Διάλεξη 16 / Διάλεξη 16 / Διάλεξη 16 - Κουγιουμτζής Δημήτριος (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2015)
Διάλεξη 16: Και τώρα θα δούμε τι είχαμε κάνει τώρα. Μιλούσα για μια τυχαία μεταβλητή χ, που ακολουθεί κάποια κατανομή που δεν την γνωρίζουμε, με αναφορά σε κάποιον πληθυσμό. Αυτό το πινακάκι εδώ πέρα το έχετε δει αρκετές φορές, οπότε αντί να το ξαναγράφετε μπορείτε να ανατρέξετε αθεθειά. Λοιπόν, να δούμε τι είχαμε κάνει. Αυτό το πινακάκι εδώ πέρα το έχετε δει αρκετές φορές, οπότε αντί να το ξαναγράφετε μπορείτε να ανατρέξετε αθελής σημείος, να δείτε ότι θα είναι ακριβώς το ίδιο. Απλά, μας χρειάζεται, γιατί θα βάλουμε και εδώ κάποιους τύπους που θα τους χρησιμοποιήσουμε και στην άσκηση στη συνέχεια, και να μας θυμίσει λίγο και το πλαίσιο του προβλήματος που έχουμε. Λοιπόν, έχουμε την τυχαία μεταβλητήση στον πληθυσμό και έχουμε ένα δείγμα από κάποιες παρατηρήσεις. Τα λέω λίγο γρήγορα γιατί τα έχουμε πει αρκετές φορές. Έχουμε την παράμετρο στον πληθυσμό γιατί αυτή μας ενδιαφέρει να πάμε να βρούμε και δεν μπορούμε να την βρούμε ακριβώς γιατί είναι άγνωστη παράμετρο και έχουμε πολύ λίγη πληροφορία, έχουμε μόνο την πληροφορία από το δείγμα. Άρα πάμε να την εκτιμήσουμε και η πρώτη εκτίμηση που κάνουμε είναι με μία τιμή, είναι μία σημιακή εκτίμηση από το στατιστικό. Οι παράμετρες γενικά είναι μία θήτα η οποία μπορεί να είναι η μέση τιμή, η διασπορά ή η τυπική απόκλειση. Αυτά είχαμε χρησιμοποιήσει ως παραμέτρους. Αντίστοιχα, ο μέσος όρος είναι το στατιστικό που χρησιμοποιούμε για να εκτιμήσουμε τη μέση τιμή και η διγματική διασπορά που διαιρούμε με 1-1 είναι το στατιστικό που χρησιμοποιούμε για να εκτιμήσουμε τη διασπορά. Και φυσικά το S είναι η τετραγωνική ρίζα της διγματικής διασποράς. Τώρα, για αυτά είπαμε εκτός από τη σημιακή εκτίμηση που δίνεται με αυτό το στατιστικό, με την τιμή του στατιστικού στο δείγμα, μπορούμε να εκτιμήσουμε την παράμετρο και με ένα διάστημα εμπιστοσύνης, γενικά το λέγαμε 1-α τα 100 διάστημα εμπιστοσύνης, το ΔΕΕ είναι το διάστημα εμπιστοσύνης. Και για την περίπτωση της μέσης τιμής, η γενική μορφή αυτονού του διαστήματος εμπιστοσύνης είχε κέντροντο μέσο όρο, δηλαδή το στατιστικό μας, και, simply, μία κρίσιμη τιμή, δηλαδή μία τιμή που καθορίζει τη νουρά κάποιας γνωστής κατανομής και η κατανομή που χρησιμοποιούμε εδώ πέρα είναι ή τη τυπική κανονική κατανομή, είτε η student, επί την τυπική απόκλειση της εκτιμήτριάς μας, αυτήν εδώ, την οποία μπορεί να μην την ξέρω πάλι ακριβώς. Τώρα, σε αυτή την περίπτωση λοιπόν για την κρίσιμη τιμή, είχαμε, ας τα βάλω τα διαστήματα εμπιστοσύνης έτσι, σε τρεις βασικές κατηγορίες, τρεις βασικούς τύπους. Ο ένας τύπος είναι όπου γνωρίζουμε τη διασπορά και τότε αυτή η κρίσιμη τιμή δίνεται από την τυπική κανονική κατανομή για 1-α2 και το α2 εδώ που μπαίνει έχει το νόημα ότι είναι η ουρά και από αριστερά και από δεξιά που αθρίζεται στο α. Επί την τυπική απόκλειση του εκτιμητή μας που είναι το σίγμα διαρίζα 1. Αυτό λοιπόν είναι όταν η διασπορά είναι γνωστή. Θα μου επιτρέψει να μην αρχίζω και γράφω εδώ πέρα κειμενάκια ότι η διασπορά είναι γνωστή, μόνο τους τύπους θα βάλω και θα αναφερόμαστε κατευθείαν εδώ πέρα. Η δεύτερη περίπτωση λοιπόν είναι όταν έχουμε άγνωστη διασπορά αλλά το δείγμα είναι μεγάλο. Άγνωστη διασπορά μεγάλο δείγμα. Σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε επίσης την τυπική κανονική κατανομή και απλά να αντικαταστήσουμε εδώ το σίγμα με το s. Δηλαδή την άγνωστη τυπική απόκλειση με τη γνωστή τυπική απόκλειση. Και ο τρίτος τύπος που είναι και πιο πρακτικά ο πιο χρήσιμος είναι γιατί δεν θα έχουμε ούτε γνωστή διασπορά και τυπική απόκλειση, ούτε μεγάλο δείγμα. Άρα για μικρό δείγμα και άγνωστη διασπορά, εξασφαλίζοντας ότι τυχαία μεταβλητή ακολουθεί κανονική κατανομή και αυτό το κάνουμε μέσα από κάποιο θηκόγραμμα που βλέπουμε, παίρνουμε τον τύπο όπου αντικαταστήσουμε το z εδώ με την αντίστοιχη τιμή, την κρίσιμη τιμή από τη student κατανομή με 1-1 βαθμούς ελευθερίας, πάλι έχουμε 1-α δεύτερα για τη νωρά, δύο δείκτες λοιπόν μπαίνουν εδώ πέρα, επί πάλι φυσικά την τυπική απόκλειση της εκτιμήτριάς μου εδώ πέρα που στην άγνωστη διασπορά θα έχω να είναι s διαρίζα n. Αυτή λοιπόν είναι η τρίση τύπη που έχουμε για τη μέση τιμή. Αντίστοιχα για τη διασπορά, κι ας τα χωρίσω έτσι να ξεχωρίζουν, για τη διασπορά έχουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης, το οποίο δίνεται από αυτόν εδώ τον τύπο, στον αριθμητή έχουμε αυτό το γινόμενο και στον παρονομαστή έχουμε την κρίσιμη τιμή τώρα από τη χ τετράγωνο κατανομής, τη δεξιά, δηλαδή στην νουρά που είναι προς τις μεγάλες τιμές. Και το άνο άκρο του διαστήματος έχει τον ίδιο αριθμητή και παρονομαστή την νουρά την αριστερή. Αυτός είναι ο τύπος για το διάστημα εμπιστοσύνης για τη διασπορά. Και φυσικά για την τυπική απόκλειση θα πάρουμε τον ίδιο τύπο και θα πάρουμε τη τετραγωνική ρίζα στα δύο άκρα του διαστήματος. Αυτά είχαμε πει όταν μιλούσαμε για μία τυχαία μεταβλητή. Τώρα, στην περίπτωση που έχω την ίδια τυχαία μεταβλητή αλλά σε δύο πληθυσμούς και με ενδιαφέρει να δω αν το επίπεδο των τιμών της τυχαίας μεταβλητής στους δύο πληθυσμούς είναι το ίδιο ή αλλάζει. Αυτό για να το κάνω, πάω και παίρνω τη μέση τιμή από τον πρώτο πληθυσμό. Δηλαδή εδώ έχω τώρα δύο τυχαίες μεταβλητές, χ1 και χ2. Παίρνω τη μέση τιμή από τον πρώτο πληθυσμό, τη μέση τιμή από τον δεύτερο πληθυσμό και με ενδιαφέρει να δω τη διαφορά των μέσων τιμών. Αν αυτή η διαφορά είναι γύρω από το μηδέν, οπότε λέω ότι δεν αλλάζουν ή είναι θετική οπότε το μη ένα είναι μεγαλύτερο από το μη δύο. Για να το κάνω αυτό, αυτά τα είχαμε πει στο προηγούμενο μάθημα. Παίρνω ως εκτίμηση τη διαφορά των αντιστοίχων δειγματικών μέσων τιμών, των μέσων όρων και το διάστημα εμπιστοσύνης και εδώ θα δίνεται από κάποιους τύπους. Τώρα ας βάλουμε τον πρώτο τύπο για το διάστημα εμπιστοσύνης. Έχουμε λοιπόν σαν κέντρο θα έχει πάλι τη διαφορά των μέσων όρων. Συν πλήν. Στην περίπτωση που έχουμε γνωστή διασπορά όπως είχαμε εδώ πέρα τώρα λέμε να έχουμε γνωστές διασπορές γιατί έχουμε δύο διασπορές για τον πρώτο και τον δεύτερο πληθυσμό. Άρα όταν έχουμε γνωστές διασπορές και κανονικές κατανομές ή μεγάλα δείγματα πάμε πάλι σε κρίσιμη τιμή. Ή αν θέλετε σε αντιστοιχία με το άλλο να το γράψω πρώτα στη γενική του μορφή. Ότι το διάστημα εμπιστοσύνης στη γενική του μορφή πάλι θα έχει κέντρο το στατιστικό που εκτιμάω. Όπως είχα το κέντρο των μέσων όρων, τώρα έχω κέντρο τη διαφορά των μέσων όρων. Την κρίσιμη τιμή όπως παραπάνω που θα είναι από την τυπική κανονική κατανομή και της student. Επί την τυπική απόκλυση της εκτιμήτριας. Αλλά η εκτιμήτρια