Μαθηματικά - Τέλεια & ατελής διαίρεση - Δ' Δημοτικού Επ. 45 (Υπουργείο Παιδείας και Θρησκευμάτων, 2020)
: [♪ Μουσική Γεια σας, παιδιά! Ονομάζομαι Σοφία Παναγιωτοπούλου και είμαι δασκάλα της 4ης Δημοτικού. Σήμερα θα δούμε τη διαίρεση συγκεκριμένα το μάθημα Τέλεια και Τελείς Διέρεση. Πάμε να δούμε τι είναι η διέρεση. Η διέρεση είναι πράξη της αριθμητικής που κάνει κάποιος όταν χωρίζει ένα ποσό σε ορισμένο αριθμό από ίσα μέρη. Δηλαδή έχουμε το 54, το 54 είναι το ποσό μας. Έστω ότι είναι λουλούδια και θέλουμε να το χωρίσουμε σε 6 ανθοδέσμες. Θα κάνουμε λοιπόν 54 δια 6. Θα χωρίσουμε το 54 σε ίσα μέρη. Σε ένα πρόβλημα, όταν βλέπουμε χωρίζω σε ίσα μέρη, ή τη λέξη μοιράζω, ή πόσο ο καθένας, μας παραπέμπει στο ότι πρέπει να κάνουμε τη διέρεση. Πάμε να δούμε πώς θα την κάνουμε τη διέρεση. Η διέρεση 54 δια 6 μας κάνει 9. Αυτό το βρίσκουμε πολύ εύκολα από την προπαίδειά μας, διότι 6 φορές το 9 μας κάνει 54. Και γι' αυτό πρέπει να ξέρουμε πολύ καλά την προπαίδεια. Η διέρεση και ο πολλαπλασιασμός είναι αντίστροφες πράξεις. Εδώ το 6 διαιρεί ακριβώς το 54. Όταν ένας αριθμός χωράει ακριβώς στον διαιρέτη μας, δηλαδή στο ποσό μας το 54, τότε είναι πολλαπλάσιο του. Ένας αριθμός διαιρεί ακριβώς μόνο τα πολλαπλάσιά του. Γι' αυτό και θα πρέπει να πάμε να θυμηθούμε τι είναι τα πολλαπλάσια. Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού λέγονται όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν ως γινόμενο από αυτόν. Δηλαδή είναι τα αποτελέσματα της προπαίδειας το αριθμό αυτού. Δηλαδή τα πολλαπλάσια του 2 είναι το 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20. Αυτά προκύπτουν από την προπαίδειά μας. Δηλαδή μία φορά το 2, 2, δύο φορές το 2, 4, και πάει και συνεχίζουμε. Θέλω να παρατηρήσετε κάτι. Παρατηρείτε κάτι? Πολύ σωστά. Βλέπουμε ότι το 2 τελειώνει και το 12 σε 2. Έχουμε το 4, το 14 τελειώνει πάλι σε 4. Έχουμε το 6, το 16 τελειώνει επίσης σε 4. Το 18 πάλι τελειώνει σε 8 και το 0. Τα πολλαπλάσια λοιπόν του 2 τελειώνουν σε 2, 4, 6, 8 ή 0. Άρα ένας αριθμός όσο μεγάλος κι αν είναι, που δεν βρίσκεται μέσα στην προπαίδειά μας, εάν τελειώνει σε 2, 4, 6, 8 ή 0 είναι πολλαπλάσιο του 2. Τώρα πάμε να δούμε τα πολλαπλάσια του 3. Πάλι πρέπει να θυμηθούμε την προπαίδειά μας. Τα πολλαπλάσια του 3 είναι το 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30. Παρατηρούμε ότι αυτό που είπαμε στο πολλαπλάσιο του 2, δεν ισχύει στο 3, διότι όλα τελειώνουν σε διαφορετικά. Δεν