Συνάρτηση Χρησιμότητας-Αριστοποίηση-2 / 14η διάλεξη - Βαρσακέλης Νικόλαος (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2013)
14η διάλεξη: Είχαμε κάνει την προηγούμενη φορά και με τον κ. Φουσέκη κάνατε ορισμένες επεκτάσεις αυτού του οποίου έχουμε πει μέχρι τώρα. Δηλαδή ορίσαμε τη συνάρτηση χρησιμότητας. Και τώρα θα δούμε την ανάλυση την οποία κάναμε για την αριστοποίηση της συμπεριφοράς του καταναλωτή χρησιμοποιώντας πια τη συνάρτηση χρησιμότητας που μας οδηγεί. Δηλαδή πώς μπορούμε να απαντήσουμε το ερώτημα πόση ποσότητα από το ένα αγαθό και πόση ποσότητα από το άλλο αγαθό θα αγοράζει ο καταναλωτής με δεδομένες τις τιμές και δεδομένο το εισόδημά του. Άρα ξεκινάμε παρουσιάζοντας τις προτιμήσεις του. Άρα οι προτιμήσεις του καταναλωτή περιγράφονται από τη συνάρτηση χρησιμότητας. Ας πούμε ότι έχουμε δύο αγαθά, για να μην γράφω πολλά για αυτό το λόγο χρησιμοποιώ δύο αγαθά, αλλά ό,τι λέμε για τα δύο αγαθά ισχύει για τα νύα αγαθά. Άρα έχουμε τις προτιμήσεις του καταναλωτή, αυτή είναι η συνάρτηση χρησιμότητας με τις υποθέσεις τις οποίες έχουμε κάνει ότι θx1 είναι μεγαλύτερο από το μηδέν θx2 είναι μεγαλύτερο από το μηδέν και η δεύτερη παράγωγος είναι μικρότερο από το μηδέν και η δεύτερη παράγωγος η σταυροειδής είναι θετική. Δηλαδή η οριακή χρησιμότητα όπως το είχαμε δείξει την άλλη φορά, η οριακή χρησιμότητα του αγαθού x1 αυξάνει όταν μεταβάλλεται το αγαθό x2. Αυτή είναι η βασική συμπεριφορά της συνάρτησης χρησιμότητας. Από την άλλη μεριά έχουμε τον περιορισμό, τον ισοδηματικό περιορισμό, τον γνωστό μας ισοδηματικό περιορισμό. Δηλαδή ότι το ισόδημα του καταναλωτή πρέπει να είναι ίσο με τη δαπάνη που θα κάνει για την αγορά των δύο προϊόντων, των νη προϊόντων. Άρα η δαπάνη είναι ίση με το ισόδημα. Αυτός είναι ο ισοδηματικός περιορισμός. Εδώ το πρόβλημα πλέον σε σχέση με τα μαθηματικά τα οποία έχουμε κάνει είναι να βρούμε το μέγιστο της χρησιμότητας. Δηλαδή το ερώτημα μας πια είναι ποιο χ1 και χ2 θα πρέπει να επιλέξει έτσι ώστε να έχουμε το μέγιστο U. Μεγιστοποίηση μιας συνάρτησης. Εάν αυτή η συνάρτηση ήταν χωρίς περιορισμούς, είναι ας το πούμε έτσι ο λόφος τον οποίο παίρνουμε, το μέγιστο αυτού του λόφου είναι η κορφή του λόφου. Δηλαδή μπορούμε εύκολα να βρούμε την κορφή του λόφου. Είναι το σημείο εκείνο στο οποίο οι παράγωγοι γίνονται ίσως με 0. Έτσι δεν είναι. Το θυμάστε πότε αριστοποιείται μια συνάρτηση, είτε μεγιστοποιείται είτε ελαχιστοποιείται. Είναι στο σημείο εκείνο που η παράγωγος, η πρώτη παράγωγος γίνεται ίση με 0. Εκεί φτάνουμε είτε στο ελάχιστο είτε στο μέγιστο. Εδώ λοιπόν έχουμε μια συνάρτηση χρησιμότητας και λέμε αν ήταν χωρίς περιορισμό τότε το X1 και το X2 θα το βρίσκαμε στο σημείο εκείνο που η πρώτη παράγωγος γίνεται ίση με 0. Τώρα όμως έχουμε έναν περιορισμό. Άρα θέλουμε να βρούμε ποιο είναι το μέγιστο αυτής της συνάρτησης. Υπό τον περιορισμό όμως ότι η δαπάνη θα πρέπει να είναι ίση με το M, με το εισόδημα. Άρα θέλω το μέγιστο αυτής της συνάρτησης υπό τον περιορισμό αυτό. Άρα το ερώτημά μας πλέον μετατρέπεται ως εξής. Μεγιστοποίηση του U ως προς το X1 και το X2 υπό τον περιορισμό M ίσον P1X1Π2X2. Άρα είναι ένα κλασικό πρόβλημα αριστοποίησης με περιορισμούς. Και για να το γενικεύσουμε λίγο, σχεδόν όλα τα οικονομικά προβλήματα είναι προβλήματα αριστοποίησης με περιορισμούς. Δηλαδή οικονομολόγοι αντιμετωπίζουν προβλήματα, θεωρία του κατανολωτή, θεωρία του παραγωγού, μακροοικονομική, πληθορισμός, ανεργία κλπ. Όλα αυτά είναι προβλήματα που μπορούν να λυθούν μόνο μέσα από μια διαδικασία αριστοποίησης με περιορισμούς. Δηλαδή κανείς δεν είναι ελεύθερος ή τίποτα δεν είναι ελεύθερο να μεγιστοποιηθεί ή να ελαχιστοποιηθεί χωρίς περιορισμό. Χωρίς να υπάρχει κάτι το οποίο να περιορίζει. Ό,τι και να σκεφτούμε σε αυτή τη ζωή θα δούμε ότι πάντα οι αποφάσεις μας παίρνονται για το καλύτερο, με βάση όμως ορισμένους περιορισμούς. Έτσι, πάντα έχουμε περιορισμούς. Έτσι λοιπόν και εδώ στην θεωρία του καταναλωτή τώρα, λέμε να μεγιστοποιήσουμε την χρησιμότητά μας ως καταναλωτές, αλλά θα ήθελα να έχω τη μέγιστη δυνατή, να φτάνω δηλαδή στην κορφή του λόφου, αλλά το εισόδημά μου με περιορίζει. Άρα έχω πια μια μεγιστοποίηση με περιορισμούς. Όπως κάνατε με τον κυροκυρίτσι, ένα τέτοιο πρόβλημα μεγιστοποίηση με περιορισμό λύνεται με μια διαδικασία. Δεν κάνατε. Θα το κάνουμε εμείς και θα το δείτε με τον κυροκυρίτσι