τώρα δεν είναι ο μέσος όρος, είναι η διαφορά των μέσων όρων. Και εδώ τώρα αν πάμε να δούμε τις διάφορες περιπτώσεις. Η μία περίπτωση λοιπόν είναι να έχουμε γνωστές διασπορές και κανονικές κατανομές. Άρα σε αυτή την περίπτωση έχουμε τη διαφορά των μέσων όρων στο κέντρο. Συν πλήν σε αντιστοιχία με αυτό που είχαμε εδώ πάνω έχουμε την τυπική κανονική κατανομή. Επί την τυπική απόκλυση τώρα της εκτιμήτριας που σε αυτή την περίπτωση δίνεται από αυτήν εδώ τη σχέση. Είναι το σίγμα 1 τετράγωνο για ν1. Σίγμα 1 τετράγωνο είναι η διασπορά που έχω για τον πρώτο πληθυσμό. Ν1 είναι το μέγεθος του δείγματος για την πρώτη ιχεία μεταβλητή και αντίστοιχα για τη δεύτερη. Στην περίπτωση τώρα που έχω άγνωσες διασπορές, 4 μεγάλο δείγμα, δεν θα το γράψω γιατί δεν θα με πάρει πολύ χώρο εδώ πέρα, υπάρχει αυτή η δεύτερη περίπτωση όπου πάω και αντικαθιστώ απλά τα σίγμα 1 τετράγωνο και σίγμα 2 τετράγωνο με τα δειγματικά. Αυτή είναι η περίπτωση που αντιστοιχεί στο 2. Δηλαδή αν βάλω εδώ πέρα 1, 2, αυτό είναι το 1, το 2 είναι απλά να βάλουμε αντικατάσεις το σίγμα 1 και το σίγμα 2 τετράγωνο με τα δειγματικά. Αν θέλετε μπορώ να το κάνουμε έτσι για να σας διευκολύνει λίγο, ότι εδώ μπαίνουν τα δειγματικά. Και στην τρίτη και τελευταία περίπτωση τώρα, αυτή είναι η 2 περίπτωση, και στην τρίτη περίπτωση έχουμε σε αντιστοιχία με αυτό εδώ που έχουμε και άγνωσες διασπορές και μικρά δείγματα, εδώ βάζουμε έναν ακόμα επιπλέον περιορισμό, άγνωσες διασπορές, μικρά δείγματα, αλλά και διασπορές που είναι περίπου ίδιες, αυτά τα σίγμα 1 τετράγωνο και σίγμα 2 τετράγωνο είναι ίδια. Σε αυτή την περίπτωση πάμε στην κρίσιμη τιμή από τη Student με βαθμούς ελευθερίας ν1σν2-1, 1-α2 είναι και πάλι ο δείκτης για την πιθανότητα. Επί τώρα επειδή είπαμε ο περιορισμός εδώ είναι ότι έχουν την ίδια διασπορά, εκτιμώ αυτή την ίδια διασπορά και παίρνω τη τραγωνική ρίζα και έτσι έχω την ίδια, την εκτίμηση της κοινής τυπικής απόκλεισης, το S, το οποίο επειδή είναι κοινό βγαίνει απ' έξω και μέσα έχω το 1-ν1σν1-ν2, αν το βλέπετε από εκεί που είστε, φαίνεται, εντάξει λίγο θα παιδευτείτε για να το δείτε εδώ πέρα. Και έτσι κλείνουμε τον κύκλο με τα διαστήματα εμπιστοσύνης στις περιπτώσεις που είχαμε και να πάρουμε ένα παράδειγμα από εδώ, το παράδειγμα για τη μέση τιμή ήταν, είχαμε μία άσκηση γι' αυτό εδώ πέρα. Μα ζητούσε διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο όριο έντασης του ηλεκτρικού ρεύματος στις ασφάλειες όπου το σίγμα τετράγωνο ήταν άγνωστο. Και είχαμε κάνει το θηκόγραμμα μάλλον για τις ασφάλειες και είχαμε δει ότι είναι κανονική κατανομή. Άρα αφού έχω κανονική κατανομή, το δείγμα είναι μικρό κάτω από 30, θα πάω σε αυτόν εδώ το τύπο. Εντάξει, είναι αυτή εδώ η περίπτωση. Και πήγαμε σε αυτήν εδώ την περίπτωση, χρειάστηκε να υπολογίσουμε τη δειγματική διασπορά, το S τετράγωνο, και τα βάλαμε σε αυτόν τον τύπο ό,τι ζητούμε να είχαμε και βρήκαμε το διάστημα εμπιστοσύνης 39,42 με 40,18. Εντάξει, το ερώτημα τώρα είναι, εγώ φτιάχνω ασφάλειες, έχω το εργοστάσιο που φτιάχνει τις ασφάλειες και θέλω να βγω στην αγορά και να τις πουλήσω. Και αυτό το εύρος εδώ πέρα, μου είναι πολύ μεγάλο για να μου δηλώσει την ακρίβεια της μέσης τιμής, ποιάς μέσης τιμής, το μέσο όριο που καίγονται, το όριο έντασης ηλεκτρικού ρεύματος που καίγονται ασφάλειες. Θα ήθελα δηλαδή να το περιορίσω αυτό το εύρος, να μην είναι τόσο μεγάλο, να είναι πιο μικρό αυτό το εύρος. Το ερώτημα λοιπόν είναι τώρα, πώς μπορώ να το μικρύνω αυτό το εύρος, ναι. 90%. Τότε όμως τι έχω χάσει. Πάλι έχω χάσει στην αξιοπιστία μου, έτσι, γιατί αφήνω ένα 10% για το σφάλμα. Θα μπορούσα να το κάνω ακόμα πιο μικρό, να το χαμηλώσω και άλλο το επίπεδο επεισόδου, θα το κάνω 80%. Άρα άμα είπες 80%, είμαι σίγουρος στο 80%, να τον πιστέψεις, θα μας είπε κάποιος, παιδιά, εγώ είμαι σίγουρος στο 80%, θα σου πει 80%, άρα έχεις και ένα 20% που δεν είσαι σίγουρος. Άρα αυτό το άλφα εδώ, που μας το ορίζει αυτό το επίπεδο εμπιστοσύνης, το οποίο το άλφα το λέμε και επίπεδο σημαντικότητας, δεν είναι αυτό που θέλουμε να αλλάξουμε. Άλλο, από τι άλλο εξαρτάται αυτό το διάστημα εμπιστοσύνης ή γενικά ένα διάστημα εμπιστοσύνης και το εύρος του. Δεν εξαρτάται και από την κατανομή, είχαμε πει αν είναι κανονική κατανομή και αν γνωρίζουμε τη διασπορά ή όχι. Και μάλιστα εξαρτάται και από το πόσο μεγάλη είναι αυτή η διασπορά, έτσι, γιατί στον τύπο εδώ πέρα μπαίνει και η διασπορά, η τυπική απόκλυση, αν τη γνωρίζουμε ή η εκτιμησή της εδώ. Μπορώ να το αλλάξω αυτό, μπορώ να αλλάξω την κατανομή της στοιχείας μεταβλητής, μπορώ, όχι, έτσι. Δεν μπορώ να αλλάξω την κατανομή της στοιχείας μεταβλητής, μπορώ να αλλάξω τη διασπορά της στοιχείας μεταβλητής. Ε, ξέρετε τι κάνω ε, θόρυβο, μην χτυπήσει. Ναι, να αλλάξω τη διασπορά μπορώ. Θυμηθείτε εκείνο το χαζό το παράδειγμα με το ύψος των φυλιτών, τι σημαίνει να αλλάξω τη διασπορά του ύψους των φυλιτών. Τους παίρνω τους φυλιτές, ε, το μαζεύω, τον απλώνω, αυτό σημαίνει να αλλάξω τη διασπορά, δεν γίνεται. Άρα αυτά εδώ πέρα έχουν να κάνουν με την τυχαία μεταβλητή που μελετάω, έχει να κάνει με το πρόβλημα, δεν μπορώ να τα αλλάξω. Το α είπαμε δεν μπορώ να τα αλλάξω, άρα τι να αλλάξουμε τελικά, το ν, έτσι, άρα, μπράβο ρε, το ν. Όλη η δουλειά λοιπόν είναι εκεί πέρα. Για αυτό, στις στατιστικοί αυτό που κάνουν πρώτα, ξεκινάνε με αυτό που λένε μια πιλοτική μελέτη, παίρνουν ένα μικρό δειγματάκι. Γιατί, για να πάρουν μια εντύπωση, να δουν πόσο είναι το εύρος του διαστήματος εμπιστοσύνης. Γιατί εγώ, όταν θα θέλω να το εκτιμήσω το διάστημα εμπιστοσύνης, έχω από πριν στο μυαλό μου ένα εύρος που θα ήθελα να πετύχω. Δηλαδή, μια ακρίβεια πόσο να παίζει συνπλήν γύρω από το μέσο όρο εκεί πέρα, όταν μιλάμε για τη μέση στιγμή. Και για να το πετύχω αυτό, ξεκινάω με ένα μικρό διάστημα εμπιστοσύνης. Και λέω τώρα, γι' αυτό το νέο διάστημα εμπιστοσύνης με το δεδομένο εύρος που θέλω, μπορώ να βρω το μέγεθος που θα χρειαστώ. Πόσο μεγάλο δείγμα δηλαδή να πάρω για να βρω το διάστημα εμπιστοσύνης. Είχαμε τις εκλογές πριν δύο εβδομάδες. Όλοι κάτι θα είδατε από τις εκλογές. Και βγάζαν αποτελέσματα στις εκλογές. Και είχαν τα exit polls που λέγανε πόσο είναι που παίζουν τα ποσοστά. Αυτά τα ποσοστά που λέγανε ότι ήταν από 20 μέχρι 24, ας πούμε, ή 24 μέχρι 28 κλπ, ακριβώς αυτό είναι το εύρος του διαστηματος εμπιστοσύνης. Μόνο που μεστιμήν είναι η αναλογία, είναι το ποσοστό. Αυτό λοιπόν, αν σας πω εγώ ότι για ένα κόμμα έκανα κι εγώ, πήγα κι έκανα κι εγώ ένα exit poll, και βρήκα ότι είναι από 20 μέχρι 40 το ποσοστό του. Σας έχω πει τίποτα, καμιά πληροφορία καλή? Ναι, αλλά αν πήγα και ρώτησα μόνο 50% άτομα, θα παίζει πάρα πολύ. Το