Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης / Διάλεξη 17 / Εφαρμογές των ολοκληρωμάτων στον υπολογισμό μήκους καμπύλης και όγκου, εμβαδού επιφάνειας από περιστροφή. - Βλάχος Λουκάς (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Εφαρμογές των ολοκληρωμάτων στον υπολογισμό μήκους καμπύλης και όγκου, εμβαδού επιφάνειας από περιστροφή.: Λοιπόν, να ξεκινήσουμε, αν σταθούμε στα σημαντικότερα σημεία που αφήσαμε πίσω μας το περασμένο μάθημα, εκείνο που νομίζω ότι ξεκαθαρίσαμε είναι ότι εάν έχουμε ένα ολοκλήρωμα, στο οποίο μπορούμε να βρούμε το όριστο ολοκλήρωμα με τον οποιοδήποτε τρόπο και με τις μεθόδους που συζητήσαμε, το να βρούμε το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι πάρα πολύ απλό, διότι θυμάστε ότι έχουμε τη σχέση F-X, αν γράψαμε ότι σε μια περίπτωση που ολοκληρώνουμε μια συνάντηση F του τέντε τε, και αυτό υπάρχει το ολοκλήρωμα και το ολοκλήρωμα μας δίνει, αν ολοκληρώσουμε από μία συνάντηση από Α έως Χ, αυτό ήταν ένα από τα βασικά πράγματα που συζητήσαμε στο περασμένο μάθημα, πως μπορούμε να ολοκληρώσουμε τη συνάντηση F μικρών τάφ δε τέ από το Α μέχρι το Χ και να δημιουργήσουμε μια νέα συνάντηση την οποία την ονομάσαμε F κεφαλαίο του Χ. Ωραία, με αυτή τη συνάντηση σαν βάση μπορούμε πολλά πράγματα να κάνουμε, πρώτον μπορούμε να παραγωγίσουμε τη συνάντηση αυτή Dx-Dx και αυτό θα μας δώσει σαν αποτέλεσμα την F του Χ. Έτσι, άρα λοιπόν να κάτι χρήσιμο το οποίο προκύπτει από το πρώτο ολοκλήρωμα που έχουμε πιο πάνω. Το δεύτερο που είπαμε είναι ότι με ένα τέτοιο ολοκλήρωμα μπορούμε να βρούμε το σημεία αν θέλουμε να υπολογίσουμε από το Α έως το Χ το ολοκλήρωμα του F τέ δε τέ αυτό θα είναι ίσον από το Α έως το Β θα είναι ίσον με το F του Β-F του Α. Έτσι λοιπόν υπολογίζουμε τα ορισμένα ολοκληρώματα. Εντάξει το είπαμε και αυτό αυτά μπορούμε να τα κάνουμε όλα από τη στιγμή που ξέρουμε πως να πάρουμε το όριστο ολοκλήρωμα. Εκεί είναι το κουμπί και είπαμε ότι έχουμε ορισμένες μεθόδους για να πάρουμε τα όριστα ολοκληρώματα αν είναι τριγωνομετρικές συναρτήσεις να τις βάλουμε σε μια τάξη καθώς διαβάζεται με τι είδους τεχνικές με αντικατάσταση με μεθόδους που συζητήσαμε λίγο πολύ. Υπάρχουν και άλλες μέθοδοι. Μπορεί κανένας να οργανωθεί όσο θέλει για να μπορέσει να αντιμετωπίσει πιο δύσκολα και πιο πολύπλοκα ολοκληρώματα. Δεν είναι αυτός όμως ο σκοπός εδώ να αφηρώσουμε εξαιρετικά πολύ χρόνο στα πολύ δύσκολα ολοκληρώματα τα οποία έχουν αναλυτική λύση. Υπάρχουν τεχνικές κτλ. Αυτό δεν είναι το θέμα όμως που θέλουμε να προχωρήσουμε εμείς εδώ πέρα. Εκείνο που ήθελα να δώσουμε έμφαση είναι στην ολοκλήρωση που έχουμε να ολοκληρώσουμε μια συνάρτηση που πάει στο άπειρο και αυτό πολλές φορές το συναντάμε στη φυσική από μηδέν μέχρι άπειρο. Έχουμε να δώσουμε λοιπόν αυτό το ολοκλήρωμα από μηδέν μέχρι άπειρο. Αυτό το ολοκλήρωμα εύκολα το κάνουμε διότι η τεχνική που δουλεύουμε είναι να το προσεγγίσουμε με έναν τρόπο απλό. Να θεωρήσουμε ότι θα βάλουμε το άπειρο με μια σταθερά όποιαδήποτε θέλουμε από το α έως το λ. Αν ολοκληρώνουμε λοιπόν από το α έως το άπειρο μια συνάρτηση ΦΤΔΤ το πρόβλημά μας είναι σχετικά απλό είναι μάλλον πάλι ένα ορισμένο ολοκλήρωμα του οποίου ορισμένο ολοκληρώματος το άπειρο το αντικαθιστούμε με L μικρό και κάνοντας την ολοκλήρωση του ΦΤΔΤ όλο που έχουμε είναι να βρούμε το όριο αυτού του ολοκληρώματος αν υπάρχει όταν το L πηγαίνει στο άπειρο. Και αυτό το είπαμε και αυτές τις εφαρμογές μπορείτε να τις κάνετε με διάφορες διασκήσεις που σας έχουμε δώσει. Τι άλλο είπαμε στο προηγούμενο μάθημα είπαμε ότι αν το ολοκλήρωμα είναι από μειον άπειρο έως άπειρο τότε διαλέγουμε ένα τυχαίο σημείο μεταξύ του μειον άπειρο και του απείρου. Οποιονδήποτε θέλουμε το μηδέν είναι ένα κλασικό σημείο οπότε ένα ολοκλήρωμα που είναι από μειον άπειρο έως άπειρο μια συνάρτηση ΦΤΔΤ αυτό το ολοκλήρωμα θα το περιγράψουμε σαν το ολοκλήρωμα του L να πηγαίνει μια φορά στο μειον άπειρο και θα πάρουμε το ολοκλήρωμα να είναι από L μέχρι κάποιο α ΦΤΔΤ και στη συνέχεια θα συνεχίσουμε με ένα άλλο όριο του L να πηγαίνει στο άπειρο αυτή τη φορά θα συνεχίσουμε να ολοκληρώνουμε από το Α-Α μέχρι το L την ΦΤΔΤ. Ωραία το είπαμε και αυτό και αυτά νομίζω τα μπορούμε να εφαρμόσουμε κάνοντας λίγο τις περισσότερες ασκήσεις. Υπάρχει και άλλη μία περίπτωση που πάμε να ολοκληρώσουμε μία σχέση η οποία όμως η συνάρτηση δεν ορίζεται σε ένα από τα όρια. Δηλαδή έχουμε να ολοκληρώσουμε μία συνάρτηση από το μηδέν έως το ένα και η συνάρτηση αυτή εύχει εντεχή πιθανότατα είτε στο ένα είτε στο μηδέν σε ένα από τα δύο όρια να μην ορίζεται. Τότε μπορούμε να κάνουμε το ολοκλήρωμα με την ίδια τεχνική που δουλέψαμε στο άπειρο βάζοντας το σημείο στο οποίο η συνάρτηση δεν ορίζεται αν ας πούμε η συνάρτηση δεν ορίζεται στο ένα. Δηλαδή έχουμε μία συνάρτηση η οποία ορίζεται να την ολοκληρώσουμε από το μηδέν μέχρι το ένα και αυτή η συνάρτηση ξεκινάει με μία κανονική τιμή στο μηδέν και μετά στο ένα πηγαίνει στο άπειρο. Δεν ορίζεται στο σημείο ένα. Αν θέλουμε να ολοκληρώσουμε αυτή η σχέση σημαίνει ότι επειδή η συνάρτηση πηγαίνοντας από το μηδέν μέχρι το ένα επειδή απειρίζεται στο σημείο ένα ότι δεν υπάρχει το ολοκλήρωμα δεν σημαίνει αυτό. Όλο που πρέπει να κάνετε είναι να ολοκληρώσετε αυτήν εδώ τη συνάρτηση f του x αλλά στο σημείο ένα το σημείο ένα εδώ πέρα να βάλετε α και να βάλετε ότι το α να βρείτε το όριο αυτής της συνάρτησης το α να προσεγγίζει το ένα από τις μικρότερες τιμές. Άρα λοιπόν υπολογίζουμε σε μια τέτοια περίπτωση υπολογίζουμε το όριο μια συνάρτηση η οποία δεν ορίζεται στο ένα σε όλες τις στιγμές που προσεγγίζουν το ένα ασημπτωτικά όπως το α βάζουμε δηλαδή στη σχέση του ένα κάποια σταθερά α το οποίο α προσεγγίζει το ένα βρίσκουμε το όριο δηλαδή αφού κάνουμε αυτήν την ολοκλήρωση κανονικά βρίσκουμε το όριο της συνάρτησης να το α προσεγγίζει το ένα από μικρότερες τιμές ή μεγαλύτερες τιμές ανάλογα τι μας έχουν δώσει. Άρα όταν έχουμε να ολοκληρώσουμε συναρτήσεις οι οποίες ή στο ένα ή στο άλλο από τα δύο όρια δεν ορίζονται βάζουμε εκεί που δεν ορίζονται βάζουμε ένα α βρίσκουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα και μετά παίρνουμε το όριο το α να προσεγγίζει χωρίς να σημαίνει ότι θα πάρει ποτέ την τιμή 1 ή την τιμή 0 ανάλογα που το όριο απειρίζεται. Λοιπόν αυτά τα είπαμε στο προηγούμενο μάθημα είπαμε και το θεόρημα συζητήσαμε λίγο και το πρώτο και το δεύτερο βασικό θεόρημα του ολοκληρωτικού λογισμού και τώρα όταν ξεκίνησα εγώ τις διαλέξεις ξεκίνησα με κάτι