Διάλεξη 6 / Διάλεξη 6 / σύντομη περιγραφή - Κατσιφαράκης Κωνσταντίνος (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2015)
σύντομη περιγραφή: Υπόσχεσαι, κύριε Παραδοσιακό, στον Ιησού Χριστό Σαναίσθη. Υπόσχεσαι, κύριε Παραδοσιακό, στον Ιησού Χριστό Σαναίσθη. Υπόσχεσαι, κύριε Παραδοσιακό, στον Ιησού Χριστό Σαναίσθη. Χρόνια πολλά σε όλους, Χριστός Ανέστη. Σήμερα θα κάνουμε ένα από τα πιο σημαντικά κομμάτια, τα οποία είναι η μέθοδος των εικόνων, την οποία έχουμε ακούσει και στο μάθημα κορμού, την οποία θα την επεκτείνουμε με δύο τρόπους. Μια πολύ μικρή σύνδεση με τα προηγούμενα είναι ότι ξεκινήσαμε να μιλάμε για τον κύριο τρόπο επικοινωνίας μας με τα υπόγεια νερά που είναι τα πηγάδια και καταρχήν ξεκινήσαμε από τα μόνιμα φαινόμενα, αυτά που λίγο πολύ ξέραμε και από πέρυσι, μιλήσω από το μάθημα κορμού, μιλήσαμε για ροές, για την υπόθεση της μόνιμης ροής καταρχήν και στη συνέχεια ξεκινήσαμε να ελέγχουμε τις μόνιμες ροές σε υδροφορέα υποπίεση ή αλλιώς περιορισμένο υδροφορέα, σε υδροφορέα φρεάτιο ή αλλιώς με ελεύθερη επιφάνεια και αυτό το οποίο προσθέσαμε σε σχέση με αυτά που ήταν γνωστά από το μάθημα κορμού ήταν το τι γίνεται, ποιους τύπους μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε, υπό κάποιες παραδοχές βέβαια, όταν έχουμε υδροφορείς με διαρροή και είδαμε ότι σε αυτή την περίπτωση επισέρχονται οι συναρτήσεις Bessel και προσπάθησα την προηγούμενη φορά να τις απομυθοποιήσω λίγο, να μην τις θεωρείτε ως κάτι τρομακτικό, παίρνουμε τις τιμές από πίνακες. Κάναμε μια σχετική άσκηση, αλλά θα κάνουμε και άλλη μία πάνω στη μέθοδο των εικόνων και τους υδροφορείς με διαρροή και πιστεύω ότι δεν θα έχετε πλέον κανένα πρόβλημα και με την περίπτωση αυτή που κλησιάζει σε πολλές περιπτώσεις στην πραγματικότητα περισσότερα από το άσπρο-μαύρο φρεάτιος υδροφορέας ή υδροφορέας υποπίεση. Αυτά λοιπόν είδαμε συνοπτικά στο προηγούμενο μάθημα. Ουσιαστικά εκείνο που εξετάζαμε ήταν τις περιπτώσεις που έχουμε ένα πηγάδι σε άπειρο υδροφορέα, δηλαδή σε υδροφορέα ο οποίος είχε αρκετά μεγάλες διαστάσεις χωρίς να παρεμβάλλονται στη γειτονιά του πηγαδιού κάποιες αλλαγές, κάποια όρια, όπως λέμε είτε αδιαπέρατο όριο να σταματάει το υλικό μέσα στο οποίο κινείται το νερό, είτε όριο δεξαμενής να έχουμε μια επικοινωνία κάπου με ένα επιφανειακό υδατικό σώμα, λίμνη, ποτάμι, θάλασσα, του οποίου μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η στάθμη στην κλίμακα του προβλήματος που εξετάζουμε παραμένει σταθερή και ότι δεν υπάρχουν και άλλα πηγάδια που να επηρεάζουν το ένα το άλλο. Σήμερα λοιπόν ξεκινάμε να πούμε ορισμένα πράγματα, καταρχήν για τα συστήματα πηγαδιών. Τι σημαίνει σύστημα πηγαδιών, ότι πάλι ο ιδροφορέας είναι άπειρος, δεν έχουμε μέσα εκεί όρια, ας πάρω μερικά πηγάδια στο χέρι μου, αλλά τι είναι τώρα το ζητούμενο, έχουμε μια σειρά από πηγάδια, σε σχετικά μικρές αποστάσεις μεταξύ τους, που σημαίνει ότι το ένα επηρεάζει το άλλο, προφανώς, και όλα μαζί επηρεάζουν την γύρω περιοχή. Εντάξει. Και το ζητούμενο είναι, ναι, ωραία, πες ότι έχουμε έναν ιδροφορέα υποπίεση, ξέρουμε ότι αν είχαμε ένα πηγάδι, σε οποιαδήποτε θέση έχουμε έναν τύπο και μας δίνει τόση στάθμις για τη λειτουργία του ενός πηγαδιού. Τώρα που έχουμε τέσσερα πηγάδια τι γίνεται. Και η πρώτη σκέψη είναι μήπως ισχύει η αρχή της επαλληλείας. Δηλαδή, μήπως μπορούμε να προσθέσουμε τις επιδράσεις του κάθε ενός πηγαδιού ώστε να πάρουμε το τελικό αποτέλεσμα. Είναι κάτι έυλογο. Θέλουμε να εξετάσουμε, για παράδειγμα, σε αυτό εδώ το σημείο. Λέμε, αν ήταν μόνο το πράσινο πηγάδι, τι τόση στάθμις θα προκαλούσε, τρία μέτρα. Αυτό εδώ, πέντε μέτρα. Το άλλο, δύο. Το άλλο, τέσσερα. Αθρίζουμε όλα μαζί και βρίσκουμε την τελική πτώση στάθμις. Και αυτό ισχύει και για τις παρειές των πηγαδιών. Δηλαδή, το ένα πηγάδι προκαλεί κάποιο πρόβλημα εντός εισαγωγικών, δηλαδή μεγαλύτερη πτώση στάθμις, στα άλλα. Κάνει δηλαδή, γιατί είναι πρόβλημα αυτό, ακριβώς. Κάνει την άντληση πιο ακριβή στην κατάσταση λειτουργίας και στην περίπτωση που πάμε εξ αρχής να κάνουμε τα πηγάδια, μπορεί να χρειαστεί να κάνουμε πιο βαθύ πηγάδι και να κατεβάσουμε και πιο χαμηλά την αντλία ή και να βάλουμε μεγαλύτερη αντλία, που σημαίνει έχουμε πιθανώς μεγαλύτερο αρχικό κόστος, αλλά και κόστος λειτουργίας μεγαλύτερο. Γι' αυτό σε πάρα πολλές περιπτώσεις θέλουμε να βελτιστοποιήσουμε το κόστος άντλησης. Δηλαδή να βρούμε πώς θα μοιράσουμε την παροχή στα πηγάδια που έχουμε ή πώς θα βάλουμε σε ποια στέση θα κάνουμε πηγάδια ώστε να πετυχαίνουμε το καλύτερο αποτέλεσμα οικονομικό, παίρνοντας βέβαια την παροχή, τη συνολική που θέλουμε. Εντάξει. Λοιπόν, αυτή η αρχική εύλογη υπόθεση, ότι ισχύει η αρχή της επαλληλείας, αυτή λοιπόν εδώ η υπόθεση, επαλληλεύεται και μαθηματικά. Γιατί? Πρώτα απ' όλα γιατί οι λύσεις που έχουμε για ένα πηγάδι σε άπειρο ιδροφορέα προκύπτουν από γραμμική διαφορική εξίσωση. Και ξέρουμε ότι όταν έχουμε μια γραμμική διαφορική εξίσωση και ξέρουμε γενικώς, θυμόμαστε από τα μαθηματικά, ότι άθρηση με δύο τέτοιων λύσεων αποτελεί λύση της αρχικής γραμμικής διαφορικής εξίσωσης. Και επιπλέον πληρούνται και οι συνθήκες στα όρια του πεδίου. Και επομένως, δηλαδή σε μια μεγάλη απόσταση που θεωρούμε ίσημη την ακτή να επιρροείς, οι πτώσιοι στάθμεις πάλι θα είναι μηδενικοί, στα πηγάδια υπάρχουν μαθηματικό σαν όμαλα σημεία κτλ. Δεν θα επισέλθω σε αυτή την κουραστική μαθηματική περιγραφή, απλώς παραθέτω τους δύο αυτούς τύπους, οι οποίοι είναι απολύτως όμοι, αν και φαίνονται διαφορετικοί. Πρώτα απ' όλα, τους παραθέτω και τους δύο γιατί υπάρχουν στα δύο βιβλία που παίρνετε. Δηλαδή στο βιβλίο του Κορμού και στο βιβλίο της Επιλογής έχουν διαφορετικές, διαφορετικό συμβολισμό και κάπως διαφορετικά γραμμένους τους τύπους. Δεν είναι ούτε ένας λάθος ούτε άλλος. Βλέπετε, έχουν μια διαφορά ότι δεν υπάρχει, εδώ έχει μειών και εδώ δεν έχει μειών. Γιατί αυτό, κατ' αρχήν, είναι ανάποδα οι όροι μέσα στο λογάριθμό. Το τάφ είναι το κ επί α. Και επιπλέον το ΆΡΑΙ αναλύεται σε αυτό εδώ. Ουσιαστικά το ΆΡΑΙ είναι η απόσταση του εξεταζόμενου σημείου που έχει συνδεταγμένα ισχυψή, του σημείου δηλαδή του όλου του παιδίου που μπορεί να είναι και παριά πηγαδιού, στο οποίο θέλουμε να βρούμε την πτώση στάθμις από τα πηγάδια που συνεισφέρουν στην πτώση στάθμις. Εντάξει, άρα λοιπόν και οι δύο τύποι και οι δύο μορφές είναι σωστές. Μας δίνουν την πτώση στάθμις για σύστημα εν πηγαδιών και ροή υποπίεση. Βασίζεται στην αρχή της επαλληλείας. Τι γίνεται στην περίπτωση που έχουμε ροή με ελεύθερη επιφάνεια. Δεν θα επισκέπτω πάλι στα μαθηματικά, εδώ χρειάζεται ένα ακόμα τρίκ για να πετύχουμε αυτόν εδώ τον τύπο. Εν τούτοις και πάλι εν τέλει, κατά κάποιο τρόπο, ο όρος αυτός και αυτός είναι ίδιοι, προστίθενται, το βάζω σε αυτή την περίπτωση εντός εισαγωγικών, οι δράσεις των επιμέρους πηγαδιών. Εδώ βλέπετε, έχουμε τα τετράγωνα. H τετράγωνο, εδώ είναι οι στάθμεις, δεν επτώσει στάθμεις. Εδώ H1 στο τετράγωνο, όπου H είναι η στάθμη, H κεφαλαίο, η στάθμη στη ζητούμενη θέση και H1 μικρό, η αρχική αδιατάρακτη στάθμη. Σωστά τα λέω ή έκανα ένα λάθος. Ποιο είναι μεγαλύτερο από τα δύο, το H κεφαλαίο, η στάθμη σε κάποιο σημείο ροής με ελεύθερη επιφάνεια, όταν λειτουργούν, ας πούμε, τέσσερα πηγάδια, ή η αρχική αδιατάρακτη στάθμη, το H1. Μπράβο. Από φυσική άποψη, αφού είναι πηγάδια άντλησης, πέφτει η στάθμη. Άρα το H1 είναι μεγαλύτερο. Εγώ, όμως, βλέπω ότι προσθέτω κάτι στο H1 για να βγάλω το H. Είναι σωστό το C ή όχι? Είναι αυτό. Ακριβώς. Είναι ο λογάριθμος αρνητικός, ακριβώς, διότι μας ενδιαφέρουν σημεία, τα οποία είναι κοντά στα πηγάδια, σε απόσταση μικρότερη, οπωσδήποτε, από την ακτήνα επιρροής. Άρα, πως σωστά, είπε ο συνάδελφος, κάθε ένας από αυτούς τους όρους, κάθε ri, εν τέλει, είναι μικρότερο από το αρκιαφαλαίο, που είναι η ακτήνα επιρροής. Επομένως, σίγουρα, ο λογάριθμος είναι αρνητικός. Άρα, σωστά, αφαιρείται κάτι από το H1 και παίρνουμε τη στάθμη στην τυχούσα θέση, στην γειτονιά των πηγαδιών. Εντάξει, εδώ εξακολουθούμε, λοιπόν, να έχουμε άπειρους ιδροφορείς. Δεν υπάρχουν όρια μέσα στο πεδίο ροής, αλλά πολλά πηγάδια που επηρεάζουν το ένα το άλλο και όλα μαζί την γύρω περιοχή. Υπάρχει κάποια απορία έως εδώ? Για την παρειά του πηγαδιού, πάρα πολύ σωστή παρατήρηση. Λέει ο συνάδελφος, βλέπει ότι αν πάω στο Hi, Ψi, τότε θα γίνει αυτό λογάριθμος του μηδανός. Δηλαδή, μειονάπυρο. Γι' αυτό πάμε στην παρειά και όχι στο κέντρο του πηγαδιού. Άρα εδώ τελικά θα πάρουμε ένα σημείο. Ας πάψει να είναι πηγάδι αυτό εδώ και ας γίνει πραπηδογράφος. Δεν θα πάμε εδώ, αλλά θα πάμε σε κάποια από αυτά εδώ τα σημεία. Και τελικά εκείνο που θα προκύπτει, θα είναι στον αριθμηθή το R0, η ακτίνα του πηγαδιού. Εντάξει, μπορείτε? Που θα δίνεται. Αλλιώς, να πω ένα ασποκόλπο, αν δεν δίνεται η ακτίνα του πηγαδιού, σημαίνει ότι δεν χρειάζεται να ψάξετε για πόσες στάθμεις σε θέση πηγαδιού. Εντάξει. Σωστή λοιπόν η παρατήρηση και η ερώτηση και νομίζω ότι καλύφθηκε από την απάντηση. Υπάρχει κάποια άλλη απορία? Και για υποπίεση και για ελεύθερη επιφάνεια. Το λάθος που γίνεται στις εξετάσεις δυστυχώς, κυρίως στο μάθημα κορμού, ή βέβαια γιατί όσοι παρακολουθούν το μάθημα επιλογής μαθαίνουν καλά και το μάθημα κορμού και παίρνουν μετά μεγάλο βαθμό όταν το έχουν ήδη περάσει, είναι ότι πηγαίνουν στο κέντρο του πηγαδιού, βρίσκουν λογάριθμα του 0 και το θεωρούν 0. Δύο λάθη σε ένα. Αλλά δεν καταλαβαίνουμε τώρα τι έχουν κάνει λάθος, αν είχαν μίωνα άκρο θα καταλάβαιναν ότι κάτι δεν πάει καλά. Εντάξει. Το ένα λάθος συσκοτίζει το άλλο. Ας δούμε μια ειδική περίπτωση για ροή υποπίεση. Αν έχουμε πηγάδια τα οποία έχουν ίσες παροχές μεταξύ τους, θεωρούμε επίσης ότι η ακτίνα επιρροή στο αρκεφαλαίο είναι εν τέλει κοινό, τότε με πολύ απλές πράξεις, επειδή όλος αυτός ο όρος, αφού και το Q0 είναι σταθερό, θα βγει εκτός του αθρίσματος, θα μείνει εδώ μέσα ένα άθρισμα λογαρίθμων. Οπότε θα προκύψει λογάριθμος του R επί R, επί R, R στην 1. Και όπως ξέρουμε, λογάριθμος