Μαθηματικά - Εισαγωγή στην αναγωγή στη μονάδα - Δ'-ΣΤ' Δημοτικού Επ. 124 (Υπουργείο Παιδείας και Θρησκευμάτων, 2020)
: [♪ Μουσική Παιδιά, γεια σας! Καλώς ήρθατε στο σημερινό μάθημα. Ονομάζομαι Χριστολουκά Ιωάννα, είμαι δασκάλα... και σήμερα θα κάνουμε μαθηματικά. Το μάθημα με το οποίο θα ασχοληθούμε σήμερα... είναι η Αναγωγή στη Μονάδα. Είναι ένα μάθημα που πολλούς τους δυσκολεύει. Από εδώ και σήμερα, από σήμερα μάλιστα και στο εξής, σίγουρα δεν θα υπάρχει καμία δυσκολία. Αυτό το οποίο θα μάθουμε σήμερα είναι τρία σημαντικά πράγματα. Πρώτον, αρχικά να μάθουμε τι σημαίνει η Αναγωγή στη Μονάδα. Γιατί χρησιμοποιούμε αυτή τη μέθοδο. Δεύτερον, να μάθουμε πώς γίνεται η Αναγωγή στη Μονάδα. Και τρίτον, φυσικά να τη δούμε στην πράξη. Πάμε λοιπόν με το πρώτο. Να δούμε δηλαδή τι σημαίνει η Αναγωγή στη Μονάδα... για να ξέρουμε και τι κάνουμε. Η Αναγωγή στη Μονάδα, παιδιά, είναι μία μαθηματική μέθοδος. Τι σημαίνει όμως? Ας πάρουμε αρχικά τη λέξη Αναγωγή. Η λέξη Αναγωγή σημαίνει μεταφορά σε κάτι ήδη γνωστό. Άρα λοιπόν, όταν μιλάμε για Αναγωγή στη Μονάδα, σημαίνει ότι μεταφερόμαστε από τα πολλά, τα οποία γνωρίζουμε, στο ένα, δηλαδή στη Μονάδα. Πάμε λοιπόν να το δούμε στην πράξη. Πώς δηλαδή γίνεται αυτή η Αναγωγή στη Μονάδα στα μαθηματικά μας. Θα ξεκινήσουμε λοιπόν με το πρώτο πρόβλημα, το πρώτο μας παράδειγμα. Το οποίο λέει, στο ράφι ενός βιβλιοπωλίου υπάρχουν διαθέσιμα έξι κουτιά με μαρκαδόρους. Και περιέχουν συνολικά, δηλαδή τι σημαίνει συνολικά, και τα έξι μαζί, περιέχουν 36 μαρκαδόρους. Σε ένα γειτονικό βιβλιοπωλείο τώρα, δηλαδή σ' ένα βιβλιοπωλείο της γειτονιάς μας, υπάρχουν 8 ίδια κουτιά. Πόσους μαρκαδόρους έχει το γειτονικό βιβλιοπωλείο. Εμείς τώρα γνωρίζουμε τα έξι κουτιά. Και πρέπει να βρούμε πόσους μαρκαδόρους υπάρχουν στα 8 κουτιά. Όπως σε όλα τα προβλήματα, έτσι και εδώ, όπως βλέπετε και στην καρτέλα, πάμε και χωρίζουμε τα δεδομένα από τα ζητούμενα. Πάμε όμως να το γράψουμε και στον πίνακα, έτσι ώστε να το βλέπουμε. Έχουμε λοιπόν ένα πινακάκι, όπου γράφουμε τα δεδομένα μας και το ζητούμενο. Εδώ είναι ένα, γι' αυτό και γράφω το ζητούμενο, δεν είναι πολλά. Τα δεδομένα λοιπόν αυτού του προβλήματος, αυτό που μας δίνει, είναι ότι τα έξι κουτιά περιέχουν 36 μαρκαδόρους. Και ποιο είναι το ζητούμενο? Πόσους μαρκαδόρους έχουν τα οχτώ κουτιά ή περιέχουν τα οχτώ κουτιά, για να χρησιμοποιήσουμε το ίδιο ρήμα. Εμείς λοιπόν πάμε να ξεκινήσουμε να λύνουμε το πρόβλημα. Πώς ξεκινάμε να λύνουμε ένα τέτοιο πρόβλημα? Σκεφτόμαστε, ξέρουμε τα έξι. Νάτο, το ξέρουμε, ότι τα έξι κουτιά περιέχουν 36 μαρκαδόρους. Και πρέπει εμείς να βρούμε τα οχτώ. Μπορώ εγώ από τα έξι να πάω απευθείαν στα οχτώ κουτιά? Για να σκεφτώ. Μμμμ... όχι, μα φυσικά όχι. Δεν μπορώ από τα έξι να πάω στα οχτώ. Πού πρέπει να πάω? Όπως πολύ σωστά θα καταλάβατε και εσείς, πρέπει να πάω πρώτα να βρω το ένα κουτί. Άρα τι θα κάνω παιδιά μου? Φυσικά θα κάνω αναγωγή στη μονάδα. Δηλαδή θα μεταφερθώ πίσω στο ένα, για να ξεκινήσω από εκεί πάλι και να πάω στα οχτώ. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν να λύνουμε το πρόβλημά μας. Συνήθως τα προβλήματα που λύνουμε με αναγωγή στη μονάδα, θα λύνουμε με τρεις προτάσεις. Η πρώτη πρόταση την οποία θα γράψουμε είναι το δεδομένο μας. Άρα λοιπόν πάω και γράφω πάλι το δεδομένο. Και λέω, τα έξι κουτιά περιέχουν 36 μαρκαδόρους. Όπως είπαμε πρέπει να κάνουμε αναγωγή στη μονάδα. Άρα λοιπόν η δεύτερη μας πρόταση είναι πάντα το ένα. Άρα ξεκινάω και γράφω. Το ένα κουτί περιέχει... Για να σταματήσουμε λίγο εδώ. Για να πάμε από τα πολλά στο ένα, ποια πράξη κάνουμε? Για να σκεφτούμε, για να σκεφτούμε, έχουμε τέσσερις πράξεις. Πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, διέρεση. Για να πάμε από τα πολλά στο ένα, φυσικά κάνουμε διέρεση. Άρα λοιπόν έχουμε πάντα στο μυαλό μας, ότι όταν έχουμε τα πολλά και πάμε στο ένα, κάνουμε διέρεση. Επομένως έχουμε έξι κουτιά, 36 μαρκαδόρους. Άρα τι πρέπει να σκεφτώ εγώ, ότι αν χωρίσω το 36 σε έξι κουτιά, πόσους μαρκαδόρους θα έχει το κάθε κουτί. Επομένως κάνω διέρεση, 36 x 6. Το αποτέλεσμά μου είναι πάρα πολύ εύκολο. Είμαι σίγουρη πως όλοι γνωρίζετε την προπαίδεια του έξι. Άρα 36 x 6, ίσον 6. Άρα λοιπόν το ένα κουτί μαρκαδόρους περιέχει έξι μαρκαδόρους. Ας το γράψουμε κιόλας να μην μπερδευόμαστε. Και τώρα αφού ξέρουμε το ένα κουτί, είναι πάρα πολύ εύκολο να βρούμε τα 8 κουτιά. Πάμε λοιπόν στην τρίτη και τελευταία πρόταση της λύσης μου. Και ξεκινάω να γράφω με το ζητούμενό μου. Τα 8 κουτιά περιέχουν, όπως λοιπόν από τα πολλά στο ένα κάναμε διέρεση, από το ένα τώρα στα πολλά κάνουμε την αντίστροφη πράξη της διέρεσης. Που