Υπερβολικές Συναρτήσεις, Ακολουθίες / Διάλεξη 10 / Εισαγωγή στις υπερβολικές συναρτήσεις και την παραγώγισή τους. - Βλάχος Λουκάς (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Εισαγωγή στις υπερβολικές συναρτήσεις και την παραγώγισή τους.: Λοιπόν, σας είχα ζητήσει για να κλείσουμε τις πολικές τεταγμένες εμείς, σας είχα ζητήσει να μεταφέρετε, γιατί έχει μεγάλη σημασία για ορισμένα πράγματα, ειδικά για την κίνηση των κλανητών, έχει σημασία να γράψουμε την έλλειψη σε πολικές τεταγμένες. Οπότε, η έκφραση που είχαμε, θα ξεκινήσετε από αυτόν, όποιος το έχει κάνει, αν δεν το έχετε κάνει, θα το κάνουμε εδώ τώρα. Λοιπόν, αυτή είναι η εξίσωση στις καρτεσιανές τεταγμένες της έλλειψης και θέλουμε να τη μετατρέψετε, αυτή την εξίσωση, κάνοντας μετασχηματισμό σε πολικές τεταγμένες. Λοιπόν, αν δεν το έχετε κάνει, είναι η ώρα τώρα να το κάνετε, να το τελειώσουμε αυτό, και όποιος το έχει τελειώσει, να σηκώσει το χέρι του, να σηκωθεί στον πίνακα ή να το κάνουμε στον πίνακα. Λοιπόν, θέλουμε να μεταφερθούμε από εδώ στις πολικές τεταγμένες, αλλά, δεν θέλουμε να σταματήσουμε στο πρώτο βήμα, δηλαδή να βάλουμε τα χ και τα ψ, όπως τα ξέρουμε, αν τα προχωρήσουμε να φτιάξουμε μια κομψή σχέση, η οποία θα μας δίνει το ρ, σαν συνάντηση του θ με βάση τα α και τα δ. Στο τέλος, δηλαδή, αν την προχωρήσετε αυτή αρκετά, φτιάχνει μια πολύ κομψή σχέση. Λοιπόν, προχωρήστε και όποιος το έχει τελειώσει, να σηκώσει το χέρι του. Ελάτε εσείς, ελάτε. Το μικρό σώμα πώς είναι? Δεν αλλάξανε. Λοιπόν, το πρώτο βήμα είναι φυσικά το ολοφάνερο, να κάνουμε αντικατάσταση του χ του ρ του θ, στις μήτων ο θ και το χ του ρ του θ στις μήτων ο θ και το ψ του ρ του θ στις μήτων ο θ στη σχέση αυτή. Ένα, σκέτο ένα. Άρα, λοιπόν, έκανε πράξεις στα κλάσματα και έχουμε β ρ τετράγωνο στις μήτων τετράγωνο, α ρ τετράγωνο η μήτων ο τετράγωνο, ίσον α τετράγωνο β και το επόμενο βήμα είναι να λύσουμε σπρος ρ τετράγωνο θ, οπότε θα βγει μια σχέση. Ωραία. Λύνουμε σπρος ρ τετράγωνο θ και το τελικό βγαίνει α τετράγωνο, όχι το τελικό, α τετράγωνο β τετράγωνο, δυ α β τετράγωνο, τώρα ένα βήμα μας μένει, τετράγωνο αυτά στο αριθμητή. Όχι ακόμα, προχωράω μας ακόμα, όπως θέλεις εσύ. Ας το βγάλουμε σαν ρ τετράγωνο, μην το παρουσιάσουμε σαν ρ τετράγωνο. Αυτό δηλαδή, έχεις ρ τετράγωνο, α τετράγωνο, δυ τετράγωνο και αυτό εδώ πέρα. Πάρα κάτι δεν θα κάνεις τώρα. Εγώ το πήγα μέχρι μετά το υπόριζο. Ας το το υπόριζο, δεν μας πειράζει, είτε το πάρεις, είτε το πάρεις, δεν μας πειράζει. Ποια είναι το άλλο βήμα που έκανες? Απλά έκανα μετά αυτό. Έκανα και στιγμές τη ρίζα. Ας τη τάς τη ρίζα. Άρα το ρ τετράγωνο αυτό το βγάλες δηλαδή. Υπάρχει όμως και μια συνέχεια η οποία είναι, μπορείς να αναπτύξεις αυτό, δηλαδή να το πανίσουμε είτε προς το συνημίτωνο ή προς το ημίτωνο. Να δούμε πως είναι συνηθισμένο. Κράτησε το συνημίτωνο, οπότε αυτό το ημίτωνο μπορείς να το βάλεις ένα μειον συνημίτωνο. Να το μαζεύσεις. Γιατί το βάλεις έτσι, του σύντραγωνο. Το βάλεις μέσα στην παρένθεση. Οπότε τώρα το μαζεύεις. Αυτό λοιπόν γενικότερα μπορούμε να το μαζέψουμε μέχρι εδώ που ήρθε ο συναδελφός σας, αλλά αυτό που θα το δείτε περισσότερες φορές, εντάξει, ευχαριστώ πάρα πολύ. Συνολικά μπορούμε να την γράψουμε αυτή τη σχέση και έτσι θα την βλέπετε εσείς ρο τετράγωνον ίσον. Στον αριθμητή μπορεί να είναι το β τετράγωνο και στον παρονομαστή να έχει ένα μειον ε τετράγωνο συνημίτωνο τετράγωνο θ, όπου το ε τετράγωνο θα είναι ίσον με το γ διά α στο τετράγωνο και το γ στο τετράγωνο είναι το α τετράγωνο μειον β τετράγωνο διά α τετράγωνο. Εδώ λοιπόν το ε τετράγωνο θα είναι αυτή εδώ η σχέση δηλαδή εφανίζεται να, άρα το ε αυτό λέγεται εκεντρότητα, η εκεντρότητα το ε τετράγωνο εδώ το ε που είναι το γ διά α και το γ είναι ορίζω ότι είναι το γ, το ε τετράγωνο είναι το α τετράγωνο μειον β τετράγωνο και αν ορίσεις αυτό σαν γ βγαίνει η σχέση να είναι ρ τετράγωνον ίσον β τετράγωνο στον αριθμίτη ένα μειον ε τετράγωνο συνημίτωνο τετράγωνο θ, το ε είναι το γ τετράγωνο διά α τετράγωνο