Μαθηματικά - Ανάλογα ποσά - ΣΤ' Δημοτικού Επ. 88 (Υπουργείο Παιδείας και Θρησκευμάτων, 2021)
: [♪ Μουσική Μουσική Υπηρεσίας Επικοινωνίας Μουσική Καληκοπτήρι養γονης Παρουσίας Ιστορίας Υπηρεσίας Υπηρεσίας Παρουσίας Υπηρεσία Υπηρεσία Μουσική Καληκοπτήρι Επικοινωνία Υπηρεσία Υπηρεσία Μουσική Καληκοπτήρι Υπηρεσία Υπηρεσία Μουσική Καληκοπτήρι Επικοινωνία Υπηρεσία Υπηρεσία Μουσική Καληκοπτήρι Επικοινωνία Υπηρεσία Μουσική Καληκοπτήρι που έχει να κάνει με τα ανάλογα ποσά. Όπως βλέπετε ήδη στον πίνακα πίσω, έχω φτιάξει δύο πίνακες, που αφορούν κάποιες δραστηριότητες που πρέπει να κάνουμε, για να γίνει πιο κατανοητό ότι είναι τα ανάλογα ποσά. Πάμε λοιπόν να δούμε στην πρώτη διαφάνεια. Εσείς τη βλέπετε, εγώ σας τη διαβάζω. Μας λέει λοιπόν ότι για τις ανάγκες ενός σχολικού συνεταιρισμού, τα παιδιά της έκτης τάξης θέλησαν να κάνουν ένα πίνακα, με τις ποσότητες και τις τιμές για τους χυμούς του κηλικίου του συνεταιρισμού. Προσέξτε λοιπόν. Αυτό που έχω γράψει εγώ στον πίνακα ήδη, είναι ποιο. Είναι ότι αν εγώ αγοράσω, η ποσάτα του χυμού είναι σε κουτάκια, αν λοιπόν εγώ αγοράσω ένα κουτάκι χυμού, τότε θα πρέπει να πληρώσω στο κηλικίο δύο ευρώ. Μας ζητάει λοιπόν να συμπληρώσουμε τις τιμές για μεγαλύτερη ποσότητα χυμού. Δηλαδή, αν πάμε και αγοράσουμε περισσότερα κουτάκια. Για να δούμε λοιπόν. Αν εγώ αγοράσω δύο κουτιά χυμού, τότε, προσέξτε, γράφω το πρώτο λόγο, το ένα δεύτερο, και ο δεύτερος λόγος είναι δύο προς κάτι. Ψάχνω να βρω λοιπόν αυτό. Ήδη από το προηγούμενο μάθημα, εμείς έχουμε πει ότι οι αναλογίες σημαίνουν τι? Λόγοι ίση μεταξύ τους. Άρα, το ένα, βλέπουμε εδώ ότι έχει γίνει δύο. Έχει δηλαδή πολλαπλασιαστεί με έναν αριθμό. Ποιον? Τον αριθμό δύο. Άρα και ο παρονομαστής θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με τον αριθμό δύο. Και θα μου δώσει ποιο, παιδιά, το τέσσερα. Άρα λοιπόν, αν εγώ αγοράσω δύο κουτάκια χυμού, τότε θα πρέπει να πληρώσω στο κηλυκείο τέσσερα ευρώ. Για να δούμε. Αν εγώ τώρα θέλω να αγοράσω τέσσερα κουτάκια, τι χρήματα θα πρέπει να δώσω στο κηλυκείο? Για να δούμε. Το αρχικό μου, που ξέρω ότι για το ένα κουτάκι, δίνω δύο ευρώ στο κηλυκείο, γίνεται το ένα, γίνεται τέσσερα. Άρα τετραπλασιάζεται. Αφού λοιπόν αυτό τετραπλασιάζεται, τότε και το δύο θα πρέπει επίσης τι να κάνει? Να τετραπλασιαστεί. Οπότε τι θα έχω? Δύο επί τέσσερα πόσο, παιδιά, θα πληρώσω? Οκτώ ευρώ. Για να δούμε. Αν τώρα αντί για ένα αγοράσω δέκα κουτάκια, τι κάνω το ένα, για να μην τα γράφω όλα. Εδώ λοιπόν, το ξέχασα, εδώ θα πρέπει να μπει το οχτώ. Αν λοιπόν αντί για ένα αγοράσω δέκα κουτάκια, τι γίνεται το ένα, το ένα δεκαπλασιάζεται. Άρα