Δαρβινική Δευτέρα : Η παραδοξότητα του απείρου και του πεπερασμένου στα Μαθηματικά (Natural History Museum of Crete, 2019)
: Λοιπόν, επειδή είναι η τελευταία Ναυριακή Δευτέρα αυτής της περίοδος, δηλαδή του 18-19, πραγματικά έτσι στάνουμε μια και χαρά και ικανοποίηση και υποχρεωσία να κάνουμε ένα είδος αποδογισμού πολύ γρήγορα. Ήρθαν 9 χρόνια από τότε που ξεκινήσαμε, 5-6-10 άνθρωποι με τη διαιρεία της Δαρκηνικής Δευτέρας. Με τη σημερινή διάλεξη της Φυγείας στο Παλδοκούλου Θεάτου συμπληρωθεί 58 διελέξεις, με διάφορα θέματα, όπως ξέρετε. Δεν ακούει η Ελληνία καλά. Δεν ακούει, βαθώ. Πάμε τώρα. Όλα καλύτερα. Όλα καλύτερα. Τώρα ακούει η Ελληνία καλύτερα. Το άλλο, το άλλο. Λοιπόν, θέλω να πω ότι οι Δαρκηνικές Δευτέρες πραγματικά έχουν ανάψει κάποια πυριέλη και κάποια ζήλια, καλή ζήλια, ευχάριστη ζήλια από τα αδερφά πανεπιστοίμια. Ήδη η Θεσσαλονίκη με τον Ζάγου τον Σκούρα έχει ξεκινήσει μια τέτοια σειρά, τώρα είναι στο δεύτερο έτος της. Γιατί οι Ραθήνα βέβαια πάντα τα έλεγαν ότι εμείς κάναμε κάποτε, κλπ, τίποτα το συστηματικό. Στην Πάτρα γίνεται η συζήτηση, να αρχίσουν κάτι παρόμοιο. Σε αυτό είναι πολύ ευχαριστώ και εάν η Θεσσαλονίκη, η Πάτρα Ιρακλειο, μένει βέβαια στα Ιωάννια, ίσως και η Αλεξανδούπολη, δημιουργούσε ένα διαδίκτυο, τότε ίσως θα μπορούμε και να ανταβάσουμε ομιλητές. Αλλά αυτά τα πράγματα απαιτούν κάποια οργάνωση, αλλά δεν είναι οργάνωση, είναι ο ανθρώπινος παράγοντας, που δύσκολα ξεπερβένται, ειδικά όταν μπαίνει ακόμα και το πιο αθώο πνεύμα του δημοσίου. Και ακόμα το πιο αθώο. Για να σας πω πάρα με συγχάρη ότι έχουμε δημιουργήσει μια εταιρεία την οποία δημιουργάζουμε Ελληνική Εξελεκτική Εταιρεία, όχι μόνο δύο λόγους, οτιδήποτε ενέχεια εξέλιξης, ψυχολογική, κοινωνική, κλπ. Και δεν θα καταφέρουμε ακόμα να αποκτήσουμε στέγη. Δεν μπορούμε. Για ποιο λόγο? Διότι ή θα πάμε σε ιδιότικη και θα πληρώσουμε 200 ευρώ, ή θα πάμε σε πανεπιτήμιο που το προσφέρει το παραπρασθήμια πλόγια, το δημόσιο λογιστικό δεν δέχεται. Θέλει να υποβάλλουμε και αφημοί και έσοδα και έξοδα κλπ. 3.000 ευρώ. Επάσουμε εκτός και του ίδιου παιδί πρόκωμα και το πρόκωμα με την επέκταση, την μεγέντηση της δυναμιότητας των εθνικών εδώ στο νησίο. Προσπαθούμε να δημιουργήσουμε μια σύνδεση αυτού του χώρου με το τρίτο όροφο, ώστε να μπορούμε να έχουμε το περισσότερο στο ακροδέκτειο, ίσως και να φτάσουμε και τις 200, γιατί περίπου κάποτε είχαμε και 200 και οι νησί φύγανε. Και αυτό είχαμε κάποιο προβλήμα διαδικαστικά. Την άιμορια όμως ήρθε και τα καλά πράγματα και είμαστε σε πολύ περίεργη, έτσι ευχάριστη θέση, να ανακοινώσω να ερωτεί. Ένα απλό γράμμα, πάρα πολύ απλό γράμμα στο ΔΑΤΟ, εξοδεχείο ΔΑΤΟ, είχε μια άμεσα εντεπόκριση, καταπληκτική άμεσα. Διστήσαμε δύο γενεκτηρέψεις στο πρώο μας, έως σε τέσσερας. Και χωρίς κανένα πληροφορισμό. Όποτε θέλατε δικές σας ειδικές. Ελπίζω το ίδιο πράγμα να επιτύχουμε και με... και ευχαριστούμε, να τις βάλουμε και στο λόγο μας. Και το ίδιο φαντάζουνε ακόμα και θα το τύχουμε με την Αιζία. Γιατί άμα επιτύχουμε αυτά τα δυο, τότε πρεγματικά μπορούμε να φτιάχνουμε ανθρώπους από την Αθήνα τουλάχιστον, αλλά και από το εξωτερικό, πολύ αξιόδοξοι, οι οποίοι δεν μπορούν να φτιάχνουν ακριβώς λόγω αυτού του... έτσι, δεν μπορείς να βρεις έναν δικό εξοδότο, ο οποίος φαντάζουνε να το ξεπεράσουμε. Αυτά ήταν λίγα στις ειδικορίσεις της Σουζάννα που είπα. Για τη Σουζάννα υπήρξε αριστούχα, φοιτήτρια, τόσο στον Προκτήρια, πόσο και στον Εγκατυκιακό Πανεπιστημίου Αιθηνών, με τον κοινισμένο μαθηματικό της εποχής εκείνης, τον Δημήτρη Κάβ. Πήρε το βραβείο Χαμπολτ, πολύ σημαντικό βραβείο. Σπούλασε και δίδαξε σε γερμανικά πανεπιστήμια. Έχει πάρει ένα δυο σημαντικά βραβείο διδασκαλίες στην οικογένειά, το Πανελλήνιο Συμβαίνειες βραβείο Ναξανθόπου του Ματικού και το Κρητικό Στέλιο της Πρυχορίδης. Αλλά όλες αυτές είναι πρωτιές, οι οποίες όμως κατά την πνώμη μου χρειούν μπροστά σε μια αφορημένη πρωτιά, σε μια αφορεμένη λογίδα μου, το οποίο δεν μπορώ να το αναζητήσω πιο. Και όλοι το ξέρουμε, αλλά δεν μπορούμε να τα μάθουμε σε κανοικιά. Ποιος είναι ο καθηγητής? Ο καθηγητής. Αν μπορούσαμε ποτέ να φανταστούμε ότι το φτιάξαμε αυτό το καθηγητή, έχοντας τα προβληρωτικά του στοιχεία, εγώ νομίζω ότι ο πρώτος που θα είναι, θα είναι η Ιησούτσα να αφορετούν. Δεν υπάρχει άνθρωπος που είναι πέραση μέσα από το Πανεπιστήμιο, ο οποίος να έχει αγαπηθεί τόσο πολύ, ο οποίος να έχει προσφέρει τόσο πολλά, με τόση αφησίευση, όσο η Σουζάννα Παπαδοπούλου. Και αυτό νομίζω ότι τελικά έχει αναγνωριστεί πλήρως, όχι μόνο από την Παραπιστημιακή Κοινότητα, αλλά και από την Ευρωπαϊκή Κοινότητα Κοινωνικού. Μαθηματικά, θέλω να πω δύο λέξεις, όχι για τους μάθηματικούς, αυτοί σχεδόν, αλλά για τους μαθηματικούς. Ξέρετε πολλές φορές όλοι μας ρωτούν, τουλάχιστον οι φιλικτές μας, τι θα ήθελες να γίνεις, αν ξεραβείς αυτήν την αρχή. Και όλοι λένε ότι θα γίνω μηκανικός μες στη νόημα, λοιπόν νευροβιολόγος. Τέτοιο απαντώ και εγώ. Δεν απαντώ, θα ήθελα να γίνω μαθηματικός, δεν είναι σημαθηματικός. Εφικτρέψτε μου να σας το πω αυτό. Ίσως είναι μια δική μου ιδιοκτροπία, μαθηματικός για η Νέση. Δυστυχώς. Δηλαδή καλός μαθηματικός για την Νέση. Πρέπει να το έχεις στο έννος αυτό. Δυστυχώς ή πιο δυστυχώς. Και επομένως για εμάς, για πολλούς από εμάς, ή γεννιόμαστε να έχουμε την μαθηματική υφεία, ή την αποκτούμε, όχι να αποκτούμε στον έννοια. Θα είμαστε μεγάλη μαθηματική. Και το άλλο είναι, η μαθηματική είναι τέχνη ή επιστήμη. Πολλοί θα πούμε είναι και επιστήμη, γιατί είναι επιστήμη. Αν του βοηθούν ότι ανήκει σε θετικές επιστήμασεις, είναι τελικά και φυσικά, θα πάω να εργαστούμαι. Θα θέλω μόνο το πιο αυστηρή επιστήμη. Αυτή είναι η μεριά όμως, δεν έχει αντικείμενο στον φυσικό κόσμο. Και επομένως αν οι φυσικές επιστήμες είναι οι σπουδοί των πραγμάτων που πάρουν σε αυτόν τον κόσμο, τα μαθηματικά δεν είναι μέρος από αυτή την επιστήμη. Παράλληλα όμως, και παιδί έργο και αυτό είναι το μεγάλο τοιματικό, οι μαθηματικοί εκφράζουν εφηρεμένες νόμους και πολλές χάρες η έλλειψη, γυρίζουν οι δραγείδες και οι φιλήφαροι. Και έρχεται η φύση και κατά κάνει κάποιο τρόπο, ακολουθεί τα κούγια της μαθηματικής αφαίρεσης. Πώς γίνεται αυτό? Γιατί τα μαθηματικά ανάμεινε νόμους, οι οποίοι τελικά η φύση τους ακολουθάει. Μπορεί να μην τους ακολουθάει εντελώς, αλλά τους προσεγγίζει κατά απόλυτο πιστευμένο μεγάλο σημείο. Αυτό είναι το μεγάλο θέμα. Και, ναι, έχουμε την χρυσή τομή, από τον Ευκλίνη, 300-450 μ.Χ., σε γεωμετρική μορφή, με σχήματα. Και έρχεται ο Φιγμονάτσης και το κάνει ρυθμό αυτό το πράγμα. Είναι καταπληκτικό πράγμα. Οι γέφαροι μεταξύ, για μένα τουλάχιστον, είναι γεωμετρίας και μαθηματικής αριθμητικής. Και μετά, καλά, εκεί δεν τάξει μαθηματικά, μετά έρχονται οι γαλαξίες και έρχονται οι ηλίανθοι και αντιγράφουν το σπυράδ, που προβλέπει, η αφαπτομένη, τον Ιωσχυσάν το μόνο, μέσα σε έναν αρθογόνιο τράγμα. Πώς, γιατί και γιατί αυτό το πράγμα. Και μετά έρχεται ο άνθρωπος, η παινεσθησία του ανθρώπου και φτιάχνει το μήκος και το ύψος του παρθενώνα, να έχουν μήκη της χρυσής τομής, η αισθητική. Γιατί οι νόμοι της φύσης και οι νόμοι της αισθητικής του ανθρώπου να περιγράφουν το μάθημα. Εγώ δεν έχω απάντηση πραγματικά. Πολλά ακούμαι, πολλά διαβάζομαι, αλλά απάντηση δεν έχω. Και ίσως απόψε, όταν έρχεται η Συζάνη Μαρτίνα να μας πει για αυτή την έννοια που απείρνει, γιατί εδώ πηγαίνουν πολλοί εποπισημένοι στ' άνθρωποι οι οποίοι σχεδόν αυτοκτηνήσουν την εποχή τους στο κεφάλι, να μας το πει η Συζάνη Μαρτίνα. Καλησπέρα σε όλους. Ελπίζω να ακούγομαι. Ευχαριστώ πολύ τους οργανωτές. Μου δίνουν την ευκαιρία να μιλήσω σε αυτόν τον εξαιρετικό θεσμό της Δαρκηνικής Δευτέρας. Ευχαριστώ τον κύριο Ζούρο για τις υπερβολές που ανέφερα για μένα. Όπως βλέπετε στον τίκλο, το θέμα μας είναι το άπειρο στα μαθηματικά. Δεν ξέρω αν πράγματι το θέμα αυτό ταιριάζει στην Δαρκηνική Δευτέρα. Μια δικαιολογία είναι η εξής. Μια δικαιολογία που βλέπω, ότι κάπως δεν είναι πολύ παράλογο να μιλήσουμε για αυτό το θέμα εδώ, είναι ότι, όπως θα φανίσω στα από παρακάτω, το θέμα αυτό συνδέεται με την εξέλιξη της ανθρωπινής νόησης. Πιστεύω ότι αυτά που θα πω θα το κάνουν κάπως φανερό αυτό. Να ζητήσω συγγνώμη για το εξής. Το PowerPoint που θα δείξω σίγουρα έχει αρκετές ατέλειες είμαι εντελώς αρχάριας σε αυτό το θέμα, αλλά ελπίζω ότι δεν θα υπάρχει τουλάχιστον τίποτα που να δημιουργεί παρανόηση. Όλοι ξέρουμε να μετράμε. Κάποιος πόσα άτομα είναι σε αυτήν την αίθουσα, όλοι θα μετρήσουμε και θα πούμε πόσα είναι. Αν γράψουμε αυτούς τους αριθμούς που έχω γράψει, που τους λέω φυσικούς αριθμούς, 1, 2, 3, 4, 5 κλπ., οι οποίοι δεν δουλεύουν ποτέ. Αν μας πει κάποιος πόση είναι, η απάντηση που θα δώσουμε είναι ναύιρη. Αν αντί να πάρουμε όλους αυτούς τους αριθμούς να είναι αρτιούς, 2, 4, 6, 8 κλπ., και μας ρωτήσει κάποιος πόση είναι, πάλι θα απαντήσουμε ότι είναι άπειρη. Έχουν το ίδιο πλήθος αυτά τα δύο σύνολα, όπως λέμε στα μαθηματικά, όταν βλέπουμε κάποια αντικείμενα και τα βλέπουμε σαν μία ομάδα, ένα αντικείμενο συνολικά, το λέμε σύνολο. Έχουν το ίδιο πλήθος όταν έχουμε πετάξει τους μισούς, τους περιτούς και έχουμε κρατήσει μόνο τους αρτιούς. Το θέμα αυτό, του πώς θα συγκρίνουμε άπειρα πλήθη, πότε δυο άπειρα πλήθη θα θεωρήσουμε ότι είναι ίσα, αυτό το ξεκαθάρισε ο Γέρο Καντόρ, που έζησε τέλει του 19ου αιώνα και αρχή του Αιγουστού, ο οποίος αναφέρεται συνήθως σαν Γερμανός μαθηματικός, δεν ήταν Γερμανός, έζησε βέβαια στη Γερμανία όλη του σχεδόν, η οποία γεργάστηκε εκεί, είχε γεννηθεί στη Ρωσία από πατέρα Δανό και μητέρα Ρωσίδα. Αλλά ως Γερμανός μαθηματικός έχει μείνει στην ιστορία. Και αυτό που υπέδειξε ο Καντόρ για να συγκρίνουμε άπειρα πλήθη είναι τα εξής. Αν έχουμε μια παρέα, μια ομάδα από