βλέπουμε κάτι τέτοιο να ισχύει. Θα πάμε δίπλα γιατί δεν μας χωράει, άλλο να μην συνεχίσουμε πολύ χαμηλά. Πάμε να δούμε λίγο τα πολλαπλάσια του 4. Πάλι πρέπει να θυμηθούμε την προπαίδειά μας. Είναι 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40. Βλέπουμε ότι εδώ υπάρχει κάτι για αυτό που είπαμε για τα πολλαπλάσια του 2. Και θα συνεχίσουμε με τα πολλαπλάσια του 5. Θυμόμαστε την προπαίδειά, είπαμε ότι είναι το γινόμενο. Άρα μία φορά το 5, 5, το 5 είναι το γινόμενό μας. 5, 10, 15, 20, 25, η προπαίδειά του 5 είναι και η πιο εύκολη, 30, 35, 40, 45, 50. Εδώ μήπως παρατηρείτε κάτι? Πολύ σωστά, τελειώνουν σε 5 και 0. Άρα τα πολλαπλάσια του 5 τελειώνουν σε 0 και 5. Για τα πολλαπλάσια του 2 είναι οι αριθμοί που τελειώνουν σε 2, 4, 6, 8, 10. Ενώ στο 3 και στο 4 δεν ισχύει κάτι τέτοιο, θα θυμόμαστε την προπαίδειά. Στα πολλαπλάσια του 5 είναι οι αριθμοί που τελειώνουν σε 0 ή 5. Τώρα θα πάμε να δούμε μία σκησούλα. Θα γράψουμε κάποιους αριθμούς και θα δούμε ποια είναι πολλαπλάσια του 2. Και μετά ποια είναι πολλαπλάσια του 5. Θα σβήσουμε λίγο τον πίνακά μας για να μπορέσουμε να γράψουμε. 567, 8.900, 455, 454, 3.008, 1250, 236, μπορούμε να βάλουμε ποιους αριθμούς θέλουμε, 143, 1515 και 10.000. Αυτό μπορεί να βάζετε και αριθμούς μεταξύ σας και να παίζετε. Πάμε να δούμε λοιπόν ποια είναι τα πολλαπλάσια του 2. Θυμόμαστε τι είπαμε για τα πολλαπλάσια του 2. Πολύ σωστά, τα πολλαπλάσια του 2 τελειώνουν σε 2, 4, 6, 8 ή 0. Πάμε στον πρώτο μας αριθμό. Ο πρώτος αριθμός είναι το 567. Πολύ σωστά δεν τελειώνει, άρα δεν είναι. 8.900, τελειώνει σε 0, άρα είναι και το κυκλώνουμε. 455, τελειώνει σε 5, άρα δεν είναι πολλαπλάσια του 2. 454, τελειώνει σε 4, άρα είναι και το κυκλώνουμε. 3008, τελειώνει σε 8, άρα είναι. 1250, τελειώνει σε 0, άρα είναι. 236, τελειώνει σε 6, άρα είναι. 143, τελειώνει σε 3, άρα δεν είναι. 1015, τελειώνει σε 5, άρα δεν είναι. Και 10.000, τελειώνει σε 0, και είναι. Τώρα πάμε να δούμε ποια από αυτούς τους αριθμούς είναι πολλαπλάσια του 5. Θα σβήσουμε αυτά που κυκλώσαμε. Για να δούμε ποια από αυτούς τους αριθμούς είναι πολλαπλάσια του 5. Κάποιοι που ήταν πολλαπλάσια του 2, μπορεί να είναι και πολλαπλάσια του 5. Θα πάρουμε το κόκκινο μας στυλό, θα γράψουμε πολλαπλάσια του 5 και πάμε να κάνουμε ακριβώς το ίδιο πράγμα. Καταρχήν πρέπει να θυμηθούμε ποια είναι πολλαπλάσια του 5. Όπως το έχουμε κρατήσει και δίπλα, πολλαπλάσια του 5 είναι αριθμού που τελειώνει σε 0 ή 