και το δύο θα πρέπει να το δεκαπλασιάσω. Και θα γίνει τι? Είκοσι. Και αν αντί για ένα κουτάκι αγοράσω είκοσι, τότε το ένα τι το κάνω, το είκοσαπλασιάζω. Άρα και το δύο θα πρέπει να το είκοσαπλασιάσω και θα μου γίνει πόσο. Σαράντα. Σας ρωτάει λοιπόν, προσέξτε στη διαφάνεια, μας λέει λοιπόν από τι εξαρτάται η αξία των χειμών σε κάθε περίπτωση. Ε, από τι εξαρτάται, παιδιά, εξαρτάται από το πόσα κουτάκια χειμού παίρνω. Από την ποσότητα του χειμού, την οποία πρόκειται να αγοράσω. Και μας λέει, πώς προκύπτει η αξία για κάθε ποσότητα. Δηλαδή, τι κάνατε για να το βρείτε ακριβώς αυτό το οποίο κάναμε. Τι κάναμε, παιδιά. Κάθε φορά που άλλαζε ο αριθμός της ποσότητας του χειμού που αγοράζαμε, με τον ίδιο ακριβώς τρόπο άλλαζε και η αξία σε ευρώ που πληρώναμε στο κηλυκείο. Δηλαδή, διπλασιάσαμε την ποσότητα του χειμού, διπλασιάστηκε και η αξία των ευρώ που πλήρωσα. Τετραπλασιάστηκε η ποσότητα του χειμού. Τετραπλασιάστηκε και η αξία και πάει λέγοντας. Μέχρι που φτάσαμε στα 20 κουτάκια, οπότε τι κάναμε, εικοσαπλασιάσαμε την ποσότητα του χειμού, άρα, εικοσαπλασιάσαμε, το 2 έγινε 40, και την αξία σε ευρώ την οποία πληρώσαμε στο κηλυκείο. Και τέλος μας ρωτάει. Σύγκρινε τους λόγους που σχηματίζονται και τι παρατηρούμε. Εγώ εδώ έχω γράψει ήδη τους τρεις. Για να δούμε, ποιους άλλους έχω. Έχω το 10 προς 20 και έχω και το 20 προς το 40. Υπάρχουν δύο τρόποι να διαπιστώσουμε τι είναι αυτή η λόγη μεταξύ τους. Ο πρώτος λόγος είναι να δούμε ότι τα κλάσματα τα οποία προκύπτουν από το 1 δεύτερο είναι όλα ισοδύναμα. Το 2 τέταρτα ισοδύναμα με το 1 δεύτερο και αυτό με το 4 όγδο, με το 10 ηκοστά και το 20 τεσσαρά κοστά. Ο δεύτερος τρόπος που τον κάναμε στο περασμένο μάθημα είναι να παίρνουμε τα σταυροτά γινόμενα ανά 2. 1 επί 4, 2 επί 2. Πάμε στο επόμενο. 2 επί 8, 4 επί 4, 16. Πάμε στα επόμενα. 4 επί 20, 80, 8 επί 10, 80. Πάμε στο τελευταίο. 10 επί 40, 400, 20 επί 20, 400. Τι βλέπουμε λοιπόν? Ότι οι λόγοι μεταξύ τους είναι τι? Είναι ίση. Πάμε λοιπόν, παιδιά, στην επόμενη δραστηριότητα. Βλέπετε ήδη τη διαφάνεια, η οποία μας λέει τι. Έχουμε ένα τρένο. Το τρένο κινείται με σταθερή ταχυτήτα 80 χιλιόμετρα την ώρα. Και θέλει να υπολογίσουμε τα χιλιόμετρα που θα καλύψει σε πόσες. Σε 2, 5, 8 και 10 ώρες και να συμπληρώσουμε τον πίνακα που ακολουθεί. Εσείς τον βλέπετε εκεί, τον έχω φτιάξει κι εγώ εδώ. Και πάμε να το δούμε μαζί. Για να δούμε λοιπόν. Έχουμε ένα τρένο. Τι μας λέει λοιπόν ως δεδομένο. Μας λέει ότι σε μία ώρα το τρένο διανύει 80 χιλιόμετρα. Πάμε να δούμε λοιπόν πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει σε πόσες. Σε 2, σε 5, σε 8 και σε 