Διάλεξη 12 / Διάλεξη 12 - Νικολαϊδης Αργύριος (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Διάλεξη 12: Ακολουθήσαμε, λοιπόν, τις προτάσεις του Kantor, όπου θέλαμε να ψάξουμε τι είναι αυτό το άπειρο. Αντιληπτήκαμε ότι είναι δύσκολο παιχνίδι που έχει και το δικό του ρίσκο. Κάποιοι πιστεύουν ότι ο Kantor βρήκε τον παράδεισο των μαθηματικών κι άλλοι πιστεύουν ότι πρόκειται για μια φενάκη, μια απάτη. Απλώς να σας αναφέρω μερικές ρύσεις που προέρχονται από διάσημους μαθηματικούς. Ο Χίλμπερτ τον αγάπησε πάρα πολύ τον Kantor και θεωρεί, λοιπόν, ότι η θεωρία του Kantor είναι το πιο καθαρό προϊόν της μαθηματικής ευφυείας, η πιο ολοκληρωμένη πραγματοποίηση της ανθρώπινης διανοητικής δραστηριότητας. Από την άλλη μεριά έχουμε μια βίαιη επίθεση του Kronenker, που απέρριψε όλες τις αποδείξεις που δεν γίνονται με επεπερασμένο αριθμό βημάτων. Με άλλα λόγια δύσκολα μπορούσα να φανταστεί ότι μια απόδειξη δεν έχει μία αρχή, μία μέση και ένα τέλος. Μια καλή στιγμή κάνουμε τόσα βήματα και φτάνουμε στην απόδειξη και η ιδέα ότι μέσα στην απόδειξη εφυλοχωρεί κάτι που το κάνουμε ξανά και ξανά επάπειρο, είναι κάτι λοιπόν που ενοχλούσε πάρα πολύ τον Kronenker και συνεπώς απέρριψε όλες τις αποδείξεις του Kantor. Και οι επεπερασμένοι αριθμοί που προτάθηκαν από το Kantor στην ουσία λοιπόν δεν υπάρχουν. Συνέχεια υπάρχει μια άλλη σχολή που τη χρωστάμε βασικά στον Brauer. Ο Brauer πίστευε ότι κατά κάποιο τρόπο τα μαθηματικά συνδέονται με τη διέστησή μας και δεν αποδεχόταν την ισάτοπο απαγωγή, δηλαδή εκείνο και το σκεπτικό του Kantor, ότι αρχίζω μία πρόταση, φτάνω σε ένα λάθος συμπέρασμα και άρα πηγαίνω πάνω και λέω ότι η αρχική πρόταση πως είναι λάθος, ότι πιθανόν να μη συνιστά λογική απόδειξη. Με παραπλήσεο τρόπο έχουμε την παρατήρηση του Weyl, ένας άλλος διάσημος μαθηματικός και φυσικός, ο οποίος είπε ότι η αρχή του αποκλειόμενη τρίτου ισχύει μόνο για το Θεό, δεν ισχύει όμως τα πλαίσια της ανθρώπινης λογικής. Η αρχή του αποκλειόμενη τρίτου λέει ότι αν έχουμε κάποια πρόταση, η πρόταση αυτή θα είναι ή αληθής πρόταση, ή μία ψευδής πρόταση, δεν υπάρχει η δυνατότητα να έχουμε τον τρίτο όρο που θα περιγράφει την πρόταση αυτή εδώ. Το άλλο που συνέβαινε είναι πως ο Κάτρ ο ίδιος, που είχε προτείνει τα δικά του μαθηματικά και τη δική του προσέγγιση, αφέβαλε λοιπόν ο ίδιος για αυτό που είχε κάνει. Σε ένα γράμμα του προς τον Δέντεκη του λέει ότι το βλέπω αλλά δεν το πιστεύω. Αλλά λοιπόν ακόμα και στη δουλεία μέσα του Κάτρ υπάρχουν αυτές οι δυο τρόποι προσέγγισης, το να βλέπεις κάτι και να το αποδεικνύεις και να το πιστεύεις και να μην το πιστεύεις. Ο Κάτρ λοιπόν πέρασε δύσκολες στιγμές, τον κυνηγούσανε σχεδόν όλοι οι επίσημοι γερμανοί καθηγητές και υπέστη νευρική κατάθλιψη. Με κάποια στιγμή λοιπόν τα αφήνει τα μαθηματικά και στρέφεται προς τη φιλοσοφία, θεολογία και κριτική λογοτεχνίας. Άρα λοιπόν αν δούμε τη δυσκολία και το χειρήματος και πάμε πίσω εκεί που είχαμε αρχίσει δηλαδή στο νεαρό του Τέρλες, εκείνο τον έφηβο που την ώρα που προσπάθησε για να καταλάβει την έννοια του απειρού ένιωσε εκείνο τον φόβο, την αγωνία για να τον κατέχει. Μάλλον στη διαζόμαστε πως όντως ο νεαρός Τέρλες παρόλο τη μικρή την ηλικία, στα δεκαεφτά θα ήταν, μάλλον τα κατάφερε και βρέθηκε πολύ κοντά στην έννοια του απειρού και συνεπώς όντως ένιωσε τη δυσκολία του χειρήματος πως ξεκινώντας από πράγματα που τα έχουμε μπροστά μας, τα οποία τα αγγίζουμε και τα μετράμε, σιγά σιγά σταδιακά πάει κάποιος σε ένα κόσμο όπου έχουμε έννοιες που δεν τις ελέγχουμε, που δεν τις καταλαβαίνουμε και πλήρως και μπαίνει συνεχώς αυτό το αίσθημα της αφιβολίας αν αυτό που μόλις έχουμε βρει και που πιστεύουμε ότι πάγεται σε μια κάποια λογική αν όντως υπάρχει ή όχι. Μιλήσαμε για εκείνη την ιστορία με το Άλευ 0, το Άλευ 1, το Άλευ 2, μπαίνει το ερώτημα εάν αυτή η ιστορία με Άλευ 0, Άλευ 1 και Άλευ 2 σταματάει ποτέ. Κάποιος που θέλει να προβοκάρει θα μπορούσε να πει τι. Γιατί όπως έχουμε το 1, 2, 3, 4, 5, μόλις μας είπατε ότι έχω το Άλευ 0, το Άλευ 1, το Άλευ 2 και το Άλευ 3. Άρα θα μπορούσε να παίξει ένα πολύ βρωμικό παιχνίδι και να πει έχω το σύνολο όλων των Άλευ. Και όπως έχω γράψει λοιπόν Άλευ 0, Άλευ 1, Άλευ 2 και Άλευ 3, κάποιος μπορεί και να προκαλέσει για να πει τι συμβαίνει του νητήραντος το άπειρο. Δηλαδή τη στιγμή που έχω βγάλει Άλευ 1, Άλευ 2 και είναι μια σειρά ολόκληρη που με βάσει αυτή τη λογική του κάτω οδέλα για να σταματήσει πουθενά. Τι συμβαίνει στην άκρη όπου θα έχω το Άλευ 1 και το 1 το αφήσω να πάει στο άπειρο. Λοιπόν σίγουρα σημαίνει πως έχουμε μπλέξει κάπου πρέπει και να τεθεί ένα κάποιο όριο χωρίς να ξέρουμε ποιο είναι αυτό το όριο και κυρίως αν αυτά για τα οποία μιλάμε έχουν μια κάποια συσχέτηση με όλα αυτά που πιθανόν να υπάρχουν στη φύση. Θα έλεγα ότι κάποιος έχει την καλή διάθεση να παρακουθήσει το σύνολο των φυσικών αριθμών. Κάποιος μπορεί λοιπόν για να σκεφτεί για το Άλευ 0 να εντάξει μέσα στο Άλευ 0 και τους Γρητούς για να συμφωνήσει σε αυτό με τον Γκάντορ να κάνει ακόμη ένα βήμα και να πει πόσο υπάρχει το π υπάρχει το Ρ2. Άρα λοιπόν έχουμε τους πραγματικούς αριθμούς. Να μιλήσουμε και για το Άλευ 1, από εκεί και πέρα μου φαίνεται τα πράγματα είναι εξαιρετικά επικίνδυνα, αβέβαια, ασάφια και βουλιάζουν μέσα στην σύγχυση. Πρόκειται για καθαρή σκέψη που και οι μαθηματικοί ίδιοι δεν μπορούν να την παρακολουθήσουν. Να σας πω μόνο το εξής, κάποιος είχε θέσει το ερώτημα αν υπάρχει ένα άπειρο που είναι ανάμεσα στο Άλευ 0 και στο Άλευ 1. Δηλαδή αυτό το άπειρο σαν ένταση, σαν ποιότητα, να είναι πιο άπειρο από το Άλευ 0, αλλά λιγότερο άπειρο από το Άλευ 1. Λοιπόν, η απάντηση δόθηκε από έναν Αμερικάνο μαθηματικό, αν θυμάμαι καλά το όνομά του, πρόκειται για τον Κοέν, δεν το έχω δει και το όνομά του, και ο Κοέν αυτός έδειξε ότι η πρόταση αν υπάρχει ένα άπειρο ανάμεσα στο Άλευ 0 και στο Άλευ 1 είναι μη αποκρίσιμη πρόταση. Την άλλη φορά θα μιλήσουμε για τον Γκέντελ, εκεί θα μάθουμε λοιπόν στα πλαίσια της τυποποιημένης γλώσσας, της τυπικής γλώσσας. Μπορούν να υπάρχουν προτάσεις, τις οποίες δεν μπορούμε εμείς να καθορίσουμε αν είναι οι αληθείς προτάσεις ή αν είναι ψευδείς προτάσεις. Αυτές λοιπόν είναι οι μη αποκρίσιμες προτάσεις και ο Κοέν εκείνο που έδειξε στα πλαίσια των μαθηματικών και της τυπικής λογικής ότι αν υπάρχει κάτι ανάμεσα στο Άλευ 0 και στο Άλευ 1 είναι μη αποκρίσιμη πρόταση. Μένει ότι δεν ξέρουμε και δεν μπορούμε για να αποδείξουμε ούτε ότι υπάρχει ούτε ότι δεν υπάρχει. Λοιπόν, αν υπάρχει αυτό το αβέβαιο πράγμα ανάμεσα στο Άλευ 0 και το Άλευ 1, όπου είναι το πρώτο μας κενό, κτήσαμε και το Άλευ 0 και μετά είδαμε ότι το Άλευ 1 δεν χωρέσει το Άλευ 0 και το βάλαμε λίγο πιο πάνω. Αλλά από άλλη μεριά δεν ξέρουμε τι υπάρχει ανάμεσα στα δύο αυτά. Άρχιζε το πράγμα και λίγο βρωμάει. Άρα λοιπόν πάμε σε μη αποκρίσιμες προτάσεις, πάμε