Διάλεξη 5 / Ασκήσεις - Κατσανού Βάνα (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2015)
Ασκήσεις: Καλησπέρα και επίσημα! Εγώ είμαι η Βάνα Κατσανού και μαζί θα κάνουμε τις ασκήσεις των ΣΙΕΤΡΙΑ. Σήμερα, στην πρώτη σειρά ασκήσεων, θα δούμε μόνο κάποια παραδείγματα από το βιβλίο. Πήρατε βιβλία? Κάποιοι ναι, κάποιοι όχι. Θα πάρετε όλοι. Έχει μέσα κάποια παραδείγματα για τα αποδίκτυα, για να μπορέσετε να κάνετε τις ασκήσεις των ΣΙΕΤΡΙΑ. Παρακαλώ! Παρακαλώ! Θα πάρετε όλοι. Έχει μέσα κάποια παραδείγματα για τα πολύ γρήγορα φαινόμενα, το πρώτο κεφάλαιο. Και επειδή είναι λίγο δύσκολες έννοιες, πρέπει να φύγουμε από την έννοια του steady state 50 Hz, που ήμασταν και να πάμε σε μια νέα θεώρηση, που έχουμε πολύ γρήγορα φαινόμενα. Σβήνουν σε πολύ μικρό χρόνο. Τα δουλεύουμε μόνο με διαφορικές εξισώσεις. Ψάχνουμε οριακές συνθήκες. Είναι μια τελείως διαφορετική έννοια από ό,τι έχουμε μάθει να τα δουλεύουμε μέχρι τώρα, οπότε λίγο πρέπει να τα δούμε. Δεν θα πω κάτι που δεν είναι στο βιβλίο, είναι τα παραδείγματα. Θα τα κοιτάμε λίγο απλά για να τα δούμε καλύτερα. Λοιπόν, το πρώτο παράδειγμα υπάρχει στο βιβλίο στη σελίδα 22 και λέει ότι μας δίνεται μια χωρική κατανομή ενός προχωρούντος σκήματος τάσεις, που μας δίνει την εξίσουσή του Ux, τε μη 0, ίσον Φx, για μια χρονική στιγμή τε ίσον τε μη 0. Και μετά μας ζητάνε δύο πράγματα σε αυτές τις ασκήσεις. Μία είναι να βρούμε τη χωρική κατανομή αυτού του κύματος. Άρα, θέλω μια άλλη χρονική στιγμή από αυτή που μου δίνουν, να δω πώς προχώρησε ο παλμός μου πάνω στη γραμμή. Και η άλλη περίπτωση είναι να στέκομαι εγώ σε ένα συγκεκριμένο σημείο, ίσον Φx, και να δω πώς θα περάσει ο παλμός από εμένα. Αυτά είναι τα δύο που ψάχνουμε σε αυτές τις ασκήσεις. Άρα, ουσιαστικά, το διαφορετικό σε αυτά είναι ότι η εξίσουσή που μας δίνεται, αν δείτε, έχει δύο μεταβλητές, και την απόσταση και το χρόνο. Πρέπει να σκεφτούμε, δηλαδή, ότι δεν έχουμε αμφιμόνο σήματες συναρτήσεις. Αυτό είναι αυτό, αλλάζω μόνο τη μεταβλητή και προχωράω. Πρέπει να δω πώς τη έχω μαζί με δύο μεταβλητές. Άρα, αυτό που μας λέει, ουσιαστικά, είναι ότι έχουμε ένα κύμα, που, στην πρώτη περίπτωση, μας δίνει την χωρική κατανομή του. Άρα, ο κάτω αξονάσμου είναι η απόσταση και εδώ είναι το ύψος του παλμού. Και να μας λέει ότι, στην αρχή, αυτό το πράγμα, το μέτωπο του παλμού και η ουρά του, βρίσκεται σε ένα σημείο χ0. Αντίστοιχα, για μια χρονική στιγμή, τ0. Και γι' αυτό, ξέρω την εξίσωσή του, που μου τη δίνει ότι είναι η u του x,τ0, που είναι ίση με φτ χ, για αυτή την περίπτωση. Βλέπω, λοιπόν, ότι η μεταβλητή μου είναι το x, η μία και η άλλη είναι ο χρόνος. Μας ζητάει, στο πρώτο ερώτημα, να πάμε σε ένα άλλο σημείο, και να δούμε πώς έχει προχωρήσει αυτό το κύμα, για να φτάσει σε ένα άλλο σημείο, έστω x1, τη χρονική στιγμή τ1. Όταν μου ζητάει αυτή την περίπτωση, είναι σαν να βγάζω, ουσιαστικά σκεφτείτε, μία φωτογραφία της γραμμής. Τη μία φορά, τη χρονική στιγμή τ0, τσακ βγάζω μία φωτογραφία και είχα αυτό το πράγμα. Σε ένα άλλο χρονικό διάστημα τ1, αυτό έχει προχωρήσει, δεν υπάρχει. Έχει προχωρήσει και έχει πάει εδώ. Αλλά βλέπω το σύνολο της γραμμής και βλέπω τον παλμό πάνω στη γραμμή. Πόσο έχει προχωρήσει αυτό από εδώ μέχρι εδώ. Είναι ουσιαστικά η ταχύτητα που κινείται, μίον, επί τις χρονικές στιγμές τ1 μίον τ0. Θέλω να βρω τη