5.4 Viete , τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι νόμοι του σύμπαντος / Ενότητα 5 ,#4 , 06/05/14 (από αρχή εως 27,07) - Χαραλάμπους Χαρά (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Ενότητα 5 ,#4 , 06/05/14 (από αρχή εως 27,07): Με κάποια καθυστέρηση, θέλω να πω δυο λόγια για τον Βιέτε, ο οποίος ζει στο δεύτερο μισό του 16ου αιώνα. Μέχρι τώρα μιλήσαμε για τα Ιταλικά Μαθηματικά και για την προσπάθεια των Ιταλών να δώσουν τις γενικές λύσεις της 3ης βάθμιας. Είδαμε πώς βγήκανε στη μία λύση της 4ης βάθμιας εξίσωσης. Είδαμε ότι και τα δύο προβλήματα τελικά αναγώτανε στην επίλυση μιας εξίσωσης ενός βαθμού μικρότερου για την 4η βάθμια, χρειαζόταν να επιλυθεί μια τρίτο βάθμια. Είδαμε λοιπόν αυτή την προσπάθεια και είδαμε ότι αυτή η προσπάθεια οδήγησε σιγά σιγά στην ιδέα της άλγευρας, ότι δεν μας ενδιαφέρει η άλγευρα αυτό καθ' αυτό για να βρούμε λύσεις μόνος στις εξισώσεις, αλλά μας ενδιαφέρει πως βρίσκουμε αυτές τις λύσεις. Δεν μας ενδιαφέρει μία προσοικιστική λύση, μας ενδιαφέρει ο τρόπος λύσεις. Έτσι λίγο προς το αφυριμένο κομμάτι. Παρ' όλα αυτά ακόμα και τώρα αυτό που σημαίνει άλγευρα είναι η επίλυση κάποιων αγιευρικών εξισώσεων και να θυμηθούμε ότι το όνομα άλγευρα οφείλεται στους Άραδες και προέρχεται από την ιδέα της συμπλήρωσης και ολοκλήρωσης. Αυτά λοιπόν σημαίνουν στην Ιταλία και παράλληλα με αυτή την προσπάθεια επίλυσης 3ο βάθμιον και 4ο βάθμιον εξισώσεων που οδηγεί στην προσπάθεια επίλυσης μετά εξισώσεων μεγαλύτερο βαθμό, έχουμε και την αντιμετώπιση των αριθμών μέσα σε ρυζικά, την πιο άνετη και των μεγαδικών αριθμών σαν κάποια οντότα η οποία χρειάζεται, έχει λόγο μελέτης. Αυτά στην Ιταλία. Τι γίνεται παράλληλα στη Γαλλία. Ένα από τα ονόματα που θέλω να αναφέρω είναι του Βιέτε που βλέπουμε στην εικόνα ο οποίος δήλωνε ότι δεν ήταν μαθηματικός, ούτως ή άλλως τότε το επάγγελμα του μαθηματικού δεν επέφερε χρήματα. Δεν πληρνόταν κανείς για να είναι μαθηματικός, πληρνόταν ίσως για να κάνει κάποια μαθήματα, ιδιάτρα μαθήματα ή μαθήματα σε μικρά γκρουπ από άτομα, αλλά αυτό έπρεπε να το ψάξει και να το κυνηγήσει ο ίδιος. Δεν επέφερε χρήματα το επάγγελμα του μαθηματικού. Ο Καρντάνε έκανε πολλά πράγματα εκτός από το να είναι μαθηματικός, αστρολόγους όταν έφερα κάποια από αυτά, αστρολόγους και ούτω καθεξής. Το επάγγελμα του Βιέτε ήταν δικηγόρος. Πιο ίδιος το δήλωνε ότι ασχολείται με τα μαθηματικά, όχι επαγγελματικά. Έτσι ήταν δικηγόρος και μάλιστα χρησιμοποίηκε σαν