Συνάρτηση Χρησιμότητας-Συγκριτική Στατική Ανάλυση / 15η διάλεξη - Βαρσακέλης Νικόλαος (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2013)
15η διάλεξη: Λοιπόν, είχαμε ξεκινήσει την προηγούμενη φορά την αριστοποίηση της συμπεριφοράς του καταναλωτή, χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση χρησιμότητας. Παρακαλώ να κάνετε ησυχία, δεν έχω καμιά όρεξη να πάθω φαριγκίτηδα. Χρησιμοποίησαμε, τώρα μόλις το είπα, χρησιμοποίησαμε την συνάρτηση χρησιμότητας μαζί με τον ισοδηματικό περιορισμό, προκειμένου να εξετάσουμε πώς ένας καταναλωτής πια με τη συνάρτηση χρησιμότητας επιλέγει τις συγκεκριμένες ποσότητες. Έτσι λοιπόν είχαμε μία γενική συνάρτηση χρησιμότητας και είχαμε τον περιορισμό ότι η δαπάνη δεν πρέπει να ξεπερνάει το ισόδημα του καταναλωτή, το γενικεύω τώρα στα νύα αγαθά. Από αυτές τις δύο εξισώσεις από τη συνάρτηση χρησιμότητας και την εξίσωση του προϋπολογισμού, είχαμε την συνάρτηση Lagrange, δηλαδή αλλάξαμε τον χώρο στον οποίο δουλεύουμε, εισάγαμε ακόμα μία διάσταση στον χώρο, την διάσταση του πολλαπλασιαστή Lagrange και συνεπώς το πρόβλημα από αριστοποίηση της συνάρτησης υπό τον περιορισμό μετατράπηκε πια σε μία άλλη διάσταση σε ένα απλό πρόβλημα αριστοποίησης της συνάρτησης Lagrange. Συνεπώς το πρόβλημά μας πια είναι να μεγιστοποιήσουμε τη συνάρτηση Lagrange ως προστοχιά και τα λάνδα. Από την διαδικασία της αριστοποίησης προκύπτουν οι συνθήκες πρώτης τάξης. Άρα έχουμε ένα, γράφω τώρα εδώ πάνω, σύστημα ν συν ένα, συγνώμη, έχουμε ένα σύστημα ν συν ένα εξισώσεων με ν συν ένα αγνώστους που είναι τα χι Άι και το λάνδα. Από αυτές τις εξισώσεις προκύπτουν πλέον οι συναρτήσεις ζήτησης, αποτέλεσμα είναι οι συναρτήσεις ζήτησης. Δηλαδή το χι Άι αστεράκι είναι συνάρτηση του εισοδήματος και των τιμών των αγαθών. Μιλάμε για συναρτή συζήτησης γιατί δεν έχουμε μόνο μία τιμή, οι τιμές μεταβάλλονται άρα θέλουμε να ξέρουμε πως ο καταναρωτής αντιδρά σε κάθε επίπεδο της τιμής. Δεν έχουμε ένα μόνο εισόδημα, έχουμε αρκετά εισοδήματα άρα θέλουμε να ξέρουμε ο καταναρωτής πως αντιδρά σε κάθε επίπεδο εισοδήματος. Άρα έχουμε μία συναρτήση για κάθε αγαθό που συνδέει το εισόδημα τις τιμές με την ζητούμενη ποσότητα. Άρα από αυτή την ανάλυση προκύπτει, όπως το δείξαμε στο παράδειγμα που είχαμε κάνει, ότι η συναρτή συζήτησης του αγαθού 1 είναι ίση με 1 προς 2 π.1, ένας τύπος συναρτήσης. Εδώ μας δείχνει πως εξαρτάται η ζητούμενη ποσότητα του αγαθού από την εκάστοτε τιμή του συγκεκριμένου αγαθού. 1. Αρνητική συσχέτηση. Άρα είναι κανονικό ή κατώτερο το αγαθό έτσι όπως το βγάζουμε εδώ πέρα. Στο παράδειγμα που κάναμε χθες είναι κανονικό ή κατώτερο αλλά όχι Giffen, εφόσον είναι στον παρονομαστή το πρόσημο είναι αρνητικό. Το εισόδημα έχει θετικό πρόσημο, πάει να πει ότι το αγαθό πλέον είναι κανονικό αγαθό. Αυτό είναι το πιο ενδιαφέρον αποτέλεσμα το οποίο έχουμε, δηλαδή ότι οι συναρτή συζήτησες τις οποίες έχουμε πλέον στον πραγματικό κόσμο έχουν προέλθει μέσα από μια συναρτήση χρησιμότητας και για να το δούμε λίγο αυτό το πράγμα. Υπολογίστηκε ότι η κατανάλωση των τσιγάρων είναι συναρτήση, δηλαδή η ζητούμενη ποσότητα, η ζήτηση για τσιγάρα είναι συναρτήση του εισοδήματος, είναι συναρτήση της τιμής των τσιγάρων, είναι η συναρτήση της τιμής των πουρων. Τα πρόσηματα τα οποία βρήκαμε τώρα, δηλαδή εδώ μιλάμε τώρα για πραγματικές συναρτήσεις, ζήτησης που βρήκαμε χρησιμοποιώντας δεδομένα από το πραγματικό κόσμο, χρησιμοποιώντας στατιστικά, στοιχεία και στατιστική ανάλυση που κάνετε με τον κ. Αιμανουλίδη, αυτά τα οποία θα κάνετε βέβαια στο δεύτερο εξάμινο. Αλλά δεν πειράζει, χρησιμοποιώντας στατιστικές μεθοδολογίες, τελικά αυτήν την συναρτήση ζήτησης για τα τσιγάρα, την βρήκαμε ότι είναι κάπως έτσι. Το πρόσημο εδώ ήταν αρρητικό, άρα το M πάει στον παρονομαστή στην ουσία, δηλαδή αν ήταν ένα κλάσμα το M πάει στον παρονομαστή. Τι σημαίνει ότι το πρόσημο είναι αρνητικό του M, δηλαδή αν ήταν μια γραμμική συναρτήση θα ήταν η ζήτηση είναι ίση, ας βάλουμε έναν σταθερό, μια σταθερά, μίον β΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄ Τι λέγατε για αυτό το αγαθό, για τα τσιγάρα, αυτά είναι πραγματικά δεδομένα, άρα είναι κατώτερο αγαθό, το τσιγάρο είναι κατώτερο αγαθό, δηλαδή με δεδομένα που πήραμε από ομάδες του πληθυσμού με ένα αντιπροσωπευτικό δείγμα μάλλον του πληθυσμού, 10.000-20.000 άτομα και μετρήσαμε τη συμπεριφορά τους, βρήκαμε ότι το πρόσημο εδώ είναι αρνητικό, που σημαίνει ότι όσο ανεβαίνει το βιωτικό επίπεδο των ανθρώπων, των κατανάλωτων, τόσο μειώνεται η κατανάλωση των τσιγάρων, δηλαδή τόσο μειώνεται το κάπνισμα. Άρα το τσιγάρο είναι ένα κατώτερο αγαθό, αυτοί που έχουν χαμηλότερα εισοδήματα καπνίζουν περισσότερο σε σχέση με αυτούς που έχουν υψηλότερα εισοδήματα, αυτά είναι πραγματικά δεδομένα, δεν είναι παράδειγμα εδώ πέρα το οποίο έχουμε στον πίνακα, έτσι από πραγματικά δεδομένα βγάλαμε ότι το πρόσημο είναι αρνητικό. Επίσης βγάλαμε