Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις / Διάλεξη 15 / Ολοκλήρωση συναρτήσεων μιας μεταβλητής. Ολοκλήρωση κατά παράγοντες, ολοκλήρωση ρητών και τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Υπολογισμός γενικευμένων ολοκληρωμάτων. Εισαγωγή στην αριθμητική ολοκλήρωση. - Βλάχος Λουκάς (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Ολοκλήρωση συναρτήσεων μιας μεταβλητής. Ολοκλήρωση κατά παράγοντες, ολοκλήρωση ρητών και τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Υπολογισμός γενικευμένων ολοκληρωμάτων. Εισαγωγή στην αριθμητική ολοκλήρωση.: Μαθήματα πρέπει να συνδέονται μεταξύ τους και αυτή τη στιγμή εσείς, στο μάθημα της πληροφορικής, ξεκινήσετε να συζητάτε ένα εργαλείο. Το οποίο εργαλείο δεν βέβαια σας λέει κανένας να, από τώρα, να το μάθετε σε όλο του το βάθος, όπως είναι η μαθημάτικα, αλλά πρέπει να συζητάτε ένα εργαλείο για να μπορέσετε να συζητάτε ένα εργαλείο για να μπορέσετε να συζητάτε ένα εργαλείο για να μπορέσετε να συζητάτε ένα εργαλείο για να μπορέσετε να συζητάτε ένα εργαλείο για να μπορέσετε να συζητάτε ένα εργαλείο για να μπορέσετε να συζητάτε Μαθημάτικα δεν χρειάζεται να ξέρετε τα πάντα για τη μαθημάτικα, αλλά το να ξέρετε κάποιες λειτουργίες της μαθημάτικας και πως αυτές μπορούσαν να τις αξιοποιήσετε στο μάθημά σας είναι πάρα πολύ χρήσιμο και είναι και πάρα πολύ απλό. Φυσικά, θέλει μεγάλη προσοχή, διότι εάν εσείς αυτή τη στιγμή κάθε ολοκλήρωμα που έχετε να κάνετε, κάθε παραγώγηση, κάθε πράξη που έχετε να κάνετε, μπορεί να την κάνει η μαθημάτικα, την κάνετε μέσα από τη μαθημάτικα, αυτό θα είναι μεγάλο λάθος, διότι σίγουρα δεν θα χρησιμοποιήσουμε τη μαθημάτικα στις εξετάσεις ή οπουδήποτε αλλού και πολλά πολλές άλλες φορές θα σας είναι ανάγκη. Αλλά το να έχετε το αποτέλεσμα ώστε να ξέρετε αν κάνατε λάθος τις πράξεις και πώς μπορείτε να βελτιώσετε τις πράξεις που κάνετε, αυτό δεν είναι καθόλου κακό και η μαθημάτικα έτσι πιστεύω ότι πρέπει να χρησιμοποιηθεί. Λοιπόν, στο περασμένο μάθημα ξεκινάοντας από εκεί που είχαμε σταματήσει, είχαμε προσπαθήσει και το είχαμε ολοκληρώσει νομίζω, να έχουμε αυτήν εδώ την έκφραση, το 5x-10, το οποίο χ'-3x-4, το οποίο αυτό το αναλύσαμε, μπορούσε να αναλυθεί αυτό με το 5x-10 και να γίνει το χ-4x-1 και στη συνέχεια αυτό μπορούσαμε να το συνεχίσουμε να το αλλήσουμε με το α με χ-4x-βx-x-1. Και αν θυμάστε καλά σε αυτές τις σταθερές είχαμε βρει στο τέλος ότι το α κάνοντας τις πράξεις και συγκρίνοντας με τον αριθμητή, καταλήξαμε ότι το α θα είναι το 2 του χ-4 και το β θα είναι το 3 του χ-1. Το πώς κάναμε τις πράξεις το θυμάστε, δεν χρειάζεται να το επαναλάβουμε. Και φυσικά όταν έγιναν αυτές οι δουλειές, το πώς προχωρήσαμε να βρούμε τα α και β το είχαμε πει την περασμένη φορά