1.2 Τα Μαθημαικά των αρχαίων Αιγυπτίων / Ενότητα 1 , #1 ,26/02/14 - Χαραλάμπους Χαρά (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Ενότητα 1 , #1 ,26/02/14: Συζητήσαμε την προηγούμενη φορά, δηλαδή χθες, για τους Μεσοποταμίους και για τους Αιγυπτίους. Μεσοποταμία που βρίσκεται? Ορίστε! Ανάμεσα στον Τίγρη και στον Εφράτη και γι' αυτό λέγεται Μεσοποταμία ανάμεσα σε δύο ποταμούς. Τίγρης και Εφράτης που βρίσκονται στην Ασία, εντάξει, ή Αφρική. Ασία και περίπου πού, ποιες είναι οι σύγχρονες χώρες. Ιράκ, λίγο Συρία, λίγο Κουβέιτ, λίγο πάνω πάνω Τουρκία, θα τα δούμε αυτά. Είχαμε δει για τους Παπίρους των Αιγυπτίων και σε ένα από τα προβλήματα, στον Πάπιρο που ήταν στο Μουσείο στη Μόσχα, είχαμε δει ότι ήξεραν και μπορούσαν να υπολογίσουν τον όγκο, ακόμη και τον όγκο είχαν δώσει τις οδηγίες για το πώς να υπολογιστεί, όγκος μιας τμημένης πινακίδας, πυραμίδας. Πώς θα το κάναμε εμείς αυτό σήμερα? Έχουμε μία πυραμίδα με τετράγωνη βάση, κάπου εδώ, εδώ, στην πίσω μεριά. Η πυραμίδα μας και την κόβουμε με ένα επίπεδο παράλληλο προς τη βάση. Και αυτό που μένει, αυτό που έχουμε, είναι αυτό εδώ το κομμάτι. Μησκετάζουμε αυτό και οι οδηγίες που υπήρχαν εις αυτόν τον Πάπυρο λέει, έχουμε αυτό το κομμάτι της πυραμίδας, ξέρουμε αυτήν εδώ την πλευρά, ένα νούμερό, δεν θυμάμαι τώρα ποιό, νομίζω το έξι, έχουμε και αυτήν εδώ την πλευρά και έχουμε αυτό εδώ το ύψος. Και διάβαζε ο Πάπυρος, κάνε αυτές τις πράξεις, ύψωσε στο τετράγωνο, πολλαπλασίασε κάτι, διέρεσε με το τρία και θα βρεις τον όγκο αυτού του σχήματος. Ένα κομμάτι το οποίο θα σας ζητήσω να προσπαθήσετε να κάνετε, είναι να δείτε το πώς βγαίνει, το πώς θα βγάζετε αυτόν τον τύπο για τον όγκο και να πω τι μπορείτε να θεωρείτε γνωστό, ότι το ξέρατε και ότι στηριζόντουσαν εκεί ή θα το χρειαστείτε, ότι είχαν τον τύπο για τον όγκο της πυραμίδας. Ποιος είναι ο τύπος για τον όγκο της πυραμίδας? Αν ξέρω τη βάση, έχω το ύψος, ποιος είναι ο όγκος της πυραμίδας? Βασική γεωμετρία είναι αυτά από αυτά που τα ξέραμε στο σχολείο. Μετά προχωρήσαμε πολύ. Έχει εκείνο το ένα τρίτο, εμβαδό, επί το ύψος. Χρησιμοποιώντας λοιπόν αυτόν εδώ τον τύπο ότι ο όγκος της πυραμίδας είναι συνολικά ένα τρίτο. Η βάση είναι το β. Δετράγωνο. Επί το συνολικό ύψος, να το ονομάσεις ο h, όλο αυτό εδώ, να είναι το h και γνωρίζοντας ότι αυτό το κομμάτι, αυτό το ύψος που ζητά αυτό του σχήματος είναι μικρό h, προσπαθήστε να βγάλετε τον τύπο για τον όγκο του σχήματος της στετμημένης πυραμίδας. Για να τον θυμηθούμε κιόλας. Ο Πάπυρος της Μόσχας, που είπαμε εχθές ότι είναι από το 1600 π.Χ., απλά ενδιαφέρον είναι αυτό, έχει μέσα 25 προβλήματα και το μήκος του είναι 6 μέτρα. Ενώ το πλάτος του είναι μόλις 5 εκατοστά. Δεν είναι πολύ το πλάτος. Μέσα σε αυτά τα 5 εκατοστά, όπως βλέπετε, είχαν γραφτεί όλα αυτά εδώ, που ήταν οι οδηγίες στο πώς να βρεις τον όγκο σε αυτό εδώ το σχήμα. Η μετάφραση των συμβόλων έλεγε αν έχεις αυτήν εδώ την πυραμίδα με αυτό το ύψος, με βάση πλευρά 4, η κορυφή να έχει μήκος 2, από το ύψος είναι 6, μια πλευρά είναι 4, η άλλη είναι 2. Κάνεις αυτές τις πράξεις, στο τέλος θα βρεις 56. Και ο τύπος τον οποίο χρησιμοποιούν είναι το τύπο στον οποίο είδαμε εδώ κάτω. Είναι το 1 τρίτο, επί αι, αυτό είναι στην ουσία που ζητάει να κάνουν. Είναι το 1 τρίτο, επί το μικρό το η, α4, συναβ, συνβ4. Σήμερα εμείς προσπαθούμε να καταλάβουμε ποιες γνώσεις είχαν για να μπορέσουν να βγάλουν αυτόν τον τύπο ή πώς θα έβγαινε αυτός εδώ ο τύπος. Και η πρώτη προσπάθεια θα ήταν να προσπαθήσουμε να βγάλουμε εμείς τον τύπο με τα στοιχεία που έχουμε. Έχω δώσει εδώ κάποιες υποδείξεις, δοκιμάστε να τις ακολουθήσετε. Έτσι, υπάρχουν κάποια όμια τρίγωνα, γιατί κόβουμε με ένα επίπεδο παράλληλο. Από αυτά τα όμια τρίγωνα βγαίνουν αυτές εδώ οι σχέσεις ανάμεσα στα κλάσματα και λύνοντας ως προς