Μαθηματικά - Γεωμετρία (Εισαγωγή) - Δ' & Ε΄Δημοτικού Επ. 5 (Υπουργείο Παιδείας και Θρησκευμάτων, 2020)
: [♪ Μουσική εγγραφή με ακουμπή του Μπι Bruxelles. Καλησπέρα. Ονομάζομαι Γιώργος Ανδρίκος, είμαι δάσκαλο στην 5η Δημοτικού και είμαι εδώ σήμερα, για να μιλήσουμε για τη Γεωμετρία. Αν πάρουμε λίγο την αιτημολογία της λέξης Γεωμετρία, θα παρατηρήσουμε το εξής. Αποτελείται από δύο ξεχωριστές λέξεις. Τη λέξη Γη, Γέα και Μετρό. Ήταν λοιπόν η ανάγκη, πραγματικά η ανάγκη, για τη μέτρηση της Γης. Να δούμε όμως πώς προέκυψε αυτή η ανάγκη. Γιατί τελικά, πραγματικά, προέκυψε από ένα πολύ πολύ σοβαρό λόγο. Θα ταξιδέψουμε πίσω στο παρελθόν και μάλιστα, να μη σας πω, θα πάμε και δυο και τρεις χιλιάδες χρόνια πίσω και, ό, τι βλέπω, είναι κάτι Αιγύπτιοι με τα μάτια μαυρισμένα από τις πουνιές. Παίζουν ξύλο εκεί κάτω κοντά στον ήλο. Ο ήλος είναι πλημμυρισμένος, τα πάντα, όλα γεμάτα λάσπη. Γιατί η απάντηση είναι πάρα πολύ απλή. Χάθηκαν τα σημάδια των χωραφιών. Αυτό που μέχρι χτες ήξερε ότι τελείωνε εκεί, σήμερα δεν μπορεί να το δει. Να σας θυμίσω ότι όταν ο ήλος πλημμύριζε, κατέβαζε από πάνω εκατομμύρια τόνους λάσπη. Η λάσπη αυτή ήταν ευεργετική για τους Αιγύπτιους. Έλατε όμως που χάναν τα σημάδια των χωραφιών τους και μετά παίζανε ξύλο γιατί δεν ήξερε ποιο χωράφι τελειώνει που. Να λοιπόν που παρουσιάστηκε η τεράστια ανάγκη για να γεννηθεί η Γεωμετρία. Και η Γεωμετρία, και εδώ μάλιστα εμείς ως Έλληνες μπορούμε να υπερηφανευόμαστε, γιατί η Γεωμετρία που είναι γνωστή στον πλανήτη σήμερα είναι η Ευκλήδια Γεωμετρία. Η Γεωμετρία που έφτιαξε ο Ευκλήδης, ένας Έλληνας σπουδαίος μαθηματικός, ξεκινάει από κάτι πάρα πάρα πάρα πάρα πάρα πολύ απλό. Ποιο είναι αυτό? Ας πούμε ότι αυτή η επιφάνεια είναι ένα επίπεδο. Ένα επίπεδο είναι και το ταβάνι, ένα επίπεδο είναι ο τείχος πίσω μας, ένα επίπεδο είναι το πάτωμα, ένα επίπεδο είναι ο απέναντι τείχος, όπως και ένα επίπεδο είναι αυτός ο τείχος. Είμαστε γεμάτοι από επίπεδα παντού γύρω μας. Όπου εφαρμόζει ο χαρακάς μας, έχω και ένα επίπεδο. Ένα επίπεδο εκεί, ένα επίπεδο εδώ, πάρα πάρα πάρα πολλά επίπεδα. Πάνω λοιπόν σε αυτό το επίπεδο, θα πάω λοιπόν τώρα εγώ και θα δώσω την αρχή των πάντων. Κυρίες και κύριοι, μπροστά μας έχουμε το σημείο. Το είδες? Αποκλείεται. Τι να δεις. Μα να κάνει η κάμερα λίγο φόκους να πάμε. Όσο και να πάμε δεν πρόκειται να το δούμε. Το σημείο κυρίες και κύριοι δεν έχει διαστάσεις. Δεν έχει πάχος, δεν έχει τίποτα. Γι' αυτό λοιπόν πήγαμε και τι του είπαμε. Παιδί πρέπει να σε βλέπουνε, δεν γίνεται. Φανερώσου στον κόσμο, γίνε λίγο πιο παχουλό, φάε λίγο και έτσι λοιπόν το σημείο μας έφαγε και έγινε στρουμπουλούτσικο και του δώσαμε και όνομα. Το ονομάσαμε σημείο, θα σε ξαναθυμίσω με λένε Γιώργο, Γ. Λοιπόν, έγινε