του α' στο x είναι x επί λογάριθμος του α' στο n βγαίνει απ' έξω. Και εδώ θα είναι το γινόμενο των επιμέρους αποστάσεων, το οποίο εν τέλει, αφού έχουμε βγάλει το 1 απ' έξω και από τον αριθμητικό και από τον παρονομαστή, θα δίνεται από αυτήν εδώ τη σχέση. Για θυμίστε μου, αυτή η σχέση υπάρχει μέσα στο βιβλίο, δεν είναι πολύ σημαντική, απλώς τη γράφω για να δείξω πώς μερικές φορές μπορούν να απλοποιηθούν κάποια πράγματα Τι είναι αυτό εδώ, αυτός εδώ ο όρος τι είναι ως προς τις επιμέρους αποστάσεις, το έχουμε πει και σε προηγούμενο μάθημα, από μαθηματική άποψη, από στατιστική άποψη τι είναι. Είναι κάποιο είδος μέσος όρος. Τι μέσος όρος? Γεωμετρικός μέσος όρος. Εντάξει, άρα λοιπόν υπάρχει περίπτωση να δείτε σε διάφορα βιβλία κάποιους τύπους που φαίνονται λίγο μπερδεμένοι, στην πραγματικότητα είναι ειδικές περιπτώσεις του γενικού τύπου που αναφέραμε προηγουμένως. Σύμφωνοι. Και θα δούμε και μία ακόμη τέτοια περίπτωση. Και είναι αυτή εδώ. Σε αυτή την εδώ την περίπτωση, πάλι είμαστε σε ιδροφορέ υποπίεση, υπεριορισμένο, έχουμε πολλά πηγάδια στη σειρά και με ίσες μεταξύ τους αποστάσεις. Σε αυτές τις περιπτώσεις, από αυτήν τη σχέση, και επειδή πάμε από το μειονάπηρο στο συνάπηρο, με πάση περιπτώση έχουμε μεγάλο αριθμό πηγαδιών, οι πτώσεις τάθμις, σε οποιαδήποτε θέση, δίνεται από έναν τύπο αυτής εδώ της μορφής, όπου το μόνο που θα θέλαμε να προσέξετε, είναι ότι εδώ πέρα μπαίνει το υπερβολικό συνειμήτωνο. Πάλι δεν θεωρώ ότι υπάρχει ανάγκη να καταγράψετε αυτόν τον τύπο. Εκείνο που ίσως έχει σημασία, είναι ότι σε κάποια απόσταση από τη σειρά πηγαδιών, που είναι περίπου ίση με την απόσταση ευθεία δυό μεταξύ των διαδοχικών πηγαδιών, οι γραμμές ροής είναι περίπου παράλληλες μεταξύ τους και κάθετες στην ευθεία, στον άξονα που συνδέει, που περνάει από όλα τα πηγάδια. Δηλαδή, εύλογα η σειρά πηγαδιών σε κάποια απόσταση, η απόσταση ήταν από αυτήν, που εδώ, προφανώς, οι γραμμές ροής καμπυλώνονται και συγκεντρώνονται στα πηγάδια, είναι αντίστοιχη, και γι' αυτό το αναφέρω και αυτό, με την ροή που θα είχαμε αν εδώ είχαμε μία τάφρο. Εντάξει, λειτουργεί σε κάποια απόσταση με ανάλογο τρόπο. Φυσικά, όταν πλησιάσουμε εκεί διαφοροποιείται, γιατί η ροή θα συγκεντρωθεί στα επιμέρους πηγάδια. Υπάρχει κάποια απορία ως εδώ. Και πάμε στην περίφυγμη μέθοδο των εικόνων. Εξ αρχής, θέλω να διευκρινίσω ότι η μέθοδος των εικόνων είναι μία διαδικασία, η οποία χρησιμοποιείται, όταν θέλουμε να επιλύσουμε προβλήματα ροές προς πηγάδια, τα οποία δεν αντλούν από άπειρους υδροφορείς, αλλά από υμοιάπειρους υδροφορείς. Δηλαδή, υδροφορείς που διακόπτονται από ένα αδιαπέρατο όριο. Και πάρουμε εδώ. Αυτό λοιπόν εδώ είναι ένα όριο. Από εδώ και πέρα δεν έχει νερό, είναι γρανίτις, είναι αδιαπέρατο. Απέρατο, από εδώ και πέρα είναι ο υδροφορέας μας. Και εμείς, για παράδειγμα, έχουμε εδώ δυο πηγάδια. Θέλουμε, αν μπορούμε, να χρησιμοποιήσουμε τους τύπους που ξέρουμε για τα συστήματα πηγαδιών για την αντίστοιχη ροή. Ροή με πίεση, ροή με ελεύθερη επιφάνεια, όπως η υδροφορέα με διαρροή, γιατί η μέθοδος των εικόνων καλύπτει και τους υδροφορείς με διαρροή. Εντάξει. Έχει γενικότερη εφαρμογή. Και αν θέλετε, η μέθοδος των εικόνων έχει εφαρμογή και σε άλλους επιστημονικούς κλάδους. Ακόμα και οι ηλεκτρολόγοι ασχολούνται με τη μέθοδο των εικόνων. Σύμφωνοι. Να χρησιμοποιήσουμε, λοιπόν, τους τύπους που ξέρουμε για το σύστημα πηγαδιών, βάζοντάς τους κάπως, βέβαια, και αυτή η αλλαγή που κάνει τους τύπους κάπως πιο πολύπλοκους, ας το πω έτσι, είναι το τίμημα που πληρώνουμε. Τίποτα δεν χωρηγείται δωρεάν. Θα χρησιμοποιήσουμε, θα κερδίσουμε, θα χρησιμοποιήσουμε γνωστους τύπους, αλλά θα τους μπερδέψουμε λίγο για να καλύψουν και την περίπτωση αυτή που έχουμε όρια στο πεδίο ροής. Τι επιδιώκουμε? Επιδιώκουμε, για να είναι μαθηματικά σωστή η λύση μας, αφενός μεν να αντιστοιχεί σε λύση της διαφορικής εξίσουσις που περιγράφει το πρόβλημα, άρα της ροής σε έναν υδροφορέα, και επιπλέον να πληρεί τις οριακές συνθήκες. Λέγο, λοιπόν, εκ προημείου, ότι λέγεται, και από αυτό πήρε το όνομά της, ότι εκείνο που κάνουμε, ειδικά αν έχουμε ένα ευθύγραμμο όριο, είναι ότι για να πετύχουμε τη λύση που θέλουν και η σωστή περιγραφή στο πραγματικό πεδίο, θα πρέπει να προσθέσουμε φανταστικά πηγάδια, να μεταφερθούμε σε ένα άπειρο πεδίο ροής, το οποίο όμως δεν έχει αριθμό πηγαδιών δύο, σε αυτή την προκύπτωση, γενικότερα, αλλά έχει, αφού μιλάμε για ένα όριο, δίονι πηγάδια. Τα πρόσθετα πηγάδια, τα φανταστικά πηγάδια, είναι συμμετρικά των πραγματικών ως προς το όριο. Είναι, κατά κάποιο τρόπο, εικόνες των πραγματικών ως προς το όριο, ήταν καθρέφτης το όριο. Γι' αυτό λέγεται και μέθοδος των εικόνων. Ας δούμε τώρα όμως πώς προκύπτει αυτή η διαδικασία. Για να ξεκινήσουμε με την περίπτωση που έχουμε ένα όριο δεξαμενής. Δηλαδή, από εδώ και πέρα είναι μια λίμνη, που μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η στάθμη είναι σταθερή, και εδώ έχουμε έστω ένα, για να κάνουμε τη ζωή μας πιο εύκολη, πραγματικό πηγάδι. Και το πηγάδι αυτό είναι πηγάδι άντλησης. Λοιπόν, σύμφωνα με μέθοδο των εικόνων, λέμε ότι θα τοποθετήσουμε συμμετρικά ως προς το όριο ένα πηγάδι, το οποίο αφού αυτό είναι όριο δεξαμενής, και τι σημαίνει όριο δεξαμενής, και από εκεί περισσότερο νερό εντέλει σε σχέση με έναν άπειρο υδροφορέα, το οποίο θα είναι αντιθέτου προςίμου. Δηλαδή, αν εδώ έχω πραγματικό πηγάδι άντλησης, το φανταστικό πηγάδι που θα βάλω είναι πηγάδι φόρτισης με ίση παροχή. Για να δούμε αν αυτό είναι σωστό. Ας ξεχάσουμε ότι έχουμε η μη άπειρο υδροφορέα και ας θεωρήσουμε ότι έχουμε έναν άπειρο υδροφορέα, στον οποίο υπάρχει ένα πηγάδι άντλησης και ένα πηγάδι φόρτισης με ίσες αριθμητικά παροχές. Q0 αν δούμε από το 1, Q0 ρίχνουμε στο άλλο. Θα μου πει κανείς είμαστε χαζί να ρίχνουμε νερό στην υδροφορέα, εμείς θέλουμε να πάρουμε νερό από την υδροφορέα. Εδώ μιλάμε βέβαια για φανταστικό πηγάδι, μη πραγματικό, αλλά έχουμε και πηγάδια φόρτισης που ρίχνουμε νερό στην υδροφορέα και είχαμε αναφέρει μια τέτοια περίπτωση σε προηγούμενο μάθημα, μπορεί να μου θυμίσει κανείς ποια ήταν αυτή η περίπτωση. Στην Άξο ήταν εμπλουτισμός στην υδροφορέα με τα μικρά φράγματα. Εδώ μιλάμε για πηγάδια κανονικά, το είχαμε πει νομίζω, για να το θυμηθούμε λίγο. Ήταν κοντά σε αυτό που είπες αρχικά, για να κάνουμε εμπλουτισμό του υδροφορέα. Έχουμε το χειμώνα πολύ νερό, άρα αυτό περισσεύει και αν το αφήσουμε θα φύγει και θα χαθεί στη θάλασσα. Το νερό όταν κινείται μέσα στο υπέδαφος, εκτός κι αν έχουμε ριγματομένα ικαριστικά εδάφη, κινείται με μικρές ταχύτητες, πολύ μικρές. Τα υπόγεια νερά είναι οι φυσικές αποθήκες που έχουμε, οι υπόγειο υδροφορής καλύτερα. Αν λοιπόν διοχετεύσουμε πλεονάζων επιφανειακό νερό, το οποίο λοιπόν θα φεύγει στη θάλασσα, σε έναν υπόγειο υδροφορέα, αυτό θα μπορέσουμε να το χρησιμοποιούμε, να το έχουμε στη διάθεσή μας το καλοκαίρι. Σε αυτές τις περιπτώσεις κάνουμε είτε επιφανειακή κατάκληση, παίρνουμε μια λεκάνη και τη γεμίζουμε με νερό και αφήνουμε το νερό σιγά σιγά να διηθηθεί, είτε κάνουμε τάφρους, υπενθυμίζω ότι τάφρυ είναι μεγάλα χαντάκια και διοχετεύουμε εκεί το νερό και αφήνουμε να διηθηθεί. Αυτά σε περιπτώσεις όπου έχουμε υδροφορείς που θέλουμε να εμπλουτίσουμε, που βρίσκονται σε μικρό βάθος και δεν μεσολαβεί αδιαπέρατο στρώμα ανάμεσα στον υδροφορέα και στην επιφάνεια του εδάφους, γιατί τότε δεν θα μπορούσε να κατεβεί το νερό. Ή όταν θέλουμε να πάμε σε βαθύτερους υδροφορείς και μάλλες όταν μεσολαβούν αδιαπέρατα στρώματα, κάνουμε γεωτρίσεις και διοχετεύουμε από εκεί το νερό, κάνουμε τα πηγά διαφόρτιση. Άρα είναι λοιπόν κάτι που γίνεται και στην πράξη. Επίσης γίνεται σε περιπτώσεις γεωθερμίας. Ο νόμος επιβάλλει να επαναφέρουμε το γεωθερμικό νερό στον υδροφορέα μετά τη χρήση του, για περιβαλλοντικούς λόγους. Αυτό το αναλύουμε περισσότερο στο μάθημα της γεωθερμίας. Σύμφωνοι, ακόμα υπάρχουν και οι παράνομες, βέβαια, γεωτρίσεις όπου διοχετεύονται λήματα ανεπεξέργαστα, στο βάθος και έτσι τα κρύβουμε το πρόβλημα. Αυτό βέβαια είναι παράνομο και δεν θα έπρεπε να γίνεται. Σύμφωνοι, πάντα υπάρχουν και στην πραγματικότητα πηγάδια φόρτισης. Επανέρχομαι όμως, σε αυτή την περίπτωση είπαμε ότι έχουμε έναν άπειρο υδροφορέα, πηγάδι άνλυσης και πηγάδι φόρτισης, με ίσες καταριθμητικά παροχές και πάμε να δούμε τι γίνεται στη μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος που συνδύει αυτά τα δύο πηγάδια. Για να δούμε λοιπόν πόση είναι οι πτώσεις στάθμις σε οποιοδήποτε σημείο αυτής της μεσοκαθέτου. Μπορεί να μου πει κανείς πόσο θα είναι. Εδώ αν δούμε Q0, εδώ διοχαιτεύουμε Q0. Μηδέν, όπως ο Στάλιος είναι άδελφος, γιατί όσο πάει να ρίξει αυτό το πηγάδι στην στάθμη εδώ πέρα, άλλο τόσο ότι ανεβάζει τούτο εδώ. Γιατί οι αποστάσεις είναι ίσες και οι παροχές είναι ίσες και αντίθετες. Αν αυτό το πηγάδι εδώ από μόνο το ρίχνει σε αυτό το σημείο τη στάθμη δύο μέτρα, αυτό από μόνο το την ανεβάζει δύο μέτρα. Άρα λοιπόν, η μεσοκάθετος στην πραγματικότητα συμπεριφέρεται σαν να ήτανε οριοδεξαμενής. Γιατί αυτή είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα του οριοδεξαμενής, ότι οι πτώσεις στάθμις είναι μηδέν. Από αυτή την παρατήρηση ξεκινώντας βρέθηκε η μέθοδος των εικόνων. Σύμφωνοι από αυτή την ισοδυναμία. Και αν θέλαμε να δούμε σε αυτή την περίπτωση ποια είναι η κατανομή των γραμμών ροής και των γραμμών ισοδυναμικού, θα βλέπουμε αυτή την κατάσταση. Εδώ είναι το υποθετικό πεδίο, δεν υπάρχει, εδώ είναι το πραγματικό πεδίο, το πηγάδι μας είναι εδώ. Βλέπετε ότι έχουμε γραμμές ροής που ξεκινάνε όντως, αν κάνουμε τους υπολογισμούς, από το όριο αυτό εδώ. Δηλαδή ο ιδροφορέας τροφοδοτείται από τον επιφανειακό ιδρατικό σώμα. Και οι γραμμές ισοδυναμικού δεν είναι κύκλοι γύρω από το πηγάδι, αλλά είναι λίγο σμπρογμένοι προς αυτή τη μεριά. Γιατί? Γιατί από εδώ, αν ο ιδροφορέας ήταν άπειρος, θα υπήρχαν ψηλότερες στάθμες από την αρχική. Αυτή λοιπόν είναι η εικόνα που έχουμε με τις γραμμές ροής και τις γραμμές