Απειροστικός Λογισμός ΙΙ (2023-05-19-14:10:28) / Μέρος 2 / Προγραμματισμένη Μετάδοση μαθήματος - Μπαρμπάτης Γεράσιμος (ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, 2023)
Προγραμματισμένη Μετάδοση μαθήματος: και πώς θα δείξουμε το υπόλοιπο Taylor στην ιστομιδέν, αντίγως εκεί θα είναι χρήσιμο το... ...αυτό που κάνουμε. Πριν πάω σε αυτό όμως, ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα, αυτό είναι ένα τελείως εκτός τώρα... δεν υπάρχει καταρκέπτες συνώσεις, να δούμε μια διαφορετική εφαρμογή... ...του πολυονίμου Taylor, δεν δείχνει να κάνουμε, όταν πάρουμε απαρήκα, το άπλαιο πολυόνιμο... ας δούμε ένα παράδειγμα... ας δούμε ένα απλό παράδειγμα... χρησιμοποιώντας... ...κατά κυλοπολιόνιμο Taylor... ...βαθμού... ας πούμε για να μην διέξουν πολύ μεντάξεις δύο... ...βαθμού δύο... βρείτε μια προσέγγιση, βρείτε μια προσέγγιση... ...για το εξής ας πούμε... ...για την δεδραγωνική ρίζα... ...του 1,032 για παράδειγμα... ...και εκτιμήστε το σφάρμα της προσέγγισης... ...και εκτιμήστε το σφάρμα της προσέγγισης... ...και εκτιμήστε το σφάρμα... Δεν έχουμε πει κάτι σχετικό με όλο αυτό, σκεφτόμαστε ότι έχουμε μια συνάρτηση εδώ πέρα, την δεδραγωνική ρίζα... ...και είμαστε πάρα πολύ κοντά στο χ0 ίσον 1... ...και σκεφτόμαστε πολυόνιμο Taylor με κέντρο το 1 της ρίζας χ... ...επειδή πάντα μας αρέσει για αυτό το λόγο τα πολυόνιμο Taylor να είναι με κέντρο το 0... ...και τώρα θα το δούμε την φορά... ...θα πάρουμε το ρίζα 1 σε χ και θα πάρουμε κέντρο το 0... ...και το ίδιο πραγματικό σας τελειώσει κάτι... ...αλλά θεωρούμε... ...την f του χ ίσον πέτραγωνική ρίζα του 1 σε χ... ...και του 1 συνεχίζει με έναν δεύτερο... ...το ζητούμενο... ...είναι... ...μια προσέγγιση λοιπόν με τον τρόπο που λέει η άσκηση... ...δηλαδή μέσω πολυονίμου τέλειο δεύτερο βαθμό... ...είναι μια προσέγγιση... ...για το f του 0,2 βέβαια... ...0,02... ...και σύμφωνα με αυτά που έχουμε πει... ...και με την οδηγία κάπως μας δίνει η άσκηση... ...ο οποία μας λέει να χρησιμοποιήσουμε πολυόνιμο τέλειο βαθμό 2... ...μια κατάλληλη προσέγγιση... ...κατάλληλη δηλαδή με την έννοια ότι είναι καλή προσέγγιση... ...και ακολουθεί αυτά που λέει η άσκηση... ...μια κατάλληλη προσέγγιση... ...είναι... ...το πολυόνιμο τέλειο λοιπόν... ...παίρνουμε το πολυόνιμο τέλειο... ...βαθμό 2... ...τις f... ...με κέντρο το 0 γιατί... ...ποια είναι η ιδέα εδώ... ...το 0,02 είναι πολύ κοντά στο 0... ...είπαμε ότι το πολυόνιμο τέλειο είναι... ...καλή προσέγγιση... ...όταν το x είναι κοντά στο x0... ...εδώ λοιπόν συμβαίνει αυτό... ...το 0,02 είναι πολύ κοντά στο 0... ...με κάποια έννοια τώρα αυτό... ...πολύ κοντά έρχεται να κάνει... ...και κάνει το τίσιο άμα θα βγάλουμε... ...με κέντρο λοιπόν το 0... ...και για αρχή βάζουμε το 0,02... ...συμφωνούμε... ...καταλαβαίνετε τι λέω... ...αυτό τώρα είναι κάτι... ...που μπορούμε να το υπολογίσουμε ακριβώς... ...η άσκηση μας ζητάει να το υπολογίσουμε... ...ποπότε ας το υπολογίσουμε... ...