το σημείο Γ και το συμβολίσαμε με ένα κεφαλαίο Γ. Στην προκειμένη περίπτωση είναι το Γ. Φανταστείτε τώρα το εξής, ξέρετε στη Γεωμετρία φαντάζομαι συχνά. Αλλά αυτό που επίσης πρέπει να θυμάστε καλά, είναι ότι στη Γεωμετρία εκτός από φαντασία, κάθε τι που μαθαίνω μπορώ να το χρησιμοποιώ στο επόμενο βήμα μου. Δεν χρειάζεται να ξαναπώ ότι εγώ το ήξερα από εκεί, τα ξέρω όλα. Και γιατί τα ξέρω όλα, τα ξέρω όλα γιατί τα είχα μαθεί πριν, οπότε μπορώ να τα χρησιμοποιώ τώρα. Έρχομαι λοιπόν και λέω, πάνω εδώ λοιπόν στο σημείο, που το σημείο ουσιαστικά δεν έχει καμία διάσταση, από αυτό λοιπόν το σημείο περνάνε άπειρες γραμμές. Ωπα Γιώργο, τι είναι η γραμμή, η γραμμή φίλοι μου και φίλε μου, κοίταξε λίγο, είναι ένα σύνολο από άπειρα σημεία. Τι σημαίνει άπειρα σημεία, πέρας, στα αρχαία ελληνικά είναι το τέλος, το α είναι στερητικό, άπειρα λοιπόν αυτά τα οποία είναι ατελείωτα, σημεία που δεν έχουν τέλος, δεν τελειώνουν ποτέ. Αν μπορούσαμε να πάμε πάρα πάρα πολύ κοντά, με έναν εκπληκτικά μεγάλο μεγεθυντικό φαγός και μικροσκόπιο, τι θα βλέπαμε, δυσ, τρις, τετράκις εκατομμύρια σημεία, και μου φτιάχνουν αυτή τη γραμμή και μάλιστα επειδή θα παρατήρησες ότι αυτή η γραμμή έχει το σχήμα ενός τεντωμένου σχοινιού, την ονομάζω ευθεία γραμμή. Από σήμερα λοιπόν αυτή την ευθεία γραμμή, την ευθεία γραμμή που περνάει από το σημείο γ, το όνομα μου θα τη συμβολίζω με ένα μικρό γ. Το γράμμα ε, από τη λέξη ευθεία, το έχεις, το θυμάσαι, το βλέπω, το κρατάμε λοιπόν. Η ευθεία γραμμή, όπως είπαμε πριν στη γεωμετρία, τα φαντάζομαι τα περισσότερα, γιατί έχει μεγέθη μέσα τα οποία ομολογουμένως πρέπει να τα φαντάζομαι, γιατί ακριβώς αυτή τη δυναμική έχουνε, η ευθεία γραμμή δεν έχει ούτε αρχή ούτε τέλος. Ωπα, τι θα πει ούτε αρχή ούτε τέλος. Κι εγώ δηλαδή, άμα μπορώ να φτιάξω μια ευθεία γραμμή, τι θα κάνω. Εσύ θα κάνεις αυτό που πρέπει. Θα φτιάξεις αυτό ακριβώς και θα σκέφτεσαι ότι από εδώ και από εκεί, η γραμμή σου ουσιαστικά, κοίταξέ με, και αντίστοιχα, δεν τελειώνει πουθενά. Ναι, αλλά εγώ πως θα τη χρησιμοποιώ αυτή τη γραμμή. Έχεις δίκιο, δεν είναι εύκολο να τη χρησιμοποιείς αυτή τη γραμμή. Μάλλον δεν είναι τόσο εύκολο. Εμείς όμως θα τα κάνουμε λίγο πιο εύκολα τα πράγματα. Ο άνθρωπος λοιπόν σκέφτηκε το εξής και είπε, πάνω σε αυτή τη γραμμή εγώ, τι να τελείω τη γραμμή, θα πάρω ένα κομμάτι της. Αυτό το κομμάτι λοιπόν εγώ, θέλω να είναι τόσο. Πάρα πολύ ωραία. Αυτή λοιπόν τη γραμμή που ξέρω ακριβώς το μήκος της, γιατί το όρισα εγώ, θα την ονομάσω ευθύγραμο τμήμα. Αυτή εδώ ευθεία, αυτό εδώ είναι το ευθύγραμο τμήμα. Και θα μου πεις τώρα, μα καλά ρε Γεωργό, πως δύο σημεία μόνο το πρώτο και το τελευταίο, αυτή έχει άπειρα σημεία μέσα της. Βεβαίως και έχει άπειρα σημεία μέσα