αγόρια και κορίτσι και θέλουμε από αυτά να συμματήσουμε ένα χορευτικό συγκρότημα από ετεράφυλλα ζευγάρια, πότε μπορούμε να το κάνουμε? Μπορούμε να το κάνουμε αν έχουμε το ίδιο πλήθος. Αν έχουμε 6 αγόρια και 6 κορίτσια, όταν έχουμε το ίδιο πλήθος. Αν έχουμε 6 αγόρια και 10 κορίτσια, δεν μπορούμε να τα ζευγαρώσουμε να φτιάσουμε ζευγάρια. Όταν όμως έχουμε το ίδιο πλήθος, μπορούμε να φτιάσουμε ζευγάρια. Και αυτό θεώρησε ο Καντόρ ότι θα πρέπει να είναι ο τρόπος με τον οποίο δυο πλήθη θα τα θεωρήσουμε ίσα. Αν έχουμε τους φυσικούς αριθμούς και τους άρτιους, μπορούμε να τους ζευγαρώσουμε και να μην παίρσεψε κανείς. Το 1 με το 2, το 2 με το 4, το 3 με το 6, το 4 με το 8, το 5 με το 10. Συνεπώς εδώ το φυσιολογικό είναι να θεωρήσουμε ότι οι φυσικοί αριθμοί και οι άπειροι έχουν το ίδιο πλήθος, παρά το ότι κάποιους τους έχουμε αφήσει απ' έξω. Στα άπειρα πλήθη λοιπόν γίνεται αυτό. Μπορεί να αφήνουμε κάποιοι απ' έξω και αυτά που μένουν να είναι φυσιολογικό έχουν το ίδιο πλήθος. Ας θεωρήσουμε τώρα πιο πολλούς αριθμούς, τα κλάσματα. Περιμένουμε στα θετικά κλάσματα. Έχουμε τα κλάσματα τα οποία έχουμε γράψει εδώ. Κάθε γραμμή έχει άπειρα στοιχεία. Και έχουν και άπειρες λαμπές. Αυτά, άπειρα είναι αυτά. Έχουν το ίδιο πλήθος στους φυσικούς αριθμούς. Για να έχω ένα σύνολο που να πω ότι έχει το ίδιο πλήθος στους φυσικούς αριθμούς πρέπει να πάρω τα στοιχεία και να τα βάλω συνεσαιρά. Όπως έβαλα τους άρτους συνεσαιρά, όταν τα βάλω συνεσαιρά κάνω ένα ζευγάρι με τους φυσικούς. Αυτό που βάλω στην πρώτη θέση ζευγαρώνω με το ένα, αυτό που βάλω στη δεύτερη θέση ζευγαρώνω με το δύο. Εδώ, αν πάρω την πρώτη σειρά και την ζευγαρώσω με τους ένα, δύο, τρία και λοιπά, θα περισσότερουν οι υπόλοιπες. Δεν φαίνεται αμέσως αν αυτά έχουν το ίδιο πλήθος. Όμως, έχουν. Κοιτάξτε, παίρνω εδώ και βάζω τους φυσικούς αριθμούς πώς. Βάζω το ένα μετά το δύο, το τρία, το τέσσερα, το πέντε, το έξι, το εφτά, το οχτώ, το εννέα, το δέκα και συνεχίζω έτσι. Τι κάνω λοιπόν. Σε όλες τις θέσεις που έχω κλάσματα, ακριβώς τις θέσεις έχω τοποθετήσει και τους φυσικούς αριθμούς όλους. Οι ίδιες θέσεις είναι από εκεί, οι ίδιες θέσεις είναι από πρώτα όταν τα πάρω και τα ζευγάρω. Αυτά που είναι στις αντίθετες θέσεις τα ζευγαρώνω. Δηλαδή τα πλάσματα παράτι στην αρχή φαίνονται ότι είναι πολύ πιο πολλά στις φυσικούς αριθμούς, δεν είναι πιο πολλά. Το ίδιο πλήθος έχουν και αυτά. Το ίδιο πλήθος έχουν τα πλάσματα όσο οι φυσικοί αριθμοί. Δηλαδή μέχρι σήμερα οι φυσικοί αριθμοί, αρτιοί αριθμοί, κλάσματα παρά το ότι φαίνονται πολύ προς όλα τα πλάσματα τους φυσικούς και φυσικοί προς όλους τους άλλους, έχουν το ίδιο πλήθος. Αρχίζει κανείς να νομίζει ότι τα άπειρα είναι όλες, όταν έχουμε ένα πλήθος που είναι άπειρο και ένα άλλο που είναι άπειρο, θα είναι τα ίδια. Δεν είναι όμως σωστό αυτό, θα το δούμε σε λίγο. Ας πάρουμε άλλους αριθμούς τώρα, πραγματικούς αριθμούς. Πραγματική αριθμή είναι αριθμή που γράφονται με τέτοια δεκαδικά λατίνωτα. Έχω γράψει ένα στην αρχή και βέβαια ο πρώτος που έχω γράψει είναι για πλάσμα. Μπορώ να γράψω σε γράμμα, να γράψω 0, 100, 50, 3, 6, 10, 15, 17 κλπ. Φτάνουμε στις 0,8 κλπ. Τα προσέπτες που βγάζω είναι απλά. Δεν είναι κάτι που δεν παρουσιάζω στις 0,1 κλπ. Υπάρχουν όμως άλλα αριθμοί που όταν τους γράψουμε στην δεκαδική μορφή δεν είναι οτιθενά τα στοιχεία τους. Όλοι ξέρουμε από το σχολείο τον αριθμό π, που είναι ο αριθμός που πολλαπλασιάζουμε τη διάμετρη ενός κύκλου για να βρούμε το μήκος της περιφέρειας ή πολλαπλασιάζουμε το τετράγωμα της ακτίνας για να βρούμε το εμβαδόν. Αυτός ο αριθμός είναι ένας αριθμός που όταν το γράψουμε στην δεκαδική μορφή δεν έφτιαξε ποτέ. Δεν υπάρχει τρόπος να το γράψουμε όλα τα στοιχεία. Συνήθως στο σχολείο το λέμε 3 και 14, τι κάνουν αυτόν τον προσέπτες, τι κάνουν μια καλή προσέγγιση στους αριθμούς που ζητάμε. Αλλά δεν είναι οκριβής έφτιαξης. Έχω γράψει εδώ ένα κειμενάκι που είχε συντάξει ο Νικόλος Κατζιδάκης. Είναι καθηγητής του Πανεκριστημίου Αθηνών παλιά. Στον οποίο συμβαίνει το εξής. Με αυτό το κείμενο μπορεί να θυμάται κανείς αυτά τα πρώτα ψηφία του π. Αν πάρει αυτό το κείμενο και κάθε φορά βλέπει, μετράει τα ψηφία 3, 1, 4, 1, τα γράμματα σε κάθε λέξη αμετράνουν και τα βάζουμε σε αυτή τη σειρά, βγαίνει αυτό. Πέντε, νέα και λοιπά. Άγιε Θεός ο Μέγας Διαμετρή, το κύκλο μήκος είναι ορίσει τη διαμέτρο, παρήγγανε ένα ρυθμό απαίραντον και όν βέβαια ουδέκονται όλοι όσοι τι θα έβρωσαν. Φυσικά αυτή είναι άμυρα ψηφία του Πανεκριστημίου Αθηνών. Πάντως με χρήση υπολογιστών βέβαια έχουν υπολογιστεί κάπου κάποια τρεις εκατομμύρια ψηφίων. Όχι ότι έχει καμία σημασία αυτό, δηλαδή ότι προσφέρει τίποτα να ξέρουμε αυτά τα τρεις εκατομμύρια ψηφίων, αλλά έτσι, το έχουν κάνει άνθρωποι για αυτοριέργεια. Οι πραγματικοί αριθμοί ταυτίζονται με τα σημεία μιας ευθείας. Πάρω μια ευθεία, πάρω το μηδένα, το ένα, το δύο, το τρία, στα διάμεσα σημεία όλα μπορούν να καλυφθούν με τους πραγματικούς αριθμούς. Κάπου εδώ θα είναι το 32, κάπου εδώ θα είναι το πι. Τα αριστερά είναι ελληνικοί. Όταν μιλάμε λοιπόν για πραγματικούς αριθμούς, είναι το ίδιο όταν μιλάμε για όλα τα σημεία μιας ευθείας. Πόσα είναι άπειρα βέβαια και αυτά. Αν και είναι το ίδιο ρότιμα, είναι πάλι το ίδιο άπειρο με αυτά που είδαμε μέχρι τώρα. Δεν είναι. Αυτά είναι πολύ περισσότερα, είναι μεγαλύτερο άπειρο. Και κοιτάξτε πώς θα το δούμε, ότι είναι μεγαλύτερο άπειρο. Τι λέγαμε προηγουμένως ότι είναι ένα άπειρο ίσο, άμα είναι το ίδιο πλήθος στο φυσικό αριθμό, όταν μπορούν όλα αυτά τα στοιχεία να τα βάλουν σε μια σειρά. Και τους πραγματικούς αριθμούς δεν μπορούμε να τους βάλουμε να τους βάλουν σε μια σειρά και να μην περίσσεψε κανείς. Γιατί, ας πάμε με παραδείγμα σε άλλο για να μην γράφουμε πολλά, τους αριθμούς που είναι μεταξύ 0 και 1, που έχουν εγκωμένως δεκαετές παραστάσεις αυτές. Και σκέφτομαι ότι δεν υπάρχει σειρά, μια άπειρη σειρά από γραμμές, στο οποίο θα πρέπει να τοποθετήσω όλους αυτούς τους πραγματικούς αριθμούς που είναι μεταξύ 0 και 1 και να μην αφήσω κανέναν να παίξω. Γιατί, αν υποθέσω ότι τους έβαλα σε μια σειρά, αν μου δώσει κάποιος, δεν μπορεί κάποιος να μου δώσει μια άπειρη σειρά, αλλά αν φανταστούμε ότι έχουμε μια άπειρη σειρά από τέτοιους αριθμούς, είναι πάντα να βρούμε κάποιον που δεν εμφανίζει. Κοιτάξτε πώς το βρίσκουμε αυτό. Παίρνω το πρώτο στοιχείο. Απού, τι έκανα αυτό. Τι έκανα... Παίρνουμε το πρώτο στοιχείο εδώ. Είναι 2. Βάζω εδώ κάτι που να μην είναι το 2. Στον αριθμό που πάω να σκιάσω. Το 3 πρέπει να το σκιάσω. Παίρνω στο δεύτερη γραμμή το 6. Βάζω κάτι που δεν είναι το 6. Το 7. Στην τρίτη θέση, παίρνω την τρίτη γραμμή, βάζω το 4. Εδώ βάζω κάτι άλλο, το 5. Στην τέτατη γραμμή εδώ είναι το 6 και βάζω το 3. Λέω ότι αυτούς τους αριθμούς εδώ δεν θα εμφανιστεί το θέμα, γιατί αν ήταν στη πρώτη θέση, το πρώτο του ψηφίου να είναι 3. Αν ήταν στη δεύτερη θέση, θα έπρεπε το δεύτερο ψηφίου να είναι 6. Και αυτό σημαίνει σε όλα τα σημεία της γραμμής. Συνεχίζω έτσι, φτιάχνω τον αριθμό που σε κάθε θέση δεν έχει διαφορετικό ψηφίο από αυτό που βρίσκεται στην αντίστοιχη γραμμή αυτή. Στην πρώτη έχει διαφορετικό ψηφίο από το πρώτο. Στην δεύτερη θέση έχει διαφορετικό ψηφίο από το δεύτερο στοιχείο του. Δεύτερο και ούτε καθεξής. Λοιπόν αυτός ο αριθμός δεν θα εμφανιστεί. Άρα δεν είναι δυνατόν να πάρω όλους τους πραγματικούς αριθμούς και να τους βάλω σε μια σειρά. Άρα οι πραγματικοί αριθμοί είναι απειροί και είναι περισσότεροι απειροί, μεγαλύτερος αριθμός απειρού από τους φυσικούς αριθμούς. Ας πάμε στο επίπεδο. Σε ένα επίπεδο κοιτάμε τα σημεία του επίπεδου. Τα σημεία του επίπεδου μπορούμε να τα παραστήσουμε με ζευγάριο πραγματικό αριθμό. Κάθε σημείο έχει δύο συνταγμένες, την πρώτη ή τη δεύτερη. Κάθε σημείο έχει και ένα ζευγάριο πραγματικό αριθμό. Άπειρα είναι και αυτά. Αυτά τώρα είναι περισσότεροι από τους πραγματικούς αριθμούς ή λιγότεροι. Ή τα ίδια. Λιγότερα δεν μπορεί να είναι. Τα ίδια. Τα παιδιά στη συνεχή μπορεί να λέει ότι είναι περισσότερα. Τελικά δεν είναι. Το πλήθος των σημείων του επίπεδου, των ζευγαριών πραγματικών αριθμών, είναι το ίδιο με το πλήθος των σημείων της ευθείας, των πραγματικών αριθμών. Αυτό, θα δούμε γιατί λοιπόν πώς γίνεται. Αυτό ο Καντόρ όταν τα πέδειξε είχε γράψει κάπου ότι το βλέπω αλλά δεν μπορώ να το πιστέψω. Έκανε απόδειξη ότι το πλήθος των πραγματικών αριθμών είναι το ίδιο με το πλήθος των ζευγαριών πραγματικών αριθμών. Αλλά δεν συμφωνούσε αυτό καθόλου με τη διαισθησία του. Ανιώταν μέσω από τον το πιστέψει. Τι πρέπει να κάνουμε. Θα κάνουμε ένα ζευγάριο πραγματικών αριθμών. Θα παίρνω ζευγάριο πραγματικό αριθμό όπως είναι εδώ. Ένα ζευγάριο, άλλο ζευγάριο. Και θα το ζευγάρω με έναν αριθμό. Πάλι, για να μην λέχουμε πολύ τεχνικά, θα περιεριστώ στους αριθμούς που είναι μεταξύ βιδέων. Και αναλυδάρει στην ουσία θα αποδείξω ότι το σύνολο των σημείων είναι στου τραγών. Ή είναι το ίδιο με το πλήθος που τα σημεία είναι σαν τριόγραφος. Αλλά γύρνει το πωρή αυτό μετά χαζίζονται και τα φέρνεις ολόκληρο το υπολογικό και ολόκληρο. Πώς την κάνουμε αυτό το ζευγάριο, πώς το κάνουμε. Παίρνω ένας έκπρος αριθμός αυτό που είναι το πρώτο στην πρώτη γραμμή. Και τι κάνω, φτιάχνω ένα πραγματικό αριθμό αυτόν εδώ, ως εξής. Καλά, πριν το χώμα έχω μηδέν, έχω περιεριστώ στους αριθμούς που είναι μεταξύ βιδέων και έναν. Παίρνω το πρώτο ψηφίδιο του πρώτο, το βάζω εδώ, πρώτο. Παίρνω το πρώτο ψηφίδιο του δεύτερο, εφτά. Μετά το δεύτερο του πρώτο, πρώτο και πρώτο, μετά δεύτερο και δεύτερο, οχτώ και εφτά, το βάζω συνέχεια. Μετά τρίτο, εφτά και έξι, το βάζω εδώ. Και τα σημεία του επιπέδου πάλι είναι τόσα, είναι άπειλα πάλι και είναι τόσα όσο είναι οι πραγματικοί αριθμοί. Δεν είναι πιο πολλά. Μέχρι πού πάει αυτό