5. Το 567, πολύ σωστά, δεν τελειώνει σε 5, δεν το κυκλώνουμε. Ενώ το 8900 που τελειώνει σε 0, το κυκλώνουμε. Το 455, τελειώνει σε 5, άρα το κυκλώνουμε. Το 454, όχι. Το 3000, σβήστηκε και λίγο δεν πειράζει. Δεν τελειώνει σε 5, άρα δεν το κυκλώνουμε. Το 1250 που τελειώνει σε 0, το κυκλώνουμε. Το 236, δεν το κυκλώνουμε. Το 143 τελειώνει σε 3, άρα δεν είναι πολλαπλάσια του 5. Το 1015 τελειώνει σε 5, άρα το κυκλώνουμε. Και οι 10000 τελειώνουν σε 0, άρα το κυκλώνουμε κι αυτό. Ελπίζω αυτό να μας βοήθησε να θυμηθούμε και να καταλάβουμε λίγο καλύτερα τα πολλαπλάσια. Πάμε όμως στη διέρηση από την οποία ξεκινήσαμε. Αυτό που είπαμε ισχύει αν το ποσό μας που θέλουμε να χωρίσουμε σε εισαμέρι είναι πολλαπλάσιο. Αν δεν είναι πολλαπλάσιο, πρέπει να δούμε τι συμβαίνει. Αν για παράδειγμα δηλαδή είχαμε 22 λουλούδια και θέλαμε να τα χωρίσουμε σε 5 ανθοδέσμες. Το 22 τελειώνει σε 2, άρα δεν είναι πολλαπλάσιο του 5. Πάμε να δούμε τι συμβαίνει εκεί πέρα. Θέλουμε να δούμε λοιπόν πόσες φορές χωράει το 5 στο 20. Θα θυμηθούμε την προπαίδεια του 5 και θα πούμε ότι 4-5 μας κάνει 20. Άρα σίγουρα χωράει 4 φορές και μας περισσεύουν όμως και 2 λουλουδάκια που δεν θα μπορούν σε κάποια ανθοδέσμη. Άρα, χωράει 4 φορές και έχουμε και 2 λουλούδια που περισσεύουν. Το 4 χωράει 4 φορές, αυτό το 4 στα μαθηματικά το λέμε, θυμόμαστε πώς. Πολύ σωστά, αυτό δεν είναι το πηλίκο μας. Ενώ αυτά που περισσεύουν, τα λέμε οι υπόλοιποι. Πάμε να δούμε μερικά παραδείγματα, όπως για παράδειγμα στη διέρεση 35-5. Θα σβήσουμε, για να μπορέσουμε να γράψουμε τις διαιρέσεις μας. Έχουμε λοιπόν τη διέρεση 35-5. Το 35 τελειώνει σε 5, αν το θυμόμαστε που το είπαμε πριν. Πολύ ωραία, άρα χωράει ακριβώς και δεν έχουμε υπόλοιπο. Το πηλίκο λοιπόν είναι το 7, γιατί 5X7 είναι 35. Και το υπόλοιπο μας είναι 0. Πάμε να κάνουμε ένα άλλο παράδειγμα. Για παράδειγμα, να πούμε το 72-9. Το 72-9 χωράει 8 φορές. Και αυτό 8 είπαμε είναι το πηλίκο μας. Και χωράει ακριβώς γιατί είναι από την προπαίδεια μας και πάλι έχουμε 0 υπόλοιπο. Πάμε να δούμε το 46-8. Τη διέρεση 46-8. Το 46-8 χωράει, θα θυμηθούμε την προπαίδεια, 5840. Άρα το 5 είναι το πηλίκο μας. Και από το 40 μας μένουν 6. Αυτά τα 6 είναι υπόλοιπο. Αυτή εδώ που κάνουμε και είδαμε και πριν, ό,τι έχουμε δει μέχρι στιγμής, είναι οριζόντιες διερέσεις. Οι διερέσεις όμως όταν είναι με διψήφιους αριθμούς, που είναι πιο απλές, μπορούμε και την κάνουμε οριζόντια, γιατί στηριζόμαστε στην προπαίδεια και