1.3 Τα Μαθηματικά των Βαβυλωνίων / Ενότητα 1 , #3 , 06/03/14 - Χαραλάμπους Χαρά (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Ενότητα 1 , #3 , 06/03/14: Είχαμε ήδη πει ότι η αρρύθμιση στους Βαβυλονίους ήταν με βάση στο 60. Και ότι το ίδιο σύμβολο ήταν και για το 1 και για το 60. Το βλέπετε επάνω. Αυτό είναι το σύμβολο. Αυτό είναι το σύμβολο. Αυτό είναι το σύμβολο. Αυτό είναι το σύμβολο. Αυτό είναι το σύμβολο. Αυτό είναι το σύμβολο. Αυτό είναι το σύμβολο. Αυτό είναι το σύμβολο. Αυτό είναι το σύμβολο. Το βλέπετε επάνω. Αν τα βάλεις 8 στη σειρά, φτιάχνεις τα διαφορετικά νούμερα. Το 8. Είχαν ξεχωριστό σύμβολο για το 10. Και με αυτόν τον τρόπο μπορούσαν να περιγράψουν όλους τους αριθμούς μέχρι το 60 και παραπέρα. Πώς το κάνουν αυτό ανάμεσα όταν ξεχωρίζανε, όταν πηγαίνανε στο 60 τετράγωνο, αφήνανε ένα κενό ανάμεσα στους αριθμούς που γράφουν. Για παράδειγμα, ο ρυθμός που έχω γράψει στα δεξιά, το 79.883. Πώς προκύπτει τέρα δεξιά, έχουμε τις τρεις μονάδες, μετά έχουμε τα δύο δεκάρια, αυτό είναι το 23. Αφήνουμε ένα κενό, άρα προχωράμε στο 60, στο επόμενο. Είναι το 11 επί 60, ένα κενό και ό,τι υπάρχει παραπέρα θα πολλαπλασιαστεί με το 60 τετράγωνο. Εντάξει, αν κάνει κανείς, το ότι υπάρχει παραπέρα είναι τα 2 συν τα 20, δηλαδή 22. Αυτός είναι ο τρόπος αριθμίσεις των αρχαίων Βαβυλώνιων, στην ουσία. Τι έχει απομείνει από αυτούς, έχουνε μείνει διάφορα. Αυτό που δεν έχει βρεθεί μέχρι τώρα, είναι πίνακας, να είναι ένας πίνακας με έτοιμη την πρόσθεση των διαφόρων αριθμών. Έχουνε βρεθεί όμως πολλοί πίνακες, οι οποίοι έχουνε μιλάνε για πολλαπλασιασμό. Έτσι, για παράδειγμα, υπάρχουν πίνακες που δίνεται ένας αριθμός α και πάνω σε αυτόν τον πίνακο δίνονται τα διάφορα πολλαπλάσια του α. Επίσης, αυτό το οποίο έχει βρεθεί εκτεταμένα είναι πίνακες που έχουν αντιστρόφους. Τώρα τι εννοούμε με αντιστρόφους. Επειδή δεν είναι ξεκάθαρη αν κάποιος αριθμός είναι το 1 ή το 60, θέλουμε διάδες δύο αριθμών που το γινόμενό τους θα δίνει το 1 ή το 60 ή κάποια δύναμη του 60. Για να δούμε ένα παράδειγμα ενός τέτοιου πίνακα. Βλέπετε επάνω ο τίτλος λέει «Πίνακας κανονικών αριθμών και αντιστρόφων». Θα εξηγήσω τι σημαίνει κανονικός ή μάλλον το λέμε τώρα τι σημαίνει κανονικός. Μπορούμε να σκεφτούμε ότι κανονικός είναι ένας αριθμός που όταν γράφω τον αντίστροφό του σε πάση 60, θα έχει υπεπερασμένο αριθμό δεκαδικών ψηφίων. Επεπερασμένο αριθμό δεκαδικών ψηφίων. Ένας αριθμός του οποίου τον αντίστροφο μπορώ να τον περιγράψω επακριβώς σε βάση 60. Θα το σκεφτούμε αυτό, θα ξαναγυρίσουμε ποιο είναι αυτή η κανονική αριθμή, πώς μπορούμε να καταλάβουμε. Εμείς σήμερα ξέρουμε ότι η ρητή αριθμή είναι αυτή που είναι η δεκαδική τους αναπαράσταση. Έτσι το δεκαδικό τους κομμάτι, που ένα σημείο και μετά επαναλαμβάνεται. Ή θα είναι όλα μηδέν, ή θα έχει ένα σημείο το οποίο θα επαναλαμβάνεται, έχει μία περίοδο. Κανονική αριθμή με βάση 60 θα ήταν η αριθμή με πεπερασμένο αριθμό δεκαδικών ψηφίων. Που από ένα σημείο και μετά έχουν το μηδέν. Εντάξει, αντί να δουλεύουμε με βάση το 10, δουλεύανε οι Βαβυλώνιοι δουλεύανε με βάση το 60. Σε αυτόν εδώ λοιπόν τον πίνακα, επιχείρησα να σας δείξω περίπου πώς θα γραφόταν αυτή η αριθμή. Δεν χρησιμοποίησα τον βαβυλωνιακό τρόπο γραφής, τους έβαλα με τα ψηφία που αναγνωρίζουμε, τα δικά-δικά ψηφία. Η διαφορά που έχω κάνει, εκείνο που έχω κάνει λίγο διαφορετικά, είναι ότι βάζω το κόμμα, έτσι για να δηλώσω ότι αλλάζω θέση, ότι μπαίνω στο κομμάτι μετά το κόμμα. Για παράδειγμα το 7 και 30, το οποίο γράφω εκεί, ενώ ότι είναι το 7 συν το 30 στη βάση 60, δηλαδή 30 δια 60. Για