λίγο πιο αναλυτικά. Εμείς θα το κάνουμε λίγο σαν cookbook, σαν σελεμεντέ, δηλαδή από πίσω θα δείτε με τον κυροκυρίτσι τη λογική του. Τρέξαμε λίγο περισσότερο εμείς φαίνεται από τον κυροκυρίτσι, γιατί πέρσι συμβαδίσαμε και γι' αυτό το θεώρησα ότι το είχατε κάνει. Λοιπόν, πώς λύνεται ένα τέτοιο πρόβλημα. Εμείς θα το δούμε σαν βιβλίο μαγειρικής, έτσι. Δεν θα κάνουμε την ανάλυση του τι κρύβεται από πίσω, αυτά με τον κυροκυρίτσι. Λοιπόν, έχουμε την συνάρτηση και τον περιορισμό. Έχουμε την συνάρτηση και τον περιορισμό. Σχηματίζουμε μια νέα συνάρτηση, από τη συνάρτηση και τον περιορισμό, σχηματίζουμε μια νέα συνάρτηση, η οποία ονομάζεται συνάρτηση Lagrange. Σχηματίζουμε μια νέα συνάρτηση, που ονομάζεται συνάρτηση Lagrange. Η συνάρτηση Lagrange, τη συμφωνίζουμε με ένα l από το όνομα του μαθηματικού, είναι ίση με την συνάρτηση που θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε, ή να ελαχιστοποιήσουμε από την άλλη μεριά, γιατί το ίδιο είναι ακριβώς το ίδιο πρόβλημα. Συνεχίζουμε με χ1 χ2, συν τον περιορισμό, αφήστε λίγο ένα κενό, μ-π1 χ1 μ-π2 χ2. Με το περιορισμός ως απόκλειση, επί μια μεταβλητή l, που ονομάζεται αυτή μεταβλητή πολλαπλασιαστής Lagrange. Λίγο λ, λ ή μ ή θ ή όπως θέλουμε το ονομάζουμε, αλλά επειδή έχει καθιερωθεί ως πρώτοι, ως όνομα, ως σύμβολο μάλλον, το λ χρησιμοποιούμε το λ. Αν είχαμε περισσότερους περιορισμούς θα είχαμε συν-m επί τον άλλο περιορισμό, αν είχαμε και τρίτο περιορισμό συν-θ, επί τον τρίτο περιορισμό και ούτω καθεξής. Εντάξει, αλλάζει η διάσταση του προβλήματος. Άρα τι κάνουμε, από εκεί που είχαμε ένα πρόβλημα, μια συνάρτηση και τον περιορισμό, μεγιστοποίηση μιας συνάρτησης με τον περιορισμό, τώρα ερχόμαστε και μετατρέπουμε την συνάρτηση και τον περιορισμό δυο ανεξάρτητες εξισώσεις, τις φτιάχνουμε μία. Τη συνδέουμε μεταξύ τους. Πώς τη συνδέουμε, με αυτό τον τρόπο. Γιατί, κυρίτσις. Όχι, δεν θα μας κάνει μηδέν, μηδέν θα μας κάνει στην ισορροπία, δηλαδή στο μέγιστο, γι' αυτό μπαίνει εκεί. Λίγο μετοπεκτείνω αυτό εδώ, γιατί μπαίνει αυτό το πράγμα εδώ πέρα. Ότι αν πάρεις το μέγιστο, βρεις ένα μέγιστο αυτής της συνάρτησης, εδώ, και αυτό είναι θετικό, άρα έχεις βρει ένα μέγιστο στο οποίο δεν ισχύει ο περιορισμός, άρα δεν είναι κανονικό μέγιστο που μας ενδιαφέρει. Για κοιτάξτε λίγο, κοιτάξτε λίγο. Ας πούμε, με τις τεχνικές που θα δούμε σε λίγο, βρίσκεις ένα μέγιστο εδώ, αλλά αυτό είναι θετικό, δηλαδή το M είναι μεγαλύτερο από αυτά. Άρα, αυτό που θεωρείς εσύ ως μέγιστο, αυτή η τιμή που παίρνουν το X1 και X2 και δίνουν στο F και θεωρείς ότι είναι μέγιστο, δεν είναι ένα πραγματικό μέγιστο σε αυτά που μας ενδιαφέρουν, διότι δεν ισχύει ο περιορισμός. Άρα, ένα μόνο μέγιστο είναι αυτό το οποίο μας ενδιαφέρει, εδώ πέρα, όταν ισχύει και αυτός ο περιορισμός. Για να το δούμε λοιπόν, λύνουμε και θα φανεί πολύ καθαρά τώρα, παίρνουμε και αριστοποιούμε την συνάρτηση Lagrange, όπως κάνουμε κάθε συνάρτηση που έχετε κάνει μέχρι τώρα, δηλαδή πώς βρίσκουμε το μέγιστο μιας συνάρτησης, είτε μιας μεταβλητής, είτε πολλών μεταβλητών. Το μέγιστο βρίσκεται και το άριστο, είτε το ελάχιστο από την άλλη μεριά, εκεί όπου η πρώτη παράγωγος είναι ίση με μηδέν. Και επειδή έχουμε τρεις συναρτήσεις, άρα θα έχουμε τρεις συνθήκες, συγγνώμη, τρεις μεταβλητές, το x1, το x2 και το λ, σας είπα ότι το λ είναι μεταβλητή, δεν είναι μία παράμετρος. Επειδή έχουμε λοιπόν τρεις μεταβλητές, θα έχουμε τρεις συνθήκες πρώτης τάξης. Επομένως έχουμε θλ, θx1, θα το γράψω από εδώ για να φαίνονται ψηλά γιατί πρέπει να δουλέψουμε λίγο με αυτές. Παίρνουμε λοιπόν συνθήκες πρώτης τάξης. Οι μερικές παράγωγοι πρέπει να είναι ίσες με μηδέν. Δηλαδή στο Άριστο, οι μερικές παράγωγοι θα πρέπει να είναι ίσες με μηδέν. Άρα, η μερική παράγωγος της λ ως προς το x1, η μερική παράγωγος της λ ως προς το x2, και η μερική παράγωγος της l ως προς το λ. Δηλαδή τι κάναμε στην ουσία, μετατρέψαμε τον χώρο μας, τις διαστάσεις του προβλήματος, από εκεί που ήταν ένα πρόβλημα δύο διαστάσεων x1, x2, μετατράπηκε σε ένα πρόβλημα τριών διαστάσεων x1, x2 λ. Ένα πρόβλημα δύο διαστάσεων με έναν περιορισμό, το πρόβλημα μετατράπηκε σε ένα πρόβλημα τριών διαστάσεων χωρίς περιορισμό. Δηλαδή αλλάξαμε χώρο εργασίας στην ουσία. Αυτό κάναμε. Αλλάξαμε τον χώρο μέσα στον οποίο δουλεύαμε. Ο χώρος στον οποίο δουλεύαμε ήταν το x1, x2, τώρα βάζοντας το λ, μπαίνει ακόμα μια τρίτη