Διάλεξη 1 / Διάλεξη 1 / Διάλεξη 1 - Ζιούτας Γεώργιος (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Διάλεξη 1: Παιδιά, καλησπέρα. Μαζί θα κάνουμε πιθανότητες. Στο μάθημα αυτό είμαστε δύο διδάσκοντες. Εγώ είμαι ο Ζιούθας και ο συνάδελφός μου ο κύριος Κουγιουμτσής. Με τον οποίο θα κάνετε στατιστική. Στο μάθημα αυτό θα κάνουμε πιθανότητες. Στο μάθημα αυτό είμαι ο Ζιούθας και ο συνάδελφός μου ο κύριος Κουγιουμτσής. Με τον οποίο θα κάνετε στατιστική. Περίπου έξι με εφτά εβδομάδες θα κάνουμε πιθανότητες. Είναι λίγο μεγαλύτερο το κομμάτι της πιθανότητες. Είναι πολύ βασικό. Και στη συνέχεια θα κάνετε με τον κύριο Κουγιουμτσή. Τα βιβλία δύο επιλογές προτείνομαι. Είναι πιθανότητες και στατιστική για μηχανικούς. Είναι δικό μου το βιβλίο. Είναι πολύ καλό. Έχει πολλά παραδείγματα και πολλές ασκήσεις λιμμένες, προβλήματα και τα λοιπά. Αν σας αρέσει το επιστρέφετε έτσι. Λοιπόν η δεύτερη επιλογή είναι ένα άλλο βιβλίο πιθανότητες του Κομαρινόπουλου. Ο οποίος ήταν καθηγητής παλιότερα εδώ πέρα στους ηλεκτρολόγους μηχανικούς. Λοιπόν το βιβλίο μπορείτε να το πάρετε από τις εκδόσεις της Οφία, που είναι εδώ πέρα στην Εθνική Σαμίνη. Νομίζω έχετε πάρει και άλλα βιβλία από εκεί, έτσι δεν είναι. Δεν ξέρω αν μπορείτε να πάτε να το πάρετε, το έχετε δηλώσει τον Αηδοξό. Δεν έχει ανοίξει ακόμα. Με πάση περιπτώση, ελπίζω σε μια-δυο εβδομάδες δεν μπορέσε να το πάρετε. Τώρα, όσα φορά την αξιολόγηση στο μάθημα, έχουμε από τις εξετάσεις, μπορείτε να πάρετε 8 μονάδες. Και από δύο τεστ που θα σας δώσουμε, μπορείτε και από εκεί να πάρετε δύο μονάδες, σύνολο 10. Εντάξει. Αλλά υπάρχει όμως μια απαραίτητη προϋπόθεση για να περάσει το μάθημα, θα πρέπει στις εξετάσεις να πάρετε τουλάχιστον 4. Αν κάποιος, για παράδειγμα, πάρει 3 από τις εξετάσεις και 2 από τα τεστ, 3 και 2, 5, δεν περνάει το μάθημα, γιατί δεν έχει πάρει το 50% από τις εξετάσεις. Εντάξει. Τώρα, το μάθημα δεν είναι δύσκολο, αρχί όμως να παρακολουθείτε στο μάθημα. Ορίστε. Ναι, το τεστ που θα σας δώσω εγώ, θα είναι κάπου 15 ασκήσεις, τις οποίες κατά τη διάρκεια των μαθημάτων εγώ θα τις αναλύσω εδώ πέρα, θα τις σλήσουμε σχεδόν μαζί και στο τέλος θα σας δώσω το φυλάδιο με τις 15 ασκήσεις. Και θα σας πω παιδιά, ολοκληρώστε, καθαρογράψτε τις ασκήσεις, τις λύσεις και να μου το φέρετε. Και εκείνο που θέλω εγώ από το τεστ που θα πάρετε μία μονάδα από αυτό, είναι να καταλάβετε πώς λύνονται οι ασκήσεις. Όποιος δεν μπορεί να τις λύσει μόνος ή να τις ελοκληρώσει ή δεν τις έχει καταλάβει μάση περιπτώση, μπορεί να έρθει στο γραφείο μου και εγώ θα το εξηγήσω. Ο κ. Κοριομιτσής θα σας δώσει ένα πρόβλημα, το οποίο θα το λύσετε με το SPSS στατιστικό πακέτο, το οποίο βέβαια θα σας το διδάξει στο εργαστήριο των ηλεκτρικών υπολογιστών. Και αυτό θα γίνει κάτω τον Ιούνιο περίπου, θα σας δώσει ένα πρόβλημα, το οποίο θα το λύσετε με το SPSS και θα πάρετε και από εκεί μία μονάδα. Τώρα, ας ξεκινήσουμε το μάθημα σχετικά με τις πιθανότητες. Σε αυτό το μάθημα θα μάθουμε την Μεθοδολογία των Πιθανότητων, για να μπορούμε να εκτιμήσουμε, να ακολογήσουμε την πιθανότητα οποιοδήποτε γεγονότητα. Σήμερα στον κόσμο που ζούμε υπάρχουν δύο ειδών γεγονότα. Τα καθοριστικά και τα στόχαστικά. Στα καθοριστικά ή διτερμηνίστηκ γεγονότα, όπως λέμε, είναι τα γεγονότα που αν γνωρίζουμε το περιβάλλον κάτω από το οποίο διεξάγονται, γνωρίζουμε και το αποτέλεσμα. Δηλαδή η πτώση ενός σώματος, αν ξέρουμε το περιβάλλον στο οποίο πραγματοποιείται η πτώση, μπορούμε να ξέρουμε την επιτάχυνση, την ταχύτητα του σώματος κλπ. Ο βαθμός, η θερμοκρασία στον οποίο βράζει ένα υγρό, αν ξέρουμε το περιβάλλον που πραγματοποιεί το πείραμα, ξέρουμε και τη θερμοκρασία στην οποία βράζει το υγρό. Υπάρχουν, εν πάση περιπτώση, πολλά γεγονότα σήμερα που είναι καθοριστικά. Δηλαδή γνωρίζουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες διεξάγονται, ξέρουμε και ποιο θα είναι και το αποτέλεσμα, ποια θα είναι η έγβαση του φαινομένου αυτού. Από την άλλη πλευρά υπάρχουν τα στοχαστικά γεγονότα. Τα στοχαστικά γεγονότα, παρόλο που ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιούνται, δεν μπορούμε να προβλέψουμε μέχρι τον προτέρον το αποτέλεσμα. Θα μπορούσαμε έτσι να δώσουμε ένα παράδειγμα απλό που χρησιμοποιούμε συνήθως και στις πιθανότητες ενεργαλείο, την ρίψη του ζαριού. Εάν ρίξω εγώ ένα ζάρι, το ίδιο ζάρι, ο ίδιος παίκτης θα αναρρίξει ένα ζάρι, παρόλο που πραγματοποιείται κάθε φορά κάτω από την ίδια συνθήκη, δεν μπορώ να προβλέψω ποιο θα είναι το αποτέλεσμα. Δηλαδή η ρίψη του ζαριού είναι ένα στοχαστικό φαινόμενο. Υπάρχουν βέβαια και ένα σωρό άλλα στοχαστικά φαινόμενα που θα δούμε, τα οποία αφορούν τους μηχανικούς, όπου δεν μπορούμε να προβλέψουμε ποιο θα είναι το αποτέλεσμα, παρόλο που ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται. Και το βασικότερο στοχαστικό φαινόμενο, το οποίο θα χρησιμοποιήσουμε σαν εργαλείο στις πιθανότητες, είναι το πείραμα τύχης. Το πείραμα τύχης είναι ένα στοχαστικό γεγονός, το οποίο το συμβολίζουμε με ε, experimental, είναι ένα στοχαστικό γεγονός, το οποίο μπορούμε να το πραγματοποιήσουμε όσες φορές θέλουμε, το οποίο κάθε φορά που πραγματοποιείται, πραγματοποιείται κάτω από τις ίδιες συνθήκες, και εκ των προτέρων ξέρωμε όλα τα δυνατά ενδεχόμενά του. Δηλαδή η ρήψη του ζαριού θεωρούμε ότι είναι ένα τυχαίο πείραμα, όπου μπορούμε να το πραγματοποιήσουμε πολλές φορές, ξέρωμε εκ των προτέρων ποια είναι όλα τα δυνατά αποτελέσματα, αλλά κάθε φορά που το πραγματοποιούμε, δεν ξέρωμε ποιο θα είναι σίγουρα το αποτέλεσμα, όλα τα δυνατά αποτελέσματα τα ξέρωμε, αλλά δεν ξέρωμε ποιο θα είναι το συγκεκριμένο κάθε φορά που το πραγματοποιούμε. Το συμβολίζουμε λοιπόν με ε, και όλα τα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος, οδήποτε πειράματος, το συμβολίζουμε με ε, το οποίο ονομάζουμε δειγματικό χώρο ή δειγματοχώρο. Και ο δειγματοχώρος είναι έναν σύνολο, το οποίο περιλαμβάνει όλα τα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος, τα οποία συμβολίζουμε διεθνώς μέσα σε ένα μικρό 2 μέχρι σε 1, αν 1 είναι τα αποτελέσματα του πειράματος. Είναι το κυριότερο εργαλείο με το οποίο θα φτιάξουμε την Μεθοδολογία των Πιθαίνωτήτων. Το πείραμα τύχης είναι το βασικότερο εργαλείο με το οποίο ξεκινάμε για να καταλάβουμε και τις έννοιες της Μεθοδολογίας και των Πιθαίνωτήτων. Ας δώσουμε μερικά παραδείγματα. Η ρήψη, ένα πείραμα, είναι η ρήψη ζαριού. Στη ρήψη του ζαριού και παρατηρούμε την ένδειξη που θα φέρει το ζαρι. Ο δειγματικός χώρος είναι όλα τα δυνατά ενδεκόμενα, το οποίο είναι 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ας προχωρήσουμε με πολλά παραδείγματα, με αρκετά παραδείγματα σχετικά με το πείραμα τύχης και με τον δείγματο χώρο. Έχουμε ένα νόμισμα τρεις φορές και παρατηρούμε την όψη του νομίσματος. Στο πείραμα αυτό, ο δειγματικός χώρος, ποιο θα έχει όλα τα δυνατά ενδεκόμενα είναι να έρθουν τρεις κεφαλές ή να έρθουν δύο κεφαλές, αλλά με διαφορετική σειρά ή μπορεί να είναι μία κεφαλή και δύο γράμματα με διαφορετική σειρά ή να είναι