παράδειγμα 2 επί 30 μας δίνει το 60, εντάξει το 2 είναι το αντίστροφο του 30. Σε τι μας βοηθάει αυτό, κάποιες φορές, για παράδειγμα, αν θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε με το 30, θέλω να πολλαπλασιάσουμε το 30, αρκεί να διαιρέσουμε το 2. Το 2 είναι το αντίστροφο του 30, διαιρώντας με τον αντίστροφο του 30, είναι σαν να πολλαπλασιάσουμε το 30. Κάποιες φορές είναι πιο εύκολο να διαιρέσουμε το 2, αντί να πολλαπλασιάσουμε με το 30. Εντάξει, πολύ απλοϊκό αυτό. 3 επί 20 μας δίνει και αυτό 60, 4 επί 15, 60 και ούτω καθεξής, μπορείτε να κάνετε τον έλεγχο για όλους αυτούς τους αριθμούς. 8 επί 7 ακόμα 30, 8, 8 επί 7 συν 30 δια 60, είναι ίσο. 8 επί 7 είναι 56, συν 8 επί 30 δια του 60. Εντάξει, αυτό το κομμάτι μας δίνει το άλλο 4 που χρειαζόμαστε για να φτάσουμε στο 60. Όλο μαζί μας δίνει 60. Έτσι, 30 δια του 20 είναι δια του 2, 8 δια του 2 είναι 4, 4 συν 56. Εντάξει, αριθμητική είναι αυτό. Το ίδιο ισχύει για όλα, ό,τι ακολουθεί. Για παράδειγμα, 16, θα πάρει κανείς το 16, θα πολλαπλασιάσει με το 3, συν 45 δια του 60. Θα βγάλει το 16 επί 3, το 48, συν ό,τι απομένει. Και ό,τι απομένει μας δίνει τελικά το 60. Μπορείτε να το ελέγξετε για ό,τι ακολουθεί. Για να γράψω μόνο και το γινόμενο για το 27. Έτσι, ο αριθμός με τον οποίο θέλω να τον πολλαπλασιάσω, αν το ελέγξετε από μόνη σας, είναι το 2, συν 13 δια του 60, συν 20 δια του 60 τετράγωνο. Κάνετε το γινόμενο αυτό, θα πρέπει να βγείτε στο 60. Οι αριθμοί εδώ έχουν αναπαρασταθεί με βάση το 60. Ποιοι είναι λοιπόν αυτοί οι αριθμοί, οι κανονικοί αριθμοί. Έτσι και αυτό ήταν γνώση την οποία την είχαν οι Βαβυλόνοι μέσω ποτάμι, γιατί στους πίνακες, είχαν πίνακες αριθμών με αντιστρόφους, επεπερασμένο αριθμό δεκαδικών ψηφίων. Ποιοι είναι λοιπόν αυτοί οι κανονικοί αριθμοί. Πότε είναι ένας αριθμός κανονικός. Για να το δούμε, να προσπαθήσουμε να βγάλουμε αυτό εδώ το συμπέρασμα. Μπορεί να το θυμώσεστε από τους δεκαδικούς αριθμούς. Για να το δούμε με τους αριθμούς στην βάση του 60. Έχω έναν αριθμό M, γι' αυτό είχα κάνει και τα προηγούμενα παραδείγματα, για να μας δώσει την βασική ιδέα. Πολλαπλασιάζω με έναν άλλον αριθμό. Έτσι, έναν αριθμό που να είναι της μορφής α, 1 συν α2 διά του 60, συν α3 διά του 60 τετράγωνο. Εντάξει, ας ξεκινήσουμε με το μηδέν, για να πηγαίνουμε στις ίδιες δυνάμεις. Φτάνω μέχρι το α1 διά 60 εις την 1. Και όταν κάνω αυτό εδώ το γινόμενο, γιατί μίλησα προηγουμένως για αντίστροφα, θέλω να βγάλω το 60. Έτσι. Πότε μπορεί να συμβεί αυτό. Για να κάνουμε τους παρανομαστές, κοινούς παρανομαστές, θα έχω λοιπόν εδώ το ε, εδώ θα έχω κάποιον αριθμό, έτσι κάνω τις πράξεις. Πολλαπλασιάζω και με το μεγαλύτερο παρανομαστή. Από την άλλη μεριά, θα έχω το 60, αν έχω εδώ 60, εδώ θα έχω 60, 1 συν 1. Έτσι. Πότε μπορεί να γίνει αυτό. Χρησιμοποιούμε τώρα τη γνώση που έχουμε εμείς από το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής. Έτσι, δεν είναι ξεκάθαρο το τι είχανε. Αν πάρω εδώ τους πρώτους του ε, για να ισχύει αυτό, σίγουρα θα πρέπει να διαιρεί τους πρώτους διαιρέτες του 60 στην 1 συν 1. Ποιοι είναι οι πρώτοι διαιρέτες του 60 στην 1 συν 1 ή οι πρώτοι διαιρέτες του 60. Ποιοι είναι οι πρώτοι διαιρέτες του 60. Το 2. Το 5. Άλλος. 