διάσταση, το λ ως μεταβλητή. Η μερική παράγωγος ως προς το x1 είναι θ f, να το βάλω με τα σύμβολα που έχετε κάνει, fx1, η μερική παράγωγος της f ως προς το x1, μίον λ επί π1. fx1 και εδώ τι έχουμε, π1x1, π2x2, μ, το μ εφόσον παίρνουμε τη μερική παράγωγος ως προς το x1, είναι μηδέν. Η μερική του παράγωγος είναι μηδέν. Αυτό επειδή παίρνουμε τη μερική παράγωγος προς το x1 θεωρείτε σταθερά, άρα και αυτό μηδέν, άρα τι έχουμε λ, π1x1. Και επειδή και το λ επειδή παίρνουμε τη μερική παράγωγος προς το x1 η παράγωγός του είναι μηδέν, άρα η μόνη παράγωγος που μένει από όλο αυτό το γινόμενο άθλησμα είναι η παράγωγος του x1. Πόσο είναι η παράγωγος του x1, είναι λ επί π1. Για να το δούμε λίγο, γιατί σας βλέπω να κοιτάτε. Κάνω τον πολλαπλασιασμό, lm-lp1x1-lp2x2. Τώρα πια είναι καθαρό, η μερική παράγωγος αυτού είναι μηδέν, δηλαδή η μερική παράγωγος λm ως προς το x1 είναι μηδέν, δεν υπάρχει καθόλου x1. Εδώ δεν υπάρχει καθόλου x1 και αυτό μηδέν, άρα η μερική παράγωγος του x1 αυτού του πράγματος είναι λπ1, έτσι κλασική παραγώγηση. Και η συνθήκη πρώτης τάξης μας λέει ότι αυτή θα πρέπει να είναι ίση με μηδέν. Η μερική παράγωγος της l ως προς το x2 είναι fx2-λp2-0 και η μερική παράγωγος ως προς το l είναι ο ισοδηματικός περιορισμός. Στην ουσία, mπ1x1-π2x2-0. Τώρα φαίνεται ξεκάθαρα. Δηλαδή θέλουμε τα x1 και x2, τα οποία κάνουν μηδέν τις πρώτες παραγώγους, αλλά ταυτόχρονα, γιατί είναι ένα σύστημα τριών εξισώσεων, ταυτόχρονα θέλουμε να ισχύει και αυτό. Άρα θέλω να βρω το x1 και το x2, τα οποία αριστοποιούν αυτή τη συνάρτηση, αλλά ταυτόχρονα όμως θέλω να ισχύει και ισοδηματικός περιορισμός. Είναι ένα σύστημα τριών εξισώσεων, επί τρεις αγνώστους, x1, x2 λ. Είναι ένα σύστημα τριών εξισώσεων, άρα μπορεί να ισχύει ταυτόχρονα δηλαδή πρέπει και τα τρία να ισχύουν. Πρέπει να ισχύουν και οι δύο πρώτες σχέσεις, που είναι οι μερικές παράγωγες προς το x1, x2, η κλασική αριστοποίηση που έχουμε μιλήσει, αλλά ταυτόχρονα όμως πρέπει να ισχύει και ο ισοδηματικός περιορισμός πρέπει να είναι ίσως με μηδέν. Δηλαδή το M πρέπει να είναι ίσως με τη δαπάνη. Ας το ξαναδούμε λίγο. Το ερώτημά μας είναι μεγιστοποίηση της συνάρτησης χρησιμότητας υπό τον περιορισμό τον ισοδηματικό. Ότι δηλαδή το ισόδημά μας θα πρέπει να είναι ίσως με τη δαπάνη. Πώς λύνεται ένα τέτοιο πρόβλημα δεν λύνεται με τον κλασικό τρόπο που παίρνουμε απλώς τις πρώτες παραγώγους και παίρνουμε τις συνθήκες πρώτης τάξης. Αυτό το πρόβλημα λύνεται χρησιμοποιώντας ένα ενδιάμεσο. Ο ενδιάμεσος αυτός είναι η συνάρτηση Lagrange. Δηλαδή στην ουσία αλλάζουμε την διάσταση του προβλήματος. Από εκεί που είναι ένα πρόβλημα συνάρτησης αριστοποίηση με περιορισμό στον χώρο των δύο διαστάσεων ή των μη διαστάσεων, αν είχαμε μη μεταβλητές, μετατρέπεται το πρόβλημα σε μη συνένα διαστάσεις αλλά χωρίς κανένα περιορισμό πια. Δηλαδή φτιάχνουμε μια συνάρτηση η οποία όμως λύνεται σε έναν άλλο χώρο. Θα συμβάζουμε τον χρόνο ως μια τέταρτη διάσταση μέσα στον πρόβλημά μας. Πώς σχηματίζεται αυτή η συνάρτηση Lagrange. Η καινούρια συνάρτηση Lagrange που δουλεύεται πια στον ν συνένα χώρο, σχηματίζεται από την αρχική συνάρτηση των ν μεταβλητών, η f, η συνάρτηση χρησιμότητα στην οποία έχουμε και τους περιορισμούς. Ισσάγουμε δηλαδή τους περιορισμούς μέσα στη συνάρτησή μας. Δηλαδή δημιουργείται μια καινούρια συνάρτηση με την αρχική συνάρτηση συν τους περιορισμούς. Η εισαγωγή των περιορισμών μέσα στην συνάρτηση μπαίνει πολλαπλασιαζόμενοι, οι περιορισμοί με τους αντίστοιχους πολλαπλασιαστές. Άρα αυτός είναι ο πολλαπλασιαστής του ισοδήματος, του ισοδηματικού περιορισμού. Θα μπορούσαμε να έχουμε άλλους περιορισμούς, άλλους τύπους περιορισμών, εκεί το νόημα του πολλαπλασιαστής θα ήταν διαφορετικό. Όταν θα λύσουμε το πρόβλημα αργότερα, θα εξηγήσουμε τι ρόλο παίζει αυτό το l. Αυτό το l δεν είναι μια μεταβλητή έτσι άσχετη. Αυτό το l συνδέεται με το πρόβλημά μας, δηλαδή έχει οικονομικό νόημα. Είναι τεχνική μεταβλητή, αλλά συνδέεται με το πρόβλημα, μετράει πράγματα. Δηλαδή έχει πληροφορία μέσα αυτό το λ. Μετατρέποντας λοιπόν το πρόβλημά μας σε μία απλή εξίσωση, σε μία απλή συνάρτηση, με νοι συν ένα μεταβλητές, τώρα πλέον μπορούμε να κάνουμε μία αριστοποίηση χωρίς περιορισμούς, απεριόριστα πια. Δηλαδή τελικά δεν υπάρχουν οι περιορισμοί. Οι περιορισμοί έχουν ενσωματωθεί μέσα στο πρόβλημα. Όπως είπατε με τον κ. Κυρίτσι, πότε αριστοποιείται