6.3 Τετραγωνισμός και Εμβάδον / Ενότητα 6 ,#3 , 13/05/14 (από 34,29 εώς τέλος ) και 14/05/14 (από αρχή εως 23,20) - Χαραλάμπους Χαρά (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Ενότητα 6 ,#3 , 13/05/14 (από 34,29 εώς τέλος ) και 14/05/14 (από αρχή εως 23,20): Φετρεγονισμός και εμβαδό. Πώς υπολογίζει κανείς τα εμβαδά κάτω από μία εξίσουση. Αυτό είναι το μεγάλο το πρόβλημα. Είδαμε ότι ο Αρχιμήδης έχει χρησιμοποιήσει τη μέθοδο να διαιρεί το τμήμα σε πολύ μικρά τυματάκια. Έχει χρησιμοποιηθεί όταν προσπαθούσε να βγάλει την... όταν μίλησε για το εμβαδό του κύκλου. Έχει χρησιμοποιηθεί όταν προσπαθούσε να διαιρεί το τμήμα σε πολύ μικρά τυματάκια. Εν μεταξύ έχει γίνει πολύ δουλειά για να φτάσουμε εδώ. 635 καβαλιέρι και ο φερμά με τον Ρομπερβάλν έχουν γίνει πράγματα τα οποία δεν προλαβαίνουμε να αναφέρουμε. Αριστερά και στα δεξιά είναι μια εικόνα που υποτίστε ότι επικονίζει τον Ρομπερβάλν να κρατάει πάνω στη σφαίρα και να κρατάει τον διαβήτη. Έτσι οι μερομηνίες τις βλέπουμε. Ο καβαλιέρι είχε οδηγηθεί με τη μέθοδο αυτή των αδιαιρέτων να κόβουμε το τμήμα κάτω από μια καμπύλη σε πολύ μικρά τυματάκια. Έχει καταφέρει να δείξει ότι κάτω από την καμπύλη χ στην εν αν πάρει κανείς το εμβαδό ανάμεσα σε σημείο ξυπνάει από ένα σημείο μέχρι το α, τότε το εμβαδό εχόταν από αυτόν εδώ τον τύπο. Έτσι και είχε καταφέρει να δείξει αυτόν τον τύπο μέχρι και για 1 ίσον με 9. Ο Ρομπερβάλν το έδειξαν γενικότερα ότι ισχύει για καθένα. Ότι αυτή η καμπύλη που μπορούν να την περιγράψουν έχουν τώρα τον τρόπο να περιγράφουν καμπύλες. Την καμπύλη αυτή έχει εμβαδό α στην εν συν ένα ως προς εν συν εν για καθένα. Αυτό ισχύει και θα το δούμε αυτά αύριο. Αυτό ισχύει για αυτήν εδώ την καμπύλη είναι η απόδειξη των Φεμά και Ρομπερβάλν όταν το εν είναι θετικό. Όταν το εν είναι θετικό μπορείς να τα κάνεις αυτά από ένα συγκεκριμένο σημείο το μηδέν και πας εκεί. Θα τα συζητήσουμε αύριο γι' αυτό τα περνάω γρήγορα. Απλά ήθελα να πω ότι ο Φεμά αντιμετώπισε και αυτό εδώ το πρόβλημα. Τι γίνεται όταν έχεις χ στι μίον εν ή ένα αντικό εν. Στην περίπτωση αυτή δεν ακουμπάς το μάξονα είναι ασύνητος. Και ο συμβουλή του Φεμά είναι ότι μπορείς να μιλήσεις και γι' αυτό εδώ. Και θα δούμε στο τέλος αυτής της εβδομάδας το πως ήρθε ο Νεύτωνας με την ιδέα του για τον λογισμό. Και αντίστοιχα θα μιλήσουμε και για τον Λάινιτς, τα δυο άτομα στα οποία αποδίδεται ο λογισμός. Αυτά. Το πρόβλημα του εμβαδού. Για να υπολογίσουμε εμβαδά ολοκληρώνουμε. Ήδη από