Διάλεξη 2 / Διάλεξη 2 / Διάλεξη 2 - Γεώργιος Ζιούτας (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2013)
Διάλεξη 2: Σήμερα θα περάσουμε σε ένα άλλο κεφάλαιο στη δεσμευμένη πιθανότητα. Πριν προχωρήσαμε όμως στο καινούργιο κεφάλαιο, θα πούμε, θα επιθυμίσουμε μερικά πράγματα από το προηγούμενο. Είχαμε πει ότι σε ένα πείραμα τύχης όλα τα δυνατότητα του κεφάλαιου, ενδεχόμενα τα συμβολίζουμε με το σύνολο S, το οποίο ονομάζουμε δείγμα το χώρο και περιλαμβάνει όλα τα δυνατότητα ενδεχόμενα του πειράματος. Αν υποθέσουμε ότι υπάρχουν ενδεχόμενα σε ένα πείραμα τύχης, τότε μπορούμε να ορίσουμε και σαν γεγονότα, τα υποσύνολα του S. Κάθε υποσύνολο του S είναι γεγονός, το οποίο το συμβολίζουμε με κεφαλαία γράμματα α, β ή και λατινικά. Να επιθυμίσουμε ότι σε ένα πείραμα τύχης, όταν έχουμε ένα δειγματικό χώρο με ενδεχόμενα, με ένα αποτελέσματα, μπορούν να προκύψουν πολλά γεγονότα. Ένα γεγονός μπορεί να είναι το κενό, είναι υπό σύνολο του δειγματικού χώρου. Ένα άλλο γεγονός να έχει μέσα μόνο το δειγματοσυμείο S1. Ένα άλλο γεγονός να έχει το S1. Ένα άλλο γεγονός να έχει το S1. Ένα άλλο γεγονός να έχει το S1, S2 κτλ. Ένα άλλο γεγονός να είναι ο δειγματικός χώρος και να έχει όλα τα δυνατά ενδεχόμενα. Με λίγα λόγια, σε ένα δειγματικό χώρο, ο οποίος έχει εν ενδεχόμενα, ένα αποτελέσματα, μπορούν να προκύψουν πολλά υποσύνολα, μπορούν να προκύψουν πολλά γεγονότα, τα οποία είναι υπό σύνολα του δειγματικού χώρου. Το σύνολο όλων αυτών των γεγονότων, τα οποία μπορεί να προκύψουν από ένα δειγματικό χώρο με εν ενδεχόμενα, με ένα αποτελέσματα, ονομάζεται δυναμό σύνολο. Και περιλαμβάνει όλα τα δυνατά υποσύνολα, όλα τα δυνατά γεγονότα. Και ξεκινάμε από το κενό, όπως είπαμε. Μετά, ένα άλλο σύνολο να έχει το S1. Ένα άλλο να έχει το S1. Όλα τα δυνατά υποσύνολα. Και τέλος, ο ίδιος ο δειγματικός χώρος, να είναι και αυτός υποσύνολο του ή αυτού του. Άρα, αυτό απέρα το σύνολο που περιλαμβάνει όλα τα δυνατά γεγονότα, όλα τα δυνατά υποσύνολα, το ονομάζουμε δυναμό σύνολο. Και όταν, σε ένα πείραμα τύχης, έχουμε εν ενδεχόμενα, ένα αποτελέσματα, όλα τα δυνατά υποσύνολα, πόσα είναι. Μπορεί κάποιος να το υπολογίσει, μεθοδοτικά, με κάποιο κανόνα της συνδυαστικής, που θα αναφέρομαι αργότερα. Όλα τα δυνατά ενδεχόμενα είναι δύο ή συνέν. Τώρα να περάσουμε σε μία άλλη παράγραφο. Να αναφέρομαι κάποια πράγματα για τις αρχές απαρρύθμισης. Έχουμε πει ότι σε ένα πείραμα τύχης, μπορεί να έχουμε εν ενδεχόμενα, ένα αποτελέσματα. Πολλές φορές, στα πολλά πειράματα είναι σύνθετα και δεν είναι εύκολο να απαρρυθμίσουμε όλα τα δυνατά ενδεχόμενα. Για αυτό θα αναφέρομαι κάποιες βασικές αρχές από τη συνδυαστική, όπως η αρχή του γινωμένου, του καρτισιανού γινόμενο, είναι ένας κανόνας ο οποίος μας βοηθάει να απαρρυθμίσουμε όλα τα δυνατά ενδεχόμενα του πειράματρος. Άλλοι κανόνες είναι οι μεταθέσεις και συνδυασμοί. Βέβαια υπάρχουν πολλοί κανόνες στη συνδυαστική, αλλά δεν θα τους αναφέρομαι όλους. Θα αναφέρομαι τους βασικούς που χρειαζόμαστε. Πρώτα θα αναφέρομαι, όπως είπαμε, το καρτισιανό γινόμενο. Πότε χρησιμοποιούμε καρτισιανό γινόμενο. Εάν έχουμε ένα σύνθετο πείραμα και θέλουμε να βρούμε το δειγματικό χώρο του, αλλά το σύνθετο πείραμα αποτελείται από την εκτέληση απλούστερων πειραμάτων, τα οποία έχουν απλούστερους δειγματικούς χώρους, ας πούμε S1, S2, Sk. Αν ένα σύνθετο πείραμα, επαναλαμβάνω, έχει ένα δειγματικό χώρο S, για να το προσδιορίσουμε, γιατί έχει πολλά ενδεχόμενα, θα μπορούσαμε να πάρουμε το καρτισιανό γινόμενο των απλούστερων δειγματικών χώρων από τα απλούστερα πειράματα, από τα οποία προκύπτει το σύνθετο πείραμα ε, το οποίο έχει δειγματικό χώρο S. Στην περίπτωση αυτή θα μπορούσαμε να αναφέρομαι ένα παράδειγμα, όπως αν ρίξουμε ένα ζάρι και ένα νόμισμα, και παρατηρούμε τις ενδείξεις. Αν ρίξουμε λοιπόν ένα, ας πάρουμε ένα νόμισμα, ο δειγματικός χώρος είναι ότι μπορεί να έχει κεφαλή γράμμα. Το καρτισιανό γινόμενο, το ζάρι πόσα ενδεχόμενα έχει, το 1, 2, 3, 4, 5, 6. Άρα λοιπόν αν έχω ένα σύνθετο πείραμα, όπου ρίχνω ένα νόμισμα και παρατηρώ αν φέρει κεφαλή γράμμα, και μαζί ρίχνω και ένα ζάρι και παρατηρώ την ένδειξη του ζαριού. Όλα τα δυνατά ενδεχόμενα λοιπόν, του δειγματικού χώρου S, του σύνθετο πειράματος, είναι το καρτισιανό γινόμενο, των απλούστερων δειγματικών χώρων, των αντίστοιχων απλών πειραμάτων. Και από εδώ πέρα αν πάρουμε καρτισιανό γινόμενο, είναι όλα τα διαταγμένα ζεύγια που μπορούν να προκύψουν, δηλαδή κεφαλή 1, κεφαλή 2, μέχρι κεφαλή 6, ή γράμμα 1 μέχρι γράμμα 6. Όλα τα δυνατά ενδεχόμενα λοιπόν, είναι όλα τα δυνατά διαταγμένα ζεύγια που προκύπτουν από το καρτισιανό γινόμενο. Και μερικές φορές πρέπει να τα καταγράψουμε ποια είναι αυτά, άλλες φορές δεν χρειάζεται να τα καταγράψουμε. Μας ενδιαφέρει να δούμε πόσα είναι. Και εδώ πέρα είναι, όλα αυτά εδώ πέρα είναι 12, 2 έχει το πρώτο πείραμα, επί 6 που έχει το άλλο, όλα είναι 12. Άρα λοιπόν σε ένα σύνθετο πείραμα, όταν θέλουμε εμείς να απαριθμίσουμε πόσα είναι όλα τα δυνατά ενδεχόμενα, θα προπλασιάσουμε τον αριθμό δημοτοσυμίων του ενός