Μαθηματικά - Προβλήματα με εξισώσεις - ΣΤ' Δημοτικού Επ. 99 (Υπουργείο Παιδείας και Θρησκευμάτων, 2020)
: [♪ Μουσική tego Παιδιά γεια σας. Είμαστε σήμερα εδώ για να κάνουμε ένα ακόμα μάθημα για τις εξισώσεις. Θα λύσουμε σήμερα, όχι πάρα πολλές ασκήσεις, αλλά θα λύσουμε αρκετά προβλήματα. Οπότε, όπως βλέπετε, εγώ έχω γράψει ήδη κάποιες. Θα ξεκινήσουμε με αυτές για να μην χάνουμε πολύ χρόνο. Και πριν ξεκινήσουμε να λύνουμε ασκήσεις, θέλω να σας θυμίσω δύο πράγματα. Είχαμε πει, και θα το ξαναπω κι άλλη μια φορά για την προτεραιότητα των πράξεων, θυμίζω λοιπόν πάλι ότι όταν έχουμε πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση, είτε σε εξίσωση, πρέπει να κάνουμε πρώτα τις παρενθέσεις, τις δυνάμεις στη συνέχεια, πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις με τη σειρά που σημειώνονται, και στο τέλος προσθέσεις και αφαιρέσεις. Πάμε λοιπόν να λύσουμε την πρώτη άσκηση. Αυτό που θέλω από εσάς είναι να έχετε μπροστά σας ένα μολύβι και ένα χαρτί, έτσι ώστε να λύνετε ταυτόχρονα με εμένα και όχι να αντιγράφετε την άσκηση. Για να δούμε λοιπόν. Πριν ξεκινήσουμε να αντιλήνουμε, θα πρέπει να δούμε ότι έχουμε δύο δυνάμεις. Όταν λέμε δύο εις την τρίτη, μην κάνει κανένας λάθος και μου πει ότι είναι έξι. Δεν είναι. Το δύο εις την τρίτη, το γράφω λίγο στην άκρη, δύο εις την τρίτη σημαίνει τι, παιδιά, είναι μια δύναμη, η οποία είναι δύο επί δύο, επί δύο, δηλαδή δύο εις δύο τέσσερις, δύο εις τέσσερις, οκτώ. Το δύο εις την δευτέρα, εις το τετράγωνο, είναι δύο επί δύο, το οποίο σημαίνει τέσσερα. Πάω λοιπόν στην άσκηση μου και θα την συνεχίσω εδώ, αντικαθιστώντας πρώτα απ' όλα τις δυνάμεις με το ίσο τους. Δηλαδή δύο επί χ, συν δύο εις την τρίτη ή δύο εις τον κύβο, αν το πούμε διαφορετικά, είναι οκτώ, συν οκτώ, συν δύο εις την δευτέρα που είπαμε ότι είναι τέσσερα, μας κάνει δεκαέξι κόμμα τέσσερα. Για να δούμε λοιπόν τι έχουμε, δύο επί χ, οκτώ και τέσσερα, δώδεκα, συν δώδεκα, ίσον με δεκαέξι κόμμα τέσσερα. Έχουμε μία εξίσωση, πρόσθεσης εδώ. Άρα τι πρέπει να κάνω, θα κρατήσω το δύο επί χ στο πρώτο μέλος και τι θα κάνω, την αντίστροφη πράξη, δηλαδή αφαίρεση. Δεκαέξι κόμμα τέσσερα πλιν δώδεκα. Δύο επί χ λοιπόν, ενίσων με πόσο, δεκαέξι κόμμα τέσσερα πλιν δώδεκα, μου κάνει τέσσερα κόμμα τέσσερα. Καταλήξαμε σε μία εξίσωση πολλαπλασιασμού, δηλαδή έχω γινόμενο δύο επί χ. Τι κάνω όταν έχω γινόμενο, με εξίσωση, την αντίστροφη πράξη, η οποία σημαίνει