ότι το πρόσημο της τιμής των τσιγάρων, εξειδικεύουμε τώρα τη συναρτή συζήτηση που έχουμε βγάλει από εκεί, δείτε τώρα τι βγάλαμε για την προτίμηση, δηλαδή τι συμπέρασμα βγάλαμε από τη συναρτή συζήτηση, βγάλαμε ότι ο μέσος τυπικός καταναλωτής έχει ένα σύστημα προτιμήσεων, η συναρτή συ χρησιμοτητάς του, το οποίο λέει ότι το τσιγάρο είναι κατώτερο αγαθό, θεωρούν δηλαδή οι καταναλωτές ότι το τσιγάρο είναι κατώτερο αγαθό, ο μέσος τυπικός καταναλωτής θεωρεί το τσιγάρο ως κατώτερο αγαθό. Εδώ μιλάμε τώρα για τη δεκαετία του 90 και του 2000, ενδεχομένως εάν κάναμε την ίδια ανάλυση στη δεκαετία του 50 και του 60 να βγάζαμε διαφορετικά αποτελέσματα, ενδεχομένως τότε το κάπνισμα να συμβάδιζε με το βιωτικό επίπεδο, δηλαδή όσο περισσότερο ανεβαίνει το εισόδημά μου, τόσο περισσότερο καπνίζω, ενδεχομένως. Πάντως για τη χρονική περίοδο που έγινε η μελέτη το πρόσιμο είναι αρνητικό. Δεν έφτασα ακόμα εκεί, μισό λεπτάκι, μιλάει για το πούρο, ακόμα δεν έχουμε φτάσει στο πούρο. Είμαστε αυτή τη στιγμή στο εισόδημα, άρα αυτό το οποίο μου λέει εδώ πέρα είναι ότι είναι οι προτιμήσεις των καταναρωτών θεωρούν το τσιγάρο ως κατώτερο αγαθό. Δεύτερο, βγάλαμε ότι η τιμή έχει αρνητικό πρόσιμο, δηλαδή όσο ανεβαίνει η τιμή του τσιγάρου, τόσο μειώνεται η κατανάλωση. Άρα, όπως θα δούμε αργότερα, εδώ παίζει σημαντικό ρόλο και πόσο, δηλαδή αν το γ αυτό εδώ είναι μικρό ή αν είναι μεγάλο, δηλαδή πόσο βαθιά πάμε στην μετακίνηση των καμπυλών αδιαφορίας, πάλι αυτό εξαρτάται από τις προτιμήσεις. Και το τελευταίο είναι ότι το πρόσιμο του συντελεστή των πούρων, της τιμής των πούρων είναι θετικό, δηλαδή όταν ανεβαίνει η τιμή των πούρων, ανεβαίνει η τιμή, η ζητούμενη ποσότητα των τσιγάρων. Άρα, όταν αυξάνει η τιμή των πούρων, ο καταναλωτής υποκαθιστά τα πούρα με τσιγάρα. Με άλλα λόγια, φαίνεται στις προτιμήσεις του καταναλωτή ότι τα πούρα και τα τσιγάρα είναι υποκατάστατα αγαθά. Τα υποκατάστατα αγαθά, όπως έχουμε πει, δεν είναι από τη φύση τους υποκατάστατα, είναι υποκατάστατα στις προτιμήσεις. Δηλαδή, υπάρχουν καπνιστές οι οποίοι δεν θέλουν να μυρίσουν το πούρο. Και υπάρχουν επίσης καπνιστές που δεν θέλουν να μυρίσουν καθόλου το τσιγάρο. Άρα, για αυτά τα συγκεκριμένα άτομα τα δύο αγαθά δεν είναι υποκατάστατα μεταξύ τους, αλλά για τον μέσο τυπικό καταναλωτή φαίνεται στην περίοδο που κάναμε την ανάλυση ότι αυτά τα δύο αγαθά είναι μεταξύ τους υποκατάστατα. Έτσι λοιπόν, από πραγματικές συναρτήσεις συζήτησης, θα κάνουμε μια συζήτηση αργότερα πάνω σε αυτό εδώ, με πραγματικές συναρτήσεις συζήτησης, μπορούμε να βγάζουμε ενδιαφέροντα συμπεράσματα για τις προτιμήσεις των καταναλωτών. Βέβαια, στη μελέτη αυτή η οποία έγινε, εισήχθησαν και κάποιες άλλες παράμετρη για να δούμε πώς αντιδρά ο καταναλωτής σε θέματα όπως το να μπουν προειδοποιητικά μηνύματα στα πακέτα με τα τσιγάρα. Ή ο περιορισμός ή το κόψιμο των διαφημίσεων στα τσιγάρα. Αυτά επηρέασαν αρνητικά ή θετικά την κατανάλωση των τσιγάρων. Σε ορισμένες χώρες ναι, σ' άλλες χώρες όχι. Από αυτό επίσης βγάλαμε το συμπέρασμα ότι καθώς η τιμή παίζει αρνητική, είναι αρνητική συσχέτηση ως προσυζητούμενη ποσότητα, όσο αυξάνουμε την τιμή των τσιγάρων, τόσο μειώνει την κατανάλωση. Άρα, εάν μια κυβέρνηση ενδιαφέρεται για την υγεία των πολιτών της, και αυτό το οποίο έχουμε διαπιστώσει, όλες οι ιατρικές ερευνήσεις έχουν διαπιστώσει, ότι λίγο ή πολύ το κάπνισμα βλάπτει. Αν λοιπόν μια κυβέρνηση ενδιαφέρεται για την υγεία των πολιτών της, τότε ένα από τα μέτρα πολιτικής τα οποία μπορεί να πάρει είναι να αυξήσει σημαντικά την τιμή των τσιγάρων. Αυξάνοντας σημαντικά την τιμή των τσιγάρων, θα δούμε αργότερα βάζοντας και την ελαστικότητα μέσα, αυξάνοντας την τιμή των τσιγάρων, εκεί που θα αγόραζες δύο πακέτα, αγοράζεις ένα. Καλό σου κάνει. Κακό δεν σου κάνει. Όπως επίσης αυτό το θέμα με τα προειδοποιητικά, σε ορισμένες χώρες έπαιξε σημαντικό ρόλο. Βέβαια εξαρτάται από την ένταση του προειδοποιητικού. Όπως επίσης έπαιξε σημαντικό ρόλο ο περιορισμός της διαφήμισης. Σχεδόν σε όλες τις χώρες πλην Ελλάδος, η Ελλάδα είναι μια Swiss Generis χώρα, σε όλες τις χώρες που σταμάτησαν οι διαφημίσεις των τσιγάρων, περιορίστηκε η κατανάλωση. Εκτός σε όλες τις χώρες της Δύσης, σε όλες τις χώρες του ΟΣΑ, περιορίστηκε η κατανάλωση των τσιγάρων. Εκτός από την Ελλάδα. Οι διαφημίσεις για τα τσιγάρα έχουν καταργηθεί στη χώρα μας εδώ και 10-15 χρόνια. Δεν υπάρχουν διαφημίσεις για τα τσιγάρα. Παρ' όλα αυτά η κατανάλωση των τσιγάρων αυξάνει. Στα παράνομα. Υποθέτω ότι έχουμε ένα οργανωμένο κράτος. Κοιτάξτε, τα τσιγάρα είναι παράνομα. Όταν είναι παράνομα, είναι παράνομα. Εντάξει, άρα με τον Α' ή Β τρόπο τώρα, χρησιμοποιώντας στοιχεία, μπορούμε να εκτιμήσουμε τις συναρτήσεις ζήτησης και το κάνουμε και θα δούμε παραδείγματα εκτιμημένων συναρτήσεων ζήτησης, έτσι ώστε να βγάλουμε συμπεράσματα για τη συναρτήση χρησιμότητας. Τώρα, ένα θέμα το οποίο είχαμε αφήσει αναπάντητο την