δημοτοχώρου, επί τον αριθμό δημοτοσυμίων του άλλου δημοτοχώρου και ούτω κατεξής. Και γενικά προκύπτει ένας κανόνας, σε αυτήν εδώ την περίπτωση, όταν δηλαδή το σύνθετο πείραμα αποτελεί και από την εκτέλεση κάπα απλούστερων πειραμάτων και έχουμε κάπ αντιγματικούς χώρους, όλα τα δυνατά ενδεχόμενα του S, του σύνθετο πειράματος, θα είναι κάπα 1, αν υποθέσουμε ότι το πρώτο είναι μάλλον 1-1, επί 1-2, επί 1-κάπ. Όλα τα δυνατά ενδεχόμενα του σύνθετο πειράματος θα είναι 1-1, επί 1-2, επί 1-κάπ. Υπάρχουν 1-2, 1-3, όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί. Δεν μπορούμε να τα αποδείξουμε αυτό, αλλά λίγο αργότερα, ότι είναι 2-1. Αποδεικνύεται γιατί είναι 2-1, ορίστε. Εδώ πέρα είναι ενδεχόμενα, γιατί το πείραμα είναι ότι ρίχνω ένα νόμισμα και παρατηρώ τι φέρνει. Κεφαλή η γράμμα. Μετά ρίχνω ένα ζάρι και παρατηρώ τι φέρνει. Είναι δύο απλά πειράματα που εκτελούνται ταυτόχρονα. Και το σύνθετο πείραμα είναι η εκτέλεση δύο πλούστερων πειραμάτων. Το δύο στινή είπαμε είναι όλα τα δυνατά υποσύνολα του S, όταν έχει 1 ενδεχόμενο. Όλα τα δυνατά υποσύνολα, ανά 1, ανά 2, ανά 3, κτλ. Εσείς τώρα με βάση αυτή την αρχή θα μπορούσατε σε αυτούς που παίζουν προπό, να δουν όταν έχουμε 13 αγώνες κάθε Κυριακή, πόσες στήλες πρέπει να συμπληρώσει κανένας για να κερδίσει σίγουρα το προπό. Κάντε το, αν το βρείτε πηγαίνετε, συμπληρώσετε τόσες στήλες και σίγουρα θα κερδίσετε. Αλλά θα πληρώσετε πολλά λεφτά όμως, εντάξει, για να ξεκινθούν. Μετά έχουμε τις μεταθέσεις. Τις μεταθέσεις, αν έχουμε, είναι περμιουτέσουν οι μεταθέσεις, αν έχουμε το αβγ, έχουμε τρία αντικείμενα αβγ, με πόσες δυνατούς τρόπους μπορούμε να τα βάλουμε στη σειρά. Ένας τρόπος είναι, αυτός που έγραψα, μετά να αλλάξουμε τη σειρά β και γ, μετά να βάλουμε βαγγ, βγα, μετά το γ πρώτα βα και γαβ. Εδώ πέρα δηλαδή έχουμε όλη δυνατή τρόπη, είναι τρία παραγοντικό, είναι έξι, είναι έξι, ας μην βάλουμε τρία παραγοντικό, είναι έξι όλη δυνατή τρόπη. Αν έχουμε έν πράγματα, σημειώνουμε οι μεταθέσεις permutations έν πραγμάτων, ίσουτε με έν παραγοντικό. Αν έχουμε έν διαφορετικά πράγματα, με πόσες διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να τα βάλουμε στη σειρά. Αν έχουμε έν πράγματα μία σειρά, ένας τρόπος είναι αυτός. Μετά την πρώτη θέση μπορεί να την πάρει ένα από τα έν πράγματα. Την δεύτερη θέση μπορεί να την πάρει ένα από τα υπόλοιπα έν-ένα πράγματα. Και έτσι προκύπτει ότι αν έχω έν διαφορετικά πράγματα, με πόσες διαφορετικούς τρόπους μπορώ να τα βάλω στη σειρά, αποδεκρύεται ότι είναι έν επί έν-ένα και τα λοιπά επί ένα, το οποίο είναι έν παραγοντικό. Αυτή είναι η απόδειξή του πάνω σε αυτό το σκεπτικό. Ότι την πρώτη θέση μπορεί να την πάρει ένα από τα έν. Την δεύτερη θέση μπορεί να την πάρει ένα από τα έν-ένα που μείνανε. Και ο τουκαδηξής. Αυτή είναι η απόδειξή του. Και μετά έχουμε επίσης μεταθέσεις από έν πράγματα αν τα πάρουμε έναν κάπα. Αν από τα έν πράγματα πάρουμε τα κάπα και τα βάλουμε σε μια σειρά, με πόσες διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να το κάνουμε αυτό. Αυτό εδώ με το ίδιο σκεπτικό είναι έν-κάπα παραγοντικό. Δηλαδή είναι ένα επί δύο επί τρία επί έν-κάπα. Και επαναλαμβάνω έχουμε έν πράγματα και παίρνουμε μόνο κάπα από αυτά. Και τα βάζουμε σε μια σειρά. Λοιπόν, έχουμε πολλούς τρόπους να πάρουμε κάπα από τα έν. Μία φορά μπορούμε να πάρουμε τα πρώτα κάπα, μετά τα άλλα κάπα και ο τουκαδηξής. Υπάρχουν πολλές κοιάδες που μπορούμε να πάρουμε από τα έν πράγματα. Και κάθε κοιάδα μπορούμε να τη βάλουμε με διαφορετική σειρά. Με πόσες διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να το κάνουμε αυτό. Ο κανόνος γίνεται, συμβολίζεται σαν permutations έν πραγμάτων ανακάπα. Και είναι το έν μιον κάπα παραγωτικό. Το σκεπτικό είναι το ίδιο όπως και πριν. Δεν θα μείνω περισσότερο εδώ, γιατί ο σκοπός μου δεν είναι να διδάξω τις αρχές απαρίθμησης της συνδυαστικής. Απλώς να καταλήξω στους συνδυασμούς που είναι πολύ χρήσιμο. Όπως τα παραδείγματα ή ασκησούλες που κάνατε στο προηγούμενο μάθημα με τη συνεργάτη μου. Πάμε λοιπόν στους συνδυασμούς. Το οποίο συμβολίζουμε με combinations έν πραγμάτων ανακάπα. Δηλαδή μπορεί να έχουμε γενικά. Εδώ στους συνδυασμούς δεν μας ενδιαφέρει η σειρά με την οποία τοποθετούμε τα πράγματα. Δηλαδή έχουμε ένα πράγμα το α1, α2, α1 και από αυτά θα πάρουμε κ. Δεν μας ενδιαφέρει η σειρά με την οποία το παίρνουμε. Απλώς μας ενδιαφέρει από τα 1 πράγματα ποια κ πράγματα θα πάρουμε. Ενώ αν μας ενδιαφέρει η σειρά αυτός δεν θα ήταν ένας τρόπος, θα ήταν κ παραγωτική τρόπη. Δηλαδή τα κ πράγματα που παίρναμε αν μας ενδιαφέρει η σειρά θα μπορούσαμε να έχουμε εδώ πέρα κ παραγωτικό τρόπους. Βάζοντας τα σε κ παραγωτικό σειρές όπως εξηγήσεμε πριν. Αλλά λοιπόν δεν μας ενδιαφέρει η σειρά και θέλουμε να βρούμε έναν τύπο που να μας δίνει όταν έχω 1 πράγματα και παίρνω κ από αυτά με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ να το κάνω. Τελικά ο τύπος που προκύπτει εδώ πέρα είναι συνδυασμή 1 πραγμάτων το 1 παραγωτικό προς 1-κ παραγωτικό επί κ παραγωτικό. Εδώ όμως λίγο να διορθώσουμε. Εδώ είχαμε βάλει, γυρίστε λίγο πίσω, στο permutation σαν πραγμάτων 1κ ο τελικός τύπος δεν είναι 1-κ παραγωτικό. Το 1-κ παραγωτικό ήταν αν πάρω κ από αυτά με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ να το κάνω ήταν 1-κ παραγωτικό. Αλλά ο γενικός τύπος όμως, γιατί μπορώ να πάρω πολλές ομάδες των κ πραγμάτων από τα 1, ο γενικός τύπος είναι 1 παραγωτικό προς 1-κ παραγωτικό. Μπορείτε να ξεκινήσει γρήγορα σε τίες περιπτώσεις μπορούμε το τύπο μόλις να ψηθούμε. Το τύπο? Είναι τις περιπτώσεις όπου παίρνουμε από τα 1 διαφορετικά πράγματα, παίρνουμε κ από αυτά και τα βάζουμε σε κάποια σειρά. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ να το κάνω με αυτό. Υπάρχουν πολλές υποομάδες στον κάβα που μπορούμε να πάρουμε και κάθε υποομάδα που παίρνουμε μπορούμε να την βάλουμε σε κάθε παραγωτικό διαφορετικούς τρόπους. Τον προηγούμενο τύπο που ψήσετε πώς το κάνετε. Ποιο? Τον προηγούμενο τύπο που ψήσετε πώς το κάνετε. Τον προηγούμενο τύπο που πήρα με βοηθούσε για να υπολογίσω τις μεταθέσεις σε ένα πράγμα το 1-κ. Δηλαδή αν είχα 1-κ πράγματα με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ να τα βάλω. Με βάση περιπτώσει για να μην χρονοτριβούμε περισσότερο με αυτούς τους τύπους γιατί δεν πρέπει να τις χρησιμοποιήσουμε να τις αναλύσουμε περισσότερο. Απλώς θέλω να καταλάβετε ότι αν έχω 1 πράγματα με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ να τα βάλω σε σειρά όπως εξηγήσαμε είναι 1 παραγωτικό. Και τώρα αν εγώ απ' τα 1 πάρω κ πράγματα και τα βάζω σε μία σειρά με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ να το κάνω αυτό. Είναι το κ 1 παραγωτικό προ θ 1-κ παραγωτικό. Αυτά τα χρησιμοποιούμε για να αποδείξουμε τον τύπο στους συνδυασμούς που είναι πολύ χρήσιμος από εδώ και πέρα. Εδώ πέρα αυτός ο τύπος μέχρι εδώ, αυτό μέχρι εδώ μου δείχνει με πόσους διαφορετικούς τρόπους παίρνω απ' τα 1 τα κ όπως έχω γράψει εδώ πέρα. Επειδή όμως εδώ πέρα τα κ πράγματα που παίρνω δεν με ενδιαφέρει η σειρά που τα βάζω, για αυτό διαιρώ με κ παραγωτικό. Δηλαδή οι συνδυασμοί έχουν κ παραγωτικό λιγότερους τρόπους από ό,τι είχαν οι μεταθέσεις το 1-κ. Άρα λοιπόν καταλήγουμε σε αυτόν εδώ πέρα τον τύπο και μπορούμε να κάνουμε ένα παράδειγμα, διότι είναι πολύ χρήσιμος αυτός ο τύπος. Σε αφορά του π 1-κ και του 7-κ είναι ότι το πάνω του δηλαδή σημαίνει το τύπο. Ναι, γι' αυτό είναι ο ίδιος τύπος αλλά κ παραγωτικό λιγότερη τρόπη. Γιατί τα κ που παίρνεις εδώ πέρα μπορείς να τα βάλεις σε πολλές σειρές. Εκεί πέρα τα κ που παίρνεις δεν συνδυαφέρει η σειρά. Συνδυαφέρει μόνο ποια είναι. Για αυτό αυτός ο τύπος έχει κ παραγωτικό λιγότερος τρόπος. Εν πάση περίπτωση παιδιά δεν θα μείνουμε πολύ εδώ πέρα απλώς γράψαμε τον τύπο του συνδυασμού 1-κ που είναι πολύ χρήσιμος για να απαριθμίσουμε όλα τα δυνατά αντεχόμενα σε ένα πείραμα τύχης. Και ας κάνουμε ένα παράδειγμα για να δούμε πώς χρησιμοποιούμε τον τύπο αυτό. Σε ένα κυβότιο έχουμε 20 αντελλακτικά. Τα 15 είναι καλά και τα 5 είναι ελαττωματικά. Επιλέγουμε τρία από αυτά. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι και τα τρία καλά. Είναι ένα απλό παράδειγμα. Σε ένα κυβότιο έχουμε 20 αντελλακτικά. Τα 15 είναι καλά και τα 5 είναι ελαττωματικά. Επιλέγουμε τρία από αυτά χωρίς αντικατάσταση. Παίρνουμε τριχαία τρία από αυτά. Ποια είναι η πιθανότητα ότι και τα τρία είναι καλά. Η πιθανότητα του γεγονός του α, ας το ονομάσουμε α το γεγονός, είναι όλα τα δυνατά εντεχόμενα του α σύμφωνα με τη γλασική μέθοδο προς όλα τα δυνατά εντεχόμενα του πειράματος. Όταν εγώ επιλέγω από τα 20 επιλέγω τρία, όλες οι δυνατές τριάδες είναι συνδυασμοί των 20 ανά τρία. Και αυτός είναι ο πληθάριθμος του δηματικού χώρου. Το πείραμα είναι επαναλαμβάνω ότι επιλέγω τρία από τα 20. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ να το κάνω αυτό. Δεν με ενδιαφέρει η σειρά με την οποία παίρνω τα τρία ανταλλακτικά. Με ενδιαφέρει τι είναι, ποια είναι. Γιατί στη πιθανότητα του γεγονός τους που ζητώ με ενδιαφέρει ποια είναι τα ανταλλακτικά μου. Είναι καλά, δεν είναι. Δεν με ενδιαφέρει η σειρά τους. Άρα λοιπόν, όλοι οι δυνατοί τρόποι με τους οποίους μπορώ να πάρω από τα 20 και τα 3 είναι συνδυασμοί των 20 ανά τρία. Βέβαια αυτό εδώ είναι 20 παραγωτικό προς 20 μίον 3 παραγωτικό επί 3 παραγωτικό. Και μπορεί κανένας να κάνει απλοποίηση εδώ πέρα και να το υπολογίσει. Και βρίσκεται το 1. Τώρα, όλοι οι δυνατοί τρόποι, όλες οι δυνατές 30 όπου και τα 3 ανταλλακτικά είναι καλά είναι συνδυασμοί των 15 ανά τρία. Το οποίο ισούνται βέβαια 15 παραγωτικό προς 15 μίον 3 παραγωτικό επί 3 παραγωτικό. Είναι όλοι οι δυνατοί τρόποι του γεγονός α, ποιον το γεγονός α ότι και τα 3 ανταλλακτικά είναι καλά. Όλοι οι δυνατοί τρόποι όλες οι δυνατές 30 όπου και τα 3 είναι καλά είναι συνδυασμοί των 15 ανά τρία. Γιατί εδώ μέσα έχουμε 15 καλά. Όλες οι δυνατές 30 όπου και τα 3 είναι καλά είναι συνδυασμοί των 15 ανά τρία. Οι συνδυασμοί των 15 ανά τρία είναι όλες οι δυνατές 30 από τα 15 καλά. Σε αυτή την περίπτωση όλα τα καλά είναι το 1 είναι 15 τα k είναι το 3. Σε αυτή την