τέλος τρεις, καμία κεφαλή, τρία γράμματα δηλαδή. Αυτός είναι ένας άλλος δειγματοχώρος, ο οποίος περιλαμβάνει οκτώ ενδεκόμενα, οκτώ αποτελέσματα ή οκτώ δείγματο σημεία, όπως λέμε. Σε μία άλλη περίπτωση, μπορεί να μετράμε τον αριθμό των ελατωματικών προϊόντων σε μία παραγωγή. Μπορεί κανένα κομμάτι να είναι ελατωματικό ή ένα ή δύο ή τρία ή εν. Αν εν είναι τα κομμάτια σε μία παραγωγή και μετράμε τα ελατωματικά, όλα τα δελατά ενδεκόμενα είναι εν. Σε μία άλλη περίπτωση, σε ένα ραδιοενεργό σώμα, αν παρατηρούμε τα σωματίδια που εκπέμπει ένα ραδιοενεργό σώμα, αυτά μπορεί να είναι μηδέν, ένα, δύο, μπορεί να πάθει ερωτικά μέχρι το άφυρο. Αυτή η δειγματοχώρη εδώ πέρα που αναφέραμε είναι διακριτή, γιατί έχουν πεπερασμένο αριθμό αποτελεσμάτων ή μπορεί να έχουν άπειρο αριθμό αποτελεσμάτων, αλλά μετρήσιμα. Όλα τα ενδεχόμενα είναι μετρήσιμα, ένα, δύο, τρία, όπως οι φυσικοί αριθμοί. Αυτή είναι η διακριτή δειγματοχώρη. Υπάρχουν όμως και οι συνεχείς. Στους συνεχείς δειγματοχώρους θα αναφέρω εδώ ένα παράδειγμα, όπου μετράμε το χρόνο καλής λειτουργίας μιας λιχνίας. Ο χρόνος καλής λειτουργίας είναι ένας αριθμός χ, ο οποίος βέβαια ανήκει στους πραγματικούς αριθμούς. Σε αυτή την περίπτωση, όλα τα δυνατά ενδεχόμενα, τα αποτελέσματα του πειράβατος, δεν είναι μετρήσιμα. Είναι άπειρα, μη μετρήσιμα. Είναι δηλαδή πραγματικοί αριθμοί, οι οποίοι ανήκουν στους πραγματικούς ή ανήκουν μέσα σε ένα διάστημα των πραγματικών αριθμών. Ή μπορούμε σε ένα άλλο πείραμα να μετράμε τη θερμοκρασία σε έναν τόπο η ώρα 12 το μεσημέρι. Και αυτό ανήκει μεταξύ της ελάχισης θερμοκρασίας που μπορεί να πάρει ο τόπος αυτόν και στη μέγιστη θερμοκρασία που μπορεί να σημειωθεί στον τόπο αυτόν. Και εδώ πέρα έχουμε πάλι συνεχή δειγματοχώρο. Έχει άπειρα αποτελέσματα από την ελάχιστη θερμοκρασία μέχρι τη μέγιστη. Είναι πραγματική αριθμή. Είναι συνεχής ο δειγματοχώρος. Στο πείραμα αυτό όμως θα μπορούσαμε να έχουμε κι άλλα αποτελέσματα. Δηλαδή να έχουμε τη μέση θερμοκρασία κατά τη διάρκεια της ημέρας. Που μπορεί να έχει κι αυτό άπερα αποτελέσματα. Ή μπορεί να μετράμε τις μέρες όπου έπησε η θερμοκρασία κάτω από το μηδέν. Και έγινε παγετός κτλ. Σε ένα πείραμα δηλαδή μπορεί να έχουμε παραπάνω από έναν δειγματοχώρος. Και επίσης όπως θα δούμε όλα τα δυνατά αποτελέσματα σε ένα πείραμα τύχης, αν θέλω μεταγράφουμε αναλυτικά ή αν θέλω μεταγράφουμε περιληπτικότερα. Άντως αυτό θα το καθορίσουμε στη συνέχεια ανάλογα με την πιθανότητα που θέλουμε να εκτιμήσουμε από διάφορα γεγονότα. Όπως θα δούμε σε λίγο. Τους μηχανικούς περισσότερο τους ενδιαφέρουν τα γεγονότα. Και όχι ο δειγματοχώρος. Οι μηχανικοί δηλαδή ενδιαφέρονται περισσότερο για τα γεγονότα, τα οποία προκύπτουν από την εκτέληση ενός πειράματος. Και σαν γεγονότα θα συμβολίζουμε με κεφαλαία γράμματα ή και με λατινικά, αλλά πάνω τα κεφαλαία. Και περιγράφουμε τον γεγονός. Ξέρω εγώ αν αδείψουμε ένα ζάρι και παρατηρούμε την ένδειξη, μπορούμε να ορίσουμε ένα γεγονός ότι η ένδειξη είναι άρτιος αριθμός. Και τα γεγονότα που προκύπτουν από ένα πειραματίχης, το πρώτο πράγμα που έχουμε να κάνουμε είναι να τα περιγράψουμε ποια είναι. Τώρα αυτό είναι ένα απλό γεγονός. Η ένδειξη του ζαριού να είναι άρτιος αριθμός. Σε άλλες περιπτώσεις, σε σύνθετα πειράματα, σε πολλά γεγονότα που συναντά ο μηχανικός και ο οποίος στη συνέχεια θέλει να εκτιμήσει την πιθανότητα, θα πρέπει να τα περιγράφει σαφώς ποια είναι. Γιατί αν δεν περιγράφει σαφώς ποια είναι τα γεγονότα, πόσο μάλλον θα μπορεί να εκτιμήσει την πιθανότητα. Δεν θα πρέπει να τα μπερδεύει τα γεγονότα μεταξύ τους. Άρα λοιπόν τα περιγράφουμε ποια είναι τα γεγονότα. Και επίσης, αν θέλουμε, καταγράφουμε και όλα τα ενδεχόμενα του γεγονότος αυτού. Το γεγονός ότι έχουμε άρτιο αριθμό αποτελείται από τα ενδεχόμενα 2, 4, 6. Δηλαδή ένα γεγονός σε ένα πειραματήχης, μπορούμε να το περιγράψουμε ποιο είναι και μετά να ορίσουμε και ποια είναι τα στοιχεία του συνόλου αυτού, τα οποία παριστάνουν τον γεγονός. Γενικά ο ορισμός των γεγονότων στην πιθενοθεωρία είναι ότι είναι υποσύνολα του δειγματικού χώρου S σε ένα πειραματήχης. Σε κάθε πειραματήχης έχουμε ένα δειγματοχώρο S. Κάθε υποσύνολο του δειγματοχώρου είναι ένα γεγονός. Τα γεγονότα λοιπόν είναι υποσύνολα του δειγματικού χώρου S. Ο ορισμός, ο μαθηματικός ορισμός των γεγονότων είναι ότι είναι υποσύνολα του δειγματικού χώρου S. Σε ένα πειραματήχης το S είναι και αυτό γεγονός και ένα γεγονός λέμε ότι πραγματοποιείται συμβαίνει αν κάτι το αποτέλεσμα του πειράματος ανήκει μέσα στο σύνολο του γεγονότος. Αν το αποτέλεσμα του πειράματος ανήκει στο σύνολο του γεγονότος τότε λέμε ότι πραγματοποιείται το γεγονός. Δηλαδή άνοιξε με ένα ζάρι και έρθει το τέσσερα τότε πραγματοποιείται το γεγονός άρθα. Σύμφωνα με αυτά που είπα ο δειγματικός χώρο S είναι υποσύνολο του εαυτού του άρα είναι ένα γεγονός. Και επειδή κάθε φορά που πραγματοποιώ εγώ το πείραμα το αποτέλεσμα πάνω το ανήκει μέσα στο δειγματικό χώρο γιατί ο δειγματικός χώρος περιλαμβάνει όλα τα δυνατά αποτελέσματα. Επειδή πάνω το πραγματοποιείται σύμφωνα με αυτά που είπα το ονομάζω σίγουρο γεγονός. Είναι το σίγουρο. Απ' την άλλη πλευρά ένα σύνολο κενό το οποίο συμβολίζεται διεθνώς και ομένα φύεξη πλάγιο. Αυτό είναι ένα σύνολο κενό δεν έχει τίποτα μέσα αλλά είναι υποσύνολο του δειγματικού χώρου S. Και αφού είναι υποσύνολο του δειγματικού χώρου S άρα είναι γεγονός της πιθανότητας. Αλλά επειδή ποτέ το αποτέλεσμα του πειράματος δεν ανήκει εδώ μέσα πως να ανήκει αφού δεν έχει κανένα στοιχείο. Ποτέ δεν πραγματοποιείται γι' αυτό ονομάζεται και αδύνατο γεγονός. Άρα λοιπόν σύμφωνα με αυτά που είπαμε μέχρι τώρα διακρίνουμε δύο ιδιόμορφα γεγονότα. Το S το οποίο είναι σίγουρο γιατί συμβαίνει σύμφωνα με αυτά που είπαμε πάντοτε και το αδύνατο το οποίο δεν συμβαίνει ποτέ και είναι το κενό δεν έχει κανένα στοιχείο μέσα του. Έχεις απορία? Γεγονός είναι κάθε υποσύνολο του διγματικού χώρου S. Ένα ενδεχόμενο του διγματικού χώρου. Ένα ενδεχόμενο, το κάθε ενδεχόμενο ίας 1 ή ίας 2 που είχα συμβολήσει πριν. Το κάθε ένα από αυτά είναι ένα απλό γεγονός. Δηλαδή άνοιξα εγώ το ζάρι να έρθει η ένδειξη 1. Αυτό είναι ένα απλό γεγονός το οποίο έχει ένα δείγματο σημείο. Το γεγονός ότι θα έρθει άρτιος αριθμός είναι πιο σύνθετο, έχει περισσότερα δείγματο σημεία μέσα του. Υπάρχουν τα απλά γεγονότα που έχουν μόνο ένα δείγματο σημείο το οποίο είναι έναν ενδεχόμενο ας το πούμε αποστολές. Υπάρχουν τα πιο μεγάλα γεγονότα που έχουν περισσότερα το ενός αποτελέσματα όπως το α που είπαμε να είναι άρτιος αριθμός η ένδειξη του ζαριού. Υπάρχει και το χενό το αδύνατο γεγονός που δεν περιλαμβάνει κανένα δείγματο σημείο μέσα του. Είναι και αυτό γεγονός γιατί σύμφωνα με τον ορισμό που έδωσα στα γεγονότα γεγονός είναι κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου. Μπορείς να το ονομάσεις και ενδεχόμενο. Κανιά φορά μπορείς να ξεφύγεις λίγο από τη μαθηματική ορολογία να το εκφράσεις λίγο πρακτικότερα. Μπορείς να πεις ένα απλό γεγονός, θα το πεις έναν ενδεχόμενο. Πάντως ισχύει ότι κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου S είναι γεγονός και το χενό είναι γεγονός. Και θέλω να τονίσω εδώ πέρα να σημειώσω ότι στη Μεθαδολογία που θα φτιάξουμε τον πιθανότητο δεν θα προχωρούμε τόσο πολύ εννοιολογικά όσο μαθηματικά. Θα δίνουμε ορισμούς, θα πούμε μερικά θεωρηματάκια κτλ και κανόνες και βάσει αυτής της Μεθαδολογίας θα προχωράμε. Δεν θα σκεφτόμαστε εννοιολογικά διότι αν ο καθένας προσπαθεί να ορίσει ένα γεγονός εννοιολογικά δηλαδή όπως το σκέφτεται αυτός με το δικό του σκεπτικό και μετά θα εκτιμούμε διαφορετικές πιθανότητες ο ένας με τον άλλον. Γι' αυτό θα προχωρήσουμε να στηριζόμενοι αυστηρά στη Μεθαδολογία που φτιάχνουμε. Δηλαδή ξεκινώ με αυτά που λέω και κάθε τι που θα λέω στη συνέχεια θα στηρίζεται στα προηγούμενα. Δεν θα λέω κάτι εννοιολογικά όπως το διεσθάνομαι. Θα το λέω θα στηρίζεται και θα αποδεικνύεται με βάση αυτά που είπα προηγούμενα. Και τώρα προχωρήσουμε λίγο παρακάτω με τα γεγονότα. Σ' ένα πείραμα τείχης μπορεί να έχουμε περισσότερα από ένα γεγονότα και συνήθως σαν γραφική παράσταση χρησιμοποιούμε το σειοδιάγραμμα VEN το οποίο είναι έναν μεγάλο τετράγωνο σε διάγραμμα VEN το οποίο είναι ένα τετράγωνο το οποίο παριστάνει εδώ μέσα υπάρχουν όλα τα δυνατά ενδεχόμενα αποτελέσματα του πειράματος τείχης και τα γεγονότα τα συμβουλίζουμε με κλειστές γραμμές όπως το γεγονός α, β, γ και τα λοιπά. Υπάρχουν κι άλλον ειδόν γραφικές παραστάσεις που μπορεί να χρησιμοποιήσει κανένας ανάλογα βέβαια με το πρόβλημα πέρα από το σειοδιάγραμμα VEN Πριν προχωρήσουμε στις πράξεις που μπορούμε να κάνουμε μεταξύ των γεγονότων και αυτά τα γεγονότα είναι σύνολα άρα μπορούμε να κάνουμε πράξεις με τα σύνολα δηλαδή με τα γεγονότα μπορούμε να φτιάξουμε πράξεις δεν ξέρω αν έχετε ακούσει για τη συνολοθεωρία ότι οι πράξεις είναι η ένωση, η τομή, η διαφορά και τα λοιπά παρόμενου μπορούμε να κάνουμε και με τα γεγονότα για να δημιουργήσουμε καινούργια γεγονότα πιο σύνθετα Πριν προχωρήσουμε να αναφέρουμε λίγο το δυναμοσύνολο το οποίο είναι το σύνολο όλων των υποσυνόλων του δειγματικού χώρου S Συμβολίζουμε με S αστεράκι και περιλαμβάνει όλα τα δυνατά υποσύνολα του συνολου S στο οποίο ας το πούμε αν μπορεί να έχει μέσα ένα αποτελέσματα το πρώτο υποσύνολο είναι το κενό είναι υποσύνολο του δειγματικού χώρου S είναι και αυτό ένα γεγονός Μετά είναι ένα υποσύνολο που βρέχει μόνο το πρώτο δειγματοσημείο S1 ή το S2 ή το S1 δειγματοσημείο που μπορεί να περιλαμβάνει δύο δειγματοσημεία όπως το S1-2 μέχρι S1-1 και τέλος μπορεί να τα περιλαμβάνει ένα τρία ή να έχει όλα τα δειγματοσημεία μέσα όλα τα δυνατά υποσύνολα του δειγματικού χώρου S το σύνολο όλων των δυνατών υποσυνολών του δειγματικού χώρου S είναι το δυναμοσύνολο δηλαδή το δυναμοσύνολο είναι το σύνολο όλων των γεγονότων που μπορούν να προκύψουν από ένα πείραμα τύχης αν ένα πείραμα τύχης έχει ένα δειγματοσημεία μέσα πόσα είναι όλα τα δυνατά υποσύνολα του S πόσα είναι όλα τα δυνατά γεγονότια που μπορούν να προκύψουν Είναι δύο στιγμή αλλά πρέπει όμως να τα αποδείξεις γιατί είναι δύο στιγμή. Μπορείς να τα αποδείξεις. Γιατί. Φυσικά άμα σε κάθε υποσύνολο μας κάνει σε κάθε ιδιωτική οτσού απόταν είναι ένα ρεχνό που είναι μηδέ, δεν ξέρω άμα δεν περιέχεσαι ή ένα άμα αυτός περιέχεται μετά με τη δυνατή συνδυασμή του γκρέντ και τον ένα είναι δύο ιδιωτικές. Ναι αυτό είναι μια τεχνική στα διακριτά μαθηματικά Μπορεί όμως να αποδειχθεί αυτό εδώ πέρα. Αν μετρήσει κανένας ένα-ένα είναι το υποσύνολο έτσι. Μετά να πάρεις όλους τους δυνατούς συνδυασμούς ένα-ένα που είναι εν. Όλοι αυτοί οι δυνατοί συνδυασμοί είναι εν. Αν ένα σύνολο έχει εν δείγματο σημεία μπορούν να προκύψουν εν μικρά σύνολα με ένα στοιχείο μέσα. Μετά πρέπει να υπολογίσεις πόσα είναι όλα τα υποσύνολα αν τα πάρεις ένα-δύο. Πολύ δυνατοί συνδυασμοί ένα-δύο. Και να προσθέσεις όλους αυτούς τους δυνατούς συνδυασμούς και αυτό θα σου δώσει δύο ιστιν εν. Αλλά πόση είναι όλη αυτή η δυνατή συνδυασμή που θα προσθέσεις. Αυτό μπορεί να βγει εύκολα από το ανάπτυγμα του διονύμου αυτοβυτα ιστιν εν. Αυτοβυτα ιστιν εν το θυμάσαι από το ηλικίο. Έτσι που είναι αυτοβυτα ιστιν εν επί βύτα επί ένα συντελεστή. Μετά αυτοβυτα ιστιν εν μειον ένα επί βύτα. Αυξάνει ο εκθέτης του βύτα, πέφτει ο εκθέτης του αυτοβυτα για να σου θυμίσω λίγο και προστάχεια να συντελεστεί. Που είναι οι συνδυασμοί ένα να ένα, ένα να δύο και τα λοιπά. Και τέλος για να μην χάνουμε και πολύ χρόνο. Αν αντί για α και β βάλλω το ένα και ένα. Δηλαδή αν πάρω το ανάπτυγμα του ένα συν ένα ιστιν εν. Εκεί που έχω α και β θα είναι οι μονάδες. Ο εκθέτης δεν διαφέρει γιατί η μονάδα σε όποιον εκθέτη πάλι μονάδα είναι. Και μένει το άθροισμα αυτού των συνδυασμών που ψάχνουν να βρω. Το άθροισμα αυτού των συνδυασμών που ψάχνουν να βρω είναι ένα συν ένα ιστιν εν δηλαδή. Δηλαδή δύο ιστιν εν. Ισούτε με το άθροισμα αυτού των συνδυασμών. Θα το κάνουμε λίγο αργότερα όταν θα μιλήσουμε για τους συνδυασμούς. Γιατί ακόμα δεν έχουμε μιλήσει για τους συνδυασμούς. Αλλά θέλω να πω ότι ό,τι γράφω πρέπει να το τεκμεριώνω. Γι' αυτό σας το ανέφερα περιληπτικά γιατί ίσουτε με δύο ιστιν εν. Και τώρα να δούμε ποιες πράξεις και σχέσεις έχουμε μεταξύ των γεγονότων. Πρώτον έχουμε την ισότητα. Ισότητα ένα γεγονός ισούτε με ένα άλλο όταν περιέχουν τα ίδια δείγματος σημεία μέσα τους. Ή αν το α είναι υπό σύνολο του β και το β υπό σύνολο του α τότε τα γεγονότα α β είναι ίσα είναι ισοδύναμα. Και όταν εκτελώ εγώ το πείραμα τύχης ή πραγματοποιούνται και τα δύο μαζί ή δεν πραγματοποιούνται. Δεν μπορεί δηλαδή να πραγματοποιείται το ένα και όχι το άλλο. Μετά έχουμε την περιεχτικότητα. Δηλαδή το α γεγονός περιέχεται στο β αν κάθε δείγματο σημείο κάθε στοιχείο του α ανήκει στο β. Αν αυτό εδώ είναι το β και αυτό το α το α περιέχεται στο β ή το β περιέχει το α αν κάθε δείγματο σημείο του α είναι και δείγματο σημείο του β. Αν εκτελέσω εγώ το πείραμα τύχης και πραγματοποιείται το α τότε σίγουρα πραγματοποιείται και ποιο. Αν εκτελέσω εγώ ένα πείραμα τύχης και το αποτέλεσμα ανήκει εδώ συμβαίνει το α δηλαδή στην εκτέλεση του πειράματος. Το αποτέλεσμα αυτό ανήκει και στο β άρα δηλαδή πραγματοποιείται και το β. Άλλες πράξεις που μπορούμε να κάνουμε τρίτον είναι η γνωστή ένωση. Ένωση α β η οποία συμβολίζεται έτσι. Αν πάρουμε το σειοδιάγραμμα δεν η ένωση παριστάνει το σύνολο που περιλαμβάνει στοιχεία είτε του α είτε του β. Η ένωση είναι αυτή εδώ η οποία περιλαμβάνει στοιχεία που ανήκουν είτε στο α είτε στο β είτε και στα δύο. Αν είναι εκτελέσσικο το πειραματικής η ένωση συμβαίνει α Β τουλάχιστον ένα το γεγονότα α β. Στη συνέχεια μπορούμε να ορίσουμε την τομή. Τομή α β το οποία συμβολίζεται έτσι περιλαμβάνει στοιχεία τα οποία ανήκουν και στα δύο σύνολα α β. Είναι αυτή εδώ. Η τομή λοιπόν είναι ένα σύνολο το οποίο περιλαμβάνει στοιχεία που ανήκουν και στο α και στο β. Όταν εκτελέσω εγώ το πειραματικής λέω ότι συμβαίνει η τομή όταν συμβαίνουν και τα δύο γεγονότα μαζί. Μετά έχουμε τη διαφορά. Τη διαφορά τη χρησιμοποιούμε όταν θέλουμε να συμβεί μόνο ένα