προηγούμενη φορά είναι το θέμα του τι είναι αυτός ο πολλαπλασιαστής Lagrange. Αυτό το λάμδα. Δηλαδή ξαφνικά εμφανίζεται ένα λάμδα από το πουθενά, το θεωρούμε ως μια μεταβλητή και λέμε αυτή η μεταβλητή έτσι δεν έχει κανένα νόημα. Για να δούμε λοιπόν τι νόημα έχει αυτή η μεταβλητή την οποία στο τέλος βρίσκουμε μια τιμή ή βρίσκουμε μια συναρτήση καλύτερα. Και θα καταλάβετε γιατί λέω ότι είναι συναρτήση. Ας πούμε λοιπόν ότι μεταβάλλεται το εισόδημα, έχουμε ΔΕΛΤΑΜ του εισοδήματος και ότι οι τιμές Pi παραμένουν σταθερές. Συνήθως χρησιμοποιούμε την μπάρα πάνω από μια μεταβλητή για να δείξουμε ότι αυτή η μεταβλητή είναι σταθερή, δεν μεταβάλλεται. Είναι μεταβλητή αλλά την κρατάμε σταθερή. Εντάξει, δηλαδή όταν θα βλέπετε στα οικονομικά μας που θα λύνουμε εδώ πέρα στην μίκρο, στην μάκρο και λοιπά μεταβλητές με την μπάρα από πάνω είναι μεταβλητές οι οποίες όμως κρατιούνται σταθερές. Δεν τις αφήνουμε να μεταβληθούν. Έχουμε λοιπόν μεταβολή του εισοδήματος και οι τιμές των προϊόντων παραμένουν σταθερές. Για να δούμε λοιπόν αυτή η μεταβολή του εισοδήματος τι προκαλεί. Παίρνουμε τη Lagrange και λέμε, έτσι, τη συνάρτηση Lagrange. u, x, i, sin λ, m, μ, σ, π, i, x, i και λέμε μεταβάλετε το εισόδημα. Άρα θα μεταβληθεί το m. Επειδή θα μεταβληθεί το m, τα x οι ζητούμενες ποσότητες μεταβάλλονται, άρα αυτό θα μεταβληθεί και το x, i εδώ μέσα θα μεταβληθεί, άρα θα μεταβληθεί και το u. Και κατά συνέπεια θα μεταβληθεί, εφόσον μεταβάλλονται κάποιοι παράγοντες εδώ μέσα, θα μεταβληθεί και το l. Άρα λόγω της μεταβολής του m, μεταβάλλονται τα εξής. ΔΕΛΤΑ l, ίσον ΔΕΛΤΑ u, μεταβλήθηκε η χρησιμότητα λόγω της μεταβολής του m, ΣΛΛΑΜΔΑ ΔΕΛΤΑ m, μειον ΣΙγΜΑ πΙ ΔΕΛΤΑ χΙΑΙ. Μεταβλήθηκε το m και προκάλεσε όλες αυτές τις μεταβολές. Όμως γνωρίζουμε ότι η συνολική μεταβολή της χρησιμότητας από το ολικό διαφορικό που κάνατε στα μαθηματικά, ΔΕΛΤΑ u είναι ίσο η μερική παράγωγος του x1 επιντέχει 1, συν τη μερική παράγωγο x2 επιντέχει 2, συν τη μερική παράγωγο x3 επιντέχει 2, εντάξει αυτό είναι το ολικό διαφορικό. Η μερική παράγωγος μας δείχνει πως μεταβάλλεται η εξαρτημένη μεταβλητή όταν μεταβάλλεται μία ανεξάρτητη μεταβλητή και όλες οι υπόλοιπες παραμένουν σταθερές, ενώ το ολικό διαφορικό μας δείχνει πως θα μεταβληθεί η εξαρτημένη μεταβλητή, η u, όταν θα μεταβληθούν ταυτόχρονα όλες ή πολλές περισσότερες από μία ανεξάρτητες μεταβλητές. Άρα η μερική παράγωγος μου λέει, το κάνατε δεν το κάνατε με τον Κεροκιρίτσι, το κάνατε, κάθομαι και εξηγώ τότε. Άρα έχουμε το ολικό διαφορικό εδώ πέρα, θuθi, γράφω εδώ τώρα, θuθi είναι η οριακή χρησιμότητα του αγαθού i. Και έρχομαι τώρα από εδώ. Άρα όπου θx i, θuθi αντικαθιστώ με το μx i, αντικαθιστώ με το ίσον του. Συνεπώς ΔΛ είναι ίσο με σμμu xi δx i, συν λαμδα μμσπi Δx i. Και αν θεωρήσουμε ότι το ΔΛ είναι πολύ μικρό, να το πάρουμε δηλαδή ότι τίνει στο μηδέν, άρα εάν το ΔΛ τότε μιλάμε για παράγωγο, για οριακό, μπορούμε να αντικαταστήσουμε πια τα ΔΛ με Δ, ΔΛ ίσον σσμμu xi Δx i, συν λαμδα dm μμσπi Δx i. Δεν κάνω τίποτα άλλο παρά μόνο αλγευρικές πράξεις, δεν έχει κάτι παράξενο το οποίο κάνουμε εδώ πέρα. Άρα αν βγάλω την παρένθεση από εδώ πέρα, τότε το ΔΛ είναι ίσο με σσμμu xi Δx i, συν λαμδα dm μμσπi Δx i. Βγάλαμε την παρένθεση αριθμητική της τρίτης γυμνασίου, έτσι πώς δουλεύουμε με τις παρενθέσεις. Εάν τώρα από τους πρώτους όρους και τους τελευταίους όρους βγάλουμε κοινό παράγοντα απ' έξω το αντίστοιχο Δx i, μέσα μένει μμσπi Δx i μμσπi Δx i και το άθεσμα πάει απ' έξω. Δηλαδή έβγαλα κοινό παράγοντα τον Δx i, συν λαμδα dm. Προσέξτε λίγο εδώ, έχουμε σσμμu xi Δx i και εδώ έχουμε μλμσπi Δx i. Άρα μπορώ να βγάλω κοινό παράγοντα τον Δx i και απ' τους δυο όρους και μένει στο εσωτερικό μμσπi Δx i και το σίγμα πάει απ' έξω. Όμως γνωρίζουμε από τις συνθήκες πρώτης τάξης στην ισορροπία, στο Άριστο, ότι αυτό είναι ίσο με πόσο, με μηδέν. Στην ισορροπία αυτό είναι ίσο με μηδέν, είναι οι συνθήκες πρώτης τάξης. Αυτό εκεί πέρα είναι οι συνθήκες πρώτης τάξης, άρα είναι μηδέν. Και επειδή αναφερόμαστε στην ισορροπία, θέλουμε να δούμε τι γίνεται στην ισορροπία στο Άριστο, αυτό είναι ίσο με μηδέν. Κατά συνέπεια, από εδώ βγαίνει ότι dL dm είναι ίσο με λ. Το ξαναγράφω από εδώ, dL dm είναι ίσο με λ. Αλλά στην ισορροπία ικανοποιούνται όλες οι συνθήκες και ικανοποιείται και ο ισοδηματικός περιορισμός. Για κοιτάξτε λίγο. Στην ισορροπία ικανοποιούνται οι συνθήκες πρώτης τάξης και ταυτόχρονα επειδή ικανοποιούνται οι συνθήκες πρώτης τάξης, ικανοποιείται και ο ισοδηματικός περιορισμός. Με άλλα λόγια, στην ισορροπία, M ίσον σίγμα ΠΑΙΧΙΑΙ. Έτσι δεν είναι η τρίτη που κάναμε συνθήκη προς τα κάτω. Άρα, στην ισορροπία αυτό είναι ίσο με 0. Άρα, στην ισορροπία ικανοποιείται M ίσον σίγμα ΠΑΙΧΙΑΙ. Εξορισμού. Γιατί κάνουμε αριστοποίηση υπό περιορισμό. Άρα, βρίσκουμε το άριστο και ταυτόχρονα πρέπει να ισχύει ο περιορισμός. Άρα, M ίσον σίγμα ΠΑΙΧΙΑΙ. Εάν λοιπόν ισχύει αυτό, στην ισορροπία, τότε