Διάλεξη 5 / Διάλεξη 5 / Διάλεξη 5 - Γεώργιος Ζιούτας (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2013)
Διάλεξη 5: Σήμερα είναι το πρώτο και τελευταίο μάθημα, θα μιλήσουμε για χρήσιμες κατανομές για τη διακριτή τυχαία μεταβλητή. Και στο τελευταίο μάθημα, που είναι το επόμενο, θα μιλήσουμε για χρήσιμες κατανομές για συνεχή τυχαία μεταβλητή. Αν έχουμε μια τυχαία μεταβλητή χ, η οποία μπορεί να παριστάνει αριθμό ελαττωματικών πολυκατοικιών ή αριθμό ατυχημάτων σε ένα αυτοκινητόδρομο ή αριθμό ελαττωματικών πλακηδίων σε ένα δάπεδο κτλ. Αν έχουμε αυτή τη τυχαία μεταβλητή ή και άλλες τυχές συνεχής, όπως θα δούμε στο επόμενο μάθημα, θα πρέπει να ξέρουμε ποια είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Αν δεν ξέρουμε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, αυτό βέβαια είναι για τη συνεχή περίπτωση, τότε δεν μπορούμε να υπολογίσουμε πιθανότητες. Έτσι ο μηχανικός σε κάθε πρόβλημα που έχει μια τυχαία μεταβλητή διακριτή ή συνεχή, που θα δούμε στο επόμενο μάθημα, θα πρέπει να επιλέξει κάποια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Θα πρέπει να προφασίσει ποιας μορφής είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Είναι, για παράδειγμα, ομοιόμορφη όπως είδαμε σε κάποια παραδείγματα, είναι ασύμετρη προς τα δεξιά, αριστερά, είναι τριγωνική όπως έχουμε δει. Θα πρέπει λοιπόν να πάρει την απόφαση να επιλέξει η τυχαία μεταβλητή χ, που παριστάνει κάποιος το χαστικό μέγεθος το οποίο θα μελετήσει στη συνέχεια, θα πρέπει να επιλέξει ποια είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Σήμερα θα μιλήσουμε για τις διακριτές τυχαίες μεταβλητές και θα πούμε μία ομάδα από χρήσιμες κατανομές όπως είναι Μπερνούλη δυναιμική, Πουάσον, αρνητική δυναιμική, γεωμετρική κτλ. Για να επιλέξει όμως μία από αυτές πρέπει να ισχύουν κάποιες προϋποθέσεις. Δεν μπορεί για οποιαδήποτε τυχαία μεταβλητή να επιλέξει μία από τις πέντε και θα μπορέσει να υπολογίσει πιθανότητα, θα πρέπει για να επιλέξει μία από τις πέντε να πληρούν κάποιες προϋποθέσεις. Και επειδή αυτές οι προϋποθέσεις δεν πληρούνται εξ ολοκλήρου, γι' αυτό ονομάζονται και θεωρητικές κατανομές. Δηλαδή, θεωρητικά ταιριάζουν με την τυχαία μεταβλητή, στην πράξη όμως καθαπροσέγγιση βρίσκουμε την πιθανότητα. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν με την Μπερνούλη. Είναι μία από αυτές. Για να επιλέξουμε την Μπερνούλη πρέπει να υπάρχουν κάποιες προϋποθέσεις, όπως είπαμε. Καταρχήν τι παρουσιάζει η τυχαία μεταβλητή. Η τυχαία μεταβλητή, για να εξηγήσω τι παρουσιάζει στην Μπερνούλη κατανομή, έστω ότι έχουμε ένα πείραμα όπου ελέγχουμε για παράδειγμα ένα ανταλλακτικό. Αν είναι ελαττωματικό ή όχι. Αν είναι ελαττωματικό σημειώνουμε με Ά. Εάν δεν είναι ελαττωματικό σημειώνουμε το συμπληρωματικό. Δηλαδή σε ένα πείραμα τύχης το οποίο έχει δύο εντεχόμενα. Να συμβαίνει το γεγονός Ά ή να μην συμβαίνει. Και Ά είναι το γεγονός ότι το ανταλλακτικό είναι ελαττωματικό. Το συμπληρώμα είναι ότι δεν είναι ελαττωματικό. Άλλων εντεχόμενων δεν υπάρχει. Η τυχαία μεταβλητή Χ παριστάνει τον αριθμό εμφάνισης του Ά. Εδώ πέρα παίρνει την τιμή 1, εδώ παίρνει την τιμή 0. Επαναλαμβάνω, η τυχαία μεταβλητή παριστάνει τον αριθμό εμφάνισης του Ά σε μία εκτέλεση αυτού του πειράματος. Όπου ο δηματικός χώρος έχει δύο εντεχόμενα. Να συμβεί το Ά ή να μην συμβεί. Η τυχαία μεταβλητή αντίστοιχα παίρνει την τιμή 1 όταν συνεκτέληση συμβαίνει το Ά και 0 όταν δεν συμβαίνει το άλλο. Άρα λοιπόν μία τυχαία μεταβλητή μπορεί να επιλέξει την περνούλη κατανομία που θα δούμε σε λίγο. Αν υπάρχουν αυτές οι προϋποθέσεις, όπως και η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να πάρει την τιμή 1, η συνάρτηση μάδα δηλαδή, είναι η πιθανότητα να συμβεί το γεγονός Ά, το οποίο συνήθως το συμβολίζουμε με πι μικρό. Και η άλλη πιθανότητα τυχαία μεταβλητή να πάρει την τιμή 0 είναι η πιθανότητα να μην συμβεί το Ά, το οποίο είναι 1μπ. Άρα λοιπόν σε αυτήν την περίπτωση η τυχαία μεταβλητή, όπως συνέχω ορίσει, παίρνει δύο τιμές 1 και 0 και τις παίρνει με την πιθανότητα να συμβεί το Ά ή να συμβεί το συμπληρωματικό. Παίρνει δηλαδή πιπέχει ίσου με 1, ίσου με την πιθανότητα να συμβεί το Ά είναι το π. Η πιθανότητα να πάρει την τιμή 0 είναι η πιθανότητα του συμπληρωματικού που είναι 1μπ. Αυτό πέρα είναι η συνάρτηση μάδας πιθανότητας. Γιατί το άθλισμα αυτό, το άθλισμα ίσουτε με τη μονάδα. Άρα λοιπόν, εγώ μπορώ να επιλέξω αυτή τη συνάρτηση μάδας πιθανότητας για μια τυχαία μεταβλητή, η οποία παίρνει δύο τιμές, σε αυτές τις περιπτώσεις που ανέπτυξα προηγουμένως. Και τώρα μπορώ εδώ να ορίσω μετά από αυτά, τη μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητησίας χ. Τη μέση τιμή ποια είναι, σύμφωνα με τον ορισμό, είναι άθλισμα των τιμών χαίρ που παίρνει, αφού πρόκειται για διακριτή, επί την πιθανότητα χ ίσον με χΑ. Και αυτό εδώ πέρα ίσουτε, για όλα τα χΑ βέβαια, τα χΑ είναι δύο τιμές. Είναι η τιμή 1 επί την πιθανότητα να πάρει την τιμή 1 που είναι το π, συν η τιμή 0 επί 1-π που είναι η πιθανότητα να πάρει την τιμή 0. Αυτό βέβαια κάνει 0 και αυτό κάνει π. Άρα η μέση, η μαθηματική ελπίδα της τυχαίας μεταβλητησίας χ που ανέπτυξε εδώ πέρα, που παίρνει δύο τιμές, με πιθανότητα π και 1-π, έχει μέση στιγμή σύμφωνα με τον ορισμό το π. Και παρόμοια μπορούμε να βρούμε και την διακύμανση της χ σύμφωνα με τον ορισμό. Θα πάρουμε τη μέση τιμή στο δετράγωνο μειον αυτό που βρήκαμε στο δετράγωνο. Αν θυμάστε σύμφωνα με κάποια ιδιότητα. Αυτό εδώ πέρα είναι το 1 τετράγωνο επί π, συν το 0 ή στο τετράγωνο επί 1-π. Και αυτό ισούται, εδώ έχουμε μειον π τετράγωνο και εδώ έχουμε 1 τετράγωνο με τελικά π μειον π τετράγωνο. Και αυτό ισούται με π επί 1-π. Βρήκαμε και τη μέση τιμή, τη σχή, και την διακύμανση, σύμφωνα με τους ορισμούς. Η περνούλη κατανομή είναι μια απλή κατανομή και δεν χρησιμοποιείται συνήθως στην πράξη. Αλλά την αναφέραμε και εξηγήσαμε διότι είναι η βάση με την οποία θα δημιουργήσουμε τις άλλες χρήσιμες κατανομές. Από εδώ θα ξεκινήσουμε για να φτιάξουμε τις άλλες κατανομές. Στην πράξη η επειδή είναι πολύ απλή δεν χρησιμοποιείται συνήθως. Αλλά πρέπει να καταλάβουμε αυτές τις έννοιες για να μπορέσουμε να φτιάξουμε τις άλλες χρήσιμες κατανομές. Και πριν προχωρήσουμε στη διερμική, ας αναφέρομαι την ακολουθή αμπερνούλη. Τι έχουμε? Έχουμε εν εκτελέσεις του πειράματος ή εν δοκιμές όπως λέμε. Εδώ πρέπει να επιθυμίσουμε ότι κάθε φορά που εκτελούμε αυτό εδώ το πείραμα, αυτό το συγκεκριμένο πείραμα που έχει δύο ενδεχόμενα ή το ένα ή το άλλο με κάποια σταθερή πιθανότητα π και ένα μειο π, αυτή η εκτέλεση του πειράματος την ονομάζουμε δοκιμή μπερνούλη. Δοκιμή μπερνούλη δεν είναι τίποτα άλλο από μία εκτέλεση του πειράματος, αυτό του συγκεκριμένου, όπου ο δειγματικός χώρος έχει δύο ενδεχόμενα, είναι να συμβεί το α ή να μην συμβεί. Με σταθερή πάντοτε πιθανότητα, προσέξτε πάντοτε με σταθερή πιθανότητα π και ένα μειο π. Ακολουθείο μπερνούλη ονομάζουμε ενδοκιμές μπερνούλη. Και στις ενδοκιμές μπορεί να είναι όπως, για παράδειγμα, να συμβεί το α, να συμβεί το α, μετά να μην συμβεί το α στην τρίτη δοκιμή, να μην συμβεί το α, μετά να συμβεί το α, να συμβεί. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι. Όπως στις ενδοκιμές θα έχουμε χ φορές το α και προφανώς εν μειο χ φορές το συμπλήρωμα του α. Στην ακολουθείο μπερνούλη έχουμε ενδοκιμές μπερνούλη, όπου για παράδειγμα την πρώτη φορά θα συμβεί το α, στη δεύτερη ακτή, στη δεύτερη δοκιμή θα συμβεί, στην τρίτη δε θα συμβεί, στη δεύτερη δε θα συμβεί. Μα αυτή τη συγκεκριμένη ακολουθεία, με αυτά τα γεγονότα, θα μπορούσε κάποιος άλλος να σχεδιάσει μια ακολουθεία ενδοκιμών με διαφορετικές εμφανίσεις του α και όχι α και σε διαφορετικές θέσεις. Εδώ πέρα έχω χ φορές του α, έχω χ φορές μικρό του α και προφανώς εν μειο χ όχι α. Ποια είναι η πιθανότητα αυτής της συγκεκριμένης ακολουθείας, έχουν την πιθανότητα δηλαδή της τομείς, μπορώ να υποθέσω ότι έχω την πιθανότητα δηλαδή της τομείς αυτών των γεγονότων και επειδή σε κάθε εκτέλεση το να συμβεί ή να μην συμβεί το α δεν εξαρτάται από τις προηγούμενες εκτελέσεις, άρα τα γεγονότα αυτά σε αυτήν την ακολουθεία, εφόσον υπάρχει πάντως σταθερή πιθανότητα να εμφανιστούν πι και ένα μοιο πι να μην εμφανιστεί, είναι ανεξάρτητα και αφού είναι ανεξάρτητα είναι το γινόμενο πα επί πα, επί πα, συμπλήρωμα α, επί πα και ούτω κατεξής και αυτό αισθούται, έχουμε χ φορές το πα που είναι π εις την χ, επί ένα μοιο πι εις την ένα μοιο χ. Άρα λοιπόν αυτή είναι η πιθανότητα αυτής της συγκεκριμένης ακολουθίας Μπερνούλη, όπου έχουμε ένα δοκιμές, δοκιμάζουμε δηλαδή, παίρνουμε έναν τα λακτικά και το δοκιμάζουμε, το πρώτο είναι ελαττωματικό, το δεύτερο είναι, το τρίτο δεν είναι, υπάρχει εν πάσης περιπτώσει αυτή η συγκεκριμένη ακολουθία, η πιθανότητα να συμβεί στις ένα δοκιμές αυτή η συγκεκριμένη ακολουθία, επειδή τα γεγονότα αυτά είναι ανεξάρτητα, όπως τόνισα στην αρχή, γι' αυτό είναι το κοινό μέρος των πιθανότητων τους, που είναι π εις την χ, επί ένα μοιο πι εις την ένα μοιο χ, γιατί χ φορές εμφανίζεται το α και ένα μοιο χ δεν εμφανίζεται. Ταξί, ποια απορία υπάρχει? Εγώ και θέλω να εξηγήσω τι είναι το πιο πραγματικό μέρος των πιθανότητων. Γιατί