δεν θα το επαναλάβουμε. Όταν θέλουμε στο τέλος να ολοκληρώσουμε αυτήν εδώ τη σχέση, θέλουμε το ολοκλήρωμα του 5x-10 του χ-3x-4 θα είναι ίσον με το ολοκλήρωμα του 2x-4dx συν το ολοκλήρωμα του 3x-1dx. Και αυτό θα μας έβγαζε στο τέλος αφού κάνουμε αυτές τις πράξεις, θα μας βγάλει για τη συγκεκριμένη σχέση το 2 νεμπέριος λογάριθμος του χ-4 συν 3 ο νεμπέριος λογάριθμος του χ συν 1 συν σε. Μέχρι εδώ καλά, θυμάστε, νομίζω οι περισσότεροι ήσασταν εδώ και το είχατε παρακολουθήσει αυτή τη δουλειά σας. Συμφωνείτε? Ωραία, αν θέλαμε λοιπόν τώρα να ελέγξουμε αυτή την πράξη θα πρέπει να πάμε εδώ στο να ζητήσουμε να μας γράψει το τύπο του ολοκληρώματος, που είναι αυτός εδώ, να γράψουμε σε αυτήν εδώ τη σχέση να γράψουμε εμείς αυτό που μας χρειάζεται, δηλαδή είχαμε ξεκινήσει με το 5 να γράψουμε τα κλάσμα κατ' αρχήν. Δυστυχώς, τα κλάσμα που είναι δεν τα βλέπω πολύ καλά, εδώ είναι, οπότε έχουμε στον αριθμητή λοιπόν 5x-10 και στον αριθμητή και στον παρονομαστή. x στο τετράγωνο, μειών 3x, μειών 4 και εδώ θα βάλουμε το 10x. Ωραία, αν δεν έχουμε κάνει κάποιο ορθογραφικό λάθος, εντάξει το 5 δεν ξέρω γιατί το έβγαλα απ' έξω, εντάξει θα μπορούσαμε να κάνουμε simplification οπότε τα πεντάρια δεν μας ενδιαφέρουν, να το το αποτελέσμα. Αυτός ο τρόπος δουλειάς, δηλαδή να ξεκινήσετε με ένα πρόβλημα, να το κάνετε αναλυτικά στο σπίτι, να το δουλέψετε, να βγάλετε αποτέλεσμα και να θέλετε να δείτε αν το αποτέλεσμα είναι σωστό, νομίζω ότι δεν υπάρχει πιο εύκολος τρόπος απ' το να χρησιμοποιήσετε τη μαθημάτικα με αυτόν τον τρόπο που μόλις είδαμε. Λοιπόν, άρα έχουμε ένα εργαλείο για να κάνουμε έλεγχο στις δικές μας πράξεις, τώρα θέλω να δούμε μερικές ακόμα προσπάθειες και να μου πείτε μόνο πως θα σπάσουμε τα αθρίσματα, δεν θα κάνουμε τις πράξεις με λεπτομέρειες αλλά θα δούμε πως ορισμένες τέτοιες διαδικασίες θα τις σπάσουμε σε αθρίσματα. Εάν μας ζητήσουν να ολοκληρώσουμε, υπάρχει κάποιος λόγος που σήμερα είστε πάρα πολύ ανήσυχοι, εάν μας ζητήσουν να ολοκληρώσουμε το ΔΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧ Αν έχουμε μια τέτοια σχέση ή μας την έχουνε δώσει κατευθείαν έτσι ή θέλουν να τη δουλέψουμε με αυτόν τον τρόπο Οπότε να σπάσουμε αυτή τη σχέση σε κλάσμα θα τη σπάσουμε σε τρία Το ένα θα είναι α2x, το άλλο θα είναι βx-1 και το άλλο θα είναι σε x1 Από εδώ και πέρα πρέπει να κάνουμε τις πράξεις Να κάνουμε τις πράξεις εδώ πέρα αναλυτικά και να υπολογίσουμε ποια είναι τα α β και σε Με αυτόν τον τρόπο όμως θα κάνουμε το σπάσιμο αυτού του κλάσματος Εντάξει, λοιπόν τα α β και σε γίνονται μετά από πράξεις Αφού κάνουμε ομογενοποιήσουμε εδώ πέρα για να θα πολλαπλασιάσουμε εδώ με το χ-1 x1 Αυτό θα το πολλαπλασιάσουμε με το χ x1 Και το τελευταίο θα το πολλαπλασιάσουμε με το χ x-1 Άρα