e-lessons Mathimatikon Eishghths ( Dr. Tsiantos) - Idiothtes Pollaplasiasmou 2 Pinakwn (Eastern Macedonia and Thrace Institute of Technology, 2011)
: Συνεχίζουμε με τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού δύο πινάκων. Στον πολλαπλασιασμό δύο πινάκων θα πρέπει να τρομνήσουμε ότι δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα. Για το λόγο αυτό έχουμε πάρει έναν τυχαίο παράδειγμα δύο πινάκων α και β. Ο πρώτος είναι ο πίνακας α, ο δεύτερος είναι ο πίνακας β. Εάν πραγματοποιήσουμε τον πολλαπλασιασμό αυτών των δύο πινάκων οι οποίοι έχουν μέγεθος 2x2, έχουν δύο γραμμές και δύο στείλες, τότε θα δούμε ότι το αποτέλεσμα είναι αυτό το γινόμενο των δύο πινάκων, δηλαδή πρώτη γραμμή αναταστικαία 7 και 25, η δεύτερη 5 και μιον 10. Τώρα πάρουμε αντίστροφα το γινόμενο των πινάκων σαν β επί α, ο πίνακας β και ο πίνακας α, τότε το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού αυτών των δύο πινάκων β με τον α έχει σαν γινόμενο τον πίνακα με στοιχεία της πρώτης γραμμής το μιον 15 και το 1 και σαν δεύτερη γραμμή 15 και 12. Άρα πολύ εύκολα βλέπουμε ότι αυτοί οι δύο πίνακες δεν είναι ίση μεταξύ τους διότι είχαν πει ότι δύο πίνακες είναι ίση εάν έχουν την ίδια διάσταση, εδώ και οι δύο πίνακες είναι δύο επιθύων, δύο γραμμές και δύο στείλες, αλλά εν τότε τα αντίστοιχα στιγεία δεν είναι ίσα. Το 7 δηλαδή δεν είναι ίσο με το μιον 15, το 5 δεν είναι ίσο με το 15, το 25 δεν είναι ίσο με το 1 και το μιον 10 δεν είναι ίσο με το 12. Βλέπουμε δηλαδή ότι παίρνοντας τυχαίως πίνακες α και β το γινόμενο τους σαν α υπ β δεν ισούνται με το γινόμενο β επί α, άρα δεν ισχύει η εργαίνη η αντιμεταθετική ιδιότητα. Αυτό βέβαια δεν σημαίνει ότι σαν εξέρευση δεν θα υπάρχουν κάποιοι τυχαίοι πίνακες α και β για τους οποίους μπορεί το αποτέλεσμα του γινόμενου α υπ β να ισούνται με το β υπ α, αλλά σαν ιδιότητα η αντιμεταθετική δεν ισχύει. Συνεχίζουμε με την προοξεπτεριστική ιδιότητα στον πολλαπλασιασμό πίνακων. Εάν έχουμε δύο πίνακες α και β οι οποίοι θα πρέπει να πολλαπλασιαστούν με ένα πίνακα γ αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους. Ή να πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα α με τον πίνακα β και τον γινόμενό τους με τον πίνακα γ ή να πολλαπλασιάσουμε πρώτα τον πίνακα β με τον πίνακα γ και στη συνέχεια τον γινόμενό τους με τον πίνακα α. Θα πρέπει να είμαστε πάρα πολύ προσεκτικοί διότι μιλάμε για πολλαπλασιασμό πίνακων και θα πρέπει οι στήλες του πίνακα α να είναι όσες είναι οι γραμμές του πίνακα β. Με λίγα λόγια θα πρέπει αυτός ο κανόνας να ισχύει σε κάθε πολλαπλασιασμό που θα κάνουμε άρα θα πρέπει να είναι το πρώτο το οποίο θα εξετάσουμε. Ή αν γίνεται ο πολλαπλασιασμός των δύο συγκεκριμένων πίνακων που έχουμε και στη συνέχεια θα κάνουμε το πολλαπλασιασμό των πίνακων. Ακολούθως έχουμε την επιμερικστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού πίνακων ως προς την πρόσθεση και την αφέρεξη. Η επιμερικστική ιδιότητα ισχύει κατά δύο τρόπους ή από αριστερά δηλαδή εάν έχουμε δύο