τι, διέρεση. Άρα τι θα κάνω παιδιά, θα κρατήσω το χ στο πρώτο μέλος και θα κάνω διέρεση, τέσσερα κόμμα τέσσερα δια δύο. Άρα το χ είναι ίσον με δύο κόμμα δύο. Δείτε ξανά τη σειρά με την οποία κάναμε τις πράξεις. Πρώτα απ' όλα κάναμε τις δυνάμεις, παιδιά, τις δυνάμεις. Και στη συνέχεια λύσαμε την εξίσωση χωρίζοντας γνωστούς από αγνώστους και κάνοντας πρόσθεση με τη σειρά που σημειώνεται. Και καταλήξαμε σε εξίσωση πολλαπλασιασμού γινωμένου. Οπότε τι σημαίνει αυτό, αντίστροφη πράξη και πάμε να κάνουμε τη διέρεση. Σημειώστε την και προχωράμε στην επόμενη, για να δούμε. Σβήνω κι εγώ εδώ και πάμε εσείς δείτε προσεκτικά την επόμενη, τη δεύτερη άσκηση. Θα σβήσω και την πρώτη για να μην μπερδεύεστε. Και για να δούμε τι έχουμε. Παιδιά έχουμε δύναμη παρένθεση γινόμενο. Για να δούμε λοιπόν πως θα συνεχίσουμε. Συνεχίζω και γράφω εδώ. Τι πρέπει να κάνουμε πρώτα απ' όλα, τις παρενθέσεις. Άρα 8 επί 2η στη Δευτέρα, πλιν. Για να δούμε πόσο είναι η παρένθεση. 2,5 και 3,5 άρα πλιν 6. Συν 8 επί χ μας κάνει 90. Προχωράμε. Τι πρέπει να κάνω μετά, πρέπει να κάνω την δύναμη. Άρα 8 επί 2η στη Δευτέρα, είναι 2 επί 2, 4 πλιν 6. Συν 8 επί χ ίσον 90. Μην διαστείτε καθόλου. Πάμε να δούμε εδώ τι έχουμε. Προσέξτε. Έχουμε γινόμενο. Έχουμε 8 επί 4. Άρα το πρώτο πράγμα το οποίο θα κάνω είναι το γινόμενο. Δηλαδή 8 επί 4, 32 πλιν 6. Συν 8 επί χ ίσον με 90. Από εδώ και κάτω τα πράγματα είναι πολύ εύκολα. Γιατί 32, βγάζω τα 6, μου κάνει 26. Συν 8 επί χ ίσον με 90. Τι πρέπει να κάνω εδώ, παιδιά. Θα πρέπει να κρατήσω το γινόμενο που έχει τον άγνωστο, που έχει τη μεταβλητή χ, στο πρώτο μέλος. 8 επί χ. Και τι θα κάνω, την αντίστροφη πράξη. Δηλαδή θα κάνω αφαίρεση 90 πλιν 26. 8 λοιπόν επί χ ίσον με 64. Καταλήξαμε σε εξίσωση γινωμένου. Άρα αντίστροφη πράξη τι σημαίνει αυτό. Χ είναι ίσον με 64, διά 8. Άρα το χ είναι ίσον με 8. Ήταν λίγο μεγάλη νομίζω. Αλλά όχι πολύ δύσκολη. Θέλω να την ξαναδείτε. Τι θέλω να προσέξετε, παιδιά. Ότι όταν μετέτρεψα τη δύναμη σε ακέραιο, προέκυψε γινόμενο. Πρώτα θα κάνω το γινόμενο, το 8 επί 432, και μετά όλα τα υπόλοιπα. Για να προχωρήσουμε λοιπόν και στην τελευταία άσκηση, για να πάμε σε προβλήματα. Για να δούμε λοιπόν τι έχουμε. Δείτε το προσεκτικά, πριν αρχίσω εγώ να εξηγώ οτιδήποτε. Έχουμε λοιπόν μια παρένθεση, όπως βλέπετε, η οποία μέσα έχει μια διέρεση με δύναμη. Και εδώ έχουμε ξανά μια παρένθεση, η οποία έχει και πολλαπλασιασμό μέσα. Τι πρέπει λοιπόν να κάνω