και το γ τετράγωνο α τετράγωνο διά α τετράγωνο. Το θέλαμε έτσι γιατί είναι ο μεγάλος σημειάξονας και εδώ πέρα το ε λέγεται εκεντρότητα. Οπότε ο τύπος που θα θέλετε να καταλήξετε ή θα βρίσκετε εσείς, αν μιλητήσετε την κίνηση των πλανητών ή οτιδήποτε άλλες ελλειπτικές κινήσεις και κυρίως εκεί μας έχει προκύψει πολύ σημαντικά, θα είναι αυτή εδώ η σχέση ρ τετράγωνο β τετράγωνο ένα μειον ε τετράγωνο συνημίτωνο τετράγωνο θ. Αυτός είναι ο τύπος ο πιο συνηθισμένος όπως συνηθισμένος είναι και αυτός δεν τον έχουμε κάνει πράξεις και αυτό μπορεί να τον κάνω να τον μπερδέψω και να τον κάνω όπως θέλω το χ τετράγωνο διά α τετράγωνο συμ β τετράγωνο διά β τετράγωνο ισον ένα. Αλλά εσείς κυρίως τον ξέρετε έτσι αυτό το τύπο. Άρα αυτός εδώ ο τύπος είναι το χ τετράγωνο διά α τετράγωνο συμ β τετράγωνο διά β τετράγωνο ισον ένα είναι ο καρτεσιανές τεταγμένες, στις πολικές τεταγμένες η έλλειψη θα περιγράφεται με αυτόν εδώ τον τύπο που λέει ρ τετράγωνο ισον β τετράγωνο διά ένα μειον ε τετράγωνο συνημίτωνο τετράγωνο θ και το ε θα τον ονομάζουμε κεντρότητα. Λοιπόν εδώ τελειώσαμε με αυτό δεν θέλουμε να κάνουμε τίποτα άλλο και να αλλάξουμε θέμα για τις πολικές τεταγμένες εγώ σας είπα ότι δεν μας χρειάζεται τίποτα άλλο. Ένα πράγμα που έχει μεγάλη σημασία είναι ουσιαστικά όπως σας είπα να βρείτε και από το βιβλίο και να περιγράψετε ή να ξέρετε πως θα ζωγραφίσουμε κάποιες συγκεκριμένες καμπύλες. Υπάρχει κάτι άλλο. Τώρα να μπούμε σε ένα καινούργιο θέμα και να ορίσουμε μια καινούργια συνάρτηση την οποία τη συναντάμε στη φυσική αρκετά ταχτικά αλλά και όχι μόνο στη φυσική και αυτές οι καινούργιες συναρτήσεις λέγονται υπερβολικές συναρτήσεις. Όταν μας περιδώσουν μια συνάρτηση καινούργια, θα την ορίσουμε εμείς αυτή τη συνάρτηση, θα πούμε ποια είναι, τι πράγματα εσείς πρέπει για κάθε συνάρτηση να ξέρετε να κάνετε. Αυτό που έχουμε για όλες τις συναρτήσεις που έχουμε μέχρι τώρα, ήθελες να ρωτήσεις κάτι ή να πεις κάτι. Όχι. Λοιπόν, άρα λοιπόν έχουμε μια καινούργια συνάρτηση την οποία θα την ονομάσουμε υπερβολικό ημήτωνο Χ, αυτό είναι το ΖΑΙΝΑΙΤΣ Χ. Το καινούργιο στοιχείο που βένει, μπαίνει ένα H δίπλα στο ΖΑΙΝΑΙΤΣ, το ημήτωνο. Και όταν... Συγγνώμη, είναι η κυβολία. Συγγνώμη. Λοιπόν, το υπερβολικό ημήτωνο σε σχέση με το ημήτωνο είναι ότι υπάρχει αυτό το H στο τέλος του συμβολισμού. Άρα λοιπόν το ΖΑΙΝΑΙΤΣ Χ συμβολίζει το υπερβολικό ημήτωνο. Και ποιος είναι ο τύπος που το δίνει? Θα το έχουμε ορίσει σαν εχ, μιον εχ, μιον χ διά δύο. Άρα λοιπόν, να το υπερβολικό ημήτωνο. Είναι A στη Χ, μιον A στη Χ, μιον το A στη μιον Χ διά δύο. Ωραία, αφού έχουμε το υπερβολικό ημήτωνο, τι θέλουμε από αυτό? Θέλουμε να ξεκαθαρίσουμε ορισμένα πράγματα. Чτο θα είναι το υπερβολικό συμβολικό ημήτωνο? ΑΙΣΤΙΜΙΩΝΧΙΔΙΑΔΙΟ αυτό είναι το υπερβολικό συνειμήτωνο τώρα εάν ξέρουμε το υπερβολικό ημήτωνο και το υπερβολικό συνειμήτωνο αν τα διαρρέσουμε αυτά μεταξύ τους θα βγάλουμε την υπερβολική εφαπτωμένη η υπερβολική εφαπτωμένη θα είναι η διέρεση αυτών των δύο δηλαδή το υπερβολικό ημήτωνο ΧΙ δια το υπερβολικό συνειμήτωνο ΧΙ και φυσικά αν θα φύγουν τα διάρκεια στον παρονομαστή και αυτό θα μας μείνει ΑΙΣΤΙΜΙΩΝΧΙ, ΑΙΣΤΙΜΙΩΝΧΙ, ΣΙΝΑΙΣΤΙΜΙΩΝΧΙ το αντίστροφο έχουμε και την υπερβολική συνεφαπτωμένη και έχουμε την ότι να την ορίσουμε και αυτή είναι το COTH-HΙ το οποίο είναι το αντίστροφο έχει το υπερβολικό συνειμήτωνο του ΧΙ δια το υπερβολικό ημήτωνο του ΧΙ έχουμε το CHHΙ το οποίο είναι το 1 δια το υπερβολικό συνειμήτωνο ΧΙ και το 1 δια υπερβολικό ημήτωνο ΧΙ αυτά στα ελληνικά έχουν όρους, εγώ τις ξεχνάω θα σας τα πόνατε για να τα θυμηθείτε γιατί και νομίζω ότι έχετε το 1 δια ημήτωνο και το 1 δια συνειμήτωνο εγώ δεν τις θυμάμαι λέγονται τέμνουσα και συντέμνουσα το 1 δια υπερβολικό συνειμήτωνο είναι η υπερβολική τέμνουσα και το 1 δια υπερβολικό ημήτωνο είναι η συντέμνουσα και αντίστοιχα όταν είχαμε το 1 δια συνειμήτωνο αυτό θα το νομίζουμε τέμνουσα και συντέμνουσα είναι τα λέξεις που εγώ δεν τις χρησιμοποιώ πολιτακτικά και δεν τις θυμόμουν