10 ώρες. Για να δούμε. Βλέπουμε λοιπόν ότι το 1 ή μία ώρα γίνονται 2. Δηλαδή τι γίνεται, διπλασιάζονται. Άρα και τα 80 χιλιόμετρα θα διπλασιαστούν και θα γίνουν πόσα, 160. Πάμε παρακάτω. Τη μία ώρα την κάνουμε 5, το πενταπλασιάζουμε. Άρα αφού το 1 πενταπλασιάζεται, θα πενταπλασιάσω και το άλλο ποσό και θα γίνει πόσο. Πέντε, οχτώ, σαράντα, τετρακόσια χιλιόμετρα. Για να δούμε λοιπόν και τα δύο τα οποία δεν σας τα δίνει και στη διαφάνεια. Μας λέει λοιπόν σε 8 ώρες πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει. Για να το δούμε λίγο, παιδιά. Εμείς την κρατάμε τον αρχικό λόγο, το 1 προς 80. Και θέλουμε να δούμε τώρα τι. Στις 8 ώρες πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει. Για να δούμε λοιπόν τι θα κάνουμε. Ξέρουμε ότι έχουμε αναλογία. Άρα τι ξέρω, παιδιά, ξέρω ότι τα σταυροτά γινόμενα στην αναλογία είναι ίσα. Άρα τι θα κάνω, για να δούμε. 8 προς 80 και 1 προς χιλιόμετρα. Άρα 1 προς χιλιόμετρα ίσον 8 προς 80. Άρα χιλιόμετρα ίσον 8 προς 64 και 1 προς 0. Άρα σε 8 ώρες θα διανύσει 640 χιλιόμετρα. Με τον ίδιο τρόπο θα δούμε πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει σε 10 ώρες. Δηλαδή τι θα κάνω. Θα κρατήσω τον αρχικό μου λόγο 1 προς 80 ίσον με τι. Με 10 προς χι. Για να δούμε λοιπόν σταυροτά γινόμενα. Και τι έχω, 1 προς χι ίσον 10 προς 80. Άρα χι ίσον πόσα, 800 χιλιόμετρα. Και συμπληρώνω στον πίνακα 800 χιλιόμετρα. Επί της ουσίας λοιπόν κάθε φορά τι έβρισκα παιδιά. Έβρισκα ένα λόγο, ο οποίος είναι τι. Είναι ο χρόνος, όπως το βλέπετε και στη διαφάνεια, έβρισκα λοιπόν το χρόνο προς την απόσταση. Και βλέπαμε λοιπόν ότι όσο μεγαλώνει το ένα μέγεθος, το ένα ποσό καλύτερα, τόσο μεγαλώνει και το άλλο. Για να δούμε λοιπόν στην επόμενη διαφάνεια και να προχωρήσουμε. Να δούμε λοιπόν τον ορισμό. Τι είναι λοιπόν τα ανάλογα ποσά. Τα ανάλογα ποσά λοιπόν, μας λέει, είναι ο ορισμός, είναι ο εξής. Δύο ποσά είναι ανάλογα πότε. Όταν οι τιμές του ενός προκύπτουν από τις τιμές του άλλου πώς. Πολαπλασιάζοντας ή και διαιρώντας, κάθε φορά με ένα σταθερό αριθμό. Αυτό που θέλω να κρατήσετε, γιατί θα το δούμε παρακάτω και στα προβλήματα που θα λύσουμε, είναι ότι στα ανάλογα ποσά, ο λόγος των τιμών τους, αυτό που κάναμε δηλαδή εδώ, διατηρείται σταθερός. Και βέβαια στα ανάλογα ποσά, όταν πολλαπλασιάζεται η τιμή του ενός ποσού, με κάποιον αριθμό, με έναν αριθμό, τότε πολλαπλασιάζεται και η τιμή του άλλου με τον ίδιο αριθμό. Και πάμε να προχωρήσουμε για να τα δούμε στην πράξη. Πριν όμως κάνουμε ασκήσεις και προβλήματα, θέλω να δείτε την παρακάτω διαφάνεια, η οποία μας λέει... Προσέξτε, θέλω να το σκεφτείτε όμως αυτό, γιατί