έχουμε λοιπόν... ...για να υπολογίσουμε ότι είναι ευτόνος καταρχήν... ...ευτόνος του x... ...είναι 1 δεύτερο... ...1 συμχή... ...ις τη μίον 1 δεύτερο... ...το ευδύστονο του x... ...δεν χρειαστούμε και αυτό... ...είναι μίον 1 τέταρτο... ...1 συμχή... ...μίον 3 δεύτερα... ...θα πάρω και μία τρίτη παράγωγου... ...γιατί θα πάρω μία τρίτη παράγωγου... ...γιατί όταν πάω να εκτιμήσω... ...το σπάλμα... ...χρησιμοποιήσω κάποια από τις τρεις μορφές... ...είπα και πριν ότι αυτή που νομίζω είναι η πιο εύθυστη... ...είναι η δεύτερη... ...μορφή του Lagrange... ...η οποία βάζει την 1 συν 1 τάξη παράγωγου... ...οπότε εδώ θα πάρουμε και τη τρίτη... ...για το σπάλμα... ...οπότε τρίτη παράγωγος του σετ... ...είναι η συνάντηση... ...3-8... ...και 3-1 συμχή... ...εστιν 1-5 δεύτερα... ...συμφωνούμε... ...οπότε... ...είναι ποιος αριθμός... ...είναι το... ...σε να γράφω... ...T2F0 του 0,02... ...ο λόγος είναι τέλειο λοιπόν... ...2ο βαθμό της σετ με κέντρο το 0... ...υπολογισμένο διαχεί ίσον 0,02... ...αλλά τι είναι... ...είναι... ...ευτού 0... ...και ευτόνος του 0... ...επί το 0,02... ...και δύστονο του 0... ...τους 2 παραγωγικού... ...και τη 0,02... ...ετράγωγον... ...τώρα... ...τα ευτού μηδενός, ευτόνος του μηδενός... ...επί δύστονο του μηδενός... ...όλα υπολογίζονται από εδώ... ...έτσι έχουμε ότι το ευτού μηδενός... ...είναι 1... ...το ευτόνος του μηδενός... ...είναι 1 δεύτερο... ...και το ευδύστονο του μηδενός... ...είναι μίον 1 δέκατο... ...και το ευτόνος του μηδενός... ...είναι μίον 1 δέκατο... ...οπότε έχουμε 1... ...συν... ...το γράφω κατευθείαν τώρα... ...ευτόνος του μηδενός 1 δεύτερο... ...και ο 0,02 μας κάνει 0,01... ...συν... ...το ευδύστονο του μηδενός λοιπόν... ...είναι μίον 1 δέκατο... ...διερούμε και με το 2... ...αλλά είναι μίον 1,08... ...αλλά μίον 1,08... ...επί... ...αυτό... ...το τώρα 8 επί 10 στιγμήων 6... ...σωστά... ...σωστά έτσι... ...8 επί 10 στιγμήων 6... ...τα 8 διαφεύγουν... ...και μένει τελικά... ...ο αριθμός που παίρνουμε στο τέλος... ...είναι 1,01 από εδώ... ...α, είναι με μίον όμως... ...άρα... ...είναι με μίον... ...δέκατος πρέπει να πάει... ...θυμηθείτε τώρα στους δεκαδικούς που λέγαμε... ...κυρίως... ...το 8... ...και πώς προήπησε... ...πιο 8... ...το τελευταίο στο 10 είναι τετράγωνο... ...α, είναι τετράγωνο... ...συγγνώμη... ...συγγνώμη... ...διάβαζα τρίτη, έχεις απόλυτο δίκιο... ...είναι τέσσερα εδώ... ...και τέσσερα και εδώ... ...εσύ διορθώστε παιδιά... ...εεε... ...ποπότε είναι... ...ποπότε είναι... ...κάνω λίγο προσοχή... ...είναι 1 και 0,01... ...μίον... ...10 στη μίον τέσσερα δεύτερα... ...είναι το 0,005... ...είναι το 0,005 συγγνωμένο... ...σωστά, έτσι... ...αυτό να το κάνουμε επί δύο... ...όχι, δεν είναι αυτό... ...αλλά... ...δεν είναι αυτό... ...πιο πολλές... ...τώρα είναι σωστό... ...επειδή ο Μαζίδης... ...το 10 στη μίον τέσσερα... ...συμφωνωμένο... ...σωστά, έτσι... ...άρα... ...είσον τελικά... ...1... ...