μορφή, την εξίσωση, δηλαδή, που περιγράφει αυτό τον παλμό. Ξέρω ότι έχω γραμμή χωρίς απώλειες. Άρα, γι' αυτό το λόγο, τα έφτιαξα ίδια. Δεν μειώνεται κάτι. Άρα, το μόνο που έχω διαφορετικό, είναι πια ότι το σημείο μου αυτό έχει μετατεθεί κατά τον ώρο αυτό. Άρα, ουσιαστικά, είναι η εξίσωση μου, θα είναι για τη χρονική στιγμή τ1, και θα είναι η φυ του χ, αλλά μετατοπισμένο κατά τόσο. Κατά τον όρο ν τ1 μίον τ0. Παίρνονται? Καταλάβουμε, σαν φυσική σημασία, τι κάναμε εδώ. Δεν είναι κάτι. Τώρα, μέσα στο βιβλίο, αυτό το αποδεικνύει και με ένα μαθηματικό τρικ, που μπορούμε να φτάσουμε πάλι στην ίδια εξίσωση. Το οποίο, ουσιαστικά, μας λέει ότι... Θα το κάνω μια φορά, αλλά αυτή είναι η φυσική του σημασία. Μας λέει ότι ξέρουμε ότι η u του χ, τ, γενικά, έχει τη μορφή f1 του χ, μ, β, από τη θεωρία που σας στάει ο κ. Λαμπρίδης. Αυτή είναι η γενική της μορφή. Στο συγκεκριμένο σημείο τ0, που ήμασταν στην αρχή εμείς, αυτή είναι β του χ, τ, μ, 0, και είναι η φυ του χ που μας έχουν δώσει σαν γνωστή συνάρτηση. Αν θεωρήσω ότι σε αυτό το σημείο δεν την ξέρω τη συνάρτηση, άρα πάω και λέω ότι εκεί έστω θα έχω μία ψ του χ, η οποία θα είναι μία u του χ, τ, φ1. Θα έχει την ίδια γενική μορφή. Στόχος μου είναι να τη φτιάξω κάπως να μοιάσει με αυτήν, γιατί αυτήν την ξέρω. Πώς θα το κάνω αυτό? Θέλω να δημιουργήσω ουσιαστικά το σταθερό όρο αυτό β, τ, μ, 0, για να μου μείνει μεταβλητή ότι υπόλοιπο είναι, θα μου μείνει στη μεταβλητή. Άρα πάω και προσταφέρω εδώ μέσα τον όρο β, τ, μ, 0. Νάτος ο β, τ, μ, 0. Ό,τι μένει εδώ, θα είναι σαν όρος της μεταβλητής μου. Άρα θα είναι η γνωστή συνάρτηση φ, όπου χ, θα έχω τώρα το χ, μ, β, τ, φ1, μ, τ, φ0. Που είναι ακριβώς ό,τι είπαμε και περιφραστικά εδώ. Εντάξει, απλά είναι δύο διαφορετικά, όπως σας βολεύει, μπορείτε να το δείτε, είτε να το αποδείξετε μόνοι σας, είτε να το βάλετε με αυτόν τον τρόπο. Γίνεται ακριβώς το ίδιο πράγμα. Αυτό ήταν το πρώτο ερώτημα, στο οποίο είπαμε, απλά βλέπουμε μια διαφορετική φωτογραφία του παλμού μια άλλη χρονική στιγμή. Τώρα, στο δεύτερο ερώτημα μας λέει, έστω ότι εγώ βρίσκομαι σε ένα συγκεκριμένο σημείο της γραμμής, εδώ κοινούμουν στο χ, τώρα είμαι σε ένα συγκεκριμένο χ ίσον χ1 και περιμένω. Στην αρχή δεν βλέπω τίποτα, κάποια στιγμή θα έρθει ο παλμός. Και τότε θέλω να δω ποια εξίσωση περιγράφει αυτή την περίπτωση. Ψάχνω την τάση σαν συνάρτηση του χρόνου αυτή τη φορά, που θα μετρήσει ένας παρατηρητής σε ένα συγκεκριμένο σημείο χ ίσον χ1. Αντίστοιχα, λοιπόν, έχω ένα διάγραμμα. Ποια είμαι ως προς χρόνο, ο παλμός μου. Και αυτή τη φορά έχω το εξής. Στην αρχή, έστω θέλω να δω τη χρονική στιγμή τα φένα. Άρα εγώ βρίσκομαι στο σημείο χ1, αντίστοιχα. Είμαι εδώ και περιμένω. Στην αρχή δεν γίνεται τίποτα, γιατί έχει ξεκινήσει ο παλμός μου έστω από το τε μηδέν, όπως το είχαμε εδώ. Στο σημείο που είμαι εγώ, δεν έχει έρθει τίποτα. Προχωράει ο χρόνος, πρώτα θα δω το μέτωπο και μετά την κουρά, έτσι. Άρα έχω μία μορφή πλέον, όπως έτσι. Γιατί λέω πρώτα βλέπω το μέτωπο, ήρθε, αλλάζω δηλαδή συντεταγμένες, είμαι στον χρόνο, βλέπω το μέτωπο, συνεχίζει η ουρά. Και τώρα το πρόβλημά μου είναι να δω ποια εξίσωση περιγράφει αυτή την περίπτωση. Για αυτή την περίπτωση, τι έχουμε. Μπορούμε είτε πάλι να το σκεφτούμε λίγο φυσικά και να το βγάλουμε, είτε θα το δούμε και μαθηματικά. Από εδώ, από το τάφη 