Διάλεξη 10 / Διάλεξη 10 / σύντομη περιγραφή - Καρατζάς Κωνσταντίνος (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2015)
σύντομη περιγραφή: Παρακαλώ. Καλημέρα σε όλες και όλους. Χαίρομαι και πάλι που είσαστε εδώ, σε αυτήν την ωραία, ανοιξιάτικη μέρα. Σήμερα θα δούμε διαφορετικά πράγματα από την προηγούμενη φορά. Θα ασχοληθούμε με πιο αμυγώς υπολογιστικά θέματα και συγκεκριμένα θα μιλήσουμε με όρους αριθμητικών υπολογισμών. Θα ξεκινήσουμε με αριθμητική παραγώγηση και ολοκλήρωση. Μια διαδικασία που ακόμη δεν σας είναι γνωστή, μια και το πρώτο έτος δεν σας φέρνει άμεσα σε επαφή με τέτοιους προβλήματα. Όμως είναι υπολογιστικές διαδικασίες που τις χρησιμοποιούμε κατά κόρων και είναι εξόχως χρήσιμες. Θυμίζω ότι όταν έχουμε να υπολογίσουμε παράγωγο και ολοκλήρωμα, ξεκινούμε πάντοτε από την έννοια του υπολογισμού, ο οποίος και σε επίπεδο ορισμού έχει να κάνει με έναν προσεγγιστικό τρόπο προσεγγισης εδώ της παραγώγου μια συνάρτηση σε ορισμένη θέση. Θεωρώντας και πάλι ως ορισμό της συνάρτησης, τον κλασικό ορισμό του oil ως μια συνεχής καμπύλη, τότε η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης αυτής σε οποιοδήποτε σημείο εκφράζει, όπως γνωρίζουμε, την κλήση της καμπύλης αυτής. Η ιδιότητα είναι γνωστή και βέβαια κανείς θα αναρωτιέται, εφόσον γνωρίζουμε την ιδιότητα, εφόσον γνωρίζουμε αναλυτικές σχέσεις παραγώγησης, ποια είναι η αξία του να μιλήσουμε για υπολογιστικό, προσεγγιστικό, αριθμητικού τύπου υπολογισμό. Έχουμε τουλάχιστον δύο λόγους. Ένας είναι η περίπτωση όπου δεν έχουμε γνωστό τον τύπο της συνάρτησης. Έχουμε δηλαδή αριθμητικά τα δεδομένα τα οποία μπορεί να προκύψουν από ένα πείραμα, μια διαδικασία πάρα πολύ συνήθις, όταν κανείς εκπονεί πειράματα μέτρησης, παράδειγμα. Έχω ένα αυτοκίνητο πάνω σε μια πέδη και μετρώ, επιτάχυνση, επιβράδιση, εκπομπές καυσαερίων, υποδύναμη και τα λοιπά. Δεν έχω μια συνάρτηση η οποία να μου δένει, να συνδέει κάποια από τις παραμέτρους αυτές με τις υπόλοιπες. Έχω όμως ένα σύνδελο μετρήσεων, οι οποίες μπορεί να έρχονται με μια ακρίβεια ή μάλλον με μια διακριτότητα, χρονική λεπτού, δευτερολέπτου ή οτιδήποτε άλλο. Σε αυτή την περίπτωση δεν έχει νόημα η έννοια της παραγώγου, προφανώς. Πώς υπολογίζεται όμως? Είναι ένα ζήτημα. Μια δεύτερη περίπτωση είναι όπου έχω αναλυτικές σχέσεις ή έχω άλλους τρόπους, αλλά το υπολογιστικό κόστος είναι πάρα πολύ μεγάλο και εδώ μιλούμε για ένα κόστος χρόνου. Άρα λοιπόν, χρειαζόμαστε πάρα πολύ χρόνο. Έτσι, ας δούμε αυτό το παράδειγμα. Έστω ότι έχω μετρήσει θέσεις και χρόνος από την κίνηση ενός σώματος. Πάρα πολύ απλά. Έχω λοιπόν χρόνο μετρούμενο σε δευτερόλεπτα και θέση μετρούμενη σε μέτρα. Τυπική μορφή μετρήσεων. Θα μπορούσα να έχει οποιαδήποτε άλλη μορφή αυτό το σέντ μετρήσεων. Πώς μπορώ να υπολογίσω ταχύτητα και επιτάχυνση? Προφανώς και είναι χρήσιμο, προφανώς και είναι κέραιο. Τι μπορώ να κάνω? Αρχίζω να δουλεύω στη βάση εξισώσεων διαφορών. Έχοντας κατά νου το γεγονός ότι μεταξύ της ευτουχή και της ευτουχής in age όπου age μια μικρή διαφορά στην τεχνημένη, υπάρχει μια μεταβολή στην τιμή της συνάρτησης. Χρησιμοποιώ την ιδιότητα αυτή, ώστε προφανώς να πω ότι η τιμή της συνάρτησης στο χ συν age είναι ίση με την τιμή στο χ συν το age επί την πρώτη παράγωγο ως προς χ. Μια γνωστή προσεγγιστική σχέση και σε εσάς. Επιλήοντας λοιπόν ως προς ευτώνος, ως προς την πρώτη παράγωγο, καταλήγω να έχω μια σχέση η οποία επίσης είναι πάρα πολύ λογική, ότι η πρώτη παράγωγος, που είναι μια εφαπτομένη ουσιαστικά, είναι το f του χ συν age μίον το f του χ, άρα λοιπόν η απέναντι πλευρά, προς την προσκήμενη, προς age. Συν έναν όρο ακριβίας τον βαφτίζω εδώ μεγάλο όμικρο του age για να δείξω ότι το μέγεθος αυτού του όρου εξατάται από το age. Όσο μικρότερο είναι το age, όσο μικρότερο είναι αυτό το δήμα μεταβολής της τετνημένης, τόσο μικρότερο είναι αυτό το υπολοιπώμενο σφάλμα. Αυτή λοιπόν είναι μια γνωστή σχέση που μπορώ να τη χρησιμοποιήσω. Πώς θα μπορούσα να την υλοποιήσω προγραμματιστικά εδώ και να κάνω τον υπολογισμό μου. Θα το δούμε αμέσως μετά. Πρώτο όμως μπορούμε να δούμε μια διαφορά δεύτερης τάξης. Εάν η προηγούμενη είναι μια διαφορά πρώτης τάξης, την βαφτίζουμε διαφορά πρώτης τάξης, διότι έχει να κάνει με δύο τιμές και μόνο. Εδώ έχω μια διαφορά δεύτερης τάξης, η οποία έχει να κάνει με τη δεύτερη παράγωγο. Το γνωστό θεώρημα Taylor για την ανάπτυξη των συναρτήσεων ως άθρησμα όρων που εμπλέκει τις παραγώγους, μας λέει πάλι ότι η τιμή της συναρτήσης στο σημείο χ, είναι ίση με τη τιμή της συναρτήσης στο χ, σύν το γινόμενο του βήματος από την πρώτη παράγωγο στο χ, σύν το γινόμενο του H τετράγωνο διά δύο επί τη δεύτερη παράγωγο στο χ, σύν έναν όρο ο οποίος και πάλι είναι ανάλογος του H, εδώ H στην τρίτη, ο όρος του υπολυπώμενου σφάλματος. Κάνοντας την ίδια δουλειά για το H-H και προσθέτοντας καταμέλη, μπορώ να επιλύσω και ως προς H τόνος και ως προς H δύστονο, άρα και ως προς την πρώτη και ως προς την δεύτερη παράγωγο, πράγματα που αναλυτικότερα και συντεταγμένα θα τα κάνετε στο μάθημα της αριθμητικής ανάλυσης, εκεί θα ασχοληθείτε πάρα πολύ και με πεταρασμένες διαφορές, όπως εδώ, και τρόπους δικούς υπολογισμού. Καταλήγω σε αυτή τη σχέση. Προσέξτε, ποια είναι η διαφορά μεταξύ αυτής της σχέσης και της προηγούμενης. Αυτή είναι μια διαφορά, όπως τη λέμε, δεύτερης τάξης, όπου η πρώτη παράγωγος ορίζεται ως η τιμή της συνάρτησης στο H συν βήμα, συν H μειών την τιμή της συνάρτησης στο H μειών βήμα, άρα έχω δύο βήματα διαφορά στον παρονομαστή και τα βρίσκω όντως εκεί όπου τα περιμένω, ενώ η δεύτερη παράγωγος εμπλέκει και τον όρο 2FΧ. Έχω λοιπόν ένα συμμετρικό υπολογισμό της πρώτης παραγώγου εδώ, ενώ στην προηγούμενη περίπτωση έχω έναν προσταμπροστά τρόπο υπολογισμού, όπως λέμε. Έτσι δεν είναι, δηλαδή ξεκινά ο υπολογισμός από μία τιμή της H και πηγαίνει για κάθε H, άρα πηγαίνει προσταμπροστά. Εδώ έχω έναν συμμετρικό τρόπο υπολογισμού, όπου για να βρω την παράγωγο στο σημείο H χρειάζομαι, άρα πρέπει να έχω γνώση της τιμής της συνάρτησης και στο χιμιονέιτς και στο χισινέιτς. Το αποτέλεσμα είναι και στις δύο περιπτώσεις ο υπολογισμός της πρώτης παραγώγου. Βέβαια εδώ έχω παράξει και μία σχέση που μου δίνει τη δυνατότητα για να υπολογίσω τη δεύτερη παράγωγο. Πολλοί χρήσιμες αμφώτερες, διότι η πρώτη παράγωγος στο πρόβλημα στο οποίο βρισκόμαστε να θυμίσω έχω χρόνο και μετατόπιση μου δίνει την ταχύτητα, ενώ η δεύτερη παράγωγος μου δίνει την επιτάχυνση. Άρα λοιπόν, εάν εγώ επιστρέψω στα ρυθμητικά μου δεδομένα, όντως η πρώτη παράγωγος μου δίνει την ταχύτητα, χρησιμοποιώ τη σχέση που έχω διαθέσιμη για να κάνω τον υπολογισμό και θα δούμε πώς. Μπορώ να το κάνω και με τους δύο τρόπους. Και με την πρώτη σχέση και με τη δεύτερη σχέση. Πρώτης και δεύτερης τάξης υπολογισμό. Σας δείχνω τώρα, και εδώ θέλω λίγο την προσοχή σας, το πώς μπορεί να υλοποιηθεί. Από τη στιγμή που έχω ένα σύνολο από χρόνους σε στήλη, ή σε γραμμή όπως θέλετε, νοίστε το, και ένα σύνολο από μετατοπίσεις χ σε στήλη ή σε γραμμή, ουσιαστικά, τι κάνω, βρίσκω την διαφορά μεταξύ του κάθε χ, για κάθε χ συν H, βρίσκω τη διαφορά μεταξύ του F του, χ συν H μειών F του χ. Αυτό κάνω στον αριθμητή, και θα εξηγήσω γιατί, και διαιρώ με την αντίστοιχη χρονική διαφορά εδώ. Άρα λοιπόν, προσέξτε τι γίνεται, όταν έχω τα διαστήματα, όταν έχω το διάνυσμά μου χ, το οποίο φέρει τις τιμές χ1, χ2, χ10, και να το κάνω συγκεκριμένα με παράδειγμα, έστω ότι εδώ οι τιμές του χ είναι το 1, 2 και 10, τότε αυτό που θέλω είναι να υπολογίσω τη διαφορά μεταξύ της τιμής της συνάρτησης του F του χ συν H μειών F του χ και να διαιρέσω με το χρόνο. Αυτή η διαφορά βρίσκεται εδώ στον αριθμητή, και είναι ουσιαστικά τα στοιχεία του διανύσματος χ, ορίστε, τα οποία βρίσκονται από τη θέση 2 μέχρι το τέλος, από τη θέση 2 μέχρι το τέλος, όποιο κι αν είναι αυτό, 1 εδώ μπορεί να είναι το 10 στο παράδειγμα του πίνακα, οποιοδήποτε, διαιρούμενα με τα στοιχεία, μάλλον, από τα οποία φαιρούνται τα στοιχεία του χ, που βρίσκονται στη θέση από το 1 έως τέλος μειών 1. Άρα, από το 1 έως τέλος μειών 1. Άρα λοιπόν, τι έχω εδώ στον αριθμητή, έχω μια αφαίρεση στοιχείο προς στοιχείο, οπότε λοιπόν, η πρώτη πράξη, γράφω, λευκή κυμολία, εδώ έχω τα στοιχεία του χ, τα οποία βρίσκονται στη θέση 2 έως end. Και τα κίτρινα στοιχεία είναι τα στοιχεία του χ, τα οποία βρίσκονται στη θέση 1 έως end μειών 1. Η end, ως εντολή, δείχνει το πέρας του μήκους του διανύσματος. Άρα λοιπόν, όταν αφαιρέσω αυτά τα δύο διανύσματα, επειδή έχουν τον ίδιο αριθμό στοιχείων προφανώς, η αφαιρέση πώς γίνεται εδώ στοιχείο προς στοιχείο, θα αφαιρέσω το χ2 από το χ1, το χ3 από το χ2, το χ4 από το χ3, το χ5 από το χ4 και τελικά το χ10 από το χ9. Άρα, όντως, πετυχαίνω να υπολογίσω κάθε μία από τις διαφορές που θέλω στον αριθμητή. Και κάθε διαφορά, προσέξτε την τελεία εδώ, διαιρείται με την αντίστοιχη διαφορά χρόνου. Αυτές, λοιπόν, οι διαφορές στον αριθμητή διαιρούνται με τις αντίστοιχες διαφορές χρόνου στον παρονομαστή και παράγουν την U2F, είναι η πρώτη παράγωγος της μετατόπισης ως προς χρόνο, άρα εξ ορισμού η ταχύτητα, και εδώ χρησιμοποιώ τον συμβολισμό F για να χαρακτηρίσω προς τα μπροστά. Forward, προς τα μπροστά, υπό το λογισμό της ταχύτητας. Τώρα, αυτή είναι λοιπόν η σχέση, θυμίζω, όπου η V είναι ίση με D2x προς D2t και εδώ πρέπει να αφαιρέσω το x στις τιμές που φέρει η μετατόπιση προς τις τιμές του αντίστοιχου χρόνου, t i sin 1 ν t του i και εδώ ουσιαστικά x του i. Ο συμμετρικός τρόπος