σύμβουλος στους βασιλιάδες της Γαλλίας. Τώρα αυτή είναι μια περίοδος που στη Γαλλία γίνονται πολλές αναταραχές. Και αναταραχές δεν οφείλονται στον τρόπο κυβέρνησης της Γαλλίας, έτσι δεν είναι το ζήτημα της μοναρχίας, αυτό θα το αντιμετωπίσουν πολύ αργότερα. Αλλά οι αναταραχές ξεκινάνε εξαιτίας θρησκευτικών λόγων. Είναι οι πρωτεστάτες με τους καθολικούς, οι οποίοι αντιμάχονταν ποιος θα πάρει θέση. Το 1972 έγινε φοβερή σπαγή το γείο Βαρθολομαίου. Ο βασιλιάς της Γαλλίας ο Κάρολος είχε διατάξει τη σπαγή και μέσα σε λίγες μέρες σκοτώθηκαν 30, υπολογίζεται κάπου γύρω στις 30.000 πρωτεστάτες. Σημαριακό αυτό, ο ίδιος ο Βιέτε, τον οποίον το βλέπουμε εδώ πέρα, ήταν και ο ίδιος πρωτεστάτες και ήταν και σύμβολος του βασιλιά. Τα πράγματα είναι πολύ πιο πολύπλοκα, απλά είναι μια ενδιαφέρουσα περίοδος στη Γαλλία εκείνη την εποχή. Η αδελφή του βασιλιά παντρεύτηκε ένα πρωτεστάντι, η μητέρα του βασιλιά τον έπεισε να διατάξει τη σπαγή από ό,τι γράφουν τα βιβλία. Από κει λίγο βέβαια αυτός την αχώρησε το Βιέτε ο οποίος παρέμει με πρωτεστάτες. Με τον καιρό τα πράγματα αλλάξανε, τελικά χρησιμοποιήθηκε ιδιαίτερα και έγινε σύμβολος με τον όπως και ο άλλος ο βασιλιάς ο Ερήκος, ο άντρας της γυναίκας του βασιλιά που είχε διατάξει τη σπαγή, προστοιτελίστηκαν και γιναν καθολικοί για να λύσουν κάποια ζητήματα. Άντως είναι ακριβώς το σημείο ότι η περίοδος την οποία είχε πέσει σε δυσμένη και είχε απομακρυνθεί από τον Ερήκο από τον βασιλιά της Γαλλίας, περίοδος του 84 με τον 89, ήταν από τις πιο παραγωγικές περιόδους της ζωής του. Τώρα γιατί τον αναφέρουμε. Η τέχνη της ανάλυσης, έτσι και τον αναφέρουμε αυτό έχει να κάνει σε σχέση και με την άλγευρα. Η τέχνη της ανάλυσης, επάνω βλέπουμε μια εισαγωγή, έγραφε και αυτό το βιβλίο τον 91 και δίπλα βλέπουμε το βιβλίο έτσι πως εκδόθηκε από την επιμέλεια του Van Schooten το 1646. Τι είναι αξιοσημείωτος αυτό το βιβλίο και θα τα δούμε και πιο αναλυτικά σε μια διαφάνεια αργότερα. Είχα πει και θα το δούμε και σαν παράδειγμα σε εκείνη τη διαφάνεια ότι ακόμη ο τρόπος γραφής είχε παραμείνει εν μέρει ρητορικός. Στο βιβλίο αυτό βγαίνει αυτή την εισαγωγή, χρησιμοποιεί αντίστατο από ό,τι το κάνουμε σήμερα φωνή αντα για το άγνωστο μέγεθος και σύμφωνα για το γνωστό. Και έτσι γίνεται ο διαχωρισμός, το τυπικός διαχωρισμός ανάμεσα στην έννοια της παραμέτρου και της άγνωστης ποσότητας. Σε αυτό το παράδειγμα το οποίο έχω γράψει έχουμε τον α στην κύβο, το άγνωστο μέγεθος είναι το α, χρησιμοποιεί