Μάθημα 2 (μέρος Α) / Ασυμπτωτικός Ρυθμός Αύξησης (μέρος Α) - Ζαρολιάγκης Χρήστος (ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, 2014)
Ασυμπτωτικός Ρυθμός Αύξησης (μέρος Α): Στο χτεσινό μάθημα συζητήσαμε κυρίως το σκοπό του μαθήματος και την μεγάλη τεχνολογική του σημασία πορεία σχεδιάζοντας αποδοτικούς αλγόριθμους μπορείτε πραγματικά να κάνετε πολύ καλύτερα πράγματα με τη βοήθεια υπολογιστή χωρίς να αφήνει τα πάντα να τα κάνει χαρούμενα σήμερα θα συζητήσουμε ένα μαθηματική έννοια πουλάκια που εκφράζει το λεγόμενο συνθετικό ρυθμού αύξησης των συναρτήσεων των μαθηματικών συναρτήσεων που αναπαριστούν το χρόνο και το εκτέλεσης ένα αλγόριθμου είπαμε ότι χρόνος θυμίζω είναι αριθμός το στοιχείο των πράξεων όπου στοιχειώδης πράξη για σας είναι ένα εντολή τη γλώσσα assembly για παράδειγμα υποχωρούσε bytes που σε λέξεις Νίνης καταλαμβάνει στη μνήμη του υπολογιστή και το δεύτερο είναι θα δούμε τον τον πρώτο μας αλγόριθμους που είχε μια πολύ σημαντική πρακτική σημασία ώσουν κόσμος αύξηση κοιτάξτε να δείτε όταν κάνουμε ανάλυση ένα αλγόριθμου θέλουμε να δούμε ακριβώς κλείνουν συνάρτηση η οποία περιγράφει τον της πράξης για παράδειγμα ιδανικά θα θέλαμε δηλαδή λέμε ότι το τ αν αυτό γίνει συμβολίζουν το χρόνο εκτέλεσης τους αλγόριθμους στοιχειώδεις πράξεις πάντοτε με μέγεθος ίσο είναι μικρό αγγλικό και έπεται ότι μου μπορώ να πω ότι κάνει ας πούμε ζημιογόνοι τετράγωνο ανέφερε λογαριασμούς του και 22 πράξεις αυτού μπορώ να το πω για κάποιες περιπτώσεις αλλά για την πλειοψηφία των περιπτώσεων που θα δούμε μου είναι πάρα πολύ δύσκολο να αναλύω με μεγάλη ακρίβεια ειδικά αυτές εδώ τις σταθερές και όπως καταλαβαίνετε επειδή εμάς μας ενδιαφέρει πως συμπεριφέρεται συνάρτηση αυτή όταν τον θεωρητικά πάντα μιλώντας γενικά απλό φυλλάδιο πώς κλιμακώνεται είσοδος αυτό σημαίνει τον πηγαίνει στο άπειρο σε σχέση με αυτά που συζητήσαμε χτες θέλουμε λοιπόν να δούμε γενικά ποια είναι η ύλη ασκούν τοπική εξέλεξε δηλαδή οι ίδιοι της συνάντησης αυτής τον ρυθμό ανάπτυξής της σε σχέση με την εξάρτηση από τον ΕΦΕΤ στο τετράγωνο τον ήλιο ν' κλπ και όχι από τις σταθερές και κυρίως επαναλαμβάνω θα Δείτε ότι είναι πολύ δύσκολο να βγάζουμε ακριβώς σταθερές έτσι είναι εγγενώς δύσκολο και γιατί δε μπορούμε να είναι εγγενώς δύσκολο ένα δεύτερο σημείο είναι το εξής σας όταν έχουμε τέσσερις αλγόριθμους ωστόσο ο πρώτος εδώ κάναμε ακριβώς στην ανάλυση της κας κάνουμε την υπόθεση εργασίας πρώτος κάνει 1000 είναι πράξεις ο δεύτερος διακοσμημένη ο τρίτος δεν κάνει τετράγωνο πράξεις πιο 4ος δύο στήνει και σωζόταν ποιος είναι κατά τη γνώμη σας ο ταχύτερος δηλαδή από το ειδικό βάρος ας όποιος έχει γνώμη σήκωσε το χέρι του για να βλέπουμε ναι Δευτέρα αλλιώς οι υπόλοιποι δεν βεβαίως