ισοδυναμικού, όταν έχουμε πηγάδι κοντά σε όριο δεξαμενής. Πάμε να δούμε τώρα, ποιοι είναι οι τύποι που έχουμε. Πρώτα για πηγάδι, για ροή υποπίεση και πηγάδι κοντά σε όριο δεξαμενής όπως είπαμε. Θα δείτε αυτόν τον τύπο και αυτόν εδώ. Πάλι, αν και εδώ φαίνονται πολύ διαφορετικοί, εν τούτης είναι οι ίδιοι. Γιατί, φυσικά εδώ μιλάμε για σύστημα, αν εξαιρέσουμε ότι εδώ το έχω γράψει ακόμα πιο γενικά για ν πηγάδια, γιατί αυτός εδώ ο όρος είναι ίδιος με αυτό εδώ, βλέπω να υπάρχουν ρίζες. Καλά, το kα είναι ίσο με το τάφ. Μέσα στο λογάριθμο, όμως, εκεί βλέπω ρίζες. Επίσης, εντάξει, υπάρχει το μειον, άρα η αντιστροφή αριθμητή παρονομαστή, όπως είδαμε προηγουμένως. Καλά, η ρίζα τι έγινε από εδώ? Ναι, μπράβο, πολύ σωστά. Δε θυμάστε ότι λογάριθμος του α στην χ είναι χ επί λογάριθμος α. Εδώ έχω λοιπόν εν δεύτερον που θα βγει έξω, επί το δύο μας φτιάχνει το τεσσάρι. Αυτό το λέω επειδή πολλοί το ρωτάνε αυτό το πράγμα και μερικοί συμπερδεύονται και σε εξετάσεις χρειάζονται ποιο τύπο χρησιμοποιούν από τους δύο. Εντάξει, είναι ο ίδιος τύπος. Ρίστε. Δε το κάνω εμπίσης προφανώς, αλλά υπάρχουν στα δύο βιβλία που παίρνετε για το μάθημα κορμού και το μάθημα επιλογής. Οπότε, απλά εδώ αναγκαστικά επισημένω ότι πρόκειται για τον ίδιο τύπο, δεν είναι λανθασμένο ούτε το ένα ούτε το άλλο, το μίον που υπάρχει εδώ δεν υπάρχει εδώ γιατί είναι ανάποδα ο αριθμητής και ο παρονομαστής στο λογάριθμα και η ρίζα εδώ έχει σε αυτόν εδώ τον τύπο βγει απ' έξω και έχει κάνει το δύο τέσσερα. Σύμφωνοι. Άρα λοιπόν έχουμε τον ίδιο τύπο, μπορείτε να χρησιμοποιείτε είτε εκείνον είτε αυτόν εδώ. Και βέβαια ισχύει επίσης και για ρωή με ελεύθερη επιφάνεια. Άρα λοιπόν αν δούμε τους τύπους της μεθόδου των εικόνων για την περίπτωση που έχουμε πηγάδια κοντά σε όριο δεξαμενής, ας πάρουμε αυτόν εδώ τον τύπο, αυτός ο τύπος στην πραγματικότητα είναι ειδική περίπτωση του τύπου για συστήματα πηγαδιών όπου έχουμε δύο εν πηγάδια συνολικά πραγματικά και φανταστικά και τα παίρνουμε αναζεύγει. Δηλαδή κάθε τέτοιος όρος είναι ένα ζεύγος πηγαδιών απ' τα δύο εν το πραγματικό και το φανταστικό του και η εικόνα του. Εντάξει. Θα μπορούσα να έχω το Q κοινό παράγοντα, την αντίστοιχη παροχή και να έχω λογάριθμο αυτού διάρ κεφαλαίο την επιρροής, μίον λογάριθμο αυτού πάλι διάρ κεφαλαίο. Εντάξει. Τα συμμαζεύω μαζί, δεν είναι καινούριος τύπος, είναι ειδική περίπτωση και μάλιστα προσέξτε ισχύει εφόσον έχουμε θεωρήσει ο Σάξο να τον ψή το όριο. Γιατί μόνο σε αυτή την περίπτωση ισχύει η συμμετρία, το μίον χιάει, συν χιάει. Εντάξει. Ναι, αν έχουμε άλλα δυο, άλλα ένα πηγάδι, θα πάρουμε δύο ζεύγι αυτό με αυτό, το ένα αυτό με εκείνο το άλλο. Δηλαδή, σε οποιοδήποτε σημείο, του πραγματικού βέβαια, νητροφορέα, θα θεωρούμε τις επιδράσεις τεσσάρων πηγαδιών ή, όπως είναι γραμμένο, τις επιδράσεις δύο ζευγών πηγαδιών, για την περίπτωση αυτή εδώ. Σύμφωνο? Δεν ξέρω, δεν σε έπισα κάτι άλλο ή θέλεις να πεις Ιησούς. Ναι, με τα πραγματικά πηγαδιά, μεταξύ δυο πρέπει να πεις τον υπόψηστο. Βεβαίως, βεβαίως, λαμβάνονται. Δηλαδή, αν πάω να γράψω, έστω ότι είναι δύο τα πηγαδιά, έτσι, θα γράψω αυτόν τον τύπο για την παρειά του πηγαδιού, αυτό εδώ. Εδώ θα προκύψει το R0, η ακτήνα του πηγαδιού, εδώ θα προκύψει η απόσταση αυτού από εκείνο και θα υπάρχει άλλος ένας τέτοιος όρος, όπου Q θα είναι η παροχή αυτού του πηγαδιού, στον αριθμητή θα είναι η απόσταση αυτή εδώ και στον παρονομαστή θα είναι η απόσταση αυτούτη. Εντάξει? Δεν το λέω για να συμπερδέψω, αλλά μάλλον για να σε ξεμπερδέψω και ελπίζω ότι θα έχει θετικό αποτέλεσμα. Εάν δεν χρησιμοποιούσαμε ως άξονα τον ψ, το όριο, τότε έπρεπε να βρούμε τις συνδεταγμένες των φανταστικών πηγαδιών, που είναι τα συμμετρικά των πραγματικών ως προς το όριο και στη συνέχεια να γράψουμε όχι δύο αλλά τέσσερις αυτοτελείς όρους με τις συνδεταγμένες των πηγαδιών ως προς το σύστημα αξώνων που έχουμε επιλέξει. Αυτό βέβαια είναι μανούβρα και να αποφεύγουμε χρησιμοποιώντας αυτούς εδώ τους τύπους. Κάνουμε τη ζωή μας πιο εύκολη στην πραγματικότητα. Εντάξει, υπάρχει κάποια απορία ως εδώ. Ας πάμε τώρα στην άλλη περίπτωση όπου εδώ πλέον έχουμε αδιαπέρατο όριο. Και έχουμε, καταρχήν, ένα πηγάδι κοντά σε αυτό το αδιαπέρατο όριο. Τι σημαίνει αδιαπέρατο όριο, ότι από εδώ δεν έρχεται νερό. Ό,τι νερό αν δεν είναι το πηγάδι, το παίρνει από όλη την άλλη περιοχή, από εδώ δεν έρχεται τίποτα. Δηλαδή, αν το πω και μαθηματικά, οι ταχύτητες, οι κάθετες στο όριο αυτό, πάνω στο όριο είναι σημείωμα 0. Εντάξει, ή να το πω αλλιώς, αν πάρουμε έναν ισοδύναμο, αν και εδώ είχε νερό, δεν θα περνούσε κανένα μόριο νερού από αυτόν τον άξονα. Ή, για να το πω ίσως ακόμα καλύτερα, κανένα μόριο νερό που βρίσκεται εδώ, δεν μπορεί να πάει προς εδώ. Σύμφωνο. Τώρα, ας δούμε μια περίπτωση που ίσως μοιάζει. Έχουμε λοιπόν το πραγματικό πηγάδι και άλλο ένα, είμαστε σε άπειρο υδροφορέα, και άλλο ένα πραγματικό πηγάδι, δύο πραγματικά πηγάδι λοιπόν σε άπειρο υδροφορέα, που αντλούν και τα δύο ίσως παροχές. Και να δούμε τι γίνεται στη μεσοκάθετο του τμήματος, του ευθύγραμμου τμήματος, που ενώνει τα δύο αυτά πηγάδια. Ας πάρω ένα οποιοδήποτε σημείο. Η ταχύτητα καταχύ, σε αυτό το σημείο, τι είναι, πώς είναι? Μηδέν. Γιατί, γιατί με όση δύναμη ας πούμε τραβάει προς τη μια μεριά του ένα πηγάδι, με την ίδια δύναμη τραβάει και το άλλο. Ή να το πω λίγο διαφορετικά, ένα σημείο είναι λίγο αριστερά, δεν θα πάει οπωσδήποτε σε αυτό το πηγάδι, ενώ είναι λίγο δεξιά σε τούτο. Άρα λοιπόν, η μεσοκάθετο συμπεριφέρεται σαν αδιαπέρατο όριο, δεν διασχίζεται από μόρια νερού. Από αυτό λοιπόν, ξεκινώντας, και επαληθεύεται και μαθηματικά, λέμε το εξής. Αν έχουμε πηγάδια τα οποία είναι σε μη άπειρο ιδροφορέα, κοντά σε ένα ευθύγραμμο αδιαπέρατο όριο, τότε μπορούμε μαθηματικά να διώξουμε το αδιαπέρατο όριο, δηλαδή να μεταφερθούμε σε έναν ισοδύναμο άπειρο ιδροφορέα, άρα να εφαρμόσουμε τους τύπους που ξέρουμε για συστήματα πηγαδιών σε άπειρο ιδροφορέα, πληρώνοντας ως τίμιμα το ότι προσθέτουμε, ώστε να πληρούνται η πραγματική οριακή συνθήκη, ίσο αριθμό φανταστικών πηγαδιών, ίδιου τύπου, δηλαδή άντλησης σε αυτά, άντλησης και αυτά, και ίσων παροχών, τα οποία είναι εικόνες των πραγματικών, πάλι μέροδος των εικόνων, ως προς το συγκεκριμένο όριο. Εντάξει, το κανονικά καθρέφτης πλήρης, πηγάδι άντλησης, πηγάδι άντλησης και σε ίση απόσταση. Αυτή λοιπόν είναι η μέθοδος των εικόνων που όπως ισχύει και για όριο δεξαμενής και για διαπέρατο όριο. Θα ήθελα να κάνω δύο ερωτήσεις και θα πρέπει να τις απαντήσετε για να κερδίσετε το διάλειμμα. Λοιπόν, ισχύει η μέθοδος των εικόνων. Ας πούμε, καταρχήν σε αδιαπέρατο όριο, αν αντί πηγάδια άντλησης, τα πραγματικά πηγάδια είναι πηγάδια φόρτισης. Ισχύει. Δε κάναμε καμιά υπόθεση για το είδος των πραγματικών πηγαδιών. Λοιπόν, με ένα διαπέρατο όριο, αν έχω πραγματικά πηγάδια φόρτισης θα βάλω και εικόνες πηγάδια φόρτισης, ενώ στο όριο δεξαμενής, αν έχω πραγματικά πηγάδια φόρτισης θα βάλω εικόνες πηγάδια άντλησης. Ας δούμε τη φυσική σημασία αυτών των πραγμάτων και ας ξεκινήσουμε από την περίπτωση που έχουμε όριο δεξαμενής. Το όριο δεξαμενής, ξεκινάω καταρχή με την κλασική περίπτωση που έχω πηγάδια άντλησης. Τι σημαίνει ως προστό συγκριτικά με έναν άπειρο υδροφορεά από εκεί, τι έχουμε? Δεν έχουμε περίσια νερού. Ποιο πολύ νερό έρχεται από εδώ από αυτό όριο δεξαμενής, δηλαδή εδώ δεν πέφτει στάθμι όσο κι αν αντλούμε, τουλάχιστον έτσι υποθέτουμε, συμφωνεί. Όταν εδώ είναι λίμνη, παρά αν εδώ συνεχίζονταν υδροφορέας. Άρα αυτό το πλεώνασμα, το πλεωνάζω νερό, είναι αυτό το οποίο μας προσφέρουν τα πηγάδια φόρτισης. Εντάξει, ξεκάθαρο αυτό. Αν τώρα αυτό είναι αδιαπέρατο όριο, τότε σε σχέση πάλι με τον άπειρο υδροφορέα, από εδώ δεν μας έρχεται νερό, έχουμε έλειμμα νερού. Άρα βάζουμε τα πηγάδια άντλησης για να κλέψουν, δεν το εισαγωγικών, ακριβώς αυτό το νερό, που αλλιώς θα πήγαινε στα πραγματικά πηγάδια από αυτήν εδώ την περιοχή. Σύμφωνοι, γι' αυτό είναι λογική από φυσική άποψη η μέθοδος των εικόνων. Καλύπτουμε το έλειμμα με πηγάδια άντλησης, εφόσον είναι πραγματικά πηγάδια άντληση στον έχουμε αδιαπέρατο όριο και δίνουμε το πλεόνασμα με πηγάδια φόρτισης όταν έχουμε όριο δεξαμένης και τα πραγματικά πηγάδια είναι πηγάδια άντλησης. Τώρα ας έρθουμε στην περίπτωση, η δεύτερη ερώτηση, που έχουμε αδιαπέρατο όριο, τα πραγματικά πηγάδια είναι πηγάδια φόρτισης. Είναι λογικό να είναι και οι εικόνες τους πηγάδια φόρτισης. Και γιατί? Το ρωτάω εγώ και θα μου το πεις εσύ. Μπράβο! Εφού είναι αδιαπέρατο όριο, το νερό που βάζουμε εδώ δεν θα φύγει προς εδώ. Είναι πάλι αδιαπέρατο όριο. Πώς θα το κοντράρουμε, ώστε να μην φεύγει σε περίπτωση που θα είχαμε άπειρο υπροφορέα, θα βάλουμε πηγάδια φόρτισης, αντίστοιχα των πραγματικών πηγαδιών φόρτισης, και το νερό που έρχεται από εδώ, θα έρχεται και από εδώ και δεν θα μπορεί πάλι νερό από εδώ να περάσει προς εκεί, ούτε πρέπει από εκεί προς εδώ. Εντάξει? Άρα είναι λογικό. Και καλά πήγα τις απαντήσεις και δεν θα σας φάω καθόλου από το διάλειμμα. Και στην περίπτωση που έχουμε όριο δεξαμενής, πηγάδια φόρτισης, σύμφωνα με τα όσα τυπικά είπαμε για τη μέδο των εικόνων, από εδώ θα έχουμε πηγάδια άντλησης. Γιατί? Πώς εξηγείται από φυσική άποψη. Με αυτό κερδίζεται το διάλειμμα. Λέω, όριο δεξαμενής, πραγματικά πηγάδια φόρτισης. Όπως είπαμε, σύμφωνα με τη μέδο των εικόνων, τα φανταστικά πηγάδια θα είναι πηγάδια άντλησης. Ας το εξηγήσουμε αυτό από φυσική άποψη. Να μην υπάρχει τόσοι στάθμεις. Γιατί, πώς πετυχαίνεται αυτό, για εξήγησέ το, σωστό είναι αυτό που είπες. Ή όπως είπαμε, είναι η ίδια εικόνα, είναι η ανταδυστρέψη. Σωστά. Πες κάτι άλλο που είπες να πεις. Πολύ σωστό αυτό, μου άρεσε. Ποια ήταν η πρώτη περίπτωση, σωστικά, που άρχισαν να μιλήσουν άνθρωποι. Μάλιστα. Και να το πω και λίγο διαφορετικά, ότι εδώ πέρα, αν είχαμε άπειρο υδροφορέα, αφού τα πηγάδια είναι φόρτισης, η στάθμη ήταν κάπως πιο ψηλή από την αφιεική στάθμη. Άρα θέλουμε να την κατεβάσουμε πλέον εκεί που είναι στην