θα τα απαντήσουμε μαζί. Κάποια ποσά, ενώ φαίνεται ότι εξαρτώνται το ένα από το άλλο, γιατί αυξάνονται ταυτόχρονα, δεν είναι ανάλογα. Τέτοια ποσά είναι, παραδείγματος χάρη, η ηλικία και το ύψος ενός ανθρώπου. Η ηλικία και το βάρος του. Προσέξτε, παιδιά, όταν γεννιέται ένα μωρό, έχει ένα συγκεκριμένο ύψος και έχει και ένα συγκεκριμένο βάρος. Το μωρό μεγαλώνοντας, σαφώς μεγαλώνει σε ύψος και βεβαίως αυξάνει το βάρος του. Αυτό όμως, όταν ένας άνθρωπος είναι 10 χρονών, μεγαλώνει, γίνεται 20 χρονών, θεωρούμε ότι γύρω στα 20 έχει ολοκληρωθεί η αύξηση του ύψους του παιδιού. Το βάρος επίσης μεγαλώνει. Αυτό όμως δεν σημαίνει ότι όσο μεγαλώνει το ύψος, τόσο μεγαλώνει και το βάρος, γιατί έτσι όσο μεγαλώναμε, δηλαδή εμείς οι μεγαλύτεροι άνθρωποι, θα πρέπει να είμαστε δεκάδες σε κατοντάδες κιλά, αν συμβάδιζε η ανάπτυξη του ύψους με την ανάπτυξη του βάρους. Όπως επίσης αυτό που σας λέει, με την ηλικία και το βάρος, αλίμονο αν κάθε φορά ο άνθρωπος ο οποίος μεγαλώνει, να μεγαλώνει αντίστοιχα και τα κιλά του. Ε, τότε θα είμαστε όλοι μια κοινωνία με πάρα πάρα πολλά κιλά, γιατί βεβαίως οι άνθρωποι μεγαλώνουν. Προσέξτε λοιπόν ότι η ηλικία και το βάρος του ανθρώπου, είναι ποσά που μέχρι κάποια στιγμή αυξάνονται μαζί, κάποια στιγμή όμως θα πρέπει η αύξηση της ηλικίας να μη συμβαδίζει και δεν συμβαζίζει με την αύξηση του βάρους. Το ίδιο συμβαίνει και με το ύψος και την ηλικία του ανθρώπου. Είπαμε ότι ο άνθρωπος ψηλώνει μέχρι μια ηλικία περίπου 18 με 20 ετών, από εκεί και πέρα όμως σταματάει να ψηλώνει, και βεβαίως το βάρος του δεν συνεχίζει να αυξάνεται για όλα τα αίτη της ζωής του. Σταθεροποιείται σε ένα βάρος και σταματάει εκεί. Θέλω λοιπόν με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, να δούμε κάποια ποσά που σας έχω γράψει, κάποια ζευγάρια ποσών που βλέπετε στη διαφάνεια, και να συζητήσουμε αν αυτά τα ζευγάρια είναι ποσά ανάλογα. Το ένα που σας λέει, το πρώτο, μας λέει η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του. Παιδιά, η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του, το καταλαβαίνετε ότι είναι ποσά ανάλογα γιατί ένα τετράγωνο έχει τέσσερις πλευρές ίσες. Άρα, όταν εγώ θέλω να δω αν τα ποσά, ποια μήκος πλευράς με περίμετρο τετραγώνου είναι ανάλογα, τι πρέπει να δω αν ο λόγος τους παραμένει σταθερός. Βεβαίως και παραμένει σταθερός, γιατί έχω ένα προς τέσσερα. Το ένα είναι το μήκος της πλευράς του τετραγώνου και επί τέσσερα το μήκος της πλευράς μας δίνει την περίμετρό του. Αυτός ο λόγος παραμένει πάντοτε σταθερός. Πάμε να δούμε το δεύτερο. Τα χρήματα που κερδίζουμε και τα χρήματα που ξοδεύουμε. Εδώ, παιδιά, τα