τώρα. Εντάξει, είχαμε τους φυσικούς ένα άπειρο, μετά φτιάσαμε άλλο άπειρο τους πραγματικούς, πήγαμε παραπάνω στις δύο διαστάσεις, μήναμε στο ίδιο άπειρο. Μπορούμε να βρούμε άλλο άπειρο, πιο μεγάλο, από τους πραγματικούς αριθμούς. Δεν τελειώνουμε ποτέ τα άπειρα. Αυτό θα δούμε με κάποιο τρόπο. Με κάποιο τρόπο, νομίζω, θα το καταλάβουμε. Για κάθε σύνολο άπειρο, μπορώ να βρω κάποιο άλλο που να είναι μεγαλύτερο άπειρο από το πλήθος του, να μην μπορούν να σε βγάλουν τα στοιχεία τους. Όπως γίνεται αυτό. Όταν έχουμε ένα σύνολο, μπορούμε να σχηματίσουμε όλα τα υποσυνολά του, όπως λέμε στους ανθρώπους. Δηλαδή, έχω, παραδείγμα δωσιά μου, ένα σύνολο που αποτελεί τους ανθρώπους ένα, δύο, τρία. Παίρνω και παίρνω, κάθε φορά που μπορώ να πάρω κάποια από αυτά. Παίρνω το ένα, πάω το δύο, πάω το τρία μόνο, μετά πάω το ένα και το δύο, το ένα και το τρία, το δύο και το τρία, το ένα και το δύο και το τρία μαζί. Αυτή είναι η τράπεζα από τα τρία στοιχεία που έχω, μπορώ να πάρω κάποια και να συμμετέχω σε μία μικρότερη παρέα. Βέβαια, εμείς οι μαθηματικοί βάζουμε και ένα, 7 για όλα αυτά που θα μπορούμε, βάζουμε και ένα 8. Το λέμε κενό σύνολο. Δηλαδή, πετράμε και την περίπτωση που δεν έπαιρνω κανένα. Θεωρώ ότι αυτό είναι ένα υποσύνολο. Και αυτό που προκύπτει τελικά είναι ότι όταν κάνει κάτι τέτοιο, ξεκινήσει ένα σύνολο και φτιάσει όλα τα υποσυνολάκια, όπου θα φτιάχνει ένα καινούργιο σύνολο, αυτό το σύνολο είναι γνήσεο μεγαλύτερο, όχι γνήσεο μεγαλύτερο πλήθος. Εδώ δεν το βλέπουμε. Εδώ βρήκαμε από τρία, πήγαμε στα εφτά. Και γενικά, αν παίρνουμε και το κενό, ότι πως είναι ότι θα πάρουμε νη στοιχεία, δεν πως είναι ότι θα βοηθήσουμε νη. Αλλά με τα άμπρια τεχεία. Με τα άμπρια αυτό που προκύπτει είναι γνήσεα πιο μεγάλο, είναι γνήσεα πιο πολλά, είναι μεγαλύτερο πλήθος. Δεν σημαίνει αυτό ότι αν πάρουμε τα στοιχεία και πάρουμε και τα υποσύνολα, δεν μπορούμε να κάνουμε ζερκάρουμα. Η υποσύνολα πρέπει να είναι πιο πολλά πάντα, γιατί ήδη τα στοιχεία θα παίρνουν, κάθε στοιχεία όπου τελεί και ένα υποσύνολο. Αν θα πάρω όλα, δεν μπορώ να κάνω ζερκάρουμα. Κάποια υποσύνολα θα περισσεύσει. Τώρα, αυτό θα σας πω πως συγκίνεται η απόδειξη, που είναι μια λεπτό θέμα, αλλά δεν είναι πρωτοδομηλήμα. Αυτή είναι μια σαχηματική απόδειξη. Ότι δεν μπορώ να πάρω ένα σύνολο και πάρω το υποσυνολάπτο, δεν μπορώ να κάνω ζερκάρουμα. Στα μαθηματικά χρησιμοποιούν πολλές φορές, και στο σχολείο, το έχετε δει κανείς, στη Γεωμετρία γίνεται αυτό το πράγμα, πολλές φορές χρησιμοποιεί μια μεγάλη πλαίτη, η Σάτο Παραγωγή. Θέλουμε να αποδείξουμε κάτι, δεχόμαστε ότι δεν ισχύει αυτό το πράγμα, να αποδείξουμε ότι ισχύει το αντίθετο, και με κάποιους συλλογισμούς φάνομαι σε κάποια αντίθεση, φάνομαι σε κάποιο παράλληλο, τότε αυτό που το πιο ξεκινήσαμε δεν είναι σωστό. Λοιπόν, ας υποθέσουμε τώρα ότι πήραμε ένα σύνολο α και πήραμε όλα τα υποσυνολάπτα και κάναμε ένα ζευγάρομα. Κάθε στοιχείο το ζευγαρώσαμε με ένα σύνολο από στοιχεία του α, το οποίο το συμμονίζουμε με αυτόν τον τρόπο. Δεν μπορώ να τα γράψω όλα και να γράψω, αλλά για κάθε στοιχείο α του α, το ζευγαρώνουμε με ένα σύνολο που το βάζουμε με δίκτυα α. Ας πούμε ότι έκανα ένα ζευγάρομα. Και θα κοιτάξω τώρα με κάποιους ολισμούς και θα θέσω ότι κάτι γίνεται, ότι γίνεται κάτι παράλληλο, δεν μπορεί να είναι. Παίρνω τώρα το συνολόχους που ξεκίνησα και παίρνω και κοιτάζω. Όταν έχω κάνει αυτό το ζευγάρομα, για κάθε α το α είναι στοιχείο του α, το πα είναι ένα υποσύνολο, μια παρέα στοιχείο του α, του α του κεφαλαίου α. Τότε στο ζευγάρομα που έχω κάνει, κάθε α μπορεί να είναι εδώ μέσα, σε αυτό που είναι το υποσύνολο, μπορεί να δεν είναι. Σε άλλα μπορεί να είναι, σε άλλα δεν θα είναι. Δεν ξέρω. Ωραία, τι κάνω όμως. Παίρνω τώρα και μαζεύω εκείνα τα α από το σύνολο α κεφαλαίου, που δεν είναι εδώ μέσα στο αντίστοιχο, στο τέρμα. Ένα, παίρνω και έντες τα σημεία του συνολού, που όταν έχω κάνει το ζευγάρομα δεν είναι μέσα στο τέρμα. Αυτό είναι σημείο του συνολού, αυτό είναι ένα υποσύνολο. Όταν είχα το 1, 2, 3, το 1, 2, 3, το είχα, το είχα, το ζευγάρομα με το 2, 3, θα το έπαιρνα σε αυτό που μαζεύω τώρα. Το 1, το 1, το ζευγάρομα με το 2, 3 δεν μείνει. Αν το 1, το ζευγάρομα με το 1, 2, δεν με νίκει. Έχω αυτές δύο περίπτωσες. Τώρα τι κάνω, παίρνω και μαζεύω εκείνα τα α που δεν ανήκουν στον ιδρύμα. Κάποια είναι αυτά, φτιάχνουν ένα σύνολο, φτιάχνουν υποσύνολο. Αφού όμως έχω κάνει ζευγάρομα, αυτό το υποσύνολο θα το έχω ζευγαρώσει με κάποιο δάμα, με κάποιο στοιχείο, θα το πω γάμα. Μαζεύω εκείνα τα στοιχεία του συνολού, που στο ζευγάρομα που φτιάχνω δεν ανήκουν στο τέρμα τους και φτιάχνω ένα σύνολο. Αυτό όμως, αφού έχω κάνει ζευγάρομα, ένα τέρμα. Υπάρχει ένα γάμα έτσι ώστε το ζευγάρομα που έπαιρνα να το πιέσει στο τοιχείο. Τώρα σκέφτεστε ότι θα καταλήξω σε κάτι που δεν γίνεται. Υπάρχουν και περιπτώσεις. Το γάμα είναι μέσα στο βγ για να μην είναι. Αν είναι μέσα στο βγ, τι σημαίνει αυτό? Ότι όταν έφτιαξα αυτό το βγ, που περιέγραψα πώς το έφτιαξα, το πήρα μέσα. Αν το πάρω όμως, σημαίνει ότι το τέρμα του δεν ανήκει μέσα σε αυτό. Αν το γάμα είναι μέσα στο βγ, από τον τρόπο που έφτιαξα το βγ, το γάμα δεν πρέπει να είναι μέσα στο βγ. Γιατί εκείνα τα στιγμή τα γάμα που πήρα, τα α πήρα εδώ μέσα αυτά, είναι μέσα σε αυτό το σημείο. Τότε όμως, αφού το έχω πάρει, σημαίνει ότι δεν ανήκει. Δηλαδή, αν ανήκει, αν το γάμα είναι μέσα στο βγ, δεν ανήκει. Και αν δεν ανήκει, αν δεν ανήκει, σημαίνει ότι δεν το πήρα. Γιατί δεν το πήρα? Γιατί ανήκει στο τέρμα του. Αν ανήκει, λοιπόν, δεν ανήκει. Και αν δεν ανήκει, ανήκει. Αντίφραση. Πάρα, δεν γίνεται. Άρα, δεν υπάρχει. Με αυτόν τον τρόπο που δείχνει κανείς, να πέτρεξε ο Καντών, ότι όταν πάρουμε ένα σύνολο και φτιάσουμε, σχηματίζουμε όλα τα είδη σύνολά του, φτιάχνουμε κάτι γνήσια μεγαλύτερο. Άρα, τα άπειρα τελειών ποτέ. Στους πραγματικούς αριθμούς, η πραγματική αριθμή είναι μεγαλύτερα από τους φυσικούς, μπορεί να βρω μεγαλύτερα. Αν με αυτόν τον τρόπο μπορεί να βρω και άλλο μεγαλύτερο, μπορεί να βρω και άλλο μεγαλύτερο, δεν τελειώνει ποτέ τα άπειρα. Αυτά τα αποτελέσματα του Καντόρ δεν έγιναν εύκολα αποδεκτά από πολλούς από τους μαθηματικούς της εποχής του. Συγκεκριμένα, μια εργασία του δεν έγινε δεκτή για δημοσίευση. Από τον Μιτάχ Λέφλερ, ήταν μεγάλος Σουηδός μαθηματικός, που ήταν ευεύθυνος για ένα σημαντικό περιοδικό, που υπάρχει ακόμα σε ένα από τα σημαντικότερα μαθηματικά περιοδικά του Άκτω Μαθημάτικα, βλέπετε στο Ιστοτούτο Μιτάχ Λέφλερ στην Σουηδία. Και η αιτιολογία που απέληψε αυτή τη δημοσίευση ο Μιτάχ Λέφλερ, η δημοσίευση που είχε υποβάλει ο Καντόρ, ήταν ότι θεωρούσε ότι η εργασία του είναι τουλάχιστον 100 χρόνια μπροστά από την εποχή της. Δεν είμαστε ακόμα γι' αυτά η αιτιόλυση. Όπως είπα, ανέφερα και στο παράδειγμα με τα σημεία του επιπλέον και της ευθείας βέβαια, αισθανόταν και ο ίδιος κάποιες συγκρούσεις ο Καντόρ ανάμεσα στη διαστησία του και στη λογική που έβλεπε, στους λογικούς συλλογισμούς που έκανε. Αυτά όλα, η μία αποδοχή τόπου διάφορους μαθηματικούς και ιεσοτριστικούς στους συγκρούσεις, μπορεί να ήταν η αιτία για το λόγο ότι ο Καντόρ είχε μεγάλες περίοδες στη ζωή του, στις οποίες έπασχε από κατάθλιψη. Όμως ήταν, όπως φαίνεται, νομίζετε, από αυτό που είπα, μια πολύ πρωτοποριακή δουλειά του. Να κάνω μια παρατήρηση σε κάποιο σημείο που αναφερθήκαμε στον αριθμό π. Και αυτός και όπως πολλοί άλλοι αριθμοί μπορούν να γραφτούν με άπειρα δεκαδικά ψηφία, είπαμε. Τώρα, τι σημαίνει αυτό. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός π. είναι είτε τρία, είτε ένα δέκατο, είτε πέσσερα εκατοστά, είτε ένα χιλιοστό και πιο κάτω προχωράμε. Αλλά τι κάνουμε δηλαδή. Μπορούμε να φανταστούμε έναν αριθμό που προκύπτει αυτόν τον τρόπο, ότι προκύπτει με μια απειρία βημάτων. Παίρνουμε πρώτα το τρία. Έχουμε το τρία. Παίρνουμε, φτάνουμε στο 3,1, φτάνουμε στο 3,14, φτάνουμε στο 3,51 και προχωράμε. Όμως ποτέ δεν περνάμε πιο δεξιά από εδώ. Και έχουμε μια απειρία βημάτων, στην οποία μένουμε πάντα αριστερά από το π. Και όσο προχωράμε, ερχόμαστε οσοδήποτε κοντά από. Το πλησιάζουμε πάρα πολύ. Δηλαδή μπορεί να έχουμε, αυτό που παρατηρείτε εδώ είναι ότι έχουμε ένα άπειρο άθεσμα από αριθμούς. Τρία σε ένα δέκατο, είτε πέσσερα εκατοστά και λοιπά. Το οποίο, αν θα τα δούμε παρατήσω να φτάσει σαν χρονικά διαστήματα, προχωράει κανείς σε ένα ηλικρό σημείο, προχωράει από το τρία μέχρι το π, κάνει αυτά τα βήματα, κάνει πρώτα το πρώτο, το πρώτο βήμα μέχρι εδώ, μετά κάνει άλλο βήμα μέχρι εδώ, άλλο βήμα μέχρι εδώ και λοιπά. Αλλά αυτά τα βήματα όλα, παρά το ότι είναι άπειρο πληθώς, ολοκληρώνονται μέσα σε το που περάστηκε ο χρόνος. Όταν περάσουν π, λεπτά στον, θα έχουμε τελειώσει. Προφανώς, στην πραγματική ζωή δεν γίνεται κανείς τέτοιο. Δεν μπορούμε να βρούμε κάτι αν είναι ένα ηλικρό σώμα που κινείται. Δεν μπορεί ποτέ να απέχει από το π λιγότερο από ένα χειριωστό, παραδείγματος χάρη, ή ένα κατομύριωστό, αλλά είναι μια λεπτική διαδικασία εδώ. Θεωρούμε ένα ηλικρό σημείο που κινείται πάνω στην ευθεία. Νοητικά σχηματίζουμε στο μυαλό μας κάποιες έννοιες βήματων ενδιάμεσων. Θα είναι πρώτα στο 3,1, μετά στο 3,14, μετά στο 3,149 κλπ. Αλλά είναι μια άπειρη διαδικασία που ολοκληρώνονται σε πεπερασμένο χρόνο. Αν το δούμε σαν χρόνο. Αυτό ήταν κάτι που είχε δημιουργήσει ερωτήματα στην αρχαιότητα. Είχε ο Ζίνων ο Ελεάτης, προσωπρατικός φιλόσοφος, είχε εντυπώσει ότι ένα λεπτό παραδόξον, τα οποία συνδέονται με την ενιακοπήρου και ανεβαφτά ήταν αυτό. Τους είπα ότι καλό ξεκινάω από δεξιά προς τα δεύτερα. Λέει το εξής, ότι δεν μπορούμε ποτέ να διανύσουμε ένα ολόκληρο ευθύγραμμα του ίδιου. Γιατί ο Ζίνων, γιατί λέει, θα ξεκινήσουμε από το ένα άρχον. Θα φτάσουμε, καταρχή θα διανύσουμε το μισό