τις ιδέες του Αρχιμήδη προκύπτει ότι για να υπολογίσεις ένα εμβαδό προσπαθείς να χωρίσεις ένα τμήμα σε όσο πιο μικρά τμήματάκια μπορείς να το κάνεις. Και αυτή την ιδέα που την είχε χρησιμοποιήσει ο Αρχιμήδης για το εμβαδό κάτω από μία παραβολή, για το εμβαδό ενός παραβολικού τμήματος, όπου είχε χρησιμοποιήσει τρίγωνα, την χρησιμοποίησε και ο Καβαλιέρη, έτσι και θα δούμε τώρα τον Φερμά και τον Ρομπερ Βάλ. Και έχει εδώ πράγματα πραγματικά για να θαυμάσουμε. Λοιπόν, καταρχήν ο Καβαλιέρη με την μέθοδο των αδιαιρέτων, ακόμη με το άπειρο δεν υπάρχει πλήρη σεξικίωση, υπάρχουν αυτά τα αδιαιρέτα και είχε μπορέσει να αποδείξει, όπως είπαμε και την προηγούμενη φορά, ότι το εμβαδό κάτω από την συνάξιση χ στην εν, από το μηδέν μέχρι το άλφα, είναι ίσως δύναται από αυτόν εδώ τον τύπο. Να σημειώσω ότι το σύμβολο για το ολοκλήρωμα δεν υπάρχει. Και αυτή τη στιγμή το χρησιμοποιώ για να πω το εμβαδό, το οποίο περικλείται αν χ στην εν, θα δώσω το χ στην εν πάρα πολύ τοπικά, έτσι μπορεί να είναι μία άλλη καμπύλη. Αλλά αυτό που εννοώ με το σύμβολο 0,α χ στην εν διχει, αυτό το σύμβολο δεν υπάρχει, το χρησιμοποιούμε εμείς τώρα για σύντομο γραφία, για να εννοήσουμε το εμβαδό, το οποίο είναι ανάμεσα στο άλφα, ανάμεσα στο μηδέν και στο άλφα. Αυτό συμβολίζει αυτό το σύμβολο, γιατί έτσι γνωρίζουμε σήμερα με τη χρήση του λογισμού, ότι το ολοκλήρωμα αυτό θα μας δώσει αυτό το εμβαδό. Το πρόβλημα λοιπόν που απασχολούσε τους μαθηματικούς είναι να υπολογίσουν εμβαδό και για αυτό το εμβαδό, για το τμήμα του εμβαδού αυτό που έχω σκιάσει, ο Καβαλιέρη χωρίζοντας σε πολύ μικρά τμήματα, είχε μπορέσει να δείξει ότι για εν μέχρι εννιά αυτό το εμβαδό δύναται από αυτόν εδώ τον τύπο. Εξαρτάται στο σημείο που θα τελειώσει, στο άλφα, είχε χωρίσει σε μικρά μικρά τμήματα και είχε πει αυτός εδώ είναι ο τύπος. Τον οποίον έχει μπορέσει να αποδείξει μέχρι και γεννή ίσον με εννιά. Και ο Φερμά και ο Ρομπερβάλ κατάφεραν να το αποδείξουν για μεγαλύτερα εννιά. Και ήθελα λίγο να δούμε και να ασχολιάσουμε την δικιά τους την αποδείξη. Σε αυτήν την αποδείξη που δείχνω το έχουν υπολογίσει για ψήσον με χ στην Κ. Αυτό λοιπόν το οποίο κάνουν είναι διαιρούν αυτό το διάστημα από το 0 μέχρι το άλφα σε εν τμήματα. Και μετά φτιάχνουν τα ορθογόνια. Και μάλιστα φτιάχνουν δύο ορθογόνια. Το ένα ορθογόνιο όπως μας θυμίζει αυτό το οποίο θα κάναμε σύγχρονα. Διαιρούν λοιπόν θα το κάνω για το πρώτο διάστημα, για αυτό εδώ το διάστημα. Θα υποθέσω ότι είναι ένα μικρό