Εφαρμογές Σειρών Taylor / Διάλεξη 8 / Σειρές Taylor και Maclaurin και εφαρμογές τους. - Βλάχος Λουκάς (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Σειρές Taylor και Maclaurin και εφαρμογές τους.: Λοιπόν, να ξεκινήσουμε, εάν θυμάμαι καλά, να ξεκινήσουμε από το θεώρημα του ρόλ που είπαμε ότι δεν το είχαμε αποδείξει στο περασμένο μάθημα. Όχι, συγγνώμη, το θεώρημα του ρόλ του Τελοπιτάλ. Λοιπόν, για να αποδείξουμε το θεώρημα του Τελοπιτάλ, χρειαζόμαστε να θυμηθούμε το θεώρημα του ρόλ πρώτα. Οπότε θα σας πω, θα πούμε αυτό πρώτα, το έχουμε συζητήσει και ξεκινάμε από το θεώρημα του ρόλ, το οποίο λέει ότι εάν εγώ έχω μια συνάρτηση, η οποία είναι συνεχής μεταξύ των σημείων α και β, είναι μια συνεχή συνάρτηση, η οποία έχει επίσης, για αυτή τη συνάρτηση συμβαίνει το εξής, εδώ είναι το χ που είναι μεταξύ του α και β, οπότε σε αυτή τη συνάρτηση λέει το θεώρημα, ότι εάν το α είναι ίσο με το β, η συνάρτηση δηλαδή σε αυτά τα δύο σημεία είναι ίδια, τότε υπάρχει οπωσδήποτε ένα σημείο χ, περισσότερα, για τα οποία η συνάρτηση είναι μηδέν. Εντάξει, αυτό είναι το θεώρημα, θα το πάρουμε έτοιμο αυτό. Τώρα, για να φτιάξουμε το θεώρημα του τελοπιτάλ, θα ξεκινήσουμε με το να υποθέσουμε, αυτό λέει το θεώρημα, υποθέτουμε ότι το φ τόνους του χ, και το γ τόνους του χ, υπάρχουν, και επίσης ότι το γ τόνους συμβαίνει σε αυτάυτόχρονα, ότι το γ τόνους του χ είναι διάφορο του μηδενός, όταν το χ είναι μεταξύ του α και του β. Αυτά είναι μέσα στο θεώρημα, δηλαδή υποθέτουμε ότι αυτά συμβαίνουν. Ωραία, άρα επαναλαμβάνω, στο θεώρημα λέει, αν υποθέσουμε ότι αυτά συμβαίνουν, δηλαδή το φ τόνους του χ και το γ τόνους του χ, αυτές οι δύο συναρτήσεις και οι παράγωγοι τους υπάρχουν, εάν υποθέσουμε επίσης ότι το γ τόνους του χ είναι διάφορο του μηδενός μέσα στο διάστημα, όταν το χ είναι μεταξύ του α και του β, και τώρα, αν επίσης το όριο του f του χ, όταν το χ τύνει στο ασ, είναι ίσον με το μηδέν και ίσον με το μηδέν είναι και το όριο του χ να τύνει στο ασ του γ του χ, άρα δηλαδή έχουμε το μηδέν δια μηδενός, αυτή την περίπτωση, ό,τι κάνουμε εδώ θα το κάνουμε και για το άπειρο διάφορο, μπορεί να κάνουμε για όλες αυτές τις περιπτώσεις, εάν λοιπόν αυτά τα δύο συμβαίνουν και αν συμβαίνει επίσης ότι υπάρχει το όριο του χ να τύνει στο ασ του f τόνους του χ με το γ τόνους του χ και αυτό υπάρχει, υπάρχουν όλα αυτά, τότε λέει, είπε, απέδειξε ο Τελοβιτάλ, ότι το όριο, αυτό που ξέρουμε σαν θεόρημά του, του f του χ δια γ του χ, όταν το χ τύνει στο ασ είναι ίσον με το όριο του f τόνους του χ δια γ τόνους του χ, όταν το χ τύνει στο ασ. Λοιπόν, άρα λοιπόν για να δώσουμε το θεόρημα όπως πρέπει, θα πούμε ότι πρώτον υπάρχουν οι παράγωγοι f τόνους του χ και γ τόνους του χ, το γ τόνους του χ είναι διάφορο του μηδενός, το χ κινείται μεταξύ του α και β, εάν υποθέσουμε ότι το όριο του f του χ όταν το χ πλησιάζει το α και το όριο του g του χ όταν το χ πλησιάζει το α είναι και τα δύο μηδεν και υπάρχει το όριο των παραγώγων, το f τόνους του χ και το γ τόνους του χ όταν το χ πλησιάζει το α, τότε ο Τελοβιτάλ απέδειξε αυτήν εδώ τη σχέση, αυτή είναι η σχέση που θέλουν να αποδείξουν. Λοιπόν, πως ξεκίνησε για να αποδείξει αυτή τη σχέση, θα ξεκινήσουμε και εμείς εδώ την αποδείξη, η αποδείξη λέει ότι το fα, αφού το χ τηνείς το α, το fα είναι ίσον με το μηδεν ίσον με το γ του α, αυτά είναι αυτά που έχουμε ξεκινήσει, επίσης το τζε τόνους του β, θεώρησε δηλαδή ότι έχουμε δύο συναρτήσεις νατες και οι δύο ξεκινάνε από αυτό το σημείο, η μία είναι αυτή η f του χ και η άλλη είναι αυτή η γ του χ, αυτό είναι το β και αυτό είναι το α. Βλέπετε λοιπόν εδώ είναι η f του χ και αυτή είναι η γ του χ, αυτές οι δύο συναρτήσεις συμπεριφέρονται έτσι, εδώ είναι στο σημείο έχουν