ναι. Είναι μία μεταβλητή. Μπορεί να πάρει όποιες τιμές θέλει. Όταν θα φτάσουμε στο οικονομικό νόημα θα καταλάβετε τι τιμές μπορεί να πάρει. Όπως είπατε με τον κ. Κυρίτσι, οι συνθήκες πρώτης τάξης σε μία συνάρτηση που αριστοποιείται ισχύουν όταν οι πρώτες παράγωγοι είναι ίσως με 0. Άρα εδώ τι έχουμε, συγγνώμη αυτό το οποίο δεν γράψαμε μετά, είναι εδώ. Άρα πάμε max, πλέον το πρόβλημά μας μετατρέπεται σε μεγιστοποίηση της συνάρτησης Lagrange ως προς το x1, το x2 και το λ. Άρα έχουμε μία συνάρτηση με τρεις μεταπλητές. Οι συνθήκες πρώτης τάξης είναι τόσες εξισώσεις όσες είναι και οι μεταπλητές μας. Άρα αν έχουμε δύο μεταπλητές, οι συνθήκες πρώτης τάξης θα είναι δύο μεταπλητές, δύο εξισώσεις. Αν έχουμε τρεις, θα είναι τρεις. Στο κλασικό πρόβλημα που κάνατε στο λύκειο, ψ ίσον FΤΧ, οι συνθήκες πρώτης τάξης ήταν μία παράγωγος μόνο, μία εξίσωση. Άρα ανάλογα με τις διαστάσεις του προβλήματος, έχουμε ανάλογο και τον αριθμό των εξισώσεων. Εδώ έχουμε λοιπόν τρεις μεταπλητές, x1, x2 και λ. Άρα οι συνθήκες πρώτης τάξης αποτελούνται από τρεις εξισώσεις. Η πρώτη, η δεύτερη και η τρίτη. Είναι ένα σύστημα εξισώσεων που λειτουργεί ταυτόχρονα. Αυτό λοιπόν το σύστημα εξισώσεων έχει τρεις αγνώστους. 1, 2, 3. Το σύστημα εξισώσεων 1, 2, 3 έχει τρεις αγνώστους. Δηλαδή λύνεται πια το σύστημα για x1, x2 και λ. Για να ανακτούμε λίγο στο πρόβλημα που έχετε κάνει ψησών f του x. Πώς βρίσκουμε το μέγιστο ή το άριστο. Το ερώτημα είναι για ποιο x το ψ είναι μέγιστο. Ή για ποιο x το ψ είναι ελάχιστο. Άρα τι κάνουμε παίρνουμε δε ψ δx ίσον 0. Αυτό είναι μια εξίσωση. Και λύνοντας αυτή την εξίσωση βρίσκουμε το x αστεράκι. Εκείνο το x το οποίο μας δίνει το ψ optimum. Δεν είναι. Συμφωνεί. Το θυμάστε και το κάνετε και τώρα. Εδώ λοιπόν έχουμε ακριβώς το ίδιο πρόβλημα. Έχουμε ένα σύστημα μία εξίσωση μία συναρτήση. Παίρνουμε τις τρεις εξισώσεις και λύνοντας το σύστημα των τριών εξισώσεων βρίσκουμε το x1, το x2 και το λάμβα αστεράκι. Δηλαδή το x1, x2 και λάμβα τα οποία κάνουν το L να είναι maximum. Και αν το L είναι maximum, αν η συναρτήση Lagrange είναι στο μέγεστο τότε και η u ίσον fx1, τότε και η u ίσον fx1, x2 αστεράκι. Δηλαδή όταν θα αντικαταστήσουμε στην x1, x2 αστεράκι αυτό θα είναι το maximum. Δηλαδή εκεί που η L έχει μέγεστο, εκεί έχει μέγεστο και η u και η συναρτήση χρησιμοτητας. Πάρτε τόσο δεδομένο. Εκεί όπου η συναρτήση Lagrange έχει μέγεστο, εκεί έχει μέγεστο και η u. Αλλά ποιο μέγεστο πήραμε, δηλαδή πώς το βρήκαμε αυτό το μέγεστο, αυτό το μέγεστο το πήραμε λαμβάνοντας υπόψη ότι ισχύει η τρίτη σχέση. Ότι δηλαδή το εισόδημα είναι ίσο με τη δαπάνη. Άρα δεν είναι οποιοδήποτε μέγεστο, είναι ένα μέγεστο στο οποίο ισχύει αυτή η σχέση. Επομένως λύνουμε αυτό το σύστημα των τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους και βρίσκουμε χ1 αστεράκι, χ2 αστεράκι και λαμδα αστεράκι. Λύνοντας αυτό το σύστημα, στην ουσία έτσι όπως το έχουμε τώρα εδώ πέρα θα έχουμε συνάρτηση. Θα έχουμε μια συνάρτηση στην οποία θα περιέχεται μέσα το π1, ή μάλλον, συγνώμη, έχουμε μια εξίσωση στην οποία περιέχεται το π1, το π2 και το m. Το ίδιο και αυτό. Λύνοντας αυτό το σύστημα των τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους θα βρούμε τις τιμές του χ1 αστεράκι, χ2 αστεράκι και λαμδα αστεράκι λαμβάνοντας υπόψη το m, το π1 και το π2, τα μόνα γνωστά τα οποία έχουμε. Και τον τύπο βέβαια της συνάρτησης που παίζει μέσα ρόλο. Ο οποίος τύπος της συνάρτησης μπαίνει εδώ στον τύπο χ1, στον τύπο χ2, συγνώμη εδώ. Εδώ τι έχουμε τώρα. Λύνοντας αυτό το σύστημα των τριών εξισώσεων, για να λύσουμε μάλλον αυτό το σύστημα των τριών εξισώσεων από που ξεκινήσαμε. Ξεκινήσαμε από ότι το άτομο ο καταναλωτής μεγιστοποιεί μια συνάρτηση χρησιμότητας. Δηλαδή θέλει να μεγιστοποιήσει τη χρησιμοτητά του. Καταναλώνοντας ποσότητες των δύο αγαθών υπό τον περιορισμό αυτόν. Φτάσαμε στη συνάρτηση Lagrange ως ένα ενδιάμεσο εργαλείο. Παίρνουμε τις συνθήκες πρώτης τάξης. Οι μερικές παράγωγοι, οι πρώτες μερικές παράγωγοι είναι ίσως με 0. Και φτάνουμε σε ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους. Όλα τα υπόλοιπα είναι γνωστά. Το M το γνωρίζουμε, δηλαδή το εισόδημα που έχουμε στην τσέπη μας το γνωρίζουμε όταν κατεβαίνουμε στη λαϊκή. Την τιμή του αγαθό ένα την γνωρίζουμε, την βλέπουμε στο ταμπελάκι πάνω στο προϊόν. Την τιμή του δύο την γνωρίζουμε επίσης, την βλέπουμε