διάστημα. Έτσι και θα υπολογίσω σε αυτό εδώ το διάστημα έχω ένα ορθογόνιο το οποίο χρησιμοποιώ με ύψος αυτό εδώ. Και ένα άλλο ορθογόνιο το οποίο θα χρησιμοποιήσω το οποίο έχει ύψος αυτό εδώ το σημείο. Για το ένα σημείο λοιπόν παίρνω το αρχικό σημείο, για το ένα εμβαδό του ορθογονίου και για το άλλο παίρνω το τελικό. Εντάξει αυτή είναι η ιδέα και ξέρουμε ότι το εμβαδό το οποίο θέλουμε βρίσκεται ανάμεσα αν τα θρήσω όλα αυτά. Εντάξει αν τα θρήσω όλα αυτά βλέπω παίρνω ένα σχήμα που αποτελείται από ορθογόνια. Το εμβαδό που με ενδιαφέρει είναι ανάμεσα στα δύο εμβαδά. Άρα θέλουμε να τα υπολογίσουμε. Πάμε στην ιωστή θέση. Στην ιωστή θέση ποια είναι η βάση. Αντί για α σε αυτή την περίπτωση έχω πάει στο χ0, το χ0 είναι το τελευταίο. Άρα έχω χωρίσει το διάστημα το χ0 που έχει μήκος χ0. Σε αυτή την περίπτωση αυτό το α είναι χ0. Παίρνω λοιπόν αυτό το διάστημα από το 0 έως το χ0 και το χωρίζω σε εν τμήματάκια. Το κάθε ένα από αυτά τα τμήματα έχει βάση ίση με χ0 διά 1. Το ύψος όπως σχολίασα ότι μια φορά θα είναι y επί χ0 εις την k, διά 1 εις την k. Έτσι γιατί αυτό είναι το τελικό σημείο το ένα από το τελικό σημείο. Ενώ αντίστοιχα και το βλέπουμε στο τελευταίο κάτω κάτω το μικρό το ορθογόνιο το οποίο έχει ύψος στο αρχικό σημείο του διαστήματος έχει ύψος i-1 επί χ0 διά 1 όλο αυτό εις την k. Τα προσθέτω όλα αυτά τα εμβαδά. Το εμβαδό που με ενδιαφέρει είναι ανάμεσα στα δύο αυτά θρίσματα. Το πρώτο άθροισμα που έχει να κάνει με τα εμβαδά των ορθογωνίων με το μεγαλύτερο ύψος είναι στην άκρη του τμήματος. Το ένα λοιπόν άθροισμα φαίνεται είναι αυτό το οποίο έχω γράψει είναι εδώ. Πωρώ να βγάλω το χ0 στην k-1 δια 1 στην k-1 κοινό παράγοντα και μετά μένει μέσα το 1 στην k-1 μέχρι το 1 στην k-1. Για το άλλο δεν διαφέρει πάρα πολύ. Ξαναβρίσκω το μ-1 άθροισμα ήταν αυτό που έγραψα προηγουμένως για το άλλο άθροισμα έχω αυτό εδώ. Ό,τι σχεδόν είχα πριν το οποίο είναι το πρώτο κομμάτι αλλά αφαιρώ αυτό εδώ το μ-χ0 στην k-1 δια 1. Και το συμπερασμά μου είναι ότι το εμβαδό που μας ενδιαφέρει είναι ανάμεσα σε αυτά εδώ τα δύο. Είναι μικρότερο από το μεγαλύτερο που είναι κάτω κάτω και μεγαλύτερο από το μικρότερο που είναι πάνω πάνω. Τώρα ο τύπος που θέλουμε να δείξουμε είναι το α στην k-1 δηλαδή εντύστοιχα είπαμε για α έχουμε το χ0 χ0 στην k-1 δια 1 στην k-1. Τι μπορούμε να το δείξουμε αυτό. Δια k-1 χ0 στην k-1. Αυτό για να το ξαναδούμε. Έχω λοιπόν εδώ θέλω να υπολογίσω αυτό εδώ το εμβαδό. Είπαμε ότι είναι εμβαδό. Να το