σε προτάσεις που δεν μπορούμε εμείς οι ίδιοι να ελέξουμε. Μάλλον σηκώνουμε και τα γραία ψηλά. Και θα ήθελα καλύτερα, ίσως, αν έχουμε κάνει μια πολύ μεγάλη επένδυση χρόνου, για να την κάνουμε. Γιατί αν συνεχίσουμε να επιμένουμε, πιθανόν να έχουμε τα ίδια συμπτώματα με τον γκάντο. Εντάξει, ότι νευρική κατάθλιψη ή και τίποτα χειρότερο. Στο βαθμό που όλα αυτά τα φέρνουν σοβαρά, βέβαια, ότι συνιστούν μια συγκροτημένη μαθηματική γνώση. Και το άλλο που βγαίνει σαν συμπέρασμα που δεν έχει σχέση με το μάθημα το ίδιο, είναι τελικά ότι οι μαθηματικοί, παρ' όλα όσα λέγονται, είναι αρκετά ευαισθητοί, ώστε αυτό που κάνουν για να τους αγγίζει να το παίρνουν και στα σοβαρά, με τέτοιο τρόπο που δεν το παίρνουν στα σοβαρά κάποιοι φιλοσοφοί. Και συνεπώς, αυτή η απέτηση της συνέπειας, με αυτά που λένε και αυτά που κάνουν, ίσως τις οδηγεί σε αυτήν την κατάσταση της νευρικής κατάθλιψης, της τρέλας κλπ. Εγώ κάπου εδώ θα ήθελα να σταματήσω με την ιστορία με τον Κάντερ, αναγνωρίζοντας βέβαια ότι αυτή η ιστορία ενός πράγματος που δεν έχει πέρας, εμείς πρέπει και για να το τελειώσουμε, γιατί πρέπει να συνεχίσουμε το μάθημα, άρα δεν μπορούμε να συνεχίζουμε επάπειρο να κουβεντιάζουμε για τον Κάντερ και το άπειρο. Δεν ξέρω, από τη δική σου πλευρά θέλετε κάτι να παρατηρήσετε, είτε συνιστά φιλοσοτικό σχόλιο, είτε μαθηματική παρατηρήση ή κάτι που έχετε από τον χώρο της φύσης. Σας άγγιξε αυτή η ιστορία. Το είδατε πιο πολύ σαν κάτι, σαν ένα παιχνίδι, σαν άσκηση σύνθετη και δύσκολη, αποτυχημένη προσπάθεια. Το τι μας νοιάζει εμάς τώρα για ένα πράγμα που μάλλον είναι δύσκολο για να το μετρήσουμε. Είναι κάτι που είναι στα όρια της γνώσης, της λογικής και της εμπειρίας. Να σας πω λίγο και τις παρατηρήσεις. Όχι. Δεν νομίζω ότι έχω από τη δική μου πλευρά για να πω κάτι. Λοιπόν, αν δεν υπάρχει κάτι για τον Κάντερ και την περιπέτειά του, που προφανώς πήγε στα όρια της μαθηματικής σκέψης, θα περάσουμε σε μια τροματική σύγκρουση που έλαβε χώρα στις αρχές του 20ου αιώνα στον χώρο των μαθηματικών ανάμεσα σε κάποιους που θέλανε τα καθαρά μαθηματικά. Καθαρά μαθηματικά σημαίνει ότι εκτίζουμε τα μαθηματικά έτσι, ώστε να μην υπάρχει μέσα στα πλαίσια της μαθηματικής σκέψης αντινομία, αντίφαση και να τα ελέγχουμε όλα. Την ώρα που έξω εκεί στον κόσμο, πιθανόν υπάρχουν οι άλλοι άνθρωποι που είναι κάπως πρόχυροι, δεν προσέχουν τι λένε και μέσα στον λόγο των φιλοσόφων, των φυσικών και των κοινών ανθρώπων να υπάρχει μια καρκιασύγχυση, παραδοξολογίες ή αντιφάσεις ή αντινομίες. Άρα λοιπόν το στίχημα είναι εμείς τα πλαίσια της μαθηματικής σκέψης. Μπορούμε να διασφαλίσουμε την καθαρότητα της μαθηματικής επιστήμης. Σαν σημείο εκκίνησης θα λέγαμε ότι τα μαθηματικά είναι παραγωγική επιστήμη με το σκεπτικό τι, ότι δεχόμαστε κάποιες αρχικές προτάσεις που συνειστούν για εμάς τα αξιώματα. Κάποιος λέει ότι δέχομαι τις προτάσεις αυτές. Πας και το ρωτάς γιατί δεν υπάρχει απάντηση. Άρα λοιπόν είναι κάτι που το δεχόμαστε σαν αξίωμα, είναι οι αρχικές προτάσεις. Και μετά τι συμβαίνει, με βάση κάποιους κανόνες από τα αξιώματα πηγαίνω και βγάζω μια σειρά από άλλες προτάσεις που είναι τα θεωρήματα. Άρα λοιπόν σε μεγάλο βαθμό όλες οι μαθηματικές επιστήμες ακολουθούν αυτόν τον δρόμο. Είναι λοιπόν τα αξιώματα που είναι τα θεμέλια του συστήματος και τα θεωρήματα βγαίνουν λοιπόν με τη βοήθεια των αρχών της λογικής που έχουμε συμφωνήσει. Τα μαθηματικά αυτά τώρα τα θεωρήματα δεν τα αποδεχόμαστε επειδή τα θεωρούμε ως αληθή ή ως επειδή είναι σε συμφωνία με κάτι που βλέπουμε εκεί έξω. Όχι, δεν δίνουμε δεκάρα τσακιστή αν υπάρχει μια συμφωνία ανάμεσα σε μαθηματικό θεώρημα και στη φυσική πραγματικότητα. Το μαθηματικό θεώρημα είναι αποδεκτό επειδή είναι η αναγκαία λογική συνέπεια των αξιωμάτων που έχουμε βάλει στην αρχή. Άρα είμαστε στα πλαίσια μιας τυπικής σκέψης. Μας έχουν δώσει τα αξιώματα. Αρχίζουμε από τα αξιώματα, τα δουλεύουμε και τα αξιώματα και με βάση τους κανόνες που έχουμε συμφωνήσει μεταξύ μας βγάζουμε ένα θεώρημα. Το θεώρημα λοιπόν αυτό ισχύει. Ισχύει γιατί είναι η αναγκαία συνέπεια των αξιωμάτων και των κανών της λογικής που βάλαμε και δεν βγαίνουμε έξω από το παράθυρο για να χαζέψουμε εάν το θεώρημα που βγάλαμε το συναντάμε εκεί στη φύση ή όχι. Οπωσδήποτε στη μαθηματική μας γλώσσα θα πρέπει να έχουμε κάποιες όρους, κάποιες λέξεις. Αλλά θα πρέπει να συμφωνήσουν οι μαθηματικοί μεταξύ τους ότι αυτό που μας φαίνεται σε εμάς τόσο οικείο σε ένα κάποιον όρο θα πρέπει για να το βάλουμε στην πάντα. Δεν μας ενδιαφέρει το τι σημαίνει στα πλαίσια της γλώσσας ένας όρος που μας σημαίνει οικείο. Εμείς τον όρο αυτό εδώ το φανταζόμαστε μονάχες στα πλαίσια μιας τυπικής λογικής και ορίζεται σαν κάτι που έχει σχέση με τους κανόνες και της λογικής. Μοιάζει λιγάκι η ιστορία όταν παίζουμε σκάκι. Στο σκάκι μας έχουν δώσει κάποιες θέσεις, μας λέει κάποιος κοίταξε έχουμε αναπτύξει και τα πιόνια, αυτές είναι οι θέσεις του α, αυτές είναι οι θέσεις του β, τι λες να κάνω σαν καλή κίνηση και άλλος λέει θα πάρω το άλογο και θα το πάω εκεί. Λοιπόν το άλογο κάνει μια κίνηση, όχι επειδή είναι άλογο και μας παραπέμπει σε κινήσεις με άλογα που τρέχουν δεξιά και αριστερά, το άλογο εμείς του δώσαμε αυτό το όνομα άλογο, είναι κάτι το πάρα πολύ τυπικό, στα πλαίσια της συμφωνίας που έχουμε κάνει αυτό που λέμε εμείς άλογο μπορεί να κάνει την κίνηση που μπορεί να κάνει τίποτα άλλο. Άρα λοιπόν παίρνει το άλογο και κάνει με κάποια κίνηση η οποία είναι αποδεκτή στα πλαίσια των κανόνων που υπάρχουν στο παιχνίδι που λέγεται σκάκι. Και αναγκαστικά πάμε και καταφεύγουμε σε κάποιους όρους, αλλά από αυτούς τους όρους έχουμε βγάλει όλα εκείνα τα φυσικά περιεχόμενα που συναντάμε στην κοινή γλώσσα. Άρα λοιπόν φτάνουμε σε ένα κάποιο σημείο όπου μιλάμε για κάποια μαθηματικά, τα οποία αρχίζουν από αξιώματα, με κάποιους κανόνες λογικής από τα αξιώματα βγάζουμε και τα θεωρήματα και δεν κοιτάμε πουθενά ποιο είναι το νόημα του θεωρήματος. Το μόνο που μας νοιάζει είναι το θεώρημα βγήκε μέσα από κάποιους κανόνες και συνέχεια δεν ξέρουμε τι σημαίνει το θεώρημα. Και αν το θεώρημα αυτό έχει με κάποια συνάφια με τον έξω κόσμο και ο Ράσελ που είχε επίγνωση αυτού του γεγονότος έλεγε το εξής. Καθαρά μαθηματικά είναι εκείνο το γνωστικό αντικείμενο στο οποίο δεν ξέρουμε για τι πράγματα μιλάμε ούτε αν αυτό που λέμε είναι αληθές. Άρα έχουμε κτίσει δίπλα ένα κόσμο ολόκληρο από μια φυριμένη σκέψη που δεν συνάδει, δεν δένεται με την πραγματικότητα και στον κόσμο αυτό απλώς κάνουμε πράξεις όπως ίσως και ένα κομπιούτερ, σωστά, και δεν μας βασανίζει τίποτα αν έχει συνάφια με τον κόσμο τον ίδιο ή αν αυτό που λέμε συνειστά με κάποια αλήθεια ή όχι. Τώρα ο Χίλμπερτ πίστευε ότι τα καθαρά μαθηματικά είναι απειλαγμένα από εσωτερικές αντιφάσεις και αντινομίες. Μου φαίνεται αν ο Χίλμπερτ μιλούσε αρχαία ελληνικά που οι περισσότεροι