πραγματικότητα. Και αυτό το κατέβασμα, μας το δίνουν τα φανταστικά πηγάδια άντλησης. Πότε έχει ισχύει, ξέρω εσάς. Η μέδοση των εικόνων ισχύει 100% όταν έχουμε ένα ευθύγραμμο αδιαπέρατο όριο ή ένα ευθύγραμμο όριο δεξαμενής, ανεξαρτήτως του αριθμού πηγαδιών που έχουμε. Χρονικά. Χρονικά. Αν το πω, αλλιώς, αν ισχύει σε... Ποια είναι η ερώτηση, να την καταλάβω. Είτε ούτε στη στρώση είναι δύσκολη η ερώτηση αυτή που κάνεις και μου αρέσει. Χρονική διάρκεια, αν θεωρήσουμε μόνιμο το φαινόμενο... Θυμάστε, στο προηγούμενο μάθημα είχαμε πει ότι αν δεν έχουμε τροφοδοσία από κάπου, αν αυτό το όριο είναι αδιαπέρατο στην πραγματικότητα, το πρόβλημα είναι ψεύδο μόνιμο. Και σε άπειρο ιδροφορέα ακόμα, γιατί από κάπου πρέπει να παίρνουμε το νερό το οποίο εμείς αντλούμε. Αν, λοιπόν, θεωρήσουμε ότι... Ξεχάσουμε αυτή την αφιβολία που έχουμε γενικά για τα μόνιμα φαινόμενα, τότε μπορούμε να δεχθούμε ότι υπάρχει μόνιμη ροή και στην περίπτωση που έχουμε πηγάδια κοντά σε αδιαπέρατο όριο. Αντίθετα, εντός εισαγωγικών το αντίθετα, μπορεί να υπάρχει πραγματικά μόνιμη ροή όταν έχουμε όριο δεξαμενής. Γιατί? Γιατί στην περίπτωση το νερό, εν τέλει, που χρειαζόμαστε, που αντλούμε εμείς, έρχεται από το επιφανειακό ηδατικό σώμα, λίμνη, ποτάμι, θάλασσα. Εντάξει? Άρα εδώ μπορούμε να, κι ας πάρουμε ίσως καλύτερα αυτή την περίπτωση, αν εδώ έχουμε όριο δεξαμενής, τότε πράγματι μπορεί να έχουμε μόνιμο φαινόμενο, γιατί η τροφοδοσία του ιδροφορέα, με το νερό που εμείς το αφαιρούμε, γίνεται από τη λίμνη, το ποτάμι, τη θάλασσα και είναι αυτό ακριβώς που είχαμε δει εδώ, σε αυτήν εδώ την εικόνα, που βλέπετε όλες οι γραμμές ροής, ακόμα και η γραμμή ροής που θα έρθει, θα κατελήξει το πηγάδι από αυτή τη μεριά, από κάπου μακριά θα έχει έρθει από τη λίμνη. Αυτό που είναι σωστή ερώτηση, έχει να κάνει, θα μπορούσαμε να το διαρευνήσουμε, στην περίπτωση μόνιμων φαινομένων, γιατί αυτό του εξορισμού θέτης, ότι πέφτει συνέχεια η στάθμη, για παράδειγμα, άρα έχουμε μεταβολή με το χρόνο και τότε πράγματι αυτό είναι ένα υπαρκτό πρόβλημα. Ήτε να στερέψει σχεδόν πλήρως οι ιδροφορές, ή να μην μπορούν τα πηγάδια μας να δώσουν το νερό που θέλουμε, είτε να το παίρνουμε, αλλά με μεγαλύτερο κόσμο, να πέφτει συνέχεια η στάθμη, αυτό που γίνεται σε πολλές αγροτικές περιοχές, που έχει ξεκίνησαν να βρίσκουν το νερό στα 30 μέτρα και τώρα πρέπει να πάνε στα 130. Καταλαβαίνετε ότι αν τα πηγάδια τα είχαν κάνει μέχρι τα 80, αυτά τα πηγάδια στερεύουν. Εντάξει, πρέπει να γίνουν καινούργια πηγάδια, πιο ακριβά, πιο ακριβή η άντληση αυτή, η καθεύτη και ούτω καθεξής. Είναι μία σοβαρή παράμετρος και έχει να κάνει με αυτό που είπαμε σε προηγούμενα μαθήματα, για την χρήση των ανανεώσιμων αποθεμάτων και μόνο. Δηλαδή, πέφτει κάθε χρόνο κατά μέσο όρο μια συγκεκριμένη, έχουμε κάποια βροχόπτωση, ένα μέρος κατησδεί, τα άλλα πορεία επιφανειακά, τα άλλα εξατυμίζεται. Αυτό που μπορούμε να πάρουμε ασφαλώς από τον ιδροφορέα είναι ένα ποσοστό αυτού που κατησδεί. Παραπάνω δεν μπορούμε να πάρουμε χωρίς να προκαλέσουμε ταπείνωση της τάθμις του ιδροφορέα. Είναι σαν να έχω μισθό, ας πούμε, στην διάρκεια του έτος 15 χιλιάρικα και εγώ να ξοδεύω 22. Ε, είχα και κάποια λεφτά στην τράπεζα, δηλαδή νερό αποθηκευμένο μέσα στην ιδροφορέα, μια, δυο, τρεις, πάνω αυτά και μετά τρέχουμε και δεν φτάνουμε. Εντάξει. Προχωρήσουμε να αρχίσουμε να λύνουμε ασκήσεις. Ας δούμε και αυτή την εικόνα που δείχνουν τις ισοδυναμικές γραμμές και τις γραμμές ροής, όταν το όριο είναι αδιαπέρατο. Βλέπετε ότι δεν έρχεται νερό από εδώ. Μπορεί να έρθει πολύ κοντά και να καταλήξει στο πηγάδι, αλλά τίποτα δεν διασχίζει το αδιαπέρατο όριο. Και οι ισοδυναμικές γραμμές πάλι δεν είναι κύκλοι γύρω από το πηγάδι άνλυσης, αλλά είναι τραβηγμένοι λίγο προς αυτή τη μεριά, προς τη μεριά του αδιαπέρατο ορίου. Ενώ αν θυμάστε, στο όριο δεξαμενής ήταν σπρωγμένοι προς την άλλη μεριά. Γιατί? Γιατί στη μία περίπτωση, αυτή εδώ, έχουμε εδώ πάλι πηγάδι άνλυσης, άρα που προκαλεί σε ίσια απόσταση από το πραγματικό πηγάδι, μεγαλύτερη υπτώση στάθμις, επειδή η επίδραση του φανταστικού πηγαδιού είναι μεγαλύτερη όσο πιο κοντά είμαστε στο αδιαπέρατο όριο, δηλαδή και στο φανταστικό πηγάδι. Εντάξει, κι αν δούμε και τους τύπους, πάλι αυτός εδώ ο τύπος είναι, που έχει το τεσσάρι απ' έξω να δει για το διάροι, βλέπετε ότι επειδή έχουμε ίδιου τύπου πηγάδια, και τα δύο είναι στον παρονομαστή εδώ, θα μπορούσα να είναι στον αριθμητή να βγάζαμε το μίαν απ' έξω, και αυτός ο τύπος είναι από το βιβλίο του κ. Λατινόπουλου, είναι πολύ ίδιος, είναι εν τέλει ίδιος, αλλά και με διαφορετική μορφή, με τον τύπο που είχατε στο χρυσινό σας βιβλίο. Για να μην γράψω και τους δυο, εμφανίζω για τη ροή με ελεύθερη επιφάνεια, την άλλη μορφή του ίδιου τύπου. Όπου βλέπετε, εδώ δεν υπάρχει κάτι, σύμφωνοι, και επιπλέον έχουμε εδώ τις ρίζες. Εντάξει, πάμε να δούμε μία πρώτη άσκηση, όπου έχουμε υδροφορέα με διαρροή και κοντά σε λίμνη, δηλαδή σε όριο σταθερού φορτίου, όριο δεξαμενής. Διαβάζω την εκφώνηση, θα έλεγα να μην γράψετε όλο, δηλαδή μην γράφετε πλήρως την εκφώνηση, γιατί είτε ούτως είτε άλλως, οι σημειώσεις αυτές ανεβαίνουν στον διαδίκτυο. Διαβάζω όμως, για να καταλάβουμε περίπτειον ως πρόγραμμα. Αν θέλετε, κρατήστε τους αριθμούς. Υδροφορέας, μεταφορικότητας τάφισων πέντε επί δέκαις στιγμίων τρίτη μετά τετράγωνα το δευτερόλεπτο, περιορίζεται από κάτω από οριζόντιο αδιαπέρατο πηθμένα, ενώ από πάνω από οριζόντιο αδιαπέρατο στρώμα με συντελεστή αντίσταση σε ίσον πέντε επί δέκαις στην εβδόμην δευτερόλεπτα. Από τα πηγάδια α και β που βρίσκονται κοντά σε λίμνη, όπως φαίνεται σε κάτωψη στο σχήμα, το σχήμα αυτό είναι κάτωψη, αν δείτε συνολική παροχή Q ίσον 0,09 κυβικά μέτρα το δευτερόλεπτο. Πώς πρέπει να κατανεμηθεί η παροχή στα δύο αυτά πηγάδια ώστε να παρουσιάζεται ίση πτώσης στάθμις στις παριές τους. Πόση είναι αυτή η πτώση στάθμις. Δίνεται ότι οι ακτίνες των πηγαδιών αυτό που λέγαμε στην προηγούμενη ώρα είναι τόσο, 0,20 μέτρα, που σημαίνει για κάποιον ο οποίος είναι πονηρεμένος ότι κάπου θα πρέπει να το χρησιμοποιήσει αυτό το πράγμα, στις ασκήσεις, ενώ η ροή θεωρείται μόνιμη. Αυτή λοιπόν είναι η άσκηση. Να πω εδώ ότι αυτό το έτημα για... Για πες. Η ροή θεωρείται μόνιμη. Η ροή 0,09. Όχι, στεφάνιστε είναι σωστό. Εδώ δεν ξέρω γιατί η τεχνολογία μερικές φορές μας παίζει παιχνίδια. Λοιπόν, αυτό το έτημα για ήση-πτώση στάθμις στις παρειές δεν είναι για να κάνουμε μία άσκηση. Έχει αποδειχθεί ότι αν έχουμε ένα σύστημα πολλών πηγαδιών και θέλουμε να ανλύσουμε μια συγκεκριμένη συνολική παροχή ξεκινώντας από αρχικώς οριζόντια διατάρακτη στάθμι, τότε το κόστος άνλυσης γίνεται ελάχιστο όχι όταν είναι ίσες οι παροχές των πηγαδιών, αλλά όταν οι πτώσεις στάθμις στις παρειές των πηγαδιών είναι ίσες μεταξύ τους. Άρα λοιπόν, ουσιαστικά, ψάχνουμε να βρούμε τις παροχές που θα ελαχιστοποιούν το κόστος άνλυσης. Δεν αναφέρεται σαφώς στην άσκηση, κάτι τέτοιο, η άσκηση είναι αυτή, αλλά εξηγώ πώς ήρθε η ιδέα της ίσης πτώσης στάθμις. Σύμφωνο. Λοιπόν, προφανώς εδώ θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο των εικόνων, που σημαίνει ότι έχουμε αυτά τα δύο πραγματικά πηγάδια και επομένως πρέπει να προσθέσουμε, αφού έχουμε λίμνη, τι πρέπει να προσθέσουμε? Δύο φανταστικά πηγάδια αντιθέτου τύπου, δηλαδή δύο πηγάδια φόρτισης. Και να τα συνυπολογίσουμε όλα, όταν υπολογίζουμε τις πτώσεις στάθμις, προφανώς στην παρειά των πηγαδιών, γιατί αυτό μας ενδιαφέρει. Εντάξει, θέλουμε ίση πτώση στάθμις της παρειάς των δύο πραγματικών πηγαδιών. Επειδή έχουμε υδροφορέα με διαρροή, θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τους αντίστοιχους τύπους, όπου επισέρχονται οι τροποποιημένες συναρτήσεις Bessel μηδενικής τάξης, για να το πω πλήρως. Άρα λοιπόν, θα πρέπει για κάθε πηγάδι πραγματικό ή φανταστικό, σε κάθε πηγάδι αντιστοιχή, ένας όρος που έχει μέσα τη συναρτήση Bessel. Εδώ στον παρονομαστή είναι το λάμδα, που είναι ρίζα του τάφ ΕΠΙΣΕ. Το πρώτο που υπολογίζω λοιπόν είναι αυτό, είναι 500. Και από εκεί και πέρα, στον αριθμητή, είναι η απόσταση του σημείου ελέγχου από το πηγάδι, που προκαλεί την πτώση ή, εφόσον έχουμε και πηγάδια πόρτισης, την άνοδο της τάρθμις. Επομένως λοιπόν, αφού θέλω την πτώση τάθμις στην παριά του πηγαδιού α, θα πάρω την επίδραση του α στον εαυτό του, που είναι στην παριά του πηγαδιού, αυτό που παρατήρησα στην προηγούμενη ώρα, 0,2 εδώ πέρα λοιπόν. Μετά την επίδραση της εικόνας του α στο α, αφού αυτό είναι 40 μέτρα, τώρα θα είναι από εδώ, 40 και 40, 80, το πρόσιμο ενισοστοτωμίον εδώ. Μην ορκυλιασή, γιατί τις σημερικές διαφάνεις είναι σκοπίμα λάθη, υπάρχουν σκόπιμα λάθη. Από αυτήν την έννοια λοιπόν, δεν είμαστε βέβαιοι, αλλά με βάση αυτά που είπαμε στην προηγούμενη ώρα, σωστό είναι, γιατί? Γιατί το 1 θα ρίχνει τη στάθμη και τα όλα θα τα ανεβάζει, έχουν αντίθετη επιρροή. Αλλά δεν τελειώσαμε, γιατί στην παριά του πηγαδιού α, επιδρά και το πηγάδι β. Εδώ λοιπόν είναι η δράση του πηγαδιού β του πραγματικού και εδώ η επίδραση της εικόνας του πηγαδιού β στην παριά του πηγαδιού α. Και θυμόμαστε, για να κάνουμε τη ζωή μας πιο εύκολη, ότι όταν αυτό εδώ είναι πολύ μικρό, τότε το K0 μπορεί να αντικατασταθεί από τον λογάριθμο. Αν, ας το πω, χ, το K0 του χ, ψάχνουμε να βρούμε το χ, είναι πολύ μικρό, πολύ μικρότερο της μονάδας, τότε μπορεί να αντικατασταθεί από τον αντίστοιχο λογάριθμο. Εντάξει, σταλά κάνουμε πράξεις και βρίσκουμε αυτές τις τιμές για το K0. Και είπαμε, και αντίστοιχη δουλειά, κάνουμε και την πτώση σταθμής στην παριά του πηγαδιού β. Προσέξτε ότι τα πράγματα δεν είναι τόσο δύσκολα υπολογιστικά όσο φαίνονται, αφενός από τους τέσσερις πρώτους όρους ο ένας είναι λογάριθμος, και εδώ πάλι ο ένας θα γίνει λογάριθμος, αλλά οι άλλοι όροι από τους άλλους έξι όρους, δύο ζευγάρια είναι ίδια. Για να το δούμε αυτό γιατί. Γιατί ουσιαστικά η απόσταση του α από το β είναι ίση με την απόσταση του β από το α, αλλά και η εικόνα του α απέχει από το β όσο απέχει