0 που ξεκίνησε, που ξέρω την αρχική θέση μέχρι να φτάσει σε μένα, πέρασε ένα χρονικό διάστημα, το οποίο ήταν x1-x0, για την ταχύτητα του παλμού. Άρα ουσιαστικά, η χρονική στιγμή τάφη 1 είναι πότε ξεκίνησε, συν πόσο έκανε για να διανύσει την απόσταση που μεχωρίζει από την προηγούμενη θέση του παλμού. Ξέρω μία συνάρτηση της μορφής, αυτή, από πριν. Αν θέλω να πω σε μια άλλη χρονική στιγμή τι θα έκανα, αυτή βλέπω ότι ισχύει για ένα τάφ 2 εδώ, έτσι. Αντίστοιχα, μπορώ να αλλάξω εδώ μέσα το τάφ 2, μία τάφ 0, επί 0, και να έχω αυτό. Βλέπω ότι έχω δύο μεταβλητές, άρα μπορώ να πειράξω και το x. Άρα, για μια συγκεκριμένη πια χρονική στιγμή, έστω τάφ 2, ή τάφ 1 όπως τη λέω εδώ, απλά άλλαξα τους δείκτες για να... Για μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή μπορώ τώρα να πειράξω αυτή τη μεταβλητή. Άρα, να πάω σε μια λογική ότι τι θα μου δώσει αυτή η γνωστή παράσταση για ένα x1, ένα συγκεκριμένο τάφ 2. Ή για μια άλλη θέση. Πάλι όμως για μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή, τι θα έβλεπα για μια άλλη θέση. Τι πάω να δείξω με αυτό. Πάω να δείξω ότι ουσιαστικά τώρα μπορώ να κρατήσω σταθερή αυτή τη μεταβλητή και να αλλάζω αυτό. Άρα, να φτάσω σε μια μορφή γενική, όπου αλλάζω τη θέση που βρίσκομαι εγώ, αυτό που με ρωτάει στο δεύτερο ερώτημα, για οποιοδήποτε χρόνο και άρα να έχω τη μορφή αυτή. Καταλάβαμε. Βλέπουμε πως επειδή έχω δύο μεταβλητές, μπορώ είτε να κρατάω τη μία και να αλλάζω την άλλη, άρα να είμαι στην περίπτωση που κάτω άξονας μου είναι η απόσταση, είτε να κρατάω σταθερό το χρόνο, γιατί ψάχνω συγκεκριμένες χρονικές στιγμές, και να αλλάζω την απόσταση στην οποία έρχεται ο παλμός. Και το δεύτερο αυτό ερώτημα μπορεί να αντιμετωπιστεί και έτσι. Ουσιαστικά μπορώ πάλι να ξεκινήσω από τη γνωστή μου την εξίσωση και να προσπαθήσω να φτιάξω πάλι τεχνητά τον ίδιο όρο των βαθμιδέν, έτσι ώστε να τον κρατήσω σταθερό και να αποδείξω να φτάσω σε εκείνο το σημείο. Θα το γράψω τώρα. Έστω λοιπόν η νέα μου συναρτήση που ψάχνω είναι η τζ του τε στο σημείο χ1 που μου ζητάει. Άρα η μορφή της είναι αυτή, η γενική μορφή από τη θεωρία. Προσπαθώ πάλι να προσταφερέσω το β του ταφμιδέν. Και άρα βλέπω ότι κρατώντας αυτό σταθερό σε αυτή τη μορφή και αλλάζοντας αυτό, το όρισμα του φ μέσα είναι το χ1 μιον β ταφμιον ταφμιδέν, που είναι το ίδιο που βγάλαμε εκεί. Απλά εμένα με ευβολεύει πιο πολύ να τα λέω, να τα καταλαβαίνω φυσικά τώρα εσείς. Αυτή ήταν η πρώτη άσκηση. Το δεύτερο παράδειγμα ουσιαστικά είναι ακριβώς το ίδιο πράγμα, απλά ξεκινάμε από το αντίθετο. Ξέρω αυτό και προσπαθώ, αφού αλλάξω μία φορά χρονική στιγμή, να πάω και να αλλάξω και τη θέση του παλμού σε έναν άξονα χ. Είναι ακριβώς το ανάποδο, θα το πούμε και αυτό μία φορά. Τα σβήνω όλα. Η άσκηση 2 είναι το παράδειγμα 2.42 του βιβλίου, που λέει τώρα, δίνεται η τάση του προχωρούντος κύματος σαν συνάρτηση του χρόνου. Ξεκινάμε από το χρόνο. Άρα μας δίνει μία β του χ0 για ένα συγκεκριμένο σημείο κ, τ, ίσον ένα τζ του τ. Ζητάμε την τάση σαν συνάρτηση του χρόνου, την οποία θα μετρήσει ένας παρατήρης της, σε ένα διαφορετικό σημείο χ, ίσον χ1, και την κατανομή της τάσης κατά μήκος της γραμμής, στη χρονική στιγμή τ, ίσον τ, 1. Άρα αντίστοιχα, τι έχουμε. Έχουμε πρώτα τη συνάρτηση ως προστάφ. Για μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή, αφού είναι