από αυτό. Μετά θα διανύσουμε το μισό του μισού. Να φτάσουμε εδώ πριν το μισό του μισού. Αυτό θα γεννήσουμε εδώ. Θα γεννήσουμε το άλλο μισό από αυτό. Πάντα θα γίνει κάτι. Κάθε φορά θα γίνει με το μισό, πάντα θα γίνει κάτι. Είναι όμως αυτό που λέμε. Αυτά είναι ότι δεν είναι παράδοξο ότι μια άπειρη διαδυνασία ολοκληρώνει μέσα από πριν ένας μέρος χρόνος. Ένα άλλο παράδειγμα που έχει αναφέρει ο Ζίνων, είναι ότι αν ξεκινήσει, ο αχιλέας θα τρέχει από εδώ. Το παράδοξο του αχιλέας και της χελώνας. Και μια χελώνα είναι εκεί και αρχίσουν να τρέχουν μαζί και οι δύο. Δεν θα τη φτάσει ποτέ, γιατί όταν αρχίσει από εδώ, όταν βρίσκεται εδώ, η χελώνα βρίσκεται εκεί. Κάποια στιγμή ο αχιλέας θα φτάσει εκεί, αλλά η χελώνα θα έχει προχωρήσει. Την πρώτη στιγμή, το πρώτο βήμα, αν το πούμε αυτό, αν μετράμε αυτές τις στιγμές, θα φτάσει εκεί που ήταν στην πρώτη στιγμή η χελώνα. Ωραία, η χελώνα, όμως, θα είναι πιο πέρα από την στιγμή αυτή. Θα φτάσει μετά ο αχιλέας στο σημείο που ήταν η χελώνα την δεύτερη στιγμή. Η χελώνα θα έχει προχωρήσει ακόμα. Θα φτάσει στο σημείο που ήταν η χελώνα την τρίτη στιγμή. Μετά θα έχει προχωρήσει ακόμα. Προφανώς, βέβαια, όσο δίποτε μικρά χρονικά διαστήματα, μικρά μήκη, τα οποία στην πραγματική ζωή δεν μπορούμε να έχουμε. Νοητικά έχουμε αυτά, αλλά νοητικά δεν είναι παράλογο το ότι ολοκληρώνται μια άπληρη διαδικασία μέσα σε την περασμένη χρόνια. Τώρα, εκτός από πλήθι που μετράμε, υπάρχουν διάφορα μεγέθη. Μήκη, εμβαδά, όγους κλπ. Παραδείγματος χάρη, αυτή την αυθία δεν εννοώ ότι η παιχτεία είναι μέχρι το άπλαιο. Είναι μια αυθία με άπλαιο μήκη. Αν έχω μια παραβολή και αυτοί θεωρώ ότι η παιχτεία του Κωνσταντάνου απελεόρισα. Έχει άπλαιο μήκος. Ενώ αυτές οι καμπύλες που έχω ζωγραφίσει από κάτω, έχουν πεπερασμένο μήκος. Όταν έχουμε, λοιπόν, μια καμπύλη, μπορούμε να μείνουμε για το μήκος της και είναι είτε άπλαιο, είτε πεπερασμένο. Το ίδιο για εμβαδά. Αν θεωρήσω, εκεί αριστερά εννοώ πως τα συνδροσίματά μου δεν είναι καλά φτιαγμένα. Εδώ εννοώ ότι παίρνω όλο το ίδιο επίπεδο που είναι αριστερά από αυτή τη γραμμή. Εδώ εννοώ ότι παίρνω όλο το ίδιο επίπεδο που είναι αριστερά από αυτή τη γραμμή. Ενώ αυτά τα δύο έχουν πεπερασμένα αμβαδά. Μιλάμε, λοιπόν, για άπειρα μήκη, άπειρα αμβαδά, πεπερασμένα μήκη, πεπερασμένα αμβαδά. Ωχ, τι έγινε, πες. Δεν θα πάω σε όμως και τη φάση της δεδιάστατας, θα πω ότι θα μείνω στο επίπεδο. Λοιπόν, στο επίπεδο μπορώ να μιλήσω για μονοδιάστατα σχήματα και για δεδιάστατα σχήματα. Παραδείγματος χάρη, η φτία που ζουγραφείς επάνω είναι μονοδιάστατο σχήμα. Η περιφέρεια του κύκλου είναι μονοδιάστατο σχήμα. Στα μονοδιάστατα σχήματα σίγουρα έχω μη μηδενικό μήκος. Αλλά το μήκος μπορεί να είναι κάποιο τίποτα πεπερασμένο. Στα δεδιάστατα σχήματα, εδώ εννοώ πάλι, παραδείγματος χάρη εδώ εννοώ το ημιεπίπεδο που είναι πάνω από την ευθεία. Ή ο κύκλος. Αυτά έχουν εμβαδόν θετικό δεδιάστατα σχήματα. Το εμβαδόν μπορεί να είναι ή άπειρο ή πεπερασμένο. Μπορώ όμως να μιλάω, και θα το κάνω στη συνέχεια λίγο πιο σαφές, μπορούμε να υπολογίζουμε καλύτερα. Αλλά είναι νομίζω λογικό αν αναζωτήσει κάποιος, στην πάνω περίπτωση, πώς είναι το εμβαδόν μιας ευθείας, ή πώς είναι το εμβαδόν μιας περιφέρειας κύκλου, να πουν το εμβαδόν μηδέ. Αντίστοιχα, όταν αναζωτήσουμε ποιο είναι το μήκος ενός κύκλου, ενός γεμάτος κύκλου, ενός κύκλου, όχι περιφέρειας, το μήκος, λογικό να πουν είναι άπειρο. Βέβαια, σημαίνουν κάποια περίεργα πράγματα. Αν αυτιάσετε την... είναι κάτι που στον φοιτητέρ μας το βλέπουμε πάνω σε ένα παράδειγμα ενδιαφέρον, αν πάρετε τη συνάρτηση που γράφετε με αυτόν τον τύπο, χ επιμήτων του έναν διαχεί, και κάνετε τη γραφική της παράστασης, είναι ακαμπύριστο. Μονοδιάστατο σημαίνει αυτό. Έχει άπειρο μήκος. Θα μου πείτε, δεν είναι παράλογο με την προηγούμενου συρφτία ολόκληρη. Έχει άπειρο μήκος όμως η ευθεία γιατί επεκτείνεται μέχρι το άπειρο, μέχρι όσο παίρνει. Εδώ όμως, και αν την περιορίσω αυτή την καμπύλη από εδώ μέχρι εκεί, δεν πρέπει να ασχολογηθεί την ευθεία επάνω. Το πίκο της είναι άπειρο, δηλαδή αυτά τα πάνω κάτω που κάνει εδώ, άμα τα θρήσουμε βγαίνει άπειρα. Δηλαδή μπορεί να είναι μια καμπύλη που είναι περιχαρακωμένη σε έναν σύνολο, αλλά το πίκο της μπορεί να βγει άπειρο. Είναι μια παθολογική περιοριστά, βέβαια. Αντίστροφα, αν πάρω, παραδειγούν, ως χράτη συνάντηση, έναν διαχεί τετράγωνο και πάρω αυτό το κομματάκι εδώ, δεν το έχω χρωματισί, αυτό το κομμάτι που είναι εδώ κάτω από την καμπύλη αυτή, το 1 πέρα πέρα πόσο παίρνει με το άπειρο, αυτό το κομμάτι. Παρά το ότι το κομμάτι αυτό εκτείνεται μέχρι το άπειρο, είναι υπευπερασμένο. Υπάρχουν διάφορα πράγματα που πιθανόν κάπως αντιφάσουν στη συστήμα για το άπειρο υπευπερασμένο μήκος και το άπειρο υπερασμένο αιμαδόν. Αλλά ας δούμε λίγο ακριβέστερα. Αν έχω διάφορα σχήματα γεωμετρικά που παρουσιάζονται συχνά, ξέρω σε όλους τους τύπους που μπορώ να υπολογίσω το αιμαδόν, με κολληνίζω σε ένα λογθύρωμα ή από τύπους της ιχειόδοσης. Όταν έχω ένα τέτοιο αγνόηστο σχήμα, πώς θα υπολογίσω το αιμαδόν? Κάνω το εξής. Χωρίζω το επίπεδο σε τετράγωνα, όλα τα τετράγωνα ίσα. Δεν είναι καλό το σχήμα, βέβαια. Όλα τα τετράγωνα, ας πούμε, έχουν συγκεκριμένη ταινία πλευρά. Αυτά παρουσιάζονται. Παίρνω τώρα και μετράω τα τετράγωνα που χρειάζομαι για να το καλύψω. Παίρνω όλα τα τετράγωνα αυτά εδώ, τα τετράγωνα όλα αυτά. Εμβαδόν πάω να πω πίσω πέρα. Και προσέχω τα εμβαδόν τους. Βρίσκω έναν αριθμό. Αυτός ο αριθμός δεν είναι ακριβώς το εμβαδόν, δημιουργήσω τα τετράγωνα που υπολογίζω. Αυτό το παίρνω ολόκληρο το τετράγωνα και αυτό είναι μέσα στο σχήμα μου. Δεν έχω ολόκληρο το τετράγωνα. Αλλά μετά κάνω το διαχωρισμό αυτό λεπτότερα. Χωρίσω όλα τα τετράγωνα αυτά και τις πλευρές που εφαίνονται ο ζόντιος και τις κατακόλεις, χωρίσω στα δύο. Θα έχω καλύτερη προσέγγιση στο σχηματός μου. Εδώ πρέπει να προσέξουν τέσσερα τετράγωνα και θα πάρω μόνο το ένα. Δεν πάρω και το τέσσερα. Χωρίς να έχω καλύτερη προσέγγιση θα κάνω διαχώσει αυτές τις διαχωρισμούς λεπτότερους. Θα κοιτάξω και μετρώντας κάθε φορά το άνθρωπο του τετραγώνα, όπου καλύπτει το σχήμα θα έχω μια καλή προσέγγιση του εμβαδού. Η προσέγγιση θα προκύψει επειδή θα παίρνω λιγότερα τετράγωνα, δεν θα παίρνω όλα. Όμως, αν πάρω τα ίδια τετράγωνα, διαφορά να πάρω τα ίδια τετράγωνα, δηλαδή αυτά που πήρα, πάρω και τα μικροτερά τους, τότε αυτό που θα μετρήσω δεν θα αλλάξει, γιατί θα έχω, το πλήθος των τετραγωνών που θα πάρω θα έχει τετραπλωσιαστεί, και η πλευρά θα έχει υποδιπλωσιαστεί, οπότε το εμβαδόν του αντίστοιχο τετραγώνα θα έχει υποδιπλωσιαστεί. Μπολοπλωσιάζω με τέσσερα το πλήθος, διερρώ με τέσσερα το εμβαδόν του κάθε τετραγώνα, μένω στο ίδιο. Αλλά κερδίζω από το ότι μπορεί να κάνω οικονομικότερη κάλυψη με τα τετράγωνα, να μην το πάρω λόγια. Και έτσι προσεγγίζοντας θα φτάσω στο εμβαδόν. Τι γίνεται με το μήκος μιας καμπύλης. Μπορεί να είναι κάτι ανάλογο, δεν είναι λίγο προμπλεγμένο το θέμα, αλλά περίπου γίνεται πάλι το εξής. Καλύπτω με τετράγωνα, αλλά για κάθε τετράγωνα, δεν μετράω το εμβαδόν του τετραγώνα, αλλά μετράω την πλευρά. Θα μου πείτε η πλευρά με το κομμάτι που είναι μέσα μπορεί να με ρίχει πολύ μεγάλη σχέση, αλλά έχει σχέση, γιατί αν είναι πολύ πολύ πιο κυκαμπύλη, θα έχει να κάνει πολλά στροφογυρνήσματα, αυτό που θα περνάει από μέσα, το κομμάτι θα είναι περίπου τις τάξεις της πλευράς και της διαγωνίου, ανάμεσα σε αυτές τις τάξεις θα παίζει, που είναι οι ίδιες περίπου. Το διαγωνίος είναι γρίζα δύο από την πλευρά. Εφόσον μας ενδιαφέρει τελικά το αν θα είμαστε άπειρο, γιατί πώς τα είπαμε, να δούμε τι σημαίνει άπειρο μήκος και τι σημαίνει περασμένο μήκος και εμβαδόν. Αν μας φέρνει απλώς ένα ανάπτυρο επιπερασμένο, δεν έχει σημασία αν θα πάω την πλευρά του διαγωνιού. Είναι μια σταθερά δεκοπροσιαστική. Λέω ότι υπάρχουν δυσκολίες, στην περίπτωση του εμβουλίου είναι πιο καθαρό, εδώ υπάρχουν και τρεις δυσκολίες, αλλά αν η καμπύλη μου δεν είναι πολύ παράξενη, τότε πράγματι το μήκος μπορούν να υπορρίσουμε τον εξής στροφο. Έχω τα δετράγωνα που καλύπτουν την καμπύλη και προσθέτω τις πλευρές τους, όχι τα εμβαδόντας τις πλευρές τους. Και κάνοντας συνέχεια τους λεπτότερους διαχωρισμούς, εάν η καμπύλη μου δεν είναι παράξενη, όπως παραδείγματος στη χάρη αυτή που έφτιασα που έβγαζε άπειρο μήκος, που εκεί δεν δουλεύει αυτό το μέθοδος που λέω τώρα, όμως αν η καμπύλη μου είναι αρκετά κανονική, δεν παρουσιάζει παρθολογικές καταστάσεις, πολύ παράξενη, αυτό το πράγμα μου δίνει πράγματι, το εμβαδόν είναι ένα πολλοπλάσιο του εμβαδού, μέχρι 92 περίπου. Παίρνω λοιπόν τα δετράγωνα που καλύπτουν την καμπύλη και προσθέτω τις πλευρές τους, όχι τα εμβαδόντας. Και πάλι τώρα, εάν θα τα χωρίσω στα δύο, εμβαίνει πάλι ότι η καμπύλη είναι καλή, όταν θα κάνω χωρισμό τώρα εδώ, παραδείγματος χάρη, μετά δεν θα μου χρειαστούν και τα τέσσερα, τα μονταγένια δεν μου χρειαστούν τα δύο, οπότε θα… μάλλον αυτό δεν μου χρειάζεται. Ναι, θα μου χρειαστούν τα δύο, οπότε τα τετράγωνα, το πίθος των τετραγώνων διπλασιάζεται κατά κανόνα. Όπως είπατε, εδώ δεν το λέμε πολύ ακρίβεια αυτό που περιγράφω. Διπλασιάζονται τα τετράγωνα, το πίθος των τετραγώνων υποδιπλασιάζονται οι πλευρές, άρα πάλι μένουμε στο ίδιο απλώς κάνουμε καλύτερη προσέγγιση όταν έχουμε κάποια δετράγωνα. Δηλαδή κάπως έτσι μετράμε, μπορούμε να υπολογίσουμε, να προσεγγίσουμε το μήκος μιας καμπύλης και ανάλογα με αυτό που είπα πριν το εμβαδόν ενός διδιάστατος σχήματος. Όπως είπα και πριν όμως, μπορούμε να μιλάμε και για εμβαδόν μιας καμπύλης μήκος ενός διδιάστατος σχήματος. Εάν κάνουμε το ίδιο πράγμα εδώ, εάν για την καμπύλη πάμε να μελετήσουμε το εμβαδόν με τον τρόπο που είχαμε προηγουμένως από αυτό που κάναμε, δηλαδή να προσθέτουμε εμβαδά των