το L γίνεται ίσο με το U. Αν αυτό είναι ίσο με 0, τότε το λ γίνεται ίσο με το U. Κατά συνέπεια, dl dm είναι ίσο με du dm είναι ίσο με λ. Για να το διαβάσουμε λοιπόν αυτό. Είναι μερικοί παράγωγος, διότι κρατήσαμε τα Π σταθερά. Πόσο τα Π, τις τιμές σταθερές, πόσο θα μεταβληθεί η χρησιμοτητα του καταναλωτή, εάν μεταβληθεί το εισόδημα του κατά μία μικρή μονάδα. Άρα αυτό είναι η οριακή χρησιμότητα του εισοδήματος. Το λ, ο πολλαπλασιαστής Lagrange, δεν είναι μια τυχαία μεταβλητή. Ο πολλαπλασιαστής Lagrange μας δείχνει την οριακή χρησιμοτητα του εισοδήματος. Δηλαδή λύνοντας πια το σύστημα των τριών εξισώσεων, επανέρχομαι πάλι στο σύστημα των τριών εξισώσεων, βγάλαμε τη συναρτήση ζήτησης για το χ1, βγάλαμε τη συναρτήση ζήτησης για το χ2 και βγάλαμε και το λ, αστεράκι, τη συναρτήση του λ. Η συναρτήση του λ είναι μια παράγωγος συναρτήση και μας δείχνει πώς μεταβάλλεται η χρησιμότητα του καταναρωτή όταν μεταβάλλεται το εισόδημά του. Αυτό έχει πολύ σημαντική πολιτική σημασία. Δηλαδή αν θα θέλαμε ως κράτος, ως επιχείρηση να γνωρίζουμε τι γίνεται θα έπρεπε σε κάθε μέτρο πολιτικής που αφορά το εισόδημα και θα κάνουμε ένα παράδειγμα στη συνέχεια σε κάθε μέτρο πολιτικής που αφορά την εισοδηματική πολιτική να σκεφτόμαστε την επίδραση που έχει η μεταβολή του εισοδήματος πάνω στη χρησιμότητα των κατανατών. Δηλαδή πάνω στην ευημερία. Στην ουσία το λάμδα μας δείχνει την επίδραση του εισοδήματος, της μεταβολής του εισοδήματος πάνω στην οικονομική ευημερία των καταναρωτών. Αυτό είναι. Είναι η επίδραση της μεταβολής του εισοδήματος πάνω στην οικονομική ευημερία των καταναρωτών. Αν θεωρήσουμε, όπως οι οικονομολόγοι αυτό κάνουν, θεωρούν την συνάρτηση χρησιμότας ως την συνάρτηση οικονομικής ευημερίας. Λοιπόν, για να δούμε τι κάναμε. Ξεκινήσαμε από τη συνάρτηση Lagrange. Θεωρήσαμε ότι μεταβάλλεται το εισόδημα και οι υπόλοιπες μεταβλητές, όπως είναι οι τιμές, παραμένουν σταθερές. Η μεταβολή του εισοδήματος, καταρχήν, μεταβάλλει τις ζητούμενες ποσότητες, τα χ, και επειδή μεταβάλλονται τα χ, μεταβάλλεται η δαπάνη, μεταβάλλεται και η χρησιμότητα. Στη συνέχεια αντικαταστήσαμε το ΔΕΥ με το ολικό διαφορικό, διότι η μεταβολή του εισοδήματος μεταβάλλει τις ποσότητες όλων των αγαθών. Άρα, χρειάζεται να πάρουμε το ολικό διαφορικό, γιατί όλες οι ζητούμενες ποσότητες έχουν μεταβληθεί. Άλλες πολύ, άλλες λίγο, άλλες θετικά, άλλες αρνητικά, εξαρτάται από το αν είναι κανονικά ή κατώτερα αγαθά. Το πρόσφυγμα αυτό θα μας το δώσουν τα οριακά. Αντικαταστήσαμε λοιπόν το ΔΕΥ στη συνάρτηση Lagrange, κάναμε αλγευρικούς μετασχηματισμούς, τίποτα τρομερό, βγάλαμε παρενθέσεις, βάλαμε παρενθέσεις, και τελικά με βάση την υπόθεση ότι ό,τι συζητάμε το συζητάμε σε μια κατάσταση ισορροπίας, ισχύει ο ισοδηματικός περιορισμός, αυτό μας οδήγησε τελικά στο να βγάλουμε την σχέση ότι ο πολλαπλεσιαστής Lagrange δεν είναι τίποτε άλλο παρά η οριακή χρησιμότητα του ισοδήματος. Άρα εκτιμώντας μια συνάρτηση χρησιμότητας για μια οικονομία μπορούμε να δούμε ποια θα είναι η μεταβολή στην οικονομική ευημερία των καταναλωτών εάν μεταβληθεί το ισόδημα κατά μία μικρή μονάδα. Τι ώρα πήγε? Παρά πέντε, παρά τέσσερα, παρά τρία. Πήγαμε στη μερική παράγωγω γιατί διότι θεωρούμε ότι είναι η μερική μεταβολή. Κανονικά και εδώ έπρεπε να βάλω θηταχειάι. Εδώ καλά βάλαμε δε γιατί δεν ξέρουμε πώς είναι η μεταβολή. Εδώ πρέπει να είναι θήτα. Τα υπόλοιπα είναι δε. Προσέξτε λίγο, η συνάδελφό σας ρώτησε το εξής γιατί ξαφνικά πήγαμε από τα δε στα θήτα. Ήταν σφάλμα δικό μου. Αυτά τα δε, αυτό το δέλτα είναι δε. Είναι η συνολική μεταβολή που προκαλείται. Δεν ξέρουμε αν προκαλείται από κάτι άλλο. Προκαλείται από τη μεταβολή του ισοδήματος. Εδώ αυτό είναι θεύτα εμ. Αυτό είναι θεύτα εμ. Τα χει είναι δε. Όλα τα υπόλοιπα είναι θεύτα. Το ερώτημα που έδεσε ο συνάδελφός σας είναι γιατί βάλαμε μερικές παραγώγους. Βάλαμε μερικές παραγώγους διότι οι τιμές στη συνάρτηση Lagrange παραμένουν σταθερές και μεταβάλλεται μόνο το ισόδημα. Η έννοια της μερικής παραγώγου ποια είναι. Όλες οι υπόλοιπες μεταβλητές παραμένουν σταθερές και μεταβάλλεται μία. Άρα επειδή μεταβάλλεται μόνο το ισόδημα, στην ουσία έχουμε μερική παράγωγο. Τώρα, ένα ενδιαφέρον θέμα το οποίο ήθελα να συζητήσουμε τώρα είναι το εξής. Συνήθως οι άνθρωποι έχουν τουλάχιστον δύο πηγές ισοδήματος. Η μία πηγή ισοδήματος είναι τουλάχιστον η αμοιβή από την εργασία τους. Και το δεύτερο είναι από κάποιο περιουσιακό στοιχείο το οποίο έχουν. Το οποίο μπορεί να είναι σπίτι, μπορεί να είναι ομόλογα, μπορεί να είναι οτιδήποτε. Ένα πολύ ενδιαφέρον θέμα το οποίο έχει ανακύψει στην ελληνική κοινωνία τα τελευταία 2-3 χρόνια είναι με τον περίφημο φόρο ακυνήτων. Πολλές φορές η ελληνική κοινωνία φαίνεται λίγο ας το πούμε έτσι προβληματισμένη γιατί οι οικονομολόγοι επιμένουν τόσο πολύ στον φόρο ακυνήτων σε σχέση με τον φόρο ισοδήματος. Ή για να το γενικεύσουμε καλύτερα στον φόρο περιουσίας σε