υπολογισμού δουλεύει διαφορετικά. Είναι αυτή η σχέση, όπου πρέπει να αφαιρέσω την τιμή x-h από την τιμή x-h. Άρα, πρέπει λίγο διαφορετικά να διαχειριστώ τα διανύσματά μου. Για αυτό το λόγο, προσέξτε, ξεκινώ από το 3 έως το end, εδώ, κόκκινη κυμολία, από το 3 έως το τέλος και αφαιρώ την κίτρινη κυμολία. Άρα, η κόκκινη κυμολία είναι x, τα στοιχεία του x από τη θέση 3 έως end, από τα οποία αφαιρώ μια παραλλαγή της κίτρινης κυμολίας, είναι το x του 1, end μειών 2. Άρα, λοιπόν, από το 3ο στοιχείο θα αφαιρέσω το 1ο, από το 4ο θα αφαιρέσω το 2ο, από το 5ο θα αφαιρέσω το 3ο μεταξύ αυτών των δύο και θα διαιρέσω με τους αντίστοιχους χρόνους. Με αυτόν τον τρόπο μπορώ να πετύχω τον συμμετρικό, Symmetric U, Symmetric υπολογισμό της ταχύτητας και, βέβαια, να κάνω τη γραφική παράσταση των δύο υπολογισμών για να δείξω τις ομοιότητες ή διαφορές. Βλέπετε με μαύρο να συμβολίζεται η ταχύτητα. Οριζόντιος άξονας, αναξάρτη μεταβλητή, χρόνος, κατακόρυφος άξονας. Θα ήταν το x, τώρα είναι το β, γιατί αυτό έχω υπολογίσει. Η ταχύτητα, λοιπόν, στην αρτύση του χρόνου και βλέπουμε ότι υπάρχουν μικρές διαφορές, αλλά ότι γενικά το μοτίβο είναι αρκετά ικανοποιητικό. Να, λοιπόν, πώς μπορώ να υπολογίσω αριθμητικά ένα μέγεθος, του οποίου την συνάρτηση που το εκφράζει δεν γνωρίζω. Και είναι η πρώτη φορά που βλέπουμε κάτι τέτοιο. Όπως είπα, θα το δείτε πάρα πολλές φορές και, αν θέλετε, μπορείτε να θεωρίσετε τέτοιούλους υπολογισμούς, ώστε να ανοίγει κανείς το παράθυρο και να ρίχνει μια κλευτεή ματιά μέσα στο τεράστιο σύμπαν των αριθμητικών μεθόδων. Όλα τα προβλήματα που έχουν να κάνουν με την πρόγνωση της ροής γύρω από κτέρυγα, με την πρόγνωση της αντοχής υλικών, με τα απαιδεία τάσεων εντός της μάζας ενός γραναζιού, με το τι συμβαίνει στην αεροτομή κτλ, επιλύονται με αριθμητικές μεθόδους. Άρα λοιπόν, για αυτούς που θα ασχοληθούν, αυτό θα είναι το, επιτρέψτε μου να πω, το ξωμοτήρι τους. Από εκεί και πέρα, με όμοιο τρόπο υπολογίζω και την επιτάχυνση. Η επιτάχυνση είναι η δεύτερη παράγωγος της μετατόπισης ως προς τον χρόνο, ή η πρώτη παράγωγος της ταχύτητας ως προς τον χρόνο. Κάνω τα ίδια λοιπόν, είτε στη σχέση της ταχύτητας, είτε στην αρχική σχέση. Εφαρμόζω αυτήν εδώ την εξίσωση, όπου στα στοιχεία του διανύσματος που βρίσκονται στη θέση χ συν αιτς, από τα στοιχεία του διανύσματος που βρίσκονται στη θέση χ συν αιτς, αφαιρώ δύο φορές την τιμή των στοιχείων που βρίσκονται στη θέση χ, και προσθέτω το στοιχείο που βρίσκεται στην χ μιον αιτς. Από τρία έως τέλος, άρα ξεκινώ από το τρίτο στοιχείο, θα αφαιρέσω το διπλάσιο του δεύτερου στοιχείου που βρίσκεται στη μέση και θα προσθέσω το πρώτο στοιχείο. Και αυτό θα το κάνω για κάθε στοιχείο από την αρχή μέχρι το τέλος. Και θα διαρρέσω με τον αντίστοιχο χρόνο. Βλέπω λοιπόν εδώ και την επιτάχυνση. Και μπορώ να παρατηρήσω ότι δεν θα βάλω δυστυχώς ταχύτητα και επιτάχυνση μαζί, αλλά όπως μπορείτε να υποκτεφθείτε από το διάγραμμα της ταχύτητας, που αναμένω να έχω τη μέγεστη επιτάχυνση εκεί όπου η κλήση της ταχύτητας μεγιστοποιείται. Έτσι δεν είναι. Και εκεί όπου μεταβάλλεται πάρα πολύ η κλήση. Άρα σε αυτά τα σημεία περιμένω να έχω πολύ μεγάλες επιταχύνσεις. Και έτσι λοιπόν μπορώ με τη βοήθεια αριθμητικών μεθόδων να υπολογίσω κέρια σημασίας μεγέθη. Αφενός στην ταχύτητα φετέλου την επιτάχυνση αυτό θα μπορούσε να είναι για παράδειγμα τι? Θα μπορούσε να είναι η μέτρηση της μετατόπισης μιας ανάρτησης συναρτήση του χρόνου. Έτσι δεν είναι. Από τη στιγμή λοιπόν που έχω αυτή τη μέτρηση χρειάζομαι δύο μεγέθη αφενός στην μεγεύστη ταχύτητα η οποία εξαρτάται άμεσα με την άνεση του επιβάτη του αρχήματος που φέθη την ανάρτηση αυτή, αλλά επίσης και την επιτάχυνση η οποία επίσης συναντάται πάρα πολύ με την άνεση του και όχι μόνο. Αναφέρουμε στον ανθρώπινο παράγοντας, τον χρήστη της κατασκευής. Μας ενδιαφέρουν όμως και τα δυναμικά χαρακτηριστικά της κατασκευής. Η μέτρηση ταχύτητας και οι μέγευσες ταχύτητες επηρεάζουν τα δυναμικά χαρακτηριστικά δηλαδή τον τρόπο με τον οποίο συμπεριφέρεται η κατασκευή καθώς ο χρόνος κυλά. Ερώτημα. Εδώ. Εδώ. Για να το δω λίγο. 2 έως end, 1 έως end. Αυτό το στοιχείο της ύψωσης στο τετράγωνο, κάποιες φορές το εμφανίζω σε υπολογισμούς, εσείς αφαιρέστε το. Εφόσον βασιζόμαστε σε αυτή εδώ τη σχέση, τότε θεωρείστε ότι δεν ισχύει εδώ. Γενικότερα ισχύει, αλλά ας μην επεκταθούμε για τους λόγους για τους οποίους θα μπορούσε να ισχύει. Εφόσον βλήδαμε ένα παράδειγμα απαραγώγησης, μπορούμε να δούμε και ένα παράδειγμα αριθμητικής ολοκλήρωσης. Εδώ, πάλι, όμια προβλήματα. Έχω πολλές φορές μετρήσεις όπου έχω τις αναλυτικές μου τιμές, αλλά όχι τη συνάρτηση από τις οποίες προέρχονται. Και βέβαια τα ορισμένα ολοκληρώματα πάντοτε εκφράζουν ένα εμβαδό κάτω από την καμπύλη και έχω προσεγγιστικούς τρόπους υπολογισμού, μήθως, και το έχουμε δει ήδη στη μέθοδο του τραπεζίου, χωρίζουμε την επιφάνεια κάτω από την καμπύλη σε επαρκώς μικρές υποεπιφάνειες, των οποίων το άθρισμα δίνει, κατά προσέγγιση, το εμβαδό που ψάχνουμε. Γιατί τώρα, διότι πολύ απλά πολλά ολοκληρώματα δεν μπορούν... Κοιτάξτε ένα παράδειγμα εδώ. Έχω τη συναρτήση Humps. Αυτή είναι μία από τις συναρτήσεις που περιέχει το MATLAB για λόγους επίδειξης διαφόρων πραγμάτων. Ένα χαρακτηριστικό της είναι ότι έχει ένα πολύ μεγάλο peak, έχει ένα μέγιστο. Κοιτάξτε την αναλυτική της σχέση. Δεν είναι εύκολα ολοκληρώσιμο αυτό, έτσι δεν είναι. Γενικά γνωρίζετε ότι όταν έχω συναρτήσεις που στον παρανομαστή τους έχω πολύ όνειμα, η ολοκλήρωση είναι κοπειώδης και πολλές φορές ανεπιτυχής, έτσι δεν είναι. Πώς λοιπόν μπορώ να υπολογίσω εγώ κάτι τέτοιο. Πώς μπορώ να υπολογίσω το ολοκλήρωμα. Σκεφτείτε ότι πάλι αυτό είναι η απόκριση σε ένα σήμα. Θα μπορούσε να είναι ας πούμε μια θερμοκρασιακή μεταβολή ως προς το χρόνο. Θα μπορούσε να είναι η μετατόπιση ως προς το χρόνο. Άρα θα ήθελα να υπολογίσω ένα γινόμενο που να μου δείχνει το έργο αυτής της δύναμης, ότι είναι δύναμη. Μπορώ λοιπόν να το χωρίσω σε νητραπέζια, η προσέγγιση που έχουμε δει στην μέθοδο του υπολογισμού ολοκληρωμάτων και το εμβαδό είναι, κάθε στραπέζιο μπορούμε να θεωρήσουμε ότι έχει πλάτος x1-x και ότι έχει το αντίστοιχο ύψος. Οπότε λοιπόν έχω μια απλή σχέση η οποία μου δείχνει τα εμβαδά. Αθροίζω όλα τα εμβατά και υπολογίζω το συνολικό. Για να το κάνω λοιπόν αυτό, έχω όλες τις σχέσεις. Το ολοκλήρωμά μου δεν είναι τίποτα άλλο παρά το άθροισμα τελικά, όλων αυτών των στοιχειωδών εμβαδών που μεταφράζεται στο h δεύτερα επί την τιμή της συνάντησης το x1 συν δύο φορές x2, συν συν συν δύο φορές το xν συν ευ του x1. Εάν λοιπόν έχω αυτή τη σχέση και θέλω να την προσέξουμε, διότι με κάποιον τρόπο πρέπει να την μεταφράσουμε σε κώδικα, πρακτικά θα πρέπει να μπορώ να υπολογίσω το εμβαδό με μεγάλη ακρίβεια. Για να το δούμε λοιπόν, χρειάζομαι αυτό εδώ το άθροισμα. Αφού χρειάζομαι το άθροισμα μπορώ να χρησιμοποιήσω την Σαμ. Ποιο πράγματος, προσέξτε μπορώ να πολλαπλασιάσω, θεωρώ ότι όλα τα στοιχεία του άθροισματος είναι τιμές της συνάρτησης του x1, x2, xν, xν συν 1, πολλαπλασιαζόμενες όλες πριν της πρώτης και της τελευταίας με το 2. Έτσι δεν είναι, είναι 1 επί ευ του x1, συν 2 επί ευ του x2, συν 2 επί ευ του x3, κτλ. Άρα, εάν φτιάξω ένα διάνυσμα με τιμές 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1 κτλ μήκους, ν συν 1. Και το πολλαπλασιάσω, στοιχείο προς στοιχείο, με το διάνυσμα των τιμών της συνάρτησης, ευ του x1, ευ του x2, ευ του xν συν 1, έχω πετύχει τον όρο που θέλω. Αυτό λοιπόν θα το χρησιμοποιήσω προγραμματιστικά και θα υλοποιήσω τον υπολογισμό. Θα μου πείτε, θα χρειαστεί να τα κάνω όλα αυτά, ας το πούμε πολύ απλά με το χέρι, ευτυχώς για εμάς, έχουν ήδη γίνει. Τι εννοώ, έχουν ήδη δημιουργηθεί συναρτήσεις σε MATLAB και Octave, οι οποίες μας δίνουν τη δυνατότητα υπολογισμού, με διαφόρους τρόπους βαδών, με τη μέθοδο τραπεζίου, με τη μέθοδο Simpson, με διάφορες μεθόδους. Εδώ λοιπόν, εάν ορίσουμε, τη συνάρτησή μας είναι η HAMPS, σας δείχνω το τι θα δείτε, εάν πάτε να την ανοίξετε, να πω ότι στη βασική έκδοση Octave, Octave UPM που έχουμε στην ισύρα, δεν υπάρχει αυτό το παράδειγμα της HAMPS. Αν την ανοίξετε στο MATLAB θα δείτε το περιεχόμενό της, ορίζεται με βάση τη σχέση που έχουμε δει. Τότε πρακτικά, η κλήση της συνάρτησης γίνεται ως εξής, το όνομα της συνάρτησης ολοκλήρωσης, trapezoid rule, πρώτο όρισμα, το όνομα της συνάρτησης που θέλουμε να ολοκληρώσουμε, εδώ με ένα χειριστήριο συνάρτηση, το add σαν σύμβολο που σημαίνει add my file, σημαίνει ότι έχω ένα χειριστήριο συνάρτησης, δηλαδή εισάγω ως όρισμα, χειρίζομαι ως στοιχείο του ορίσματος, το όνομα ενός αρχείου που τι έχει μέσα του, την συνάρτηση. Και μετά μπορώ να του δώσω τα όρια ολοκλήρωσης και τον αριθμό των διαστημάτων που θα χρησιμοποιήσει για να κόψει αυτό το μεγάλο εμβαδό σε στοιχειώδη εμβαδά και να κάνει την άθληση. Οπότε λοιπόν μπορώ μάλιστα να τη φτιάξω αυτή τη συνάρτηση, αν θέλω. Εδώ έχω την συνάρτηση την τράπεζο Εντρούλ που την έχω φτιάξει εγώ, χωρίζω το χ με τη χρήση της λάινσπης, στενή ισοδύναμα τμήματα από το α έως το β, δημιουργώ δηλαδή ένα διάνισμα χ με τιμές από το α έως το β που εισαπαίχουν και που συνολικά αριθμούν μη διαστήματα, αυτό κάνει λάινσπης. Το χ είναι το βα διανή, η οριζόντια διεκτητότητα. Το σ είναι η οάνς, δημιουργώ αυτό το διάνισμα όρων που θα το χρησιμοποιήσω για να πλαμπλασιάσω μετά με τις συναρτήσεις και αθρίζω μετά τους όρους του γυνομένου που προκύπτει από το πλαμπλασιασμό του αθρίσματος των όρων της συναρτήσεις με