αυτές εδώ τις τιμές, συναρτήσεις τζε στο μπ και στο τζε του μπ και το f του μπ, επίσης αυτό εδώ πέρα προκύπτει γιατί το τζε τόνους του χ είναι διάφορο του μηδενός, οπότε εάν επειδή αυτό είναι διάφορο του μηδενός και το τζε τόνους του μπ θα πρέπει να είναι διάφορο και αυτό διάφορο του μηδενός. Έτσι λοιπόν, οπότε ξεκίνησε από μια συναρτήση η οποία την όρισε από την αρχή, την h του χ, η συναρτήση αυτή την όρισε σαν f του χ μίον f του b δια τζε του b τζε του χ, όρισε αυτήν τη συναρτήση. Η οποία αν την δοκιμάσετε στις δύο άκρες τιμές, δηλαδή στο α και στο β, βάλουμε δηλαδή την h συμπεριφέρεται ως εξής, κάνει αυτήν εδώ τη σχέση και τελειώνει γιατί αν βάλετε στην h του χ α επειδή αυτά τα δύο είναι μηδεν, στο α είναι και τα δύο μηδεν, οπότε το τζε χ και το f του χ είναι μηδεν, οπότε αυτό είναι μηδεν, στο σημείο α, άρα η h στο σημείο α είναι ίση με την h στο σημείο β και είναι ίσες με το μηδεν. Αν συμβαίνει αυτό που το βλέπετε ότι συμβαίνει για αυτή τη συναρτήση με όσα έχουμε πει μέχρι τώρα, τότε απόδεικνιέται, τότε βάσει του θεωρήματος του Ρολ, υπάρχει ένα σημείο χ μέσα εκεί για το οποίο το h τόνους του χ είναι ίσο με το μηδεν. Αυτό είναι το θεώρημα του Ρολ που λέει αν μία συναρτήση είναι σ' αυτά τα δύο σημεία ίση, θα υπάρχει οπωσδήποτε ένα σημείο χ, ή και περισσότερα στην οποία το h τόνους του χ είναι ίσο με το μηδεν. Μέχρι εδώ το βλέπετε, υπάρχει κανένα πρόβλημα, όχι. Αν λοιπόν παραγωγήσουμε τώρα αυτήν εδώ τη συναρτήση, θα σβήσω μερικά από εδώ, αν παραγωγήσουμε την hx, την παραγωγήσουμε τι θα προκύψει, θα προκύψει f τόνους του χ μίον f του b, g του b, g τόνους του χ, το οποίο είναι ίσο με το μηδεν για κάποιο συγκεκριμένο χ. Από αυτή τη σχέση βγαίνει αμέσως ότι το f τόνους του χ δια g τόνους του χ είναι ίσο με το f του b δια g του b. Οπότε παίρνοντας το όριο το χ να πλησιάζει και στα δύο μέλη, αν πάρουμε το όριο το χ να πλησιάζει στο α+, τότε από εδώ πέρα αποδεικνύουμε ότι το όριο του fb δια gb, όπου το b τώρα, αφού το b το έχουμε πάρει σαν ένα τυχαίο σημείο, πλησιάζει το α sin, αυτό θα είναι ίσον με το όριο του f τόνους του χ δια g τόνους του χ, το χ να πλησιάζει στο α sin. Αυτό εδώ πέρα το b παίρνουμε να πλησιάζουν, άρα δηλαδή αν πλησιάσουμε για οποιοδήποτε τυχαίο χ το οποίο πλησιάζει, το οποίο αυτή τη στιγμή το θεωρούμε το b εδώ πέρα, αλλά και για οποιοδήποτε τυχαία τιμή, εάν πλησιάσουμε το α από τα θετικά, θα πηγαίνει αυτός εδώ, αυτή εδώ η συνάρτηση που είναι αυτή που μας προκύπτει μηδέν δια μηδενός, θα είναι ίση με την παράογο του f τόνους του χ με το τζ τόνους του χ. Αυτό ήταν η απόδειξη του θεωρήματος, θα σας το έχω στείλει και σε κείμενο να το δείτε και εσείς και νομίζω ότι αν δεν έχετε καμία απορία αυτό είναι όλο. Ναξι, το κρατάμε γιατί ήταν ενδιαφέρον, εγώ να πω την αλήθεια ότι πολλοί δεν το θυμόμουν, δεν έχω επιλέξει να τα θυμάμαι όλα στα μαθηματικά που κάνουμε και δεν έδωσα οδιαίτερη βαρύτηστα όταν κατέβηκα να σας κάνω αυτό το μάθημα. Εσείς? Ωραία, τώρα να προχωρήσουμε σε μια άλλη ερώτηση που έκανε ο συνάδελφός σας, αυτά τα σβήνω γιατί τα έχω δώσει, σας τα έχω στείλει γραμμένα, έτσι, το έχετε πάρει όλο αυτό. Οπότε αν δεν το έχετε πάρει σημαίνει ότι δεν είστε στον blackboard. Λοιπόν, ένας συνάδελφός σας με ρώτησε ότι περάσαμε λίγο γρήγορα την σημασία του διαφορικού, δηλαδή δεν καθίσαμε αρκετά να συζητήσουμε ή τουλάχιστον για εκείνον δεν ήταν αρκετό, μπορεί για εσάς μερικούς από εσάς να ήταν, τι σημαίνει ότι έχουμε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα, μιλάω για μονοδιάστατο πρόβλημα όταν έχω μια συμμεταβλητή συνάρτηση, είναι σαν να κινούμε σε μια διάσταση, οπότε είναι αυτά τα μονοδιάστατα προβλήματα. Γιατί αν κινούμε σε πάνω στο επίπεδο είναι διδιάστατη η συνάρτηση, έχει