στο χρόνο, είπαμε ότι εγώ είμαι σταθερή έρχετο παλμοσάρα, μετράω αυτή τη μορφή. Και για την οποία μου δίνουν τη συνάρτηση, αυτή την οποία τη θεωρώ γνωστή. Και μου λένε να πάω σε μια άλλη χρονική στιγμή, τ, Φ, και να βρω τη μορφή της συνάρτησης. Τι κάναμε πριν, είπαμε τι απόσταση έχει ουσιαστικά αυτό από αυτό, τι διαφορά χρόνου έχει αυτό από αυτό, είναι η απόσταση που πρέπει να διανύσει το κύμα για να φτάσει στο σημείο χ1, μειώνει την απόσταση από την οποία ξεκίνησε, δια την ταχύτητα του κύματος. Άρα με την ίδια λογική, εφόσον δεν έχω απώλειες πάνω στη γραμμή, όλα αυτά αν είχα απώλειες δεν θα μπορούσα να τα κάνω, γιατί δεν θα ήξερα τη νέα μορφή της συνάρτησης, πόσο είχε αποσβεστεί. Άρα εφόσον δεν έχω απώλειες πάνω στη γραμμή, η νέα μορφή μου θα είναι σε ένα νέο σημείο, και μέσα στο όρισμα του χρόνου πια περνάω αυτή τη μεταβολή. Είναι το ίδιο πράγμα μετατοπισμένο κατά τόσο όσο μου ζήτησε. Μαθηματικός τρόπος, ακριβώς το ίδιο με πριν, προσταφερούμε αυτή τη φορά πάλι τον όρο που χρειάζεται. Αντίστοιχα, στο δεύτερο ερώτημα μας λέει, την κατανομή της τάσης κατά μήκος της γραμμής, τη χρονική στιγμή τ' ίσον τ' ένα. Άρα, έρχομαι εδώ. Τη χρονική στιγμή τ' ίσον τ' ένα. Βγάζω μια φωτογραφία του Παλμού και βλέπω ότι αυτός είναι στο εδώ, στο σημείο χ' 1. Προσέξτε, όταν σας λέει ότι ζητάω τη χρονική στιγμή τ' ίσον τ' ένα, δεν είμαι εδώ, είμαι εκεί. Ο άξονας δεν είναι ο χρόνος, είναι το χ. Γιατί θέλω να δω τι γίνεται εκείνη τη στιγμή. Αυτό είναι λίγο παγίδα, γιατί κάποια φορά βλέπεις ως προς χρόνο και πας και βάζεις από κάτω το χρόνο. Άρα, είμαι εδώ. Ο Παλμός έστω ήταν στο σημείο χ ίσον 0. Το σημείο χ1 βρίσκεται χ0 στην απόσταση που πρόλαβε να διανύσει από το ταφ 1 μέχρι το ταφ 0, επί την ταχύτητά του. Αυτό είναι το γνωστό μου. Και κατά την ίδια λογική, όπως πριν, μπορώ πια να πάω να κάνω μία αλλαγή στις συνδεδογμένες, να δω τι ήξερα και τι μου ζητάει τώρα. Και έτσι να πω ότι, έστω από αυτήν εκεί, έχω αυτή γνωστή. Άρα, αντίστοιχα, θα μπορούσα να την πάω, βλέπω ότι μπορώ να την πάω σε μία άλλη, να τον μεταφέρω τον Παλμός σε ένα άλλο χ. Αυτό τώρα απλά τα κάνω ενδεικτικά. Θα μπορείτε να βάλετε οποιαδήποτε απόσταση σας ζητάει. Απλά θέλω να δείτε ποιά μεταβήτια αλλάζει και ποιά δεν αλλάζει. Και τώρα λες ότι, OK, εγώ θέλω σε μία συγκεκριμένη θέση, όπως μου είπε, έστω τη χ2. Αλλά τι μπορώ να αλλάξω το ταφ. Και να το βάλω πια σαν συγκεκριμένη τιμή. Και εδώ μέσα να αλλάξει αυτό. Ή για μία άλλη τι θα γίνει για μία άλλη χρονική στιγμή ταφ 2. Βλέπω λοιπόν ότι μπορώ για κάθε ταφ, που είναι αυτό που μου ζητάει, να έχω τη μορφή χ, ταφ 1. Το πώς φτάνω στη συνάρτηση δεν έχει τόσο ανόημα στα νούμερα γιατί κάθε φορά το σημείο αλλάζει. Αυτό που πρέπει να καταλάβουμε είναι ότι πια κινούμαστε σε δύο πράγματα ταυτόχρονα και στην απόσταση και στον χρόνο. Είναι ένα πράγμα που περπατάει. Δεν αλλάζει το ύψος του γιατί δεν έχουμε απόλυς, αλλά αυτό κινείται και στο χώρο και στην απόσταση. Κάθε φορά λοιπόν εγώ πρέπει να δω που είμαι εγώ. Πηγαίνω μαζί με τον παλμό, άρα κινούμαι δηλαδή ως προς το χρόνο. Ή είμαι και εγώ σε ένα συγκεκριμένο σημείο και άρα περιμένω τον παλμό να έρθει και μετράω χρόνο. Πρέπει λίγο να τα δείτε αυτά τα πράγματα γιατί από εδώ και πέρα σας λέω δεν έχουμε στατικές καταστάσεις. Υγένουν όλα έτσι. Εντάξει. Βέβαια, στην πορεία