Παραγώγιση / Διάλεξη 4 / Παραγώγιση συναρτήσεων μιας μεταβλητής, εισαγωγή στην κατασκευή διαφορικών εξισώσεων. - Βλάχος Λουκάς (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Παραγώγιση συναρτήσεων μιας μεταβλητής, εισαγωγή στην κατασκευή διαφορικών εξισώσεων.: Παρακαλώ, ευχαριστούμε. Παρακαλώ, ευχαριστούμε. Τρεις επιφάνειες θα έλεγα, τρεις επιφάνειες. Η μία επιφάνεια είναι αυτή εδώ, έχει ακτίνα 1 και ύψος, το ύψος είναι φαπτομένη του θ. Άρα λοιπόν μπορούμε να γράψουμε σε αυτά τα τρία σχήματα. Αυτά τα τρία σχήματα βλέπουμε ότι οι επιφάνειές τους, το ένα σχήμα είναι αυτό το είναι το όμικρον, εδώ θα βάλω το α και εδώ θα βάλω το β. Το ένα σχήμα είναι το τριγόνο όμικρον α β. Η επιφάνεια του τριγόνου όμικρον α β είναι μικρότερη της επιφάνειας που σχηματίζει, εδώ θα βάλω το δ, και εδώ θα βάλω το γ. Α β γ δ. Λοιπόν, έχουμε φτιάξει τρία τρίγωνα τώρα και έτσι αποδεικνύεται το ημίτονο θ δ θ. Υπάρχουν πολλοί τρόποι να το αποδείξουμε, σας δείχνω έναν που νομίζω ότι αυτόν έχει και το βιβλίο. Λοιπόν, η επιφάνεια του τριγόνου όμικρον α β είναι μεγαλύτερη η ίση από την επιφάνεια, αυτό θ είναι πάρα πολύ κοντά στο μηδέν, αυτό ψάχνουμε. Εδώ πέρα, αυτή η επιφάνεια που είναι το όμικρον α γ, υπάρχει μια επιφάνεια που λέγεται όμικρον α γ, τη βλέπετε, αυτή είναι μικρότερη η ίση από την όμικρον α β, το τρίγωνο το εξωτερικό, και υπάρχει ένα εσωτερικό τρίγωνο που λέει όμικρον δ δ, το οποίο ουσιαστικά είναι το μικρότερο από όλα. Εάν τώρα η ακτίνα του κύκλου είναι μονάδα και γράψω τις σχέσεις αυτές, θα γράψω τρία πράγματα, στο πρώτο τρίγωνο θα είναι 1 δεύτερον, 1 είναι η ακτίνα επί την εφαπτομένη του θ, μεγαλύτερη η ίση το 1 δεύτερον ρ τετράγωνον που είναι 1 στο τετράγωνο επί το θ. Αυτό είναι αυτό εδώ το τόξο, αυτό εδώ, γιατί έχει 1 δεύτερον, 1 είναι η βάση και αυτό εδώ πέρα είναι ρ 1 επί θ, άρα είναι 1 στο τετράγωνο επί θ, μεγαλύτερο ίσο και το εσωτερικό τρίγωνο θα μας δώσει να είναι 1 δεύτερον, συνειμήτωνο θ επί ημήτωνο θ. Από εδώ και πέρα νομίζω μπορείτε να πάτε μόνοι σας να κάνετε τις πράξεις, να γυρίσετε να αντιστρέψετε τις σχέσεις και να καταλήξετε σε αυτό ότι πράγματι συμβαίνει να καταλήξουμε στη σχέση συνειμήτωνο θ μεγαλύτερο ίσο του ημητώνου θ δια θ, μικρότερο ίσο του 1 δια συνειμήτωνο θ. Από αυτή τη σχέση καταλήγουμε σε αυτήν και αν πάρετε το θ να πηγαίνει στο μηδέν, τα δύο αυτά θα πηγαίνουν στη μονάδα, άρα και το ημήτωνο θ δια θ θα πηγαίνει και αυτό στη μονάδα. Αλλά έτσι αποδεικνύεται και στο βιβλίο γιατί το συνειμήτωνο θ είναι μονάδα άρα και αυτό εδώ πέρα πηγαίνει στη μονάδα άρα αναγκαστικά θα πάει και αυτό στη μονάδα λόγω ότι έχουμε αυτήν την παρεμβολή, τα δύο αυτές συναρτήσεις που είναι γύρω από το ημήτωνο θ δια θ, οι μεγαλύτεροι και οι μικρότεροι συγκλίνουν στη μονάδα άρα αναγκαστικά και αυτή θα πάει στη μονάδα. Ερωτήσεις, ακούω ερωτήσεις. Ωραία, υπάρχει όπως σας είπα η απόδειξη και στο βιβλίο και μπορείτε να τη βρείτε όπου θέλετε. Θα θέλαμε και εσείς να μου κάνετε μια απόδειξη, να μου βρείτε το όριο του 1 συν 1 δια χ και όλο στην χ του χ να πηγαίνει στο μηδέν, στο μηδέν για να δω ποιο θέλω. Όχι, το χ να πηγαίνει στο άπειρο, στο συν άπειρο. Θέλω να βρούμε αυτό το όριο, το όριο του παρένθεση 1 συν 1 δια χ, κλείνει η παρένθεση στην χ του χ να πηγαίνει στο άπειρο. Θέλω να με βοηθήσετε να βρω αυτό το όριο. Το ξέρετε? Ναι, έκανε αλλά πως το βρίσκουμε. Μια στιγμή να δουλέψουν λίγο και οι άλλοι και θα μας θέλαμε να μας το κάνετε εσείς. Διάβασε αν θέλεις τι γράφεις, έτσι είναι, για να παρακολουθεί και ο όριος σου. Το όριο όταν τα χ είναι στα συν άπειρο του A στην χ ε 1 1 συν 1 δια χ, τώρα αυτό είναι, αυτό βγαίνει ε1 αν βάλουμε άπειρο, δηλαδή μηδέν και αυτό είναι άπειρο, άπειρο από μηδέν. Δεν θέλουμε να βρούμε αυτό το όριο στην ύψη. Πάρτε αυτό χωριστά, πάρε το όριο χ ε 1 1 συν 1 δια χ, το μελετάμε χωριστά. Εγώ λέω να πάμε στο από κάτω. Ωραία, για να φτιάξουμε μια νέα παράμετρο. Βάζει λοιπόν το χ 1 δια χ στον παρονομαστή του λογαρίθμου του 1 συν 1 δια χ. Οπότε εμφανίστηκε μια νέα παράμετρος που είναι τη 1 δια χ, η οποία όμως τώρα άμα την ονομάσουμε ψ αυτή την 1 δια χ, θα έχουμε λογαρίθμου του 1 συν ψ δια ψ. Αλλά το όριο θα πηγαίνει τώρα στο μηδέν. Και τώρα έχουμε μηδέν δια μηδενός, οπότε θα πάμε στον αγαπημένο μας νόμο. Αυτό είναι 1 δια 1 συν ψ, άλλο είναι 1, το οποίο είναι 1. Άρα όλο αυτό θα γίνει ε' στην πρώτη. Και τελειώσαμε. Το βλέπετε όλοι? Απορίες έχετε, να πριν καθίσει κάτω, υπάρχουν απορίες? Όχι, εντάξει, ευχαριστούμε πάρα πολύ και προχωράμε. Λοιπόν, τώρα, για τα όρια θα πω μόνο δυο κουβέντες, για τη συνέχεια θα πω μόνο δυο κουβέντες. Δεν χρειάζεται πολλά πράγματα να πούμε, μια και τα έχετε δουλεύσει. Εκτός από τις συναρτήσεις, οι οποίες δεν υπάρχει το όριο σε κάποιο σημείο, δηλαδή μια συναρτήσει όπως είπαμε που συμπεριφέρεται έτσι και έτσι. Στο σημείο χ ίσον με μηδέν, δηλαδή πάει στο άπειρο στο μηδέν πριν φτάσουμε στο μηδέν και πάει στο συν άπειρο όταν πλησιάζουμε το μηδέν. Δηλαδή αυτές εδώ, όπως βλέπετε, βλέπετε ότι οι συναρτήσεις δεν έχουν όριο. Αυτό που χρειαζόμαστε είναι να πάρουμε το όριο μιας συναρτήσεις, f του χ, το χ να πηγαίνει στο χ μηδέν. Και αν υποθέσουμε ότι αυτό το όριο υπάρχει και είναι το k, το έχουμε βρει, τότε οι συναρτήσεις θα λέμε ότι έχει ακόμα μια ιδιότητα, ότι είναι και συνεχής, αν το k είναι ίσον με την τιμή της συναρτήσεις στο σημείο χ μηδέν. Όταν συμβαίνει και αυτό, η συναρτήση είναι συνεχής. Όταν δεν υπάρχει το όριο, φυσικά δεν πρέπει να μιλήσουμε για συνεχεία, αλλά όταν υπάρχει το όριο και δεν συμβαίνει να είναι το k ίσον με το f του χ μηδέν μπορούμε αυτή τη συναρτήση να φτιάξουμε μια καινούργια συναρτήση, και αυτό το κάνουμε πολύ ταχτικά στη φυσική, η οποία να ορίζεται με ένα τέτοιο τρόπο, έτσι ώστε να μας δίνει τις τιμές του f του χ όταν είμαστε μακριά από το χ και στο σημείο χ μηδέν, η συναρτήση να την αναγκάσουμε να γίνει ίση, το k δηλαδή που είναι το όριο της, να της αλλάξουμε τιμή και να της δώσουμε την τιμή της συναρτής στο σημείο χ μηδέν. Δηλαδή, να την αναγκάσουμε να γίνει συνεχής. Δεν είναι, διότι το όριο της συναρτήσης είναι k, το οποίο είναι διάφορο του f του χ μηδέν. Αν όμως την