H και H κεφαλαίο. Η ιδέα είναι, από το συνολικό όγκο της πυραμίδας, αφαιρείς τον όγκο της μικρής πυραμίδας που διώχνεις και κάνοντας τις πράξεις, καταλήγεις εκεί. Το οποίο, αν πιστεύσουμε ότι είναι αυτός ο τρόπος που ακολουθήσαν οι αρχαίοι Αιγύπτιοι, σημαίνει ότι είχαν ήδη γνώση ή πιστεύαν στο νόμο για τα όμια τρίγωνα. Έτσι χρησιμοποίησαν την ομοιότητα των τριγώνων και την αναλογία αυτών εδώ των κλασμάτων, το οποίο δεν είναι κάτι, να πούμε, προφανές. Την είχαν αυτήν εδώ τη γνώση. Υπάρχει άλλος στοιχειώδης τρόπος για να βγει ο όγκος αυτής εδώ της πυραμίδας, μήπως μπορούμε να χωρίσουμε το σχήμα της τετμημένης πυραμίδας, το σχήμα που απόμενει από κάτω, σε κάποια άλλα σχήματα με γνωστό όγκο. Ήπως και αυτός ο τρόπος θα μπορούσε να είναι. Αυτό λοιπόν είναι ένα κομμάτι που για όποιους ασχολούνται με την ιστορία των μαθηματικών, ο Πάπυρος βέβαια αυτός έχει μελετηθεί πολύ, το συγκεκριμένο πρόβλημα έχει μελετηθεί πολύ, αλλά και για κάποιον που θα ασχολιόταν με την ιστορία των μαθηματικών θα προσπαθούσε να δει με ποιος τρόπος θα μπορούσε κάποιος να βρει αυτόν τον όγκο, γνωρίζοντας ότι φανταζόμαστε ότι γνωρίζανε εκείνη την εποχή η αρχαία Αιγύπτη. Πάνω σε εδώ υπάρχει μια ένδειξη ότι γνωρίζανε για τα ομιατρίδα και είχαν αυτήν την ιδέα των αναλογιών και του κλάσματος το οποίο προκύπτει. Να θυμίσω ότι αυτά είναι τα νούμερα στην ιερατική γραφή των αρχαίων Αιγυπτίων και αν προσπαθήσουμε να διαβάσουμε το 46206 που είναι το πρώτο σχηματάκι, βλέπετε το έξι θα γράφουν δηλαδή από αριστερά προς τα δεξιά, έχουν βάλει τις γραμμούλες μαζί, στη συνέχεια τα κατοστάρια και ούτω καθεξής μέχρι να αναπαραστήσουν αυτό το σύστημα. Ξανά ρωτάω την ερώτηση που έκανα χτες, αυτό το σύστημα σε σχέση με το σύστημα το οποίο χρησιμοποιούμε σήμερα και τα δύο είναι με βάση 10. Το 10 είναι ο βασικός αριθμός, έχουν το 10, 10 τετράγωνο, εκεί κάνουν το διαχωρισμό. Είναι λοιπόν ένα σύστημα με βάση 10. Τις μονάδες όμως μέχρι να φτάσεις στο 10 τις αναπαριστούν χωριστά. Το ίδιο και τα κατοστάρια. Συγκρίνετε αυτό με το αραβικό σύστημα. Δεν είναι τυχαίο βέβαια ότι το αραβικό σύστημα είναι αυτό το οποίο έχει επικρατήσει. Αλλά συγκρίνετε εκεί, προσπαθήστε να σκεφτείτε αν πόσο μοιάζουν σε τι μοιάζουν σε τι διαφέρουν και ποιο από τα συστήματα ποιά είναι τα πλειονεκτήματα του ενός και του άλλου συστήματος. Πέρα ότι βέβαια πρέπει να θυμάσεις πάρα πολλά σύμβολα και γι' αυτό η εγγραφή δεν ήταν εκείνη. Πρέπει κάποιος να έχει μελετήσει πολύ για να μπορεί να γράφει. Και όπως είπα και πριν, με κανένα τρόπο δεν ζητάω να αποστηθείστε την ιερατική εγγραφή για το πώς γράφουν τα νούμερα οι αρχαίοι Αιγύπτιοι. Αυτό που θέλω να καταλάβουμε είναι ποιά πλειονεκτήματα έχει αυτός ο τρόπος γραφής. Το άλλο που θέλω να τονίσω και πάλι να το συγκρίνουμε και με το σημερινό σύστημα αλλά και με το σύστημα που θα δούμε των μέσοποταμίων, είναι ότι στο τελευταίο κουτάκι, όπως θα δείτε, έχω βάλει ένα κλάσμα και μάλιστα είναι το 1 προς 249. Εάν δείτε εδώ κάτω, σε αυτό εδώ το σημείο, έχουμε τον αριθμό 249 και στο τελευταίο μέρος έχουμε αυτόν τον κύκλο από πάνω, ο οποίος δηλώνει ότι πρόκειται για κλάσμα. Είναι το κλάσμα 1 προς 249. Είχαν λοιπόν τρόπο για να αναπαριστούν τα κλάσματα. Μάλιστα τα κλάσματα στους αρχαίους Αιγυπτίους ήταν σημαντικά. Κι αυτός είναι ο τρόπος. Έχουμε έναν κύκλο πάνω από τον αριθμό. Αυτή είναι στην παραδεισιακή ιερογλυφική εγγραφή. Έχω γράψει το 1 τρίτο, μετά έχω βάλει το 1 δεύτερο στις 1 τέταρτο. Ποιος αριθμός είναι αυτός το 1 δεύτερο στις 1 τέταρτο. Ποιο κλάσμα είναι. Αν τα προσθέσω, τι παίρνουμε. 