εγώ πρώτα. Θα πρέπει να ξεκινήσω κάνοντας τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις μου. Δηλαδή το πρώτο πράγμα το οποίο θα κάνω είναι το 0,5 επί 7. Για να δούμε λοιπόν. Αυτή προς το παρόν θα την αφήσω γιατί οι δυνάμεις γινούνται μετά. Άρα χ δυα δύο εις την τρίτη μέσα σε παρένθεση, συν 6 ίσον 6,5 συν 0,5 επί 7 μου κάνει 3,5. Συν 1 εις την τρίτη. Για να δούμε λοιπόν εδώ τι έχουμε. Έχουμε μια παρένθεση στην οποία μπορώ να την απαλείψω αμέσως. Και έχουμε άλλη μια παρένθεση η οποία έχει δύναμη και άλλη μια δύναμη στο τέλος. Άρα χ δυα δύο εις την τρίτη συν 6 ίσον 6,5 και 3,5 μου κάνει 10. Συν 1 εις την τρίτη ίσον. Εδώ κανονικά παιδιά δεν πρέπει να σας βάζω ίσον. Εδώ υπάρχει συνεπαγωγή και γι' αυτό το γράφουμε το ένα κάτω από το άλλο. Δεν πειράζει δεν ξέρετε ακόμα συνεπαγωγές. Άρα συνεχίζουμε. Πάμε. Το επόμενο λοιπόν που έχουμε να κάνουμε είναι να μετατρέψουμε τις δυνάμεις μας σε ακαιρέους. Τι έχουμε λοιπόν? Χ δυα το δύο εις την τρίτη είναι δύο επί δύο, δηλαδή οκτώ. Χ δυα οκτώ λοιπόν συν 6 ίσον 10 συν 1 εις την τρίτη. Δεν είναι τρία, είναι ένα επί ένα, επί ένα, δηλαδή ένα. Για να δούμε λοιπόν που έχουμε φτάσει. Έχουμε χ δυα οκτώ συν 6 ίσον με 11. Παιδιά, εδώ τι έχουμε? Έχουμε μία διέρεση. Άρα κρατάω την εξίσωσή μου όπως είναι. Θα μου επιτρέψετε να πάω να γράψω εδώ πάνω, γιατί δεν μπορώ να γράφω εκεί κάτω. Παιδιά, συγγνώμη. Την ξαναγράφω ότι έχουμε. Χ δυα οκτώ συν 6 ίσον με 11. Αυτό λοιπόν εδώ το κρατάω μόνο του και έχω τι? Χ δυα οκτώ είναι ίσον με 11 πλιν 6. Άρα, Χ δυα οκτώ ίσον 11. Βγάζω τα 6, μου κάνουν 5. Κατέληξα σε μία εξίσωση, η οποία είναι απλή εξίσωση διέρεσης. Τι κάνω όταν έχω εξίσωση διέρεσης στην αντίστροφη πράξη, δηλαδή πολλαπλασιασμό. Αραχή ίσον 5 επί 8. Αραχή ίσον με 40. Ήταν λίγο μεγάλη, αλλά νομίζω ότι πήρατε μία καλή γεύση για το πώς πρέπει να δουλεύουμε τις εξισώσεις, όταν αυτές είναι λίγο πιο δύσκολες και έχουν μέσα παρενθέσεις και επίσης δυνάμεις. Θα προχωρήσουμε τώρα στην επόμενη διαφάνεια, η οποία έχει μία σειρά προβλημάτων, τα οποία θα πάμε να τα λύσουμε μαζί. Και διαβάζοντας ένα ένα πρόβλημα, θέλω να μην προσπαθείτε να το λύσετε με το νου, θέλω να προσπαθείτε να καταστρόσετε μία εξίσωση στο μυαλό σας. Σβήνοντας λοιπόν, εγώ τον πίνακα, εσείς μπορεί να διαβάζετε ήδη το πρώτο πρόβλημα, το οποίο είναι πάρα πάρα πάρα πολύ εύκολο. Λοιπόν, για να δούμε τι λέει το πρώτο πρόβλημα και να το λύσουμε μαζί. Ελπίζω ότι