επαναπροσδιορίσουμε και δώσουμε, τη φτιάξουμε έτσι, φτιάξουμε μια καινούργια συναρτήση, η οποία έχει την f του χ στο σημείο για όλα τα άλλα σημεία, εκτός για το σημείο χ μηδέν, στο χ μηδέν, της δίνουμε την τιμή αυτή θα έπρεπε, για να ήταν συνεχής θα έπρεπε να λέει f του χ και εδώ να έχει το k. Εδώ λοιπόν το k το αντικαθιστούμε με το χέρι στην τιμή της συναρτήσης f του χ μηδέν. Σε αυτή την περίπτωση την κάναμε συνεχή, γιατί αυτή πάει στο k, το οποίο το ονομάσαμε, σε εκείνο το σημείο, ακριβώς απάνω στο σημείο, δεν μας ενδιαφέρει η τιμή της, γιατί την αλλάξαμε με μια καινούργια, θεωρήσαμε ότι είναι μια καινούργια τιμή, η τιμή της f του χ μηδέν. Άρα λοιπόν αυτή είναι μια ασυνέχεια, την οποία όμως μπορούμε να την διορθώσουμε, να την άρρουμε, φτιάχνοντας μια καινούργια συναρτήση από την αρχή. Αν δεν υπάρχει τόριο, δεν μπορούμε να μιλήσουμε για συνεχεία συναρτήσης. Αυτά τα έχετε πει, δεν θα μας απασχολήσουν καθόλου και θα μπούμε γρήγορα, σε αυτό που επίσης θα το τρέξουμε, αλλά έχουμε πολλά να πούμε, στις παραγώγους. Οι παραγώγοι, θα τα σβήσω τώρα αυτά, είναι, γιατί νομίζετε ότι στη φυσική, ο παράωγος είναι ουσιαστικά το βασικότερο εργαλείο μαζί με τα ολοκληρώματα, αλλά ο παράωγος είναι ακόμα πιο βασικό εργαλείο για τη μελέτη της φύσης. Γιατί ο παράωγος έχει αναδειχθεί ένα από τα κύρια εργαλεία για την παράωγη, για τη μελέτη της φύσης. Γιατί η φυσική στηρίζεται τόσο πολύ στις παραγώγους. Γιατί οι πολιστές στη φυσική μας ενδιαφέρουν να δούμε πότε τα βάλετε να μένει. Μπράβο. Και ο παράωγος ουσιαστικά είναι ουσιαστικά το βασικότερο εργαλείο. Ακριβώς αυτό, ακριβώς. Άρα λοιπόν, οι μεταβολές είναι αυτές που μας ενδιαφέρουν, δηλαδή η κίνηση πάνω μας χάρη. Έτσι, όλη η μηχανική βασίζεται στις μεταβολές, στη θέση ενός σημείου στο χώρο, τις τροχές. Άρα λοιπόν, η δυναμική και η εξέλιξη ενός φαινομένου, η φυσική δηλαδή ουσιαστικά στηρίζονται στην χωροχρονική εξέλιξη φαινομένων. Η χωροχρονική εξέλιξη φαινομένων θα παρακολουθεί την εξέλιξη ενός προβλήματος, ενός της αλλαγές που θα προέρχονται σε ένα σημείο το οποίο κινείται ή κάνει οτιδήποτε. Παραδείγματος χάρη, την περασμένη φορά είδαμε μια πολύ απλή περίπτωση της αναπήδησης μιας μπάλας εδώ στο έδαφος. Εάν πετάξουμε λοιπόν μια μπάλα, εδώ είναι το ύψος H, φτιάχνω ένα άξινο το ύψος και εδώ βάζω το χρόνο. Και θέλω να ξεκινήσει με μια αρχική ταχύτητα V0 από το έδαφος ένα μπαλάκι και να φτάσει σε ένα συγκεκριμένο ύψος και μετά να πέσει κάτω. Αυτή τη μελέτη ξέρετε ποια συνάρτηση την περιγράφει. Ποια συνάρτηση θα περιγράψει την αναπήδηση μιας μπάλας η οποία ξεκίνησε από αυτό το σημείο, ξεκίνησε με μια αρχική ταχύτητα V0 και ακολούθησε μια τροχιά, έφτασε σε ένα μέγιστο ύψος έτσι ώστε η κινητική της ενέργεια έγινε δυναμική ενέργεια και μετά έπεσε πάλι κάτω. Ποια είναι η τροχιά στο χώρο, στο S, σαν συνάρτηση του χρόνου αυτής εδώ της μπάλας. Το H θέλω, το H λοιπόν θα γίνεται σε αυτήν την περίπτωση, πώς θα γίνει, πέντε δεύτερον, το είπες, ναι. Δεν σας ακούω, δεν σας άκουσα. Καλά μπροστά ή πίσω δεν έχει σημασία, αλλά τέλος πάντων. Εντάξει, εντάξει. Προσδήποτε θα το ήθελα. Ναι παρακάτω, V0 επιτέλει λοιπόν. Ωραία, άρα λοιπόν αυτή είναι η συνάρτηση που θέλουμε να ζωγραφίσουμε. Πώς θα τη ζωγραφίζετε αυτή τη συνάρτηση, θα έχει κάποιος ιδέα πώς θα ζωγραφίσουμε μια τέτοια συνάρτηση. Έχουμε, μια παραβολή θα είναι. Ωραία, μια παραβολή, εντάξει. Λοιπόν, τώρα αυτό που έχει ενδιαφέρον, δεν είναι ακριβώς παραβολή, αλλά είναι πολύ κοντά στην παραβολή, έτσι. Άρα πράγματι φτάνει σε ένα μέγιστο ύψος, το οποίο θα εξαρτάται από την ταχύτητα με την οποία το στείλαμε και μετά επιστρέφει πάλι στο δάπεδο. Ναι, είναι, είναι. Χοντρικά ήθελα. Δεν με ενδιαφέρει η λεπτομέρεια αυτή τη στιγμή. Σε αυτή τη συζήτηση που κάνουμε τώρα δεν με ενδιαφέρει η λεπτομέρεια, αλλά έχετε δίκιο. Θα πρέπει να υπάρχει μια άλλαγη και αν θέλετε να ζωγραφίσουμε ακριβώς θα είναι μια άλλη συζήτηση πώς θα ζωγραφίσουμε αυτή την καμπύλη ακριβώς. Αλλά είναι μια καμπύλη που μας ενδιαφέρει. Εκείνο που θα θέλα εγώ να τονίσω είναι το εξής. Ότι υπάρχουν δύο ενδιαφέροντα σημεία, μπορώ να πάρω δύο απομακρυσμένα σημεία και να φέρω αυτήν εδώ, να τα ενώσω με μία ευθεία, δύο σημεία πάνω στην καμπύλη της τροχιάς αυτής, το α και β και να τα ενώσω με μία καμπύλη. Τώρα, στο διάστημα αυτό α και β μπορώ να υπολογίσω το ρυθμό με τον οποίο αλλάζει το ύψος της τροχιάς, άρα μπορώ να υπολογίσω σε αυτά τα δύο σημεία, αν θεωρήσω ότι αυτά τα σημεία συμβαίνουν στη χρονική στιγμή Τ1 και Τ2, οπότε έχω δύο συγκεκριμένα ύψη σε εκείνο το σημείο, στο Τ1 το ύψος είναι Υ1 και στο Τ2 είναι Υ2. Οπότε μπορώ να υπολογίσω τη μέση, το ρυθμό με τον οποίο αλλάζει η θέση, δηλαδή το ΔΕΙ που είναι το ύψος με το ΔΕΤ, δηλαδή να βάλω την τιμή Ι2-Ι1 στη Τ2-Τ1. Και αυτό εσείς ξέρετε ότι αυτή εδώ πέρα επειδή είναι η μεταβολή του ύψους με το χρόνο είναι ταχύτητα, άρα είναι η μέση ταχύτητα που έχει το σημείο σε δύο διαφορετικά σημεία. Έτσι, ωραία, άρα δηλαδή αν τη μέση ταχύτητα τη χρησιμοποιούμε πάρα πολύ ταχτικά και δεν χρειάζεται να πούμε πάρα πολλά. Αν όμως τα δύο χρονικές στιγμές προσεγγίζουν, τότε αυτή η ευθεία που ενώνει τα δύο τυχαία σημεία στην Α και Β θα γίνει μια εφαπτόμενη ευθεία. Και αυτή η ευθεία θα είναι αυτή που υπεριζήτηται σε αυτή τη συμπερίπτωση σε μια χρονική στιγμή, εδώ πέρα, μπορούμε να πάρουμε την εφαπτομένη αυτά τα δύο σημεία που προσεγγίσουν, η καμπύλη που θα προκύψει θα είναι η εφαπτομένη στο συγκεκριμένο σημείο σε ένα τυχαίο σημείο Τ μεταξύ των Τ1 και Τ2. Και αυτή ποια ταχύτητα θα είναι, αυτή είναι η μέση ταχύτητα, αυτή πώς αντιμπούμε, η στιγμή ταχύτητα, έτσι, η οποία ορίζει και φυσικά και τη στιγμή ταχύτητα, η οποία είναι η ταχύτητα, έτσι ορίζεται η ταχύτητα. Άρα λοιπόν ορίσαμε για μια συνάρτηση Φ του Χ, ορίσαμε τη μεταβολή ΔΕΧ, ΔΕΤ, ΔΕΧ ας την ονομάσουμε γενικότερα, του Χ μπορεί να είναι και χρόνος. Αυτή είναι η παράγωση η οποία μας ενδιαφέρει, ο ορισμός της στηρίζεται στα όρια, γι' αυτό τα κάναμε. Και ουσιαστικά είναι το Φ του Χ συν μια μικρή μετατώπιση, H, μείον το Φ του Χ δια H, όταν το Χ τύνει στο, το H μήπως το μπερδεύσουμε, τι να βάλουμε, να βάλουμε ένα άλλο, δεν είναι αυτό το