ποσά δεν είναι ανάλογα. Γιατί? Γιατί πολλές φορές, είμαστε άνθρωποι, μπορεί τον ένα μήνα να ξοδέψουμε περισσότερα χρήματα και τον άλλο μήνα να ξοδέψουμε λιγότερα χρήματα. Δεν συμβαδίζει λοιπόν η αύξηση και των δύο ποσών. Πάμε παρακάτω. Μας δίνει την ποσότητα ενός προϊόντος και τη χρηματική του αξία. Τι σημαίνει αυτό? Είναι σαν το πρώτο παράδειγμα το οποίο κάναμε με τους χυμούς. Αν αγοράσω ένα κουτάκι και δώσω 2 ευρώ, αν αγοράσω 10 κουτάκια θα δώσω 20 ευρώ. Άρα τι σημαίνει? Αυξάνω την ποσότητα του προϊόντος, σαφώς θα πληρώσω και περισσότερα χρήματα. Αυξάνει η χρηματική του αξία. Αυξάνονται λοιπόν ανάλογα. Πάμε παρακάτω. Η ώρα της ημέρας και η θερμοκρασία. Συνηθίζουμε να λέμε ότι το μεσημέρι κάνει περισσότερη ζέστη. Ναι, αυτό δεν συμβαίνει πάντα όμως, γιατί μπορεί να ξεπνίσουμε μια μέρα και να έχει μια ηλειόλουστη μέρα το πρωί, και το μεσημέρι να υπάρξουν κερικά φαινόμενα, να υπάρξουν καταιγίδες, υπτώσεις της θερμοκρασίας, και το μεσημέρι να κάνει περισσότερο κρύο από το πρωί. Άρα η ώρα της ημέρας και η θερμοκρασία μεταβάλλονται ανάλογα με τις κερικές συνθήκες. Δεν είναι σταθερό αυτό. Δεν σημαίνει ότι το πρωί θα κάνει πάντα περισσότερο κρύο από το μεσημέρι ή το βράδυ. Πάμε στο πέντε. Μας λέει ο αριθμός των εργατών και ο χρόνος εκτέλεσης ενός έργου. Παιδιά, κοιτάξτε τι θέλω να σκεφτείτε. Αν πούμε, παραδείγματος χάρη, ότι θέλουμε να βάψουμε το δωμάτιό σας, και έρθει ένας εργάτης και σας πει ότι επειδή είναι μεγάλο και έχει βιβλιοθήκες και έχει πολλά πράγματα μέσα, ότι εγώ θέλω για να το βάψω δύο μέρες. Η μητέρα σας, όμως, θέλει να τελειώσει πιο νωρίς και τον ρωτάει τι. Μήπως μπορούμε να το κάνουμε σε μια μέρα. Αυτό, όμως, τι σημαίνει. Μόνος το αποκλείεται να μπορεί να το τελειώσει. Σημαίνει ότι θα πρέπει να πάρει κι άλλο έναν εργάτη να τον βοηθήσει. Θα μάθουμε παρακάτω ότι αυτά τα ποσά δεν είναι ανάλογα, αλλά είναι αντιστρόφως ανάλογα. Γιατί? Γιατί αυξάνεται η αξία του ενός ποσού και μειώνεται η άλλη. Άρα, δεν είναι ανάλογα τα ποσά αυτά. Και πάμε και στο τελευταίο. Το τελευταίο, λοιπόν, μας λέει ο αριθμός των ατόμων και οι μερίδες που καταναλώνουν. Όταν πάμε σε ένα εστιατόριο ή σε ένα εστωράνι, σε μια ταβέρνα να φάμε, συνήθως ο καθένας παίρνει μια μερίδα φαγητού. Άρα, θεωρούμε ότι όσο πιο πολλά άτομα είμαστε, τόσο περισσότερες μερίδες φαγητού θα καταναλώσουμε. Άρα τα ποσά είναι ανάλογα. Πάμε λοιπόν παρακάτω. Πάμε να λύσουμε τώρα ορισμένα προβλήματα μαζί. Έχουμε ένα αγοράκι, λοιπόν, τον Ανδρέα, ο οποίος έχει 17 ευρώ το χαντζιλίκι του και θέλει να κεράσει τους φίλους τους σοκολάτες. Κάθε σοκολάτα κοστίζει 2 ευρώ. Μας