6.1 Σκέφτομαι άρα υπάρχω...Αναλυτική Γεωμετρία / Ενότητα 66 ,#1 ,08/05/14 (από 27,02 εως τέλος) - Χαραλάμπους Χαρά (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Ενότητα 66 ,#1 ,08/05/14 (από 27,02 εως τέλος): Και σε αυτή την ιστορία, ξεκινώντας λοιπόν αυτήν εδώ την ιστορία, επιτέλους στον Καρτέζιο, πολύ φιλόσοφος, μαθηματικός, πονεμιστής, ταξιδιάρης, έτσι, 1596-1650 προχωράμε σιγασιά στο 17ο αιώνα, σκέφτομαι, άρα υπάρχουν έτσι ένα από τα δνομικά, τα οποία αν δεν το έχετε ήδη απομυμονεύσει καλό θα είναι, έτσι θα σας χρησιμεύσει και θα σας δίνει κουράγιο και κάποιες μέρες, έτσι τι οφείλουμε τώρα στον Καρτέζιο, 1637, έτσι έχουμε το βιβλίο του, μέθοδος, και μέσα στη μέθοδος το τέλος μιλάει γιατί έχει μέσα και ένα γεωμετρία, έχει ένα παράδειγμα γεωμετρίας, έτσι, ποια ήταν η βασική ιδέα του Καρτέζιου, Καρτεζιανή γεωμετρία, αναλυτική γεωμετρία, ποιος ήταν ο στόχος του και να το συγκρίνουμε με αυτό που γινόταν μέχρι τώρα, έτσι, αυτό που γινόταν μέχρι τώρα είναι, ήταν ένα πρόβλημα το οποίο σήμερα θα λέγαμε αλγυβρικής φύσεως, έτσι, ένα πρόβλημα αλγυβρικής φύσεως, χρησιμοποιούσαν τη γεωμετρία για να το λύσουν. Τι κάνει λοιπόν ο Καρτέζιος, κάθε ο στόχος του βασικός, όπως το περιγράφει, είναι ότι κάθε πρόβλημα της γεωμετρίας να μετατραπεί σε ένα αλγυβρικό πρόβλημα και να χρησιμοποιήσει την αλγυβρά για να το λύσει, έτσι, το αντίθετο. Και αυτό που λέει είναι ότι κάθε πρόβλημα της γεωμετρίας μπορεί εύκολα να μετατραπεί έτσι, ώστε η γνώση των μικών κάποιων ευθύρωμων γυμμάτων να αρκεί για τη λύσση του. Εδώ τρέχω γεωμετρικό πρόβλημα σε ένα αλγυβρικό πρόβλημα και για να μπορέσει να το κάνει αυτό, έτσι, αναγκαίο για να μπορέσει να κάνει αυτό εδώ, είναι να χρησιμοποιεί συστηματικά τη συμβολική αλγυβρά. Και γι' αυτό έβγαλε τον κατάλληλο συμβολισμό. Ο κατάλληλος συμβολισμός είναι ο πιο σημαντικός στο να μπορέσεις να πλησιάσεις το πρόβλημα. Έτσι, όπως είπαμε είναι ότι θεωρούσε και τις παραμέτρες και τις αγνώσεις σε φύγαμα τμήματα. Δεν ήθελα να τα μετατρέψει όλα σε φύγαμα τμήματα. Το γινόμενο δύο αριθμό έχουμε δει μέχρι τώρα και στις αρχαίες ελληνές γινόμενο δύο αριθμό αντιστοιχεί σε μπαδό. Έτσι, γινόμενο δύο αριθμό αντιστοιχεί σε μπαδό. Κύβος αντιστοιχεί σε όγκο. Τρίτο βαθμό αντιστοιχεί σε όγκο. Αυτό ήταν μέχρι τώρα. Ο Κατέζιος λέει θα αντιμετωπίζω όλα σαν εφήγγιμα τμήματα. Όλα θα τα αντιμετωπίσω σαν μήκος. Έξω. Για να δούμε εδώ πώς προκύπτει λοιπόν ως μήκος το βΔ επί βΣ. Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το μήκος βΔ επί βΣ. Μας δίνει το βΔ, μας δίνει το βΣ και μας λέει το μήκος. Αν διαβάσω κανείς εκεί παράλληλα, έτσι και σταγανικά, αν να νομίζω ότι γίνει το νόημα, ας κατασκευάσουμε λοιπόν ένα φθιγρομοτμήμα εδώ, ένα φθιγρομοτμήμα εκεί. Βάζω εδώ το σημείο β. Και για την ευκολία του σχήματος βάζω εδώ το β, θέλω το βΔ επί το βΣ. Βάζω λοιπόν εδώ το δ, βάζω εδώ, μάλλον να ταιριάξω ακριβώς με αυτά που έχεις στο σχήμα, βάζω εδώ λοιπόν το δ και εδώ το σε. Στη μία μη ευθεία βρίσκω την απόσταση, τη βάζω εδώ, σε μία μη ευθεία βρίσκω το σε και τη βάζω εκεί. Εκεί βρίσκω και την μονάδα αυτό το σημείο που έχει απόσταση