της, είναι αδύνατο όμως να τα παραστήσω όλα. Γι' αυτό λοιπόν στο ευθύγραμο τμήμα, θα κρατήσω και θα πάρω το πρώτο και το τελευταίο. Και θα το ονομάσω αλφαβήτα, αναλόγως. Όπως θέλω εγώ, όπως το επιθυμώ, πάντα όμως με κεφαλαία. Αυτό μην το ξεχνάς ποτέ σου, πάντα κεφαλαία γράμματα όταν ονομάζω ευθύγραμο τμήμα. Και αυτό είναι το τελευταίο. Τελειώσαμε, άμα δεν τελειώσαμε, γιατί έχω πάλι κάτι άλλο. Το οποίο θα το ονομάσω ημιευθεία, που όπως καταλαβαίνεις είναι μισή ευθεία. Θα έλεγαμε λοιπόν ότι έχει αρχή, ας τυμπούμε την αρχή της β και δεν έχει τέλος, είναι ευθεία. Άρα ε, ξαναθυμίζουμε, σημείο κεφαλαίο γράμμα, ευθεία μικρό γράμμα στο συμβολισμό. Ας το βάλουμε και σε μια παρένθεση μέσα, για να είμαστε πιο σίγουροι. Τα σημεία δεν τα βάζουμε σε παρένθεση, αυτά. Μέχρι στιγμής λοιπόν είδαμε ότι ξεκινήσαμε από το σημείο, το σημείο ξαναθυμίζουμε δεν έχει διαστάσεις. Είδαμε ότι η ευθεία περνάει από το σημείο και εδώ θα σου κάνω μια ερώτηση. Πόσες ευθείες πάνω στο ίδιο επίπεδο φαντάζεσαι ότι περνούν από ένα σημείο. Θα σου δώσω λίγο χρόνο, ε, όχι κι άλλο, εντάξει, αφού το ξέρεις, το βλέπω ότι το ξέρεις. Λοιπόν, πολύ σωστά, πάρα πολύ σωστά το σκέφτηκες, από ένα σημείο πάνω στο ίδιο επίπεδο περνάνε άπειρες ευθείες. Να δούμε μερικές, καλά, μη φανταστείς ότι θα τις κάνω όλες τώρα, ε, αν είναι δυνατόν. Να λοιπόν, μία, πώς σου φαίνεται αυτή, μένα μια χαρά μου φαίνεται, πολύ ωραία. Να φτιάξω κι άλλη μία, πολύ ωραία, κοίτα, ωραιότατη, άντε επειδή είσαι εσύ θα κάνω άλλη μία, γιατί σε συμπάθησα. Λοιπόν, σταματάω, μη μπερδευτείς και μου πεις ότι, ξέρεις, εγώ το έκανα στο σπίτι μου και κάθισα με το μολύβι μου και έφερα και έφερα και κάποια στιγμή ξέρεις έφερα 626 ευθείες. Α, πάρα πολύ ωραία, ε, ευχαριστώ πολύ. Ξεχνάς όμως ότι το μολύβι σου έχει πάχος, όπως πάχος έχει και αυτός ο μαρκαδόρος. Και είπαμε ότι το σημείο, θεωρητικά, δεν έχει διαστάσεις. Αυτό, να μην το ξεχνάμε καθόλου. Λοιπόν, πάμε λοιπόν να δούμε τι είπαμε μέχρι τώρα, ότι πάνω στο ίδιο επίπεδο, το σημείο, η ευθεία και από το σημείο διέρχονται άπειρες ευθείες. Συμφωνεί? Είδαμε επίσης ότι επειδή η ευθεία δεν έχει ούτε αρχή ούτε τέλος, εγώ πήρα το ευθύγραμμο τμήμα που έχει συγκεκριμένο μήκος, έχει και αρχή και τέλος. Και πήρα και την ημιευθεία που έχει αρχή και δεν έχει τέλος. Να τα γράψουμε όμως λίγο να τα θυμόμαστε. Είπαμε ευθεία, είπαμε ευθύγραμμο τμήμα και επίσης είπαμε η μη ευθεία. Το θυμόμαστε λοιπόν. Πάρα πολύ ωραία. Να δούμε λίγο τώρα πώς ακριβώς ονομάζονται δύο ημιευθείες που βρίσκονται ακριβώς πάνω στην ίδια ευθεία. Έλα να τις φτιάξουμε. Ας τα αλλάξουμε και χρώμα. Ας φτιάξουμε λοιπόν αυτές τις δύο ημιευθείες που βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. Θα πάρουμε αυτό το σημείο. Λοιπόν, και