3. Έχει άλλον. Όποιοι αριθμοί αποτελούνται, όποιοι αριθμοί έχουν πρώτους διαιρέτες, πρώτους διαιρέτες, που να είναι οι πρώτοι διαιρέτες του 60, θα έχουν αντίστροφο σε πεπερασμένη δεκαδική απαρρύθμιση. Θα μπορέσεις να τον παρουσιάσεις με πεπερασμένο αριθμό δεκαδικών, πεπερασμένο αριθμό ψηφίων στην εξακοστή με βάση του 60. Υσχύει αν και μόνο αν. Αν ισχύει αυτό εδώ, τότε οι πρώτοι διαιρέτες του ε θα είναι και οι πρώτοι διαιρέτες του 60. Αν ο ίμ αποτελείται από πρώτους διαιρέτες του 60, δεν είναι δύσκολο να δείξει κανείς ότι θα μπορέσει να βρει τον αντίστροφό του με περασμένο αριθμό ψηφίων. Αυτό για τους πρώτους διαιρέτες, ποιοι αριθμοί έχουν αντιστρόφους, μπορούν να τους αναπαραστήσουν με περασμένο αριθμό ψηφίων, αυτό φαίνεται να το γνώριζαν οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι. Και γι' αυτό λέμε, εδώ έχει τον ορισμό, σε αυτήν εδώ τη διαφάνεια έχουμε τον ορισμό των κανονικών ψηφίων, η απόδειξη είναι βασικά αυτό που δείξαμε. Κάνε εσείς το γινόμενο και απλά βλέπεις πρώτους διαιρέτες από τη μια με πρώτους διαιρέτες από την άλλη. Τώρα, κάτι το οποίο πιθανόν να σας ενδιαφέρει είναι ότι εκτός του πίνακα των αντιστρόφων, μπορούσαν να υπολογίσουν κάποιους άλλους αντιστρόφους και είχαν μια ειδική μέθοδο, έχουν γίνει μελέτες πάνω σε αυτό. Περισσότερες λεπτομέρειες μπορεί κανείς να βρεις αυτό εδώ το άρθρο. Το άρθρο αυτό μπορεί κανείς να το βρεις στο διαδίκτυο, είναι ανοιχτής πρόσβασης στο διαδίκτυο. Μπορεί να ενδιαφέρει ο τρόπος των οποίων είχαν οι Βαβυλώνιοι για να βρουν τέτοιους αντιστρόφους. Και η διέρεση τώρα. Είπαμε ότι είχαν πίνακες πολλαπλασιασμού. Αντίστοιχα, μπορούσαν πολύ εύκολα να κάνουν πίνακες διέρεσης. Όχι πίνακες διέρεσης, για να κάνουν τη διέρεση, χρησιμοποιούσαν τους πίνακες πολλαπλασιασμού και τους πίνακες των αντιστρόφων. Θέλαν να διαιρέσουν με έναν αριθμό, χρησιμοποιούσαν τον πίνακα των αντιστρόφων, βρίσκαν τον αντίστροφο και μετά, κάνανε τον πολλαπλασιασμό. Έχουμε λοιπόν πίνακες πολλαπλασιασμού, πίνακες αντιστρόφων και με αυτόν τον τρόπο μπορούσαν να κάνουν και τη διέρεση. Εκτός από αυτούς τους πίνακες, έχουν βρεθεί και πίνακες που έχουν τετράγωνα. Πολλαπλασιασμό, το στοιχείο στο τετράγωνο με τον εαυτό του, γινόμενο με τον εαυτό του, αλλά και τετραγωνικές ρίζες, όπως και πίνακες που είχαν κύβους και πίνακες που είχαν κυβικές ρίζες. Το ενδιαφέρον είναι το πώς βρίσκαν αυτούς τους πίνακες τετραγωνικές ρίζες. Αν κάνεις αρκετούς πίνακες με γινόμενα και με τετράγωνα, μπορείς να βρεις αντίστοιχα τους πίνακες με τετραγωνικές ρίζες. Τι εννοώ εδώ, τετραγωνικές ρίζες, εννοώ την ακριβή τετραγωνική ρίζα. Έτσι, όχι προσεγγίσεις, όχι ρίζα 2 περίπου κάτι, έτσι, η ρίζα 2 δεν θα μπορέσει ποτέ να τη βρούμε επακριβώς, προσέγγιση θα είναι. Αλλά οι Βαβυλιόνιοι είχαν πίνακες, οι οποίοι είχαν τις τετραγωνικές ρίζες αυτούς τους αριθμούς, για τους οποίους μπορούσαν να τους υπολογίσουν. Αυτό που έχουμε δει είναι ότι λύνανε και γραμμικές εξισώσεις. Τώρα, για να προσπαθήσουμε να δούμε και πώς το λύνανε, γιατί και αυτό έχει το ενδιαφέρον του. Έτσι, ξεκινούσαν, είναι ελεύθερη η μετάφραση αυτή, είναι ένα πρόβλημα το οποίο έχει βρεθεί σε μια πλακέτα, λέει έχουμε δύο χωράφια, το ένα παράγει περίπου τα 2 τρίτα των σπόρων αναμονάδα εμβαδού, ενώ το άλλο αναμονάδα εμβαδού παράγει μισό, το μισό ποσοστό. Γνωρίζουν ότι το άθρυσμα των δύο εμβαδών είναι 1.800 και ξέρουν επίσης ότι μία από όλες τις χρονιές, το ένα χωράφι παρήγαγε 500 κιλά περισσότερους σπόρους από το άλλο και ψάχνουν να βρουν το εμβαδόν του κάθε χωραφιού. Δύο εξισώσεις, η μία εξισώση είναι που λέει ότι το άθρυσμα των δύο εμβαδών είναι 1.800, έτσι βάζουμε χ να είναι το ένα εμβαδόν, ψ να είναι το άλλο, χ συν ψ πρέπει να είναι 1.800. Επίσης ξέρουμε ότι την συγκεκριμένη χρονιά η διαφορά της παραγωγής ήταν 500, δηλαδή δύο τρίτα επί των εμβαδών του πρώτου χωραφιού, δύο τρίτα χ, μείωνα ένα δεύτερο ψ, είναι 500 και ψάχνουμε να βρούμε το χ και το ψ. Είχαμε