το βρίσκουμε εύκολα. Αν η διερέσεις μας όμως είναι με τριψήφιο, ή τριψήφιο αριθμό να τον διερέσουμε με διψήφιο, κάνουμε κάθετη διέρεση που έχουμε μάθει. Η κάθετη διέρεση λέγεται και ευκλήδια διέρεση. Έχει πάρει το όνομά της από τον Ευκλήδη. Ο Ευκλήδης ήταν ένας αρχαίος Έλληνας μαθηματικός, ο οποίος ήταν και δημιουργός της ευκλήδιας διωμετρίας, την οποία κάνουν σε όλο τον κόσμο. Πάμε λοιπόν να δούμε την κάθετη διέρεση. Ποιος είπαμε από ποιον έχει πάρει το όνομά της? Από τον Ευκλήδη και τη λέμε και ευκλήδια διέρεση. Τραβάμε μία κάθετη γραμμούλα και πάμε να δούμε. Θυμόμαστε πώς λέγεται το αριθμό που γράφουμε εδώ? Πολύ ωραία! Λέγεται διαιρετέως. Προσέξτε, το έχουμε γράψει με κεφαλαίο. Θυμάστε γιατί το γράφουμε με κεφαλαίο. Πολύ ωραία! Δεν καθόμαστε κάθε φορά να γράφουμε το διαιρετέως. Γράφουμε ένα Δ κεφαλαίο. Τραβάμε μία γραμμούλα από εδώ. Και εδώ βάζουμε τον αριθμό που λέγεται... Πολύ ωραία! Αυτός εδώ είναι ο διαιρέτης. Πολύ ωραία! Αυτός εδώ είναι ο διαιρέτης μας. Και τον γράφουμε με μικρό για να τον ξεχωρίζουμε από τον διαιρετέο μας. Και από κάτω εδώ πέρα γράφουμε τι? Πολύ ωραία! Γράφουμε το πηλίκο. Είναι το πόσες φορές χωράει ο διαιρέτης μας το διαιρετέο. Πολύ ωραία! Το πηλίκο συμβολίζεται με ένα π μικρό. Και στο τέλος εδώ κάτω έχουμε το υπόλοιπο. Το οποίο συμβολίζεται με ένα υ μικρό. Και αυτή εδώ είναι η όρη της διαιρέσης που έχουμε. Πάμε να δούμε πώς κάνουμε την επαληθευσή μας. Για να την επαληθεύσουμε θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε... το διαιρέτη με το πηλίκο και να προσθέσουμε το υπόλοιπο μας. Άρα όταν θέλουμε να δούμε αν αυτό που βρήκαμε είναι σωστό... θα πρέπει να κάνουμε διαιρέτης επί πηλίκο... και να προσθέσουμε το υπόλοιπο. Και αυτό εδώ είναι ίσο με το διαιρετέο μας. Θα πάμε να δούμε και μία μικρή ασκησούλα... για να δούμε ότι το έχουμε καταλάβει και το θυμόμαστε καλά. Δεν ξέρουμε ποιος είναι ο διαιρετέος μας. Όταν δεν ξέρουμε κάτι βάζουμε το ρυθματικό, γιατί δεν το ξέρουμε. Ξέρουμε όμως ότι ο διαιρέτης είναι 5. Το πηλίκο μας είναι 4. Και το υπόλοιπο είναι 3. Για να βρούμε λοιπόν το διαιρετέο... θα κάνουμε αυτό που είπαμε εδώ πέρα. Δηλαδή θα πούμε πέντε επί τέσσερα... συν τρία. Τέσσερις φορές το πέντε ή πέντε φορές το τέσσερα... γιατί δεν έχει σημασία, μας κάνει 20. Και τρία, 23. Άρα μπορούμε να απαντήσουμε ότι ο διαιρετέος μας είναι 23. Πάμε να δούμε ένα λίγο πιο δύσκολο παράδειγμα. Πάλι δεν ξέρουμε πόσο είναι ο διαιρετέος