3 τέταρτα, έτσι. Δεν γράφαν 3 τέταρτα, προτιμούσαν να το γράφουν σαν 1 δεύτερο στις 1 τέταρτο. Αυτού του είδους, σήμερα τα λέμε Αιγυπτιακά κλάσματα. Έτσι, ο τρόπος γραφής κλασμάτων. Αντί να γράψεις ένα κλάσμα, το γράφεις σαν άδρισμα κλασμάτων, όχι με δύο προσθεταίους, όσους προσθεταίους χρειάζεσαι, που όμως ο αριθμητής τους είναι μονάδα. Η εξαίρεση ήταν για το 2 τρίτα, για το οποίο υπήρχε ειδικό σύμβολο. Και μάλιστα στον πάπυρο του Αχμέ, τον άλλον πάπυρο που είδαμε των αρχαίων Αιγυπτίων, υπήρχε μια ολόκληρη σειρά προβλημάτων που έλεγε πώς γράφονται οι εκφράσεις του 2 προς 1, αυτά τα κλάσματα που ο αριθμητής τους είναι 2 προς 1, ως Αιγυπτιακά κλάσματα. Για να δούμε κάτι. Αυτό είναι από τον πάπυρο του Ράιντ, ο οποίος είπαμε το όνομα το πήρε Ράιντ, είναι το σκοτσέζικο όνομα αυτούν που το αγόρασε, αλλά μέσα στον πάπυρο γράφει ότι ο πάπυρος είναι του Αχμέ, ο οποίος ήταν ο γραφιάς, αυτός ο οποίος τον έγραψε και μάλιστα εκεί μέσα, παρόλο που ο πάπυρος είναι του 1650, ο Αχμέ λέει ότι είναι αντιγραφή από έναν άλλον πάπυρο, όπως ήταν 200 χρόνια πριν, τουλάχιστον 200 χρόνια πριν. Σε αυτό, λοιπόν, ο πάπυρος έχει μήκος 2 μέτρα, πιο κοντός από τον άλλον, ή αυτό που έχει σωθεί είναι πιο μικρό από τον άλλον, αλλά μεγαλύτερο πλάτος, 33 εκατοστά. Και δείτε και το πρόβλημα το οποίο παραθέτω, είναι κλασικό το πρόβλημα. Από τα 87 προβλήματα, τα 81 φορούν κλάσματα, γι' αυτό λέω ήταν κάτι, είχε μια σημαντική θέση, αναφέρονται σε κλασματικές ποσότητες. Το πρόβλημα λοιπόν 3 αυτού του πάπυρου, λέει να διαρρέσεις 6 φρατζόλες σε 10 άντρες. Σκεφτείτε το, έχετε 6 φρατζόλες, έχετε 10 άντρες, θέλετε να τις μοιράσετε. Εμείς ξέρουμε ότι ο κάθε ένας θα πάρει πόσο, 6-10, δηλαδή εντάξει, άμα το διαρρέσουμε 3-5, έτσι. Πώς μοιράζεις τις φρατζόλες δικιά. Ξέρουμε ότι θα πρέπει να πάρουν 3-5, ο κάθε ένας από αυτούς θα πρέπει να πάρει 3-5. Πώς θα το κάνεις με τις 6 φρατζόλες. Θα πάρεις την κάθε φρατζόλα, θα την κόψεις σε 5 κομματάκια, τις 6 φρατζόλες σε 5 κομματάκια και μετά θα δώσεις το καθένα από 3 κομματάκια, έτσι. Ο τρόπος που θα το κάνουμε ίσως σήμερα, θα λέγαμε 3-5, χωρίς να το σκεφτούμε πολύ, θα παίρνουμε τη φρατζόλα, θα κάνουμε κάτι τέτοιο, έτσι αυτό μας λέει το κλάσμα 3-5. Αντί λοιπόν να κάνουν αυτό, 3-5 δίνουν και εδώ, αλλά το 3-5 το εξέφρεσαν σαν 1 δεύτερο σύν 1 δέκατο, άμα τα προσθέσεις αυτά εδώ τα νούμερα, παίρνεις 6 δέκατα, 3-5. Αλλά προτιμά να το γράψουν 1 δεύτερο σύν 1 δέκατο. Το οποίο τι σημαίνει στην πράξη, σημαίνει πάρε τις φρατζόλες, κόψτε στο μισό που είναι πιο εύκολο από το να το κόβεις στα 5, έτσι. Πάρε τις φρατζόλες, κόψε όλες τις φρατζόλες που μπορείς στο μισό, τις 5 φρατζόλες από μισό και την τελευταία φρατζόλα σε 10 κομματάκια και θα δώσεις στον καθένα μισή φρατζόλα και το 1 δέκατο. Είχε μια ευκολία στο πώς να τα μοιράσεις, έτσι, γιατί αυτό είναι του είδους τα προβλήματα πώς μοιράζεις δίκαια κάτι σε ένα σύνολο ατόμων. Πιο εύκολο στην πράξη από το 3-5, αυτό το οποίο εξηγούσα προηγουμένως. Τώρα αυτή όμως η δουλειά, το να παίρνεις ένα κλάσμα, έτσι και είδαμε ότι αυτό που θέλαν και το μελετούσαν είναι πώς να τα γράψεις σαν αθρίσματα της μορφής άλλων κλασμάτων, μόνο που αριθμητίστον άλλων κλασμάτων να είναι 1. Αυτή είναι η ιδέα των Αιγυπτιακών κλασμάτων. Τα κλάσματα που μπορείς να τα γράψεις σαν πεπερασμένα αθρίσματα, εννοείται πεπερασμένα, έτσι δεν είχε έννοια, το άπειρο δεν είχε καμία έννοια, σαν αθρίσματα κλασμάτων με αριθμητή 1. Αιγυπτιακά κλάσματα, ποια είναι τα Αιγυπτιακά κλάσματα, ποια κλάσματα γράφονται με τέτοιο τρόπο, ποια κλάσματα μπορείς να τα γράψεις με τέτοιο τρόπο, ένα άδρισμα κλασμάτων με αριθμητή που να είναι μονάδα. Καταρχήν να ξεχάσουμε τα κλάσματα που ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, έτσι, έχει ένα κέριο κομμάτι, για να δούμε αυτό που μας απομένει. Για να δούμε μόνο τα κλάσματα που είναι της μορφής π δια q, π αριθμητής, q ο παρανομαστής και ο αριθμητής μικρότερος από τον παρανομαστή, ένα κλάσμα μικρότερο της μονάδας. Λοιπόν, αυτό που λέω