τη δύναμη στην τρίτη, στην β τετράγωνο α, το β είναι η παράμετρος, έτσι είναι το σύμφωνο που αντιστοιχεί στο γνωστό ίσον με β τετράγωνο ζ. Και εννοείται εδώ ότι αυτό το οποίο θέλει να λύσει ο άγνωστος τον οικογένειο είναι το α. Σήμερα και χωρίς σχεδόν να το σκεφτούμε αν αντιμετωπίσουμε μια εξίσωση του να λέει αχ ίσον με β και μας λένε λύστε την εξίσωση αχ ίσον με β κατευθείαν θα πάμε να λύσουμε για το χ. Είναι ακριβώς το δίστροφο από το οποίο έχει κάνει ο Βιέτε και αυτό οφείλεται στον Καπτέζιο στον Δεκάρτ ο οποίος ήρθε λίγο αργότερα αλλά αυτός είναι ο μηχανισμός κάπως έτσι ξεκίνησαν αυτά εδώ τα πράγματα. Αυτή είναι μια από τις πολύ κύριες συνησφορές όχι το συγκεκριμένο αυτός ο τρόπος σκέψης στην εισαγωγή στην αναλυτική τέχνη βάζει την Άλβρα σαν την επιστήμη για να ανακαλυφθούν για την ανακάλυψη στα μαθηματικά οι κανόνες ότι ο φορμαλισμός της Άλβρας θα μπορεί να λύσει όλα τα μαθηματικά προβλήματα. Έτσι και αυτό που έλεγα προηγουμένως η χρήση των παραμέτρων και των μεταβλητών μας μεταφέρει από τη λύση συγκεκριμένων κάνει μαζί και τη μεταφορά από συγκεκριμένα προβλήματα σε γενικά προβλήματα. Και αυτός ο τρόπος σκέψης επηρέασε και τους άλλους κλάδους στην ανακάλυψη και στην απόδειξη των αποτελεσμάτων. Ήθελα επίσης να αναφέρω αυτήν την ιστορία γιατί θα το προχωρήσουμε λιγάκι. Ο Λαγδός Πρόξενος είχε καφιεθεί στον Ερίκο τον Τέδαρτο ότι κανένας Γάλλος μαθηματικός δεν είναι σε θέση να λύσει αυτήν την προβλήματα. Εκείνη την εποχή η Ολλανδία-Βέλιο ήταν πολύ κοντά, αυτήν την εξίσωση την είχε δώσει ο Βαν Ρούμεν το 1993, μόλις την είχε δώσει. Και την είχε καφιεθεί έτσι ο Πρόξενος λοιπόν στον Γάλο Βασιλιά, στον Ερίκο τον Τέδαρτο, ο οποίος την παρουσίασε στο πιο πιστό του μαθηματικό, σε αυτόν που είχε την περισσότερη εμπιστοσύνη, στον Βιέτε. Ο οποίος μόλις του το έδωσε ο Βασιλιάς, αναγνώρισε την λυσή και την έδωσε και μια μέρα μετά έδωσε και άλλες 22 λύσεις. Βέβαια αυτό είχε σαν αποτέλεσμα στο τέλος, μετά από όλα αυτά, να δημιουργηθεί μια σχέση εμπιστοσύνης ανάμεσα στον Βιέτε και στον Βαν Ρούμεν. Αυτό το οποίο έκανε ο Βιέτε, αναγνώρισε ότι υπάρχει πληγωνομετρία εδώ πέρα. Το τονίζω λοιπόν εδώ, γιατί και αυτό είναι σημαντικό, ο Βιέτε ήταν άνθρωπος ο οποίος επηρέασε την εξέλιξη των μαθηματικών. Υπάρχουν πολλοί μαθηματικοί, μιλάμε για τους μαθηματικούς που επηρεάσαν την εξέλιξη των μαθηματικών. Αυτό λοιπόν το οποίο εδώ βλέπουμε, όσο σημαντικό και είναι γραμμένο, έδωσε μια λύση και μια μέρα μετά έδωσε 