κάνουμε με σύγχρονες μεθόδους. Έχω το χ στην k αυτή είναι η καμπίνη μου. Και αυτό εδώ το εμβαδό είναι χ στην k-1 δια k-1 δηλαδή τελικά θα μου βγει χ0 στην k-1 δια k-1. Αυτό είναι το αποτέλεσμα που γνωρίζω ότι είναι σωστό και αυτό προσπαθούσα να δείξουν και ο Φερμάκ και ο Ρομπερβάνκ. Και το έχουν εφέρει ότι είναι ανάμεσα σε αυτές εδώ τις δύο εκφράσεις. Δύο εκφράσεις έχουν να κάνουν με το κεφαλαίο n και θεωρούν ότι όσο προχωράει αυτό το n γίνεται όλο και πιο μικρό. Δηλαδή υπάρχει έννοια του ορίου. Κάπου εκεί παίζουμε την έννοια του ορίου. Το παίρνουμε να γίνεται όλο και πιο μικρό. Εντάξει, το μήν τελευταίο κομμάτι, το χ0 που αφαιρούμε από πάνω, το μειών χ0 στην k-1 δια n, όταν το n γίνεται πολύ μεγάλο, δεν έχουμε πρόβλημα να παραδεχτούμε ότι αυτό θα γίνει όλο και πιο μικρό, να το θεωρήσουμε ότι είναι μηδέν. Έτσι, μπορούμε διασθετικά να το δεχτούμε. Για το άλλο κομμάτι, αν το τελευταίο κομμάτι είναι μηδέν, το υπόλοιπο κομμάτι, αυτό που είναι στο κλάσμα που έχει έναν αριθμητή και έναν παρονομαστή, αυτό λοιπόν που είναι στο κλάσμα, ξέροντας την τελική απάνηση, θέλουμε η τελική απάνηση να μου πει ότι αυτό το κλάσμα όλο μαζί μου δίνει το 1 δια k-1. Δεν είναι απλό, δεν είναι απλό για να το δείξει κανείς και εδώ φαίνεται η ικανότητα αυτών των δύο μαθηματικών. Αυτό λέμε, γιατί δεν ήταν γνωστό μέχρι τότε, ότι αν πάρεις τελικά το άθρησμα που έγραψα προηγουμένως, μπορείς να δείξεις ότι 1 στην k συν τελίτσες τελίτσες μέχρι το 1 κεφαλαίο στην k-1 είναι περίπου ίσου με το 1 δια k-1. Να τονίσω ότι τέτοιου είδους αθρίσματα, αυτό κάνουμε από i στην n μέχρι το n, τέτοιοι τύποι, δεν είναι τόσο απλό για να τους βγάλουμε, αλλά υπάρχουν τέτοιοι τύποι και μάλιστα είναι ενδιαφέρον αν θέλετε να προσπαθήσετε εντάξει με τα εργαλεία που έχετε, να αποδείξετε ότι όντως αυτό εδώ το άθρησμα δια n στην k-1, όταν το n γίνεται πάρα πολύ μεγάλο, τότε πλησιάζει όταν πάρω το όριο, τότε αυτό θα πλησιάσει στο 1 δια k-1. Όταν το n γίνει ένας πολύ μεγάλος ακέραιος, τότε αυτό θα πάει στο 1 δια k-1. Εντάξει και τελικά αυτό που με μένει, είχα το χ0 στην k, το κλάσμα πίστηκα ότι είναι το 1 δια k-1 αυτό που γνώριζαν ο Φερμάκης και ο Ρπερβάλ και τελικά όντως το εμβαδό το οποίο ζητούσα είναι αυτής εδώ της μορφής. Τώρα μίλησα για όριο, όταν το n γίνεται πάρα πολύ μεγάλο. Εντάξει έβαλα την έννοια του ορίου, είναι όριο, έχει νόημα να μιλάμε για όριο. Το όριο όταν το n γίνεται πάρα πολύ μεγάλο. Όταν τα γράφω αυτά, το n είναι ένας ακέραιος, έχει