ζητάει, λοιπόν, να φτιάξουμε τον πίνακα ποσών και τιμών και να βρούμε για πόσους φίλους του μπορεί να αγοράσει σοκολάτες με τα χρήματα που έχει. Για να δούμε, λοιπόν, τι πρέπει να κρατήσουμε. Έχουμε, λοιπόν, ότι το αγοράκι έχει μαζί του 17 ευρώ και θέλει να αγοράσει σοκολάτες που η μία σοκολάτα κοστίζει 2 ευρώ. Μας ρωτάει, λοιπόν, το πρόβλημα να δούμε πόσα παιδιά μπορεί να κεράσει. Πάμε, λοιπόν, εμείς να φτιάξουμε ένα πίνακα. Για να δούμε. Τι πρέπει να βάλουμε, λοιπόν, εμείς εδώ. Πρέπει να βάλουμε τα ποσά και τις τιμές. Για να δούμε. Ποια είναι τα ποσά τα οποία έχουμε, παιδιά. Τα ποσά είναι ο αριθμός των σοκολατών και η αξία σε ευρώ. Τι μας λέει, λοιπόν, ότι για μία σοκολάτα το παιδάκι θα πληρώσει 2 ευρώ. Για να δούμε όμως εμείς. Έχει 17 ευρώ και θέλει να δούμε πόσες σοκολάτες μπορεί να αγοράσει, δηλαδή πόσους φίλους του μπορεί να κεράσει. Καταλαβαίνετε, παιδιά, ότι εδώ για να φτάσουμε στα 2 ευρώ που κάνει μία σοκολάτα, θα πρέπει επειδή το παιδάκι έχει 17 ευρώ, ο αριθμός των σοκολατών που μπορεί να αγοράσει θα είναι άρτιος, θα είναι ζηγός. Δηλαδή εμείς, λοιπόν, εδώ θα πρέπει να βρούμε μέχρι πόσα χρήματα μπορεί να ξοδέψει. Δεν μπορεί να ξοδέψει μέχρι 17 ευρώ. Το ανώτατο ποσό που μπορεί να ξοδέψει είναι 16 ευρώ. Άρα, γιατί είναι ζηγός ο αριθμός και θα του περισσέψει 1 ευρώ. Αν λοιπόν εμείς έχουμε ξοδέψει 16 ευρώ, πόσες σοκολάτες θα αγοράσει. Για να το δούμε λοιπόν. Ποιους λόγους φτιάξαμε, φτιάξαμε το 1 προς 2 ίσον χ προς 16. Τι είπαμε στο περασμένο μάθημα ότι τα σταυροτά γινόμενα σε μία αναλογία είναι ίσα. Άρα, 2 Χ είναι ίσον 1 Χ 16. Άρα, 2 Χ ίσον 16. Άρα, το Χ ίσον 16 δια 2. Άρα, το Χ είναι 8. Τι σημαίνει 8. Μπορεί να αγοράσει, maximum, το μεγαλύτερο 8 σοκολάτες. Άρα, μπορεί να κεράσει πόσους φίλους του. 8 φίλους του. Και θα του περισσέψει 1 ευρώ. Πάμε λοιπόν στο παρακάτω πρόγλημα. Έχουμε λοιπόν ένα τμήμα, κάποιους μαθητές μιας 6ης τάξης, οι οποίοι επισκέπτονται ένα ελαιοτριβείο στην περιοχή τους. Εκεί μαθαίνουν λοιπόν, προσέξτε τι μαθαίνουν, πως όταν μαζέψουμε από ένα ελαιόδαντρο 6 κιλά ελιές, μπορεί να παραχθεί ένα κιλό λάδι. Θέλει λοιπόν να φτιάξουμε εμείς τον πίνακα ποσόν και τιμόν, και να βρούμε από πόσα κιλά ελιές παράγονται 5, 20, 50 και 100 κιλά λάδι. Για να το δούμε λοιπόν μαζί. Πάμε να φτιάξουμε ένα πίνακα ποσόν και τιμόν. Τι μας έχει πει το πρόβλημα, παιδιά! Έχουμε τα κιλά από ελιές και έχουμε τα κιλά που παίρνουμε σε λάδι, κιλά λαδιού. Τι μας λέει λοιπόν, ποια είναι η πληροφορία που μας δίνει. Ότι από 6 κιλά ελιές, εγώ παίρνω ένα κιλό λάδι. Τι μας ρωτάει. Θέλει να βρούμε λοιπόν εμείς, από πόσα κιλά ελιές