από τα γεγονότα α β. Εδώ πέρα διαφορά δεν είναι αριθμητική διαφορά η αφαίρηση. Εδώ πέρα στη διαφορά ας το πούμε η πέμπτη πράξη η διαφορά. Θα δώσουμε τον ορισμό της διαφοράς. Είναι ένα σύνολο το οποίο περιλαμβάνει στοιχεία του α το οποίο δεν ανήκουν στο β. Δεν είναι αφαίρηση δεν είναι α πλυν β όπως λέμε στην αριθμητική. Η διαφορά δύο συνόλων είναι ένα σύνολο το οποίο περιλαμβάνει στοιχεία που ανήκουν στο α και όχι στο β. Θα κάνουμε το σειοδιάγραμμα VEN α β. Η διαφορά είναι αυτή εδώ πέρα δηλαδή η στοιχεία μόνο του α. Κατά την εκτέλεση του πειράματος όταν λέω ότι πραγματοποιείται η διαφορά α β αυτό το γεγονός είναι ότι πραγματοποιείται μόνο το α. Δηλαδή το εδεχόμενο ανήκει εδώ μέσα μόνο στο α πραγματοποιείται μόνο το α και όχι το β. Και θέλω να αναφέρομαι μία άλλη πράξη η οποία είναι το συμπλήρωμα. Δηλαδή αν έχουμε το γεγονός α το συμπλήρωμά του είναι αυτό εδώ πέρα το οποίο περιλαμβάνει στοιχεία που δεν ανήκουν στο α. Αν το α είναι γεγονός το συμπλήρωμα είναι όλο το απογύρω. Το ιστορικό το οποίο περιλαμβάνει στοιχεία που δεν ανήκουν στο α. Και τέλος να αναφέρομαι μία πράξη του Δε Μόρκαν όπου έχουμε το συμπλήρωμα μιας πράξης. Μας το πούμε συμπλήρωμα α το μι β το οποίο ισούται σύμφωνο με το νόμο Δε Μόρκαν οι ενώσεις το μες και θα πάρουμε τα συμπληρωματικά των γεγονότων. Δηλαδή εδώ θα πάρουμε το συμπληρωματικό του α, η το μι θα γίνει ένωση και μετά το άλλο συμπληρωματικό. Ή αν έχουμε, υπάρχουν αρκετά παραδείγματα μέσα στο βιβλίο μπορείτε να δείτε, αν έχουμε εδώ το μι ένωση γ και πάρουμε το συμπλήρωμα αυτής της πράξης τότε η το μι θα γίνει ένωση, θα πάρουμε το συμπλήρωμα του α, η το μι θα γίνει ένωση και θα πάρουμε το συμπλήρωμα της ένωσης. Και μετά αυτό μπορούμε να το συνεχίσουμε και να πούμε έχουμε το συμπλήρωμα του α ένωση, το συμπλήρωμα μιας ένωσης η ένωση θα γίνει το μι και μέσα θα έχουμε β το μι α. Έτσι με το νόμον του Μόρκαν μπορούμε να πάρουμε το συμπλήρωμα μιας πράξης γεγονότων όπου οι τομές γίνονται ενώσεις, οι ενώσεις τομές και παίρνουμε τα συμπληρωματικά τους. Περισσότερα παραδείγματα μπορείτε να δείτε στο βιβλίο. Και τέλος να πούμε με ποια σειρά γίνονται οι πράξεις ή κάποιες ιδιότητες των πράξεων μεταξύ των γεγονότων. Όπως η αντιμετωθητική ιδιότητα, η προσωτεριστική, η επιμεριστική. Είναι δύο-τρεις απλές βασικές ιδιότητες οι οποίες μας βοηθάνε στην πράξη των γεγονότων. Έχουμε λοιπόν πρώτον την αντιμετωθητική δηλαδή α το μι β για παράδειγμα, ισούτε με β το μι α. Ή μετά είναι η προσωτεριστική δηλαδή α το μι β το μι γ. Αυτό μπορεί να ισούτε με α το μι β, να θυμίσουμε πρώτα α το μι β και μετά το γ. Ή και με την έλληνα σε το ίδιο πράγμα μπορούμε να κάνουμε. Μπορούμε να κάνουμε με διαφορετική σειρά την το μι. Τρίτον, η επιμεριστική ιδιότητα που είναι και πιο χρήσιμη ίσως α για παράδειγμα, ένωση β το μι γ, α ένωση μιας παρένθεσης που έχουμε β το μι γ, αυτό ισούτε με α ένωση β το μι α ένωση γ. Αυτή είναι το μι α ένωση γ. Είναι η επιμεριστική ιδιότητα. Μέχρι στιγμής είπαμε ότι μεταξύ των γεγονότων έχουμε κάποιες σχέσεις απλές. Μπορούμε να κάνουμε κάποιες πραξούλες το μες, ενός και τα λοιπά. Φτιάχνουμε δηλαδή πιο σύνθετα γεγονότα από απλούστερα με αυτές τις απλές πράξεις και έχουμε δυο-τρεις βασικές ιδιότητες που θα μας διευκολύνουν. Κατά τη διάρκεια αυτού του μαθήματος δεν θα προχωρήσουμε σε σύνθετες πράξεις από τη συνολοθεωρία. Απλώς σας υπέδειξα κάποια εργαλεία που θα χρησιμοποιήσουμε, που θα μας διευκολύνουν, για να ορίσουμε τα γεγονότα. Γιατί στη Μεθοδολογία των Πιθανότητων, κάθε γεγονός του οποίου ζητάμε την πιθανότητα, θα πρέπει να το εκφράζουμε, να μπορούμε να το εκφράσουμε με άλγευρα άλλων απλούστερων γεγονότων. Και ας πούμε μερικά παραδείγματα. Σε ένα πείραμα τείχης, σε ένα δειγματικό χώρο S, έχουμε ένα πείραμα, ορίζουμε τρία γεγονότα α, β, γ. Με ποια πράξη συνόλων ή με ποια πράξη των γεγονότων α, β, γ μπορούμε να συμβολίσουμε το γεγονός τουλάχιστον ένα από τα γεγονότα α, β, γ. Με ποια πράξη που αναφέραμε μέχρι στιγμής μπορούμε να συμβολίσουμε το γεγονός τουλάχιστον ένα από τα α, β, γ. Με ποια? Με την ένωση. Δηλαδή α, ένωση β, ένωση γ. Εκτελόγω το πείραμα τείχης σε αυτό το δειγματοχώρο όπου υπάρχουν τρία γεγονότα. Με ποια πράξη συμβολίζει το γεγονός που θα συμβεί τουλάχιστον ένα από τα γεγονότα με την ένωση. Αυτό είχαμε πει και πριν. Το είχαμε πει για δύο, μπορούμε να το επεκτείνουμε για τρία. Το γεγονός μόνο ένα. Με ποια πράξη μπορούμε να συμβολίσουμε ότι θα συμβεί μόνο ένα από τα γεγονότα. Λέγε. Με τη διαφορά. Είπαμε, δεν το λέμε μειών, δεν είναι αριχμητική, είναι διαφορά. Δηλαδή, θα πάρουμε τη διαφορά να συμβεί το γεγονός α και όχι το β, ένωση γ. Ένας τρόπος είναι αυτός. Δηλαδή, αν πάρουμε τη διαφορά του α, διαφορά β, αν θέλω μπορώ να το γράψω και διαφορά... Μπορούμε να το γράψουμε κι αλλιώς. Α διαφορά β, διαφορά γ. Δηλαδή, ένα σύνολο όπου έχει στοιχεία του α και όχι το β και επίσης διαφορά γ να μην εμπειριέχεται του γ. Ή αυτό όμως γράφεται, πιο εύκολα γράφεται α, διαφορά β, ένωση γ. Ή, είπαμε μόνο ένα, εδώ είναι μόνο το α. Ή μπορεί να είναι το β, διαφορά α, το μη γ, ένωση γ. Ή μπορεί να είναι μόνο το γ, δηλαδή γ διαφορά α, ένωση β. Ή αυτό εδώ πέρα μπορεί να γραφεί το 2, μόνο ένα, να συμβαίνει το α και όχι το β και όχι το γ. Ή να μη συμβαίνει το α, να συμβαίνει μόνο το β και όχι το γ. Ή να μη συμβαίνει το α, να μη συμβαίνει το β και να συμβαίνει μόνο το γ. Μπορείτε παρόμοια να συμβολίσετε κι εσείς μόνο δύο. Μόνο δύο από τα γεγονότα θα μπορούσε να συμβολιστεί με την ένωση των τριών παραγκέσεων, άρα μέσα σε κάθε παρένδυση θα συμβαίνουν δύο γεγονότα και όχι το τρίτο. Και τέλος, για να δούμε, αν μπορείτε να συμβολίσετε το γεγονός ότι στην εκτέλεση του πειράματος συμβαίνουν το πολύ δύο. Συμβολίσαμε πως κατά την εκτέλεση του πειράματος θα συμβαίνει τουλάχιστον ένα από τα γεγονότα αβ. Με την ένωση. Εκτελώ εγώ το πείραμα πως θα συμβολίσω ότι συμβαίνει μόνο αβγ. Με αυτόν τον πέρατον τρόπο. Ή μόνο δύο παρόμοια μπορείτε να το εκφράσετε. Το γεγονός ότι συμβαίνουν το πολύ δύο από τα γεγονότα αβγ. Δηλαδή μπορεί κανένα να μην συμβαίνει. Μπορεί ένα από αυτά. Μπορεί και τα δύο. Το πολύ δύο από αυτά. Ή το αβ ή το βγ και τα λοιπά. Πως θα το συμβολίζει. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι μπας περιπτώσεις που μπορείς να τους συμβολίσεις. Ένας απλός τρόπος όμως είναι να πεις ότι όταν εγώ θέλω να συμβαίνουν το πολύ δύο από τα γεγονότα. Αυτό είναι ισοδύναμο με τι. Να μην συμβούν και τα τρία μαζί. Δηλαδή αν δεν συμβούν και τα τρία μαζί τότε συμβαίνουν το πολύ δύο από τα γεγονότα. Δηλαδή μπορώ να τους συμβολίσω με το συμπλήρωμα της τομείς. Συμπλήρωμα της τομείς είναι αυτός λέει να μην συμβεί η τομεί των τριών γεγονότων. Να μην συμβούν και τα τρία μαζί. Και αν θέλει κάποιος μπορεί να το γράψει αυτό. Σύμφωνα με το νόμο Ντι Μόρκαν είναι το συμπλήρωμα Α, ένωση, συμπλήρωμα Β, ένωση, συμπλήρωμα Γ. Αυτός είναι ο πιο απλός τρόπος. Μπορεί να υπάρχει και πιο σύνθετος. Όπου θα λες ότι συμβαίνει κανένα μετά να ενώσεις τους άλλους τρόπους όπου συμβαίνει μόνο το 1ΤΒΓ. Ένωση μόνο το 1 με το Β, το Γ και τα λοιπά. Ή ένωση όπου συμβαίνουν μόνο δύο από αυτά. Αλλά αυτό θα ήταν πιο σύνθετο. Ένας απλός τρόπος είναι να συμβολίσω με το ισοδύναμο γεγονός. Ότι δεν συμβαίνουν και τα τρία μαζί. Θα δούμε στη συνέχεια σε όλα τα προβλήματα που κάνουμε στα περισσότερα, πριν εκτιμήσουμε την πιθανότητα να συμβεί το γεγονός, θα το εκφράζουμε με άλγευρα άλλων απλότερων γεγονότων. Εντάξει. Θα κάνουμε ένα διάλειμμα και θα συνεχίσουμε μετά με τους κανόνες, με τους νόμους και τον πιθανότητο. Θα πούμε ένα απλό παράδειγμα στη ρήψη ενός νομίσματος δύο φορές. Ο δηματικός χώρος S αποτελείται από τέσσερα δυνατά ενδεχόμενα. Να έχουμε δύο κεφαλές κεφαλή κεφαλή κεφαλή γράμμα γράμμα κεφαλή ή γράμμα γράμμα. Χωρίζει το γεγονός Α ότι έχω τουλάχιστον μία κεφαλή. Το γεγονός Α δηλαδή περιλαμβάνει ποια άδειγματο σημεία, ποια είναι ενδεχόμενα αποτελέσματα κεφαλή κεφαλή κεφαλή γράμμα γράμμα κεφαλή, γιατί έχω τουλάχιστον μία κεφαλή. Ορίζω ένα άλλο γεγονός Β ότι έχω γράμμα στη δεύτερη ρήψη. Ποια είναι τα αποτελέσματα που περιλαμβάνει μέσα στο σύνολο, είναι να έχω γράμμα γράμμα γιατί έχω γράμμα στη δεύτερη ρήψη και Κ γράμμα γιατί στη δεύτερη ρήψη έχω γράμμα. Τώρα μπορείτε να ορίσετε ποιο είναι το γεγονός ΑΕΑ, δηλαδή είναι ένα σύνολο που αποτελείται από αυτά τα αποτελέσματα. Εντάξει απλό είναι. Ποιο είναι το Α΄ΤΟΜΗΒ να το ορίσετε ποιο είναι το σύνολο. Ποια αποτελέσματα περιλαμβάνει το συμπλήρωμα του Α και η διαφορά Β, διαφορά Α, ποια αδηματοσυμία περιλαμβάνει σύμφωνα με αυτά που είπαμε. Και να περάσουμε στην έννοια των πιθανότητων, της πιθανότητας. Γιατί μας ενδιαφέρει η πιθανότητα των στοχαστικών γεγονότων. Όλα αυτά που είπαμε θα μας βοηθήσουν, αλλά πριν προχωρήσουμε στην πιθανότητα πρέπει να αναφέρομαι για την έννοια. Δεν μπορούμε να δώσουμε έναν επιστημονικό ή μαθηματικό ορισμό της πιθανότητας. Σαν πιθανότητα, σαν έννοια, είναι η βεβαιότητα με την οποία αισθανόμαστε ότι θα συμβεί ένα γεγονός. Η πιθανότητα συμβολίζεται, διεθνώσουμε το π, μαθημικό, κεφαλαίο, πιθανότητα γεγονότος και βέβαια παίρνει τιμές από μηδέν μέχρι ένα. Αυτό το αρίζω έτσι εμπειρικά, γιατί η βεβαιότητα που αισθάνομαι μπορεί να είναι από τις 100, 20%, 50% να συμβεί ένα γεγονός, 80% και τα λοιπά. Έχει έννοια δηλαδή όταν παίρνει τιμές από μηδέν μέχρι ένα. Και τώρα θα δούμε με ποιους τρόπους, με ποιες μεθόδους μπορούμε να εκτιμήσουμε, να υπολογίσουμε την πιθανότητα ενός γεγονότος. Πρώτος τρόπος είναι ο κλασικός τρόπος. Σύμφωνο με τον κλασικό τρόπο, η πιθανότητα ενός γεγονότος α, ίσουτε με το κλάσμα στον αριθμητή έχουμε τον αριθμό δειγματοσυμείων του γεγονότος α και στον παρανομαστή έχουμε τον αριθμό δειγματοσυμείων όλου του δειγματικού χώρου. Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν ο δειγματικός χώρος περιλαμβάνει ισοπίθανα δειγματοσυμεία. Αν δεν είναι ισοπίθανα, δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή τη μέθοδο, το κλασικό τρόπο. Θα κοιτάξουμε κάποια άλλη μέθοδο που θα πούμε συνέχεια. Να πούμε ένα απλό παράδειγμα. Στη ρίψη του ζαριού, ποια επιθανότητα να έρθει άρτιος αριθμός, αν α είναι το άρτιος. Τότε είναι τρία τα δειγματοσυμεία που περιλαμβάνει το α, το δύο, τέσσερα και έξι και το διερούμε με όλα τα δυνατά δειγματοσυμεία που είναι έξι. Είναι 50% δηλαδή η πιθανότητα των γεγονότων α, γιατί οι ενδείξεις του ζαριού που είναι έξι είναι ισοπίθανες. Θεωρώ ότι είναι υποθέτωτο ότι είναι ισοπίθανες. Και το γεγονός α, το οποίο ζητώ την πιθανότητα, έχει τρία αποτελέσματα το δύο, τέσσερα και έξι. Άρα είναι τρία έξι. Αυτό όμως είναι ένα απλό πείραμα. Υπάρχουν σύνθετα πειράματα όπου έχουμε πολλά δυνατά αποτελέσματα. Μερικές φορές μπορεί να είναι δύσκολο να τα απαριθμίσουμε πόσα είναι. Επίσης πολλές φορές είναι δύσκολο να ξερώμε αν είναι ισοπίθανα τα αποτελέσματα. Άμα πάρω τυχαία δύο ακέραιους αριθμούς και τους προπλασιάσω και παρατηρώ σε τι λύγει το γεγονό. Μπορεί να λύγει σε 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Υποτίθεται ότι δυχαία πήρα δύο ακέραιους αριθμούς, τους προπλασιάσα και παρατηρώ σε τι λύγει το γεγονό. Τα αποτελέσματα να λύγει σε 0, 1, 2, 9 κτλ είναι ισοπίθανα. Δεν είναι ισοπίθανα ή μπορεί να είναι ισοπίθανα. Δεν εξακάθαρω αμέσως αν είναι ισοπίθανα ή όχι. Στην προκειμένη περίπτωση δεν είναι ισοπίθανα. Άρα, αν θέλω να υπολογίσω την πιθανότητα σε τι λύγει ότι το γινόμενο λύγει σε 1, πώς θα το βρω με τον κλασικό τρόπο. Μπορώ να δω πόσα είναι όλα τα δυνατά ενδεχόμενα όπου το γινόμενο λύγει σε 1. Πόσα είναι όλα τα δυνατά ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου. Πώς δηλαδή θα εκτιμήσω την πιθανότητα το γινόμενο να λύγει σε 1 αν προβληματισιάσω 2 ακέραιους κι αν η πιθανότητα το γινόμενο να λύγει σε 1. Πώς θα το εκτιμήσω με τον κλασικό τρόπο που σας επέδειξα. Όλα τα δυνατά ενδεχόμενα όταν προβληματισιάσω 2 ακέραιους αριθμούς. Σε τι λύγονται. Σε 0, 1, 2, 9, 10 είναι όλα τα δυνατά ενδεχόμενα. Αλλά δεν είναι ισοπίθανα. Άρα δεν μπορώ να χρησιμοποιήσω το κλασικό τρόπο αμέσως. Πρέπει κάτι να κάνω. Ή πως μπορώ να εκφράσω πιο αναλυτικά το δειγματικό χώρο που να έχει ισοπίθανα δειγματοσημεία και στη συνέχεια να πάρω τη δειγματοσημεία του α, όπου συμβαίνει το γεγονός α που ζητώ την πιθανότητα και να χρησιμοποιήσω το κλασικό τρόπο. Δηλαδή με το κλασικό τρόπο υπάρχει η δυσχέρεια πρώτον στο να απαριθμίσουμε σε σύνθητα πειράματα όλα τα δειγματοσημεία και δεύτερον δεν είναι σίγουρο αν τα δειγματοσημεία είναι ισοπίθανα. Ένας άλλος τρόπος, δεύτερος, είναι η σχετική συχνότητα. Με τη σχετική συχνότητα η πιθανότητα ενός γεγονότους α ισούται με το όριο, καθώς δεν είναι ο αριθμός επανάληψης του πειράματος, ο οποίος καταγράφει τη συχνότητα με την οποία συμβαίνει το γεγονός α. Α δηλαδή, όπως το γεγονός α που ανέφερα πριν, ότι στη ρήψη ενός αριού έρθει άρτιος αριθμός, άρτια ένδειξη. Εκτελώ το πείραμα πολλές φορές και καταγρά, σημειώνω πότε έρχεται, πότε συμβαίνει το γεγονός α, πότε έρχεται άρτιος αριθμός. Καταγράφω δηλαδή τη σχετική συχνότητα που συμβαίνει αυτό το γεγονός. Εάν επαναλάβω άπειρες φορές το πείραμα, τότε αυτό το κλάσμα, εάν συγκλίνει, εκεί που συγκλίνει είναι η πιθανότητα του γεγονότος α. Βέβαια αυτή η ακολουθία μπορεί να μην συγκλίνει μερικές φορές σε κάποια γεγονότα και αυτό δεν είναι ένα μειονέκτημα της σχετικής συχνότητας. Με λίγα λόγια, τόσο κλασικός τρόπος όψω και σχετική συχνότητα, δεν είναι επαρκής για να μπορούμε να εκτιμήσουμε, να υπελογίσουμε την πιθανότητα ή οδηδήποτε γεγονότητα. Συνήθως σε αρκετά όπως θα δούμε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το κλασικό. Τη σχετική συχνότητα δεν την χρησιμοποιούμε. Το τρίτο όμως, τον τρίτο τρόπο τον οποίο χρησιμοποιούμε συνήθως αυρίτερα και είναι ο πιο χρήσιμος, είναι ο τρόπος ο οποίος στηρίζεται στα αξιώματα του Κολμογόροφ. Τα αξιώματα αυτά είναι τρεις απλές προτάσεις. Πρώτη πρόταση ότι η πιθανότητα παίρνει τιμές μεταξύ 0 και 1. Δεύτερη πρόταση, αξίωμα είναι ότι η πιθανότητα του διγματικού κόρου, του σύγχρον γεγονότος, ισούκε