χ και ψ δηλαδή και αν κινούμε στον χώρο έχει χ ψ και ζ, είναι τρισδιάστατη η συνάρτηση. Η περιγραφή που κάνουμε της φύσης σε αυτό το μάθημα, σας το είχα πει και στην αρχή που σας συνάντησα, είναι ότι μιλάμε για προβλήματα μιας διάστασης, μιας μεταβλητής. Και το ερώτημα λοιπόν που είχε προκύψει σε αυτό το μάθημα, είναι εάν στο χ είμαι στο χημείο χ0, κάνω μια μέτρηση και έχω ένα λάθος στην εκτίμηση του σημείου, το σημείο δηλαδή το προσδιορίζω, το χ μου, έχω μια αβεβαιότητα στη μέτρηση του χ. Επειδή είμαι στο σημείο χ0, αυτή η αβεβαιότητα είναι simple, είναι το error bar δηλαδή γύρω από το σημείο χ0. Η ερώτησή μου είναι πως η αβεβαιότητα θα προκύψει στο σημείο χ0, από αυτή τη συνάντηση που την έχω, έχω και την τιμή της συνάντησης στο σημείο χ0. Να τη τιμή της συνάντησης, το ταφ του χ είναι μια γνωστή μου συνάντηση, περιγράφει τη θερμοκρασία απάνω σε μία ραβδο ή περιγράφει την πυκνότητα ή την πίεση απάνω σε μία ραβδο, οτιδήποτε φυσικό μέγεθος. Αλλά εγώ έχω λοιπόν την έκφραση αυτή της ταφ του χ, είναι οποιαδήποτε συνάντηση θέλετε να γράψετε και αυτή συνάντηση μπορεί να είναι εις την χ ημίτωνο χ τετράγωνον συν τρία, συν χ τρίτης. Να λοιπόν μια τυχαία συνάντηση την πήρα από την τυχαία πάνω στο που περιγράφει τη θερμοκρασία. Εκείνο που με ενδιαφέρει εμένα, αν πάρω στο σημείο χ0 τη συνάντηση αυτή μπορώ να βρω την τιμή της, βάλω χ0 εδώ πέρα και θα βρω την τιμή της, αν είναι στην αρχή των αξών θα βάλω 0 και θα βρω την τιμή της. Θα βρω λοιπόν το ταφ χ0. Η ερώτηση λοιπόν που έχω είναι, αν έχω κάνει στο χ, στην εκτίμηση του χ0, στην γειτονιά του χ0 έχω κάνει μία εκτίμηση το λάθος ΔΧ, πόσο θα είναι το λάθος στην εκτίμηση της θερμοκρασίας. Η θερμοκρασία θα είναι ταφ του χ0, συμπλήν ένα ΔΧ. Αυτό είναι το λάθος που προέκυψε λόγω το ότι το χ0 το μέτρησα με αβεβαιότητα ΔΧ. Πώς θα υπολογίσω λοιπόν εγώ την αβεβαιότητα στη θερμοκρασία που μου προέκυψε από την αβεβαιότητα στη θέση. Αυτή η συνάντηση είναι συνάντηση της θέσης. Αυτό ήταν το ερώτημα που έχω βάλει και ο συναλφός λέει ότι δεν ήταν ξεκάθαρος εκείνον πώς θα υπολογίσω το λάθος στο ΔΤ. Τώρα ήταν και σε εσάς άγνωστο αυτό ή μόνο σε εκείνον ήταν άγνωστο. Οι υπόλοιποι το έχετε καταλάβει, το θυμάστε, το συνδέετε, αν σας το ζητήσω σε μια άσκηση, αν το βρείτε μπροστά σας σε ένα εργαστήριο, θα το βρείτε. Ο Αργύρης σηκώνει το χέρι, οι υπόλοιποι. Αναρωτήσεις, για πες Αργύρη. Όταν ψάχνω όμως για ένα διαφορετικό το πρέπει να έχουμε και με συγκεκριμένη θέση. Το Χ-0 λέω. Το Χ-0. Τι άλλη συγκεκριμένη. Το Χ-0 δεν πρέπει να είναι κάποια συγκεκριμένη θέση. Ναι. Συγκεκριμένη θέση. Στην ομάδα τέσσερα. Στην ομάδα τέσσερα. Σε ένα σκέψι μας δεν μπορείτε διαφορετικά να το συναρτήσουμε. Δεν έχει κάποια συγκεκριμένη θέση. Μπορώ να τη βγάλω εγώ. Αυτό εδώ πέρα το κάνω εγώ σε μια συγκεκριμένη θέση. Θα μπορούσα όμως να παρουσιάσω αυτό για κάθε Χ. Δηλαδή η αβεβαιότητα σε κάθε Χ. Το Χ-0 το έβαλα εδώ για να είμαι εγώ πολύ συγκεκριμένος. Αλλά εφόσον αυτό που θα σας δείξω θα μπορούσα να το πάρω για οποιοδήποτε τιμή του Χ αν ξέρω πώς θα κάνω το διαφορικό ΔΤ. Θα το κάνεις συναρτήση του Χ. Συναρτήση του Χ. Το οποίο μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή και τη Χ-0. Άρα μπορώ να βγάλω μια συναρτήση του διαφορικού. Το διαφορικό μπορεί να προκύψει σαν μια συναρτήση και θέλω να μου πείτε πόσο είναι. Είτε το πάρω στο Χ-0 είτε το πάρω με το Χ ελεύθερο που είναι σαν συναρτήση. Σας ακούω. Λοιπόν αυτό που είχαμε πει και δεν το θυμάστε μάλλον είναι ότι είναι το ΤΤ στο Χ-0 επί σε αυτή την περίπτωση εδώ ΔΕΛΤΧ. Αυτό είναι το λάθος. Το ΔΕΛΤΤ που ψάχνω για το λάθος στο σημείο ΤΤΧ-0. Αν θέλω να το αφήσω με ελεύθερο το Χ απλώς δεν βάζω Χ-0. Γράφω ΔΕΛΤΤΧ ίσον ΤΤΟΝΟΣ στο Χ, οποιονδήποτε