το οποίο δεν ξέρω δεν δώσαμε πολύ έμφαση τότε πως θα δουλέψουμε όταν έχουμε ένα ολοκλήρωμα ορισμένο του οποίου δεν μπορούμε να κάνουμε την ολοκλήρωση αναλυτικά η μαθημάτικα που μαθαίνετε αυτές τις μέρες έχει δύο εντολές μέσα από τις οποίες μπορεί να κάνει ολοκληρώματα η μία εντολή είναι το integrate όταν μπορεί πραγματικά να την κάνει την ολοκλήρωση και να σας δώσει αναλυτική λύση αλλά υπάρχει και η αριθμητική ολοκλήρωση σαν επιλογή σας σε μία συνάρτηση η οποία αποτυγχάνει η προσπάθεια να γίνει η ολοκλήρωση αριθμητικά και σας είχα πει στο περασμένο μάθημα πως θα δουλέψει πως δουλεύει ένα πρόγραμμα ή πως δουλεύει κανένας όχι αναγκαστικά με το χέρι αν έχουμε να ολοκληρώσουμε μία συνάρτηση όπως πρέπει να τους χάρη θέλουμε να ολοκληρώσουμε το ψήισον μία συνάρτηση που ξέρουμε να δοκιμάσουμε και να φτιάξουμε μία μέθοδο για την ολοκλήρωση αυτής της συνάρτησης του ψήισον χ4 από το 0 μέχρι το 1 ωραία αν λοιπόν θέλετε να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα το ολοκλήρωμα από το 0 έως 1 του χ4 και χ αυτό ξέρουμε πόσο είναι το ολοκλήρωμα οπότε θα μας δώσει 1 τρίτον χ3 και θα μας δώσει από 0 μέχρι 1 1 τρίτο συμφωνείτε επειδή το ξέρουμε τώρα αυτό όμως κοιτάξτε τι θα μπορούσαμε να κάνουμε και να δούμε πραγματικά με πόσο πόσο εύκολα μπορεί κανένας να προσεγγίσει αυτό τον αριθμό με έναν άλλο τρόπο ποιος είναι ο άλλος τρόπος ο άλλος τρόπος είναι να πάρουμε πράγματι πάλι το 0 από το 1 τη συνάρτηση χ4 και να αρχίσουμε να δισπάζουμε σε κομμάτια η πρώτη προσπάθειά μας θα μπορούσε να είναι αν θεωρήσουμε ότι παίρνουμε στη μέση ένα σημείο εδώ πέρα αυτό το σημείο είναι το 1 δεύτερο και θέλουμε να σχηματίζουμε ένα τετράγωνο το οποίο έχει ύψος στο 1 δεύτερο έχει μήκος εδώ πέρα 1 οπότε θεωρούμε ότι μπορούμε να αντικαταστήσουμε το 1 τρίτων που έχουμε βρει εδώ πέρα να το αντικαταστήσουμε με μία επιφάνεια η οποία να είναι η τιμή της συνάρτησης στο 1 δεύτερο επί το 1 ένα είναι αυτό εδώ το μήκος και εδώ είναι η τιμή της συνάρτησης στο 1 δεύτερο αν το κάνουμε αυτό θα μας δώσει 1 τέταρτο οπότε η προσέγγιση είναι μάλλον πολύ κακή εάν αρχίσουμε και σπάσουμε αυτό σε λίγο καλύτερη προσέγγιση σε μια δεύτερη προσέγγιση το ίδιο πράγμα εδώ είναι το 1 δεύτερο εδώ είναι το 1 τέταρτο και εδώ είναι το 3 τέταρτο δηλαδή έσπασα το διάστημα από 0 έως 1 σε 2 κομμάτια όχι σε 1 και στο μέσον του κάθε κομματιού έφτιαξα ένα τετράγωνο εδώ και ένα τετράγωνο εδώ άρα προσπαθώ τώρα σιγά σιγά να φτιάξω μια καλύτερη προσέγγιση από αυτήν στην οποία θεώρησα ότι ό,τι χάνουμε από εδώ το προσθέτουμε εδώ οπότε υπολόγησα ότι το εμβαδόν θα είναι αυτό εδώ πέρα για όλη αυτήν την σχέση εδώ λοιπόν υπολογίζω το εμβαδόν αυτά από αυτά τα δύο μέρη από αυτά εδώ και θεωρώ ότι θα πρέπει να δω αν θα προσεγγίσω με δύο με δύο κομμάτια μόνο πόσο καλά θα προσεγγίσω την επιφάνεια που περικλείται κάτω αυτήν εδώ την επιφάνεια πάω να υπολογίσω που είναι κάτω από την καμπύλη ψήσων και τετράγωνο εδώ την προσέγγισα με ένα τετράγωνο εδώ την προσεγγίζω με δύο τετράγωνα λοιπόν αν το κάνω με δύο τετράγωνα και κάνω τις πράξεις θα έχω η επιφάνεια θα ισούται με την τιμή της στο 1 τέταρτον επί 0,5 εν δεύτερον συν την τιμή της στο τρία τέταρτα πολλοδρασιασμένο πάλι με το εν δεύτερον καταλαβαίνετε τι κάνω το ύψος αυτού εδώ πέρα το τετραγώνου είναι η τιμή της συνάτησης στο εν τέταρτον στο μέσον δηλαδή μεταξύ του 0 και του εν δεύτερον οπότε υπολογίζω αυτό το τετράγωνα πόσο είναι αυτό δηλαδή προσπαθώ να προσεγγίσω αυτό εδώ με αυτό εδώ και αυτό εδώ πέρα προσπαθώ να το προσεγγίσω με αυτό εδώ που είναι το εφ στην εν τρία τέταρτα να το πολλαπλασιασμένο πάλι με τον εν δεύτερον όταν κάνουμε τις πράξεις αυτό ήδη μου δίνει τρία κόμμα 125 όποιος με έχει χάσει ή θέλετε να επαναλάβω κάτι να μου το σηκώ στο χέρι του λέω ότι θα χωρίσω την καμπύλη μου εδώ χωρίσα την καμπύγα στο μέσον η τεχνική που προσπαθώ να χρησιμοποιήσω είναι ότι αν θέλω να υπολογίσω μία ποσότητα ένα ολοκλήρωμα το χωρίζω αυτό εδώ πέρα σε όσα κομμάτια θέλω δηλαδή από το α έως το β μπορώ να χωρίσω αυτό σε όσα κομμάτια θέλω τρία θέλω τέσσερα θέλω δέκα θέλω πόσα θέλω αν λοιπόν διαιρέσω το α από το α έως το β με το τρία θα μου προκύψουν τρία διαστήματα αυτά τα τρία διαστήματα είναι αυτά τα τρία παραδείγματος χάρη συμφωνείτε διαιρέσα το β με το α διά τρία και δημιούργησα τρία μικρά κομμάτια μέχρι εδώ καλά ωραία αυτή εδώ πέρα είναι μία συνάρτηση ευ του χι αν λοιπόν πάρω εδώ αυτά τα τρία κομμάτια έφτιαξα αυτά αυτές εδώ αυτή είναι αυτό το σχεδιάγραμμα που έχω τώρα μπορώ να κάνω το εξής τούτο εδώ το κομμάτι πως να το προσεγγίσω με έναν άλλο τρόπο να πάρω την τιμή της συνάρτησης σε αυτό εδώ το σημείο που είναι αυτή εδώ αυτό το ύψος άρα σε αυτό το σημείο εδώ αν το ονομάσω χι ένα η συνάρτηση μου δίνει αυτό να τραβήξω μία γραμμή η οποία να έχει να ενώνει αυτά τα σημεία και αυτή η επιφάνεια να αντικαθιστά αυτή την επιφάνεια προσπαθώ δηλαδή να αντικαταστήσω αυτή την επιφάνεια που ψάχνω με αυτό το πέρα το κομμάτι το τετράγωνο με ένα τετράγωνο προσπαθώ να αντικαταστήσω ωραία οπότε πως το κάνω αυτό λέω πόσο είναι το μήκος αυτό αυτό το μήκος εδώ πέρα πόσο είναι είναι το βιταμίον άλφα δια τρία τόσο είναι αυτό το μήκος άρα θα μπορώ την τιμή στο σημείο χι ένα ποιο είναι αυτό είναι αυτό το ύψος εδώ η συνάρτηση στο σημείο χι ένα στη μέση δηλαδή είναι αυτή εδώ πέρα και με τι θα το πολλαπλασιάσω και με τι θα το πολλαπλασιάσω και με τι θα το με το βίταμίον άλφα δια τρία γιατί τρία κομμάτια είχα κόψει και αυτό θα το κάνω το ίδιο και με το διπλανό του με το διπλανό του θα φτιάξω αυτήν εδώ τη σχέση και με το διπλανό του θα φτιάξω αυτήν εδώ τη σχέση άρα αντί να ολοκληρώσω δημιουργώ όσα τετραγωνάκια θέλω στα οποία το ύψος είναι στο μέσον το παίρνω σαν βάση του τετραγώνου σαν ύψος του τετραγώνου την τιμή της συνάρτησης στο μέσον του διαστήματος το βλέπετε αυτό και σαν πλάτος όσο όσο μήκος έχω διαλέξει να δώσω σε αυτή τη διάσταση αυτό το τετράγωνο αντικαθιστά θέλω να αντικαταστήσει την επιφάνεια που ψάχνω για το λόγο που εξήγησα και λέω όσο προχωράω εάν κάνω εδώ χρησιμοποιήσα ένα τετράγωνο και η προσέγγιση ήταν 1 τέταρτον η πραγματικότητα είναι 1 τρίτον 0,33333 αυτό είναι το ακριβές να δω πως θα το προσεγγίσω αυτό εάν διαιρέσω με δύο κομμάτια θα βγάλω 0,325 εάν το προσεγγίσω και αυτό θα το κάνετε εσείς τώρα θα χωρίσετε τώρα θα πάρουμε την ίδια καμπύλη την χ τετράγωνο χωρίστε λοιπόν το μηδέν μέχρι ένα σε τέσσερα αυτή τη φορά εδώ ήταν δύο τώρα θα το χωρίσουμε σε τέσσερα κομμάτια χωρίστε το σε