κόμμα... ...0,1... ...0... ...0,0... ...0,5... ...0,0... ...0,9... ...και αν θέλει 0... ...σωστά... ...οπότε αν προσθέσουμε... ...5... ...1 και το 9 και το 9... ...σωστά, έτσι... ...1,0,0,9,9,5... ...αυτή είναι η ζητούμενη προσέγγιση... ...δηλαδή κάτι τέτοιο... ...θα μπορούσε κανείς να το βρει... ...άμα δεν έχει κομπιτεράκι... ...να κάνει αυτούς τους οικολογισμούς... ...και να το βρει... ...αλλιώς δεν ξέρουμε πραγματικά... ...ένα διάστημα μέσα στο οποίο βρίσκεται... ...ο αρχικός αρχικός αρχικός... ...ο οποίος πρέπει να δοθεί... ...όχι τόσο από αυτόν... ...για να εκτιμήσουμε... ...αυτή είναι η ζητούμενη προσέγγιση... ...για να την εκτιμήσουμε... ...συνοποιούμε τώρα... ...ένα οτιοδίκοτα από τα τρία... ...αλλά τουλάχιστον εδώ... ...καλύτερα είναι... ...τη μορφή Lagrange... ...για το σφάλμα... ...έχουμε ό,τι... ...έχουμε εδώ μορφή Lagrange... ...υπάρχει... ...ξ... ...εδώ τώρα μπορώ να πω πολύ συγκεκριμένα... ...που είναι το ξ... ...είναι ανάμεσα στο χ... ...είναι ανάμεσα στο χ0 και το χ έχουμε πει... ...άρα... ...ανάμεσα στο μηδέν... ...και το... ...πιδέν κόμμα πιδέν δύο... ...αυτό το διάστημα... ...βρίσκεται το ξ... ...όστε... ...όστε... ...το σφάλμα της προσευχήσης... ...το R2... ...ε... ...εμ... ...F... ...κεντρομιδέν... ...του μηδέν κόμμα μηδέν δύο... ...αυτό είναι το σφάλμα της προσευχήσης... ...το οποίο δηλαδή είναι... ...εμ... ...το F του X... ...η πραγματική τιμή... ...άρα η ρίζα του 1,02... ...αυτό που δεν το ξέρω... ...μίον αυτό που... ...έχω βρει ως προσέγγιση... ...αραμίον το... ...ένα κόμμα μηδέν... ...μηδέν εννέα... ...εννέα πέντε... ...αυτή διαφορά λοιπόν με το σφάλμα... ...είναι αυτό που συμβολίζω έτσι... ...και μας λέει η θεωρία... ...ότι είναι ίσο με F... ...τρίτη παράγωγος στο ξ... ...προς τρία παράγωγικο... ...επί... ...χιπλεν χιμιδέν στην τρίτη... ...άρα... ...η 1,02... ...στην τρίτη... ...και... ...τι έχουμε πει για την τρίτη παράγωγο... ...η τρίτη παράγωγος... ...ήταν...άρα θα σας πάρουμε μια απόλυτη τιμή... ...γιατί μας ενδιαφέρει καταπόλυτο να τα κτημάω αυτά... ...άρα... ...η απόλυτη τιμή του σφάρματος... ...είναι ίσο... ...το εστρίστωνο του ξ ήταν...τι ήταν... ...τρία όδωα είχε μπροστά... ...αρα είναι ένα τρία όδωα... ...επί ένα σύνξυ... ...στη μη 5 δεύτερα... ...στη μη 5 δεύτερα... ...αυτό είναι το εστρίστωνο του ξ... ...έχουμε και ένα δυατρία παραγωγικό... ...και εδώ έχουμε ένα 8... ...επί 10 στη μη 6... ...και τώρα κοίταμε αυτό... ...αυτό το ξ δεν το ξέρουμε εκεί... ...αλλά... ...τώρα πια όταν εκτιμάμε ένα σφάρμα... ...τάξη μεγέθους μας ενδιαφέρει... ...δεν πάμε να κάνουμε πολύ ακριβείς υπολογισμούς... ...πορούμε εδώ πάρα πολύ απλά να πούμε... ...το πιο απλό που μπορούμε να πούμε... ...αυτό το ξ είναι θετικό... ...και να το πετάξουμε... ...και άρα τελικά... ...εδώ είναι έκτα... ...το 3 με το έκτα αφήνει ένα 2 στον παρονομαστή... ...το 2 με το 8 μας κάνει... ...α έχουμε και ένα 8 εδώ πέρα... ...τα οχτάρια φεύγουν... ...