μας. Ο διαιρέτης μας είναι 7. Το πηλίκο μας είναι 16. Πάμε σε έναν διψήφιο αριθμό, για αυτό θα προσέξουμε λίγο περισσότερο. Και το υπόλοιπο μας είναι 5. Πάμε να κάνουμε πάλι... Δεν το ξεχνάμε αυτό. Πάμε να το δούμε λοιπόν. Λέμε διαιρετέος. Ο διαιρετέος μας είναι ίσως με το διαιρέτη επί το πηλίκο. Δηλαδή 7 επί 6. Συν το υπόλοιπο μας, 5. Τώρα, εδώ έχουμε μια μεγαλύτερη πράξη... που δεν είναι στην προπαίδειά μας που το λέμε εύκολα. Οπότε θα πάμε στην άκρη του 4-2 μας, εμείς εδώ στην άκρη του πίνακα. Και θα γράψουμε 16 x 7. Μπορούμε να την κάνουμε κάθετα, γιατί είπαμε ότι όσο δυσκολεύουν οι αριθμοί, πάμε κάθετα. Λοιπόν, και λέμε... 6 x 7 πόσο μας κάνει? Πολύ ωραία! 42. Γράφουμε το 2, κρατάμε το 4. 1 x 7 είναι εύκολο. 7 και 4 που έχουμε, μας κάνει 11. Άρα, 7 x 16, μας κάνει 112. Και 5 που είναι το υπόλοιπο μας, 117. Το καταλάβαμε? Ωραία! Θα μπορούσαμε να δυσκολεύει κι άλλο, όσο μεγαλώνουν οι αριθμοί μας. Αν θυμόμαστε ότι ο διαιρετέος, είναι ίσο με το διαιρέτη από το πηλίκο και το υπόλοιπο, ό,τι αριθμούς και αν μας δώσουν, ή όποιος από αυτούς και να λείπει, μπορούμε να βρούμε τους υπόλοιπους. Τώρα, θα προχωρήσουμε. Και θα γράψουμε κάποιες διαιρέσεις. Και θα πάμε να τις κάνουμε, για να θυμηθούμε, κάποια πραγματάκια σε σχέση με τις διαιρέσεις μας. Θα ξεκινήσουμε με τη διαίρεση. 3.018. Δια δύο. Ξεκινάμε. Ο διαιρέτης μας έχει ένα ψηφίο. Άρα πάμε στον διαιρετέο αριστερά, και στο πρώτο ψηφίο βάζουμε μία γραμμούλα. Και σκεφτόμαστε και λέμε, η διαδικασία είναι ως εξής. Το 2 πόσες φορές χωράει στο 3. Πολύ σωστά. Το 2 στο 3 χωράει μία φορά, είναι εύκολο. Μία φορά το 2 λέμε 2, και το γράφουμε κάτω από το 3, και κάνουμε την αφαίρεση. 3 βγάζω 2, μου κάνει 1. Στη συνέχεια πάμε στο δεύτερο ψηφίο μας, βάζουμε μία γραμμούλα και το κατεβάζουμε από κάτω. Και λέμε τώρα το 2 στο 10 πόσες φορές χωράει. Πολύ σωστά. Είναι ακόμα εύκολο, οπότε χωράει 5 φορές. 2 φορές το 5 μας κάνει 10. Και κάνει 0. Κατεβάζουμε το 1, που είναι το επόμενο μας ψηφίο. Και πάμε και λέμε το 2 πόσες φορές χωράει στο 1. Πόσες φορές χωράει το 2 στο 1. Καμία. Πολύ σωστά. Δεν χωράει καμία. Αφού δεν χωράει καμία, πώς θα το γράψουμε το καμία στα μαθηματικά. Βάζοντας 0 στο πηλίκο μας. Πολύ ωραία. Συνεχίζουμε με το επόμενο ψηφίο, το οποίο κατεβάζουμε. Θα προσέχουμε στις διαιρέσεις μας, όπως έχουμε πει πάντα, να τα κατεβάζουμε όσο πιο μπορούμε στην ευθεία, για να μην μπλέκονται οι αριθμοί μας. Και να γράφουμε και καθαρά. Το 2 τώρα, θέλουμε να δούμε πόσες φορές χωράει στο 18. Το 2 στο 18 χωράει 9 φορές. 