κάνοντας τις πράξεις μέχρι τέλους καταλήγουμε ποια είναι τα α β και τα σε Στην προκειμένη περίπτωση βρίσκουμε ότι το α είναι ίσον με 1 Το β είναι ίσον με πλήν εν δεύτερο Και το σε είναι ίσον με εν δεύτερο Αυτό είναι το αποτέλεσμα και μετά η ολοκλήρωση είναι πάρα πολύ απλή Η διαδικασία πως θα βρουμε τα α β και τα σε νομίζω θα την είπε η συνάδελφό σας την περασμένη φορά Κάνοντας με αυτές τις τρεις σχέσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε ένα μικροσύστημα Το οποίο θα μας δώσει το α το β και το σε Είναι κατανοητό πως ήθελετε να κάνουμε αναλυτικά τις πράξεις πως θα γίνει αυτό Σηκώστε το χέρι ποιος θέλει να πάμε αναλυτικά να κάνουμε τις πράξεις για να βρουν τα α β και τα σε Το ξέρετε όλοι έτσι δεν είναι ok Τώρα με αυτό το στυλ θέλω να προχωρήσουμε να κοιτάξουμε κάποια άλλα κλάσματα πως θα τα αναλύσουμε σε τέτοια θρύσματα Και αν υποθέσουμε ότι έχουμε το χ τετράγωνο αν έχουμε το χ τετράγωνο και στον παρονομαστή είναι το χ τρίτης Συν τρία χ τετράγωνο, συν τρία χ, συν ένα Αυτό πως θα το χειριστούμε έχει κανένας κάποια ιδέα πως θα δουλέψουμε με το χ τετράγωνο στον αριθμητή Δια χ στην τρίτη, συν τρία χ τετράγωνο, συν τρία χ, συν ένα Αν θέλετε να το παραγωτοποιήσετε τον παρονομαστής με τι θα είναι ίσον Βλέπει κανένας ο παρονομαστής με τι είναι ίσον, με τι είσουτε, Πεθωμά πες Μπορούμε να χρειάζουμε το παραγωτοποιήσουμε πρώτο με το τελευταίο και θα δίνει διάμεση Ναι και τι θα βγάλει αυτό εδώ Το πρώτο θα βγάλει χ συν ένα, επί χ τετράγωνο, χ συν ένα Χ συν ένα λες Είναι χ τετράγωνο, είναι χ, συν ένα Ναι Και το δεύτερο θα βγάλει με κοινό παράγωτο που είναι χ, μπορούμε να κάνουμε παραγωτοποιήσει Το δεύτερο ποιο εννοείς, το χ αυτό Το δεύτερο με το τρίτο Αυτό το βγάλες με το, δεν το βλέπω εγώ, το χ συν ένα Δηλαδή θα υπάξει και δεύτερος όρος εδώ Ναι Ο οποίος θα είναι ποιος 3χ συν ένα 3χ επί χ συν ένα Ωραία και μετά θα μπορείς να προχωρήσεις ακόμα Θα προχωρήσω ακόμα Θα προχωρήσω ακόμα Ωραία Το οποίο Ωραία Καταλήξαμε λοιπόν σε αυτό Αυτό μπορεί να μας πει κάποιος ή κάποια πως θα το αναλύσουμε σε κλάσματα Ακούω πως θα αναλύσουμε αυτό σε κλάσματα Λοιπόν εάν θέλουμε να αναλύσουμε αυτό σε κλάσματα όπως το έχουμε δει τώρα θα το κάνουμε ως εξής Θα έχουμε α του χ συν ένα Συν βήτα του χ συν ένα στο δετράγωνο Συν σε του χ συν ένα στην τρίτη Αυτό βγαίνει διότι αν θέλετε θα μπορούσατε να πολλαπλασιάσετε εδώ πέρα αυτό θα μπορούσε να είναι όλα στην τρίτη Στην τρίτη αυτό θα έχει χ συν ένα στο δετράγωνο Αυτό θα έχει χ συν ένα και αυτό θα μείνει σε Αν έχουμε ένα κλάσμα το οποίο είναι όπως αυτό εδώ που είπαμε προηγουμένως Αυτής εδώ της μορφής αυτό αναλύεται σε α διαχή συν ένα β διαχή συν ένα στο δετράγωνο συν σε διαχή συν ένα στην τρίτη Με αυτό τον τρόπο αναλύουμε σχέσεις