ναι ξέρω δεν σε βλέπω κάποιους Δεναξά πρώτος σαφώς λέω πρώτος ακούω δεύτερος αλλιώς ορίστε ναι παρακαλώ ο τελευταίος ο τέταρτος που υποστήριζα αυτό έχει ναι αλλά αυτό σημαίνει να αργότερα στην πράξη σε πολύ γρηγορότερος ώρα αυτό το συζητήσαμε και χτες παρακαλώ λοιπόν η απάντηση είναι πως σαφώς συνάδελφός σας εκεί δεν είναι μονοσήμαντη βέβαια εξαρτώνται από τον ν δηλαδή αν έχω πολύ μικρά μεγέθη αυτόν τον μήνα από ένα έως 9 ο συνάδελφός σας εκεί έγινε πιο επιθετικός ενώ όπου το ειδικό τέλος μόλις τόνοι παλεύει μέσα από 10 έως 100 λαιμό ποιότητος αλγόριθμος είναι αποδοτικότερο σε σχέση με τους άλλους και όταν τον είδα από 100 και πάνω αυστηρά κάποια πάνω προφανώς πρόδωσαν μπορεί όμως όπως σωστά μαντέψατε εάν οι περισσότεροι είναι αποδοτικότερα ως γιατί γιατί έχει τη μικρότερη εξάρτηση ως προς τον ρυθμό ανάπτυξης από τον η επόμενη στην πρώτη εδώ δεν είναι η επιθυμία για λογαριασμό της συνάντηση του ν που δεν είναι βέβαια αλλά προσθέτει κάτι και 70 τραγωδία των εθνική βλέπουμε λοιπόν ότι τελικά αυτό που είδατε ήταν σωστό αλλά δεν συμβαίνει για οποιαδήποτε τιμή εισόδου συμβαίνει από ένα κατώφλι εισόδου και πάνω και αυτό μας διευκολύνει γιατί αυτό ακριβώς θέλουν να μελετήσουν ωραία δηλαδή μας ενδιαφέρει συμπεριφορά όταν το 1000 καθώς το κλίμα ακόμα δεν μας ενδιαφέρει τι γίνεται για μικρές στιγμές ν γιατί υποτίθεται ότι αυτές τις περιπτώσεις μπορούν με κάποιο τρόπο εύκολα να λύσουμε το πρόβλημα για το λόγο αυτό για να αποφύγουμε κυρίως αυτές σταθερές εδώ όπως και σταθερές που είναι στα μόνιμα εδώ στο παράδειγμα που έγραψε στο της στον πίνακα Book υπάρχει έχει εισαχθεί εδώ και πάρα πολλά χρόνια και ένα από αυτούς που του πρώτο χρησιμοποιήσει πάνω ακολουθούν όποιον ανέφερε χτες στη δεκαετία του 60 είναι ελεγχόμενος ίσον με συμπέρασμα λοιπόν μας ενδιαφέρει τι γίνεται για μεγάλες στιγμές του ν να δείτε κάποιες στιγμές που είναι πάνω από κάποιο κάτω κλείνει δεν ήτανε το 101 στην περίπτωση αυτή αυτή ωραία και Γι' αυτό το λόγο που σας υπάρχουν και άλλοι εισήγαγαν το λεγόμενο οξειδωτικό συμβολισμό και θα μιλάμε από δω και πέρα για τη λεγόμενη συνθετική πολυπλοκότητα θα εξηγήσω σε λίγο και αρκετά παραδείγματα είναι πάρα πολύ σημαντικό να το καταλάβετε αυτό γιατί μας διευκολύνει αφάνταστα στην ανάλυση των αλγορίθμων και δεν μας κάνει να πονοκεφαλιάζουν με περίεργες σταθερές το μόνο που θέλω να θυμάστε είναι ότι μας ενδιαφέρει τι γίνεται καθώς των ΗΠΑ στο άπειρο δηλαδή καθώς η είσοδός μας κλιμακώνουμε για οποιεσδήποτε τιμές ν και μας ενδιαφέρει συμπεριφορά δηλαδή πιάνει συμπεριφορά του αλγόριθμου όταν αυτή η συνθήκη πολυπλοκότητα του όταν τόννοι ξεπερνάει κάποιο κάτω κλείνει δεν τον 0 μια σταθερά επίσης ωραία και ξεκινάμε με τον πρώτο συμβολισμό