τετραγώνων και όχι με και τον πλευρό, θα μας βγαίνει μήτε. Και εδώ, αν πάμε να υπολογίσουμε το μήκον αυτό που είπαμε στην καμπύλη, αντί να προσθέτουμε εμβαδά, να προσθέτουμε πλευρές, θα μας βιάπηλε το εμβαδόν. Δηλαδή, αυτή τη μέθοδο εδώ μπορούμε να την χρησιμοποιούμε πάντα για να μιλήσουμε για το εμβαδόν, είτε διδιάστατος σχήματος, είτε μωμωδιάστατος, που στο μωμωδιάστατο θα μας βιάπηλε, και το άλλο, αυτή τη μέθοδο μπορούμε να την χρησιμοποιούμε πάλι για υπολογικών μήκους, εντός εισαγωγικών μήκους, ο μιας καμπύλης ένας μωμωδιάστατος σχήματος, είτε ένας διδιάστατος, που εκεί θα μας βγαίνει άπλουτο το διδιάστατο. Μπορούμε λοιπόν στο μωμωδιάστατο να μιλάμε εμβαδόν, διδιάστατος το σχήμα είναι ο διδιάστατος, θα εννοούμε ότι παίρνουμε τα τετραγωνάκια και αθλίζουμε μωδά για μήκος, είτε ότι και να είναι το σχήμα, για μήκος παίρνουμε τα τετραγωνάκια και προσθέτουμε τις πλημπές. Δηλαδή, στη διαδικασία που είπαμε προδουμένως, κάνουμε για το εμβαδόν μια διαδικασία στην οποία παίρνουμε αθλίζματα που η ώρα τους είναι α' στο τετράγωνο, ενώ για το μήκος παίρνουμε αθλίζματα που η ώρα τους είναι α' στην πρώτη, στο 1. Και βγαίνουν τα διάστατα σχήματα να έχουν μηδενικό εμβαδόν, βγαίνουν τα μονοδιάστατα να έχουν μηδενικό εμβαδόν, τα διάστατα να έχουν άπειρο μήκος, τα μονοδιάστατα να έχουν μηδενικό εμβαδόν. Για να δούμε τώρα παράξενο σύνολο. Λέγεται τρίγωνον του Σελπίνσκη. Ο Σελπίνσκη ήταν πολεμός μαθηματικός του 21ου. Κοιτάξτε πώς το φτιάχνουν. Παίρνουν ένα τρίγωνο, το πρώτο αριστερά που είναι ολόμαν. Παίρνω τα μέσα των λευρών του και αυτό το μεσαίο τριγωνάκι το πετάω. Και μέχρι αυτό το σύνολο, δηλαδή όπου έχω μαύρο είναι αυτά που έχω κρατήσει, τα άσπρα είναι αυτά που έχω πετάξει. Μετά κάνω το ίδιο στο πάνω τριγωνάκι, το πετάω αυτό το μεσαίο τρίγωνο και εδώ και εκεί. Μέχρι αυτό το σύνολο. Συνεχίζω τη διαδικασία. Κάνω αυτό, κάνω αυτό και συνεχίζω επάπυρο. Νοητικά έχει νόημα το επάπυρο, δεν το μπορούμε να κάνουμε στην πράξη. Και βγαίνει ένα σχήμα που είναι κάτι τέτοιο. Κάτι τέτοιο, βέβαια, κάτι τέτοιο πάλι περαισμένα τριγωνιαφωνήματα. Είναι απαράξενο σχήμα αυτής της μορφής. Λείπουν όλα τα τρίγωνα που είναι άσπρα και ακόμη μέσα και στα άλλα όλα είναι μεσαίο τριγωνάκι που είναι άσπρα, που το έχουν πετάξει. Τώρα κοιτάξτε τι γίνεται. Έχουμε κοιτάξει αυτό με το προηγούμενο, που δώσαμε για κάθε διάστητος το σχήμα, ορίσαμε εμπαδόν και μήκος. Σε αυτό το σχήμα, αυτό το κάτω, το τελευταίο, βγαίνει κάτι μηδενικό εμπαδόν. Είναι κάτι που το περιμένουμε νομίζω, γιατί όταν πάμε από το πρώτο στο δεύτερο, πολλοπροσιάζεται το εμπαδόν με τριατέτακα. Πάλι με τριατέτακα, πάλι με τριατέτακα, στο μηδέν θα πηγαίνει. Μηδενικό εμπαδόν λογικό να έχει. Έχει και άπειλο μήκος. Δεν είναι τίποτα παράξενο αυτό και προηγούμενο αυτό είναι μια ευθεία που είχε μηδενικό εμπαδόν και άπειλο μήκος. Ναι, αλλά εδώ υπάρχει κάτι άλλο. Ότι όχι μόνο έχει άπειλο μήκος αυτό. Αν πάρεις αυτό το τριγωνάκι, είναι μια μικρογραφία του όλου. Είναι μια συστολή του όλου. Το ίδιο αυτό, το ίδιο εκείνο. Μετά όταν πάμε πάλι στο μικρότερο αυτό, πάλι είναι μια μικρογραφία του ολόκληρου. Οπότε αυτό που βγάζουμε εδώ, ότι το σύνολο αυτό έχει άπειλο μήκος, δεν είναι μόνο το σύνολο αυτό. Γιατί κάθε κομμάτι του, αν κόψω μια φέτα από εδώ, πάλι άπειλο μήκος θα έχει. Γιατί το ίδιο πράγμα προς πολύ πιο συσταλμένο. Έχω προσερθεί με έναν αριθμό αποθετικό. Είναι παράξενο το σύνολο του. Έχει μηδενικό εμβαδόν και κάθε κομμάτι του που κόβω με ένα μαχαίρι, έχει άπειλο μήκος. Αλλά αυτό το σύνολο τι είναι, είναι διδιάστατο. Αν ήταν διδιάστατο, δεν δείχνει μηδενικό εμβαδόν. Αν ήταν μονοδιάστατο, πάλι δεν τελειάζει να έχει άπειλο μήκος, όχι μόνο ολόκληρο. Δεν θα έχει ένα σύνολο. Είδαμε και προηγουμένους παραδείγματα σκαραρίδους. Και εδώ αυτό μονοδιάστατο το σύνολο είναι, αλλά έχει άπειλο μήκος. Ναι, αλλά αν πάρω ένα κομμάτι του από εδώ κάπου μόνο και το φέρω από εδώ δεν θα έχει άπειλο μήκος. Το άπειλο παρουσιάζεται, η απειλή παρουσιάζεται εδώ κοντά στο μηδέν. Είναι, λοιπόν, είναι άπειλο, αλλά είναι κάπου πιο λογική η συμπεριφορά του απ' ότι στο τρίγωτο του Σεπρίσι. Το τρίγωτο του Σεπρίσι, λοιπόν, τι είναι τώρα, τι διάσταση έχει. Έχει διάσταση 2 ή διάσταση 1. Α, το παφάνι του έχει τα 2. Δεν μπορεί να έχει διάσταση 2 ή διάσταση 1. Τι διάσταση. Κοιτάξτε, είπαμε προηγουμένως ότι για να υπολογίσουμε το εμβαδόν, υπολογίζουμε, παίρνουμε αθρίζατα, η ώρα του σύνολο στο τετράγωνο. Και όταν έχει διάσταση, και όταν είναι διάστατο, βγαίνει το εμβαδόν του θετικό και όχι άπειλο, αν δεν έχουμε περίπτωση να φτάνουμε το εμβαδόν. Εδώ, στο μήκος, παίρνουμε αθρίσματα, η ώρα του σύνολο στην πρώτη. Και στα μονοδιάστατα, πάλι, έχουμε τη λογική συμπεριφορά του μήκους. Στα διάστατα που συμβολίζουμε το εμβαδόν έτσι, που χρησιμοποιούμε αυτά τα θέσματα, έχουμε λογική συμπεριφορά του μήκους. Ε, τι συμβαίνει. Αν βρω έναν αριθμό δε, έτσι ώστε, όταν ακολουθώ τις προηγούμενες διαδικασίες, άνθρωπος στο τετράγωνο και άλφα, αν χρησιμοποιήσω τη διαδικασία αυτή, χωρίς να βάζω το άλφα στο τετράγωνο, το άλφα, το άλφα στην δε, τότε, και αν βγαίνει στο σχήμα μου τελικά αυτό που θα προκύπτει με τις προηγούμενες διαδικασίες, όχι σαν εμβαδόν, ούτε σαν μήκος, αλλά με την ίδια διαδικασία βάζοντας, όχι τη πρώτη δυναμή του άλφα, ούτε τη δεύτερη δυναμή του άλφα, αλλά μια άλλη δυναμή, δε. Και αυτό που βγαίνει, δεν είναι ούτε μη δε, ούτε άπειρο, τότε ο λογικό να πω ότι έχει διάσταση δε το σχήμα μου. Ό,τι γίνεται με το 2 ή με το 1 στο δεδιάστατο ή το μοτοδιάστατο, γίνεται εδώ με το δε. Στην διαδικασία αντί για 2 ή 1 παίρνω δε, και βγάζω ότι το αριθμός που θα κάνω αυτή την προσέγγιση προγράψεως με το λογωμένος, βγαίνει ένα σπος που θα γίνει ούτε μη δε, ούτε άπειρο, αλλά μου δίνει κάποιο μέτρο ας πούμε του συνόδου. Σε αυτή την περίπτωση, είναι λογικό να πούμε το σύμμαχο διάστασης δε. Διότι το τρίγωνο που τους υπήρχε, πτυχά το εξής, δεν θα κάνω να πω το εξήμερα, αλλά βγαίνει αριθμία του εξής, ότι αν βάλω αυτό το περίεργο αριθμό σαν δε, βγαίνει, η αντίστοιχη διαδικασία με τα τετραγωνάκια, βγαίνει για το τρίγωνο που τους υπήρχε, να μου δίνει ένα αριθμό που δεν είναι ούτε μη δε ούτε άπειρο. Και γι' αυτό, σαν διάσταση του τριγώνα αυτού θέλω αυτό το αριθμό. Πολύ βέβαια, δεν είναι σαν το παιξιδιοκέντρο, είναι το δικό, είναι το παιξιδιοκέντρο όταν δεν είναι διάστατο, αλλά η κατηγιότητα από την διάσταση του τριγώνα αυτού. Αυτή τη θεωρία, ως μην της διάστασης, για να ανέπτυξε ο Φέριξ Χάουσδορφ, γερμανός μαθηματικός, ο οποίος είχε συμβαλική προσφορά στα μαθηματικά, είχε όμως ένα τραγικό τέλος, το 1042, αυτοκτόνησε μαζί με τη γυναίκα του και τα δυο του παιδιά, ήταν εβραίος. Και αυτοκτόνησε μαζί με τη γυναίκα του και τα δυο του παιδιά, περνόταν σε νηκτήριο, λόγω βέβαια των διώξεων που είχαν υποστήριξει από το καθιστό του 1042. Τώρα, γιατί τώρα να ασχοληθούμε με αυτό το παράξενο σύνολο και να βγάλουμε ότι έχει αυτήν την παράξενη διάσταση. Βέβαια εμείς οι μαθηματικοί πολλές φορές ασχολούνται με πράγματα που φαίνονται πολύ παράξενη και κάνουν καθαρά θεωρητική περιέργεια. Παρά τα αυτά, υπάρχει μια μεγάλη θεωρία, υπάρχει ένα κλάσσιμο σύνολο. Υπάρχει μια κλάση συνολών που λέγονται fractals, μιλάω μόνο στο επίπεδο εδώ, θα είπαμε και σε περισσότερες διαστάσεις, που λέγονται fractals, έχουμε ερετηθεί κυρίως από έναν από τον Mandelbrot, είναι ένας ολογικής καταγωγής μαθηματικός σχεδόν σύγχρονος, πριν 10 χρόνια έχει πεθάνει, τα οποία παρουσιάζονται τέτοιες παράξενες ιδιότητες όπως το τρίγωνο του Συρμπίνσκη. Έχουν τέτοιες παράξενες μορφές. Και τα τρίγωνα από τα σύνολα αυτά, πολλά από αυτά έχουν την εξής ιδιότητα που έχει και το συνολό που την αναφέραμε πριν, τα λένε αυτοόμια, δηλαδή αυτά αποτελείται όπως είπαμε από κομμάτια που είναι όμια με το όλο, είναι μυκρογραφίες του όλου του συνολού. Πολλά τέτοια σύνολα λοιπόν έχουν ερετηθεί και από καθαρά μαθηματικά επεισοχή, όχι λόγω της περιέργειας στον μαθηματικό, αλλά έχουν και πολλές εφαρμογές. Πολλές εφαρμογές σε φυσική βιολογία, γεωγραφία. Δυστυχώς μην βλέπουμε τη διαφάνεια, δεν πειράζεται εδώ στην επόμενη. Λοιπόν, παραδείγματος χάρη, ένα τέτοιος σύνολος είναι αυτό εδώ. Όπως βλέπετε το εξής. Από το κλαδί, ας πούμε, από εδώ και πάνω είναι μια μυκρογραφία του όλου. Και το ίδιο. Και το κλαδί από εδώ και πάνω το ίδιο. Δεν έχουμε φωτογραφία κάπου. Αυτό εδώ, το δεύτερο, δεν είναι φωτογραφία κάποιου κλαδιού. Είναι πάλι ένα φάκελ. Αυτό λέγεται δέντρο του Πιθαγόρα. Δεν ξέρω τι είναι δέντρο του Πιθαγόρα. Και είναι πάλι, όπως βλέπετε, το κλαδί από εδώ και πάνω είναι μυκρογραφία του όλου. Ή το κλαδί από εδώ και πάνω το ίδιο. Αυτά δεν είναι φράκτας, είναι φωτογραφίες. Αυτά είναι τα νεύρα ενός φύλου και αυτή είναι μια ακτογραμμή. Όπως είπα, αυτή η θεωρία των φράκτας έχει πολλές εφαρμογές. Γιατί? Γιατί πολλά φαινόμενα, φαινόμενα που αφορούν την βιολογία, φαινόμενα που αφορούν την περιγραφή φυτών, φαινόμενα τέτοιου γεωγραφικά, φαινόμενα αστρονομίας, καταδομή των γαλαξιών. Αυτά, βέβαια, δεν είναι ακριβώς φράκτας. Δεν έχουν αυτή την ιδιαιότητα. Ο πρωθυπουργός δεν είναι τόσο κανονικά όσο αυτά. Είχε μια διαφάνεια που είχε και ένα άλλο όλα, δυστυχώς βρίστηκε. Δεν ξέρω. Αλλά αυτά μπορούν να προσομοιωθούν με φράκτας. Οπότε η μελέτη τους, η μαθηματική θεωρία των φράκτας, βοηθάει στη μελέτη διαφόρον τέτοιο φαιναμένο. Δεν ξέρω πολλά από αυτά και δεν θα πω τίποτα, γιατί δεν ξέρω κάτι ουσιαστικό στις συγγενερές εφαρμογείας, τις συγκεκριμένες εφαρμογείας και πώς αυτές γίνονται. Δεν ξέρω, βέβαια, μήπως κάποιοι βιολόγοι, παραδειγμασμένοι από εδώ, ξέρουν κάποια πράγματα για εφαρμογεία φράκτας στην ιδιολογία. Αλλά πράγματι, έχει αντιθερπολία αυτή η θεωρία, ηλευταία, έχει πολλές