αυτές είναι οι σχέσεις, τις εορήσαμε ο ορισμός των υπερβολικών είναι το ημήτωνο το συνειμήτωνο η εφαπτωμένη είναι η συνεφαπτωμένη το υπερβολικό είναι η τέμνουσα και η συντέμνουσα αυτές είναι οι τέσεις τώρα τι άλλα θέλουμε εμείς από αυτά και τα λέω έτσι γιατί θέλω έτσι να κάνετε και το διάβασμα τι εννοώ ότι πρώτον θέλω να ορίσω, να ξέρω να ορίζω αυτές τις συνάρτησεις το δεύτερο που θα σας απασχολούσε σε μια καινούργια συνάρτηση ποιο θα ήταν αν σας δώσω εγώ μια συνάρτηση και σας πω να μια καινούργια συνάρτηση ο ορισμός της είναι το πρώτο έτσι ορίζετε, να τη τι άλλα θα σας απασχολούσαν για αυτή τη συνάρτηση να βρείτε θα σας απασχολούσε τι άλλο πες το μας ας και να γνωρίζουμε και το τύπο του Δημασίου και του καδίου ορισμού ναι σαφώς αλλά τι άλλο όμως για να έχεις μια εικόνα για τη συνάρτηση τη γραφική παράσταση άρα λοιπόν εάν εσείς τώρα να σας τη δείξω εγώ τη γραφική παράσταση είναι εδώ τη συνάρτηση είναι κάτι το οποίο μπορώ φυσικά να την ζωγραφίσουμε εκείνο όμως που έχει ενδιαφέρον είναι να μου πείτε εσείς ποια θα είναι η γραφική παράσταση μιας από αυτές τις συναντήσεις του υμιτώνου του υπερβολικού υμιτώνου ποια θα είναι η γραφική του παράσταση για πέστε μου λοιπόν ποια θα είναι η γραφική παράσταση του υπερβολικού υμιτώνου το οποίο έχει οριστεί A στην X μειον A στην μειον X δια 2 ποια είναι η γραφική του παράσταση τελικά πρέπει να μπορείτε να τη φτιάξετε χωρίς να τη θυμάστε αλλά είναι σημαντικό να την ξέρετε άρα θα μου ενδιαφέρε εμένα για να δω ένα διάβασμα που λέει να οι συναρτήσεις εντάξει ξέρω να τους ορίσω το δεύτερο που θέλω δίπλα να μπορώ να κάνω είναι για όλες αυτές να μπορώ να κάνω τη γραφική τους παράσταση το πεδίο ορισμού τους φυσικά είναι πολύ ενδιαφέρον εδώ πέρα έτσι όπως έχουν οριστεί δεν έχουν κανένα περιορισμό στο πεδίο ορισμού τουλάχιστον τα ημήτωνο και το συνημήτωνο ή τα υπόλοιπα θα έχουν σε σχέση με το παρονομαστή όταν έχουμε παρονομαστές πρέπει να προφυλάξουμε το πεδίο ορισμού να μην γίνει το παρονομαστής μηδέμ λοιπόν γραφική παράσταση ποιος θα μου σηκώσει το χέρι να μου πει ποιος είναι η γραφική παράσταση του ημητόνου Χ αυτό που θα πρέπει να κάνετε είναι να ζωγραφήσετε την κάθε μία από αυτές τις δύο έχουμε δύο συναρτήσεις που την αποτελούν ποια είναι η ύψη του εχ συγγνώμη την έκανα αυτή εδώ πέρα θα περνάει από το σημείο η συναρτήση ψ έις την χ περνάει από το σημείο εδώ το 1 στο μηδέν και η άλλη είναι αυτή εδώ η οποία έρχεται από το ψ αυτή η συναρτήση εδώ είναι ψ ίσον μειον έις την χ ή στην μειον χ άρα έχω ζωγραφήσει την ψ ίσον έις την χ να τη την κλασική αλλά έχω ζωγραφήσει από κάτω και την ψ ίσον μειον έις την μειον χ μπορείτε να μου πείτε τώρα πως θα είναι αυτή η συναρτήση που ψάχνω δηλαδή την γραφική παράσταση του υπερβολικού ημητώνου προσέξτε ποια είναι η διαφορά και γιατί ψάχνω να το κάνουμε έτσι το θουμάθημα μήπως σας δώσω ένα μήνυμα επαναλαμβάνω γιατί αυτά τα ασκήσεις διαβάζετε είτε θεωρία διαβάζετε υπάρχουν δύο τρόποι να διαβαστούν αυτά πράγματα αν δεν θέλετε να με καταλάβετε το πιο εύκολο για μένα είναι να τα γράψω όλα στον πίνακα και να τα αντιγράψετε εσείς ενώ τα έχει το βιβλίο και ενώ υπάρχουν παντού ωραία η πιο εύκολη παράδοση είναι αυτή εσείς γράφετε και εγώ γράφω στον πίνακα η πιο δύσκολη παράδοση είναι αυτή που λέει αν τελειώσει αυτό το μάθημα εγώ τι θα πάρω μαζί μου σε σχέση με αυτά τα πράγματα και ένα πράγμα που θέλετε να πάρει μαζί σας είναι το εξής εάν ανοίξετε το βιβλίο και δείτε τις γραφικές παραστάσεις θα τις κρατήσετε σαν εικόνες στο μυαλό σας και θα πείτε η γραφική παράσταση του υπερβολικού ημιτώνουχη είναι αυτή για 10 μέρες θα τη θυμάστε εάν όμως περάσετε τη 10η μέρα δεν θα ξέρετε ποια είναι η γραφική παράσταση του ημιτώνουχη εάν λοιπόν τη συναντήσετε σε οποιαδήποτε δουλειά θέλετε να κάνετε με αυτή τη γραφική παράσταση δεν μπορείτε να την κάνετε το ίδιο συμβαίνει και με τις ασκήσεις αν μια άσκηση τη διαβάσεις τη θυμάσαι και την ξέρεις γιατί τη διάβασες αν δεν την έχεις διαβάσει όμως και τότε όταν