που είναι το μεγάλο κεφάλαιο C θα λέμε ότι ένα συνάρτηση είναι ο κεφάλαιο μιας άλλης γνωστής συνάντηση δηλαδή αυτή είναι συνάρτηση για παράδειγμα θα λέμε ότι είναι ο κεφάλαιο του ν η έδρα για παράδειγμα πότε συμβαίνει αυτό συμβαίνει όταν υπάρχει υπάρχουν δύο σταθερές θετικές ίση και η μνήμη δεν το κατώφλι που σας έλεγα εισόδου τέτοια σωστή υγεία κάθε ν μεγαλύτερο το κατώφλι η αυτού μήνα φράση θέτουν πάνω από τη σταθερά επιδείνωση της συνάρτησης δηλαδή αυτό που για να ολοκληρώσουν το παράδειγμα εγώ σημαίνει αυτό ότι τ ν πρέπει να εκφράζεται από ένα σταθερά σε κι επίπονη τετράγωνο για κάθε τιμή του Υμηττού είναι μεγαλύτερο από των 0 από κάποιο 0 που πρέπει να προσδιορίσουμε πώς προσδιορίζουν τον εαυτό ας δούμε το συγκεκριμένο παράδειγμα σας ορισμός ωραία αυτών όπως βλέπετε δεν έτσι μπορώ να πω ότι είναι μικρότερη κλίση του Διώνη τα τραβούν στενού πέντε ν τετράγωνο σε 22 ένα τετράγωνο τι έχω κάνει το έχω μεταφέρει τον πρώτο όρο ακριβώς όπως είναι το δεύτερο έχω μεταφέρει το συντελεστή όπως είναι και συνάρτηση μιλο ν είναι πάντοτε μικρότερης από τον τετράγωνο για οποιαδήποτε τιμή του μια μεγαλύτερης μονάδας αν δεν κάνω λάθος έτσι δεν είναι γιάννης είναι ένα αυτή είναι πιθανό αυτή να γεννήσουν δύο είναι δύο για την ας άλεια και ούτω καθεξής ώρα και προφανώς αυτό είναι μια σταθερά όπως τον είπαν τιμές γιάννη μεγαλύτερο ίσως της μονάδας επαναγορά αυτή εδώ η ανισότητα ισχύει για κάθε ν μεγαλύτερο ήσουν της μονάδας στο μηδέν σύμφωνα με ουρές και αυτό μπορώ να γράψω σαν 22 και δύο 24.29 μ πράγμα αυτή εδώ είναι σταθερά C που έψαχνε είναι σαφές αυτό είναι κατανοητό Αλαβάνο ψάχνουμε να βρούμε ένα άλλο φραγμό σε μια συνάντηση γιατί το κάνουμε αυτό και δύο στη δέκατη λέει μας λέει αυτή εδώ η ανάλυση ότι αυτή εδώ συνάρτηση συμπεριφέρεται σαν κτήνη τετράγωνο αυτό όμως παρόλο που αποτελείται από τρεις διαφορετικά μόνιμα εδώ εννοείται τονιστεί 0 της αντίθετης αυτή συμπεριφέρεται όπως περίπου συμπεριφέρεται εκείνη πράγμα ένα σταθερά επομένως το αυτό εδώ μας διευκολύνει στο να επικεντρωνόμαστε στον παράγοντα στο μόνιμο αν θέλετε που επηρεάζει το ρυθμό αύξησης αυτής συνάντησης και μας απαλλάσσει από τις σταθερές πάμε να δούμε το παράδειγμα αυτό το παράδειγμα αυτό είναι παρόμοιο το παράδειγμα αυτό είναι συναφές σε 37 άντε τράβα ασκούμε και νεανική 72 ωραία προσέξτε λίγο αυτή είναι συνάρτηση μπορώ να πω ότι είναι επίσης μικρότερη κλίση από το 37 ιδρυτής της για οποιοδήποτε ν τον τετράγωνο είναι μικρότερο από το Νυδρί της το βλέπουμε αυτό σε ένα φαίνονταν ιδρυτές αυτό ισχύει για κάθε μήνα μεγαλύτερες των πέντε τούτο 17Ν είναι μικρότερα του επτά Νυδρί της σύμφωνα με σημαίνει προκαλείται από τους 72 τρίτης εάν θέλω να έχει στο οποίο μου δίνει κάτι σαν να