερο μέρος, και πώς το βρίσκουμε αυτό όταν έχουμε και μεγαλύτερους όρους τα κλάσματα. Το μάθημά μας, λοιπόν, ξεκινάει με τα ισοδύναμα κλάσματα. Ισοδύναμα κλάσματα, όπως το λέει και η λέξη, είναι τα κλάσματα που έχουν ίση, δύναμη. Πώς τα φτιάχνω? Πολαπλασιάζω και αριθμητή και παρανομαστή με τον ίδιο αριθμό. Άρα, στα ισοδύναμα κλάσματα, πολλαπλασιάζω. Πάμε να δούμε ένα παράδειγμα. Έχω τον αριθμό 3,9. Πολαπλασιάζω και τον αριθμητή και τον παρανομαστή με τον ίδιο αριθμό. Για παράδειγμα, με το 2. 3 x 2, ίσον 6. 9 x 2, ίσον 10, 8. Και προκύπτει τώρα το κλάσμα 6, 18, που είναι ισοδύναμο με το αρχικό. Ας πολλαπλασιάσω τώρα το αρχικό μου κλάσμα με το 3. 3, 19. 3 x 3, ίσον 9. 9 x 3, ίσον 20, 7. Και τώρα προκύπτει το κλάσμα 9, 27, που είναι και αυτό ισοδύναμο με το αρχικό μου κλάσμα. Οπότε, 3, 19, 9, 6, 10, 8. Και 9, 27 είναι ισοδύναμα. Αυτά τα κλάσματα είναι ισοδύναμα με το αρχικό, απλώς έχουν μεγαλύτερους όρους. Ας δούμε ακόμη κάποια παραδείγματα. 2, 4. Πολλαπλασιάζω και τον αριθμητή και τον παρανομαστή με το 2. 2 x 2, ίσον 4. 4 x 2, ίσον 8. Και έχουμε τώρα το κλάσμα 4, 8. Θα πολλαπλασιάσω πάλι το αρχικό μου κλάσμα με το 3. Και προκύπτει τώρα 2 x 3, ίσον 6. 4 x 3, ίσον 12. Προκύπτει λοιπόν το κλάσμα 6, 12, που είναι και αυτό ισοδύναμο με το αρχικό. Οπότε η σχέση μας είναι 2, 4, ίσον με 4, 8, ίσον 6, 12. Τα κλάσματα αυτά είναι ισοδύναμα. Ας φτιάξουμε τώρα όμως ένα σχήμα για να μπορέσουμε να το καταλάβουμε καλύτερα. Γιατί πάντα ένα σχήμα βοηθάει, παιδιά. Οπότε έχω αυτή τη σοκολάτα. Την οποία χωρίζω σε 4 κομμάτια. Από τα 4 κομμάτια, εγώ παίρνω τα 2. Να δούμε. Φτιάχνω πάλι την ίδια σοκολάτα, την οποία αυτή τη φορά θα χωρίσω σε 8 κομμάτια. Παίρνω λοιπόν από αυτή τη σοκολάτα τα 4 κομμάτια. Και τώρα θα φτιάξουμε την τρίτη μας σοκολάτα. Όπως βλέπετε, μου αρέσουν πολύ οι σοκολάτες. Την οποία αυτή τη φορά θα χωρίσουμε σε 12 κομμάτια. Και από αυτά, εγώ θα πάρω τα 6. Τώρα που φτιάξαμε τις σοκολάτες μας, βλέπουμε ότι σε όσα μέρη και να χωρίσω τη σοκολάτα, εγώ θα φάω την ίδια ποσότητα κάθε φορά. Οπότε τώρα ας το σβήσουμε. Και τώρα που σβήσαμε τον πίνακα, πάμε να συνεχίσουμε. Θέλω να σας πω ότι θέλω κι εσείς να κάνετε ξάσχηση στο σπίτι, πολλαπλασιάζοντας και με μεγαλύτερους αριθμούς. Και θα δείτε πόσο απλό είναι. Ίσοδύναμα είναι τα κλάσματα που προκύπτουν και από διέρεση. Διαιρούμε και τον αριθμητή και τον παρανομαστή με τον ίδιο αριθμό. Και προκύπτουν νέα κλάσματα, ίσοδύναμα, με μικρότερους όρους από τα αρχικά. Έχω λοιπόν το κλάσμα 18-54. Διαιρώ και τον αριθμητή και τον παρανομαστή με το 2. Και προκύπτει τώρα το κλάσμα 18-9. 54-2 είναι 27, το κλάσμα 9-27. Αυτό το κλάσμα μπορεί να έχει μικρότερους όρους, αλλά είναι ίσοδύναμο με το αρχικό. Αυτή η διαδικασία λοιπόν, δηλαδή η διέρεση και του αριθμητή και του παρανομαστή με τον ίδιο αριθμό, ονομάζεται απλοποίηση. Οπότε, στην απλοποίηση, τι κάνω, διαιρώ. Ας δούμε μερικά παραδείγματα απλοποίησης. Έχουμε τον αριθμό 40-80. Διαιρώ και τον αριθμητή και τον παρανομαστή με τον ίδιο αριθμό. 