εφαρμογείας και στην οικονομία έχει, δεν ξέρω πώς. Και στη δομή του DNA, έχω διαβάσει ότι έχει την ιδιολογία. Όπως είπα, δεν μπορώ να πω ουσιαστικά εγώ, το μαθηματικό μέρος της θεωρίας. Με το μαθηματικό μέρος της θεωρίας έχω ασφαληθεί, δεν μπορώ να σας πω τίποτα ουσιαστικό, πάντων, στις εφαρμογείας, αλλά είναι. Από ό,τι έχω διαβάσει, υπάρχουν πραγματικά πάρα πολλές εφαρμογείες, σε πάρα πολλά θέματα. Αυτά, ευχαριστώ για την προσοχή σας. Ευλογημένο ότι βρισκόμαστε σε προγλωδική περίοδο, η συγκέντρωση είναι πάρα πολύ κανονιτική. Ευχαριστούμε πάρα πολύ την ενδιαφέρονή σας παρουσίαση. Ευχαριστούμε πάρα πολύ την ενδιαφέρονή σας παρουσίαση. Αυτές, καθώς έτσι περιμέναμε για την ομιλία σας και συζητούσαμε για το απειρό, με ένα μαθηματικό φύλο, σκεφτόμασταν ότι ακόμα και τα παιδιά σχετικά εύκολα μπορούν να κάνουν γκράσπ, να καταλάβουν την έννοια του απειρού. Ενώ, αντίθετα, παρατηρούσε τώρα ο φίλος μου ότι, ας πούμε, να σκεφτούμε μια νεαρκή παράσταση σε τέσσερις διαστάσεις είναι τόσο τηςνόητο. Μα ρωτιόμουνα αν είναι η συμμετρία και ο μηνημαλισμός της έννοιας του απειρού, που κάνει τον ανθρώπινο νου, να μπορεί έτσι να το συλλάβει σχετικά σαν επίπεδο θεωρητικό εύκολα. Ποιέν είναι η γνώμη σας? Στην έννοια του απειρού χρειάζεται μόνο αφυριμένη σκέψη. Ενώ, για να φανταστούμε πράγματι ένα τεσσαδιάστατο σχήμα, θα πρέπει να έχουμε την κατάλληλη εποπτία, την οποία δεν μπορούμε αν την έχουμε. Είναι ένα θέμα εποπτίας. Πρέπει να φανταστούμε το σχήμα. Εποπτίας σε τέσσερις διαστάσεις δεν έχουμε, αλλά εδώ πράγματι είναι μια αφυριμένη σκέψη, την οποία μπορούμε να την κάνουμε πιο εύκολα, νομίζω, ναι. Το μήκος που είχατε σχηματίσει στο νοσαίο τρίγωνο που πήγατε, δε κατάλαβας γίνεται σύγχυση του εμβαδού και του μήκους. Το μήκος είναι αυτό που είπα πριν ο τρόπος για να ορίσουμε μήκος σε ένα σύνολο που δεν είναι κάτι απλό, μια ευθεία, μια περιφέρεια, που μπορώ να πω ακριβέρα τι είναι μήκος. Το μήκος που μετράμε είναι με το τρόπο που ανέφερα, το μήκος είναι αυτό που περιέγραψα εδώ. Σε ένα σχήμα που δεν είναι πολύ άσχολο να πούμε τι είναι μήκος, διαστητικά δεν βλέπουμε τι εννοούμε ως μήκος, κάνουμε αυτό το πράγμα. Παίρνουμε τα τετράβανάκια, καλύπτουμε με τα τετράβανάκια το σχήμα μας, που εδώ είναι ένα απλό σχήμα, δεν είναι όπως στο τρίγωνο, και μετράμε για τα τετράβανάκια αυτά μέσα στις πλευρές. Κοιτάμε πόσα είναι, 8 πόσα είναι αυτά, επί την πλευρά. Το ίδιο κάνουμε και εκεί, και αυτό το καταλαβαίνουμε ότι είναι κάτι ανάλογο με το μήκος. Δεν είναι το μήκος έτσι καθαρά όπως το βλέπουμε εδώ σε μια κλωστία που μπορούμε να καταλάβουμε ποιο είναι το μήκος. Η έννοια του μήκους γενικά για ένα σχήμα στο επίπεδο που μπορεί να είναι πολύ παράξενο όπως ήταν το τρίγωνο, το μετράμε με αυτόν τον τρόπο. Και στο εδώ βγαίνει, αυτό δεν μπορώ να σας το πω, δεν είναι κάτι τετρεμένο, χρειάζεται κάποιος υπολογισμός για να βγει, ότι αυτό το μήκος που ορίζω αυτόν τον τρόπο με τα τραβανάκια βγαίνει μηδέν. Αλλά μετά όταν πάρω και όχι όλο το τρίγωνο, αλλά πάρω μόνο αυτό, πάρω αυτό, αυτό το ίδιο πράγμα είναι με τούτο, είναι απλώς τεσσερφανικότηρο. Πάλι απλώς θα βγει, απλώς το έχω διαστήλει, θα πολλοπροσιασθεί ή δεν το έχω διαστήλει, το έχω συστολίγω. Πάλι ακούω, το άπειρο το που προσέχω με ένα δεύτερο με ένα εκατοστο, πάλι άπειρο μένει. Αυτή την έννοια. Το περίγραμμα των τριγών. Χαρά της ακούω. Το περίγραμμα των τριγών. Α, ναι, εδώ ίδιος θέλω να πω κάτι. Αυτό που μένει στο τέλος, δεν είναι μόνο το περίγραμμα των τριγών. Αυτό είναι πολύ καλύτερο να το πιστέψετε. Πολύ πιο στο τρασίνιο που παραμένουμε. Δεν είναι μόνο το περίγραμμα των τριγών. Και γι' αυτό βγαίνει άπριο το περίγραμμα των τριγών. Μόνο το περίγραμμα των τριγών δεν θα φαίνεται. Στο αρχή μπορεί να πιστέψεις κάτι τέτοιο. Ότι είναι το περίγραμμα των τριγών αυτό που μένει στο τέλος. Δεν είναι. Είναι πολύ πιο στο τρασίνιο. Να πω άλλο, δεν ξέρω αν δεν είναι τόσο εύκολο. Θα σας πω γιατί. Αν πάρω, παραδείγως, αυτό το τρίγωνο, το πάνω. Και μετά πάρω ένα από αυτά που μείνει. Αυτό. Και μετά ένα από αυτά που μείνει. Όταν πηγαίνω έτσι στη συνέχεια, θα υπάρχει στο τέλος ένα σημείο που θα έχει μείνει πάνω. Τώρα, γιατί αυτό το σημείο δεν θα είναι πάνω στο περίγραμμα? Γιατί αν πάρω, ας πούμε, αυτό εδώ, το πρώτο. Αν πάρω μετά αυτό εδώ, απομακρύθηκα από την πλευρά αυτή. Μετά όταν αυτό πάρω στη συνέχεια αυτό, απομακρύθηκα και από αυτή. Και μετά, όταν προχωρήσει παρακάτω με τον ίδιο τρόπο, θα απομακρύνουμε διαρκώς από τα περιγράμματα των τριγόνων. Αλλά θα μείνει, όταν παίρνω τρίγωνα, το ένα μεσαστάω και μικραίνουν, μένει κάτι μέσα. Ένα σημείο θα υπάρχει μέσα. Όταν έχω μια ακρογουθία τριγόνων που διαρκώς μικραίνουν, στο τέλος θα είναι κάτι μέσα. Αλλά μπορώ όταν παίρνω έτσι τα διαρκώνα αυτά, το πρώτο, το δεύτερο, το τρίτο, οπότε θα απομακρύνουμε διαρκώς από αυτές τις πλευρές και εκείνο το σημείο που θα μείνει μέσα δεν είναι στις πλευρές. Όταν δεν μετράμε, τι μετράμε στους παντών ή μήκος εκείνος. Μετράμε άλλο κομματάκι, άλλο δε μήκος. Είπαμε ότι εδώ μετρήσουμε το εργαδόν, εδώ θα βγει μηδέ, το μετρήσουμε το μήκος θα διάπηρα. Άλλο δε μήκος, άλλο δε μήκος. Το μήκος δεν καταλαβαίνει. Πώς είναι το μήκος. Είναι αυτό που είπα πριν. Μετράμε τα τετραγωνάκια που καλύπτουν. Εδώ, παράδειγμα, το πρώτο προσέγγισης του μήκου θα είναι 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 τετραγωνάκια. Το πρώτο προσέγγισης θα είναι 7 όταν η πλευρά είναι 1. Μετά που θα μικρύνω, θα πάρω το 1 δεύτερο για να το προσθέσω για τετραγωνάκια, ανεχωμένως όπως θα έχουμε πρώτα λιγότερα τετραγωνάκια και θα βγει μια καλύτερη προσέγγιση. Δηλαδή αριθμή είναι αυτή. Δεν είναι τετραγωνικά η μήκη. Αριθμή είναι. Εντάξει, αν έχουμε κάποια μονάτα, αν το πούμε ότι το μήκος είναι 1 μέτρα, θα είναι το μήκος, θα βρει και το μήκος σε μέτρα. Ενώ το εβάδο θα τελθεί σε τετραγωνικά μέτρα. Ναι Μαρία. Δεν ξέρω ποιος είναι η τετραγωνική. Συγνώμη. Θα θέσω να πιστέσω στα φράχτα που αναφέρατε και στα scale-free, ότι πράγματι αυτό είναι ένα πολύ ενδιαφέρον φαινόμενο που παρατηρείτε και στη φύση όπως θυμάλατε και στα μαθηματικά φυσικά, αλλά και στο διαδίκτυο και στην οικονομία όπως είπατε και ίσως ένας τρόπος να το εξηγήσουμε, είναι ότι για παράδειγμα στην οικονομία η κατανομή του πλούτου ακολουθεί το λεγόμενο κανόνα του παρέτο. Το 80% του πλούτου είναι συσσορευμένο σε πολύ λίγους και ένας τρόπος να κατασκευάσει κάποιος ένα scale-free φαινόμενο, μια διαδικασία scale-free, ένα scale-free σχήμα, είναι να εφαρμόσει το λεγόμενο, στα αγγλικά λέτε preferential attachment. Επίσης ουσίας τώρα μου διαφέρει και με συγχωρείτε γι' αυτό μου διαφέρει η ελληνική επετάθεση, αλλά το που σημαίνει το εξής, ότι αν έχω μια entity, αν έχω μια οντότητα, η οποία έχει πολλούς πόρους, ο επόμενος κόμπος θα διαλέξει να συνδεθεί με αυτή την οντότητα που έχει τους περισσότερους πόρους με μεγαλύτερη πιθανότητα. Επομένως, ακριβώς αυτή η ιδιότητα, που λέγεται preferential attachment, ότι εγώ θα προσπαθήσω να συνδεθώ με αυτόν που είναι πιο καλά συνεντεμένος, αυτή η ιδιότητα τελικά παράγει, δημιουργεί ένα fractal. Αυτό το λέω κάπως απλοϊκά, αλλά ίσως το τελικό παράγμα που μπορώ να πω, αν είναι ακόμα πιο κατανοητό, είναι ότι τα συγκοινωνιακά δίχτυα των αερογραμμών ακολουθούν ακριβώς αυτό το φαινόμενο, τουλάχιστον μια προσέγγιση αυτού του φαινομένου. Δηλαδή, υπάρχουν τα hubs που έχουν πολύ καλή συνδεσιμότητα με κάποια άλλα αερογρόμια, ας πούμε, που δεν είναι hubs. Ευχαριστούμε, Μαρία. Ναι, θα ήθελα να ρωτήσω τη γνώμη σας, εάν πιστεύετε ότι η έννοια του απειλού έχει θέση στον φυσικό κόσμο, εάν δηλαδή το άπειρο το βλέπουμε στον πραγματικό κόσμο, υπό την έννοια μιας απείρως ακριβούς μέτρησης ή μία μηχανής, η οποία θα κάνει άπειρες πράξεις σε περτερασμένο χρόνο. Το άπειρο θα λέγα ότι είναι μάλλον μια έννοια νοητική έννοια, δηλαδή όταν μιλάμε, παράδειγμα, όταν λέμε, γράφουμε ένα αριθμό με άπειρα δεκαδικά ψηφία, δεν το γράφουμε ποτέ όλο κάτω το αριθμό, αλλά νοητικά καταλαβαίνουμε κάτι τη σημαία αυτού. Είναι κάπως σαν μια οριακή έννοια. Παίρνουμε όλους τους φυσικούς αριθμούς, τους όλους τους φυσικούς αριθμούς ποτέ δεν θα τους γράψουμε όλους κάτω. Αλλά μπορούμε νοητικά να συλλαμβάνουμε ολόκληρο το σύνολο των φυσικών αριθμών. Ναι, ωστόσο όμως θα μπορούσε να υπάρχει έννοια του αυτοίου υπό την έννοια της δυνατότητας υπαξής μιας μέτρησης που είναι αδιαίρως ακριβής. Στην καλλιτική θεωρία, για παράδειγμα, η διαφορά δυο-ενεργιακών εκπληκτών, η οποία θα μπορούσε, ίσως υπό κάποιες συνθήκες, να είναι τελείως ακριβή. Ναι, αυτό θα μπορούσε να είναι. Θα μπορούσαμε να έχουμε κάτι τέλειο και σιγανός μια μηχανή που θα ήταν συνέπεια αυτήν που θα μπορεί να κάνει άπειρες πράξεις σε περασμένο χρόνο. Αυτό δεν ξέρω. Προσωπικά θα νόμιζα όχι, αλλά δεν ξέρω ποιο άλλοι θα απαντήσουν. Να έχουμε μια μηχανή που θα κάνει άπειρες πράξεις σε περασμένο χρόνο, προσωπικά θα λέγα μάλλον ότι δεν μπορεί να γίνει. Αλλά δεν ξέρω. Κάποιος ξέρει κάτι καλύτερο σχετικά με αυτό. Προσωπικά δεν θα περίμενα να υπάρχει. Απαντώντας την τελευταία ερώτηση, χρησιμοποιείς τη δεξιορία και… Άρα, εγώ θα το δω, ποια είναι η σχέση μεταξύ απειρού και ορίου. Λένε, όταν έχεις ένα όριο, όπως πιένουμε σε ένα πλατό και πλησιάζουμε ένα όριο, αυτό μπορεί να το καταλάβουμε. Προτατάμε, προτατάμε συνέχεια, ποτέ δεν το πιάσουμε. Αλλά μπορεί να υπάρχουν και άπειρα που δεν έχουν όριο. Δεν υπάρχουν άπειρα. Άπειρα, που δεν είναι άπειρα σημεία, δεν μπορώ να καταλάβω το άπειρο, όταν πλησιάζει η χελόνοια πάνω και πάνω και πάνω, αλλά ξέρω ότι υπάρχει ένα σημείο που είναι το όριο. Αν δεν έχουμε όριο, τι γίνεται? Αν δεν έχουμε όριο, τι δηλαδή… Δηλαδή, το άπειρο, όταν έχετε τώρα το άπειρο, ο φυσικός θέλει