δει κάτι αντίστοιχο με τους αρχαίους Αιγυπτίους. Για να δούμε τώρα τι κάνουνε. Θα το λύναμε σήμερα με γραμμική άλγευρα, πολύ απλή γραμμική άλγευρα, βρίσκουμε κατευθείαν την απάντηση. Ο πίνακας, μάλιστα, των ουσιατελεστών εδώ είναι αντιστρέψιμος. Εντάξει, κάνουμε τα συνήθει και βρίσκεται η απάντηση 1200 για το ένα, για τη συνεχοσία του άλλου. Ποιος είναι ο τρόπος με τον οποίο θα το λύνανε εκείνη την εποχή. Πάλι σε ελεύθερη μετάφραση. Παίρνουν το 1800 και το διαιρούν για το 2. Λένε έστω ότι το χ και το ψ ήταν και τα δύο 900, έτσι. 900 σύν 900 μας δίνει 1800. Εκκανοποιείται η πρώτη εξίσουση. Η δεύτερη όμως εξίσουση δεν ικανοποιείται, γιατί βρίσκουμε 150 αντί να βρούμε 500. Και η διαφορά είναι 350. Μετά συνεχίζει μέθοδος επίλυσης. Και κατευθείαν από αυτό το σημείο, λέει πάρε 300, πρόσθεσέ το στο ένα, βρίσκεις το 1200 και αφαίρεσέ το από το άλλο. Και όταν το αφαιρείς από το 900, βγάζεις την άλλη απάντηση, βγάζεις τα 600. Εντάξει, το διαβάζει κανείς αυτό και προσπαθεί να καταλάβει τι είχαν στο νου τους. Πώς τα βγάλανε αυτά τα νούμερα. Και παρατηρεί κανείς. Ερμηνεία τώρα είναι αυτό. Αυτή είναι η ερμηνεία, το πώς καταλήγανε σε αυτήν την απάντηση. Σύμφωνα λοιπόν με αυτό εδώ, η εξήγηση που έχουμε, είναι καταρχήν βλέπουμε τι γίνεται αν τα δύο εμβαδά είναι ίσα. Όπως είδαμε η εξίσωση δεύτερη δεν ικανοποιείται, γιατί υπάρχει αυτή η διαφορά των 350. Και εκείνο που μελετάμε είναι τι θα γίνει αν αυξήσουμε την τιμή που δίνουμε στον εμβαδό κατά μία μονάδα. Τώρα για να ικανοποιείται το άθροισμα των δύο εμβαδών, αν δώσουμε μία μονάδα παραπάνω στον πρώτο χωράφι, θα πρέπει να την αφαιρέσουμε από το δεύτερο χωράφι. Τι γίνεται λοιπόν, η δεύτερη εξήγηση πώς αλλάζει. Η δεύτερη εξήγηση αν είχα χ στο πρώτο, θα γίνει χ1 στον εμβαδό και το άλλο θα γίνει ψ-1. Πόσο αλλάζει λοιπόν, κάνοντας τις πράξεις βλέπουμε ότι η αλλαγή για κάθε μονάδα, η αλλαγή είναι 7 έκτα. Αν δώσουμε λοιπόν 1 μονάδες παραπάνω στο 1, η αλλαγή θα είναι 7 έκτα επί 1. Και το μόνο που μένει τώρα να αποφασίσουμε είναι ποιο είναι αυτό το 1 έτσι ώστε τα 7 έκτα επί 1 να καλύψει τις 350 μονάδες. Στο 7 έκτα 1 αυτή η διαφορά είναι 350 και λύνοντας ως πρός το S, στη διαφάνεια έχω το S, 7 έκτα S είναι 350. Άρα από εκεί προκύπτει το S είναι 300 και ξέρουμε ότι προσθέτουμε το 300 στο 1 και αφαιρούμε το 300 από το δεύτερο εμβαδό. Και από αυτό που φαίνεται ξεκάθαρο εδώ είναι ότι οι Βαβυλώνιοι είχαν και την έννοια αυτής της αναλογίας. Στο πώς διατηρούνται αυτές οι αναλογίες είδαμε ότι το αντίστοιχο το είχαν και οι Αιγύπτιοι. Μια μέθοδος λοιπόν για να λύσει κανείς γραμμικές εξισώσεις, εντάξει με δύο παραμέτρους χρησιμοποιώντας απλά την ιδέα της αναλογίας. Μιλήσαμε για αυτήν την πλακέτα νωρίτερα, ήθελα να την επαναλάβω εδώ. Πλακέτα αυτή, πλακέτα του Πλήμπτων που βρίσκεται στην συλλογή του Γέιλ, πάει από το 1800 π.Χ. Είδαμε ότι αυτά τα σύμβολα αντιστοιχούν σε κάποιους αριθμούς. Λέμε ότι η ακμή του τέτραγωνου είναι 30, μετά είχε έναν αριθμό στη μια διαγώνιο, έναν αριθμό κάτω από αυτή τη διαγώνιο. Το ερώτημα είναι πώς συνδέονται αυτοί οι αριθμοί και τι συμπεράσματα μπορούμε να βγάλουμε από αυτήν τη σύνδεση. Ο αριθμός, ο οποίος είναι στη διαγώνιο, είναι το 1-24-51-10 και αυτός ο αριθμός, όταν το γράψουμε με βάση του 60, είναι το 1, είναι αυτό το άθροισμα που αντιστοιχεί στο 1.142196. Τώρα βλέπουμε ότι ο αριθμός αυτός είναι μια πολύ καλή προσέγγιση για τη ρίζα του 2. Δεν είναι ίσως με τη ρίζα του 2. Δεν θα μπορούσε να είναι ίσως. Η ρίζα του 2 είναι άριτος ο αριθμός. Όχι δεκαδικό αριθμό ψηφίων που παίρνουμε εδώ, σε αυτό το