Γερμανοί μιλούσαν γιατί όλοι τελειώναν το γυμνάσιο όπου όλοι κάνανε τα αρχαία ελληνικά, αλλά θα μπορούσε εκεί για να δει όλα ελληνικά τα ρήματα όπου έχει μέσα το αφιβάλλω, θα μπορούσε να δει φιλοσοφικά κείμενα όπου από την αρχή δέχονται την έννοια της άγνοιας, άρα δεν θα έχει αυτή την απέτηση της καθαρότητας. Εν πάση περιπτώσει ο Χίλμπερτ λοιπόν πίστευε σε μαθηματικά που είναι απειλαγμένα από εσωτερικές αντιφάσεις και αντινομίες. Ελληνικές πάλι λέξεις στην ώρα που ξέρουμε εμείς πως υπάρχουν άλλοι που στο πλαίσιο της δικής τους σκέψης λατρεύουν την αντίφαση ακριβώς και την αντινομία. Μια άλλη προσέγγιση. Τώρα μία από τις γνωστές τις αντιφάσεις που προκαλούσαν εκείνα τα κλασικά μαθηματικά των αρχών του 20ου αιώνα είναι το παράδοξο του Ράσσελ. Λοιπόν μπορούμε για να το θυμηθούμε λίγο μαζί. Ο Ράσσελ θεώρησε ότι υπάρχουν οι κανονικές και οι μη κανονικές κλάσεις. Αν κάποιος δει κάποια στιγμή που βλέπει ότι είναι πάρα πολύ σαφές με σταματάει και με ρωτάει. Άρα λοιπόν σαν κλάσεις εσείς, μην μπλέξουμε πάρα πολύ το πράγμα δεν ξέρω αν υπάρχουν εδώ οι μαθηματικοί, σαν κλάσεις μπορούμε να φανταστούμε ότι μιλάμε για σύνολα. Δεν ακριβώς σύνολα αλλά απλώς ώστε να νιώσουμε κάπως καλύτερα έχουμε λοιπόν τις κανονικές κλάσεις και τις μη κανονικές κλάσεις. Μια κλάση λέγεται κανονική αν δεν περιέχει τον εαυτό της μέσα στην κλάση. Αλλιώς αν περιέχει τον εαυτό της μέσα στην κλάση την ίδια είναι μη κανονική κλάση. Για παράδειγμα, η κλάση που αποτελείται από όλους τους φυσικούς είναι μη κανονική κλάση. Γιατί η κλάση η ίδια σαν σύνολο δεν είναι φυσικός. Άρα λοιπόν η κλάση των φυσικών είναι μη κανονική. Από την άλλη μεριά, αν θυμηθούμε την κλάση όλων των νοητών πραγμάτων, η κλάση όλων των νοητών πραγμάτων περιέχει μέσα και την κλάση την ίδια, γιατί και αυτή είναι ένα νοητό πράγμα. Άρα λοιπόν η κλάση όλων των νοητών πραγματών ανήκει στον εαυτό της. Και συνεπώς αυτή η κλάση είναι μη κανονική κλάση. Έχουμε συμφωνία εσείς στους ορισμούς. Το πρώτο, το κανονικό είναι ποιο, εκείνο που το σύνολο το ίδιο δεν ανήκει στον εαυτό του. Σας ανέφαγε το παράδειγμα. Το σύνολο των φυσικών, το σύνολο το ίδιο δεν είναι φυσικός. Δεν ανήκει στο σύνολο των φυσικών. Στο άλλο και το παράδειγμα, η κλάση των νοητών πραγμάτων, εκείνα όλα τα πράγματα τα οποία μπορούμε για να τα σκεφτούμε, αυτή την κλάση μπορούμε για να τα σκεφτούμε σαν νοητική κατασκευή. Άρα ανήκει στην κλάση των νοητών πραγμάτων και συνεπώς αυτή η κλάση είναι μη κανονική, γιατί περιέχει τον εαυτό της. Σκεφτείτε το σύνολο σαν ένα σύνολο α. Αν το α ανήκει στον εαυτό του, είναι μη κανονικό. Αν το α δεν ανήκει στον εαυτό του μέσα, είναι κανονικό. Συμφωνήσαμε πάνω στον ορισμό. Μπορούμε να φανταστούμε ένα άλλο παράδειγμα, ώστε να γίνει όλο αυτό κάπως πιο οικείο και πιο κατανοητό. Βλέπετε πότε εσείς κανένα άλλο παράδειγμα. Υπάρχει περίπου σε ένα σύνολο να περιέχει τον εαυτό του, μη κανονικό. Αν δεν περιέχει τον εαυτό του, είναι κανονικό, κανονική κλάση. Ο Ράσε λοιπόν σκέφτηκε το εξής. Εάν πάρουμε την κλάση όλων των κανονικών κλάσεων. Αρχίζει τώρα και παίζει το παιχνίδι. Καταρχήν, εκείνη η λέξη όλων είναι πάλι πονηρή. Δεν είναι τίποτα το αθώο. Η κλάση όλων, όλων, όλων των κανονικών κλάσεων. Μαζεύουμε λοιπόν όλες τις κανονικές κλάσεις. Κάπου αρχίζει και βρωμάει, γιατί αυτό το όλο, κάποιος μπορεί να πει πώς πάω και τις βρίσκω, ποιες είναι αυτές οι όλες, τιμίζει λίγο κανονικό λοιπόν επίσης, γιατί εκεί έχουμε το σύνολο όλων των ακεραίων και δεν σταματούν πουθενά. Ένα, δύο, τρία, τέσσερα, νη, του νύτη ενώ στο άπειρο. Αυτή είναι της ολότητας. Είναι ένα πράγμα θολό, εξαιρετικά θολό, εξαιρετικά φλού, και υπάρχει σε όλη τη δυτική σκέψη. Το όλον, να κατακτήσουμε το όλον, είτε στη θεολογία είτε στη κλησοφία. Και στα μαθηματικά βλέπουμε ότι μας οδηγεί σε αντιφάσεις. Άρα λοιπόν, πρώτη παρατήρηση είναι ότι έχουμε αυτή την τάξη, την κλάση νη που είναι η κλάση όλων των κανονικών συνόλων. Δηλαδή τα μαζεύουμε όλα αυτά τα κανονικά συνόλα και τα λέμε νη. Ερώτημα, η τάξη η νη είναι η ίδια κανονική κλάση. Αυτό είναι το ερώτημα. Αν η νη είναι μια κανονική κλάση, τότε ανήκει στο σύνολο των κανονικών κλάσεων. Αφού είπαμε πως είναι κανονική. Άρα θα ανήκει στο σύνολο νη. Αλλά αν η νη ανήκει στο σύνολο νη, τότε σημαίνει ότι η κλάση αυτή είναι μη κανονική. Και η νη είναι μη κανονική. Αυτό είναι το ερώτημα. Έχουμε το σύνολο νη των κανονικών κλάσεων. Τα μαζεύουμε όλες και τις λέμε νη. Η νη η ίδια είναι μη κανονική ή μη κανονική κλάση. Αν πούμε ότι η νη είναι κανονική κλάση, αυτό σημαίνει ότι θα ανήκει στο σύνολο νη. Αλλά αν η νη ανήκει στο σύνολο νη, τότε αυτή η κλάση είναι μη κανονική, γιατί περιέχει μέσα της τον εαυτό της αντίφαση. Εάν πούμε τώρα ότι η κλάση η νη είναι μη κανονική, η τάξη η νη που είναι μη κανονική, τότε σημαίνει τι? Με βάση και των ορισμών το τι είναι η μη κανονική κλάση, σημαίνει ότι η νη περιέχει τον εαυτό της. Αυτός είναι ο ορισμός της μη κανονικής κλάσης, ότι περιέχει τον εαυτό της. Εφόσον όμως η νη περιέχει τον εαυτό της, ανήκει στο σύνολο τον κανονικό κλάση. Άρα σημαίνει πως είναι κανονική. Άρα, ξεκινώντας από το χάλασα μήπως, αν ξεκινήσουμε από το νη πως είναι κανονική, καταλήγουμε ότι είναι μη κανονική και αν πούμε πως είναι μη κανονική, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι είναι κανονική. Συγχαρητήρια. Άρα λοιπόν έχουμε φτάσει σε αντίφαση και ο καθένας μπορεί να ψάχνει να βρει πού κρύβεται η αντίφαση. Η αντίφαση σε εμένα μου αφήνει την αίσθηση πως η γρομιά κρύβεται στην απέτηση της ολότητας. Ότι λέμε, η νη είναι η κλάση όλων των κανονικών κλάσεων. Εκείνο το όλων είναι που βάζει την δυναμή τη δά. Σαν να έχουμε τη δυνατότητα για να βγούμε στην αγορά και να ψάξουμε και να βρούμε όλα τα ψάρια. Εντάξει, στη Λαϊκή Αγορά μπορώ να πάω και θα έχω 3-4 ψαράδες και θα μετρήσω πόσες συναγρίδες έχουν, πόσους γαύρους, πόσες και τα λοιπά. Άρα η απέτηση, η φράση, όλα τα ψάρια. Όλοι οι ακέροι, όλα-όλα, κάπου-κάπου κοντάφτει, κάπου σε πάει σε κάτι το οποίο δεν το ελέγχεις και κάπου εσένα σε βγάζει απέξω, δες και είσαι την ικανότητα από πάνω να βλέπεις τι έχεις μπροστά σου. Σαν κάποιος να σου έκανε μια μεγάλη χάρη και πάνω σε ένα τραπέζι στα άπλωσε όλα. Και εσύ σαν κύριος, ο ένας και μοναδικός και τα λοιπά, τα βλέπεις αυτά και λες το όλον, το όλον αυτού. Δεν θα μπορούσα μια δυναμία αυτήν τη στιγμή για τη γλώσσα που έχουμε στον κράτος. Δηλαδή εφόσον μπορεί να προκύψει κάτι σημαντικό, δηλαδή δεν θα μπορούσα να σημαίνει ότι η ελληνική απελευθέρωση ή η ελληνική απελευθέρωση βρίσκεται στον ορισμό της κανονικής και μη κανονικής κλάσης. Ότι θα μπορούσε να υπάρχει κάποιο άλλο, κάποια αρκετωπορία. Εφόσον μπορούμε να φανταστούμε αυτήν την κλάση, δεν μπορούμε να αντιμετωπίζουμε. Εννοείς, συγγνώμη, μια τρίτη κλάση ανάμεσα στο κανονικό και το μη κανονικό. Ναι, να πούμε κάποια