η εικόνα του β από το α. Είναι ισοσκελές τραπέζιο, οπότε έχει ίσως διαγωνίως. Σύμφωνοι? Αλλά δεν έχουμε τόσους πολλούς υπολογισμούς να κάνουμε. Βλέπετε λοιπόν ότι εδώ K0 του 0 είναι 108, K0 του 0 είναι 257, αυτός ο όρος ο λογάριθμος, γιατί έχουμε ίδιες ακτίνες των δύο πηγαδιών, θα μπορούσε να διαφέρει αν είχαμε διαφορετικές ακτίνες, και το μόνο που προστίθεται είναι αυτό εδώ, που είναι διαφορετικό από τούτο, γιατί τα πηγάδια έχουν διαφορετική απόσταση, τα πραγματικά πηγάδια από τη λίμνη, άρα και οι εικόνες τους είναι σε διαφορετική απόσταση. Αυτό είναι μέσα στον τύπο. Αν ανατρέξεις σε αυτά που είχαμε πει στο προηγούμενο μάθημα, υπάρχει αυτός εδώ ο όρος. Και είπαμε ότι τις τιμές της βρίσκουμε από πίνακα. Για να κάνουμε λοιπόν μια προσπάθεια, να πάμε για το 0-16. Αυτός είναι ο πίνακας, που υπάρχει και μέσα στο βιβλίο σας. Άρα λοιπόν, περίπου πείτε μου πόσο θα είναι η τιμή στο περίπου, φυσικά, ή όσο θέλετε χαρτί και μολύβι. Πάμε για το K0, έτσι, και είμαστε στο 0-16. Όχι στο 0-16, καλά... Μεταξύ, λοιπόν αυτόν τον 2, όχι ακριβώς στη μέση, πιο κοντά στο 0-2. Άρα λίγο μικρότερο από τον μέσο όρο, τον 2. Ομοίως, και για τα άλλα, θα υπάρχει και αυτός ο πίνακας... Αυτό πρέπει να κάνουμε τώρα. Θεωρητικά ή πρακτικά. Στις εξετάσεις, δηλαδή, αν δεν το βρείτε ακριβώς, θα χάσετε κάτι πολύ λίγο. Αν, δηλαδή, έχετε πρόβλημα χρόνου, καλύτερα είναι να το κάνετε με το μυαλό, ας πούμε, και να πείτε στο περίπου, και αυτό το εκτιμώ κιόλας. Αν εξετάσεις, θα κόψω κάτι λίγο, αν δεν είναι απόλυτα σωστό, αλλά λίγο, και να προχωρείτε να γράψετε τα υπόλοιπα θέματα. Αν έχετε επάρκεια χρόνου, κάνετε γραμμική παρεμβολή. Το τυπικό σωστό είναι να γίνει γραμμική παρεμβολή. Εντάξει. Και αφού με τον ίδιο τρόπο υπολογίσουμε όλους αυτούς τους όρους, που έχουν μέσα το K0, καταλήγουμε, αν θέλετε, όσοι γράφουν να γράψουν τα αποτελέσματα, θα βρουν έτοιμα στις διαφάνειες, καταλήγουμε για το Sα, σε εκείνη τη σχέση, και για το Σβ, σε αυτή εδώ. Εντάξει. Εκφράσαμε την πτώση στάθμις στην παριά του πηγαδιού Α και στην παριά του πηγαδιού Β, συναρτήσει των δύο παροχών που δεν ξέρουμε. Άρα, αν εξισώσουμε τα δύο, γιατί αυτό είναι το ζητούμενο, να βρούμε την κατανομή της συνολικής παροχής, που οδηγεί σε ίση πτώση στάθμις στις παριές των δύο πηγαδιών, Sα λοιπόν ίσον Σβ, φτιτάχνουμε μία σχέση με δύο αγνώστους, οι οποίοι, αν κάνουμε τις πράξεις, έρχεται εδώ πέρα. Δηλαδή, μας λέει ότι για να έχουμε ίση πτώση στάθμις, η Qα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από την Qβ. Σας φαίνεται λογικό το συμπέρασμα? Άρα, αν έχουμε ίση πτώση στάθμις, η Qα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από την Qβ. Σας φαίνεται λογικό το συμπέρασμα? Άρα, αν έχουμε ίση πτώση στάθμις, η Qα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από την Qβ. Σας φαίνεται λογικό το συμπέρασμα? Η Qα πρέπει να είναι 1,136 πι Qβ. Δεν σας είπα προηγουμένως να μην πιστεύετε τις διαφάνειες. Ας συζητηθεί. Το πάνω είναι σωστό. Για πείτε μου γιατί. Από την άποψη, τόσο πιο κοντά είναι το πηγάδι φόρτισης στο πηγάδι άντλησης. Άρα, μπορούμε να πάρουμε μια παροχή με μικρότερη πτώση στάθμις. Εντάξει. Άρα λοιπόν, για να πετύχουμε τελικά την ισότητα στις πτώσεις στάθμις, θα πρέπει να ανοίγουμε λίγο παραπάνω από το πηγάδι Α. Εντάξει. Αυτή λοιπόν είναι η μία σχέση. Η δεύτερη σχέση είναι αυτή εδώ. Το άθρισμα των δύο παροχών είναι δεδομένο. Επομένως, αυτά εδώ είναι ανάποδα. Σύμφωνοι? Αυτό σημειώσετε. Θα σημειώσετε σωστά αποτελέσματα εσείς. Σύμφωνοι? Και βέβαια, αφού βρούμε τις παροχές, μπορούμε να πάμε, είτε σε αυτόν εδώ τον τύπο, είτε σε αυτόν εδώ τον τύπο, να αντικαταστήσουμε τις παροχές και ένας πρόσθετος έλεγχος είναι ότι θα πρέπει να βρούμε ίσες πτώσεις στάθμις και αυτή η πτώση στάθμις που πρέπει να βρούμε είναι 10,2 μέτρα. Εντάξει. Υπάρχει κάποια απορία ως εδώ. Είδαμε, λοιπόν, μια απλή εφαρμογή της μεθόδου των εικόνων σε υδροφορέα με υποπίεση με διαρροή. Πρησιμοποιήσαμε τον σωστό τύπο, αυτό που έχει δυστυχώς για εμάς, ή αν θέλετε ευτυχώς για εμάς, γιατί αν δεν υπήρχε αυτός ο τύπος, θα πρέπει να κάνουμε αριθμητική επίλυση της συναρτήσης Μπέσελ. Δεν είναι τόσο τρομακτικό, υπάρχει πίνακας, μπορούμε να εύκολα, μια γραμμική παρεμβολία είναι ανάγκη, να βρούμε τις τιμές που θέλουμε και να επιλύσουμε το πρόβλημα. Κάτι άλλο. Ας δούμε άλλη μία άσκηση, όπου εδώ έχουμε υδροφορέα με ελεύθερη επιφάνεια. Εντάξει, είναι σαν τις ασκήσεις που κάναμε πέρυσι, αυτή εδώ. Ας διαβάσουμε την εκφώνηση και αυτή θα είναι ανεβασμένη στο διαδίκτυο, οπότε πάλι κρατήστε κάποιες σημείωσες, δεν χρειάζεται να τη γράψουμε. Για να γίνουν λοιπόν εργασίες εξειροπηθμένα στην ορθοδομική εξκληφία ΑΒΓΔ, που φαίνεται σε το μη και κάτω ψη στο σχήμα, θα το δούμε αμέσως μετά το σχήμα, να κατασκευαστεί ένα πηγάδι στο μέσο της πλευράς ΑΒ ή στο μέσο της ΓΔ ή στο μέσο της ΔΑΑ. Πρώτον, σε ποιο σημείο πρέπει να κατασκευαστεί το πηγάδι αυτό, ώστε να μην μπαίνει νερό σε κανένα σημείο της εξκαφής με το μικρότερο δυνατό κόστος άντλησης. Πόσο είναι αυτό το ελάχιστο κόστος και πόση η αντίστοιχη αντλούμενη παροχή. Δίνεται ότι ο συντελεστής σχετικής διαπραγματικότητας του ειδροφορά είναι 5,3 x 10-5 μήμερα το δευτερόλεπτο, η ακτήνα του πηγαδού είναι 0,2, πάλι κάπου θα χρησιμοποιηθεί, το κόστο σε δίνεται από τον τύπο σέισον α επί κυου επί ΔΑΑΧΔ, όπου α είναι ένα σταθερό συντελεστής, κυου η αντλούμενη παροχή και ΔΑΑΧΔ είναι η απόσταση της επιφάνειας του εδάφους από τη στάθμη του νερού στο πηγάρι. Δηλαδή προσπαθώ να το κάνω όσο είναι το πιο ρεαλιστικό, γιατί στην πραγματικότητα το νερό θα το αντλήσουμε από εκεί που είναι μέχρι την επιφάνεια του εδάφους, τουλάχιστον. Σημείωση, δώστε το αποτέλεσμα για το κόστος ως συνάρτηση του συντελεστή α. Λοιπόν, να είναι και το σχήμα, το πάνω είναι κάτωψη, εδώ είναι το μή. Θέλουμε να κάνουμε εξκαφή, όπως ξέρετε αυτό είναι ένα πραγματικό πρόβλημα που παρουσιάζεται. Αν βρίσκουμε νερό ψηλά, φυσικά θα βάλουμε σκάφανα στους εργάτες, θα αντλήσουμε το νερό, αυτό είναι το εύκολο. Υπερβολικό είναι ίσως να κάνουμε ολόκληρο κανονικό πηγάδι, βρίχνουμε κάποιες ολύνες, κάνουμε μια μικρή κατασκευή εκεί πέρα και αντλούμε το νερό το πετάμε έξω. Άλλα, ας υποθέσουμε ότι είμαστε πολύ τακτικοί και θέλουμε να κάνουμε κανονική γεώτηση, εδώ φαίνεται και η τομή του εδάφους και μάλιστα είναι έυλογο να μην κάνουμε, αν κάνουμε αυτή τη γεώτηση, μέσα στην ίδια την εξκαφή, γιατί θα μας εμποδίζει, θα εμποδίζει τα μηχανήματα να κινούνται και ούτω καθεξής. Θα πάμε στην περίμετρο και λέμε ότι έχουμε τρεις επιλογές, για να μην το δώσουμε γενικά το πρόβλημα, να γίνει ή στο μέσο αυτής της πλευράς, ή στο μέσο αυτής, ή στο μέσο εκείνης της πλευράς. Ή, αν μ' αφήνετε, πάρουμε την άλλη, την α, δ, είναι το ίδιο. Και το ερώτημα είναι πώς θα μπορέσουμε να κάνουμε τη δουλειά μας με το μικρότερο δυνατό κόστος λειτουργίας. Έτσι, να μην ξεχνάμε την παράμετρο της οικονομίας. Ποια σχέση θα εφαρμόσουμε, καταρχήν. Θα πάμε, οπωσδήποτε, στη μέθοδο των εικόνων, γιατί είμαστε κοντά στη θάλασσα. Έχουμε ροή με ελεύθερη επιφάνεια, οπότε θα πάρουμε αυτόν εδώ τον τύπο, με τα τετράγωνα, στο H και στο H1. Και βέβαια, εδώ έχουμε το πραγματικό πηγάδι και εδώ έχουμε την εικόνα του. Συμφωνεί. Πώς θα αποφασίσουμε ένα εργαλείο που έχουν οι μηχανικοί, είναι οι δοκιμές. Δεν θα προσπαθήσουμε θεωρητικά να βρούμε με παραγώγους ή οτιδήποτε άλλο τη βέρδη στη λύση, αλλά μπορούμε, αφού είναι άλλωστε τρεις θέσεις όλες κι όλες, που έχουμε να εξετάσουμε και όχι οποιαδήποτε σημείο της περιμέτωσης της εξεκαφής, να εξετάσουμε και να ελέγξουμε και τις τρεις θέσεις. Να θεωρήσουμε ότι το πηγάδι πρώτα στο μέσο της μιας πλευράς, μετά στο μέσο της άλλης, μετά στο μέσο της άλλης και εν τέλει να συγκρίνουμε τα αποτελέσματα που θα βρούμε. Ξεκινάμε λοιπόν, πρώτη περίπτωση, το πηγάδι τοποθετείται στο μέσο της αλφαβήτα. Θα πρέπει καταρχή να διαπιστώσουμε ποια είναι τα κρίσιμα σημεία ελέγχου. Το πηγάδι μπήκε εδώ. Θέλουμε να μην μπαίνει νερό σε κανένα σημείο της εξεκαφής, το οποίο σημαίνει οι στάθμοι να είναι το πολύ 82 μέτρα σε οποιοδήποτε σημείο της εξεκαφής. Ποια είναι το κρίσιμο ή τα κρίσιμα σημεία που πρέπει να ελέγξουμε, που αν τα διασφαλίζουμε αυτά οριακά, δεν θα έχουμε πρόβλημα. Στη θάλασσα, ακριβώς αυτό που επίσης είναι μακριά από τη γεώτρηση. Άρα θα πάμε να ελέγξουμε το δέλτα ή το γάμα, που είναι το ίδιο, και το άλφα ή το βήτα, που επίσης είναι το ίδιο. Εντάξει, αυτό κάνουμε. Εφαρμόζουμε τον τύπο αυτόν εδώ. Κάνουμε πράξεις και καταλήγουμε από τον έλεγχο στο άλφα ότι η ελάχιστη παροχή που πρέπει να αντλούμε για να μην μπαίνει νερό, άρα να είναι οριακά η στάθμη 82 μέτρα στο άλφα είναι 0,0393. Στη μέση του άλφα β, στο ε. Το μέσο του άλφα β. Και κάνουμε έλεγχο στο γάμα και βρίσκουμε 0,069. Άρα η ελάχιστη απαιτούμενη παροχή ποια είναι, αυτή ή αυτούτη, η μικρή ή η μεγάλη από τις δύο που βρήκαμε. Η μεγάλη. Συμφωνείτε όλοι? Γιατί, ας που το εξηγήσετε κιόλας. Ακριβώς. Θα εξασφαλίζουμε μεν το άλφα, αλλά δε θα και μια περιοχή άλλη κοντά στην ιδιότητα, αλλά από εδώ θα έχουμε είσοδο νερού. Άρα η ελάχιστη απαιτούμενη είναι η μεγαλύτερη από τις δύο. Σύμφωνει? Εντάξει. Αν θέλετε, γράψτε απλώς τα αποτελέσματα. Πάμε τώρα να υπολογίσουμε για αυτήν την ελάχιστη απαιτούμενη παροχή, ποιο είναι το κόστος. Προσοχή, θα πάμε στον ίδιο τύπο, μόνο που τώρα θα έχουμε γνωστεί την παροχή και τον έλεγχο θα τον κάνουμε πού. Πού θα ψάξουμε να βρούμε τη στάθμη και συνέχεια την πτώση της στάθμης? Στην παρειά του πηγαδιού. Γιατί εκεί από το πηγάδι θα ανεβάσουμε το νερό επάνω. Κάνουμε αυτόν τον έλεγχο και βλέπουμε ότι η στάθμη στο πηγάδι θα έχει πέσει στα 67,5 μέτρα. Προφανώς πολύ πιο κάτω από τα 82, γιατί το πηγάδι είναι το χαμηλότερο σημείο σε όλη την εξεταζόμενη περιοχή. Σύμφωνα με την βασική αρχή της υδραυλικής, το νερό πηγαίνει από τα ψηλά στα χαμηλά. Πραγματικά, η άντληση που κάνουμε στο πηγάδι μας παίρνουμε νερό έχοντας συναντώτητα να επέμβουμε μόνο στη