ύψος εδώ πέρα, είναι ένα ΔΕΧ να βάλουμε καλύτερα, μια μικρή μεταβολή ΔΕΧ και να βάλουμε το ΔΕΧ να πηγαίνει στο μηδέν, το όριο του ΔΕΧ να πηγαίνει στο μηδέν. Έτσι ορίσαμε την παράγογο, Φ του Χ συν ΔΕΧ, το ΔΕΧ είναι πάρα πολύ μικρό, μείον Φ του Χ δια ΔΕΧ. Άρα λοιπόν, αν θέλουμε να υπολογίσουμε τις παραγώγους, την παράγογο μια συνάτηση, θα την υπολογίσουμε με αυτόν εδώ τον τρόπο. Τώρα, έχουμε συμφωνήσει ότι όταν πρόκειται, δεν σας έχει αρέσει, δεν διαμαρτυρηθήκατε φέτος, φαίνεται ξεσηνηθείσανε, στα προηγούμενα χρόνια, δεν τους άρεσε καθόλου ο συμβολισμός ΔΕΧ, διότι στο ηλίκειο χρησιμοποιήσατε το ευτώνους και ήταν ένας άλλος κόσμος το ΔΕΧ. Φέτος όμως δεν σας είδα να διαμαρτύρεστε ακόμα, τουλάχιστον μόλις αρχίσαμε. Υπάρχουν πολλοί συμβολισμοί να δώσω την παράγογο. Ο ένας συμβολισμός είναι F τόνους του Χ, ο άλλος είναι ΔΕΧ. Αυτός είναι πολύ πιο, ο συμβολισμός ΔΕΧ είναι πολύ πιο εύχρηστος για πολλά πράγματα, γιατί αργότερα θα χρειαστεί να τον γενικεύσουμε και στις παραγώγους, στις μερικές παραγώγους, οπότε ας αρχίσουμε να συζητάμε για κλάσμα μεταβολών είναι εδώ πέρα, γιατί και το ΔΕΧ και το ΔΕΧ είναι δύο ποσότητες οι οποίες έχουν αριθμητικό μέγεθος όπως θα δούμε σε λίγο. Άρα λοιπόν, αυτοί οι δύο συμβολισμοί είναι οι πιο κοινοί συμβολισμοί για τη χρήση της παραγώγου. Τώρα, εφόσον έχουμε ορίσει τον ορισμό, μπορούμε να δούμε μερικά παραδείγματα και να δούμε πώς θα υπολογίσουμε τις παραγώγους για διάφορες συναρτήσεις που θα μας ενδιαφέρουν, ξεκινώντας από τις πολύ απλές, αυτός είναι ο ορισμός και αυτοί είναι δύο βασικοί συμβολισμοί. Δεν έχουμε εισάγει και άλλους συμβολισμούς. Ένα συμβολισμός που θα θέλω να το ξέρετε αυτό, όταν χρησιμοποιούμε το χρόνο σαν μεταβλητή, από συνθήκη βάζουμε το dot απάνω από το σημείο, δηλαδή το χ dot, όταν βλέπετε την τελεία από πάνω από το χ, θεωρείτε ότι το χ είναι συνάδεση του χρόνου και οι παραγωγήσεις προς το χρόνο έχουν και αυτό το συμβολισμό. Πάρα πολύ ταχτικά βάζουμε μια τελεία πάνω από το μέγεθος το οποίο μεταβάλλεται, όταν η μεταβλητή του είναι ο χρόνος. Αυτή είναι μια συνθήκη την οποία έχουμε κυκλοφορή ευρύτερα, οπότε μην παραξενεύσετε γιατί μερικά φορές από τους συμβολισμούς έχετε δυσκολίες. Άρα αυτά είναι τα πολύ βασικά πράγματα που ορίζουμε την παράγο, δεν νομίζω ότι δεν τα έχετε ξαναδεί, τα ξέρετε και πολύ περισσότερα από ότι λέω εγώ σήμερα. Και για να βρούμε με τον ορισμό, να βρούμε την παράγο μια συγκεκριμένη συνάδεση, να δούμε αν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτό το ορισμό που ουσιαστικά μας πηγαίνει πίσω στα όρια που λέγαμε μέχρι σήμερα. Λοιπόν θέλουμε να βρούμε την παράγο μιας συνάρτησης όπου η οποία είναι η f του x είναι η τετραγωνική ρίζα του x και θέλω να βρείτε με τον ορισμό, ξέρετε πως θα βρείτε την τετραγωνική ρίζα του x την παράγο, την ξέρετε δεν σας είναι καινούργιο, αλλά δεν ξέρω αν το έχετε κάνει και θα ήθελα να το κάνετε με τον ορισμό του ορίου να βρούμε την παράγο της f του x χρησιμοποιώντας τον ορισμό και ασκώντας λίγο περισσότερο τα όρια. Το ερώτημα λοιπόν το δικό μου είναι, σας έχω δώσει τον ορισμό, το ξέρετε τον ορισμό της παραγώγου, υπολογίστε την παράγο της συνάρτησης f του x. Να δούμε πόσο είναι, το x φυσικά είναι θετικό, πως θα υπολογίσετε, ξέρετε πως θα το υπολογίσετε απλά με βάση ότι έχετε κάνει μέχρι τώρα, αλλά θέλω να το υπολογίσετε και με βάση τον ορισμό και τη χρήση των ορίων και να συγκρίνεται αυτά τα δύο, ένα μικρό παράδειγμα είναι αυτό. Λοιπόν θα μας το πείτε εσείς, θα σηκωθείτε κιόλας ή θα το έχετε γραμμένο στο χαρτί, αν θέλετε λάτε στον πίνακα. Συνειμιών, συνειμιών θέλει εκεί πέρα, θέλει εκεί ψηλά στον ορισμό. Συνειμιών, συνειμιών θέλει εκεί πέρα, θέλει εκεί ψηλά στον ορισμό. Παρατηρούμε ότι είναι μηδέν δια μηδέν, θα κάνω να αντιγραστήσω τη συνάρτηση πρώτα. Άρα ψάχνουμε για το έγραψτον ορισμό και ψάχνουμε για το όριο που λέει ρύζα x συν H, μηδέν ρύζα x και παρονομαστεί το H, το H να πηγαίνει στο μηδέν. Άρα παρατηρούμε ότι είναι μηδέν δια μηδέν, τότε μπορούμε να πραγμασιάσουμε αυτοί και παρονομαστεί με τα συζητική του αριθμητή. Πάρα πολύ ωραία. Να κάνω πράξεις ή να γράψω παντευθείαν? Να το γράψω παντευθείαν, δεν χρειάζεται πράξεις. Τώρα έχει μιωρχή πέργη, το H αποκλείται, κάποιο ρυθμικό πρόγραμμα το παρονομαστεί και μασμένη ορίο του 1 προς ρύζα x συν H, συν ρύζα x. Όταν το H είναι στην μηδέν, είναι ίσον 1 προς τη ρύζα x. Το ίδιο θα βγάζετε και με τον κλασικό τρόπο παραγώγησης, ευχαριστούμε πάρα πολύ το όνομά σου πάλι. Αδαμάδης. Ναι Αδαμάδης, ευχαριστούμε πάρα πολύ. Ωραία, λοιπόν, άρα πολλές από τις ασκήσεις που θα, εμείς θα τις δουλέψουμε σε ένα, θα χρησιμοποιήσουμε ένα πίνακα ή θα σας ζητήσω να επαναλάβετε, όλες τις γνωστές μας συναρτήσεις, μερικές δεν χρειάζεται να τις επαναλάβετε, τις ξέρετε, αλλά μερικές θα χρειαστεί να τις επαναλάβετε, για να υπολογίσουμε τις παραγώγους από γνωστές συναρτήσεις. Ένα σημαντικό στοιχείο είναι ότι φυσικά το πως θα παραγωγίσουμε όταν είναι συνεχής και σε ένα το σημείο χ0 είναι μέσα στο πεδίο ορισμού της συναρτήσεις, όταν έχουμε συναρτήσεις που είναι ουσιαστικά, έχουμε το άθροισμα δύο συναρτήσεων οι οποίοι είναι συνεχίσιοι, η διαφορά τους, έτσι ξέρετε από τις ιδιότητες, ότι η παράγωγος αυτήν να την ονομάσουμε Fx κεφαλαίο, η οποία είναι Fx sin γx, αυτό το πράγμα, έχουμε άθροισμα ήδη αφορά συναρτήσεων, η παράγωγος του αθρίσματος είναι το άθροισμα των παραγώγων, η διαφορά των παραγώγων. Έχουμε όμως και κάτι άλλο που είναι το γινόμενο, αυτά πάντα μιλάω για περιοχές που είναι συνεχίσεις συναρτήσεις, Fx γx, εδώ θέλω να μου πείτε τι θα γίνει, και έχουμε τη συνάρτηση, η οποία είναι ο λόγος δύο συναρτήσεων, Fx γx, μιλάω πάντα, το επαναλαμβάνω, σε περιοχές που όλες αυτές οι συναρτήσεις, το Gx που είναι στον παρονομαστή, δεν παίρνουμε την παράγωγος στο σημείο που το Gx θα είναι 0, ο παρονομαστής θα είναι 0, είναι συνεχίσεις συναρτήσεις και θέλω την παράγωγω της Fx, σε αυτές τις δύο περιπτώσεις που έχω το γινόμενο ή το λόγο δύο συναρτήσεων. Στον παρονομαστή είναι Fx γx. Στο γινόμενο δηλαδή λέει η συναδελφός σας στον μικρό εφθόνομά σας, η Έλληνα. Η Έλληνα λέει ότι είναι, ναι ακούω, Fx γx. Πάρα πολύ ωραία. Και