που έχουν να κάνουν αν υπήρχε και περισσότερο θα βάλαμε και άλλους όρους σε αυτήν εδώ την κατηγορία Οπότε μπορείτε να συνεχίσετε εάν θέλετε να συνεχίσετε αυτήν εδώ τη σχέση να βρούμε πραγματικά πως θα υπολογίσει κανένας το α β και το σε Αν κάνετε πάλι πλάξεις ομογενοποιήστε και εξιώσετε αυτό θα βγει ένας όρος δεύτερης τάξης τότε σε αυτήν την περίπτωση τα α κάνοντας πράξεις βγαίνει ότι το α βγαίνει να είναι ίσον με 1 Το β να είναι ίσον με μειών 2 και το σε να είναι ίσον με 1 Αυτό βγαίνει από τις πράξεις οι οποίες μπορούν να γίνουν με το να προσπαθήσουμε να βγάλουμε αυτά κοινό παρονομαστή το χ τρίτης και σε αυτό εδώ θα δώσει χ τετράγωνο συν ένα Χ συν ένα στο τετράγωνο και μετά θα κάνουμε αρκετές πράξεις ώστε να εξισώσουμε σε όλα τα άλλα θα είναι μηδέν όλοι οι άλλοι όροι που θα έχουν αριθμητή ένα θα έχει μόνο το όρος που θα έχει το χ τετράγωνο Αν θέλετε κάνετε τις πράξεις τώρα να το βγάλετε και εσείς αυτό κάνετε τις πράξεις πως θα κάνουμε και κοινό παρονομαστή το χ συν ένα στην τρίτη και να υπολογίσουμε τα α β και σε σε αυτή την περίπτωση εξισώνοντας με αυτό που υπάρχει ήδη στον παρονομαστή που είναι το χ τετράγωνο Ας τα αφήσουμε λοιπόν αυτό αν το θεωρήσατε δύσκολο παράδειγμα στο προηγούμενο μάθημα είσασταν εδώ ή δεν είσασταν στο προηγούμενο μάθημα την Παρασκευή Ωραία λοιπόν για να πάρουμε την περίπτωση που έχουμε αυτό που είπαμε προηγουμένως την περίπτωση που είναι 1 διαχή επί χ τετράγωνο συν ένα Αυτό είχαμε πει που είναι πιο απλό παράδειγμα θα σπάσει στο α διαχή συν β διαχή μειον ένα αυτό ήταν χ μειον ένα οπότε αυτό είχαμε πει ότι θα γίνει θα αναλυθεί στο ένα χ επί χ μειον ένα επί χ συν ένα Οπότε σε αυτή την περίπτωση που έχουμε όλα να είναι πρώτης τάξης θα αναλυθεί σε τρία κλάσματα στο α διαχή συν β διαχή μειον ένα συν σε διαχή συν ένα Μέχρι εδώ είμαστε εντάξει το βλέπετε ότι αν έχουμε αυτά τα τρία γινόμενα θα αναλυθώ σε αυτά τα τρία κλάσματα. Οι πράξεις από εδώ και πέρα πως θα γίνουν θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το α επί χ μειον ένα επί χ συν ένα Συν το β επί χ χ συν ένα συν σε επί χ χ μειον ένα και κοινός παρονομαστής θα είναι το αυτό που είχαμε αρχικά χ επί χ μειον ένα επί χ συν ένα Ωραία από εδώ και πέρα θα πρέπει να πολλαπλασιάσετε να κάνετε τις πράξεις αυτές εδώ και να εξισώσουμε αυτό που θα έχει αυτούς τους συντελεστές δηλαδή αν συνεχίσουμε αυτές τις πράξεις θα βγάλουμε ότι Αυτό ας το κλείσω τώρα Από εδώ και πέρα αν συνεχίσω αυτές εδώ τις πράξεις των αριθμητή δηλαδή έχω το α επί χ μειον ένα επί χ συν ένα συν το β επί χ χ συν ένα και το σε επί χ χ μειον ένα Αν κάνω τις πράξεις αυτά όλα θα βγει α χ τετράγωνο μειον α συν β χ τετράγωνο συν βχ συν σε χ τετράγωνο μειον σε χ το οποίο άμα το συγκεντρώσω θα βγάλει α συν β