τις τιμές της συναρτήσεις. Η μέθοδος Σίμψον βασίζεται σε μια αντίστοιχη διαδικασία, απλά η ώρα είναι διαφορετική για λόγους που θα δείτε στο μάθημα της αριθμητικής ανάλυσης, έχω δηλαδή συντελεστές 4, 2 κτλ και μπορώ να τη χρησιμοποιήσω και αυτή, αλλά σας είχα πει ότι το MATLAB έχει εγγενεί συναρτήσεις ολοκλήρωσης, ποια μπορεί να είναι αυτή? Μία είναι η QUAD, η οποία ουσιαστικά δεν είναι μία μέθοδος, είναι ένα σύνολο από μεθόδους, θα πρέπει να το διευκρινήσω αυτό. Όταν χρησιμοποιούμε την QUAD, το MATLAB αποφασίζει ποιον αλγόριθμο θα χρησιμοποιήσει, ανάλογα με το τι είδους ολοκλήρωμα θέλει να του ζητούμε να υπολογίσει και παίρνει ως όρισμα τη δημή της συναρτήσης και τα όρια του ολοκληρώσματος, μπορούμε δε να του ορίσουμε και την ακρίβεια ολοκλήρωσης ως TOLERANCE. Αν λοιπόν χρησιμοποιήσω την εγγενεί συναρτήση HAMS, εδώ την εισάγω όχι με τη βοήθεια εχειριστηρίων, αλλά με τη βοήθεια εισαγωγικών ως όνομα συναρτήσης. Εκτός αυτών, τι άλλο μπορώ να κάνω? Άρα μπορώ να κάνω αριθμητική παραγώγηση, μπορώ να κάνω αριθμητική ολοκλήρωση με πάρα πολλούς τρόπους, μπορώ να κάνω συμβολικά αυτά τα στοιχεία, παραγώγηση και ολοκλήρωση. Όπως όλοι θυμόμαστε, μέρος της εκπαίδευσής μας είναι το να κάνουμε και υπολογισμό γενικών παραγώγων και όριστον ολοκληρωμάτων, έτσι δεν είναι. Και βέβαια εκεί έχουμε μάθει ένα σύνολο από κανόνες, όπως επίσης και από τεχνικές. Μπορούμε να κάνουμε κάποια τέτοια πράγματα με μάθειλα? Έχω δύο συμβολικές συναρτήσεις, οι οποίες μου δίνουν τη δυνατότητα να κάνω συμβολική παραγώγηση, δηλαδή να κάνω παραγώγηση και ολοκλήρωση, χωρίς να έχω ορίσει αριθμητικού διεχόμενου σε συναρτήση. Δείτε το εξής παράδειγμα, εάν γράψετε diff, differentiate σημαίνει, και μέσα σε παρένθεση βάλετε σε εισαγωγικά την παράσταση που θέλετε να παραγωγήσετε, εδώ η μύτωνο του χ, η απάντηση που θα πάρετε θα είναι η πρώτη παράγωγος του μυτώνου του χ. Εάν μετά βάλετε κόμμα 2, θα πάρετε τη δεύτερη παράγωγο, κόμμα 10 την δέκατη παράγωγο, κόμμα 18 την δέκατοι παράγωγο. Και βλέπω ότι κάποιοι πανηγυρίζουν διότι έχουν παιδευτεί. Ναι, όλοι περάσαμε από αυτό το στάδιο και ήταν ένα απαραίτητο στάδιο. Δεν κάνει θαύματα, δεν τα κάνει όλα, αλλά κάνει όλες τις βασικές παραγωγήσεις. Και το ίδιο σημαίνει με τα ολοκληρώματα. Άρα, λοιπόν, αν θέλεις το ολοκλήρωμα του μυτώνου χ, το αόριστο, ή αν θέλεις το ορισμένο ολοκλήρωμα του μυτώνου χ από 0 έως 2, έχεις μια σχέση. Και μάλιστα η evaluate μπορεί να σου δώσει και την τιμή, να κάνει και τον υπολογισμό. Έτσι, λοιπόν, έχουμε ένα σύνολο από συναρτήσεις και από εργαλεία που μας δίνουν τη δυνατότητα αφενός να κάνουμε αριθμητικές παραγωγήσεις και ολοκληρώσεις και όπως ίσως θα υποκτεύεστε και πολλά άλλα πράγματα σε επίπεδο αριθμητικών υπολογισμών, όπου συμβολικά να χειριστούμε συναρτήσεις και να κάνουμε παραγώγηση και ολοκλήρωση. Μπορώ δεν να πω ότι σε επίπεδο παραγώγησης και ολοκλήρωσης μπορείτε να βρείτε και online εργαλεία πέραν του MATLAB τα οποία κάνουν εξαιρετική δουλειά. Ας πούμε η μαθημάτικα ή το μαθημάτικα έχει online ένα εξαιρετικό εργαλείο για παραγωγήσεις και ολοκληρώσεις που πρέπει να το δοκιμάσετε κάτω από αντίξοες συνθήκες να του δώσετε να παραγωγήσει το X στην X στην X στην X ας πούμε συναρτήσεις τις οποίες έχουν πολυκλοκότητα και στοιχεία εν γενός δύσκολα. Αλλάζω διαφάνειες γιατί τα επόμενα βρίσκονται σε άλλο σημείο διότι αμέσως μετά θα δούμε αυτό που εδώ ονομάζω MATLAB για καθημερινή χρήση με πάλι στοιχή αριθμητικής παραγώγησης και ολοκλήρωσης γιατί MATLAB για καθημερινή χρήση. Κοιτάξτε, ο φοιτητής μηχανικός αντιμετωπίζει καθημερινά στις σπουδές του την ανάγκη του να κάνει διάφορους υπολογισμούς από το να επιλύσει μία εξίσωση μεγάλου βαθμού, από το να βρει ένα πολυόνυμο το οποίο θα ταιριάζει σε μετρήσεις που του έχουν δώσει από ένα εργαστήριο, από το να επιλύσει ένα σύστημα εξισώσεων το οποίο αντιπροσωπεύει για παράδειγμα δυνάμεις και ροπές σε ένα δικτύωμα. Όλα αυτά είναι πράγματα τα οποία πρέπει να τα θεωρούμε στις σπουδές μας, εξόχως συνηθισμένα και καθημερινά, διότι έτσι είναι. Άρα πώς είναι δυνατόν να περάσουμε από μία διαδικασία ενός εξαμηνιαίου μαθήματος όπως η πληροφορική και να μην έχουμε στις αποσκευές μας στο τέλος του εξαμήνου εργαλεία τα οποία να μας δίνουν τη δυνατότητα να κάνουμε τέτοιου είδους εργασίες εύκολα άμεσα και χωρίς κόπο. Και βέβαια δεν μπορούμε πλέον να δουλεύουμε με το χέρι αφενός, δεν μπορούμε να βασιστούμε σε απλά λογιστικά φύλλα τύπου Excel, όπου το επίπεδο προγραμματισμού που μπορεί να επιτευχθεί είναι μικρότερο, εκτός αν κανείς κάνει πραγματικά πολύ μεγάλη χρήση των δυνατοτήτων που δίνει το Excel, αλλά αυτό είναι μια άλλη ιστορία, και τα εργαλεία οπτικοποίησης και ανάλυψης είναι επίσης πολύ λιγότερα. Στη βάση αυτού, λοιπόν, θα ήθελα να δούμε μαζί και κάποια πράγματα περισσότερα. Σας είχα μιλήσει για τον συμβολικό υπολογισμό παραγώγων και συναρτήσεων. Πώς μπορεί να συμβεί αυτό? Κοιτάξτε, στο MATLAB εκτός από το να ορίσω μεταβλητές και να τους αποδώσω τιμές, να τους αναθέσω τιμές, μπορώ να τις ορίσω σαν συμβολικές με τη χρήση της εντολής Sims. Sims, λοιπόν, xα σημαίνει ότι ορίζω της x και της α συμβολικές μεταβλητές. Και έτσι, λοιπόν, μπορώ να τις χρησιμοποιήσω όταν κάνω συμβολικό υπολογισμό, ας πούμε, παραγώγων ή ολοκληρωμάτων. Κοιτάξτε λίγο μερικά παραδείγματα. Μέσ' ότι έχω τη συναρτήση ψ 4x5, ορίζω την x ως συμβολική μεταβλητή και την ψ στη βάση της σχέσης που μου έχουν δώσει. Εάν θέλω να βρω την πρώτη παράγωγω της ψ, θα χρησιμοποιήσω την εντολή diff της ψ. Η απάντηση θα είναι 20x4 η αναμενόμενη. Θα μπορούσα αυτό να το κάνω και διαφορετικά, να βάλω απευθείας ως όρισμα μέσα στην εντολή diff, την σχέση που εκφράζει την συναρτήση που θέλω να παραγωγήσω. Επίσης, θα μπορούσα να βαφτίσω ως συναρτήση τη σχέση ανάμεσα σε ισαγωγικά. Είναι ο λεγόμενος in-line τρόπος, δηλαδή βάζω ανάμεσα σε ισαγωγικά την παράσταση που δείχνει το περιεχόμενο της συναρτήσης και τη χρησιμοποιώ. Και στις τρεις περιπτώσεις θα πάρω την παράγωγω που θέλω. Και βέβαια, μία και έξω μπορώ να το γράψω με αυτόν τον τρόπο. Ανάλογα δουλεύω και στην περίπτωση των ολοκληρωμάτων. Κοιτάξτε λίγο, θέλω να βρω το ολοκλήρωμα της συναρτήσης x, η ποιημή, τον x ως προς x. Θα γράψω λοιπόν sim-x, ώστε να του πω ότι, ακού να δεις από εδώ και πέρα, μην περιμένεις αριθμητικό ή άλλο περιεχόμενο για τη x. Σύμβολο είναι. Και χρησιμοποιώ την συναρτήση int, integral, με τον εξής τρόπο, μέσα στην παρένθεση πρώτο όρισμα, η τιμή, η παράσταση της συναρτήσης που θέλω να ολοκληρώσω και μετά το κόμμα, η μετρική, ως προς την επία θέλω να ολοκληρώσω. Γιατί μπορώ να κάνω και περισσότερα πράγματα. Δοκιμάστε να είναι συναρτήση δύο μεταβλητών, τριών μεταβλητών, να δείτε τι γίνεται. Διότι είσαστε τώρα στη φάση που κάνετε συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Και βέβαια η απάντηση εδώ θα είναι η αναμενόμενη, η μη τον x πλιν x κοζινους x. Θα μου κάνει λοιπόν την ολοποίηρωση επευθείας. Και αν θέλω να ελέγξω την απάντηση, επειδή η προηγούμενη ανατέθηκε στην answer, δεν είναι κάθε απάντηση στα MATLAB αν δεν ανατεθεί από εμάς κάπου μεταβλητή answer. Άρα η μεταβλητή answer έχει αυτό το περιεχόμενο συμβολικό, το μη τον x μιον x κοζινους x. Οπότε λοιπόν, αν διαφορήσω, αν παραγωγήσω την answer ως προς x, θα πρέπει να βρω την αρχική μου. Και όντως έτσι συμβαίνει. Ομοίως με ορισμένα ολοκληρώματα. Άρα έχω εδώ το x στην 2,45. Θα μου πείτε ότι μέχρι στιγμής, τουλάχιστον στα ηλικιακά μας χρόνια, δεν συναντήσαμε συναντήσεις που να έχουν πολυονημικό χαρακτήρα. Να σχολιάσω, επιτρέψτε μου μόνο αυτό. Και ο εκθέτης της ανεξάτης μεταβλητής να μην είναι ακέραιος αριθμός. Πώς είναι δυνατό να προκύψει αυτό. Όπως θα δείτε σε πολλά από τα αντικείμενα των σπουδών στο τμήμα μας, και όχι μόνο, είναι πάρα πολύ σύνηθες αυτό. Να συναντάτε συναντήσεις του τύπου x στην μίον 8,2, επί υπερβολική εφαπτωμένη του x δεύτερα κτλ. Και αν θα αναρωτιέστε πώς προέκλειψαν όλα αυτά, θα το δείτε στην πορεία. Προκύπτουν απομετρήσεις από υπολογισμούς και από προσεγγίσεις. Άρα χρειαζόμαστε εργαλεία διαχείρισης και υπολογισμού για τέτοιου είδους συναρτήσεις. Και σας το λέω αυτό, διότι γνωρίζω πως ένα από τα βασικά ερωτήματα του φοιτητή, που έρχεται σε επαφή με αντικείμενα του πρώτου και όχι έτους στο τμήμα μας και όχι μόνο, είναι το «όλα καλά, αλλά θα μου χρειαστούν όλα αυτά». Προφανώς θα χρειαστούν αφενώς σαν εργαλεία, αλλά πολύ περισσότερο θα χρειαστούν σαν τρόπο σκέψης. Μαθηματικοποιούμε τα πάντα. Δεν υπάρχει τρόπος να ξεφύγουμε από την πραγματικότητα του μηχανικού. Η πραγματικότητα του μηχανικού μιλά μαθηματικά. Εδώ λοιπόν, έχουμε ένα ολοκλήρωμα, το οποίο υπολογίζεται ως 20x69 x 69x20 και αν θέλω να βρω, προσέξτε τώρα, την τιμή του ολοκληρώματος αυτού μεταξύ του διαστήματος 0% ίδου η επάντηση, το αριθμητικό αποτέλεσμα. Στη βάση όλων αυτών, προφανώς μπορώ να κάνω και αριθμητικές παραγωγήσεις, όπως είχαμε δει πιο πριν με την χρήση της DIF. Η λογική είναι ότι η πρώτη παράγωγος είναι περίπου ίση με τον λόγο των διαφορών. Αυτή η σχέση είναι επιρρεπής σε λάθη για διάφορους λόγους που θα δείτε και μαζί θα δούμε λίγο καλά, θα δείτε και μόνοι σας αργότερα. Εάν, για παράδειγμα, έχω τη Ι και Ψ που έχουν οριστεί σε μη συν ένα σημεία και το διανύσμα Υ ορίζεται με μη στοιχεία ως ακολούθως, το Ι1, Ι2, μη Ψ1, το Ι2, Ψ3, μη Ψ2. Έχω δει λοιπόν όλες τις διαφορές μεταξύ αυτών. Τότε ο υπολογισμός του διανύσματος Υ γίνεται στη βάση αυτής της παραγώγησης και μπορώ να κάνω και τον αριθμητικό υπολογισμό της παραγώγου ως την διαφορά στην αναριθμητή προς μια διαφορά των Ι στον παρονομαστή. Να δούμε ένα παράδειγμα εδώ, γιατί πιστεύω ότι το παράδειγμα θα κάνει την όλη διαδικασία πιο κατανοητή. Σκεφτείτε ότι θα ήθελα εγώ να έχω 11 σημεία πάνω σε κύκλο. Έχω λοιπόν έναν κύκλο. Έχω 11 σημεία πάνω στον κύκλο. Και θέλω να υπολογίσω την πρώτη παράγωγο της ψήσων ημίτων Ι σε αυτά τα 11 σημεία. Πρώτη μου δουλειά να δημιουργήσω το διανύσμα των Ι, των τιμών της ανεξάρτητης μεταβλητής. Πώς μπορώ να το κάνω. Έχω 11 ισαπέχοντα θεωρώ εδώ σημεία. Άρα χώρισε μου ζητό με τη line space το διάστημα από 0 έως 2B σε 11 ισαμέρη. Με αυτόν τον τρόπο θα παραχθεί έναν διανύσμα Ι με αυτές τις τιμές. Υπολόγησε μου την ψή για κάθε ένα από αυτά τα σημεία. Αμέσως μετά υπολόγησε μου το ΔΕΛΤΑΧΗ. Το οποίο εδώ, επειδή είναι 10, είναι 11 σημεία τα οποία πόσα διαστήματα ορίζουν. Τα σημεία είναι 11. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. 11 σημεία πόσα διαστήματα ορίζουν. 10 πάντα, έτσι. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Ορίστε. Αν έχω λοιπόν, δεν παρακολουθείτε, είναι η κλασική μέθοδος αυτή. Κάνεις λάθος και προσπαθείς να δεις αν θα παρακολουθήσει κανείς τελικά πόσα σημεία χωρίζουν 11. Πόσα διαστήματα χωρίζουν 11 σημεία. Στην ευθεία πρώτα, έτσι. Για να το δούμε. Έχω μια ευθεία. Ευθεία. Μην πάμε σε 11, ας πάμε σε λιγότερα. Έχω τρία σημεία, έτσι. Άρα τα τρία σημεία ορίζουν δύο διαστήματα. Σωστά. Τα τέσσερα σημεία ορίζουν τρία διαστήματα. Άρα τα 11 σημεία ορίζουν 10 διαστήματα. Στον κύκλο τώρα τι γίνεται. Τι γίνεται στον κύκλο, τι συνέβη, τι συμβαίνει πάλι. Έχω βάλει 11 σημεία ή 12 ή 10. Μετρώ. Σημείο 1, σημείο 2, σημείο 3, σημείο 4, σημείο 5, σημείο 6, σημείο 7, σημείο 8, σημείο 9, σημείο 10, σημείο 11. Ωραία. Άρα έχω πρώτο, δεύτερο, τρίτο, τέταρτο, πέμπτο, έκτο, έβδομο, όκδο, ένατο, δέκατο, ενδέκατο τόξο. Για ποιον λόγο. Διότι σε αντίθεση με την ευθεία ο κύκλος έχει την ίδια αρχή. Άρα δεν χρειάζεσαι δύο σημεία για να καθορίσεις την αρχή και το τέλος του διαστήματος που χωρίζεις σε εις αμέρι. Ένα σημείο χρειάζεται. Ένα σημείο ορίζει αρχή και τέλος. Άρα, έντεκα, έτσι. Οπότε εδώ, τι έπρεπε να βάλω εγώ, έντεκα, έτσι. Κάτω τα άλλα, μπορώ αν θέλω να το χωρίσω σε όσα θέλω πρώτα απ' όλα, έτσι. Εδώ το χώρισα σε δέκα, κανένα πρόβλημα. Τι εννοώ, χρησιμοποιώ ένα δέλφα χ συγκεκριμένου. Εγώ εκεί και πέρα βρίσκω τις διαφορές και πλωτάρω, αυτό που με ενδιαφέρει, τη γραφική παράδειση. Τι μου δείχνει αυτό? Αυτό μου δείχνει την πρώτη παράγωγο της Σιμήτων, όχι, πάνω σε έναν κύκλο. Όταν, λοιπόν, θα κάνετε ταλαντώσεις και δυναμικοί, θα δείτε ότι επειδή η πρώτη παράγωγος της Σιμητώνου μας δείχνει την ταχύτητα σε συγκεκριμένα σημεία, αυτό το διάγραμμα θα ξαναθάνιστεί μπροστά σας. Είχαμε δει παραδείγματα αριθμητικής παραγώγησης. Ας δούμε πώς μπορούμε να κινηθούμε στην περίπτωση της ολοκλήρωσης. Εδώ τα πράγματα είναι κάπως διαφορετικά. Έχουμε τουλάχιστον δύο, αυτούς θα παρουσιάσω εδώ, τρόπους αριθμητικής ολοκλήρωσης μηδενικής τάξης και πρώτης τάξης ή με το κανόνα τραπεζίου. Την προσοχή σας. Έστω ότι έχω ένα διάνυσμα χ και ένα διάνυσμα τίμων ψ. Ν η στοιχεία το καθένα. Άρα έχω το διάνυσμα με τις τιμές χΙ, ΆΙ από 1 έως ν, και ψΙ, ΆΙ, ίσον 1 έως ν. Κάθε στοιχειώδες εμβαδό προφανώς ορίζεται ως το γινόμενο του ψΙ, όπου ψΙ το διάνυσμα των τιμών της συνάρτησης προς δΕΛΤΧΙΕΝΑ, έτσι δεν είναι. Λοιπόν, εάν έχω μια συνάρτηση αυτού του τύπου και έχω τις ν τιμές ψΙΕΝΑ, ψΙΝΗ και τις αντίστοιχες τιμές ΧΙΕΝΑ, ΧΙΝΗ, τότε ψΙΕΝΑ επί ΔΕΛΤΧΙΕΝΑ είναι το πρώτο στοιχειώδες εμβαδό, ψΙΔΙΟ επί ΔΕΛΤΧΙΔΙΟ το δεύτερο στοιχειώδες εμβαδό και πάει λέγοντας. Με αυτόν τον τρόπο μπορώ σιγά σιγά να χτίσω το εμβαδό, δηλαδή το πρώτο στοιχειώδες είναι το ψΙΔΧΙΕΝΑ, το δεύτερο είναι το άθρησμα όλων των προηγουμένων συντοτρέχων, ΖΕΝΑ συν ψΙΔΙΟ επί ΔΕΛΤΧΙ, άρα ψΙΔΙΟ επί ΔΕΛΤΧΙ, το τρίτο είναι το ΖΕΝΑ συν ψΙΔΙΑ άρα ψΙΔΙΟ συν ψΙΔΙΑ συν ΔΕΛΤΧΙ, άρα τελικά όταν θα φτάσω σιγά σιγά να υπολογίζω ΖΕΝΑ, ΖΕΝΑ2, ΖΕΝΑ3, ΖΕΝΑ4, στο ΖΕΝΑΝΙ θα έχω υπολογήσει όλα τα προηγούμενα. Στιχειώδη εμβαδάκα θα τα έχω αθρήσει. Και η τιμή του είναι ίση με το άθρησμα όλων των τιμών της συνάρτησης ψΙ επί ΔΕΛΤΧΙ. Για να υλοποιήσω υπολογιστικά, προγραμματιστικά αυτό τον υπολογισμό χρησιμοποιώ δύο συναρτήσεις, την ΣΑΜ και την κουμούλατιβ ΣΑΜ, την οποία έχουμε ξανασυναντήσει. Γιατί την θέλουμε, η ΣΑΜ μου δίνει απευθείας το εμβαδό που θέλω, διότι μου δίνει το γινόμενο το άθρησμα των τιμών της ψΙ, ενώ η κουμούλατιβ ΣΑΜ μου δίνει, αν θυμάστε, όλα τα αθρίσματα μέχρι το ε κάστο ταινί στο οποίο βρισκόμαστε. Δηλαδή για ν1 μου δίνει το πρώτο άθρησμα, για ν2 μου δίνει το 1 και το 2, για ν3 το 1, το 2 και το 3. Θυμίζω τη σύνταξη, εάν έχω για παράδειγμα το διάνυσμα Ζ, ίσο με 1, 2, 3, 4, το ΣΑΜ του Ζ προφανώς είναι το άθρησμα των τεσσάρων στοιχείων, έτσι. Άρα ΣΑΜ του Ζ είναι 1 και 2, 3 και 3, 6 και 4, 10, ενώ κουμούλατιβ ΣΑΜ του Ζ είναι ποιο, είναι ένα διάνυσμα το οποίο σε κάθε θέση του έχει το άθρησμα όλων των στοιχείων μέχρι και το συγκεκριμένο. 1, 1 και 2, 3, 1 και 2 και 3, 6, 1 και 2, 4, 10. Αυτό είναι το κουμούλατιβ ΣΑΜ. Εγώ λοιπόν χρησιμοποιώ εδώ για να βρω τα ενδιάμεσα στοιχεία των εμβαδών, την κουμούλατιβ ΣΑΜ. Εάν θέλω να κάνω ολοκλήρωση πρώτης τάξης, τότε δουλεύω διαφορετικά. Το κάθε στοιχειώδες εμβαδό μου πλέον δεν είναι το ΨΕΝΑΧΗ, να σας δείξω εδώ ποια είναι η διαφορά. Και στις δύο περιπτώσεις έχω την ίδια συνάρτηση. Χ1, Χ2, Ψ1, Ψ2. Η μηδενικής τάξης ολοκλήρωση πώς λειτουργεί, πολλαπλασιάζει την τιμή της συνάρτησης στο σημείο 1, Ψ1, επί το ΔΧ. Έτσι δεν είναι. Οπότε λοιπόν υπολογίζει αυτό το εμβαδό. Και άρα αφήνει έξω αυτό το τριγωνάκι. Ένας τρόπος για να γίνουμε πιο ακριβείς είναι να πούμε ότι αυτό το τριγωνάκι θέλω με κάποιον τρόπο να το συμπεριλάβω στον υπολογισμό. Άρα πώς μπορώ να το κάνω αυτό. Άλλη να πολλαπλασιάσω με το ίδιο ΔΧ. Να το ΔΧ μου. Δεν αλλάζει. Αλλά τώρα δεν πολλαπλασιάζω με ένα από τα άκρα, αλλά πολλαπλασιάζω με το μέσο. Δηλαδή με το. Ψ1 Ψ2 Δ. Το οποίο είναι εδώ. Άρα προσέξτε ποιο εμβαδό υπολογίζω τελικά. Υπολογίζω αυτό το εμβαδό. Πράγμα που σημαίνει ότι υπερεκτιμώ το πρώτο μισό, υποεκτιμώ το δεύτερο μισό, ότι κερδίζω χάνω και θεωρώ ότι αυτά τα δύο τριγωνάκια ισοφαρίζουν αυτή τη διαδικασία και έτσι ο τελικός υπολογισμός είναι πολύ πιο κοντινός στον πραγματικό εμβαδό και άρα πολύ πιο ακριβής. Για να το κάνω αυτό ξεκινώ λοιπόν πρώτη τιμή 0. Ψ1 Ψ2 ΔΧ. Μετά Ψ1 Ψ2 ΔΧ. Αυτό δεν κάνω συνεχώς. Ξεκινώντας από την πρώτη τιμή που θεωρώ ότι είναι 0. Για λόγους απλότητας. Με τον ίδιο τρόπο λοιπόν αρχίζω και χτίζω το εμβαδό μου. Το πρώτος είναι το δεύτερο, το πρώτος είναι το δεύτερο, συν το τρίτο, το πρώτος είναι το τέτατο, συν το κάπε-εμβαδό. Με αυτόν τον τρόπο λοιπόν αρχίζω και το χτίζω. Η διαφορά εδώ είναι ότι δεν χρησιμοποιώ τον όρο Ψ1, αλλά τον όρο Ψ1 συν το προηγούμενο του ΔΙΑ2. Ψ2 στον όρο 1. Δεύτερος όρος Ψ2 συν το προηγούμενο ΔΙΑ2. Πέμπτος όρος Ψ5 συν το προηγούμενο Ψ4 ΔΙΑ2. ΚΑΠΑ όρος ΨΚΑΠΑ συν ΨΚΑΠΑ-1 ΔΙΙΑ2. Με αυτόν τον τρόπο λοιπόν μπορώ να δουλέψω. Έχω συναρτήσεις ανάλογες με τις προηγούμενες. Έχω την trapezoid, trapez, και έχω την cumulative trapezoid, η οποία κάνει ακριβώς τα ίδια πράγματα. Η trapezoid είναι η συναρτήση που παράγει αυτό το άθρησμα, συνολικό άθρησμα, και η cumulative trapezoid μου δίνει όλους τους όρους του αθρίσματος αυτού. Άρα, με βάση αυτές τις δύο, για να δω ένα παράδειγμα. Δύο παραδείγματα μάλλον. Έστω ότι έχω το ολοκλήρωμα της 4x3 από 0 έως 2. Αυτό ξέρω ότι είναι ουσιαστικά το x4 από 0 έως 2 και ξεχνωρίζω ότι έχει πραγματική τιμή 16. Συμφωνούμε? Έχει αναλυτικό υπολογισμό. Για να δούμε τον υπολογισμό, με βάση την μηδενικής τάξης αριθμητική ολοκλήρωση και βήμα 0,5. Ορίζω Δx 0,05. Δημιουργώ τι? Διάνυσμα τιμών x από 0 έως 2. Αυτό δυνατόρια ολοκλήρωσης. Του λέω, βες μου, από 0 έως 2. Και το βήμα να είναι 0,05. Άρα, από 0 έως 2, δημιουργησέμε ένα διάνυσμα με τιμές, αλλά 0,05. Από 0 έως 2 με βήμα. Από βήμα έως εδώ. Να, η συνάρτησή μου η ψή. Υπολόγησέ μου για κάθε ένα από αυτά τα χ, εξού και η τελεία, όσο κι αν είναι εδώ μέσα, και υπολόγησέ μου τα αντίστοιχα ψή. Άψογα. Και τώρα τι θα κάνουμε? Θα βρούμε ως εμβαδό δελταχή, δελχή, επί το άθρισμα όλων των δημόντων ψή. Αυτό δεν είπαμε πιο πριν ότι είναι το εμβαδό, άρα το ολοκλήρωμα με βάση τον υπολογισμό μηδενικής τάξης. Αποτέλεσμα 16,81. Γνωρίζω ότι το πραγματικό είναι 16. Με βήμα 0,05. Άρα κάποιος θα σκεφτεί φαντάζομαι εδώ, ότι άκου να δεις φίλε, μπορεί να είμαι στη διαδικασία μηδενικής τάξης, αλλά αν μειώσω το βήμα, το δελταχή, τότε το τρίγωνο που θα αφήσω επάνω, εκτός, θα γίνει μικρότερο. Έτσι δεν είναι. Αν μειώσω εδώ, στη μέση, τότε κοιτάξτε, θα αφήσω αυτό το τρίγωνο απ' έξω και την επόμενη φορά, στο επόμενο βήμα ολοκλήρωσης, θα πάρω αυτή την κίτρινη περιοχή. Άρα θα αφήσω ακόμη λιγότερο απ' έξω. Οπότε ένας τρόπος μειώσης της ανακρίβειας είναι το να μειώσω το δελταχή. Αυτό βέβαια τι συνεπάγεται? Αύξηση υπολογισμών. Και βέβαια ποτέ δεν θα φτάσω εκεί που θέλω. Ενώ η άλλη μέθοδος φαίνεται να υπόσχεται πολύ καλύτερη ακρίβεια. Για να το δούμε. Η δεύτερη μέθοδος, η μέθοδος Σίμψον λοιπόν, μου λέει ότι πάλι υπολογίζεις το δελταχή σου, 0,05, το ίδιο. Πάλι δημιουργείς το διάνισμα τιμών Χ για Χ από, όπως το βλέπετε εσείς, 0 μέχρι 2, πάνω από 0,05. Υπολογίζω για κάθε ένα από αυτά τα Χ τις αντίστοιχες τιμές του Ψ. Διάνισμα Ψ λοιπόν από κάτω. Και χρησιμοποιώντας την τραπεζόιδ του Ψ επί την