42-2 είναι 20, 80-2 είναι 40. Και φτάνουμε τώρα σε ένα νέο κλάσμα, τα 20-40, που είναι ίσοδύναμο με το αρχικό, αλλά με μικρότερους όρους. Ας παίξουμε λίγο ακόμα, ας διαιρέσουμε λίγο. Ας διαιρέσω πάλι με το 2, και τον αριθμητή και τον παρανομαστή. 20-2 είναι 10, 40-2 είναι 20. Και έχουμε τώρα τα 10-20, που είναι ίσοδύναμα με το αρχικό μας κλάσμα, τα 48-20. Να δούμε τώρα αυτό, 10-20-5. Ας διαιρέσω με το 2. Μπορώ να διαιρέσω και τον αριθμητή και τον παρανομαστή με το 2. Όχι, πολύ σωστά. Δεν μπορώ να τα διαιρέσω και τα 2, οπότε δοκιμάζω με έναν άλλο αριθμό, το 3. Γίνεται? Όχι. Με το 4 γίνεται? Πάλι όχι. Με το 5, το 5 είναι ο αριθμός που ψάχνω. Οπότε, διαιρώ με το 5, 10-5-2, 25-5-5 και προκύπτει το κλάσμα 2-5, που είναι ίσοδύναμα με το αρχικό. Για πείτε μου τώρα, παρατηρείτε κάτι εδώ. Ας σας βοηθήσω λιγάκι εγώ. Αυτό το κλάσμα μπορούμε να το διαιρέσουμε ξανά με ένα κοινό αριθμό? Μπορούμε να διαιρέσουμε με τον ίδιο αριθμό και το 2 και το 5. Όχι. Αυτό το κλάσμα λοιπόν που δεν απλοποιείται άλλο, που δεν μπορεί να διαιρεθεί και στον αριθμητή και στον παρανομαστή με τον ίδιο αριθμό, το λέμε ανάγωγο. Άρα, ανάγωγο είναι το κλάσμα που δεν απλοποιείται άλλο. Τώρα λοιπόν που καταλάβαμε και την ισοδυναμία και την απλοποίηση των κλασμάτων, ας επιστρέψουμε σε εκείνο το διαγωνισμό της πίτσας που είδαμε στην αρχή και ας δούμε γιατί τα 2 τέταρτα ήταν η καλύτερη επιλογή. Αφού σβήσεμε τον πίνακα, πάμε να συνεχίσουμε. Στην αρχή, εσείς είχατε επιλέξει πολύ σωστά τα 2 τέταρτα. Η άλλη ώρα ήταν τα 4 δέκατα έκτα και τα 5 εικοστά. Είπαμε όμως ότι με τη μορφή που έχουν τώρα αυτά τα κλάσματα, δεν μας βοηθάει να καταλάβουμε γιατί ήταν η καλύτερη επιλογή. Πάμε λοιπόν να τα απλοποιήσουμε για να το καταλάβουμε περισσότερο. Διαιρώ τα 4 δέκατα έκτα και τον αριθμητή και τον παρανομαστή. Αυτό είναι πολύ σημαντικό, δεν θέλω να το ξεχνάτε. 4 δια 2 ίσον 2. 16 δια 2 ίσον 8. Σταματάω εδώ? Όχι, μπορώ να συνεχίσω λίγο ακόμα. Διαιρώ ξανά με το 2. 2 δια 2 ίσον 1, 8 δια 2 ίσον 4. Και τώρα έχω το κλάσμα 1 τέταρτο που είναι ισοδύναμο με τα 4 δέκατα έκτα. Αυτή η μορφή νομίζω με βοηθάει πολύ περισσότερο. Πάμε στα 5 εικοστά. Μπορώ να διαιρέσω με το 2 και το 5 και το 20. Όχι. Με το 3 δε γίνεται, με το 4 δε γίνεται. Άρα διαιρώ κατευθείαν με το 5. 5 δια 5 ίσον 1, 20 δια 5 ίσον 4. Πάλι φτάνω στο 1 τέταρτο. Άρα το 1 τέταρτο είναι ισοδύναμο με τα 5 εικοστά μου. Οπότε, λοιπόν, από αυτή την πίτσα του διαγωνισμού, εσείς πολύ σωστά επιλέξατε τα 2 τέταρτα. Και τα υπόλοιπα τμήματα έφαγαν από 1 τέταρτο το καθένα. Είδατε τώρα, λοιπόν, γιατί βγήκατε κερδισμένοι. Φάγατε σχεδόν τη μισή πίτσα. Πάμε να σβήσουμε τον πίνακα για να συνεχίσουμε. Και αφού σβήσαμε τον πίνακα, πάμε τώρα να