ερώτημα είναι πόσους να πάω να ρωτήσω έτσι ώστε να έχω μια ακρίβεια, ας πούμε, σύμπλιν 90%. Δηλαδή το εύρος να είναι δύο ποσοστιές μονάδες. Ε, κάτι τέτοιο τώρα θέλουμε να ρωτήσουμε, αλλά για τη μέση τιμή. Και αν πάμε στο παράδειγμα που σας έδειξα πριν, που ήταν αυτό το παράδειγμα με το ενένταση του ηλεκτρικού ρέματος που έχει εγωδιασφάλειας, το εύρος του διαστήματος μπορεί κάποιος εύκολα να δει ποιο είναι. Γιατί είναι αυτό εδώ παιδιά, γιατί το διάστημα εμπιστοσύνης είναι αυτό εδώ πέρα. Αφού είναι συμπλήν εδώ, θα πάρω δυό φορές αυτό εδώ, έχω το εύρος του, έτσι. Εγώ τώρα τι θέλω να βρω. Για το δεδομένο εύρος, δηλαδή αυτό το W που είναι το εύρος, λέω να το κάνω σε μια δεδομένη τιμή. Για το δεδομένο εύρος θέλω να βρω το μέγεθος του δείγματος. Αλλά τι πρέπει να κάνω εδώ, να λύσω ως προς N, έτσι. Είναι εντάξει άμα λύσω ως προς N, το πάω λοιπόν και κάνω τη λύση. Τώρα ότι είναι με μπλε γράμματα σημαίνει ότι δεν υπάρχει στον τυπολόγιο, αλλά έχετε τον τύπο να κάνετε την επίλυση ως προς N και να έχετε αυτούς τους τύπους εδώ πέρα. Αυτός είναι ο τύπος στην περίπτωση που χρησιμοποιούμε την κρίσιμη τιμή από την student και εδώ είναι στην περίπτωση που χρησιμοποιούμε την κρίσιμη τιμή από την τυπική κανονική κατανομή. Είναι όλα ωραία και καλά. Κάνα προβληματάκι έτσι μικρούλι. Ναι, άρα εδώ τι πρόβλημα έχουμε. Εδώ δεν έχουμε κανένα πρόβλημα, εντάξει. Βρίσκω όλα αυτά εδώ πέρα και βρίσκω και το N. Το W μου το δίνει, είπαμε, το πρόβλημα, το τι θέλω να κάνω. Εδώ όμως το N μπαίνει σαν δείκτης στην κρίσιμη τιμή της student. Άρα έχω το N και από αριστερά και από δεξιά. Άρα αυτό είναι ένα θέμα. Τι κάνουμε σε αυτή την περίπτωση. Η απλή προσέγγιση είναι ότι εάν εγώ θέλω να μειώσω δραστικά, αρκετά δηλαδή το εύρος του διαστήματος εμπιστοσύνης, τότε θα πάω αναγκαστικά σε ένα αρκετά μεγάλο δείγμα. Άρα μεγάλο N. Και στην περίπτωση που έχω μεγάλο N μπορώ να πω ότι μπορώ να παίρνω πάντα εκείνο τον τύπο 2. Άρα να χρησιμοποιώ εδώ πέρα την τυπική κανονική κατανομή. Και ξελασπώνω εύκολα. Αν όμως θέλω να είμαι πιο ακριβής θα πρέπει να πάρω αυτόν εδώ τον τύπο. Τι κάνω σε αυτή την περίπτωση. Ξεκινάμε από την πηλωτική μας μελέτη με το μικρό δείγμα. Βάζουμε την τιμή του αρχικού N που είχαμε από το μικρό δείγμα εδώ. Λύνουμε αυτή την έκφραση. Βρίσκουμε την τιμή του N στρογγυλοποιημένη. Παίρνουμε αυτή την τιμή του N και τι κάνουμε. Την ξαναβάζουμε μέσα. Κάνουμε δηλαδή μια επαναληπτική διαδικασία. Και περιμένουμε αυτό το πράγμα να συγκλίνει μετά από ορισμένα βήματα. Δηλαδή για μια τιμή του N που θα βάλουμε από εδώ να έχουμε ως αποτέλεσμα την ίδια τιμή του N. Αυτό ήταν το διάστημα εμπιστοσύνης για το όριο που καίγονται οι ασφάλειες. 39,42 με 40,18. Και το ερώτημα είναι τώρα αν εγώ θέλω να το μειώσω αυτό. Και πόσο να το μειώσω. Εδώ λέει να το μειώσω από 0,76 που είναι το ευρώς να το κάνω 0,5. Και από 0,38 που είναι αυτό που λέμε ακρίβεια το simpline να το κάνω 0,25. Δεν είναι και μεγάλη μειώση από 0,76 και 0,5. Πώς θα το κάνω αυτό λοιπόν. Θα πάω να χρησιμοποιήσω αυτόν τον τύπο που λέγαμε. Αν θεωρήσω ότι θα γίνει αρκετά μεγαλύτερο το δείγμα. 25 ήταν οι παρατηρήσεις που είχα στην αρχή. Ότι θα είναι αρκετά πάνω από 30. Τότε μπορώ κατευθείαν να πάρω εδώ την τιμή που έχω από την τυπική κανονική κατανομή και βρίσκω ότι είναι 53. Αν όμως θέλω να είμαι πιο αυστηρός και να ξεκινήσω με την student. Τότε ξεκινάω με το δείγμα των 25 παρατηρήσεων. Άρα έχω 25-1, 24 βαθμούς ελευθερίας. Βάζω την κρίσιμη τιμή για 25 παρατηρήσεις εδώ μέσα και βρίσκω το 59. Τι κάνω τώρα. Βρίσκω την νέα κρίσιμη τιμή για 59 παρατηρήσεις. Δηλαδή 59-1,58 βαθμούς ελευθερίας είναι αυτή η τιμή. Βάζω μέσα στον τύπο και βρίσκω αυτό το νέο. Τη νέα εκτίμηση για το μέγεθος του δείγματος. 55. Το ξαναβάζω στον τύπο και βρίσκω ότι πάλι είναι το 55. Άρα έχει συγκλίνει. Και βλέπετε μετά από λίγα βήματα, εδώ μετά από τρία βήματα, ήδη φτάσαμε στην τιμή. Και τώρα θα μου πείτε ποιο είναι το πιο σωστό αυτό ή αυτό. Έχει μεγάλη διαφορά. 53-55. Μήπως μπορώ να είμαι σίγουρος πόσο ακριβώς παρατηρήσεις θα πάρω. Όχι. Γιατί ήδη για να κάνω αυτή την εκτίμηση πήγα και έβαλα αυτήν εδώ την τιμή, που είναι η εκτίμηση της τυπικής απόκλεισης. Που είναι από το μικρό το δείγμα. Άρα μια εκτίμηση κάνω. Δηλαδή πόσο μέγεθος δείγματος να πάρω. Να πάρω εκεί στο 60, στο 55, στο 60 ή να πάρω στο 100. Δεν ψάχνουμε να δούμε δηλαδή ένα συγκεκριμένο αριθμό. Γι' αυτό είτε έχεις 53 είτε 55, δεν έχει και μεγάλη διαφορά. Λοιπόν, και αφού έχουμε πει για όλα αυτά να περάσουμε και στην άσκηση. Δεν ξέρω αν έχετε κάποια ερώτηση. Λοιπόν, να περάσουμε στην άσκηση λοιπόν, η οποία την είχαμε δει αυτή την άσκηση παλιότερα, έτσι. Θυμάστε μπρε. Δεν θυμάστε τίποτα, ε. Δεν την είχαμε δει καθόλου. Ωραία, ας την πάρουμε από την αρχή. Λοιπόν, μας λέει ότι έχουμε ένα, σε ένα ποτάμι. Αν γράψω εδώ πέρα φαίνεται από εκεί, εντάξει. Άρα η τυχία μου μεταβλητή είναι το διαλυμένο οξυγόνο. Το διαλυμένο οξυγόνο λοιπόν, που είναι στο νερό ενός ποταμού. Και πήγα και πήρα 15 μετρήσεις τέτοιου διαλυμένου οξυγόνου. Μετράμε σε μιλιγράμμα να λύτρω. Και τις βάζω σε μια αύξησα σειρά. Γιατί τις βάλω σε αύξησα σειρά, γιατί θα χρειαστώ το ιστόγραμμα κάποια στιγμή. Και γι' αυτό λοιπόν ξεκινάω από πριν να τα βάλω σε αύξησα σειρά. Η πρώη τιμή είναι το 1,2. Μετά έχω το 1,6. Μετά έχω πάλι νομίζω το 1,6. Δύο φορές. Μετά έχω το 1,7. Το 1,8. Το 1,8 μία φορά, έτσι? Δύο φορές, ναι. Δύο φορές, το 1,9. Το 2. Το 2,1. Το οποίο είναι δύο φορές. Όχι, έτσι? Το 2,2 και το 2,3 που είναι δύο φορές. Και μετά έχω το 2,4. Το 2,4, το 2,5. Και το 2,9. Ωραία, δεκαπέντε παρατηρήσεις, Γιάννου. Μία, δύο, τρεις, τέσσερις, πέντε, έξι, εφτά, οκτώ, εννιά, δέκα, εννέντε, δώδεκα, δώδεκα, τρεις, δέκα, τέσσερις, δέκα, πέντε. Ωραία, αυτές λοιπόν είναι οι δεκαπέντε παρατηρήσεις μου εδώ. Το 1 εδώ είναι δεκαπέντε. Πριν να προχωρήσω, επειδή θα μου χρειαστούν και κάποια στατιστικά. Ποια στατιστικά? Για να προσδιορίσω τη μέση, τη μη και τη διασπορά. Άρα το μέσο όρο και τη δειγματική διασπορά. Και αν η κατανομή είναι κανονική. Για αυτό θα περάσω κατευθείαν να κάνω το θηκόγραμμα εδώ πέρα. Και θα φτιάξω το θηκόγραμμα εδώ λοιπόν. Για το πρώτο ποτάμι, γιατί μετά θα έχουμε και για ένα δεύτερο ποτάμι. Λοιπόν, και θα βάλω μια αρρύθμιση εδώ πέρα. Αφού οι τιμές μου είναι από 1,2 μέχρι το 2,9. Ας πούμε ότι θα ξεκινήσει από το 1, στο 2 και στο 3. Πώς θα φτιάξω το θηκόγραμμα τώρα? Θα χρειαστώ πέντε αριθμούς. Τη μικρότερη τιμή που είναι το 1,2. Εδώ που θα ξεκινάει, εδώ κάπου είναι και το 1,5. Και εδώ κάπου είναι το 2,5. Στο 1,2 λοιπόν είναι που θα ξεκινάει το θηκόγραμμα. Με την πρώτη ουρά του, η οποία θα πρέπει να πηγαίνει μέχρι το πρώτο το ταρτημόριο. Μετά να έχουμε το τρίτο το ταρτημόριο και το μέγιστο και τη διάμεσο στο κέντρο. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν από τη διάμεσο. 15 παρατηρείς σε αύξησα σειρά. Ποια είναι η διάμεσος? Έτσι, στην όγδοη θέση 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Άρα η διάμεσος είναι το 2. Ποιο είναι το πρώτο τεταρτομόριο? Πώς θα το βρω το πρώτο τεταρτομόριο? Θα πάρω το δείγμα που θα ξεκινάει από τη μικρότερη τιμή μέχρι και την κεντρική. Άρα έχω αυτές τις 8 τιμές εδώ πέρα σε αύξησα σειρά. Η διάμεσο σε ένα δείγμα που έχει τις παρατηρήσεις σε αύξησα σειρά. Όταν είναι 8 οι παρατηρήσεις που θα βρίσκεται μεταξύ της θέσης 4 και 5. 1, 2, 3, 4. Άρα το Q1 είναι το 1,75. Και αντίστοιχα για το Q3, το τρίτο τεταρτομόριο, θα πάρω από την κεντρική τιμή που έχω μέχρι την μέγιστη. Έχω πάλι 8 τιμές μεταξύ της θέσης και την πέντη. 1, 2, 3, 4. Άρα το Q3 είναι το 2,3. Και φυσικά η μέγιστη τιμή είναι το 2,9. Μπορώ λοιπόν να σχηματίσω τώρα το θηκόγραμμα. Ξεκινάει από το 1,2 μέχρι το 1,75. Εδώ στο 1,75 ξεκινάει η θήκη που πηγαίνει μέχρι το Q3, δηλαδή το 2,3. Και η γραμμούλα που θα ξεκινάει από το 2,3 μέχρι τη μέγιστη τιμή που είναι στο 2,9. Και στο 2 θα έχω μια οριζόντια γραμμή που είναι για τη διάμεσο. Αυτό λοιπόν είναι το θηκόγραμμα. Εδώ τώρα δεν χρειάζεται να πούμε και πολλά πράγματα. Φαίνεται ότι υπάρχει συμμετρία. Οι δυο ημίστα και οι ουρές έχουν περίπου το ίδιο μήκος. Οι διάμεσους δεν τίνει να πάει ούτε προς το κάτω άκρο του Q1, ούτε προς το πάνω άκρο του Q2. Άρα είμαστε μια χαρά. Πάω λοιπόν και υπολογίζω και τα στατιστικά εδώ πέρα. Και έχω για τη διγματική τιμή, για το μέσο όρο. Η τιμή είναι 2,02. Η διγματική διασπορά είναι το S τετράγωνο, δηλαδή 0,185. Η τυπική απόκλυση είναι η ρίζα αυτή, που είναι η τετραγωνική ρίζα 0,430. Και έχω βρει λοιπόν και τα στατιστικά που θέλω. Ωραία. Προχωράω τώρα να δω τι μου ζητά η άσκηση. Τι λέει η άσκηση τώρα. Μου δίνει κάποιο στοιχείο εδώ πέρα και μου λέει από παλιότερες μετρήσεις γνωρίζουμε ότι η διασπορά του διαλυμένου οξυγόνου είναι 0,1. Άρα έχουμε μια τιμή για τη διασπορά. Ποια διασπορά όμως, στο δίγμα? Είναι για το S τετράγωνο, για αυτό, για το σίγμα τετράγωνο. Είναι κάτι από μια παλιότερη μελέτη που κάναμε. Ίσως ή να είχαμε κάνει μια πιο μεγάλη μελέτη. Με πολλά δείγματα, με πολλές παρατηρήσεις. Και βρήκαμε εκεί πέρα ότι η διασπορά ήταν 0,1. Βέβαια δεν ξέρουμε κατά πόσο ισχύει αυτό και σήμερα. Γιατί είναι παλιά η μελέτη. Μπορεί να έχει αλλάξει η σύσταση του νερού και τα λοιπά. Στο ένα λοιπόν το πρώτο ερώτημα μας λέει να εκτιμήσουμε τη διασπορά της συγκέντρισης του διαλυμένου οξυγόνου. Και αν μας έλεγε να εκτιμήσουμε με μία τιμή αυτό που λέγαμε σημιακή εκτίμηση, ήταν το S τετράγωνο. Να το. Άρα η απάντηση είναι εδώ. Αν μέναμε στην σημιακή εκτίμηση. Μας λέει όμως να βρούμε και διάστημα εμπιστοσύνης σε επίπεδο 99% και 90%. Άρα, στο πρώτο σκέλος του ερωτήματος, θα βρω το διάστημα εμπιστοσύνης για 99%. Το τύπο δεν χρειάζεται να το γράψω πάλι, τον έχω εδώ πέρα. Ένας τύπος είναι για τη διασπορά, είναι αυτός εδώ. Τι χρειάζομαι εδώ πέρα για να βρω το αποτέλεσμά μου. Βλέπετε τι εύκολη είναι η στατιστική. Τσουκ, διαβάζεις το πρόβλημα, ποιος είναι ο τύπος. Νάτος. Τι χρειάζομαι στον τύπο. Το 1. Πόσο είναι το 1. 15. Ένας το θυμάται, οι άλλοι το ξεχάσετε. Το S τετράγωνο πόσο είναι. Εκείνο εκεί. 0,185. Άρα μου λείπουνε μόνο αυτές εδώ κάτω οι τιμές. Πού θα τις βρω. Αυτό που είχε ρωτήσει το παλικάρι, θα έχουμε πίνακα στατιστικό. Σε εξετάσεις. Θα πάω λοιπόν στον τυπολόγιο. Θα πάω στον πίνακα που έχω για ποια κατανομή. Για τυχή τετράγωνο. Άρα έρχομαι λοιπόν στον τυπολόγιο. Πηγαίνω στον στατιστικό πίνακα για τυχή τετράγωνο κατανομή. Που είναι αυτός εδώ. Θέλω τώρα την τιμή για όπως βλέπετε εκεί στον πίνακα για 1-1. Δηλαδή πόσο είναι το 1-1. 14 έτσι. Άρα 14 και για α δεύτερα και 1-α δεύτερα. Το 14 που είναι η βαθμή ελευθερίας. Μου δηλώνει τη γραμμή. Άρα θα πάω στη γραμμή 14. Αν μπερδευτείτε πάρτε ένα παράδειγμα να δείτε τι κάνει. Και θα πάω στο α δεύτερα. Τώρα για να μην κάνω τις πράξεις αφού θέλω 99% διάστημα εμπιστοσύνης. Πόσο είναι το α δεύτερα. Μήπως να τις κάνω τις πράξεις. 99% διάστημα εμπιστοσύνης. Άρα το α είναι 0,01. Άρα το α δεύτερα είναι 0,005. Και άρα και το 1-α δεύτερα που θα χρειαστώ είναι 0,995. Εντάξει. Άρα πάω λοιπόν στον τύπο. Και θα δω εδώ για πιθανότητες. Μην σας μπερδεύει αυτό που λέει α εδώ πάνω. Είναι οι πιθανότητες που θέλουμε. Αριστερά από αυτή τη γραμμή είναι οι μικρές πιθανότητες. Η αριστερή ουρά και δεξιά οι μεγάλες. Οι μικρές πιθανότητες η αριστερή ουρά και δεξιά οι μεγάλες πιθανότητες η δεξιά ουρά. Άρα θα πάω για α0,005. Η γραμμή είναι η δεύτερη αυτή εδώ. Με συγχωρείτε η στήλη είναι η δεύτερη. Η γραμμή είναι η δεκατοιτέταρτη. Και άρα είναι το 4,07. Και για 0,995 είναι η πρώτη τελευταία γραμμή. Στήλη πάλι το μπερδεύσα. Και είναι το 31,32. Άρα έρχομαι κατευθείαν. Γράφω δύο φορές. Τα περνάω ως τον τύπο. 14 εις βαθμί ελευθερίας. Για όσους ξεχάσανε μιλάμε για αυτόν εδώ τον τύπο. Απλά κάνω αντικατάσεις τώρα. Μην ξαναγράφω τον τύπο. 14 επί το S τετράγωνο που είναι το 0,185. Και εδώ κάτω θα βάλω την δεξιά κρίσιμη τιμή. Δηλαδή τη μεγάλη. Αυτό που βρήκαμε το 31,32. Ο αριθμητής είναι ίδιος. Και στο δεξί άκρο θα βάλω στον παρονομαστή την αριστερή κρίσιμη τιμή, το 4,07. Τετραγωνισμένα τι εννοείς? Ποιο? Ο χ τετράγωνος είναι έτσι λέγονται αυτά. Είναι χ τετράγωνο η κατανομή. Και το συμβολισμός για τη μεταβλητή αυτή είναι με ένα χ και ένα τετραγωνάκι από πάνω. Άρα αυτές οι τιμές που βλέπεις είναι για τα χ τετράγωνος. Και με αντικατάσταση βρίσκουμε το αποτέλεσμα που είναι 0,083 με 0,634. Και αυτή είναι η διασπορά. Το διάστημα εμπιστοσύνης 99% για τη διασπορά, ναι. Το α είναι απλά για να δηλώνει την πιθανότητα. Για μας η πιθανότητα είναι α δεύτερα. Εντάξει. Αυτό είναι πιο γενικό το τυπολόγιο. Δεν είναι μόνο για τα διαστοίματα εμπιστοσύνης. Αυτό για το 99%. Έρχομαι λοιπόν και για το 90%. Ας κάνω πάλι την ίδια δουλειά. Το α τώρα είναι 0,1 δηλαδή 0,10. Το α δεύτερα είναι 0,05. Και το 1-α δεύτερα είναι 0,95. Αντίστοιχα θα βάλω τις τιμές, τις κρίσιμες για αυτή την περίπτωση. Ο αριθμητής είναι ο ίδιος. Δεν αλλάζει τίποτα εδώ πέρα. Το ξαναγράφω. Παρανομαστής τώρα τι θα είναι. Μπορεί κάποιος να το βρει. Η δεξιά ουρά 0,95. 