δελταχή, υπολογίζω ότι θα βαθώ που τώρα είναι 0,01, 16,01. Άρα πραγματική τιμή 16, υπολογιζόμενη τιμή με τη μέθοδο μηδενικής τάξης 16,81, υπολογιζόμενη τιμή με τη μέθοδο πρώτης τάξης 16,01. Εδώ μιλάμε για θεαματικές αλλαγές. Για να δούμε και ένα ακόμη, είναι η μύτωνο του Χ που έχει ως ολοκληρώματη μίον συνειμήτωνο Χ από 0 ως Χ είναι ένα μίον κόζινος του Χ, εντάξει. Οπότε, εάν κάνω τον υπολογισμό με την ολοκλήρωση πρώτης τάξης για 100 σημεία ανακύκλου, θέλω να βάλω 100 σημεία πάνω στον κύκλο, τα βάζω. Ορίστε. Άρα το ΔΑΧ είναι 2πδ100. Λέω εδώ, χωρίζω λοιπόν το Χ σε αυτές τις τιμές, κάνω τη γραφική παράσταση, ορίστε, ο υπολογισμός μου. Μια γνωστή καμπύλη. Και βέβαια αυτά όλα μπορώ να τα κάνω, όχι μόνο στην περίπτωση που γνωρίζω τη συνάρτηση, αλλά πολύ περισσότερο έχουν ίσως αξία, αν θέλετε. Στην περίπτωση που δεν γνωρίζω τη συνάρτηση, να σας δώσω ένα τελικό, όπως το χαρακτηρίζω σε αυτές τις διαφάνειες παράδειγμα, σε μία δοκιμή μηχανολογικού εξαρτήματος. Στο εργαστήριο μετράτε η επιτάχυνση σε σχέση με το χρόνο και μας ζητείτε να χρησιμοποιήσουμε MATLAB για να υπολογίσουμε την ταχύτητα και την μετατόπιση και να κάνουμε γραφική παράσταση ως προς το χρόνο. Προσέξτε. Μετράτε η επιτάχυνση. Έχουμε επιταχυνσιόμετρα. Πού έχετε αυτή τη στιγμή επιταχυνσιόμετρα επάνω σας ή δίπλα σας, αρκετοί και αρκετές από εσάς, στα κινητά σας. Έχετε στις συσκευές που μετρούν επιταχύνσεις. Άρα λοιπόν, προφανώς, σκεφτείτε τώρα το εξής. Αν αυτές είναι καταγραφές των επιταχυνσιομέτρων σας, υπάρχουν, δεν είναι έτσι. Πώς μπορείτε να βρείτε την ταχύτητα και τη μετατόπιση σας μόνο από τις καταγραφές των επιταχυνσιομέτρων σας. Κι αν σας πω ότι μπορείτε να έχετε πρότβαση στις καταγραφές των επιταχυνσιομέτρων σας. Μπορείτε να γράψετε έναν κώδικα ο οποίος θα μεταφράζει τις εγγραφές αυτές, τις καταγραφές των επιταχυνσιομέτρων, σε ταχύτητα στιγμία, για να δείτε με πόση ταχύτητα κινείστε με το αυτοκίνητο, με τα πόδια, με το ποδήλετο, οπουδήποτε. Ένα τέτοιο πρόβλημα ανάλογο έχουμε εδώ, με ένα μηχανολογικό εξάρτημα. Έχω λοιπόν εδώ πολύ απλά χρόνου σε δευτερόλεπτα, 0 δευτερόλεπτα. 0,1, 0,2, 0,3 και επιταχύνσεις. Σε μέτρα ανασεκών τετράγωνα. Έχουμε 0.5, 0.16, 0.37, 0.22, 0.22, 0.26, 0.30, 0.32. Βάζουμε μέχρι τα τέσσερα G περίπου, έτσι. Αυτές λοιπόν είναι επιταχύνσεις τις οποίες έχουμε μετρήσει σε ένα μηχανολογικό εξάρτημα. Τι ζητείται από εμάς, έχουμε ταχύτητα και μετατόπιση. Έχω επιταχύνση, άρα έχω τη δεύτερη παράγωβο και θέλω να πάω στην πρώτη και στην ειδενική, ουσιαστικά έτσι δεν είναι, άρα πρέπει να ολοκληρώσω. Βλέπουμε λοιπόν, το ΔΤ δεν είναι μηδενικομένα. Έστω λοιπόν το ΔΤ μηδενικομένα για 0 έως 2 δευτερόλεπτα. Έχω από κάτω, προσπάθησα να μη κοίνω τις τιμές γι' αυτό και δεν φαίνονται καλά, αυτό που μέτρες. Έχω το διάνισμα τη μονάλφα, να το. Και χρησιμοποιώ την cumulative trapezoid για να βλέπω και την εξέλιξη, να κάνω μια γραφική παράσταση του πώς πηγαίνει το ολοκλήρωμα. Γιατί, διότι με αυτό τον τρόπο μπορώ να δω το ολοκλήρωμα της α, το ολοκλήρωμα της α της επιτάκρισης ποιο είναι, ή ποιο μέγεθος είναι η ταχύτητα β και το ολοκλήρωμα της ταχύτητας ποιο είναι η μετατόπιση. Άρα υπολογίζω δύο ολοκληρώματα εδώ. Σωστά, ξανά. Έχω μετρήσεις χρόνος, επιτάχυνση. Παρατηρώ ότι το χρονικό βήμα είναι 0,1. Μάλιστα. Για πόσα δευτερόλεπτα, δύο. Πολύ ωραία. Ας δημιουργήσω το διάνισμα χρόνου. Θα του πω, φτιάξτε μου ένα διάνισμα χ, χρόνου, τ, όπως θες, πες το, το οποίο να ξεκινά από μηδέν, να έχει βήμα 0,1 και να καταλήγει στο δύο. Μέχρι εδώ καλά, ορίστε. Νάτο. Από μηδέν, με βήμα 0,1, έως δύο. Πάρε και το διάνισμα με τις επιταχύνσεις. Έχει τόσες τιμές όσως και το διάνισμα του χρόνου, αφού έτσι μας δόθηκαν οι μετρήσεις από την αρχή. Και υπολόγησε τι? Το κουμμούλατιβ. Γιατί? Διότι εγώ θέλω να κάνω και γραφική παράσταση, να δω πώς πηγαίνει με το χρόνο η ταχύτητα, β, και η μετατόπιση, ψ. Και εφόσον το υπολογίσω, πλωτάρω χρόνο ώσπρος και επιτάχυνση, χρόνο και ταχύτητα, χρόνο και μετατόπιση. Και βλέπουμε ένα πολύ ωραίο διάγραμμα. Acceleration, αυτό είχαμε μετρημένο εμείς, την μπλε γραμμή είναι η επιτάχυνση που μας είχε δοθεί, ενώ ταυτόχρονα έχω την κόκκινη γραμμή πλέον που έχω υπολογίσει, την μετατόπιση και την πράσινη γραμμή που είναι η ταχύτητά μου. Άρα λοιπόν έχω ένα πολύ χρήσιμο διάγραμμα που μου δίνει τη δυνατότητα να χειριστώ και τα τρία μεγέθη και να τα μελετήσω σχετικά. Τι έχουμε δει λοιπόν μέχρι στιγμής? Έχουμε δει αριθμητικούς τρόπους υπολογισμού παραγώγων και ολοκληρωμάτων. Έχουμε δει διαφορές προς τα μπροστά, forward, για τον υπολογισμό παραγώγων. Συμμετρικό τρόπο υπολογισμού παραγώγων. Πήγαμε στα ολοκληρώματα. Είπαμε ότι βαφτίσαμε μηδενικής τάξης αυτό το οποίο δουλεύει αφήνοντας μια τριγωνική περιοχή ως ακάλυπτη. Και πρώτης τάξης τη μέθοδο που βασίζεται στη μέση τιμή της συνάρτησης σε κάθε διάστημα ψηέν να συμψει δύο δυα δύο προσπαθώντας έτσι να ισοφαρίσει τις δύο περιοχές για να ελαχιστοποιήσει το σφάλμα. Κάναμε παραδείγματα τα οποία επεδείκνυαν το πώς συμμοποιούνται. Είδαμε σύμπληρωματικά δε και συμβολικούς τρόπους υπολογισμού και παραγώγων και ολοκληρωμάτων. Στη βάση λοιπόν όλων αυτών, δώστε μου να αλλάξω διαφάνειες. Μπορούμε να δούμε και κάποια επιπρόσθετα στοιχεία που αφορούν άλλου είδους διαδικασίες με τις οποίες είμαστε αντιμέτωποι στην καθημερινότητα των σπουδών μας και όχι μόνο. Πολυόνυμα και εξισώσεις. Επειδή λοιπόν η καθημερινότητα του μηχανικού περιλαμβάνει πάντα μια διαδικασία μαθηματικού χαρακτήρα, επίληση είπαμε εξισώσεων, πολυόνυμα κτλ κτλ, για να δούμε πώς μπορώ να επιλύσω μια εξίσωση. Διότι όλα τα προβλήματα με τα οποία θα έρθουμε αντιμέτωποι δεν καταλήγουν σε εξισώσεις με αναλυτικές σχέσεις, εξάλλου όπως ξέρουμε, οποιασδήποτε εξισώσεις πολυονομικού χαρακτήρα πάνω του τέταρτου βαθμού δεν επιλύονται αναλυτικά. Αυτό απαιδείχθη ήδη από τα τέλη του 19ου αιώνα. Και βέβαια θα μου πείτε, μα θα συναντήσω εγώ συναρτήσεις ή εξισώσεις τέτοιας μορφής μεγαλύτερο βαθμού του τέταρτου. Ω, ναι. Ω, πολλές. Αυτή είναι η πραγματικότητα. Έχω ευτυχώς εργαλεία διαθέσιμα. Σε δωμάτλαβ, λοιπόν, έχω τη συναρτήση F0. Η συναρτήση F0 χρησιμοποιείται για την έβρεση μιας ρίζας, μιας εξίσωσης, η οποία, εξίσωση, πρέπει να αντιστοιχεί σε συνεχή συναρτήση. Χρειάζεται αρχικό σημείο. Πρέπει, δηλαδή, να μαντέψω περιοχή λύσης. Και έχει γρήγορη σύγκληση. Μέχρι σε συναρτήσεις διπικύλες και πολυονημικών μορφών, απλά η F0 έχει ένα χαρακτηριστικό παράγι, μία λύση, διότι βασίζεται στη μέθοδο της διχοτόμησης. Δηλαδή, πρακτικά, της λες, βρες μου μια τιμή όπου μηδενίζεται η εξίσωση, με ένα αρχικό σημείο το οποίο βρίσκεται πολύ κοντά στο σημείο που αλλάζει πρόσιμο η σχέση. Οπότε, λοιπόν, προσπαθεί να βρει εκεί κοντά, μια μέθοδο ανάλογα με αυτή τη διχοτόμηση. Παραδείγματα, έχω την συναρτήση μύτωνο, έτσι, την μύτωνο του χ. Θέλω, λοιπόν, να βρω την τιμή, την προσοχή σας εδώ, την τιμή της ρίζας, την λύση, δηλαδή, της μύτωνος του χ ίσο με το μηδέν, όπου η ρίζα είναι κοντά στο 0,5. Εάν το τρέξω αυτό σε μάτλαμ, να μίλησω λίγο τώρα για διαφορές στις μάτλαμ και οκτέι, σε μάτλαμ θα μου πει ότι βρήκα μία 0 στο διάστατο μεταξύ 0,28 έως 1,9 και θα μου δώσει την εξής απάντηση, προσέξτε. Λύση μ.1,84 x 10-18. Μικρός αριθμός, αλλά όχι μηδέν. Το μηδέν είναι η λύση εδώ, όπως γνωρίζουμε. Ενώ, για παράδειγμα, εάν θέλω να επιλύσω την x τετράγωνο μίον ε στην χ, τότε και του μηδέν λύση κοντά στο μηδέν, θα μου απαντήσει ότι η λύση είναι μίον 0,7035. Πώς γίνονται όλα αυτά? Η F0 χρησιμοποιεί διαφορετικές τεχνικές. Δεν είναι, δηλαδή, μία τεχνική πίσω από αυτή την συνάρτηση, πίσω από αυτή την εντολή. Χρησιμοποιεί ανοιχτές μεθόδους, κλειστές μεθόδους, και για αυτό το λόγο έχει και πολλαπλά ορίσματα. Η απλή της σύνταξης είναι F0 παρένθεση, την αξίωση που θέλουμε να επιλύσουμε κόμμα η αρχική τιμή, εκεί όπου κοντά υποπιτευόμαστε ότι βρίσκεται το μηδέν. Αλλά μπορούμε όμως να ορίσουμε και διάστημα, μπορούμε να ορίσουμε και άλλα πράγματα. Επίσης μπορώ να εισαγάγω περισσότερα στοιχεία, options και μάλιστα με την εντολή option set, μπορώ να θέσω ένα σύνολο από options, ένα σύνολο από επιπρόσθετες ρυθμίσεις στην F0, οι οποίες μπορεί να περιλαμβάνουν το αν θα εμφανίζεται το αποτέλεσμα στην οθόνη των διαδοχικών δοκιμών και διάφορα άλλα τέτοια. Για παράδειγμα, θέλω να εμφανίσω στην οθόνη τις ενδιάμεσες λύσεις και τις τιμές και εχθώς να το τρέξουμε αυτό θα πάρουμε πολλαπλά αποτελέσματα ενδιαμέσως. Εδώ χρησιμοποιώ την εμπειρόγου για να βρω την λύση της χ στις 10-1 με αρχική τιμή την χ-0,5. Αυτή την είπαμε ότι είναι πολυονημικού χαρακτήρα. Υπάρχουν 10 λύσεις εδώ προφανώς, έτσι δεν είναι. Όταν βλέπω χ στην μη σημαίνει ότι έχω ν λύσεις και θα βρω τη μη από αυτές. Αν θέλω να βρω περισσότερες στην περίπτωση πολυονήμου τι κάνω. Έχω την συνάρτηση roots. Έχουμε πάλι λοιπόν στην περιοχή των πολυονήμων. Οι πολυονήμοι όπως το χ4 συνθήμιον 6 σε επίπεδο Matlab και Octave γράφεται ως διάνυσμα των συντελεστών του με την εξής έννοια. Το διάνυσμα έχει τρεις τιμές, σωστά, π. Άρα η roots του π θα πάει και θα δει. Πόσες τιμές έχει το π, τρεις. Άρα αυτή η τιμή αντιστοιχεί στον όρο μηδέν, στον συγνώμη σας σταθερό όρο μηδέν 6. Αυτή αντιστοιχεί στο χ0. Δηλαδή χ, μία φαρά το χ και μία φαρά το χ τετράγωνα. Τους συντελεστές των πολυονήμων. Εάν λοιπόν τους ζητήσω τις λύσεις θα μου πει ότι έχω δύο λύσεις μηδέν 3 και 2. Δείτε ένα πιο ενδιαφέρον πολυόνιμο όμως, το οποίο είναι πιο κοντά σε προβλήματα που θα αντιμετωπίσουμε και θα