πάνω στο ταμπελάκι. Άρα το M, το P1 και το P2 είναι γνωστά. Άρα όταν θα λύσουμε τις εξισώσεις θα τις λύσουμε ως προς P1, P2 και M. Έτσι δεν είναι. Θυμηθείτε λίγο πώς λύνουμε ένα σύστημα. Έρχομαι και γράφω από εκείνη τη μεριά τώρα. Αν έχουμε ένα σύστημα εξισώσεων 3x1 συν 4x2 ίσον 5 και 2x1 συν 7x2 ίσον 9. Έτσι λύνουμε ένα σύστημα εξισώσεων έχουμε ένα σύστημα εξισώσεων x1 x2. Άρα όταν θα λύσουμε αυτό το σύστημα το x1 και το x2 τι τιμή θα πάρει. Θα πάρει μία τιμή το x1 και το x2 θα πάρουν μία τιμή η οποία έχει βγει από πού. Από το 3 το 4 το 5 το 2 το 7 και το 9. Αυτό το μείγμα θα μας δώσει την τιμή που θα πάρουμε εδώ μέσα. Έτσι δεν είναι. Συμφωνεί. Εκολουθούμε. Άρα στο πρόβλημά μας τώρα το 3 4 5 2 7 9 ποιο είναι. Είναι το M το P1 και το P2. Δηλαδή στην περίπτωση του καταναρωτή στην περίπτωση αυτού του προβλήματος τα γνωστά. Δηλαδή το 3 το 4 το 5 τα γνωστά είναι το M το π1 και το π2. Άρα το x1 και το x2 λύνονται ως προς το π1 π2 και το M και βρίσκουμε μία τιμή. Όχι το π1 και το π2 είναι εξογενιστής. Ξέρουμε. Δεν βρίσκουμε τις τιμές τους μέσα στο σύστημα. Όπως έχετε μπει με τον κ. Κυρίτσι σε ένα πρόβλημα ενδογενείς είναι οι μεταβλητές των οποίων οι τιμές βρίσκονται λύνοντας στο πρόβλημα. Το x1 και το x2 και το λ είναι ενδογενείς μεταβλητές. Ό,τι είναι γνωστό εκ των προτέρων, οι τιμές, το εισόδημα, αυτά αποτελούν εξογενείς μεταβλητές. Συμφωνεί. Συνεπώς λύνοντας αυτό το πρόβλημα καταλήγουμε τελικά σε τρεις εξισώσεις. Μια εξίσωση για το x1 αστεράκι, που περιλαμβάνει μέσα η εξίσωση της τιμές 3, 4, 5, 2, 7, 9, άρα mπ1π2, το πώς μπαίνουν μέσα εξαρτάται από τον τύπο των συναρτήσεων, δεύτερον βρίσκουμε για το x2 mπ1π2 και το λ. 50. Εδώ τώρα έχουμε καταλήξει σε κάτι πολύ ενδιαφέρον. Αν δεν έχουμε τιμές για το mπ1π2, ή μάλλον ας μην το πω έτσι, τι βλέπουμε λοιπόν ότι η άριστη ποσότητα του αγαθού 1, δηλαδή η ποσότητα εκείνη που μεγιστοποιεί τη χρησιμοτητά του υπό τον περιορισμό, βρίσκεται αφού λάβουμε υπόψη μας το εισόδημα του, την τιμή του αγαθού και την τιμή του αγαθού 2. Τι είχαμε πει όταν χρησιμοποιούσαμε τις καμπύλες αδιαφορίας. Είχαμε πει ότι η ποσότητα εκείνη στο σημείο επαφής της καμπύλης αδιαφορίας με τον εισοδηματικό περιορισμό, η άριστη ποσότητα του αγαθού 1 είναι η ποσότητα την οποία θα ζητήσει να αγοράσει. Δηλαδή λαμβάνοντας υπόψη τις προτιμήσεις του, τις τιμές και το εισόδημα του, τελικά αυτός ζητάει και αγοράζει χ1 αστεράκι και χ2 αστεράκι. Αγοράζει το καλάθι ε. Άρα το χ1 αστεράκι είχαμε πει ότι είναι η ζητούμενη ποσότητα. Το χ1 αστεράκι δηλαδή αυτό το οποίο προκύπτει μέσα από την διαδικασία της αριστοποίησης είναι η ζητούμενη ποσότητα. Άρα λύνοντας ένα πρόβλημα αριστοποίησης ποιο είναι το χ1 και το χ2 που μεγιστοποιούν τη χρησιμότητα. Ποιο είναι το χ1 και χ2 που με φέρουν πιο μακριά στην καμπύλα διαφορίας, στις καμπύλες αδιαφορίας. Άρα μεγιστοποιούν τη χρησιμοτητά μου. Το χ1 και το χ2 που μεγιστοποιούν τη χρησιμοτητά μου είναι αυτό. Άρα τι είναι, είναι η ζητούμενη ποσότητα. Η άριστη. Δηλαδή ποσότητα εκείνη η οποία αγοράζοντάς τη μεγιστοποιώ τη χρησιμοτητά μου υπό τον περιορισμό. Και τι μου λέει εδώ πέρα πλέον ότι η άριστη ζητούμενη ποσότητα εξαρτάται από το εισόδημα, εξαρτάται από την τιμή και εξαρτάται από την τιμή του άλλου αγαθού. Όταν μιλήσατε στο Λύκειο για το νόμο της ζήτησης είχατε πει ότι η ζητούμενη ποσότητα εξαρτάται από την τιμή του αγαθού. Εξαρτάται από τις τιμές των άλλων αγαθών, αν είναι υποκατάστατα, αν είναι συμπληρωματικά. Εξαρτάται από το εισόδημα του καταναλωτή. Εξαρτάται, λάθος το λέει εκεί πέρα, δεν είναι εξαρτάται εκεί, από τις προτιμήσεις. Τα είπατε ή δεν τα είπατε αυτά στο νόμο της ζήτησης, το είπατε. Λοιπόν, εδώ τι έχουμε. Η ζητούμενη ποσότητα εξαρτάται από την τιμή του αγαθού. Εξαρτάται από τις τιμές των άλλων αγαθών. Αν είχαμε τα νύα αγαθά εδώ θα ήταν π2, π3, πν. Εξαρτάται από το εισόδημα και οι προτιμήσεις είναι στον τύπο. Για αυτό δεν πρέπει να λέμε εξαρτάται. Οι προτιμήσεις αναφέρονται στον τύπο της εξίσουσης αυτής. Ποιες είναι οι προτιμήσεις? Η συνάρτηση χρησιμότητας που μας δίνει τις προτιμήσεις. Άρα ο τύπος της συνάρτησης χρησιμότητας θα μας δώσει και τον τύπο των προτιμήσεων εδώ μέσα. Συγγνώμη, τον τύπο της ζήτησης. Άρα αυτό εδώ που το ονομάσαμε νόμο της ζήτησης, στα οικονομικά είναι προτιμότερο να χρησιμοποιούμε συνάρτηση ζήτησης. Ας κάνουμε ένα διάλειμμα και θα