κάποιοι, όση ώρα σβήνω εγώ τον πίνακα, το έχετε λύσει ήδη με εξίσωση όμως. Για να δούμε λοιπόν τι λέει. Μας λέει λοιπόν το πρώτο πρόβλημα ότι αν από το διπλάσιο ενός αριθμού αφαιρέσουμε το 12, θα βρούμε το 60. Ποιος είναι ο αριθμός? Το ξαναλέω, αν από το διπλάσιο ενός αριθμού. Άρα τι σημαίνει αυτό, έχω έναν αριθμό χ. Δεν ξέρω ποιος είναι. Τι θέλω εγώ από αυτόν τον αριθμό, τι μου λέει το διπλάσιο. Άρα δύο φορές αυτόν τον αριθμό το χ. Λέει λοιπόν ότι αν αφαιρέσουμε από αυτόν τον αριθμό, ποιον αριθμό το 12, τότε βρίσκω ποιό παιδιά, βρίσκω το 60. Έχει εδώ αυτή η εξίσωση κάποια δυσκολία, νομίζω όχι. Γιατί? Κρατάω το 2x στο πρώτο μέλος της ισότητας και τι κάνω, 60 και αντί να κάνω αφαίρεση, την αντίστροφη πράξη. Άρα συν 12. Δύο φορές λοιπόν το χ, το διπλάσιο του αριθμού, είναι ίσον με πόσο παιδιά, με 72. Τι κάνω εδώ, κάνω αντί για πολλαπλασιασμό, που είναι η εξίσωση, την αντίστροφη πράξη, δηλαδή διέρεση. Άρα το χ είναι ίσον με πόσο παιδιά, με 72, δια 2. Αν κάνουμε τη διέρεση βγαίνει 36. Άρα ο αριθμός ο οποίος ζητάει είναι ποιος, είναι το 36. Πάμε στο δεύτερο πρόβλημα. Να θυμηθούμε και λίγο γεωμετρία. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι 42,3 τετραγωνικά εκατοστά. Αν το πλάτος του είναι 4,7 εκατοστά, πόσο είναι το μήκος του. Τι πρέπει να θυμηθούμε εδώ, είναι από προηγούμενη ύλη, την οποία την έχετε κάνει ήδη στην προηγούμενη τάξη. Και αφορά εμβαδά. Να θυμίσω ότι το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου, όταν έχουμε ένα παραλληλογράμμο. Και έχουμε αυτήν η βάση του και αυτό είναι το ύψος του, ή αλλιώς το μήκος και το πλάτος. Τότε το εμβαδόν του είναι ίσον με βάση επί ύψος ή είναι ίσον με μήκος επί πλάτος. Τι μας δίνει η άσκηση, παιδιά, μας δίνει πόσο είναι το εμβαδόν. Για να δούμε λοιπόν. Λέει, το εμβαδόν του παραλληλογράμμου είναι 42,3 τετραγωνικά εκατοστά. Το μήκος του δεν το ξέρουμε. Άρα το μήκος είναι χ. Δεν ξέρω πόσο είναι. Μου δίνει όμως ότι το πλάτος του είναι 4,7 εκατοστά. Εγώ λοιπόν τι πρέπει να πω ότι έχω, αν πολλαπλασιάσω το μήκος επί το πλάτος, θα βρω το εμβαδόν. Δηλαδή αν πω 4,7 επί το χ είναι ίσον με 42,3. Από εδώ και κάτω είναι πάρα πολύ εύκολο. Γιατί, παιδιά, γιατί είναι μια απλή εξίσως πολλαπλασιασμού. Δηλαδή τι έχω, χ είναι ίσον με 42,3 διά 4,7. Χ είναι ίσον με πόσο. Θα την κάνετε τη διέρεση ή θα την κάνω εγώ τη διέρεση. Θα την κάνω εγώ τη διέρεση, κατάλαβα. Λοιπόν, για να δούμε. 