22 άλλες λύσεις. Γιατί είναι σημαντικό, είναι το πέρασμα. Το να μας ενδιαφέρει μία λύση, μας δίνει μια εξέλιξη, μας ενδιαφέρει να βρούμε μία λύση και μας ενδιαφέρει να βρούμε όλες τις λύσεις. Και έχουμε δει ότι ακόμη και η τελή μαθηματική ήταν οικονομιμένη με μία λύση. Ο Βιέτε λοιπόν βλέπει ότι στα προβλήματα υπάρχουν περισσότερες από μία λύση, δηλαδή δεν έχει πρόβλημα σε αυτό. Έχουμε 23 λύσεις συνολικά γι' αυτό το πρόβλημα. Ήθελα να σχολιάσω και να κάνω λίγο πιο αναλυτικά τσί που οδηγήθηκε σε αυτό με τη τριγωνομετρία, βάση της τριγωνομετρίας. Και ήθελα να δείξω τον τρόπο του Βιέτε για να χρησιμοποιηθεί η τριγωνομετρία για να λύσουμε τριτοβάθμες εξίσεις. Για να πάρουμε λοιπόν την εξίσουση που είναι γραμμένη στον πίνακα. Την εξίσουση x3 sin αx sin β ίσον με το μηδέν. Τριγωνομετρία. Την τριγωνομετρική αυτή η σχέση τη γνώριζε ο Βιέτε πολύ καλά. Να τη γράψω και αυτήν εδώ. 4 sin τρίτη του θ, μειον 3 sin θ, είναι το συνημίτωνο του 3θ. Τι κάνει λοιπόν κανείς, ας θέσει η x σε αυτήν εδώ την εξίσουση kx. Και όπου k, να βάλουμε ακριβώς αυτό εδώ, το μειον 4α x3. Για να αντικαταστήσουμε λοιπόν σε αυτήν την εξίσουση που έχουμε πάνω, το kx, το βάζω στην x3, μου βγάζει το μειον 4α τρίτα ρίζα του μειον 4α τρίτα. Επί ψ στην τρίτη, sin α, μειον 4α τρίτα, επί ψ sin β ίσον με το μηδέν. Κάνοντας τις πράξεις, βγάζουμε ακριβώς ποιες είναι οι πράξεις, απλά να διώξουμε αυτήν εδώ την ποσότητα, αν διώξουμε λοιπόν αυτήν την ποσότητα, αν διαιρέσουμε, καταλήγουμε στην εξίσουση που λέει 4 ψ τρίτης και τη γράφω ακριβώς εδώ πάνω. 4 ψ τρίτης, μειον 3 ψ, φαίνοντα υπόλοιπα στο δεύτερο μέρος, ίσον με το σε. Είναι ξεκάθαρο έτσι ότι αν βρω το ψ, μπορώ κατευθείαν να έχω τη λύση της αρχικής εξίσουσης. Αντί να ψάχνω να βρω τη λύση της αρχικής εξίσουσης, ψάχνω να βρω το ψ και μετά αφού βρω τη λύση ψ αυτής εδώ της εξίσουσης, θα πολλαπλασιάσουμε το κ για να βρω τη λύση του χ. Το ψ λοιπόν ικανοποιεί το ψ, ικανοποιεί αυτήν εδώ την εξίσουση. Τι συγκρίνουμε με αυτήν εδώ και αντιλαμβανόμαστε ότι θα έχουμε μια λύση για το ψ, αν και να υπάρχει ένα θ, που το συνημίτωνο του 3θ να είναι ίσο με το σε. Για παράδειγμα στην εξίσουση αυτή εδώ, θέτουμε χ να είναι ίσο με δύο ψ αντικαθιστούμε και βγαίνει αυτή εδώ η εξίσουση. Συνημίτωνο 3θ να είναι ίσο με το μειον 1 δεύτερο ξέρουμε ποιο είναι το θ. Το 3θ πρέπει να είναι ίσο με δύο π τρίτα συν δύο κπ. Αυτό θα μας δώσει συνημίτωνο μειον 1 δεύτερο. Και λύνοντας ως προς το θ μας δίνει δύο π εντα στην