το οποίο και πάλι 37 πέντε και 72 ποινή τρίτης δηλαδή αυτή εδώ είναι η σταθερά που λέμε μπορώ λοιπόν να πω ότι αυτή είναι ένα συνάρτηση του φωνάζετε τον Νανόπουλο μια σταθερά επί επειδή την επιτομή της για κάθε τιμή του ν μεγαλύτερο μεγαλύτερη εγγύηση του πέντε μεγάλο όχι λέω το 19 είναι μικρότερο των πέντε ιδρυτής για οποιοδήποτε μη μεγαλώσουν πέντε αυτό πρώτα ελέγξεις ωραία λέω ότι αυτές είναι πράξεις παιδιά που έχετε ήδη κάνει στην πρώτη Δευτέρα Γυμνασίου έτσι αυτό έτοιμο σε σχέση με αυτόν εδώ λέω αυτό είναι πάντα μικρότερο το 19 είναι μικρότερο του πέντε ιδρυτής για κάθε ν μεγαλύτερο των πέντε αυτό προβάλλει θέσεις πήγε αθλούμενοι να βρούμε ένα συνάντηση που φοράς εκ των άνω τη δεδομένη συνάρτηση όπως πριν κάναμε αυτή την ανισότητα μπορείς να βρεις κάτι άλλο ωραία δε λέω ότι είναι μοναδικός τρόπος απλώς σας δίνω έναν τρόπο αυτών των μεγάλων πέντε το επιλέγω έτσι ώστε να ισχύει αυτή η ανισότητα και κατ' επέκταση αυτή εδώ η ανισότητα προφανώς δεν επιλέγω τυχαία προφανώς δεν επιλέγω τυχαία το επιλέγω Γι' αυτό ακριβώς λέει διορισμός ότι πρέπει να βρεις ένα αν υπάρχει λέει έτσι πρέπει να Βρες ένα τέτοιο ν 0 πάνω από το οποίο να ισχύει αυτό το πράγμα το μόνο πράγμα ωραία είναι μνημόνευε τους αυτό είναι μια καλή ερώτηση βέβαια μπορεί κανείς να απαντήσει γιατί βρήκαμε ιδρυτής ας πούμε δεν θα μπορούσαμε ούτε εστιατόρια με τον τραγουδιστή είναι βενετία ίδια η άνοδος ρέπος μασίφ αυτό μπορείς να βρεις την απάντηση κανείς άλλος να βοηθήσει την συνάδελφός σας ναι προφανώς ο στόχος του προσπαθούμε να βρούμε έναν φραγμό ωραία το άνω φράγμα θα μας δοθεί καταρχήν να αυτοί αυτοί εδώ συνάρτηση δε μπορούμε να πούμε ότι είναι μικρότερη σε αυτό 35 τράγων όπως είπαν είναι 22 τετραγωνικών έντονα μια σταθερά έπινε τράγων γιατί το λέω αυτό καταρχήν υπάρχουν εύποροι εδώ κα μόνον αυτά που έχουν τη δύναμη του νίκου είναι μικρότερη από το δύο δεν μπορούμε θα πρέπει να αφορά αυτή η συνάντηση αυτό που έχει ανώτατο γιατί αυτοί δεν είναι ο κεφάλαιο του ν είναι ένα διαφορετική ερωτήσεις πμ έξι ανάλογα με την ηλικία εδώ θα μπορούσαμε να δε μας βοηθάει όμως γιατί γιατί θες γιατί δεν μπορεί να πράξει μετά πρέπει να βρεις ένα κοινό μόνον μου επί ένα σταθερά που να υψώνεται στη δύναμη του ν που αφορά σε το nano όλους τους όρους ωραία και επειδή παιδιά κοιτάξτε συνάδελφος ρωτάει το εξής γιατί εδώ επιλέξαμε το Νυδρί αίτηση εδώ επιλέξαμε το δράμα να φράξουν τα μόνιμα αυτά θα καταρχήν το πρώτο ομόλογο κοιτάμε το μέγιστο βαθμό μόνον εγώ που έτυχε να είναι προ των αυτό δεν μπορεί να φράχτη εκ των άνω από μιας σταθερά επί των μήλων ν η από ένα άλλη συνάντηση πουλάνε ένα σταθερά επί τω ν στην πρώτη για παράδειγμα που το καταλάβει δηλαδή αυτό εδώ της για ένα αυτή εδώ συνάρτηση