σε κάθε δοκιμή η πιθανότητα να εμφανιστεί το α είναι π και να μην εμφανιστεί είναι ένα μοιο πι, ανεξάρτητα από τι ήταν στις προηγούμενες δοκιμές. Εντάξει, ορίστε. Όχι, προχύπτει από αυτό το γεγονός που τονίσαμε ότι σε κάθε δοκιμή η πιθανότητα του α είναι π. Αυτό εδώ πέρα, βάσει από αυτό το γεγονότος, τα γεγονότα α και συμπλήρωμα α είναι ανεξάρτητα. Ότι σε κάθε δοκιμή υπάρχει σταθερή πιθανότητα. Αυτό, αν τολμούσε κανένας να το γράψει με τον προοπλισιαστικό κανόνα, θα έγραφε πα. Επί πα, στη δεύτερη φορά δεδομένω ότι την πρώτη φέραμε α. Αλλά δεν επηρεάζεται όμως. Κάθε φορά που κάνουμε μία δοκιμή, αν θα φέρει α, η πιθανότητα είναι π. Δεν επηρεάζεται από τα προηγούμενα γεγονότα. Δηλαδή, αν το γράψεις με τον προοπλισιαστικό κανόνα, που μπορείς να το γράψεις, η πιθανότητα τη δεύτερη φορά να φέρουμε α, δεδομένω ότι την πρώτη φορά φέραμε α, είναι το π. Η πιθανότητα την τρίτη φορά να φέρουμε α, δεδομένω ότι τις προηγούμενες δύο φορές δεν φέραμε α, είναι 1-π σταθερά. Δεν αλλάζει. Γι' αυτό είναι ανεξάρρυτα τα γεγονότα αυτά εδώ πέρα. Και το γινόμενό τους είναι π στη χ, επί 1-π στην 1-χ. Είναι βασικό να τονίσουμε με την ευκαιρία αυτής της ερώτησης, ότι κάθε φορά που κάνω εγώ την δοκιμή Μπερνούλη, η πιθανότητα να εμφανιστεί το α είναι π. Να μην εμφανιστεί είναι 1-π. Δεν ισχύει αυτό που λέμε, ξέρω εγώ όταν ρίχνουμε, παίζουμε στο χαρτί ή στο ζάρι, ότι το έριξα 100 φορές και δεν έφερε 6 για παράδειγμα. Θα το ρίξω στην εκατοστή πρώτη. Και λέω τώρα αφού δεν έφερε τις προηγούμενες φορές, τώρα όπου να είναι θα έρθει. Δεν ισχύει αυτό το πράγμα. Σε κάθε δοκιμή, ανεξάρρυτα από το τι ήρθαν τις προηγούμενες δοκιμές, η πιθανότητα να εμφανιστεί το 6 είναι σταθερά, είναι 1-π. Δεν αλλάζει. Λοιπόν, προχωράμε τώρα στην διονυμική. Είπαμε ότι η μπερνούλη είναι η βάση με την οποία θα κάνουμε την διονυμική. Στην διονυμική κατανομή, η τυχαία μεταβολή τύχη, ή μάλλον έχουμε 1 δοκιμές μπερνούλη. Όπως εδώ πέρα. Υπάρχει μια σταθερή πιθανότητα π, με εμφανιστεί το γεγονός α, και η τυχαία μεταβολή τύχη παριστάνει αριθμό εμφάνισης του α, στις 1 δοκιμές. Πρέπει να ξέρουμε ακριβώς τι παριστάνει η τυχαία μεταβολή τύχη στην διονυμική κατανομή. Στη διονυμική κατανομή, η τυχαία μεταβολή τύχη παριστάνει τον αριθμό εμφάνισης του α, πόσες φορές προματοποιεί το α, στις 1 δοκιμές μπερνούλη που θα προματοποιήσω. Ενώ στην μπερνούλη, η τυχαία μεταβολή τύχη έπαιρνε τις τιμές 1 και 0 σε μία δοκιμή. Τώρα, στη διονυμική, έχω 1 δοκιμές μπερνούλη και η τυχαία μεταβολή τύχη παριστάνει αριθμό εμφάνισης του α στις 1 δοκιμές. Και τώρα να βρούμε ποια είναι η συνάντηση μαζας πιθανότητας. Ποια είναι? Ποια είναι η πιθανότητα, δηλαδή, σε 1 δοκιμές μπερνούλη, η τυχαία μεταβολή τύχη να πάρει μία τιμή χ μικρό. Ποια είναι η πιθανότητα, στις 1 δοκιμές μπερνούλη, χ φορές να εφανιστεί το α, που παριστάνει αριθμό εμφάνισης του α, το γεγονός χ σω με χ μικρό σημαίνει στις 1 δοκιμές το χ να πάρει τη τιμή χ μικρό. Δηλαδή, στις 1 δοκιμές να έχουμε χ φορές εμφάνιση του α, να πραγματοποιηθεί χ φορές του α. Δεν είναι αυτή η πιθανότητα. Εδώ πέρα ποια πιθανότητα υπολογίσαμε στις 1 δοκιμές να φανεί χ φορές το α. Και προφανώς, 1 μοιών χ δεν θα φανεί. Με την υπολογίσσαμε την πιθανότητα. Μπορούμε να την γράψουμε εδώ. Άρα λοιπόν, στις 1 δοκιμές μπερνούλη, αν χ παριστάνει τον αριθμό εμφάνισης του α στις 1 δοκιμές, ποια είναι η πιθανότητα να φανεί χ φορές στις 1 δοκιμές, αφού το χ, να επιθυμίσω, ότι τυχαία μεταβηλτητή χ έχει σάμπερ δύο τιμών το 0. 1, 2, 3, να φανεί μέχρι 1 φορές το α. Τυχαία μεταβηλτητή χ, όπως την έχω ορίσει, αφού μπορεί να στάνει αριθμό εμφάνισης του α στις 1 δοκιμές, μπορεί 0 φορές να φανεί το α στις 1 δοκιμές. Η μία ή δύο ή τρεις, το πολύ 1 φορές, γιατί έχουμε 1 δοκιμές. Υπάρχει ακόμα μια απορία, ορίστε. Είναι όμως αυτό σωστό. Μπορούμε να το γράψουμε έτσι. Προκομμένως, αν υπολόγησα την πιθανότητα στις 1 δοκιμές, να έχω χ φορές το α και προφανώς 1 μηχανή να μην έχω. Δεν είναι σωστό όμως αυτό. Γιατί εδώ, να σας επιθυμίσω, ότι αυτή είναι η πιθανότητα σε μία συγκεκριμένη ακολουθία, όπου χ φορές εφανίζεται το α και 1 μηχανή δεν εφανίζεται. Σε μία συγκεκριμένη ακολουθία, δηλαδή πρώτα, στην πρώτη δοκιμή εφανίζεται το α, στην δεύτερη εφανίζεται, στην δεύτερη δεν εφανίζεται, όπως το βλέπετε εδώ πέρα. Υπάρχουν όμως, δηλαδή το γεγονός, ότι στις 1 δοκιμές χ φορές θα φανεί το α και 1 μηχανή δεν θα φανεί. Μπορεί να γίνει με πολλούς τέτοιους τρόπους. Και πώς είναι η τρόπη με τις οποίες μπορεί να γίνει? Είναι συνδυασμή 1 πραγμάτων αν έχει μικρό. Δηλαδή αυτό που μπορεί να πραγματοποιηθεί με διαφορετικές ακολουθίες των 1 δοκιμών, όπου χ φορές εφανίζεται το α και 1 μηχανή δεν εφανίζεται, με πόσες διαφορετικές συνδυασμή 1 πραγμάτων αν έχει μικρό. Και έτσι προπολωσιάζω, γιατί αυτό το γεγονός μπορεί να συμβεί με την ένωση όλων εκείνων των ακολουθιών, όπου χ φορές εφανίζεται το α και 1 μηχανή δεν εφανίζεται. Και πώς είναι όλη αυτή η διαφορετική τρόπη? Είναι συνδυασμή 1 πραγμάτων αν έχει μικρό. Και γιατί είναι συνδυασμή 1 πραγμάτων αν έχει μικρό, θα το εξηγήσω λίγο περιληπτικά. Είναι όσο να έχω εδώ πέρα εν διαφορετικές θέσεις. Έχω την πρώτη θέση, την δεύτερη, την τρίτη, την εν θέση. Και λέω τα α θα πιάσουν χ θέσεις από τις εν. Με πώς διαφορετικούς τρόπους θα το κάνω, επειδή τα α είναι τα ίδια, δεν με ενδιαφέρει η σειρά, δεν με ενδιαφέρει από τις εν θέσεις, ποιες χ καταλαβαίνω σε κάθε συγκεκριμένη ακολουθία. Αυτό είναι το σκεπτικό που με οδηγεί στο συμπέρασμα ότι όλες αυτές οι δυνατές ακολουθίες είναι συνδυασμή των εν ανα χ. Και η πιθανότητα βέβαια, το άθλισμα των πιθανότητων είναι τόσες φορές, άρα είναι το άθλισμά τους. Δεν έχω να αφαιρέσω στην πιθανότητα της Ένωσης το μέσα ένα δύο και ένα τρία, γιατί είναι διαφορετικά ξένα γεγονότα. Δηλαδή η κάθε ακολουθία είναι ξένη με την άλλη, δεν μπορούν να συνηπάρχουν ταυτόχρονα. Δηλαδή δεν μπορείς να λες σε αυτήν την ακολουθία, την δύο πρότες εμφανίζεται το άλλο και την τρίτη δεν εμφανίζεται. Δεν μπορεί να συνηπάρχει στην πρώτη να μην εμφανίζεται και στην τρίτη να εμφανίζεται. Αυτά δεν μπορούν να συμβούν. Ή το ένα θα συμβεί ή το άλλο. Με βάση περιπτώση καταλήγουμε ότι η συνάρτηση μας, η πιθανότητα, σβήνεται από αυτό εδώ πέρα το τύπο της διονυμικής κατανομής. Υπάρχει και μια πορεία, ναι. Οι συνδυασμοί είναι L παραγοντικό προς N ΥΧ παραγοντικό επί X παραγοντικό. Το είχαμε πει στα πρώτα μαθήματα. Σαν τη ΣΕ λίγο μπακά. Εδώ το παραγοντικό. Το παραγοντικό το ξέρεις? Σαν τη ΣΕ το ξέρει μπακά. Δεν το είχαμε συμβολήσει έτσι, το είχαμε συμβολήσει σαν τη ΣΕ. Το είχαμε συμβολήσει αυτό εδώ πέρα σαν συνδυασμοί 1X. Αλλά υπάρχει και αυτός πέρας συμβολισμός. Οι δυο συμβολισμοί είναι ισοδύναμοι. Τώρα για να είναι συνάρτηση μας, πιθανότητας αυτό, θα πρέπει το άθλισμα αυτό για X από 0 μέχρι 1 να είναι 1. Δηλαδή το άθλισμα αυτό εδώ πέρα με X ίσοδο με X μικρό από X ίσοδο με 0 μέχρι 1, αυτό να ισούνται με άθλισμα συνδυασμή 1 πραγμάτων ανα X επί πί στη X, επί 1 μειοπί στην 1 μειοχή για X ίσοδο από 0 μέχρι 1. Αυτό το άθλισμα ισούνται με εμένα. Αυτό εδώ πέρα είναι το ανάπτυγμα του διονύμου ασυνβίτα στην N, όπως είχατε μάθει. Δηλαδή το α να είναι το π και το β να είναι το 1 μειοπί. Αν το π και το 1 μειοπί το υψώσω στην N, έχω έναν ανάπτυγμα του διονύμου. Α είναι το π και β είναι... Αν θυμάστε από το λύκειο, αν υψώσω στην N το α συνβίτα, αυτό είναι το ανάπτυγμα του διονύμου. Ή μπορώ, αν βάλω α π και β 1 μειοπί, έχω αυτό πέρα το ανάπτυγμα. Αυτό το ανάπτυγμα ισούνται με αυτό το άθλησμα. Αν θυμηθείτε από το λύκειο, το ανάπτυγμα του διονύμου ποιο είναι. Είναι αυτό εδώ. Αλλά αυτό εδώ πέρα με τι ισούνται? Με 1. Είναι π συν 1 μειοπί, γίνεται απαλυφή και έχουμε 1 στην N, δηλαδή 1. Και επειδή αυτή η απόδειξη στηρίζεται στο ανάπτυγμα του διονύμου, γι' αυτό ονομάσαμε αυτήν την κατανομή πώς? Την ονομάσαμε διονομική. Την ονομάτηκε διονομική επειδή στηρίζεται, αυτή η απόδειξη στηρίζεται στο ανάπτυγμα του διονύμου. Ναι. Και ποιος είναι το ανάπτυγμα του διονύμου? Εδώ. Δεν κατάλαβα την ερώτηση. Παιδί να κάνετε λίγο ησυχία για να μπορέσετε να πούσετε την ερώτηση, ναι. Εδώ. Είπα ότι αυτό πέρα το άθλησμα είναι το ανάπτυγμα αυτού του διονύμου. Το θυμάσαι απ' το ηλικίο? Δηλαδή, πώς σας έλεγε, α' συν β' εις την εν, μπορείς να το αναπτύξεις πώς είναι η ισούτερ. Α' συν β' εις το ετράγωνο το ξέρεις. Α' συν β' εις την τρίτη και τα λοιπά. Α' συν β' εις την εν με τη ισούτερ. Αν θυμάσαι πού είναι ο πρώτος εις την εν, ο άλλος εις τη μηδενική, μετά αυξάνει ο εκθέτης του ενός, ελατώνει ο άλλος και υπάρχει μπροστά να συνεχίσει. Ήταν αυτός εδώ πέρα. Αν το θεμηθείς λίγο, για να μην κάνουμε περισσότερο χρόνο, εσχύει το ανάπτυγμα του διονύμου και στηρίζει αυτή η απόδειξη εκεί πέρα. Τώρα, θα δούμε ποια είναι η μέση τιμή στη διονυμική, ποια είναι η διακύμανση. Αλλά κυρίως όμως χωρίς να ξέρετε πότα χρησιμοποιούμε τον διονυμική. Χρησιμοποιούμε τον διονυμική, όταν η τυχαία μεταβλητή παριστάνει τον αριθμό επάντησης του α, στις εν δοκιμές. Και υπάρχει πάντοτε σταθερή πιθανότητα π, να συμβεί το γεγονός α σε κάθε δοκιμή. Τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον διονυμική. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο της διονυμικής, δηλαδή την συναρτητική μας πιθανότητας, που έχουμε αναπτύξει εκεί πέρα. Επίσης μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και τη μέση τιμή, είναι μια καλή πληροφορία, όπως θα δούμε στα λίγα παραδείγματα που θα αναφέρομαι. Ας δούμε τη μέση τιμή, στην διονυμική. Η μέση τιμή, σύμφωνα με τον ορισμό, είναι άθρυσμα, όλων των χΙ, επί συνδυασμή N ανά χΙ, επί πΙ στο χΙ, επί 1-π, στην N-χΙ. Αυτή είναι η πιθανότητα της συναρτησης σημάδας, το προπλωσιάζουμε με το χΙ, για όλο το χΙ, ίσον από 0 μέχρι 1. Αυτή είναι η μέση τιμή της τυχαίας μεταβελτητής χ, που παρουστάει αριθμό εμφάνισης του α, στις εν δοκιμές. Η πιθανότητα να πάρει τη τιμή χΙ, είναι αυτή εδώ πέρα. Αυτό είναι η πιθανότητα, χ ίσο με χΙ. Και έτσι υπολογίζουμε, αν κάνουμε πράξεις, δεν είναι τόσο εύκολο όμως, γίνονται κάποια μαθηματικά τρικ εδώ πέρα. Μπορεί όμως κάποιος να υπολογίσει πιο εύκολα τη μέση τιμή. Η μέση τιμή της χ είναι η μέση τιμή, επειδή τη τυχαία μεταβελτή χ στην δυναιμική κατανομή, είναι το άθρυσμα εν κατανομών χ1, χ2, χ1 δοκιμών Περνούλη. Έχει δηλαδή το άθρυσμα εν μεταβελτών Περνούλη. Γιατί έχουμε εν δοκιμές, σε κάθε δοκιμή έχουμε το γεγονός 0-1, όπως είχαμε εξηγήσει την Περνούλη. Και αν πάρουμε την ιδιότητα της μέσης τιμής που είχαμε αναφέρει, είναι το άθρυσμα αυτών των μέσων τιμών. Και η μέση τιμή της κάθε Περνούλης σε κάθε δοκιμή, επειδή είναι οι ίδιες, είναι Π-Π-Π, τελικά είναι 1Π-Π. Άρα η μέση τιμή της στοιχείας ενταβλητής χ, ψηδειονομική, είναι 1Π-Π. Θα μπορούσε όμως κάποιος να βγάλει το ίδιο αποτέλεσμα, ακολουθώντας αυτό πέρα το άθρυσμα, κάνοντας πράξεις σε παλιφές και τα λοιπά, οδηγεί και αυτό το ισούτημα 1Π-Π. Και τελικά, για να μην χρονοτριβούμε, μπορούμε να ορίσουμε και την διακύμανση της στοιχείας ενταβλητής, πάλι ομοιόμορφα, ή κάνοντας πράξεις, οδηγόμαστε αυτό ισούτημα, με 1Π-Π, είτε με αυτή την ιδιότητα, ή κάνοντας, εφαρμογώντας το άθρυσμα, ή τον ορισμό της διακύμανσης. Αν ελέγξει κανένας, ας το πούμε, 10.000 πολυκατοικίες, σε περίπτωση θυσμού, και αν υπάρχει πιθανότητα να βρεθεί ελαττωματική να είναι ένα χιλιοστό, τότε ο μέσος αριθμός ελαττωματικών πολυκατοικιών που θα βρεθούνε, αν ελέγξει 10.000, θα είναι 1Π-Π, θα είναι δηλαδή 10.000. Δηλαδή ο μέσος αριθμός ελαττωματικών πολυκατοικιών που θα βρεθεί, αν ελέγξει 10.000 πολυκατοικίες, με την προϋπόθεση ότι ένα της χιλίες είναι ελαττωματικές, δηλαδή η πιθανότητα μια πολυκατοικία που ελέγχει να είναι ελαττωματική, και όταν είναι ελαττωματική είναι 1 χιλιοστό, τότε ο αναμενόμενος αριθμός πολυκατοικιών που θα βρεθούνε ελαττωματικές είναι 10.000. Μπορούμε να κάνουμε κι άλλα παραδείγματα για να καταλάβουμε τι είναι η δυναιμική. Η τύπη που γράψαμε εικανόλως για τη δυναιμική, στην άρτηση μάζας την είπαμε, τη μέση τη μη την είπαμε, την διακοίμαση την είπαμε. Πότε όμως χρησιμοποιούμε δυναιμική? Πρέπει να πληρούνται οι προϋποθέσεις. Ποιες προϋποθέσεις? Να έχουμε ένα δοκιμές Μπερνούλη, σε κάθε δοκιμή να υπάρχει μια σταθερή πιθανότητα π, να συμβεί το γεγονός α, και τυχαία μεταβλητηχή που αριστάνει αριθμό εμφάνισης του α στις ένας δοκιμές. Τότε μπορούμε να επιλέξουμε τη δυναιμική. Και πάμε σε παραδείγματα να δούμε αν μπορούμε να το εφαρμόσουμε αυτό. Ρίχνουμε ένα τζάρι 20 φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να έχω πέντε άσους? Αυτό μπορώ να το λύσω με δυναιμική. Πώς να το λύσω με δυναιμική? Κάθε φορά που ρίχνω το τζάρι έχω μία δοκιμή Μπερνούλη. Το γεγονός α είναι ότι έρχεται άσος και το συμπληρωματικό του α είναι ότι δεν έρχεται άσος. Έρχεται ένα ή οδήποτε άλλο νούμερο, δύο, τρία και τα λοιπά. Ποια είναι η πιθανότητα να έχω άσο, ισούτε με ένα έκτο. Και αν η τυχαία μεταβλητήχει παριστάνει τον αριθμό εμφάνισης του α, τον αριθμό εμφάνισης των άσων, στις είκοσι δοκιμές, πέντε, διβή, μηδέν, ένα, δύο, μέχρι είκοσι. Άρα λοιπόν έχω ένα δοκιμές που μπορώ να υποφέσω ότι είναι δοκιμές Μπερνούλη. Γιατί κάθε φορά που ρίχνω το τζάρι η πιθανότητα να συμβεί το ά, ο άσος είναι ένα έκτο σταθερή. Δεν εξαρτάται ποια φορά ρίχνω και τα λοιπά. Δεν εξαρτάται στις προηγούμενες φορές τι αν είναι άσος ή όχι. Σαν τυχαία μεταβλητή ορίζω τον αριθμό εμφάνισης του ά, στις είκοσι δοκιμές, και το πεδίο τιμών είναι μηδέν, ένα, δύο, μέχρι είκοσι. Άρα λοιπόν πρόκειται για διονυμική κατανομή. Τι θέλω από εδώ να υπολογίσω. Θέλω να υπολογίσω να έρθουν πέντε άσοι, δηλαδή η τυχαία μεταβλητή να πάρει την τιμή πέντε. Θα το υπολογίσω με τη συνάρτηση σημάδας με τον δύπο της διονυμικής. Που είναι συνδυασμή είκοσι ένα πέντε, αν πάρετε είκοσι παραγωδικό, διαιρέστη και τα λοιπά κάνετε παλυφή, επί ποιή είναι ένα έκτο ή στην πέμπτη, επί πέντε έκτα ή στην δεκάτη πέμπτη. Η πιθανότητα να έρθει άσος είναι ένα έκτο, η πιθανότητα να μην έρθει είναι πέντε έκτα. Δεν με ενδιαφέρουν εδώ τα άλλα νούμερα της ένδειξης του ζαριού. Με ενδιαφέρει ο άσος. Άρα λοιπόν εδώ έχω φορμάρει σαν διονυμική κατανομή. Να απολογίσω εδώ την πιθανότητα, η οποία ισούζεται τελικά αν κάνετε πράξη με 0, 12, 9. Είναι μια μικρή πιθανότητα. Εντάξει, ας κάνουμε ακόμα ένα παράδειγμα. Έγινε ένα σεισμός και ο μηχανικός θα ελέγξει τις σεισμόπληκτιες πολυκρατικίες. Ας υποθέσουμε κάθε φορά που ελέγχει μία πολυκατοικία, υπάρχει μία πιθανότητα να είναι ελαττωματική. Ας υποθέσουμε ότι κάθε πολυκατοικία να είναι ελαττωματική είναι 10%, έχει γίνει ένας μεγάλος σεισμός, ότι ελέγχουμε 18 πολυκατοικίες και πιθανότητα οι δύο να βρεθούν ελαττωματικές. Το χ είναι τυχαία μεταβλητή που μπορεί να πάρει τιμές από 0 μέχρι 18, γιατί και οι 18 μπορεί να βρεθούν ελαττωματικές, βέβαια με πολύ μικρή πιθανότητα. Αλλά το παιδί τη μόνη σχή είναι από 0 μέχρι 18, οπότε θα πάρουμε τιμούς 18-2-0-10-2-0-90-16 και αυτό ισούται με 0-284. Στη συνέχεια, ποια είναι η πιθανότητα να βρεθούν τουλάχιστον το α ήταν αυτό που υπολογίσαμε, πείτε ποια είναι η πιθανότητα να βρεθούν τουλάχιστον 3 ελαττωματικές. Το χ μπορεί να πάρει τιμές, παριστάνει τον αριθμό των ελαττωματικών που θα βρεθούν στον έλεγχο των 18 πολυκατοικιών. Η πιθανότητα να βρεθούν ακριβώς 2 ελαττωματικές δίνεται από τον τύπο της γιονυμικής. Αφού το π είναι 0-10, η πιθανότητα κάθε πολυκατοικία που ελέγχουμε να είναι ελαττωματική είναι 10%. Γίνονται 18 δοκιμές, άρα το χ μπορεί να πάρει τιμές και πάνω από το 3. Άρα εδώ πρέπει να βρούμε την πιθανότητα το χ να είναι 4, ώστε την πιθανότητα το χ να είναι 5, μέχρι την πιθανότητα το χ να πάρει τιμή 18. Αυτό όμως γράφεται, αυτό μπορούμε να το γράψουμε, και 1 μειώνει την πιθανότητα το χ να είναι μικρότερο ίσον του 2. Αυτά τα γεγονότα είναι συμπληρωματικά. Άρα η πιθανότητα το χ να πάρει τιμή μεγαλύτερο ίσον του 3, ισούτε αν την μονάδα θεραίσουμε την πιθανότητα του συμπληρωματικού του, μπορεί την πιθανότητα το χ να είναι μικρότερο του 3 ή μικρότερο ίσον του 2, γιατί είναι διακριτή τυχαία μεταβλητή και δεν μπαίνει άλλες τιμές μεταξύ 2 και 3. Μπορούσαμε, αλλά θα πρέπει να θρήσουμε πολλές φορές, την πιθανότητα να χύσουμε 4, την πιθανότητα να χύσουμε 5, τις οποίες βέβαια τις βρίσκουμε απ' τον τύπο της δημιουργικής, αλλά θα κάνουμε πολλές πράξεις. Σε αυτές τις περιτώσεις, και να τονίσεις εδώ πέρα, μήθως βρίσκουμε την πιθανότητα τυχαία μεταβλητή να πάρει τιμές μικρότερες ίσεις του 2. Αυτή είναι η αθροιστική βέβαια, η αθροιστική της χ στο 2, και αυτό εισούτε με 1 μίον, η αθροιστική με τι εισούτε, με την πιθανότητα το χ να πάρει την τιμή 0, στην πιθανότητα το χ να πάρει την τιμή 1, στην πιθανότητα το χ να πάρει την τιμή 2. Αν κάνουμε πράξεις, θα το βρούμε. Δηλαδή θα πρέπει να υπολογίσουμε, χύσουμε 0, χύσουμε 1, σύμφωνα με τον τύπο της δημιουργικής και εύκολα οδηγούμαστε στο αποτέλεσμα. Το βασικότερο είναι ότι θα πρέπει σε κάθε πρόβλημά μας να ορίσουμε ποια είναι η τυχαία με τα βητή. Αν είναι διεκριθή, να δούμε μήπως μπορούμε να επιλέξουμε τη δυναιμική κατανομή. Και είπαμε ποιες είναι οι προϋποθέσεις. Εδώ πέρα στο β, αυτά εδώ πέρα, ισούται τελικά να κάνουμε πράξεις. Δεν έχω κάνει πράξεις, μπορείτε να τις κάνετε. Το χύσουμε 0 είναι συνδυασμή 18 πραγμάτων ανα 0. Αυτό ισούται με ένα μειον. Συνδυασμή 18 πραγμάτων ανα 0. Επί π, το π είναι 0,10 εις τη μηδενική, 0,90 εις την 18. Μετά έχουμε συν, συνδυασμή 18 ανα 1, 0,10 εις την 1, 0,90 εις την 17. Συν, συνδυασμή 18 ανα 2, 0,10 εις την 2, 0,90 εις την 16. Εδώ θέλω να επιθυμίσω, γι' αυτό σας το λέω, θα κάνετε πράξεις να επιθυμίσω ότι συνδυασμή 18 πραγμάτων ανα 0, αυτό ισούται εξορισμού 1. Συνδυασμή 18 πραγμάτων ανα 0, εξορισμού αυτό ισούται με 1. Δεν μπορείς να το υπολογίσεις αλλιώς. Από τη συνδυαστική αυτό ισούται με 1. Και εδώ έχουμε, αυτό εύκολα βγαίνει, συνδυασμή 18 ανα 1 είναι 18. Και αυτό εδώ πέρα είναι 18 παραγωτικό, προς 18 μειον 2 παραγωτικό, επειδή είναι παραγωτικό. Και κάνουμε πράξεις και το υπολογίζουμε. Αυτά όσα αφορά την διονυμική. Τώρα θα πάμε στην Γεωμετρική, αλλά για να πάμε στην Γεωμετρική πρέπει να ορίσουμε την τυχαία μεταβλητήτη Παριστάνη. Πότε θα χρησιμοποιούμε Γεωμετρική. Στη Γεωμετρική την τυχαία μεταβλητή θα τα αναπτύξουμε στην επόμενη ώρα. Παριστάνη όχι αριθμό εμφάνισης του α, παριστάνη αριθμό δοκιμών Μπερνούλη που θα γίνουν, μέχρι να φανεί για πρώτη