0,95 είναι εδώ. Γραμμή 14 είναι εδώ πέρα. Είναι το 23,68. Αριστερή ουρά για 0,05. Το 0,05 είναι εδώ. Η τελευταία. Και η γραμμή 14 το 0,657. Αντικατάσταση τα νούμερα. Και βρίσκω να είναι 0,109 με 0,393. Είναι σωστό το αποτέλεσμα. Είναι σωστό να βρούμε αυτό το διάστημα εμπιστοσύνης. Δηλαδή αν βάλω τα δύο διαστήματα εμπιστοσύνης. Το πρώτο είναι από το 0,0. Ας πούμε εδώ είναι το 0. Εδώ είναι το 0,3. Και εδώ είναι το 0,6. Και μου λέει είναι από το 0,083 στο 0,63. Δηλαδή από εδώ μέχρι κάπου εδώ. Αυτό είναι το πρώτο διάστημα εμπιστοσύνης. Το 99%. Το 90% διάστημα εμπιστοσύνης. Που περιμένουμε να βρίσκεται σε σχέση με αυτό. Είναι μέσα. Μου λέει 0,109 από εδώ. Και 0,393 μέχρι εδώ. Άρα είναι μέσα. Είναι σωστό. Πάντα όσο μεγαλώνει το επίπεδο εμπιστοσύνης. Πηγαίνουμε από αυτό εδώ το διάστημα. Σε μεγαλύτερο επίπεδο εμπιστοσύνης θα μεγαλώνει και το διάστημα. Γιατί θέλουμε να είμαστε πιο σίγουροι να περιέχει. Το διάστημα αυτό την πραγματική τιμή. Αυτό κατεβαίνει το επίπεδο εμπιστοσύνης και το διάστημα μικραίνει. Βέβαια εδώ βλέπετε δεν μικραίνει συμμετρικά και στα δύο άκρα. Γιατί αυτή η κατανομή ηχή τετράγωνο ακριβώς είναι ασύμμετρη. Αν θυμάστε κάνει μια μεγάλη ασυμμετρία προς τα δεξιά έχει. Λοιπόν, αυτά όσον αφορά το ερώτημα. Και έχει και ένα τελευταίο σκέλος αυτό το ερώτημα. Που μας λέει. Να γυρίσω λίγο εδώ. Έχει μια δεύτερη πρόταση εδώ πέρα. Εξετάστε και για τα δύο επίπεδα εμπιστοσύνης. Αν μπορούμε να δεχτούμε την εμπειρική τιμή της διασποράς για αυτό το δείγμα. Η εμπειρική τιμή της διασποράς είναι αυτή που έχουμε που λέει εδώ από παλιότερες μετρήσεις. Που είναι το 0,1. Μπορούμε να δεχτούμε ότι αυτό που είχαμε βρει εμείς από παλιότερη μελέτη. Ότι είναι η διασπορά 0,1. Ότι ισχύει και τώρα με βάση το δείγμα που έχουμε. Ισχύει για 99% διάστημα επιστοσύνης. Μπορούμε να το δεχτούμε. Μπορούμε γιατί το 0,1 που βρίσκεται. Το 0,1 είναι εδώ. Είναι μέσα σε αυτό το διάστημα. Οριακά αλλά είναι. Ενώ για το άλλο δεν είναι μέσα οπότε είναι απ' έξω. Δεν θα μπορούσαμε να το δεχτούμε. Γιατί τι σημαίνει αυτό το 90% διάστημα επιστοσύνης. Ότι είμαι 90% σίγουρος ότι αυτό εδώ το διάστημα από 0,1, 0,9 σε 0,3, 0,93 θα περιέχει την πραγματική διασπορά. Άρα δεν μπορεί να είναι η πραγματική διασπορά 0,1. Εντάξει. Έτσι απαντάμε λοιπόν σε τέτοια ερωτήματα. Προτείνω να μην κάνουμε διάλειμμα και να συνεχίσουμε την άσχηση για να τελειώσουμε. Εντάξει ή κουραστήκατε και θέλετε να κάνουμε ένα 2-3 λεπτά διάλειμμα. Όχι, έτσι, ωραία. Λοιπόν, θέλω να εκτιμήσουμε την μέση συγκέντρωση. Με τη διασπορά τελειώσαμε λοιπόν και πάμε τώρα στην μέση τιμή. Αφού λέει μέση συγκέντρωση του διαλυμένου οξυγόνου. Η συγκέντρωση του διαλυμένου οξυγόνου είναι τυχαία μεταβλητή. Τώρα πλέον αναφερόμαστε τη μέση τιμή. Επειδή δεν έχω πολύ χώρο και θέλω να τα κρατήσω αυτά, θα μου επιτρέψω να τα σβήσω αυτά εδώ πέρα, εντάξει. Αλλά θα γράφω μόνο σε αυτό το κουτάκι εδώ το καϊμινό. Λοιπόν, μέση συγκέντρωση του διαλυμένου οξυγόνου, λέει, θέλουμε να την εκτιμήσουμε. Λοιπόν, αν ζητούσαμε την απλή εκτίμηση με μία τιμή, τη σημιακή εκτίμηση, την έχουμε από εδώ, 2.02. Άρα δεν θέλει μόνο αυτό, θέλουμε διάστημα εμπιστοσύνης, 95%, υποθένοντας πρώτα ότι η διασπορά είναι γνωστή, εννοούμε είναι αυτή που είχαμε η εμπειρική παλιότερη μελέτη, και μετά χρησιμοποιώντας την περίπτωση ότι δεν είναι γνωστή η διασπορά, αλλά την παίρνουμε από το δείγμα. Άρα έχουμε πάλι δύο υποερωτήματα στην ουσία εδώ πέρα. Η πρώτη περίπτωση είναι το σίγμα τετράγωνο, είναι γνωστό, είναι το 0,1 μιλιγκράμμα να λύτρεις το τετράγωνο. Άρα εδώ πέρα τώρα ποιον τύπο θα πάρω, μου λέει γνωστή διασπορά. Αν έρθω εδώ στο πινακάκι μου για τη μέση τιμή έχω τρία διαστήματα, τρεις τύπους για τα διαστήματα εμπιστοσύνης. Ποιος είναι ο τύπος ο κατάλληλος εδώ? Για γνωστή διασπορά, εδώ μας λέει για γνωστή διασπορά, άρα είναι ο πρώτος. Πότε μπορώ να πάρω όμως αυτόν τον τύπο, είτε να έχω μεγάλο δείγμα και γνωστή διασπορά πάντα μιλάμε, ή κανονική κατανομή. Το δείγμα είναι 15 παρατηρείς, δεν είναι μεγάλο. Κανονική, ακριβώς, γι' αυτό είχαμε κάνει το θηκόγραμμα, δεν ξέρω, δεν το βλέπετε, από κει δεν το βλέπατε, αυτό είναι παιδιά, το θηκόγραμμα. Εδώ φαίνεται ξεκάθαρα ότι είναι κανονική κατανομή, άρα μπορώ να το υποθέσω και να πάρω τον τύπο αυτόν. Τώρα θα μου επιτρέψω να μην τα γράφω όλα αυτά εδώ πέρα, ότι είναι κανονική κατανομή, μικρό το δείγμα, γνωστή διασπορά και τα λοιπά. Και δεν θα γράψω ούτε τον τύπο αυτόν εδώ, απλά θα κάνω αντικατάσταση για να το προχωρήσουμε λίγο γρήγορα. Θέλετε να τα γράψω βήμα-βήμα για να τα έχετε στις σημειώσεις σας, χαίρομαι. Γιατί δεν έχω και χώρα εδώ πέρα, γι' αυτό. Άρα, σε αυτή την περίπτωση, λοιπόν, κάνω αντικατάσταση στον τύπο, όπου... Τώρα, βέβαια, αν γράφετε σημειώσεις και πάτε κατευθείαν εδώ πέρα, θα σας φανεί λίγο παράξενο πού βρέθηκαν αυτά τα νούμερα και αυτός ο τύπος. Τι κάνουμε αντικατάστασης, κάνουμε αντικατάσταση σε αυτόν τον τύπο, λοιπόν. Αφού έχουμε κανονική κατανομή και γνωστή διασπόρα, πάμε σε αυτόν τον τύπο. Ο μέσος όρος είναι 2.02 και θα χρειαστώ τώρα και αυτήν εδώ την τιμή. Το z του 1-α2. Τώρα, ας έρθω εδώ για άλλη μια φορά να πω ότι το α στην προκειμένη περίπτωση, αφού λέω 95% διάστημα εμπιστοσύνης, το α είναι 95%, άρα το α είναι 0,05, άρα το α2 είναι 0,025 και άρα το 1-α2 είναι 0,975. Θα πάω λοιπόν στον πίνακα τώρα για την τυπική κανονική κατανομή, να βρω την κρίσιμη τιμή, την τιμή του z δηλαδή, που αντιστοιχεί σε αυτήν την πιθανότητα. Έρχομαι λοιπόν τώρα στον πίνακα για την τυπική κανονική κατανομή και θέλω να βρω την τιμή που αντιστοιχεί σε αυτήν όλη τη γαλάζια επιφάνεια εκεί πέρα που δείχνει, που ορίζει, που είναι το 97,5% της ολόκληρης επιφάνειας. Πώς θα τη βρω αυτή την τιμή λοιπόν, για όσοι θυμάστε, μέσα εδώ είναι η πιθανότητα, άρα αυτή η πιθανότητα που μόλις ανέφερα εδώ πέρα το 0,975 είναι μέσα εδώ και θα πάω να βρω πού βρίσκεται, είναι σε αύξησα σειρά, έρχομαι κάπου εδώ και βρίσκεται εδώ πέρα. Και από εδώ θα διαβάσω από τη γραμμή την τιμή του z με ακρίβεια πρώτου δεκαδικού και για την ακρίβεια του δεύτερου δεκαδικού θα βρω την αντίστοιχη τιμή από τη στήλη. Και άρα είναι το 1,96. Και το διάστημα εμπιστοσύνης λοιπόν είναι 2,02 συμπλίν 1,96 επί, τι λέει αυτός ο τύπος εδώ, σίγμα διαρίζα 1, το σίγμα είναι, δεν είναι το 0,1, προσέξτε λίγο αυτά τα λαθάκια γίνονται έτσι, είναι η διασπορά έτσι, είναι η ρίζα του 0,1, το 0,01 διάντη ρίζα του 15. Και αν κάνουμε πράξεις εδώ πέρα, δεν χρειάζεται νομίζω να κάνουμε όλες τις πράξεις, βγαίνει να είναι 1,860 με 2,180. Και αυτό είναι το διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση συγκέντρωση του διαλυμμένου οξυγόνου με βάση το δείγμα των 15 παρατηρήσεων όταν θεωρώ τη γνωστή διασπορά. Και άμα έχετε κάποια ερώτηση κάντε, τώρα είναι η ευκαιρία ε, σε εξετάζει δεν μπορείτε να ρωτάτε, το ξέρετε αυτό. Λοιπόν, ναι. Ωπα, οι οπτικές παρατηρήσεις που κάνουμε, γιατί άμα το έκανες τον υπολογιστή τι θα άλλαζε κάτι. Ε, ναι, φροντίζουμε να είναι σωστά