αυτό εδώ την ποσότητα. Λύνουμε ως προς το ψ είναι το συνημίτωνο αυτονό και για το χ βγάζω αυτό. Και τώρα είναι ξεκάθαρο ότι έχω αυτές εδώ τις τρεις λύσεις γιατί για κάθε κ από κ ίσον με 1 έως το 3 θα βρω τρεις διαφορετικές θημές και από εκεί και πέρα θα επαναλαμβάνουμε. Μέσω της τριγωνομετρίας βγαίνουν οι τρεις λύσεις τις οποίες ψάχνουμε. Πριν προχωρήσω να πάω πάλι πίσω σε μια διαφάνεια που έδειξα προηγουμένως στη διαφάνεια της αναλυτικής τέχνης για να τονίσω κάτι. Καταρχήν αυτό το α κύβος συν β τετράγωνο β στο τετράγωνο επί α ίσον με β τετράγωνο επί ζ. Δεν έχουμε ακόμη τον πλήρη συμβολισμό. Το β έγραψε αυτά εδώ. Τονίζουμε λοιπόν ότι το μεγάλο κομμάτι είναι ότι χρησιμοποίησε το α για τον άγνωστο το β για την παράμετρο. Το δεύτερο που θέλω να τονίσω είναι ότι ένα στοιχείο το οποίο εμπόδιζε, το οποίο δεν ελευθέρωσε τον β είναι ότι ζητούσε οι εξισώσεις του να είναι ομογενείς. Γι' αυτό και οι παράμετρες αυτή εδώ είναι β τετράγωνο. Η λύση σκέτο χ' η λύση που έγραψε πάνω στον πίνακα χ' συν α χ ή εξίσουσις που έγραψα στον πίνακα χ' συν α χ συν β ίσον με το μηδέν για τον β. Αυτή είναι ο σύγχρονος τρόπος για να το γράψουμε. Θα έπρεπε να την είχα γράψει χ τρίτη συν β για να είχα γράψει ένα σύμφωνο και για το συντελεστή μπροστά από το χ. Όχι μόνο το β αλλά και μπροστά από το χ θα έπρεπε να είχα βάλει ένα σε αν ήθελα να παραστήσω τον β γιατί για χ είχα χρησιμοποιήσει ένα φωνήεν. Αλλά αυτό που θέλω να τονίσω εδώ είναι ότι για να τη σκεφτεί ο β για να την αντιμετωπίσει ο β σκεφτόταν το συντελεστή του χ να είναι τέτοιος έτσι ώστε να μας ομονοποιήσει αυτήν εδώ την εξίσουσι. Εδώ γράφουμε β τετράγωνο. Όλοι οι όροι πρέπει να έχουν τον ίδιο βαθμό. Το α στην τρίτη θυμίζει αντιστοιχεί σε ουγγό. Ο δεύτερος όρος το β τετράγωνο α πρέπει να είναι ο ουγγός. Αν έχουμε λοιπόν εδώ το α πρέπει να πολλαπλασιάσουμε κάτι το οποίο θα φέρει το βαθμό αυτού του όρου να είναι τρία. Σκεφτόταν λοιπόν στους συντελεστές αντίστοιχα με τη γεωμετρία. Δεν έχει τελείως απελευθερωθεί η αλγυβρά από τη γεωμετρία. Χρειάζεται να ομογενοποιεί στο μυαλό του τουλάχιστον τις εξισώσεις. Είμαστε ακόμη προς το τέλος του 1500, στο τέλος του 16ου αιώνα και αυτό εδώ θα το αφήσω ένα δυο λεπτά ακόμη για να το μελετήσουμε είναι συμβολισμί τους ο οποίους έτσι όπως εμφανίστηκαν στα γραφτά μέχρι τώρα. Εδώ πάνω έχουμε τον δυόφαντο. Το ίσο είναι εδώ. Βλέπουμε ο κύβος. Ο α είναι ο συντελεστής. Μία φορά ο κύβος. Αυτός ήταν ο τρόπος γραφής του δυόφαντο. Είναι