θα δείτε ότι θα κάνουμε κάποιες προσεγγίσεις ήδη από την επόμενη άσκηση. Θα βγάλουμε κάποια ισοδύναμα γιατί δεν γίνεται να τα μετράμε συνέχεια έτσι. Αλλά από εκεί και πέρα η χρόνη μας είναι όλη σε μορφές πολύ γρήγορες και που μας απασχολούν πλέον. Δεν είναι όλα. Και πάμε τώρα να δούμε ζεύξη γραμμής με πηγή. Είδαμε τις εξώσεις για ένα κύμα. Και πάμε πια να δούμε πώς μπορούμε μια ημιάπηρη γραμμή, όπως θεωρούμε χωρίς απώλειες, να την κάνουμε σε ένα ισοδύναμο, έτσι ώστε να μπορούμε να την δουλέψουμε σε ασκήσεις. Άρα πάμε να βάλουμε μία πηγή πάνω σε μία ημιάπηρη γραμμή για να δούμε τι ισοδύναμο μπορεί να μας βγάλει αυτό. Σας είπε ο κύριος Λαμπρίδης ότι μία ημιάπηρη γραμμή στο άκρο της μπορεί να προσωμιοθεί με τη σύνθετη χαρακτηριστική αντίσταση του κυκλώματος, το Ζ0. Αυτό το θυμάστε από τη θεωρία. Εμείς πάμε λίγο να δούμε γιατί συμβαίνει αυτό. Άρα θεωρούμε μία ομοιογενή γραμμή κυματικής αντίστασης Ζ0 και άπειρης έκτασης. Το άπειρης έκτασης ή μία άπειρης έκτασης. Και συνδέουμε το ένα άκρο της με πηγή τάσης USFΤ. Μας δίνει δηλαδή μία πηγή στην αρχή της γραμμής. Τη χρονική στιγμή T0 κλείνοντας το διακόπτη Δ, θέλει να υπολογίσουμε τις τάσεις και τα ρεύματα στη γραμμή συναρτήσει τον Χ και τον Τ. Πάλι δύο μεταβλητές. Άρα ουσιαστικά αυτό που μας λέει είναι ότι στο ένα άκρο της ημιάπερης γραμμής συνδέουμε μία πηγή τάσης, αυτή. Εδώ έχουμε ένα διακόπτη που θα κλείσει τη χρονική στιγμή T0. Πάνω σε αυτή την ημιάπερη γραμμή ουσιαστικά κινείται ο παλμός που έχουμε δώσει. Θυμίζω ότι η κυματική αντίσταση ή η χαρακτηριστική αντίσταση κυματική είναι αυτή. Την ονομάζει στασία 3 κυματική, είναι το ίδιο πράγμα. Είναι αυτό εδώ. Η αρχή της γραμμής τη θεωρώ έστω εδώ και θέλω να δω πώς θα δει αυτή την ημιάπερη γραμμή σαν τι. Μπορεί να την κάνει σοδύναμα. Για να το κάνω αυτό πρέπει να βρω τάσης και ρεύματα. Άρα πώς θα περιγράψω αυτό το κύκλωμα. Τι ξέρω στην αρχή. Ξέρω τις εξισώσεις ότι η τάση έχει μία μορφή F1 του χ-β-τ. Και αντίστοιχα ότι το ρεύμα είναι 1 προ Ζ0, αυτό που είπαμε, επί F1 του χ-β-τ. Αυτά τα θεωρώ γνωστά σαν μορφή. Άρα πάω να δω τι μπορώ να βγάλω από το κύκλωμα και στόχος μου πάντα είναι να το φέρω σε μία μορφή που ξέρω για να μπορώ να το δουλέψω. Άρα στο συγκεκριμένο κύκλωμα τι ξέρω. Αρχικά ξεκινάω με τις οριακές συνθήκες. Δηλαδή για την αρχή της γραμμής, για το χ-0. Ξέρω ότι η τάση στο 0, τ. στην αρχή πόση είναι. Αφού κλείσει ο διακόπτης είναι η τάση της πηγής που έχω εδώ. Πριν το κλείσουμε τον διακόπτη είναι 0. Άρα οριακά ξέρω ότι το U του 0, τ. είναι ένα F του τ. που μας το δίνουν για θετικούς χρόνους και 0 πριν το άνοιγμα του διακόπτη. Άρα τι προσπαθώ να κάνω, να φέρω αυτό το γνωστό μέσα στις γενικές εξισώσεις. Με αντικατάσταση εκεί, δηλαδή αν θεωρήσω ότι ψάχνω το 0 του τ, βγαίνει F1 του μοιον, V του τ. και αυτό ξέρω ότι είναι το F του τ που μου δίνουν. Αντίστοιχα λοιπόν για όλα τα χ. Το γράφω και το εξιβώ. Τι έχω κάνει, πήγα και αντικατέστησα το 0 εδώ για να δω τη γενική μορφή, να τη. Αυτό ξέρω, το F του τ. Άρα προσπαθώ και πάλι να φέρω το κάθε χ, με ένα τρόπο έτσι ώστε να μπορώ να το αντικαταστήσω με μια μορφή που ξέρω. Άρα απλά διερώ το βάζω μέσα το χ προς β, έτσι ώστε να φτιάξω αυτόν τον όρο, που το ξέρω ουσιαστικά. Τι έχασα, ένα β εδώ μπροστά. Το είχα αφήσει στο κενό. Άρα λοιπόν έχω καταλήξει ότι για κάθε χ, η μορφή της τάσης είναι μια F που μου την έχουνε δώσει, αντί για τ όμως έχω περάσει μέσα αυτό το όρισμα, που είναι το πώς πάλι μετακινείται. Γιατί ψάχνω για κάθε χ. Όταν αλλάζω το χ, αλλάζει αυτός ο χρόνος τον οποίο ο παλμός έχει μετατοπιστεί. Έχει πάει προς τα χ, αλλά τη μορφή του είναι η ίδια. Αντίστοιχα λοιπόν για το ρεύμα, βάσει αυτών των σχέσεων, να ονομάσω αυτήν... ...από την ένα και αυτή, οι δύο. Το ρεύμα θα έχει τη μορφή για κάθε χ που ψάχνω. Γιατί πλέον για μένα αυτή είναι εκείνη που έβγαλα την ισοδύναμη. Αυτό επίσης ισχύει για χρόνους όπου το τ είναι μικρότερο του χ. Είμαι στο σημείο πριν. Είναι και τα δύο μηδέν, έτσι, κατανοητό αυτό. Άρα, που έχουμε φτάσει, στο τ. ...από αυτή ουσιαστικά και την άλλη που είχα γραμμένη, αυτό ήταν η ίδια. Άρα, εξουσώνω αυτό με το αντίστοιχο της τάσης. Προκύπτει αυτό, το οποίο για την αρχή της γραμμής, που μας ενδιαφέρει εμάς το πώς βλέπουμε το κύκλωμα, είναι z0 επί γιώτα του μηδέν, την αρχή του κυκλώματος. Αυτήν εδώ, την ξέρουμε και είναι η f του τ. Άρα, f του τ. Τι καταλήξαμε εδώ, που καταλήξαμε, σε αυτό που είπα από την αρχή, ότι είναι απόδειξη της θεωρίας αυτό το πράγμα. Άρα, μία ημιάπειρη ομοιογενής γραμμή μεταφοράς χωρίς απώλειες, φαίνεται στο άκρο της σαν μία ομική αντίσταση, ίση με τη χαρακτηριστική αντίσταση της πηγής. Αυτό έδειξα, ότι αυτή η f του τ, που ισούται ουσιαστικά με το β, του μηδέν κόμμα τ, είμαι στην αρχή, το αντίστοιχο ρεύμα για μηδέν, μου δίνει το z0. Άρα, από εδώ και πέρα, όποτε μου δίνουν μια ομοιογενή χωρίς απώλειες ημιάπειρη, θα μπορώ να την αντικαταστήσω με ένα σχήμα της μορφής... Πάω από εδώ και λέω ότι εδώ είναι η πηγή μου. Και όλο αυτό το ημιάπειρο κομμάτι, για μένα, είναι ένα z0. Και προκύπτει αυτό το ισοδύναμο. Το καταλάβαμε? Είναι απόδειξη ενός πράγματος που από εδώ και πέρα θα το παίρνουμε δεδομένο, δεν ξανασχολούμαστε μαζί του. Είναι απλά για να καταλάβουμε πώς βγήκε. Αυτό έγινε κάποια μημιάπειρη γραμμή, στη πραγματικότητα, ανταποκρίνοντας σε αυτό το μοντέλα. Τα μοντέλα, ναι, ανταποκρίνονται στη πραγματικότητα, γιατί έχει είτε την περίπτωση κοντής γραμμής μεταφοράς, είτε την περίπτωση πολύ μακριάς γραμμής και μιάπερη στη συγκεκριμένη περίπτωση. Τα φαινόμενα τα οποία είναι στην πραγματικότητα, στα συστήματα μεταφοράς, είναι τέτοιες γραμμές. Δηλαδή, θεωρείς ότι είναι πολύ μεγάλες οι αποστάσεις, οι μιάπερες γραμμές, άρα σφύγουν πολύ γρήγορα τα φαινόμενα. Άρα, οι προσεγγίσεις αυτές ισχύουν σε πολύ καλή... Μην νομίζεις ότι κάτι χάνουμε, δεν χάνουμε, εντάξει. Πάμε τώρα άλλες δύο ασκήσεις, οι οποίες είναι ουσιαστικά ζεύξη ενός κυκλώματος με πηγή. Τη μια φορά έχουμε ένα πυκνοτή και την άλλη φορά μία αυταεπαγωγή, όπου ουσιαστικά θα χρησιμοποιήσουμε αυτό το ισοδύναμο που βγάλαμε από αυτή την άσκηση. Πάμε στο παράδειγμα 2-5-1, όπου μας λέει το εξής. Είναι η άσκηση ουσιαστικά για μας 4. Μας λέει, έχουμε ένα πυκνοτή, ο οποίος είναι φορτισμένος με τάση γιου σε αρχική τάση και συνδέεται με μία ημιάπηρη γραμμή, τη χρονική στιγμή τέσσεων μηδέν. Ζητείτε, η τάση σαν συνάρτηση του χρόνου στα διάφορα σημεία της γραμμής. Άρα πάμε και βάζουμε ένα πυκνοτή σε μία ημιάπηρη γραμμή. Αυτό για μένα, πλέον αφού έχω αποδείξει ότι η μιάπηρη γραμμή είναι ένα ζετ μηδέν στην αρχή της, το βλέπει σαν ένα ζετ μηδέν, είναι αυτό. Έχω τον πυκνοτή μου, έχω εδώ ένα