θα ορίσουμε τις δύο ημιευθείες μας που έχουν κοινή αρχή. Πρόσεξέ με, κοινή, την ίδια δηλαδή. Ας πάρουμε ότι είναι το σημείο α και αυτή εδώ πέρα είναι η χ και αυτή εδώ η χ τόνος. Μπορώ επίσης να αλλάξω το συμβολισμό μου όπως εγώ το επιθυμώ. Οι ημιευθείες λοιπόν που έχουν κοινή αρχή, όπως βλέπεις, και βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία και κοιτάει η μία από εδώ και η άλλη κοιτάζει από εκεί, ονομάζονται αντικείμενες ημιευθείες. Δηλαδή είναι ξαπλωμένες ουσιαστικά και η μία από εδώ και η άλλη από εκεί. Λοιπόν, πάμε λοιπόν να ξαναθυμηθούμε λίγο πάλι από την αρχή. Σημείο ευθεία δεν έχει αρχή, δεν έχει τέλος, επίπεδο από το ίδιο σημείο στο ίδιο επίπεδο περνάνε άπειρες ευθείες. Ευθύγραμμο τμήμα, συγκεκριμένη διάσταση. Στην καθημερινότητά μας έχουμε ανάγκη να έχουμε ευθύγραμμα τμήματα παντού, παντού, δεν γίνεται διαφορετικά. Φαντάζω αυτό το γραφείο φτιάχτηκε με μια συγκεκριμένη διάσταση. Η μία του πλευρά, επί την άλλη κάποιος μέτρησε, το έκοψε, το έφτιαξε σε μια συγκεκριμένη διάσταση. Μπορεί να πει κάποιος ότι θα το φτιάξω όσο μου έρθει εκείνη την ώρα, πρέπει να ξέρω από πριν τις διαστάσεις του, γι' αυτό και όρισα το μετρικό μου σύστημα. Λοιπόν, ας πάμε τώρα να δούμε τι κάνανε αυτές οι ευθείες όταν βρέθηκαν κοντά η μία στην άλλη. Να δούμε λοιπόν τι έγινε ακριβώς. Πολύ σωστά το φαντάστηκες. Δημιούργησαν μία γωνία. Να τη δούμε λίγο αυτή τη γωνία. Ας τη φτιάξουμε κι εμείς ξανά από την αρχή. Λοιπόν, μπροστά μας έχουμε μία γωνία. Το σημείο που βλέπουμε εδώ που συναντιούνται οι δύο. Πώς θα τις ονομάσουμε αυτές λες. Για θυμίσου λίγο. Έχουν αρχή, δεν έχουν τέλος. Εδώ, εδώ, εδώ, εδώ. Οι μη ευθείες είναι. Πολύ σωστά. Μπράβο. Οι μη ευθείες. Θα βάλουμε λοιπόν στην αρχή τους ένα κεφαλαίο γράμμα και αντίστοιχα από εδώ αυτή θα την ονομάσουμε ψ. Και ψ. Έχω λοιπόν την γωνία ψ, α ψ και θα σου θυμίσω ότι η γωνία είναι ο χώρος που περιορίζεται. Είναι ακριβώς αυτό εδώ μέσα. Για να δούμε λίγο τι ακριβώς λοιπόν είναι η γωνία μας. Έχω λοιπόν μια γωνία την οποία ονομάζω κυρτή και μια εξωτερική γωνία που την ονομάζω μη κυρτή. Σκέψου το σαν μια τούρτα. Φαντάσου λοιπόν το κομμάτι που κόβεις για να φας από μία μεγάλη στρογγυλή τούρτα γενεθλίων είναι η κυρτή σου γωνία. Το κομμάτι που υπολείπεται που απομένει είναι η μη κυρτή σου γωνία. Λοιπόν η γωνία λοιπόν έχει το εξής. Πλευρές. Νάτες α ψ τόνος και α ψ. Άνοιγμα. Νάτο. Το ορίσαμε πριν. Το βλέπουμε ξανά. Και κορυφή. Το σημείο που συναντιούνται οι δύο αυτές οι μη ευθείες. Πάμε λοιπόν ξανά. Άνοιγμα. Πλευρές. Και κορυφή. Τη γωνία τη μετράω με μυρογνωμόνιο. Σήμερα δεν θα μετρήσουμε γωνίες. Θα το κάνουμε κάποια άλλη στιγμή. Θα τις γνωρίσουμε όμως. Ας πάρουμε λοιπόν με τη σειρά την πρώτη γωνία που μας