νόημα να μιλάω για το όριο όταν λέω παίρνω το όριο στους ακαιρέους. Όταν κάνουμε όρια, θεωρούμε μπορούμε να κρατήσουμε τα όρια στους ακαιρέους ή τα παίρνουμε πάνω σε ένα συνεχές τμήμα. Έχει μαθηματική πόσταση αυτή η έννοια του ορίου. Έγινε κατανοητό αυτό το οποίο ρωτάω. Είναι μια συνεχής ποσότητα το κεφαλαίο n, είναι ένας ακέραιος. Όταν το n γίνει πάρα πολύ μεγάλο, πως δείχνει κανείς αυτό το οποίο λέμε ότι γνώριζαν οι Φερμάκηρο Περβάλ, ότι η έκφραση αυτή είναι ίση με το 1, διακάπας συν ένα. Πως αποδεικνύεται αυτό. Έτσι έχει ενδιαφέρον. Το άλλο το οποίο ήθελα να παρατηρήσω είναι ότι οι Φερμάκηρο Περβάλ έφτασαν στο ίδιο αποτέλεσμα παράλληλα. Πάντως εδώ πέρα αυτό έχει νόημα βέβαια όταν το k δεν είναι μειον 1. Γιατί όταν το k είναι μειον 1 τότε έχουμε πρόβλημα εδώ πέρα. Αυτό λοιπόν έχει νόημα για ακεραίους και μάλιστα έτσι όπως το έδειξα είναι αυτό που είχαν κατανοούν είναι θετική ακέρη. Θυμάστε είχαμε πει ότι κάπου εδώ μέσα εμφανίστηκαν και οι λογάριθμοι αυτή την εποχή. Λογάριθμοι και εδώ φάνηκε η σύνδεση. Οι λογάριθμοι εμφανίζονται, έχουν νόημα, όταν έχεις στη σειρά 1 διαχεί, όταν έχεις στην έκφραση χ στις μειον 1. Όταν πάρεις να πάρεις αυτό το ολοκλήρωμα το χ στις μειον 1. Ο Φερμάκης δεν έκανε κάτι με τους λογαρίθμους αλλά υπολόγησε το εμβαδό αυτής της καμπύλης, δηλαδή κάτι παραπάνω από αυτό που είχαν κάνει προηγουμένως, όταν έχεις έναν αγνητικό ακέραιο και ο ακέραιος αυτός είναι μικρότερος από το μειον 1. Έχεις ψή λοιπόν χ στις μειον 1. Η αντιμετώπιση αυτής της περίπτωσης είναι διαφορετική από την προηγούμενη. Στην προηγούμενη πήρα το τμήμα από το μηδέν έως το άλφα, έτσι ήθελα να υπολογίσω το εμβαδό ενάμισα στο μηδέν και στο άλφα κάτω από την καμπύλη μου. Πήρα αυτό το τμήμα και το χώρισα σε εν ίσα τμήματα κεφαλαίων και μετά προσπάθησα να καταλάβω τι γίνεται όταν αυτό το εν γίνει πάρα πολύ μεγάλο. Στην περίπτωση αυτή προσπαθούμε να υπολογίσουμε τι γίνεται με το εμβαδό ξεκινώντας από το σημείο χ μηδέν μέχρι οσότου μπορέσει να πάει. Πώς αντιμετωπίζουμε λοιπόν αυτήν εδώ την περίπτωση. Αυτό που κάνουμε είναι ότι θα υπολογίσουμε κάποια άλλα ορθογωνία του εμβαδό κάποιων άλλων ορθογωνίων. Τώρα η βάση αυτών των ορθογωνίων δεν είναι σταθερή. Η βάση των ορθογωνίων βλέπετε ότι σιγά σιγά μεγαλώνει. Τι έχουμε κάνει λοιπόν. Διαλέγουμε ένα M και διαλέγουμε και ένα N και διαλέγουμε το M να είναι μεγαλύτερο από το N. Κάθε φορά αν πάρω το ιωστό ορθογώνιο τότε το πρώτο το τμήμα του ορθογωνιού στην ιωστή