τέσσερα κομμάτια πάρτε την τιμή αυτό το κάθε ένα από αυτά τώρα είναι 1 τέταρτον 1 τέταρτον αυτό το μήκος είναι 1 τέταρτον αυτό είναι 1 τέταρτον και αυτό είναι 1 τέταρτον τι θέλετε να κάνετε να βρείτε την τιμή της συνάρτησης αυτό το ύψος στο μέσον του 1 τέταρτον να βρείτε την τιμή της συνάρτησης εδώ πέρα σ' αυτά τα σημεία που θα το γραφίσω με κίτρινο θέλετε να βρείτε την τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σημείο σε αυτό το σημείο αυτά είναι τα κέντρα σε αυτό το σημείο και σε αυτό το σημείο και θα πολλαπλασιάσετε αυτή την τιμή της συνάρτησης εδώ αυτό επί το 1 τέταρτον εδώ πέρα θα πολλαπλασιάσετε αυτό εδώ πέρα την τιμή επί το 1 τέταρτον με την τιμή στο μέσον του κομματιού εδώ θα το πολλαπλασιάσετε με αυτό και εδώ θα το πολλαπλασιάσετε με αυτό άρα σπάσατε ένα ολοκλήρωμα σε άθροισμα τεσσάρων τετραγόνων τι ύψος έχουν τα τετράγωνα αυτά έχουν όλα την ίδια βάση 1 τέταρτον το ύψος τους αλλάζει πηγαίνουμε στο κέντρο του 1 τέταρτον κάθε φορά και παίρνουμε την τιμή της συνάρτησης αυτό είναι το ύψος του τετραγόνου πολλαπλασιάζουν λοιπόν τότια τετράγωνα φτιάχνουν τότια τετράγωνα για κάντε το εσείς τώρα να φτιάξετε με την επιφάνεια η οποία θα είναι περίπου η τιμή της συνάρτησης το 1 τέταρτον επί το 1 τέταρτον συν τη τιμή της συνάρτησης στο 3 όγδωα επί το 1 τέταρτον συν τη τιμή της συνάρτησης στο 5 όγδωα επί το 1 τέταρτον συν τη τιμή της συνάρτησης στο 7 όγδωα επί το 1 τέταρτον έχει πράξεις όμως βλέπω και μάλλον εσείς θα σας φάει λίγο χρόνο καταλάβατε όμως τι θα κάνω δηλαδή πρέπει να υπολογίσω ποια είναι η συνάρτησή μου η συνάρτησή μου είναι το fx τετράγωνο θα υπολογίσω λοιπόν την τιμή της f στο x τετράγωνο στο σημείο 1 τέταρτον στο σημείο 3 όγδωα στο σημείο 5 όγδωα και 7 όγδωα και θα τα πολλαπλασιάσω όλα με 1 τέταρτον πως βρήκα τα σημεία 1, 4, 3, 8, 5, 8, 7, 8 διέρεσα πρώτα όλο μου το κομμάτι από 0 έως 1 σε 4 κομμάτια και διάλεξα το μέσον του κάθε ένα από αυτά τα 4 κομμάτια διέρεσα το 0 μέχρι 1 σε 4 κομμάτια και στο κέντρο κάθε κομματιού ποιο είναι το κέντρο από 0 μέχρι 1 τέταρτον ποιο είναι το κέντρο του Τι τιμή έχει το κέντρο εδώ πέρα 1 όγδωα συμφωνείτε άρα έφτιαξα ένα τετράγωνο υπολόγησα το πρώτο τετράγωνο να έχει βάση το 1 τέταρτον και ύψος το 1 όγδωα για αυτό το τετράγωνο η βάση παραμένει η ίδια γιατί σε τόσα κομμάτια το διέρεσα το ύψος του όμως είναι τώρα στο 3 όγδωα υπολόγησα το ύψος που είναι το κέντρο μεταξύ αυτού του σημείου και αυτού του σημείου αυτό εδώ πέρα το σημείο είναι 1 τέταρτον αυτό εδώ πέρα το σημείο είναι το πόσο είναι αυτό είναι το από το 1 τέταρτο μέχρι το 1 δεύτερο βρήκα λοιπόν το καινούργιο μέσον οπότε έχω έτσι βρήκα το 3 όγδωα μετά το 5 όγδωα στο τρίτο κομμάτι το μέσον και στο τέταρτο κομμάτι το μέσον είναι το 7 όγδωα αν κάνουμε τις πράξεις αυτό βγάζει ήδη με τέσσερα κομμάτια 0,32,81 πέστε μου 1,8 σωστό άλλη παρατήρηση καταρχήν με καταλάβατε τι κάνω καταλαβαίνετε ότι ένας ο οποίος ήδη με τέσσερα με τέσσερες διαιρέσεις αυτής της συνάρτησης όποια συνάρτηση έχετε τώρα διαλέξτε από πού μέχρι που θέλετε να την ολοκληρώσετε πάρτε το και φτιάξτε μπορούσατε να φτιάξετε μια ένα αναλγόριθμο έτσι βάζει καθαρά κανένα πρόγραμμα θα φτιάχνει έναν αναλγόριθμο ο οποίος τι θα έκανε πώς θα ήταν αυτός ο αλγόριθμος ο οποίος θα έκανε αριθμητικές ολοκληρώσεις θα έκανε την εξής δουλειά αν του πείτε λοιπόν του αλγορίθμου θέλω να ολοκληρώσω μια συνάρτηση που σας τη δίνω είναι η ευ του χι να τη αλλά ξέρει τη συνάρτηση για την οποία θέλω να δουλέψω και σε αυτή τη συνάρτηση αν τη ζωγραφίσω αυτή συνάρτηση είναι μια οποιαδήποτε συνάρτηση να τη αυτή είναι η ασυνάρτηση ευ του χι ωραία τι θα κάνω εγώ αλγοριθμικά για να υπολογίσω αυτό το ολοκλήρωμα αριθμητικά θα πάρω τα σημεία εδώ είναι α μέχρι β ωραία θα πάρω τα σημεία από το β μέχρι το α β-α και θα το διαιρέσω σε πόσα τετραγωνάκια θέλω να κόψω αυτό το διάστημα 10,50,100 ό,τι θέλετε άρα το ευ του χι και το β-α είναι γνωστά σας πράγματα το ν θα το δίνετε στο πρόγραμμα αν δώσετε 4,5,10 οποιδήποτε θα το δώσετε άρα λοιπόν έχοντας το ν ο αλγοριθμός διαιρεί το β-α που τα ξέρει στο ν και φτιάχνει διαστήματα δελταχι το ν στο δελταχι θα μας δώσει πάλι το β-α κατανοητό αυτό ωραία τώρα τι θέλει να κάνει άλλο θέλει να φτιάξει ένα πίνακα θέλει να φτιάξει ένα πίνακα που ουσιαστικά σε διάφορα σημεία αυτού του πίνακα πως θα τα βρίσκει αυτά τα σημεία θα πρέπει να ξεκινήσει θα χωρίσω λοιπόν όλο αυτό το όλο το κομμάτι σε ίσα τετράγωνα να το σε ίσες αποστάσεις το έκανα αυτό πολύ ωραία τώρα θέλω να αθρίσω εμβαδά που θα προκύπτουν από τετράγωνα το ερώτημα είναι η βάση του τετραγώνου θα είναι το δελταχι πάντα η συνάντηση όμως πρέπει να προσδιοριστεί στο μέσον μεταξύ το σημείο αυτό είναι το α το πρώτο ας πούμε είναι το α και το άλλο είναι α συν δελταχι αυτό το διάστημα α συν δελταχι εσείς πρέπει να βρείτε το μέσον το μέσον τι ακριβώς συντεταγμένη έχει εδώ πέρα πέστε μου εσείς α συν δελταχι δεύτερα μπράβο άρα λοιπόν εδώ θα βρω λοιπόν εδώ είναι η συνάντησή μου ευτουχή και φτιάχνω μια λίστα και λέω το πρώτο σημείο λοιπόν το πρώτο σημείο είναι α συν δελταχι δεύτερα σε αυτό το σημείο η συνάντηση έχει την τιμή α α συν δελταχι δεύτερα να λοιπόν η πρώτη τιμή της συνάντησης στο δεύτερο εδώ πέρα να προχωρήσουμε άλλο ένα πόσο είναι η τιμή στο μέσον εδώ πόσο είναι το χι στο πρώτο μου είπατε ότι είναι α συν δελταχι δεύτερα δεύτερα αυτό εδώ πέρα τι συντεταγμένη έχει πες Αργύλη α συν τρία δεύτερα είναι α συν τρία δεύτερα δεύτερα μπράβο α λοιπόν συν τρία δεύτερα δελταχι εκεί βρίσκω μια αντιδεύτερη συνάντηση α συν τρία δεύτερα δελταχι με λίγα λόγια στα μέσα τώρα των διαστημάτων δελταχι υπολογίζω τις τιμές της συνάντησης και τι θέλει να κάνει μετά ο αργορίθμος αυτός αφού έχει λοιπόν τις συναντήσεις αυτές στα μέσα της πολλαπλασιάς τις αθρίζει όλες με την τιμή της συνάντησης στο μέσον επί δελταχι αυτά τα χι είναι τα μέσα των κομματιών αυτών δελταχι τα οποία βέβαια μπορείτε να τα δείτε πως είναι ασχολητικά τα οποία βέβαια μπορείτε να τα δείτε πως είναι αφού πάει ένα τρία πέντε εντάξει το βλέπετε άρα λοιπόν θα είναι θα φτιάξετε έναν αργόριθμο που θα υπολογίσει στα νοι όσα έχετε κόψει εδώ πέρα στα νοι διαστήματα στα κέντρα τους να υπολογιστεί η συνάντηση δελταχι πολύ απλό θα πάρετε τον αρχικό σημείο και θα κάνετε βήματα τα οποία θα είναι δελταχι δεύτερα τρία δελταχι δεύτερα πέντε δελταχι δεύτερα πέντε δελταχι δεύτερα πέντε δελταχι δεύτερα πέντε δε δελταχι δελταχι δελταχι δελταχι δελταχι δελταχι δελταχι δελταχι δελταχι δελταχι