εμάς μένει ένα 2 τελικά... ...το 10... ...η στιγμήων 6... ...μικρότερο ίσου λοιπόν... ...από έναν δεύτερο... ...το 10 στη στιγμήων 6... ...κότε είναι αρκετά καλή προσέγγιση... ...άρα αυτό ανήκει σε ένα διάστημα... ...με κέντρο αυτό... ...αυτός ο αριθμός που τράφναμε... ...ενα διάστημα από αυτό πλην τόσο... ...έως αυτό συν τόσο... ...οραία αυτός είναι λοιπόν ένας τρόπος... ...να χρησιμοποιηθεί το πολεμό Taylor... ...δηλαδή να εκτιμήσουμε κάτι... ...κάτι που μας έχει προθήσει συγκεκριμένο... ...που εδώ δεν έχει τίποτα να κάνει... ...με άπειρες συμβέρσεις... ...ήταν πολύ σιγκριμένο βαθμός 2... ...από εκεί πέρα είπαμε... ...αυτό που μας ενδιαφέρει... ...αναπτύγματα Taylor... ...κάποιων βασικών συναρτήσεων... ...να δούμε δηλαδή... ...για κάποιες βασικές συναρτήσεις... ...το πότε μπορούμε να πούμε ότι η σειρά Taylor... ...και σειρά Taylor ονομάζουμε την άπειρη σειρά... ...πότε αυτή συγκλίνει... ...και το άθεσμά της είναι η αρχική συναρτήση F... Πάμε να δούμε την εκθετική συναρτήση... ...και μετά θα σταματήσουμε... Λοιπόν, άρα... Δυναμοσυρές... ...και αναπτύγματα Taylor... ...και θα δούμε μία-δύα λοιπόν... ...κάποιες βασικές συναρτήσεις... ...πρώτο μέρος... ...πρώτη συναρτήση, εκθετική συναρτήση... ...οπότε σε όλα αυτά θα παίρνουμε πάντα ως κέντρο το μηδέν. Αυτή λοιπόν τη λέμε F του χ. Ωραία. Λοιπόν, τώρα, όσον αφορά τις παραγωγούς... ...έχουμε βέβαια ότι το ευτόνος του χ... ...μαλλοντική κάθε τάσης παραγωγούς... ...είναι πάλι η αισθητή χ... ...το για κάθε k, λοιπόν, μεγαλύτερος του 1... ...και άμα πάρουμε για χ το μηδέν... ...που θέλουμε να είναι το κέντρο της δυναμος σειράς... ...άρα Fk τάξης παράγωγος στο μηδέν... ...είναι ίσως με 1. Συνεπώς... ...το πολυόνιμο Taylor... ...συνεπώς... ...το πολυόνιμο Taylor της έκθεσης... ...ευτικής συνάρτησης με κέντρο το μηδέν... ...στο τυχαίο χ... ...που να γράψω μόνο τώρα πρώτη φορά... ...άλλα δεν θα το γράψω άλλη φορά... ...εξ ορισμού είναι... ...θυμίζω λοιπόν... ...αυτό το πολυόνιμο... ...το χ είναι το μηδέν... ...δηλαδή... ...αυτά λοιπόν εδώ στο ναυδιτή είναι όλα μονάδες... ...άρα είναι το άρθρισμα... ...από Ks0 έως... ...Κ... ...Κ... ...Κ... ...αυτά όλα είναι... ...και στην Κ... ...δια Κ... ...παραγοντικό... ...άρα είναι 1 και χ... ...και χ' προς 2 παραγοντικό... ...και χ' προς 3 παραγοντικό... ...Σ και τα λεπά... ...έως... ...χ' στην N... ...προς N παραγοντικό... ...αυτό είναι το πολυόνιμο τελειογραφικό N... ...όταν μιλάγαμε για σειρές συναρτήσεων και δυναμοσυρές... ...ήχαμε αναφέρει δυναμοσυρές τελειογραφικών... ...ήχαμε αναφέρει δυναμοσυρές τελειογραφικών... ...ήχαμε αναφέρει δυναμοσυρές τελειογραφικών... ...ήχαμε αναφέρει δυναμοσυρές τελειογραφικών... ...αυτή η συμπεριφορά γίνεται μόνος... ...και δεν υπάρχει δυναμή... ...και δεν υπάρχει δυναμή... ...και δυναμή... ...και δυναμή... ...και δυναμή... ...και δυναμή... ...και δυναμή... ...και δυναμή... ...και δυναμή... ...και δυναμή... ...