συν σε χ τετράγωνο συν β μειον σε χ μειον α το βλέπετε αυτό ωραία τώρα τι θα κάνω για να προχωρήσω βλέπω ότι στο χ τετράγωνο ο αριθμητής μου εδώ είναι μονάδα οπότε θα βράψω τρία κλάσματα που θα είναι το α συν β συν σε ίσον με 0 το β μειον σε ίσον με 0 και το τελευταίο το μειον α το μειον α θα το βάλω ίσον με 1 ωραία αν σας δώσω αυτό το σύστημα μπορείτε να υπολογίσετε τα α β και σε ωραία αν μπορείτε να υπολογίσετε τα α β και σε θα τα βγάλετε αφού κάνετε τις πράξεις ότι το μειον α θα είναι ίσον με 1 το β θα είναι ίσον με μειον εν δεύτερο και το σε θα είναι ίσον με εν δεύτερο αυτό θα βγει το αποτέλεσμα όταν τελειώσουμε και με αυτό λοιπόν αυτό εδώ το κλάσμα θα το γράψουμε 1 δια χ συν μειον εν δεύτερο χ μειον 1 συν εν δεύτερο χ συν 1 και παίρνουμε να ολοκληρώσουμε αυτές τις δυο σχέσεις και αυτές τις τρεις σχέσεις που βγαίνουν αμέσως Λοιπόν εντάξει συμφωνείτε όλοι υπάρχει κάποιος ή κάποια που θέλει να κάνει κάποια ερώτηση τώρα εκείνο που έχει σημασία είναι ότι πως αποφασίζουμε αφού το σπάσουμε σε μια τέτοια σχέση είδατε πως αποφάσισαμε αυτό το κομμάτι είναι ενδιαφέρον μετά πως θα κάνουμε τις πράξεις για να βούμε τα α β και σε είναι σχετικά απλό Εκείνο που θέλω εγώ να κάνουμε στις επόμενα παραδείγματα που θα σας δείξω είναι να μου πείτε πως θα σπάσω τα κλάσματα και το ερώτημα αυτό που είχα στο απλούστερο παράδειγμα που είχαμε προηγουμένως ήταν ότι είχαμε το 1 είχαμε χ τετράγωλο δια χ συν 1 εις την τρίτη αυτό πως θα το σπάσουμε σε κλάσματα αυτό μας είχε απασχολήσει και είχαμε πει ότι αυτό θα σπάσει σε τρία κλάσματα το οποίο θα είναι το α δια χ συν 1 συν β δια χ συν 1 στο τετράγωνο συν σε δια χ συν 1 εις την τρίτη εάν ήταν χ συν 1 εις την τετάρτη θα υπήρχε και ένα δ ένας τρίτος όρος ο οποίος θα ήταν χ συν 1 εις την τετάρτη έτσι άρα όρους αν αυτούς θα το σπάσουμε με αυτό τον τρόπο από εδώ και πέρα καταλαβαίνετε ότι πρέπει να κάνουμε τις πράξεις με τον ίδιο τρόπο που κάναμε προηγουμένως να μαζέψουμε αυτές τις σχέσεις να βγάλουμε το χ θα υπάρχει το χ τρίτης με κάποιους όρους μπροστά θα υπάρχει το χ τετράγωνο με κάποιους όρους μπροστά θα υπάρχει το χ τετράγωνο με κάποιους όρους μπροστά θα υπάρχει το χ κοινό παράγοντα θα υπάρχει το χ θα υπάρχει το χ κέριο σταθερός αριθμός αυτά όλα θα τα εξισώσουμε με το μηδέν εκτός από το αυτό που θα υπάρχει μπροστά στο χ τετράγωνο αυτό θα το εξισώσουμε με το 1 με το 1 γιατί εδώ έχει 1 οπότε θέλατε να κάνετε τις πράξεις εσείς μέχρι τέλους σε αυτό να βρούμε να δείτε ποια θα είναι τα α β και τα σε και τα σέβη THE ο αριθμητής εδώ δηλαδή λέει ότι έχει ένα επί χ τετράγωνο συν μηδέν επί χ συν μηδέν και αυτό θα βγάλουμε τις αντίστοιχες σχέσεις και θα φτιάξουμε την εξίσωση εδώ θα μας βγει κάτι με το χ τετράγωνο θα μας βγει κάτι με το χ και πιθανόν και ένας σταθερός όρος αυτό εδώ πέρα θα πάμε να φτιάξουμε και έτσι θα βρείτε τα α, τα β και το β και το σε πόσο είναι θέλω να κάνετε τις πράξεις για να υπολογίσετε το α το β και το σε πιθανόν και πιθανόν και το σε όποιος το έχει ολοκληρώσει θα πρέπει να σηκώσει το χέρι για να ακούσω πέστε μου εσείς το β είναι μιον 2 και το σε 1 λοιπόν αυτό είναι σωστό αυτό βρήκε ο συναδελφός σας αυτό τώρα το βάζουμε ολοκληρώνουμε κάνω τις πράξεις και ανοίγουμε και τη μαθημάτικα να κάνουμε παλήθευση ότι αυτό το αποτέλεσμα που βρήκαμε ήταν σωστό τώρα να σας δώσω ένα ακόμα παράδειγμα το οποίο δεν θα το τελειώσουμε θα το σπάσουμε απλώς σε κλάσμα κοιτάξτε έχουμε το εκδοξής κλάσμα x τετράγωνο συν x μιον 2 και στον παρονομαστή μας έχουν δώσει πάλι το 3x τρίτης μιον x τετράγωνο συν 3x μιον 1 αυτό πως θα το διαχειριστούμε πάλι θέλω να το σπάσουμε σε κλάσματα και θέλω να ακούσω καταρχήν πρέπει να κάνετε παραγοντοποίηση του παρονομαστή και μετά να δούμε από εδώ και από εκεί και πέρα που έχουμε τον παρονομαστή σε παραγοντοποίηση πως θα το χειριστούμε πέστε μου ποιος θα μου πει αυτό σηκώσετε πρώτα χέρι να μου πείτε πως θα το 3x τρίτης μιον x τετράγωνο συν 3x μιον 1 πως θα γίνει σε παράγοντες για να μην χάνουμε πολύ χρόνο πέστε μου εσείς άρα δηλαδή θα βγάλουμε κοινό παράγοντα ποιο είπες το 3x θα βγάλουμε κοινό παράγοντα ποιο θα βγάλουμε κοινό παράγοντα ποιο είπες το 3x μιον 1 πως θα γίνει σε παράγοντα ποιο είπες το 3x μιον 1 πως θα γίνει σε παράγοντα ποιο είπες το 3x μιον 1 πως θα γίνει σε παράγοντα ποιο θα βγάλουμε τέλος για να μην χάνουμε τα χρόνια τόσο είναι understanding θα σπάσουμε το μπαρονομαστή εδώ, αυτό εδώ πέρα, θα το σπάσουμε σε κλάσματα τα οποία να μου πείτε θα είναι δύο τα κλάσματα, ένα για αυτό ένα θα έχει το 3x-1 και το άλλο κλάσμα θα έχει το x τετράγωνο συν ένα τι θα βάλω όμως στους αριθμητές, θα βάλω απλώς α και β εδώ ή θα βάλω κάτι άλλο μου πείτε, δοκιμάστε ναι, εδώ είναι α τέλεια άρα δηλαδή διαλέγουμε μια τάξη, αφού το σπάσουμε αυτό σε δύο κλάσματα η τάξη που είναι ο αριθμητής είναι μια τάξη χαμηλότερα από την ο παρονομαστής άρα φτιάχνουμε αδιατρία x-1 βx συν σε x τετράγωνον συν ένα και από εδώ και πέρα αρχίζουμε την ίδια στερεότυπη δουλειά δηλαδή κάνουμε τις πράξεις να τα κάνουμε ομώνυμα και συγκρίνουμε τώρα, θα πρέπει να το κάνουμε, έχουμε ένα ο συντελεστής στο x τετράγωνον είναι 1, στο x είναι 1 και ο σταθερός όρος είναι μειον 2 θα φτιάξουμε λοιπόν, θα κάνουμε τις πράξεις θα μαζέψουμε στο x τετράγωνο το α και β που χρειάζεται και το σε και αντίστοιχα αν θέλετε κάνετε τώρα τις πράξεις, να τις τελειώσουμε σε αυτό το παράδειγμα εδώ θα προλαπλασιάσετε με το x τετράγωνο συν 1 και εδώ θα προλαπλασιάσετε όλο αυτό με το 3x-1 και θα κάνετε τις πράξεις