ελληνική στιγμή στη γλώσσα σας. Ναι, αλλά τότε θα πρέπει να αλλάζουμε τους όρους του ανήκειν και του μη ανήκειν. Του σημαίνει ότι θα πρέπει να αφήναμε τη θεωρία συνόλων. Προσωπικά δεν έχω κανένα πρόβλημα. Δεν συμπαθώ θεωρίας συνόλων. Δηλαδή η ιδέα ότι κάποιος μου ζωγραφίζει κάτι και με ρωτάει αυτό ανήκει εδώ ή όχι. Πιθανόν ανήκει, πιθανόν να μην ανήκει. Συμφωνεί. Η ιδέα ότι ορίζω ένα σύνολο με απόλυτη ακρίβεια και μετά πηγαίνω σε ένα τρίτο και του λέω αυτό το αντικείμενο ανήκει ή όχι είναι κάτι τόσο αυστηρό και τόσο τυπικό που πιθανόν να ισχύει στα στενά μαθηματικά αλλά δεν νομίζω ότι μπορεί να ισχύει πέρα από τα τυποποιημένα μαθηματικά που στηρίζονται στην άλλη πρατμούλου, θεωρίας συνόλων κτλ. Αλλά η θεωρία συνόλων είναι και αυτή με κάποια γλώσσα. Και εδώ κάπου παίζεται κάποιο παιχνίδι ότι έχω ένα πράγμα που ή ανήκει ή δεν ανήκει. Κάπου χάνεται η έννοια το σύνορο όπου υπάρχει κάτι που συνορεύει. Μ' αυτό και με το άλλο. Εποθέτω πως ο μαθηματικός δεν δέχεται μία αντίληψη ότι κάποιος μπορεί να βρέχει τα πόδια του στο ποτάμι και να μην είναι μέσα στο ποτάμι. Θα πρέπει για να του πεις είμαι μέσα στο ποτάμι ή δεν είμαι μέσα στο ποτάμι. Και προφανώς πάει πίσω. Αριστοτελική λογική και δεν συμμαζεύεται. Για αυτά και τα μαθηματικά που μιλάμε τώρα, εντάξει, τα μαθηματικά των αναχών του 20ου αιώνα. Οπωσδήποτε υπάρχουν και άλλα μαθηματικά που δεν υπάγονται σε αυτήν τη λογική. Αλλά η ιστορία της ολότητας δεν αφορά μόνο να είχα την μαθηματική σκέψη. Η απέντηση ότι έχω μια θεωρία που τα εξηγεί όλα και τα καλύπτει όλα, είτε επρόκειται για τη φύση, είτε επρόκειται για τη φιλοσοφία ή για τη θεολογία, μου φαίνεται πως είναι κοινός τόπος σε όλα και τα μεγάλα μυαλά, που μία κάποια στιγμή μας προσφέρουν στο πιάτο τη συνολική αντίληψη. Και τα πληρώνουμε βέβαια και τα σπασμένα αργότερα. Για να πάμε σε μια άλλη θεωρία περιολότητος. Άρα το συμπέρασμα είναι ότι φτάνουμε σε μία αντίφαση, όπου αν κάνουμε την υπόθεση ότι είναι κανονική αποδεικνύεται ότι είναι μη κανονική και αν πούμε πως είναι μη κανονική φτάνουμε στο συμπέρασμα πως είναι κανονική. Άρα έχουμε μια πρόταση η οποία είναι αληθής και ψευδής μαζί. Αυτό που θα πούμε σε λίγο όταν φτάσουμε στον Γκέντελ μη αποκρισιμή πρόταση. Τώρα αυτό που ήθελε ο Χίλμπερτ είναι να κατασκευάσει απόλυτες αποδείξεις και να αποδείξει τη συνέπεια της μαθηματικής σκέψης. Σαν πρώτο βήμα θεώρησε την ανάγκη να προχωρήσει στην τυποποίηση του επαγωγικού συστήματος. Τι σημαίνει αυτό, τα σύμβολα που έχουμε στη διάθεσή μας αποστερούνται από κάθε φυσικό νόημα. Είναι απλώς σύμβολα που τα μεταχειριζόμαστε σε κάποιες πράξεις αλλά δεν έχουν κανένα νόημα, δεν συναρτώνται με κάτι που συναντάμε στην δικιά μας ζωή. Άρα λοιπόν είναι η αποστράγγιση από κάθε νόημα των εκφράσεων και των συμβόλων που θεωρούμε στο δικό μας σύστημα είναι απλώς και ένα σύμβολα. Τώρα υπάρχουν μερικοί κανόνες, είναι οι κανόνες της επαγωγής που μας λένε πώς μπορούμε να χειριστούμε και τα σύμβολα αυτά. Πώς πάμε σε ένα παιχνίδι και μας λένε αυτό θα έχετε μπροστά για να παίξετε και για να το παίξετε το παιχνίδι σωστά, υπάρχουν οι κανόνες αυτά. Συμβαίνει κάτι παραπλήσα. Τα σύμβολα, να τα, πώς μπορείς να συνδυάσεις τα και τα σύμβολα. Να φτιάξεις μια παράταξη συμβόλων και την παράταξη συμβόλων αυτή είναι εδώ. Με κάποιους κανόνες θα πας σε άλλη παράταξη συμβόλων αυτό είναι που ελπίζει και πιστεύει να διατυπώσει και να καταφέρει ο Χίλμπερτ. Θέλω να σας δώσω ένα παράδειγμα και με βάση και το παράδειγμα να δούμε δύο ασκήσεις που θα τις δείτε και μόνοι σας αν θέλετε να καταλάβουμε τι σημαίνει μια τυπική γλώσσα και ποιοι είναι οι κανόνες αυτής λοιπόν της τυπικής γλώσσας. Είπαμε ότι σε μια τυπική γλώσσα υπάρχουν κάποια σύμβολα, σύμβολα όπως και στη γλώσσα μας. Η γλώσσα μας έχει τα 24 γράμματα και γράφουμε προτάσεις και οι προτάσεις αποτελούνται από λέξεις. Στην κάθε μια λέξη συναντάμε γράμματα από τα 24 που έχουμε συμφωνήσει. Άρα μόλις βλέπουμε το δικό μας γραπτό κείμενο το βλέπουμε σε μια παράταξη από γράμματα που προφανώς δεν είναι τυχεία, υπάρχουν κάποιες λέξεις, υπάρχουν κάποιοι κανόνες που έχουν σχέση με τη γραμματική σύνταξη και προφανώς στη δική μας τη γλώσσα υπάρχει αυτό που λέμε η σημασία τους. Εντάξει, υπάρχει σημασιολογική διάσταση μιας πρότασης. Λοιπόν, στη δική μας περίπτωση έχουμε τρία σύμβολα είναι το M, το I και το U. Είναι τα γράμματά μας και θέλουμε να φτιάξουμε εμείς μια γλώσσα καταφεύγοντας στα τρία αυτά τα σύμβολα. Το M, το I και το U. Εάν κάποιος τώρα μας δώσει ένα αξίωμα, τι σημαίνει, μας δίνει μια παράταξη από τα σύμβολα αυτά. Για παράδειγμα, η παράταξη αυτή εδώ, το MI, εντάξει, πιθανόν κάποιος για να μου πει είναι το αξίωμα μου, είναι το σημείο εκκίνησης, από το οποίο μπορώ να αρχίσω και να βάζω κάποιους κανόνες για να παράγω άλλες προτάσεις και άλλα θεωρήματα. Μπαίνω στον κομπό και καλύτερα για να το σημειώσετε επίσης το λέω ότι πάντα σε εξετάσεις υπάρχει μια τέτοια άσκηση, όπου υπάρχει μια τυπική γλώσσα με κάποια σύμβολα, κάποιοι κανόνες και πώς αποδεικνύουμε ένα θεώρημα από το αξίωμα ή όχι. Προφανώς δεν είναι κάτι δύσκολο, εκεί κάποιος να καταλάβει το τι συζητάμε. Κανόνας πρώτος, αν έχουμε μια πρόταση που τελειώνει σε ένα I, τότε μπορούμε να φτιάξουμε μια πρόταση όπου στο I μπορούμε να ακολουθήσουμε ένα U. Παράδειγμα, αν έχουμε λοιπόν το MII, με βάση αυτόν τον πρώτον κανόνα, από την πρόταση αυτήν εδώ μπορούμε να πούμε στο MII U, γιατί δίπλα στο τελευταίο το I πήγα και κόλλησα U στο τελευταίο I. Αυτός λοιπόν είναι ο πρώτος κανόνας. Αν έχω ένα I στο τέλος της πρότασης, υπάρχει ο γραμματικός κανόνας, μου λέει, μπορείς να φτιάξεις ένα άλλο θεώρημα όπου κολλάς το U δίπλα. Δεύτερος κανόνας, αν έχω μια σύνταξη MX, όπου X είναι η οδίποτε ακολουθία από σύμβολα, ό,τι μπορείτε να φανταστείτε, τότε από το MX μπορούμε να πάμε στο MXX, δηλαδή να επαναλάβω όλα εκείνα τα σύμβολα που έπονται του M. Παράδειγμα, αν έχουμε το M, U, M, από εδώ θα πάμε M, U, M, ξανά U, M. Ό,τι είχα εδώ το ξαναγράφω, είναι ο δεύτερος κανόνας της τυπικής μου γλώσσας. Συμφωνεί? Τρίτος κανόνας, αν κάπου συναντήσω σε μια πρόταση 3I, κολλητά βέβαια, τότε στη θέση τους μπορώ να βάλω το U. Βλέπω μια πρόταση και βλέπω I, I, I. Μου επιτρέπει εμένα να διώξω τα 3I στη θέση και να βάλω U. Άρα λοιπόν, αν έχω μια πρόταση M, I, I, U, μπορώ να διώξω τα 3I και να γράψω M, U, U. Και τελευταίος κανόνας, το τέσσερα, αν κάπου υπάρχουν μέσα σε μια πρόταση 2I, 2 κολλητά U, τότε αυτά τα 2 κολλητά U μπορώ και τα διώχνω και δεν βάζω τίποτα. Άρα λοιπόν, αν έχω M, U, U, I, τα 2 U φεύγουν, το ένα σκοτώνει το άλλο και πάω στο M, I. Λοιπόν, αυτά είναι οι τέσσερις κανόνες που ισχύουν όσον αφορά τη σύνταξη αυτής της τυπικής γλώσσας. Είναι οι κανόνες ώστε αν μου δώσει κάποιος ένα αξίωμα, μπορώ να επικαλεστώ τους κανόνες 1, 2, 3, 4 ώστε να βγάλω μια σειρά