φορά το α. Δηλαδή πρέπει να προσέξουμε και τι παριστάνει η τυχαία μεταβλητή σε ένα πρόβλημα, για να επιλέξουμε στη συνέχεια την ανάλογη κατανομή. Όταν παριστάνει αριθμό εμφάνισης του α σε σένα δοκιμές, χρησιμοποιούμε Διονυμική. Τώρα όπως θα αναπτύξουμε την επόμενη ώρα, η τυχαία μεταβλητή Χ παριστάνει όχι αριθμό εμφάνισης του α. Παριστάνει αριθμό δοκιμών πόσες δοκιμές θα γίνουν, μέχρι να φανεί για πρώτη φορά το α. Και είναι πολύ χρήσιμο για τους πολιτικούς μηχανικούς, γιατί συνδέεται με την περίοδο επαναφοράς μιας θεομηνίας, δηλαδή μέσω αριθμών δοκιμών, μέχρι να φανεί μια θεομηνία, ένας ισχυρός θυσμός, ή ένας ισχυρός άνεμος, ή μια μεγάλη νεροποντή που προκαλεί πλημμύρες, υπολογίζει την αίσθηση περίοδο επαναφοράς. Και μετά, αφού το λαβάνει σοβαρά υπόψη μέσα στη μελέτη του, και τα λοιπά που θα δούμε την επόμενη ώρα, κάνουμε ένα διάλειμμα και τα ξαναλέμε. Τώρα προχωράμε στην Γεωμετρική. Στη Γεωμετρική, η τυχαία μεταβλητή παριστάνει αριθμών δοκιμών Μπερνούλη, μέχρι να φανεί για πρώτη φορά το α. Δηλαδή, στην πρώτη δοκιμή δεν εφανίζεται το α. Στη δεύτερη δεν εφανίζεται. Στην τρίτη δεν εφανίζεται. Στην χ-1 δεν εφανίζεται. Και στη χ-η φορά, εφανίζεται το α. Δηλαδή, κάνουμε δοκιμές. Στις χ-1 φορές δοκιμές, δεν εφανίζεται το α. Και τελικά, στη χ-η φορά, εφανίζεται το α. Εδώ η τυχαία μεταβλητή χ παίρνει την τιμή μικρό. Δηλαδή, το χ τυχαία μεταβλητή παριστάνει αριθμών δοκιμών μέχρι να φανεί για πρώτη φορά το α. Εδώ ακολούθησαν χ-1 φορές και δεν εφανίστηκε το α. Και την επόμενη φορά, τη χ-η φορά, εφανίστηκε το α. Σε αυτή την περίπτωση, η τυχαία μεταβλητή παίρνει την τιμή μικρό. Το πεδίο τιμών της μεταβλητής χ, δεν μπορεί να ξεκινήσει από το μηδέν. Γιατί δεν μπορεί σε μηδέν δοκιμές να φανεί το α. Πρέπει να γίνει τουλάχιστον μία δοκιμή. Ή δύο, ή τρεις, ή τέσσερις. Θεωρητικά, μπορεί να συνεχίζεται και να μην εφανίζεται το α. Να πάει μέχρι το άπειρο, θεωρητικά. Αλλά οι τιμές που παίρνει η τυχαία μεταβλητή είναι άπειρες. Είναι βέβαια αριθμίσιμες, γι' αυτό είναι η διακριτή τυχαία μεταβλητή. Και η βιθανότητα να πάρει μία μεγάλη τιμή, βέβαια, αρχίζει και γίνεται πολύ μικρή. Και ας δούμε ποια αυτή η πιθανότητα. Η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να πάρει την τιμή μικρό, είναι η πιθανότητα... ...να έχουμε, όχι α, όχι α, όχι α, πόσες φορές, χ-1 φορές. Και τη χωστή να έχουμε α. Αυτό εις ούτε τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα, έχουμε την πιθανότητα της τομής... ...χ-1 φορές το συμπλήρωμα του α, το μη το α την χωστή φορά. Έχουμε την πιθανότητα της τομής, είναι το γινόμενο των πιθανοτήτων τους... ...είναι ανεξάρτητα τα γεγονότα αυτά, γιατί το αναπτύξαμε, το σχολιάσαμε προηγούμενου. Άρα έχουμε την πιθανότητα του α όχι, επί πιθανότητα α όχι, επί πιθανότητα α όχι, χ-1 φορές, επί την πιθανότητα του α. Και αυτό εσούτε η πιθανότητα όχι α, εσούτε με 1-π, όπως είχαμε πει, εις την χ-1, επί μη. Άρα αυτή είναι η συνάρτηση μάτας πιθανότητας, πιθανότητα τυχαία με το πιθανότητα να πάρει μια συγκεκριμένη κοιμή χ μικρό. Είναι 1-π στην χ-1, δηλαδή η πιθανότητα χ-1 φορές να μη συμβεί το α, που είναι 1-π επί 1-π επί 1-π. Και τελικά την τελευταία φορά τυχιωστεί να είναι πι να συμβεί το α. Όπως λέμε εδώ πέρα, την τελευταία φορά να συμβεί το α. Άρα λοιπόν βγάζαμε την συνάρτηση μάτας πιθανότητας της συγκεκριμένης μεταβλητητικής χ. Είναι ο τύπος της γεωμετρικής. Αλλά πρέπει όμως, για να το χρησιμοποιήσουμε, να καταλάβουμε ότι η τυχαία μεταβλητή παραστάνει αριθμό δοκιμών, μέχρι να φανεί για πρώτη φορά το α. Τώρα, η μέση τιμή εδώ πέρα, σε μία γεωμετρική, αν πάρουμε άθροισμα όλων των δοκιμών χ, επί πιθανότητα χ ίσο με χ μικρό, και το αθροίσουμε χ ίσον από 1 μέχρι άπειρο, αν θέλετε δέσκει μες στο βιβλίο αυτό οδηγεί στο 1-π. Δηλαδή, η μέση τιμή της χ, της γεωμετρικής, ισούτε με 1 προσπίτει, είναι το αντίστροφο της πιθανότητας, να συμβεί το γεγονός α σε μία δοκιμή. Μπορεί κανένας να κάνει πράξη εδώ πέρα, αφόντι καταστήσει τη συνάρτηση μας πιθανότητας εδώ πέρα, και σύμφωνα με τον ορισμό να το βρει. Υπάρχει και ο τύπος της διακήμασης, δεν μας ενδιαφέρει προς το παρόν. Μπορείτε να το δείτε, συγγνώμη, πιο αναλυτικά μέσα στο βιβλίο. Αυτό για να είναι συνάρτηση μας πιθανότητας, θα πρέπει το άθλησμά του για χ από 1 μέχρι άπριν να είναι 1. Μπορείτε να το αποδείξετε αυτό, με άθλησμα γεωμετρικής σειράς απείρων όρων. Όπου βγαίνει κοινός παράγοντας το π, μέσα μένει π, π τετράγωνο και τα λοιπά. Και είναι δηλαδή το άθλησμα αυτό π, επί 1 προς π. Θα δείτε τελικά εκεί πέρα πώς βγαίνει αυτό το άθλησμα. Και τελικά εσούτε με 1. Το έχουμε κάνει σε παρόμοια σε προηγούμενο παράδειγμα, να μην δείτε τι θα κάνουμε. Ή δέστε το μέσα στο βιβλίο, για να δείτε γιατί αυτό το άθλησμα εισούτε με 1. Διότι αυτό είναι συνάρτηση μάλλας μεθανότητας και θα πρέπει το άθλησμά του για όλες τις στιγμές του χεινά εισούτε με 1. Αυτή είναι γεωμετρική αλλά έχει μεγάλη σημασία για τους πολιτικούς μηχανικούς. Γιατί μπορούμε ισοδύναμα να πούμε, ότι σε κάθε μήνα να κάνουμε μία δοκιμή, αν υπάρχει μια μεγάλη πλημμύρα και ξεπερνάει το ύψος της γέφυρας και την καταστρέφει. Δηλαδή σε κάθε μήνα μπορούμε να δοκιμάζουμε, αν το ύψος της επιφάνειας του νερού, ξεπέρασε το στρώμα της γέφυρας, τη γέφυρα, το ύψος και την κατέστρεψε. Ή μπορούμε να δοκιμάζουμε έτσι να έχουμε δοκιμές μπερνούλι, κάθε χρόνο αν συμβαίνει μία θεμηνία, ένα στισμός ή όχι. Με κάποια ξεφερή πιθανότητα. Έχει μεγάλη φαρμογή στα προβλήματα του μηχανικού και κυρίως η μέση τιμή της χ παριστάνει μέσο αριθμό δοκιμών επανεμφάνισης του α. Η μέση τιμή του χ, αφού το χ παριστάνει αριθμό δοκιμών, παριστάνει το μέσο αριθμό δοκιμών επανεμφάνισης του α. Γιατί εδώ εμφανίζεται το α, μετά δεν εμφανίζεται, δεν εμφανίζεται. Κάπου μετά εμφανίζεται. Κι ό,τι κατεξείς. Ο μέσος αριθμός δοκιμών επανεμφάνισης του α είναι το 1 προς π. Τώρα, αν υποθέσουμε ότι κάθε δοκιμή μπερνούλι αντιστοιχεί με το να δοκιμάζω εγώ, αν μέσα σε κάθε μήνα συμβαίνει μία πλημμύρα μεγάλη ή δεν συμβαίνει, τότε ο μέσος αριθμός δοκιμών, το μέσο χ, παριστάνει το μέσο αριθμό δοκιμών επανεμφάνισης της πλημμύρας ή το μέσο αριθμό μηνών επανεμφάνισης της πλημμύρας. Ή παριστάνει τη περίοδο, τη μέση περίοδο, το μέσο χρονικό διάστημα σε μήνες επανεμφάνισης της θεομηνίας. Γι' αυτό έχει μεγάλη σημασία για τους μηχανικούς. Και αυτό το μέσο χ ονομάζεται περίοδος επαναφοράς μιας θεομηνίας ή ενός καταστριπτικού γεγονότος που θέλει να λάβει υπόψη το μηχανικός. Όταν σας δίνω την περίοδο επαναφοράς ότι είναι για παράδειγμα 50 έτη, ας σας πω σε ένα παράδειγμα ότι η περίοδος επαναφοράς είναι 50 έτη ή 50 χρόνια, αυτό σημαίνει μία φορά, κατά μέσο όρο, μία φορά στα 50 χρόνια, επαναεφανίζεται, εφανίζεται αυτό το καταστρεπτικό γεγονός, για παράδειγμα η μεγάλη πλημμύρα που καταστρέφει την γέφυρα. Δεδομένου ότι κάθε έτος μπορώ να έχω μία δοκιμή μπερνούλη. Αν συμβαίνει αυτό το καταστρεπτικό γεγονός α, που είναι η πλημμύρα ή δεν συμβαίνει. Άρα λοιπόν, σε μία τέτοια περίοδο επαναφοράς πριν τα ετών, η πιθανότητα εμφάνισης του α να συμβεί αυτό το γεγονός μέσα σε κάθε δοκιμή και να αντιστοιχίσουμε την κάθε δοκιμή αναέτος, θα είναι το π, το οποίο ισούται με ένα προς εχ, το οποίο ισούται με ένα προς πεν. Δηλαδή, αν μας πούνε με λίγα λόγια ότι ένα καταστρεπτικό γεγονός, μία μεγάλη πλημμύρα, έχει περίοδο επαναφοράς πενήντα έτη, αυτό σημαίνει το expert value του χ, όπου χ είναι ο αριθμός δοκιμών, και είπαμε ότι κάθε δοκιμή αντιστοιχεί σε έτος, δηλαδή ο μέσος αριθμός ετών είναι πενήντα. Ο μέσος αριθμός ετών επανεφάνιση του γεγονότητος είναι πενήντα. Κατά μέσο όρο, δηλαδή, κάθε πενήντα χρόνια εμφανίζεται, όπως λέμε πρακτικά. Ποια είναι η πιθανότητα να εφανεί μέσα σε ένα χρόνο, είναι το αντίστοιχο του π, ένα προς π. Γιατί ξέρουμε ότι το εχ ίσουτε με ένα προς π, και αν το παράδειγμά μας είναι το πενήντα, τότε το π ίσουτε με ένα προς πενήντα. Δηλαδή το π είναι κάτι ανάλογο με τη συχνότητα εμφάνισης του γεγονότος, και το αντίστροφο είναι η περίοδος εμφάνισης, όπως έχετε μάθει τις ταλαντώσεις. Εάν είναι γεγονός έχει συχνότητα εμφάνισης π, η περίοδος επαναφοράς του ποια είναι? Ένα προς π, το αντίστροφο της συχνότητας. Αλλά εμείς το εξηγούμε πιο μεθοδοτικά εδώ πέρα, ότι η πιθανότητα εμφάνισης του α μέσα στην κάθε ντοκιμή περνούλει, ή μέσα στη χρονιά, γιατί κάθε ντοκιμή δεν ανησυχούμε μέσα στο έτος, αν συμβαίνει δεν συμβαίνει το α. Ποια είναι η πιθανότητα να συμβεί ακριβώς στη δέκατη χρονιά, αν υποθέσουμε ότι ο μηχανικός κατασχεύασε τη γέφερα, η οποία αντέχει στην πλημμύρα που έχει περίοδο επαναφοράς πενήντα έτη. Αντέχει στην πλημμύρα αυτή είναι. Τότε ποια είναι η πιθανότητα αυτή η πλημμύρα που θα το καταστρέψει να φανεί τη δέκατη χρονιά. Μάλλον να διορθώσουμε λίγο. Η πλημμύρα η οποία συμβαίνει μία φορά στα πενήντα έτη καταστρέφει τη γέφερα. Η πλημμύρα η οποία είναι μεγάλη και συμβαίνει μία φορά στα πενήντα χρόνια καταστρέφει τη γέφερα. Ο μηχανικός φτιάχνει μία γέφερα με αυτές τις προϋποθέσεις. Ότι θα δώσει τόσο ύψη στη γέφερα έτσι ώστε να αντέξει λιγότερο από την πλημμύρα που συμβαίνει μία φορά στα πενήντα χρόνια. Το ερώτημα είναι ποια είναι η πιθανότητα η γέφερα που κατασκεύασε να καταρρέψει στη δέκατη χρονιά. Για να καταρρέψει στη δέκατη χρονιά, δηλαδή ποια είναι η πιθανότητα το γεγονός αυτό να συμβεί στη δέκατη δοκιμή. Θα εφαρμόσω γεωμετρική κατανομή. Γιατί κάθε χρόνο έχουμε μία δοκιμή αν συμβαίνει αυτή η πλημμύρα και καταστρέφει τη γέφερα ή όχι. Υπάρχει μία σταθερή πιθανότητα ένα προς πενήντα να συμβεί μέσα στη χρονιά. Και αυτό το έβγαλα επειδή γνωρίζω ότι η μέση περίδοση παραφοράς είναι πενήντα έτη. Δηλαδή το ένα προς π είναι πενήντα, άρα το π είναι ένα προς πενήντα. Και η πιθανότητα να καταστραφεί η γέφερα που κατασκευάσει τη δέκατη χρονιά θα είναι. 