δελταχι δελταχι δελταχι δελταχι δελταχι αφού προσδιορίσετε πόσα βήματα θέλετε να κόψει και θα δείτε ότι σιγά σιγά αυξάνοντας το ν, πλησιάζει το αριθμητικό αποτέλεσμα το αποτέλεσμα το κανονικό και από τη στιγμή που έχω την αριθμητική ολοκλήρωση ξέρω να ολοκληρώσω οποιοδήποτε ολοκλήρωμα θέλω είτε βγαίνει αναλυτικά είτε δεν βγαίνει αναλυτικά εντάξει αυτό το έκανε ο Riemann πρώτος και ήταν η πρώτη φορά που μπορέσαμε να κάνουμε τις αριθμητικές ολοκληρώσεις εντάξει ωραία το πως εσείς θα φτιάξετε προγράμματα τα οποία θα κάνουν τέτοιες δουλειές πως θα φτιάξετε αλγορίθμους που δεν τα πάρετε έτοιμα να προετοιμαστείτε για δύο δουλειές πολύ σημαντικές η μία δουλειά είναι να χρησιμοποιήσετε στο δεύτερο εξάμινο θα κάνετε εργαστήριο πληροφορικής και θα μάθετε μια πολύ προχωρημένη γλώσσα της C++ οπότε θα μπορείτε να κάνετε κι εσείς προγραμματισμό το άλλο που έχει μεγάλη σημασία είναι να χρησιμοποιήσετε τη MATLAB που είναι μια άλλη επίσης πολύ χρήσιμη γλώσσα προγραμματισμού ώστε να μπορείτε να έχετε άνεση στην ολοκλήρωση την αριθμητική το 80% των φοιτητών στο φυσικό τμήμα επειδή οι καθηγητές δεν έχουν οργανώσει με τη μορφή εργασιών τα μαθήματά τους έτσι ώστε από τη στιγμή που θα μάθετε μια γλώσσα προγραμματισμού όπως μαθαίνετε τώρα πέντε πράγματα στη μαθημάτικα και άλλα δέκα πράγματα θα μάθετε στο επόμενο εξάμινο από και και ύστερα δυστυχώς δεν έχει ενσωματωθεί αυτή η φιλοσοφία του να θα δίνουμε εργασίες που να χρειάζεται να ασχοληθείτε με την παραγωγή προγραμμάτων ώστε να φτιάχνετε τα δικά σας software και προγράμματα ώστε να λύσετε προβλήματα στη φυσική Ποιο είναι το αποτέλεσμα κάθε τι όπως διαπιστώσατε όσο πιο νωρίς το κάνατε τόσο πιο λίγα θυμάστε όπως εσείς που πήρατε τα πτυχία lower και proficiency νωρίς ειδικά αυτή τη στιγμή σας έχουν μείνει λίγα πράγματα γιατί από τότε που περάσατε τις εξετάσεις μέχρι σήμερα δεν ασχοληθήκατε καθόλου συστηματικά με τη γλώσσα τη γλώσσα την αγγλική μιλάω τώρα με αποτέλεσμα να μην θυμάστε πολλά πράγματα τώρα το ίδιο θα συμβεί και με τις γλώσσες προγραμματισμού με αποτέλεσμα η συντριπτική πλειοψηφία να φτάνει στη πτυχιακή διπλωματική να χρειάζεται προγραμματισμό και να μην έχετε καμία καλή άσκηση προς αυτή την κατεύθυνση λοιπόν η λύση είναι ότι καταλαβαίνετε ότι το φυσικό δεν σας το παρέχει και εσείς το διαπιστώνετε και σας το έχουμε πει ότι χρειάζεται να το αναπτύξετε ένας από τους τρόπους που μπορούν να αναπτυχθούν αυτά πράγματα είναι να προσπαθήσετε εσείς πλησιάζοντας και συζητώντας με καθηγητές σας είτε αξιοποιώντας τα καλοκαίρια να αναλάβετε και μερικές εργασίες που έχουν έντονο προγραμματισμό ο ηλεκτρονικός υπολογιστής για τη φυσική αυτή τη στιγμή αποτελεί ένα από τα κυριότερα εργαλεία και η χρήση της πληροφορικής μέσα στα μαθή στην ανάπτυξη της έρευνας της φυσικής είναι πλέον καθιερωμένη Λοιπόν πως λύνετε αυτό το πρόβλημα πως ένα τμήμα φυσικό που οι περισσότεροι καθηγητές δεν έχουν χρόνο λόγω της μαζικότητας λόγω των διαφορών προβλημάτων που υπάρχουν να σας δώσουν κατηδύα εργασίες ή να δώσουν εργασίες τις οποίες να ελέγξουν στα μαθήματα οι οποίες θα μπορέσουν να αξιοποιήσουν την πληροφορική. Η δική μου συμβουλή είναι ότι από τη στιγμή που αποφασίσετε και το είχα ξαναπεί αλλά θα το πω τώρα που έχουμε περάσει αρκετός καιρός και έχετε και εσείς οριμάσει περισσότερο από τη στιγμή που αποφασίσετε σε όποιο εξάμινο είστε με τι θέλετε να ασχοληθείτε στη φυσική τι σας τραβάει μέσα στη φυσική τότε μη χάσετε λεπτό μη μπείτε πτυχιακή δίνετε στο 4ο έτος. Εκείνη την ώρα που θα καταλάβετε τι θέλετε πρέπει να προσεγγίσετε ομάδες ερευνητικές του τμήματος φυσικής και να συζητήσετε με τον καθηγητές σας αν θα μπορούσατε να αφιερώσετε λίγο χρόνο να ασχολείστε με την έρευνα μαζί τους με την ομάδα τους. Πότε μπορεί να γίνει αυτό όταν έχετε περάσει όλα τα μαθήματα δεν έχει νόημα να πας σε μια ομάδα να πεις ότι θέλω να ασχοληθώ ερευνητικά μαζί σας εάν δεν έχεις ξεκαθαρίσει με όλα τα μαθήματα. Οπότε συνθήκη μαζί με την απόφαση τι θέλω να κάνω η δεύτερη σημαντική συνθήκη είναι να μην χρωστάω μαθήματα. Άρα λοιπόν προσέξτε τώρα το πρώτο έτος να μην αφήσετε κανένα μάθημα για τον Οκτώμβριο. Να ξεμπερδέψετε με όλα τα μαθήματα ώστε τον Οκτώμβριο να αρθείτε στο γραφείο μου και να μου πείτε εγώ έχω τελειώσει με όλα τα μαθήματα με ενδιαφέρει αυτό το αντικείμενο και συζητήστε με συναδέλφω σας να μπω σε κάποια ερευνητική ομάδα να κάνω κάτι ευχάριστο. Τότε λοιπόν θα κάνετε πολύ ωραία πράγματα. Λοιπόν να προχωρήσουμε στο δεύτερο θέμα που θέλαμε σήμερα να συζητήσουμε εμείς μετά την αριθμητική ολοκλήρωση και το δεύτερο θέμα είναι πως τώρα θα χρησιμοποιήσουμε τα ολοκληρώματα να κάνουμε ορισμένες ευχάριστες δουλειές. Μία από αυτές τις δουλειές είναι να υπολογίσω, εγώ έχω μία καμπύλη πάλι η οποία περιγράφεται από τη συνάρτηση ψ ίσον F του Χ. Προσέξτε κάτι, έχω μία καμπύλη την οποία μπορώ να ζωγραφίσω και αυτή η καμπύλη περιγράφεται από τη συνάρτηση ψ στο Χ και ξεκινάει από το σημείο όπως και προηγουμένως από το σημείο Α και τελειώνει στο σημείο Β. Εάν μου ζητήσουν να υπολογίσω το μήκος αυτής της καμπύλης, πώς θα το υπολογίσω, θα ξεκινήσω να πάρω ένα στοιχειώδες μήκος αυτή την καμπύλη. Αυτό είναι ένα στοιχειώδες μήκος, ένα πάρα πολύ μικρό στοιχείο αυτής της καμπύλης, τον οποίο θα το ονομάσω στοιχειώδες μήκος έτσι όπως το βλέπετε. Θα το ονομάσω ΔΕΕΣ. Αυτό λοιπόν είναι ένα στοιχειώδες μήκος. Αυτό το στοιχειώδες μήκος αν θέλω να το συνδέσω με δύο στοιχειώδη ακόμα πράγματα, το οποίο είναι το ένα είναι το ΔΕΧΙ και το άλλο είναι το ΔΕΠΣΙ. Το ΔΕΕΣ αποτελεί την εφαπτωμένη ενός μικρού τετραγόνου. Το βλέπετε? Το ΔΕΕΣ είναι η εφαπτωμένη σε ένα μικρό τρίγωνο που έχει τη μία του βάση ΔΕΛΤΑΧΙ και την άλλη ΔΕΛΤΑΠΣΙ, ΔΕΧΙ ΔΕΠΣΙ. Το βλέπετε όλοι? Μέσα λοιπόν σε ένα τέτοιο μικρό ορθογώνιο τρίγωνο, το ΔΕΕΣ με τι είναι ίσον? ΔΕΠΣΙ ΤΕΤΡΑΓΟΝΟ. Πέστε το. ΔΕΠΣΙ ΤΕΤΡΑΓΟΝΟ. Αυτό είναι το ΔΕΠΣΙ ΤΕΤΡΑΓΟΝΟ. Άρα αυτό είναι το ΔΕΧΙ ΤΕΤΡΑΓΟΝΟ όπως είπες, σύν το ΔΕΠΣΙ ΤΕΤΡΑΓΟΝΟ. Το ΔΕΠΣΙ είναι η ρίζα. Το ΔΕΠΣΙ είναι η ρίζα. Θέλω να το αντιγράψετε, θέλω να το δείτε, για το να αντιγράψετε δεν είναι ούτε καμία ανακάλυψη την οποία θα ξαφανιστεί από προσώπου γης μόλις το σβήσω, ούτε ότι δεν υπάρχει πουθενά αυτό που έγραψα. Άρα το να το αντιγράψετε δεν ξέρω τι σημαίνει. Αυτό που σημαίνει σήμερα είναι ότι ξέρω να υπολογίσω το μήκος αυτής της καμπύλης. Αυτό είναι θέλω να βγάλουμε τώρα και θέλω να το βγάλουμε έτσι ώστε να μην είναι μόνο δική μου απόφαση, αλλά να συμφωνείτε κι εσείς