Χ τυχαίο, επί ΔΕΛΤΧ πάλι. Και τώρα το Χ είναι στο σημείο Χ συν πλήν ΔΕΛΤΧ. Ωραία πώς προέκυψε αυτό. Πώς προέκυψε αυτό. Πώς προέκυψε το διαφορικό. Από το θεώρημα του Taylor, εάν πάρουμε τη συνάρτηση Χ συν ΔΕΛΤΧ, ΤΑΦ λοιπόν, του Χ συν ΔΕΛΤΧ και την αναπτύξουμε στο σημείο Χ, αν θέλετε το βάζω Χ-0, αν θέλετε το αφήνω ελεύθερο το Χ. Αναπτύξω λοιπόν το Χ συν ΔΕΛΤΧ του ΤΑΦ στη σασυρά Taylor. Τι θα προκύψει, ο πρώτος όρος θα είναι ΤΑΦ του Χ, συμφωνείτε? Και εδώ πέρα θα υπάρξει ΤΑΦ τόνους του Χ επί το Χ συν ΔΕΛΤΧ μίον Χ, οπότε θα μου δώσει ένα ΔΕΛΤΧ εδώ. Χ συν ΔΕΛΤΧ μίον Χ, τα δύο σημεία, αυτό είναι το σημείο 1 και αυτό είναι το σημείο 2. Λοιπόν, άρα λοιπόν, είναι η γραμμική το διαφορικό, είναι η γραμμική προσέγγιση σε αυτό το ανάπτυγμα Taylor. Και πώς προέκυψε το ΔΕΛΤΧ, είναι το ΤΑΦ, ορίζω το ΔΕΛΤΧ ως το ΤΑΦ του Χ συν ΔΕΛΤΧ μίον ΤΑΦ του Χ, έτσι όρισα το ΔΕΛΤΧ. Αυτή είναι η διαφορά που θα προκύψει από τα δύο ΤΑΦ. Αν θέλατε να είναι συγκεκριμένο σημείο θα βάλω Χ0, αν θέλετε να είναι γενικό σημείο θα το βάλω έτσι. Άρα το ΔΕΛΤΧ που είναι το ΤΑΦ Χ συν ΔΕΛΤΧ μίον ΤΑΦ του Χ, το λάθος δηλαδή που θα έχει προκύψει από το μετατοπισμένο ΤΑΦ μίον αυτό που έχω στο σημείο Χ είναι ίσον με το ΤΑΦ τόνους Χ επί ΔΕΛΤΧ. Σε εκείνο το σημείο, αν πάρω στο σημείο 0, αυτό εδώ πέρα θα γίνει η μύτωνο του 3, αυτά θα γίνουν 0 αυτή μονάδα. Άρα λοιπόν στο ΤΑΦ στο σημείο 0 θα μου δώσει το ημύτωνο του 3, αν το έχω σε μήρες αυτό το Χ4 συν 3 είναι ημύτωνο των 3 μοιρών. Αυτό είναι το σημείο αυτό και αν πάρω την παράγωγο θα πάρω την παράγωγο αυτής της σχέσης, θα πάρω την τιμή της στο σημείο 0 και θα βρω αυτήν εδώ, αυτήν εδώ το τιμή. Αυτήν το τιμή είναι ένας αριθμός, το ΤΑΦ τόνους το Χ είναι ένας αριθμός, μπορεί να είναι 3, 4, 5, αυτό είναι το λάθος το ΔΕΛΤΧ, πολλαπλασιάζει το 5 επί ΔΕΛΤΧ και το λάθος το ΔΕΛΤΧ μπορεί να είναι 5 φορές το 0,1, το ΔΕΛΤΧ μπορεί να είναι 0,1 και το ΤΑΦ τόνους του Χ είναι μια τιμή, 5, 6, 7 δεν ξέρω τι θα είναι, πολλαπλασιάζει το 7 με το 0,01 και ξέρω ότι το λάθος το ΔΕΛΤΧ θα είναι 5 που είναι η παράγωγο στο ΤΑΦ τ το σημείο Χ0 επί 0,01, αυτό θα είναι το λάθος στο ΔΕΛΤΧ, εντάξει, ωραία, άρα λοιπόν το διαφορικό έχει σημασία, είναι αυτό το διαφορικό, το διαφορικό είναι ο πρώτος όρος στο ανάπτυγμα Taylor ο οποίος είναι και ο πιο χρήσιμος και ο πιο ενδιαφέρον από όλους γιατί είναι ο γραμμικός όρος και με το γραμμικό όρο εμείς ανακαλύπτουμε ένα σωρό ωραία πράγματα. Τώρα για να γυρίσουμε πίσω πάλι στο Taylor και να πούμε ότι μέχρι τώρα εμείς ουσιαστικά με αυτό το πολιώνυμο θέλουμε να ανακαλύψουμε κάτι ενδιαφέρον που έχει να κάνει με το κριτήριο της ΔΕΦΤΕΡΙΣ παραγώγου μπορούμε να το βγάλουμε και από το πολιώνυμο Taylor. Πώς? Κοιτάξτε είχαμε πει ότι αν θέλουμε να ψάξουμε για τα μέγιστα και λάχιστα μια συνάρτηση, ζωγραφίζω μια τυχαία συνάρτηση με μέγιστα και λάχιστα και θέλουμε λοιπόν να υπολογίσουμε αυτή η συνάρτηση είναι η FΤΧΙ και θέλω να υπολογίσω τα ακρότατα αυτής της συνάρτησης και κάθε ένα από αυτά να δω αν είναι μέγιστο ή ελάχιστο. Πώς μπορώ να το κάνω, εσείς ξέρετε έναν τρόπο να το κάνετε μετά από το Λύκειο και είχαμε πει στο μάθημα ότι υπάρχει και ένας δεύτερος τρόπος που είναι το κριτήριο της ΔΕΦΤΕΡΙΣ παραγώγου. Να το δούμε και από το Taylor πώς προκύψει αυτό το κριτήριο. Κοιτάξτε τι κάνω τώρα, βρίσκω λοιπόν καταρχήν τα σημεία X1, X2 και X3 που αυτή η συνάρτηση έχει ακρότατα. Πώς τα βρήκα αυτά, πήρα την παράγωγο του FΤΧΙ ίσο με το 0 και βρήκα τις λύσεις. Οι λύσεις λοιπόν που μου έδωσε η πρώτη παράγωγος είναι το X1, X2 και X3. Πολύ ωραία. Αν αναπτύξω τώρα γύρω από τα X1, X2, X3, αναπτύξω το πολυόνυμο Taylor πώς θα το αναπτύξω, θα πω το σημείο X που είναι στη γειτονιά του X1, X2 ας πάρω το X1. Θα