πεπερασμένο άθροισμα. Είναι όμως μια πολύ καλή προσέγγιση στη ρίζα του 2, θετραγωνική ρίζα του 2. Ποια είναι η σχέση ανάμεσα στους τρεις αριθμούς που ήρθαν στην πλακέτα. Είπαμε ότι η ακμή είχε το 30. Μετά είδαμε αυτόν τον αριθμό στη μέση, που τον αναγνωρίσαμε σαν προσέγγιση της ρίζας του 2. Και από κάτω είναι το 42.2535. Και η παρατήρηση εδώ που την είχαμε κάνει, για την πρώτη φορά που βρεθήκαμε, είναι ότι ο τρίτος αριθμός από τη διαγωνία από κάτω, εκείνο το 42.2535, προκύπτει από τους άλλους δύο ως γινόμενο. Πώς το βλέπουμε αυτό. Μπορώ να τα πολλαπλασιάσω και να βεβαιωθώ ότι παίρνω αυτόν τον αριθμό. Ή πιο απλά ακόμη, να θυμηθώ ότι το 30 με βάση το 60, αντιστοιχεί στο 1 δεύτερο. Όταν πολλαπλασιάζω με το 30, είναι σαν να αδιερώ με τον αντίστροφό του. Για να πολλαπλασιάσω λοιπόν το 30 με το 1,245110, παίρνω το 1,245110 και το διαιρώ με το 2. Για να ξεκινήσουμε τη διαίρεση, να βεβαιωθούμε για τα πρώτα ψηφία. Έχω το 1 και το 24. Αυτό μαζί κάνει 84. Δια το 2, μου δίνει το 42. Το 42 είναι ακριβώς γραμμένο από κάτω από το 1,24. Προκύπτει από τη διαίρεση το 1,245110, δια το 2. Το γινόμενο του 30 με αυτόν τον αριθμό. Και τα άλλα τα ψηφία, επιβεβαιώστε το. Ωραία. Έχουμε λοιπόν ότι το τρίτο είναι το γινόμενο των άλλων 2. Ναι και? Ναι. Ποιο είναι το μήκος της διαγωνίου ενός τετραγώνου που έχει ακμή α? Αν η ακμή είναι α, τότε το μήκος της διαγωνίου είναι της μισής διαγωνίου. Είναι α τετράγωνος, α τετράγωνο, ρίζα αυτονού, δηλαδή το α ρίζα 2. Και αυτό λοιπόν το οποίο βλέπουμε είναι ότι ο τρίτος αριθμός αντιστοιχεί στο μήκος της διαγωνίου του τετραγώνου. Τι μας υποδεικνύει αυτό? Ότι αν γνωρίζουμε το μήκος μιας ακμής, τότε μπορούμε να βρούμε το μήκος της διαγωνίου, εντάξει. Αλλά μας λέει ότι υποδεικνύει ότι οι Βαβυλώνιοι είχαν γνώση του Πιθαγορίου θεωρήματος, το οποίο βέβαια δεν αποκαλιόταν τότε π.Χ.Χ. 1800 π.Χ. Είπαμε ότι ο Πιθαγόρας μετράει στον 500 π.Χ. πολύ αργότερα. Το άλλο, το οποίο μας λέει, είναι ότι είχαν αναπτύξει κάποια τεχνική για το να βρούνε προσεγγίσεις τετραγωνικών οριζών. Εδώ, λοιπόν, αυτό το οποίο εννοώ είναι τεχνική για την έβρεση προσεγγίσεων τετραγωνικών οριζών. Και αυτό το οποίο πιστεύουμε σήμερα είναι ότι η τεχνική τους μοιάζει πολύ με την τεχνική που χρησιμοποίησε και ο Νεύτωνας. Έτσι, πολύ πολύ αργότερα. Και με την τεχνική που αποδίδεται με τη μέθοδο του Ήρωνα του 150 μ.Χ. Δηλαδή, ξεκινάς με μια προσέγγιση α1 για να βρεις την τετραγωνική ρίζα του Β. Ξεκινάς με μια προσέγγιση α1, μετά την κάνεις καλύτερη, παίρνοντας το επόμενο βήμα, το μισό, ένα δεύτερο. Προσπαθείς να διορθώσεις το λάθος και αυτό που παίρνεις είναι το α1 συν τον αριθμό σου που ψάχνεις να βρεις τη ρίζα του 2 του α1 και παίρνεις το μισό. Την επόμενη φορά ξανά επαναλαμβάνεις αυτή τη διαδικασία και παίρνεις μια καλύτερη προσέγγιση. Σε κάποιο σημείο σταματάς. Νομίζω ότι η ρίζα 2 που γράψαμε προηγουμένως, αυτή η προσέγγιση είναι μετά από 4 βήματα. Σταματήσαν μετά από 4-5 βήματα. Αυτά λοιπόν είναι ενδείξεις. Μέχρι δεν υπάρχει σιβουριά, είναι ενδείξεις. Ερμηνεύουμε ότι οι Βαβυλόνοι είχαν γνώση του Πιθαγορίου θεωρήματος και επίσης πιστεύουμε, γιατί έχουν υπολογίες τετραγωνικές ρίζες και προσογιές τετραγωνικών ρίζων, ότι είχαν μια τεχνική για να τη βρουν. Και από ό,τι έχουν μελετήσει οι μαθηματικοί και προσπαθούν να τα σύγκρυνουν, τεχνική τους πρέπει να ήταν αυτή που ονομάζεται σήμερα μέθοδος των Βαβυλωνίων ή και μέθοδος του Ήρωνα. Και μοιάζει πολύ με τεχνική του Νεύτωνα. Έτσι, για να συγκρίνουμε ποια είναι η τιμή που δώσαν οι Βαβυλόνοι, είναι ο αριθμός που έχω επάνω. Στο 2.96 τελειώνει. Έτσι, η προσέγγιση στα οκτώ δεκαδικά ψηφία είναι στο 3.56. 