περίπτωση το 1 είναι 20. Γιατί μας ενδεφέρον όλες οι δυνατές 30 ανεξάρτητα τι είναι. Το 1 εδώ είναι 20 το k εδώ είναι 3. Με αυτόν τον τρόπο λοιπόν χρησιμοποιούμε αυτόν τον κανόνα ο οποίος είναι πάρα πολύ χρήσιμος. Και στο εξής θα το χρησιμοποιήσουμε και στις άλλες ασχήσεις και προβλήματα που θα συναντήσουμε. Και τέλος να αναφερθούμε λίγο σε κάτι που δεν προλάβουμε να ροπηρώσουμε την προηγούμενη φορά. Είναι ότι σαν σε ένα δειγματικό χώρο έχουμε ένα δυναμοσύνελλο κτλ. Και έχουμε κάποια γεγονότα α, β, γ όπως είπαμε. Ποια είναι η πιθανότητα να συμβεί μόνο ένα από τα γεγονότα. Έχουμε αναφέρει όλους τους κανόνες αλλά προκύπτουν και άλλοι κανόνες στη συνέχεια για πιο σύνθετες περιπτώσεις. Αν θέλω να υπολογίσω την πιθανότητα να συμβεί μόνο το α και όχι το β και όχι το γ. Αυτό ισούται με την πιθανότητα του α διαφορά β το μ α διαφορά γ το μ α. Σε ένα δειγματικό χώρο έχουμε λοιπόν τρία γεγονότα α β γ. Ποια είναι η πιθανότητα να συμβεί μόνο το γ α. Με βάση τους προηγούμενους κανόνες που είκαμε αναφέρει. Μπορούμε για να υπολογίσουμε αυτήν την πιθανότητα. Δεν έχουμε μάθει προς το παρόν να υπολογίζουμε πιθανότητα με το μ. Δεν έχουμε αναφέρει κανέναν κανόνα για το μ. Αναφέραμε για διαφορά αναφέραμε για ένωση. Όχι όμως για το μ. Για το μ θα μιλήσουμε σε λίγο. Αλλά την πιθανότητα να συμβαίνει μόνο το γ α μπορούμε να την εκφράσουμε με διαφορετικό συμβολισμό της διαφοράς. Δηλαδή είναι το γ α εκτός από το μ β το μ α. Δηλαδή είναι το σύνολο που περιλαμβάνει τα δειγματοσημεία του α και όχι της τομής β η α και όχι της τομής γ η α. Δηλαδή θα πρέπει κανένας να εφαρμόσει εδώ πέρα την πιθανότητα της διαφοράς στους κανόνες και να καταλήξει, αφού κάνει απλοποίηση, να καταλήξει σε κάποιον κανόνα. Αλλά μπορεί όμως να τον βοηθήσει και το σχεδιάγραμμα β όπου έχει τα γεγονότα α β γ και θέλουμε την πιθανότητα να συμβαίνει μόνο το α δηλαδή θέλουμε αυτό πέρα το κομμάτι. Αυτό πέρα θα μπορούσε κανένα να πει ότι είναι η πιθανότητα του α μειώνει την πιθανότητα της τομής α το μ β μειώνει την πιθανότητα της τομής με το γ αλλά την πιθανότητα της τομής και των τριών την περιλαμβάνουμε μία φορά στην πιθανότητα του α την αφαιρέσαμε όμως δύο φορές γιατί περιλαμβάνεται η τομή και των τριών και εδώ και εδώ και εδώ την αφαιρέσαμε μία φορά και την αφαιρέσαμε δύο θέλαμε μία φορά να την αφαιρέσουμε άρα την προσθέτουμε μία φορά δηλαδή η πιθανότητα να συμβεί μόνο το α μπορούμε να εφαρμόσουμε την πιθανότητα της διαφοράς σύμφωνα με τον κανόνα που είχαμε πει στο προηγούμενο μάθημα ή μπορεί κάποιος να αν δεν μπορεί να το βγάλει με τον κανόνα το σημειάγραμμα α β θα τον βοηθήσει παίρνει την πιθανότητα του α αφαιρεί την πιθανότητα της τομής αφαιρεί την πιθανότητα της θυμής με το γ αλλά η τομή και των τριών την πήραμε μία φορά την αφαιρέσαμε δύο, θέλαμε μία φορά να την αφαιρέσουμε άρα την προσθέτουμε και μετά στη συνέχεια αν θέλει την πιθανότητα μόνο ένα από τα γεγονότα θα πρέπει να παραλάβει το ίδιο για το β και το γ και να προσθέσει αυτά τα αποτελέσματα και εκεί πέρα θα έχει την πιθανότητα να συμβαίνει μόνο ένα από τα α β γ εδώ υπολογίσαμε την πιθανότητα μόνο του α μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα μόνο του β και την πιθανότητα μόνο του γ με το ίδιο σκεπτικό και να μαζέψουμε να θρήσουμε αυτά τα αποτελέσματα και να καταλήγουμε σε κάποιον τύπο κλείνοντας θέλω να πω ότι αρκετές φορές μπορεί κάποιος να υπολογίσει την πιθανότητα με τη βοήθεια του σχηδιάγραμματος β ορίστε η τομή α γ είναι αυτή την οποίαν την αφαιρούμε και η τομή α όμως αφαιρείται δύο φορές έτσι άρα προσέπτουμε μία γιατί θέλουμε από την πιθανότητα α να αφαιρέσουμε την τομή των τριών μία φορά όχι δύο υπάρχουν διάφοροι τρόποι που μπορούμε να εκπράσουμε με άλλη γευρασυνόλων ένα γεγονός και αυτό είναι το πρόβλημα ένα γεγονός δεν υπάρχει μόνο μοναδικός τρόπος υπάρχουν διάφοροι τρόποι όλοι είναι καλοί με αυτό εδώ πέρα είναι πιθανότητα να συμβαίνει μόνο το α το έχουμε εκφράσει έτσι στο προηγούμενο μάδημα αλλά αυτό μπορούμε να το εκφράσουμε και με διαφορά δηλαδή η διαφορά αυτή λέει ένα σύνολο το οποίο προελαμβάνει στοιχεία του α αλλά όχι της τομής αβ και εδώ πέρα σε αυτό το σύνολο αφαιρούμε και τα στοιχεία που υπάρχουν στην τομή ΓαΑ και μην είναι δηλαδή μόνο αυτό το κομμάτι όχι γιατί πρέπει να θυμηθείς τον ορισμό της διαφοράς η διαφορά τι είναι αυτή η διαφορά ότι είναι ένα σύνολο που περιλαμβάνει στοιχεία του α όχι της τομής και όχι της τομής και μετά σε αυτό το σύνολο έχουμε διαφορά αυτό το σύνολο δηλαδή είναι ένα σύνολο το οποίο περιλαμβάνει στοιχεία αυτού του συνολου και όχι αυτής της τομής αν θυμηθείτε λίγο τον ορισμό της διαφοράς θα καταλάβω σε βάση περιπτώση δεν θα προχωρήσουμε έδωσα μια κατεύθυνση τώρα από το σκεπτικό μου ποιο είναι τα προβλήματα που θα συναντήσουμε σε αυτό εξάμενο δεν θα είναι τόσο έτσι σύνθετα σαν και αυτά αλλά εγώ πρέπει να πω ποιο είναι το σκεπτικό μου με το οποίο προχωρώ χτίζοντας φτιάχνοντας κανόνες για να εκτιμήσω μια πιθανότητα τώρα σκοπός μου ήταν να προχωρήσω και στην δεσμευμένη πιθανότητα θα