είναι ίσον με το X1, αυτό το X ποιο είναι, είναι στη γειτονιά, είναι εδώ πέρα γύρω, βλέπετε είναι σε αυτήν εδώ την περιοχή, είναι στη γειτονιά του X1. Παίρνω ένα X λοιπόν πολύ κοντά στο X1 και αναπτύσσω σε σειρά Taylor, μπορώ να το κάνω αυτό. Τι θα προκύψει συν πρώτη παράγωγο στο σημείο X1 επί X-X1, συν 1 δεύτερο, δεύτερη παράγωγο X στο σημείο X1, δεύτερη παράγωγο X-X1 στο τετράγωνο και όρια νότερης τάξης. Τώρα προσέξτε, ο πρώτος όρος, αυτός εδώ ο γραμμικός θα μηδενιστεί, γιατί θα μηδενιστεί, για πέστε, γιατί το ευ τόνους στο X1 έχω πάρει εξορισμού, έτσι βρήκα το X1 από το μηδενισμό της πρώτης παράγωγου, συμφωνείτε. Ωραία, άρα λοιπόν, γράφω, ευ του χί, του γειτονικού σημείου, μίον το ευ του χι ένα, είναι ίσον με το εν δεύτερο, δεύτερη παράγωγος του χι ένα, επί χι μίον χι ένα στο τετράγωνο. Και θεωρώ ότι οι άλλοι όροι δεν με ενδιαφέρον, τώρα, τρατάω τον πρώτο σημαντικό όρο, οι άλλοι είναι πολύ μικρότεροι από αυτόν και δεν τους χρειάζομαι. Ο πρώτος όρος, λοιπόν, λέει ότι το χι μίον χι ένα είναι στο τετράγωνο, άρα είναι πάντα θετικό. Το πρόσημο, αν αυτό θα είναι θετικό ή αρνητικό, στη γειτονιά του ευ ένα, θα μου το δώσει η δεύτερη παράωγος. Και αν η δεύτερη παράωγος του χι στο χι μίον χι ένα είναι θετική, αν αυτό, τότε αυτό θα είναι θετικό και σημαίνει ότι το ευ του χι μίον ευ του χι ένα είναι θετικό. Άρα όλα τα χι στη γειτονιά θα έχουν ευ του χι μεγαλύτερο από το ευ του χι ένα. Άρα τι είναι το ευ του χι ένα, ελάχιστο. Να λοιπόν το κροτήριο της δεύτερης παράγωγου. Από το Taylor κατευθείαν. Και αν είναι αρνητικό το δεύτερη παράγωγος, εδώ ήταν αρνητικό, το ευ του χι μίον ευ του χι ένα θα είναι μικρότερο του μηδενός. Άρα αφού είναι μικρότερο του μηδενός, το ευ του χι θα είναι συνεχώς, θα το αντίθετο, μικρότερο από το ευ του χι. Άρα το χι ένα έχει μέγιστο. Άρα εδώ είναι ελάχιστο, όταν το ευ τόνους, όταν η δεύτερη παράγωγος του χι ένα είναι θετικό, έχω ελάχιστο. Άρα εδώ έχω ελάχιστο. Και όταν το δεύτερη παράγωγος, το σημείο χι ένα είναι αρνητική, έχω μέγιστο. Τώρα αυτό δεν θέλω να το αντιγράψετε, δεν θέλω να το απομνημονεύσετε, θέλω να το καταλάβετε. Και βέβαια πολύ σωστά θα με ρωτήσετε, μα μήπως αλλάξει το πρόσημο ο τρίτος όρος. Η συνθήκη για την εφαρμογή του βιβλιολίμματος Taylor είναι ότι είμαστε πάρα πάρα πολύ κοντά στο χι ένα και το χι μίον χι ένα είναι πάρα πολύ μικρός αριθμός. Μόνο τότε ισχύει το πολυόνιμο, άρα έχω πλησιάσει πάρα πολύ κοντά στο χι ένα και έχω διερευνήσει τι κάνει στην πολύ κοντινή γειτονιά του χι ένα. Τότε ισχύει το θεόνομα Taylor και τότε αυτός ο όρος ο τρίτος είναι δέκα εις τη μίον έξι, ενώ ο προηγούμενος ήταν μία τάξη τουλάχιστον μεγαλύτερος. Άρα αν βάλετε εδώ νούμερα και αυτό το χι μίον χι ένα εγώ το έχω πάρει δέκα εις τη μίον δύο, αυτό είναι δέκα εις τη μίον δύο, αυτό είναι δέκα εις τη μίον τέσσερα, δεύτερης όρος τάξης και ο τρίτος όρος τάξης είναι στο έκτο δικαδικό ψηφίο. Δεν θα επηρεάσει το τέταρτο δικαδικό ψηφίο το έκτο. Καταλάβατε? Ωραία, το κλείσαμε και αυτό. Αυτή λοιπόν η εφαρμογή του θεωρήματος Taylor ήταν χρήσιμη. Τώρα πάμε σε κάτι άλλο, δεν ξέρω οποία από σας είχατε χρόνο να δείτε αυτό που είπαμε, την εφαρμογή που είπαμε ή αν την καταλάβατε τι σημαίνει η ειδική θεωρία σχετικότητας με την κλασική νευτόνια μηχανική, δίνουν δύο διαφορετικούς τύπους για την ενέργεια, την κινητική ενέργεια του σωματιδίου. Ο Νευτόνας και η νευτόνια μηχανική μας δίνει ότι η κινητική ενέργεια ενός φορτίου με μάζα M που κινείται με την ταχύτητα V, μικρή ταχύτητα, θα είναι ίση η κινητική ενέργεια ε κινητική, είναι ίση με το 1 δεύτερο M V τετράγωνο. Αυτή είναι η κινητική ενέργεια όπως την ξέρουμε από την νευτόνια μηχανική, συμφωνείτε? Αυτή η ενέργεια, ο Ανιστάιν λέει ότι όταν ένα