ίσως με τη μονάδα 2 μίον το σύμβολο για το μίον. Μία φορά τον άγνωστο ο οποίος έχει αυτό εδώ το σύγμα. Έτσι το τελικό σύγμα είναι ο άγνωστος. Το ίδιο και για την επόμενη εξίσουση. Αυτός λοιπόν είναι ο συμβολισμός. Ο συγκεκομένη άλυδα που λέμε του δυόφαντο. Εδώ κάτω είναι ο καρντάνο. Μία φορά ο κύβος. Αυτός είναι ο συμβολισμός του. Μία φορά ο κύβος. Είναι ίσως. 15 φορές το plus και το τέσσερα. Έτσι και από κάτω βλέπουμε και τον Μπομπέλιο πίσω έχει έναν άλλο συμβολισμό. Έτσι ο συμβολισμός δεν είχε γίνει στάνε δεν ήταν ο ίδιος όλους. Εδώ βλέπουμε είναι το χ στην έκτη εδώ γράφει χ στην έκτη. Εδώ πέρα αντίστοιχα έχει το έκτο και έχει βάλει από κάτω έναν σύμβολο για να τονίσει ότι θα πάρει κάτω από το έξι είναι το χ στην έκτη. Αντίστοιχα έχει βάλει το σύμβολο κάτω από το τρία. Για να τονίσει ότι το τρία είναι πραγματικά το χ στην τρίτη και αντί να γράφει το μιον έτσι προηγουμένως, για να δούμε αν υπάρχει ένα παράδειγμα το οποίο φαίνεται, χρησιμοποιεί το εμ σαν αρχή για το μιον. Ίσον εγγουάλ στο μηδένα. Εδώ είναι ο Βιέτες, άλλο ένα παράδειγμα του Βιέτε στο οποίο φαίνεται αυτό το οποίο λέγαμε για τα σύμφωνα και για τα φωνήματα. Και τώρα πάμε στον Δεκάρτ. Το σύμβολο ίσον δεν τα έχει ακόμη ο Δεκάρτ, δεν είναι του Δεκάρτ, που είναι, θα φαίνουν καλύτερα όταν θα τα δείτε μετά, μοντέρνος συμβολισμός. Τι γινότανε στις άλλες χώρες. Μια από τις πιο σημαντικές μορφές, όχι το ζώο για τα μαθηματικά του επιτεύματα, έτσι ο κοπέγνικος Πονονός, ο οποίος είναι ο πρώτος από τους πρώτους που έγραψε ευθαρσώς, τρόπος του λέγεται ευθαρσός σε βιβλίο, τους 7 βασικούς κανόνες, ταξιώματα τα οποία θεωρούσε και ανάμεσα σε αυτά ότι η Γη γυρίζει γύρω από τον ήλιο. Ταμπού ακόμη. Ότι η Γη έγραφε σε αυτούς τους 7 κανόνες δεν είναι το κέντρο του σύμπαντος. Του είχε γράψει σε ένα βιβλίο χειρόγραφο στο οποίο δεν είχε βάλει απ' έξω το όνομά του. Το κυκλυφόρεσε στους φίλους που βέβαια ήξεραν ότι είναι αυτός που τα είχε γράψει αλλά δεν είχε βγει ακόμη. Βλέπουμε τις ημερωμίες 1473-1543. Να θυμίσω τον Γαλιλέ ο οποίος ήρθε πολύ αργότερα και ο οποίος πέρασε από ιερά εξέταση. Αυτό έγινε αργότερα. Είναι από τους πρώτους ο Κοπένικος ο οποίος τα έθεσε αυτά. Στέβιν. Πάλι υπερκαλύπτει την ίδια εποχή. Βέλγιο. Το Βέλγιο ήταν μια σημαντική δύναμη. Τι έκανε έφερε τους δεκαδικούς. Δεν είναι αυτός ο οποίος πήρε τους δεκαδικούς αριθμούς. Δηλαδή την αναπαράσταση των κλασμάτων σε δεκαδική μορφή. Τον είχαν χρησιμοποιήσει πριν από αυτόν. Την είχαν