ενδιαφέρει. Είναι η ορθή γωνία. Είναι η γωνία, η οποία μου σχηματίζει ενενήντα μοίρες, τη συμβολίζω πάντοτε με ένα τετραγωνάκι. Εγώ κάνω και μια τσαχπινιά, βάζω και μια τελίτσα μέσα. Την ονομάζω λοιπόν ορθή και είναι ίση με ενενήντα μοίρες. Η επόμενη γωνία μου είναι η οξία, η οποία είναι μικρότερη από ενενήντα μοίρες. Η οξία είναι πάντοτε μικρότερη από ενενήντα μοίρες. Και τέλος είναι η αμβλία. Νάτη και η αμβλία, η οποία είναι μεγαλύτερη από ενενήντα μοίρες. Να τις ξαναδούμε λίγο. Ορθή, οξία και αμβλία. Ίση με ενενήντα μοίρες, μικρότερη από ενενήντα μοίρες, μεγαλύτερη από ενενήντα μοίρες. Υπάρχει και μια τέταρτη γωνία, την οποία θα τυμπούμε σήμερα, ονομάζεται πλήρης γωνία. Ποια είναι αυτή, φαντάσου ότι ως εξής. Θυμάσαι τη μη κερτή που είπαμε πριν λίγο. Πρόσεξέ με λοιπόν. Φαντάσου ότι αυτή είναι η πλήρης γωνία. Ποια? Μα αυτή. Αυτή δεν είναι γωνία, αυτή είναι ένα ευθύ γραμμοτμήμα. Αυτή είναι ένα ευθύ γραμμοτμήμα, νομίζεις, που έχει πέσει το ένα πάνω στο άλλο. Κοίταξε πώς ήταν ακριβώς. Ήταν εκεί και έκανε ένα ολόκληρο κύκλο και πήγε και ξανακούμπησε πάνω. Αυτή η γωνία λοιπόν ονομάζεται πλήρης. Και όπως κατάλαβες καλά, είναι η ίση με 360 μοίρες. Εδώ να σου θυμίσω ότι 360 μοίρες σε 360 μικρές λεπτές φέτες ο άνθρωπος χώρισε τον κύκλο. Το μοιρογνωμόνιο λοιπόν, το μισό αυτό κυκλάκι που μετράμε εμείς είναι 180 μοίρες. Και ανάλογα με τον τρόπο που το τοποθετούμε μπορούμε να μετράμε τις γωνίες μας. Για τελευταίο σήμερα, κράτησα να συζητήσουμε λίγο για δύο πολύ χαρακτηριστικές γωνίες. Μάλλον για γωνίες οι οποίες θα σου φανούν πολύ χρήσιμο να τις θυμάσαι πώς ακριβώς ονομάζονται, γιατί έχουν ένα πολύ πολύ βασικό χαρακτηριστικό. Οι γωνίες αυτές, κοίταξέ με, έχουν κοινή κορυφή, να τη, ας την πούμε φή. Και η πλευρά της μίας είναι προέκταση της πλευράς της άλλης. Οι γωνίες αυτές είναι πάντα ίσες μεταξύ τους. Αυτή η γωνία είναι ίση με αυτή. Και αντίστοιχα αυτή η γωνία είναι ίση με αυτή. Πρόσεξες ότι τροποποίησα το συμβολισμό. Για να δηλώσω την ισότητα των γωνιών, αλλάζω το συμβολισμό. Αυτή με την μία γραμμή είναι ίση με αυτή και αντίστοιχα αυτή με τις δύο είναι ίση με αυτή. Λοιπόν, αυτές οι γωνίες που έχουν, ξαναθυμίζω, κοινή κορυφή και η πλευρά της μίας είναι προέκταση της άλλης, δεν θα μπορούσε να είναι αυτή, γιατί έχουν μεν κοινή κορυφή αλλά δεν είναι προέκταση, ονομάζονται κατά κορυφή γωνίες και είναι πάντοτε ίσες. Θυμήσου, θα σου φανεί πάρα πάρα πολύ χρήσιμο, όταν μάλιστα θυμηθείς ότι όλο μαζί είναι ένας κύκλος. Άρα 360 μοίρες, φαντάσου ότι αν σου δώσουνε μόνο τη μία, μπορείς πολύ εύκολα να βρεις όλες τις υπόλοιπες. Έχουμε όμως πολλά να πούμε ακόμη. Σου εύχομαι να έχεις μια υπέροχη μέρα και να τα θυμηθείς όλα ξανά. Εύχομαι να σε βοήθησα. Την καλημέρα!