σωματιδίο πλησιάζει την ταχύτητα του φωτοδύου, δύο πράγματα καινούργια έβγαλε η ειδική θεωρία σχετικότητας, έγραψε ότι ο νόμος της ενέργειας θα είναι M σε τετράγωνο δια τετραγωνική ρίζα του 1-V δια σε στο τετράγωνο. Αυτή είναι η ολική ενέργεια όταν αυτό είναι το ολικό. Αν θέλουμε να βγάλουμε από αυτό την κινητική ενέργεια θα αφαιρέσουμε αυτό εδώ το M σε τετράγωνο γιατί αυτό είναι η μάζα αδράνειας. Το M0 είναι η μάζα αδράνειας του ηλεκτρονίου, παραδείγματος χάραν αυτό είναι ηλεκτρόνιο που είναι 512 kV, έτσι τόσο είναι, έχει μάζα το ηλεκτρόνιο. Άρα η κινητική ενέργεια λοιπόν κατά τον Αϊνστάιν θα είναι M0 σε τετράγωνο δια 1-V δια σε και όλο στο τετράγωνο μίον την μάζα ηρεμίας, την ενέργεια, την ρέστ μας. Αυτό το πράγμα λοιπόν με αυτό είναι το ίδιο, πότε όταν το V δια σε είναι πάρα πολύ μικρό. Και γιατί είναι το ίδιο, γιατί εσείς πρέπει να μάθετε μερικούς τύπους να τους αναπτύσσετε πολύ εύκολα το 1-X τετράγωνο, αυτή εδώ τη σχέση, αυτό αν το αναπτύξετε σε σειρά Taylor και κρατήσετε τον πρώτο όρο θα είναι 1 μίον, αυτό είναι ενδεύτερο. Έτσι είναι το πρόβλημά μας, το X δεν το βέβιασε, αν αναπτύξω αυτός σας, ίσως αν αναπτύξετε αυτό σε σειρά Taylor, όταν το X είναι κοντά στο μηδέν, σε σειρά όχι Taylor-Maclaurin θα ήταν, γιατί το X είναι μηδέν, ποιο θέλω να αναπτύξετε το 1 δια παρένθεση ή τετραγωνική ρίζα του 1-X τετράγωνο, είναι αυτό εδώ που έχω εδώ πέρα. Θεωρώ ότι το X λοιπόν είναι πολύ μικρός αριθμός, άρα είναι πολύ κοντά στο μηδέν, οπότε αν το αναπτύξω θα μου βγάλει 1 δεύτερον X τετράγωνο, αυτό αν το αναπτύξω σε σειρά Taylor έχει και όρος ανώτερης τάξης, αλλά κρατάω το πρώτο το πιο σημαντικό. Αν λοιπόν αυτό το μεταφέρω εδώ και κάνω αυτή τη δουλειά θα έχω μηδέν σε τετράγωνο, χρησιμοποιώ το 1-1 δεύτερον, β δια σε στο τετράγωνο και μετά αφαιρώ το μηδέν σε τετράγωνο και προέκυψε το 1 δεύτερον μβ τετράγωνο. Άρα η υπεροχή μιας θεωρίας είναι όταν καταλήγει και αυτές οι δύο θεωρίας που ανέπτυξε ο Νεύτωνας και οι δύο ο Εινστάιν και οι δύο κάναν αυτή τη δουλειά και εσείς όταν αναπτύσσετε μια θεωρία ή λύνετε ένα πρόβλημα, πριν το παραδώσετε ή πείτε οτιδήποτε είναι καλό να ελέγχετε σε κάποια πράγματα που το ξέρετε πως συμπεριφέρεται. Άρα λοιπόν ήθελε να ελέγξει πρώτα πρώτα ο Εινστάιν ότι αυτός ο τύπος που έβγαλε για την ενέργεια, περίεργος όπως φαίνεται, είναι στην προσέγγιση που το β δια σε είναι κοντά στο μηδέν, δηλαδή είμαστε σε πολύ χαμηλές ταχύτητες, θα μου δώσει το νόμο του Νεύτωνα. Ο νόμος του Νεύτωνα καταλήγει να είναι προσέγγιση και για την ειδική θεωρία σχετικότητας, το κλείνουμε το κλεινιτό, κλεινιτό ήταν αυτό, όχι. Λέω ότι ο νόμος ο Εινστάιν έκανε δύο ελέγχους στις θεωρίες του και ιδίως συμβαίνει να υπακούν αυτούς τους περιορισμούς, όταν οι συνθήκες ήταν αντίστοιχες με την εφαρμογή της Νευτόνιας θεωρίας, δηλαδή ποιες ήταν, όταν στην ειδική θεωρία σχετικότητας. Η ειδική θεωρία σχετικότητας είναι συμπλήρωμα της κλασικής μηχανικής όταν η ταχύτητα πλησιάζει την ταχύτητα του φωτός. Από εδώ βλέπετε γιατί αν το β πλησιάζει την ταχύτητα του φωτός αυτός ο παρονομαστής δεν μπορεί να ισχύει, το β θα γίνει ίσο με το σε, αν το β λοιπόν πλησιάζει το σε αυτός εδώ ο όρος θα σου δώσει άπειρη μάζα ή όπως λένε άπειρη ενέργεια. Άρα ποτέ δεν μπορούμε να φτάσουμε την ταχύτητα του φωτός εκτός από τα φωτόνια τα οποία έχουν ταχύτητα του φωτός λόγω ότι δεν έχουν μάζα. Με την έννοια που μιλάμε για φορτία, για σωματίδια. Άρα τα ηλεκτρόνια δεν μπορούν να κινηθούν ποτέ σε ταχύτητες, μπορούν να φτάσουν όσο κοντά θέλουν στην ταχύτητα του φωτός, δεν μπορούν να αποκτήσουν ποτέ την ταχύτητα του φωτός. Όμως όταν τα ηλεκτρόνια κινούνται με πολύ χαμηλή ταχύτητα ή οποιαδήποτε άλλη μάζα, αυτή πρέπει να μας δίνει τη γνωστή θεωρία