αντιμετωπίσετε. Διαβάζω το πολυόνιμο. f του x ίσον x στην πέμπτη μίον 3,5x τετάρτης συν 2,75x τρίτης συν 2,125x δευτέρας μίον 3,875x συν 1,25. Ποιες είναι οι ρίζες αυτού του πολυονήμου λοιπόν? Roots 2. Να το πολυόνιμο που εκφράζουν οι συντελεστές. Και οι δύο λύσεις από τις πέντε, οι τρεις είναι πραγματικές και οι δύο είναι μηγαδικές. Εδώ. Άρα λοιπόν, μπορώ εύκολα να βρω και λύσεις πολυονήμων. Όμως, εδώ έχω και άλλα ενδιαφέροντα στοιχεία. Η συνάρτηση πόλη μπορεί να χρησιμοποιηθεί αν έχω τις ρίζες και θέλω να φτιάξω το πολυόνιμο. Τώρα, προσέξτε τι γίνεται. Πολλές φορές, όταν έχω μετρήσεις από πειραματικά δεδομένα, οι οποίες περνούν από τον άξονα τον χ και μηδενίζουν διάφορες τιμές και τα λοιπά, θέλω να μπορώ να παράχω το πολυόνιμο. Θα δούμε ότι υπάρχει συνάρτηση που παράγει το πολυόνιμο ανεξάρτητα αν μηδενίζεται ή όχι. Ή μπορώ να θέλω να δημιουργήσω πολυόνιμο που έχει συγκεκριμένες ρίζες. Πώς μπορώ να το κάνω αυτό? Για παράδειγμα, θέλω το πολυόνιμο που έχει ως ρίζες 0,5 και μειον 1. Μπε ίσον πόλι του παρένθεση το διάνυσμα των ρυζών. Βλέπεις και λοιπόν το f του x είναι 0 για x ίσον 0,5 και x ίσον μειον 1. Η απάντηση είναι αυτό το διάνυσμα, 1,0,5 μειον 0,5, το οποίο προφανώς αντιστοιχεί στο πολυόνιμο x τετράγωνο 5x μειον 0,5. Τώρα, η συνάρτηση πολυβάλ δίνει την τιμή ενός πολυονίμου στη συγκεκριμένη τιμή μεταβλητής του. Εάν δηλαδή έχω αυτό το πολυόνιμο, που αντιστοιχεί σε ό,τι είχαμε δει στην αρχή, αντιστοιχεί στο x5 μειον 3,5 x τετάρτης και τα λοιπά, αυτό που σας έλεγα λίγο πριν, και θέλω την τιμή του πολυονίμου για x ίσον 1. Πόλι βάλει το α, 1, υπολογίζει το f του 1 και μου λέει ότι η απάντηση είναι μειον 0,25, άρα μπορώ να βρω τιμές πολυονίμων με μία εντολή και αυτό είναι χρήσιμο σε αρκετές περιπτώσεις. Όμως, για να δούμε και κάτι άλλο τώρα. Τι συμβαίνει αν το α είναι μητρώο, δεν είναι διάνισμα, το α είναι διάνισμα, αντιστοιχεί σε πολυόνιμο. Αν το α είναι μητρώο και ζητήσουμε το πολυόνιμο του α, σε αυτήν την περίπτωση, αν το α είναι πίνακας, υπολογίζεται το χαρακτηριστικό πολυόνιμο. Δηλαδή, υπολογίζεται το πολυόνιμο που αντιστοιχεί στην επίλυση του ότι λαμδαα-α ίσο με το μηδέν ορίζουσα. Τώρα θα μου πείτε, εδώ είμαστε. Πολλοί που μιλούμε την ίδια γλώσσα. Διότι, όπως ψηφίρησε κάποιος συνάδελφός σας εδώ, έτσι οδηγούμαστε σε ιδιοδιανίσματα και ιδιοτιμές. Και ξαφνικά, όπως τα φέρνει η άνοιξη και όχι μόνο, βρεθήκαμε να συνδέουμε ή να μιλάμε από τη μία πλευρά για πολυόνιμα και από την άλλη για ιδιοδιανίσματα και ιδιοτιμές. Γιατί, διότι τελικά αυτά τα δύο είναι όψεις του ίδιου νομίσματος. Ένας πίνακας α, για τον οποίο μάλλον επιλύουμε αυτή τη σχέση, άρα βρίσκουμε το χαρακτηριστικό πολυόνιμο και βρίσκουμε τις ρίζες του, είναι ένας πίνακας τον οποίον έχουμε βρει ιδιοτιμές. Ένας τέτοιος πίνακας, όπως θα μάθετε ας πούμε σε μαθήματα όπως οι ταλαντώσεις, μπορεί να είναι ο πίνακας που εκφράζει μάζες στο σωμάτο. Μπορεί να εκφράζει μάζες δοκών σε ένα δικτύωμα το οποίο όλο μαζί πάλλεται. Μπορεί να εκφράζει δηλαδή, προσέξτε με λίγο, τι σημαίνει δικτύωμα που πάλλεται. Μοιάζει καθόλου με μια οικοδομία από μπετό όπου τη θέση των δοκών του δικτυώματος έχουν οι κολώνες φυσικά. Άρα αν βρω τρόπους για να μελετήσω ένα δικτύωμα που πάλλεται μπορώ να υπολογίσω και μια οικοδομή που πάλλεται. Προφανώς μπορώ να υπολογίσω και το σύνολο των στοιχείων που υποστηρίζουν τη μηχανή στο κινητήρα του αυτοκίνητου που οδηγείται ή στο οποίο είστε συνεπιβάτης γιατί ένα δικτύωμα στη θέση του. Άρα λοιπόν μπορώ να τα βρω και αν μπορώ να βρω τις ιδιοτιμές του Μητρόου Α που εκφράζει τις μάζες αυτού του διανύσματος, τότε μπορώ να βρω τη ιδιοσυχνότητας της οποίας είναι ευαίσθητο αυτό το δικτύωμα και άρα θα πρέπει να βρω τρόπους να αποφύγω τέτοιους θαλαντώσεις. Η επίλυση του πίσω μη δεν οδηγεί λοιπόν στις ιδιοτιμές του Α. Τώρα υπάρχουν για κάποια ενδιαφέροντα φαινόμενα εδώ. Τα μαθηματικά βρίθουν φαινομένων όπως ο καιρός βρίθει μεταλλογικών φαινομένων ενδιαφέροντος. Έτσι λοιπόν, για να δούμε λίγο κάτι διαφορετικό. Προσέξτε ένα πολυόνυμο πολύ συγκεκριμένο. Είναι το χιμιονάι γινόμενο για Άι από ένα έως είκοσι. Ποιο είναι αυτό το πολυόνυμο, είναι το χιμιονένα επί χιμιονδύο επί χιμιοντρία επί χιμιονίκοσι. Προφανώς πολύ απλό, είναι ένα πολυόνυμο 20 βαθμού. Δεύτερον έχει είκοσι πραγματικές λύσεις. Ποιες? Τις ένα, δύο, τρία, γιατί οποιασδήποτε από αυτές τις τιμές μηδενίζουν όλο αυτό το γινόμενο, σωστά. Αν το γράψω αναλυτικά, είναι αυτό το κολοσιαίο πράγμα. Είναι χι στην 20 μίον 210 επί χι στην 19, συν 20 615 επί χι στην 18 μίον 1 256 850 επί χι στην 17 κτλ. Τώρα, πότε θα επιπτώνω σε αυτό, προσέξτε με λίγο. Για ν ίσον 20 και συμβολική μεταβλητή χ, το πέτρο 20 είναι το product του χ μίον i έως ν. Και μου παράγει το αποτέλεσμα. Και αν μετά του πω expand, ανέπτυξέ το, έχω ένα γινόμενο και θέλω να βρω την αναλυτική του μορφή, μου το κάνει απευθείας. Πολύ καλά, παρακάτω. Εάν το λύσω, πώς μπορώ να λύσω ένα πολυόνυμο συμβολικά, solve. Το λύσω και βάζω τις λύσεις σε σειρά. Άρα, η solve του π20 θα το λύσει, θα βρει τις ρίζες και η sort θα βάλει τις ρίζες σε μια σειρά από τη μικρότερη στη μεγαλύτερη. Η απάντηση είναι η αναμενόμενη, βέβαια. Η απάντηση 1, 2, 3, 4, 5, 20. Αυτές δεν είναι οι λύσεις, εντάξει. Όμως, εάν τα κάνουμε όλα αυτά λοιπόν και βρω το roots του πόλη, οι λύσεις είναι αυτές εδώ. Έχω χρωματίσει για τις πρώτες λύσεις τις αποκλήσεις. Ενώ δηλαδή θα έπρεπε η λύση να είναι 19, δεν είναι 19, είναι 18,9972. Ενώ η επόμενη θα έπρεπε να είναι 18, δεν είναι, είναι 18,0112 κτλ κτλ. Έχω ψηλοαποκλήσεις. Το πολυόνυμο αυτό, παρ' επιπτόντος, πρέπει να σας πω, ονομάζεται ο πολυόνυμος Βίλκινσον, προς τιμή του ανθρώπου που πρώτος μελέτησε το εξής χαρακτηριστικό του. Εάν πάρω το συντελεστή, είναι σε αναλυτική μορφή, αυτό που σας είχα δείξει. Σας διαβάζω και πάλι το συντελεστή του X στην 19η. Εάν πάρω το συντελεστή του X στην 19η, που είναι 210, 210 είναι 210 επί X στην 19η, και τον πειράξω, τον αλλάξω, κατά X στην μίον 23, περίπου. Δηλαδή, ή τέλος πάντων τον πειράξω στο συγκεκριμένο παράδειγμα από μίον 210 σε μίον 210 κόμμα. 0,0,0,0,0,1192. Τότε, η τιμή του πολιωνίμου μειώνεται από 0 σε μίον 2 στιγμών 23 επί 20 στην 19η. Αλλάζει δηλαδή πάρα πολύ η τιμή του πολιωνίμου και η ρίζα στο X ίσον 20 μεγαλώνει στο 20,8. Τι συμβαίνει λοιπόν. Έχω ένα πολιώνιμο του οποίου πειράζω ένα συντελεστή ελάχιστα και η συμπεριφορά του για τα ράβια είναι σαν να έχεις ένα τελέφαντα, να το χαϊδεύεις με ένα φτερό και να πηδάει σε ύψους ακόμα το μέτρο. Αυτό παθαίνει το πολιώνιμο William Wilson. Γιατί το παθαίνει τώρα αυτό? Διότι συμπεριφέρεται αριθμητικώς με αστάθεια και διότι με αυτόν τον τρόπο αρχίζει και μπαίνει στη συμπεριφορά του ένα χαωτικό στοιχείο. Αν δηλαδή δεν έχω το γνήσιο Wilkinson και έχω ένα imitation Wilkinson, το οποίο απέχει από το πραγματικό σε έναν από τους όρους των δυνάμεων, κατά 2-23 έχω ξαφνικά έναν όν που μαθηματικά δεν συμπεριφέρεται σαν ελέφαντας, αλλά συμπεριφέρεται σαν ακρίδα. Μικρή διαφορά στις τιμές μεταφέρεται σε μεγάλη, σημαίνει, συνεπάγεται μεγάλη διαφορά στις συμπεριφορές. Και αυτό το βλέπουμε εδώ, κοιτάξτε τι συμβαίνει, θα έπρεπε, τι έχω κάνει τώρα εδώ. Έχω πειράξει αυτό το συνδελστή που σας είπα και έχω πλωτάρει το πολυόνυμο. Αυτό που βλέπετε είναι το πολυόνυμο, έτσι ξεκινά, περνάει από το χ1, από το χ2, από το χ3. Βλέπετε λοιπόν το εξής, ότι οι τιμές του πολυονίμου όταν το χ είναι μεταξύ του 1 και του 4, μεταβάλλονται δραματικά. Πολλοί μικρές μεταβολές του χ συνεπάγονται τεράστιες μεταβολές του πολυονίμου. Όταν το πολυόνυμο βρίσκεται μεταξύ του 7 και του περίπου 14, δεν παθαίνει και πάρα πολλά πράγματα. Άρα όταν εγώ πειράζω το συνδελστή του χ στην 19 τι κάνω, δεν πειράζω τις ρίζες, πάω και πειράζω το πολυόνυμο. Είναι δηλαδή ξέρετε τι κάνω όταν πειράζω κατάτι τον συνδελστή του χ στην 19. Είναι σαν να κάθομαι, αυτό πηγαίνει στα ουράνια και είναι σαν να κάθομαι και να τραβάω αυτό το σκηνάκι λίγο, κάπου κοντά στο μειών 1 εκατομμύριο το τραβάω λίγο, πολύ λίγο. Αυτό το λίγο όμως αλλάει τελείως τη συμπεριφορά του σε αυτό το σημείο που έχει ευαισθησίες σε τέτοιους πειράγματα. Οπότε λοιπόν, εάν τώρα κάνω και μια γραφική παράσταση των ρύς των λύσεων, κοιτάξτε τι συμβαίνει, ενώ θα έπρεπε οι λύσεις να είναι πάνω στις μπλε γραμμές, εδώ σας δείχνω το τι συμβαίνει αν κάνω μικροαλλαγές, όχι μία, διάφορες αλλαγές στις συνδελεστές του πολυονίμου. Τέτοιες μικροαλλαγές, κοιτάξτε, προσέξτε με λίγο, εδώ έχω τις ρίζες που θα έπρεπε να έχει το πολυόνιμο. Είναι το X ίσον 8, 9, 10, 11, 12 μέχρι το 20, εντάξει. Και εδώ βλέπετε το πού πηγαίνουν και κάθονται οι ρίζες για μικροαλλαγές των συντελεστών. Αυτός είναι ο άξοδος των φανταστικών. Άρα ξαφνικά οι ρίζες από 20 πραγματικές γίνονται πραγματικές, μηγαδικές, μικτές, διάφορα πράγματα απλά τυράζοντας λίγο τους συνδελεστές. Έτσι λοιπόν, μετά και από όλα αυτά πιστεύω ότι είμαστε έτοιμοι να δούμε το τελευταίο πριν το διάλειμμα μας παράδειγμα. Πάρα πολύ κλασικό, απλό και χρήσιμο, προσθερμογή πολυονίμων. Έχω ένα πείραμα και έχω αριθμό φοιτητών βαθμολογίας στην πληροφορική. Έστω, έτσι. Θέλω λοιπόν να δημιουργήσω ένα πολυόνιμο που να μου εκφράζει αυτή τη συμπεριφορά του συνόλου των φοιτητών ως προς το χαρακτηριστικό τους που ονομάζεται βαθμολογία στην πληροφορική. Μπορώ λοιπόν, άρα τι θέλω εδώ, προσέξτε, θέλω να βρω ένα πολυόνιμο το οποίο να αποδίδει τις τιμές που έχουμε μετρήσει. Έχω εννέα ζεύγη τιμών, το πολυόνιμο μπορεί να είναι ένα 8ο