ώστε ποτέ να μην το ξεχάσετε. Λοιπόν, εάν λοιπόν αυτό είναι το στοιχειώδες μήκος και θέλω να υπολογίσω το μήκος αυτής της καμπύλης, τι νομίζετε ότι πρέπει να κάνω. Σας έχω δώσει ένα μικρό κομματάκι αυτής της καμπύλης, τον DS και θέλω να υπολογίσω για όλη την καμπύλη το μήκος, το οποίο να το πω L κεφαλαίο. Το L κεφαλαίο με ό,τι σας έχω δώσει μέχρι τώρα, με τι θα είναι ίσον. Τρεις, τέσσερις, θέλω και οι υπόλοιποι τώρα να συμμετέχετε, αρκετά έχετε καθίσει και μας κοιτάτε και τρέχουμε τις ερωτήσεις και τις απαντήσεις, τρέχουμε τρεις, τέσσερις εδώ μέσα και δεν είναι καλό αυτό. Λοιπόν, οι υπόλοιποι, θα μου πείτε εσείς. Όχι ότι θα είναι νι επί τές. Νι επί τές, αλλά το νι μικρά λοιπόν τέσσερις αθριστούν, έτσι δεν είναι, ναι. Αυτό το νι επί τές σε τόσα μικρά, πως το ονομάσαμε αλλιώς. Την άθριση αυτή, όταν οι άθρισσες, τα κομματάκια αυτά γίνονται στοιχειώδη, το άθρισμα αυτό τι αποτελεί. Το ολοκλήρωμα. Το καταλαβαίνεις. Άρα λοιπόν, αυτό εδώ, η σούμα λοιπόν που είπε η συναδελφό σας, θα μπορούσε να είναι το άθρισμα της συναρτήσεις αυτής εδώ, εφ του χ, επί αυτά τα δέες που είπαμε τα δέλτα χ. Αλλά εδώ, συγγνώμη, το άθρισμα αυτών των δέλτα ες μάλλον θα τα έλεγα. Αυτό λοιπόν θα είναι αυτά τα νι δέλτα ες που είπε ο συναδελφός σας. Όλα αυτά στο τέλος, όταν το δέλτα ες πάει στο απειροστό, θα γίνει ολοκλήρωμα από α έως β το δέες. Συμφωνείτε? Το βλέπετε τώρα ή σας ξαφνιέσα? Όχι, λοιπόν, βάλτε τώρα το δέες που είπε ο συναδελφός σας προηγουμένως στη θέση του στοιχειώδου σε αυτό και θα είναι τετραγωνική ρίζα. Του δέχει στο τετράγωνο συν δεψί στο τετράγωνο. Βγάλετε το δέχει κοινό παράγοντα από αυτήν εδώ τη σχέση, διαρέστε δηλαδή και τα δύο με το δέχει και πολλαπλαστιάστε με το δέχει. Θα βγει μια καινούργια σχέση που θα λέει α έως β τετραγωνική ρίζα του ένα συν δεψί δια δέχει και όλο στο τετράγωνο δέχει απέξω. Οπότε εάν μου δώσεις μια καμπύλη την οποία μου έχεις δώσει την περιγραφή της και θέλεις να βρω το μήκος της θα πάρω την παράογο της συνάρτησης μου έχεις δώσει, θα την βάλω εκεί πέρα στον δέψι δεχει θα είναι μια συνάρτηση παράογο στην συνάρτηση του ευ του χει θα είναι μια καινούργια συνάρτηση του χει και θα ολοκληρώσω αυτήν τη τετραγωνική ρίζα και αυτό θα μου δώσει το μήκος. Τώρα έχετε κανέναν τρόπο να το ελέγξουμε ότι αυτό είναι αλήθεια. Όχι ποιος είπε όχι. Γιατί όχι. Δηλαδή αν ήθελες αυτό να έβγαλες έναν τύπο και λες είναι αλήθεια πράγματι δεν έπρεπε να βρούμε ένα πράγμα που ξέρουμε την απάντηση και να το ελέγξουμε. Ποιο θα χρησιμοποιούσατε σαν τέστερ. Ναι είναι εφαρτωμένη αλλά και τι σημαίνει αυτό. Δηλαδή τι θα ήθελα εγώ για να ελέγξω ότι αυτός ο τύπος μου δίνει ένα σωστό αποτέλεσμα να πάρω μια περίπτωση που ξέρω το μήκος της καμπύλης που ξέρω τη συνάρτηση πως περιγράφεται και να την βάλω εδώ σαν αντικατάσταση και να το βρω αυτό το μήκος. Ποιανής καμπύλης το μήκος ξέρετε εσείς. Ξέρετε καμιά καμπύλη που ξέρετε το μήκος της. Ε η ψήσονχη είναι πάρα πολύ. Η ψήσονχη δεν θα μας δώσει τίποτα. Εντάξει το ψήσονχη σίγουρα για να το δοκιμάσουμε ο συνάδελφός σας λέει το μήκος μιας ευθείας. Άλλη πιο λίγο πιο πολύπλοκη. Για πες. Ο κύκλος. Αργή ρε εσύ ποιο ήθελες να πεις. Λοιπόν ο κύκλος λοιπόν. Ωραία. Άρα αφού μας το όπως είναι αδελφός σας η ερώτηση είναι εάν πάρω τον κύκλο που ξέρω το μήκος του. 2PR έτσι δεν είναι. Μπορώ με αυτόν τον τρόπο να βγάλω το 2PR. Αυτό είναι το ερώτημα. Θα κάνω διάλειμμα και θα συνεχίσουμε. Στο διάλειμμα με ρώτησε κάποιος γιατί διαλέξαμε να βγάλουμε τον ΔΧ κοινοπαράγοντα και όχι τον ΔΥΨ. Απλούστατα διότι η αρχική συνάρτηση που είχαμε συζητήσει ήταν Ψ εισονεύ του Χ. Έτσι είχαμε ορίσει τη συνάρτηση. Άρα σε αυτή την περίπτωση η συνάρτηση εξατάται από το Χ. Οπότε από αυτή τη σχέση βρίσκουμε ότι το F τόνους του Χ είναι αυτό εδώ πέρα. Οπότε η συνάρτηση αυτή μπορεί ακόμα να γραφεί από Α έως Β τετραγωνική ρίζα του 1 συν F τόνους του Χ στο τετράγωνο δΧ. Εάν όμως η συνάρτηση μας είχε δοθεί αντίστροφα δηλαδή μας είχε δοθεί μια συνάρτηση Χ εισονεύ του Ψ δεν υπήρχε καμένας λόγος να μην βγάλουμε τον ΔΧ κοινοπαράγοντα οπότε αυτή η σχέση απλούστατα δεν θα είχε γραφεί έτσι. Θα ήταν τετραγωνική ρίζα του 1 συν ΔΧ δΧ δΧ και όλος το τετράγωνο δΧ και το ολοκλήρωμα θα ήταν πάλι από το Α έως Β το οποίο βέβαια θα αναφερόταν στο Ψ αυτή τη σχόρα. Αυτά όλα δεν μπορούμε να τα ελέγξουμε και ένας τρόπος όσο αψίπα να ελέγξουμε είναι να κάνουμε παραδείγματα. Ένα πολύ ωραίο παράδειγμα είναι ο κύκλος έτσι το κύκλο όμως για να το κάνουμε μαζί έχουμε ένα κύκλο με ακτίνα την μονάδα και φυσικά αυτός δίνεται με το Χ τετράγωνος Ψ τετράγωνος ίσον 1 Θέλουμε να αφαρμόσουμε αυτόν τον τύπο και πρέπει να βρούμε για αυτόν τον κύκλο να βρούμε δύο Π. Σωστά. Ένας τρόπος να το κάνουμε αυτό είναι να μην ουσιαστικά ολοκληρώσουμε γύρω γύρω τουλάχιστον σε κατησιανές θεταγμένες να ολοκληρώσουμε αυτό το κομμάτι να υπολογίσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο πόσο είναι και να τα τραπλασιάσουμε. Συμφωνείτε. Άρα σε αυτή την περίπτωση θα πρέπει να λύσουμε ως προς το Ψ. Το Ψ λοιπόν του Χ που μας ζητάνε είναι η τετραγωνική ρίζα του 1-Χ τετράγωνο. Αν λύσω λοιπόν το Χ τετράγωνος σε Ψ τετράγωνος σαν 1 το Ψ του Χ θα είναι αυτό. Συμφωνείτε. Ναι. Ωραία. Και το δεύτερο είναι αν θέλω να υπολογίσω από εδώ την πρώτη παράγωγο καλύτερα είναι να την θεωρήσω σαν πλεπλεγμένη συνάρτηση την αρχική και σε αυτή την περίπτωση να γράψω δύο Χ συν δύο Ψ. Ψ τόνους ίσο με το μηδέν. Βλέπετε τι έκανα τώρα ή όχι. Ναι ή όχι. Όχι. Αυτή η συνάρτηση εδώ πέρα όπως είναι, είναι μια συνάρτηση του Χ τετράγωνος στην Ψ τετράγωνο του Χ ίσον 1. Παραγωγήστε αυτήν ως προς Χ τι θα βγάλει. Κάντε το μόνοι σας. Παραγωγήστε την συνάρτηση Ψ Χ τετράγωνος στην Ψ τετράγωνο του Χ ίσον 1. Το Ψ ορίζεται πεπλεγμένα μέσα από αυτήν εδώ τη σχέση επειδή είναι ίσον με 1 έτσι είναι ορισμός της πεπλεγμένης συνάρτησης. Αν παραγωγήστε λοιπόν θα σας βγάλει δύο Χ δύο Ψ Ψ τόνους. Είσαμε το μηδέν. Συμφωνείτε. Ναι. Ωραία λύνοντας από εδώ Ψ τόνους θα έχουμε μειον αριθμητής θα είναι το Χ και παρονομαστής το Ψ του Χ. Ναι αλλά το Ψ του Χ το έχω εδώ πέρα οπότε έχω μειον Χ τετραγωνική ρίζα του 1 μειον Χ τετράγωνο. Ποιος με έχει χάσει μέχρι εδώ. Η ποια με έχει χάσει. Είμαστε όλοι μέσα. Ωραία. Τώρα άρα παίρνω αυτό εδώ το Ψ τόνους το ψώνω στον τετράγωνο και το βάζω εδώ μέσα. Πολαπλασιάζω επί τέσσερα. Γράφω λοιπόν το μήκος είναι τέσσερις φορές. Το Χ από πού θα μεταβάλετε για να υπολογίσω αυτό εδώ. Για να υπολογίσω το πρώτο ταρτημόριο το Χ από πού