διακόπτη που θεωρώ ότι κλείνει τη χρονική στιγμή τέσσεων μηδέν. Για μένα η αρχή του κυκλώματος είναι εδώ, άρα γι' αυτό το λόγο βλέπω από εδώ και πέρα σαν ένα ζετ μηδέν. Ξέρω αρχικά την τάση στην αρχή στο σημείο μηδέν και ξέρω και το ρεύμα. Αυτό που μου ζητάει είναι η γενική έκφραση της τάσης για κάθε χ, όχι μόνο για το μηδέν. Ξεκινάμε πάλι κυκλωματικά και βλέπουμε τι μπορούμε να βγάλουμε από αυτό το σχήμα. Τι μπορούμε να ξέρουμε, ότι το ρεύμα εκφόρτησης του πυκνοτή είναι το ίδιο που ρέει σε όλο το υπόλοιπο κύκλωμα. Αρουσιαστικά γράφω την εξείσωση, τη γνωστή σεντε βεσέ προς δε τέ, βεσέ που είναι η αρχική τάση του πυκνοτή, τη χρονική στιγμή μηδέν αυτή εφαρμόζεται πάνω στη ζετ μηδέν, άρα είναι βεσέ προς ζετ μηδέν ίσον μηδέν. Κυκλωματικοί δεν έχουν να πω τίποτα πάνω στο ό,τι ξέρουμε. Την προχωράμε. Αντικαθιστώ όπου σε επί ζετ μηδέν με τάφες που είναι η χρονική σταθερά του κυκλώματος, άρα φτάνω σε μία μορφή χωρίς να έχω κάνει τίποτα ουσιαστικά, η οποία είναι δε βεσέ προς δε τέ, συν ένα προς τάφες τη χρονική σταθερά του κυκλώματος, ίσον βεσέ του μηδέν. Αυτή εδώ η εξίσουση πρέπει να λυθεί για να μπορέσω να βρω την τάση για οποιοδήποτε σημείο του κυκλώματος. Η λύση της διαφορικής, πρέπει να της θυμηθείτε λίγο τις διαφορικές, δεν θα έχουμε πολλές μορφές, θα έχουμε δυο-τρεις συγκεκριμένες, αλλά πρέπει να ξαναθυμηθείτε λίγο πώς τάνουμε τις μορφές της. Αυτή είναι μία απλή μορφή. Η λύση λοιπόν αυτής είναι της μορφής βεσέ του τέ, είναι η αρχική τάση φόρτς του πυκνοτή, πιέει στη μειών τάφ προς τάφες για θετικά τάφ. Πώς μπορώ να βγάλω οριακές συνθήκες για αυτή την εξίσωση, πρέπει να πάω στην αρχή της γραμμής που εκεί ξέρω κάποια πράγματα. Τι ξέρω, ξέρω ότι η τάση στην αρχή της γραμμής θα είναι, θα έχει αυτή τη μορφή που είναι μία ευ του τέ που την ξέρω και αντίστοιχα είναι μηδέν για τάφ αρνητικό. Άρα στα διάφορα σημεία της γραμμής προσπαθώ να εισάγω εδώ μέσα το γενικό χ και να έχω σαν αποτέλεσμα γνωστή επίευση στη μειών τάφ. Θυμηθείτε τι κάναμε εδώ, πήγαμε και βάζαμε στο όρισμα μέσα του χρόνου τη μετατόπιση που θα έχω από το μηδέν που ήμουνα εκεί σε ένα άλλο συγκεκριμένο σημείο. Άρα τάφ μίον χ προς β που είναι ο χρόνος που χρειάζεται για να φτάσει σε οποιοδήποτε χ που ψάχνω τώρα της γραμμής, εκεί δηλαδή είναι σαν να έχω χ μηδέν. Άρα εδώ προς οποδήποτε χ προς τάφες, επαναλαμβάνω ότι το χ προς β είναι ο χρόνος που χρειάζεται για να φτάσει στο τυχό σημείο της γραμμής. Άρα για να τα συνοψίσουμε πήραμε την εξίσωση του κυκλώματος όπως την ξέραμε, τη γενική μορφή της διαφορικής με το ρεύμα εκφόρτηση του πυκνοτή, τη φτάσαμε σε αυτή τη μορφή όπου εισάγαμε μέσα τη χρονική σταθερά του κυκλώματος και παίρνουμε τη γενική μορφή της εξίσωσης. Εμείς λέμε ότι γι' αυτήν ξέρουμε αυτή η ισχύη στην αρχή, γι' αυτό έχουμε πάρει αυτή την οριακή συνθήκη. Από εκεί και πέρα προσπαθούμε να εισάγουμε μέσα την τυχαιότητα του κάθε χ, γιατί αυτό μας ενδιαφέρει, βάζοντας τη χρονική καθυστέρηση που θα κάνει ο παλμός να φτάσει στο τυχαίο σημείο της χ μέσα στο όρισμα του τάφου. Αυτό έκανα. Προσπαθούμε να δούμε κάθε φορά που είμαστε, να βγάλουμε και τις εξίσωσες και να προσπαθήσουμε να το κάνουμε για κάθε χ βάζοντας μέσα το χρόνο που χρειάζεται για να φτάσει από ένα σημείο σε ένα άλλο. Η άσκηση τελευταία, παράδειγμα, δηλαδή σας λέω σήμερα κάνουμε απλά