συνεχίσουμε. Έχουμε αυτή τη συνάρτηση χρησιμότητας και υπό τον περιορισμό ότι το εισόδημα θα πρέπει να είναι ίσο με τη δαπάνη. Αυτό το οποίο μας ενδιαφέρει είναι ποιο είναι το x1 και το x2, το οποίο μεγιστοποιεί το u. Παίρνουμε λοιπόν τη συνάρτηση Lagrange, η οποία είναι ίση με τη συνάρτηση χρησιμότητας x1, x2, συν λ μ-π1 x1 μ-π2 x2. Συνεπώς το πρόβλημα από μία συνάρτηση υπό περιορισμούς μετατράπηκε σε μία συνάρτηση χωρίς περιορισμό, άρα θέλουμε τη μεγιστοποίηση της συνάρτησης Lagrange ως προς το x1, x2 και λ. Παίρνουμε τις συνθήκες πρώτης τάξης θ l θ x1 θ l θ x2 θ l θ λ. Η μερική παράγωγος της συνάρτησης αυτής ως προς το x1 είναι το x2 εδώ στην πρώτη παράγωγο παίζει το ρόλο της ταθεράς. Άρα η μερική παράγωγος ως προς το x1 είναι ίση με το x2 μ λ επί π2. Η μερική παράγωγος ως προς το x2 τώρα το x1 είναι σταθερά είναι ίσο με x1 μ λ επί π2 ίσον με 0. Και η μερική παράγωγος ως προς τον πολλαπλασιαστή Lagrange είναι ίση με m μ π1 x1 μ π2 x2 ίσον με 0. Άρα έχουμε ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους. Από την πρώτη εξίσωση προκύπτει ότι x2 είναι ίσο μ λ επί π1. Από τη δεύτερη εξίσωση προκύπτει ότι x1 είναι ίσο μ λ π2. Εάν αντικαταστήσουμε τώρα αυτά στην τρία έχουμε m μ π1 x λ π2 μ π2 και όπου x2 αντικαθιστούμε το ίσο του λ π1 είναι ίσο με 0. Από εδώ προκύπτει ότι λ ίσον μ προς 2 π1 π2. Άρα το λ ασταράκι βρήκαμε πόσο είναι. Δηλαδή όλα όσα έχουμε πια στην εξίσωση είναι γνωστά. Και το m είναι γνωστό και το π1 είναι γνωστό και το π2 είναι γνωστό. Αντικαθιστούμε τώρα το λ ασταράκι επάνω και έχουμε x1 ίσον λ ασταράκι επί π2 είναι ίσο με m προς 2 π1. Αυτό το π2 και το π2 φεύγουν. Και επίσης επειδή το πρόβλημα είναι ακριβώς συμμετρικό x2 ίσον λ ασταράκι π1 από εδώ προκύπτει ότι το x2 είναι ίσο με m προς 2 π2. x1 ασταράκι, x2 ασταράκι. Λοιπόν για να γράψουμε λίγο αυτά που βρήκαμε λίγο πιο ψηλά μόνο τις εξισώσεις που βρήκαμε. x1 ασταράκι είναι ίσο με m προς 2 π1 και x2 ασταράκι είναι ίσο με m προς 2 π2. Που έχουμε καταλήξει λοιπόν. Έχουμε καταλήξει στο εξής. Ότι εάν έχουμε έναν γενικό περιορισμό, δηλαδή δεν έχουμε δώσει συγκεκριμένους αριθμούς στο mπ1 π2, καταλήγουμε σε μία συνάρτηση. Που συνδέει το x1 και το x2 με το εισόδημα και τις τιμές. Δηλαδή στο συγκεκριμένο πρόβλημα τώρα, στο συγκεκριμένο πρόβλημα, η άριστη τιμή του x1 θα είναι πάντα ο λόγος εισοδήματος προς 2π1. Άρα, εάν πούμε, για το συγκεκριμένο καταναλωτή, ότι έχει εισόδημα 10 και η τιμή του αγαθού m ίσον 10 και η τιμή του αγαθού π1 είναι ίση με 2 και του αγαθού π2 είναι ίση με 1, τότε, σε αυτές τις τιμές, το x1 αστεράκι είναι ίσο με 10 δια 2 επί 2 ίσον 2,5 και το x2 αστεράκι είναι ίσο με 10 δια 2 επί 1 είναι ίσο με 5. Πώς θα μεταβληθεί η ζητούμενη ποσότητα αν το εισόδημα του αυξηθεί και γίνει 10 και τα υπόλοιπα γίνει 20 και τα υπόλοιπα παραμένουν σταθερά. Το x1 τότε γίνεται ίσο με 20 δια 2 επί 2 ίσον 5 και το x2 αστεράκι γίνεται 20 δια 2 επί 1 ίσον 10 και ούτω καθεξής. Τι μου λέει λοιπόν εδώ πέρα, καταρχήν το εισόδημα είναι στον αριθμητή αυτής της εξίσωσης. Άρα μου λέει, θα το αναλύτσουμε πολύ πιο διαξοδικά στη συνέχεια, μου λέει λοιπόν εδώ ότι εάν έχουμε έναν καταναλωτή ο οποίος έχει αυτό το σύστημα των προτιμήσεων, αυτό είναι, η συνάρτηση της μόρτας περιγράφει τις προτιμήσεις, άρα και αυτές τις προτιμήσεις, τότε γι' αυτόν τον συγκεκριμένο καταναλωτή το εισόδημα βρίσκεται στον αριθμητή. Άρα όσο αυξάνει το εισόδημα και στις δύο περιπτώσεις, η ζητούμενη ποσότητα τι κάνει, αυξάνει. Άρα γι' αυτόν τον καταναλωτή, με αυτές τις προτιμήσεις, η αύξηση του εισοδήματος συσχετίζεται με τη ζητούμενη ποσότητα με συντελεστή ένα προς ένα. Αυξάνει κατά μία μονάδα το εισόδημα, επειδή ο συντελεστής του εδώ είναι μονάδα, αυξάνει κατά μία μονάδα και η ζήτηση. Άρα, σε αυτό το παράδειγμα που κάνουμε, η σχέση εισοδήματος και ζητούμενης ποσότητας χειάει, είναι θετική και ίση με τη μονάδα. Το π2 και το π1 είναι στον παρονομαστή. Άρα η σχέση τιμής και ζητούμενης ποσότητας είναι αρνητική. Ανεβαίνει το ένα, ανεβαίνει και το άλλο. Σχέση είναι θετική στις μεταβολές. Εδώ μιλάω για μεταβολές τώρα. Εάν θα θέλαμε να το γράψουμε λίγο πιο μαθηματικά, θα λέγαμε το εξής. θxα'θμ είναι θετική. θxα'θπι είναι αρνητική. θxα'θμ δηλαδή η μερική παράγωση αυτής της σχέσης ως προς το εισόδημα είναι θετική, η μερική παράγωση ως προς τη τιμή είναι αρνητική. Σε αυτό το συγκεκριμένο