παράγονται 5, 20, 50 και 100 κιλά λάδι. Λοιπόν, για να δούμε. Το ξαναλέω παιδιά το πρόβλημα. Μας λέει ότι όταν μαζέψω 6 κιλά ελιές, μπορώ να παράξω, να πάρω, ένα κιλό λάδι. Εμείς λοιπόν θέλουμε να βρούμε αν έχουμε 5 κιλά λάδι, 20 κιλά λάδι, 50 κιλά λάδι και 100 κιλά λάδι, πόσα κιλά ελιές έπρεπε να έχω μαζέψει για να το παράξω. Θα πρέπει λοιπόν για το καθένα να βρούμε την αντίστοιχη τιμή στα τετραγωνάκια που βλέπετε. Υπάρχουν δύο τρόποι να δουλέψουμε. Ο πρώτος είναι να δούμε τι γίνεται με τον αριθμό 1. Δηλαδή με τον παρονομαστή. Όταν έχω το 6 πρώτα, βλέπω ότι εδώ θα πρέπει να προκύψει ένας λόγος 5 προς χ. Προσέξτε! Μπορώ να λύσω 5 διαφορετικές εξισώσεις. Μπορώ όμως επίσης να πω ότι το 1 το πενταπλασιάζω. Άρα και το 6 τι θα πρέπει να το κάνω, να το πενταπλασιάσω. Αυτός είναι ο ένας τρόπος. Άρα λοιπόν το 6 επί 5 τι θα μου δώσει εδώ. Να το γράφω καλύτερα με κόκκινο για να το βλέπετε κι εσείς από το σπίτι. Θα μου δώσει λοιπόν 30. Τι σημαίνει αυτό το 30. Σημαίνει ότι από 30 κιλά ελιές, εγώ μπορώ να παράξω 5 κιλά λαδιού. Πάμε να λύσουμε το άλλο. Μας ρωτάει τώρα εγώ θέλω να πάρω 20 κιλά λάδι. Για να ξαναδούμε λοιπόν, να το λύσουμε με τον άλλο τρόπο. Έχω λοιπόν το 6 πρώτα ίσον με 20 προς χ. Για να δούμε, ας το κάνουμε με τα σταυροτά γινόμενα. 1 επί χ ίσον 6 επί 20. Άρα το χ είναι ίσον με 120 κιλά ελιές. Άρα τι σημαίνει αυτό. Σημαίνει ότι όταν εγώ θα αγοράσω 20 κιλά λάδι, αυτά έχουν παραχθεί από 120 κιλά ελιές. Πάμε λοιπόν να συμπληρώσουμε και τα άλλα τετραγωνάκια. Το 1 πάμε για τα 50 κιλά λάδι. Το 1 γίνεται 50. Άρα γίνεται 50 φορές το πολλαπλασιάζουμε επί το 50. Άρα και το 6 με τι θα πρέπει να το πολλαπλασιάσω παιδιά. Με το 50 και θα γίνει 5,6,30 και ένα μηδενικό ακόμα. Δηλαδή για να έχω 50 κιλά λαδιού θα πρέπει να έχω μαζέψει 300 κιλά ελιές. Και πάμε και στο τελευταίο. Το 1 γίνεται 100. Άρα εκατατοπλασιάζεται. Οπότε και το 6 θα γίνει τι? 600. 6 επί 100. Αυτός είναι ο πίνακας λοιπόν που μας ζητούσε να φτιάξουμε. Διαβάστε το επόμενο πρόβλημα, το 3, να σβήσω εγώ λίγο τη μία πλευρά του πίνακα, για να συνεχίσουμε. Μας λέει λοιπόν το επόμενο πρόβλημα ότι ένας ράφτης για να ράψει τρία κοστούμια χρειάζεται 18 μέτρα υφάσματος, για να συμπληρώσουμε τα δεδομένα μας. Τι μας λέει να συμπληρώσουμε? Για να ράψει λοιπόν λέει τρία κοστούμια χρειάζεται, δεν το θυμάμαι, 18 μέτρα υφάσματος. Για να δούμε, τι μας λέει λοιπόν. Πόσα μέτρα υφάσματος θα χρειαστεί για 6, 9 και 12 κοστούμια. Τι πρέπει να κάνω παιδιά, να πάω να φτιάξω ένα πίνακα ποσών και τιμών, για να το δούμε. Τι γράφουμε πάνω, πάνω γράφουμε τα ποσά και τις τιμές. Για να δούμε λοιπόν, ποια είναι τα ποσά μας. Είναι ο αριθμός των κοστούμιών και τα μέτρα του υφάσματος που χρειάζονται. Για να δούμε. Τι μας λέει λοιπόν. Πάμε να το βάλουμε. Μας λέει ότι όταν εγώ θα ράψω τρία κοστούμια, χρειάζομαι 18 μέτρα υφάσμα. Και μας ρωτάει αν εγώ θέλω να ράψω 6, 9 και 12 κοστούμια. Για να τα γράψουμε. 