εδώ, εντάξει, πρώτα, οποια κλάσματα μπορούν να γραφτούν σαν αιγυπτιακά κλάσματα, σαν άδρισμα κλασμάτων με αριθμητή 1. Πόσους προσθετεούς χρειαζόμαστε. Να βάλω άλλη μία ερώτηση που δεν την έχω γράψει εδώ. Και αν μπορούμε να το κάνουμε, είναι ο τρόπος που το κάνουμε μοναδικός. Πολλά ερωτήματα εδώ, αλλά να δούμε την απάντηση την πρώτη, που φαίνεται ότι αυτό το γνώριζαν οι Αιγύπτιοι, έτσι, γιατί ασχολιόντουσαν με αυτό. Μάλλον, λέω το μάλλον, γιατί δεν έχω δώσει απόδειξη, υπόδειξη έχω δείξει, έχω δώσει, εντάξει, το κάνω όπως και οι Αιγύπτιοι, μάλλον, ισχύει για όλα τα κλάσματα, που ο αριθμητής τους είναι μικρότερος από το παρανομαστή. Και γιατί είναι αυτό, πώς θα το αποδείκνει αυτό, εντάξει, αφήνω τις λεπτομέρειες για να τις συμπληρώσετε. Έτσι, και επίσης, το άλλο το οποίο θα ήθελα να κάνετε είναι στην πράξη να πάρετε ένα τυχαίο κλάσμα και να το γράψετε σαν άθροισμα Αιγυπτιακών κλασμάτων. Η ιδέα είναι, λοιπόν, ότι έχεις ένα κλάσμα π δια q. Εντάξει, βρίσκεις σίγουρα, για να προσπαθήσω να το γράψω και στον πίνακα, ακολουθώντας τις οδηγίες, έχεις αυτό εδώ το κλάσμα π δια q. Και το π δια q είναι σίγουρα μικρότερο από τη μονάδα. Αφού είναι μικρότερο από τη μονάδα, βρίσκω το πρώτο n έτσι ώστε, βρίσκω το μεγαλύτερο n έτσι ώστε το 1 δια n. Το 1 δια n, θέλω, υπάρχει ένα n, υπάρχει ένα, αυτό το γνωρίζουμε εμείς, υπάρχει ένα n έτσι ώστε, και βεβαιωθείτε, εντάξει, φαίνεται λογικό αυτό, ότι υπάρχει ένα n έτσι ώστε το 1 δια n να είναι μικρότερο από το π δια q. Βρείτε το μεγαλύτερο n, το μικρότερο n που έχει αυτήν εδώ την ιδιότητα, βρείτε το μικρότερο n που έχει αυτήν την ιδιότητα. Αν πάω λοιπόν σε οτιδήποτε μικρότερο, στον απμέσως μικρότερο, θα πάρω κάτι που δεν είναι μικρότερο του π δια q. Έτσι, βρίσκω λοιπόν το μικρότερο n που έχει αυτήν εδώ την ιδιότητα, μικρότερο n, το μικρότερο n σίγουρα υπάρχει. Και αφού είναι το μικρότερο n, το 1 δια n μικρότερο από το π δια q, αυτό σημαίνει ότι το π δια q είναι μικρότερο από το 1 δια n μειών 1. Αν χρησιμοποιήσετε αυτό και αφαιρέστε τώρα από το π δια q μειών αφαιρέστε το 1 προς n, τότε αυτό που μένει είναι μεγαλύτερο του μηδενός. Και όταν τα αφαιρέσω, όταν κάνω π δια q, όταν κάνω π δια q μειών 1 προς n, παίρνω κάποιο καινούργιο κλάσμα, δεν ξέρω ποιο. Αυτή τη στιγμή το γράφω π τόνος δια q τόνος. Το μόνο που με απασχολεί εδώ, δεν είναι ο παρανομαστής, είναι ότι εξαιτίας αυτής εδώ της σχέσης, το q τόνος που δεν το συγκρίνω με το q ή το 1, εκείνο που συγκρίνω είναι το π τόνος και λέω το π τόνος που εμφανίζεται εδώ είναι σίγουρα κι αυτό μικρότερο από το π. Εξαιτίας αυτής εδώ της σχέσης προκύπτει ότι το π τόνος είναι μικρότερο από το π. Εξαιτίας αυτής εδώ της σχέσης προκύπτει ότι αυτό εδώ είναι μεγαλύτερο ή ίσο, ας βάλω και το ίσο, ίσο του μηδενός. Συνεχίζω αυτή τη διαδικασία έως ότου φτάσω σε ένα κλάσμα που ο αριθμητής του είναι η μονάδα που θα είναι το ζητούμενο. Κάθε φορά παίρνω κάτι μικρότερο, αναγκαστικά κάποια στιγμή θα φτάσω στη μονάδα. Αυτό μου λέει ότι και έχω ξεκινήσει με ένα π, χρειάζομαι έναν πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Το πολύ π βήματα θα χρειαστώ. Μπορεί να χρειαστώ και λιγότερα. Κάθε κλάσμα γράφεται σαν αιγυπτιακό κλάσμα, σαν άθροισμα κλασμάτων και το ερώτημα είναι τώρα αυτό που μένει αν πιστέψουμε αυτή την υπόδειξη και συμπληρώσουμε όλες τις λεπτομέρειες. Το ερώτημα που μένει είναι, εντάξει μπορώ να το γράψω σαν άθροισμα αιγυπτιακών κλασμάτων, με πόσους διαφορετικούς τρόπους. Είναι μοναδικός αυτός ο τρόπος. Έχει ενδιαφέρον αυτό. Ίσως απλά θεωρητικά έχει ενδιαφέρον να δούμε αν αυτός ο τρόπος γραφής είναι μοναδικός. Αυτό πάλι πώς το σκεφτήκαν οι Αρχαίοι Αιγύπτια, απλά δοκίμασαν πολλές φορές και είδαν ότι δουλεύει. Και επειδή κάτι δουλεύει πολλές φορές, ξέρουμε ότι δουλεύει για όλους. Δηλαδή αυτό το βήμα