ξεκινάω λοιπόν από το χ μηδέν πάω στο ιωστό τμήμα. Στην πρώτη περίπτωση έχω το χ μηδέν και μετά εδώ έχω κάτι λίγο μεγαλύτερο από το χ μηδέν. Έχω ορίσει το M δια N. Πάω λοιπόν εδώ που είναι το M δια N επί χ μηδέν. Το M είναι μεγαλύτερο από το N. Πάρω λοιπόν ένα σημείο που είναι στα δεξιά του χ μηδέν. Στην ιωστή θέση τα δύο σημεία είναι αυτά τα οποία γράφω εκεί πέρα. Έχει μεγαλώσει λίγο το τμήμα. Έχω το ένα σημείο είναι το M δια N. Είμαστε εδώ. M δια N στην I μειον 1 επί χ μηδέν. Ενώ από την άλλη έχω πάει στην επόμενη δύναμη. M δια N στην I επί χ μηδέν. Βλέπω λοιπόν ότι αυτά τα τμήματα αυξάνονται. Αυξάνεται η βάση. Και μετά υπολογίζω ο τέμβαδο του πρώτου ορθογωνίου. Έχω τη βάση με το ύψος. Ποιο είναι το ύψος. Το ξεκινάω με το ύψος του σημείου που είναι στα αριστερά. Το ύψος λοιπόν είναι χ μηδέν στην μειον k και μετά πολλαπλασιάζω με το μήκος. Και μας βγαίνει αυτός εδώ ο τύπος. Και αν το κάνει αυτό ο κανείς για όλα τα ορθογόνια βγαίνει αντίστοιχα ο τύπος ri για τα υπόλοιπα ορθογόνια. Το ri λοιπόν συνδέεται με το εμβαδό του ri που μεγαλώνει η βάση του. Συνδέεται με το εμβαδό του r1. Και ο τρόπος που συνδέεται είναι με αυτήν την έκφραση. Για να τα θρήσουμε. Αυτή είναι η εικόνα με τα ορθογόνια. Η βάση γίνεται σιγά σιγά πιο μεγάλη. Έχω βάλει τα σημεία που είναι στο αριστερά και στα δεξιά κάθε ευθύγμου κμήματος. Και αθρίζουμε λοιπόν αυτά τα άπειρα εμβαδά. Έχω άπειρο αριθμό εμβαδών. Τα αθρίζω. Και όταν τα αθρίζω βγάζω αυτό το άθρισμα R1 επί ένα άπειρο άθρισμα. Το οποίο ξεκινάει από την μονάδα στην ένδια M στην κ-1 και συνεχίζει. Ο Φερμά ήξερε πως να χειριστεί αυτό το άπειρο άθρισμα. Αν ξεκινάς από το 1-M στην κ-1 ήξερε ότι αυτό το άπειρο άθρισμα και εμείς το γνωρίζουμε τώρα γιατί έχουμε τις τεχνικές για να κάνουμε αυτή την γεωμετρική σειρά. Γεωμετρικές σειρές να θυμίσω ότι είχε ξεκινήσει ο Αρχιμίδης και είχε δώσει κάποια τέτοια παραδείγματα αθρίσματος. Αυτό πάνω στο Φερμά το γνώριζε ότι αυτή εδώ η άπειρη σειρά είναι ίση με το 1 για την έκθεση που έχουμε γράψει παρακάτω. Και μετά λέει ότι όταν το M προς N τίνει στη μονάδα, δηλαδή συνεχίζω να κάνω αυτήν εδώ, έχω όλα αυτά τα άπειρα έμβαδα, αλλά μετά αρχίζω να παίρνω το M να πλησιάζει το 1. Το M λοιπόν προς N να τίνει στη μονάδα, τότε κάθε ένας από αυτούς τους όρους στον παρανομαστή, τίνει κι αυτός να πάει στη μονάδα. Και όταν τα θρήσω όλα αυτά, βγάζω το χ0 στην μειών Κ'1, πόσους όρους έχω στον παρανομαστή, Κ'1 όρους. Και απέδειξα τον τύπο για το