χρησιμοποιήσει αυτή την παράσταση και οι Άρδες και οι Λινδί. Αλλοστέβιν είναι αυτός ο οποίος τους έφερε στη Δύση. Άρχισε να τις χρησιμοποιεί εκτεδαμένα και γι' αυτό αναγνωρίζουμε αυτήν εδώ την προσφορά. Και αυτό έγινε το 1585. Αναφορά στον Κέπλερ. Η άλλη μεγάλη δύναμη ξεκινάει τώρα στις επιστήμες και στα μαθηματικά. Κέπλερ. Τρεις θεμελιώδεις νόμι. Έχουμε μπει στον 17ο αιώνα. Ποιοι είναι οι τρεις θεμελιώδεις νόμι του Κέπλερ. Η αστυνομία προσπαθώντας να καταλάβουμε το τι γίνεται, να εδμηνεύσουμε τον φυσικό μας κόσμο, έχοντας προχωρήσει στις επιστήμες που επιτρέπουν να το κάνουν, έρχεται να συμπληρώσει αυτές εδώ τις επιστήμες. Τα μαθηματικά. Γιατί χρειάζονται μετρήσεις. Για να θυμίσω τους τρεις θεμελιώδεις νόμους του Κέπλερ, λέω να θυμίσω γιατί σε κάποια φάση όλοι τους έχουμε μελετήσει, τους έχουμε συναντήσει. Ποιοι είναι οι νόμοι αυτοί. Καταρχήν έχουν έβαση τα μαθηματικά μέσα, λέει ότι η τροχιά των πλανητών είναι ελλειπτική με τον ήλιο να βρίσκεται στη μία αισθέα της έλλειψης. Και ότι η ακτίνα που ενώνει τον ήλιο με τον κάθε πλανήτη διαγράφει σε ίσους χρόνους ίσα μπαδά και ότι το τετράγωνο της περιλόγου περιφοράς του κάθε πλανήτη είναι ανάλογο με τον κύβο του μήκους του μεγάλου μιάξενα της έλλειψης που διαγράφει. Η απόδειξη σήμερα μπορούμε να της δώσουμε χρησιμοποιώντας λογισμό, ο οποίος ακόμη δεν είχε ανακαλυφθεί εκείνη την εποχή. Δεν έχει ανακαλυφθεί ακόμη λογισμός. Αλλά είναι ενδιαφέρος όταν προσπαθείς και ίσως να το έχετε αντιμετωπίσει να δώσει κανείς αυτές τις αποδείξεις χρησιμοποιώντας λογισμό. Δεν είναι σε ιδιαίτερη δυσκολία. Αν σας ενδιαφέρει θα ήταν επίσης και ένα θέμα που θα χειρόμαι να το δω να το παρουσιάζετε. Όμως κατευθείαν εκεί μπαίνει το ζήτημα. Αν μας ενδιαφέρει να καταλάβουμε ποιος είναι ο κόσμος στη γύρω μας, που μας ενδιαφέρει, έχει αρχίσει, είναι η αναγέννηση, ξυπνάει το μυαλό μας και κοιτάζουμε τον κόσμο στη γύρω, χρειάζεται να μπορούμε να κάνουμε μετρήσεις. Χρειάζεται να μπορούμε να κάνουμε και μετρήσεις και υπολογισμός με τεράστιους αριθμούς. Απέχουμε πολύ από τον ήλιο, απέχουμε πολύ από τα άστρα. Ξέρουμε το τι γίνεται, αλλά ξέρουμε τι πρέπει να μετρήσουμε, ξέρουμε να υπολογίζουμε τα λάθη στις οπτικές, από την οπτική και όλα αυτά, αλλά χρειάζεται να κάνουμε υπολογισμούς. Να θυμίσω επίσης ότι υπάρχουν πολλοί πίνακες με τα συνημίτωνα. Πάγουν πίνακες για τον, είχαμε αναφέρει, τον Λεμέο, τον Άλμαγες, όπου είχαν καταγραφεί πίνακες συνημιτώνων, αντίστοιχα υμητώνων.