συνεχίσουμε. Αφού ολοκληρώσαμε με την ισοδυναμία και την απλοποίηση, πάμε τώρα να δούμε τη σύγκριση και τη διάταξη των κλασμάτων. Θέλω όμως πρώτα να θυμηθούμε ποια είναι τα ομώνυμα και ποια είναι τα τερώνυμα κλάσματα. Ομώνυμα είναι τα κλάσματα που έχουν ίδιο παρονομαστή. Στα ομώνυμα γράφω ίδιος παρονομαστής. Τα τερώνυμα είναι αυτά που έχουν διαφορετικό παρονομαστή. Άρα, γράφω διαφορετικός παρονομαστής. Όταν έχουμε ομώνυμα κλάσματα, μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει το μεγαλύτερο αριθμητή. Έχω λοιπόν δύο κλάσματα. Τα πέντε έκτα και τα δύο έκτα είναι ομώνυμα. Οπότε, κοιτάζω ποιο έχει μεγαλύτερο αριθμητή. Το πέντε είναι μεγαλύτερο από το δύο, άρα τα πέντε έκτα είναι μεγαλύτερα από τα δύο έκτα. Για να το καταλάβουμε καλύτερα, έφτιαξα και δύο σοκολάτες. Οι δύο σοκολάτες είναι χωρισμένες σε έξι κομμάτια. Στην πρώτη θα πάρω πέντε κομμάτια και στη δεύτερη σοκολάτα θα πάρω δύο κομμάτια. Όπως βλέπετε, στην πρώτη σοκολάτα έφαγα περισσότερο. Τώρα σε μια άλλη περίπτωση, έχω οι ίδιους αριθμητές αλλά διαφορετικούς παρονομαστές. Τα κλάσματα μου είναι τερόνημα. Εδώ μεγαλύτερο είναι το κλάσμα που έχει το μικρότερο παρονομαστή. Έχω λοιπόν τα κλάσματα δύο τρίτα και δύο πέμπτα. Οπότε το τρία είναι μικρότερο από το πέντε. Άρα τα δύο τρίτα είναι μεγαλύτερα από τα δύο πέμπτα. Πάμε πάλι στις σοκολάτες που πολύ αγαπώ. Η πρώτη είναι χωρισμένη σε τρία κομμάτια και θα πάρω δύο. Και η δεύτερη είναι χωρισμένη σε πέντε κομμάτια και πάλι θα πάρω δύο. Όπως βλέπουμε όμως, από την πρώτη σοκολάτα έχω φάει περισσότερο γιατί έχω φάει μεγαλύτερα κομμάτια. Ας δούμε τώρα μια άλλη περίπτωση, όπου έχω και διαφορετικούς αριθμητές και διαφορετικούς παρονομαστές. Εδώ μεγαλύτερο είναι το κλάσμα που έχει μεγαλύτερο αριθμητή αλλά μικρότερο παρονομαστή. Άρα το πέντε είναι μεγαλύτερο από το τρία, το εφτά είναι μικρότερο από το εννέα, άρα τα πέντε έβδομα είναι μεγαλύτερα από τα τρία έννοτα. Να δούμε εδώ, θα πάρω πέντε κομμάτια εδώ και εδώ θα πάρω τρία κομμάτια. Όπως βλέπετε στην πρώτη σοκολάτα έχω φάει περισσότερο από τη δεύτερη. Για να δούμε όμως και κάποια άλλα παραδείγματα για να τα κατανοήσουμε καλύτερα. Θα σβήσουμε τον πίνακα. Για να τα κατανοήσουμε καλύτερα ας βάλουμε κάποια κλάσματα σε μία σειρά. Η διαδικασία αυτή λέγεται διάταξη. Άρα, στη διάταξη βάζω τα κλάσματα σε σειρά. Στη συγκεκριμένη περίπτωση θα τα διατάξουμε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο. Έχουμε τα πέντε δέκατα, τα τρία δέκατα και τα εφτά δέκατα. Όπως βλέπουμε εδώ τα κλάσματα μας είναι ομώνυμα, άρα προσέχω τον αριθμητή. Μικρότερος αριθμός είναι το τρία, άρα τα τρία δέκατα είναι το μικρότερο κλάσμα. Ακολουθούν τα πέντε δέκατα και τέλος τα εφτά δέκατα που είναι το μεγαλύτερο κλάσμα. Πάμε να δούμε κάποιους άλλους αριθμούς. Εφτά τρίτα, εφτά όγδωα και εφτά τέταρτα. Εδώ τα κλάσματα είναι ετερόνυμα με