εμβαδό, όταν το Κ είναι αρνητικό και μικρότερο από το μειών 1. Σε αυτήν εδώ την απόδειξη, αυτό που παρατήρησε ο Φερμάι είναι ότι τα εμβαδά ολοένα και μικραίνουν. Τα εμβαδά αυτόν, παρόλο που μεγαλώνει η βάση, το ύψος μικραίνει και μάλιστα έδειξε ότι ό,τι προσθέσω από κει και πέρα, θα είναι ίσο με αυτό. Μεγάλο βήμα αυτό και μεγάλο βήμα γιατί πάλι έχουμε πάει στον αθρίσμα το άπειρο. Είναι πια ξεκάθαρο ότι τα επόμενα βήματα για να φέρουν τον λογισμό παραπάνω θα χρειαστεί να δουλέψουν με άπειρες σειρές ή με συναρτήσεις οι οποίες να αναπαριστώνται με άπειρα αθρίσματα. Τα βασικά θεωρήματα του λογισμού, έτσι τα έχω βάλει στις δύο ομορφές, τα θεμελιώδη θεωρήματα του λογισμού, που δείχνουν την αντίστροφη σχέση ανάμεσα στο ολοκλήρωμα και στο εμβαδό και στην εφαπτομένη, στο ολοκλήρωμα και στην παραγώγηση. Αυτά είναι συμβολισμοί οι οποίοι ακόμη δεν υπήρχαν, δεν έχουν εμφανιστεί. Αλλά το θεμελιώδης θεώρημα του λογισμού, στο οποίο έφτασε ο Νεύτωνας, γράφουν αυτήν την αντίστροφη σχέση ανάμεσα στα εμβαδά και στις εφαπτομένες και αυτός είναι ο συμβολισμός μας. Ολοκλήρωμα για εμβαδό, παραγώγηση για εφαπτομένη. Τέτοιου είδους αντίστροφη σχέση έχει αρχίσει και πρωτοφαίνεται και στη δουλειά του Μπέρο, ο οποίος ήταν όχι μόνο καθηγητής μαθηματικών αλλά και αρχαίων ελληνικών. Και είναι στο Πανεπιστήμιο του Κέμπριτς και βέβαια είχε εκκληγεί και μέλος της Ακαδημίας της Ρόγιαλος ο Σάαιτης και παρατήρησε λοιπόν ότι υπάρχει αυτή η αντίστροφη σχέση για τα προβλήματα των εφαπτομένων και αυτά του τέτραγωνισμού και είχε μιλήσει για αυτά στις διαλέξεις του στο Πανεπιστήμιο. Το λέω αυτό γιατί αυτές οι διαλέξεις φτάσανε στον Νεύτωνα. Αυτές επηρεάστηκαν και ο Νεύτωνας. Και επίσης να αναφέρω και τον έναν άλλον Γκρέγορη, τον Τζέιμς Γκρέγορη, το οποίο το έργο του παρέμεινε εκείνη την εποχή παραγνωρισμένο παρόλο που είχε κάνει πολλά βήματα προς αυτή, είχε οριμάσει πια ο καιρός για αυτού του είδους το λογισμό, για την εφεύρεση του λογισμού και μέσα στο έργο του βλέπουμε πολλά πράγματα για τη Σειρέση Τέιλωρ αλλά η Σειρέση Τέιλωρ δημοσιεύτηκαν από τον Τέιλωρ το 1716 μετά από τον Γκρέγορη αλλά έχουν παραμείνει με το όνομά τους, γι' αυτό λέμε παραγνωρισμένο το έργο του. Και βέβαια το άλλο το οποίο έχει επηρεάσει την όλη πορεία είναι η διαμάχη που υπήρξε με τον Γκρέγορη, του Χάιτζαν, έχουμε ξαναμιλήσει για τον Χάιτζαν, τον Ολανδό στα γράμματα με τον Μερσέν ο οποίος προσπαθούσε να φέρει τους μαθηματικούς σε επαφή τον ένα με τον άλλο.