είμαι σίγουρη ότι ξέρετε είναι ο πολλαπλασιασμός. Άρα λοιπόν αφού το ένα κουτί έχει έξι μαρκαδόρους, στα οχτώ κουτιά παίρνω οχτώ φορές το έξι. Άρα οχτώ επί έξι. Οχτώ επί έξι, που μου κάνει προπαίδεια πολύ εύκολο και γνωστό. Έξι οχτώ ή οχτώ επί έξι το ίδιο είναι 48 μαρκαδόρυ. Αυτή λοιπόν είναι η λύση μου με τη μαθηματική μέθοδο της αναγωγής στην μονάδα. Ξεκινάμε από τα πολλά και θέλουμε να βρούμε πάλι πολλά. Όμως δεν μπορούμε με ένα βήμα να το βρούμε. Έτσι λοιπόν πρέπει να μεταφερθούμε στο ένα. Άρα λοιπόν έχουμε τρεις προτάσεις. Στην πρώτη πρόταση γράφουμε το δεδομένο. Αυτό το οποίο γνωρίζουμε, αυτό το οποίο μας δίνει το πρόβλημά μας. Έπειτα πάμε στο ένα με μία διαίρεση. Από τα πολλά στο ένα κάνουμε διαίρεση. Και έπειτα μεταφερόμαστε πάλι στα πολλά, δηλαδή στο ζητούμενο, από το ένα στα πολλά, κάνοντας πολλαπλασιασμό. Υπάρχει και ένα κόλπο το οποίο μπορείτε να θυμόσωστε. Θα κυκλώσω εγώ εδώ πρώτα τα άρθρα μου. Τα, το, τα. Αν το θυμάστε αυτό το πινακάκι, δεν θα κάνετε ποτέ λάθος στην αναγκωγή στη μονάδα. Μπορεί να μην είναι το τα, να είναι το η, ομικρονιώτα. Και εδώ να είναι το ητα ή το ο, το ομικρον. Ανάλογα με το γένος του δεδομένου που έχουμε. Όμως αυτό που θέλω να θυμάστε είναι ότι είναι πληθυντικός, ενικός, πληθυντικός. Δηλαδή πολλά, ένα, πολλά. Αυτό λοιπόν ήταν το πρώτο πρόβλημα. Πάμε να δούμε και ένα άλλο πρόβλημα, το οποίο θα κάνουμε. Για να κάνουμε πάλι με αναγκωγή στη μονάδα και να την εμπεδόσουμε καλύτερα. Πρόβλημα 2 λοιπόν. Ένας αγρότης εκτρέφει αγελάδες. Οι πέντε αγελάδες παράγουν σε μία ημέρα 25 κιλά γάλα. Πόσο γάλα παράγουν οι 15 αγελάδες? Όπως είπαμε, το πρώτο πράγμα που έχουμε να κάνουμε εδώ, είναι να χωρίσουμε τα δεδομένα και τα ζητούμενα. Τα δεδομένα εδώ, αυτό που μας δίνει, αυτό δηλαδή το γνωστό, που το γνωρίζουμε, είναι ότι οι πέντε αγελάδες παράγουν 25 κιλά γάλα. Και εμείς τι ψάχνουμε? Ψάχνουμε τις 15 αγελάδες, πόσα κιλά γάλα παράγουν οι 15 αγελάδες. Άρα αυτό είναι το ζητούμενό μου. Πάμε λοιπόν να το δούμε και αυτό στον πίνακα, με το πινακάκι, και όπως πολύ σωστά θα καταλάβετε χρησιμοποιώντας την αναγωγή στη μονάδα. Όπως λοιπόν και στο προηγούμενο πρόβλημα, έτσι και εδώ ξεκινάμε με το να γράψουμε σε ένα πινακάκι, και να διαχωρήσουμε τα δεδομένα από τα ζητούμενα. Ξεκινάμε λοιπόν και πάλι με τον ίδιο