ίδιους αριθμητές. Μικρότερο είναι το κλάσμα που έχει το μεγαλύτερο παρονομαστή. Άρα το οχτώ είναι ο μεγαλύτερος αριθμός από όλους, άρα τα εφτά όγδωα είναι το μικρότερο κλάσμα. Μετά ακολουθούν τα εφτά τέταρτα και τέλος τα εφτά τρίτα που είναι το μεγαλύτερο κλάσμα. Τέλος έχω δύο αριθμούς, τα δέκα όγδωα και τα έξι έννατα. Ανάμεσα σε αυτά τα δύο κλάσματα, μικρότερο είναι αυτό που έχει το μικρότερο αριθμητή αλλά το μεγαλύτερο παρονομαστή. Άρα το έξι είναι μικρότερο από το δέκα, το εννιά είναι μεγαλύτερο από το οχτώ, άρα τα έξι έννατα είναι μικρότερα από τα δέκα όγδωα. Ας κάνουμε μια τελευταία σκησούλα για να ξεχωρίσουμε σε αυτή την περίπτωση ποια κλάσματα είναι μεγαλύτερα. Σβήνουμε τον πίνακα, ωραία. Έχουμε λοιπόν εδώ τα τέσσερα έννατα και τα εφτά έννατα. Τα κλάσματα είναι ομώνυμα, κοιτάζω λοιπόν τον αριθμητή ξανά, μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει το μεγαλύτερο αριθμητή. Άρα το εφτά είναι μεγαλύτερο από το τέσσερα, το εφτά έννατα είναι μεγαλύτερα από τα τέσσερα έννατα. Μετά έχουμε τα έξι δέκατα πέμπτα και τα έξι δωδέκατα. Εδώ που οι αριθμητές είναι οι ίδιοι είχαμε πει ότι μεγαλύτερο είναι το κλάσμα που έχει το μικρότερο παρονομαστεί. Το δώδεκα είναι μικρότερο από το δεκαπέντε, άρα τα έξι δωδέκατα είναι μεγαλύτερα από τα έξι δέκατα πέμπτα. Τέλος έχω τα οχτώ τρίτα και τα εφτά τέταρτα. Εδώ που και οι αριθμητές και οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί, για να βρω ποιο είναι μεγαλύτερο κοιτάζω ποιο έχει το μικρότερο αριθμητή αλλά μεγαλύτερο παρονομαστεί. Το εφτά είναι μικρότερο από το οχτώ, το τέσσερα είναι μεγαλύτερο από το τρία, άρα τα εφτά τέταρτα είναι μεγαλύτερα από τα οχτώ τρίτα. Και το μάθημά μας τελειώνει κάπου εδώ. Για να δούμε τι μάθαμε σήμερα. Είδαμε τα ισοδύναμα κλάσματα. Είπαμε ότι είναι τα κλάσματα που έχουν διαφορετικό αριθμητή και παρονομαστή αλλά εκφράζουν το ίδιο μέρος ενός όλου, έχουν ίση δύναμη. Για να δημιουργήσουμε ισοδύναμα κλάσματα, πολλαπλασιάζουμε και τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό. Είδαμε την απλοποίηση των κλασμάτων, είπαμε ότι είναι η διαδικασία με την οποία δημιουργούμε ένα καινούργιο κλάσμα που είναι ισοδύναμα με το αρχικό, αλλά έχει μικρότερο αριθμητή και παρονομαστή. Για να απλοποιήσουμε ένα κλάσμα, διαιρούμε και τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό. Αν ένα κλάσμα δεν απλοποιείται άλλο, λέγεται ανάγωγο. Τέλος, είδαμε τη σύγκριση και τη διάταξη των κλασμάτων, είπαμε ότι στα ομώνυμα κλάσματα, μεγαλύτερο είναι το κλάσμα που έχει μεγαλύτερο αριθμητή. Στα κλάσματα που έχουν ίσους αριθμητές, μεγαλύτερο είναι το κλάσμα που έχει μικρότερο παρονομαστή. Ένα κλάσμα που έχει μεγαλύτερο αριθμητή και μικρότερο παρονομαστή από ένα άλλο κλάσμα, είναι μεγαλύτερο από αυτό. Αυτό ήταν το μάθημά μας για σήμερα. Ελπίζω να περάσετε όσο όμορφα πέρασα και εγώ. Καλή συνέχεια!