και δυναμή... Βάζω το μηδέν γιατί αυτό έχουν. Ονομάζεται σειρά Taylor. Κέφτ με κέντρο το μηδέν. Ονομάζεται σειρά Taylor. Κέφτ με κέντρο το μηδέν. Κέφτ με κέντρο το μηδέν. Και μαζί μας ενδιαφέρει το κατά πόσο αυτή η δυναμοσυρά συγκλίνει και το άθλημα της δυναμοσυράς είναι η αρχική συναρτήση Ε. Και θυμόμαστε τώρα τι σημαίνει η δυναμοσυρά συγκλίνει. Σημαίνει ότι άμα πάρω την ακολουθία μερικών αθλησμάτων της σειράς, δηλαδή το σταματήσω σε ένα 1, τότε αυτό πρέπει να τύνει στην ευτουχή. Αυτό είναι η σύγκληση κατά σημείο τουλάχιστον, μια απλή συγκλήση. Πρέπει να συγκλίνει στην ευτουχή. Όμως, άμα κόψω το άθλημα εδώ πέρα η ακολουθία μερικών αθλησμάτων δεν είναι τίποτα άλλο παρά ταπολιώνημα Taylor. Οπότε το ερώτημα είναι κατά πόσο ταπολιώνημα Taylor βαθμού 1 είναι αυτή δηλαδή. Αυτό είναι το ερώτημα. Ισοδύναμα, θέλω διαφορά τους να τύνει στο μηδέν. Η διαφορά τους, έθνιον το πολιώνημα Taylor, όμως, είναι το υπόλοιπο Taylor. Άρα το ερώτημα που μας απασχολεί είναι ισχύει ή όχι ότι το υπόλοιπο Taylor τύνει στο μηδέν και για ποια χή ισχύει αυτό. Μας ενδιαφέρει, λοιπόν, το εάν... Ας το γράψω εδώ. Μας ενδιαφέρει... το εάν... το r, n, f... μηδέν τώρα, αλλά αυτά θα μπορούσαν να τα πω και για ποιοδήποτε χή μηδέν. Ποιοδήποτε χή τύνει στο μηδέν. Συμπληρώνω από κάτω. Οπότε, αν ισχύει αυτό, θα ισχύει το άσχημα της άπειρης σειράς του ΕΕ. Είναι ακριβώς η ευτυχία. Εντάξει? Ωραία. Πάμε, λοιπόν, να δούμε τι... Να εκκληρίσουμε το υπόλοιπο, λοιπόν. Και θα χρησιμοποιήσουμε μία από τις μορφές που έχουμε για το υπόλοιπο και μάλιστα τη μορφή του Lagrange. Παίρνουμε, λοιπόν, ένα χ σταθερό. Ξέρουμε ότι το χ είναι διάφορο του μηδενός, γιατί αλλιώς δεν έχει νόημα. Το λέμε ανάμεσα στο μηδέν και το χ. Εδώ καλό είναι να διακρίνουμε περιπτώσεις ανάλογα με το αν το χ είναι θετικό ή αρνητικό. Πρώτη περίπτωση, λοιπόν. Χ θετικό. Οπότε υπάρχει κάποιο ψ ανάμεσα στο μηδέν και το χ. Άρα στο ενθόλιαστο μηδέν και το χ. Ώστε το υπόλοιπο τέλος βαθμού 1 χ θετικό μηδέν στο χ. Ας πάρουμε ένα απόλυτο λεπτό. Κατακόλητη τιμή συνέδου σε βαθμού μετασφαλμάτων. Αυτό μας ενδιαφέρον. Είναι, λοιπόν, μέσα σε ακόλητο. Τι λέγαμε? F ενσυν έναν τάξης παράγωγος στο ξ. Προς ενσυν έναν παραγωγικό. Είναι ένα παραγωγικό. Προς ενσυν έναν παραγωγικό. Είναι ένα παραγωγικό. Προς ενσυν έναν παραγωγικό. Είναι ένα παραγωγικό. Προς ενσυν έναν παραγωγικό. Είναι ένα παραγωγικό. Εδώ πέρα τώρα. Προσοχή. Εμείς θέλουμε να δούμε τι γίνεται καθώς το N τύνει στο άπιλο. Έτσι, θέλουμε αυτό να τύνει στο μηδέν. Το ξ, εδώ πέρα, προσοχή, το ξ εξαντάται και από το N. Όταν δεν μπορώ να πω αν αφορμόσω κριτήριολόγου ή κάτι τέτοιο, όσο έχω ακόμα το ξ. Έτσι, γιατί το ξ μας το δίνει το θεώρεμα που είπαμε πριν Συγκεκριμένο n. Αν αλλάξει το x, το n μπορεί να αλλάξει το x. Οπότε, θέλω να πάω σε μια εκτίμηση που δεν θα περιέχει κάποιο x. Θα έχει να κάνει μόνο με το x. Αυτό μπορεί να το κάνω εύκολα όμως. Ξέρω ότι το x είναι μικρότερο από το x, οπότε μπορώ να