της επαγωγής, γιατί κάπου πάμε αντίστροφη επαγωγή, κάτι λέμε εδώ πέρα ή έχουμε μια απόδειξη. Είχαν αυτήν την έννοια της απόδειξης ή ήταν βασισμένοι εμπειρικά. Χθες είχαμε την αντίστοιχη συζήτηση με το π. Και το πώς γνωρίζουν τον τύπο ή ότι ο τύπος εξαρτάται από την ακτίνα για το εμβαδό και για την περιφέρεια ενός κύκλου. Είχαν την έννοια της απόδειξης ή είναι η έννοια αυτής της απόδειξης και πόσο σημαντική είναι, αφού εμπειρικά τα βγάζανε. Θα ήθελα να μιλήσω λίγο για την πρόσθεση και για τον πολλαπλασιασμό. Εντάξει, πρόσθεση, γιατί αυτό είναι σίγουρα ένα πλεονέκτημα του τρόπου γραφής. Πολύ απλά είναι να γίνει με τον τρόπο της γραφής σου στο δεκαδικό σύστημα, προσθέτεις τα ίδια σύμβολα, άμα ξεπεράσεις τη δεκάδα ή την εκατοντάδα, τότε μετακινήσεις στο άλλο. Εύκολη η πρόσθεση. Για να δούμε το πώς κάνουν τον πολλαπλασιασμό, γιατί αυτό είναι ενδιαφέρον, ιδιαίτερα ενδιαφέρον. Θέλουν να πολλαπλασιάσουν το α επί β. Και η διαδικασία που ακολουθούσαν είναι, εντάξει, γράφω τους αριθμούς δίπλα-δίπλα, ξεκινάω με το 1 και γράφω δίπλα το β. Έχω δύο στήλες λοιπόν. Στη μια στήλη ξεκινάει η πρώτη στήλη με μονάδα, η δεύτερη στήλη ξεκινάει με το β. Μετά αρχίζω και διπλασιάζω τους αριθμούς σε κάθε γραμμή και τους γράφω από κάτω. 1β, 2β, 2β, 4β, 4β, 8β και ούτω καθεξής. Σταματάω σε κάποια φάση. Πότε σταματάω? Σταματάω όταν στην πρώτη στήλη, όταν πάω να διπλασιάσω, βρίσκω έναν αριθμό, ο οποίος είναι μεγαλύτερος του α. Σταματάμε λοιπόν πριν ξεπεράσουμε το α, όταν αμέσως μετά το ξεπερνάμε. Και τι κάνουμε μετά, έτσι αυτές είναι οι οδηγίες που βρίσκει κανείς στον Πάπυρο, προσθέτεις. Βρίσκεις στις στήλες τις γραμμές που όταν προσθέσεις τα νούμερα, τους αριθμούς, θα βγάλεις το α. Και όταν δεις ποιες γραμμές σου δίνουνε το α, πας στην άλλη στήλη και προσθέτεις τα αντίστοιχα νούμερα. Για να το παρακολουθήσουμε με ένα απλό παράδειγμα. Έχεις το 19 με το 12. Ξεκινάς λοιπόν, έχεις το 1-12, 2-24, διπλασιάζεις κάθε φορά 4-48, 8-96, 16-192, σταματάς το 16 γιατί το επόμενο είναι το 32, που είναι μεγαλύτερο του 16. Μετά πας, βλέπεις ποιους αριθμούς πρέπει να αθρήσεις για να πάρεις το 19 από τις δυνάμεις του 2. Εντάξει, διπλασιάζοντας κάθε φορά με το 2, παίρνουμε δυνάμεις του 2. Αυτά που έχουμε γράψει στην πρώτη στήλη, αυτό που έκαναν αυτοί ήταν διπλασίαζες με το 2 κάθε φορά, δηλαδή παίρνεις δυνάμεις του 2. Πας λοιπόν στην πρώτη στήλη, βλέπεις ποιες δυνάμεις του 2, το άθρισμά τους μας δίνουν το 19. Στην περίπτωση αυτή είναι η πρώτη, στην πρώτη γραμμή, δεύτερη γραμμή, τελευταία γραμμή. Και πας αντίστοιχα και πολλαπλασιάζεις ότι έχεις στην άλλη στήλη και παίρνεις το αποτέλεσμα. Έχει νόημα αυτό. Αυτό που γίνεται στην ουσία, σε αυτό εδώ το παράδειγμα και γενικότερα, είναι ότι θέλεις να πολλαπλασιάσεις το 19 με το 12. Αυτό λοιπόν το οποίο κάνουν είναι το εξής. Είδατε ότι το 19 είναι το 1 συν 2 συν 16. Παίρνει λοιπόν το 1 συν 2 συν 16, αυτό είναι κρυμμένο πίσω από το τι γίνεται και κάνει 12 συν 24 συν 192. Οι οδηγίες λοιπόν που υπάρχουν για το πολλαπλασιασμό, έτσι γίνεται ο πολλαπλασιασμός, είναι θέλεις να πολλαπλασιάσεις το 19 επί 12. Υπολόγησε αυτό εδώ το κομμάτι και μετά πάρε αυτό εδώ, που αντιστοιχεί στο 1 επί 12 2. Αυτό εδώ είναι το 2 επί 12, το 192 είναι 16 επί 12. Στην ουσία αυτό το οποίο κάνανε, χωρίς να αναλύσουν, τα ονόματα αυτά είναι πολύ πρόσφατα, αυτό το οποίο χρησιμοποιούν είναι η επιμεριστική ιδιότητα. Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού, εντάξει, είχαν την ιδέα, είχαν την απόδειξη, είχαν την ιδέα ότι ισχύει επιμεριστική ιδιότητα για τον πολλαπλασιασμό. Να το πιστέψουμε αυτό. Το άλλο όμως το κομμάτι, το άλλο για τον πολλαπλασιασμό λέει ότι κάθε αριθμός, εντάξει εδώ όταν έχουμε γράψει φυσικός αριθμός, κάθε φυσικός αριθμός γράφεται σαν άθρισμα δυνάμεων του 2, γιατί αυτός είναι ο τρόπος που κάνει τον πολλαπλασιασμό. Έπρεπε βέβαια να το δουν εδώ πέρα, έτσι, τις παίρνουν τις δυνάμεις και μετά μετρούσαν και έβλεπαν τι θα πρέπει να συνδυάσεις για να βγάλεις τον αριθμό στην περίπτωση αυτή, 19. Ήσχυει αυτό πάντα. Μπορούμε να γράψουμε κάθε φυσικό αριθμό σαν άθρισμα δυνάμεων του 2 ή απλά ήμασταν τυχεροί εδώ με το 19. Έτσι, και εσύ τι βασίζεται αυτό, ναι. Ορίστε. Το δυναδικό σύστημα στους υπολογιστές και γιατί ισχύει αυτό. Εντάξει, και στους υπολογιστές γίνεται. Γιατί ισχύει, έτσι, ποια είναι η λέξη κλειδί εδώ που ψάχνουμε. Ορίστε. Να του ρωτήσω κάτι άλλο, γιατί είναι, εντάξει, μίλησε προηγουμένως ο συνάδελφός σας για δυαδικό σύστημα με βάση 2, έτσι, θυμίζω, με βάση 2. Μπορώ να το κάνω, θα μπορούσα να κάνω το, είναι εύκολο να διπλασιάζω με τους αριθμούς, γι' αυτό το 2 είναι βολικό. Διπλασιάζω, σχετικά εύκολο, απλά προσθέτω τον αριθμό με τον εαυτό του, άρα είναι απλό, αλλά έστω ότι είχα μια ιδιαίτερη ευκαιρία στο να τριπλασιάζω ή στο να πενταπλασιάζω, έτσι, μπορώ να γράψω όλους τους αριθμούς σαν αθρίσματα δυνάμεων του 5, για παράδειγμα. Μπορώ. Κάτι που έχει σχέση με το 2. Κάτι που έχει σχέση με το 2. Δεν είναι ακριβώς αυτό, έτσι, να σας θυμίσω το τι γίνεται, έτσι, γιατί μιλάμε για βάση. Κάθε αριθμός μπορεί να περιγραφεί με διαφορετικούς τρόπους σε διαφορετικές βάσεις, έτσι, ο κλήδας αργόριθμος είναι εδώ. Αν διαρρέσω ένα αριθμό με το 2, έχω δύο πιθανές απαντήσεις, ή ρητός, ή περιτός, ή άρτιος, δηλαδή έχω δύο απαντήσεις, 0 ή 1, έτσι. Αν είναι με 0, όταν πάτε να γράψετε τον ευκλειδείο αργόριθμο και πάτε να γράψετε τον αριθμό σε βάση 2, η κοινοτοκομμάτια απλά θα λείπει. Αν είναι 1, θα εμφανίζεται. Όταν, λοιπόν, κάνουμε τις συνεχείες διαρρέσεις, το κάναμε πρόσφατα διδάσκα το προηγούμενο εξάμινο εισαγωγή στην Άλυβρα και κάνουμε τον αργόριθμο πώς γράφουμε τους αριθμούς σε διαφορετικές βάσεις. Έτσι, παίρνεις τον αριθμό και αρχίζεις να διαρρύσεις με τον αριθμό προς τη βάση που θέλεις. Αν ήταν με το 5, θα διαρρούσαμε με το 5. Βρίσκεις το υπόλοιπο. Βρίσκεις το πλήκο. Μετά πας πίσω στο πλήκο. Ξαναδιαιρείς το πλήκο με τον αριθμό της βάσης και συνεχίζεις και μετά τα βάζεις όλα μαζί και γράφεις τον αριθμό σου στη βάση που θέλεις. Και γενικά υπάρχει αυτό το οποίο ισχύει και το οποίο είναι άμεσα αποτέλεσμα του ευκληδίου αργορίθμου, είναι ότι αν πάρω έναν οποιοδήποτε αριθμό n και έναν οποιοδήποτε φυσικό αριθμό α μεγαλύτερο της μονάδας, τότε ο αριθμός n γράφεται με μοναδικό τρόπο κιόλας, στην μορφή πΙΣΑΙΣΤΗΝΕΣΣΗΝ ΠΙΙΣΜΙΟΝ 1ΑΙΣΜΙΟΝ 1ΣΗΝ μέχρι το πΙ0, όπου όλοι αυτοί εδώ οι αριθμοί από το πΙ0 έως το... όπου κάθε πΙΑΙ είναι ανάμεσα, είναι μικρότερο από το α, μικρότερο από το α μέχρι το 0. Κάθε αριθμός μπορεί να γραφτεί σε βάση α, αυτό είναι άμεσο αποτέλεσμα του ευκληδίου αργορίθμου, πόρισμα από τον ευκληδίου αργόριθμου. Εντάξει, όταν το κάνεις με το 2, αυτό εδώ το πΙΑΙ θα είναι είτε 0 είτε 1. Άρα αυτό που θα σου μείνουν θα είναι τελικά απλά αθρίσματα δυνάμιων του 2. Μπορεί πάντα λοιπόν να γίνεται αυτό. Αυτό, το ότι πάντα μπορεί να γίνεται, να γράψουμε κάθε αριθμό σε ένα αθρίσμα δυνάμιων του 2. Πώς το γνωρίζανε οι αρχαίοι Αιγύπτιοι ή νομίζαν ότι το γνωρίζαν, έτσι, επαναλαμβάνε επειδή ισχύει για πολλούς αριθμούς, ακόμη και για άπριος να ισχύει, δεν σημαίνει ότι ισχύει για όλους. Μπαίνει λοιπόν εδώ το ερώτημα, αν είχαν όντως αποδείξεις για αυτά εδώ ή εμπειρικά τα γνωρίζανε. Για να δούμε παρακάτω, η αν απλά δεν τους ενδιέφερε. Εντάξει, χρησιμοποιούσαν αυτό που είναι να χρησιμοποιήσουν, το ελέγχανε ως προς την ορθότητά του και δεν τους ενδιέφερε κάποιος γενικότερος κανόνας. Τα λέω και τα επαναλαμβάνω αυτά, γιατί όταν θα φτάσουμε στα αρχαία ελληνικά μαθηματικά, θέλω να τονίσω τη μεγάλη διαφορά ανάμεσα σε αυτό που υπήρχε πριν, που ήταν εκτεταμένη