λέμε ότι δεν είναι ο κεφάλαιο του ν τι σήμαινε αυτό το πράγμα για να μπορώ να γράψω αυτή τη συνάρτηση σαν μικρό κεφάλαιο του ν θα έπρεπε να υπάρχει ένα σταθερά βάση θετική τέτοια ώστε και πρώτος όρος 37 0 τράγων ενώ να είναι μικρότερος ίσως από τη σταθερά αυτή επίπονη συμφωνούμε αυτό σήμαινε αυτό το πράγμα που σημαίνει ότι ταυτίζεται η σταθερά αυτή αυξάνεται είναι αλλουνού δεν είναι σταθερά δεν υπάρχει σταθερά πολλαπλασίασε μεν απαιτεί επίπονη στην πρώτη κλοπή ανά φάση εκ των άνω τη συνάρτηση 37 είναι πράγμα χρειαζόμαστε δηλαδή όταν κάνουμε την ανάλυση εδώ να φορέσουμε εκ των άνω με μόνο νήμα ίσης οι μεγαλύτερες δυνάμεις γιατί κοιτάμε να βρούμε άνω φράγμα είναι κατανοητό αυτό επειδή εδώ θέλουμε να έχουμε άλλο πράγμα όταν εγώ προσπαθώ στη προσπάθεια μου να κάνουν πράξεις εδώ θράσος αυτό μπορώ να το μεταφερω μουσική αυτός θέλω να δουν σου να το πράξω εκ των άνω από ένα συνάντηση η οποία μάχη εκθέτει μεγαλύτερο από αυτό τον οποίο έχει προηγούμενη συνάντηση η πολιτική όμως εδώ στο πρώτο μόνιμο και αντίστοιχα ενώ δεν μπορώ εδώ να βάλω στο 5μηνο ν μικρότερο από το πέντε για παράδειγμα για τον ίδιο λόγο που δε μπορώ να πω ότι το 37 είναι τετράγωνο είναι μικρότερης από ένα σταθερά ποινή δεν υπάρχει τέτοια σταθερά Κουτσιαύτης σταθερά δεν υπάρχει ναι ο λαός τη 1060 θα απαντήσω σε πολύ λίγο πάνω σε αυτό ώρα το ερώτημα εδώ είναι το ερώτημα εδώ είναι το εξής καταγγέλλει την Apple να απαντήσω σε αυτό θέλετε να δούμε και το δεύτερο παράδειγμα οριακό σημείο το δεύτερο παράδειγμα δίνει με παρόμοιο τρόπο έτσι δεν είναι κάτι τρομερό αλλά θα εξηγήσω αμέσως τι συμβαίνει το καυτό νίκου είναι 109 και διώνη τετράγωνο και 17Ν για λογαριασμό του ν τόσοι νεκροί τρεις 200 πορεία αυτό είναι μικρότερο ίσον από 100 δύο και 17 και ένα κίνημα S μήλο οποιαδήποτε για αυτό αυτό ισχύει για κάθε είναι μεγαλύτερος της μονάδας φορέα λαμβάνουν 100 ν είναι μικρότερο από 100 ιδρυτής των δύο τετράγωνα είναι μικρότερα των δύο ενυδρεία της 17Ν λόμπι είναι μικρότερο των 17 άνυδρη της το ένα εκατοστό ιδρυτής είναι προφανώς μικρότερο από τον Nikos αυτό όλο είναι μια σταθερά τις απόψεις που είναι δηλαδή 120 πμ πρέπει να σου επομένως μπορώ να πω ότι αυτή συναφής είναι ο κεφάλαιο Νυδρί της για αυτό τον λόγο αυτή συναυλία σας λέω εδώ έχω την ο κεφάλαιο του ν τρεις φορέα δηλαδή προσπαθώ να κοιτάω κάθε μόνιμο ο Εμπειρίκος κανόνας συντάξεις κοιτάω τα μόνο νήμα κίνα κοιτάω πιο το μέγιστο βαθμό μόνον ενώ και αυτό επί ένα κατάλληλη σταθερά αθήνα μέγιστο βαθμό μονίμου μπορεί να φράξει όλα τα υπόλοιπα μόνιμα μου απαρτίζουν σημειώστε πολυνίκης συνάντηση πολυπλοκότητας μπορεί να μην πολεμική ανεκτική δεν έχει σημασία αλλά όπως είπαμε στο προηγούμενο μάθημα κυρίως εδώ θα μας απασχολήσουν τη