2.96 δώσανε, 3.56 είναι σήμερα και βέβαια συνεχίζεται πάπιρο, αλλά είναι πολύ καλή η προσέγγιση. Το ρήζα 2 μέχρι το 2.006 είχε υπολογιστεί, για να δούμε πόσο μηδανικά έχω βάλει, 12 μηδανικά. Έτσι. Και το ρήζα 2 συγκεκριμένα έχει πολύ ενδιαφέρουσες ιδιότητες, γιατί το αντίστροφο της ρήζας 2 είναι ίσο με το μισό της ρήζας 2, είναι μυριτός αριθμός και ούτω καθεξής, αριθμός ο οποίος έχει μελετηθεί πολύ. Έτσι, μην είναι ένας ενδιαφέρον αριθμός. Και παίρνοντας αυτόν σαν αφορμή, ήθελα να προχωρήσω και σε αυτήν εδώ την πλακέτα, την πλακέτα του Πλήμπτων, που έχει τις τριάδες του Πιθαγόρα. Έτσι, από αυτήν εδώ την πλακέτα πιστεύουμε ότι λείπει η πρώτη στήλη. Για να δούμε τη μετάφραση. Έτσι, και αυτό πάλι οφείλεται σε η εργασία όταν έγινε η αποκρυπτογράφηση και η μελέτη, όλοι αυτοί. Αυτό δημοσιεύτηκε στο περιοδικό, στο μαθηματικά κόνοι φορν στέξ, έτσι της Αμερικανικής Ανατολικής Κοινωνίας, Society, το 1915. Συνδόθηκε αυτήν εδώ η πλακέτα, μεταφράστηκαν εδώ οι ερισμοί και έγινε και ερμηνεία ότι αυτοί εδώ οι ρυθμοί αντιστοιχούν σε τριάδες του Πιθαγόρα. Έτσι, δεν φαίνεται αυτό κατευθείαν. Τελευταία στήλη έχει απλά την αρρύθμιση των αριθμών, ένα, δύο, τρία και ούτω καθεξής. Οι άλλοι ρυθμοί τι είναι και πώς τους βλέπει κανείς ότι είναι όντως τριάδες του Πιθαγόρα. Έτσι, θα μείνουμε σε αυτήν εδώ τη γραμμή για να προσπαθήσω. Θα τα γράψω αυτά εδώ για να τα έχω στον πίνακα, για να καταλάβουμε τι είναι. Έτσι, έχω το 0. Από δίπλα έχω το 45. Το 75, εντάξει, είναι το τελευταίο αριθμό, απλά είναι ο αριθμός με τη σειρά που εμφανίζεται στην πλακέτα. Τώρα θυμόμαστε ότι αριθμή αυτή είναι αριθμή στην βαβυλονιακή αριθμίση. Το 45 λοιπόν είναι το 45, εννοούμε 45-60. Έτσι, ο αριθμός αυτός είναι το 75-60. Ο αριθμός λοιπόν αυτός, αν τον γράψω με το συνήθι τρόπο, τα καδικά είναι τα τρία τέταρτα. Εδώ πέρα έχω τον αριθμό πέντε τέταρτα. Και μετά βλέποντας τι είναι ο αριθμός αυτός εδώ στην πρώτη στήλη, είναι το τρία τέταρτα στο τετράγωνο. Τώρα για εσάς που σκέφτεστε πιθαγόρια τριάδα, μπορείτε να αναγνωρίσετε μια πιθαγόρια τριάδα εδώ. Ποια είναι η πιθαγόρια τριάδα? Έτσι, θέλω τρεις αριθμούς που το άθροισμα των τετραγώνων των δύο αριθμών να είναι το τετράγωνο του τρίτου. Που εμφανίζεται η πιθαγόρια τριάδα εδώ? Τρία, τέσσερα και πέντε. Έτσι, το τρία, εννιά, δεκάξι, μας δίνει το εικοσπέντε. Τρία, τέσσερα, πέντε. Τρία, πέντε και αυτό εδώ το τέσσερα. Και εδώ έχω το τρία τέταρτα. Προσπαθεί κανείς να αποκρυπτογραφίσει, είδανε ότι όλοι οι αριθμοί, οι οποίοι εμφανίζονται εδώ, ικανοποιούσαν. Αυτό το τρόπο ήταν αυτής της μορφής. Εντάξει. Τρία τέταρτα, πέντε τέταρτα. Για να βάλω και το τέσσερα τέταρτα, για να είναι συμμετρικά εδώ. Τρία τέταρτα, τέσσερα τέταρτα, πέντε τέταρτα. Εντάξει, απλά έβαλα το κλάσμα. Για να προσπαθήσουμε να ερμηνεύσουμε, όπως το κάνανε ο Νιούκεν Μπάουερ και ο Σάκς. Φαίνεται, όπως είπα, ότι λείπει η πρώτη στήλη. Τη συμπληρώνουμε αυτή την πρώτη στήλη. Φαίνεται να ήταν το ψ. Αν έχω χ να είναι το τρία, αυτό εδώ λοιπόν να είναι το χ. Το ψ είναι στην πρώτη στήλη και αντιστοιχεί αυτό που έγραφε, μάλλον φαίνεται να λείπει, είναι το εξήντα. Αντιστοιχεί λοιπόν στο εξήντα προς εξήντα, στο ένα. Και μοιάζει να είναι, εντάξει, πώς σκεφτόμαστε τις Πιθαγόριες Τριάδες, οι δύο αριθμοί, το τετράγωνο τους μας δίνει το τρία, είναι οι δύο πλευρές ενός ορθού τριγόνου και μετά η τρίτη πλευρά να είναι το ν. Ποια είναι η ιδιότητα των τριάδων, χ τετράγωνο συν ψ τετράγωνο είναι ίσον με το ν τετράγωνο. Εδώ λέμε ότι έχουμε