βαθμό για ποιο λόγο, διότι θα λύσω ένα σύνολο από εξισώσεις. Έχω ζεύγη τιμών, νη ζεύγη τιμών, νή συντελεστές του πολυονίμου που προκύπτουν από αυτές τις εξισώσεις. Αντί να τα κάνω όλα αυτά βέβαια, έχω εδώ το παράδειγμα χ και ψ, ουσιαστικά ορίζω τα διανύσματα των χ, των ψ και τα λοιπά, και λύνω για να βρω τους συντελεστές. Και όντως προσέξτε, όταν λύνω αυτό το σύστημα εδώ χρησιμοποιώ την ανάποδη διαίρεση, θα δούμε λεπτομέρειες στο εργαστήριο. Όλα αυτά τα κάνω για να βρω τους συντελεστές του πολυονίμου, το οποίο είναι αυτό εδώ. Πολύ πιο εύκολα μπορεί να το κάνουμε με την polyfit, η οποία παίρνει ένα πολυόνιμο και κάνει fit, το ταιριάζει, το κόβει, το προσαρμόζει στις ανάγκες των δεδομένων μου, έτσι, χ9 ψ9-2. Τι κάνει η polyfit? Το διανύσμα των δημών χ, των δημών ψ και τον βαθμό του πολυονίμου, εδώ τους ζήτησα πολυόνιμο δεύτερου βαθμού, και παράγει τους συντελεστές, άρα η συνάρτηση που περίπου προσαρμόζεται στα στοιχεία που είδαμε, περίπου, αν είναι δεύτερου βαθμού απέχει πολύ, είναι αυτό επί χ τετράγωνο, μείον αυτό επί χ είναι αυτό, έτσι. Είδαμε λοιπόν ότι έχω τη δυνατότητα αφενός να βρω λύσεις εξισώσεων μεμονωμένων, να βρω λύσεις εξισώσεων πολυονιμικού τύπου και το ανάποδο να βρω τιμές πολυονίμων, μάλλον να βρω πολυόνιμο που έχουν συγκεκριμένες λύσεις, να βρω τιμές πολυονίμων για συγκεκριμένες τιμές του χ και επίσης να προσαρμώσω, να βρω και να προσαρμώσω πολυόνιμο σε στοιχεία πειραματικά, τα οποία πάντοτε πρέπει να έχουν τη λογική του χ και ψ, άρα θέλω δύο διανύσματα τιμών για να προσαρμώσω ένα πολυόνιμο σε αυτά. Κάνουμε διάλειμμα και επανερχόμαστε για το τελευταίο μέρος με τον μεθυσμένο ναύτη. Κοινείται λοιπόν κανείς στον διδιάστατο χώρο τυχαία. Εδώ λοιπόν θα δούμε και θα μάθουμε το πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τέτοιου είδους τυχαίες κινήσεις βάσει των προσομοιώσεων που πατούν σε τυχαίους αριθμούς. Το πρόβλημα της τυχαίας διαδρομής λοιπόν, random walk problem, έχει να κάνει με το ότι πρέπει να διαμορφώσουμε μια διαδικασία, έναν αλγόριθμο υπολογισμού βάσει τυχαίων συμβάντων και άρα εδώ μπαίνουν τυχαία αριθμοί και θα πρέπει να δούμε κάποια βασικά προγραμματιστικά στοιχεία και υλικά. Πώς ορίζεται το πρόβλημα του τυχαίου βηματισμού, είναι μια μαθηματική περιγραφή της μεταβολής συνδεταγμένων ενός σημείου στο χώρο είτε δύο διαστάσεων είτε τριών διαστάσεων που λαμβάνει χώρα αυτή η μεταβολή συνδεταγμένων με τη μορφή τυχαίων βημάτων. Τι αφορά μόρια αερίου, οικονομική κατάσταση, έτσι το έχουμε δει αυτό, τον παίκτη της ρουλέτας, κινήσεις ηλεκτρονίων, αυτά είναι μόνο κάποια από τα παραδείγματα με τα οποία μπορούμε να ασχοληθούμε. Βρήκα και μου άρεσε για αυτό και σας το παρουσιάζω μια μικρή παράγραφο που περιγράφει το γεγονός πως σε χαμηλές θερμοκρασίες η αντίσταση μετάλλων χαρακτηρίζεται περισσότερο και καθορίζεται αποφασιστικά από την ελαστική διασπορά των ελεύθερων ηλεκτρονίων. Άρα λοιπόν, όσο πέφτει η θερμοκρασία ενός μετάλλου, η αντίστασή του χαρακτηρίζεται μόνο από την κίνηση των ηλεκτρονίων. Και εάν χειριστούμε τα ηλεκτρόνια ως κλασικά σωματίδια, τότε οι τροχές τους προσεμοιώνουν τυχαίες κινήσεις μετά από πάρα πολλές συγκρούσεις. Και αυτό μας είναι χρήσιμο για να μπορέσουμε να μελετήσουμε την ιδιότητα αυτών των συγκεκριμένων υλικών. Για να δούμε λοιπόν πιο συγκεκριμένα τα πράγματα. Έχω πάντοτε μια αρχική θέση από την οποία ξεκινώ. Σημειώνω λοιπόν ότι θέλω μια αρχική θέση από την οποία εκείνο. Έχω ένα βήμα μετακίνησης, που για λόγους δικής μου διευκόλυνσης επιλέγω να ανήκει στο διάστημα μίον ένα ένα. Προφανώς θέλω το κάθε δύμα να προκύπτει ως αποτέλεσμα τυχαίων αριθμών. Θα καθορίσω τον αριθμό των βημάτων. Και βέβαια θα πρέπει να μπορώ να υπολογίζω την μετακίνηση σε κάθε δήμα. Για να δούμε λοιπόν πώς αυτά μπορούν να συμβούν στον χώρο, λαμβάνοντας υπόψη και κάποια στοιχεία προγραμματιστικών, τεχνικών και βέλτης των πρακτικών που έχουμε δει. Θα δουλέψουμε στο διδιάστατο χώρο, άρα ας ορίσουμε δύο διανύσματα, τα ο και το ψ. Αυτά είναι τα διανύσματα που μας ενδιαφέρουν. Έχω λοιπόν μια αρχική θέση και δύο διανύσματα, το διανύσμα χ και το διανύσμα ψ. Τα στοιχεία των οποίων θα καθορίζουν τις συνταταγμένες τους σημείους στον χώρο. Μια πρώτη καλή πρακτική είναι να αρχικοποιούμε τα στοιχεία των διανυσμάτων. Δεν μπορούμε να τα αρχικοποιήσουμε αφού είμαστε στον ευκλήδιο χώρο. Και θεωρούμε εδώ το σημείο 0,0. Τότε, επειδή το κάθε βήμα μου έχει μήκος 1, το πολύ, μπορώ να αρχικοποιήσω όλα τα σημεία μεταξύ του 0 και του 1. Να τους θέσω την τιμή 1. Παρουσιάζω μια προσέγγιση και εξηγώ. Πρώτο θέμα, η αρχική θέση. Από πού θα ξεκινά το σώμα μου, το στοιχειόδε σωμάτιό μου, από την x start που θα είναι ίση με το 0 και από την ψ start που επίσης θα είναι ίση με το 0. Μπορώ να ορίσω ως αφετηρία οποιοδήποτε σημείο στο χώρο. Και μπορώ να αρχικοποιήσω τις θέσεις, οι θεταγμένες δηλαδή των σημείων. Ας το κάνω αυτό με ένα άλλο χρώμα. Η αρχικοποίηση λοιπόν. Το x και το ψ μπορεί να είναι πάντοτε ανάλογα του x start και του ψ start. Όμως, εγώ θέλω και τον αριθμό των δημάτων εδώ για να δω πόσο ανάλογα είναι αυτά. Αν ο αριθμός των δημάτων είναι tough, τότε λοιπόν μπορώ να πω ότι οι αρχικές συνδεταγμένες, αρχικοποιώτα στοιχεία είπαμε των συνδεταγμένων, είναι το x start και το ψ start πολλαπλασιαζόμενα επί ένα διάνισμα που έχει ως στοιχεία ones, η ones τι παράγει, μονάδες, άσους, μίας γραμμής και ταυστιλών. Μια γραμμή, ταυστιλές και στις δύο περιπτώσεις. Με αυτόν τον τρόπο τι έχω κάνει, έχω αρχικοποιήσει τα x και τα ψ και πρακτικά τι τιμές τους έχω δώσει εδώ. Τις αρχικές συνδεταγμένες, όποιες κι αν είναι αυτές. Εδώ οι αρχικές συνδεταγμένες είναι μηδέν. Άρα ουσιαστικά έχω δημιουργήσει έναν κάναβο τεθμημένων και τεταγμένων που κάθε τιμή της x και κάθε τιμή της ψ σε αυτόν τον κάναβο έχει την τιμή των αρχικών συνδεταγμένων, του σημείου εκκίνησης. Γιατί το έχω κάνει αυτό, απλά για να αρχικοποιήσω τα διανύσματα αυτά. Στο τέλος, βέβαια, αυτά τα διανύσματα θα φέρουν άλλες τιμές, τις τιμές υπολογισμών. Για να δούμε λοιπόν ποιο θα είναι το βήμα κάθε φορά. Λέμε ότι το βήμα πρέπει να ανήκει στο διάστημα μίον ένα-ένα. Εμείς γνωρίζουμε ότι οι τυχαίοι αριθμοί είναι στο διάστημα μηδέν και ένα. Άρα λοιπόν, μπορώ το βήμα ως προς χ εχ και εψιλον ψ, x και y, το βήμα ως προς χ λοιπόν θα είναι μίον ένα. Θα το γράψω αλλιώς. Σίγουρα εδώ θα έχω τυχαίο αριθμό, έτσι. Θα είναι η rand. Πόσους τυχαίους αριθμούς θέλω, για κάθε ένα από τα 100 βήματα που θα κάνει, από τα ταφ βήματα που θα κάνει, θέλω ταφ τυχαίους αριθμούς. Άρα ας χρησιμοποιήσω την rand για να παράξω ένα διάνισμα μιας γραμμής και ταφ εκατό εδώ στυλών. Αυτό όμως το διάνισμα θα έχει στοιχεία μεταξύ του μηδέν και του ένα. Εγώ θέλω τα βήματά μου να είναι μεταξύ του μηδέν και του ένα, ώστε να μπορεί να πάει είτε μπροστά είτε πίσω, κατάχυ και κατάψι, και άρα κατάχυ ψ να μπορεί να πάει οπουδήποτε στο χώρο. Για αυτό το λόγο, λοιπόν, θα θυμάστε τις σχέσεις μετασχηματισμού των τυχαίων. Δύο epi rand για να το κάνω από μηδέν έως δύο, μειον ένα συν δύο epi rand για να το κάνω τι με αυτό τον τρόπο. Θέλω όμως κάτι τέτοιο. Εγώ θέλω, για αυτό σας λέω, και να ξέρετε ότι σε αυτό το παράδειγμα κάποια πράγματα μπορεί να είναι σωστά και κάποια πράγματα μπορεί να είναι λάθος, σας το λέω εκ των προτέρων. Άρα, πώς εγώ θα διαμορφώσω ένα βήμα έτσι ώστε το καταχύ και καταψύ βήμα να είναι μεταξύ του μηον ένα και του ένα. Ξέρω ξανά ότι η rand παράγει τυχαίως μεταξύ μηδέν και ένα. Εγώ θέλω να πάω από το μηον ένα στο ένα. Πώς θα το κάνω αυτό? Ωραία. Διπλασιάζοντας το ευρώς της rand. Λέει ο συνάδελφός σας αρχικά να διπλασιάσουμε το ευρώς της rand. Μάλιστα, άρα αν διπλασιάσω το ευρώς, τότε η τιμή που παράγονται είναι μεταξύ μηδέν και δύο. Έτσι. Να το εξηγήσουμε λίγο. Έχω εδώ την κατανομή των τυχαίων αριθμών. Η rand παράγει ισοπίθανα κατανεμημένους αριθμούς μεταξύ μηδέν και ένα. Άρα, αν εδώ είναι το μηδέν και εδώ είναι το ένα, η rand παράγει αριθμούς εδώ μέσα. Συμφωνούμε? Τυχαίους αριθμούς, έτσι, μέσα σε αυτό το διάστημα. Εάν εγώ διπλασιάσω το διάστημα, αυτό το πολλαπλασιάσω επί δύο, τότε ουσιαστικά το φουσκώνω προς το δύο, έτσι, και πηγαίνει εδώ. Το εύρος, δηλαδή, του διαστήματος είναι μεταξύ μηδέν και δύο. Εάν εγώ από κάθε στοιχείο αυτού του διαστήματος αφαιρέσω μία μονάδα, δηλαδή κάνω ένα δήμα αριστερά, τότε τελικά το ακραίο δύο θα γίνει ένα και το μηδέν θα γίνει μίον ένα. Και έτσι, λοιπόν, θα βρεθώ μεταξύ του μίον ένα, ένα. Αυτό κάνω εδώ, καταχύ. Το ίδιο κάνω και καταψύ. Μίον ένα, συν δύο φορές ένα διάνυσμα τυχαίων, που έχει μία γραμμή και ταυστήλες. Με αυτόν τον τρόπο τι έχω πετύχει. Έχω πετύχει να δημιουργήσω δύο διάνύσματα, ένα καταχύ, ένα καταψύ, που το κάθε διάνυσμα έχει τιμές πόσες ταφ και η κάθε τιμή είναι μεταξύ μίον ένα και ένα. Γιατί το θέλω αυτό, ώστε μετά να ξεκινήσω για i από 1 έως ταφ μίον ένα, για παράδειγμα. Άρα για τιμές από 1 έως και ταφ μίον ένα, με στόχο να μην φύγει έξω από το όριο του ταφ, όχι για κανέναν άλλο λόγο. Και για j για το ίδιο διαδροστιμόν, άρα για όλα τα χρονικά δήματα, για i τόσα όσα όλα τα χρονικά δήματα και για j τόσα όλα όσα όλα τα χρονικά δήματα, υπολογίζω τις νέες συνδεταγμένες χ και ψ με τον εξής τρόπο. Οι νέες συνδεταγμένες χ, έχω λοιπόν νέες συνδεταγμένες χ και ψ, που είναι η χ στο εμέσως επόμενο χρονικό βήμα, είναι όποιο ήταν το χ στο προηγούμενο χρονικό βήμα, συν τι, συν το στοιχείο του διανύσματος αυτού που αντιστοιχεί στο επόμενο χρονικό βήμα. Άρα λοιπόν