αναφέρω μόνο τι είναι και θα τα πούμε την επόμενη ώρα περνάμε σε ένα άλλο κεφάλαιο όπως εξήγησα στην αρχή στη δεσμευμένη πιθανότητα η πιθανότητα του α μπορεί να είναι διάφορο του μηδέν το είναι του α και ένα άλλο γεγονός β η πιθανότητα του α είναι διάφορο του μηδέν η πιθανότητα του β είναι διάφορο του μηδέν έχουν κάποιες τιμές σε μία εκτέλεση του πειράματος έχω την πληροφορία ότι συμβαίνει το β ποια είναι η πιθανότητα να συμβαίνει και το α σε μία εκτέλεση του πειράματος γνωρίζω ότι συμβαίνει το β ποια είναι η πιθανότητα να συμβαίνει το α δεν υπάρχει είναι μηδέν δηλαδή η πιθανότητα του α με την πληροφορία αυτή η γραμμή κάθε σημαίνει με την πληροφορία ότι συμβαίνει το β στην ίδια εκτέλεση του πειράματος είναι μηδέν γιατί αν στην εκτέλεση το δεκόμενο το αποτέλεσμα είναι αυτό εδώ πέρα και συμβαίνει το β τότε αποκλείεται να συμβαίνει το α διότι αυτά είναι αξένα μεταξύ τους δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο που μας είχαν δεχτεί από πριν ότι είναι εξένα διότι είναι το μη ναι το σχέδιο έχουν συμβιάσει στον πέραστο του διάγραμμα β αυτό σημαίνει ότι το μή τους είναι το κοινό έτσι λοιπόν στις άλλες περιπτώσεις αν αυτό εδώ πέρα είναι το α και αυτό είναι το β αν δηλαδή το ένα είναι υπό σύνολο του άλλου είναι μέσα στο άλλο και η πιθανότητα του α δεδομένου ότι συμβαίνει το β είναι το ένα σε αυτή την περίπτωση η πιθανότητα του α δεδομένου ότι συμβαίνει το β ίσουτε με ένα δηλαδή η πιθανότητα του α σε αυτή την περίπτωση είναι μικρότερη της μονάδας δεν μπιάνει όλο το δηματικό χώρο με την πληροφορία όμως όταν συνεκτέλλει συμβαίνει το β επειδή το β βρίσκεται μέσα στο α σίγουρα συμβαίνει και το α άρα λοιπόν η πιθανότητα του α είναι ένα και θέλω εδώ πέρα να καταλήξω ότι όταν θέλω να απολογίσω την πιθανότητα ή οδήποτε γεγονότος εάν έχω κάποιες πληροφορίες αλλάζει η πιθανότητα του γεγονότος α ή β κτλ δηλαδή λαμβάνω υπόψη μου και την πληροφορία που έχω και αυτή η πιθανότητα που υπολογίζω με την πληροφορία ότι συμβαίνει κάποιο άλλο γεγονός ονομάζεται δεσμευμένη πιθανότητα και για αυτή τη δεσμευμένη πιθανότητα θα μιλήσουμε την επόμενη ώρα πως μπορούμε να την υπολογίσουμε όχι μόνο όταν συμβαίνει το β αλλά και όταν έχουμε διάδυποτε άλλη πληροφορία πως θα αλλάζει η πιθανότητα του γεγονότος α ή οδήποτε γεγονότος υπάρχουν απορίες ναι παιδιά να ακούσουμε μία απορία μόνο και τα λέμε μετά με την πληροφορία ότι συμβαίνει δεν είναι διέρηση η κάθε γραμμή συμβαίνει με την πληροφορία με την πληροφορία ότι συμβαίνει το γεγονός β στην εκτέλεση του πειράματος όχι σε μία εκτέλεση του πειράματος έχουμε την πληροφορία ότι συμβαίνει το β κι άλλη πιθανότητα να συμβαίνει και το α είναι κάθε γραμμή δεν σημαίνει διέρηση είναι ένα γιατί αν σε μία εκτέλεση του πειράματος το αποτέλεσμα είναι εδώ μέσα αυτό σημαίνει ότι συμβαίνει το β αλλά αυτό το σημείο ανήκει και στο α άρα συμβαίνει σίγουρα και το α θα κάνουμε ένα μικρό διάλειμμα και θα συνεχίσουμε την επόμενη ώρα διάλειμμα διάλειμμα λοιπόν παιδιά πριν περάσουμε στην δεσμευμένη πιθανότητα θα πρέπει από το δεύτερο κεφάλι του βιβλίου που αναφέραμε για τις βασικές αρχές και αυτά που είπαμε πριν να λύσετε όσο το δενατόν περισσότερες ασκήσεις και προβλήματα στο βιβλίο υπάρχουν λυμένες ασκήσεις λυμένα προβλήματα και άλλητα και ό,τι απορίες έχετε μπορείτε να με συμβολεύεστε στο γραφείο μου το οποίο είναι πρώτος όροφος στο κτήριο τοπογράφων πρώτος όροφος στο κτήριο τοπογράφων από το πρωί μέχρι το μεσημέρι ό,τι απορίες έχετε μπορείτε να με επισκέφτεστε και να τους συζητάμε δεν μπορείτε να προχωρήσετε παρακάτω εάν δεν καταλάβετε τις προηγούμενες έννοιες το μάθημα δεν είναι δύσκολο εάν το παρακολουθείτε εάν καταλαβαίνετε τις έννοιες και παρακαλώ να προσέρχετε στην ώρα σας λοιπόν το βιβλίο θα το δηλώσετε όπως συνήθως στον έδοξο και θα το πάρετε από το βιβλιοπωλείο αλλά μέχρι τότε θα πρέπει να παρακολουθείτε όμως και να κρατάτε σημείωση λοιπόν προχωράμε στην δεσμευμένη πιθανότητα ή υπό συνθήκη πιθανότητα θα πρέπει να παρακολουθείτε πως σκέφτομαι για να βγάλω έναν κανόνα για την υποστητική πιθανότητα σε ένα πείραμα τείχης γνωρίζω ότι το αποτέλεσμα βρίσκεται μέσα στο βήτα γνωρίζω δηλαδή ότι συμβαίνει το γεγονός βήτα σε μία τέληση του πειράματος ποια είναι η πιθανότητα να συμβαίνει και το γεγονός α δηλαδή σε ένα πείραμα τείχης το αποτέλεσμα βρίσκεται μέσα στο βήτα αλλά ποια είναι η πιθανότητα να βρίσκεται και στην τομή αβ διότι αν βρίσκεται και στην τομή αβ τότε προφανώς θα συμβαίνει και το α επαλαμβάνω σε μία τέληση του πειράματος γνωρίζω ότι συμβαίνει το γεγονός βήτα ποια είναι η πιθανότητα να συμβαίνει και το γεγονός α το ότι συμβαίνει το γεγονός βήτα αυτό σημαίνει ότι το αποτέλεσμα βρίσκεται μέσα στο χώρο μέσα στο σύνολο βήτα εγώ ζητώ την πιθανότητα το σημείο αυτό να βρίσκεται συγκεκριμένα και στην τομή διότι αν βρίσκεται και στην τομή αβ τότε συμβαίνει προφανώς και το α συμβαίνει και το βήτα και το α μαζί εάν δεν δίσκεται μέσα στην τομή και είναι στο χώρο του βήτα αφού συμβαίνει το βήτα είναι εκτός τομής τότε δεν συμβαίνει το α με