ότι το σύμπανθα διαστέρεται… Επ' άπειρο. Το άπειρο. Αυτό δεν έχει όριο. Όχι, δεν έχει όριο, ναι. Λέω όμως ότι είναι μια οριακή έννοια. Παραδείγμα, όταν γράφουμε έναν αριθμό με άπειρα δεκαδικά ψηφία, ο αριθμός με τα άπειρα δεκαδικά ψηφία έχει έννοια ως κάποιο όριο. Δεν μπορούν να γραφούν κάτω τα ψηφία. Το π έχει ένα όριο, μπορεί και να μην το πλησιάζουμε, αλλά έχει ένα όριο. Ναι. Ενώ το άλλες έννοιες που χρησιμοποιούμε στην επιστήμη… Όχι, όχι, το άπειρο δεν είναι πάντα. Δεν έχει πάντα οριακή έννοια. Το άλλο είναι πιο πρακτικό. Πώς βλέπετε εσείς το υφυσική το… Φυσικό δεν γνωρίζω. Η μαθηματική έκλεισε την ομιλίωση με εφαρμογές. Ναι, από τις οποίες όμως δεν ξέρω πολλά πράγματα. Υπάρχουν και οι μαθηματικοί. Παράδειγμα, ο Χάρν υπόγραψε… Απολογήθηκε γιατί όχι μόνο τα μαθηματικά του δεν έβρεπε αν έχουν εφαρμογές, αλλά και δεν ήθελε. Δηλαδή, θα ασθανόταν αμαρτωλός εάν τα μαθηματικά του βρίσκανε εφαρμογές. Κάτι τέτοιο περίπου. Απολογήθηκε. Το θέμα μετά βρέθηκε ότι πραγματικά τα μαθηματικά του έχουν εφαρμογές. Σήμερα, παίρνουν οι μαθηματικοί εντολές από τη δυνατότητα εφαρμογής εφαρμογήσεων τους και δουλεύουν σε μαθηματικά που πιθανόν θα έχουν εφαρμογές, ή παφίονται στον ευσκεκτό τους και θέτουν ερωτήματα χωρίς ποτέ να θέτουν και ερώτημα αν αυτό που θα προκύψει είναι εφαρμογή. Και τα δύο γίνονται. Δηλαδή, γίνεται και έρευνα, παίρνοντας όχι εντολές, αλλά, ας πούμε, κινητρά από διάφορα θέματα που βλέπει κανείς ότι μπορεί να υπάρχει κάποια εφαρμογή. Γίνεται και έρευνα δραστηριότητες, γιατί όμως και έρευνα καθαρά θεωρητικά, και το περίεργο είναι ότι πολλές φορές αυτά κάποτε βρίσκουν στην εφαρμογή. Και με τους δύο τρόπους, δηλαδή, και οι δύο τρόποι αυτοί απαντώνται στη δουλειά των μαθηματικών. Δηλαδή, καμιά φορά, εδώ το φορτάνομενόν είναι, κατηγορούμε και τις εφαρμογές, η εφαρμογή καμιά φορά μπορεί να δράσει και θα τροφώ στις περιφέρειες της περιέργειας. Ναι, προφανώς, προφανώς μπορεί, αλλά γίνεται και το αντίθετο πολλές φορές. Εν τέλος από καθαρά περιέργεια να δουλεύει κάποιες πράγματα, να βγαίνει μια μεγάλη θεωρία, ενδιαφέροντα αποτελέσματα που να θεωρούν ότι είναι κάτι εξωπραγματικό και να βρίσκουν μια εφαρμογή. Και ο Σαντονιάδης μπορεί να πει, παραδείγως, γιατί θεωρεί αριθμών, η οποία θεωρεί το κάποτε εντελώς κάτι σεωριντικό που δεν έχει καμιά εφαρμογή, η οποία σήμερα εφαρμορίζεται στη λειπτογραφία, εφαρμορίζεται στη σωκάβονα της ασφάλειας των συναλλαγών κλπ. Ναι, εγώ θέλω να ρωτήσω κάτι σχετικό με το πρώτο μυσούρος. Πώς αφορά το διάφορο του τομείς των μαθηματικών, ας πούμε, και την έρευνα στα μαθηματικά, και κατά πόσο κάποιοι κάποιοι τρόποι είναι πιο εμπνευσμένοι από κάποιους άλλους, και κατά πόσο κάποιοι άλλοι είναι ίσως στείροι, ότι ίσως, δεν ξέρω, αγαλοχένοι, δηλαδή, αν αυτή η σχετική μέση, ας πούμε, η αθουσίωση στο να μην πάρει την εφαρμογή σε κάποιο έρευντικο πρόγραμμα των μαθηματικών, είναι, ας πούμε, θα δώσω διετρεμινιστικά, για κάποιο τρόπο, το μέλλον ήταν από 100 χρόνια, 200 χρόνια, δεν ξέρω πότε, κάποια εφαρμογή, γιατί, όπως το είπα εγώ, υπάρχουν άπειρα μαθηματικά δεδομένα, facts, ας πούμε, που μπορεί κανείς να εξερευνήσει, οπότε να αρχίσουμε, κύριε Λοπέζη, το μαθηματικό σου, πόσο διέστηση έχει για τη δουλειά του, ας πούμε, και σε θα το κάνει και για το μέλλον. Ο μαθηματικός, όπως είπατε, θρησκευτική εμμονή στο θέμα, όχι εφαρμογές, αυτή δεν νομίζω ότι είναι σωστή τακτική και νομίζω ότι δεν είναι και γενικά αποδεχτή σήμερα. Δεν λέει ο μαθηματικός ότι δεν θέλουμε εφαρμογές, ο μαθηματικός πολλές φορές παίρνει τα κινητρά του από διάφορες εφαρμογές και κάνει την ερευνά του, πολλές φορές όμως παίρνει τα κινητρά του και αποτελώς θεωρητικές ερωτήσεις, τις οποίες δεν ξέρει και δεν προβλέπει αν θα υπάρχουν εφαρμογές ή όχι. Δεν είναι λάθος το να δουλεύει ένας μαθηματικός με αυτόν τον τρόπο, να εξιτάζει κάποια προβλήματα τα οποία δεν έχουν έρθει από εφαρμογές, ούτε έχουν ορατές εφαρμογές και δεν είναι λάθος για δύο λόγους νομίζω, αφενός και διότι και να μην έχουν εφαρμογές, μια γνώση που είναι καθαρά γνώση, γνώση εντελώς θεωρητική, αφιλημένη, έχει την αξία της ως πολιτιστικό αγαθό. Αλλά εκτός αυτού πολλά πράγματα που δεν έχουν ορατές εφαρμογές κάποια στιγμή έχουν. Δηλαδή το να προχωρεί θεωρητική έρευνα στα μαθηματικά προσφέρει και καθαρά διανοητική πρόοδο αλλά και πρόοδο ως προς εφαρμογές. Εν γένει τα μαθηματικά, εγγένει έχουν εφαρμογές, μπορεί να μην έχουν αμέσως, μπορεί να έχουν μετά από μεγάλα χρονικά διαστήματα. Αλλά εγγένει έχουν εφαρμογές. Είναι αυτό που έλεγε ο κ. Ζούρος στον πρόλογο του ότι γιατί τα μαθηματικά έχουν, γιατί τα μαθηματικά πράγματι η γλώσσα των μαθηματικών αντιστοιχεί πραγματικά στη φύση. Έτσι είναι όμως, υπάρχει αυτό το πράγμα. Καλησπέρα, σας ευχαριστούμε πολύ για την διάλεξη. Ποιος μιλάει? Ναι, ναι, ναι. Και νομίζω ότι το θέμα του απειρού είναι ένα καλό παράδειγμα στο οποίο μπορούμε να δούμε τη φιλοσοφική διάσταση ανάμεσα στην ιδεαλιστική άποψη των μαθηματικών και στην ιλιστική άποψη των εφαρμογών. Κατά την άποψή μου το άπειρο είναι από τα δυσκολότερα θέματα να κατανοήσω. Και ήδη από το γεγονός ότι υπάρχουν πολλά άπειρα και αυτά έρχονται σε αντίθεση με τη διέστησή μας, καθ' αντίστοιχο που το παθαίνουμε το τίποτα να γίνει, είναι ένα εδεικτικό αυτού του πράγματος. Άρα λοιπόν, αρχόμαστε να μιλάμε τώρα φιλοσοφικά για αυτά τα θέματα. Στη διάλεξή σας δώσαμε λοιπόν την έννοια του απειρού όπως αφορά τους αριθμούς ή τα μήκη. Όταν πήγαμε σαν φράγκταλ, το άπειρο πια μεταβλήθηκε στις επαναλήψεις. Το σχήμα είναι πεπερασμένο, το τρίγωνο, αλλά οι επαναλήψεις είναι άπειρες. Βλέπουμε λοιπόν το άπειρο είτε στον χρόνο, είτε στον χώρο, είτε στους αριθμούς. Η έννοια του απειρού, όπως εγώ τίποτα βάζω και δεν είναι μαθηματικός, αλλά μου αρέσει ότι τα αγαπάω τα μαθηματικά πάρα πολύ, είναι ένας ορισμός. Ορίζουμε αυτό το οποίο δεν μπορούν να τη θεσσεύσουν. Είναι λοιπόν αυτό το όριο. Άρα λοιπόν το όριο ή είναι το ορίου μας βοηθάει να ορίσουμε την έννοια του απειρού. Και όπως προηγούμενα σε προηγούμενη ερώτηση απαντήσαμε και είπαμε ότι δεν μπορεί σε περασμένα χρόνο να γίνουν άπειρα υπολογιστικά βήματα. Αρχίζουμε λοιπόν και μπαίνουμε σε αυτό το κανάλι του Turing των υπολογιστικών μαθηματικών. Μια άλλη μεγάλη κατηγορία, μεγάλο δέντρο μεγάλο παιδιών μαθηματικών. Αυτά τα πράγματα λοιπόν οδηγούν στην διάκριση. Οι μαθηματικές έννοιες υπάρχουν αυτοί πάντες σαν ιδέες και πάνω σε αυτές αντανακλάται η φύση. Ή το πρωταρχικό είναι η φύση και το ιδεατό κατασκευαλό των μαθηματικών την προσεγγίζει πλέον τη φύση, αλλά δεν τη φτάνει όπως το άπειρο το ορίζουμε, αλλά δεν το φτάνει. Είναι καθαρά φιλοσοφικό ερώτημα στο οποίο εγώ δεν έχω την απάντηση. Είναι ένα πέντε ερωτήματα. Ευχαριστούμε. Θέλω να καταλάβω γιατί προσεγγίζουμε το άπειρο με όρους συνών. Είναι περίπου αυτό που ρωτήθημε της και όχι ως έννοια. Δηλαδή όταν το προσεγγίζουμε με όρους συνών, ενδιαστικά βάζουμε όρια σε κάτι που δεν έχει όρια. Γιατί το προσεγγίζουμε με όρους συνών και όχι ιδέα τα σχημαία έννοια, μόνο η οποία μας βοηθάει να κατανοήσουμε άλλες έννοιες. Και πρέπει και καλεθένουμε να το πούμε με όρους συνών. Μα όταν μιλάμε μιλήσαμε για πλήθος. Το πλήθος είναι ένα πλήθος. Σύνολο είναι μια λέξη που χρησιμοποιούμε στα μαθηματικά και μπορεί να μην είναι κατάλληλη. Μιλάμε για πλήθος. Το πρώτο κομμάτι είναι ακριβώς πώς συγκρίνουμε πλήθι. Έχουμε τους φυσικούς αριθμούς, έχουμε τους άριθμους, ποιο είναι πιο πολύ. Ποιο πιο άπειρο το ένα, άπειρο το άλλο, είναι ίσα ή δεν είναι. Αυτό ήταν το ερώτημα που βάλαμε στην αρχή. Για πλήθι μιλάμε. Η λέξη σύνολο είναι για να περιγράψουμε κάπως συνολικά ποιο πράγματος πλήθος είναι αυτό το άπειρο. Δεν ξέρω αν κατάλαβα καλά την ερώτηση. Δηλαδή με τη λέξη σύνολο, όταν έχουμε βάλει ένα όριο... Για να μετρήσω κάποια πράγματα πρέπει να τα οριοθετήσω. Ποια θα μετρήσω. Αυτή την έννοια μπαίνει η όριο σύνολο. Ποια πράγματα θα μετρήσω. Οριοθετώ ποια πράγματα θα μετρήσω. Το άπειρο με την έννοια του πλήθους είναι μία γεννήψη του αριθμού που ξέρουμε να μετράμε. 2, 5, 10, 100. Μετράμε πράγματα που είναι άπειρα. Αλλά για να εξετάσουμε τι θα μετρήσουμε πρέπει να πούμε ποια πράγματα θα μετρήσουμε. Εκεί μπαίνει η έννοια του σύνολο. Ποια πράγματα θα μετρήσουμε. Τους φυσικούς αριθμούς. Για αυτό λέω το σύνολο των φυσικών αριθμών. Από την άλλη είναι αδύνατο να τους μετρήσουμε. Περίμενε το μικρόφωνο πάλι. Από την άλλη λέμε ότι είναι αδύνατο να τους μετρήσουμε. Καταλάβατε υπάρχει μία αντίδραση... Όχι τους μετράμε. Ξέρουμε ότι είναι ένα άπειρο και μάλιστα ξέρουμε ότι είναι ένα άπειρο που είναι πιο μικρό από το τάδιο άπειρο. Ουσιαστικά επεκκρίνουμε το νόημα των φυσικών αριθμών. Εδώ έχουμε τους φυσικούς αριθμούς ένα, δύο, τρία κλπ. Και μετά βάζουμε και κάποιους άλλους αριθμούς από πάνω. Το πρώτο άπειρο, το δεύτερο άπειρο, το τρίτο άπειρο. Οι φυσικοί αριθμοί τι μετράμε. Μετράμε ένα πλήθος. Μετράω δέκα ανθρώπους, μετράω δέκα ανθρώπους. Έχω το πληθυσμό μιας χώρας, μετράω είναι πέντε εκατομμύρια. Και με το άπειρο μετράω πιο πέρα, πιο πέρα από τους φυσικούς αριθμούς. Μετράω με νοητικά αντικείμενα. Δεν μετράω κάποια ποσότητα που βρίσκεται στη φύση. Μετράω όλους τους φυσικούς αριθμούς που είναι νοητικό κατασκευασμός. Εφόσον μιλάμε για μικρότερα και μεγαλύτερα άπειρα, υπάρχει κάτι που μπορεί να χαρακτηρίσουμε ως μεγαλύτερο άπειρο. Όχι, αυτό το αποδείξαμε. Για κάθε άπειρο υπάρχει μεγαλύτερό άπειρο. Είναι αυτή η αποδείξη που κάνουμε με το ζευγάρι μας στοιχείο και συνόλου. Για κάθε άπειρο υπάρχει μεγαλύτερο άπειρο που δεν τελειώνει ποτέ τα άλλα. Μέχρι σήμερα ήξερα από το φωλείο και από το Πανεπιστήμιο, ότι το άπειρο είναι απροσδιόριστο. Δηλαδή, έχουμε άπειρα σημεία σε μια ευθεία, άπειρα