πολωνικές συναρτήσεις παρακαλώ παρά πούνε να ξεφορτωθώ αμέσως τον ουρά η ερώτηση λοιπόν είναι καλός συνάδελφος είναι γιατί ας πούμε το λέω και εδώ γιατί λέω εδώ ότι ο Φάλον τετραγώνου ποὺ Κεφαλονίτες Χρυσοχούς και εδώ αυτό είναι ν' τετράγωνο χώρες και έδωσε είχαμε και τις πράξεις του γιατί αυτό μπορεί να αναγράφει και σαν ιδρυτής προσέξτε σύμφωνα με τον ορισμό και τα δύο σωστά εμάς όμως μας ενδιαφέρει να βρίσκουμε συντονιστικό συμβολισμού δηλαδή αν ωστόσο ο κεφάλαιο δηλαδή άνω φράγμα του οποίου είναι το μικρότερο δυνατό αναφορά ότι το μεγαλύτερο φράγμα όχι για να έχουμε να αποτυπώνονται πιο σωστά το ρυθμό ανάπτυξης δηλαδή αυτή η συνάντηση πραγματικά συμπεριφέρεται σαν ο του τετραγώνου και όχι σαν ιδρυτής επί μια σταθερά επαναλαμβάνω όλου του ο κεφάλαιο όπως λέει εδώ και επικεφαλής να είναι ένα συνθετικό άνω όριο όταν θέλουμε να βρούμε άνω όριο σε μια συνάρτηση βαθμό οποιοδήποτε όριο το συνάπτουν ένα άνω όριο θα λέγαμε Ολάντ πρώτος αναφέρεται τέλος πουρέ ψάχνουμε να δούμε το μικρότερο άνω όριο S για αυτό το σωστό εδώ είναι θεωρητικά είναι σωστό ότι το ν Κρήτης αλλά εδώ μας ενδιαφέρει ο κεφάλαιο του ν Τραμπ αυτός είναι σωστός άσημο τοπικό συμβολισμός γιατί δίνει το μικρότερο άνω φράγμα προσέξτε δεν μπορούμε να πάμε μέχρι τον γι αυτό δεν μπορώ να το κάνω άρα δεν μπορούμε να χάσουμε κάτι την ο κεφαλαίου του ν μπορούμε να γράψουμε σαν ο κεφαλαίου συνομιλούν τετράγωνο του ιδρυτής πιθανόν 50 τάρτες κρατάμε από όλα αυτά το μικρότερο δυνατό αυτό είναι που μας ενδιαφέρει και το ίδιο συμβαίνει και εδώ εδώ επειδή υπάρχει χώρος έτσι ένα μόνιμο το οποίο εξαρτάται από τον ιδρυτή της έτσι δεν υπάρχει σταθερά άσοι πολλαπλασιασμό επί τετράγωνο η ποινή που να είναι μικρότερη από τον είχαμε συναντήσει ιδρυτής ωραία μεγαλύτερο μπορεί να υπάρχει μια ακριβώς την κατάρτιση της επομένως αυτή η συνάντηση δεν είναι δυνατόν ν ευρώ να είναι μικρότερη από το δηλαδή δεν μπορεί να αναγράφει η δεύτερη συνάντηση σαν ο κεφάλαιο του τετραγώνου σαν κεφάλαιο του ν μονάδα άφησαν ο κεφάλαιο του ιδρυτής και πιθανόν και του ίδιου του καλλιτέχνη πέντε κλπ κρατάμε το μικρότερο αν μπορεί θυμάστε από πάνω ωραία μας ενδιαφέρει το μικρότερο δυνατό κ κατηγορία θα δούμε σε λίγο μεγαλύτερο προφανώς να ναι είναι μου κι εσύ πώς τον οποίο θέλουμε το έκανε το 1009 με περιορίζει από τους δύο νέα ανήκει στα πιο Toni Toni με τον ιδρυτή της είναι μεγαλύτερο των 19 δειλινά έτσι το 208 ναι μπορεί να είναι δεν έχει σημασία αν ανοίξει ορίστε ο το μικρότερο κατώφλι ναι θα θέλαμε και το μικρότερο κατοχή ωραία 41002 είναι τώρα 240.0 0 0 μεγαλώσουν δύο έχεις δίκιο δεν έχει σημασία όμως να ξανά αυτό είναι είναι λιγότερες σημασίας αποτελεί που ο όρος οποίος εδώ κυριαρχεί ωραία υπάρχει κάποια