μια και ξεκίνησης πες μας και το λόγο. Μια χαστορμή. Άρα είπα όταν μιλήσουμε αυτή είναι η F1, αυτή είναι η F1 και αυτή είναι η F2, οπότε η F2 που ήταν ο λόγος των συναρτήσεων θα είναι, πεςτε μου. Fx γx, Fx γx, Fx γx, Fx γx. Ωραία, μια χαρά. Τα θυμόσαστε πολύ καλά και αυτά, οπότε δεν χρειάζεται τίποτα άλλο να πούμε. Να πούμε κάτι άλλο πριν προχωρήσουμε σε κάποιες εφαρμογές και εφαρμογές των παραγόγων. Εγώ θα σας δώσω έναν πίνακα όπως σας είπα. Τον οποίον πίνακα εσείς τι θα κάνετε. Θα σας δώσω τις χαρακτηριστικότερες. Ο πίνακας αυτός θα έχει τις συναρτήσεις και εδώ την παράγογό τους. Δηλαδή δύο στήλες θα έχει αυτός ο πίνακας. Θα είναι στις σημειώσεις που θα σας βάλω στο blackboard. Ήδη έβαλα τις σημειώσεις από τα όρια. Επειδή έχω αυτή τη δυσκολία να γράφω πολύ όμορφους πίνακες όπως κάποιοι συνάδελφοι ή και κάποιοι καθηγητές σας στο Λύκιο, δεν μπορώ να καταφέρω εγώ να γράφω ως όμορφα έναν όμορφο πίνακα τον οποίον εσείς θα ασχοληθείτε να τον αντιγράψετε. Και θα λέτε παρακολούθησα όλο αυτό το μάθημα και δεν μου μείναν σημειώσεις λέτε εσείς, έτσι δεν μου μείναν σημειώσεις. Και είναι η αλήθεια ότι στα δικά μου μαθήματα, από τα δυσκολότερα πράγματα πέρα κι άλλες δυσκολίες πιθανόν, αλλά μία από τις δυσκολίες που έχω εγώ στο μάθημά μου είναι ότι δεν μπορώ να φτιάξω τόσο όμορφο πίνακα που να γράφω όμορφα και να αντιγράφετε τον πίνακα, αλλά θεωρώ ότι δεν μου αρέσει κιόλας. Διότι το να σας μετατρέψω εσείς να αντιγράφετε τον πίνακα, οπότε από τη μία άποψη όταν πάτε στο τέλος των εκστάσεων να κάνετε να διαβάσετε και διαβάστε στο τέλος των εκστάσεων, αν δεν έχετε σημειώσεις που είναι η αντιγραφή του πίνακα δεν ξέρετε να διαβάσετε. Εγώ όμως είμαι ενάντια στον διαβάστη παράμονες των εκστάσεων, αλλά δεν θέλω να κάνω ωραίο πίνακα, όχι δεν θέλω δεν μπορώ, αλλά δεν θέλω κιόλας, θα μπορούσα να πιεστώ φοβερά να φτιάξω έναν ωραίο πίνακα, δεν θέλω και δεν μπορώ. Τι κάνω όμως για να εκπληρώσω αυτή τη δυσκολία μου και να σας έχω ευχαριστημένους και να είμαι κι εγώ μέσα στις συνήθειές μου, γράφω αυτά που θα γράφω στον πίνακα σας σημειώσετε. Στις οποίες τις κατεβάζετε, οι σημειώσεις δεν είναι το βιβλίο φυσικά, είναι αυτά που θα γράψουμε στον πίνακα, δεν μπορώ να γράψω όλο το βιβλίο εδώ στον πίνακα, έτσι. Άρα αντί να γράφετε στις σημειώσεις σας θέλω να με παρακολουθείτε, να κουβεντιάζουμε, να είμαστε έτσι ωραία χαλαρά και τις σημειώσεις θα σας τις δώσω εγώ στο blackboard. Άρα ό,τι είπαμε στα όρια είναι στις σημειώσεις, θα τις κατεβάσετε μόλις πάτε σπίτι να τις έχετε και να οδηγηθείτε στο διάβασμα, το ίδιο θα γίνει και στις παρακόλους, το ίδιο θα γίνεις σε όλα τα κεφάλαια, έτσι. Οπότε μην αγχώνεστε που δεν γράφετε από τον πίνακα, κρατήστε από τον πίνακα ό,τι θέλετε αλλά το πιο σημαντικό είναι να συμμετέχετε εσείς. Τώρα θέλω να βρω, θέλω να λύσω ένα πρόβλημα που για μένα είναι πάρα πολύ σημαντικό και θέλω να υποθέσουμε ότι έχουμε μία τέτοια, μία συνάρτηση όπως είναι αυτή που είναι το 1δχ. Γράφησα λοιπόν το 1δχ από το 0 και εδώ είναι το χ. Και σε ένα σημείο της συνάρτησης 1δχ στο σημείο χ0 θέλω να φέρω την εφαπτωμένη της ευθείας της 1δχ στο σημείο χ0 που το έχω δώσει εδώ πέρα, να μου βρείτε την εξίσωση της εφαπτωμένης αυτής εδώ. Καταλάβατε τι σας ζήτησα. Στο σημείο χ0, λοιπόν καταρχήν έχω τη συνάρτηση f του χ που είναι το 1δχ, έτσι με το χ θετικό. Την έχω ζωγραφίσει, να τη. Πάμε στο σημείο χ0 και θέλω σε αυτό το σημείο να μου γράψετε την εξίσωση της εφαπτωμένης. Συναρτής του χ0 φυσικά, ναι. Θέλω λοιπόν την εξίσωση της εφαπτωμένης συναρτήσης του χ0, γιατί στο χ0 παίρνω, της συνάντησης 1δχ. Ποια θα είναι, πώς θα είναι. Είναι ένα πολύ ενδιαφέρον θέμα αυτή η εφαπτωμένη, λέγεται και, γιατί θα συναντήσουμε και άλλες προσεγγίσεις, είναι και μια προσέγγιση γύρω από τη γειτονιά του χ0, μια καλή προσέγγιση γύρω από το χ0 αυτή η ευθεία και λέγεται γραμμική προσέγγιση της συνάρτησης. Λοιπόν, ποιος θα μας πει πώς θα γράψω την εξίσωση της ευθείας της εφαπτωμένης στη συνάντηση f του χ1δχ στο σημείο χ0, το χ0 είναι γνωστό μας σημείο. Ψάχω να βρω αυτούς που δεν έχουν μιλήσει, εσείς εκεί κάτω, πέστε μου και το όνομά σας. Βάσο. Βάσο, δεν είναι Βάσο, είδε σε ξέχασα, έπρεπε να σε θυμόμουν, αλλά τι να κάνουμε Βάσο, είναι και κάποια ηλικία που κουβαλάμε και εδώ ξεχνάμε πολύ βασικότερα πράγματα. Και οπότε, σας ζητώ συγγνώμη που δεν θυμάμαι τα ονόματα σας, δεν θυμάμαι που τα λέτε αμέσως, αλλά δεν πειράζει, να ακούγονται όμως τα ονόματα γιατί έτσι γνωρίζετε και μεταξύ σας. Λοιπόν, Βάσο συνέχισε. Ψή πλην ψή μηδέν. Πες το δυνατάδες ακούμε. ΔΕΦ στο χήμι δεν διαδέχει επί χήμιον χήμιδεν. Λοιπόν, συμφωνείτε? Αυτή είναι η, τώρα Βάσο δεν μας είπε ποιο είναι το, θέλω να μας πει ποια είναι, βέβαια δεν το έχουμε πει εμείς, αλλά το ξέρετε εσείς, στη συνάρτηση τη συγκεκριμένη που έχουμε, το ΔΕΦΔΧ με τι είναι ίσον. Δυνατά Βάσο. Πλην 1 προς χ τετράγωνο, άρα αυτό θα πάει, είναι αυτό, στο σημείο χ ίσον χη μηδεν το θέλουμε αυτό. Είναι η κλήση δηλαδή στο σημείο χ ίσον χη μηδεν, οπότε αυτή η συνάρτηση θα γραφτεί μειον 1 δια χη μηδεν στο τετράγωνο, χ ίσον χη μηδεν. Άρα να η ευθεία την ξαναγράφω, εδώ για να την έχουμε, είναι η γραμμική προσέγγιση Ψ-Ψ0 ίσον πλην 1 δια χη μηδεν τετράγωνο, χ ίσον χη μηδεν. Αυτό που έγραψα εδώ πέρα θα είναι η ευθεία ή εφαπτόμενη στο σημείο χ ίσον χη μηδεν της ευθουχή. Η γενική έκφραση θα είναι αυτή που έδωσε η Βάσο εδώ πέρα και την εφαρμόσαμε σε αυτή τη συνάρτηση γιατί αυτή ζητούσαμε, η οποία μας έδωσε το μειον 1 δια χη μηδεν τετράγωνο. Και λέω εγώ τώρα, σας έχω πει ότι η φυσική διαφέρουν από τους μαθηματικούς γιατί έχουν μάθει μία ακόμα τέχνη που δεν την έχουν οι μαθηματικοί ούτε την χρειάζονται. Και ποια είναι αυτή η τέχνη των φυσικών που δεν την ξέρουν οι μαθηματικοί, όχι δεν την χρειάζονται οι μαθηματικοί και δεν έχουν καμία σχέση μαζί. Ποια είναι μια τέχνη που έχει ο φυσικός που τον ξεχωρίζει από τον μαθηματικό και τον διαφοροποιεί πάρα πολύ, πες μου. Αυτό είναι μία τέχνη αλλά λέω και μία άλλη που να μπορεί να λύνει προβλήματα που ο μαθηματικός δεν μπορεί να τα προσεγγίσει. Υπάρχει και μία άλλη μεθοδολογία, Γέργη. Προσέγγισε. Η λέξη είναι προσέγγιση. Είναι η