6, 9 και 12 κοστούμια. Πόσα μέτρα υφάσματος θα χρειαστώ. Για να δούμε. Πάμε λοιπόν να γράψουμε την πρώτη αναλογία. Έχουμε λοιπόν 3 προς 18. Είναι ίσον με τι. Με 6 προς x. Δεν ξέρω τον αριθμό των μέτρων του υφάσματος που μου χρειάζονται, για να ράψω εγώ 6 κοστούμια. Τι ξέρω όμως. Έχω μία αναλογία και τα σταυροτά γινόμενα είναι ίσα. Άρα 3 επί x είναι ίσον με τι. Με 6 επί 18. Άρα 3 επί x είναι ίσον με τι. 6, 8, 48, 4, 1, 6, 6 και 4, 10. Άρα x ίσον, αντί για πολλαπλασιασμό τι θα κάνω παιδιά, διέρεση. Κάνουμε λοιπόν τη διέρεση, 2, 3, 3, 3, 9, κάτω και το 8, 6. Άρα το x είναι ίσον με 36 μέτρα υφάσματος. Άρα αν εγώ λοιπόν θέλω να συμπληρώσω εδώ, θα συμπληρώσω τον αριθμό 36. Τι σημαίνει αυτό. Ότι για 6 κοστούμια θέλω 36 μέτρα υφάσμα. Προσέξτε όμως τι άλλο θα μπορούσατε να δείτε. Θα μπορούσατε να δείτε στην αναλογία, αν εγώ δεν σας έχω δώσει το 36, ότι το 3 γίνεται τι παιδιά, γίνεται 6. Δηλαδή τι κάνει, διπλασιάζεται. Άρα και το 18, χωρίς να κάνω όλη την εξίσωση, μπορώ τι να πω. Αφού διπλασιάζεται ο ένας αριθμός, το ένα ποσό, διπλασιάζεται και ο άλλος. Άρα το 18 γίνεται 36. Για να δείτε λοιπόν αν το κάνουμε με αυτόν τον τρόπο για το επόμενο, για τα 9 κοστούμια. Δεν μου λέτε. Το 3, τι γίνεται, 9. Δηλαδή τι κάνει, τριπλασιάζεται. Άρα και το 18 τι θα πρέπει να κάνω, να το κάνω επίσης επί 3. 18 λοιπόν επί 3, 3, 8, 24, 2, 54. Άρα τι θα γράψω παιδιά, θα γράψω 54 μέτρα υφάσματος. Και πάμε να δούμε και το τελευταίο. Να το κάνουμε με εξίσωση το τελευταίο, να μην το λύσουμε έτσι, να βλέπουμε και τους δύο τρόπους. Για να δούμε λοιπόν. Κρατάμε ότι για τα 3 κοστούμια μου χρειάζονται 18 μέτρα υφάσμα. Ίσον, για να δούμε. Για τα 12, πόσο. Τι θα πρέπει να πω λοιπόν. Αναλογία. Άρα σταυροτά γινόμενα. Τι έχω. 3 επί x ίσον 12 επί 18. Άρα 3 επί x ίσον 12 επί 18. 2, 8, 16, 1, 9, 2, 1, 6, 11, 2, 216. Άρα το x πόσο θα είναι. 216 δια το 3. Άρα πάμε να κάνουμε και τη διαίρεση δίπλα. 216 δια 3. Το 3 στο 21, 7, 0, 6, 2. Άρα το x είναι ίσον με πόσο. Με 72. Τι είναι το 72 παιδιά. Είναι μέτρα. Για να ράψω εγώ λοιπόν 12 κοστούμια, θα πρέπει να έχω 72 μέτρα υφάσματος. Αυτό ήταν το μάθημα σήμερα για τα ανάλογα ποσά. Στα επόμενα μαθήματα θα λύσουμε προβλήματα για τα ανάλογα ποσά και θα προχωρήσουμε και στα αντίστροφα. Ευχαριστώ πολύ που ήσασταν μαζί μου. Καλή συνέχεια!