μπορούν ακόμα να λένε σωστό όταν δεν υπάρχει πρόβλημα με Ορίστε μόνο να για να δείξω ότι πιθανόν να υπάρχει μια μικρότερη σταθερά από αυτήν που υπολόγιζαν προηγουμένως έτσι από αυτή που μπορούσαν να υπολογίσω για όταν τονίζει είναι μεγαλύτερο από το κατώφλι για μόνο το λόγο έτσι όχι για άλλο λόγο προφανώς ισχύει και γιάννη μεγάλωσαν ενα πράγμα αλλά αν κάποιος θέλει μια μικρότερη σταθερά μας θαμπώνει τριετίες πρέπει να αυξήσει το κατώφλι είναι 0 πάνω από το οποίο ισχύει αυτή η ανισότητα κατάλαβες και επίσης επειδή σύμφωνα με τον ορισμό όλα αρκεί να υπάρχουν κάποιες σταθερές δεν τις προσδιορίζουν για σένα τον ρωτήσεις Ετσι δεν είστε δεν προσδιορίζει το πώς τις βρίσκεις αυτό σταθερά ας λέει αρκεί να υπάρχουν τώρα έχετε κάποια απορία για το κεφάλαιο ο επαναλαμβάνω είναι ένα τρόπος όποιος μας απαλλάσσει σημαντικό συμβολισμό από σταθερές και μας βρίσκει άνω όρια τα οποία εκφράζουν τον άσημο τοπικό ρυθμό αύξησης της συγκεκριμένης συνεργασίας μπαξέ ποιος καλύτερος είναι λίγο πιο δυνατά αν μιλάς και συγχωρέστε με χέρια ψηλά θα μπορούσε μια μπέσα που καθόλου πώς βρίσκουμε το όσκαρ με το παράδειγμα ωραία να κάνουμε άλλο παράδειγμα περίμενα κανένα άλλο παράδειγμα εγώ πήγα λοιπόν εδώ ότι έχουμε εδώ θέλουμε να πράξουμε συνάντησε αυτή καλό θα ήταν να την έμπειρη κα κοιτάμε μόνο νήμα που την αποτελούν μπορεί και παραπάνω μόνος μου δεν μας λένε να κάνουμε κάτι σαν βιώνει ολοένα κοιτάμε το μέγιστο βαθμό μόνιμο που είναι στην περίπτωσή μας νέα σας παρακαλώ φωνάζει πιο δυνατά δεν μίλησε καθόλου πολύωρες γιατί αυτό διότι έχει τονίσει το μεγαλύτερο εκθέτει αυτό εδώ ουσιαστικά είναι το νησί 30χρονο κλπ επειδή αυτό τες τα υπόλοιπα μόνο νήμα έτσι σαν δύναμη σαν δυνάμεις του είναι είναι μικρότερα από το τετράγωνο θα πρέπει λοιπόν να πράξουμε κάθε μόνιμο ξεχωριστά από ένα σταθερά επιτόκια τετράγωνο ο πιο προφανής τρόπος εδώ είναι να πείσει ότι κατεβάζει το πρώτο ομώνυμο ακριβώς όμως είναι το δεύτερο να πείσετε για οποιαδήποτε τιμή του ν αυτό είναι μικρότερο από το 2λιτρο σταθερά παραμένει ίδια απλώς τόνισε τρεις δεύτερα είναι πάντοτε μικρότερος από 50 τετραγωνικά κατηγορώ επιμείνει ίσως γιάννης ένα ώρα σε 60 τραβούν σεν βιώνει μου πράγμα αθροίζονται τα έπινε τρεις και πέντε που και αξία το βραχύβιο 13 και αυτό ισχύει για κάθε μ μεγαλύτερο ίσως του ένα ο επόμενος απότομων αποδίδουν τ ν είναι μικρό κεφάλαιο του ν πια κάθε ν μεγαλύτερο ίσως μόνο κατανοητό με γούνες αυτήν εννοείς ότι όλο αυτό θα είναι μικρότερο δεν τραβούν συν ένα δεν είμαι σίγουρος τι λένε αυτό ολοκληρώνει μεγάλη δηλαδή όλα αυτά σε προηγούμενη συνάντηση ναι ναι πάλι πάλι όμως πώς θα το βγάλεις αυτό εσύ θέλεις ένα θέλεις μιας ένα θέσης όμως πέφτουν ν ένα επί Σιγάλα θέλεις ουσιαστικά ένα μόνον