1-π εις την δέκα εις την χ-1 επί π. Και αυτό εις ούτε πενήντα τέσσερα προς πενήντα εις την ενάτη επί ένα προς πενήντα. Και αυτό εις ούτε εφίρμοσα δηλαδή τον τύπο της γεωμετρικής. Και αν κάνουμε πράξη έχουμε μια πολύ μικρή πιθανότητα. Συμπερασματικά λίγο να πούμε για τη γεωμετρική ότι παριστάνει αριθμό δοκιμών μέχρι να φανεί για πρώτη φορά το γεγονός α. Η συνάρτηση μας πιθανότητας είναι 1-π εις την χ-1 επί π. Εδώ πέρα στο παράδειγμα εάν χει παριστάνει τον αριθμό μέχρι να φανεί αυτή η καταστροφητική πλημμύρα πια επιθανότητα να πάρει την τιμή 10 δηλαδή πια επιθανότητα να συμβεί στη δέκατη χρονιά από σήμερα. Θα είναι σύμφωνα με τον τύπο 1-π εις την χ-1 επί π. Και ο μέσος αριθμός επανεφάνισης του α, εδώ πέρα ο μέσος αριθμός δοκιμών επανεφάνισης του α είναι 1-π και έχει μεγάλη σημασία για τους μηχανικούς γιατί παριστάνει την περίοδο επαναφοράς του καταστροφητικού γεγονότος όπως λέμε και μπορεί να το λάβει υπόσχεσθο στη μελέτη του. Υπάρχουν μερικά παραδείγματα στο βιβλίο με τη γεωμετρική μπορείτε να τα δείτε. Δεν μπορούμε να μείνουμε περισσότερο για να πάμε στην αρνητική διονυμική. Αν υπάρχει κάποια πορεία... Παιδιά, θέλω από όλη τη ζηχή να καταλάβω την ερώτηση. 1-π στις 10-1 είναι 49-50, 1 προς 1-50 είναι 49-50. Εδώ πέρα έχουμε έναν δείχτη και παριστάνει όπως στην γεωμετρική αριθμό δοκιμών πάλι. Μέχρι εμφάνιση άρφορες του α. Η αριθμική διονυμική είναι παρόμοια με τη γεωμετρική. Παριστάνει αριθμό δοκιμών μέχρι εμφάνιση όχι για πρώτη φορά του α, αλλά μέχρι να συμπληρωθούν αρφορές εμφάνιση του α. Για αυτό έχουμε ένα δείχτη εδώ πέρα αρ. Για αρ1 συμπίπτει με τη γεωμετρική. Αν είναι όμως μεγαλύτερο από 1, ο τύπος της αριθμικής... Ποια είναι η πιθανότητα... Το χαρ να πάρει μία τιμή χιμικρό, αυτό βγαίνει κάτω από το εξής σκεπτικό. Για να συμπληρώσουμε στις χιμικρό δοκιμές ακριβώς αρφορές εμφάνιση του α, αυτό σημαίνει στις χ-1 φορές... Αυτό σημαίνει ότι στις χ-1 φορές εμφανίστηκε αρ-1 φορές το α. Όχι αρ την παριστάνει, παριστάνει τον αριθμό δοκιμών, μέχρι να συμπληρωθούν ακριβώς αρ εμφανίσεις του α. Δηλαδή αυτό σημαίνει ότι στις χ-1 φορές δοκιμές, εμφανίστηκε αρ-1 φορές το α, μέχρι εδώ. Και τυχιωστή φορά, εμφανίζεται πάλι α, οπότε συμπληρώνουμε αρ φορές του α. Αν έχω λοιπόν στις χ-1 δοκιμές αρ φορές το α, θα πρέπει στις χ-1 δοκιμές να έχω αρ-1 φορές το α. Και τυχιωστή φορά να έχω ακριβώς α, οπότε στις χ-1 δοκιμές θα έχω αρ φορές το α. Άρα λοιπόν η πιθανότητα αυτή είναι η πιθανότητα αυτής της τομής. Αλλά η πιθανότητα μέχρι εδώ δίνεται από τη δυναμική κατανομή. Και επί την πιθανότητα τυχιωστή φορά να έχω α. Η πιθανότητα μέχρι εδώ, κοιτάξτε να δείτε, στις χ-1 φορές να συμβεί αρ-1 φορές το α είναι δυναμική. Και έχουμε στις χ-1 φορές συνδυασμούς επί π, στην αρ-1, επί 1-π, στην χ-1, αρ-1. Αυτός είναι ο τύπος της δυναμικής μέχρι εδώ. Γιατί λέω στις χ-1 δοκιμές να φανεί αρ-1 φορές το α όταν η πιθανότητα είναι π να φανεί και αρ-1 π να μην φανεί είναι δυναμική. Και ο τύπος είναι αυτός, η πιθανότητα είναι αυτή. Επί την πιθανότητα να συμβεί το α τυχιωστή φορά είναι π. Έτσι λοιπόν βγάζουμε την πιθανότητα στην αρνητική δυναμική. Περισσότερα μπορείτε να δείτε στο βιβλίο, να δείτε και ένα παράδειγμα, γιατί πρέπει να μιλήσουμε στον υπόλοιπο χρόνο που έχουμε για την Πουασσόν κατανομή. Το στεράκι είναι π. Τονίζω ότι είναι γινόμενο εκεί πέρα, π. Και πάμε σε μια πολύ χρήσιμη κατανομή, ίσως την πιο χρησιμότερη, την Πουασσόν. Η Πουασσόν προέρχεται από τη δυναμική. Η δυναμική αναφέρεται σε αριθμό δοκιμών, ενώ η Πουασσόν αναφέρεται σε χρόνο, επιφάνεια κλπ. Η πιο χρήσιμη λοιπόν είναι η Πουασσόν. Κυρίως τους μηχανικούς, εκτός από τη δυναμική γεωμετρική, έχουμε την Πουασσόν. Η τυχαία μεταβλητή χει έχει ένα συμβολισμό ενδείχτη ταφ, συνήθως ταφ ή οτιδήποτε είναι αυτό, και τι παριστάνει, παριστάνει αριθμό εμφάνισης του α σε χρόνο ταφ. Και μεταβλητή χει, έχει ένα δείχτυ εδώ πέρα ταφ, παριστάνει αριθμό εμφάνισης του α, όχι σε ενδοκιμές μπερνουλή, αλλά σε χρόνο ταφ. Μπορεί να παριστάνει τον αριθμό άφεξης αεροπλάνων σε κάποιο χρονικό διάστημα σε ένα αεροδρόμιο. Μπορεί να παριστάνει τον αριθμό άφεξης αυτοκινήτων σε ένα πρατήριο, αλλά σε κάποιο χρονικό διάστημα. Ή μπορεί να παριστάνει όμως και τον αριθμό αντιχειμάτων που γίνονται κατά μήκος τάφ ενός δρόμου. Δηλαδή το τάφ δεν απαραίτηται να είναι χρόνος, μπορεί να είναι και μία απόσταση πάνω στο δρόμο, ή μπορεί να είναι και μία επιφάνεια. Μπορεί να παριστάνει τον αριθμό ελαττωματικών πλακυβίων πάνω σε μία επιφάνεια που έχει στρωθεί με πλακάκια. Ή μπορεί να παριστάνει τον αριθμό τυπογραφικών λαθών σε ένα βιβλίο. Ή μπορεί να παριστάνει τον αριθμό πρατηρίων που θα συναντήσει κάποιος οδηγός κατά μήκους ενός δρόμου. Με λίγα λόγια μοιάζει με τη δυναιμική. Παριστάνει αριθμό εμφάνισης του α, αλλά όχι σε ενδοκιμές. Σε κάποιο χρονικό διάστημα τάφ ή σε κάποια επιφάνεια ή σε κάποιο όγκο, όπως θα λέγαμε. Για να ακολουθεί κατανομή ποασών, δηλαδή τον τύπο της ποασών που θα υποδείξουμε σε λίγο, θα πρέπει η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή χ τάφ να πάρει μία τιμή χ μικρό. Δεν εξαρτάται από πότε αρχίζει το τάφ και πότε τελειώνει, αλλά από το μήκος του τάφ. Αυτή η πιθανότητα, δηλαδή σε χρονικό διάστημα τάφ να συμβεί χ φορές το α, δεν εξαρτάται από το μήκος του τάφ. Δηλαδή, αν είναι σε μία ώρα, δεν εξαρτάται αν είναι από τις 10 μέχρι τις 11, ή από τις 6 μέχρι τις 7, ή από τις 12 μέχρι τις 1 το βράδυ. Αναφέρετε, αυτή η πιθανότητα εξαρτάται μόνο από το μήκος του χρόνου. Αυτή είναι η βασική προϋπόδηση. Δεύτερον, υπάρχει ένα μικρό χρονικό διάστημα ΔΤ, μπορώ να βρω ένα μικρό χρονικό διάστημα ΔΤ, έτσι ώστε μέσα στο ΔΤ να συμβεί το πολύ μία φορά το άλλο. Δεύτερον, υπάρχει ένα μικρό χρονικό διάστημα ΔΤ, μπορώ να βρω ένα μικρό χρονικό διάστημα ΔΤ, έτσι ώστε μέσα στο ΔΤ να συμβεί το πολύ μία φορά το άλλο. Και τρίτον, η πιθανότητα στο χρονικό διάστημα ΔΤ να συμβεί μία φορά, το αρχίω να πάρω την τιμή 1 μέσα σε αυτό το μικρό χρονικό διάστημα, ισούτε με το μήκος του ΔΤ, επί μία παράμετρο λάμπου. Η πιθανότητα μέσα σε αυτό το μικρό χρονικό διάστημα να συμβεί μία φορά το γεγονός α, ισούτε με το μήκος του ΔΤ, επί μία σταθερά παράμετρο λάμπου. Εάν ισχύουν αυτές οι προϋποθέσεις, τότε μπορούμε να γράψουμε τον τύπο της Πουασών. Πρέπει να δώσουμε όμως, πριν γράψουμε τον τύπο της Πουασών, τη συνάρτηση μας πιθανότητας, να πούμε ποιο είναι το πεδίο τιμών της Χ. Το πεδίο τιμών της Χ ποιο μπορεί να είναι. Σε χρονικό διάστημα Τ, πόσα γεγονότα μπορούν να συμβούνε. Μπορεί κανένα, μπορεί ένα, μπορεί δύο, τρία, αυτό μπορεί να πάει μέχρι το άπειρο. Άπειρες τιμές. Μια τυχαία μεταβλητή, όπως την ορίσαμε, διότι δεν είναι όπως τις εν δοκιμές περνούλι που έπαιρνε τιμή από τον πινέν μέχρι το εν. Γιατί δεν υπάρχουν εν δοκιμές. Μέσα στο χρονικό διάστημα Τ, όπως θα δούμε αργότερα να εξηγήσουμε, μπορούμε να έχουμε άπειρες δοκιμές περνούλι. Γι' αυτό μπορεί να πάρει, ο αριθμός εφάνισης του α, μπορεί να φτάσει μέχρι το άπειρο. Κέλος, η πιθανότητα τυχαία μεταβλητή. Να πάρει τη μη χ μικρό, ισούτε με ε, ή στη μία λ, επί τάφ, επί λ, επί τάφ, ή στην χ μικρό, προσχή παραγοντικό. Αυτό το ντύπο τον ανέπτυξε για πρώτη φορά ο Πουασόλ. Αυτό βγαίνει ως εξής, θα το πούμε περιλητικά, έχουμε ένα χρονικό διάστημα Τ. Αν το χρονικό διάστημα Τ το χωρίσουμε σε ΔΤ χρονικά διαστήματα, σε πολλά χρονικά διαστήματα, μικρούς σε ΔΤ, τότε πόσα διαστήματα έχουμε, χωρίσαμε το τάφ, αν το διαιρέσαμε με ΔΤ και αν το ΔΤ είναι πολύ μικρό, αν το ΔΤ είναι στο μηδέν, είναι πολύ μικρό, τότε αυτό εδώ είναι στο άπειρο. Αν έχουμε το εξής γεγονός ή πρόβλημα, διχευμανταβλητή χ παριστάνει τον αριθμό εμφάνισης Α σε ένα χρονικό διάστημα Τ και θέλουμε να βρούμε την πιθανότητα στον χρονικό διάστημα Τ να συμβούνε χ φορές το γεγονός Α. Ο Πουασόνι είπε ότι μπορούμε να χωρίσουμε το χρονικό διάστημα Τ σε πολλά μικρά χρονικά διαστήματα ΔΤ. Προσέξτε όμως το ΔΤ τι είναι. Είναι η δεύτερη προϋπόθεση ότι μέσα στο ΔΤ μπορεί να συμβεί μηδέν φορές το Α ή ένα. Δηλαδή, μέσα σε αυτό το χρονικό διάστημα ΔΤ, μέσα σε κάθε μικρό χρονικό διάστημα έχουμε μία δοκιμή μπερνούλη, όπου μπορεί μηδέν φορές να συμβεί το γεγονός Α ή ένα. Άρα δηλαδή, μέσα στο Τ έχουμε πόση δοκιμή μπερνούλη. Είναι σε πόσα διαστήματα το χωρίσαμε, αν διαρέσουμε το Τ με το ΔΤ. Κι αν το ΔΤ είναι πολύ μικρό, ο αριθμός της θυμάτων αυτός είναι μεγάλος, πολύ μεγάλος. Και κοιτάξτε και την τρίτη προϋπόθεση. Η πιθανότητα ότι μέσα σε κάθε χρονικό διάστημα ΔΤ να πάρει την τιμή ένα, ισούται με λ, επί ΔΤ. Δηλαδή αυτό εδώ πέρα είναι το π. Αν έχουμε δηλαδή