ώστε να βγάλετε ποιος θα είναι ο συντελεστής του x τετράγωνο ποιος θα είναι ο συντελεστής του x και ποιος θα είναι ο σταθερός όρος μετά από τις πράξεις, αφού τα κάνουμε ομώνυμα, εκεί είναι το κλάσμα και πέστε μου τι βγάζετε για αυτά το α το β και το σε τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 τετράγωνο συν 1 συμφωνείτε? όταν έχουμε σχέσεις οι οποίες είναι ας πούμε χ τετράγωνον συν 1 και όλος το τετράγωνο και απάνω υπάρχει κάποιος αριθμητής αυτός πάει στα τρία α2x συν βx συν σε x τετράγωνο συν 1 και επίσης το δx συν i του x τετράγωνο συν 1 στο τετράγωνο βλέπετε γιατί αυτό θα βγάζει σίγουρα γιατί είναι δεύτερης τάξης θα πρέπει να είναι πρώτης τάξης ο αριθμητής αλλά επειδή είναι στο τετράγωνο αν δεν υπήρχε το τετράγωνο θα ήταν δύο οι όρια θα ήταν αυτή εδώ αν δεν υπήρχε το τετράγωνο τώρα που υπάρχει το τετράγωνο θα δημιουργήσουμε έναν ακόμα όρο ο οποίος θα είναι αυτός εδώ το ίδιο θα συμβεί αν είχατε το x συν 2 και όλος το τετράγωνο αυτό με κάποιον αριθμητή αυτό πάλι θα σπάσει σε x συν 1 α συν β x συν 1 και όλος το τετράγωνο καταλάβατε ποια είναι η φιλοσοφία όταν έχουμε όρους οι οποίοι είναι δεύτερης τάξης δηλαδή όπως είναι εδώ πέρα x τετράγωνον συν 3 αυτό στον αριθμητή αυτό θα δημιουργήσει σίγουρα δύο όρους ο ένας είναι αυτός που είναι μονάδα εδώ και ένας δεύτερος που θα είναι τετράγωνο θα υπήρχε και τρίτος όρος ο οποίος θα τον έχει τετράγωνον συν 3 ή στην τρίτη και θα υπήρχε εδώ πέρα άλλος ένας πρώτης τάξης όρος ακούω ερωτήσεις έχουμε λοιπόν τα απλά κλάσματα στο οποίο στον παρονομαστή μπορεί να είναι όρους που κάνουμε σε γινόμενα όρων πρώτης τάξης δηλαδή χ1 x1 x-1 αυτό είναι πλόπως θα γίνει κλάσματα θα γίνει α x1 xβ x-1 πάει αυτό τελειώσαμε αυτά όταν δηλαδή έχουμε γινόμενα από κλάσμα στον παρονομαστή έχουμε γινόμενα από όρους πρώτης τάξης δηλαδή ο παρονομαστής μας είναι χ1 x1 x-1 x3 αυτά θα δημιουργήσουν 3 κλάσματα το ένα θα έχει α x1 x-1 το α β x-1 και το άλλο σε x-3 πάει αυτά τα καταλάβαμε εάν τώρα εδώ πέρα υπάρχουν όροι αυτό εδώ πέρα είναι στην τρίτη αυτό θα δημιουργήσει έναν όρο με το χ1 με α ένα β με το χ-1 στην πρώτη έναν άλλο με το χ-1 στο τετράγωνο και ένα τρίτο τέταρτο κλάσμα με το χ-1 στην τρίτη δηλαδή αυτό θα δημιουργήσει α x1 xβ x-1 σε x-1 στο τετράγωνο σε x-1 στην τρίτη πάει και αυτή η κατηγορία τώρα έχουμε μια άλλη κατηγορία που έχουμε και πρώτης τάξης γινόμενο και πρώτης τάξης και δεύτερης τάξης και υπάρχει τετράγωνο τώρα το δεύτερης τάξης όπου και να βρεθεί δηλαδή όπου υπάρχει δεύτερης τάξης κλάσμα αν έχουμε ένα κλάσμα το οποίο έχει αριθμητή κάτι και παρονομαστεί χ τετράγωνον συν ένα αυτό πρέπει να γίνει αυτό πρέπει να δημιουργηθεί στον αριθμητή το α x συν β δια x τετράγωνο συν ένα πρέπει έτσι να δημιουργήσουμε το κλάσμα