πω εδώ απλά, μικρότερο ίσως, ότι το έχεις στην x. Επιχείς στην n, τώρα είναι σημαίνει ένα παραγωγικό. Και τώρα πλέον έχουμε κάτι που είναι συγκεκριμένο, δεν εξαρτάται, δεν χάνεται κάτι άλλο, μόνο το x και το n. Τι με ενδιαφέρει κατά πόσο αυτό εδώ τύνει στο μηδέν. Ε, αυτό το χρησιμοποιούμε πολύ εύκολα. Κριτήριο λόγου, για παράδειγμα, τύνει στο μηδέν. Αυτό το n είναι ένα παραγωγικό, είναι αρκετό για να μασφάει τις δυνάμεις του x. Ακόμα και αν το x είναι μεγαλύτερο του n. Κριτήριο λόγου για ακολουθίες, όχι για συναρτήσεις, όχι για σειρές. Το υπορθύνει στο μηδέν, δείτε το γιατί, και αυτός το ένθυνει στο άπριο. Δεύτερη περίπτωση είναι το x είναι αναρνητικό. Κάνουμε τα ίδια περίπου. Το Άρεν Έθ λοιπόν, το Άχι Ξι, στου διάστημα Κίκο Μαμιγέν, αυτή τη φορά, αφού το χ είναι αρνητικό, ώστε αυτό εδώ να είναι ίσο, το γράφω κατευθείαν έτσι, έις την Ξι, το χ στην Εν μπαίνει σε απόλυτο, γιατί το χ είναι αρνητικό τώρα, προς 1-1 παραγωγικό. Το Ξι είναι αρνητικό, οπότε το ίστην Ξι είναι απλά μικρότερο της μονάδας, δεν μπορώ να πω κατευθείαν μικρότερο ίσιο από όλοι το χ στην Εν λοιπόν, προς 1-1 παραγωγικό. Και πάλι αυτό τείνει στο μηδέν. Οπότε ποιο είναι το συμπέρασμα από όλα αυτά, ποιο είναι το συμπέρασμα. Άρα, το ΆΡΕΝΕΦΙ ΛΕΝΤΟΜΑΧΗ τείνει στο μηδέν. Για κάθε εκεί στο ΆΡΑ, δεν υπήρχε κανένας πυροσφαστοχής σε όλα αυτά. Ήταν τυχόν θετικό ή αρνητικό. Και άρα, το συμπέρασμα αυτό είναι, ότι η θετική συνάρτηση το ΆΡΕΝΕΦΙ ΛΕΝΤΟΜΑΧΗ, είναι ίσιο με το άθλησμα, με το άτερο άθλησμα, με την δυναμωστικά τέλος. Άρα, είναι 1 και χ, και χ τετράγωνον για 2 παραγωδικό, και χ τρίτης για 3 παραγωδικό. Ήσουτε με το άθλησμα αυτής της άτερες δυναμωσιακάς, για κάθε εκεί στο ΆΡΑ. Συμφωνούμε? Ωραία. Αυτά παιδιά, λοιπόν, για σήμερα. Ας σταματήσουμε εδώ. Θα συνεχίσουμε κοιτώντας παρόμοιες άλλες βασικές δυναμωσιακές, δηλαδή δυναμωσιακές βασικών συναρτήσεων. Παρακαλώ. Αυτό που έχω καταλάβει είναι ότι συνήθως δεν γίνεται, οπότε μάλλον δεν θα το κάνουμε, ή αν κάνουμε, μάλλον όχι. Θα δούμε πώς θα πάμε με το χρόνο. Αυτή είναι μια άσκηση που έτυχε από το κεφάλαιο έκτο, το προηγούμενο που ήταν. Και εγώ την έλυσα με έναν τρόπο και βρήκα μία λύση, αλλά τις εγγυστικές εμφανίσεις που έχει ο κύριος Κιανόπουλο, βρήκε σε άλλο τρόπο και βρήκε τελείως διαφορετικό αποτέλεσμα. Και μου φέρετε και δύο πολύ διαφορετικές συνήθεις. Δηλαδή, είναι αυτό εδώ. Και πραγματικά... Εγώ πρέπει να βρήκα χ, νομίζω, ότι είναι χ. Δεν μπορείς, έχεις κάνει λάθος. Αυτό που θα βρεις, αργοτριγμένα καταδύνει, μπορείς. Αλλά πιο δύσκολα αντιπαληθέσεις. Βρήκες κάτι να το παραγωνίσεις, πρέπει να βρεις αυτό. Το χ, το βάρος, δεν είναι. Αλλά κάπου έχεις κάνει λάθος. Τι λάθος έκανα, γιατί έκανα τη μέθοδο βάση, το οποίο είσαμε που θέταμε εδώ ένα, δυνατό. Δυνατό, νομίζω. Να το δείξεις, θα πρέπει να το δείξεις. Πάμε να το δείξεις, ή να σου πω εγώ τι έχεις. Τα έχω πολύ προχειρογραμμένα. Θα περίμενα όμως έτσι να βγαίνει, όπως λες, με το ένα