αυτά, δεν θα είναι με μεγάλη ακρίβεια, αλλά ούτως ή άλλως δεν πάμε να βγάλουμε εδώ πέρα με καμιά μεζούρα κάτι. Θέλουμε να εκτιμήσουμε κατά πόσο φαίνεται να υπάρχει συμμετρία, αυτό είναι που μας ενδιαφέρει. Εντάξει, τώρα αν σου είχαν ξεφύγει και αυτό το διάστημα είναι λίγο πιο μικρό από αυτό ενώ θα έπρεπε να είναι πέντε μονάδες το καθένα. Ε, όχι πέντε, μηδέν κόμμα πέντε μονάδες το καθένα. Ε, δεν χάλασε ο κόσμος. Τώρα βέβαια άμα μου κάνεις το από το 2 στο 2,5 εδώ και από το 2 στο 2,5 στο 3 μου το κάνεις εκεί πάνω, εντάξει, τότε αλλάζει. Αλλά δεν νομίζω κάποιος να αστοχίσει τόσο πολύ. Προσεγγιστικά το κάνουμε, έτσι. Λοιπόν, πάμε στην περίπτωση τώρα και θα γυρίσω πάλι στην άσκηση για να θυμηθούμε τι έχουμε εδώ πέρα. Είμαστε στην περίπτωση λοιπόν όπου θέλουμε να βρούμε το διάστημα εμπιστοσύνης αλλά χρησιμοποιώντας τη διασπορά του δείγματος. Δηλαδή θεωρούμε ότι είναι άγνωστη διασπορά και θα πάρουμε την εκτίμησή της. Που θα πάμε τώρα σε ποια περίπτωση. Έχω τώρα άγνωστη διασπορά. Άρα αυτόν τον πρώτον τύπο δεν μπορώ να το πάρω. Να πάω στον δεύτερο ή στον τρίτο. Για το πρόβλημά μου λέω πάντα. Στον δεύτερο θα πήγαινα αν είχα μεγάλο δείγμα. Άγνωστη διασπορά αλλά μεγάλο δείγμα. Δεν έχω μεγάλο δείγμα, έχω μικρό δείγμα. Έχω και κανονική κατανομή. Άρα μπορώ να πάω σε αυτόν τον τύπο όπου την κρίσιμη τιμή τώρα την παίρνω από τη Student. Ποια είναι η τιμή τώρα από τη Student. Εκεί υπάρχει το T για τη Student. Η T κατανομή, η Student κατανομή. Με 1-1 βαθμούς ελευθερίας. Οι οποίοι για μένα είναι 15 οι παρατηρήσεις 14. Άρα θα πάω λοιπόν στον πίνακα για τη Student. Και θα πάω στη γραμμή 14. Γιατί στη γραμμή 14 είναι οι βαθμοί ελευθερίας που με ενδιαφέρουν. Η πιθανότητα είναι πάλι η ίδια, είναι το 0,975. Μην μπερδεύεστε πάλι με το α. Το α απλά λέει ότι είναι μια πιθανότητα. Θα πάω στο 0,975 που είναι αυτή η τρίτη στήλη. Και θα κατέβω στη γραμμή 14 και αυτή είναι η τιμή. Άρα λοιπόν μπορώ κατευθείαν σε αυτή την περίπτωση τη β που έχω σίγμα τετράγωνο άγνωστο. Να πάω στον τύπο. Το δεύτερο είναι το ίδιο, είναι δειγματική μέση τιμή. Και παίρνοντας αυτόν τον τύπο θα πάρω τη τιμή της student που είναι το 2,145 που είπαμε. Επί το s, το 0,430. Διά τη ρίζα του 15. Και θα μου δώσει το διάστημα εμπιστοσύνης που σε αυτή την περίπτωση είναι 1,782 με 2,258. Και αυτό τώρα είναι το νέο διάστημα εμπιστοσύνης όπου δεν εμπιστευόμαστε την εμπειρική τιμή από την προηγούμενη μελέτη αλλά θεωρούμε ότι η διασπορά είναι άγνωστη και ό,τι ξέρουμε το ξέρουμε από το δείγμα. Λοιπόν, εδώ έχει τώρα και μια ερώτηση μετά, στο τρία που λέει ότι αν υποθέσουμε για ένα εργοστάσιο δίπλα στο ποτάμι είναι σημαντικό η μέση συγκέντρωσης του διαλυμμένου οξυγόνου να μην πέφτει κάτω από το 1,8 μιλιγκράμμα αναλίκτρο θα προκαλούσαν ενησυχία αυτές τις παρατηρήσεις και να χρησιμοποιήσουμε τη διασπορά από το δείγμα. Άρα μας λέει δηλαδή να χρησιμοποιήσουμε αυτό το διάστημα εμπιστοσύνης. Εδώ δεν έχει να κάνουμε πράξη, είναι ερώτηση κρίσεως. Δηλαδή τι λέει εδώ πέρα, ότι κάπου το χρησιμοποιούν το νερό, αλλά πρέπει να είναι καλής ποιότητας. Η ποιότητα του νερού χαρακτηρίζεται από τη συγκέντρωση του διαλυμμένου οξυγόνου. Όσο πιο μεγάλη είναι η συγκέντρωση του διαλυμμένου οξυγόνου, τόσο καλύτερη είναι η ποιότητα του νερού. Άρα θα πρέπει να είναι πάνω από αυτό το όριο, το 1,8, για να χρησιμοποιηθεί το νερό, να θεωρείτε καλό. Είναι πάνω από αυτό το όριο η μέση συγκέντρωση. Μπορούμε να δεχτούμε με βάση αυτό ότι η μέση συγκέντρωση του διαλυμμένου οξυγόνου πραγματικά είναι πάνω από το όριο τον 1,8. Όχι γιατί, τι μου λέει αυτό το διάστημα, ότι είμαι 95% σίγουρος ότι κάπου εδώ μέσα βρίσκεται η πραγματική μέση συγκέντρωση του διαλυμμένου οξυγόνου. Άρα μπορεί να είναι και 1,8. Να είναι λίγο μετακινημένο προς τα δεξιά να μην το περιέχει για να πούμε ότι είναι καθαρό το νερό, είναι καλό το νερό, γιατί δεν πέφτει στο επίπεδο του 1,8. Κατανοητό. Αυτή είναι η απάντηση λοιπόν στο συγκεκριμένο πρόβλημα. Βέβαια εδώ το διάστημα εμπιστοσύνηση είναι αρκετά μεγάλο και μάλλον το εργοστάσιο αυτό δεν θα ήθελε να φτάσει σε ένα τέτοιο αποτέλεσμα γιατί τότε δεν μπορούσε να χρησιμοποιήσει το νερό. Και λέει αν δεν μας ικανοποιεί το εύρος του τελευταίου παραπάνου διαστήματος και θέλουμε να το μειώσουμε σε 0,2 μιλιγράμμα ένα λίτρο πόσες επιπρόσθετες ημερίσεις μετρήσεις πρέπει να κάνουμε. Πόσο είναι αυτό το εύρος εάν κάνετε εδώ τις πράξεις. 8 μιλινδύο 4, 8 από 5 7, 4,74, καλά είναι. Άρα το εύρος εδώ είναι 4,74, το W1 ας το πούμε είναι 0,474. Γιατί γελάτε ρε. Και εγώ θέλω να το μειώσω τώρα σε ένα νέο W που να είναι 0,2 το εύρος. Αυτό δεν μου λέει να το μειώσω σε 0,2 το ερώτημα είναι πόσες παρατηρήσεις πρέπει να πάρω. Η μίωση είναι αρκετά μεγάλη έτσι κάτω από το μισό πρέπει να το μειώσω. Άρα καταλαβαίνω ότι θα πάω σε πολλές παρατηρήσεις αφού θέλω να το μειώσω τόσο πολύ. Μιχάλη νομίζω μαζί το κάνουμε το μάθημα σήμερα. Οπότε θα πάρω το πρώτο τύπο με την τυπική κανονική κατανομή. Τι λέει λοιπόν αυτός ο τύπος ότι να θεωρήσω το διάστημα εμπιστοσύνης επειδή θα έχω μεγάλο δείγμα άγνωστη διάσκορα να πάω σε αυτόν τον τύπο. Αν πάρω αυτό να το λύσω ως προς το εύρος τι θα έχω ότι δύο φορές αυτό μου κάνει το εύρος. Άρα λοιπόν το W είναι δύο φορές το Ζ του 1 μίον α δεύτερα επί το S διαρίζα N. Και λύνοντας αυτό ως προς N είναι στον παρονομαστή θα πάει από την άλλη μορδιά στον αριθμητή. Το W θα κατέβει κάτω στον παρονομαστή. Τα άλλα θα μείνουν όπως είναι. Και όλο αυτό θα πάει στον τετράγωνο γιατί εδώ είχα τη ρίζα του N. Και παίρνω λοιπόν αυτόν τον τύπο. Και αν κάνουμε εδώ πέρα μια αντικατάσταση στα νούμερα. Τώρα δεν θα τα γράψω όλα έχω το 2 εδώ. Το Ζ του 1 μίον α δεύτερα που είναι το 1,96. Το S που είναι το 0,430. Το W που είναι το 0,2. Εάν τα βάλω όλα στον τύπο εδώ πέρα θα βρω ότι χρειάζομαι 38 παρατηρήσεις. Όχι, κάποιο λάθος έχει εδώ. Το 38 δεν είναι σωστό. Όποιος έχει κομπιουτεράκι ας το κάνει. Γιατί λάθος το έγραψα εδώ πέρα δεν είναι 38. Ας το κάνει. Ίσως να είναι κάπως το 78 μάλλον είναι. Κάπου στ'ακεί πρέπει να είναι. Αλλά αν το κάνει κάποιος θα μας δώσει το ακριβές νούμερο. Αυτό είναι με την τυπική κανονική κατανομή. Αν όμως θέλει... Ναι. Γιατί λέω ότι το διάστημα εμπιστοσύνης από το οποίο θα πάω να το πάρω επειδή θεωρώ ότι θα είναι μεγάλο το μέγεθος του δείγματος. Άρα θα πάω σε αυτό. Ποιο είναι το εύρος αυτό του διάστηματος. Δύο φορές το σύμπλιν του. Έτσι, λοιπόν, το εύρος, το W που το έχω ονομάσει, το καινούριο που ψάχνω, θα είναι δύο φορές το σύμπλιν του. Αυτός λέει ότι ο τύπος δεν υπάρχει στον τυπολόγιο. Το βγάζεις απευθείας από το διάστημα εμπιστοσύνης. Τώρα, στην περίπτωση που θα πάω στη Student, για