τρόπο, και φτιάχνουμε δεδομένα και ζητούμενο. Τα δεδομένα μου εδώ, αυτό δηλαδή που μου λέει το πρόβλημα και που το γνωρίζω, είναι ότι οι πέντε αγελάδες παράγουν 25 κιλά γάλα. Ενώ το ζητούμενο είναι πόσα κιλά γάλα παράγουν οι 15 αγελάδες. Όπως λοιπόν θα έχετε και εσείς παρατηρήσει, ξέρουμε τις 5 και πρέπει να πάμε στις 15. Αμέσως, όπως είπαμε, δεν μπορούμε να πάμε από τα πολλά στα πολλά. Πρέπει να κάνουμε αναγωγή στη μονάδα, δηλαδή να γυρίσουμε πίσω στο 1. Ξεκινάμε με τον ίδιο τρόπο. Μην ξεχνάμε ότι έχουμε το πιηματάκι τα το τα, ή αυτό που είπαμε πολλά ένα πολλά. Άρα ξεκινάμε από το δεδομένο μου. Η πρώτη μου πρόταση είναι το δεδομένο, αυτό το οποίο γνωρίζω, τα πολλά. Τι γνωρίζω λοιπόν, πρώτη πρόταση, ότι οι πέντε αγελάδες παράγουν 25 κιλά γάλα. Η δεύτερη πρόταση τώρα έχει να κάνει με τη μονάδα μου. Δηλαδή πρέπει να πάμε στο 1, να μεταφερθούμε στο 1. Να κάνουμε αναγωγή στη μονάδα. Άρα λοιπόν, οι πέντε αγελάδες παράγουν 25 κιλά γάλα. Ξεκινάω, η μία αγελάδα παράγει, προσέχω να χρησιμοποιώ πάντα το ίδιο ρήμα, παράγει, τι θα κάνω, έχουμε τα πολλά, θέλουμε να πάμε στο 1. Για να θυμηθούμε τι είπαμε πριν, ποια πράξη χρησιμοποιούμε από τα πολλά στο 1. Μα φυσικά, κάνουμε διαίρεση. Άρα λοιπόν, 25 δια 5. Άρα λοιπόν, η μία αγελάδα παράγει 25 δια 5, πιο εύκολο δεν υπάρχει, ίσον 5 κιλά γάλα. Αφού λοιπόν, παιδιά, βρήκα εγώ ότι η μία αγελάδα παράγει 5 κιλά γάλα, πλέον είναι πάρα πολύ εύκολο να βρω όσο αριθμό αγελάδων θέλω. Εδώ έχω τις 15 αγελάδες. Άρα λοιπόν, γράφω, οι 15 αγελάδες παράγουν, εδώ πάμε από το 1 στα πολλά, άρα το αντίστροφο του από πάνω, το αντίστροφο της διαίρεσης, που η αντίστροφη πράξη, ξέρουμε ότι είναι πολλαπλασιασμός. Άρα η μία αγελάδα 5 κιλά γάλα, άρα η 15, 15 φορές το 5. 15 λοιπόν επί 5, που μας κάνει, 5,5, για να δούμε δηλαδή και κάθετα με νωερό τρόπο, 5,5,25, γράφουμε το 5,2 τα κρατούμενα, 1,5,5 και 2,7. Άρα λοιπόν, 75 κιλά γάλα. Βρήκαμε λοιπόν με αυτόν τον τρόπο, με την αναγωγή στη μονάδα, ότι από τα πολλά, από τις 5 αγελάδες, πήγαμε στις 15, αφού όμως πρώτα επιστρέψαμε στο 1. Εγώ τώρα εδώ, σε αυτό το συγκεκριμένο πρόβλημα, θέλω να σας πω και έναν δεύτερο τρόπο για τα παιδιά, τα οποία έχουν ήδη καταλάβει την αναγωγή στη μονάδα και μπορούν να το κάνουν λίγο πιο γρήγορα. Όπως θα παρατηρήσατε, εδώ έχουμε 5 αγελάδες, ξέρουμε τις 5 και ψάχνουμε τις 15. Πολύ εύκολα, παιδιά, μπορείτε να καταλάβετε, ότι το 15 που ψάχνουμε είναι το τριπλάσιο του 5. Άρα λοιπόν, αφού είναι οι τριπλάσιες αγελάδες, και το γάλα τους θα ήταν το τριπλάσιο. Άρα θα κάναμε απλά 25 επί 3. Και πάλι, το κάνω κάθετα για να το δείτε, θα κάναμε 3, 5, 15. 