βρεθείς μπροστά σε μια άσκηση που δεν την έχεις διαβάσει τότε είναι δύσκολο να την αναπαράγεις άρα λοιπόν εγώ ήθελα να ξέρουμε πως μπορούμε να φτιάξουμε αυτές τις γραφικές παραστάσεις να οδηγηθείτε εσείς να τη φτιάξετε η γραφική παράσταση γιατί είναι απλή γραφική παράσταση η γραφική παράσταση του ημιτώνουχη θα μου πει κάποιος τώρα έστω και μαθαίσθησες αυτά που έγραψα στον πίνακα να μου πει ποια είναι πως θα είναι αυτή η γραφική παράσταση παραδείγματος χάρη στο χ ίσον με 0 αυτή η συναντήση το υπερβολικό ημίτωνο στο χ ίσον με 0 που θα βρίσκεται στο μηδέν άρα λοιπόν ένα σημείο που θα περάσει θα είναι το μηδέν όταν πάμε στο συν άπειρο αυτή η συναντήση πως πρέπει να εξελίσσεται όταν πάμε στο συν άπειρο ποια θα ακολουθεί από τις δύο έχει στον αριθμητή του A στην χ μειον A στη μειον χ δια δύο στο χ στον άπειρο ποιο από τους δύο πόλους θα ακολουθεί σε ποιον ποιον είπατε εσείς είπατε σκότσο χέρι όχι πέστε όχι κανένας κανένας δεν συγκοσίαται εσείς πέστε μου το συν άπειρο ναι αλλά στο συν άπειρο ποια θα ακολουθεί από τις δύο από αυτές τις δύο συναρτήσεις ποια θα ακολουθεί στο συν άπειρο τι είπατε δεν σας κατάλαβα μόνο την έχει στην χ άρα δηλαδή αυτή η συνάρτηση εδώ πάνω θα είναι έτσι και κάτω εδώ στην στο μειον άπειρο ποια την έχει στην χ άρα λοιπόν αυτή η συνάρτηση θα μοιάζει έτσι δεν την έχω ζωγραφίσει πολύ καλά ασυμπτωτικά δεν είναι καθόλου καλή θα την ζωγραφίσω τώρα καλύτερα έρχεται λοιπόν από εδώ έρχεται από εδώ και κάνει αυτή την δομή άρα τα σημεία τι θα έπρεπε εσείς να κοιτάξετε για να ζωγραφίσετε μια γραφική παράσταση να δείτε τι κάνει όταν πως πάει στο συν άπειρο για να μου πείτε τώρα εφόσον κάναμε αυτή την καμπύλη μαζί πέστε μου το υπερβολικό συνειμήτωνο το υπερβολικό συνειμήτωνο όχι αυτή πια είναι η καμπύλη του του υπερβολικού συνειμητών το υπερβολικό συνειμήτωνο πια θα είναι η καμπύλη του και πρέπει να προσέξετε ένας τρόπος που οργανώνουμε αυτή τη σκέψη είναι αυτή η συνάντηση, το υπερβολικό συνειμήτωνο έχει δύο συναρτήσεις, η σημεία είναι η ε του χ και δεύτερον η ε του μιον χ πρώτα αυτές πρέπει να ζωγραφίσουμε εδώ τις ζωγράφησα γιατί έχει μίον μεταξύ τους εκεί δεν έχει μίον, έχει συν μεταξύ τους άρα πρέπει να ζωγραφιστούν αυτές οι δύο το δεύτερο σημείο είναι τι κάνει η συνάντηση στο χ-0 οπότε διαλέγω σημεία, είναι η συνάντηση μου αυτή το υπερβολικό συνειμήτωνο, τι κάνει στο μι από πού περνάει στο χ-0 και τώρα άμα έχετε τα άκρα και έχετε και τη μέση και είναι μια συνεχή συνάντηση ξέρετε πως θα τη ζωγραφίσουμε στο ένα άκρο θα πηγαίνει προς τη μία στο άλλο άκρο θα πηγαίνει προς την άλλη, ασυμπτωτικά και θα περνάει από ένα σημείο στο χ-0 και πρέπει να τη ζωγραφίσουμε, ποιος θα μας τυμπεί πια είναι γιατί σας παιδεύω τώρα έτσι και δεν τη γράφω μόνος μου και να την αντιγράψετε και τα λοιπά γιατί θέλω να το θυμάστε αυτό το πράγμα να το κάνουμε έτσι που θα το κάνετε μόνοι σας και θα σας μείνει αυτό θέλω να κάνω αν το καταφέρω το κατάφερα αν δεν το καταφέρω δεν το κατάφερα, στο σπίτι αν πάτε να διαβάστε αν πείτε μόνοι σας, θα διαβάσω αυτό το κεφάλαιο με δύο τρόπους, ο ένας τρόπος θέλω να γράφω τη γραφική παράσταση βάζω εγώ ρωτήματα, τι θέλω σε αυτή τη συνάντηση θέλω να δω ποιος είναι η γραφική της παράσταση ή να τον ορισμό της, εντάξει αυτός είναι, ποια είναι η γραφική μετά θέλω να βρω αν αυτή η συνάντηση υπακούει ποια είναι η παραγωγός της, ποιο είναι το ολοκληρωμά της αν υπάρχουν ταυτότητες, αυτό τα μαζεύω σαν πληροφορία εγώ διαλέγω να μαζέψω αυτή την πληροφορία για μένα και αυτά θυμάμαι για αυτές τις συναντήσεις, τα ημήτωνα και τα συνειμήτωνα έχουν τα αυτότητες τις οποίες υποτίθεται ότι τους έχετε κοιτάξει υπάρχουν παρόμοινες ταυτότητες για τα υπερβολικά ημήτωνα και συνειμήτωνα αυτές οι πληροφορίες θέλουμε να μαζέψουμε λοιπόν, ποιος θα μου πει ποια είναι η γραφική παράσταση αυτής της συνάντησης μετά από όλα αυτά που είπαμε άμα ζωγράφεις με τη νέα ηλικία που ξεκινάει από τα αδερφικά σήκωμα ζωγράφεις λοιπόν καταρχήν τη νέη στην χ, όπως την έχουμε και τη