42,3 διά 4,7. Άρα, τι έχουμε, 423, πολλαπλασιάζω και τα δύο μέρη επί 10, διά 47. Για να δούμε λοιπόν, χωράει το 47 στο 42. Όχι. Άρα στο 423, 9. 7, 9, 63, 6. 4, 9, 36 και 42 από 42, 0. Άρα το χ είναι ίσον με 9 εκατοστά. Τι βρήκαμε λοιπόν εδώ? Ότι το μήκος του παραλειογράμμου είναι 9 εκατοστά. Για να πάμε λοιπόν σε ένα επόμενο. Ο Δημήτρης λέει αγόρασε παγωτά που το καθένα κόστιζε 1,30. Έδωσε 7 ευρώ και πήρε ρέστα 1,80. Πόσα παγωτά τελικά αγόρασε. Για σκεφτείτε το λίγο. Πάει ένα παιδάκι στο supermarket, στο περίπτερο της γειτονιάς του. Έχει 7 ευρώ πάνω του. Θέλει να αγοράσει παγωτά για την παρέα του. Ξέρει ότι το κάθε παγωτό από αυτά που θέλει να αγοράσει, στοιχίζει 1,30. Πόσα παγωτά αγόρασε, εφόσον πήρε ρέστα 1,80. Είχε στην τσέπη του 7 ευρώ. Ξέρουμε ότι αγοράζει κάποια παγωτά. Αυτά τα παγωτά που αγοράζει πρέπει να τα πληρώσει. Άρα, αφού ξέρουμε ότι το κάθε ένα παγωτό κάνει 1,30, δεν ξέρουμε όμως τι. Δεν ξέρουμε πόσα παγωτά αγόρασε. Άρα, 1,30 που κάνει το κάθε παγωτό, επειδή πόσα. Επιχεί, γιατί δεν ξέρουμε πόσα αγόρασε. Αυτά τα λεφτά τα είχε στην τσέπη του. Πληρώνει, άρα τι, αφαιρείται από την τσέπη του αυτό το ποσόν, και αυτός παίρνει πίσω ρέστα 1,80. Φτιάξαμε, λοιπόν, την εξίσωση. Εδώ θέλω να προσέξετε κάτι. Έχω μια εξίσωση, παιδιά, η οποία είναι αφαίρεση, αλλά τι. Η μεταβλητή μου, το χ, είναι στον αφαιρετέο. Άρα, εγώ, τι πρέπει να κάνω εδώ, θα κρατήσω το 1,30 επί χ, και θα ξανακάνω αφαίρεση. Δηλαδή, 7 πλήν 1,80. Άρα, 1,30 επί χ είναι ίσον με πόσο. 7 βγάζω το 1,80, 5 και 20. Εξίσωση πολλαπλασιασμού. Άρα, τι έχω, χ, τι θα κάνω, διέρεση. 5 και 20, διά 1,30. Εάν κάνουμε, νομίζω και με το μυαλό μπορείτε να το κάνετε, ότι το χ είναι 4, παγωτά, αγόρασε το παιδάκι. Πάμε, λοιπόν, και σε άλλο ένα. Η μητέρα είναι 39 ετών. Ο γιος της είναι 11. Οι ηλικίες του πατέρα, της μητέρας και του γιού, τους δίνουν άθρησμα 95. Πόσο χρονών είναι ο πωμπάς. Νομίζω ότι αυτό είναι πάρα πολύ εύκολο. Και δεν θα σας το λύσω εγώ εδώ τώρα, θα το λύσετε μόνοι σας εσείς, γιατί εγώ θέλω να σας λύσω ένα επόμενο. Πάμε, λοιπόν, στην επόμενη διαφάνεια. Και θέλω να πάμε, γιατί ο χρόνος μας είναι πιεστικός, θέλω να πάμε στο πρόβλημα 6. Για να δούμε, λοιπόν, τι μας λέει. Έχουμε τρεις φίλους, οι οποίοι μοιράστηκαν 1.000 ευρώ ως εξής. Ο πρώτος πήρε 200 ευρώ παραπάνω από το δεύτερο. Ενώ ο τρίτος πήρε 160 ευρώ λιγότερα από το δεύτερο. Πόσα χρήματα πήρε ο καθένας από τους τρεις φίλους. Για να πάμε να το