με 1. Αυτές είναι λογικές απλές προτάσεις, δεν χρειάζονται καμιά ιδιαίτερη απόδειξη. Και τρίτο αξίωμα είναι ότι η πιθανότητα της ένωσης δύο γεγονότων, τα οποία είναι ξένα δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν μαζί, είναι η πιθανότητα του πρώτου, α, στην πιθανότητα του β, αν βέβαια το α, το μυ, β είναι το κενό, αν δηλαδή είναι ξένα μεταξύ τους, αν δηλαδή δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα. Είναι κάτι που δεν το είχαμε αναφέρει πριν, ότι δύο γεγονότα είναι λέγοντα ξένα ή ασηβίβαστα, αν το μύτος είναι το κενό, δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο. Άρα κατά την εκτέλεση του πειράματος το αποτέλεσμα θα νίκει ή στο α ή στο β. Δεν μπορεί να νίκει και στα δύο αφού δεν έχουνε κανένα κοινό στοιχείο. Και ως εκ τούτου όταν εκτελώνω το πείραμα συμβαίνει μόνο το α ή μόνο το β. Και αυτά είναι τα ασηβίβαστα όπως λέμε γεγονότα, δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν μαζί. Δηλαδή να δείξω το ζάρι, το γεγονός ότι θα έρθει άρτιος ή περιπτός αριθμός, είναι δύο ξένα γεγονότα ασηβίβαστα, η έντεξη το ζαριό θα είναι, θα νίκει μόνο στο α ή μόνο στο β, θα είναι μόνο άρτιο ή μόνο περιττό, δεν μπορεί να είναι και τα δύο μαζί. Εν πάση περιπτώσει, όταν δύο γεγονότα είναι ασηβίβαστα, σύμφωνα με το τρίτο αξίωμα, οι πιθανότητες της Ένωσης είναι το άδεισμα των πιθανοκτήτων τους. Αυτές οι τρεις απλές προτάσεις του Κολμογκόροφ είναι σπουδαίες, γιατί πάνω σε αυτές στηρίζονται όλα τα θεωρήματα που θα αναπτύξουμε, όλοι οι κανόνες, η μεθοδολογία στηρίζεται πάνω στα τρία απλά αξιώματα. Αυτά τα θεωρήματα είναι απλά, είναι κανόνες δηλαδή, τους οποίους θα αναπτύξουμε εδώ πέρα και θα χρησιμοποιούμε στη συνέχεια για να εκτιμήσουμε όποια πιθανότητα θέλουμε. Το πρώτο κανόνα είναι ότι η πιθανότητα ενός γεγονότος, ίσοτε με 1 μία αντιπιθανότητα του συμπληρωματικού. Πιθανότητα να συμβεί το α, ίσοτε με 1 μία αντιπιθανότητα να μην συμβεί. Αυτό μπορούμε να τα αποδείξουμε με βάση τα αξιώματα του Κολμογκόροφ. Μπορούμε να γράψουμε για παράδειγμα ότι το α ενός συμπλήρωμα α, α ενός συμπλήρωμα του α, με τι ίσοτε? Με το ε. Άμα κάνεις το συδιάγραμμα β, πάρεις το α το ενώσεις με το οπογύρω, κάνεις όλο το δημοδικό χώρο. Άμα πάρεις την πιθανότητα στο πρώτο μέρος της εξίσωσης, είναι η πιθανότητα εδώ πέρα με το ε, η πιθανότητα του ε, με τι ίσοτε? Με ένα. Σύμφωνα με το δεύτερο αξίωμα του Κολμογκόροφ. Η πιθανότητα της 1 στις 2, το α και το συμπλήρωμα είναι 2 ξένα μεταξύ τους. Δεν έχουν κοινό σημείο, είναι συμβίβαστα. Άρα σύμφωνα με το τρίτο αξίωμα είναι το άθλησμα. Πιθανότητα α στην πιθανότητα του συμπληρωματικού. Εκεί από εδώ οδηγούμε στο ζητούμενο ότι η πιθανότητα ενός γεγονότος α είναι 1, μειώνει η πιθανότητα του συμπληρωματικού. Άρα έχετε ξανακανόνα. Πάμε τώρα στο δεύτερο. Η πιθανότητα του κενού, του αδύνατου, η σύστημα 0. Πρέπει να το αποδείξουμε. Πριν είχαμε αναφέρει ότι το κενό ποτέ δεν δορματοποιείται και το ανομάσουμε αδύνατο γεγονός. Και τώρα λέμε ότι η πιθανότητα να συμβεί το αδύνατο, το κενό είναι 0. Και πρέπει να το αποδείξουμε σύμφωνα με τα αξιώματα, σύμφωνα με τον προηγούμενο κανόνα. Πάλι το κενό, αν το ενώσω με το S, τι μου δίνει? Μου δίνει το ίδιο το S. Η πιθανότητα του πρώτου μέρους και του δεύτερου, αυτό εις ούτε με ένα. Η πιθανότητα της ένωσης δύο γεγονότων, αυτά είναι ξέρα μεταξύ τους. Γιατί αυτά είναι ξέρα μεταξύ τους? Γιατί δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο. Μπορείς να βρεις ένα κοινό στοιχείο, αφού το κενό δεν έχει και ένα στοιχείο. Δεν μπορώ να βρω κοινό στοιχείο μεταξύ τους, άρα είναι ξέρα. Ποτέ δεν πραγματοποιούνται μαζί. Θα μου πει κάποιος που το κενό είναι κάπως ιδιόμοφο και δεν πραγματοποιείται ποτέ. Πάντως πληρούν τις συνθήκες ότι το κενό και το S είναι δύο ξέρα, δεν έχουν κοινό στοιχείο. Άρα σύμφωνα με το τρίτο αξίωμα, έχω την πιθανότητα του κενού, σύντιμη πιθανότητα του S. Η πιθανότητα του S είναι 1, αυτό είναι 1. Άρα η πιθανότητα του κενού του αδύνατου, αν πάω αυτό στο δεύτερο μέρος, έχω το ζητούμενο. Η πιθανότητα του αδύνατου του κενού είναι 0, σύμφωνα με τα αξιώματα του Kolmogorov. Και ας προχωρήσουμε σε ποιο σιώδη κανόνες που είναι πολύ χρήσιμοι. Αν έχω το α, αν το α είναι υπό σύνολο του β ή εμπειριέχεται στο β, τότε η πιθανότητα του α είναι μικρότερη η σχεδιανότητα στο β. Αν το α είναι υπό σύνολο του β, αν εμπειριέχεται στο β, όπως είχαμε δείξει με την περιεχτικότητα, τότε η πιθανότητα του α είναι μικρότερη από την πιθανότητα η ίση να συμβεί στο β. Αν κάνουμε σχεδιάγραμμα β, αυτό είναι το β, αυτό είναι το α. Αυτό εδώ μέσα είναι το β διαφορά α. Αυτό εδώ μέσα είναι β διαφορά α, δηλαδή περιλαμβάνει στοιχεία μόνο του β και όχι του α. Αυτό είναι το α και όλο αυτό είναι το β. Το β όμως μπορώ να το γράψω ότι είναι η ένωση α-ένωση β διαφορά α. Το β μπορώ να πάρω το α να το ενώσω με τη διαφορά β και να κάνω το β. Αυτά τα δύο όμως είναι ξένα μεταξύ τους. Το α με τη διαφορά β δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο. Άρα η πιθανότητα του β ισούται με την πιθανότητα της ένωσης, αλλά η πιθανότητα της ένωσης είναι η πιθανότητα του α, επειδή είναι ξένο με τη διαφορά, στην πιθανότητα της διαφοράς. Η πιθανότητα του β δηλαδή ισούται με την πιθανότητα του α, στην πιθανότητα μιας ποσότητας μεγαλύτερης ισύς του μηδέν. Γιατί σύμφωνα με το πρώτο αξίωμα, η πιθανότητα είναι η μεγαλύτερη ισύς του μηδέν. Άρα η πιθανότητα του β είναι μεγαλύτερη ισύς της πιθανότητας του α, δηλαδή κατέληξα στο ζητούμενο, στηριζόμενο, σε αυτά που είχα πει προηγουμένως, στα τρία αξιώματα του Κολμογόροφ. Πάμε στο δέτατο κανόνα που έχουμε ό,τι η πιθανότητα της διαφοράς ισούται με την πιθανότητα του β μίαν την πιθανότητα της τομής. Αυτός είναι ένας χρήσιμος κανόνας, η θεόριμα που σου λέμε, ότι η πιθανότητα της διαφοράς είναι η πιθανότητα του πρώτου μίαν την πιθανότητα του δευτέρου. Μπορεί κανένας να το δείχνει σχηματικά απ' όσο η διάγραμμα β. Αραβείς πρέπει να τα αποδείξουμε όμως μαθηματικά. Νομίζουμε ότι πάλι το β ισούται με άλφα το μήβητα, β διαφορά άλφα. Αν κάνουμε το σχεδιάγραμμα β, αυτό είναι το β, αυτό είναι το άλφα. Το β γεγονός είναι να πάρουμε την τομή, την τομή που είναι αυτή εδώ πέρα, αν την ενώσουμε με το β διαφορά άλφα. Αν την ενώσουμε με β διαφορά άλφα, που είναι αυτό εδώ, θα μου δώσει το β. Και συνεπάγεται από εδώ ότι η πιθανότητα του β ισούται με την πιθανότητα άλφα το μήβητα στην πιθανότητα β διαφορά άλφα, γιατί η ένωση αυτών των δύο γεγονότων είναι δύο ξένα γεγονότα μεταξύ τους, αλλά η πιθανότητα της ένωσης σε αυτήν την ένωση είναι το άθλησμα των πιθανότητων τους σύμφωνα με το τρίτο αξίωμα. Και από εδώ συνεπάγεται ότι η πιθανότητα της διαφοράς δύο γεγονότων, η πιθανότητα να συμβεί δηλαδή μόνο το γεγονός β, ίσως με την πιθανότητα του β μήλον την πιθανότητα άλφα το μήβητα. Αυτό βέβαια φαίνεται και το συνδιάγραμμα β. Δηλαδή εδώ η πιθανότητα του β άλφα την πιθανότητα β. Αφαιρέσω την πιθανότητα να συμβεί η το μή, αφαιρέσω την πιθανότητα, μένει η πιθανότητα της διαφοράς, μένει η