νέη στη μειών χ αυτή είναι η μία και αυτή είναι η άλλη ωραία, πολύ ωραία και τώρα αυτή που θες να φτιάξεις πώς θα είναι στο μηδέν κάνει ένα αυτή αν βάλουμε στο μηδέν θα γίνει ένα στο άπειρο κάνει πάλι άπειρο έτσι θα είναι όπως την είπες, δεν έχεις εμπιστοσύνη θα είναι αυτή εδώ έτσι, εντάξει, αυτή θα είναι θα ξεκινάει από το μειών άπειρο, θα περνάει στον άξονα εκεί πέρα στη μονάδα και θα ανεβαίνει πάλι στο συν άπειρο έτσι, θα είναι μια τέτοια καμπύλη άρα αυτές λοιπόν είναι οι γραφικές παραστάσεις θα συνεχίσετε να κάνετε τη γραφική παράσταση της εφαπτομένης χ μην τη διαβάζετε, κάντε τη μόνη σας, πηγαίνετε στο σπίτι, φτιάξτε την εφαπτομένη χ είναι πιο δύσκολο αυτό το διάβασμα αλλά είναι πολύ ενδιαφέρον μπορούμε να φτιάξουμε ταυτότητες με αυτές τις συναρτήσεις να σας δείξω εγώ ποιες είναι ταυτότητες μία ταυτότητα είναι το υπερβολικό συνημήτωνος της χ μίον το υπερβολικό υμήτωνο το τετράγωνο του υπερβολικού συνημητώνου και το τετράγωνο του υπερβολικού υμητώνου χ είναι ίση με τη μονάδα σηκώστε το χέρι κάτι θέλετε να πείτε δεν σας άκουσε τίποτα πρέπει να περνάει εδώ πέρα αυτό λέτε να περνάει στο σημείο ένα ναι φυσικά λοιπόν προχωράμε ταυτότητες νάνια ταυτότητα και η ερώτηση είναι αν θέλετε να την αποδείξετε αυτήν την ταυτότητα να αποδείξετε τι σχέει τι θα κάνατε θα κάνατε την κατάσταση εδώ πέρα και θα κάνατε τις πράξεις οι οποίες αν θέλετε να τις επαναλάβετε μόνοι σας το υπερβολικό υμήτωνο του 2χ είναι ίσον με το 2 υπερβολικό υμήτωνο του χ με το υπερβολικό συνυμήτωνο του χ υπάρχουν και ταυτότητες εδώ είναι ταυτότητες που έχουν να κάνουν με το τετράγωνο μόνο πως είχαμε το συνυμήτωνο τετράγωνο συνυμήτωνο τετράγωνο ίσον 1 στα κλασικά στιγκαλασικές τριγυρονομετρικές συναρτήσεις εδώ έχουμε μια αντίστοιχη ταυτότητα μόνο που έχει στη μέση το μίον εδώ έχουμε επίσης ταυτότητες που έχουν να κάνουν με τα υπερβολικά υμήτωνα και συνυμήτωνα με τα διπλάσια με το υπερβολικό υμήτωνο 2χ είναι ίσον με 2 υπερβολικό υμήτωνο χ επίσης υπερβολικό συνυμήτωνο χ και αυτό θέλει η απόδειξη και υπάρχει και το υπερβολικό υμήτωνο του χ συν ψ το οποίο είναι ίσον με το υπερβολικό υμήτωνο χ υπερβολικό συνυμήτωνο ψ συν υπερβολικό υμήτωνο χ υπερβολικό υμήτωνο χ άρα λοιπόν έχουμε μια σειρά από ταυτότητες τις οποίες έχουμε ταυτότητες των τετραγώνων έχουμε ταυτότητα με το διπλάσιο γινόμενο για όλες τις συνάντησεις και έχουμε και ταυτότητες που έχουν να κάνουν με το άθροισμα του 2 υπερβολικού υμήτωνο του χ συν ψ προσέξτε αυτές τις ταυτότητες είναι δυνατόν εγώ να τις θυμάμαι όχι φυσικά δεν υπάρχει περίπτωση να θυμάστε τέτοιες ταυτότητες αυτό που θα ξέρετε όμως είναι ότι τα υπερβολικά συνυμήτωνα και ημήτωνα οι υπερβολικές τριγωνομετρικές συνυαρδείς ακολουθούν ταυτότητες ανάλογες με τις τριγωνομετρικές χωρίς να τις θυμάστε αν θα δείτε στο τυπολόγιο που θα σώσουμε στις εξετάσεις αυτές θα υπάρχουν το πως αποδεικνύονται ή αν χρειάζεται να αποδείξουμε μια ταυτότητα θα σας το ζητήσει κανένας να την αποδείξετε πραγματικά όλες αυτές αποδεικνύονται με αντικατάσταση και πρέπει να κάνουν αντικατάσταση για να τις αποδείξουν άρα δεν χρειάζεται να θυμάστε εσείς ταυτότητες σε υπερβολικά ημήτωνα και συνυμήτωνα απλώς πρέπει να ξέρετε ότι υπάρχουν έχει υπερβολικό ημήτωνο, υπερβολικό συνυμήτωνο, υπερβολικό συν, υπερβολικό συνυμήτωνο, υπερβολικό ημήτωνο ψ σωστό σωστό, ευχαριστώ λοιπόν, τώρα το επόμενο που θέλω να ανακαλύψετε μόνοι σας είναι πως θα είναι για παραγωγήστε και βρέστε μου την παραγωγή άρα λοιπόν υπάρχουν ταυτότητες στα υπερβολικά ημήτωνα και συνυμήτωνα θα πρέπει να τις πάρετε από τυπολόγια και όχι να τις θυμάστε απλώς θα τα εσείς αν χρειαστεί να αποδείξετε μία από αυτές θα πρέπει να μπορείτε να την αποδείξετε σαν ταυτότητα τώρα, το υπαράγωγος ως προς χί του υπερβολικού ημητώνου χί με τι είναι ίσον δεν χρειάζεται αυτό να το θυμάστε πρέπει να το βγάλετε μόνοι σας παραγωγήστε να μου πείτε με τι είναι ίση η παράγωγος του υπερβολικού ημητώνου και έχουμε και την παράγωγο ως προς χί του υπερβολικού συνυμητώνου