μία διονυμική κατανομή, όπου έχουμε αριθμό δοκιμών 1, το οποίο ισούται με τ, προς ΔΤ. Αν έχουμε μία σαθερή πιθανότητα σε κάθε ΔΤ να συμβεί το γεγονός α, όπως την διονυμική κατανομή, είναι λ, επί ΔΤ. Και αν το 1 τύνει στο άπριο, είναι πολύ μεγάλο, και αυτή η πιθανότητα τύνει στο μηδέν, αν συμβαίνουν αυτά στη διονυμική, η πιθανότητα, η τυχαία μεταβολική χ, να πάρει την τιμή χ μικρό, είναι συνδυασμή 1αχ, επί π, εις η χ, επί 1μπ, εις η 1μχ. Στην διονυμική έχουμε αυτή την πιθανότητα, η τυχαία μεταβολική, στις 1δοκιμές, να πάρει τη μήχη μικρό, είναι ο τύπος της διονυμικής. Αν όμως το 1 το αντικαταστήσουμε με τ, προ ΔΤ, το π βέβαια είναι πολύ μεγάλο, και το π είναι πολύ μικρό, τότε αν κάνετε πράξεις εδώ πέρα, το όριο αυτής της πιθανότητας, προσυγγίζει το ε, η θυμή λεπιταφ, επί λεπιταφ, εις την χ, προς χ πραγματικό. Γίνονται κάποιες απλουστεύσεις, γίνονται κάποια τρίκ εκεί πέρα μαθηματικά, με βάση στα προηγούμενα, και η πιθανότητα της διονυμικής εξελίσσεται στο τύπο της ΠΟΑΣΟΝ, με την προϋπόθεση βέβαια, ότι ισχύουν αυτές οι τρεις προϋποθέσεις. Το όριο αυτής της πιθανότητας είναι ο τύπος της ΠΟΑΣΟΝ. Το όριο καθώς το ε είναι άπειρο και το π είναι στο μηδέν. Και αυτό το ανακάλυψε ο ΠΟΑΣΟΝ, πώς δηλαδή, είπε ότι για να έχουν την πιθανότητα να συμβούνε χ γεγονότα σε ένα χρονικό διάστημα, μπορώ να το χωρίσω σε πολλά μικρά χρονικά διάστηματα, για να έχουμε δοκιμές μπερνούλι, για να ξεκινήσουμε από το τύπο της διονυμικής. Όπου θέλουμε να συμβεί χ φορές το α και βέβαια μπορούμε να εφαρμόσουμε το τύπο, αλλά όπου το ε είναι ο αριθμός δοκιμών, δηλαδή ο αριθμός διάστημάτων στο οποίο χωρίσαμε το χρονικό διάστημα τ. Και η προϋπόθεση βέβαια, ότι η πιθανότητα να συμβεί μία φορά το α στο ΔΤ, είναι η προϋπόθεση λεπι ΔΤ. Η πρώτη προϋπόθεση είναι ότι η πιθανότητα σε ένα σταθμό να έχουν χ αυτοκίνητα σε μία ώρα, δεν εξαρτάται αν θα είναι πρωί, αν θα είναι απόγευμα, εξαρτάται μόνο από το μήκος του χρόνου, μία ώρα. Δεν εξαρτάται αν θα είναι από τις 10 μέχρι τις 11 ή από τις 12 μέχρι... αυτό τι σημαίνει λίγο να εξηγήσω. Αυτό σημαίνει ότι τα γεγονότα συμβαίνουν τυχαία μέσα στο χρόνο. Τα γεγονότα της Poisson α, τα α γεγονότα συμβαίνουν τυχαία μέσα στο χρόνο. Δηλαδή, το αυτοκίνητο έρχεται σε ένα γκαράζ τυχαία μέσα στο χρόνο. Ισοπίθαρα θα είναι το πρωί, έρχεται με την ίδια συχνότητα το πρωί, με την ίδια συχνότητα το βράδυ κτλ. Δεν αλλάζουν οι συχνότητες, δεν αλλάζει η πιθανότητα να φύγει. Υπάρχει μεγαλύτερη πιθανότητα να φύγει το πρωί παραπάνω αυτοκίνητα και λιγότερο το βράδυ. Αν ήταν έση δεν θα ήταν το Poisson. Ναι, εδώ πέρα στην Poisson έχουμε περίοδο επαναφοράς. Αλλά περίοδος επαναφοράς θα το δούμε στο επόμενο μάθημα. Αυτός είναι ο χρόνος. Εδώ συμβαίνει το γεγονότα α. Εδώ, εδώ, εδώ. Μετά πιο πέρα το γεγονότα α συμβαίνουν εδώ μέσα στο χρόνο. Αφήξεις αυτοκίνητος έναν καράδ. Καθώς περνάει ο χρόνος. Η περίοδος επαναφοράς, όπως είχαμε πει στη Γεωμετρική, είναι ο αριθμός δοκιμών μέχρι παρυφάνισης του α. Ή ο μέσος αριθμός δοκιμών μέχρι παρυφάνισης του α. Εδώ δεν έχουμε δοκιμές μέχρι παρυφάνισης του α. Έχουμε μέσο χρόνο επαρυφάνισης του α. Και ο μέσος χρόνος είναι η συνεχής ικέα μεταβλητή. Και θα το δούμε στο επόμενο μάθημα με την εκθετική κατανομή που είχαμε χρησιμοποιήσει σε παραδείγματα. Που παρίστερα θυμάστε τον χρόνο καλής λειτουργίας ενός συστήματος, το οποίο το καταστρέφουν κάποια γεγονότα τυχαία στον χρόνο που μπορεί να συμβούνε. Έτσι, αν ένα σύστημα δεν φτήρεται με την πάροδο του χρόνου, αλλά η καλή τη λειτουργία επηρεάζεται από τυχαία γεγονότα κάποια θεομενία που μπορεί να το καταστρέψει. Και τα οποία συμβαίνουν τυχαία μέσα στον χρόνο. Τότε, το μέσοχρονικό διάστημα επανεμφάνισης αυτού του γεγονότος, η περίοδος επαναφοράς, είναι μέσος χρόνος, είναι συνεχής τυχαία μεταβλητή, δεν είναι αριθμός δοκιμών. Και αυτή είναι η διαφορά της διονομικής και της γεωμετρικής, με τις μπουασών και την εκθετική, που θα αναπτύξουμε βέβαια στο επόμενο μάθημα γιατί είναι συνεχής. Και να πούμε ένα απλό παράδειγμα με την μπουασών. Στην μπουασών, ο μέσος αριθμός επανεμφάνισης του α, το μέσο χτ, αν εφαρμόσουμε τον ορισμό που δώσαμε για τη μέση τιμή, αν πάρουμε δηλαδή άθλησμα όλων των τιμών χ, χ ίσον από μηδέν μέχρι άπειρο, επιέει στη μία λεπιτάθ, επιλάμδα επιτάθ, εις την χ προς χ παραγωδικό, αν κάνουμε πράξεις μετά από μαθηματικά τρίκ κτλ, αυτό οδηγείται στο λεπιτάθ. Και η διακύμανση, πάλι είναι το ίδιο, αν εφαρμόσουμε τον ορισμό, μπορείτε να το διαβάσετε λεπτομέρειες μέσα στο βιβλίο, είναι λάμδα επιτάθ. Και να κάνουμε ένα παράδειγμα, σε μία σεισμογενή περιοχή, συμβαίνουν 16 σεισμοί ανα 180 χρόνια. Εδώ πέρα να επιθυμίσω ότι, αφού η μέση στη μη του χ τάφ, τον αριθμό εμφάνισης του α σε τάφ χρονικό διάστημα, είναι λάμδα επί τάφ, το λάμδα παριστάνει, το λάμδα π1, το λάμδα είναι ο μέσος αριθμός εμφάνισης του α στη μονάδα για τάφ 1, στη μονάδα του χρόνου. Δηλαδή το λάμδα είναι ο μέσος αριθμός εμφάνισης του α στη μονάδα του χρόνου ή στη μονάδα μήκους του δρόμου, αν έχουμε μήκος, ή στη μονάδα επιφάνειας, αν έχουμε επιφάνειο. Το λάμδα λοιπόν είναι η μέση της χ της ποασών στη μονάδα του χρόνου ή του μήκους της επιφάνειας κτλ. Σε μία σεισμογενή περιοχή έχουμε 16 ισχυρούς σεισμούς στα 180 χρόνια. Δηλαδή περάσανε 180 χρόνια και σημειώθηκαν 16 ισχυροί σεισμοί. Ποιος είναι ο μέσος αριθμός σεισμών ανά χρόνο? Είναι 16 ανά 80, συγγνώμη εδώ πέρα βάλετε 80 χρονιά, όχι 180, το οποίο ισούνται με 0.2. 0.2 σεισμί ισχυροί ανά χρόνο. Είπαμε ότι το λάμδα η μέση τιμή είναι μια στοιχειάς μεταβλητής, όπως είπαμε στο προηγούμενο μάθημα. Μπορεί να είναι μια τιμή που να μην έχει νόημα πρακτικό, γιατί ο μέσος αριθμός σεισμών θα περιμένει κανένας να είναι τιμές από την τιχαία μεταβλητή, δηλαδή ένας σεισμός, δύο, τρεις, αλλά μπορεί να είναι και μια τιμή που δεν είναι και στο παιδιωτιμόν, είναι 0.2. Ποια επιθανότητα στα επόμενα 10 χρόνια να συμβούν δύο σεισμοί? Το X10 παριστάνει αριθμός σεισμών που θα συμβούν στα 10 χρόνια και παίρνει τιμή από το 0, 1, 2 μέχρι το άπειρο. Στην Μπουασόνη την τιχαία μεταβλητή παίρνει τιμές από το 0 μέχρι το άπειρο. Στα 10 χρόνια μπορεί να συμβεί μηδέν σεισμός, 1, 2 ή και άπειρο θεωρητικά, με απειρολάχιστο βέβαια πιθανότητα. Ποια επιθανότητα στα 10 χρόνια να συμβούν δύο σεισμοί από σήμερα ή σε οποιοδήποτε 10 χρόνια. Ή από σήμερα στα επόμενα 10 χρόνια ή σε οποιοδήποτε 10 χρόνια να συμβούν δύο σεισμοί. Έχει σημείο λαμδά επί τάφ, 0,2, επί 10, 0,2, επί 10 είναι ο τύπος της Πουασόν. Είναι δύο παραγωδικό. Εφαρμόζουμε το τύπο της Πουασόν, το λαμδά είναι 0,2 ανά έτος, το τάφ είναι 10, αλλά λοιπόν αυτή η πιθανότητα ίσουτε περίπου 27%. Και να κάνω μια ερώτηση τώρα, πόσους ισχυρούς σεισμούς περιμένεται στα 20 χρόνια. Ποιος θα μου πει. Αν ο μέσος αριθμός σεισμών είναι 0,2, το εχ τάφ, το εχ εις την 20, από εδώ. Αφού τον έχω δώσει δύο. Αν το χ 20 παριστάνει αριθμός σεισμών στα 20 χρόνια. Ποιος είναι ο μέσος αριθμός του χ 20, ποιος είναι ο μέσος αριθμός ισχυρών σεισμών στα 20 χρόνια. Ναι, είναι σύμφωνα με το τύπο λαμδά πιθανότητα ίσουτε 0,2 επί 20. Τέσσερι ισχυρούς σεισμούς περιμένουμε στα 20 χρόνια. Πριν τελείωσε θέλω να πω, καταλάβατε πιάνει η ομοιότητα της διονυμικής με την ποασόν. Η ποασόν αναφέρεται σε αριθμό εμφάνισης του α σε συνεχές χρόνου. Η μήκος η επιφάνεια. Στη διονυμική η τυχαία μεταβελτή παριστάνει αριθμό εμφάνισης του α σε συγκεκριμένο αριθμό δοκιμών. Στις 10 δοκιμές, στις 20 δοκιμές, στις 20, τελικά. Και όπως θα δούμε η γεωμετρική που είδαμε αντίστοιχα με τη διονυμική που παριστάνει το μέσο αριθμό δοκιμών επάνυφάνισης του α, θα το δούμε σαν συνεχή τυχαία μεταβελτή στην ποασόν που παριστάνει το μέσο χρόνο, όχι αριθμό δοκιμών, μέσο χρόνο ή μήκος, που είναι συνεχή τυχαία μεταβελτή μέχρι επάνυφάνιση του α. Και είναι η εκδητική κατανομή που είναι πολύ χρήσιμη. Λοιπόν, να δούμε πρώτα τη διονυμική. Η διονυμική κι αυτή εδώ είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής. Περιγράφει ένα πείραμα με δύο δυνατά αποτελέσματα. Ή θα έχω επιτυχία, ή θα έχω αποτυχία. Επομένως, επαναλαμβάνω ανεξάρτητες φορές, έναν ανεξάρτητες φορές το πείραμα, ως ότου έχω τις κάποιες επιτυχίες που θέλω να μου βγούνε. Ο τύπος που δίνει την πιθανότητα να έχω σε μία ανεξάρτητα πειράματα κάπου επιτυχίες είναι αυτός εδώ. Όπου πει, συμβολίζει την επιτυχία. Βέβαια, σαν επιτυχία ή αποτυχία, ο καθένας ορίζει ότι θέλει αυτός σαν επιτυχία ή αποτυχία. Οπότε, το πρώτο πρόβλημα λέει... Στο φανάρι, λέει, της διασταύρωσης από το οποίο περνάτε κάθε πρωί με το αυτοκίνητό σας, 20% του χρόνου δείχνει πράσινο για τη δική σας κατεύθυνση. Υποθέστε, λέει, ότι κάθε πρωί παριστάνει μια ανεξάρτητη δοκιμή. Για πέντε, λέει, πρωινά, ποια είναι η πιθανότητα ότι μόνο μία φορά δεν σταματήσατε στο φανάρι. Μας δίνει 20% ότι δείχνει πράσινο. Επομένως, με το 20% σημαίνει ότι κάθε φορά περνάω. Πόσες φορές θα γίνει το πείρμα από τη στιγμή που λέει ότι για πέντε πρωινά σημαίνει ότι εγώ θα εκτελέσω το πείρμα πέντε φορές. Είπαμε και ότι είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Άρα, εκεί πέρα το ν θα είναι ίσο με το πέντε. Μετά, εξαρτάται το τι θα θεωρήσω εγώ σαν επιτυχία και τι θα θεωρήσω