διασυνημίτομα. Αυτός, νομίζω, έθεσε όλη τη ρίζα κάτι τέτοιο. Όλη τη ρίζα κάτι ενός. Θέλω να δω, το έχω... Αυτός είναι η άσκηση. Ναι, αυτό στέλνει όλη τη ρίζα εις με γιου. Ωραία, πες μου εσύ τι έθεσες. Έθεσες το χι μανελάριασιν, νομίζω. Ωραία, πάμε να το δούμε λίγο. Ωραία, οπότε, εδώ έχουμε... Οπότε, τραγωνική ρίζα, λοιπόν, είναι... Τραγωνική ρίζα 1 για τη μύτονο τετράγωνο τε, μύο για τη μύτονο τετράγωνο τε, μύο για τη μύτονο τετράγωνο τε, άρα είναι η μύτονο τετράγωνο τε για τη μύτονο τετράγωνο τε. Άρα είναι φατομένη. Κρατάμε το σήμα, ας πούμε, είναι φατομένη τε. Καλά δεν λέω. Είναι φατομένη. Έχουμε ένα συλλημύτωνο πάνω και τέλος το τέχι, το τέχι είναι μύο για τη μύτονο τε, το συλλημύτωνο πάνω και τέλος το τέχι. Ήρθε ένα συλλημύτωνο από εδώ που πάει στον αριθμητή, οπότε το γράφω, συλλημύτωνο τέ στον αριθμητή. Είναι φατομένη τε και έχουμε και η μύτονο δια συλλημύτωνο τετράγωνο. Σωστά? Ναι. Η μύτονο λοιπόν τέ δια συλλημύτωνο τετράγωνο τέ. Και ας βάλσουμε και αυτό η μύτονο δια συλλημύτωνο εδώ. Δηλαδή αυτό εδώ, αυτό εδώ απλοποιείται με αυτό και με αυτό και αυτό απλοποιείται με αυτό. Κατάλαβα τι λες. Και αυτό λες ό,τι λέμε. Οπότε ναι. Οκ. Πρόσεξε. Ο ορκερις άρα είναι μύον δε τέ όντως. Άρα τι είναι μυο τέ συλλησέ. Δε νομίζω να ξαπεράσεις τώρα. Α ναι. Οκ. Άρα το. Ο που τέ λοιπόν. Το έξω συλλημύτωνε τέ είναι έναν διαχεί. Οπότε είναι έναν διαχεί. Άρα το τέ είναι άρκτον. Άρα το τέ είναι άρκτον. Άρα το τέ είναι άρκτον. Άρα το τέ είναι άρκτον. Άρα το τέ είναι άρκτον. Άρα το τέ είναι άρκτον. Άρα το τέ είναι άρκτον. Άρα το τέ είναι άρκτον. Άρα το τέ είναι άρκτον. Άρα το τέ είναι άρκτον. Άρα το τέ είναι άρκτον. Άρα το τέ είναι άρκτον. Επανέλθουμε σε ασκήσεις στο... Φυσικά, φυσικά. Καλή συνέχεια. Καλά. Καλή συνέχεια. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Καλά. Κα WR pursuing the future, .... Αυτό είναι πιο πολύ σωστό στο εδάμα. Συμβολικά, αυτό είναι πιο σωστό στο εδάμα. Συμβολικά, αυτό είναι πιο σωστό στο εδάμα. Κάτι άλλο, από ό,τι στο εδάμα, τελικά από ό,τι στο εδάμα, ό,τι στο εδάμα, ό,τι στο εδάμα, κάτι άλλο, από ό,τι στο εδάμα, κάτι άλλο, από ό,τι στο εδάμα, Υπόσχεσαι, θεωρούμε τον ίδιο για να μας προσπαθήσει και να μας ελευθερώσει να μας ελευθέρωσε. Υπόσχεσαι, θεωρούμε τον ίδιο για να μας προσπαθήσει και να μας ελευθερώσει να μας ελευθερώσει να μας ελευθερώσει. Υπότιτλοι AUTHORWAVE Υπότιτλοι AUTHORWAVE Υπότιτλοι AUTHORWAVE Υπότιτλοι AUTHORWAVE Υπότιτλοι AUTHORWAVE Υπότιτλοι AUTHORWAVE Υπότιτλοι AUTHORWAVE Υπότιτλοι AUTHORWAVE Υπότιτλοι AUTHORWAVE Υπότιτλοι AUTHORWAVE Υπότιτλοι AUTHORWAVE Υπότιτλοι AUTHORWAVE Υπότιτλοι AUTHORWAVE Υπότιτλοι AUTHORWAVE Μετά το πρώτο βάθος, η αγωγή είναι η αφεντική για το σκοπό. Η αφεντική είναι η αγωγή που θέλει να σε χωρίσει. Είναι η αγωγή που θέλει να σε χωρίσει. Η αγωγή που θέλει να σε χωρίσει. Είναι η αγωγή που θέλει να σε χωρίσει. Και η αγωγή που θέλει να σε χωρίσει. Είναι η αγωγή που θέλει να σε χωρίσει. Αυτή