5 και 1 το κρατούμενο, 3, 2, 6 και 1, 7. Άρα και πάλι θα βρίσκαμε 75 κιλά γάλα. Σε αυτή την περίπτωση όμως, με αυτόν τον τρόπο, δεν κάνω αναγωγή στη μονάδα, αυτό θέλω να ξέρετε. Είναι ένας τρόπος επίλυσης αυτού του προβλήματος, όμως δεν είναι αναγωγή στη μονάδα. Άρα λοιπόν, εμείς κρατάμε αυτό, διότι σήμερα μαθαίνουμε αναγωγή στη μονάδα και μας ζητάνε να λύσουμε με αυτόν τον τρόπο. Άρα λοιπόν, θεωρώ παιδιά, πως είναι ένας πάρα πολύ εύκολος τρόπος. Από εδώ και πέρα δεν θα πρέπει να μπερδεύεστε καθόλου, εάν σας ζητάνε να λύσετε ένα πρόβλημα με αναγωγή στη μονάδα. Για να ανακεφαλαιώσουμε. Αναγωγή στη μονάδα, λοιπόν, παιδιά, κάνουμε όταν γνωρίζουμε τα πολλά... και ψάχνουμε πολλά. Διαφορετικά φυσικά από τα πρώτα, διαφορετικό σύνολ, διαφορετικό αριθμό και για να τα βρω τα δεύτερα πολλά, πρέπει να βρω πρώτα το ένα, δηλαδή τη μονάδα. Όμως, πρέπει να θυμόμαστε δύο πολύ σημαντικά πράγματα. Τις πράξεις μας, για να μην γίνει ποτέ λάθος. Όταν πάμε από τα πολλά στο ένα, κάνουμε διαίρεση. Όταν όμως από το ένα πάμε στα πολλά, όταν δηλαδή επιστρέφουμε στα πολλά, πρέπει να κάνουμε πολλαπλασιασμό. Και επίσης, άλλη μία σημείωση, το ποιηματάκι μας. Τα το τα, δηλαδή πολλά ένα πολλά. Πριν κλείσουμε, όμως, θα κάνουμε και ένα ακόμα τελευταίο παράδειγμα, λίγο πιο έξυπνο, για να είμαστε ακόμα πιο σίγουροι ότι έχουμε εμπεδαώσει την αναγωγή στη μονάδα. Πάμε να σβήσουμε το πίνακα, για να δούμε αυτό το τελευταίο πρόβλημα. Λοιπόν, μέχρι τώρα είδαμε ότι από τα πολλά θέλουμε να πάμε πάλι στα πολλά. Τώρα, όμως, θα σας δείξω έναν άλλο τρόπο, το οποίο πάλι θα πρέπει να κάνουμε αναγωγή στη μονάδα, αλλά θα ξεκινήσουμε διαφορετικά. Για να δούμε. Όσο σβήνει ακόμα, για σκεφτείτε. Πόσο αλλιώς θα μπορούσαμε να ξεκινήσουμε, αν δεν ξεκινάγαμε από τα πολλά. Αφού μας είπατε τόση ώρα, ότι πάμε από τα πολλά, πάλι στα πολλά. Πάμε, λοιπόν, να δούμε ένα ακόμα παράδειγμα. Έχουμε μια κυρία, ας την ονομάσουμε κυρία Μαρία. Η κυρία Μαρία, λοιπόν, πηγαίνει στο σούπερ μάρκετ και