9 φορές το 2 μας κάνει 18. 18 βγάζω 18. Μας κάνει 0. Το υπόλοιπο είναι 0. Και σκέφτομαι, είναι λογικό αυτό να είναι 0? Ναι, είναι λογικό. Γιατί τελειώνει σε 8 και είπαμε ότι το 2 είναι πολλαπλάσιο στους αριθμούς που τελειώνουν σε 8. Άρα είναι λογικό αυτό που βρήκα. Θα πρέπει να προσέξουμε ότι όταν κατεβάζουμε και δεν χωράει, ότι πρέπει να βάλουμε το 0. Εάν τυχόν κάποιος το έχει ξεχάσει και είχε γράψει 159, έπρεπε να καταλάβει ότι είναι λάθος, διότι 2 φορές το 159 δεν μπορεί να κάνει 3.018. Και κάπως έτσι κάνουμε και την επαλήθευσή μας. Είπαμε λοιπόν, θυμόμαστε ποια είναι η αντίστροφη πράξη της διαίρεσης. Πολύ σωστά, είναι ο πολλοπλασιασμός. Άρα θα πρέπει να κάνουμε 1.509 επί 2. Και θυμόμαστε και τον πολλοπλασιασμό έτσι. 2 φορές το 9 μας κάνει 18. Γράφουμε το 8, κρατάμε το 1. 2 φορές το 0, 0. Και 1 το κρατούμε ενώ μας, 1. 2 φορές το 5 μας κάνει 10. Πολύ σωστά, γράφουμε το 0, κρατάμε το 1. Δεν ξεχνάμε να σβήσουμε το προηγούμενο, να μην πλεκόμαστε. Και λέμε, 2 φορές το 1 μας κάνει 2. Και 1 το κρατούμε ενώ μας, 3. 3.018. Άρα είμαι σωστή. Πάμε να κάνουμε μια άλλη διαίρεσούλα. Θα κάνουμε το 5.607 και θα το διαίρεσουμε με το 7. Θυμόμαστε τι είπαμε. Ξεκινάμε. Ο διαιρέτης μας έχει ένα ψηφίο. Άρα πάμε και στον διαιρετέο αριστερά. Και στο πρώτο ψηφίο βάζουμε μια γραμμούλα. Και λέμε το 7 στο 5 πόσες φορές χωράει. Το 7 στο 5 δεν χωράει. Άρα χρησιμοποιούμε το δεύτερο ψηφίο, το 6, δίπλα. Εδώ δεν υπάρχει λόγος να βάλουμε 0. Διότι και να βάλουμε 0, το 0 μπροστά δεν έχει αξία. Οπότε δεν βάζουμε τίποτα. Και λέμε το 7 πόσες φορές χωράει στο 56. Πόσες φορές χωράει? 8. Πολύ ωραία. 7, 8, 56. Και κάναμε την αφαιρεσούλα μας. Τώρα, το επόμενο μας ψηφίο βάζουμε γραμμούλα και το κατεβάζουμε κάτω. Μόνο που το επόμενο μας ψηφίο είναι 0. Αυτό σημαίνει ότι και στο πηλίκο θα πρέπει να βάλουμε 0. Διότι πάλι το 7 στο 0 δεν χωράει καμία φορά. Και συνεχίζουμε. Κατεβάζουμε και το τελευταίο μας ψηφίο που είναι το 7. Το 7 στο 7 χωράει μία φορά. Και κάνουμε την αφαιρεσούλα μας. Πάλι παρατηρούμε ότι το υπόλοιπο μας είναι 0. Προσέχουμε πάλι γιατί μπορεί να είχαμε μπερδευτεί εδώ με το 0 μας κάποιος να έχει μπερδευτεί. Και τι κάνουμε έχουμε πει? Επαλήθευση. Πολύ ωραία. Πάμε να κάνουμε και την επαλήθευσή μας. 801 x 7. Μία φορά το 7, 7. Μία φορά το 0, 0. 7 x 0, δηλαδή 0. 