από θεωρήματα. Ποιο κανόνα θα επικαλεστείς είναι θέμα δικός. Δηλαδή, μπορεί κάποιος να αρχίσει από το αξίωμα που του δώσαμε και να πάει να πει, εγώ κάνω χρήση και του κανόνα 2. Ο άλλος να αρχίσει από το ίδιο αξίωμα και πει, εγώ όχι, θα πάω να κάνω χρήση του 1. Πότε κάνει το ένα και πότε κάνει το άλλο είναι θέμα εκείνου που θέλει να βγάλει το δικό του θεώρημα με βάση, με βάση, με βάση λοιπόν αυτών τους κανόνες της επαγωγής άσκηση. Εάν αρχίσουμε από το αξίωμα το MI, αυτό που σας ρωτάω και θα ήθελα να το φέρετε πίσω γραμμένο, είναι αν από το MI μπορούμε να βγάλουμε σαν θεωρήμα την πρόταση MUIU. Ή επίσης αν αρχίσω από το ίδιο αξίωμα το MI, αν μπορώ να βγάλω σαν θεωρήμα το MU. Ξοδεύετε λίγο χρόνο, κάθεστε χαλαρά και παίζετε MI, έχετε τους τέσσερις κανόνες και μπορείτε να παίζετε πάνω στο MI, χρησιμοποιώτε τους κανόνες ώστε να φτάσετε ή εδώ με ένα κάποιο δρόμο παίζοντας με τους τέσσερις κανόνες ή εδώ με έναν άλλο δρόμο. Ποιο δρόμο θα διαλέγετε είναι θέμα δικό σας. Το άλλο λοιπόν που θέλησε να κάνει ο Χίλμπερτ είναι να πετύχει μια διάκριση ανάμεσα στα μαθηματικά και τα μεταμαθηματικά. Μαθηματικά σημαίνει ότι είναι μια μαθηματική σαφής πρόταση, μεταμαθηματικά σημαίνει ότι είναι ένα κάποιο σχόλιο που κάνω εγώ πάνω στη μαθηματική πρόταση που έχω μπροστά μου. Για παράδειγμα, αν κάποιος γράψει 2 συν 3 ίσον 5, πρόκειται για μαθηματική πρόταση. Αν κάποιος πει ότι το 2 συν 3 ίσον 5 σημαίνει ότι η αριθμητική πώς είναι συνεπής, αυτό δεν είναι μαθηματική πρόταση, δεν εντάσσεται στη μαθηματική γλώσσα, είναι ένα σχόλιο πάνω στα μαθηματικά και ανήκει λοιπόν στα μεταμαθηματικά. Ο Χίρμπερτ ήθελε αυτά εδώ για να τα χωρίσει με απόλυτο τρόπο, ήθελε να παλλαγεί με τα μαθηματικά σχόλια και να μείνει λοιπόν στις καθαρές τις μαθηματικές προτάσεις. Όπως όταν κάποιος παίζει σκάκι και μπορεί να κάνει μια κάποια κίνηση στο σκάκι, να πάρει τον πύργο και να απειλήσει κάτι ή να κάνει μια κίνηση και να φέρει το άλογο πολύ κοντά στον βασιλιά. Αυτό είναι μια κίνηση που γίνεται στα πλαίσια που παίζουμε σκάκι. Μια παρατήρηση όμως που λέει ότι ο αντίπαλος κάνει τρεις κινήσεις και κάνει ρουά στον βασιλιά, αυτό δεν έχει να κάνει με το σκάκι σαν σκάκι. Είναι ένα σχόλιο πάνω στη δυνατότητα κάποιος βλέποντας τις κινήσεις που έχει μπροστά του να φανταστεί μια δυνατότητα ότι μέσα από τρεις κινήσεις ο άλφα να κάνει ρουά στο βήτα. Προφανώς όλοι οι μαθηματικοί δεν συφώνησαν με τις επιλογές και με την πρόταση του Χίλμπερτ. Προφανώς όλοι δεν αγάπησαν αυτή την αντίληψη της καθαρότητας των μαθηματικών. Ότι κάπου εμείς μπορούμε να στήσουμε το δικό μας το βασίλειο, το οποίο θα είναι το καθαρότητα της μαθηματικής σκέψης και να αφήσουμε τους άλλους μέσα στη βρώμα τους, στη λίγδα τους να ασχολούνται με πράγματα κοινά, με αντιφάσεις και αντινομίες. Ένας από αυτούς είναι ο Μπράουερ. Ο Μπράουερ ήταν της διαισθητικής σχολής που υποστήριζε ότι τα μαθηματικά είναι διανοητικές κατασκευές που στηρίζονται στη διέστηση. Άρα αυτό που προέχει είναι ότι ζω κάπου, ότι έχω μια διέστηση των πραγμάτων που είναι γύρω μου και τα μαθηματικά υπάγονται, σχετίζονται και έχουν σχέση με τη διέστηση που φτάνει σε μένα. Άρα αυτή η αντίληψη ότι εγώ μπορώ να πάρω και τα μαθηματικά, να τα χωρίσω από τη διέστηση και τις αισθήσεις μου είναι λάθος κατά τον Μπράουερ. Το ερώτημα που κρύβεται λίγο και πιθανόν εκεί να μη συμφωνούν οι δύο συνάδελφοι είναι η λογική υπάγεται στη πραγματικότητα ή η πραγματικότητα υπάγεται στη λογική. Υπάγεται στη λογική, δεν το ξαναπώ, φαίνεται πως είναι σαφές και το ερώτημα, έχουμε τη λογική και την πραγματικότητα. Η πραγματικότητα υπάγεται στη λογική, δηλαδή δεν υπάρχει τίποτα που να ξεφεύγει από τη λογική ή η λογική είναι ένα κομμάτι της πραγματικότητας και υπάγεται στην πραγματικότητα. Αυτό ρωτάω, ναι. Ναι, νομίζω ότι βέβαια, θα σου πω ότι βρίσκονται σε μια σχέση με λογική σάδεση. Δηλαδή είναι δουλειή, δουλειή και πραγματικότητα, είχαν ακόμα άλλες πραγματικότητες. Αλλά αυτό που είναι η πραγματικότητα δεν είναι η λογική μορφή και καθ' είναι η λογική μορφή, αλλά ο λόγος είναι ότι είναι η λογική μορφή. Άρα λες, αν είσαι εσύ και οι φίλοι σου, αν είσαι κάπως πιο λογικά συγκροτημένο άτομο, εσύ θα βλέπεις πράγματα και μία άλλη πραγματικότητα σε σύγκριση με τους φίλους οι οποίοι δεν εμπνεύονται τόσο πολύ από τη λογική. Και πιθανόν να λαμφάνουν και να χάνουν αυτή την αντίληψη της συγκροτημένης παρουσίας της πραγματικότητας που ακουθεί περισσότερο τη λογική από ό,τι πιστεύουν εκείνοι. Σε κάποιο βαθμό. Χαίρομαι που κατάφερα να καταλάβω τι μου λες. Τελικά πιστεύετε πως η λογική βρίσκεται εκεί έξω, πάμε και την ανακαλύνουμε ή την κατασκευάζουμε εμείς. Και κοιτάμε τα διάφορα φυσικά φαινόμενα έξω, το τι γίνεται έξω στην πραγματικότητα και τις φοράμε ένα κουστούμι, παίρνουμε τα μέτρα, με ζούρα και λέμε αυτό σου πάει. Άντε στο καλό. Και όταν μεγαλώσει και γίνει πιο μεγάλο παιδί, λέμε έλα σε αλλάζουμε το κουστούμι σου, βάζουμε μια άλλη λογική κατασκευή. Ορίστε. Άρα η ερώτηση που έκανα ήταν άτυχη αστατή, γιατί ρότσα πιένει σχέση ανάμεσα στη λογική και την πραγματικότητα, την ώρα που δεν ξέρουμε ούτε τι είναι λογική, ούτε τι είναι πραγματικότητα. Σίγουρα πρέπει να υπάρχει κάποια σχέση, χωρίς να ξέρουμε ποια είναι αυτή η σχέση, άμα την ξέραμε πιθανόν να είχαμε τη δυνατότητα για να το κόβουμε στη μέση και να λέγαμε, κοίταξε, αυτό είναι το λογικό κομμάτι της πραγματικότητας. Αλλά μου φαίνεται ότι όταν βλέπουμε το κουστούμι, όταν βλέπουμε το κουστούμι, όταν βλέπουμε το κουστούμι, το κομμάτι της πραγματικότητας, αλλα μου φαίνεται, πως η κοπελιά, το όνομά σου, η Μαρία λοιπόν βάζει αυτό το πολύ σημαντικό θέμα, αν αφήσουμε για λίγο το θέμα της λογικής, τι συνιστά πραγματικότητα. το οποίο προφανώς είναι ένα θέμα που δέχεται διαφορετικές απαντήσεις από έναν αρχαίο Έλληνα, διαφορετικές από κάποιον που ζει στον μεσαίωνα, διαφορετικές από κάποιον που ζει στην εποχή μας και αν πας ακόμα και τώρα σε διαφορετικές φυλές, τι συνειστά πραγματικό, τι συνειστά μη πραγματικό, είναι ένας παράγματος που παίζει πάρα πολύ διαφορετικά. Αυτή η απέτηση της καθαρότητας, ότι έχουμε κάποιους κανόνες που είναι παγκοσμίως αποδεκτοί και με βάση αυτούς τους κανόνες που είναι κανόνες της λογικής πλησιάζουμε την πραγματικότητα και τη μελετάμε, έχει όντως βάση ή είναι παρατραβημένο, αφού είναι γερμανική απέτηση κυρίως. Υπάρχει περίπτωση να μελετάμε διαφορετικές όψεις της πραγματικότητας και κάθε φορά να μας βγαίνουν διαφορετικοί κανόνες, δηλαδή εγώ σας είπα ότι σας δίνω αυτό το σύστημα και σας χάρισα τους κανόνες της επαγωγής 1, 2, 3, 4. Υπάρχει περίπτωση ένας άλλος αναφερόμενος στην ίδια πραγματικότητα που ζούμε όλοι στην ίδια φύση και μας προσφέρει ένα σύνολο από άλλους κανόνες λογικής. Και να μας πει, κοίταξε, σε βολεύει αυτό είναι καλύτερο για σένα και πάρε αυτούς εδώ. Και μπαίνει