του εν δεύτερον β' τετράγωνο. Λοιπόν αυτό ήθελα να αποδείξουμε και δεν θα επιμείνω σε κάτι άλλο που σας είχα πει στο προηγούμενο μάθημα. Ότι το εν δεύτερον, ο νόμος της βαρύτητας, του Νεύτωνα και του ΓΜ που έχετε μάθει στο Λύκειο, είναι και αυτό η πρώτη προσέγγιση. Στην πραγματικότητα δεν είναι ούτε καν η γραμμική προσέγγιση. Ο νόμος που είχαμε ξεκινήσει χθες που λέει ΓΜ της Γης δια ΡΟ της Γης στο τετράγωνο, αυτό είναι 10 και αν το γράψουμε συνολικά για κάποιο σημείο που είναι πολύ κοντά στην ακτίνα της Γης, θα προκύψει εδώ πέρα ένας όρος 1 συν H δια ΡΟ της Γης και όλο αυτό θα είναι στο τετράγωνο. Έχω βγάλει το ΡΟ της Γης σχοινό παράγοντα. Άρα εδώ αυτό αν το αναπτύξεις σε σειρά Taylor, πάλι αυτός είναι ένας παρονομαστής σε 1 δια Χ και όλο στο τετράγωνο, θα σου δώσει τους όρους ανώτερης τάξης. Ο πρώτος όρος θα είναι το GEPM και μπορείς να βρεις και όρους πρώτης και ανώτερης τάξης για τη διόρθωση, τη μετανευτόνια διόρθωση έτσι λέγεται, για την έλξη της βαρύτητας όταν δεν είμαστε και τόσο κοντά στη Γη και αυτό το HDR Γ είναι μεγάλο. Αν το H είναι ένα μέτρο, φυσικά και αυτό εδώ πέρα είναι πολλά χιλιόμετρα, δεν έχει καμία αξία να κρατήσουμε όρους HDR Γ. Αν είμαστε όμως πολλά χιλιόμετρα έξω και μιλάμε για την κίνηση ενός δορυφόρου και δεν θέλουμε να το μελετήσουμε στην γενική θεωρία σχετικότητας που είναι πολύ προχωρημένη και δύσκολη, μπορούμε να κρατήσουμε από εδώ για την κίνηση των δορυφόρων, διορθώσει στο GEPM, το G είναι αυτό εδώ πέρα, αυτό είναι το G, αυτό μπορεί να διορθωθεί και να μας δώσει όρους ανώτερες τάξεις αναπτύσσοντας το πολυνώνυμο σε σειρά Taylor το 1, 2, X, το τετράγωνο. Θέλω λοιπόν μερικές, σας είχα γράψει σε μια μια κάτι περιουργούμενα σημειώσεις κάποιους τύπους που μας ενδιαφέρει πάρα πολύ να τις αναπτύσσουμε σε σειρά και είναι το ημήτωνο του X να το αναπτύξουμε σε σειρά Taylor και τώρα φτάσαμε στο σημείο πολλές ενδιαφέρουσες συναρτήσεις από τις κλασικές συναρτήσεις, το λογάριθμο του 1, 2, X πρέπει να ξέρουμε να το αναπτύξουμε σε σειρά Taylor χωρίς να ανατρέχουμε, τουλάχιστον για τους πρώτους όρους δεν χρειάζεται να ανατρέχουμε σε τυπολόγια. Ένα άλλο που μας είναι πάρα πολύ χρήσιμο είναι η σειρά Maclauren, μπορείτε να αναπτύξετε σε σειρά Maclauren το ε' η στιγμή, να κάνετε αυτό πριν για τη διάλειμμα. Αναπτύξτε το ε' η στιγμή σε σειρά Maclauren. Πέστε μου. Παλαιμονάδα. Παλαιμονάδα. Παλαιμονάδα. Παλαιμονάδα. Επιχύ. ΑΧΙ. Ναι. Ο τρίτος και ο ένας δεύτερος είναι τραύμα. Αυτή. Και τώρα αν προχωρήσετε θα βρείτε ότι ο τρίτος θα είναι 1δ3 παραγωτικό χ τρίτης και τα λοιπά και ο ένας διανή παραγωτικό χ στην νη. Οπότε αυτό μπορώ να το γράψω και σαν ένα άθρισμα από νί ίσον με μηδέν μέχρι νη, από κ, ίσον με μηδέν μέχρι νη, το ένα δια κ παραγωτικό χ στην κ. Άρα λοιπόν αυτή εδώ την δημιούργησα μία σειρά από αυτό το ανάπτυγμα, μία σειρά έχω δημιουργήσει, η οποία ο πρώτος όρος είναι μονάδα, πράγματι αν βάλω το κ έχω ορίσει το παραγωτικό, σας είπα, δεν ξέρω να σας το είχα πει, ότι το κ παραγωτικό είναι ένα επί δύο, επί τρία, κ τα λοιπά, επί κ, αυτό είναι το κ παραγωτικό. Και από ορισμό έχω δώσει τη νημή ότι το μηδέν παραγωτικό είναι ίσο με τη μονάδα. Έτσι το έχουμε ορίσει. Οπότε εάν βάλετε το μηδέν εδώ θα βγει ο πρώτος όρος και στη συνέχεια θα βγουν όλοι οι υπόλοιποι όροι. Έτσι γράφεται το ει στην χ, σε σειρά Taylor, είτε με τους περιορισμένους όρους, είτε με τους όρους που έχουμε πάει μακριά. Κοιτάξτε τώρα, εάν, ήθελα να σας το είπα αλλά δεν νομίζω ότι κανένας πήγε στο σπίτι να το κάνει, εάν μου είχανε ζητήσει να υπολογίσω το ει στην 0,1, το ει στην 0,1, το χ λοιπόν σε αυτή την περίπτωση θα είναι το 0,1, οπότε σε αυτή την περίπτωση θα είχα 1 συν 0,1 συν 1 δεύτερο 0,1 στο τετράγωνο. Αυτό