είναι η ευκαιρία της λογοκρασίας μας, που πρόκειται να εμπνεύσουμε την αρκετή της ανάγκης. Αυτό το πρόγραμμα είναι το σχέδιο, το πρόγραμμα που θα θέλαμε να δούμε στον κύριο μας. Αυτό το πρόγραμμα θα θέλαμε να δούμε στον κύριο μας. Αυτό το πρόγραμμα θα θέλαμε να δούμε στον κύριο μας. Αυτό το πρόγραμμα θα θέλαμε να δούμε στον κύριο μας. Αυτό το πρόγραμμα θα θέλαμε να δούμε στον κύριο μας. Αυτή είναι η ευκαιρία της λογοκρασίας μας, που πρόκειται να εμπνεύσουμε την αρκετή της ανάγκης. Αυτό το πρόγραμμα θα θέλαμε να δούμε στον κύριο μας. Αυτό το πρόγραμμα θα θέλαμε να δούμε στον κύριο μας. Αυτό το πρόγραμμα θα θέλαμε να δούμε στον κύριο μας. Αυτό το πρόγραμμα θα θέλαμε να δούμε στον κύριο μας. Αυτή είναι η πραγματικότητα. Αυτή είναι η πραγματικότητα. Αυτή είναι η πραγματικότητα. Αυτή είναι η πραγματικότητα. Αυτή είναι η πραγματικότητα. Αυτή είναι η πραγματικότητα. Αυτή είναι η πραγματικότητα. Αυτή είναι η πραγματικότητα. Αυτή είναι η πραγματικότητα. Αυτή είναι η πραγματικότητα. Αυτή είναι η πραγματικότητα. Αυτή είναι η πραγματικότητα. Αυτή είναι η πραγματικότητα. Οι δύο πόλεις που έχουμε εξακολουθεί από το πόνο του πόνος μας, είναι δύσκολα και δύσκολα και δύσκολα. Και όταν βλέπουμε το πόνο του πόλου, δύσκολα και δύσκολα και δύσκολα, δεν μπορούμε να βγούμε και να βγούμε και να βγούμε. Και όταν βλέπουμε το πόνο του πόλου, δεν μπορούμε να βγούμε και να βγούμε. Και όταν βλέπουμε το πόνο του πόλου, δεν μπορούμε να βγούμε και να βγούμε. Και όταν βλέπουμε το πόνο του πόλου, δεν μπορούμε να βγούμε και να βγούμε. Και όταν βλέπουμε το πόνο του πόλου, δεν μπορούμε να βγούμε και να βγούμε. Και όταν βλέπουμε το πόνο του πόλου, δεν μπορούμε να βγούμε. Και όταν βλέπουμε το πόνο του πόλου, δεν μπορούμε να βγούμε. Οι χαρακτήρες που έχουν δημιουργηθεί πάνω στη σύστημη, είναι οι καρδιά. Οι χαρακτήρες που έχουν δημιουργηθεί πάνω στη σύστημη, είναι οι καρδιά. Οι χαρακτήρες που έχουν δημιουργηθεί πάνω στη σύστημη, είναι οι καρδιά. Οι χαρακτήρες που έχουν δημιουργηθεί πάνω στη σύστημη, είναι οι καρδιά. Οι χαρακτήρες που έχουν δημιουργηθεί πάνω στη σύστημη, είναι οι καρδιά. Οι χαρακτήρες που έχουν δημιουργηθεί πάνω στη σύστημη, είναι οι καρδιά. Οι χαρακτήρες που έχουν δημιουργηθεί πάνω στη σύστημη, είναι οι καρδιά. Οι χαρακτήρες που έχουν δημιουργηθεί πάνω στη σύστημη, είναι οι καρδιά. Οι χαρακτήρες που έχουν δημιουργηθεί πάνω στη σύστημη, είναι οι καρδιά. Οι χαρακτήρες που έχουν δημιουργηθεί πάνω στη σύστημη, είναι οι καρδιά. Οι χαρακτήρες που έχουν δημιουργηθεί πάνω στη σύστημη, είναι οι καρδιά. Οι χαρακτήρες που έχουν δημιουργηθεί πάνω στη σύστημη, είναι οι καρδιά. Οι χαρακτήρες που έχουν δημιουργηθεί πάνω στη σύστημη, είναι οι καρδιά. Οι χαρακτήρες που έχουν δημιουργηθεί πάνω στη σύστημη, είναι οι καρδιά. Οι χαρακτήρες που έχουν δημιουργηθεί πάνω στη σύστημη, είναι οι καρδιά. Οι χαρακτήρες που έχουν δημιουργηθεί πάνω στη σύστημη, είναι οι καρδιά. Καλησπέρα.