μονάδα. Βρίσκω λοιπόν και αυτό το σημείο α. Τι κάνω μετά? Ενώνω το α με το σε σε αυτήν την εικόνα, ενώνω το α με το σε και μετά από αυτό εδώ το σημείο, από το σημείο δ θα φέρω μια παράνιση στο α σε. Αυτό κάνω. Αυτό λοιπόν εδώ είναι μονάδα. Αυτό είναι τα δύο νούμερα που θέλω, τα μήκη των δύο ποσοτήτων που θέλω να ποναπλασιάσω. Φαίνω αυτήν εδώ την παράνιση, από αυτό εδώ το σημείο φαίνω την παράνιση στην πρώτη. Αυτήν εδώ που πρόκειται ότι είναι παράνιες, λίγο ποσοτήτων. Αυτό εδώ είναι το άλλο το σημείο ε και λέει ότι το β ε, το μήκος αυτού του ευθύγραμμα κλίματος είναι αυτό το οποίο ψάχνω. Δεν είναι δύσκολο να το δούμε, έτσι. Δεν είναι δύσκολο να το δούμε, γιατί έχουμε όμια τρίγωνα εδώ. Έτσι ποιά είναι το όμια τρίγωνα. Έχω το βα, βα ως προς α σε θα είναι ίσο με το βδ, βδ ως προς πεντήρα το α σε ετσιλον δι, διεψιλον. Πολλαπλασιάζει, αρχιεστεί. Το διτ α είπαμε ότι είναι μονάδα και αυτό που προκείται είναι ότι το διεψιλον, καλά κάνουμε τους λόγους ο οποίος θέλουμε έτσι διτ α επί διτ α σε, έτσι είμαι σε αυτό εδώ το τρίγωνο διτ α προς διτ α σε. Είναι το βδ ως προς το βε. Και το προηγούμενο κλάσμα ήταν σωστό, πλέον δεν μας εδυνατσώ το οποίο ψάχνουμε. Έχουμε λοιπόν το βε βε ότι είναι ίσο με αυτό εδώ το γινόμενο βδ επί βε σε. Το γινόμενο λοιπόν, μπορώ να το σκεφτώ και αυτό σαν ένα ευθύ γραμμοτμήμα. Είναι τόσο απλά τα πράγματα. Γιατί ήρθε ο Κατέσοιος με αυτή την ιδέα και δεν είχαν έρθει, εντάξει αυτό το σχήμα δεν είναι τόσο δύσκολο να το βρει κανείς, έτσι. Τι επιτρέπει στον Κατέσιο να το σκεφτεί έτσι που δεν επέτρεπε τους μαθηματικούς μέχρι τότε να το δουν. Και έπρεπε να σκέφτεται γινόμενο ακόμη και με το ένα. Έτσι ακόμη και με το ένα, το γινόμενο με το ένα. Γινόμενο ενός ευθύ γραμμοτμήματος με το ένα είναι το εμβαδό του οσογωνίου παρελλογράμμα που το ένα η μια πλευρά είναι αυτό με το οποίο πολυπλασιάζουμε το ένα και το άλλο κομμάτι με το ένα. Εδώ ο Κατέσοιος έχει ξηφύγει από αυτό. Δήτα, άλφα, επί βήτα έψινε είναι αυτό. Πώς έχει ξηφύγει? Γιατί εκείνο που είναι σημαντικό έτσι είχε κάνει την ταύτιση. Συμβολισμός, έτσι δεν μας- δεν κοιτάζει πια. Δεν κάνει το πολλαπλασιασμό σκυφτόμενος γυομετρικά. Τον σκέφτεται αργιβρικά. Συμβολικά. Έχουμε λοιπόν ξεφύγει, εδώ πέρα η γεωμετρία λύνεται μέσω της άλγυβρας, εντάξει, το κάνουμε γι' αυτό, από τη στιγμή που το κάνεις για το γινόμενο μπορείς δύο πραγμάτων, μπορείς να το κάνεις για όσα θέλεις. Άρα και το τετράγωνο και ο κύβος αντιστοιχούν σε αυτή γραμματμήματα. Δοκιμάστε να το κάνετε και για την τετραγωνική ρίζα, δοκιμάστε να δείξετε ότι και η τετραγωνική ρίζα με κάποια τέτοια τρίγωνα βγαίνει να είναι και αυτό ένα ευθύ γραμματμήμα, έτσι που θα πρέπει να βάλετε τη μονάδα. Το άλλο το οποίο ίσως να αναρωτηθείτε εδώ και καλό είναι, έτσι, τι θα γίνει αν το β'α μας υφυρειάζει αυτό, τι θα γίνει αν η απόσταση β' είναι μαγαλύτερη από τη βΔ, έτσι, αλλάζει κάτι σε αυτό το οποίο έχουμε κάνει. Τα βλέπε λοιπόν κανείς αυτά, μπορεί να κανείς να εμπνεύσει με τον ίδιο τρόπο και τα ρυζικά. Στο βιβλίο του έχει λει πως να λύσει κανείς αυτήν πάνω ένας τρόπος, μια δευτεροβάθμια εξίσουση, δευτεροβάθμια εξίσουση