αν κάνετε τις πράξεις βγαίνει να είναι 1,105. Εάν δηλαδή υψώσω το ει στην 1,10 αυτό είναι το 0,1 το 1,10 και κάνετε αυτές εδώ τις πράξεις από τους τρεις όρους βγαίνει 1,105. Αν πάρετε το κομπιουτεράκι και υπολογίστε το ει 0,1 θα σας δώσει περίπου 1,1,0,5,1,7,0,918 αυτό θα βγάλει ο υπολογιστής. Αν δεν με πιστεύετε πρέπει να το δοκιμάσετε, σας είχα πει να το δοκιμάσετε και σας είχα πει ότι έχω πετάξει τον όρο τρίτης τάξης, αυτόν τον έχω πετάξει και ήθελα να δοκιμάσετε να παίξετε με αυτό το πράγμα και να δοκιμάσετε αν το λάθος που έχει γίνει σε αυτό το σημείο συμβαίνει να είναι αυτό το ίδιο με το λάθος που προκύπτει από αυτήν εδώ τη σχέση. Σας είχα ζητήσει να το ελέγξετε στο σπίτι, βλέπετε εδώ σταμάτησε, εάν κρατήσω και τρίτης όρος τάξης θα πάρω και αυτόν τον όρο και αν κρατήσω και τέταρτις όρους θα πάρω και αυτούς εδώ τους όρους, αν θέλετε κάντε τα αυτά. Αλλά το πιο σημαντικό είναι να δείτε τι σχέση θα βγει από το να εκτιμήσετε το λάθος από αυτόν τον όρο με αυτό το συμπλήρωμα, δηλαδή θα βγάλετε κάτι κοντά στο 1.7 που έχει εκεί πέρασαν λάθος πετώντας όταν κρατήσουμε τους τρίτους πρώτους όρους βγάζουμε ένα λάθος το οποίο δεν έχει τον τέταρτο όρο που είναι η μονάδα. Και ο πέμπτος όρος δηλαδή πρέπει να βγει αυτό εδώ να βγει περίπου 0,002. Θα το κάνετε στο σπίτι αν έχετε περιέργεια, αν δεν έχετε δεν έχετε δεν πειράζει. Αλλά σας έχω εξηγήσει ότι κανένας σας δεν θα γίνει φυσικός αν δεν έχει περιέργεια. Έτσι σας το έχω εξηγήσει αυτό και πόσο περιέργεια μπορεί να έχει ο κόσμος ο οποίος πραγματικά την αγαπάει τη φυσική θα σας στείλω θα σας βάλω στο blackboard ένα πάρα πολύ ωραίο movie να δείτε ότι ο κόσμος έχει ενδιαφέρον να παίξει με τη φύση. Τι έχει γίνει σε αυτό την ταινία πήρανε μία βαριά μπάλα και τρία φύλλα από φτερά και τα βάλανε σε κάποιο ύψος μακριά και τα αφήσανε να πέσουν και βέβαια τι πιστεύετε ότι έγινε όταν αφήσανε τα φτερά αυτά τα πούπουλα από κάποιο πουλί ή οτιδήποτε και μία βαριά μπάλα τα αφήσανε από πάρα πολύ ψηλά να πέσουν. Τι συνέβη. Τι συνέβη. Πέσανε την ίδια στιγμή. Είσαι σίγουρος. Πέσανε την ίδια στιγμή. Όχι. Όχι. Γιατί δεν πέσανε την ίδια στιγμή. Πολύ ωραία. Οπότε εφόσον ο αέρας είναι το πρόβλημα πάμε σε ένα μεγάλο εργαστήριο που κάνουν επιράματα στην Άσσα σε χώρους που είναι κενό γιατί οι αστρονάφτες πρέπει να εκπαιδευτούν σε καταστάσεις κενού αφαιρούμε όλον τον αέρα και τα αφήνουμε πάλι να πέσουν. Και είναι καταπληκτικό να τα δείτε πως μαζί πέφτουν χωρίς να υπάρχει καμία διαφορά. Δεν είναι ωραίο να το δείτε αυτό αλλά είναι και να το κάνετε. Δηλαδή ξέρετε εσείς έχετε υποτιμήσει λόγω αυτής της υπερεκτίμησης της μαθηματικής φυσικής έχετε υποβαθμίσει το να παίξετε με τη φύση. Γι' αυτό και κανένας νομίζω δεν θα έχει ασχοληθεί με την μπαλίτσα. Τη θυμάσαι την μπαλίτσα μας. Όχι κανένας δεν τη δέχει. Δεν πειράζει. Εγώ στο τέλος αφού θα περάσει ο χρόνος θα σας στείλω τη δουλειά ενός συμφυτητού σας ο οποίος τώρα παίρνει πτυχίο και φεύγει για το πρίνστον. Αυτός κάθεσε και το έκανε. Είχε την υπομονή και έκανε η μαθηματική φυσική παίρνει το πτυχίο του και φεύγει για με υποτροφία στο πρίνστον. Άρα λοιπόν βλέπετε ότι ο κόσμος όταν έχει περιέργεια και αυτό διαπιστώσετε αν έχετε μικρά παιδιά και αδερφάκια. Αν έχετε μικρά παιδιά ή που γνωστά σας οικογένειες και τα λοιπά παρακολουθήστε ποιο από τα δύο ή τρία όσα μικρά έχετε δίνει σημασία και κάνει ερωτήσεις για το τι συμβαίνει γύρω του. Αυτό αν το βοηθήσουμε θα πάει για επιστήμη. Οπωσδήποτε. Διότι είναι το κέντρο βάρος της επιστήμης. Δεν είναι να με ακούτε να με καταλαβαίνετε να σας καταλαβαίνω να γράφετε εξετάσεις. Όχι. Είναι ότι κοιμάστε και πετάγεστε γιατί κάτι σκέφτεστε. Εντάξει. Όχι μέχρι τρέλας, στα ωραία του λογικού βέβαια. Εντάξει.