θέση του πηγαδιού. Τι κάνουμε, κατεβάζουμε τη στάθμη εκεί πέρα, οπότε ο νερό κινείται, που έχει περισσότερη ενέργεια εν τέλει, μεγαλύτερη στάθμη στις γύρω περιοχές, κατεβαίνει από μόνο του προς το πηγάδι που έχουμε εμείς κατεβάσει τη στάθμη. Γι' αυτό και σε ασκείς που τυχόν λένε βρείτε ποιά είναι οι μεγαλύτεροι πτώσεις στάθμις σε μια ενδροφορέα που ανοίγουν 132 πηγάδια, οπωσδήποτε θα είναι κάποια από τις 132 παριές των πηγαδιών. Δεν μπορεί να είναι, ξέρω εγώ, το κέντρο βάρους κάποιου τριγόνου που ορίζεται από πηγάδια. Εκεί θα έχουν μάλλον τοπικό μέγιστο παρά τοπικό ελάχιστο. Το ολικό ελάχιστο είναι σίγουρα σε παρεία πηγαδιού. Εντάξει, κι αν έχουμε πετύχει το βέλτιστο από άποψη άντλησης, όπως είπαμε προηγουμένως από ένα σύστημα πηγαδιών, τότε όλα θα έχουν το ίδιο. Σύμφωνοι. Και κατόπιν εφαρμόζουμε κι αυτόν εδώ τον τύπο, βρίσκουμε, προσέχοντας ότι εδώ θα βάλουμε τη στάθμη του εδάφους, γιατί αυτό μας λέει το πρόβλημα. Δεν θα ήταν τραγικό λάθος και το άλλο, όπως εξήγη και βαθμολογικά θα χάνατε πολύ λίγο, αλλά γιατί να χάσετε έστω κι αυτό το λίγο. Και βρίσκουμε το αντίστοιχο κόστος άντληση, ο συνάρτησης του α, 1,486α. Πάμε τώρα να τοποθετήσουμε το πηγάδι στο μέσο της ΓΔ. Ας και να δούμε το σχήμα. Δηλαδή, σε αυτήν εδώ την πλευρά, απέναντι από την αρχική που ελέγξαμε. Κάνοντας τώρα πρώτα απ' όλα πρέπει να δούμε ποιο είναι το κρίσιμο σημείο. Αυτό σίγουρα θα είναι το α ή το β. Γιατί, με το ίδιο σκεπτικό που είπαμε και προηγουμένως, είναι και τα πιο απομακρυσμένα από τη ΓΔ και τα πιο κοντινά στη θάλασσα. Άρα συντρέχουν και οι δύο λόγοι, δεν χρειάζεται να κάνουμε διπλό έλεγχο. Ή το α, ελέγχουμε ή το β, είναι συμμετρικά μεταξύ τους. Άρα λοιπόν, ίδιος τύπος και βρίσκουμε τελικά αυτήν εδώ την τιμή. Βλέπετε, ίδια με την προηγούμενη. Έτσι, η απαιτούμενη παροχή είναι ίδια. Είναι όμως ίδιο και το κόστος. Είναι όμως ίδιο και το κόστος. Όχι, γιατί η απόσταση των πηγαδιών δεν είναι ίδια. Εντάξει. Και επομένως, για να αντλήσουμε τη συγκεκριμένη παροχή από το μέσο της πλευράς ΓΔ, που είναι πιο μακριά από τη θάλασσα, θα έχουμε μεγαλύτερη πτώση στάθμισης, πιο χαμηλή στάθμιση στο πηγάδι και εν τέλειο θα έχουμε μεγαλύτερη πτώση στάθμιση. Και εν τέλειο, το κόστος που θα προκύψει θα είναι μεγαλύτερο. Εντάξει. Βγαίνει 1,613 του Α, ενώ η απαιτούμενη παροχή είναι ίδια, το κόστος διαφέρει. Γιατί το ένα πηγάδι θα ήταν το αποθετημένο εδώ, τώρα θα ήταν το αποθετημένο εδώ, για να πάρουμε ίδια παροχή από αυτά τα δύο πηγάδια τη στιγμή που οι υδροφορές δεν ήταν άπειρες, ήταν άπειρες οι υδροφορές, θα είχαμε και ίσως στάθμιση. Αφού αυτό είναι πιο κοντά στη θάλασσα, αυτό θα κάνει τη δουλειά που θέλουμε με μικρότερη προσπάθεια, χωρίς να πέσει τόσο πολύ η στάθμιση, γιατί τροφοδοτείται από θάλασσα. Θα μου πείτε, είναι καλό να τροφοδοτείται από θάλασσα και να παίρνουμε αλμυρό νερό. Εδώ δεν μας ενδιαφέρει το πηγάδι ως μέσο προσπόρισμου μάλλον υδρατικού πόρου. Μας ενδιαφέρει απλώς να κάνουμε τη σεργασία σαν ξηρό, οπότε δεν ανακατεβόμαστε με την ποιότητα του νερού. Και βέβαια κάνουμε και την απλουστευτική παραδοχή, ότι δεν μας ενδιαφέρει και η διαφορά πυκνότητας αλμυρού-γλυκού νερού. Αυτό, την διαφορά πυκνότητας αλμυρού-γλυκού νερού, δεν την λαμβάνουμε οπωθενά υπόψη μας στο συγκεκριμένο μάθημα, αλλά αν έχετε ένα πρόβλημα διαχείρισης δρατικών πόρων, θα πρέπει να το σκεφτείτε. Εκεί, αν θέλουμε να πάρουμε νερό από ένα παράκτυο τραφορέα γλυκό νερό για χρήση, θα πρέπει να λαμβάνουμε ως περιορισμό του να μην έχουμε αλμυρή δίσδυση στα πηγάδια μας. Σύμφωνο? Τώρα έχουμε και το τελευταίο να τοποθετήσουμε το πηγάδι στο μέσο της άλλης πλευράς. Σε αυτή την περίπτωση, πάλι το κρίσιμο σημείο θα είναι το β και μόνο, γιατί είναι το πιο απομακρυσμένο από το πηγάδι και παράλληλα κοντινότερο στη θάλασσα. Κάνοντας αυτόν τον έλεγχο, καταλήγουμε ότι η απαιτούμενη παροχή είναι κάπως μικρότερη και βέβαια, αν υπολογίσουμε τη στάθμη στο πηγάδι, έχει αυτήν εδώ την τιμή και η διαφορά ιδραυλικού φορτίου είναι 20,22 και το τελικό κόστος 1,242α. Άρα τελικά, η βέλτη στη θέση είναι να πάμε στο μέσο της αδ, ή αντιστοίχως της βγ, και η ανδλούμενη παροχή είναι αυτή εδώ. Υπάρχει κάποια απορία, ξεκαθάρισε το θέμα. Εδώ απλώς δεν μπορούμε εκ των προτέρων να αποφανθούμε με λογική σκέψη ποια θέση είναι πρωτοιμότερη. Πιθανώς θα μπορούσαμε να σκεφτούμε ότι από αυτές τις δύο θέσεις καλύτερη είναι αυτή. Αλλά μεταξύ αυτής και αυτής, δεν θα μπορούσαμε εύκολα να βρούμε έναν τρόπο λογικό να επιλέξουμε εκείνη και αναδιαφισβήτητο. Σε αυτές τις περιπτώσεις πάμε στις δοκιμές, κάνουμε λίγο παραπάνω πράξεις και έχουμε το κεφάλι μας ήσυχο. Εντάξει. Εάν το αιτιολογούσατε σωστά, δηλαδή θα δεχόμαστε εξετάσεις να πει κάποιος ότι αντίστοιχα θα έχουμε τις εικόνες αυτών των πηγαδιών σε θέσεις που θα δημιουργούν οι ίδιες αποστάσεις εν τέλει. Και επιπροσθέτως ότι αυτό είναι πιο κοντά στη θάλασσα, μπορούμε να αποκλείσουμε αυτό. Αλλά θέλει προσεκτική αιτιολόγηση. Θα το δεχόμουν όμως, ναι. Και θα το χαιρόμουν κιόλας. Σύμφωνοι? Υπάρχει κάποια πορεία έως εδώ. Πάμε λοιπόν, γιατί αυτά χονδρικά, χωρίς να λαμβάνουμε υπόψη μας στους ιδροφορείς με διαρροή, τα είχαμε δει και στο μάθημα Κορμού, να δούμε την επέκταση της μεθόδου των εικόνων όταν έχουμε δύο τεμνόμενα όρια. Εδώ η μέθοδος των εικόνων δεν ισχύει γενικά, αλλά ισχύει σε ορισμένες περιπτώσεις. Και βέβαια η χρήστηση μας βοηθάει πάρα πολύ να λύσουμε χωρίς να βρούμε λύση, χωρίς να καταφύγουμε σε αριθμητική ανάλυση. Ποια είναι τα ζητούμενα για να πάρουμε ακριβή λύση? Πρώτον, ο αριθμός των εικόνων που θα προκύπτουν, των φανταστικών πηγαδιών που θα προκύπτουν, να είναι πεπερασμένος, να μην προκύπτουν άπειρες εικόνες. Αν έχουμε δύο ευθείες που τέμαται υποτυχούς αγωνίας και αρχίσουμε να παίρνουμε τα συμμετρικά ως προς τη μία ευθεία και ως προς την άλλη και μετά το συμμετρικό του συμμετρικού, τότε γενικά θα καταλήξουμε σε άπειρες εικόνες. Αν έχετε δει καθρέφτες σε κάποια παλιά έπιπλα που υπήρχανε, που είχαν ένα κύριο καθρέφτη και δύο φύλλα τα οποία ήταν κινητά. Λοιπόν, πάτε και καθίστε μπροστά σε μία τέτοια περίπτωση και γυρίστε τα φύλλα σε κάποια γωνία, δηλαδή τα άπειρα είδωλα του εαυτού σας. Αν έχετε τέτοιο έπιπλο, δείτε το, βγαίνουν άπειρα είδωλα, εντάξει. Πρώτος και βασικός περιορισμός. Δεύτερος περιορισμός, οι εικόνες να είναι μονοσύμμαντα ορισμένες ως προς το είδος τους. Να μην προκύπτει πηγάδι άνλυσης και πηγάδι φόρτισες στο ίδιο σημείο. Και το τρίτο, να μην τοποθετούνται εικονικά πηγάδια μέσα στο πραγματικό πεδίο ρωής. Θα εξηγήσω στη συνέχεια όλους αυτούς τους περιορισμούς ασχολούμενος μόνο με την περίπτωση δύο ορίων που τέμνονται υπό ορθή γωνία. Όπως αυτή, σε αυτήν εδώ την περίπτωση. Αυτός είναι ο πραγματικός ιδροφορέας μας. Εδώ έχουμε μια λίμνη, από εδώ και κάτω έχουμε αδιαπέρατο όριο. Και θέλουμε με τη μέθοδο των εικόνων να βρούμε πώς είναι η πτώση στάθη. Να βρούμε έναν τύπο που να μας δίνει την πτώση στάθη με σε οποιοδήποτε σημείο του πραγματικού ιδροφορέα. Αυτό είναι το ζητούμενο. Λέμε λοιπόν ή πως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το ίδιο σκεπτικό όπως χρησιμοποιήσαμε και προηγουμένως. Να προσθέτουμε κάποια φανταστικά πηγάδια, ίσως περισσότερα από ένα φανταστικό πηγάδι για κάθε πραγματικό, αλλά να έχουμε την ευκαιρία να χρησιμοποιήσουμε τους τύπους που ξέρουμε για τα συστήματα πηγαδιών. Η απάντηση είναι ότι εφόσον τα όρια τέμνονται υπορθή γωνία, αυτό είναι πράγματι δυνατό να γίνει. Και ας δούμε μια πρώτη εφαρμογή. Ξεχνάμε προς τη στιγμή αυτό το όριο και θεωρούμε ότι έχουμε μόνο ένα όριο δεξαμενής. Τι θα είχαμε το πραγματικό πηγάδι το α1 και την εικόνα του το α3 που ήταν πηγάδι φόρτισης. Αυτά τα δυο πηγάδια μαζί ικανοποιούν την οριακή συνθήκη. Αυτό είναι το κριτήριο να ικανοποιούνται οι οριακές συνθήκες. Και θα είχαμε τελειώσει. Απ' την άλλη μεριά όμως, για να ικανοποιηθεί και η συνθήκη στο αδιαπέρατο όριο που λέει ότι νερό δεν διασχίζει αυτό το όριο, θα έπρεπε ως εικόνα το α να βάλουμε εδώ το α2 το οποίο είναι πηγάδι άντλησης. Άρα λοιπόν αυτό το πηγάδι για να καλύπτουμε αυτό εδώ το όριο και αυτό για να καλύπτουμε αυτό. Θα έλεγε κανείς εντάξει σωθήκαμε. Μπάλαμε ένα πηγάδι για κάθε όριο και είμαστε εντάξει. Προσέξτε όμως αυτό το σύστημα των τριών πηγαδιών τι κάνει. Εφόσον λειτουργούν και τα τρία πηγάδια, εδώ πάνω σε αυτό το κομμάτι έχουμε από εδώ δύο πηγάδια άντλησης που κατεβάζουν τη στάθμη και ένα πηγάδι φόρτισης που την ανεβάζει. Άρα δεν πληρούνται οι συνθήκοι πλέον. Σύμφωνοι εδώ πέρα πάνω γιατί δημιουργούν ταχύτητες προς τα δώ πάνω σε αυτό το όριο. Αφού σε οποιοδήποτε σημείο η επίδραση αυτού και αυτού εξουδερώνονται, απομένει όμως η επίδραση αυτού που δημιουργεί ταχύτητα προς τα δώ. Σύμφωνοι. Άρα κάτι πρέπει να γίνει ακόμα. Επίσης δεν πληρούνται και οι συνθήκοι εδώ πέρα πάνω. Γιατί? Γιατί αυτό τραβάει προς τα δώ, το άλλο προς τα κέρα, αυτά δύο φεύγουν, αλλά αυτό το πηγάδι φόρτισης δημιουργεί ταχύτητες, μπρόχνει νερό να περάσει μέσα στο διαπέρατοριο. Ούτε αυτή η συνθήκη πληρούνται. Άρα λοιπόν πρέπει να μπει και ένα ακόμα πηγάδι, το α4, το οποίο είναι πηγάδι φόρτισης συμμετρικό του α2 και τότε πληρούνται όλες οι ουριακές συνθήκες. Γιατί σε ό,τι αφορά αυτό εδώ το όριο, που είναι ο όριος δεξαμενής, αυτό εξοδετερώνει εκείνο, αυτό εξοδετερώνει το άλλο. Και σε ό,τι αφορά αυτό εδώ το όριο, πάλι όσο σπρώχνει προς τα δώ να περάσει νερό το α3, τόσο σπρώχνει προς τα κέρα το α4, άρα εξοδετερώνονται. Αυτά δύο επίσης εξοδετερώνονται. Άρα λοιπόν, χρειαζόμαστε τρία πρόσθετα πηγάδια και όχι δύο για να ικανοποιούνται οι ουριακές συνθήκες. Και η διαδικασία είναι η εξής. Πρώτα πετάμε ας πούμε αυτό εδώ το όριο. Τι κάνουμε δηλαδή? Παίρνουμε το α1 και το α3 και μετά θεωρούμε ότι το διαπέρατο όριο συνεχίζεται και εδώ πέρα. Έχουμε λοιπόν ένα πραγματικό πηγάδι άντλησης και ένα φόρτισης και οι εικόνες τους ως προς αυτό το αδιαπέρατο όριο θα είναι οι δύο τύπου. Το α4 φόρτισης και το α2 άντλησης. Και