θα μεταβάλετε. Από μηδένι ως ένα. Από μηδένι ως ένα και τα υπόλοιπα κάνετε τα εσείς. Σας έχω την τετραγωνική ρίζα, σας έχω το ψητόνους πόσο είναι, ψήστε το τετράγωνο και ολοκληρώστε να μου πείτε τι βγάλατε. Το ψητόνους είναι αυτό εδώ. Είπατε ότι συμφωνείτε όλοι. Μιον Χ στον αριθμητή διά τετραγωνική ρίζα του 1 μιον Χ τετράγωνο. Αντικαταστήστε αυτό αφού το υψώσετε στο τετράγωνο σε αυτή τη τετραγωνική ρίζα, βρέστε τι έχετε να βρείτε και τελειώστε το ολοκλήρωμα. Το ψητόνους γιατί δεν μπορούμε να το αλείσουμε ως ψητόνους και να το κάνουμε κανονικά και νομικά. Γιατί είναι πιο πολύ πρωτο αργύρη. Έχετε ρίζες. Μόνο και μόνο για αυτό δηλαδή. Μόνο και μόνο για αυτό. Η ερώτηση του αργύρη ήταν γιατί πήγαμε να το πάρουμε μέσα από την πεπλεγμένη, δηλαδή παραγωγίζοντας όλα τα μέλη και δεν λύσαμε ως προς ψη Χ που είναι αυτό εδώ και να βγούμε το ψητόνους παραγωγίζοντας αυτό. Μια χαρά θα ήταν για αυτό. Το ίδιο αποτέλεσμα θα βγάλουμε. Θα βγάλουμε μιον Χ διά τετραγωνική ρίζα του 1 μιον Χ τετράγωνο. Το ίδιο βγάλαμε και εμείς αργύρη. Δηλαδή είναι θέμα επιλογής. Λοιπόν τώρα θέλω να αντικαταστήσετε το ψητόνους μέσα εδώ, μέσα στην ρίζα αυτή, να κάνετε τις πράξεις μέχρι τέλους και να μου πείτε τι βγάλατε. Θα χρειαστεί να θυμάστε ένα ολοκλήρωμα εδώ. Το ολοκλήρωμα του τέχει τετραγωνική ρίζα του 1 μιον Χ τετράγωνο. Ποιο είναι αυτό το ολοκλήρωμα. Απ' τα τυπολόγια είναι αυτό. Πρέπει να καθίσετε να διαβάσετε αυτά τα τυπολόγια και να τα έχετε. Εντάξει αυτή τη στιγμή δεν είναι επίγον αλλά πρέπει. Αργύρη ποιο είναι. Νομίζετε το arc sign. Αυτό είναι και τώρα αυτό τι έχει στο μηδέν και στο ένα. Αν πάρω το arc sign άρα το αποτέλεσμα θα βγει αν το βγάλατε και εσείς τέχει τετραγωνική ρίζα του 1 μιον Χ τετράγωνο. Έβγαλε τέσσερις φορές το arc sign του Χ και αυτό θα το πάρω από το μηδέν έως το ένα. Τι βγάζει αυτό. Να σας το πω εγώ λοιπόν για να μην φάμε πολύ χρόνο γιατί δεν μας κυνηγάει λίγο χρόνος τώρα τελικά ήρθε να μας κυνηγάει. Είναι πι δεύτερα. Και οπότε πραγματικά θα βγάλει το 2π. Το ποιο είναι αυτό που ζητάμε. Λοιπόν δεύτερη ερώτηση. Δεύτερη γιατί ήλας. Όχι κάτι... Οκ. Λοιπόν πάμε σε δεύτερη ερώτηση. Εάν θέλαμε αν η συνάρτηση δεν είναι εκφρασμένη σε καρτεσιανές θεταγμένες Ψ, Ι, Σ, Φ του Χ. Αν η συνάρτηση είναι εκφρασμένη σε παραμετρικές συνάρτησης Χ του ΤΕ Ψ Ι ΣΟΝ Ψ του ΤΕ. Μπορείτε να μου πείτε τότε πως θα γράψω το μήκος μιας καμπύλης η οποία δεν έχει οριστεί καρτεσιανά αλλά έχει οριστεί παραμετρικά. Μέσα από αυτές τις εκφράσεις. Να σας θυμίσω ότι το σημείο εκκίνησης είναι ο υπολογισμός του ΔΕΕΣ το οποίο έχει ένα ολοκλήρωμα εδώ πέρα από το Α έως το Β που είναι τα όρια του καμπύλης. Αυτό το ΔΕΕΣ λοιπόν είχαμε πει εμείς ότι είναι τετραγωνική ρίζα του ΔΕΧΙ τετράγωνο συνΔΕΨΙ τετράγωνο. Ξέρετε γιατί θέλω να μην το γράψω εγώ να σας το πω και να το ανακαλύψετε μόνοι σας. Για πείτε έναν γιατί θέλω να το κάνω έτσι. Εδώ μας μείνει. Θα σας μείνει αυτό είναι εντάξει. Λοιπόν άρα λοιπόν αν το Χ και το Ψ είναι έτσι βιαγμένο πως θα υπολογίσω εδώ πως θα βγάλω τον τύπο θα βγάλω έναν καινούργιο τύπο δίπλα σε αυτόν τον Καρτεσιανό. Θα φτιάξω ένα δεύτερο τύπο για το Λ που θα είναι ο τύπος που θα χρησιμοποιώ όταν οι συναντήσεις που μου δίνουν και θέλουν το μήκος της καμπύλης είναι παραμετρικά ορισμένες. Ποιος θέλει να με βοηθήσει. Πέστε. Πολύ σωστά. Ο συναδελφός σας λέει πολλαπλασιάζω και διαιρώ με τον ΔΤ τετράγωνο. Βγάζω τον ΔΤ κοινό παράγοντα. Οπότε η καινούργια σχέση που ανακάλυψα είναι δύο η δεύτερη είναι Λ από το ΤΑΦ1 έως ΤΑΦ2 τα δύο ιδιοχρονικές στιγμές. Αυτό είναι για το μήκος μιας καμπύλης που ξέρω τις λύσεις από την τροχιά της. Οπότε είναι πάρα πολύ χρήσιμο αυτό. Θα έχω ΔΤ λοιπόν ΔΤ και όλος το τετράγωνο. Συν ΔΤ και όλος το τετράγωνο και απέξω το ΔΤ. Αυτός είναι ο τύπος για το μήκος μιας καμπύλης που αποτελεί πιθανότητα την τροχιά ενός υλικού σημείου. Γιατί για την τροχιά εμείς το έχουμε πει 100 φορές εδώ μέσα. Το ΧΤ και το ΨΤ είναι ο χρόνος. Το ΧΤ και το ΨΤ είναι παραμετρικά ορισμένοι είναι η θέση του υλικού σημείου σε κάθε χρονική στιγμή και βγαίνει από την εξίωση κίνησης τα οποία τα έχουμε πει να μην τα ξαναπούμε. Άρα λοιπόν αυτή είναι η παραμετρική. Τώρα βέβαια θα μπορούσα ή θα θέλετε να το κάνετε εσείς στο σπίτι. Επαναλαμβάνω, η ομορφιά είναι να ξέρετε καμπύλες και μήκη τροχιών ή καμπυλών και να οργανώσετε αυτό εδώ πέρα να αποδείξετε ότι αυτό που ξέρετε βγαίνει πάρα πολύ ωραίο και από αυτό. Παραδείγματος χάρη, αν εδώ πάλι τον κύκλο τον θέλαμε θα βάζαμε τον κύκλο να έχει χ ΙΩΤ αν θέλαμε ή ΙΩΤ και ψ ΙΣΤ. Οπότε εδώ πέρα θα βγαίνει πολύ πιο εύκολα. Το βλέπετε ότι στις παραμετρικές το βλέπετε ότι το χΤ και το ψΤ για κάποιο υλικό σημείο που κάνει κυκλική τροχιά πως εκφράζεται. Σας το είπα όμως αλλά δε μ'αγκούσα τι μ'αγκούσα. Πώς εκφράζεται σε παραμετρικές εξώσεις η κίνηση ενός υλικού σημείου που εκτελεί κυκλική κίνηση με οποιαδήποτε ακτήνα μονάδα αν δεν έχει σημασία. Πες τελού. ΙΩΤ και ψΙΩΤ. Πώς το βρήκε η συνάδελφος το θυμότανε ή μπορούσε να το βρει με έναν απλό τρόπο. Ζογραφίζοντας έναν κύκλο, παίρνοντας ένα υλικό σημείο σε μια τυχαία χρονική στιγμή που βρίσκεται εδώ και η γωνία είναι τάφ, αναλύοντας αυτό σε Χ και Ψ και παίρνοντας τις συντεταρμένες θεωρώντας ότι αυτή η ακτήνα είναι α. Έτσι το βρήκατε ή το θυμόσαστανε. Το θυμόσαστανε. Είπαμε ότι εγκαταλείπουμε ότι η τεχνική που χρησιμοποίησαν στις εισαγωγικές εξετάσεις για να θυμάστε πράγματα είναι τα εκτός ύλης. Ό,τι ήταν δύσκολο να το θυμάστε το βγάλανε εκτός ύλης. Έτσι ώστε να μπορείτε να το θυμάστε όλα. Αυτό όμως είχε ένα θετικό και ένα αρνητικό. Το θετικό ήταν ότι οι ύλης μπορούσες να τη μάθεις και το αρνητικό είναι ότι σας έμαθε να δουλεύετε μόνο εντός ύλης. Αλλά εντός ύλης είναι ο κόσμος που το ξέρουμε. Εκτός ύλης είναι ο κόσμος που δεν ξέρουμε. Οπότε αν μάθετε να δουλεύετε εντός ύλης δεν θα ανακαλύψετε ποτέ τίποτα. Απλώς θα περνάτε εξετάσεις. Εντάξει. Κατανοητό. Πρέπει να σπρώξετε τον εαυτό σας και να χαίρεστε όταν κάποιος σας δίνει μία άσκηση χωρίς να έχει ορίσει με αυστηρότητα την ύλη. Όχι αυτή τη στιγμή αναγκαστικά. Δεν εννοώ για το πρώτο έτος. Είναι πολύ νωρίς ακόμα. Αλλά σιγά σιγά θέλω να πάτε πίσω και να ρωτήσετε όσοι από σας οι γονείς σας ή αν υπάρχουν και πιο μεγάλοι από τους γονείς σας να τους ρωτήσετε όταν δώσαν εισαγωγικές εξτάσεις στο Πανεπιστήμιο εάν υπήρχε καθορισμένη ύλη. Και ποια ήταν η ύλη. Πηγαίνετε και ρωτήστε τους. Λοιπόν, προχωράμε. Αυτός εδώ ο τύπος, αν τον εφαρμόσουμε στις συνδεταγμένες, στις