τέχνη των προσεγγίσεων. Δηλαδή να σας εξηγήσω κάτι. Έχω μια συνάρτηση, γιατί ο φυσικός ενδιαφέρεται για τις προσεγγίσεις να το πούμε αυτό, γιατί νομίζω ότι είναι το πιο σημαντικό σας, παρακαλώ κρατήστε το. Έχω μια συνάρτηση, η οποία είναι περίπλοκη, περίεργη, που εγώ όμως μετρήσεις θα κάνω σε ένα πολύ μικρό εύρος τιμών, γύρω από μια τιμή. Είναι η τοπική προσέγγιση, δηλαδή έχω μια τοπική λύση που λένε γύρω στο χημιδέν, όλη η γειτονιά του χημιδέν. Και κοιτάξτε αυτή η ευθεία μία χαρά προσεγγίζει στη γειτονιά, προσεγγίζει μία χαρά η ευθεία, αυτή που γράψαμε, την καμπύλη ένα διαχεί, κοντά στο χημιδέν. Άρα δηλαδή αν εγώ ξέρω ότι θα δουλέψω σε ένα συγκεκριμένο σετ τιμών γύρω από το χημιδέν, η πολυπλοκότητα μιας συνάρτησης που κάνει διάφορα και που έχει και τα λοιπά δεν με ενδιαφέρει. Άρα προσπαθώ να βρω μία συνάρτηση σε μια πολύπλοκη συνάρτηση, θα το δω αυτό ξανά και ξανά. Είναι από τα πιο βασικά πράγματα και ο άνθρωπος ο οποίος βοήθησε απεριόρισα τους μαθηματικούς, θα το πούμε λίγο παρακάτω σαν μαθήματα, είναι ο Τέιλορ, ο οποίος βρήκε με τι τρόπο μπορούμε να προσεγγίσουμε μία καμπύλη στη γειτονιά ενός σημείου. Η ευθεία λοιπόν είναι η γραμμική προσέγγιση. Όταν ακούτε τη λέξη linear approximation η γραμμική προσέγγιση είναι η ευθεία, είναι αυτή. Και το γραμμικό είναι ότι εδώ το χίμιον χίμι δεν έχει στο αναριθμητή 1. Δηλαδή το χίμιον χίμι δεν έχει, είναι στη μονάδα. Υπάρχει κι άλλη μία προσέγγιση, θα σας την πω, αλλά θα τα δούμε αυτά πολύ πιο ευσότερο. Φανταστείτε ότι μια καλύτερη προσέγγιση θα είναι να αρχόμουν εδώ και να μην προσέγγιζαμε ευθείαν, αλλά μια καμπύλη, να τη ζωγραφίσουμε άλλο χρώμα. Φανταστείτε λοιπόν και αυτό το ανακάλυψε ο Τέιλορ και έβγαλε το περίφημο πανάπτυγμα Τέιλορ ή πολυόνιμα Τέιλορ. Η κίτρινη γραμμή δεν είναι ευθεία πλέον, έχει και χ τετράγωνο. Προσεγγίζω δηλαδή την καμπύλη μου τώρα, την 1 διαχεί, με μία δεύτερη πολύ καλύτερη προσέγγιση και με επιτρέπει να πάω λίγο πιο μακριά από το χίμι χίμι δεν που μου δούνε η γραμμική προσέγγιση. Άρα έχω έναν τρόπο που στη γειτονιά ενός σημείου, αν οι τιμές μου είναι στη γειτονιά ενός σημείου και το ξέρω, αν εσείς ενδιαφέρεστε για το τι γίνεται σε αυτή τη γειτονιά γύρω από τον ήλιο, για το ηλιακό μας σύστημα, δεν χρειάζεται να λύσετε τη γενική θεωρία σχετικότητας, η οποία δίνει οι τελήσεις για όλο το σύμπαντο. Και τι γελάτε. Ναι. Θα θέλατε να την πω πώς. Όχι δεν σας αρέσει, δεν σας παρακολουθήσα η λέξη. Και ή όμως στα αγγλικά έτσι λέγεται neighborhood. Οπότε είναι η γειτονιά, δηλαδή μετέφρασα την αγγλική λέξη. Παρακάτω. Άρα λοιπόν θέλω να κρατήσετε ότι αν σας δώσω μια συνάντηση και σας ζητήσω στο σημείο χίμι δεν τη γραμμική προσέγγιση της συνάντησης. Έτσι ακούσατε τα λόγια όλα. Θα μου γράψετε αυτό εδώ το πράγμα. Τη συνάντηση στην παράω. Δηλαδή αυτή γενικά λοιπόν όπως το είπαμε πως το αρχικάει βάσω. Αυτή είναι η γραμμική προσέγγιση μιας οποιαδήποτε συνάντησης. Και μας ενδιαφέρει πάρα πολύ σε πάρα πολλά προβλήματα. Εδώ να σταματήσουμε να κάνουμε ένα διέλυμα και να επανέρθετε. Να λύσουμε μια άσκηση τώρα. Γράψτε λίγο. Άσκηση. Δείξτε ότι το τρίγωνο που σχηματίζεται από την εφαπτωμένη της καμπύλης ψήσον ένα διαχείτο χ θετικό. Και των αξώνων έχει επιφάνεια δύο τετραγωνικές μονάδες. Το γράψατε όλοι? Ωραία. Δείξτε ότι το τρίγωνο που σχηματίζεται από την εφαπτωμένη της καμπύλης ψήσον ένα διαχείτο χ θετικό και των αξώνων έχει επιφάνεια δύο τετραγωνικές μονάδες. Το γράψατε όλοι? Ωραία. Δουλέψτε το και πεςτε μου τη λύση. Λοιπόν, είναι αρκετοί που έχουν σηκώσει το χέρι. Οπότε, Ιαργύρη, πες μας εσύ. Να φτιάξω το σχήμα μόνο. Ένα λεπτό να φτιάξω το σχήμα. Η καμπύλη, λοιπόν, είναι τη ένα διαχεί. Παίρνω ένα τυχαίο σημείο χ μηδέν εδώ πέρα. Χ μηδέν ένα διαχεί μηδέν. Οι συντεταγμένες του σημείου είναι χ μηδέν ένα διαχεί μηδέν. Φέρνω την εφαπτομένη σε αυτό το σημείο, η οποία τέμνει τους άξονες. Το τρίγωνο που με ενδιαφέρει είναι αυτό εδώ μέσα. Ωραία. Λοιπόν, Ιαργύρη, σε ακούω. Καταρχήτ, θα γράφουμε τη γημική μορφή της εφαπτομένης. Μπορούμε να γράψουμε και πριν. Ωραία, τη γράφουμε λοιπόν. Ψ μιον ψ μηδέν ίσον μιον ένα διαχεί μηδέν τετράγωνο χ μηδέν χ μηδέν. Ορίστε. Πριν την κάνουμε τη γράφη. Πριν την κάνουμε τη γράφη, πριν την κάνουμε τη γράφη. Είναι εξής ο αθομέτης. Ναι, αυτό μου είπε να γράψω. Ναι, ναι, απλά να το κάνουμε θετική θύμα. Ωραία, αφού έτσι θέλει, ακούω ότι μου λέει ο Αργύρης. Έλα, Αργύρη, συνεχίσαι. Μετά να θέσουμε όπου χ το μηδέν. Να θέσουμε όπου χ το μηδέν. Οπότε θα βγει από αυτήν τι? Θα βγει η ψ. Ναι, όμα βάλουμε το χ ίσον με μηδέν. Θα βρούμε ουσιαστικά το σημείο που πτέρνει με τον άξονο ψ. Αυτό εδώ το σημείο δηλαδή. Θα πάρουμε την ευθεία αυτή και θα βρούμε την τομή του στο σημείο χ ίσον χ μηδέν. Θα βγάλει ψ ίσον δύο διαχεί μηδέν. Ωραία, μετά θα θέσουμε όπου χ ίσον χ μηδέν. Και σε αυτή την περίπτωση θα βγάλουμε ότι το χ είναι ίσον δύο χ μηδέν. Με παρακολουθείτε όλοι? Ναι. Ωραία, συνεχίσαι Αργύρη. Και μετά θα το ποναπλασίσουμε μετακλήθως. Εν δεύτερον. Και θα τα κάνουμε δια δύο. Δύο διαχεί μηδέν, επί δύο χ μηδέν, αυτό είναι το εμβαδόν που ζητάμε. Οπότε τι θα έχουμε, θα έχουμε τα χ μηδέν θα φύγουν. Άρα εντάξει αυτό μας βοηθάει. Το ένα εν δεύτερον θα φύγει και το άλλο δύο θα μείνει δύο τετραγωνικές μονάτες. Ωραία, είναι κάποιος που δεν παρακολούθησε ή θέλει να το ξαναπούμε. Όχι, ωραία. Γιατί θα μπορούσαμε να το λύσουμε κι αλλιώς, γιατί ο συγκεκριμένος επαγγωμένης δεν είναι το πηλίκο των συστηταγμένων, το μειον ψυπροσχείας. Τώρα δεν σε παρακολουθώ αργή, δηλαδή τι να κάνουμε. Βρίσκεται στον συντελεστή διεύθυνσης μόνο. Το μειον 1 διαχεί μηδέν τετράγωνο. Αυτό εννοείς. Αυτό είναι το αντίθετο πηλίκο των δύο συντεταγμένων, δηλαδή του ψυπροσχείας και του μειον 1. Ναι, και αυτό μπορούσαμε να κάνουμε. Συμφωνώ. Λοιπόν, για να προχωρήσουμε στο εξής. Είπαμε λοιπόν τι γίνεται με το γινόμενα, είπαμε με τα πηλίκα των συναντήσεων. Και το τελευταίο είναι, δεν μιλήσαμε καθόλου για παραγώγους ανώτερης τάξης, που φυσικά δεν είναι τίποτα άλλο. Παρασυνεχίζουμε την παραγώγηση. Άρα λοιπόν, όταν έχουμε μια συναρτήση συγκεκριμένη, απλή, ένα πολυόνιμο, 1 τέταρτον, έχουμε τη συναρτήση χ τετάρτης μειον 3χ τετράγωνο, συν ένα. Να λοιπόν μια συναρτήση, εφ του χ. Και σε αυτή θέλουμε να πάρουμε την πρώτη, την πρώτη παράγωγον τε εφ τε χ, τη δεύτερη παράγωγον τε εφ τε χ, τετράγωνο, και την τρίτη παράγωγον, σταματήσουμε εκεί, και την τρίτη παράγωγον, τρίτη παράγωγος του εφ ως προς χ. Λοιπόν, πώς θα την κάνουμε, πώς θα κάνουμε αυτήν αυτής παραγωγήσεις, γνωστά πράγματα είναι, δεν πειράζει όμως, και τα γνωστά χρειάζεται να τα επαναλάβουμε, πέστε μου εσείς. Αρχίζουμε από την πρώτη παράγωγον. Ωραία. Ωραία. Ωραία. Τι είπατε, ναι, έξυχη. Λοιπόν, αυτές είναι οι παράγωγοι, φτάνει μέχρι άλλη μια φορά που μπορούσαμε να παραγωγήσουμε, αλλά δεν μας ενδιαφέρει. Τώρα, τι άλλο θέλουμε να συζητήσουμε σήμερα. Θέλω να συζητήσουμε κάτι το οποίο δεν ξέρω αν το δουλεύατε με αυτόν τον τρόπο στο Λύκειο, ή την παραγωγή σε μια σύνθετη συνάρτηση. Καταρχήν, να θυμηθούμε ποια είναι η σύνθετη συνάρτηση. Η σύνθετη συνάρτηση είναι μια συνάρτηση F, η οποία είναι του U του X. Αυτή είναι μια σύνθετη συνάρτηση, όπου το U του X είναι μια γνωστή μας συνάρτηση. Όποιαδήποτε. Το U του X είναι μια γνωστή συνάρτηση. Παράδειγμα της σύνθετης συνάρτησης, μπορούμε να πάρουμε το A στην χ'-2χ-3 και αυτή μπορούμε να τη γράψουμε A στην U του X, όπου το U του X θα είναι σε αυτή την περίπτωση το χ'-2χ-3. Αυτή λοιπόν είναι μια σύνθετη συνάρτηση. Συμφωνείτε? Ωραία. Τι θέλω εγώ να κάνω σε αυτή τη σύνθετη συνάρτηση? Η οποία είναι αυτή εδώ, όπως είπαμε, F παρένθεση U του X, κλείνει παρένθεση. Το U του X είναι μια γνωστή συνάρτηση. Αν σας ζητήσω να παραγωγήσουμε την F ως προς H, έτσι, ποιος θα μου πει σε ένα γενικό τύπο, ποια είναι η παράογο της F ως προς H, όταν η F είναι συνάρτηση του U και το U είναι συνάρτηση του X. Αυτή είναι μια σύνθετη συνάρτηση. Πέστε με εσείς και το ονομάσω πάλι. Μάγδα. Ναι Μάγδα. Είσαι. Δεν σε άκουσα. Επί. Παράογο. Επί. Παράογο. Δεν σε κατάλαβα καλά μάλλον. Θα μου το πεις πάλι άλλη μια φορά. Θα παραγωγήσω το E στην U. Όχι, θέλω να βγάλω έναν τύπο καταρχήν, ο οποίος θα καταλήξει εκεί που ξέρει. Εσείς ξέρετε όλοι πώς θα παραγωγήσετε μια σύνθετη συνάρτηση, χωρίς να γράψετε κανέναν τύπο, κοιτάζοντας αυτή εδώ τη σχέση, ξέρετε πώς θα την παραγωγήσετε. Τη σχέση, δηλαδή, που έγραψε εδώ πέρα, ε, στοιχεί τετράγων, μιον δύο χ, μιον τρία, ξέρετε να την παραγωγήσετε. Εκείνο που θέλω εγώ να κάνουμε αυτό που θα κάνετε, για πέστε μου, αν θέλετε να παραγωγήσω αυτό, να το γράψω κατευθείαν. Με τι θα είναι ίσον, ή η συνάδελφός σας άρχισε να το γράφει, να λέει. ίσον, χ τετράγων, μιον δύο χ, μιον τρία. Επί. Επί. Δύο χ, μιον δύο. Μάλιστα. Λέω εγώ, τι έχει κάνει εδώ πέρα. Θα το γράψω με έναν άλλο τρόπο. Θα πάρω την παράγωγο της f ως προς u, και μετά θα παραγωγήσω τη u ως προς χ. Αυτό έκανε η συνάδελφός σας. Το βλέπετε ότι έκανε αυτό, διότι θεωρώντας, αυτό το πρώτο το θεώρεσε A στην U, αν αυτό το πω A στην U, και το παραγωγήσω ως προς U, θα μου δώσει το ίδιο. A στην U πάλι. Εδώ. Εντάξει, τώρα, άρα λοιπόν ο τύπος της παραγώγησης μιας σύνθετης συνάρτησης λέει έχει και ένα όνομα, ποιος το ξέρει αυτό το όνομα αυτό. Έχει και ένα όνομα αυτή η παραγώγηση. Εσείς πάρε. Κανόνας αλυσίδας. Γιατί παραγωγίζουμε την ως προς X δύο φορές. Μία ως προς το U που είναι συνάρτηση γιατί αυτή είναι συνάρτηση του U βασικά. Όπως σας είπα αυτή μπορεί να γραφτεί σαν A στην U του X. Άρα αυτή είναι μια συνάρτηση του U. Οπότε μπορώ να πάρω την παράγωγη της F ως προς U και να πολλαπλασιάσω δίπλα D U D X. Και αυτός είναι ο κανόνας αλυσίδας. Παρ' όλο ότι αυτό ξέρετε να συνεχίσετε να παραγωγήσετε ξανά. Αν σας ζητήσω δύο φορές να παραγωγώ και τη δεύτερη παράγωγω αυτής εδώ τη συνάρτησης. Δηλαδή τη συνάρτησης που είχα γράψει στην αρχή A στην X τετράγωνο μίον δύο X μίον τρία. Αν σας ζητήσω και τη δεύτερη παράγωγω πάλι μπορείτε να την κάνετε. Φαντάζομαι χωρίς να αναφερθείτε στην παραγώγηση της στον κανόνα της αλυσίδας που έχω εδώ πέρα. Βλέπετε όπου κανόνας αλυσίδας εφαρμόστηκε εδώ, όταν την παραγωγήσετε αυτή ως προς γιού μου σου δίνει την ίδια. Νάτη. Και όταν μετά παραγωγήσετε στον τε γιού τε χ, παραγωγήσετε αυτό εδώ πέρα και σου δίνει το δύο X μίον δύο. Ο γενικός τύπος λοιπόν είναι αυτός για μια σύνθετη συνάρτηση. Για να πάμε σε αυτόν εδώ τον τύπο και στην πράξη να βρούμε τη δεύτερη παράγωγω μια σύνθετη συνάρτησης. Και στον κανόνα της αλυσίδας, αλλά και με το παράδειγμά μας. Το παράδειγμά μας είναι το A στην χ' μίον δύο χ μίον τρία. Σε αυτήν εδώ μπορείτε, αλλά θα ήθελα να μην το κάνουμε όπως το έχετε μάθει, να μάθουμε κάτι καινούριο. Να μάθουμε πώς θα γίνει η δεύτερη παράγωγη μια σύνθετη συνάρτησης της ΔΕΦΔΧ' όταν η F είναι σύνθετη συνάρτηση. Με τι θα την γράψω, πώς θα την γράψω αυτήν. Αυτό θέλω να μου πείτε τώρα. Για σκεφτείτε πώς θα παραγωγήσω, πώς θα πάρω από αυτήν, θα πάρω τη δεύτερη παράγωγη. Θέλω να πάρω τη δεύτερη παράγωγη. Θέλω να γράψω ένα γενικό τύπο, ο οποίος μετά, εσείς ξέρετε πώς να κάνετε την παραγώγηση αυτή, θα εφαρμόσουμε το γενικό τύπο στο ειδικό παράδειγμα. Εδώ θέλω να προσέξετε ότι σε αυτή την παραγωγήση, η οποία θα αντιγράψω απλά, θα είναι ΔΕΧΙ, και μέσα θα βάλουμε την παραγώγηση όπως την είχαμε προηγουμένως, ΔΕΧΙ. Μέχρι τώρα δεν έχω κάνει τίποτα. Έγραψαμε αναλυτικά τη δεύτερη παράγωγη, πήρα τη δεύτερη παράγωγη, η οποία είναι αυτή. Το ΔΕΧΙ το αντικατέστησα με το ίσο του που το έχω από εκεί πέρα, με το γκρ της αλυσίδας. Και τώρα θέλω να συνεχίσω να παραγωγήσω, έχω ένα γινόμενο. Η μία είναι συνάρτηση του U και η άλλη είναι συνάρτηση του X. Μόνο αυτή την παρατήρηση πρέπει να κάνετε. Ότι η μία είναι σύνθετη συνάρτηση, αυτή εδώ είναι σύνθετη συνάρτηση και αυτή δεν είναι η δεύτερη. Έχω λοιπόν γινόμενο δύο συναρτήσεων, θέλω να πάρω την παράγωγή του γινόμενου δύο συναρτήσεων, αλλά προσοχή, η πρώτη από το γινόμενο είναι σύνθετη. Λοιπόν, εσείς δεν έχετε, μιλήστε και σε χωρίς και στον πίνακα αν θέλετε. Όχι, δεν είστε σίγουρος. Να το πεις καλύτερα. ΟΚ, για πες μου τι θα κάνεις. Οτι είναι πρωτοσοσιασμός, να πούμε ότι πρώτα παραγωγείς με το ένα, με το άλλο. Άρα, έλα να το κάνουμε σιγά σιγά. Λοιπόν, θα πάρουμε δΧ λοιπόν, του ΔΕΦ, παρένθεση ΔΕΦΔΙΟ. Πολαμπλασιάζουμε με το ΔΕΙΟΝΤΗΧΗ που υπάρχει εκεί πέρα. Συν, αφήνουμε