κλάσματα, πώς τα βγάζουμε, διαιρώ με το ψ. Έτσι το ήδη κάναμε αυτήν την ιδέα, διαιρούμε με το ψ. χ ψ τετράγωνο συν ψ τετράγωνο προς ψ τετράγωνο, δηλαδή μονάδα είναι δίδια ψ τετράγωνο. Πώς πιστεύουμε ότι τις βρίσκανε αυτές τις Τριάδες, γιατί είναι εξεκάθαρο ότι είναι διάφορες Τριάδες, δεν είναι προφανές στο να βγάλεις πιθαγόριες Τριάδες, ούτε γίνεται με απλή δοκιμή. Και προσπάθησαν οι Νιουκενμπάουερ και Σάξι να βρουν τον τρόπο να ερμηνεύσουν, τον τρόπο με τον οποίο παρήχθησαν αυτές εδώ οι Τριάδες. Και ένας τρόπος, ο οποίος έχει μέσα γεωμετρική ερμηνεία, είναι αυτός εδώ, ο οποίος περιγράφεται παρακάτω. Έχουμε λοιπόν, βάζουμε U να είναι το Χ για Ψ, το V να είναι T προς Ψ και τώρα έχουμε απλά, 2 τετράγωνος συν ένα είναι ίσον με το Β τετράγωνο. Αν μπορέσω να βρω U και Β, τότε θα μπορούσα για διάφορες τιμές του Ψ, να βρω το Χ και το D. Και όταν γράψω 2 τετράγωνος συν ένα ίσον με Β τετράγωνο και φέρω το ένα από την άλλη μεριά, το Β από την πρώτη, τότε έχω απλά διαφορές τετραγώνον. Έχω Β μοιών U επί Β συν U να είναι ίσο με τη μονάδα. Αντί λοιπόν να ψάχνω Χ και Ψ που να ικανοποιούν, που να είναι πιθαγόρια τριάδα, αυτό το οποίο ψάχνουμε είναι να βρούμε Β και U, έτσι ώστε η διαφορά του Β με το U και το άδρισμα του Β με το U να είναι μονάδα. Η γεωμετρία πάει, γιατί μπορούμε πολύ άνετα να υποθέσουμε ότι οι Β γνωρίζανε το εμβαδό ενός ορθογωνίου παραλληλόγραμμα. Αυτό λοιπόν το οποίο ψάχνουμε είναι παραλληλόγραμμα ακόμα ενός παραλληλόγραμμα, το οποίο να έχουν πλευρές Β-U και Β-U. Τι άλλο πιστεύουμε ότι μπορούσα να κάνουν εδώ? Δίνουμε στο Β-U την τιμή α, Β-U την τιμή α, τότε Β-U επί Β-U είναι ίσο με τη μονάδα. Το Β-U επάνω επί το Β-U είναι ίσο με τη μονάδα, από τη διαφορά τετραγώνα. Εάν το Β-U λοιπόν του δώσω την τιμή α, τότε το Β-U είναι 1 προς α. Ξέρουμε ότι οι Βαβυλώνιοι μπορούσαν να λύσουν γραμμικές εξισώσεις, έτσι το είδαμε προηγουμένως. Αν δώσουμε λοιπόν, έχουμε δύο εξισώσεις τώρα. Η μια εξίσουση είναι Β-U ίσο με το α, από τον πίνακα που έχουμε τους αντιστρόφους, ξέρω πόσο είναι το 1 διά α, γράφω και την άλλη εξίσουση Β-U είναι ίσο με το 1 διά α. Προσπαθώντας λοιπόν να βρουν πιδαγόριες τριάδες, βρίσκουμε δύο γραμμικές εξισώσεις. Χρησιμοποιούμε για την πρώτη βάζω έναν αριθμό α, για τη δεύτερη εξίσουση βρίσκω τον αντίστροφο του α. Έχω τρόπο, μέθοδο για να λύσω τις γραμμικές μου εξισώσεις, βρίσκω Β-U και μετά από εκεί μπορώ να παράξω πολλές τριάδες πολλαπλασιάζοντας με το κατάλληλο ψ. Και μάλιστα πιστεύω ότι όλες οι τριάδες που είναι στην πλάγκα του Πρίμπτον είναι σωστές, είναι όντως πιδαγόριες τριάδες. Νομίζω σε κάποια από όλες έχει ένα λάθος, περισσότερες είναι απολύτως σωστές. Και το ερώτημα λοιπόν το οποίο μένει, το οποίο είπα, εντάξει, η διαφορά τετραγόνων είναι ίσοη με τη μονάδα. Αυτό όμως πώς προκύπτει, είναι απλή γνώση. Εντάξει, οι Βαβυλώνιοι έχουν μέθοδο για να λύσουν γραμμικές εξισώσεις. Δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο παραμέτρους έχουν τη μέθοδο για να το λύσουν. Έχουν επίσης τους πίνακες με τους αντιστρόφους. Για να φτάσουν όμως μέχρι εκεί μένει αυτό το βήμα. Έχουν τη γνώση ότι το β τετράγωνο μίον γιου τετράγωνο είναι ίσο με το β μίον γιου επί βίσσιν γιου. Έτσι, πώς γνώριζαν οι Βαβυλώνιοι ότι το β τετράγωνο μίον γιου τετράγωνο είναι ίσο με το β μίον γιου επί βίσσιν γιου. Η αλγευρική γραφή, ο τρόπος για να γράφουμε εξισώσεις δεν είχε εφευρεθεί και καθυστέρησε πολύ να εφευρεθεί. Είναι ένα από τα πράγματα που έγινε δέκατο αιώνα μετά Χριστού. Καθυστέρησε πάρα πολύ να γραφτεί η αλγευρικά μια τέτοια εξίσωση. Πώς, λοιπόν, πιστεύουμε