παραμετρικές θα είναι αυτός εδώ και αν θέλετε, γιατί όχι κάντε το αυτό εδώ πέρα, κάντε αυτή εδώ τη σχέση να δούμε τι θα μας βγάλει. Μήπως αυτό το βγάζει πολύ πιο εύκολα το αποτέλεσμα. Τον κύκλο μιλάμε πάλι. Πρέπει να διαλέξετε τα όρια σωστά και πρέπει να κάνετε τις αντικαταστάσεις αυτές που είπε ο συναδελφός σας, παίρνοντας τις παραβόγους και υψώνοντας εδώ στο τετράγωνο να βρείτε τι θα βγει. Ακούω. Δουλέψτε το. Εγώ νομίζω ότι είναι πάρα πολύ απλό. Και εδώ πέρα δεν είναι το μοναδείο το πήρα στο προηγούμενο για να μην κάνω αντικαταστάσεις. Δεν χρειάζεται να πάρετε το μοναδείο εδώ. Πάρετε το με ακτήν Α όπως είναι. Τα ΧΤ και ΨΤ είναι αυτά εδώ. Από αυτά παίρνετε τις παραγωγήσεις, υψώνεται στο τετράγωνο, τα βάζετε με στη διαγωνική ρίζα, βγαίνει τι έχει να βγει κι ενός παράγοντας και ολοκληρώνεται από το ΤΤ. Και μέχρι τι το ΤΤ. Το ΤΤ. Νίκολέτα πες. Ο ΣΠΙ ή ο ΔΙΟΠΙ. Δύο. Δύο Π. Άρα λοιπόν έχω. Δεν θέλω να το κάνω γιατί θέλω να μου το πείτε εσείς. Ακούω. Μόνο δύο έχουν σηκώσει στο χέρι οι υπόλοιποι. Τρεις. Τέσσερις. Πέστε μου. Ο χρόνος εδώ είναι γωνία. Κυκλική κινήσει ο χρόνος μπαίνει στη γωνία, δεν μπαίνει το ΤΤ. Κάνει μια περιοδική κινήσει, δεν κάνει στον κύκλο. Ξεκινάει από τη γωνία μηδέν και κλείνει ένα πλήρη κύκλο και μετά επαναλαμβάνει τον εαυτό του. Δεν το παλάβουμε δέκα φορές εμείς να πάει γύρω γύρω. Θέλουμε τον κύκλο έναν κύκλο, άρα μια φορά θα κάνει τον κύκλο. Η περιοδική κινήσει η οποία έχει περίοδο διωπή. Συγγνώμη, τι καμπύλι ζητάμε να επρόγραμματες. Ζητάμε ενννοί κύκλους ή έναν κύκλο. Έναν κύκλο. Το μήκος ενός κύκλου, δεν ζητάμε. Άρα αυτό το σημείο που κάνει μια σταθερή κινήσει γύρω γύρω, σε ποια είναι η γωνία που διαγράφει για να κλείσει ένα πλήρη κύκλο. Τι άλλη γωνία, θα μπορούσες να πάρεις βέβαια και από μηδέν έως πιδεύτερα και να πολλαπλασιάσεις επί τέσσερα ό,τι θέλεις. Λοιπόν, ποιοι έχουν τελειώσει. Εσείς δεν έχετε τελειώσει, εσείς πες τελειώσει. Βγαίνει λοιπόν, τι είπατε, 2π... 2πα. Ναι, εντάξει, σίγουρα δεν είχε άλλη επιλογή, αλλά... Αλλά πώς βγήκε 2πα. Παραιολογισμός προς τέ, το πι δι τέ και το πι δι τέ. Ναι, και θα βγουν τι. Θα βγει... Χι παράγωστο τέ, λοιπόν, θα είναι πώς. Α, θα βγει α πόση τέ. Μάλιστα. Και μετά θα βγει μειών α πόση τέ. Ωραία. Θα βγάλουμε κάποια ρίζα, είναι τετράγωνα. Ναι, αυτά βγαίνουν επειδή παίρνουμε την ταυτότητα που λέει συνειμήτωνο τετράγωνο τάφ συνειμήτωνο τετράγωνο τάφ ίσον ένα. Βγάζουμε το α κοινό παράγοντα, αυτό το βγάζουμε απέξω και αυτό είναι από μηδέν 2π και βγάζει 2πα. Εντάξει, Θωμά γιατί δεν το έκανες. Ε, ε. Οκ, λοιπόν, το τελευταίο μήκος. Η καμπύλη που μας έχει δοθεί είναι τώρα σε πολικές τεταγμένες. Δηλαδή είναι ρο του θ. Η καμπύλη τώρα είναι δοσμένη σε πολικές τεταγμένες. Σε πολικές τεταγμένες πάλι τον ίδιο τύπο θέλουμε. Για πέστε μου, έχουμε λοιπόν το ρο ίσον ρο του θ. Πέστε μου πώς θα σκεφτείτε και πώς θα χρησιμοποιήσετε το γνωστό μας πάλι ΔΕΕΣ, αυτό εδώ. Το ΔΕΕΣ που είναι η τετραγωνική ρίζα του ΔΕΕΧΙ τετράγωνο, συν ΔΕΠΣΙ τετράγωνο, αυτό εδώ πέρα. Πώς θα το χρησιμοποιήσετε και πώς θα βγάλετε τον τύπο όταν το χ και το ψ είναι εκφρασμένα μέσα στις πολικές τεταγμένες. Πώς εκφράζεται το χ και το ψ όταν έχω πολικές τεταγμένες. Θέλετε να πείτε. Η γωνία είναι το θ φυσικά, αλλά πώς είναι το χ και το ψ. Το χ σαν με τι. Το Ά είναι τετραγωνική ρίζα του χ τετράγωνο, συν ψ τετράγωνο, αυτό είναι αλήθεια. Αλλά πώς πεταφερόμαστε, είχαμε κάνει ολόκληρη συζήτηση, πώς πάμε από τις πολικές στις καρτεσιανές και από τις καρτεσιανές στις πολικές. Τώρα εδώ θέλω να πάμε, η Νικολέτα για πες. Αν δυνατά δεν σε ακούω. Άθ, κ.θ. Προσέξτε η διαφορά είναι ότι είναι αθ εδώ πέρα, έτσι. Το καταλαβαίνετε. Γιατί οι καμπύλοι που μου έχουν δώσει είναι η αθ. Και το ψ λοιπόν Νικολέτα είναι πώς. Πίσω με αθ. Ωραία, με γνωστά αυτά εδώ. Καταρχήν συμφωνείτε. Με γνωστά αυτά. Πηγαίνετε να μου βγάλετε τη τετραγωνική ρίζα που απ' έξω να έχει τον τε θ. Καταλάβατε, θέλω να βγάλετε τον τε χ τε ψ να τα βάλετε στη θέση εκεί και κοινό παράγοντα θα βγάλετε το θ. Γιατί το θ είναι τώρα. Άρα δηλαδή αυτά θα τα διαιρέσω τώρα με τον τε θ στο τετράγωνο, τε θ στο τετράγωνο και θα βγάλω τον τε θ κοινό παράγοντα. Τι θα μείνει μέσα. Είναι η τρίτη εκφρασία για το μήκος που όταν μου δώσουν την καμπύλη σε πολλικές θεταγμένες. Το l σε πολλικές θεταγμένες. Θα είναι απ' το θ1 μέχρι το θ2 και εδώ πέρα θα μου πείτε τι θα γράψω. Πρέπει να πάρετε τις σχέσεις που λέει χ ίσον ρ του θ κοζάιν θ ψ ίσον ρ του θ ζάιν θ να βρείτε το τε χ τε θ το τε ψ τε θ να τα αντικαταστείστε εκεί μέσα στη τραγωνική ρίζα και να δούμε τι θα προκύψει. Άρα στο σπίτι δεν ανοίγουμε στις καμπύλες εκεί που έχει το βιβλίο της καμπύλες να διαβάσουμε τους τύπους να τους θυμάμαστε. Ξεκινάμε με την ολοφάνερη παραδοχή ότι το τε είναι τε τε τε χ τε τε θ και αναπαράγουμε στην παραμετρική εξίση το τύπο και στις πολλικές το τύπο χωρίς να το διαβάσουμε. Άρα το βιβλίο να ελέγξουμε ότι το έχουμε κάνει σωστά γιατί αν προλάβετε εδώ τώρα να τα αφομιώσετε όλα χρειάζεται να τα επαναλάβετε στο σπίτι. Ωραίος. Είναι ασυμφιντήσες εδώ πέρα που συνεργάζεται με μια συνάδελφός σας δίπλα ο ίδιος κάθεται και τη κοιτάει και εκεί δουλεύει και συνεργάζονται όποτε δυσκολεύεται τον ρωτάει. Ωραίος. Ωραίος. Έτσι είναι. Έλληνας χωρίς βοηθούς δεν μπορεί να λειτουργήσει μόνο αρχηγός πρέπει να είναι δηλαδή δεν μπορεί να κάνει αυτό στη δουλειά αν είναι δυνατό. Έτσι. Λοιπόν περιμένω κάποιος που έχει τελειώσει να μου δει το αποτέλεσμα. Τελείωσες. Ναι. Ωραία για πες το γιατί δεν έχουμε πολύ χρόνο. Τι έβγαλες. Όχι όχι. Έχεις κάνει λάθος. Έχεις κάνει λαθάκι. Δεν μένουν τα κόστιτα μέσα καθόλου. Τελείωσε κανένας άλλος. Δεν είναι ανάγκη. Μπορούμε να πάμε από θήτα 1 μέχρι θήτα 2. Από 0 έως 2π κάνουμε περιοδική κίνηση. Δεν είναι ανάγκη. Δηλαδή στη δική μας περίπτωση εδώ πέρα θυμάστε πως η καμπύλη τώρα για να γυρίσουμε πίσω στις πολικές είναι από θήτα 1 μέχρι θήτα 2 και αυτή είναι η καμπύλη ρο του θήτα. Έτσι. Άρα είναι από το θήτα 1 έως το θήτα 2. Οι καμπύλες γίνονται πλέον όχι σε καρτεσιανές σε πολικές. Δομάστε πως ήταν οι πολικές. Είχαμε αυτές εδώ. Ας πούμε ένα γνωστές σας που είχαμε κάνει είναι ότι η καρδιά σας. Θα τη χρειαστείτε την άνοιξη αλλά ας αρχίσουμε να την μελετάμε και μαθηματικά. Εντάξει. Λοιπόν λέω τώρα. Ασχείο ήτανε. Γελάστε ρε παιδάκι. Τσάμπα ρε παιδάκι. Τι είστε εσείς ρε παιδάκι. Πω πω. Λοιπόν. Θα συνεχίσετε. Πέρα απ' τα όρια. Μέσα τα γωνικηρίζετε τι θα έχουμε. Θα έχουμε. Σιγά. Σιγά. Σιγά. Σιγά. Σιγά. Θα έχουμε