πρόβλημα το οποίο έχουμε λύσει. Τι έχουμε λοιπόν εδώ πέρα. Αυτό το οποίο έχουμε πάρει ως επίλυση του προβλήματος συναρτήσεις ζήτησης. Στο πρόβλημα αυτό που έχουμε. Προσέξτε. Για αυτό το πρόβλημα το οποίο έχουμε λύσει τώρα, δηλαδή η συναρτήση χρησιμοτητας είναι αυτή, σε αυτό το παράδειγμα αυτός είναι ο ισοδηματικός περισμός, ισχύει αυτό. Το γενικό συμπέρασμα είναι ανεξάρτητα από τον τύπο των αγαθών, η επίλυση μιας γενικής συναρτήσεις και όχι ειδικής, μιας συναρτήσεις χωρίς τιμές, συγγνώμη όχι γενικής, χωρίς τιμές και ισόδημα, τελικά μας δείχνει τη συναρτή συζήτηση. Τι μου λέει επίσης η συναρτή συζήτησης, ότι ανάλογα με το ποιες είναι οι τιμές των τιμών και του ισοδήματος, ανάλογα είναι και η ζητούμενη ποσότητα. Ποια ζητούμενη ποσότητα όμως πάντα θα είναι η άριστη. Δηλαδή η συναρτή συζήτησης μας δίνει πάντα την άριστη ζητούμενη ποσότητα. Η συναρτή συζήτησης μας δίνει πάντα την άριστη ζητούμενη ποσότητα. Θα την εξετάσουμε αργότερα, την άλλη φορά θα δούμε το λάμπα. Αυτή τη στιγμή ναι. Προσοχή μιλάμε για τη συγκεκριμένη συναρτήση. Το συμπέρασμα αυτό, προσοχή, δηλαδή αυτή η συναρτή συζήτησης που βγάλαμε είναι η συναρτή συζήτηση του συγκεκριμένου παραδείγματος. Στο γενικό παράδειγμα που κάναμε, με τη γενική συναρτήση χρησιμότητας, καταλήξαμε στο X-I ίσον X-I-M-P-I-P-J. Αυτή είναι πια η συναρτή συζήτησης στη γενική της μορφή. Δηλαδή είναι στη θεωρία την οποία κάναμε. Το ίδιο. Θα το δούμε μετά. Και προσέξτε τώρα, σας είπα προηγουμένως για τον τύπο της συναρτής συζήτησης, ο νόμος που κάνατε τη συζήτηση μας λέει για τις προτιμήσεις. Ο τύπος της συναρτής συζήτησης στο συγκεκριμένο παράδειγμα που κάναμε είναι ότι έχεις 1 δεύτερο π1M. Αυτός είναι ο τύπος του X-I εδώ μέσα. Δηλαδή το X-I συνδέεται με το M με τις τιμές των άλλων αγαθών και με τη τιμή του αγαθού του, με αυτό τον τύπο. Αυτός ο τύπος όμως αφορά αποκλειστικά και μόνο αυτήν την συναρτήση χρησιμότητας. Τίποτε άλλο. Δηλαδή δεν είναι γενικός τύπος αυτός. Να κάνω μια ερώτηση. Το X-I φεράχει. Αν κάνουμε χειαστή θα βγει δύο πέναχοι ένα, δηλαδή κάθε σαν ψήσουν άνθρωποι χει. Μπορούμε να κάνουμε καμπύλια έγγελση που συνδέει στο αδειομάσταση του με το φόρτας. Σαφώς. Θα βγει όμως ευθεία. Ναι. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, προσέξτε. Είναι ευθεία προς τα πάνω. Θετική. Δεν είναι. Θετική δεν είναι. Αυτό το που ρωτάει ο συνάδελφός σας, αν από αυτό εδώ, από την ανάλυση την οποία θα κάνουμε, υπάρχει σχέση μεταξύ ισοδήματος και ζητούμενης ποσότητας και αν βγαίνει καμπύλια έγγελση. Ναι. Η απάντηση είναι ναι. Βγαίνει, είναι ευθεία, αλλά αφορά την συγκεκριμένη συνάρτηση κρισιμότητας. Είναι ευθεία και προς τα πάνω. Θετική. Που σημαίνει ότι το αγαθό είναι κανονικό. Εντάξει. Άρα, ένα σημαντικό το οποίο πρέπει να έχουμε μέσα στο μυαλό μας είναι ότι τελικά από την διαδικασία της αριστοποίησης που παίρνουμε την καμπύλη της ζήτησης, και εδώ έχουμε τη συνάρτηση της ζήτησης, στην ουσία έχουμε άπειρα άριστα σημεία. Δεν υπάρχει ένα άριστο σημείο. Υπάρχουν άριστα σημεία, άπειρα άριστα σημεία. Και αυτά τα άπειρα άριστα σημεία αντιστοιχούν κάθε φορά στις εκάστοτε τιμές των παραμέτρων, που είναι το M, το PI και το PJ. Για να δούμε έναν άλλο τύπο συνάρτησης κρισιμότητας. Ας πούμε, κρατάω μόνο αυτό εδώ για να μπορέσουμε να κάνουμε τη σύγκριση. Και επίσης, σε αυτόν τον τύπο της συνάρτησης κρισιμότητας βλέπετε ότι το P2 δεν μπαίνει εδώ. Δηλαδή δεν επηρεάζεται η ζητούμενη ποσότητα από την τιμή του άλλου αγαθού. Όπως και εδώ, γιατί είναι τελείως σημαντικό το πρόβλημα. Αυτό που οφείλεται, αυτό οφείλεται αποκλειστικά και μόνο στον τύπο της συνάρτησης κρισιμότητας, πουθεν άλλου. Άρα, οι προτιμήσεις μου μου λένε ότι το τι γίνεται στη ζητούμενη ποσότητα, το τι γίνεται στη ζητούμενη ποσότητα δεν εξαρτάται από τις τιμές των άλλων αγαθών. Γι' αυτό το τύπο της συνάρτησης. Ας βάλουμε τώρα εδώ, 1 δεύτερο, 1 δεύτερο, να πάρουμε έναν άλλο τύπο συνάρτησης. Μπάζουμε εκθέτες, για να μην τα ξαναγράφουμε. Άρα, το πρόβλημά μας είναι αριστοποίηση αυτής της συνάρτησης κρισιμότητας, υπό αυτό τον περιορισμό. Λοιπόν, έχουμε και λέμε η μερική παράγωγος ως προς το χ1, είναι ίση με 1 δεύτερο, χ1 στην μειών 1 δεύτερο, επί χ2 στην 1 δεύτερο, μειών λαμδα π1. Ίσον με 0. Δεύτερο, η μερική παράγωγος ως προς το χ2, είναι 1 δεύτερο, κατεβαίνει ο εκθέτης κάτω, 1 δεύτερο μειών 1, άρα μειών 1 δεύτερο, χ1 1 