τη Student την κατανομή, θα έχω το W να είναι δύο φορές... Απλά εδώ, αντί για να έχω το Ζ, έχω το Τ, με ν-1 βαθμούς ελευθερίας, ένα μίον α' δεύτερα, με π πάλι σίγμα S δια ρίζα R. Και αν λύσω αυτό ως προσέν, θα έχω δύο επί την τιμή τη Student, επί το S, διά το W και όλο στο τετράγωνο. Εδώ, λοιπόν, τώρα, θα βάλω την τιμή που έχω τη Student, την αρχική, για το αρχικό μου δείγμα, το μικρό, που την είχα βρει εδώ πέρα το 2,145, δηλαδή η τιμή τη Student για 14-15 μίον 1 βαθμούς ελευθερίας και 0,975, ήταν 2,145. Και για αυτή την περίπτωση, αντικαθιστώντας τον τύπο, για να μην γράφω όλα, η τιμή του 1 που εκτιμάω εδώ πέρα, μετά από πράξεις, είναι 85. Έρχομαι, λοιπόν, τώρα και βάζω για 85, άρα, λοιπόν, 84 βαθμούς ελευθερίας και 0,975. Θα πρέπει να βρω τη τιμή από την πίνακα τη Student, μόνο που εδώ, στον πίνακα τη Student, δεν έχω όλα τα νούμερα, δεν υπάρχει αυτή η καλή ανάλυση εδώ πέρα, για όλους βαθμούς ελευθερίας, γιατί μετά το 30, αυξάνει κατά 10 και μετά κατά περισσότερο. Άρα, εδώ πέρα που θέλω εγώ, 84, το 84 είναι μεταξύ του 60 και του 120. Για 0,975 σας θυμίζω ότι είναι η τρίτη στήλη, αυτή εδώ. Άρα, η τιμή που ψάχνω εγώ, είναι κάπου μεταξύ του 2 και του 1,98. Πιο κοντά στο 2, γιατί είναι πιο κοντά στο 60 το 84, παρά στο 120. Άρα, θα είναι κάπου εκεί στο 1,99 και κάτι. Δεν έχω την τιμή εδώ πέρα γραμμένη, μπορείτε να τη δείτε πόσο θα είναι. Είναι 1,99 και κάτι. Και αν κάνουμε τις πράξεις, εδώ θα βγάλουμε την τιμή να είναι 73. Για 85 λοιπόν που είχαμε, στην επόμενη επανάληψη μας πήγε στο 73. Ξανακάνουμε το ίδιο, δηλαδή θα βάλουμε την τιμή του τε για 73-1, δηλαδή 72. Η τιμή που έχουμε για το 72 είναι και αυτή πολύ κοντά στο 1,99. Και αυτό έχει σαν αποτέλεσμα να βγάλουμε πάλι το 73. Άρα, έχει συγκλίνει η επαναληπτική αυτή διαδικασία. Και η απάντηση που έχουμε είναι ότι το μέγεθο του δείγματος, το πλήθος των παρατηρήσεων που θέλουμε είναι 73. Κατανοητά? Ωραία. Ωχ, γιατί το κλείσω αυτό, θα μου χρειαστεί. Δεν έβρεπε να το κλείσω. Λοιπόν, θα προχωρήσουμε τώρα και στη συνέχεια της άσκησης. Αυτή η άσκηση συνεχίζει. Πόσο μεγάλη είναι αυτή η άσκηση ρε. Είναι επαναληπτική άσκηση. Ωπ, όχι τρία, λάθος. Λοιπόν, τώρα μας λέει ότι μπαίνει στο παιχνίδι και ένα δεύτερο ποτάμι. Έχουμε λοιπόν και ένα δεύτερο ποταμό, που πήγαμε και κάναμε την ίδια δουλειά, πήγαμε και μετρήσαμε στο δεύτερο ποτάμι πάλι, τη συγκέντρωση του διαλυμένου οξυγόνου. Και αυτό το κάναμε 12 μέρες. Όχι όπως πριν που το είχαμε κάνει σε 15 μέρες. Τώρα το κάναμε σε λιγότερες μέρες. Έχουμε λοιπόν 12 μόνο παρατηρήσεις. Και το ερώτημα εδώ πέρα, μας λέει να βρούμε το 95% διάστημα επιστοσύνης για τη διαφορά των μέσων συγκεντρώσεων του διαλυμένου οξυγόνου. Άρα αφού θα χρειαστεί να βρω και για το δεύτερο, θα έρθω λοιπόν να κάνω την ίδια δουλειά που έκανα και εδώ. Να υπολογίσω τους 5 αριθμούς. Μάλλον τους 2 δεν χρειάζεται να τους υπολογίσουμε. Είναι μικρότερο και μεγαλύτερο. Να κάνω το θηκόγραμμα, βρούμε τα στατιστικά και να προχωρήσουμε. Λοιπόν, άρα αν αυτό είναι το χ1, που είναι το διαλυμένο οξυγόνο για το πρώτο ποτάμι, θα έχουμε και ένα δεύτερο χ2, που είναι για το δεύτερο ποτάμι. Και παίρνω πάλι τα νούμερα και τα βάλω σε μια αύξησα σειρά. Ξεκινάω από το 1,5. 1,9. 2 δεν υπάρχει, ε? 2,1. Και πάλι 2,1. 2,2 δεν έχει, παιδιά. 2,3 και πάλι 2,3. Τι έχει, ρε παιδιά? Παιδιά, μη με μπερδεύετε. Ούτε 2,4 βλέπω να έχει. Έχει 2,5. 2,6. Έχει δύο φορές το 2,6. 2,7. 2,9. Και 3,1. Εντάξει, είναι 12 οι παρατηρήσεις. Άρα το 1 το βάζω τώρα να είναι 15 και το 1,2 να είναι το 12, όπου ένα 1 είναι το μέγεθος του πρωτοδείγματος, ένα 2 το δεύτερο. Άρα εδώ έχω λοιπόν τώρα 12 παρατηρήσεις. Ποια είναι οι διάμεσες εδώ, αφού είναι 12 οι παρατηρήσεις. Είναι άρτιο το πλήθος. Θα έχω δύο κεντρικές παρατηρήσεις στη θέση 6 και 7. 1,2,3,4,5,6. Άρα μεταξύ της θέσης 6 και 7 η διάμεσος λοιπόν είναι το 2,4. Και η αριστερή μεσχωρείται το πρώτο τρατημόριο. Για να το βρω θα ξεκινήσω από την ελάχιστη τιμή μέχρι την αριστερή κεντρική. Εδώ έχω μία 2,3,4,5,6. Άρα θα πάρω πάλι μεταξύ της τρίτης και της τέταρτης για να μου δώσει το Q1, που εδώ είναι το 2,1. Και το ίδιο κάνω για την άλλη εξάδατη μεγάλη. Και εδώ θα είναι μεταξύ αυτόν τον 2, άρα το Q3 είναι 2,65. Και έχοντας αυτές τις πέντε τιμές, πέντε αριθμούς πάω να σχηματίσω και το θηκόγραμμα για το δεύτερο δείγμα. Το 2 εδώ πέρα. Ξεκινάει λοιπόν από το 1,5, με μία γραμμούλα που πάει μέχρι το 2,1. Στο 2,1 ξεκινάει η θήκη που πηγαίνει μέχρι το 2,65. Και από το 2,65 μέχρι το 3,1 έχουμε την άλλη γραμμή και η διάμεσος είναι στο 2,4, δηλαδή κάπου εδώ. Και αυτό το θηκόγραμμα έχει πάρα πολύ καλή συμπεριφορά. Βλέπουμε ότι έχει απόλυτη συμμετρία και εδώ. Κάτι γραμμούλα ίσως είναι λίγο πιο μεγάλη από την πάνω, αλλά δεν έχουμε σημαντικές διαφορές. Και το εύρος φαίνεται να είναι τόσο μεγάλο. Και το εύρος φαίνεται να είναι το ίδιο, δηλαδή μεταβλητό. Όπως βλέπουμε από το άνοιγμα των κουτιών φαίνεται να είναι ίδια. Και μάλιστα άμα πάμε τώρα να μετρήσουμε την μέση τιμή. Βάζω τα συμπαδάκια 1 για τα πρώτα και βάζω 2 για τα δεύτερα. Η δεύτερη μέση τιμή είναι 2,383. Είναι λίγο πιο ψηλά από την πρώτη. Όπως και η διάμεσος είναι 2,4 ενώ η προηγούμενη ήταν 2,02. Δεν μεγαλώνει και αυτή. Η διασπορά εδώ πέρα είναι 0,198. Και η τυπική απόκλυση, το S2, είναι 0,445. Άρα για το πρώτο δείγμα είχαμε 0,43, για το δεύτερο έχουμε 0,44 και 0,5. Τα πράγματα δηλαδή δεν διαφέρουν εδώ πέρα. Βλέπετε ότι η διασπορά είναι παραμονώ ως προς την μεταβλητότητα παρά μόνο ως προς το κέντρο. Τα λέω λίγο γρήγορα. Βαρεθήκατε λίγο. Τι μου λέει τώρα. Να βρω διάστημα εμπιστοσύσης για τη διαφορά των μέσων τιμών. Και πρώτα, ας το ονομάσω πάλι ένα αυτό, πρώτα να θεωρήσω ότι η διασπορά είναι γνωστή και ίδια για τα δύο δείγματα. Άρα έχω, η διασπορά για τον πρώτο ποταμό είναι ίδια με τη διασπορά για το πρώτο ποταμό. Το πρώτο ποταμό είναι ίδια με τη διασπορά για το δεύτερο ποταμό. Είναι μια κοινή διασπορά και τη θεωρώ ότι είναι αυτή που είχα από την παλιότερη μελέτη, το 0,1. Είμαι λοιπόν στην περίπτωση όπου έχω ίδια διασπορά, γνωστή διασπορά και κανονικές κατανομές. Άρα λοιπόν, για να βρω την εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης για το μη 1 μη μη 2, θα πάω σε αυτόν εδώ τον τύπο. Γιατί αυτό το 1 ο πρώτος τύπος είναι για γνωστές διασπορές εδώ, που είτε έχουμε μεγάλα δείγματα που δεν είναι η περίπτωσή μας, είτε κανονικές κατανομές που το δείξαμε με τα θηκογράμματα. Παίρνω λοιπόν αυτόν τον τύπο και κάνω αντικατάσταση. Και αφού μου λέει 95% διάστημα εμπιστοσύνης, θα έχω σε αυτόν τον τύπο τη διαφορά των μέσων όρων, ας τη γράψω εδώ πέρα, ποια είναι η διαφορά των μέσων όρων, 2,02 μίον 2,383. Αυτό