λοιπόν αρτώνους. Ας το γράψω το αρτώνους. Ναι. Τι θα θα γίνει αυτό. Παιδιά αυτή είναι η απάντηση. Αυτή είναι η απάντηση. Μπορείτε τώρα που την ξέρετε να την βρείτε. Όχι. Να την βρείτε σπίτι. Ναι. Εντάξει. Δεν αμφιβάλλω. Απλώς. Απλώς σταμάτησας νωρίς. Λοιπόν. Η απάντηση είναι λοιπόν. Αν τελειώσετε τις πράξεις που δεν τις έχετε τελειώσει. Θα βρείτε ρ τετράγωνο του θίτα. Ρ τετράγωνο του θίτα. Αυτό είναι δοσμένο. Αυτή είναι η συνάρτησή μας. Δεν ρ δεν θίτα στο τετράγωνο και δεν θίτα κοινοπαράγοντα. Εδώ και αν είναι εύκολο, επειδή έχουμε μπει τώρα στις πολικές, ο πιο εύκολος τύπος για να υπολογίσουμε την περίμετρο του κύκλου είναι αυτός φυσικά. Διότι αφού το ρ είναι σταθερό, το ρ δεν θίτα θα μας δώσει μηδέν. Το ρ είναι 1α στο τετράγωνο, θα βγει έξω και το δε θίτα θα πάει από μηδέν έως 2π. Και βγήκε αμέσως η σχέση. Επαναλαμβάνω ποια είναι η σχέση στις πολικές τετράγωνες. Τετραγωνική ρίζα του ρ τετράγωνο συν δεν ρ δεν θίτα και όλος το τετράγωνο δεν θίτα πέξω. Πρέπει να το βγάλετε χωρίς να ανοίξετε το βιβλίο. Επιμένως αυτό. Έτσι, αν θέλετε να κάνετε ποιοτικό διάβασμα. Τώρα, μένει να τα χρησιμοποιήσουμε αυτά και ένας τρόπος να τα χρησιμοποιήσουμε εκτός από τον κύκλο είναι να υπολογίσουμε και άλλα σχήματα που δεν είναι υποφεωμένοι να τα θυμάστε. Παραδείγματος χάρη, δοκιμάστε εσείς να υπολογίσετε την περιφέρεια της έλλειψης. Δοκιμάστε να υπολογίσετε του καρδιοειδούς το μήκος της καμπύλης που το περιβάλλει. Εντάξει. Ακούγα, δεν σας βλέπω ικανοποιημένος. Μήπως θα θέλατε να κάνουμε τις πράξεις για αυτό μέχρι τέλος εδώ στο πίνακα. Εγώ δεν θέλω να το κάνω αυτό. Διότι, δέτσι, δεν θα σας αφήσω να το βρείτε μόνοι σας στο σπίτι χωρίς να ανοίξετε το βιβλίο. Όλο που έχετε να κάνετε είναι να υπολογίσετε τον τερό τε θήτα, να πάτε τις πράξεις μέχρι τέλος γιατί κάποιες συναδελφοί σας δεν τις ολοκλήρωσαν και θα το βρείτε. Συμφωνείτε? Ωραία. Τα αφήνουμε λοιπόν. Αυτά τα τρία, αυτές τις τρεις σχέσεις πρέπει να τις συστοδουλέψουμε και να τις εφαρμόσουμε όπου μας χρειάζονται. Τώρα κοιτάξτε κάτι καινούριο, κάτι που το ξέρετε βέβαια. Αν μας δώσουν δύο επιφάνειες, 2 καμπύλες, f του x και g του x, αυτές οι καμπύλες μπορεί να είναι, μία είναι αυτή και μία είναι αυτή εδώ. Κι η άλλη πιθανόν να είναι αυτή εδώ. Ή μπορεί να είναι, η μία να είναι το a στην x τετράγωνο, να είναι το ψήσον x τετράγωνο και η άλλη να είναι αυτή εδώ, η καμπύλη ψήσον αx. Λοιπόν, εάν μας δώσουν δύο τέτοιες καμπύλες και μας ζητήσουν να βρούμε την επιφάνεια που υπάρχει μεταξύ αυτών των δύο, τι θα κάνουμε. Έχουμε λοιπόν δύο καμπύλες, μία είναι η f του x και η άλλη είναι η g του x και θέλουμε να βρούμε την επιφάνεια που περικλείουν αυτές οι δύο καμπύλες όταν τέμνονται. Ας πάρουμε την περίπτωση που αυτές τέμνονται. Λοιπόν, πέστε μου εσείς, εσείς έχετε ξαναμιλήσει. Θα βρούμε τα σημεία που τέμνονται, το α και το β. Το ολοκλήρωμα πιανού πράγματος, α έως το β. Δυνατά. Θα πάρουμε λοιπόν την f του x, μία γ του x, πιντε x και θα βρούμε την επιφάνεια που είναι μεταξύ τους. Συμφωνείτε. Αυτή είναι η απλή περίπτωση. Θέλω να στήσουμε το πρόβλημα για μία λίγο πιο δύσκολη περίπτωση και να μου πείτε πώς θα την κάνουμε. Λοιπόν, πες ότι θέλουμε να ολοκληρώσουμε οι δύο καμπύλες. Είναι το ψ, η, μή, τ, ο, χ. Ακούστε τώρα. Δεν θα κάνουμε τη σπράξη μέχρι τέλος. Θέλουμε απλώς να την στήσουμε και μετά θα γίνουν οι πράξεις και θα τις κάνετε στο σπίτι. Αυτό που θέλω να βρω, η εκφώνηση λέει να υπολογίστε το εμβαδόν που είναι μεταξύ των δύο καμπυλών. Η μία είναι το ψ, η, μή, τ, ο, χ. Η άλλη είναι το ψ, η, μή, τ, ο, χ και το χ πηγαίνει από μηδέν μέχρι πιδεύτερα. Πρώτα ζωγραφίστε το αυτό και μετά θα συζητήσουμε. Ζωγραφίστε το με ακρίβεια ή τέλος πάντων δέστε πώς είναι το σχήμα. Πιάξτε το σχήμα. Έχουμε λοιπόν το ψ να είναι το η, μή, τ, ο, χ. Η μία καμπύλη να είναι το η, μή, τ, ο, χ. Η άλλη να είναι το συν, η, μή, τ, ο, χ και το χ πηγαίνει από το μηδέν μέχρι το πιδεύτερα. Και πρώτα θέλω να μου πείτε πώς θα είναι το σχήμα και μετά να στήσουμε την ολοκλήρωση πώς θα γίνει σε αυτή την περίπτωση. Ποιος θα γίνει, πώς να βρούμε την επιφάνεια που περιγράφουν αυτές οι δυο, που περικλείουν αυτές οι δυο καμπύλες. Λοιπόν, όποιος είναι έτοιμος, δεν θέλω να κάνει τις πράξεις μέχρι τέλος, συναρθεί να μας πει πρώτον πώς είναι το σχήμα και δεύτερον πώς θα στήσει την άστηση. Και τότε θα σταματήσουμε, δεν θέλω να την ολοκληρώσουμε. Πέστε, έχει τελειώσει, το έχετε κάνει. Ναι, έλατε στον πίνακα, γιατί καλύτερα να μην τα υπαγορεύετε εμένα. Ναι, είναι από μηδένα έως πιδέστερα, ναι. Οπότε ο συνάδελφος, ποια είναι η G του H και ποια είναι η F του H. Η F του H είναι η μη Ποναχή, η G του H είναι η συμμή Ποναχή. Δεν ξέρω αν το εμείς αναφέρονταν στους Έλληνες, αναφέρονταν στους ανθρώπους που είναι στο Λύκειο, αναφέρονταν, δεν ξέρω σε ποιους αναφέρονταν. Νικολάιντα, ποιος νομίζεις ότι ήτανε, το εμείς που πήγαινε, η έφουσα, εγώ είμαι έξω από την έφουσα, έτσι. Το εμείς που πήγαινε Αργύρη. Δεν ξέρω, εμείς το λέγαμε στο Λύκειο πάντως. Το λέγατε το εμείς, να αναφερθείτε για το απέναντι σχολείο ή... Τα παιδιά συντάξει, δεν ξέρω. Δεν ξέρω, εμείς ξέρουμε. Α, εμείς ξέρουμε, η ανθρωπότητα δηλαδή. Άρα εσείς λοιπόν που ξέρετε πού τέμνετε. Τέμνεται μία δύο στιγμές στο ΠΤΕΤΑ. Ωραία, στο ΠΤΕΤΑ τέμνεται λοιπόν σύμφωνα με εσάς. Και τι θα γίνει από εδώ και πέρα. Νομίζω ότι η τύμερη κλειφάνεια... Αυτή που θα την ονομάσουμε α1 και την άλλη θα την ονομάσουμε α2. Ωραία. Ωραία. Μέσα από κάτω. Ναι, ναι, ναι. Μια παρένθεση, βάλτε σε παρένθεση αυτό εκεί. Όχι, όχι, όχι. Το G χημίου είναι εδώ, αυτό. Αυτό, εδώ και εδώ, έτσι. Ωραία. Ωραία, νομίζω ότι συμφωνείτε όλοι. Αυτό ήταν όλο, εντάξει, συμφωνείτε. Ναι. Καλά, μην το πάμε παρακάτω. Τώρα είναι απλές πράξεις ολοκληρώσης. Δεν χρειάζεται να πάμε παρακάτω. Ευχαριστώ πάρα πολύ. Λοιπόν, ένα ακόμα να το φέρουμε έτσι σε αυτό το επίπεδο. Μια ακόμα άσκηση. Η άσκηση είναι Ψ, ίσον χημίον ένα. Και η άλλη είναι Ψ τετράγωνο, ίσον δύο χι συνέξι. Θέλουμε τη γραφική παράσταση. Και θέλουμε να δούμε πώς θα οργανώσουμε το εμβαδόν που περιεκλείται μεταξύ αυτών των δύο καμπυλών. Η μία είναι Ψ, ίσον χημίον ένα. Και η άλλη είναι Ψ τετράγωνο, δύο χι συνέξι. Θέλουμε τη γραφική παράσταση. Και θέλουμε να δούμε πώς θα φτιάξουμε τα ολοκληρώματα για να υπολογίσουμε την επιφάνεια που περικλείουν αυτές οι δύο καμπύλες. Λοιπόν, έχει κανένας προχωρήσει μάλλον δεν μας φτάνει ώρα. Θέλετε περισσότερο χρόνο. Λοιπόν, θα τα αφήσουμε αργή. Θα τα αφήσουμε για το ερχόμενο μάθημα.