με αυτόν τον τρόπο υπολογίζω τις νέες τιμές των τετμημένων και με αντίστοιχο τρόπο υπολογίζω τις νέες τιμές των τεταγμένων. Έτσι, παίρνω τις τάφτιμες των διανυσμάτων που είναι τυχαίοι αριθμοί μεταξύ μίων ένα και ένα και τις προσθέτω, καταζεύγει κάθε φορά. Οπότε το πρώτο χ είναι η πρώτη τιμή του εχ, η πρώτη τιμή του εξ. Το δεύτερο είναι το πρώτο, γιατί έκανε δήμα, πήγε σε ένα σημείο. Άρα το πρώτο χυ ψ είναι μια συγκεκριμένη τιμή, μια συγκεκριμένη συντεταγμένη. Το επόμενο χυ ψ είναι όσο ήταν το προηγούμενο, είναι μια άλλη τιμή. Με αυτόν τον τρόπο ανανεώνω συνεχώς τις συντεταγμένες και υπολογίζω τις νέες συντεταγμένες στις οποίες βρίσκεται το σωματίδιό μου. Εάν κάνω μια γραφική παράσταση όλων αυτών, ουσιαστικά έχω λοιπόν ένα σύνολο από ταυτυμές στοιχείων διανύσματος χ και ταυτυμές στοιχείων διανύσματος ψ. Έτσι δεν είναι, ξανά. Επειδή βλέπω ότι υπάρχει ίσως μια, ή διεστάζομαι ότι υπάρχει μια απορία. Ξεκίνησα ορίζοντας, μάλλον, συγγνώμη, υπολογίζοντας 100 τυχαίες τιμές που θα τις χρησιμοποιήσω ως τετμημένες και έχουν η καθεμιά μέγεθος μεταξύ μίον 1 και 1 κι άλλας 100 ως τεταγμένες, ο άλλοι μεταξύ μηδέν και 1. Έτσι λοιπόν σκεφτείτε ότι εδώ έχω ένα διανύσμα με 100 τιμές, η πρώτη τιμή, η δεύτερη, η τρίτη. Αυτό είναι το εx1, εx2. Ίσως δεν πρέπει να το κάνω σαν γραμμή. Ας το δείξω σαν διανύσμα. εx1, εx2, εxτ. Και εδώ έχω το αντίστοιχο διανύσμα κατά ψ. εx1, εx2, εxτ. Κάθε μία από τις εx και εx, εx και εy είναι τιμές μεταξύ μίον 1 και 1. Οφού τις κατασκεύασα με αυτόν τον τρόπο. Λέω λοιπόν τώρα ότι για i από 1 ως το σύνολο των βημάτων το i συν 1, έτσι, άρα το δεύτερο σε τιμών είναι το πρώτο συν, να το το x του i, συν το εx του δεύτερου. Οπότε πρακτικά τι κάνω για να μην νομίζω ότι κάνω κάτι πολύ δύσκολο. Προσθέτω αυτά τα δύο. Προσθέτω αυτά τα δύο, το δεύτερο, και κάθε φορά το επόμενο βήμα το προσθέτω στο προηγούμενο για να κάνω τη συνεχή πορεία, να βρω το καινούργιο συνταταγμένο. Εάν το κάνω αυτό, μου προκύπτει αυτή η διαδρομή. Ξεκινώ δηλαδή από το μηδέν μηδέν, το οποίο εδώ το επέλεξα να είναι εδώ, και κοιτάξτε πώς κινήθηκα. Κάθε φορά που θα τρέχω όμως αυτό το πείραμα, επειδή οι τυχαίοι μου αριθμοί είναι διαφορετικοί, δεν θα ακολουθώ την ίδια διαδρομή. Θα ακολουθώ διαφορετικές διαδρομές. Άρα, αν το τρέξω μια δεύτερη φορά, μπορεί να πάω αλλού. Ξεκίνησα από εδώ. Κατά λίγο αλλού. Αν το τρέξω μια τρίτη φορά, ξεκίνησα από εδώ και κατέληξα, πέρασα από όλα αυτά τα σημεία. Ένα ακόμη πείραμα. Έτσι, ξεκίνησα από αυτό το σημείο και κατέληξα επίσης σε ένα διαφορετικό. Μετά από πολλές επαναλήψεις πάντως, η εικόνα είναι κάπως έτσι. Το σημείο 0-0. Και ίσως η εικόνα σας θυμίζει λίγο κάτι. Έτσι δεν είναι. Σας θυμίζει πως είναι 0-0 το σημείο στο οποίο ξεκίνησε και ότι βέβαια όσο απομακρυνόμαστε βλέπουμε λιγότερες διαδρομές. Φαίνεται ότι η πιθανότητα να βρεθεί το σωμάτιο σε μακρινά σημεία είναι μικρότερη από την πιθανότητα του να βρεθεί σε σημεία εγκύτερα του αρχικού σημείου κίνησης. Όμως φαίνεται ότι αν αφήσουμε την προσωμίωση να τρέξει αρκετές φορές τότε ενδεχομένως να έχουμε έναν πολύ μεγάλο αριθμό απομάκρυνσης. Έτσι μπορεί να φτάσουμε πολύ μακριά. Μπορεί να φτάσουμε στη συντεταγμένη 20-15. Αυτό αν θέλετε μπορούμε να το δοκιμάσουμε. Επιτρέψτε μου να το αντιγράψω σε MATLAB. Και ταυτόχρονα... Μισό λεπτό για να με ξαναρωτήσεις μετά να το ξανασυζητήσουμε. Χρειαζόμαστε λίγο χρόνο για να τρέξουμε MATLAB. Οπότε λοιπόν αυτό που κάνουμε είναι ότι μπορούμε να έχουμε τη μία διαδρομή πάνω στην άλλη όπως επίσης μπορούμε να έχουμε μία διαδρομή με πάρα πολύ μεγάλο αριθμό βημάτων. Εδώ ήταν η μία διαδρομή πάνω στην άλλη. Το ερώτημά μου για εσάς είναι εάν τρέξω αυτό το πείραμα των 100 βημάτων πάρα πολλές φορές. Ή τρέξω μία φορά ένα πείραμα όχι 100 αλλά ενός εκατομμυρίου βημάτων. Οι εικόνες που θα λάβω τελικά θα είναι διαφορετικές ή οι ίδιες. Ξανά, έχω εδώ 100 βήματα. Βλέπω ότι πειραματικά προκύπτει πως μπορεί να βρεθεί οπουδήποτε στο χώρο σε μια οποιαδήποτε κατεύθυνση δηλαδή βόρεια, νότια, ανατολικά, εδειτικά και σε μια οποιαδήποτε απόσταση. Εάν συμβεί αυτό και το επαναλάβω πάρα πολλές φορές τότε μπορώ να έχω μία εκτίμηση του κατά μέσο όρο που θα βρεθεί το σωματιό μου. Μπορώ να πάρω και μία άλλη εκτίμηση όπου η προσομοίωση δεν τρέχει 100 φορές, τρέχει 100 χιλιάδες φορές, ένα εκατομμύριο φορές, τρέχει 100 εκατομμύρια φορές. Τότε τι θα συμβεί. Για να δημιουργήσω ένα σκριπτάκι. Οπότε λοιπόν, τι νομίζετε ότι θα συμβεί από τα δύο. Θα έχω μία διαφορετική εικόνα σύγκλισης. Αυτό που πρέπει να σκεφτούμε είναι οι τυχαίοι αριθμοί που παράγονται και που οδηγούν σε τυχαία βήματα μπορούν να μας οδηγήσουν σε μία εικόνα όπου η μεγαλύτερη πιθανότητα έβρεσης του σωματιδίου βρίσκεται κοντά στο σημείο εκκίνησης. Να το θέσω αλλιώς. Είναι όλες οι κατευθύνσεις πιθανές. Φαίνεται πως ναι, οπουδήποτε μπορεί να βρεθεί. Οι αποστάσεις είναι όλες πιθανές. Φαίνεται πως όχι. Δηλαδή σίγουρα όσο απομακρυνόμαστε από το αρχικό σημείο, η πιθανότητα του να βρεθεί εκεί το σωμάτιο μειώνεται. Άρα αυτά τα δύο πού οδηγούν τελικά. Λοιπόν, έχουμε εδώ τους τυχαίους μας βηματισμούς. Τρέχω και επειδή έχω hold on ουσιαστικά, προσθήθεται η μία διαδρομή στην άλλη, σωστά. Άρα έχω τη δυνατότητα, μπορώ να το βάλω και σε ένα loop αλλά βαριέμαι, να το τρέξω αρκετές φορές και έτσι να παράξω μία εικόνα. Βλέπετε ότι καθώς τρέχει, επειδή το έχω πει να πλωτάρει, να θυμίσω πως είναι ένα απλό plot X και X, οπότε λοιπόν όσο αλλάζουν οι τιμές, τόσο και αλλάζει το σημείο 0,0. Δεν έχω περιποιηθεί καθόλου το γράφημα, αλλά δεν πειράζει. Έχω λοιπόν αυτή την ιστορία εδώ και από ένα σημείο και μετά θα αλλάξω λίγο την plot και θα της πω να χρησιμοποιήσει κόκκινο χρώμα από εδώ και στο εξής. Εντάξει, οπότε red, βλέπετε τον δίκτη, σώζω. Και θα του πω ότι το τάφ δεν είναι 100, αλλά είναι 10.000. Τώρα θα πάρει λίγο χρόνο. Τι βλέπουμε αυτή τη στιγμή, βλέπουμε μία τυχαία διαδρομή που ξεκίνησε από το σημείο 0,0 και προχώρησε 10.000 φορές και με μπλε περίπου 10 προσομοιώσεις των 100 βημάτων, λιγότερες δηλαδή. Φαίνεται ότι και οι δύο έχουν την ίδια συμπεριφορά, έτσι δεν είναι. Και μάλιστα, αν έχουμε τη διάθεση να το παλέψουμε ακόμη περισσότερο, μπορούμε να του πούμε να το κάνει green το επόμενο και να πάει στις 100.000 εκατομμύρια βήματα και όσο εμείς το συζητούμε να το υπολογίζει. Οπότε λοιπόν, έχουμε εδώ το παράδειγμα ενός φαινομένου του οποίου η θέση στο χώρο μεταβάλλεται και έχουμε επίσης την ανάγκη να χρησιμοποιήσουμε τυχαίους, είδαμε πώς μπορούμε να το κάνουμε, το έμβρος των τιμών είναι καθοριστική σημασίας, το αν το βήμα είναι μεταξύ μίον ένα και ένα, το αν υπάρχει μπάια στο βήμα, δηλαδή να είναι πιο πιθανό να κάνει βήμα θετικό παρά βήμα αρνητικό, όλα αυτά την μπορούν να προσωμιώσουν. Σκεφτείτε το εξής, είσαστε οι σχεδιαστές αυτής της αυτώματης ηλεκτρικής κούπας, την οποία αφήνετε σε ένα δάπεδο και θα πρέπει να τη σχεδιάσετε ώστε να σαρώσει όλες τις επιφάνειες. Έχετε τουλάχιστον δύο τρόπους να σαρώσετε επιφάνεια. Ένας τρόπος, η σκούπα μπορεί σε κάθε χρονικό βήμα να αποφασίσει να κινηθεί μεταξύ ενός συγκεκριμένου εύρους και δεξιά και αριστερά και πάνω και κάτω. Εάν αυτό συμβεί θα καλύψει τον χώρο με αυτό τον τρόπο. Ένας δεύτερος τρόπος είναι η σκούπα να μην μπορεί να πάει πίσω αλλά να μπορεί να πάει μπροστά, να στραφεί δεξιά, να στραφεί αριστερά. Τι από τα δύο θα οδηγούσε σε καλύτερη σάρωση του χώρου. Όσο λοιπόν περιμένουμε όλα αυτά, ας κάνουμε μια σύνοψη του τι είδαμε συνολικά. Έχουμε δει στην περιοχή των τυχαίων αριθμών την χρήση τους για την προσωμίωση στοχαστικών φαινομένων, τυπικό παράδειγμα τυχερά πέγνια, το ρίξιμο νομισμάτων, ζάρια λοιπόν, ρουλέτα κτλ. Έχουμε όμως δει το πώς χρησιμοποιούμε τυχαίους αριθμούς για να προσωμιώσουμε φαινόμενα που έχουν τέτοιου είδους χαρακτήρα, όπως τον τυχαίο βηματισμό για παράδειγμα ή μια τυχαία εδειγματολυξία. Υπάρχουν στοιχεία της τυχαιότητας με τα οποία θα γνωριστείτε πολύ περισσότερα. Πολύ περισσότερο, πρέπει να είμαι ακριβής, εδώ δεν γνωριζόμαστε με την τυχαιότητα αυτή καθ' αυτή. Παίρνουμε μια γεύση, μια μυρωδιά της τυχαιότητας. Σε μαθήματα όπως η στατιστική θα δείτε πολύ περισσότερα πράγματα ως προς την τυχαιότητα. Υπάρχουν στοιχεία τα οποία έχουν να κάνουν με την παραγωγική διαδικασία στον μηχανολόγο μηχανικό, τα οποία έχουν εξόχως τυχαίο χαρακτήρα και μάλιστα ακολουθούν την κανονική κατανομή. Άρα, όπως σας είχα πει και ξαναλέω, διάμετρη αξώνων, το βάρος μιας κονσέρβας που παράγεται σε ένα εργοστάσιο συσκευασίας τροφίμων. Είναι μια κανονική μεταβλητή που έχει μια μέση τιμή και έχει μια τυπική απόκληση. Το πόσοι είναι η τυπική απόκληση καθορίζει και καθορίζεται από προδιαγραφές του αγοραστή του προϊόντος. Άρα, εσείς προφανώς ως μηχανικοί, μελλοντικοί, δεν θα θέλετε να σχεδιάσετε ένα προϊόντο που θα έχει μέση τιμή 300 γραμμάρια και τυπική απόκληση 200, διότι αυτό σημαίνει ότι το προϊόν σας έχει πολύ μεγάλη πιθανότητα να έχει βάρος από 100 μέχρι 500 γραμμάρια. Ότι δηλαδή το 66% του προϊόντος σας, τα 2 τρίτα του προϊόντος σας, τέχουν βάρη μεταξύ των 100 και των 500 γραμμαρίων. Θεωρείτε αυτό φερέγγιο προϊόν? Όχι, βέβαια. Πέραν αυτού δεν συμφέρει παραγωγικά. Έτσι, λοιπόν, είδαμε το πώς χειριζόμαστε τυχαίους και με αυτόν τον τρόπο θα τους χειριστείτε στο τρίτο θέμα, ενώ σήμερα είδαμε αριθμητικές μεθόδους, είδαμε τρόπους παραγώγησης και ολοκλήρωσης με αριθμητικό τρόπο και είδαμε και συμβολικές μεταγλυτές και τη χρήση τους για συμβολική παραγώγηση και ολοκλήρωση.