δεύτερο, χ2 μειών 1 δεύτερο, μειών λαμδα π2, ίσον με 0. Και η μερική παράγωγος ως προς το λαμδα, είναι ο ισοδηματικός περιορισμός, μειών π1 χ1, μειών π2 χ2, ίσον με 0. Αλληλήσω τώρα την 1 και την 2, θα έχουμε 1 δεύτερο, χ1 μειών 1 δεύτερο, επί χ2 στην 1 δεύτερο, ίσον με λαμδα π1. Και η 2, 1 δεύτερο χ1 1 δεύτερο, χ2 μειών 1 δεύτερο, ίσον με λαμδα π2. Αν διαρέσω τώρα την 1 με την 2, έχουμε το 1 δεύτερο με το 1 δεύτερο φεύγει, και έχουμε χ1 μειών 1 δεύτερο, επί χ2 1 δεύτερο, χ1 1 δεύτερο, επί χ2 1 δεύτερο, μειών. Ίσον π1 προς π2, το λαμδα με το λαμδα φεύγει. Εντάξει, διέρεσα την πρώτη σχέση με τη δεύτερη. Αυτό είναι στον αρθμητή χ1 μειών 1 δεύτερο, άρα θα πάει στον παρονομαστή. Εντάξει, και πηγαίνοντας στον παρονομαστή είναι χ1 1 δεύτερο, επί χ1 1 δεύτερο, μας κάνει χ1. Από εδώ προκύπτει ότι χ2 προς χ1 ίσον π1 προς π2. Είναι χ1 μειών 1 δεύτερο, που σημαίνει ότι αυτό πρέπει να πάει θετικώς στον παρονομαστή, χ1 1 δεύτερο, επί χ1 1 δεύτερο, 1 δεύτερο στις 1 δεύτερο, μας κάνει μονάδα. Άρα ο λόγος των ποσοτήτων είναι το αντίστροφο του λόγου των τιμών. Από εδώ προκύπτει τώρα ότι χ2 είναι ίσο με π1 προς π2, επί χ1. Άρα αντικαθιστώ τώρα το χ2 ίσον π1 π2 χ1 στον ισοδηματικό περιορισμό. Άρα το χ2 ίσον π1 προς π2, επί χ1, στον ισοδηματικό περιορισμό, στην 3. Άρα έχουμε M μειον π1 χ1 μειον π2 επί π1 π2, επί χ1 ίσον μειον 0. Το π2 με το π2 φεύγει και από εδώ προκύπτει ότι 2 π1 χ1 ίσον M. Και από εδώ προκύπτει ότι χ1 αστεράκι είναι ίσο με M προς 2 π1. Αν αντικαταστήσουμε τώρα το χ1 αστεράκι στην χ2 ίσον π1 προς π2, επί M προς 2 π1, το π1 με το π1 φεύγει και προκύπτει ότι το χ2 αστεράκι είναι ίσο με 2 π2. Δεν είναι μηδέν, είναι δικό μας, ό,τι θέλουμε το κάνουμε. Έχεις δίκιο. Αλλά υποθέτουμε ότι έχουμε φυσικές ποσότητες και δεν είναι μηδέν. Τι ενδιαφέρον βγάλαμε? Το ενδιαφέρον αποτέλεσμα το οποίο βγάλαμε είναι ότι οι συναρτήσεις της ζήτησης είναι ίδιες. Δηλαδή ξεκινήσαμε με χ1 χ2 και βγάλαμε χ1 αστεράκι M2π1, χ2 αστεράκι M2π2. Ξεκινήσαμε από μια συναρτήση χ1 στην ενδεύτερο, χ2 στην ενδεύτερο και καταλήξαμε πάλι στις ίδιες συναρτήσεις. Που σημαίνει τι? Ότι αν έχουμε μια συναρτήση τύπου code-douglas, σαν κι αυτήν, και οι εκθέτες είναι οι ίδιοι, δηλαδή το βάρος που έχουν τα δύο αγαθά στις προτιμήσεις του καταναλωτή είναι η ίδια, τα ίδιο, τότε σε αυτή την περίπτωση οι συναρτήσεις της ζήτησης δεν μεταβάλλονται. Δηλαδή ό,τι και να κάνουμε με τους εκθέτες, οι συναρτήσεις της ζήτησης δεν μεταβάλλονται, θα είναι πάντα ίδιες. Ό,τι και να κάνουμε, αν οι εκθέτες είναι οι ίδιοι, δηλαδή το βάρος των δύο αγαθών παραμένει το ίδιο, σε μια τέτοιου τύπου συναρτήση, τότε οι συναρτήσεις της ζήτησης θα είναι πάντα αυτές. Αυτό το οποίο θα ήθελα να δείτε στο σπίτι, σαν μια ωραία άσκηση, είναι αυτό να είναι 1 τρίτο και αυτό να είναι 2 τρίτα. Να δούμε, θα καταλήξουμε πάλι στις ίδιες συναρτήσεις. Και ένα τελευταίο. Ας το δούμε με αυτό το τύπο της συναρτήσης και το γενικεύουμε. Ο λόγος ένα προς δύο. Έχουμε το λόγο ένα προς δύο. Αυτό εδώ είναι η μερική παράγωγος της συναρτήσης χρησιμότας ως προστοχή 1. Δηλαδή αυτό το σκέλος είναι η μερική παράγωγος της συναρτήσης χρησιμότας ως προστοχή 1. Τι όνομα του έχουμε δώσει η οριακή χρησιμότητα του αγαθού 1. Άρα τι έχουμε λοιπόν εδώ σε αυτό το λόγο. Έχουμε η οριακή χρησιμότητα του αγαθού 1 προς την οριακή χρησιμότητα του αγαθού 2. Πρέπει να είναι ίση προς το λόγο των τιμών. Αυτό μας λέει αυτή η σχέση. Ότι στην ισορροπία δηλαδή εκεί που θα έχουμε μέγιστη χρησιμότητα ο λόγος των οριακών χρησιμοτήτων είναι ίσως με το λόγο των τιμών. Πώς έχουμε ορίσει όμως τον οριακό λόγο υποκατάστασης. Ο οριακός λόγος υποκατάστασης όπως τον έχουμε ορίσει είναι ο λόγος των οριακών χρησιμοτήτων. Άρα τι έχουμε. Ότι στην κατάσταση ισορροπίας δηλαδή εκεί που μεγιστοποιείται η χρησιμότητα ο οριακός λόγος υποκατάστασης εξισώνεται με το λόγο των τιμών. Τι είχαμε βγάλει με τις καμπύλες αδιαφορίας και με τον ισοδηματικό περιορισμό. Ότι η κλήση της καμπύλης αδιαφορίας σε κάποιο σημείο είναι οριακός λόγος υποκατάστασης στο Άριστο εκεί που έχουμε την επαφή. Ο οριακός λόγος υποκατάστασης η κλήση της καμπύλης αδιαφορίας εξισώνεται με το λόγο των τιμών. Άρα λοιπόν έχουμε καταλήξει στην ίδια συνθήκη ισορροπίας. Δηλαδή ο καταναλωτής μεγιστοποιεί τη χρησιμοτητά του όταν ο λόγος των οριακών χρησιμοτήτων εξισώνεται με τον λόγο των τιμών. Καλησπέρα!