τότε και το ερώτημα, συγγνώμη, πόσες λογικές εγώ θα έχω και τι να τις κάνω τις λογικές. Θα είναι σαν εκείνα και τα παιχνίδια που παίζουμε, ας πούμε, και κάνουμε διάφορα μαγικά κόλπα. Και τελικά το σοβαρό που πίστευε ο Χίλμπερτ είναι κάτι που δικό μας, έχουμε μια καρνταρόμπα και βγάζουμε ένα κουστούμι και λέμε αυτό είναι το πιο καλό λογικό κουστούμι που βγήκε πριν από λίγο, μόλις το αγόρασα. Φορές έτω σου πάει και το φοράμε στην πραγματικότητα. Και πάλι μπαίνει ξανά το ερώτημα τι είναι πραγματικό, το οποίο υποθέτω για να το απαντήσει κάποιος, θα πρέπει να βγει έξω από την πραγματικότητα και να πει να το, αυτό είναι πραγματικό. Έξω από όλες αυτά τα πράγματα που συνιστούν, που είναι μέσα οι αισθήσεις, η καθαρή νόηση, η λογική κτλ. Και ο καθένας πάει και ποντάρει στη δική του μετοχή. Ο ένας λέει ξέρεις έχω βάλει και τα λεφτά μου στην ιστορία αισθήσεις, ο άλλος λέει ποντάρω τα λεφτά μου σε μια ιστορία που έχει να κάνει με λογική, με πράξεις, με computing. Τι να κάνουμε, να μείνουμε απ' έξω και να δούμε ποιος θα κερδίσει το match, υπάρχει καμιά δική σας διέστηση, προέστηση, λογική απόδειξη ακόμα καλύτερα. Να συμφωνήσουμε ότι δεν υπάρχει η εύκολη απάντηση. Απλώς να σας θυμίσω ότι όλοι αυτοί που ασχολήθηκαν με τη λογική και πίστεψαν αποκλειστικά στη λογική ότι στο τέλος τρελάθηκα. Που σημαίνει πως η λογική, η απλή, η ατόφια καθαιρή λογική δεν είναι πάρα πολύ μακριά από την τρέλα. Και αναφέρομαι στον Κάντορ, στο Μπράουερ και τον Κέντελ που θα δούμε σε λίγο. Άρα αυτή η απόλυτη καθαρότητα κάπου κάπου κάπου κάνει ζημιά. Σε κάθε περίπτωση πάντως αν μείνουμε ξανά λοιπόν και στο Μπράουερ, έλεγε πως η λογική δεν προηγείται των μαθηματικών αλλά έπεται. Άρα λοιπόν θεωρεί πως η λογική είναι κλάδος των μαθηματικών. Απλώς έχουμε γεωμετρία το ένα και το άλλο και ανάμεσα σε όλους τους κλάδους υπάρχει και η λογική. Σε άλλους μαθηματικούς η λογική θα ήταν στην κορυφή πάνω πάνω. Θα ήταν λοιπόν η βασίλισσα των μαθηματικών επιστημών και από κάτω ακολουθούν οι άλλες επιστήμες της μαθηματικής σκέψης. Πίστευε πάρα πολύ στους φυσικούς αριθμούς και δεν είχε καμία εμπιστοσύνη σε όλες αυτές τις ιστορίες με το άπειρο. Όπου δεν έχουμε κατασκευαστικές, περατοκρατικές αποδείξεις. Για αυτό ένα υπόδειξ σημαίνει αρχίζω, κάνω αυτό και αυτό και αυτό, τέλειωσα και το κάνω μπροστά σας. Αυτή η ιστορία ότι αρχίζω και πάπειρον και κτλ δεν είχε νόημα και αυτό λοιπόν δεν πίστευε καθόλου στις αποδείξεις του Κάντων. Και δεν συμπαθούσε καθόλου την αρχή του αποκλειόμενου τρίτου που είναι η βασική αρχή της αριστοτελικής λογικής. Ή κάτι είναι αληθές ή είναι ψευδές. Αν δεν είναι αληθές θα είναι ψευδές. Λοιπόν δεν το δεχόταν αυτό ο Μπράουερ. Άρα για να σας θυμίσω ότι πρόκειται για ένα παιχνίδι που παίχτηκε κάπου ανάμεσα τέλει του 19ου αιώνα, αρχές του 20ου αιώνα και όπου είδαμε την πιο μεγάλη έντονη σύγκρουση ανάμεσα στους μαθηματικούς τους ίδιους. Και αυτό θα κορυφωθεί, αυτή η σύγκρουση και η ένταση, το 1931. Όπου αυτό που κουβεντιάζουμε ξανά, ξανά και ξανά δεν ήρθε σε μια απάντηση απ' έξω. Μια φιλοσοφική πρόταση, μια θεολογική αποκάλυψη. Ήρθε μέσα από τα σπλάχνα της ίδιας της λογικής, όπου μέσα από την ίδια τη λογική ο Γκέντελ, ένα τρομερό θεόριμα που είναι λοιπόν από τις πιο σημαντικές σελίδες της μαθηματικής σκέψης, έδειξε τα όρια της λογικής. Εκείνο που έδειξε ήταν πως η λογική η ίδια μπορεί να περιέχει αντιφάσεις, αντινομίες. Και λοιπόν, εκείνη η ιστορία της καθαρότητας και της επιτυχίας της καθαρής μαθηματικής και τυπωπημένης σκέψης, που ήταν το όνειρο του Χίλμπερτ, δεν μπορούσε να υποστηριχθεί. Αλλά με κάνα τρόπο δεν θέλω τώρα, για να αρχίσω ο Γκέντελ, θα ήθελα να αρχίσω και να το τελειώσω, γιατί είναι μια συνεχτική απόδειξη και δεν θέλω για να σπάσει σε δύο κομμάτια. Πιο πολύ θα ήθελα να σας ρωτήσω αυτή η περιπέτεια του Κάντορ, η ιστορία και του Χίλμπερτ. Ο Νεαρός, ο Τέρλες, άμα μας παραπέμπουν κάπου, αν δείχνουμε κάποια προσπάθεια, ποιο είναι το νόημα της προσπάθειας. Δεν ξέρω αν βλέπετε εσείς την όλη συγκυρία. Πάρα πολύ συχνά όταν κάτι γίνεται, έχει σημασία το πότε γίνεται. Δεν νομίζω η συγκυρία ότι είναι πάρα πολύ αθώα. Το 19ο αιώνα αρχές του 20ου είναι η εποχή των συγκρούσεων και είναι η εποχή που γεννιούνται πάρα πολλές ιδέες σε όλους τους κλάδους γνώσης και προφανώς και στα μαθηματικά. Αυτό βλέπετε εσείς. Αυτή είναι όλη την ιστορία. Το να ξεπεράσουμε τον εαυτό μας, για αυτό πρόκειται. Πώς τα πεπερασμένα όντα που είμαστε επιδιώκουμε για να μιλήσουμε για το άπειρο. Άγριο, παρατραβημένο. Μήπως κάποιος εκεί πάνω ψηλά μας βλέπει και μας ειρωνεύεται τι κάνουν αυτή η παλαβή. Μήπως είμαστε από χέρι κομμένοι, χαμένοι, γιατί ακριβώς όλα αυτά τα κάνουμε με βάση τις δικές μας δυνατότητες, διανευτικές, συναισθηματικές, με βάση ότι έχουμε στον εγκέφαλο αυτό που έχουμε. Μπορεί κάποιος να σκεφτεί τι θα σημαίνει το άπειρο για ένα άλλο environ που κινείται σε δύο διαστάσεις. Έχει μια άλλη πρόσβαση σε αυτό που λέμε διέσθηση. Μια μέλισσα για παράδειγμα. Μια αράχνη. Τι θα σημαίναν αυτές οι μαθηματικές προτάσεις. Θα μου πείτε ότι η μέλισσα δεν ξέρει από μαθηματικά. Άμα δείτε τις κατασκευές της Κυρήθρας, μου φαίνεται πως θα τα παίξετε. Θα μου πείτε ότι κάνει συνεχώς το ίδιο. Ενώ εμείς συνεχώς βρίσκουμε και άλλα πράγματα. Εσείς πώς βλέπετε την όλη προσπάθεια της διεκδίκησης του απειρού από τη μαθηματική σκέψη και πώς κρίνεται τα χρόνια αυτά, τα σχετικά πρόσβατα, όλη αυτή η ιστορία του Κάντορ και του Χίλμπερτ. Είναι καταδικασμένη, θεωρείτε ότι είναι ένα θετικό βήμα, ότι έχει λάθη, έχετε ακούσει κάτι γιατί για την αποτίμηση της όλης προσπάθειας του Κάντορ. Αυτό το δραστηριότητα του Κάντορ είναι ένας καλά βασμένος θηλυκός. Δεν χάνει με το κάποιο λάθος ή κάποιο κενό. Νομίζω ότι είναι και πολύ φιλιοσοφικά, αλλά δεν γνωρίζετε τι γίνεται. Αποδοχματικήθηκες και βάζεις στο κομμάτι ακόμα και η διεκδορά της αθειότητας. Ακόμα και αν αυτή η διαφορά ανάψει στο Άλεφ 1 και το Άλεφ 0 και το Άλεφ 1, γίνεται με κάποιες κανόνες παιχνιδιού που πιθανόν να μην είναι βάσιμοι. Να μην είναι βάσιμοι να στηρούν σε κανόνες λογικής που δεν τους ελέγχουμε και πιθανόν για να μην ισχύουν. Αν έχει δίκιο ο Μπράουερ ότι αυτό που λέμε εμείς ή οι λογικοί, το γράφουμε με κεφαλείο λάμδα, σχετίζεται με μια εμπειρία δικιά μας, μια διέση που λέμε ξανά και ξανά και ξανά και κάνουμε μια αφαίρεση. Και λέμε ότι οι κανόνες της λογικής είναι αυτή. Ότι αν αρχίσεις με μια απόδειξη και στο τέλος φτάσεις σε ένα λάθος συμπέρασμα, η πρώτη μου πρόταση πάνω είναι λάθος. Αυτός ο κανόνας της επαγωγής, της εισάδοπος επαγωγής, πιθανόν να μην ισχύει όταν φτάσουμε στην έννοια του απείρου. Με βοήθεια απόδειξη, με εισάδοπος επαγωγή, εάν εισάδοπος του κανόνες ημέρες, πιθανόν να μην ισχύει όταν φτάσουμε στην έννοια του απείρου. Εκείνη την ιστορία που καταλήγουμε και λέμε ότι το Άλευ 1 είναι 2 στην