άρα λοιπόν οι παράγωγοι πρέπει να βγαίνουν από τις σχέσεις που ορίζουν αυτές τις συναρτήσεις οπότε ποιες είναι μπορείτε να μου πείτε η παράγωγος του υπερβολικού ημητώνου ποια είναι πέστε μας εσείς είναι το υπερβολικό συνυμητώνο και η παράγωγος του υπερβολικού συνυμητώνου είναι το υπερβολικό ημήτωνο άρα λοιπόν και αυτές μπορούν να βγουν εύκολα κάνοντας τις πράξεις τώρα όταν θα έχουμε το υπερβολικό αν σας ζητήσω εγώ να μου παραγωγήσετε μία συνάντηση να μου δώσετε την παράγωγο ως προσχή του υπερβολικού συνυμητώνου χ3Δχ να παραγωγήσετε το υπερβολικό συνυμητώνο χ3Δχ ποια θα είναι η απάντησή σας υπερβολικό ναι ναι θέλουμε να παραγωγήσουμε το υπερβολικό συνυμητώνο χ3Δχ τι θα βγάλουμε σαν αποτέλεσμα Αργύρι πες μας το υπερβολικό συνυμητώνο είναι παραγωγήση ως προσχή του υπερβολικού συνυμητώνου χ3Δχ υπερβολικό συνυμητώνο χ3Δχ υπερβολικό συνυμητώνο χ3Δχ και απ' έξω 3 χ τετράγων σωστό αυτό λοιπόν τώρα για να δούμε για τα ολοκληρώματα τι θα γίνει αν θέλω να ολοκληρώσω εγώ το υπερβολικό συνυμητώνο τι θα βγει σαν αποτέλεσμα αν ολοκληρώσω το υπερβολικό συνυμητώνο χ3Δχ ποιο θα είναι το αποτέλεσμα το υπερβολικό συνυμητώνο θέλω να πάρω το ολοκλήρωμά του δεν το έχω βάλει το H θέλω το αόριστο ολοκλήρωμα του υπερβολικού συνυμητώνου είναι το υπερβολικό συνυμητώνο χ και αντίστοιχα θα βρούμε τα υπόλοιπα αλλά εγώ θέλω εδώ να παρακαλέσω πράγματι τις παραγώγους των υπερβολικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων και τα ολοκληρώματα των βασικών συναρτήσεων πρέπει να μπορείτε να τα κάνετε τώρα έχουμε για να κλείσουμε αυτό το κεφάλαιο χρειαζόμαστε δυο τρία πραγματάκια ακόμα άρα είπαμε λοιπόν ποιες είναι είπαμε τις γραφικές τις παραστάσεις είπαμε τις παραγώγους τους και είπαμε και τα ολοκληρώματα των βασικών με τι ισούνται άρα αυτά είναι όλα τα έχουμε και στις σημειώσεις τις έχω γράψει αλλά και στο βιβλίο υπάρχουν φυσικά δεν χρειάζεται, στο βιβλίο κυρίως υπάρχουν όλα αυτά εκείνο που θα μη ήθελα να μάθουμε και να θυμόμαστε γιατί θα το ξεχάσουμε άμα το απομνημονεύσουμε είναι να μου πείτε πώς θα κινηθούμε στην περίπτωση που χρειαζόμαστε να βρούμε την αντίστροφη συναρτήση γιατί αυτά όπως είναι ορισμένα έχουμε και την αντίστροφη συναρτήση δηλαδή το υπερβολικό ημήτωνο μειον ένα χ που είναι η αντίστροφη συναρτήση του υπερβολικού ημητώνου αυτή λοιπόν είναι η αντίστροφη συναρτήση του προυπερβολικού ημητώνου πώς θα υπολογίσουμε με τι είναι ίση η αντίστροφη συναρτήση η συναρτήση της κανονικά είναι Ψ η υπερβολικό ημήτωνο του χ αυτή είναι η συναρτήση που έχουμε γινόντας από αυτή μπορείτε να μου πείτε πώς μπορούμε να υπολογίσουμε αυτό έχει αρκετού τσική δουλειά το κάνατε ήδη ναι δεν ξέρω ποια είναι την ξέρεις απέξω δεν την ξέρω απέξω τι εντάξει την ξέρουμε λοιπόν θέλεις να σηκωθείς να το κάνεις αλλά να αφήσουμε και τους άλλους να το κοιτάξουν κανονικά αυτή εδώ η συναρτήση όπως ξέρετε η δουλειά που έχουμε να κάνουμε να σας δείξω τα βήματα ξεκινάμε με το υπερβολικό Ψ ίσον υπερβολικό ημήτωνο Χ εντάξει ξεκινάμε με αυτό με τι είναι ίσον αυτό με το εν δεύτερον A στην Χ μίον A στην μίον Χ ωραία έτσι έχει οριστεί το υπερβολικό ημήτωνο οπότε από εδώ θα προσπαθήσουμε τι προσπαθούμε να κάνουμε για να πέστε μου την μεθοδολογία που θα ακολουθήσετε γενικότερα και για αυτή τη συναρτήση για να βρούμε την αντίστροφη συναρτήση τι θα κάνετε εδώ πέρα πως θα δουλέψετε σαν εργασία θέλω να μου πείτε τι θα κάνουμε πέστε μου τι θα κάνουμε θα προσπαθήσουμε να λύσουμε ως προς Χ άρα ο συνάδελφός σας ξέρει πως να το κάνει για ελάτε να το κάνετε εσείς ή ποιος άλλος θέλει υπάρχει και κάποιος άλλος που θέλει να το κάνει ελάτε εσείς πάνω ναι πάνω λοιπόν οπότε αυτό που κάνει είναι κάνει τις πράξεις και καταλήγει σε μια σχέση που έχει 2ΗΚΠΗ ίσον ίΣΤΗν 2ΗΚΜΑΙΝΑ παρακάτω το μαζέβεις όλα από το ίδιο μέλος Αυτό μάλλον, αν το θυμάσαι, εδώ πέρα θα πας με μειών εδώ, με μειών A στην Χ και όλος στο τετράγωνο, συν ένα ίσο με το μηδέν. Έτσι δεν μαζεύεται. Έχουμε λοιπόν, αυτό δηλαδή μπορεί να γίνει A στην Χ και όλος το