αν είχε δηλαδή κι άλλο ένα αυτό ήταν στο τετράγωνο αυτό θα ήταν το πρώτο και θα υπήρχε κι άλλο ένα το οποίο θα ήταν δ x συν ε του x τετράγωνον συν ένα και όλο στο τετράγωνο αν υπάρχει δύναμη δημιουργούμε περισσότερο από ένα κλάσματα όσα χρειάζονται για να φτάσουμε αυτή τη δύναμη αρχίζοντας από το πρώτο και το δεύτερο και το τρίτο όρο και όταν είναι δεύτερης τάξης αυτό που έχουμε από κάτω ο αριθμητής είναι μια τάξη μικρότερος λοιπόν αυτά υπάρχουν και στο διβλίο θα κάνετε και εκεί επανάληψη αυτή είναι η στρατηγική για να δουλεύουμε με κλάσματα όταν μπορέσουμε και καταφέρουμε να κάνουμε τον παρονομαστή γινόμενο πολυονίμων εντάξει κάνουμε ένα διάλειμμα και επιστρέφουμε λοιπόν αλλάζουμε θέμα και μπαίνουμε τώρα στο πως θα ολοκληρώσουμε τριγωνομετρικές συναρτήσεις εδώ είναι σίγουρο ότι είναι εύκολο ευκαιρικές μορφές τριγωνομετρικών συναρτήσεων αυτές που θα παρουσιάσω σήμερα στον πίνακα είναι εύκολο να υπολογιστούν εάν χρησιμοποιήσετε και τις ταυτότητες που ήδη ξέρετε και τις αλλαγές μεταβλητών όπως είχαμε πει στο προηγούμενο μάθημα για δοκιμάστε λοιπόν να υπολογίσετε το ημήτωνο τετάρτης χι επί το συνημήτωνο πέμπτης χι για δοκιμάστε και σκεφτείτε πως θα ολοκληρώσετε πως θα κάνετε αυτό το ολοκλήρωμα λοιπόν αυτό το ολοκλήρωμα έχουμε να κάνουμε πρέπει νομίζω ότι δεν θα σας θυμίσω εγώ τώρα αλλά αν θέλετε κάποια από τις ταυτότητες ευχαρίστως να σας την πω εγώ δεν θεωρώ ότι αλλά νομίζω ότι σε αυτές τις ασκήσεις που θα σας δώσω εγώ οι ταυτότητες είναι πάρα πολύ κλασικές που θα χρησιμοποιήσετε όπως η ταυτότητα το συνημήτωνο τετράγωνο του χι, συνημήτωνο τετράγωνο του χι σαν με τη μονάδα αυτή μόνο νομίζω χρειάζεται στα περισσότερα που θα δουλέψουμε εδώ πέρα τώρα δοκιμάστε να λύσετε αυτή την άσκηση και πέστε μου τι βγάλατε είναι αρκετά χρήσιμο χωρίς να είναι απαραίτητο σε κάποια φάση να μπείτε σε μεταλλάξτε μεταβλητές και να δουλέψετε αλλάζοντας μεταβλητές σε καινούργιες που θα είναι το U και το V όπως κάναμε σε μια αντικατάσταση δηλαδή σε καινούργιες μεταβλητές θα σας βοηθήσει πάρα πολύ αυτό ο οποίος ολοκληρώσει σηκώνει το χέρι του σηκώνει το χέρι του σηκώνει το χέρι του αυτό που προσπαθούμε να κάνουμε είναι να περάσουμε όλο αυτό είτε στα συνημήτωνα είτε στα ημήτωνα και να χρησιμοποιήσουμε ένα οπότε πως μπορεί αυτό να μετασχηματιστεί έτσι ώστε να είναι είτε το ένα είτε το άλλο διαλέξτε ποιο θέλετε να είναι όλα με το με το ημήτωνο χ το οποίο ουσιαστικά μπορείτε να το θεωρίσετε και μια καινούργια μεταβλητή αυτή είναι η διαδικασία που θα προσπαθείτε όποιος το έχει προχωρήσει ολοκληρώσει να σηκώνει το χέρι το χέρι το χέρι το χέρι το χέρι το χέρι το χέρι το χέρι το χέρι το χέρι το χέρι το χέρι το χέρι το χέρι το χέρι το χέρι το χέρι το χέρι το χέρι το χέρι το χέρι το χέρι