είναι μίον 0,363. Άρα είναι μίον 0,363, συμπλήν την τιμή του ζ, αλλά επειδή μιλάω για 95% διάστημα εμπιστοσύνης, να μην το ξανακάνω, η πιθανότητα που έχω για 95% διάστημα εμπιστοσύνης είναι το 0,975 και είχαμε βρει ότι για 0,975 η τιμή του ζ είναι το 1,96. Ο τύπος μου λέει εδώ να βάλω σίγμα 1 τετράγωνο και σίγμα 2 τετράγωνο, αλλά εδώ το σίγμα 1 και το σίγμα 2 τετράγωνο είναι ίδιο, μπορούν να βγουν κοινός παράγοντας και να μπουν έξω από τη τετραγωνική ρίζα, δηλαδή να είναι η ρίζα του 0,1 επί τη ρίζα του 1,25 συν 1,12. Και άρα το διάστημα εμπιστοσύνης σε αυτή την περίπτωση, εάν κάνουμε τις πράξεις, βγαίνει να είναι από μειον 0,603 με μειον 0,123. Τι συμβαίνει τώρα εδώ, βρήκαμε αρνητικό διάστημα. Τι συμπερένουμε για την ποιότητα του νερού, πού είναι καλύτερο το νερό, πού είναι η μέση συγκέντρωση διαλυμένου οξυγόνου πιο μεγάλη, στο πρώτο ή στο δεύτερο ποτάμι, στο δεύτερο, επειδή είναι αρνητικό, αν ήταν από τα αρνητικά στα θετικά, θα λέγαμε ότι η διαφορά τους μπορεί να είναι και μηδέν, άρα δεν υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά. Παρόλο που μπορεί να φαίνεται από εδώ, μπορεί και να μην υπήρχε. Βέβαια, αν ήταν λίγο πιο χαμηλά, έτσι. Ναι, λέω ότι όταν βρίσκουμε ένα τέτοιο διάστημα εμπιστοσύνης για διαφορά μέσων τιμών, το ερημηνεύουμε ως εξής, εάν πηγαίνει από τα αρνητικά στα θετικά, αν περιέχει το μηδέν, τότε τι μας λέει αυτό. Αυτό είναι το διάστημα εμπιστοσύνης που μου λέει που θα βρίσκεται αυτό εδώ, η διαφορά των μέσων τιμών. Αφού πηγαίνει από τα αρνητικά στα θετικά, μπορεί να είναι και μηδέν η διαφορά. Άρα, λέμε ότι δεν διαφέρουν με στατιστική σημαντικότητα, ή μέση στη μέση, όταν πηγαίνει από τα αρνητικά στα θετικά. Όμως που πηγαίνει από τα αρνητικά στα αρνητικά, σημαίνει ότι πάντα η διαφορά είναι μικρότερη από το μηδέν. Άρα, τι σημαίνει ότι το μη ένα είναι μικρότερο από το μη δύο. Άρα, η μέση συγκέντρωση του διαλυμμένου οξυγόνου στο πρώτο ποτάμι είναι πιο χαμηλά από το δεύτερο. Πόσο πιο χαμηλά, κάπου μεταξύ μηδέν ένα με μηδέν έξι χοντρικά. Μιλιγκραμ, αναλύττρου. Στο δεύτερο ερώτημα τώρα, μας λέει να χρησιμοποιήσουμε τις εκτιμήσεις των διασπορών από τα δείγματα. Όταν εγώ όμως είχα κάνει τα θυκογράμματα εδώ, και είδα ότι τα κουτάκια αυτά που έχουν του 50% των κεντρικών παρατηρήσεων, το ενδοτεταρτομωριακό εύρος που το λέμε, είναι περίπου το ίδιο. Οι τυπικές αποκλήσεις είναι περίπου οι ίδιες. Άρα, μπορώ να υποθέσω, επειδή έχω ότι και οι διασπορές είναι περίπου ίδιες, δεν διαφέρουν πολύ, μπορώ να υποθέσω ότι και οι διασπορές, όχι μόνο οι δειγματικές, αλλά και οι πραγματικές διασπορές θα είναι ίδιες, αλλά δεν γνωρίζω αυτήν την άγνωστη διασπορά. Δηλαδή, έχουμε κοινή διασπορά και για τα δύο ποτάμια, στη συγκέντρωση του διαλυμένου οξυγόνου, αλλά άγνωστη. Και λέω τώρα πώς θα εκτιμήσω αυτό το σίγμα τετράγωνο. Εδώ έρχεται το S τετράγωνο, που είναι η εκτίμησή του, που δεν υπάρχει ο τύπος σε τυπολόγιο για αυτό. Ο τύπος τι λέει, σας το είχα πει και την άλλη φορά, αν θέλετε να κάνετε την απλή προσέγγιση, πάρτε τις δύο διασπορές που έχετε από τα δύο δείγματα και πάρτε τον μέσο όρο τους. Δηλαδή, θα έπαιρνε κάποιος κάτι τέτοιο. Αυτό εδώ. Εάν δεν θυμάστε τίποτα άλλο, πάρτε αυτό, δεν χάλασε ο κόσμος. Αυτό εδώ παιδιά, πόσο θα ήταν εκείνη η διασπορά, μπορεί κάποιος να υπολογίσει από αυτά τα δύο. 0,185, 0,198 ο μέσος όρος. Η διαφορά τους εδώ είναι 13, δεν είναι. Άρα 7,5, άμα προσθέσω 7,5 στο 185, θα έχω 0,192,192,5. Αυτός θα ήταν ο μέσος όρος. Επειδή όμως εδώ τα δείγματα δεν έχουν το ίδιο μέγεθος, μπορώ να σταθμίσω το μέσο όρο με το μέγεθος των δειγμάτων και ο σωστός τύπος λέει να μην τα σταθμίσει με το μέγεθος των δειγμάτων, αλλά με το μέγεθος των δειγμάτων μειών 1, δηλαδή με τους βαθμούς ελευθερίας. Και είναι αυτός εδώ ο τύπος. Και αν κάνουμε τώρα αντικατάσταση εδώ πέρα στα νούμερα, έχουμε 14 η βαθμή ελευθερίας για το πρώτο δείγμα. Το S1 τετράγωνο είναι το 0,185, συν 11 για το δεύτερο, επί 0,198 που είναι η διασπορά του, η δειγματική. Βαθμή ελευθερίας για το πρώτο δείγμα. Το S1 τετράγωνο είναι το 0,185, συν 11 για το δεύτερο, επί 0,198 που είναι η διασπορά του, η δειγματική. Δια 15 συν 12 μειών 2 είναι 25. Και αν κάνουμε τις πράξεις εδώ πέρα, βρίσκουμε ότι η κοινή διασπορά δεν είναι 0,192,5 που λέγαμε, αλλά είναι 0,190. Για αυτό λέω ότι δεν χάλασε και ο κόσμος. Η διαφορά θα ήταν αν έπαιρνες τον απλό μέσο όρο, θα έχεις εδώ πέρα στο τρίτο δεκαδικό ένα διάρι. Λοιπόν, αυτή είναι η κοινή διασπορά. Η τετραγωνική της ρίζα είναι αυτό που θα χρησιμοποιήσουμε εδώ στον τύπο. Και αυτός είναι ο τύπος που παίρνουμε, γιατί έχουμε άγνωστες διασπορές, μικρό δείγμα, αλλά κανονικές κατανομές. Και επειδή και οι άγνωσες διασπορές είναι περίπου ίδιες, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον τύπο. Και κάνω πλέον αντικατάσταση εδώ πέρα. Η διαφορά των μέσων όρων που είναι στο κέντρο είναι το μίον 0,363. Και θα χρειαστώ τώρα και την κρίσιμη τιμή της student, αλλά για τους βαθμούς ελευθερίας που λέει εκεί, 1,1 συν 1,2 μιον 1, το οποίο είναι 25. Άρα θα πάω στον πίνακα της student. Ναι. Πόσο? Ναι, είναι 15 συν 12 μιον 2. Α, μιον 2, όχι μιον 1, με συγχωρείτε παιδιά. Ναι. Μιον 2 είναι και δεν είναι μιον 1. Είναι το άθροισμα των δύο βαθμών ελευθερίας. Ναι. Άρα θα πάω στη γραμμή 25 τώρα, η οποία υπάρχει εδώ πέρα. Και στην τρίτη στήλη, γιατί μιλάω πάλι για ένα μιον α δεύτερα που είναι 0,975. Άρα στη γραμμή 25 είναι το 2,06. Αντικαθισθώ λοιπόν εδώ πέρα το 2,06. Επί το S που είναι η εκτίμηση της κινής τυπικής απόκλυσης, δηλαδή η ρίζα αυτού που βρήκα πριν, η ρίζα του 0,190. Επί το 1,215 συν 1,212. Και αν κάνουμε τις πράξεις εδώ πέρα, θα βρούμε το διάστημα εμπιστοσύνης να είναι από μίον 0,711 μέχρι μίον 0,015. Πάλι είναι όλο αρνητικό, ολόκληρο αρνητικό, άρα το συμπέρασμα είναι ίδιο με πριν. Ναι. Εκεί πέρα θεωρήσαμε ότι οι διασπορές είναι οι ίδιοι για να σκουμπίσουμε το τύπο 3. Ναι, ναι. Γιατί εδώ πέρα στον τρίτο τύπο, δεν μπορούμε να προχωρήσουμε αν δεν θεωρήσουμε και οι ίδιες διασπορές, γιατί βγάζουμε μια εκτίμηση εδώ για την κινή διασπορά. Αν είχαμε μεγάλο δείγμα ακριβώς μπορούσαμε να πάρουμε το 2. Τώρα στο SPSS υπάρχει ένας τύπος για άνησες διασπορές. Δεν τον έχουμε κάνει όμως. Απλά γίνονται πιο σύνθετα τα πράγματα. Το μάθημα είναι αρκετά εισαγωγικό. Δεν μπορούμε να καλύψουμε όλα τα θέματα. Και να μη σας κουράζουν και πολύ. Έχετε ερωτήσεις? Να μη σας κουράζουν και πολύ. Το κλείσουμε εδώ. Λοιπόν. Αύριο μία η ώρα, μία η ώρα μάθημα, θα κάνουμε το τελευταίο κεφάλαιο. Είναι αρκετά σημαντικό. Και την επόμενη πέμπτη, στις μία η ώρα πάλι, μία και τέταρτο όταν λέμε μία η ώρα, θα κάνουμε επαναληπτικές ασκήσεις.