σχέση με τον φόρο ισοδήματος. Δηλαδή αν θα μπορούσαν οι οικονομολόγοι θα είχαν αντικαταστήσει όλους τους φόρους με έναν φόρο περιουσίας. Άρα έχουμε λοιπόν από τη μεριά της κυβέρνησης δύο εναλλακτικές. Είτε να βάλει έναν φόρο ισοδήματος είτε να βάλει έναν φόρο περιουσίας. Αυτό το οποίο θα προσπαθήσουμε να δείξουμε εδώ είναι ότι η επίδραση στην ευημερία των ανθρώπων, η επίδραση του φόρου ισοδήματος και η επίδραση του φόρου περιουσίας πάνω στην οικονομική ευημερία. Δηλαδή πάνω στη συνάρτηση χρησιμότητας και εκεί θα κατανοήσετε γιατί οι οικονομολόγοι προτιμούν τον φόρο περιουσίας σε σχέση με τον φόρο ισοδήματος. Ας πούμε λοιπόν ότι έχουμε ένα άτομο, έναν καταναλωτή, ο οποίος έχει δύο πηγές ισοδήματος. ΤΑΦ είναι το ισόδημα που αποκομίζει από την περιουσία του, μπορεί να είναι ακίνητο, μπορεί να είναι μετοχές, μπορεί να είναι ομόλογα, οτιδήποτε και επίσης το ισόδημα το οποίο αποκομίζει από την εργασία του. Δουλεύοντας 8 ώρες την ημέρα, ώρες εργασίας ανα ημέρα, άρα όλη η ανάλυση την οποία θα κάνουμε θα είναι σε επίπεδο 24 ώρου και το ρωμίστιο το οποίο αποκομίζει είναι W, είναι ευρώ ανα ώρα. Συνεπώς το ισόδημα αυτού του ατόμου είναι από την εργασία του, είναι W επί H, είναι το ισόδημα από μισθούς. Το Ταφ παραμένει σταθερό μέσα στην ημέρα και είναι πολύ λογικό, δεν μπορεί να αλλάξει. Δηλαδή θεωρούμε το Ταφ ότι παραμένει σταθερό στην μονάδα του χρόνου την οποία αναλυούμε και συνήθως η μονάδα του χρόνου μπορεί να είναι μέρα, μήνας ή έτος. Άρα μέσα στο έτος λογικά το ισόδημα μας παραμένει από την περιουσία σταθερό. Άρα αυτό εδώ είναι ισόδημα περιουσίας. Τώρα πόσο μπορεί να δουλέψει ένα άτομο πρέπει να δούμε τις ώρες. Έχουμε γενικά 24 ώρες στο 24 ώρα, δεν μπορούμε να δουλέψουμε παραπάνω. Αυτές οι 24 ώρες θα πρέπει να κατανεμηθούν μεταξύ της εργασίας, h ώρες που δουλεύει το άτομο και ν ώρες που ξεκουράζεται. Άρα το ν είναι η ώρα ξεκούρασης. Συνεπώς η ώρα ξεκούρασης από εδώ προκύπτει ότι το h είναι ίσο με 24-n. Άρα αν αποφασίσω πόσες ώρες θα ξεκουραστώ, ως μέγεθος εξυπωλήπου βγαίνει πόσες ώρες θα δουλέψω. Συνεπώς το ισόδημα που αποκομίζει τη μέρα είναι ίσο το ημερίσιο ισόδημα, το m που έχουμε πει, είναι ίσο με τ, το ισόδημα που αποκομίζει από την περιουσία του, συν 24-w, δηλαδή το ρωμίστειο επί της ώρες εργασίας. Ή, και είναι και ο χώρος στον οποίο θα δουλέψουμε, θα δουλέψουμε στο χώρο της σχόλης, της ξεκούρασης, το m είναι ίσο με τ, συν 24-w, δηλαδή το m είναι ίσο με τ. Εντάξει, πολύ λογικό, το ισόδημα το οποίο θα έπαιρνα αν δούλευα 24 ώρες στο 24-ο, μίον το ισόδημα το οποίο χάνω λόγω του ότι ξεκουράζομαι. Στη μονάδα του χρόνου που κάνουμε την ανάλυση μας το τ είναι σταθερό, δηλαδή αν η ανάλυση μας γίνεται σε ημερήσια βάση το τ είναι σταθερό. Δεν εξαρτάται δηλαδή από το χρόνο. Τώρα, αυτό το ισόδημα που κάνουμε είναι ίσο με τον όγκο της κατανάλωσης. Αυτό το ισόδημα είναι αυτό το οποίο χρηματοδοτεί την κατανάλωσή μας. Το τι παίρνουμε δεν μας ενδιαφέρει σε αυτή την ανάλυση που κάνουμε εδώ πέρα. Το τι θα αγοράσει ο καταναλωτής με αυτό το ισόδημα δεν μας ενδιαφέρει. Μας ενδιαφέρει όμως ότι θα αγοράσει, θα καταναλώσει. Πάμε τώρα να δούμε τη συνάρτηση χρησιμότητας αυτού του ατόμου που έχει να αποφασίσει πόσες ώρες θα δουλέψει ή για να το πούμε διαφορετικά πόσες ώρες θα ξεκουραστεί και πόσοι κατανάλωση θα κάνει. Εάν ξεκουραστώ πολύ, αν δηλαδή το ν γίνει ίσο με 24, η κατανάλωσή μου περιορίζεται πάρα πολύ. Εάν δουλεύω πιο πολύ, δηλαδή ξεκουράζομαι λιγότερο, η κατανάλωσή μου τι κάνει αυξάνει. Άρα έχουμε μια συμπεριφορά, δηλαδή περιγράφουμε μια συμπεριφορά η οποία λέει ότι μεταξύ της ξεκούρασης και της κατανάλωσης υπάρχει αρνητική σχέση. Όσο θέλεις να καταναλώνεις περισσότερο θα πρέπει να ξεκουράζεσαι λιγότερο. Αν ξεκουράζεσαι περισσότερο θα καταναλώνεις λιγότερο διότι δεν θα έχεις εισόδημα. Κατανοητό. Δηλαδή μεταξύ ξεκούρασης και εισοδήματος υπάρχει αρνητική συσχέτηση. Αν ξεκουράζεσαι δεν έχεις εισόδημα δεν καταναλώνεις. Αν δουλεύεις πολύ καταναλώνεις πολύ αλλά δεν ξεκουράζεσαι. Άρα ποιο είναι το άριστο. Δηλαδή ποιο είναι το άριστο μείγμα μεταξύ ξεκούρασης και εισοδήματος κατανάλωσης. Αν θες μόνο να καταναλώνεις τότε θα δουλεύεις 24 ώρες στο 24 ώρο. Σε 2 24 ώρα τέλειωσε. Εάν θες μόνο να ξεκουράζεσαι τότε η κατανάλωση την οποία θα έχεις θα είναι η minimum που θα είναι το εισόδημα το οποίο αποκομίζεις από την περιουσία σου. Αν αυτό είναι 0 και θες μόνο να ξεκουράζεσαι δεν καταναλώνεις τίποτα. Άρα πάλι σε 2 24 ώρα έχεις πρόβλημα. Δεν θα έχεις να φας. Συνεπώς το πρόβλημα το οποίο έχει το άτομο είναι πως θα κατανύμη την ξεκούραση και το εισόδημα κατανάλωση. Έτσι ώστε να έχει την μεγαλύτερη δυνατή χρησιμότητα. Αυτή η συνάρτηση χρησιμότητας έτσι όπως την περιγράψαμε είναι N-C. Μια τύπου τέτοιας συνάρτησης. Είναι η συνάρτηση χρησιμότητας N σχόλη σε κατανάλωση. Εάν θα τη βάζαμε σε ένα διάγραμμα αυτής της συνάρτησης κατανάλωσης έχει το γνωστό μας κυρτό