τετράγωνο, μπορεί να γίνει μειών 2ψi A στην Χ, πλειών ένα ίσο με το μηδέν. Λοιπόν, έφτιαξες στο τέλος μία σχέση που λέει A στην Χ και όλος το τετράγωνο, μειών 2ψi A στην Χ, μειών ένα ίσο με το μηδέν. Έφτιαξε μια τέτοια σχέση και τι θα την κάνεις τώρα. Ωραία, για σβήσε τα από κάτω που δεν τα χρειαζόμαστε και τι θα κάνεις τώρα. Αυτό είναι θετικό. Αυτό είναι θετικό, αλλά πρέπει να βάζεις περιπτώσεις. Ναι, αλλά αυτό πρέπει να είναι θετικό, γιατί πρέπει να πάρουμε το θετικό, γιατί πρέπει, αυτό είναι θετικό, πρέπει να είναι το έψι, να είναι στη γέννηση. Ναι, πρέπει να βάλουμε περιπτώσεις γι' αυτό. Ναι, ναι. Όχι περιπτώσεις, γιατί δεν μπορεί να πάρουμε το αρνηγητικό. Αρνηγητικό δεν μπορεί να γίνει αυτό ποτέ. Ναι, από μικρή. Ωραία, και τώρα αλλάζουμε, αλλάζουμε τη σχέση και βάλτε μέσα την παρασκευή. Λοιπόν, η διαδικασία, να παραλάβουμε τη διαδικασία, πώς την προχώρησε. Ξεκίνησε, λοιπόν, από τη σχέση που είχαμε στην αρχή, από αυτήν εδώ, από τη σχέση που έχουμε για το ημύτωνο. Αφού είχαμε γράψει αυτήν εδώ τη σχέση, έγραψε ψ, ί, υ, υχ. Στη θέση του ί έβαλε τις δύο σχέσεις, όπως το χουμωρίστο υχ. Μέχρι εδώ έφτασε. Τώρα τι κάνουμε από εδώ και πέρα, για να προχωρήσουμε από εδώ, μιον χ, εδώ. Αυτό που μας ενδιαφέρει είναι να λύσουμε αυτή τη σχέση ως προς το χ. Τη βλέπετε, τη σχέση που λέει ψ ί, 1 δεύτερον, A στιν χ, μιον A στιν μιον χ, θέλουμε να τη λύσουμε ως προς το χ. Οπότε ένας τρόπος να το κάνουμε αυτό είναι να κατεβάσουμε το A, αυτό εδώ πέρα το A, αυτήν εδώ τη σχέση. Τη βλέπετε αυτή τη σχέση εδώ πέρα, μιον, αυτήν εδώ. Αυτή λοιπόν τη γράφουμε ψ ί, 1 δεύτερον ή αν θέλετε δύο ψ εδώ, ί, A στιν χ, τετράγωνο, μιον, 1. Όχι, δύο ψ A στιν χ είναι. Λοιπόν αυτή είναι η βασική μας σχέση. Η βασική σχέση λέει δύο ψ A στιν χ, ίσον A στιν χ στο τετράγωνο, μιον, 1. Έχουμε φτάσει σε αυτήν εδώ τη σχέση. Αυτή εδώ τη σχέση μπορούμε με πολλούς τρόπους να τη δουλέψουμε. Ένας είναι να θεωρήσουμε ότι το A στιν χ που ψάχνουμε, το A στιν χ ψάχνουμε. Είναι μια δευτεροβάθμια εξίσωση. Το A στιν χ να το πούμε Ζ, οπότε θα έχουμε δύο ψ Ζ, ίσον Ζ τετράγωνο, μιον, 1. Οπότε φτιάξαμε μια δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς το Ζ, που το Ζ είναι το A στιν χ. Και να λύσουμε αυτή τη δευτεροβάθμια εξίσωση. Εάν τη λύσουμε αυτή τη δευτεροβάθμια εξίσωση, πραγματικά ο συνάδελφός σας είχε προσπαθήσει να κάνει ξεκίνηση από κίνη, την έγραψε έτσι, μετά λέει ότι έχουμε φτιάξει μια εξίσωση αργή, μέχρι εδώ που λέγαμε ότι το 2 ψ A στιν χ ίσον A στιν 2χ τετράγωνο, μιον, 1. Μα έχεις παρακολουθήσει ή όχι? Ναι. Ok. Αν θέσετε το διάλειμμα θα συζητάμε πάλι επαραία μπάλι. Λοιπόν, οπότε έχουμε να λύσουμε όλο, μόνο νομίζω φτάνει αυτό, έχουμε να λύσουμε 2 ψ επί Ζ ίσον Ζ τετράγωνο, μιον, 1. Έχουμε μια δευτεροβάθμια εξίσωση. Αυτή τη δευτεροβάθμια εξίσωση ο Σνανάλφος σας την προχώρησε εδώ και έγραψε A στιν χ τετράγωνο, μιον, 2 ψ A στιν χ μιον, 1 ίσον με το μηδέν και προσπάθησε να τη φτιάξει με αυτήν εδώ τη μορφή. Δηλαδή έγραψε ίχ τετράγωνο ίσον 2 ψ A στιν χ ίσον ψ τετράγωνο ίσον ψ τετράγωνο στιν ένα, έτσι έγραψε αυτό. Και εγώ νομίζω ότι αυτός είναι ένας δικός του τρόπος, αρκετά ενδιαφέρον, άλλος ένας θα ήταν ένα λύση τη δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς το Ζ που το Ζ είναι το ίχ. Αν τη λύση θα βγάλει μία τέτοια σχέση που λέει ότι το Ζ το ίχ ίσον με ψ στιν πλήν, το πλήν δεν το χρησιμοποιούμε γιατί μεντιάστη να τελειώσω και μετά. Και τετραγωνική ρίζα το ψ τετράγωνο στιν ένα, πέστε μου, αυτό, αυτό, από κάτω εδώ. Εκεί για το A στιν χ ίσον ψ τετράγωνο ίσον ψ τετράγωνο ίσον ψ τετράγωνο ίσον ψ τετράγωνο ίσον ψ τετράγωνο. Όχι, σε ποιον σημείο να χρησιμοποιήσουμε περιπτώσεις. Αυτό εδώ πέρα να γράφεται έτσι κατευθείαν, χωρίς περιπτώσεις, σε αυτό το σημείο. Όταν έβγαλτε τετραγωνική ρίζα χρειάζεται να βγάλει περιπτώσεις. Εδώ, εδώ. Εδώ χρειάζεται να βγάλει περιπτώσεις. Αλλά επειδή αν το πάει από εκεί θα έχει εδώ πέρα σιν πλήν, κανονικά δηλαδή θα έχει ένα σιν πλήν εδώ. Συμφωνείς? Εδώ θα έχει