σαν αποτυχία. Δηλαδή, αν πάρω εγώ το 20%, δηλαδή όπου το Π βάλει εδώ πέρα 20%, σημαίνει ότι θεωρώ επιτυχία να περάσω. Επομένως, αυτό που λέει ότι για πέντε πρωινά πιένει πιθανότητα ότι μόνο μια φορά δεν σταμάτησα σημαίνει ότι θα πάρω σαν επιτυχία το να περάσω, άρα πρέπει να βάλω χ ίσον 4. Δηλαδή, να περάσω τις τέσσερις φορές αφού τη μία μου λέει ότι δεν θα περάσω. Αν ορίσω το χ σαν επιτυχία το να μην περάσω, τότε το ποσοστό θα αλλάξει σε 0,8 και θα πω το χ να είναι ίσο με το 1. Δηλαδή, εξαρτάται το τι θα ορίσει κανείς ως επιτυχία ή αποτυχία. Τώρα εγώ έτσι όπως είναι, σύμφωνα με τα ερωτήματα για να γλιτώσω πράξεις, θα θεωρήσω σαν επιτυχία το να μην περάσω από το φανάρι. Επομένως, αν είναι 20% να είναι πράσινο, το 80% είναι να μην είναι πράσινο, αλλά δεν περνάω. Επομένως, σαν χ θα ορίσω τον αρισμό των επιτυχιών και θα ορίσω εγώ σαν επιτυχία το να μην περάσω. Επομένως, η πιθανότητα αυτή θα είναι ίση με 80%, αφού 20% είναι να περάσω. Και λέει τώρα το πρώτο το ερώτημα. Για 5 πρωί να πια είναι η πιθανότητα ότι μόνο μία φορά δεν σταμάτησε στο φανάρι, άρα εγώ θα κάνω, που ένειπω με 5 ανεξάρτητα πειράματα, να περάσω 5 φορές στο φανάρι. Και ψάχνω την πιθανότητα τη μία φορά να μην σταματήσω. Άρα ο αριθμός των επιτυχιών θα είναι ίσον με 1, αφού στις πέντε φορές τη μία μόνο δεν θα σταματήσω. Επομένως, αν έρθω να κάνω αντικατάσταση στον τύπο, θα έχω πέντε αν ένα. Το π είναι 0,8 στην πρώτη. Και εδώ θα έχω ένα μίον 0,8, πέντε μίον 4. Το π αν ένα, είπαμε, και την πριγούμενη φορά είναι πέντε παραγωτικό, εδώ είναι ένα παραγωτικό. Ορίστε. Ναι, ναι, ναι, εγώ το έκανα. Ευχαριστώ. Λοιπόν, εδώ είναι πέντε μίον ένα. Και εδώ θα έχω πέντε μίον τέσσερα παραγωτικό, 0,8 επί 0,2 στην τετάρτη. Τώρα, το π παραγωτικό θα το σπάσω σε τέσσερα παραγωτικό επί πέντε για να φύγει από εδώ κάτω. Ναι, ναι, ναι. Οπότε θα έχω τέσσερα επί πέντε παραγωτικό. Εδώ θα είναι ένα παραγωτικό και εδώ θα είναι τέσσερα παραγωτικό. Εδώ θα έχω 0,8 επί 0,2 στην τετάρτη. Άρα αυτό το τέσσερα παραγωτικό θα απλοποιηθεί με αυτό. Και τελικά το αποτέλεσμά μου θα βγει 6,4 επί 10 στη μία τρίτη, αν κάνετε τις πράξεις. Επομένως, η πιθανότητα στις πέντε φορές να σταματήσω μία φορά είναι πάρα πολύ μικρή. Είναι 0,0064. Λοιπόν, αυτό εδώ πέρα ήταν το πρώτο ερώτημα. Μετά το δεύτερο ερώτημα έλεγε για 20 πρωινά, ποια είναι η πιθανότητα ότι δεν σταμάτησες το φανάρι περισσότερο από τέσσερις φορές. Λοιπόν, αφού το έχει είπαμε ότι μετράει το πόσους φορές δεν πέρασα, τι λέει να μην περάσει το φανάρι τέσσερις φορές. Άρα, η πιθανότητα που ψάχνω είναι το χ, που μετράει ότι δεν περνάω από το φανάρι, να είναι μικρότερο ίσο από το τέσσερι. Επομένως, αν πω ότι αυτό είναι το πρώτο ερώτημα, την ερώτηση για το δεύτερο ερώτημα, δεν για το πρώτο. Λοιπόν, το δεύτερο λέει, ποια είναι η πιθανότητα για 20 πρωινά, να μην σταματήσω στο φανάρι περισσότερο από τέσσερις φορές. Οπότε, πόσες φορές θα κάνω το πείραμα 20. Δηλαδή, το 1 εδώ πέρα θα είναι 20. 20 πρωινά θα πάω. Και θέλω σε αυτά τα 20 πρωινά να μην περάσω περισσότερο, να μην σταματήσω στο φανάρι περισσότερο από τέσσερις φορές. Αφού το χ μετρά, είπαμε πόσες φορές θα σταματήσω στο φανάρι, εγώ δεν θέλω να σταματήσω πάνω από τέσσερις φορές, αλλά θέλω το χ να είναι μικρότερο ίσο από το τέσσερι. Επομένως, η πιθανότητα που ψάχνω είναι το χ να είναι μικρότερο ίσο από το τέσσερι. Τώρα, αυτή εδώ πέρα η πιθανότητα, επειδή έχω διακριτή κατανομή όπως είπαμε, είναι το π να είναι χ ίσο με 1, η πιθανότητα το χ να είναι ίσο με 2, στην πιθανότητα το χ να είναι ίσο με το 3, και την πιθανότητα το χ να είναι ίσο με το 4. Οπότε, κάθε μία από αυτές αναλύεται. Εδώ, η πιθανότητα το χ να είναι ίσο με 1, δηλαδή να σταματήσω μία φορά στις 20 φορές που θα περάσω, θα είναι 20-1, 0,8-1, 0,2-19, 20-2, 0,8-2, 0,2-18. Τώρα δεν το συνεχίζω από εδώ και πέρα, είναι καθαρά πράξη. Οπότε, η πιθανότητα να μην σταματήσω στο φανάρι περισσότερες από 4 φορές, υπολογίστε το πράγμα, κάντε τη πράξη και βγάζετε το αποτέλεσμα. Λοιπόν, υπάρχει απορία στην διονυμική κατανομή, είναι κάτι που θέλει να ρωτήσει και στο πρόβλημα. Όχι, ωραία. Πάμε στη γεωμετρική κατανομή τώρα. Λοιπόν, η γεωμετρική κατανομή είναι μια διακριτή και αυτή συνάρτηση κατανομής, περιγράφει ένα το τυχαίο πείραμα πάλι με δύο περιπτώσεις, έχω επιτυχία ή έχω αποτυχία και κάθε φορά τι κάνω, επαναλαμβάνω το πείραμα μέχρι να έχω την πρώτη επιτυχία. Επαναλαμβάνω το πείραμα, ξαναλέω ότι θα ορίσω εγώ σαν επιτυχία και σαν αποτυχία. Η πιθανότητα τώρα να χρειαστούμε ένα δοκιμές μέχρι να είναι επιτυχία, μας δίνει πέισον, χίσον, νι, πέ, ένα μειον πι, ένα μειον ένα. Δηλαδή κάνω ένα φορές το πείραμα, κάνω ένα δοκιμές μέχρι να έρθει η πρώτη επιτυχία και μετά σταματάει. Αυτό περιγράφει η γεωμετρική κατανομή τώρα. Άσκηση πάνω σε αυτό. Λέει η άσκηση. Υποθέστε λέει ότι κάθε τηλεφωνική κλήση σας προς ένα δημοφιλή ραδιοφωνικό σταθμό έχει πιθανότητα 0,02 για σύνδεση. Άρα η πιθανότητα να πιάσω γραμμή είναι ίσον με πέ ίσον, 0,02. Δηλαδή λέει να μην είναι απασχολημένη η γραμμή. Υποθέτουμε λέει ακόμη ότι τηλεφωνική κλήση είναι στατιστικά ανεξάρτητες. Πρώτο ερώτημα λέει ποια είναι η πιθανότητα να συνδεθείτε με το ραδιοφωνικό σταθμό στη δέκατη τηλεφωνική σας προσπάθεια. Επομένως θέλω να βρω την πιθανότητα το Χ να είναι ίσον με ίσον με το 10. Βαμβαμμένος θα έρθω εδώ στον τύπο το π είναι 0,02 θα έχω 0,02 επί 1-0,02-1. Ορίστε εδώ. Να μην σταματήσω καθόλου. Α για τη διαιονομική μονεστόρ. Λοιπόν ποια είναι η πιθανότητα για η 20η προνέα πιθανότητα ότι δεν σταματήσετε στο φανάρι περισσότερες από 4 φορές. Δεν το έβαλα το π έχει ίσον με 0. Ωραία. Βλέπε και αυτό. Έχεις δίκιο. Λοιπόν συμπληρώστε και αυτό. Ευχαριστώ. Μικρή πιθανότητα αλλά υπάρχει. Ορίστε. Να ξαναπαναλάβω αυτό το πρόβλημα. Λοιπόν λέει υποθέστε ότι κάθε τηλεφωνική κλήση σας προς ένα δειδοφιλή ραδιοφωνικό σταθμό έχει πιθανότητα 0,02 για σύνδεση. Δηλαδή να μην είναι απασχολημένη η γραμμή. Υποθέτουμε ακόμη λέει ότι τηλεφωνικές κλήσης είναι στατιστικά ανεξάρτητες. Το πρώτο λέει ποια είναι η πιθανότητα να συνδεθείτε με το ραδιοφωνικό σταθμό στη δέκατη τηλεφωνική σας προσπάθεια. Άρα κάνω 10 φορές το πείραμα μέχρι να έχω επιτυχία δηλαδή να συνδεθώ. Εμωμένως το π έχει ίσον 10. Έχω εδώ βάζω τα νούμερα. Άρα θα έχω 0,98 ή στην ενάτη εδώ πέρα και τώρα το τέλος μου βγαίνει 0,016 κτλ. Αυτό είναι το πρώτο ερώτημα. Το δεύτερο λέει ποια είναι η πιθανότητα ότι για να συνδεθείτε με το ραδιοφωνικό σταθμό απαιτούνται πάνω από πέντε τηλεφωνικές κλήσεις. Επομένως η πιθανότητα που τσάχνω αφού θέλω πάνω από πέντε τηλεφωνικές κλήσεις είναι το χ να είναι μεγαλύτερο του πέντε. Αν πάρω το συμπληρωματικό, ουσιαστικά αυτό θα είναι ίσο με 1, μείον την πιθανότητα το χ να είναι μικρότερο ίσο από το πέντε. Λοιπόν, ποια είναι η πιθανότητα ότι για να συνδεθείτε με το ραδιοφωνικό σταθμό απαιτούνται πάνω από πέντε τηλεφωνικές κλήσεις. Επομένως θέλω την πιθανότητα το χ να είναι μεγαλύτερο από το πέντε, όπου το χ μετράει με το πόσης κλήση θα κάνω. Επομένως, αντί να υπολογίσω το χ μεγαλύτερο του πέντε, υπολογίζω το 1 μίον πέχει μικρότερο ίσο του πέντε, γιατί αυτά εδώ πέρα είναι συμπληρωματικά. Επομένως, αυτό θα είναι 1 μίον, την πιθανότητα να πάρω μία φορά, μίον την πιθανότητα να πάρω δύο φορές, μίον την πιθανότητα να πάρω τρεις φορές, μίον την πιθανότητα να πάρω τέσσερις, μίον την πιθανότητα να πάρω πέντε. Οπότε, αν κάνω αντικατάσταση σε τα νούμερα, θα έχω 1 μίον, 0,02. Αν κάνετε τις πράξεις, αυτό βγαίνει 0,8858. Επομένως, η πιθανότητα για να πιάσω γραμμή, οι κλείσεις μου να είναι μεγαλύτεροι πάνω από πέντε, να πάρω πάνω από πέντε φορές, είναι ίσο 0,8858, αν κάνετε όλες αυτές εδώ τις πράξεις. Και μετά, το τελευταίο το ερώτημα λέει ποιος είναι ο μέσος αριθμός κλείσεων για να συνδεθείτε με το ραδιοφωνικό σταθμό. Τώρα, για κάθε κατανομή, έχετε από δίπλα και τη μέση τιμή στον τυπολογιό σας. Η κατανομή που δίνεται εδώ πέρα που έχουμε τη γεωμετρική, η πιθανότητα λέει μέσα, το ίχ, είναι 1 προς π, όπου π είναι το 0,02. Επομένως, είναι ίσο με 50. Θεωρητικά, η μέση τιμή λέει ποιος ο μέσος αριθμός κλείσεων για να συνδεθείτε με το ραδιοφωνικό σταθμό. Λέει μέσα στα θεωρητικά ότι στην γεωμετρική κατανομή το ίχ είναι ίσο με 1 προς π. Άρα αυτό το π είναι 0,02, αν κάνω ένα προς 0,02 μου βγάζει κατευθείαν τη μέση τιμή και είναι το 50. Παίζω. Να μην πάρω καθόλου τηλέφωνο, πώς θα πιάσω γραμμή. Καμιά πορεία από τη γεωμετρική κατανομή. Όχι. Ωραία. Πάμε τώρα στην αρνητική διανομική Pascal, όπως λέγεται. Παρακαλώ. Λοιπόν, ο τύπος για αυτήν εδώ είναι πέχει ίσον με k. Λοιπόν, πάλι είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής. Περιγράφει πάλι ένα τυχαίο πείραμα που θα έχω δύο πιθανά αποτελέσματα, είτε θα έχω επιτυχία είτε θα έχω αποτυχία. Το ποσοστό πιθανότητας της επιτυχίας μας θα είναι ίσο με το π, που θα μας το δίνει η άσκηση, θα το βγάζω. Και επαναλαμβάνω το πείραμα μέχρι να έχω r επιτυχίες. Προφανώς το r εδώ πέρα είναι οι επιτυχίες και το k θα είναι οι επιτυχίες. Και η τελευταία εκτέλεση που θα κάνω, επειδή εγώ το επαναλαμβάνω αυτό το πείραμα μέχρι να έχω r επιτυχίες, προφανώς το τέλος, η τελευταία που θα έχω θα είναι