πίνακες β και γ τους οποίους θέλουμε είτε να τους προσθέσουμε είτε να τους αφέρεξουμε και στη συνέχεια το άθλησμα τους ή τη διαφορά τους να το πολλαπλασιάσουμε με το πίνακα α από αριστερά αυτό μπορεί να γίνει και με τον εξής τρόπο να πολλαπλασιάσουμε πρώτο το πίνακα α με το πίνακα β, το πίνακα α με τον πίνακα γ, πάντα με την προϋπόθεση ότι αυτοί οι πολλαπλασιασμοί γίνονται είναι εφικτοί και στη συνέχεια να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε τα γινόμενα αυτό των δύο πολλαπλασιασμών. Επίσης εδώ θα πρέπει να είμαστε προσεκτικοί και με την πρόσθεση και την αφαίρευση διότι οι δύο αυτές πράξεις γίνονται εάν οι δύο πίνακες είναι του ίδιου μεγέθος αν έχουν την ίδια διάσταση τον ίδιο δηλαδή αριθμό γραμμών και τον ίδιο αριθμό στιγών. Στη συνέχεια έχουμε την επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού από δεξιά. Μπορεί δηλαδή ο πίνακας α να πολλαπλασιαστεί από τη δεξιά πλευρά του αθρίσματος ή της διαφοράς των δύο πινάκων β και γ. Στην περίπτωση αυτή πολλαπλασιάζουμε τον πίνακα β με τον πίνακα α, τον πίνακα γ με τον πίνακα α και ακολούθως προσθέτουμε ή αφαιρούμε ανάλογα αντίστοιχα τα γινόμενα των δύο πινάκων. Αυτή είναι η επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού πινάκων ως προς την πρόσθεση και την αφαίρευση. Εάν θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε έναν πραγματικό αριθμό λ με το γινόμενο δύο πινάκων α και β αυτό μπορεί να γίνει και με την εξής σειρά. Μπορούμε εάν θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό με τον πίνακα α και στη συνέχεια το γινόμενό τους με τον πίνακα β ή εάν αυτό μας διευκολύνει τον αριθμό λ με τον πίνακα β και το γινόμενο που θα έχουμε σαν εξαγόμενο από αυτή την πράξη με τον πίνακα α. Αρκεί βέβαια όπως είπαμε και προηγουμένως όλοι οι πολλαπλασιασμοί των πινάκων να μπορούν να πραγματοποιηθούν. Τέλος οι πίνακες είναι σημαντικοί διότι μπορούν να μας δώσουν έναν περιεκτικό τρόπο αναπαράστασης γραμμικών συστημάτων. Εάν για παράδειγμα έχουμε το γραμμικό σύστημα με δύο εξισώσεις και δύο αγνώστους χ1 και χ2 την εξίσωση 2χ1 και 3χ2 ίσον με 6 και την εξίσωση 3χ1 και 4χ2 ίσον με 12. Στην περίπτωση αυτή οι συντελεστές 2,3,3 και 4 οι συντελεστές δηλαδή των αγνώστων χ1 και χ2 μας δίνουν έστω το πίνακα α ο οποίος ονομάζεται πίνακας των συντελεστών των δύο αγνώστων. Στη συνέχεια έχουμε το πίνακα στήλι με τους δύο αγνώστους χ1 και χ2 και σε ένα άλλο πίνακα έστω β τους δύο σταθερούς όρους 6 και 12. Έχοντας ορίξει τους τρεις πίνακες α,χ και μ μπορούμε το σύστημα αυτό να το γράψουμε σαν αευγή ίσον με μ μια πολύ περιεκτική μοθή όπου γνωρίζουμε ότι ο πίνακας α είναι ο πίνακας των συντελεστών, ο πίνακας χ είναι οι δύο άγνωστοι και μετά το ίσον υπάρχουν οι σταθεροί όροι του συστήματος. Άρα μπορούμε φανταστείτε πολύ μεγαλέτερα συστήματα να χρησιμοποιήσουμε για παράδειγμα μόνο τον πίνακα των συντελεστών γνωρίζοντας ότι οι άγνωστοι μας θα είναι χ1,χ2,χ3,χ10,χ15,χν και δίνοντας επίσης τους σταθερούς όρους το πίνακα στήλι δηλαδή μ. Καλημέρα.