παραδείγματα, από την επόμενη φορά θα μπούμε σε ασκήσεις. Η επόμενη άσκηση είναι ακριβώς το ίδιο πράγμα, απλά αυτή τη φορά έχουμε ένα ποινείο εδώ πέρα, θα χρησιμοποιήσουμε τις αντίστοιχες εξώσεις με το ρεύμα του ποινείου και θα πάμε να καταστρώσουμε πάλι την ίδια διαφορική. Θα τις έχετε σαν παραδείγματα γιατί θα είναι κομματάκια των ασκήσων των επόμενων. Δηλαδή η μορφή της διαφορικής θα μας ξαναχρειαστεί, το ισοδύναμο που φτιάξαμε θα μας ξαναχρειαστεί. Είναι πράγματα που μετά δεν θα τα ξαναποδεικνύουμε, θα τα παίρνουμε έτοιμα, απλά να δούμε πώς προήλθανε για να μην υπάρχει ένα χάου. Και λίγο μετασχηματισμό λαπλάς θα χρησιμοποιήσουμε, αντίστροφο, λίγο απλά κλάσματα, αν θέλετε δηλαδή δείτε τα λίγο αυτά αν έχετε χρόνο καθόλου πριν τις επόμενες φορές. Λοιπόν, οι πηγές συνεχούς τάσης του σχήματος εδώ, έχουμε μία πηγή συνεχούς τάσης, συνδέεται μέσω μιας αυτεπαγωγής και ενός διακόπτη με μία ημιά πυρηγραμμή. Ψάχνουμε την τάση σαν συνάρτηση του χρόνου στα διάφορα σημεία της γραμμής. Παρατήρηση, αν δείτε στο σχήμα του βιβλίου, θα δείτε ότι στην προηγούμενη περίπτωση που εδώ είχα το μπικνωτή και τη γραμμή μεταφοράς, ενώ εδώ έχω το ποινιό και τη γραμμή μεταφοράς, η διαφορά βλέπετε στη μορφή του παλμού. Αν έχετε βιβλία, δείτε το από τα βιβλία σας. Είναι γιατί την πρώτη φορά η εκφώνησή μου ήταν ότι στη δεύτερη φορά ήμουν σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή, γι' αυτό είχε αυτή τη μορφή ο παλμός. Πριν έψαχνα στα χ, τι γινότανε, γι' αυτό είχε την άλλη μορφή, όπως είπαμε πριν. Μικρές λεπτομέρειες οι οποίες σας υπενθυμίζουν πράγματα που ξαναείπαμε. Άρα, σε αυτή τη μορφή ψάχνω για μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή, την τάση στα διάφορα σημεία της γραμμής. Η ίδια λογική ακριβώς. Ξεκινάω και λέω ότι αυτό, ισοδύναμα για μένα πλέον, είναι μία πηγή, ένα ποινείο, ο διακόπτης μου, και η χαρακτηριστική, όπως βλέπω, είναι μία πηγή από την αρχή της γραμμής. Εδώ είναι για μένα το χ0, αυτό θεωρώ ότι το σημείο μου, άρα εδώ αντίστοιχα θα έχω την τάση 0, τε, και εδώ θα ρε ένα ρεύμα γιότα μηδέν τε. Ακριβώς αντίστοιχα, κυκλωματικά, τι έχω? Έχω ότι η τάση στα άκρα της αυτεπαγωγής και η τάση στα άκρα του Ζ0, λίγο ησυχία, θα είναι ίση με την αρχική μου τάση. Άρα, λ, δ, α, λ προς δ, τ, συν, γιότα λ, που το θεωρώ κοινό επί Ζ0, είναι η αρχική τάση που είχα εδώ. Τον ώρα αυτό, τον αλλάζω και πάλι με το τάφες, πες μου, χρονική σταθερά του κυκλώματος, ανάποδα. Άρα, αυτή είναι η διαφορική που κρατηρίζει το κύκλωμα, όπως και πριν. Λύση της διαφορικής αυτή, αρχική συνθήκη και προέκταση σε κάθε χ. Άρα, η αρχική μου συνθήκη είναι ότι το ρεύμα που περνάει από το ποινείο είναι 0 στην αρχή, στο 0. Άρα, η λύση αυτής είναι της μορφής, ο σταθερός όρος από εκεί, προζέτη 0. Την μπορώ να πάρω την τάση στην αρχή της γραμμής και πάλι, η οποία είναι Ζ0 επί ΙΛ του τάφ. Αυτό ισχύει για την αρχή της γραμμής, όταν το τάφ είναι θετικό και αντίστοιχα για την αρχή της γραμμής. Για οποιοδήποτε σημείο μετά από αυτό το σημείο 0, πρέπει να εισάγω πάλι εδώ μέσα το χρόνο που θα χρειαστεί να φτάσει από το 0 που είμαι στο τυχαίο σημείο χ. Άρα, για οποιοδήποτε χ, αυτή η συνάρτηση είναι τάση σταθερή επί 1-Ε, διαθυστέρηση προς τα φες, η οποία είναι η συνάρτηση προς τα φες, η οποία είναι η συνάρτηση προς τα φες. Αυτή είναι η συνάρτηση προς τα φες.