επιτυχία. Επομένως, με βάση αυτή εδώ τώρα, ξαναλέω το r είναι οι επιτυχίες και το k είναι οι αποτυχίες. Λέει το πρόβλημα. Ας υποθέσουμε, λέει, ότι η τυχαία μεταβλητή x ακολουθεί αρνητική διονυμική Πασκάλ κατανομή. Με πιθανότητα επιτυχίας το π είναι ίσο με 0,2. Και το r να είναι ίσο με το 4, δηλαδή το πλήθος των επιτυχιών που θέλω θέλω να είναι ίσο με το 4. Λέει τώρα, προσδιορίστε τα ακόλουθα. Πρώτα λέει να βγάλουμε τη μέση τιμή. Η μέση τιμή στην Πασκάλ την κατανομή, πάλι θεωρητικά, έχει αποδειχθεί ότι είναι ίση με ρπ προς 1-π. Επομένως, όπου ρ αν βάλω 4, επί 0,2, δια το 0,8, αυτό βγαίνει ίσο με το 1. Άρα η μέση τιμή σε αυτή την περίπτωση είναι ίση με το 1, είναι απλή αντικατάσταση. Μετά, το δεύτερο που ζητά είναι την πιθανότητα το x να είναι ίσο μαζί με το 20. Δηλαδή στις 20 φορές που θα γίνει το πείραμα, 4 να είναι επιτυχίες μου. Θα έχω π x ίσον με 20. Αν έρθω να κάνω αντικατάσταση στον τύπο, θα έχω 4-20-1 και από κάτω θα έχω 4-1 επί 0,2. Ή στην 4η και εδώ θα έχω 1 συν π, δηλαδή, όχι συν εδώ, αυτό είναι μίονε, είναι από την πογιά. Και στην 20. Αν κάνετε εδώ πέρα τώρα τις πράξεις, για να μην κολλήσουμε σε αυτά, είναι 0,0162932. Το δεύτερο έλεγε, βρείτε την πιθανότητα πέχει ίσον 20, σκεφτό. Δεν έλεγε κάτι, απλώς ορισμός. Ερχόμαστε εδώ πέρα, όπου κ εδώ πέρα βάζω το 20 και κάνω απλή εφαρμογή. Μας έδωσε ότι θέλω 4 εδώ το Ά να είναι ίσο με το 4 και απλά έκανα αντικατάσταση. Μετά θέλει την πιθανότητα το Χ να είναι ίσο με το 19. Πάλι απλή αντικατάσταση, θα πάω στον τύπο και όπου Χ θα βάλω το 19. Λοιπόν, στον τρίτο, που θέλει την πιθανότητα το Χ να είναι ίσο με το 19, πάλι πάω στον τύπο. Έχω τέσσερα, συν δεκαεννιά, μίον ένα, τέσσερα μίον ένα, μηδέν κόμμα δύο εις την τετάρτη, επί ένα μίον μηδέν κόμμα δύο εις την δέκαεννιά. Αν κάνετε πάλι τις πράξεις, γίνει μηδέν κόμμα μηδέν τρία πέντε πέντε κτλ. Ωραία, αυτό είναι το τρίτο ερώτημα. Και το τελευταίο ερώτημα έλεγε να βρείτε την επικρατούσα τιμή. Πάλι, όπως σημαίνει, η τιμή έχει τύπο και η επικρατούσα τιμή έχει τύπο. Η επικρατούσα τιμή και τη διονυμική είναι ίση με. Ξαναλάω, αυτή είναι η επικρατούσα τιμή. Επομένως θα έχω το πέ, που είναι ίσο με μηδέν κόμμα δύο, τέσσερα μίον ένα και εδώ που θα έχω μηδέν κόμμα οχτώ. Άρα τέσσερα μίον ένα δεν είναι τρία, άμα κάνω μια απλοποίηση εδώ θα μας μείνει τέσσερα. Άρα η επικρατούσα τιμή είναι ίση με τρία τέταρτα. Είναι θεωρητικά αυτά, βγαίνουν κατευθείαν. Δηλαδή, πώς μας δίνει στον τυπολόγιο ότι η μέση τιμή είναι ίσο με αυτόν τον τύπο. Και η επικρατούσα τιμή, ο τύπος της είναι αυτός εδώ. Το πώς βγαίνουν θεωρητικά, δεν ξέρω να σας το δείξω στο μάθημα, ορίστε. Στην επικρατούσα τιμή βάλετε το μηδέν, σας το είπαμε μηδέν. Στην επικρατούσα τιμή. Αυτός εδώ είναι ο τύπος στην επικρατούσα τιμή. Αυτό εδώ το είδατε. Κάθε κατανομή συνοδεύεται στον τυπολόγιο, συνοδεύεται και με την αντίστοιχη μέση τιμής. Το θεωρητικά πώς βγαίνει είναι το θεωρητικό κομμάτι. Μετά αυτό θα το κάνετε στο μάθημα. Εγώ κάνω απλή εφαρμογή των τύπων. Ρωτήστε πώς βγαίνουν τα αποτελέσματα στο μάθημα αν δεν σας τα έδωσε. Αλλά αυτά εδώ πέρα δεν πρέπει να τα ξέρετε απ' έξω. Δηλαδή κάθε κατανομή στο τέλος σας δίνεται κανονικά. Λέει η ιδιονυμική, ποιος είναι ο τύπος της και συνοδεύεται με μέσα στιγμές και τα λοιπά. Παίζουμε. Αυτό εδώ πέρα το 20 είναι να έχεις το K, τι είπαμε ότι συμβολίζει, τις αποτυχίες. Το πείραμα πόσες φορές θα γίνει, R σίγουρα τέσσερις φορές, 20 είναι οι αποτυχίες. Και εδώ το μειώνει να το βγάζουμε, γιατί η τελευταία πάντα είναι επιτυχία. Άρα αυτό εδώ πέρα συμβολίζει τις αποτυχίες, το K σου δηλαδή. X ίσον με 20, ναι. Από τη στιγμή που το K είναι ίσο με το 20, έρχομαι εδώ και βάζω 20. Λοιπόν το R είναι πόσες επιτυχίες έχω στο πείραμα, το K είναι πόσες αποτυχίες έχω. Επομένως τι κάνω, κάνω το πείραμα λέει μέχρι να συμπλουρωθούν R επιτυχίες. Και στο τέλος επειδή θέλω να συμπλουρωθούν R επιτυχίες, μετά η τελευταία πάντα επιτυχία θα είναι, γιατί θα σταματήσω, δεν σταματάω ποτέ σε αποτυχία, γι' αυτό μετά έρχεται και αφαιρείται αυτό το μειώνει να είναι. Αλλά το R σιγκάπα είναι το σύνολο. Των φορών που θα γίνει το πείραμα. Ωραία, αυτό το R σιγκάπα σε εσάς, εδώ πέρα είναι το X ουσιαστικά. Το πόσες φορές θα γίνει το πείραμα. Χίσων με χίμιδο. Σε αυτό εδώ κάτω. Δηλαδή χίσων με R σιγκάπα. Δηλαδή εσείς σαν R σιγκάπα, άρα ουσιαστικά αν πάρετε εκείνον τον τύπο, εσείς εδώ πέρα δεν θα βάλετε 20, αλλά τι θα βάλετε το 24 αν έχετε εδώ πέρα το X. Λοιπόν, αν χρησιμοποιήσουμε αυτόν εδώ πέρα τον τύπο, επειδή έχω K εδώ πέρα τις αποτυχίες και θέλω το X ίσον με 20, εγώ παίρνω αυτόν τον τύπο. Σύμφωνα με το δικό σας, αν βάλετε εδώ πέρα το X, εσείς θα βάλετε 24 εδώ πέρα. X ίσον με 24, γιατί θέλετε να έχετε 20 αποτυχίες και 4 επιτυχίες, άρα 24 φορές δεν πρέπει να γίνει το πείραμα. Επομένως, αν θέλετε να το προσαρμόσετε σε εκείνον τον τύπο, αλλάξτε όπου 20 και αυτό εδώ πέρα κάντε το 24, για να χρησιμοποιήσετε τον τύπο εκείνο που έχετε μέσα στο βιβλίο. Έγινε, ε? Οπότε, η αυτόνα και πέχει ίσον 20, του βιβλίου και πέχει ίσον με X ίσον 24. Η εκφώνηση αυτή εδώ πέρα σου λέει απλά, υποθέτουμε ότι η τυχαία μεταβλητική ακολουθεί αρνητική διονυμική κατανομή, με πιθανότητα πέμι 0,2 και άριστον 4 προσδιορίστον τα ακόληθα. Άρα θέλεις μία στιγμή, το πέχει ίσον 20, το πέχει ίσον με 19 και την επικρατήσω τη μη. Δεν λέει κάτι σαν πρόβλημα. Ωραία. Οπότε, και η τελευταία είναι η Πουασσόν. Αν δεν έχετε απορία, δηλαδή, σε αυτήν, πάμε στην Πουασσόν. Ωραία. Οπότε, και η τελευταία είναι η Πουασσόν. Αν δεν έχετε απορία, δηλαδή, σε αυτήν, πάμε στην Πουασσόν. Λοιπόν. Στην Πουασσόν έχετε αυτόν τον τύπο, ωραία. Η Πουασσόν, τώρα, είναι μια διακριτή πάλι συνάρτηση κατανομής και περιγράφει μέσα σε ένα χρονικό διάστημα, τη σειρά εμφανίσεων, τον αριθμό εμφανίσεων ενός γεγονότος. Τώρα, εδώ πέρα, οι παράμετρες που μπαίνουν, ουσιαστικά, είναι το λάμδα. Το λάμδα είναι η μέση τιμή, που δηλώνει, δηλαδή, το μέσο αριθμό εμφανίσεως ενός γεγονότος μέσα σε ένα συγκεκριμένο διάστημα. Τώρα, πάμε στην άσκηση που έχετε εδώ. Εδώ είναι πρόβλημα, τώρα δεν είναι απλή εφαρμογή. Ο αριθμός λέει, χαραμάδων που υπάρχουν σε ένα τμήμα ενός διεθνούς δρόμου και χρειάζονται επισκευή, ακολουθεί που ασων κατανομή. Με μέση τιμή δύο χαραμάδες ανα τρία χιλιόμετρα. Το πρώτο ερώτημα ζητάει, ποια η πιθανότητα... Ο αριθμός λέει, χαραμάδων που υπάρχουν σε ένα τμήμα ενός διεθνούς δρόμου και χρειάζονται επισκευή, ακολουθεί που ασων κατανομή. Με μέση τιμή δύο χαραμάδες ανα τρία χιλιόμετρα. Άρα στο ένα χιλιόμετρο προφανώς θα είναι δύο τρίτα η μέση τιμή, γιατί εγώ θα το κάνω ανα χιλιόμετρο μετά. Επομένως, αφού έχω δύο χαραμάδες ανα τρία χιλιόμετρα, η μέση τιμή μου, δηλαδή το λάμδα που μπαίνει εδώ μέσα, θα είναι ίσως δύο τρίτα. Και λέει το πρώτο ερώτημα, ποια η πιθανότητα ότι δεν υπάρχουν χαραμάδες που χρειάζονται επισκευή σε ένα τμήμα του δρόμου πέντε χιλιόμετρα. Επομένως εδώ το τ θα είναι αυτό που θα μετράει τα χιλιόμετρα, θέλω στο χι του πέντε να είναι ίσο με το μηδέν, δηλαδή να μην έχω καμία χαραμάδα. Επομένως, το πρώτο ερώτημα είναι η πιθανότητα το χι πέντε να είναι ίσο με το μηδέν. Αν έρθω να κάνω αντικατάσταση στον τύπο, αυτό θα είναι ίσο με A στην μειον λάμδα που το λάμδα το έχουμε βρει δύο τρίτα, επί πέντε, επί δύο τρίτα, επί το τ που είναι πέντε και όλο εις την μηδενική προς μηδέν παραγωτικό. Και αυτό εδώ πέρα είναι ίσο με A στην μειον δέκα τρίτα. Γιατί εις την μηδενική αυτό μας κάνει η μονάδα, το μηδέν παραγωτικό και αυτό μας κάνει η μονάδα, επομένως σωστικά μένει μόνο αυτό, το A εις την μειον δέκα τρίτα. Αυτό είναι το πρώτο ερώτημα. Για ξαναπες μου, γιατί δεν... Ναι, αλλά τώρα η μονάδα είναι αναλόγως τι θεωρείς. Σε εμένα η μονάδα μου τώρα μέτρηση είναι τα χιλιόμετρα. Ακριβώς, εγώ όπου τάφησον ένα είναι το ένα χιλιόμετρο, τάφησον δύο το δύο χιλιόμετρα, επομένως πάω πέντε στα πέντε χιλιόμετρα. Λοιπόν, την εκφώνηση είσαι OK? Ποια η πιθανότητα ότι δεν υπάρχουν χαραμάδες που χρειάζονται επισκευή σε ένα τμήμα λέει του δρόμου πέντε χιλιόμετρων. Είμαστε OK? Ωραία, τώρα. Το δεύτερο ερώτημα λέει, ποια η πιθανότητα ότι υπάρχει τουλάχιστον μία χαραμάδα που χρειάζεται επισκευή σε ένα τμήμα λέει 1500 μέτρων. Ποια η πιθανότητα ότι υπάρχει τουλάχιστον μία χαραμάδα που χρειάζεται επισκευή σε ένα τμήμα λέει 1500 μέτρων. Επομένως αυτό που ψάχνουμε είναι η πιθανότητα, τώρα επειδή αυτά εδώ πέρα τα έχουμε μίσει χιλιόμετρα, τα 1500 μέτρα θα κάνουμε χιλιόμετρα, σωστικά θα πάει ενάμιση δηλαδή εδώ πέρα, η πιθανότητα του ενάμιση να είναι μεγαλύτερη ίσως από το 1. Αυτό εδώ πέρα θα είναι 1 μίον την πιθανότητα, το χι του ενάμιση, ουσιαστικά να είναι ίσο με το 0. Επομένως αν έρθω να κάνω αντικατάσταση θα είναι 1 μίον, έις την μίον 2, τρίτα επί 5 εδώ πέρα το δικό μας είναι το ενάμιση, επί 2 τρίτα ενάμιση στην ειδενική και από εδώ θα έχω πάλι 0 παραγωντικό. Επομένως αυτή εδώ η πιθανότητα θα είναι 1 μίον 1, το ενάμιση εδώ με το 3 μας κάνει 2 δυα 2, εις την μίον 1. Άρα η πιθανότητα θα είναι ίση με αυτό. Ξαναλέω το δεύτερο έλεγε ποια είναι η πιθανότητα ότι υπάρχει τουλάχιστον μία χαραμάδα που χρειάζεται επί σκεδί σε ένα τμήμα λέει 1500 μέτρων. Καμιά πορεία? Αυτά.