αφελείς πάλι να κατέχουν να έχεις πολλές συναρτήσεις καταλαβαίνεις προφανώς ο Γιάννης αλλά εγώ θα ήθελα να έχω παιδιά συνάδελφος λέει το εξής γιατί δεν κρατάμε επίσης όχι πως το λένε ένα αλλά όχι ένα αλλά περισσότερα μόνο νήμα γιατι δεν έχουν νόημα δεν έχει νόημα αυτός αστυνομικού συμβολισμό γιατί πάντα εγώ μπορώ να βρω να κάνω την ανάλυση για να βρουν ένα σταθερά επί ένα μόνιμο συγκεκριμένο όπως υπάρχουν τα άνω όρια υπάρχουν ακριβώς με τον ίδιο τρόπο και τα κάτω όρια τα οποία συμβολίζουν ναι με το μεγάλο κεφάλαιο στο μεγάλο κεφάλαιο είναι τώρα ως συμβολισμός λέει το εξής ότι μια συνάντηση τ ν είναι ωμέγα κεφαλαίο μιας γνωστής συναντήσεις αυτού ν αν πάλι υπάρχουν σταθερές συγγενή δεν ακριβώς όπως πριν έτσι ώστε για κάθε τιμή του η μεγαλύτερη είδηση από τα ΜΜΕ δεν προταθούν είναι τουλάχιστον όσοι επισκεφτούν σταθερά έτσι η ανισότητα εδώ αλλάζει αυτής συνάρτηση εδώ που είδαμε η αυτόνομη μπορώ να γράψω μεγαλύτερη από ποτέ δηλώνει τραβάω να αντιγράψουν για παράδειγμα για κάθε αυτό ισχύει για κάθε πάλι μεγαλύτερη της μονάδας αφού αφαιρώ κάποιους όλους αυτό το άθροισμα τριών μόνιμων είναι μεγαλύτερο ίσως από τα δεσμά του απομονώνει και αυτό σημαίνει όχι καυτού ν είναι ω ν κέντρων το ίδιο μπορώ να κάνω επίσης να πω ότι η αυτόνομη στην μεγαλύτερη κρίση από το 5μηνο μ με τον τρόπο αυτό ισχύει για κάθε ν μεγαλύτερό σου λένε και προφανώς από εδώ το τ ν είναι έχουμε να μια λογαριασμούς φωνή και τα δύο ισχύουν μπορώ επίσης να πω ότι κα τ ν είναι μεγαλύτερες οι μισοί Star πΓΔΜ 29 ν για κάθε ν πάλι μεγαλύτερο ίσως λένε όποιος έμπαινε ότι τ μ είναι ίση με ω μη εδώ όμως του όπως και στην προηγούμενη περίπτωση και βλέπω στην προηγούμενη περίπτωση ψάχνουμε να δούμε κάποια πράγματα μένουν αλλά θέλουμε το ανώτερων φραγμό γιατί μας δίνει καλύτερη πληροφορία να σας πει κανείς ότι έχετε έναν αριθμό μεγαλύτερο από το 10 που και σπάνιας γνώμες το 1000 η πληροφορία του έθνους αυτός είναι μεγάλος από πεντακόσια είναι ισχυρότερη απ' ότι είναι μεγαλύτερη από 10 αν αναζητάτε αυτό τον αριθμό γιατί αυτόματα έχετε αποκλείσετε τράγος εντελώς άλλες τιμές επομένως έχουμε να δούμε όπως κάναμε και στα άνω όρια που ψάχναμε το χαμηλότερο άνω όριο φέτος η κατηγορία ψάρι να δούμε το ψηλότερο το μεγαλύτερο άνω όριο γι αυτό εδώ από αυτή συνάρτηση του τόσο ως προς ποσοστό που θέλουμε να κάνουμε Δ.Ο.Υ. Τήνου μεγάλη τραγωδία το ίδιο βλέπετε και δω ηνωμένα πράγμα και ω ν δεν είναι συνιδρυτής επίσης και γιατί λοιπόν να συζητήσουμε τα το επίσης αυτή η συνάντηση είναι μεγαλύτερη της ΒΙΟΜΕ ένα τετράγωνο και ω ν επίσης δεν είναι ω έντυπα της επομένως από τα δυνατά κάτω πράγματα που μπορώ εγώ να βρω με βάση τον συνολικό συμβολισμό κρατάω εκείνο που είναι το ψηλότερο το μεγαλύτερο δυνατό