δούμε. Έχουμε λοιπόν τρεις φίλους, οι οποίοι έχουν να μοιραστούν 1.000 ευρώ. 1.000 ευρώ είναι αυτά τα οποία έχουν. Προσέξτε τι μας λέει το πρόβλημα. Ο πρώτος πήρε 200 ευρώ παραπάνω από το δεύτερο. Άρα, ο δεύτερος είναι το χ. Δεν ξέρουμε πόσα έχει ο δεύτερος. Τι μας λέει όμως για τον πρώτο. Ο πρώτος παίρνει 200 παραπάνω. Δηλαδή όσα πήρε ο χ και άλλα 200. Ο πρώτος λοιπόν πήρε χ και 200. Αυτός είναι ο πρώτος. Αυτός είναι ο δεύτερος. Και ο τρίτος τι μας λέει παιδιά ότι πήρε. Ο τρίτος μας λέει ότι πήρε 160 ευρώ λιγότερα από το δεύτερο. Δηλαδή πόσα πήρε ο τρίτος. Ο τρίτος πήρε όσα πήρε ο δεύτερος. Αλλά τι λιγότερα κατά πόσο. Κατά 160. Αυτά τα χρήματα λοιπόν που μαζέψαν οι τρεις φίλοι είναι 1.000 ευρώ όλα μαζί. Τι σημαίνει αυτό παιδιά ότι αν εγώ τα προσθέσω αυτά, το άθροισμά τους θα μου κάνει 1.000 ευρώ. Για να δούμε λοιπόν. Ο πρώτος είναι χ και 200. Συν χ που είναι ο δεύτερος. Συν χ πλήν 160. Όλα μαζί μου κάνουν πόσα. 1.000 ευρώ. Για να δούμε λοιπόν τι έχουμε. 1χ, 2χ, 3χ. Δηλαδή τι σημαίνει αυτό. Μπροστά παιδιά από το χ εννοεί το αριθμός 1. Άρα 1χ και άλλο 1χ 2χ και άλλο 1χ 3χ. 200 βγάζω τα 160 μου κάνει πόσο. Συν 40. Πόσα είναι όλα αυτά λοιπόν μαζί. 1.000. Τι πρέπει να κάνω εδώ τώρα. Θα πρέπει να μεταφέρω το 40 στην άλλη πλευρά κάνοντας την αντίστροφη πράξη. Δηλαδή 3χ είναι ίσον με 1.000 πλήν 40. 3χ είναι ίσον με 960. Κατέληξα σε μία εξίσωση πολλαπλασιασμού. Ναι. Τι πρέπει να κάνω την αντίστροφη πράξη δηλαδή διέρεση. χ ίσον 960 δια 3. χ λοιπόν είναι ίσον με 320. Για να δούμε λοιπόν τι σημαίνει αυτό. Σημαίνει ότι ο δεύτερος, ο χ, πήρε 320 ευρώ. Να το γράψω με κόκκινο για να το βλέπετε. Ο χ λοιπόν 320. Ο δεύτερος. Ο πρώτος πόσα πήρε. Πήρε όσα πήρε λέει ο δεύτερος είναι 200. Δηλαδή πόσο. 520. Και ο τελευταίος τι πήρε. Πήρε όσα πήρε ο δεύτερος μειωμένα κατά 160. Δηλαδή πόσο παιδιά. 160. Αν προσθέσουμε αυτούς τους τρεις αριθμούς θα μας δώσει ποιο. Το αρχικό ποσό το οποίο μοιράστηκαν. Έχω να σας λύσω πάρα πολλά προβλήματα και πολύ θα ήθελα να λύσω πολλά προβλήματα. Αλλά ο χρόνος, παιδιά, είναι πάρα πολύ περιορισμένος. Αυτό σημαίνει ότι εσείς μπορείτε να δείτε και τα υπόλοιπα προβλήματα στις διαφάνειες. Θέλω να πιστεύω ότι θα τα λύσετε. Και θα τα λύσετε με πολύ μεγάλη ευκολία. Τώρα, αν πάλι δεν τα λύσετε, νομίζω ότι σε κάποιο άλλο μάθημα ίσως θα τα λύσουμε ξανά μαζί. Λοιπόν, χάρηκα πάρα πάρα πολύ που είμαστε πάλι μαζί. Καλή συνέχεια σας εύχομαι! Γεια σας!