σχήμα. Καμπύλια διαφορείας. Τι έχουμε λοιπόν. Ποιο το. Το N είναι η ώρας ξεκούρασης και το C είναι η κατανάλωση εισόδημα. Τι έχουμε λοιπόν εδώ. Ότι έχουμε μια συνάρτηση χρησιμότητας και εδώ έχουμε τον εισοδηματικό περιορισμό μεταξύ του σε και του ν. Είναι ένας εισοδηματικός περιορισμός. Για να το δούμε γραφικά αυτόν. Στον οριζόντιο άξονα το ν. Ο εισοδηματικός περιορισμός είναι πάντα στον χώρο που είναι και η συνάρτηση χρησιμότητας. Στον χώρο ν. Εδώ είναι οι ώρες από 0 ώρες μέχρι 24. Οι ώρες ξεκούρασης από 0 ώρες μέχρι 24. Αυτό δεν μπορεί να πάει στο άπειρο. Και έτσι μέσα στο 24 ώρο έχουμε μέγιστο. Εδώ είναι το τ. Το εισόδημα το σταθερό το οποίο δεν εξαρτάται από το πόσο χρόνο δουλεύεις. Άρα εάν εγώ ξεκουράζομαι 24 ώρες στο 24 ώρο το εισόδημα κατανάλωση το οποίο θα έχω θα είναι αυτό. Όταν ν ίσον 24 τότε το σε είναι ίσο με το τ. Ξεκουράζομαι όλο άρα το w επί ν είναι 0. Επί h είναι 0. Δείτε το αυτό εδώ. Αυτό είναι 24. 24w-24w 0 και φεύγει. Δείτε εδώ λίγο. Το ν είναι ίσο με 24 δηλαδή ξεκουράζομαι συνεχώς. Άρα εάν δούλευα 24 ώρες στο 24 ώρο θα περνά 24 επί w. Τώρα όμως ξεκουράζομαι 24 ώρες στο 24 ώρο. Άρα είναι w επί 24. Άρα 24w-24w φεύγουν. Πολύ λογικό. Αν δεν δουλεύω καθόλου δεν έχω εισόδημα από τη δουλειά μου. Άρα το μόνο εισόδημα το οποίο έχω είναι το τ. Άρα η κατανάλωση που μπορώ να κάνω το σε μου θα είναι ίσο με το εισόδημα που αποκομίζω από το τ. Αυτό είναι. Εάν τώρα δεν ξεκουράζομαι καθόλου, δηλαδή το ν είναι ίσο με 0, τότε η κατανάλωση που μπορώ να κάνω είναι τ-24w. Αν δεν ξεκουράζομαι καθόλου, δηλαδή όταν το ν είναι ίσο με 0, τότε το εισόδημα το οποίο αποκομίζω είναι 24 ώρες εργασίας επί w συν το σταθερό μου εισόδημα. Δηλαδή αν το ν είναι ίσο με 0 αυτός ο όρος φεύγει και φαίνεται πως είναι η κατανάλωση μου. Συνεπώς ο εισοδηματικός περιορισμός είναι αυτός με κλίση το μ-w. Δηλαδή ο μισθός είναι αυτός ο οποίος μας δίνει την κλίση του εισοδηματικού περιορισμού. Είμαστε ok. Άρα για να φτιάξουμε τώρα τη συνάρτηση Lagrange θα λύσουμε πρώτα το πρόβλημα χωρίς φόρο να δούμε πως λύνεται και στη συνέχεια θα εισάγουμε και τους φόρους, τα δύο είδη φόρων. Λοιπόν, η συνάρτηση Lagrange. Η συνάρτηση Lagrange είναι αυτή. Η συνάρτηση χρησιμότητας και ο εισοδηματικός περιορισμός. Και εδώ θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε τη συνάρτηση Lagrange επιλέγοντας το ν, το σε και το λ. Μεγιστοποίηση της συνάρτησης Lagrange επιλέγοντας το ν και το σε. Οι μεταβλητές επιλογής είναι το πόσο θα δουλέψω, άρα το πόσο θα ξεκουραστώ και επίσης το εισόδημα. Οι συνθήκες πρώτης τάξης, άρα θλ, θn είναι ίσο με σε μειον λεπιν W ίσον 0. Και θl, θc είναι ίσο με n μειον λεπιν W ίσον 0. Και θl, θλ είναι ίσο με το εισοδηματικό περιορισμό ταφ συν 24W μειον Wn μειον σε ίσον 0. Η 1, η 2, η 3. Εάν πάμε από τη μια μεριά το λ W και μετά διαιρέσουμε την 1 προς 2, έχουμε σε προς n είναι ίσο με W. Και από εδώ προκύπτει ότι το σε είναι ίσο με W επί n. Αυτό το αντικαθιστούμε στην 3 και προκύπτει ταφ συν 24W μειον W επί n. Όπου σε βάζουμε το ίσον του μειον W επί n είναι ίσο με 0. Και από εδώ προκύπτει ότι 2W επί n είναι ίσο με ταφ συν 24W. Και από εδώ προκύπτει ότι το n αστεράκι είναι ίσο με ταφ προς 2W συν 12. Και αν αντικαταστήσουμε το W που βρήκαμε στην σε, από εδώ προκύπτει ότι σε αστεράκι είναι ίσο με W επί ταφ προς 2W. Συν 12W. Άρα το σε αστεράκι είναι ίσο με ταφ δεύτερα συν 12W. Άρα, τι μας λέει λοιπόν εδώ. Για να δούμε. Ότι όσο υψηλότερο είναι το εισόδημα το οποίο έχω. Δείτε εδώ τώρα τη συμπεριφορά σε σχέση με τη σχόλη. Όσο υψηλότερο είναι το εισόδημα που έχω από άλλη πηγή εκτός από την εργασία μου, τόσο υψηλότερο είναι η ξεκούραση. Λογικό είναι. Όταν έχω πολλά εισοδήματα από οπουδήποτε αλλού εκτός από τη δουλειά μου, για ποιο λόγο να πάω να δουλέψω. Δεν έχει νόημα. Δεύτερον, όσο υψηλότερος είναι ο μισθός, τόσο χαμηλότερη είναι η διάθεσή μου να ξεκουράζομαι. Δηλαδή όσο υψηλότερος είναι ο μισθός, τόσο μεγαλύτερη είναι η διάθεσή μου να δουλεύω. Αυτό το οποίο περιγράφουμε εδώ, συμβαίνει στον πραγματικό κόσμο. Δηλαδή, εάν κάποιος δουλεύει σε μία βιομηχανία, απλός εργαζόμενος, απλός υπάλληλος, αυτός ο απλός υπάλληλος παίρνει ένα μισθό, δουλεύει ένα οκτάωρο και φεύγει. Αυτός όμως ο οποίος δουλεύει προς τα πάνω στην ιεραρχία, παίρνει σαφέστατα υψηλότερους μισθούς. Και αυτοί οι υψηλότεροι μιστοί συνήθως, αν όχι πάντα, συμβαδίζουν με περισσότερο χρόνο εργασίας μέσα. Δηλαδή δεν θα δείτε ποτέ έναν γενικό διευθυντή μιας εταιρείας, έναν διευθύνοντας σύμβουλο, να φεύγει στο οκτάωρο. Ποτέ. Παίρνει πολλά λεφτά, αλλά ποτέ δεν φεύγει στο οκτάωρο. Συνήθως οι διευθύνοντες σύμβουλοι των εταιρεών πηγαίνουν στις 7-7.30 στο γραφείο τους και φεύγουν μία-δύο το βράδυ. Άρα, τι έχουμε λοιπόν. Έχουμε μία αρνητική συσχέτιση μεταξύ μιστού και σχόλεις. Έτσι συμβαίνει. Δηλαδή η επιχείρηση δεν θα σου δώσει περισσότερα λεφτά για να σε έχει με το οκτάωρο. Και δεν θα δείτε ποτέ διευθύνοντας