γεωμετρία, είναι το Ζ δετράγωνο ίσον με το Άζ συν Β δετράγωνο και μας λέει τη λύση. Θέλουμε να λύσουν αυτήν εδώ την εξίσουση, έχουμε ένα Β, έχουμε ένα Ά, έτσι και θέλουμε να βρούμε τη λύση, φτιάχνει στον κύκλο, στο σημείο Λ, φαίνει στην τυχαία σημεία, έτσι, παινώνεις με τον κέντρο, φαίνει στην εφαπτωμένη στο σημείο Λ, προς την ακτίνα, φτιάχνεις αυτό εδώ το σχήμα και μετά από τις ιδιότητες του τελευταίου βγαίνει ότι το Ζ, που είναι δευτεροβάθμια ομικρομή, ικανοποιεί τη σχέση στην οποία θέλεις. Ενέξει το άλλος τρόπος τώρα τελείωσε ευρετικώς από τον τρόπο των αράβων. Και πάλι, γιατί έφτασε ο Κατέζιος με αυτό και όχι εκείνη εκείνη, να το προσπαθήσουμε να το καταλάβουμε, έτσι οι Άραδες κάνουν την πλήραση, συμπλήραση και ό,τι καθ' αξίζει, αυτό είναι διαφορετικό, να το αισθανθούμε. Ο Κατέζιος είναι γνωστός για τη χρήση των συνδεταγμένων, οι καρτεσιανές συνδεταγμένες. Καρτεσιανές συνδεταγμένες στον Κατέζιο ήταν ανοιγκαστικά δύο κάθετος. Αλλά όταν περιέγραφε αυτό το πρόβλημα, το πρόβλημα του Απολώνιου, όταν προσπαθούσε να δώσει τη λύση ενός προβλήματος που είναι γνωστός σαν το πρόβλημα του Απολώνιου, τα περιέγραψε όλα με βάση δύο εθείες. Είναι η εθείες E.G., που τη βλέπετε εκεί, και είναι και η εθεία C.T., έτσι, τις βλέπετε τις δύο εθείες, έτσι, περιέγραψε ότι γινόταν αυτές οι δύο εθείες και μια εθεία αντιστοιχεί σε αυτό το Ψ, ενώ η άλλη εθεία αντιστοιχεί στο Ψ και στο Ψ. Καρτεσιανές, λοιπόν, συνδεταγμένες βρίσκονται από αυτά εδώ τα έργα του Κατέζιου. Στο Απολώνιο, ο πρόβλημα έχει αυτήν εδώ την ιστορία. Β' αιώνας π.Χ., τρίτος αιώνας τ.Χ., θέλουμε να κατασκευάσουμε πάλι με κανόνα και διαβήτη δύο κύκλους, οι οποίοι να είναι εφαπτόμενοι σε τρεις τοθέντες κύκλους στο επίπεδο. Μας δίνουν τρεις κύκλους χρωματιστούς σε αυτήν την εικόνα, οι τρεις χρωματιστοί κύκλοι μας τους δίνουν και θέλουμε να κατασκευάσουμε έναν άλλον κύκλο με κανόνα και διαβήτη, ο οποίος να εφάρτηται ένας σημειοτομής με κάθε έναν από αυτούς τους κύκλους. Έτσι και το έλεισε ο Κατέσιος, για να το λύσει ο Κατέσιο Μάγου, χρησιμοποίησε τις δεκαγμένες. Θα μιλήσουμε κι άλλο για τον Κατέσιο, γιατί εκεί που οδηγούμαστε, ένα από τα πολύ σημαντικά πράγματα που θέλουμε να συστηθήσουμε είναι η φεύρεση, είναι ο λογισμός. Δεν θα προχωρήσουμε να απολύσουμε τον λογισμό, αλλά τουλάχιστον στην αρχή, το πώς φτάσαμε μέχρι εκεί και ποιες μεθόδους είχαμε, ο λογισμός επιτρέθηκε, γιατί προσπαθούσαν να βρουν τρόπους για να μελετήσουν εμβαδά. Και το αντίστοιχο πρόβλημα, ο λογισμός, είναι η ιδέα ότι το εμβαδό με την παχύτητα, με την εφαπτομένη, έχουν αντίστοιχο σχέση το ένα με το άλλο. Και να φτάσουμε λοιπόν εκεί, υπήρχαν πολλές προσπάθειες για να μελετηθούν τα εμβαδά και θα δούμε και το τι έκανε ο Κατέσιος. Θα ξαναμιλήσουμε λοιπόν για τον Κατέσιο, αλλά για σήμερα θα σταματήσουμε βάζοντας αυτήν εδώ την φράση. Μέτριοφροσύνης. Στην της Άλλη, ο πολύ μετριώθυνας είναι ότι αμεκρίνει ευγενικά το μέλλον και αυτό είναι καλό να το θυμάται κανείς, όχι μόνο για τα πράγματα που εξήγησα, αλλά κυρίως αλλά και για αυτά που παρέλειψα, έτσι ώστε οι άλλοι να έχουν τη χαρά της ανακάνευσης. Αυτά για σήμερα.