πιθανότητα να συμβεί μόνο το γεγονός β. Και μετά μπορούμε να προχωρήσουμε στον πιο χρήσιμο θεώρημα, στο 5, που είναι η πιθανότητα της ένωσης γενικά δύο γεγονότων, και σούτε με την πιθανότητα του άλφα, στην πιθανότητα του β, μένει την πιθανότητα της τομής. Αν τα γεγονότα άλφα και β δεν είναι υποχρεωτικά ασυμβίβαστα, στη γενική περίπτωση, αν το άλφα και β είναι δύο τυχαία γεγονότα, όχι υποχρεωτικά ασυμβίβαστα, όχι υποχρεωτικά ξένο, μπορεί να είναι να έχουν και τομή και τα λοιπά. Τότε η πιθανότητα της ένωσης είναι το άθλησμα μειώνει την πιθανότητα της τομής. Φαίνεται το σειοδιάγραμμα, όπως και εδώ, ότι εάν πάρουμε το άλφα γεγονός και το β, και θέλουμε να βρούμε την πιθανότητα της ένωσης, παίρνουμε την πιθανότητα του άλφα, προσθέτουμε την πιθανότητα του β, αλλά την πιθανότητα της τομής την προσθέσαμε δύο φορές. Θέλουμε μία φορά να εμπεριέχεται μες στο άθλημα, γι' αυτό την αφαιρούμε και μία φορά, αλλά αυτή είναι μία πρακτική έτσι απόδειξη με βάση το σχήμα. Πρέπει να το αποδείξουμε όπως για τα προηγούμενα θεωρήματα. Θα εκφράσουμε πάλι ότι άλφα ένωση β, ισούται με τι? Το άλφα ένωση β, ισούται με το άλφα γεγονός, αν το ενώσω το άλφα γεγονός, που είναι αυτό εδώ. Αν το ενώσω με αυτό εδώ, που είναι το β διαφορά άλφα. Το άλφα, αν το ενώσω με εκείνο β διαφορά άλφα, που είναι ξένο με το άλφα, μου δίνει την ένωση. Αν το ενώσω λοιπόν με τη διαφορά β άλφα, μου δίνει την ένωση. Η άλφα ένωση β αποτελείται από την ένωση δύο ξένων γεγονότων, του άλφα και του άλλου το κομμάτι β διαφορά άλφα. Και αν εφαρμόσω τώρα πάλι όπως έκανα και εδώ πέρα στο προηγούμενο, την πιθανότητα άλφα ένωση β, ισούται με την πιθανότητα της ένωσης δύο ξένων γεγονότων, άρα η πιθανότητα άλφα ένωση β είναι η πιθανότητα του άλφα και την πιθανότητα της διαφοράς. Δηλαδή η πιθανότητα άλφα ένωση β ισούται με την πιθανότητα του άλφα συν την πιθανότητα της διαφοράς. Αλλά η πιθανότητα της διαφοράς β η πιθανότητα είναι η πιθανότητα β μίαν την πιθανότητα άλφα το μη β. Αν κάνουμε απλοποίηση οδηγούμαστε στο ζητούμενο. Υπάρχει και μια απορία μέχρι εδώ. Αυτή είναι η βασικότερη κανόνες της οποίως θα χρησιμοποιήσουμε για να φτιάξουμε τη μεθοδολογία για να μπορούμε να εκτιμήσουμε την πιθανότητα η οδήποτε γεγονότητα. Θα ήθελα αν έχετε απορίες να με σταματάτε να ρωτάτε γιατί αν υπάρχουν ασάφιες δεν θα μπορέσαμε να προχωρήσουμε εύκολα παρακάτω. Επίσης δεν έχουμε πολλά θεωρήματα ή κανόνες θα πούμε ακόμα. Εκείνο που έχουμε να κάνουμε είναι να κάνουμε εξάσκηση, να βλέπουμε τα παραδείγματα, να μπορούμε να ακολουθούμε τις μικρές αποδείξεις και να λύνουμε προβληματάκια όσο μπορούμε περισσότερα. Μπορεί κάποιος να αποδείξει, σύμφωνα με αυτά που είπαμε, με τι ισούται η πιθανότητα ΑΕΕΕΕ. Πώς μπορούμε να φτιάξουμε έναν κανόνα, πιθανότητα ΑΕΕΕ του βρήκαμε. Μπορούμε να το εφαρμόσουμε και εδώ για δύο γεγονότα, αν ενώσω το Α με την Ένωση. Σύμφωνα με το πέμπτο κανόνα είναι η πιθανότητα του πρώτου συν τη πιθανότητα του δεύτερου γεγονότητας που είναι η ΠΑΕΕΕ. Μίον την πιθανότητα της τομής που είναι Ά, μίον Ά το ΜΜΑ, πιθανότητα ΒΑΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕ Μίον την πιθανότητα αυτή θα την βάλουμε στην παρένθηση. Εδώ μπορώ να κάνω πράξη σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα. Είναι η πιθανότητα Ά το ΜΜΑ, ένωση Ά το ΜΜΑ. Και αυτό εδώ πέρα γράφεται μέσα. Είναι η πιθανότητα της ένωσης δύο παρενθέσεων, δύο γεγονότων. Που είναι η πιθανότητα του πρώτου, συν την πιθανότητα του δευτέρου, μίον την πιθανότητα και των δύο που είναι Ά το ΜΜΒ το ΜΜΓ. Έχουμε λοιπόν ότι η πιθανότητα της ένωσης τριών γεγονότων, για να οδηγηθώ στο αποτέλεσμα να βρω τον κανόνα, τον τύπο, εφαρμόζω τον πέμπτο κανόνα σε δύο γεγονότα. Ένα είναι το Ά, ένωση, η παρένθηση αυτή που είναι η ΒΕΓ. Και μετά εφαρμόζω πάλι εδώ πέρα την πιθανότητα της ένωσης, που είναι ΠΒΣΠΓ μίον πέτη την πιθανότητα της τομής και των δύο, σύμφωνα με το πέμπτο κανόνα. Και εδώ έχω μία την πιθανότητα Ά το ΜΜΒ, σύμφωνα με το πέμπτο κανόνα. Εδώ κάνω πράξεις σύμφωνα με την επιμεληστική ιδιότητα και έχω την πιθανότητα της ένωσης δύο παρελθέσεων, δηλαδή την πιθανότητα της πρώτης στην πιθανότητα της δευτέρας, μίον την πιθανότητα της τομής και των δύο, που είναι Ά το ΜΒΤ το ΜΓ. Και όπως καταλαβαίνετε από εδώ, το αποτέλεσμα αυτό θα είναι τελικά ΠΑ. Αν κάνουμε προποίηση στην ΠΒ, στην ΠΓ, μίον την πιθανότητα αναδύο, Ά το ΜΓ, μίον πιθανότητα ΒΤ το ΜΓ, μίον την πιθανότητα της τομής και των τριών. Είναι η πιθανότητα Ά ΒΓ, μίον την πιθανότητα της τομής αναδύο, σύν την πιθανότητα και των τριών. Στη συνέχεια μπορούμε να το παιχτείνουμε για τέσσερα γεγονότα, για πέντε, υπάρχει και κανόνας και για κάπα γεγονότα, αλλά στην πράξη δεν χρησιμοποιούμε για πολλά γεγονότα, γιατί έχουμε κάνει πολλές πράξεις. Θα μπορούσαμε, ας πούμε, για παράδειγμα, αν θέλουμε την πιθανότητα να συμβεί ένα το γεγονότα Ά ΒΓΒΑ όσο κι αν είναι αυτά, να βρούμε την πιθανότητα της Ένωσης, να βρούμε την πιθανότητα του συμπληρωματικού, που είναι η τομή τους και να το αφαιρέσουμε από τη μονάδα. Την πιθανότητα της τομής Ά ΒΓΓ και τα λοιπά, θα πούμε τον κανόνα και βρίσκεται εύκολα αντί να κάνουμε πράξεις όπως με την Ένωση. Και τέλος, από τη ευκαιρία εδώ πέρα να τονίσουμε πώς μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα να συμβεί μόνο το Ά και ό,τι το γεγονός Ά ΒΒΑ είναι η πιθανότητα του Ά, μία πιθανότητα Ά ΒΒΑ. Αν έχουμε τρία γεγονότα, πώς θα υπολογίσουμε την πιθανότητα να συμβεί μόνο το Ά. Άμα κάνω το σχήμα, σχεδιάγραμμα ΒΕΝ, εδώ έχω το Ά, εδώ έχω το Β, εδώ έχω το Γ. Θέλω την πιθανότητα να συμβεί μόνο το Ά, μόνο αυτό εδώ. Όπως φέρνεις σχεδιάγραμμα ΒΕΝ, αυτό ίσουτε με την πιθανότητα του Ά, που είναι αυτό το γεγονός, να θεραίσω την πιθανότητα της τομής Ά ΒΑ, να θεραίσω και την πιθανότητα Ά ΜΓ, γιατί θέλω μόνο Ά, αλλά αν τα θεραίσω, την τομή την αφαιρώ δύο φορές. Μίωνα την πιθανότητα Ά ΜΓ, δηλαδή από την πιθανότητα του Ά, θέλω να έχω μόνο αυτό το κομμάτι. Αφαίρεσα την τομή με το ΒΕΝ, αφαίρεσα την τομή με το Γ, αλλά την πιθανότητα και των τριών την έχω θεραίσει από εδώ δύο φορές. Εγώ θέλω να την θεραίσω μία φορά, γι' αυτό την προσθέτουμε μία φορά. Γιατί θέλω, σύμφωνα με το σχήμα, πιθανότητα του Ά να θεραίσω την τομή με το ΒΕΝ, να θεραίσω την τομή με το Γ, αλλά εκ των πραγμάτων να θεραίσω την τομή και των τριών δύο φορές. Και έτσι ήθελα μία, γι' αυτό την προσθέτω. Αλλά αυτό πρέπει να το αποδείξω όμως μαθηματικά. Έχουμε η πιθανότητα της διαφοράς, είναι η πιθανότητα του πρώτου, μίαν την πιθανότητα του πρώτου, το ΜΒΕΝ. Και αυτό ίσως δεν με πέει α, δεν από το α, μίαν. Εδώ πέρα, αν κάνω πράξη, έχω α το ΜΒ, ένωση α το ΜΓ. Και μετά από εδώ πέρα έχω το ζητούμενο, δηλαδή η πιθανότητα του α, μίαν την πιθανότητα της ένωσης δύο γεγονότων, που είναι η πιθανότητα του πρώτου, το ζητούμενο δηλαδή, μίαν την πιθανότητα α το ΜΓ, μίαν την πιθανότητα, εδώ πέρα έχουμε μίαν την πιθανότητα της τομής και των δύο, και επειδή έχω πρόσημο μίαν από πριν, γίνεται συν. Συν την πιθανότητα της τομής των δύο παρελθέσεων, που