ψ σιν πλήν τετραγωνική ρίζα, το ψ τετράγωνο σιν ένα. Το πλήν δεν μπορεί να είναι διότι πρέπει να είναι πάντα θετικό και θα διαλέξουμε το θετικό πρόσημο. Συμφωνείτε? Ωραία. Άρα στο τέλος με οποιοδήποτε τρόπο το κάνετε ή τελείσετε αυτό το σύστημα το οποίο είναι δύο ψ ίσον ψ τετράγωνο μίον... Συγγνώμη. Δύο ψ ίσον ψ μίον ίσον ψ τετράγωνο σιν ένα ίσο με το μηδέν. Αυτή την εξίσωση αν θέλετε να λύσετε ως προ ίσον ψ. Μια δευτεροβάθμια εξίσωση. Αυτή. Εάν τη λύσετε αυτή ως προ ίσον ψ θα φτάσετε εδώ. Σε αυτή τη σχέση θα φτάσετε. Το βλέπετε? Ναι ή όχι. Ωραία. Εάν φτάσετε εδώ λοιπόν παίρνετε το λογάριθμο και από τα δύο μέλη. Το χ λοιπόν θα βγει εδώ πέρα λογάριθμος του ψ μέσα στην παρένθεση ψ ΣΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤ Τετραγωνική ρίζα του χΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤ Τετραγωνική ρίζα του χΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤ Τετραγωνική ρίζα του χΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤ Τετραγωνική ρίζα του χΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤ Τετραγωνική ρίζα του χΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤ Τετραγωνική ρίζα του χΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤ Τετραγωνική ρίζα του χΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤ Τετραγωνική ρίζα του χΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤ Τετραγωνική ρίζα του χΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤ Τετραγωνική ρίζα του χΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤ Τετραγωνική ρίζα του χΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤ Τετραγωνική ρίζα του χΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤ Τετραγωνική ρίζα του χΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤ Τετραγωνική ρίζα του χΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤ Τετραγωνική ρίζα του χΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤ Τι άλλες σχέσεις να σας πω και τα υπόλοιπα Το αντίστροφο υπερβολικό συνειμήτωνο του χει είναι ίσον με το 1 διάμα κάνετε πάλι τις πράξεις χ τετράγωνο-1 Το αντίστροφο υπερβολικό συνειμήτωνο του χει είναι ίσον με το 1 διάμα κάνετε πάλι τις πράξεις χ τετράγωνο-1 Το αντίστροφο υπερβολικό συνειμήτωνο του χει είναι ίσον με το 1 διάμα κάνετε πάλι τις πράξεις χ τετράγωνο-1 Το αντίστροφο υπερβολικό συνειμήτωνο του χει είναι ίσον με το 1 διάμα κάνετε πάλι τις πράξεις χ τετράγωνο-1 Το αντίστροφο υπερβολικό συνειμήτωνο του χει είναι ίσον με το 1 διάμα κάνετε πάλι τις πράξεις χ τετράγωνο-1 Κρατήστε βέβαια τις σχέσεις που σας έχω δώσει. Εδώ σας έχω δώσει τρεις σχέσεις. Το υπερβολικό ημήτωνο-1 χ, η παράγωγός του, είναι 1 διά τετραγωνική ρίζα του χ τετράγωνο συν 1 Το αντίστροφο υπερβολικό συνειμήτωνο του χει είναι 1 διά τετραγωνική ρίζα του χ τετράγωνο-1 και η παράγωγός της αντιστρόφου υπερβολικής ευαπτωμένης του χει είναι 1 διά 1-χ τετράγωνο Αυτά είναι πάρα πολύ χρήσιμα για ολοκληρώματα σαν αυτό εδώ το οποίο πραγματικά κοιτάζοντας αυτά που σας έχω δώσει πέστε μου πόσο είναι το αποτέλεσμα Δεν το έχει δει κανένας πως θα το προσαρμόσουμε έτσι ώστε να ταιριάζει με ένα από αυτά που έχουμε γράψει εκεί πέρα Το βλέπει Θα πάρετε σαν δεδομένα αυτά εδώ πέρα το αντίστροφο υπερβολικό ιμίτωνο του χει παράγωγος είπα με και εσύ αυτές οι 3 παράγωγοι για τις θεωρώθει δεδομένες Μπορείτε να προσαρμόσετε αυτό το ολοκλήρωμα με εκείνα και να βγάλτε το αποτέλεσμα Ακούω τι θα κάνετε, ποιο είναι το κόλπο. Δεν είναι τίποτα σπουδαίο. Για να προσαρμόσετε αυτό το ολοκλήρωμα σε κάτι από εκείνο που έχετε εκεί πέρα. Μπορείτε και πώς. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Είχαμε ακούσει μέχρι στο Λύκαιο ό,τι είχαμε κάνει για τη Γεωμετρική Πρόοδο και την Αθλητική Πρόοδο. Είχαμε ακούσει την Αθλητική Πρόοδο και την Αθλητική Πρόοδο και την Αθλητική Πρόοδο και την Αθλητική Πρόοδο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο. Ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο, ποιο είναι το κόλπο.