κλείνει το σύστημα. Με τέσσερα πηγάδια είναι πεπερασμένος ο αριθμός, ως προς το πρώτο κριτήριο είμαστε εντάξει, ήδη αποδείξαμε ότι πληρούνται οι ουριακές συνθήκες αυτό που θέλαμε. Μπορούσαμε όμως να πάμε και από την άλλη μεριά. Έτσι να θεωρήσουμε δηλαδή ότι πρώτα θα διώξουμε το αδιαπέρατο όριο. Άρα θα δημιουργήσουμε το α1 και το α2 πηγάδια άντλησης και θα πάρουμε στη συνέχεια τις εικόνες τους και τον 2 ως προς το όριο δεξαμενής και θα προκύψουν δύο φανταστικά πηγάδια φόρτισης. Άρα βλέπετε πληρούνται και ο δεύτερος όρος που είχα πει προηγουμένως ότι όλα τα πηγάδια ορίζονται μονοσήμαντα ως προς το είδος τους. Δεν είχαμε πρόβλημα αν πηγαίνοντας από τη μια μεριά διώχοντας πρώτα το ένα όριο βγάζαμε εδώ πηγάδι φόρτισης και διώχοντας το άλλο βγάζαμε εδώ πηγάδι άντλησης. Άρα λοιπόν σε αυτή την περίπτωση πληρούνται και το δεύτερο κριτήριο και βέβαια προφανώς πληρούνται το τρίτο κριτήριο γιατί όλες οι εικόνες είναι εκτός του πραγματικού πεδίου ροής. Σύμφωνοι αυτή λοιπόν είναι η εφαρμογή της μεθόδου των εικόνων όταν έχουμε δύο τεμνόμενα όρια υπό ορθή γωνία. Θα μπορούσε η σχή μέτωση των εικόνων και αν τεμνόταν υπό γωνία 60 μοιρών. Οπότε βέβαια θα έγιναν περισσότερες εικόνες αλλά πάλι θα πληρούνταν οι όροι που είπαμε και δεν θα προέκυπται εικόνα φανταστικό πηγάδι στο πραγματικό πεδίο. Ενώ αν είχαμε 120 μοίρες τότε το πρόβλημα θα ήταν ακριβώς αυτό. Θα έβγαινε εικόνα εδώ μέσα και θα μας καλούσε τη λύση. Σύμφωνοι αυτή λοιπόν είναι η εφαρμογή των εικόνων στην περίπτωση που έχουμε περισσότερα δύο τεμνόμενα όρια υπό ορθή γωνία. Θα ξεκινήσουμε με μία μικρή επέκταση ακόμα της θεωρίας και στη συνέχεια θα κάνουμε όσες ασκήσεις προλάβουμε. Λοιπόν, η μέθοδος των εικόνων ισχύει και στην περίπτωση μιλάω εδώ για ένα όριο ευθύγραμμο το οποίο δεν διαχωρίζει το νητροφορέα μας από έναν αδιαπέρατο δαφικό σχηματισμό από μία λίμνη, θάλασσα, ποτάμι αλλά διαχωρίζει δύο ζώνες του ιδροφορέα με διαφορετική μεταφορικότητα. Στην περίπτωση αυτή χωρίς μεγάλη ανάλυση λέω και μιλάω εδώ προφανώς για ιδροφορέα υποπίεση η σχέση που δίνει την πτώση στάθμις σε οποιοδήποτε σημείο της ίδιας ζώνης που βρίσκεται και το πηγάδι ένα πηγάδι λαμπάω να υπόψουμε αλλά γενικεύεται και για ένα πηγάδι είναι αυτή εδώ. Τα Φ' είναι η μεταφορικότητα της ζώνης που βρίσκεται το πηγάδι και το εξεταζόμενο σημείο και τα Β' είναι η μεταφορικότητα της άλλης ζώνης του ιδροφορέα. Για να προσέξουμε κάτι φυσικά και το Τα Φ' και το Τα Β' δεν έχουν θετικές τιμές. Ας πούμε ότι το Τα Φ' γίνεται μηδέν. Τι σημαίνει το Τα Φ' γίνεται μηδέν? Είναι αδιαπέρατος, ο μεταφορικός σχηματισμός είναι σαν να έχουμε αδιαπέρατο όριο. Τι προκύπτει? Συν μηδέν, μειον μηδέν, φεύγουνε, Τα Φ' για Τα Φ' ένα, ένα και προκύπτει αφού εξαφανίζεται αυτός εδώ ο όρος, εν τέλει, προκύπτει ακριβώς η λύση για την περίπτωση που έχουμε αδιαπέρατο όριο. Έχουμε το πραγματικό πηγάδι και την εικόνα του, αυτούς τους δυο όρους μπορούμε να τους μαζέψουμε μαζί σε ένα λογάριθμο, όπου εδώ στον παρονομίστατε έχουμε το Ά τετράγωνο και πάνω το γινόμενο των δύο ρυζών. Εντάξει? Τώρα, ας υποθέσουμε ότι το Τα Φ' μεγαλώνει συνέχεια, μέχρι που τείνει να γίνει άπειρο. Έτσι? Τι σημαίνει άπειρη μεταφορικότητα, ότι φτάνουμε να έχουμε μια λίμνη, ποτάμι θάλασσα, ένα επιφανειακό σώμα. Τότε ο παρονομαστής πάει άπειρο, όπου το Τα Φ' σε σχέση με το άπειρο είναι αμελητέο. Ο αριθμητής θα πάει, επειδή είναι το μίον εδώ, μίον άπειρο. Άρα θα γίνει μίον, θα βγει τελικά από όλο αυτό το δρόμο ένα μίον. Άρα τι θα κάνουμε σε αυτή την περίπτωση, θα βρούμε τον τύπο που είχαμε για πηγάδι κοντά σε όριο δεξαμενής. Γιατί θα έχουμε έξω αυτό εδώ, αυτός εδώ απλώς έχει βγάλει ένα μίον. Η διαφορά λογαρίθμων είναι λογαρίθμος στο α διά β, αν αυτό είναι όλο α, εκείνο είναι β. Άρα τα α θα φύγουν μεταξύ τους και θα έχουμε επάνω αυτό εδώ που αντιστοιχεί στο πραγματικό πηγάδι και στον παρονομαστή εκείνο που αντιστοιχεί στην εικόνα του. Άρα δηλαδή αυτό στην πραγματικότητα είναι ο γενικός τύπος και όταν φτάσουμε στα δύο άκρα, που είναι βέβαια και τα πιο συνηθισμένα, αυτό είναι το περίεργο, στα προβλήματα που αντιμετωπίζουμε, γιατί στη φύση, φυσικά, υπάρχουν διαφοροποίησεις του ταφ πάρα πολύ συχνά. Στα προβλήματα που αντιμετωπίζουμε συνήθως έχουμε, ή λαμβάνουμε υπόψη μας αντιεπέρα το όριο δεξαμενής, αυτά λοιπόν που κατά κανό να λαμβάνουμε υπόψη μας είναι οι οριακές περιπτώσεις αυτού του γενικότερου τύπου. Αν και το πηγάδι και το εξεταζόμενο σημείο, στο οποίο υπολογίζουμε την πτώαση στάθμις, βρίσκονται στην ίδια ζώνη. Αν βρίσκονται σε διαφορετικές ζώνες, τότε ισχύει αυτός εδώ ο τύπος, που βέβαια από αυτόν δεν μπορούμε να αναχθούμε στις δύο οριακές συνθήκες που μελετήσαμε προηγουμένως, γιατί προφανώς εκεί δεν που πάμε να βρούμε πτώαση στάθμις ούτε μέσα στο διαπέρατο όριο, ούτε μέσα στη λίμνη. Εντάξει? Άρα λοιπόν, από αυτόν εδώ τον τύπου προκύπτουνε, ως ακραίες περιπτώσεις, οι δύο κοινή τύποι που χρησιμοποιούμε. Υπάρχει κάποια απορία ως εδώ? Πάμε να δούμε μία άσκηση. Στο κτήμα ΆΒΓΔ που φαίνεται σε κάτωψη στο σχήμα, θα το δούμε στη συνέχεια, θα κατασκευαστεί μία γεώτηση ακτίνας R025 μέτρα, από την οποία θα αντείτε παροχή Q ίσον 30 λίτρα το δευτερόλεπτο. Σε ποιο σημείο του κτήματος πρέπει να κατασκευαστεί η γεώτηση αυτή, ώστε οι πτώσεις στάθμις στην παρειά της να είναι οι μικρότεροι δυνατοί. Πόσοι είναι αυτοί οι πτώσεις στάθμις? Δίνεται πρώτον ότι η ροή είναι υποπίεση, δεύτερον ότι οι συντελεστές σχετικής διαπραγματότητας του ενδροφορά είναι δύο επί δέκα στιγμίων πέμπτη μέτρα το δευτερόλεπτο και το πάχος του 30 μέτρα, και ότι λόγω της μεγάλης διάρκειας της άντλησης μπορεί να χρησιμοποιηθούν οι τύποι για την μόνιμη ροή. Προφανώς, όταν κάνουμε μη μόνιμες ροές θα δούμε ότι πάλι ισχύει η μέθοδος των εικόνων, μόνο βέβαια πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τους αντίστοιχους τύπους που περιγράφουν μη μόνιμες ροές, οι οποίοι προφανώς επίσης είναι λίγο πιο δύσκολοι από τους τύπους που ξέρουμε εδώ και έχουμε δει μέχρι τώρα για μόνιμες ροές. Να λοιπόν και το σχήμα που έχουμε στην περίπτωση αυτή εδώ. Εκείνο που με ενδιαφέρει πριν απ' όλα είναι να αποφασίσουμε, να απαντήσουμε στο πρώτο ερώτημα. Τα υπόλοιπα είναι θέματα πράξεων. Περιμένω να μου απαντήσετε εσείς, να με διαφωτίσετε εσείς. Το ερώτημα είναι, ας το βλέπουμε κιόλας, σε ποιο σημείο του κτήματος πρέπει να κατασκευαστεί η γεώτρηση, από την οποία θα παίρνουμε τα 30 λεπτά το δεύτερο λεπτό, τόσα χρειαζόμαστε, ώστε οι πτώσεις στάθμις στην παρειά της να είναι μικρότερα δυνατοί. Και βέβαια το δεύτερο ερώτημα πώς είναι αυτή η πτώση στάθμις, θέλουμε να κάνουμε τη δουλειά μας με το πιο οικονομικό τρόπο. Εντάξει. Να λοιπόν και το σχήμα και περιμένω να μου πείτε, ναι. Στην παρειά ΓΒ. Στην παρειά ΓΒ. Και ποιο συγκεκριμένα? Στο β. Συμφωνούμε όλοι? Δεν ξέρω ότι είναι λάθος από τους δύο συνάδελφους, αλλά θέλω να δω αν τις αποπείσεις και των υπολοίπων. Δεν είναι πιο μακριά τα δεύτερα και πιο κοντά. Βεβαίως. Άρα συμφωνείς. Ναι, μπράβο. Σωστά συμφωνείς. Εντάξει, να σας παραπλωνώ, αλλά όχι πολύ. Λοιπόν, όντως, με αυτό το σκεπτικό εδώ πέρα, πρέπει να πάμε όσο δυνατόν πιο μακριά από το αδιαπέρατο όριο και πιο κοντά στη λίμνη. Η λίμνη ανεβάζει τη στάθμη και το αδιαπέρατο όριο δημιουργεί πρόσθετοι πτώσεις στάθμις. Αν δηλαδή φτιάξουμε τις εικόνες, θα πάρουμε, αυτό είναι πηγάδι άντλησης στο β, θα δημιουργήσουμε ένα συμμετρικό του εδώ πηγάδι το οποίο θα είναι επίσης άντλησης, εδώ θα δημιουργήσουμε ένα πηγάδι φόρτισης και δεν θα ξεχάσουμε και αυτό εδώ το τελευταίο πηγάδι που χρειάζεται για να εξορροπίσετε δικά τα πράγματα, το οποίο τι πηγάδι θέλει να είναι? Φόρτισης, βεβαίως. Γιατί όπως και με όποια σειράκια αν διώξουμε το όριο, ας το διώχνουμε πρώτο αυτό, έχουμε ένα και ένα δύο πηγάδια άντλησης, άρα οι εικόνες είναι δύο πηγάδια φόρτισης, εντάξει, ή αν διώξουμε πρώτα τη λίμνη, άντλησης φόρτισης και μετά ως προς το αδιαπέρατο όριο, ίδιο τύπου πηγάδια άντλησης φόρτισης, εντάξει. Άρα λοιπόν, από αυτή την άποψη, είμαστε εντάξει. Τι μας έχει δώσει άλλο δεδομένο, ότι η ροή είναι παντού υποπίεση. Με βάση αυτά τα δεδομένα και αφού κάναμε το πρώτο, ότι πήραμε τη μεγάλη απόφαση την πρώτη και τοποθετήσαμε σωστά το πηγάδι και εδώ, αυτό το σημείο, ήθελα να αιτιολογίστε στις εξετάσεις, να πείτε ακριβώς αυτό που αναφέρατε ήδη, ότι θα πάμε στο σημείο Β, το οποίο είναι το πιο απομακρυσμένο, όλη η πλευρά ΒΓ είναι πιο απομακρυσμένη από το αδιαπέρατο όριο, από το οποίο ήταν τροφοδοτήτε με τροφορές μας με νερό και επίσης ανήκει και στην πλευρά ΒΓ, που είναι η πλησίαστηρη στην λίμνη, από όπου έχετε περίσει νεροακό. Ουσιαστικά, ναι, ουσιαστικά, ναι, αλλά το ίδιο, πρόσεξε, το ίδιο ακριβώς αποτέλεσμα θα είχαμε αν το σχήμα στην επόμενη άσκηση είναι διαφορετικό, αν ζωγράφιζα να συνεχίζεται μέχρι εδώ και εδώ πέρα κάτω να είχαμε διαπέρατο όριο και η λίμνη ήταν από εδώ και πέρα, η ίδια κατανομή θα είχαμε. Δηλαδή, εντάξει, όχι, εδώ είπαμε αυτό είναι άντλησης, αυτό επίσης άντλησης, αυτό είναι φόρτισης, αυτό επίσης φόρτισης. Το ίδιο θα είχαμε κι αν ήμασταν έτσι. Δηλαδή, είναι αυτό που είπαμε και στο διάλειμμα. Σύμφωνοι? Γιατί από εδώ εν τέλει νερό δεν μπαίνει στον πραγματικό, ας το πω έτσι, ιδροφορέα που έχουμε. Λοιπόν, με βάση αυτά εδώ, με βάση αυτές οι πληροφορίες που έχουμε, ας προσπαθήσουμε να γράψουμε τον τύπο που δίνει την πτώση στάθμισης σε οποιοδήποτε σημείο του ιδροφορέα μας. Λοιπόν, είναι μειών Q προς 2ΠΚΑ. Να μου φαίνεται αυτό. Πώς φαίνεται αυτό καλύτερα? Επιλογάριθμος. Στον αριθμητή, αφού έχουμε βάλει εδώ το μειών, θα έχουμε τα πηγάδια άντλησης. Άρα, Χ μειών ΧΒ, στο τετράγωνο, συμψή μειών ΨΒ στο τετράγωνο. Το πραγματικό πηγάδι, η επίδραση του πραγματικού πηγαδιού σε οποιοδήποτε σημείο του ιδροφορέα. Επίσης, μειώνει τη στάθμι το πηγάδι αυτό εδώ, το οποίο, εφόσον έχουμε θεωρήσει ως άξονα το ΨΙ αυτό εδώ και ως άξονα το Χ αυτό εδώ, για να ισχύει η συγκεκριμένη μορφή του τύπου, τι θα έχουμε εδώ πέρα, αυτό