σύμβουλο. Άρα, εδώ μας περιγράφει μία πραγματική κατάσταση. Ότι δηλαδή τα άτομα όσο υψηλότερο μισθό τους δίνεις, τόσο περισσότερο είναι διατεθειμένα να δουλέψουν περισσότερο. Από τη μεριά της κατανάλωσης βλέπουμε ότι το άτομο καταναλώνει περισσότερο όσο υψηλότερο είναι το εισόδημα, το οποίο αποκομίζει από πηγές εκτός εργασίας και όσο υψηλότερο είναι ο μισθός. Γι' αυτό βλέπουμε αυτού του τύπου τα άτομα τα οποία περιγράψαμε προηγουμένως να έχουν και υψηλές καταναλώσεις. Όχι, είναι η διάθεσή τους να δουλέψουν. Επειδή είναι μεγαλύτερος ο μισθός... Προσέξτε, προσέξτε λίγο τι βγάλαμε εδώ. Εδώ βγάλαμε την άριστη σχόλη. Δηλαδή ποσο, ποια σχόλη είναι αυτή η οποία αριστοποιεί τη συμπεριφορά του ατόμου. Προσέξτε το, εδώ βγάλαμε την άριστη σχόλη, μια συνάρτηση άριστης σχόλης. Δηλαδή το άτομο πόσο είναι διατεθειμένο να ξεκουράζεται σε κάθε ύψος μισθού, ώστε να απολαμβάνει τη μέγεστη χρησιμοτήτα. Ποσο το άτομο είναι διατεθειμένο να ξεκουράζεται σε κάθε ύψος μισθού, το βλέπουμε από τη μεριά του ατόμου. Να ξεκουράζεται σε κάθε ύψος μισθού, έτσι ώστε να έχει τη μέγεστη δυνατή χρησιμοτήτα. Άρα αυτό το οποίο βγάζουμε είναι από τη μεριά του ατόμου. Καθώς λοιπόν το άτομο βλέπει ότι ο μισθός αυξάνει, είναι διατεθειμένο να δουλέψει περισσότερο. Αυτήν την συμπεριφορά μας περιγράφει εδώ πέρα, είναι από τη μεριά του ατόμου. Εάν λοιπόν η συμπεριφορά του ατόμου, προσέξτε έτσι, μιλήσαμε για το άτομο ως καταναλωτή εργαζόμενο. Εάν λοιπόν η συμπεριφορά του ατόμου είναι αυτή, δηλαδή το άτομο είναι διατεθειμένο να δουλέψει περισσότερο με υψηλότερο μισθό, τότε έρχεται η πολιτική της εταιρείας και λέει εγώ θέλω τον διευθύνοντας σύμβουλο να μην είναι 8 ώρες, αλλά να είναι 9 ώρες. Άρα μελετώ τη συναρτήση χρησιμοτητάς του και τη συναρτήση συζήτησης σχόλης και του δίνω τον κατάλληλο μισθό, ώστε αυτό, 8 ώρες είναι 16, από 16 αυτό να γίνει 15, να δουλεύει 9 ώρες. Εγώ θέλω τον διευθύνοντας σύμβουλο να δουλεύει 10 ώρες. Άρα τι κάνω, αυξάνω τον W έτσι ώστε να τον κάνω να είναι χαρούμενος δουλεύοντας 10 ώρες. Θέλω να δουλεύει 11, αντίστοιχη αύξηση του μισθού. Γι' αυτό ένας διευθύνοντας σύμβουλος μπορεί να παίρνει και 8-10.000 ευρώ το μήνα και ένας απλός εργαζόμενος να παίρνει 600. Πέρα από τις ευθύνες τις οποίες έχει, έτσι. Άρα εάν λάβουμε υπόψη μας αυτά εδώ, έτσι διαμορφώνεται η πολιτική των εταιριών σε σχέση με τις αμοιβές. Φτάνουμε βέβαια σε κάποιο σημείο που το άτομο λέει το εξής, βγάζω αρκετά λεφτά, όμως δεν έχω χρόνο να τα φάω. Δηλαδή δεν έχω ξεκούραση, δεν έχω χρόνο για ξεκούραση στην ουσία είναι. Άρα τι λένε, θέλω να αγοράσω μια επιπλέον ώρα ξεκούρασης. Πόσο πρέπει να κατέβει ο μισθός μου για να είμαι στο ίδιο επίπεδο ευημερίας με πριν. Προσέξτε το, παίρνω 10.000 ευρώ και δουλεύω 20 ώρες το 24 ώρο και αποκομίζω μια ευημερία. Ποια είναι η ευημερία? Συνάρτησης χρησιμότας, αντικαθιστώ το N που έχω βρει και το S το αντίστοιχο και βρίσκω πόσο είναι το U το οποίο έχω. Και λέω τώρα ως άτομο, θέλω ρε παιδιά αντί για 20 ώρες που δουλεύω να δουλεύω 19. Άρα το N να αυξηθεί κατά 1. Πόσο πρέπει να μειωθεί ο μισθός μου έτσι ώστε να έχω το ίδιο επίπεδο ευημερίας με πριν. Άρα από αυτή τη συνάρτηση θα βγει πόσο θα πρέπει να μειωθεί ο μισθός έτσι ώστε να έχει το ίδιο επίπεδο ευημερίας με πριν. Δηλαδή λιγότερο εισόδημα και περισσότεροι σχόλοι. Ακολουθούμε, το κατανοούμε. Η μονάδες του N είναι ώρες και του S είναι ευρώ. Άρα γνωρίζουμε πώς συμπεριφέρονται τα άτομα και γνωρίζοντας πώς συμπεριφέρονται τα άτομα προκειμένου να διατηρήσουν το ίδιο επίπεδο ευημερίας μπορούμε να τους αυξάνουμε το μισθό, να μειώνουν αυτή τη σχόλη αλλά αυξάνοντας το μισθό τους όμως έχουν περισσότερη κατανάλωση. Άρα είναι διατεθειμένος να μειώσει τη σχόλη, να θυσιάσει η σχόλη για να έχει καλύτερη κατανάλωση. Εντάξει, η ψηλότερη κατανάλωση είναι μια συμπεριφορά η οποία είναι κοινή. Έτσι λειτουργούμε, κακά τα ψέματα τώρα. Είμαστε ok, εντάξει. Ερχόμαστε στο ερώτημα το οποίο θέσαμε από την αρχή. Ερχόμαστε τώρα στο ερώτημα που θέσαμε από την αρχή. Το ερώτημα που θέσαμε από την αρχή είναι το εξής, ότι το κράτος θέλει να εισπράξει φόρους, τελεία και πάυλα. Αυτούς τους φόρους, ένα ποσό φόρων, αυτό το ποσό των φόρων θα το εισπράξει το κράτος. Τι είναι καλύτερο όμως για το άτομο αυτό, αυτό τον φόρο να τον πληρώσει ως φόρο εισοδήματος, άρα να κρατηθεί από το μισθό του, ή να τον πληρώσει ως φόρο περιουσίας, δηλαδή να μειωθεί το τάφ. Ποιος από τους δύο φόρους έχει μικρότερη επίδραση αρνητική στην ευημερία του, στον W. Για να το δούμε λοιπόν. Φόρο εισοδήματος. Με ένα ποσοστό τάφ. Ο φορολογικός συντελεστής είναι τάφ. Άρα το άτομο συμφωνεί με την επιχείρηση για μισθό W, όμως στο χέρι παίρνει τον διαθέσιμο μισθό Wd, που είναι ίσως με W επί ένα μειών τάφ. Δηλαδή τον W, τον φόρο επί του W. Ο Wd είναι ο διαθέσιμος μισθός, δηλαδή τα καθαρά που παίρνουμε στην τσέπη μας. Δηλαδή W είναι τα καθάριστα και Wd είναι τα καθαρά. Αυτά