το ΔΕΦΔΙΟΝΤΗΧΗ απέξω και παραγωγίζουμε ως προσχή το ΔΕΙΟΝΤΗΧΗ. Μέχρι εδώ είμαστε όλοι καλά. Έχουμε παραγωγήσει μία σύνθετη, ένα γινόμενο, δύο συναρτήσεων. Δηλαδή αυτής εδώ της αλυσίδας. Ωραία, να συνεχίσουμε, σας ακούω. Τώρα, στο πρώτο, θα πάει ΔΕΦΔΙΟΝΤΗΧΗ προς ΔΕΙΟΝΤΗΧΗ. Αυτό εδώ πέρα το πράγμα, αυτή η παραγωγήση, αυτό το αφήνουμε όπως είναι. Αυτό εδώ επειδή είναι σύνθετη η συναρτήση θα μας δώσει δεύτερη παράογο του F ως προς ΔΕΙΟΝΤΕΤΡΑΓΩΝΟ επί ΔΕΦΔΙΧΗ, αυτό θα βγάλει η παραγωγήση και απ' έξω έχει το ΔΕΙΟΝΤΕΧΗ. Το άλλο πάει κανονικά, θα δώσει ΔΕΦΔΙΟΝΤΕΧΗ, δεύτερη παράγορο του ΔΕΙΟΝΤΕΧΗΤΕΤΡΑΓΩΝΩ. Λοιπόν, όλα αυτά μέχρι εδώ φτάσαμε καλά. Αυτή είναι μια σύνθετη συναρτήση και την παραγωγίζει. Αυτό το αφήνει όπως είναι, δεν έχει να το πειράξει, το αφήνει απ' έξω. Η σύνθετη όμως αυτή συναρτήση παραγωγίζει να μας δώσει δεύτερη παράγορο του F ως προς ΔΕΙΟΝΤΕΧΗ. Πολλαπλασιάζεται το ΔΕΙΟΝΤΕΧΗ, υπάρχουν δύο ΔΕΙΟΝΤΕΧΗ, ένα εδώ και ένα εδώ. Άρα το τελικό αποτέλεσμα για τη δεύτερη παράγορο. Μια σύνθετη συναρτήση ΔΕΙΟΝΤΕΧΗ θα είναι. Δεύτερη παράγορο της F ως προς ΧΤΕΤΡΑΓΟΝΟ, ως προς ΔΕΙΟΝΤΕΧΗ και όλος το ΔΕΙΟΝΤΕΧΗ, συν ΔΕΕΦΤΕΙΟΝΤΕΧΗ, δεύτερη παράγορο του ΔΕΙΟΝΤΕΧΗ. Αυτή είναι η δεύτερη παράγορος μιας σύνθετης συναρτήσης. Η ερώτηση είναι εάν ακολουθήσουμε δύο δρόμους τώρα. Ο ένας πάρει αυτήν εδώ την F και εφαρμόσει αυτόν τον κανόνα. Θέλω να το κάνετε όμως τώρα εσείς για επαλήθειυση. Να πάρετε αυτή τη σύνθετη συναρτήση, η οποία είναι AΙΟΝΤΟΧΗ. Το ΙΟΝΤΟΧΗ είναι αυτό και το A είναι αυτό εδώ. Πάρτε λοιπόν αυτή τη συναρτήση και εφαρμόστε μία φορά τον τύπο και μία φορά αυτό που θα κάνατε εάν δεν σας είχε μιλήσει κανένας για κανόνα της αλυσίδας και δεύτερη παράγορο. Δηλαδή νομίζω ότι αν σας ζητούσε κάποιος στο Λύκειο να πάρετε τη δεύτερη παράγορο της συναρτήσης FΙΟΝΤΟΧΗ αυτής της σύνθετης συναρτήσης θα το κάνατε μία χαρά όπως ξεκίνησε η συνάδελφός σας και το έκανε στην πρώτη παράγορο. Λοιπόν κάνετε τις δύο τύπους. Τη μια φορά θα κάνετε αυτό που κάνατε στο Λύκειο. Τη δεύτερη θα εφαρμόσετε τον κανόνα της δευτέρης παραγόγου στον κανόνα της αλυσίδας. Αυτό που κάνω στο Λύκειο με αυτό που βράζουμε τώρα, είναι και δύο πράγματα με άλλο συμβολισμό. Τι εννοείς με άλλο συμβολισμό? Δηλαδή στο Λύκειο γράφατε τον κανόνα της αλυσίδας, δεν το θυμάμαι ακριβώς τι κάνετε στο Λύκειο αλλά πέστε μου αν κάνατε αυτό στο Λύκειο γράφατε F τόνους. Να εδώ υπάρχει το μπέρδεμα με τον τόνο. Αυτός ο τόνος αναφέρεται στο U και μετά έχουμε το U τόνους. Βλέπετε εδώ τόνος είναι αλλά δεν διακρίνει σε τι αναφέρεται ο κάθε τόνος. Βλέπετε το μπλέξι μου με τον τόνο στη σύνθεση συναντήσεις ήδη εμφάνισε αυτό το συμβολισμό στο πρόβλημά του. Το καταλαβαίνετε ή όχι. Διότι ο τόνος δεν ξέρεις αν είναι για το X ή για το U. Ενώ ο δικός μου συμβολισμός το λέει καθαρά ποιο παραγωγίζεις ποιο. Άρα είναι σαφώς καλύτερος συμβολισμός άμα πάμε έξω από το πολύ κλασική εφαρμογή που έχετε μάθει. Λοιπόν, σας ζήτησα να κάνετε μια άσκηση να εφαρμόσετε... Βλέπετε αυτό που είχατε γράψει από το πρόβλημα που είχατε δε πλαιολόγων όκλων στον ΔΕΧΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ Βλέπετε αυτό που είχατε γράψει από το πρόβλημα που είχατε δε πλαιολόγων στον ΔΕΧΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ Υ, ΔΕΕΦ, ΔΕΧ Ακριβώς το ίδιο πράγμα είναι αυτά τα δύο Κι επίσης αν εδώ το ίδιο με γράψανε ΔΕΕΦΤΟΧΗ, ήθιστε να το κάνουμε έτσι Δεν γράφουμε ΔΕΕΕΦΤΟΧΗ για να δείξουμε τη συνάρτηση Την ορίζουμε ως πως το Χ Για συμβολισμόλες να αναχρησιμοποιήσουμε το ΔΕΕΦΤΟΧΗ, αυτό εννοείς? Ναι, Χ σε παρένθεση, πως γράφουμε τη συνάρτηση Αυτή είναι όλη η συμβολισμή, υπάρχει και αυτός ο συμβολισμός Όχι όχι, όλη η συμβολισμή αυτή είναι γνωστή Είναι καθαρό ότι σας έχω ζητήσει Σας έχω ζητήσει να εφαρμόσετε αυτόν τον τύπο Και να εφαρμόσετε και αυτό που θα κάνατε, να συνεχίσετε την παραγώγηση αυτή ώστε να δούμε αν αυτά τα δύο αποτελέσματα βγαίνουν το ίδιο και όποιος έχει βγάλει το ίδιο να σηκώσει το χέρι, τότε το εμπεβεβαίωσε, το έβγαλε Εντάξει, δήκε μια χαρά Λοιπόν οι υπόλοιποι Οι υπόλοιποι, το εμπεβαιώσατε? Λοιπόν, σηκώστε χέρι αν και οι υπόλοιποι το έχετε επιβεβαιώσει και εσείς βγαίνει μια χαρά, έτσι? Λοιπόν, αυτόν τον τύπο για τη δεύτερη παράγωγο και όλα αυτά τα βήματα, θα ήθελα να σας παρακαλέσω και αυτόν τον τύπο να τον μπορείτε, φυσικά αυτός είναι πάρα πολύ απλός και γνωστός αλλά και η δεύτερη παράγωγο, να μπορείτε να της κάνετε αυτές τις παραγωγήσεις να μπορείτε δηλαδή και τον τύπο να χρησιμοποιήσετε Θέλω να κάνω ένα νέο... Ναι, πέστε μου Ένας από αυτούς που τελείωσαν Ναι, ωραία, ο συνάδελφός σας ζητάει, ένας από αυτούς που το τελείωσαν έκανα την επαλήθεια να σηκωθεί και να το κάνει στον πίνακα Αυτό δεν ζητήσατε? Ποιος θέλει να σηκωθεί από εσάς που το τελειώσετε και το αποδείξετε? Ποιος θέλει να σηκωθεί στον πίνακα? Πάρε και τις σημείωσες αν τις έχεις, αν τις θέλεις Να το γράφεις, να το... Η δεύτερη παράγωγω του έφωσπρος γιού... Οπότε μένει όπως είναι Άρα λοιπόν ο συνάδελφός σας λέει ότι η δεύτερη παράγωγω του έφωσπρος γιού επειδή είναι το εκθετικό, δεν αλλάζει καθόλου, μένει το ίδιο Η δεύτερη παράγωγω του γιού ως προς χ Η πρώτη παράγωγω του γιού ως προς χ Την έχει εκεί πέρα είναι 2χ-2 Και υψώνεται 2χ-2 Και όλο αυτό στο τετράγωνο Ωραία Συν την πρώτη παράγωγω του έφωσπρος γιού Την οποία την έχεις εκεί μπροστά σου Είναι αι στην χ, να είναι αυτό εδώ αι χ τετράγωνο μιον 2χ-3 επειδή 2χ-2 Επίσης Η οποία είναι 1χ-2 Ωραία, αυτό είναι η εφαρμογή του κανόνα Το βλέπετε? Από κάτω, όχι δεν τελειώσετε Θέλετε να συνεχίσετε την πρώτη παράγωγω Να την γράψετε από κάτω Πως θα συνεχίσετε αυτήν εδώ Χωρίς να ξέρετε τον τύπο Αυτό εδώ είναι η πρώτη παράγωγω Δεν είναι? Ναι Αυτό εδώ που μας είχε πει η συνάδελφός σας Είναι αυτό εδώ Αυτό για παραγωγή στο άλλο μια φορά Να δούμε τι θα βγάλει Τι θα βγάλει Ό,τι θέλετε Απλώς Επειδή ξέρετε να προσθέθετε και κάτι ακόμα Σε αυτό που ξέρετε Μπορεί να βοηθήσεις Όχι αυτή τη στιγμή σε μια απλή εφαρμογή Αλλά γενικά Σε καμία περίπτωση Ό,τι άσκηση πάρετε Ό,τι σας είναι πιο εύκολο και πιο απλό Αυτό θα χρησιμοποιείτε και είναι όλα δεκτά Ωραία Άρα λοιπόν Αυτή είναι γινόμενο δύο συναρτήσεων Παραγώγησες λοιπόν αυτό Καταλαβαίνεις τι είπαμε Αν δεν ήξερες αυτόν τον τύπο Και ήσουνα στο λίκιο Και ήθελες τη δεύτερη παράγωγη Ήθελες να κάνεις τη δεύτερη παράγωγη Αυτής της συναρτήσης Τη δεύτερη παράγωγη αυτής της συναρτήσης Χωρίς να ξέρεις τον τύπο Θα έπαιρνες την πρώτη που είναι αυτή Και θα πήγαινε σε αυτήν τώρα Να κάνεις τη δεύτερη Ποιο λέτε ποιος είπε Δεν θα σε συμφέρει να... Φυσικά και είναι δεκτός χωρίς απόδειξη Αλλά δεν σε συμφέρει να τον θυμάσαι Δεν θυστεύω Ωραία Εντάξει Συμφωνείτε Τι έκανε εδώ Ναι τι έχει κάνει Για να το ελέγξουμε Έχει πάρει λοιπόν αυτή την παράγωγη άλλη μια φορά Και έχει βγάλει αυτό, άρα αυτό είναι σωστό Εδώ πέρα τι έχουμε να κάνουμε Σε αυτή τη δεύτερη περίπτωση Έχει να πάρει...