λίγα λόγια ποιο είναι το σκεπτικό για να βρω έναν κανόνα για την πιθανότητα υπό συνθήκη ή για τη δεσμευμένη πιθανότητα που έχω γράψει εδώ πέρα το σκεπτικό είναι ότι αφού έχω την πληροφορία ότι σε μία εκτέλεση του πειράματος το αποτέλεσμα βρίσκεται μέσα στο χώρο του βήτα ο υπόλοιπος διγματικός χώρος δεν μου χρειάζεται ο υπόλοιπος διγματικός χώρος δεν μου χρειάζεται ότι το αποτέλεσμα βρίσκεται μέσα στο βήτα είναι σίγουρο και όπως λέμε έχουμε μία συρρήκνωση του διγματικού χώρου από S σε βήτα ο νέος μου διγματικός χώρος τώρα μπορεί να πει κανένας ότι είναι το βήτα δηλαδή το αποτέλεσμα είναι μέσα στο βήτα και με ενδιαφέρον όλα τα δυνατά ενδεχόμενα μέσα στο βήτα αυτό πέρα είναι η τομή αλφα βήτα αυτό το γεγονός εδώ πέρα το οποίο συμβολίζει αλφα τομή βήτα είναι αυτό το γεγονός και σύμφωνα με την κλασική μέθοδο αν έχω ένα διγματικό χώρο όπως λέμε βήτα που έχει όλα τα δυνατά ενδεχόμενα όλα τα δυνατά ενδεχόμενα το βήτα αν δηλαδή ο νέος μου διγματοχώρος είναι το βήτα για να υπολογίσω τη πιθανότητα της τομής αυτού του συνόλου σύμφωνα με την κλασική μέθοδο όπως μάθαμε είναι ο αριθμός διγματοσημείων αυτού του συνόλου που το συμβολίζω αλφα τομή βήτα προς τον αριθμό διγματοσημείων του διγματικού χώρου βήτα γιατί επαναλαμβάνω έχω συρρήκνωση του διγματικού χώρου από S στο βήτα γιατί όλα τα δυνατά ενδεχόμενα τώρα βρίσκονται εδώ αφού έχω την πληροφορία ότι το αποτέλεσμα του πειράματος βρίσκεται μέσα στο βήτα και για να υπολογίσω τη πιθανότητα να συμβαίνει το αλφα είναι όσα να υπολογίσω τη πιθανότητα να συμβεί το γεγονός αυτό σε ένα διγματικό χώρο βήτα σύμφωνα με την κλασική μέθοδο θα είναι ο αριθμός διγματοσημείων αυτού του γεγονότος προς όλα τα δυνατά ενδεχόμενα που είναι του βήτα σύμφωνα με την κλασική μέθοδο είναι αυτό το κλάσμα και αν διαιρέσω με τον ίδιο αριθμό το κλάσμα δεν αλλάζει αν το διαιρέσω με νες και αυτό με νες με τον αριθμό διγματοσημείων του ες στον αρισμητή τι έχω έχω σύμφωνα με την κλασική μέθοδο όπως είχα δώσει την πιθανότητα αλφα το μη βήτα και στον πανωμαστή έχω την πιθανότητα του βήτα Άρα λοιπόν βρήκα έναν κανόνα μετά από αυτό το σκεπτικό που ανέπτυξα ότι η πιθανότητα αλφα δεδομένου σε βήτα ίσουτε με την πιθανότητα αλφα το μη βήτα προς την πιθανότητα του βήτα και από εδώ μπορεί κάποιος να βγάλει αντίστροφα για το κανόνα της πιθανότητας της τομής ή μπορεί να γράφει και διαφορετικά μια άλλη σειρά π α επί π β δεδομένου συμβαίνει το α η σειρά με την οποία το γράφει κανένας είναι ανάλογα με τις πληροφορίες που έχει με αυτό το σκεπτικό λοιπόν έχω καταλήξει σε έναν κανόνα για την υποσυντήκη πιθανότητα έβγαλα έναν κανόνα και στη συνέχεια βγάζω και έναν κανόνα για την πιθανότητα της τομής εδώ πέρα αυτός ο τύπος καλά έκανες και το ρώτησες ότι στην περίπτωση που η πιθανότητα του βήτα είναι μηδέν δεν μπορείς να κάνεις διαρρήση δεν μπορείς να χρησιμοποιείς εννοείται ότι η πιθανότητα του βήτα είναι διάφορη του μηδέν σε όλες τις άλλες περιπτώσεις ισχύει ο τύπος ο γενικός τύπος είναι αυτός σε συνέχεια αν είναι υπό σύνολο μπορεί π α το μηδέν να είναι μηδέν μπορεί να είναι ένα μπορεί να είναι τίδήποτε θα το δούμε στα προβλήματα σε κάθε πρόβλημα μπορεί να διαφοροποιείτε λιγάκι αλλά αυτός είναι ο γενικός τύπος Όχι εμείς καταλήγουμε σε κάποιους κανόνες καλό είναι να παρακολουθείτε το σκεπτικό μου διότι έτσι σας βοηθάει να δείτε αν καταλαβαίνετε τις έννοιες οι αποδείξεις αυτές είναι εύκολες αλλά όποιος τις παρακολουθεί καταλαβαίνει δοκιμάζει τον εαυτό του αν καταλαβαίνει τις έννοιες επίσης τονίζω πάλι ότι στο μάθημα αυτό θα πρέπει να κάνετε όσο δυνατόν περισσότερες ασκήσεις να λύνετε να επαναλαμβάνετε από μόνη σας τα παραδείγματα που κάνω εγώ Λοιπόν ας προχωρήσουμε λίγο παρακάτω ας κάνουμε ένα παράδειγμα Σε ένα κτίριο έχουμε αστοχία στα θεμέλια το οποίο ονομάζουμε το γεγονός α την αστοχία σε ένα κτίριο το συμβολίζουμε το γεγονός α η αστοχία μπορεί να οφείλεται στο γεγονός τράψεις θεμελιών ή στο γεγονός καθίζιση εδάφους Σε ένα κτίριο λοιπόν λόγω της αστοχίας τα θεμέλια τα οποία μπορούν να προκληθεί απόθραύση των θεμελιών να μην αντέχουν τα θεμέλια ή απόκαθίζιση του εδάφους Έχω λοιπόν εδώ πέρα σε αυτό το παράδειγμα τρία γεγονότα α είναι ότι έχω αστοχία στο κτίριο θ είναι ότι έχω θράψεις στα θεμέλια και κάποτε έχω καθίζιση στο έδαφος το γεγονός α συμβαίνει η αστοχία συμβαίνει αν συμβεί τουλάχιστον ένα από τα γεγονότα θκ αν συμβεί τουλάχιστον ένα από αυτά έχουμε αστοχία στο κτίριο έχουμε την πληροφορία ότι η πιθανότητα της θράσης ισούται με 0,02 η πιθανότητα της καθίζισης ισούται με 0,01 επίσης η πιθανότητα της θράσης δεδομένου ότι έχουμε καθίζιση 0,08 έχουμε λοιπόν τις εκείς πληροφορίες η πιθανότητα να έχουμε θράση στο θεμελείο είναι 2% η πιθανότητα να έχουμε καθίζιση είναι 1% η πιθανότητα να έχουμε θράση δεδομένου ότι έχουμε καθίζιση είναι 0,08 αυτή την πληροφορία μπορεί και να μην τη χρειάζουμε με βάση λοιπόν αυτά τα δεδομένα να υπολογίσω την πιθανότητα στοχίας του κτιρίου με βάση αυτά τα δεδομένα η πιθανότητα στοχίας του κτιρίου είναι η πιθανότητα καθίζισης, είναι