σημεία σε ένα επίπεδο, άπειρα σημεία σε ένα χώρο. Σήμερα έμαθα, και διορθώστε με αν δεν το κατάλαβα καλά, ότι υπάρχουν διάφορα άπειρα. Δηλαδή, υπάρχουν μικρά άπειρα, ας πούμε μιας ευθείας, ή των αρπείων αριθμών. Υπάρχουν μεγαλύτερα άπειρα, συνόλου των αριθμών. Υπάρχουν ακόμα μεγαλύτερα άπειρα. Αυτό είναι μια νεότερη εξέλιξη της επιστήμης, ή τότε που ήμασταν στο Πανεπιστήμιο, μας λέγανε λάθος, δεν είχαν εφευρεθεί ακόμα αυτά, από το 1900. Γιατί μας λέγαν τότε εμάς ότι ένα είναι το άπειρο, δεν πολλαπλασιάλεται, δεν διαιρείται, δεν προστίδεται, δεν μεγαλώνει, δεν μικρένει. Όχι, όχι, δεν είναι λάθος, για άλλο άπειρο μιλούσαν. Μιλούσαν το συνάπηρο, ας πούμε, μιλούσαν στους πραγματικούς αριθμούς και βάζανε ένα συνάπηρο στο τέλος και εκείνο το συνάπηρο, άμα το πολλαπλασιάσεις με το 2, πάλι συνάπηρο σου δίνει. Από πολλαπλασιάσεις να το διαιρείς με κάτι, πάλι συνάπηρο σου δίνει. Και εκείνο το άπειρο μιλούσαν. Δεν είναι το άπειρο με την αγία του πλήθους. Είναι το άπειρο, σαν να πούμε στην ευθεία, βάζουμε στο τέλος ένα αριθμό. Στο τέλος που δεν υπάρχει ο ιδρός σου, γι' αυτό είναι άπειρο. Και κάνουμε κάποιες πράξεις με αυτό και το χρησιμοποιούμε, όταν μεταφέραμε συνάρτησες και βρίσκουμε τα οριά τους. Εκεί όταν μιλάμε για μια συνάρτηση, ότι έχει σαν όραιο το συνάπηρο σε ένα σημείο. Ή μετά παίρνουμε τη συνάρτηση και την πολλαπλασιάσουμε με 2. Πάλι το συνάπηρο, εκεί είναι το ίδιο συνάπηρο. Αν το όραιο συνάρτησης έχει όραιο το συνάπηρο, αν το όραιο συνάρτησης έχει όραιο συνάπηρο, το συνάρτησης 2 έφτανε, το 2 συνάπηρο είναι το ίδιο συνάπηρο. Εκεί είναι το ίδιο συνάπηρο. Εδώ είναι άλλο, είναι το πλήθος. Είναι άλλη έννοια απειρο αυτή. Θα κάνω μια ερώτηση πριν τώρα. Δεν είναι τελείως άστοχοι, όσαν που λένε, στον ποδόσφαιρο, αλλά θα νοικοκινήσουμε, γιατί ακούστηκαν τέτοια συγκροφιλοσοπικές προεκτάσεις στις θετικές επιστήμες, ακόμα και στη Φυσική, αλλά πολύ περισσότερο στην Βιολογία, Κοινωνιολογία κλπ. Υπάρχει αυτό το ερώτημα ότι δεν μπορείς να αποθυμίσεις το σύλλελο στα επιμέρους και υπάρχει αυτή η ερώτηση. Ή καταλαβαίνουμε το που είναι το μεγάλο, ξεκινώντας αυτά τα μέρη, αναγωγιστικά ανεβαίνοντας, ή ανάποδα βλέπουμε την ολότετα του πράγματος και δεν μπορούμε να τη σπάσουμε σε μέρη. Εδώ όταν, στη θεωρία σας, βλέπετε πραγματικά ότι και οι δυο μέθη δουλεύων μπορούν να καταλάβουν το σύλλελο, εξετάθοντας τα επιμέρους ή αυτό είναι αδύνατο. Έχει νόημα η ερώτηση. Ναι, μπορούμε να εξετάσουμε, να καταλάβουμε κάποια πράγματα για το σύλλελο από τα επιμέρους. Ξέρετε τι ερώτημα βάζουμε για το σύλλελο. Δέχεστε όμως ότι υπάρχουν και έννοιες στα μαθηματικά, οι οποίες δεν είναι αποδομίσιμες στις ελεκτομέρειες και στα στοιχεία. Δεν ξέρω τι σημαίνει αυτό. Αυτή είναι μεγάλο πρόβλημα στον πολιτισμό. Είναι δύσκολη η αποψημή διάλεξη και δύσκολες και οι ερωτήσεις. Μαρτώνη το νόημα κλειστήτων. Αλλά και το άλλο για το περάστημα. Και το άλλο ερώτημα είναι πιο βασικό για τους φυσικούς. Διότι και στην επιστήμη υπήρχε ένα παρατήρηση, έτσι, εμπειρισμός. Τα μαθηματικά παρέχουν πολύτιμη υπηρεσία, διότι οι προπρόσφερτες λένε προβλέπω. Κάνε αυτό το πειρήμα και θα δεις αυτό το αποτέλεσμα. Η καμπυλότητα του φωτός της θεωρίας του Αϊστάιν και του τρατησικού κρίτους. Εκεί δεν ξέραμε πώς μπορούσατε να το μιλήσουμε και ο Αϊστάιν είπε πρώτα το περίγμα «Εάν δεν μπορείτε να το δείτε, δεν φταίει η θεωρία, δεν μου φταίει ο Θεός ή φταίτες εσείς που δεν μπορείτε να το δείτε, η θεωρία πρέπει να εσείς δείτε, διότι τα μαθηματικά συνεχίζουν». Τώρα όμως φτάσαμε σε ένα σημείο, από το που καταλαβαίνω και όπως έχει γίνει εδώ, που τελικά δεν μπορούμε, ξεπέρασε, ξεπεράστηκε η δυνατότητα της παρατήρησης και του πειραματισμού και το μόνο που έμεινε στα χέρια των φυσικών και των μαθηματικών, είναι τα μαθηματικά και κάνουν μαθηματικές θεωρίες και λένε «αυτό πρέπει να συμβαίνει, όμως δεν είναι δυνατόν να ελεγηθεί πνευματικά». Τι θα συμβαίνει στο πρώτο θέμα. Εάν φτάσουν τα μαθηματικά να μας πουν ότι αυτό συμβαίνει στον κόσμο, αλλά δεν είναι δυνατόν εκ προημείου και η εξοδισμού να παρατήρηθεί, τότε τι κάνουμε. Θα παράει ένα σύμπαντα. Για τους φυσικούς όχι για τους μαθηματικούς. Φυσικός πρέπει να απαντήσεις σε αυτό. Πρέπει να έχουμε υπηρεσίσεις στα μαθηματικά, όταν ξαντληθεί η δυνατότητα παρατήρησης και πειραματισμού, να μείνουμε στα μαθηματικά σαν το μόνο οδηγό μας. Είναι αλήθεια ότι αυτό κάνουν οι φυσικοί σήμερα, αμφιβάλλωσε αυτό. Παραδείγματος χάρη, αυτό το σωματίδιο του Χίξ, είχε προβλευθεί, αλλά μέχρι να το βρουν δεν το θεωρούσε κανείς ως σίγουρο. Το είδαμε. Πώς? Το είδαμε τελικά. Το βρήκαμε τελικά, αλλά τότε δεν θεωρήθηκε σίγουρο μόνο από την προβλεύση. Δεν ξέρω. Φυσική πρέπει να ρωτήσω. Συσκευικά και την έννοια του απειρού, όπως την είδαμε, την είδαμε σαν ένα πληθυκό αριθμό. Σαν ένα πληθυκό αριθμό, στο πρώτο κομμάτι, ναι. Υπάρχει όμως και η έννοια του απειρού υπό την έννοια της απόλυτης κατασκευής, όπως το τέλειο κύκλο του πλάτωμα. Ποιο? Όπως το τέλειο κύκλο του πλάτωμα. Πιστεύετε ότι… Είναι αλήθεια, το απειρό πώς μπαίνει, δεν έχω καταλαβαίνει τι να είναι. Το απειρό μπαίνει ως εξής. Στο φυσικό κόσμο δεν βλέπει ποτέ κανείς ένα τέλειο κύκλο, αλλά υπάρχει η ιδέα του τέλειου κύκλου στους ανθρώπους. Και ο πλάτωμας, μάλιστα, αυτή την τοποθέτησε στο χώρο του θείου, οπότε και μπορεί στην ίδη υπάρχει έννοια του τέλειου κύκλου. Ναι, αλλά δεν βλέπω με το άπειρο τι σχέση έχει η έννοια του τέλειου κύκλου. Επομένως είναι απόλυτα σωστός. Αυτό ακριβώς ήταν ο ανθρώπιος. Πιστεύετε ότι εκεί υπάρχει έννοια του απειρού? Αυτή όμως δεν είναι η μαθηματική έννοια του, είναι η έννοια φιλοσοφική. Δεν ξέρω. Ο τέλειος κύκλος ορίζεται. Ο τέλειος κύκλος ορίζεται, αλλά το αν... Ο τέλειος κύκλος ορίζεται, αλλά εγώ δεν βλέπω σχέση με το άπειρο σε αυτό. Με το άπειρο στα μαθηματικά δεν βλέπω σχέση με αυτό. Δεν υπάρχει στη φύση. Είναι κάτι που δεν εμμενεί. Είναι μια ιδέα απλά που υπάρχει στον ανθρώπινο κέντρο. Ναι, ακριβώς το αν είναι κάτι που υπάρχει στον ανθρώπινο κέντρο. Αυτό είναι φιλοσοφικό ερώτημα. Είναι μια φιλοσοφική ιδέα αυτή ότι αυτό υπάρχει στον γέφρον του ανθρώπου. Εγώ δεν βλέπω πού μπαίνει η μαθηματική το άπειρο σε αυτό. Αν θέλουμε σαν φιλοσοφική έννοια το άπειρο το απόλυτο, εκεί δεν μπορείς πραγματικά φιλοσοφική έννοια. Αν που το άπειρο είναι μια έννοια που αντιστοιχεί στο απόλυτο, εκεί νομίζω ότι είναι φιλοσοφική έννοια, δεν είναι μαθηματική. Να κάνω ένα σχόλιο μόνο. Νομίζω ότι ευχαριστούμε πολύ την Μιγέ. Νομίζω ότι ήταν μια εξαιρετική απόψη η Μιγέ, αλλά ήταν και μια πρόκληση μεγάλη για εμάς που δουλεύουμε και εδώ για τις Δαρμινικές Δευτέρες. Νομίζω ότι το θέμα των μαθηματικών πρέπει να το εξαργαστούμε περισσότερο. Δεν ξέρω αν σχολείτε. Δηλαδή ότι ο κόσμος χρειάζεται, πρέπει να μάθει περισσότερο πράγμα για αυτό. Θέλει να μάθει. Δεν ξέρω αν σχολείτε. Όταν είπα στην εισαγωγή μου ότι μαθηματικός γεννιάς δεν ετομβούσε βέβαια, τον ήρθα να είναι γεννιάς και να είσαι μότσα, ή γεννιάς και να είσαι φορευτής από όλους, ή γεννιάς και να είσαι εξογωμένη μωρό. Αυτό είναι άκρα. Σίγουρα όλοι μας έχουμε ένα κομμάτι μαθηματικό μέσα μας. Μπορούμε να τα αναπτύξουμε. Και βέβαια εδώ η πρόκληση μεγάλη είναι πραγματιμίως πως πραγματικά αυτό το λίγο μαθηματικό που έχω εγώ, το περισσότερο που έχει η κυρία και τα λοιπά να το αναδείξουμε, η διδασκαλία των μαθηματικών εξακολουθεί να είναι ένα πρόβλημα. Είναι, σωστά. Και να απορώ γιατί και ώστε, είστε από τόσες αιώνες, εξακολουθεί να είναι πρόβλημα. Είναι σωστά. Και μάλιστα θα κάνω ένα ακόμα σχόλιο. Ίσως για την εκλαγερμένη επιστήμη έχω πολύ περισσότερα βιβλία για βιολογία και φυσική, παρά για μαθηματικά. Ίσως θα έχω και μελάητερη ανάγκη για εκλαγευσία. Αυτό που λέω είναι απόψε. Να είναι πολύ ωραία. Η άποψή μου είναι ότι πρέπει, ίσως, να απερβένει από την επιβιολογία. Δεν είναι απερβένει. Δεν είναι απερβένει από την επιβιολογία. Κατά κάποιο πρόβλημα. Δεν ξέρω, μπαίνουν καθόλου. Δεν κάνουν σχήματα να κάνουν. Δεν ξέρω. Δεν ξέρω τι πρέπει να κάνουν. Πάντως νομίζω ότι η εκπαίδευση των μαθηματικών στην Ελλάδα, από όσο γνωρίζω, σε σχέση με πολλές άλλες χώρες, είναι πολύ καλή. Δηλαδή, αν συγκρίνομαι με το επίπεδο της γνώσης των μαθηματικών, π.χ., με το αμερικανικό σύστημα εκπαίδευσης, δεν συγκρίνεται. Μόνο εάν φυσικά πάρεις εκλεγμένα πρότυπα σχολεία της Αμερικής, που μετά συμβεί σαν όντια τράγματα. Αλλά, δηλαδή, νομίζω ότι γενικά, έτσι, το αχτιμώ και ως μαθήτριας, όχι ως εκπαιδευτικός τώρα, ότι τα παιδιά στην Ελλάδα μαθαίνουν μαθηματικά. Ίσως όχι όσο θα μπορούσαν. Και σίγουρα υπάρχουν πολλά περιφορεμβελτίωσεις, αλλά νομίζω ότι ξανά είναι καλά μαθηματικά. Σε σχέση με πολλά παιδιά, σ' εγγραφή στο υπόλοιπο. Επίσης, την ερώτηση που εγώ ήρθα, γιατί όταν βλέπω μαθηματικούς που αποδεικνύουν έτσι, δίνε κάποιες εφάνιδες στις αποδείξεις, τους θαυμάζουν την δημιουργικότητά τους. Και μια ερώτηση που έχω με τόσα πυλογράφου τεχνών, αλλά και των επιστημών, και από την πυλογράφου των ευρεπιστημών επίσης, είναι τι είναι αυτό που προκαλεί την δημιουργικότητα. Δηλαδή, μια κίνηση πολύ σημαντική, δηλαδή ας πούμε, λύνεις ένα πρόγραμμα γεωμετρίας, το γραβάσεις αυτή τη γραμμή και αποδεικνύεις κάτι, έτσι. Δηλαδή, τι είναι αυτό που κάνει το τραλαντούχο μαθηματικό, που θα κάνει αυτό το breakthrough, θα αποδείξει ένα θεόρημα, να κάνει αυτή τη δημιουργική, έτσι, την πολύ ιδιαίτερη, out of the box, πολύ διαφορετική κίνηση και να αποδείξει κάτι σημαντικό, που οι άλλοι για αιώνες, π.χ. ανεκαϊτίες, δεν το βλέπαμε. Όπως είπες Γιώργη, είναι για τους ευρωπιστήμονες, δεν είναι για τους μαθηματικούς. Ωραία, λοιπόν, αυτό να τελειώσουμε. Αυτή η τελευταία ευρωβουλική δευτέρα, καλό, καλό κυαλί, θα τα ξαναφώνουμε τον ορθόπλιστο.