Άλευ 0, την καταλαβαίνουμε στην πράξη τι μπορεί να σημαίνει στα πλαίσια των μαθηματικών το 2 στην Άλευ 0. Δηλαδή είναι άπειρο γινόμενο από διάρρυα, 2-2-2 πόσα διάρρυα, Άλευ 0. Όπως λέμε 2 στην 3η, 2 στην 5η, μετά πάμε και λέμε 2 στην Άλευ 0. Αυτό για εσάς είναι κάτι που ελέγχετε, το κατανοείτε, το αποδέχεστε, ορίσατε το κατεσενό γινόμενο, άρα παίρνετε άπειρα σύνολα, παίρνετε το 1 διάρρυα από το καθένα, 2 στην Άλευ 0. Επίσης, αν συγκεκριτώμε έναν σωλήμα που σε χαίρονται στο όπλο και εκείνη το σπάτη, δηλαδή αυτό είναι το Άλευ 0, το Άλευ 1, το Άλευ 0, τότε μπορούμε να φανταστούμε έναν σωλήμα που σε χαίρονται στο Άλευ 1, το Άλευ 1, το Άλευ 2, το Άλευ 3, μετά πάμε και λέμε 2 στην Άλευ 0. Δεν χρειάζεται να σταματάει κάτι. Συγγνώμη, γιατί όταν έχουμε ένα σωλήμα που περιλαμβάνει τον άλλο θα πάμε στο 2 στην Άλευ 0 και το γεγονός ότι μόλις μιλήσουμε για γκέντλ θα φτάσουμε σε ένα συμπέρασμα ότι δεν ελέγχουμε αν υπάρχει απειρία ανάμεσα στο Άλευ 0 και το Άλευ 1. Δεν σας ενοχλεί ότι μπήκαμε σε χωράφια που δεν ελέγχουμε, ότι πιθανόν για να πατάμε κάπου και να μη ξέρουμε από κάτω το υπέδαφος τι είναι, το θεμέλειο ποιο είναι, αν όλα ήταν κανονισμένα και καθαρά, δεν έπρεπε κάποιος να μιλήσει από εδώ πάω εκεί και ενδιάμεσα δεν συναντώ τίποτα ή ενδιάμεσα συναντώ κάτι και αν υπάρχει κάτι είναι αυτό εδώ. Αυτή η πρόταση ότι δεν ξέρουμε αν υπάρχει κάτι ανάμεσα στο Άλευ 0 και το Άλευ 1 είναι μη αποκρίσιμη η πρόταση βάζει αφιβολίες για το όλο εγχείρημα. Άρα προτιμάς τον καθηγητή Χίλμπερτ που ήθελε να αποκαθάρει τα μαθηματικά σχόλια... Όχι Λίμπερτ, έφευγε η μαγελή ρήξη στον κόμμα του μαθηματικού. Ποσδήποτε. Όταν έφευγε ότι πολλά αποδείγματα ανήκει δεν είναι αποδείξη. Ουσιαστικά είναι πως το δικαίωμα του μαθηματικού πρέπει να αποδείξουμε τα πράγματα από αδερφού. Μας. Παρ' όλα αυτά συμφωνώ στο ότι δεν θα ξεχωρίσουμε την μαθηματική ενεργατήρου, η οποία για μας είναι πλήρως φατομερτή και την κοινωνιστική ενεργατήρου, αυτόν τον ποιητικό άνθρωπο, είδε μέσα από τη θεολογία είδε μέσα από την απειλότητα του σύστατος, από πάντα την ύπαρξη του Θεού, πάντα την ύπαρξη του σύστατος, από πάντα, όταν αυτό όλα είναι τελειώνει και δεν αρχίσει ποτέ. Ναι. Ενδιαφέρον. Το άλλο βήμα όμως που μετά από το Άλευ 1 πάμε στο Άλευ 2, θεωρείς ότι είναι κάτι που μπορούμε να συνεχίσουμε ή κάπου θα έπρεπε να μπει ένας κάποιος φραγμός ότι αυτό το πράγμα από το Άλευ 1 πάμε στο Άλευ 2, μαθηματικά, το σύνολο και τον υποσυνόλων. Εντάξει λέγεται εύκολα, αλλά στην πράξη το τι μπορεί να σημαίνει αυτό, ώστε να έχεις και το κουράγιο και να γυρίσεις και να πεις στον άλλο, μετά από το Άλευ 1 δεν πάμε ένα ταξίδι στο Άλευ 2 και μετά στο Άλευ 3. Δηλαδή αρχίζει το πράγμα και αγριεύει, δεν τρομάζεις κάπου. Αν ας σκεφτούμε πως όλοι τρελάθηκαν στο τέλος, είναι συζητήσιμο. Ναι, γιατί ήταν άνθρωπος και το διάβασα πως ασχολείτομαι η φιλοσοφία, η θεολογία, την κριτική λογοτεχνίας, άρα δεν ήταν καθαρός μαθηματικός. Ίσως γι' αυτό την πάτησε, ότι δεν ήταν καθαρός μαθηματικός. Αν ήταν καθαρός μαθηματικός θα επιβίωνε, θα έλεγε κοίταξε, έκανα ένα paper, το δημοσιεύει, περνάει από το reviewer και λέει τι με νοιάζει τώρα εσείς πως το ερμηνεύσετε για μένα. Δεν υπάρχει η ερμηνεία αυτών των απειρών, εγώ το βρήκα, τι σημαίνει αυτό, πάντε κόψτε το λαιμό σας. Μια ευαίσθηση που έλεγε αυτό με τα πάνω λογοτεχνικά, πως δεν αφορίζουν το φιλοσοφικό, το μοναδικό κλίμα, πως άνθρωπος δεν έχει χρόνος να λάβει ότι η μαθηματική λογοτεχνική είναι κάπως πέρα από τις ανθρώπινες, δηλαδή πως το μοναδικό κλίμα το ίδιο είναι αλλό πρακτικά. Πως δεν αφορίζουν το φιλοσοφικό για έναν μαθηματικό κλίμα. Ποιο νομίζω ότι η φιλοσοφία είναι πολύ πιο σύνδεκτη από τα μαθηματικά. Αντί πως τα μαθηματικά λέγονται κάθε εξόδου, δηλαδή έχουν μια βάση, μια αρχή. Μπορούμε να πέσουν κάποιες εξόδους στην φιλοσοφία αυτήν? Δευτυχώς όχι. Μα από πού αρχίζει να πέσουν άνθρωποι που μπορούν να καταλήξουν τη ζητά? Μπορεί να δεις ότι κάτι ζητάει από το νου. Μπορεί να ξεκινάει κάτι εξαιωματικά και όταν σου μιλούν με ένα πρόβλημα ξέρετε αυτό είναι το φάσος. Τι λύσεις και ποιο λύσεις. Αλλά νομίζω ότι δεν έχουν ξεκάθαρες. Σε κάποια στιγμή δεν. Μιακοί και ένα τέτοιο. Γιατί δεν μπορούμε να κατανοούμε μαθηματικά και να εξηγήσουμε αυτά που είναι η σχολεγία. Ή κοινωνικά χαραγωγές. Χάνουμε πολλές χαραγωγές με καρδιτές. Αλλά μετατύσσουμε και μεταρασμένον τον τρόπο κάτω από το οποίο είναι άκρη. Άντε κοιταΐσες σε κάποια στιγμή. Όχι. Ξεκινάω με ποιο στέλει βάση. Ή το μπορεί να υπάρξει αν στιγμή που είναι η σχολεγία ή να εξεξέπτει από το νου. Μπορεί να έχουν ξεκινήσει να πάρουν το ψύξι, να ξεκινήσουν να πάρουν το νεσονάκι και να στραξιώνουν και να ξεκινάω. Δεν θα μπορούν να ξεκινήσουν και να στραξιώνουν. Άρα λες ότι αν κάποιος πρέπει να ψάξει την οντολογική υπόσταση της μαθηματικής σκέψης, είναι το ανθρώπινο μυαλό το ίδιο και δεν είναι κάτι που όντως υπάρχει. Ότι μας το έδωσε και ο Θεός και βρίσκουμε... Υπάρχουν μερικοί λένε ότι βρίσκουμε έτσι τη σκέψη του Θεού. Ότι όλα αυτά και τα μαθηματικά πως προϋπάρχουνε, κατά τον πλάτωνα τουλάχιστον, και εμείς θα πρέπει να έχουμε το προνόμιο να ασχοληθούμε με αυτόν τον κόσμο των ιδεών και να βρούμε τις δομές, τις γεωμετρίες, που προϋπάρχουνε. Ή πιστεύεις ότι είναι η ανθρώπινη ευφυεία, η ανθρώπινη μαγιά, η οποία κατά κάποιο τρόπο τα κατασκευάζει και τα χαρίζει δώρο ο ένας τον άλλον. Πάει ο ένας στον μαθηματικό του λέει «δες την βρήκα» και το λέει σε ένα συνέδριο. Μεταξύ τους, αλλά είναι κομμάτι μιας μαθηματικής σκέψης, μιας μαθηματικής παραγωγής, όπως έχουμε τους μηλοπαραγωγούς, άλλος βγάζει πρωτοκάλια, έχουμε τους μαθηματικούς βγάζουν θεωρίες και θεωρήματα. Και λέει ο ένας «πράβο στον άλλονα» και το χαίρονται. Λοιπόν, αυτό που λέμε λογική ξανά, ξανά και ξανά και μαθηματικές θεωρίες τελικά, είναι κάτι που μας ανήκει όπως το μέλι ανήκει στη μέλισσα ή είναι κάτι που μάλλον δεν μπορείτε να συμφωνήσετε ότι έχει συνάθεια με τις αισθήσεις μας με τον κόσμο και… Δεν ξέρω… Δεν πιστεύω όμως, ή τουλάχιστον όταν έχουμε φτάσει στο σημείο να πούμε εδώ, ότι μπορούν να είναι ένα εργαλείο που θα εξηγήσουν την ανθρώπινη πίστη. Το νου, την ψυχή, τις συνδέσεις ανθρώπων. Νομίζω ότι αυτό είναι κάτι πολύ πιο δυναμικό και ούτε τη νοσοφιλότητα ανθρωπιακά τα θέα να δώσουν στον κόσμο. Που όπου λένε τα σχέσεις. Τα σχέσεις μεταξύ των ανθρώπων είναι ανθρωπιακά, είναι μυσικολικότητα. Δεν είναι ακόμα. Να είναι μυσικολικότητα. Και δίκαιο είναι αυτό. Αλλά και πάλι δεν συμβαίνει με πολλές φορές στιγμές. Κάποια νοσοφία ήταν πέρα με το κοντετό μου. Δεν έπαιρνε πολλές φορές σαν εμείς. Εντάξει, θα έπαιρνε πολλές φορές στους ουριασμούς. Θα έπαιρνε πολλές φορές στους ουριασμούς και θα έπαιρνε πολλές φορές στους ουριασμούς. Πρέπει να βάζουμε να υπόσχουμε στις γυριατόρες μας και στις ουριασμούς μας. Φυσικά υπάρχει. Η όλη