η πιθανότητα θράσης είναι η πιθανότητα της ένωσης και αυτός είναι ο κανόνας της πιθανότητας της ένωσης επί την πιθανότητα του θ τομή κ και έχουμε εδώ πέρα η κ είναι 0,01 συν 0,02 μίον την πιθανότητα της τομής πως θα υπολογίσω την πιθανότητα της τομής σύμφωνα με το κανόνα που είχα αναπτύξει πρέπει να πάρω την πιθανότητα του κ επί την πιθανότητα του θ δεδομένων συμβαίνει το κ τα παίρνουμε αυτή τη σειρά και όχι η πιθανότητα θ επί την πιθανότητα κ δεδομένων του θ διότι αυτές τις μηροφορίες έχω εδώ πέρα έχω την πιθανότητα του θ δεδομένων συμβαίνει το κ είναι 0,08 αυτή η πιθανότητα ότι συμβαίνει το κ είναι 0,01 και εδώ έχουμε αν κάνουμε πράξεις και τελικά αν κάνουμε πράξεις εδώ πέρα και δεν έχουμε καν και κανένα λάθος προφανώς θα πρέπει να βγαίνει μια μικρή πιθανότητα κοντά στο 2 με 3% αυτή είναι η πιθανότητα λοιπόν αστοχίας του κτυρίου υπάρχει και μια απορία η πιθανότητα της τομής θ το μ κ τα παίρνουμε εκείνη τη συγκεκριμένη σειρά την πιθανότητα της τομής τα παίρνουμε τη σειρά γιατί έχω την πιθανότητα του κ και έχω την πληροφορία πιθανότητα του θ όταν συμβαίνει το κ ορίστε δεν είναι διά κ αλλά είναι με την πληροφορία ότι συμβαίνει το κ η κάθος γραμμή δεν σημαίνει βιέρηση βιά σημαίνει με την πληροφορία η πιθανότητα του θ με την πληροφορία ότι συμβαίνει το κ αυτή η κάθος γραμμή σημαίνει με την πληροφορία ότι συμβαίνει η καθήγηση του εδάφους η πιθανότητα θράυσης είναι 8% λοιπόν ενδεχομένως να υπάρχουν και άλλες μικρές αφορίες έτσι είναι στην αρχή για όποιον ασχολείται με τις πιθανότητες μπορούμε στο διάλειμμα όμως να συζητήσουμε περισσότερα τώρα ας δούμε μία άλλη ερώτηση σε αυτό το παράδειγμα αν υποθέσουμε ότι έχουμε αστοχία στο κτίριο ποια η πιθανότητα να οφείλεται μόνο στη θράυση και όχι σε καθήγηση στο δεύτερο ερώτημα λοιπόν γνωρίζουμε ότι έχουμε αστοχία του κτιρίου ποια η πιθανότητα η αστοχία του να οφείλεται μόνο στη θράυση των θεμελιών και όχι σε καθήγηση να ευθύνεται μόνο η θράυση αυτό μπορούμε να το συμβολίσουμε ως εξής αστοχία σημαίνει ότι υπάρχει θράυση ή καθήγηση ή και τα δύο δουλεύουμε την πιθανότητα να έχουμε θράυση και όχι καθήγηση αυτό είναι υπό συντήκη η πιθανότητα σύμφωνα με τον κανόνα είναι η πιθανότητα της πληροφορίας η πιθανότητα θ1κ και στον αριθμητή είναι η πιθανότητα της τομής είναι η πιθανότητα θ μόνο θ δηλαδή τομή θ1κ και αυτό με τι ίσουτε στον αριθμητή έχουμε τα γεγονότα είναι αυτά εδώ πέρα το θ, το κ στον αριθμητή τι έχουμε εδώ πέρα έχουμε την τομή θ1κ η θ1κ είναι όλο αυτό που βλέπετε αν το τμήσω με το θ και όχι κ αν το τμήσω δηλαδή με το θ και όχι κ το μ που βλέπετε αυτή εδώ είναι αυτό εδώ δηλαδή έχω θ1κ αν το τμήσω με το θ και όχι κ δηλαδή αν το τμήσω με αυτό το κομμάτι παίρνω αυτό το κομμάτι η πιθανότητα αυτό του κομματιού είναι η πιθανότητα του θ διαφορά κ και έχω λοιπόν η πιθανότητα του θ μείνουν η πιθανότητα της διαφοράς της τομής κ προς π θ ενωση κ και αυτό με τη ίσοτε αυτό είναι πέθι δηλαδή το οποίο το γνωρίζω είναι 0,02 μείον την πιθανότητα της τομής θα το πάρω με τη σειρά που το είχα πάρει και πριν θα πάρω δηλαδή 0,1 επί 0,8 είναι η πιθανότητα να συμβαίνει το κ που είναι 0,01 επί την πιθανότητα να συμβαίνει εδώ πέρα είναι συγνώμη όχι κ έχουμε συγγνώμη για αυτή την παραδρομή επί 0,08 και από κάτω έχουμε την πιθανότητα κ ορίστε εδώ πέρα έχουμε την πιθανότητα να συμβαίνει το κ επί την πιθανότητα 0,01 επί 0,08 λοιπόν εάν υπάρχει κάποιο λάθος στις πράξεις μπορείτε να το διορθώσετε εμένα με ενδιαφέρει αν έχετε καταλάβει το σκεπτικό εδώ πέρα εδώ προσέξτε το γεγονός ότι έχουμε αστοχία το συμβολίζουμε αυτήν την αστοχία πιθανότητα η αστοχία να οφείλεται μόνο στη θράψη θεμελιών αυτό σημαίνει πια η πιθανότητα να έχουμε θράψη αλλά όχι καθίζεις γι' αυτό βάζουμε θίτα το μη όχι η καθίσεις το συμπληρωματικό της καθίσεις μπορούμε να βάλουμε την πιθανότητα του κάβα συμπληρωμανικού, της κάδης θίτα πριν δεν το διορθώ να βάλουμε εδώ πέρα κάβα συμπληρωμανικού εννοείς σε όλο το συμβολισμό όχι σε όλο, από τη δεύτερη πλευρά να βάλουμε θίτα κάβα συμπληρωματικό συμπληρωματικό δηλαδή από πάνω το άνθρωπο τέτοιο το πίθα μπορείς να φτιάξεις κάποια θέση μπορούμε αλλά να μην ασχοληθούμε με άλλους τρόπους διότι έτσι κάνουμε χρόνο θα έρθουμε στο διάλειμμα και θα το κάνουμε γιατί πρέπει να προχωρήσουμε παρακάτω υπάρχουν διάφοροι τρόποι που μπορεί να σκεφτεί κανένας μπορούμε να τους συζητήσουμε αυτούς εσείς αν έχετε απορία μόνο πάνω σε αυτά που λέω γιατί έτσι με εμποδίζετε για να προχωρήσει παρακάτω Γιατί λέει το πρόβλημα έστω ότι έχουμε αστοχία του κτιρίου πιάει η πιθανότητα να οφείλεται μόνο στη θράση του θεμελίου Λοιπόν, όχι είναι υπό συνθήκη η πληροφορία είναι μια πιθανότητα υπό συνθήκη πρέπει να εφαρμόσουμε τον κανόνα δεν ζητήσα την πιθανότητα να συμβεί μόνο θράση έχουμε την πληροφορία ότι έχουμε και αστοχία του κτιρίου έχουμε την πληροφορία ότι συμβαίνει σίγουρα το ένα από τα δύο είναι διαφορετική υπό συνθήκη η πιθανότητα είναι διαφορετική από την πιθανότητα χωρίς καμία άλλη πληροφορία παιδιά θα τα πούμε λίγο αργότερα υπάρχουν αρκετές