γνώση. Είχαν πάρα πολλές γνώσεις πριν από τους αρχαίους Έλληνες και στο μεγάλο βήμα που έγινε με τους αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς. Διαφορά ανάμεσα στα εφαρμοσμένα σε κάτι που είναι αφαρμογή, που δεν μας ενδιαφέρει γιατί ισχύει, ή πώς ισχύει, ή απλά να έχουμε μια γενική ιδέα για την απόδειξη. Και στο γιατί κάτι, στο αφηρημένο, η απόδειξη γιατί κάτι είναι αληθές. Τι σημαίνει ότι κάτι είναι αληθές. Δεν έχει ισοθεί γι' αυτό εδώ το γεγονός ούτε απόδειξη, εντάξει για τελείωσα λέγουμε είχαν απόδειξη, αλλά ούτε κάνε ένδειξη για το πώς το ανακάλυψαν οι Αιγύπτοι. Εκτός από το πολλαπλασιασμό βέβαια οι Αιγύπτοι μπορούσαν να κάνουν και διέρηση και η διέρηση είναι το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού. Γραμμικές εξισώσεις, μπορούσαν να λύσουν γραμμικές εξισώσεις. Έτσι, τα μαθηματικά, μια μεγάλη όθηση από τα μαθηματικά είναι γιατί είχαν εφαρμογές, ή ήθελαν να χρησιμοποιήσουν για να λύσουν προβλήματα, παράδειγμα πόσο πρέπει να δώσουμε στον ένα, πόσο χρωστάει ο άλλος, πόσους φόρους θα πρέπει να πληρώσει κάποιος, ανταλλαγές, τα προβλήματα. Και από τα πιο βασικά προβλήματα των εφαρμογών είναι αυτά που είναι τα γραμμικά. Ένα πρόβλημα λοιπόν από τον Πάπυρο της Μόσχας. Μετάφραση τώρα με τα σύμβολα. Πρέπει στην τιμή που όταν την πάρουμε μία και μισή φορές και μετά προσθέσουμε το 4 βρίσκουμε το 10. Μεταφράζοντας αυτά με αγνώστους, για το οποίο δεν χρησιμοποιούσαν τέτοιες παραμέτρους, αυτό αντιστοιχεί στο γραμμικό πρόβλημα να λυθεί το μιάμιση φορά το χ τρία δεύτερα χ συν τέσσερα ίσον με το 10. Η περιγραφή της λύσης, γιατί υπάρχει στον Πάπυρο, είναι να αφαιρέσεις από το 10 το 4, όπως θα το κάναμε, να φέρουμε το 4 από την άλλη πλευρά και μετά να πολλαπλασιάσεις με το 2. Αυτές είναι οι οδηγίες. Έτσι πολλαπλασιάσεις με το 2 τρίτα, το οποίο είναι το αντίστροφο του τρία δεύτερα και να βρεις το 4. Ο τρόπος, όπως θα το κάναμε και σήμερα και πάλι έχει εδώ να σκεφτούμε αν υπάρχει πολυπλοκότητα στο να φτάσεις σε αυτόν τον τρόπο λύσης. Το ενδιαφέρον όμως, αυτό θέλω λοιπόν λίγο να το σκεφτείτε αυτό, πώς φτάνει κανείς, πώς λύνει κανείς μια γραμμική εξίσουση ή πώς θα περιγράφατε τη λύση μιας γραμμικής εξίσουσης, πάρτε ένα μικρό παιδάκι και προσπαθήστε να του πείτε πώς θα λύσει μια τέτοια γραμμική εξίσουση. Τι χρειάζεται, απλά να του πείτε το κανόνα ή θα του πείτε γιατί ισχύει αυτό, έτσι. Ο κανόνας είναι αυτός, γιατί ισχύει αυτό, είναι τόσο άμεσο, το βλέπουμε όλοι, το έχουμε συνηθίσει εμείς γιατί ξέρουμε τους κανόνες τους, έχουμε κολλημένους στο μυαλό μας. Έτσι όμως, το διδάσκεις με αυτόν τον τρόπο ή στην αρχή σε κάποια φάση λες γιατί ισχύει. Το πολύ ενδιαφέρον είναι και το επόμενο. Σε αυτό εδώ το πρόβλημα, πάλι από τον Πάπυρο του Αχμεθ, τον Πάπυρο του Ράιν, λέει να βρεις την τιμή που όταν την προσθέσεις στο ένα τέταρτο του εαυτού της, το αποτέλεσμα είναι 15. Να βρεις την τιμή ο άγνωστος είναι χ, σήμερα θα το γράφουμε, θέλουμε, εντάξει, μας το περιγράφουν το πρόβλημα και μετά πρέπει να το γράψουμε κάτω. Έτσι, θέλουμε να βρούμε ένα χ, τον άγνωστο χ, που όταν τον προσθέτεις στο ένα τέταρτο του εαυτού του, στο ένα τέταρτο χ, χ στην ένα τέταρτο χ είναι ίσο με το 15. Λοιπόν, ο τρόπος με τον οποίο το λύσανε, το λύνουν, η λύση δεν είναι αυτή που θα την χρησιμοποιήσουμε σήμερα. Για να δούμε τι λέει, οι οδηγίες είναι οι εξής, δοκίμασε έναν αριθμό, για ευκολία πάρε το 4, γιατί το 4, γιατί έχεις αυτό το κλάσμα το ένα τέταρτο. Πάρε το 4, δοκίμασε να δεις τι βγαίνει, δεν σου βγαίνει το 15, σου βγαίνει 5. Δεν είναι η λύση που θέλεις το 4, γιατί η απάντηση τελική είναι 5. Βλέπεις πόσο διαφέρει το 5 από το 15. Γυρίζεις το 15 με το 5. Βγάζεις το 3. Και άρα αυτό το οποίο πρέπει να κάνεις είναι να πολλαπλασιάσεις το 3 με το 4 και να βρεις το νούμερο το οποίο θέλεις. Για