συζήτηση που γίνεται εδώ είναι η απόδειξη πείρας πως υπάρχει ψυχή. Γιατί μιλάμε πάρα πολύ ψυχωμένα και φαίνεται ότι μας συγκινεί και συμμετέχουμε. Αν η κουβέντα ήταν πάρα πολύ τυπική τύπου Hilbert με επαγωγικά και τα λοιπά, θα σημαίνει ότι δεν έχουμε ψυχή. Ότι δεν συμφωνούμε και ο καθένας λέει το κοντό του και το μακρύ του, συγγνώμη. Σημαίνει πως υπάρχει κάτι που μας εμπνέει. Και το κουβεντιάζουμε. Αλλά το παρατάγεις πολύ και παίζεις και σε δύο ταμπλό μου φαίνεται. Και είναι η δική μας κατασκευή και αλλάει συνεχώς. Εγώ θα ήθελα να σε ρωτήσω αν υπήρχαν κάποιοι συνάδελφοι από την ιατρική σχολή και συμφωνούσα μαζί σου την ώρα που έκανες τις μαθηματικές σκέψεις. Για να βγάλεις, ας πούμε, έχεις με κάποια δουλειά στα μαθηματικά βγάζεις ένα κάποιο μαθηματικό θεώρημα και συμφωνούσες μαζί τους και υπέγραφες ένα κάποιο χαρτί να τους αφήσεις την ώρα που εσύ δουλεύεις να σου βάλουν στον εγκέφαλο τα ηλεκτρόδια τους και να καταγράφουν τη μαθηματική σου σκέψη από τη μια μεριά θα ήταν αυτό το αφυρημένο, γιατί μιλάμε για κάποιους κανόνες που δεν ξέρω πού έρχονται αλλά από την άλλη μεριά θα καταγραφόταν ένα ξεκάθαρο σήμα στα μηχανήματά τους ότι την ώρα που έκανες αυτή την απόδειξη υπήρχε το τάδι σήμα και κάποιος από αυτούς πιθανόν να μπει στον κόπο να ζοριστεί να προσπαθήσει να καταλάβει τι συνιστά μαθηματική σκέψη ποια κέντρα είναι αυτά που διεγείρονται και όταν σε έβλεπε για να λες φτάνω στο θεόρημα για να έβλεπε τι συνέβαινε εκείνη τη στιγμή που ξεμπλοκάρει το σήμα της μαθηματικής σκέψης και βρίσκεται στο θεόρημα οπότε από τη μια μεριά υπάρχει η υλικότητα, τροματική υλικότητα και από την άλλη μεριά υπάρχει αυτό το αφυρημένο αξίωμα επαϊκή κανόνες και λες αυτά τα δύο με κάποια στιγμή δεν πρέπει κάποιος να μπει στον κόπο να τα βάλει μαζί το αφυρημένο ή κανόνες παιχνιδιού που δεν ξέρουμε καν από πού προέρχονται δηλαδή την ώρα που εγώ παίζω σκάκι μου είπανε τους κανόνες και τους αποδέχομαι αλλά όταν κάνω μια κίνηση είναι κάτι που έχει να κάνει σχέση με την κίνηση αφορά εμένα το δικό μου εγκέφαλο, τη δική μου εμπειρία, τις δικές μου και τις αισθήσεις άρα από τη μια μεριά το χωρίζεις λες οι φιλόσοφοι είναι από εκεί, εμείς έχουμε μια άλλη γλώσσα και από την άλλη μεριά ζητάς την συνεχή την αλλαγή η αλλαγή όμως πρέπει να ενταχθεί και αυτή σε ένα παιχνίδι που έχει διάρκεια, έτσι δεν είναι μόλις εμένα μου μπήκα ένας διάρκειας το μυαλό μου θα πάει σε ιστορία είναι κάτι που εξελίσσεται και ιστορία σημαίνει χίλιδια παράγοντες τυχαίοι, κάτι συμβαίνει, πέφτει το μήλο πάνω στο κεφάλι του Νεύθωνα ή εκεί στον Αρχιμήδη πάνω κάτω στον κύκλο μπαίνει και ο Ρωμαίος και τον καθαρίζει άρα διεκδικείς και την καθαρότητά σου και την άλλη μεριά μια επαφή και μετά άλλα ρέγματα το οποίο δεν είναι κακό, απλώς εγώ θα ήθελα να είχα μια πιο σαφή εικόνα πως εσείς που είστε οι μαθηματικοί βλέπετε και το πρόβλημα δηλαδή από τη δική μας πλευρά που είμαστε φυσική δεν έχουμε τέτοιο άχος λέμε, χτυπάμε την πόρτα σας, μας δίνετε τα μαθηματικά τα εργαλείας σας ευχαριστούμε πάρα πολύ, τα παίρνουμε, τα βάζουμε στη φυσική κάνουμε μια θεωρία, ούτε και έχουμε άχος, αν έχουμε συμφωνία ανάμεσα θεωρία και πείραμα, το έχουμε κερδίσει το μάτς σταματάμε εκεί, εσείς όμως έχετε αυτό το πρόβλημα επιβεβαίωσης ότι αυτό το πράγμα είναι ότι πιο ευγενικό έχει βγάλει η ανθρώπινη σκέψη όχι προσωπικά, εν γένι, η μαθηματική σκέψη είναι η βασίλισσα και η κορονίδα της ανθρώπινης σκέψης μιλάμε για το άπειρο στο βαθμό που θέλεις να διασχίσεις τα σύνορα για να πας να κάνεις κάτι το οποίο ξεφεύγει από την άμυση και την εμπειρία και το θέμα είναι πως θα πας να τσαλαμπουτίσαι κάτι όπου δεν ξέρεις αν υπάρχει ή όχι το ισχανός παιχνιδίο οπότε μπαίνει ξανά το θέμα πως θα το κάνεις την άλλη φορά θα μπούμε στον Γκέντελ όπου, όπως έχετε ακούσει ξανά και ξανά είναι από τις πιο σημαντικές δουλειές στα μαθηματικά του 20ου αιώνα όπου πια θα δούμε τα όρια της λογικής από το εσωτερικό της λογικής και αυτό θα γίνει την άλλη εβδομάδα. Άλευ 2. Είχα ένα πολύ καλό μου φίλο, θα λέω φίλο, φίλο, φίλο, συμφιντητής μου ήταν φυσικός αλλά έχει μια πολύ καλή παιδεία με μαθηματικά και όταν έγραφα τις σημειώσεις πήγαινα μέρα παρά μέρα και στο γραφείο του αυτή την ιστορία με τα Άλευ την έχω μάθει από την αδερφή μου όταν κάποια στιγμή το έκανα ακριβώς την ίδια ερώτηση γιατί το θέμα είναι το απλό το Άλευ 0 είναι η ακέραιη το Άλευ 1 είναι με τους πραγματικούς μου ανέφερε σαν Άλευ 2 μπορείς να φανταστείς τι γεωμετρικές καμπύλες αν πάρεις μόνο μια καμπύλη αυτή είναι το Άλευ 1, σωστά να φανταστείς λοιπόν τις άπειρες γεωμετρικές καμπύλες που δεν ενώνονται σε κάποιο σημείο άρα μία καμπύλη υπάρχει ένα κενό το Άλμα πηγαίνει σε μία άλλη καμπύλη μία άλλη καμπύλη ξανά το Άλμα πάει σε μία άλλη καμπύλη και αυτό να γίνεται για άπειρες φορές λοιπόν αυτές οι πολλαπλές οι ασυνέχειες όπου έχω αυτά τα Άλευ 1 ξανά και ξανά και ξανά και υπάρχει αυτή η ασυνέχεια μου είπε ότι συνιστούν μία απεικόνιση του Άλευ 2 δεν ξέρω αν κάνω λάθος ή όχι ή αν υπάρχει μία άλλη γεωμετρική απεικόνιση του Άλευ 2 ναι αν έχω μία κάποια καμπύλη δεν είναι το Άλευ 1 λοιπόν εάν φανταστείς τώρα ότι έχω μία κάποια καμπύλη σταματάκι υπάρχει ένα Άλμα μετά η ασυνέχεια και πάω σε μία άλλη καμπύλη αυτό θα φανεί σαν γινόμενο Άλευ 1 επί Άλευ 1 αν είναι μόνο 2 ένα θα το κάνω πάρα πάρα πολλές φορές ίσως αυτό να συνιστά άπειρες φορές ίσως το Άλευ 2 στο Άλευ 3 μου είπε τότε πριν από πάρα πολλά χρόνια όταν έρχομαι σε αυτές τις σημειώσεις πως δεν υπάρχει μία απεικόνιση στον χώρο που να παναδένει με κάτι που να μοιάζει με Άλευ 3 μπορώ να φανταστώ ότι τα γινόμενα του Άλευ 1 που γίνονται πάρα πολλές φορές θα δώσουν κάτι που μοιάζει με Άλευ 2 μου φαίνεται πως το βασικό είναι η ασυνέχεια της απεικόνισης ότι καθώς έχεις και την απεικόνιση θα τα πρέπει να σπάσει σε κομμάτια να υπάρχει η ασυνέχεια και συνεχώς για να βγαίνουν γινόμενα από Άλευ 1 με αυτό το τρόπο ότι το γινόμενο του Άλευ 1 δεν ξέρω πώς είναι οι ασυνέχειες αυτές να δώσουν κάτι στον Άλευ 2 Ρωτήστε ένα συνάδελφο από το μαθηματικό που ασχολείται με αυτό και όταν γυρίσετε να μας μεταφέρετε στους υπόλοιπους αν υπάρχει αυτή η απεικόνιση του Άλευ 2 Για το Άλευ 3 αφήστε το Ναι αλλά στη συμπράξη ρωτάει η κοπέλα δηλαδή αν μπορώ να φανταστώ μια γεωμετρική εικόνα προφανώς έτσι ανοίγουμε το Άλευ 2 το σύνολο των υποσυνόλων των πραγματικών αλλά αν έχω μια εικόνα στη μυαλό μου όντως βοηθάει Σας πρέπει να υπάρχουν κάποια βιβλία που να θέλετε σε αυτό, όχι? Στη βιβλιοθήκη σας για το Άλευ 2 κάντε μια βόλτα από εκεί και αν κάποιος από εσάς θέλει μια κάποια στιγμή να ξαναγυρίσουμε σε αυτή την περιπέτεια εφόσον προέρχεται από το μαθηματικό και τα θεωρία απλά και βατρά να μας τα πείσουν οι υπόλοιπους με παραδείγματα μπορούμε να τα ακούσουμε θα έχουμε χρόνο εμείς Αυτά λοιπόν, όταν λέμε την άλλη εβδομάδα για τον Κέντρο