που παίρνουμε στην τσέπη μας μετά τις κρατήσεις, μετά τους φόρους. Άρα οι φόροι που θα εισπράξει το κράτος είναι W επί τάφ. W επί τάφ είναι ο φόρος που θα εισπράξει το κράτος. Άρα στον ισοδηματικό μας περιορισμό, στον ισοδηματικό περιορισμό, έχουμε τάφ συν 24, όχι W τώρα, είναι 24W επί 1-τάφ. Κάνω κατευθείαν την αντικατάσταση του Wd, δηλαδή το άτομο δουλεύει με το Wd. Άρα αντικαθιστώ όπου Wd το ίσον του. Μίον W1-τάφ επί 1 Ίσον μεσέ. Αυτός είναι ο ισοδηματικός περιορισμός, τώρα που επιβάλλεται ισοδηματικός φόρος. Άρα η κατανάλωσή μου, η κατανάλωσή μου, δείτε λίγο, η κατανάλωσή μου, εξαρτάται αρνητικά από τον φόρο, τον φορολογικό συντελεστή. Όσο μεγαλύτερος είναι ο φορολογικός συντελεστής, τόσο χαμηλότερη είναι η κατανάλωσή μου. Πολύ λογικό. Εάν τώρα, άρα το πρόβλημά μας πλέον, συγγνώμη, άρα το πρόβλημά μας πλέον είναι 1 μιον τάφ, μιον W επί 1 μιον τάφ, 1 μιον σε. Ερχόμαστε από εδώ να παρουσιάσουμε το δεύτερο πρόβλημα. Ο κράτος θέλει να εισπράξει τον ίδιο φόρο τώρα, το ίδιο ποσοφόρο φορολογώντας την περιουσία. Άρα τάφ μιον W επί τάφ, τάφ μιον W επί τάφ είναι ο φόρος, το καθαρό που θα μείνει από την περιουσία. Τάφ, W από τάφ είναι ο φόρος που εισέπραξε από το εισόδημα. Ο όγκος του φόρου, έτσι, 1.000 ευρώ εισέπραξε. Ερχόμαστε τώρα και λέμε, αντί να κάνουμε αυτό, δεν αφαιρούμε αυτά τα 1.000 ευρώ από το εισόδημά του, το σταθερό του εισόδημα. Άρα αφαιρούμε W επί τάφ. Συν 24W, το W παραμένει σταθερό πια, γιατί δεν φορολογούμε εισόδημα. Έτσι, φορολογούμε την περιουσία. Μιον W, 1, ίσον με σε. Ναι. Ποια είναι το σταθερό εισόδημα, θεωρούμε ότι είναι το καθαρό εισόδημα της περιουσίας. Προσέξτε τώρα, αυτό είναι το καθαρό. Αυτό είναι το καθαρό εισόδημα της περιουσίας πια. Δηλαδή, εισπράττω 300 ευρώ ενίκια, το τάφ, ας πούμε ότι το τάφ είναι ενίκια. Και είναι ίσο με 300. Εισπράττω από το νικάρι τα 300 ευρώ και πάω στο κράτος και του δίνω φόρο W επί τάφ, 50 ευρώ. Άρα, τάφ μίον W επί τάφ είναι 250 ευρώ αυτά έχω να φάω. Δηλαδή, από το ενίκιο των 300 ευρώ θα φύγουν τα 250 και θα μείνουν καθαρά πλέον για να φάω τα 250. Το W επί τάφ είναι πόρος επί του εισοδήματος. Είναι ο φόρος επί του εισοδήματος όταν τον κάναμε, βρήκαμε πόσο είναι. Αυτό είναι ένα ποσό τώρα. Αυτό είναι ένα ποσό. Το W παραμένει, είναι ο μισθός που υπάρχει στην αγορά. Προσέξτε λίγο, προσέξτε λίγο. Κοιτάξτε λίγο, κοιτάξτε λίγο, μη γράφετε, μη γράφετε. Αυτό το W δεν επηρεάζεται καθόλου. Είναι ο μισθός ο οποίος επικρατεί στην αγορά. Ήτε βάλουμε φόρο εισοδήματος, είτε βάλουμε φόρο περιουσίας, το W είναι W. Δεν επηρεάζεται, είναι ανεξάρτω από τις αποφάσεις της κυβέρνησης. Αυτό το οποίο επηρεάζεται είναι το τάφ. Άρα σήμερα ο μισθός είναι 1.000 ευρώ. Από όλο τον πληθυσμό έχουμε εισοδήματα από μισθούς 1 δισεκατομμύριο. Επί έναν φορολογικό συντελεστή 40%, το κράτος εισπράττει 400 εκατομμύρια. Πώς βγήκαν αυτά τα 400 εκατομμύρια μισθός W επί τον φορολογικό συντελεστή. Παίρνω λοιπόν τον μισθό επί τον φορολογικό συντελεστή, δηλαδή το 1 δισεκατομμύριο επί τον φορολογικό συντελεστή και το βάζω εδώ πέρα. Αντί να βάλω δηλαδή για την ανάλυση μου, γιατί πρέπει να το γενικεύσω. Δεν μιλάω για το 1 δισεκατομμύριο, πρέπει να το γενικεύσω, ώστε αυτό το οποίο συζητώ να είναι σήμερα, αύριο, στην Αμερική, στην Αγγλία κλπ. Άρα ο μισθός ο οποίος επικρατεί στην αγορά επί τον φορολογικό συντελεστή, ό,τι να είναι ο μισθός δεν μας ενδιαφέρει, ό,τι θα είναι ο φορολογικός συντελεστής δεν μας ενδιαφέρει. Άρα αφαιρώ τον φόρο εισοδήματος που θα εισέπρατα από το εισόδημα από την περιουσία. Το κατανοούμε? Προσέξτε! Εάν μιλούσαμε για την Ελλάδα σήμερα, θα λέγαμε πόσο είναι ο φόρος εισοδήματος που εισπράτει το κράτος, 400 εκατομμύρια. Άρα ταφ μειών 400 εκατομμύρια. Αυτό όμως είναι περίπτωση, περίπτωση που αναφέρεται στην Ελλάδα σήμερα. Εγώ όμως εδώ θέλω να το κάνω γενικό. Πώς βγήκαν αυτά τα 400 εκατομμύρια, πολλαπλασίασα τον μισθό επί τον φορολογικό συντελεστή. Άρα αντί να βάλω τα 400 εκατομμύρια, βάζω το ίσο του, που είναι το γενικό πια. Το μισθό, W, επί τον φορολογικό συντελεστή και το έχω γενικεύσει. Άρα εδώ δεν σας έχω χρόνο, δεν σας έχω τόπο, είναι γενικό. Επομένως αυτός είναι ο ισοδηματικός περιορισμός. Το πρόβλημά μας πλέον γίνεται, από κάτω γράφω, max. Τι θα κάνετε τώρα στο σπίτι και θα τα μαζέψω την άλλη φορά. Τι θα κάνετε στο σπίτι, θα βρείτε το N και το S του πρώτου προβλήματος. Άρα από εδώ βρίσκουμε το N και το S. Και επειδή μας ενδιαφέρει η ευημερία, θα αντικαταστήσετε το N και το S που θα βρείτε, τις συναρτήσεις που θα βρείτε, θα τις αντικαταστήσετε στο U. Άρα θα έχετε ένα U, ίσον N αστεράκι, C αστεράκι και θα αντικαταστήσετε εκεί και θα βρείτε πόσο είναι το U. Το ίδιο ακριβώς θα κάνετε και εδώ. Θα βρείτε το N αστεράκι, το C αστεράκι, θα αντικαταστήσετε στο U και θα βρείτε πόσο είναι το U σε αυτή την περίπτωση. Είναι διαφορετικά. Και θα συγκρίνετε αυτά τα δύο U, ποιο είναι μεγαλύτερο. Καλό απόγευμα!