να δούμε λοιπόν τι ακριβώς κάνουν. Και να δούμε αυτό τι προϋποθέτει. Λέει ότι χ τόνος είναι ίσο με το 4. Τότε πάρε χ τόνος συν ένα τέταρτο του χ τόνος. Δεν βρίσκεις τον αριθμό σου, αλλά βρίσκεις το 5. Και μετά λέει αν πολλαπλασιάσεις το 3 επί αυτό εδώ είναι το ίδιο με το 3 επί αυτό εδώ που είναι 15. Και άρα αυτό το οποίο κάνουν πάλι επιμεριστικοί ιδιότητες είναι ότι αυτό είναι 3χ τόνος. Έτσι αυτό προϋποθέτει ότι έχει γίνει 3χ τόνος συν ένα τέταρτο επί 3χ τόνος είναι το 15 και άρα το 3χ τόνος είναι η λύση σου. Προϋποθέτει αυτήν εδώ την ιδέα των αναλογιών, της διατήρησης των αναλογιών. Το πιο εντυπωσιακό. Ήθελα να πω δυο λόγια ακόμη γι' αυτό το θέμα που συζητούσαμε για το π. Και να δούμε ποιες είναι οι ιδέες τους. Το είπαμε και την προηγούμενη φορά ότι αναγνώριζαν ότι υπάρχει σχέση ανάμεσα στο εμβαδόν του κύκλου και στο τετράγωνο της ακτίνας. Και θεωρούσαν ότι η σχέση αυτή λέει ότι το εμβαδό, η σχέση που είχαν στο νου τους είναι 256281 το τετράγωνο της ακτίνας του κύκλου. Όταν κάνεις 256281 βρίσκεις περίπου το 3,1604 κοντά στο π. Το π είναι άριτος, δεν έχει ακριβή τιμή. Κάνω μια προσέγγιση. Πώς βγαίνει αυτή η προσέγγιση μπορεί κανείς να το δει από την εικόνα που βρίσκει στον Πάπυρο του Αχμέ. Έχουν αυτό εδώ το τετράγωνο και μέσα έχουν βάλει ένα οκτάγωνο που μοιάζει με κύκλο. Και αυτό το οποίο ερμηνεύουμε και μπορούμε να φανταστούμε είναι ότι αυτό εδώ το οκτάγωνο το θεωρούσαν ότι έχει περίπου το ίδιο εμβαδό με τον κύκλο. Πόσο διαφέρει το οκτάγωνο κύκλος ενώ περίπου το ίδιο πράγμα, πόσο διαφέρει από το μεγάλο τετράγωνο. Άμα το κόψεις στα τρία βλέπεις ότι υπολείπεται περίπου 18 τετραγωνάκια. Επομένως το οκτάγωνο έχουμε στην ουσία 63 τετραγωνάκια. Για να δούμε και το επόμενο. Τα τετραγωνάκια που λείπουν τα βάζω από τη μία, τα βάζω και οριζόντια και κάθετα. Και αυτό που έχω μέσα, έχω ένα τετράγωνο που έχει πλευρά 8. Είναι ακριβώς τα τετραγωνάκια που μου λείπουν. Άρα λέω ότι ο κύκλος μου που ήταν το οκτάγωνο, που έχει το ίδιο σχήμα με τελικά αυτό το τετράγωνο. Το τετράγωνο αυτό έχει καταπροσέκτηση στο εμβαδό που θέλουμε. Και επειδή έχουν αυτήν την ιδέα για τις αναλογίες. Αν ο κύκλος έχει ακτίνα R, τότε το τετράγωνο που προκύπτει με αυτόν τον τρόπο και που έχει καταπροσέκτηση στο ίδιο εμβαδό με το κύκλο, έχει πλευρά 2R-2R-2,9. Κι άρα η πλευρά του τετραγώνου είναι 16 επί άρα 19 και άρα όταν το υψώσω στο τετράγωνο προκύπτει αντίστοιχα εκείνο το νούμερο που γράψαμε προηγουμένως 256 διά 81. Το μελετάμε αυτό. Είχαν μια ιδέα για περίπου την προσέγγιση πώς είναι η σχέση της ακτίνας και του εμβαδού, πώς συνδέεται το εμβαδό με την ακτίνα. Εντάξει, αυτά είναι τα βήματα τα οποία κάνει κανείς. Και θέλω κάπου εδώ με τα σμεντινά να ολοκληρώσω για αυτά που έχουν κάνει οι Αρχαίοι Αιγύπτοι που δεν μπορέσαμε, δεν υπάρχει χρόνος να τα καλύψουμε όλα και με όλες τις λεπτομέρειες. Είχαν εντυπωσιακές γνώσεις για τύπους για τους οποίους δεν έχουμε ιδέα για το πώς προέκυψαν. Έτσι, από αυτά που έχουν σωθεί δεν υπάρχει κάποια ένδειξη για το πώς τους βγάλαν αυτούς τους τύπους. Εκείνο το οποίο επίσης δεν είναι ξεκάθαρο είναι εάν γνωρίζανε ότι οι προσεγγίσεις τους δεν ήταν οι ακριβείς τιμές. Δεν είναι ξεκάθαρο εάν γνωρίζανε ότι αυτό που βγάζανε σε κάποιες περιπτώσεις ήταν προσέγγιση και όχι η ακριβή στιγμή. Και το οποίο μας αφήνει βέβαια και στο τελικό το κύριο ερώτημα στο οποίο δείχνουμε μάλλον προσόχη αλλά δεν υπάρχει αυτή τη στιγμή απάντηση με βεβαιότητα είναι αν αυτά τα αποτελέσματα στυριζόντουσαν σε αποδείξεις ή ήταν απλά εμπειρικά. Θα σταματήσουμε εδώ. Την επόμενη φορά επαναλαμβάνω ότι το μάθημα της επόμενης Τετάρτης θα αναπληρωθεί. Την επόμενη πέμπτη που θα βρεθούμε, όχι αύριο, σε μια βδομάδα θα δούμε για το τι κάναν οι Βαβυλώνιοι και οι Μεσοποτάμοι τα μαθηματικά αυτών των λαών.