είναι α το ΜΒ το ΜΓ. Δηλαδή, το αποδεικνύω σύμφωνα με το 4ο κανόνα της πιθανότητας της διαφοράς δύο γεγονότων. Είναι η πιθανότητα του πρώτου, μίαν την πιθανότητα της τομής των δύο γεγονότων. Και εδώ κάνω την επιμεριστική διότητα κάνω της πράξης και εφαρμόζω εδώ την πιθανότητα της ένωσης και οδηγούμε στο ζητούμενο. Παρόμοια εσείς θα μπορούσατε να βρείτε ποια η πιθανότητα να συμβαίνει του α και του β και όχι γ. Να συμβαίνουν δηλαδή μόνο δύο από τα γεγονότα του α, β και παράδειγμα και όχι γ. Και μετά αν αυτό το εφαρμόσετε για κάθε διάδα ή για κάθε γεγονός να βρείτε την πιθανότητα να συμβαίνει μόνο ένα. Αν θέλετε κάνετε γιαξάσκηση που ήταν α διαφορά β ένωση γ ένωση β διαφορά κτλ. Και μόνο ένα δηλαδή όχι μόνο το α εδώ έχω την πιθανότητα να συμβαίνει μόνο το α. Η πιθανότητα να συμβαίνει μόνο το β θα βρίσκεις παρόμοια. Η πιθανότητα να συμβαίνει μόνο το γ θα βρίσκεις παρόμοια. Αυτές οι πιθανότητες εάν τις θα θρήσεις θα σου δώσουν την πιθανότητα να συμβαίνει μόνο ένα από τα α β γ. Μόνο ένα από α β γ. Δηλαδή εκτελόγω από το πείραμα τείχης ποια η πιθανότητα να συμβεί μόνο ένα από τα γεγονότα α β γ. Τα είχαμε παραστήσει με άλγυβρα την προηγούμενη ώρα. Τώρα ζητάμε με βάση στους κανόνες να δούμε ποιος είναι ο τύπος που μας δίνει την πιθανότητα. Ήδη για την πιθανότητα να συμβεί μόνο το α τον έχω. Παρόμοια είναι η πιθανότητα να συμβεί μόνο το β. Παρόμοια είναι η πιθανότητα να συμβεί μόνο το γ. Κάνω αναγκογή ομοιανόρου να θρήσω κάνω πράξεις και βρίσκω ότι η πιθανότητα να συμβεί μόνο ένα από τα α β γ. Γιατί η πιθανότητα μόνο ένα από τα α β γ είναι η ένωση αυτών των διαφορών. Οι οποίες διαφορές βέβαια είναι ξένας μεταξύ τους. Και η πιθανότητα της ένωση είναι το άθλισμα των πιθανότητων τους. Παρόμοια είναι η πιθανότητα να θρήσω να φέρω στο μπ42, γιατί αυτές οι διαφορές για το α, η διαφορά για το β και για το γ είναι ξένες μεταξύ τους. Και το βρίσκω. Επίσης μπορώ να βρω και πιθανότητα μόνο δύο. Το οποίο από ό,τι φαντάζομαι να κάνω σε διάγραμμα βένει το ίδιο. Ήταν η πιθανότητα του α το μ β, η πιθανότητα του α το μ γ, στην πιθανότητα β το μ γ, δηλαδή αν έχουμε α β γ, θέλω με την πιθανότητα να συμβαίνουν μόνο δύο, είναι αυτό εδώ, και εκείνο εκεί. Θέλω με την πιθανότητα των τομών, αλλά να μην εμπεριέχεται η πιθανότητα της τομής και των τριών. Όταν προσθέτω την πιθανότητα της τομής α γ, α β και β γ, αυτό το κομμάτι το πρόσθεσα τρεις φορές. Δεν θέλω να εμπεριέχεται, αλλά το αφαιρώ τρεις φορές. Και αν ακολουθούσαμε αυτό το σκεπτικό, να έχουμε α το μ β και όχι γ, και παρόμοια και για το β και για τις άλλες διαφορές, και κάνουμε πράξεις θα οδηγούμε σαν σε αυτό πέρα το αποτέλεσμα. Αυτή είναι η βασική κανόνες και λίγο επεκταθήκαμε πώς μπορούμε να υπολογίσουμε μόνο α ή μόνο β και τα λοιπά. Και να πούμε, να σας δώσουμε κάποιες παραδείγματα να ασχοληθείτε για να δείτε αν καταλάβετε αυτά που είπαμε. Δύο παίκτες παίζουν ένα παιχνίδι. Ρίχνουν ένα νόμισμα με τη σειρά. Λοιπόν, έχουμε τον α β πέχτη. Ρίχνουν ένα νόμισμα με τη σειρά. Ο πρώτος που θα φέρει κεφαλή κερδίζει το παιχνίδι. Ποιος έχει μεγαλύτερη πιθανότητα να κερδίσει αν ξεκινήσει ο α τη ρήψη. Ποιος έχει μεγαλύτερη πιθανότητα. Ο α, γιατί αν φέρει, στην πρώτη ρήψη φέρει κεφαλή, θα κερδίσει. Και μετά θα ρίξει, αν δεν φέρει κεφαλή θα ρίξει ο β, αλλά ο β έχει σαφώς μικρότερη πιθανότητα από τον α. Και ο γ έχει ακόμα μικρότερη πιθανότητα. Το γεγονός ότι θα κερδίσει ο α πέκτης. Το γεγονός ότι θα κερδίσει ο α πέκτης. Με ποια άλγυβρα τον α β γ μπορώ να συμβολήσω. Άι είναι το γεγονός ότι στην Άι ρήψη του νομίσματος ο α πέκτης θα φέρει κεφαλή. Και αν β και γ είναι αντίστοιχα ότι ο β και γ στην Άι ρήψη του παιχνιδιού θα φέρουν κεφαλή. Το γεγονός ότι θα κερδίσει ο α πέκτης. Με ποια άλγυβρα τον α β γ μπορώ να συμβολήσω. Λέω ότι το γεγονός να κερδίσει ο α πέκτης είναι στην πρώτη ρήψη να φέρει κεφαλή και κερδίζει. Ή ένας άλλος τρόπος είναι στην πρώτη ρήψη να μη φέρει κεφαλή. Αλλά και το μη δηλαδή στη δεύτερη ρήψη να μη φέρει κεφαλή ο β πέκτης. Και στην τρίτη ρήψη το α υπαριστάνει η ρήψη του νομίσματος. Και όχι αν είναι η πρώτη φορά του β ή η δεύτερη. Το α υπαριστάνει στην Άι ρήψη του νομίσματος. Ήταν τον άλλον θα είπε το β και τα λοιπά. Στην Άι ρήψη του παιχνιδιού. Και όταν το νόμισμα ρίξει για τέταρτη φορά, η οποία είναι η σειρά του α, να φέρει κεφαλή και κερδίζει. Ή αυτό μπορεί να συνεχιστεί και για στην έβδομη φορά μετά. Να ακολουθήσει αυτή η ακολουθία των ντομών χωρίς να φέρουν κεφαλή. Και στην έβδομη ρήψη να φέρει κεφαλή ο α και να κερδίσει. Ή μετά να πάει στην δέκαρτη ρήψη και του καθεξής. Άρα λοιπόν έτσι μπορούμε να συμβολίσουμε τον γεγονός ότι κερδίζει ο α παίκτης. Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα που έχω εδώ πέρα. Σε ένα κύκλωμα, μια και είστε ηλεκτρολόγοι μηχανικοί, έχουμε ένα μικρό κύκλωμα. Από το α στο β διέρχεται ρεύμα. ΔΕΛΤΑ 1 είναι το γεγονός ότι ο διακόπτης 1 έχει διακοπή. ΔΕΛΤΑ 2 ότι έχουμε διακοπή στο δεύτερο διακόπτη. Αν έχουμε πιθανότητα του ΔΕΛΤΑ 1 0,7. Αν έχουμε πιθανότητα του ΔΕΛΤΑ 2 0,4. Η πιθανότητα της τομής 0,1. Σε ένα κύκλωμα έχουμε από το α στο β ροηρεύματος, ενδιάμεσα υπάρχουν δύο διακόπτες. ΔΕΛΤΑ 1 και ΔΕΛΤΑ 2 παρουσιάζονται γεγονότα ότι έχουμε διακοπή στον διακόπτη 1. ΔΕΛΤΑ 2 ότι έχουμε διακοπή στον διακόπτη 2. Είναι ανοιχτή δηλαδή και συμβαίνει διακοπή ρεύματος. Αν η πιθανότητα του ΔΕΛΤΑ 1 είναι 0,7, του ΔΕΛΤΑ 2 0,4 και η πιθανότητα να συμβούλει και το 2 είναι 0,1, ποια είναι η πιθανότητα διακοπής ρεύματος από το α στο β. Και επίσης να συμβολίσετε, να καταγράψετε όλα τα δυνατά ενδεχόμενα της κατάστασης των διακοπτών. Δηλαδή κάθε φορά που έχετε λόγο το πείραμα, κοιτάζω να δω τι γίνεται με το κύκλωμα, μπορεί να συμβαίνει το ΔΕΛΤΑ 1 και όχι το ΔΕΛΤΑ 2 ή να συμβαίνουν και τα 2, εν πάση περιπτώσει να καταγράψετε το δειγματικό χώρο της κατάστασης των διακοπτών. Πώς θα είναι όλα τα δυνατά ενδεχόμενα και να τα γράψετε. Δηλαδή είναι ΔΕΛΤΑ 1 το μη ΔΕΛΤΑ 2 ή ΔΕΛΤΑ 1 όχι ΔΕΛΤΑ 2 ή ΔΕΛΤΑ 1 όχι και τα λοιπά. Πώς μπορούμε να συμβολίσουμε το γεγονός ότι θα κερδίσει ο α πέκτης. Επίσης εσείς στη συνέχεια να συμβολίσετε το γεγονός ότι θα κερδίσει ο β πέκτης και να συμβολίσετε το γεγονός ότι θα κερδίσει ο άλλος πέκτης. Να συμβολίσετε εσείς στη συνέχεια παρόμοια το γεγονός ότι θα κερδίσει ο β πέκτης. Εντάξει ή και ο Γ παρόμοιο με αυτό εδώ πέρα. Έτσι πρέπει να υπάρχει εξάσκηση που θα συμβολίζει με τα διάφορα γεγονότα των οποίων θα ακτιμούμε την πιθανότητα όπως θα δούμε στα άλλα μαθήματα αλλά πρώτα πρέπει να το εκφράσουμε με άλγευρα ενός εντομών άλλων γεγονότων. Και αυτό θα το αποκτήσει κανένας αν κάνει εξάσκηση. Αν όσοι παρακολουθήσετε εδώ πέρα ασχοληθείτε λίγο με αυτές τις έννοιες, κάνετε λίγο μια εξάσκηση σε αυτό που σας λέω και από μόνη σας μετά στο σπίτι προσπαθήστε να κάνετε τις μικρές αποδείξεις που έκανα για να δείτε αν καταλάβατε τις έννοιες. Έτσι μόνο θα προχωρήσετε. Αν μόνο τα βλέπετε και έρθει τις εξετάσεις σίγουρα σας λέω ότι δεν θα περάσετε το πάτημα και θα έχετε δυσκολία.