7 x 8, 56. Άρα 5.607. Αυτές οι ιδιαιρέσεις και οι δύο μας έχουν υπόλοιπο 0. Και ακριβώς επειδή έχουν υπόλοιπο 0, είναι τέλειες διαιρέσεις. Πάμε να δούμε άλλη μία διαιρέση που έχουμε. Πάμε να δούμε. Το 3.852. Και θα το διαιρέσουμε με το 8. Όπως πολύ καλά θυμάστε και είπαμε. Ξεκινάμε. Ο διαιρέτης μας έχει ένα ψηφίο. Δεν βάζουμε γραμμούλα εκεί, δεν πειράζει. Η γραμμούλα πάει. Πολύ ωραία. Στον διαιρετέω στο πρώτο ψηφίο. Το 8 στο 3. Πολύ ωραία. Δεν χωράει. Οπότε λέμε... βάζουμε και το επόμενο μας ψηφίο, το 8. Και τι λέμε? Το 8 πόσες φορές χωράει? Στο 38. Το 8 στο 38 χωράει... πρέπει να σκεφτώ. Δεν χωράει ακριβώς. Άρα θα σκεφτώ την προπαίδεια του 8. Ο πιο κοντινός αριθμός ποιος είναι. Πολύ ωραία. Τέσσερις φορές το 8... μας κάνει 32. Προσέχουμε να μην συνεχίσουμε... στο 58 που κάνει 40... και είναι παραπάνω από το 38. Και κάνουμε την αφαίρεσή μας. Στη συνέχεια... κατεβάζουμε το επόμενό μας ψηφίο... που είναι το 5. Και λέμε τώρα... το 8 πόσες φορές χωράει στο 65. Πόσες φορές χωράει το 8 στο 65. Πολύ ωραία. Χωράει 8 φορές. Βγάζω 64. Και κάνουμε την αφαίρεσή μας. 65 βγάζω 64, μας κάνει 1. Πάμε στο επόμενο ψηφίο. Βάζουμε γραμμούλα, το κατεβάζουμε... και λέμε το 8 πόσες φορές χωράει στο 12. Το 8 στο 12 χωράει μία φορά. Μία φορά το 8, 8. 12 βγάζω 8, μας κάνει 4. Εδώ παρατηρούμε ότι έχουμε υπόλοιπο. Πολύ ωραία. Η διαίρεση που έχει υπόλοιπο... λέγεται ατελής. Και η επαλήθευσή της είναι αυτό που είπαμε πριν. Ότι η διαιρετέωση είναι ίσως... με το διαιρέτη επί το πηλίκο... σύν το υπόλοιπο μας. Δεν ξεχνάμε να το προσθέσουμε. Άρα έχουμε δύο ειδών διαίρεσης. Έτσι είναι και το μάθημά μας. Τέλεια και ατελής. Η διαίρεση η τέλεια είναι αυτή που δεν έχει υπόλοιπο. Το υπόλοιπο της είναι 0. Ενώ η ατελής είναι αυτή που έχει υπόλοιπο... και πρέπει να προσέξουμε ότι... το υπόλοιπο δεν μπορεί να είναι 0, γιατί αν είναι 0 είναι στην τέλεια. Άρα είναι μεγαλύτερο από το 0. Και πρέπει να είναι και μικρότερο από το διαιρέτη μας. Διότι το υπόλοιπο μας είναι μεγαλύτερο από το διαιρέτη... αυτό σημαίνει ότι χωρούσε κι άλλες φορές... τις οποίες εμείς δεν γράψαμε. Αν πάτε να κάνετε παλήθευση, θα σας βγει σωστή. Αλλά δεν είναι σωστό το πηλίκο σας, γιατί χωρούσε κι άλλη φορά. Οπότε αυτό είναι κάτι που πρέπει να προσέξουμε. Έτσι ολοκληρώσαμε και είδαμε τις διαίρεσεις μας. Θυμόμαστε ότι η τέλεια διαίρεση είναι η διαίρεση... στην οποία το υπόλοιπο της είναι 0, ενώ η ατελής είναι αυτή που έχει υπόλοιπο. Σας ευχαριστούμε που μας παρακολουθήσατε και καλή συνέχεια!