παίρνει μισό κιλό ανθότυρο. Το μισό κιλό ανθότυρο, για το μισό κιλό ανθότυρο μάλλον, θα πληρώσει 3,50 ευρώ. Εμείς θέλουμε να βρούμε τώρα, πόσο θα πλήρωνε, εάν έπαιρνε 2 κιλά. Άρα λοιπόν, ερωτηματικό, πόσο θα πλήρωνε, εάν, πόσα ευρώ λοιπόν, εάν έπαιρνε, αγόραζε ή αγόραζε καλύτερα, αγόραζε δύο κιλά ανθότυρο. Άρα λοιπόν, όπως τα έχω γράψει κιόλος και τα βλέπετε, εδώ πέρα είναι το δεδομένο μου και εδώ είναι το ζητούμενό μου. Επομένως, ξεκινάω να λύνω. Σημείωση, με αναγωγή στη μονάδα θα λύσω. Πάω λοιπόν, η πρώτη μου πρόταση είναι πάντα το δεδομένο. Άρα, το μισό κιλό ανθότυρο, κοστίζει 3,50 ευρώ. Από το μισό κιλό, εγώ τώρα θέλω να κάνω αναγωγή στη μονάδα. Άρα, που θέλω να πάω, στο ένα κιλό. Το ένα κιλό ανθότυρο κοστίζει... Για να προσέξουμε λίγο εδώ. Εδώ συνήθως, εμείς στα παραδείγματα που έχουμε πει μέχρι τώρα, είχαμε από τα πολλά να πάμε στο ένα. Άρα, ξέραμε ότι θα κάνουμε σίγουρα διέρεση. Όμως, για να προσέξουμε λίγο, εδώ έχουμε το μισό κιλό και θέλουμε να πάμε στο ένα κιλό. Εμείς ξέρουμε ότι το μισό κιλό, για να πάμε στο ένα, πρέπει να το διπλασιάσουμε. Το λέει και μόνο τη συλλέξη, είναι μισό. Άρα, για να πάμε στο ένα, πρέπει να το διπλασιάσουμε. Επομένως, εδώ σε αυτή την περίπτωση, αντί για διέρεση θα κάνω πολλαπλασιασμό. Και θα κάνω 3,50 x 2, που μας δίνει, όπως το έχετε σκεφτεί ήδη φαντάζομαι, είναι σαν να κάναμε 3,5 x 3,5, ίσον 7 ευρώ. Άρα λοιπόν, βρήκα ότι το ένα κιλό ανθότυρο, κοστίζει 7 ευρώ. Πάω λοιπόν τώρα να βρω τα δύο κιλά ανθότυρο. Ανθότυρο, μάλιστα, συγγνώμη. Τα δύο κιλά ανθότυρο κοστίζουν, εδώ είναι προφανές, το έχετε καταλάβει και μόνοι σας, από το ένα θα πάω στο δύο, άρα θα το διπλασιάσω, απλά θα το διπλασιάσω ή θα προσθέσω 7 και 7. Άρα, 7 x 2, ίσον 14 ευρώ. Άρα λοιπόν, σε αυτό το παράδειγμα αυτό που ήθελα να προσέξετε, είναι ότι δεν κάνουμε πάντα διαίρεση, διότι πρέπει να προσέξουμε το δεδομένο. Όπως εδώ, μας έδωσε το μισό κιλό και θέλαμε να πάμε στο ένα. Άλλη αναγωγή στη μονάδα κάναμε, μεταφερθήκαμε στο ένα. Αλλά από το μισό προς το ένα, όχι από τα πολλά προς το ένα. Αυτά λοιπόν από μένα σήμερα. Πιστεύω πως με όλα τα παραδείγματα που κάναμε, τα έχετε καταλάβει. Και από εδώ και πέρα, θα μπορείτε να λύσετε εύκολα κάθε πρόβλημα αναγωγής στη μονάδα. Να είστε καλά. Ευχαριστώ πολύ που παρακολουθήσατε. Γεια σας!