ότι το είχαν οι Βαβυλώνιοι ότι ξέρουν για αυτήν την διαφορά τετραγών. Και αυτή εδώ είναι μια γεωμετρική εξήγηση. Έχω το βισιν γιου, που σίγουρα είναι μεγαλύτερο από το βίμιον γιου. Φτιάχνω, λοιπόν, ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, που η μια πλευρά του είναι το βισιν γιου και η άλλη του πλευρά είναι το βί μάινιος γιου. Τώρα, στην μεγάλη την πλευρά, το βισιν γιου, βρίσκω πόσο είναι το βί μάινιος γιου, πόσο μου μένει για να φτάσω στο βισιν γιου. Το τμήμα που περισσεύει είναι το δύο γιου. Το διερό, λοιπόν, το αρχικό παραλληλόγραμμο σε τρία μέρη. Το ένα είναι το τετράγωνο με ακμή βί μάινιος γιου, έτσι και το κάθετο και το οριζόντιο έχει μήκος βί μάινιος γιου, είναι λοιπόν τετράγωνο. Είναι το βί μάινιος γιου τετράγωνο, πόσο είναι το εσωτερικό τετράγωνο. Ενώ το άλλο περισσεύει έχει δύο παραλληλόγραμμα που οι ακμές και των δύο παραλληλόγραμμων είναι γιου και βί μάινιος γιου. Το τελευταίο παραλληλόγραμμα, το τελευταίο παραλληλόγραμμα αυτό που είναι στο τέλος, το βάζουμε έτσι ώστε να κολλήσει με το τετράγωνο. Το τελευταίο παραλληλόγραμμα, το τελευταίο παραλληλόγραμμα αυτό που είναι στο τέλος, το βάζουμε έτσι ώστε να κολλήσει με το τετράγωνο. Το τελευταίο παραλληλόγραμμα αυτό που είναι στο τέλος, το βάζουμε έτσι ώστε να κολλήσει με το τετράγωνο που έχει ακμή βί μάινιος γιου. Αν τα κάνουμε όλα αυτά, αυτό το οποίο θα μείνει είναι ένα τετράγωνο το οποίο έχει ακμή βί, αλλά από αυτό το τετράγωνο λείπει ένα τετραγωνάκι που έχει ακμή γιου. Και όλα αυτά ξεκίνησαν, έτσι δεν έχουμε αλλάξει το αρχικό σχήμα, έχουμε ξεκινήσει με ένα εμβαδό, αυτά τα κομμάτια του εμβαδού δεν έχουν χαθεί, απλά τα έχουμε αλλάξει θέση. Πήραμε το ένα παραλληλόγραμμα, το μεταφέραμε, βλέπουμε τώρα ότι παίρνουμε ένα μεγαλύτερο τετράγωνο, το τετράγωνο αυτό έχει ακμή βί και από αυτό λείπει το τετραγωνάκι που έχει ακμή γιου και φαίνεται ξεκάθαρα από την εικόνα. Με αυτόν τον τρόπο λοιπόν, το β συν γιου επί β-γιου είναι ίσο με το β τετράγωνο μίον το γιου τετράγωνο. Αυτό πιστεύουμε ότι είναι μια εξήγηση που μπορούσαν, μια εξήγηση που θα μπορούσε να αποδοθεί γεωμετρικά, παίρνεις τα σχήματα, παίρνεις με αυτό, αυτό λοιπόν θα μπορούσε να αποδοθεί στους Βαβυλονίους. Εντάξει, ερμηνείες είναι αυτές. Πόσο πιστεύουμε ότι είναι σωστές, είναι δυνατόν να γνωρίζαν το Πιθαγόριο Θεόριμα οι Βαβυλόνοι, είναι δυνατόν να γνωρίζαν ότι αν παίρνω ένα τρίγωνο με δύο ορθές, ένα ορθό τρίγωνο, γνωρίζαν ότι το άθρισμα των τετραγώνων είναι το τετράγωνο της άλλης πλευράς, στις αιμέτρες. Στις αιμέτρες. Σε μια πλάκα υπάρχει το παρακάτω πρόβλημα. Λέει ότι μια κολώνα, η οποία έχει μήκος 30, στηρίζεται σε έναν τείχο. Έτσι, φτιάχνει λοιπόν ένα ορθό τρίγωνο. Έχω αυτήν εδώ τη κολώνα. Αυτή έχει μήκος 30 και στηρίζεται σε έναν τείχο. Η πάνω πλευρά μετακινείται από μία απόσταση 6. Και η κάτω πλευρά μετακινείται από μία απόσταση 6. Ρωτάνε πόσο μετακινήθηκε η κάτω άκρη. Αυτό λοιπόν εδώ είναι 30, μετακινείται, πάει κάπου εδώ. Αυτό εδώ μας λένε ότι μετακινήθηκε κατά 6. Το ερώτημα είναι πόσο μετακινήθηκε αυτή. Προσπαθείτε να λύσετε το πρόβλημα και να δείτε αν χρειάζεται, εάν θα το λύνατε χρησιμοποιώντας το πιθαγόριο θεόρημα. Η απάντηση πάντως, την οποία δίνουν σωστοί, φαίνεται και λένε ότι η τετραγωνική δύναται ως τετραγωνική ρίζα και υπολογίζεται να είναι το 18, του 30 τετράγωνο μειών 24 τετράγωνο, το οποίο λένε ότι είναι 18. Κάτι άλλο, το οποίο θα συζητήσουμε όμως σε επόμενο μάθημα, είναι ότι οι Βαβυλώνιοι επίσης μπορούσαν να λύσουν δευτεροβάθμιες και τριτοβάθμιες εξισώσεις. Θα το δούμε αυτό σε επόμενο μάθημα.