είναι, για να μου πει κάποιος, το πρόσημο, τα πρόσημα εδώ και εδώ, άξονα στον Χ αυτός εδώ, άξονα στον ΨΙ εκείνος. Θεωρώτες ότι είναι πηγάδι άντλησης. Περιγράφω την επίδραση αυτού εδώ του πηγαδιού, του φανταστικού πηγαδιού, που είναι πηγάδι άντλησης. Μας ενδιαφέρει εδώ μέσα τι υπάρχει. Το τελικό αποτέλεσμα υψώνεται στο τετράγωνο, αλλά άλλο να υψώνει στο τετράγωνο το 7 και άλλο το 2. Να βάλουμε μίον εδώ και συν εδώ. Και πάμε τώρα να πάρουμε και τα δύο πηγάδια φόρτισης. Άλλοι θα μου πείτε. Ας πούμε ότι τώρα εξετάζω αυτό το πηγάδι. Πείτε μου συγκυπλήν. Συν και συν, σωστά, με το ίδιο σκεπτικό, ότι έχουν το ίδιο χ και αντίθετο ψ. Και το τελευταίο... Ας δω, ας μη σε στελοπορήσω. Αυτός λοιπόν είναι ο τύπος. Αντικαθιστώντας τις συνδεταγμένες, έχουμε, ας μου πει κάποιος πώς είναι το ΧΒ και πώς είναι το ψΒ, για να μπορούμε να εφαρμόσουμε τη συγκεκριμένη μορφή του τύπου, είμαστε υποχρεωμένοι να θεωρήσουμε ως άξονα τον ψ αυτόν και τον Χ εκείνο. Συντομή τους, αναγκαστικά. Όχι αναγκαστικά, αλλά ναι, βολικά θα έλεγα. Και επομένως εδώ θα είναι 40 και το άλλο θα είναι 120. Ρίστα, πάρα πολύ ωραία ερώτηση. Λέει η συνάδελφος, γιατί ουσιαστικά λαμβάνεις υπόψη σου τις αποστάσεις από το κέντρο του πηγαδιού και δεν πας στην παρειά. Πολύ κρίσιμη η ερώτηση αυτή. Μετράμε τις αποστάσεις από το κέντρο του πηγαδιού που δρά μέχρι το εξεταζόμενο σημείο. Το εξεταζόμενο σημείο, και κατά τούτο έχει δίκιο η συνάδελφος, ότι το χ ψ που επισέρχονται σε όλους τους όρους αυτούς εδώ, θα πρέπει να είναι το χ και ψ κάποιου σημείου της παρειάς του πηγαδιού. Όχι το κέντρο του πηγαδιού, γιατί είναι το κέντρο του πηγαδιού, αυτός ο όρος θα έβγαζε μηδέν, λογάριθμος του μηδενός μειονάπηρο και έχετε γιαυρισούλες. Απλά έχει σημασία, λογιστική σημασία, υπολογιστική σημασία, να λάβουμε υπόψη μας τα χ και ψ μόνο όταν εξετάζουμε την επίδραση του πηγαδιού στον εαυτό του. Γιατί εδώ τελικά, αν πάμε σε οποιοδήποτε σημείο της παρειάς και να πάμε, θα βγάλουμε τελικά 0.25. Και προσέξτε το αυτό το σημείο πολύ, ας το σχεδιάσω εδώ, το ίδιο αποτέλεσμα βγαίνει, σε όποιο σημείο της παρειάσει και να πάμε. Είτε πάμε στο χβ συν ή πλυν την ακτίνα, είτε πάμε στο ψ β συν πλυν την ακτίνα. Εκείνο που θα ήταν λάθος, είναι να πάμε σε αυτό το σημείο. Να προσθέσουμε και στα δύο και κατά χεγια καταψή την ακτίνα. Γιατί πάγουμε να είμαστε στην παρειά του πηγαδιού, αλλά πάμε στην κορυφή του περιγραμμένου τετραγώνου. Εντάξει. Αν τώρα αυτή η απόσταση εδώ, αυτή η απόσταση ας πούμε του πηγαδιού αυτού, από εκείνο είναι 120 και 120, 240 μέτρα. Το 240 με το 240,25 και μάλιστα μέσα στο λογάριθμο που θα μπει τελικά, έχει ελάχιστη διαφορά. Άρα, στους όλους τους υπόλοιπους όρους μπορούμε να το αγνοούμε. Αν θέλετε κάντε και ένα… Αυτό που λέει ο συναδερφός επίσης είναι σωστό. Αν θεωρήσουμε τα κλασικά συμβατικά πηγάδια, σαν αυτά που ελπίζω ότι θα δούμε σε κάποια στιγμή που θα κάνουμε και ένα μάθημα εκτός τάξεως, που έχουν μια διάμετρο που μπορεί να είναι ένα, δύο μέτρα, τότε πράγματι έχει διαφορά. Αλλά αν σκεφτούμε ότι οι γεωτρήσεις έχουν ακτίνα τέτοιου τύπου, 0.20, 0.25, τότε πράγματι αυτή η διαφορά είναι αμελητέα. Όταν, δηλαδή, στα δεδομένα μας έχουμε μικρή ακτίνα, τότε μπορούμε να την αγνοήσουμε. Αλλιώς τύθεται ένα πρόβλημα και θα πρέπει να πάμε στη λεπτομέρεια για το ποια παρεία θα επιλέξουμε. Γιατί το επόμενο βήμα είναι να μου πει κανείς ότι εντάξει, εγώ θέλω να είμαι πολύ τυπικός και θέλω να λάβω υπόψη μου την παρεία. Δεν μπορώ, μπορείς, βεβαίως μπορείς. Δεν είναι λάθος. Και σε αυτόν εδώ τον όρο ότι να πάρεις 240, να πάρεις 240,25. Αλλά γιατί 240,25 και όχι 239,75, εντάξει. Κάντε τους υπολογισμούς, θα δείτε ότι τελικά η διαφορία ρα είναι ελάχιστη. Γιατί ο λογάριθμος δημιουργεί μια πρόσθετη απόσβεση της διαφοράς μεταξύ των δύο τιμών. Δεν είναι καν 0,5. Μπαίνει μέσα στο λογάριθμό αυτό. Σύμφωνοι? Αλλά αν όντως είχαμε πηγάδια όπως τα παραδοσιακά πηγάδια με μεγάλη ακτήμα, τότε θα έπρεπε να λάβουμε υπόψη μας αυτό εδώ το φαινόμενο. Άρα σε όλους τους υπόλοιπους όρους, μπορούμε να αγνοήσουμε την ακτήνα του πηγαδιού, εκτός από αυτόν εδώ τον όρο. Δεν θα ήταν λάθος να θεωρήσουμε ένα σημείο της παριάς. Δεν θα ήταν λάθος. Προφανώς δεν θα ήταν λάθος. Λοιπόν, αυτό εδώ, για να γράψουμε και κάποια νούμερα. Αυτό εδώ βγαίνει τελικά μειον κιού. Περισσότερο, ως πηγάδια είναι χρήσιμο όλα αυτά. Παράως, ραπιδοτράφη 2Κα, επιλογάριθμος 0,25 εδώ, η επίδραση του πηγαδιού στον εαυτό του, άρα πάμε στην ακτήνα, 240, 80 και 152,98. Σουστά ή όχι? Όχι, γιατί όχι? Όχι, όχι. 0,25 το πήραμε. Ξεχάστε την ακτήνα, το θέμα της ακτήνας τελείωσε. Γεωμετρία τώρα ρωτάω. 0,25 η επίδραση του πηγαδιού στον εαυτό του, 240 από εκείνη την εικόνα, 80 από την κάτω την εικόνα, αυτή είναι εδώ, και 152 από το τέταρτο πηγάδι. Βέβαιος, είναι 252,98. Προφανώς, αφού είναι υποτίνουσα του ορθογωνίου τριγόνου, θα είναι από τη μεγαλύτερη πλευρά. Και κάνοντας εν τέλει της πράξης, βρίσκουμε ότι οι πτώσεις τάθμις στην παριά του πηγαδιού, και αυτό είναι σωστό, μπορείτε να το υποληθεύσετε, 46,35 μέτρα. Υπάρχει κάποια απορία ως εδώ. Ας συζητήσουμε σύντομα και αυτήν εδώ, την άσκηση. Απλώς θα τη συζητήσουμε, της πράξης μπορείτε να την κάνετε μόνοι σας. Πάλι αρθογωνικό αγροτεμάχιο, α, β, γ, δ, έχει γίνει έναν δασμός και έχουν μοιράσει τα χωράφια σωστά, που φαίνεται σε κάτω στο σχήμα, λειτουργεί η γεώτρηση ε. Καλά να περάσεις. Λειτουργεί η γεώτρηση ε, που βρίσκεται στο μέσο του, και από την οποία αντλούνται 40 λίτρα το δευτερόλεπτο, για αρδευτικούς σκοπούς. Σε ποιο σημείο του αγροτεμαχίου πρέπει να γίνει μια δεύτερη γεώτρηση, από την οποία θα αντλούνται άλλα 25 λίτρα το δευτερόλεπτο, ώστε οι πτώσεις στάθμις στην παρειά της να είναι οι μικρότεροι δυνατοί. Πόσοι είναι αυτοί οι πτώσεις στάθμις σε συνθήκες μόνιμης ροής. Και δίνεται ότι η μεταφορικότητα του υποκείμενου υδροφορέα, το υποκείμενο σημαίνει αυτός που είναι από κάτω, δεν σημαίνει αυτό είναι υποκείμενο, ας πούμε, κακός άνθρωπος, έτσι, το υποκείμενο υδροφορέα είναι 0,02 μέτρα τετράγωματοδευτερόλεπτο, η ακτίνα της γεώτρησης 0,25 μέτρα και η ροή γίνεται παντού υποπίεση. Ας δούμε και το σχήμα. Είναι απλώς γυρισμένα τα όρια εδώ πέρα. Το ε είναι το σημείο, το μη ουσιαστικά, των διαγωνίων του ορθογωνίου. Εδώ είναι δεδομένη η θέση της γεώτρησης, αυτή την έχουμε ήδη. Βλέπουμε ότι αν αντλήσουμε παραπάνω από αυτό που αρχικά μας δίνεται, θα έχουμε κάποιο πρόβλημα, θα πέφτει πολύ η στάθμια, έχουμε κάποια λεφτά τώρα, αλλά ας κάνουμε άλλη μια γεώτρηση, να την έχουμε και καβάντσα, πιθανώς αν χαλάσει μια να έχουμε την άλλη. Υπολογίσαμε ότι για τις ανδευτικές μας ανάγκες θέλουμε άλλα 25 λεπτατοδευτερόλεπτο και σκεπτόμαστε, αυτό πρέπει σίγουρα να αποφασίσουμε εδώ πέρα, πού θα κάνουμε τη δεύτερη γεώτρηση, ώστε τελικά να έχουμε την μικρότερη πτώση στάθμη στην παρειά της, προφανώς για να έχουμε τελικά το μικρότερο κόσμος τετουργιές. Αυτό είναι το ζητούμενο. Για να ακούσω προτάσεις. Ας ξεκινήσουμε από εκεί, από την Αλλιάκη. Ορίστε. Στο δελτά, αιτιολόγηση της απόψης. Αιτιολογημένη ψήφος. Μάλιστα, υπάρχει κάτι άλλο που λάβατε υπόψη σας παρά αυτόν? Να είναι, κατά το δυνατόν, μακριά από το έψω. Εδώ, εφόσον υπάρχει και μια ακόμη γεώτρηση, πρέπει να λάβουμε και αυτή η υπόψη μας και να πάμε όσο μπορούμε πιο μακριά από αυτήν. Και εδώ, ως προς αυτό το κριτήριο, οι τέσσερις κορυφές του ορθογωνίου βγάζουν ισοπαλία. Άρα, λοιπόν, αν ήταν άπειρες οι δροφορές, θα λέγαμε σε οποιαδήποτε από τα α, β, γ, δ. Και αν έλειπε το αδιαπέρατο όριο, θα λέγαμε σε κάποιο από τα α και δ. Και αφού υπάρχει και το αδιαπέρατο όριο, τελικά μένει μόνο το δ. Εντάξει. Άρα, λοιπόν, απαντήσαμε στο βασικό ερώτημα. Τώρα, για να δούμε ποιο συνοτύπος πρέπει να χρησιμοποιήσουμε. Μας λέει πάλι ότι είναι ροή υποπίεση. Άρα, θα έχουμε αυτό εδώ. Και θα μου επιτρέψετε να κλέψω εν μέρη. Άρα, θα έχουμε έναν όρο που θα οφείλεται στη λειτουργία του πηγαδιού στο ε. Άρα, βάζω εδώ ε. Άρα, βάζω εδώ η επίδραση του πραγματικού πηγαδιού, το οποίο είναι πηγάδι άντλησης. Στον αριθμητή, τι άλλο θα έχουμε? Ως προς τα πρόσημα, εδώ γράφω το ε, ούτως ή τέλος. Ναι. Άρα, έχω το σ και το π, όπως στην προηγούμενη περίπτωση. Ποιο άλλο πηγάδι είναι άντλησης, ας το πω αλλιώς. Το πηγάδι που βρίσκεται εδώ κάτω. Άρα, αυτό πρέπει να είναι στον αριθμητή. Υπαγόρεψέ μου κιόλας. Δώσε μου σκονάκι. Αυτό που είναι στον αριθμητή, που είναι το πηγάδι άντλησης επίσης. Ωραία, ok. Και αντίστοιχα, τα άλλα δύο είναι φόρτισης. Αυτό παραμένει και εδώ πάει ανάποδα. Αυτό λοιπόν, πτάνει, είμαστε εντάξει? Ναι. Πολύ σωστά, θέλουμε και την επιρροή του Δ. Άρα, έχουμε ακόμη έναν τέτοιο όρο. Και εδώ δεν είναι πολύ απλό να κλέψω. Αναγκαστικά θα το ξαναγράψω. Αλλά η ομοιότητα είναι πλήρης. Φαίνονται αυτά? Ναι, όντως έχω. Και εδώ χ. Πού θα εφαρμόσω αυτόν τον τύπο, ποιο χ και ψ θα βάλω. Αν δεν απαντήσετε δεν θα τελειώσουμε το μάθημα. Ποια είναι το χ και ψ που θα βρει παντού. Ακριβώς, γενικώς θεωρητικώς η παριά του Δ, αλλά μπορούμε γενικώς να χρησιμοποιήσουμε το κέντρο του Δ, εκτός από αυτόν εδώ τον όρο. Άρα τελικά, αν κάνουμε την αντικατάσταση, θα βγει αυτό. Σας φαίνεται λογικό το αποτέλεσμα. Δηλαδή, ο όρος που οφείλεται στη λειτουργία του πηγαδιού ε, που έχει τη μεγάλη παροχή τα 40 λιτρα το δευτερόλεπτο, να επηγαρύνει τελικά λιγότερο το πηγάδι από τον όρο αυτό εδώ, που αντιστοιχεί στο πηγάδι Δ και έχει παροχή 25 λιτρα, 0,025, δεν ανάλογε της παροχής, η επίδραση κάθε πηγαδιού και της απόστασης. Παίζει ρόλο η παροχή, αλλά παίζει σημαντικότατο ρόλο, ακόμα και μες στο λογάριθμι, η απόσταση. Είναι λογικό, έστω και αν έχει λίγο μεγαλύτερη από τη μισή παροχή το Δ σε σχέση με το ε, αφού εξετάζουμε τι συμβαίνει στο πηγάδι Δ, να έχει μεγαλύτερη επίπτωση ή άντληση από το Δ. Γενικά, όταν δεν έχουμε τεράστιες διαφορές παροχών, τη μεγαλύτερη επίδραση σε κάποιο πηγάδι την έχει ο εαυτός του. Εντάξει, υπάρχει κάποια απορία έως εδώ. Αν δεν υπάρχει κάποια απορία, είστε ελεύθεροι από μένα.