θα πρέπει να πάρει τι Μιλήστε παιδιά τι έχει γίνει Αυτή εδώ την πρώτη...αυτή την πρώτη πρώτη είχε... Μια στιγμή παιδιά Αυτό εδώ πέρα το 2X Συν 2 το θέλαμε στην πρώτη Όχι Ωραία τελειώσαμε Λοιπόν Η απάντηση στο ερώτημα είναι Αν εσείς είστε πιο πολύ Ξυκιωμένοι να χρησιμοποιείτε αυτόν τον τύπο Κατευθείαν χωρίς να Αναφέρεστε σε τύπους Κανένας δεν θα σας αναγκάσει να κάνετε κάτι Στο οποίο δεν το θέλετε Τώρα τι θα θέλα εγώ να κάνω ένα Γρήγορο review και να δείτε Τι υπάρχει στο τυπολόγιο Και στις σημειώσεις Τι υπάρχει μέσα στις σημειώσεις Για τις παραγόγους στο οποίες θα σας δώσω Υπάρχει το εξής Έχουμε Αν φτιάχναμε ένα μπίνακα Με το ημίτονο X Και εδώ πέρα αυτή είναι η συνάρτηση F του X Και περνούσαμε Μέσα από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις Και αυτή είναι η παράογος της F του X Άρα λοιπόν Στην πρώτη στήλη έχω θα σας λέω Ποια είναι η συνάρτηση Και στη δεύτερη θα μου λέτε εσείς ποια είναι η παράογος της Λοιπόν το ημιτώνου X Ποια είναι η παραγός Ωραία Αν έχουμε το ημίτονο του G του X Ημίτονο του G του X Ακούω Γιατί μιλάνε όλο οι ίδιοι όμως Εσείς πες τώρα Το συνημίτονο του G του X Επιτζέ τόνους του X Ωραία Το ίδιο θα κάνουμε για το συνημίτονο X Θα είναι μειών ημίτονο X και αντίστοιχα Αν έχουμε το συνημίτονο του G του X Θα είναι μειών ημίτονο του G του X Επιτζέ τόνους του X Τώρα δεν ξέρω αν είναι μέσα στα πράγματα που θυμάστε Πως είναι η παράγογος της εφαπτωμένης του X Θυμάστε την παράγογο της εφαπτωμένης του X Όχι όλοι, λιγότεροι Τουλάχιστον μπορείτε να τη βγάζετε γιατί είναι από τα χρήσιμα πράγματα Πέστε μου εσείς Όχι εσείς, η κοπέλα που έλεγε Ναι Δυνατά, ένα Μίτονο τετράγωνο X Ωραία Ένα προς συνημίτονο ή ημίτονο Ημίτονο ή συνημίτονο είναι Ημίτονο ή συνημίτονο είναι Εσύ επιμένεις στο ημίτονο? Ευχαριστώ πάρα πολύ Συγγνώμη Λοιπόν Έχουμε και άλλα Τετράγωνο Λοιπόν Έχουμε και άλλα σ' αυτούς τους τύπους Έχουμε το ένα δια συνημίτονο X Αυτά όλα Είναι στους τύπους Και νομίζω ότι δεν χρειάζεται Η παράκληση δική μου είναι Και αυτά και οι συναρτήσεις που είναι Επιπλεγμέν... Συγγνώμη Και οι σύνθετες πρέπει να μπορείτε να βγάζετε Τις παραγώγους με εξαίρεση τα πρώτα Το ημίτονο και το συνημίτονο Τα υπόλοιπα είναι όλα Εύκολα να αποδειχθούν και δεν χρειάζεται να τα θυμάστε Είναι δυο λεφτά να τα κάνετε χωριστά Άρα λοιπόν πρέπει να Μπορούμε να παραγωγήσουμε και αυτό Και το ένα δια ημίτονο και το ένα δια συνημίτονο Και το ένα δια εφαπτομένη Όλες αυτές τις σχέσεις Θα πρέπει να μπορείτε σε έναν πίνακα Να τις φτιάξετε Να τις έχετε μπροστά σας Να τις επαναλάβετε, να τις κάνετε μια μικρή επανάληψη Όταν θα πάτε να δώσετε εξετάσεις Άρα αυτά είναι για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις Παράκληση λοιπόν στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τις σύνθετες ή τις απλές Να έχετε πολύ ξεκάθαρο στο μυαλό σας πως είναι οι παράγωγοι Πες Αργύρη Άστο αυτό, θα έρθουμε σε αυτό Θα είναι το θέμα Οι παράγωστοι αντιστρόφων συναρτήσεων Που το τόξο είναι αντίστροφο συναρτήσεων Θα τις συζητήσουμε την παρασκευή Λοιπόν Το άλλο Ποιες άλλες ειδικές συναρτήσεις μας ενδιαφέρουν οι παράγωγοι Αν βάλω εδώ πέρα το F του X Και εδώ την παράγωγου F τόνους του X Μπορώ να φτιάξω το A στην X Που η παράγωγος είναι γνωστή μας Έτσι είναι το A στην X πάλι Έχουμε το E στην G του X Που είναι αυτό που κάναμε προηγουμένως Η πρώτη παράγωγος λοιπόν θα είναι και εδώ E πάλι στην G του X G τόνους του X Αυτό που κάναμε Και έχουμε και το A στην X Αυτό με τι είναι ίσον η παράγωγος Βάσο Πες το δυνατά Λοιπόν, όταν κουράζεσαι θα αρχίσετε και να αποκτάτε χιούμορ Αυτά είναι για τα εκθετικά Για να πάμε να φτιάξουμε τον πίνακα και για τα λογαριθμικά Το λογαριθμό εδώ είναι η F του X όπως είπαμε Και εδώ είναι η F τόνους του X Λοιπόν έχουμε τον λογαριθμό του X Παράγωγος του Μπετή θα είναι ίσον Ένα διαχεί, πάρα πολύ ωραία Έχουμε τον λογαριθμό του G του X Αυτό Πες το με εσείς Τζέ τόνους του X προς B Τζέ τόνους του X προς X Τζέ του X Τζέ τόνους του X προς τζέ χ Και τώρα θέλω να βγάλουμε και τον λογαριθμό Την παράγωγο του λογαρίθμου του Α του Χ Λογαριθμός με βάση το Α του Χ Ποιος το θυμάται αυτό Είναι ο λογαριθμός με βάση το Α Εδώ ήταν με βάση το E Εδώ είναι με βάση το Α του Χ Με τι είναι αυτός ο λογαριθμός ίσως Πέστε μου και πες το όνομα σας Πώς? Η συνάδελφό σας λέει, δεν το γράφουμε αμέσως Πώς ένα δια Α επυχεί Πέστε μου Πέστε μου πάλι δυνατά Α προς Χ Α προς Χ Η συνάδελφό σας λέει αυτό Εσείς οι υπόλοιποι Δεν το θυμάστε Δεν χάθηκε ο κόσμος Αλλά στον πίνακα που θα σας δώσω Η απάντηση είναι 1 δια Χ λογαριθμός του Α Με βάση το λογαριθμό του Α Αυτή είναι η απάντηση Άρα τα περισσότερα τα θυμάστε Ή εδώ θα ημήτωνα και τα συγημήτωνα και τα υπόλοιπα θα τα βγάζουμε Τα εκθετικά είναι σχετικά απλά Η βάση θυμόταν και αυτό Εντάξει, ωραία ή όχι όλοι Δεν νομίζω ότι το θυμόσταν όλοι αυτό Εδώ πέρα στους λογαρίθμους μπορούμε να φτιάξουμε αυτές τις σχέσεις Αυτά θα υπάρχουν σε έναν πίνακα Τον οποίον θα σας μοιράσω θα είναι μέσα στις σημειώσεις, έτσι Στο τέλος του πίνακα έχει τις αντίστροφες Το τόξο ημιτώνου, το τόξο ημιτώνου του τζέτο χι και τα λοιπά Αυτά θα τα αφήσουμε για την Παρασκευή Άρα λοιπόν θα συνεχίσουμε να δούμε την Παρασκευή Θέλουμε να δούμε παραγωγήσεις παραμετρικών συναρτήσεων, πεπλεγμένων συναρτήσεων Και μετά να μιλήσουμε Για το πιο σημαντικό για εμένα είναι προβλήματα Εάν μπορείτε να μιλήσετε προβλήματα φυσικής Με βάση της παραγωγής και όλα αυτά που είπαμε σήμερα