απορίες για να μπορέσουμε να αναφέρουμε και τους άλλους κανόνες που σχετίζονται με τη δεσμευμένη πιθανότητα και δεν θα μας αφήσουμε να δούμε πως έχουμε το πλήκο να αυτοκτονήσουμε και να βάλουμε το δεσμεύμα να μας αφήσουμε να αφήσουμε να το δούμε και να δούμε πως έχουμε το δεσμευμα να μας αφήσουμε να το δούμε και να δούμε πως έχουμε το δεσμεύμα να μας αφήσουμε να το δούμε και να δούμε πως έχουμε το δεσμεύμα να μας αφήσουμε να το δούμε Παιδιά, είστε πολύ εκεί επίσης, παρακαλώ κάντε ησυχία για να ακούσετε την ερώτηση, ναι. Λέω το πρόβλημα έλεγε ότι δεν πρέπει σύνθετη πτυχία στο κτίριο. Έστω ότι καταραίει το κτίριο, να το πω κι αλλιώς. Έστω ότι πέφτει το κτίριο και θέλω με τη μυθανότητα να οφείλεται μόνο στη θράψη των θεμήλιων. Ναι, αλλά σίγουρα δεν πρέπει πτυχία στο κτίριο, δεν έχω άνθρωπο, δεν είναι ένα. Το πέτου. Δεν είναι ένα, θα πέφτει σίγουρα. Όχι. Στον τύπο αυτόν, στον παρονομαστή, έχουμε την πιθανότητα να συμβεί το άλφα. Πριν την εκτέληση του πειράματος. Όχι αφού συμβεί το άλφα. Σε όλα τα γεγονότα άμα συμβούνε, η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός δεν την εξετάζουμε όταν συμβεί και μετά. Την βλέπουμε πριν συμβεί. Λοιπόν, πάμε στον πολλοπλασιαστικό κανόνα. Μπορούμε να επεκτείνουμε την πιθανότητα της τομής σε περισσότερα γεγονότα. Πιθανότητα άλφα 1, τομή άλφα 2, τομή άλφα 1. Αυτός ο τύπος ισούται με την πιθανότητα του άλφα 1 επί την πιθανότητα του άλφα 2. Δεδομένως συμβαίνει το άλφα 1 επί την πιθανότητα τελικά του άλφα 1. Δεδομένως συμβαίνει το άλφα 1, τομή άλφα 1-1. Αυτός είναι ο πολλοπλασιαστικός κανόνας. Δηλαδή, είναι η πιθανότητα της τομής, όχι 2, αλλά 1 γεγονότα. Είναι η πιθανότητα του 1, επί την πιθανότητα του 2, δεδομένως συμβαίνει το 1. Επί την πιθανότητα του 3, δεδομένως συμβαίνει τα 2 προηγούμενα και ούτω κατεψής. Αυτό μπορεί να αποδεχθεί εύκολα. Είναι ο πολλοπλασιαστικός κανόνας, ο οποίος είναι πάρα πολύ χρήσιμος σε πολλά προβλήματα που θα λύσουμε. Και να δώσουμε ένα παράδειγμα. Πες το ότι ρίχνω ένα δάρι 6 φορές ή ρίχνω 6 ζάρια. Το πείραμε είναι ότι έχω 6 ζάρια, 6 ζαριές. Ποια είναι η πιθανότητα του γεγονότος Α να έχω 6 διαφορετικά νούμερα. Ποια είναι η πιθανότητα να αναφέρω 1, 2, 3, 4, 5, 6, είχε με διαφορετική σειρά. Αυτό μπορώ να το λύσω. Μπορώ να το λύσω εφαρμόνοντας το πολλοπλασιαστικό κανόνα. Αλλά πριν εφαρμόσω το πολλοπλασιαστικό κανόνα θα πρέπει να ορίσω κάποια γεγονότα. Α' είναι το γεγονός ότι στο πρώτο ζάρι η οδήποτε νούμερο. Α' είναι το γεγονός ότι στο πρώτο ζάρι η οδήποτε νούμερο. Α' είναι το γεγονός ότι στο πρώτο ζάρι έχω νούμερο διάφορο από τα προηγούμενα ζάρια. Και το Άι πάει από 2 μέχρι 6. Έτσι έχω ορίσει τα γεγονότα. Το γεγονός του οποίου ζητώ την πιθανότητα, ας το ονομάσουμε ένα γεγονός Α, το γεγονός Α λοιπόν συμφωνείται ότι είναι η τομή Α6. Εδώ έχουμε το Άι. Διορθώστε λίγο εδώ πέρα είναι Άι. Λοιπόν ορίσαμε τα γεγονότα Α1 και Άι. Το Άι πάει από Άι-1 από 2 μέχρι 6 και σημαίνει ότι στο Άι ζάρι έχουμε νούμερο διάφορο από το Άι-1. Αφού καταλάβαμε και διεθυπώσαμε ποια είναι τα γεγονότα, το γεγονός ότι σε 6 ζάριες θα έχουμε 6 διαφορετικά νούμερα συμβολίζεται με την άλγυβρα Α1, το μη Α2, το μη Α6. Δηλαδή στο πρώτο ζάρι να έχουμε ένα ή οδήποτε νούμερο. Και να συμβαίνει το Α2 δηλαδή στο δεύτερο ζάρι να έχουμε νούμερο διάφορο από το προηγούμενο και ούτω κατεξής. Άρα η πιθανότητα του Α ίσως με την πιθανότητα της τομής και σύμφωνο με τον προβλησιαστικό κανόνα είναι η πιθανότητα του Α1 επί την πιθανότητα του Α2, επί την πιθανότητα του Α1, επί την πιθανότητα του Α6, επί την πιθανότητα του Α1 όλα τα προηγούμενα που είναι αυτά εδώ πέρα. Η πιθανότητα του Α1 δηλαδή αν ρίξω το ζάρι να παίρνω ένα ή οδήποτε νούμερο, είναι το σίγουρο γεγονός. Είναι ένα. Η πιθανότητα τη δεύτερη φορά να φέρω νούμερο διάφορο από την προηγούμενη είναι 5 έκτα. Να έρθει νούμερο διάφορο από το προηγούμενο, ένα δηλαδή από τα υπόλοιπα πέντε. Και η πιθανότητα την τρίτη φορά να φέρω νούμερο διάφορο από το νούμερο που έφερα στην πρώτη και τη δεύτερη φορά με το ίδιο σκεπτικό είναι 4 έκτα, μετά είναι 3 έκτα, μετά είναι 2 έκτα, μετά είναι 1 έκτο. Και αυτό να το γράψουμε λίγο πιο μεθοδοδικά, θα είναι 6 παραγωτικό προς 6 ή στην έκτη. Γιατί είναι πέντε εδώ πέρα το 1, μπορεί κανένας να το γράψει. Έξι προς έξι. Και έτσι λοιπόν πιο μεθοδοδικά ο τύπος είναι αυτός. Κάποιος θα μπορούσε, αν θέλετε μπορείτε να το κάνετε για εξάσκηση, την ίδια πιθανότητα να την υπολογίσει με την κλασική μέθοδο. Να βρει δηλαδή, αν ρίξω ένα ζάρι 6 φορές ή 6 ζάρια, πόσα είναι όλα τα δυνατά ενδεχόμενα. Όπως είχαμε πει με το καρτισιανό γινόμενο, θα πάρει τη μία εξάδα του πρώτου ζαριού, επί την άλλη εξάδα, επί την άλλη εξάδα. Και έτσι θα πάρει το καρτισιανό γινόμενο και θα σηματίσει, αν θυμάστε, είναι έξι επί έξι, επί έξι, έξι ή στην έκτη δυνατές εξάδες. Στον αρισμητή, πόσες είναι όλες οι δυνατές εξάδες όπου έχουμε διαφορετικά νούμερα. Οι διαφορετικά νούμερα είναι τα έξι νούμερα με πόες διαφορετικές σειρές μπορούμε να τα βάλουμε. Που είναι το έξι παραγωτικό δηλαδή. Άρα λοιπόν μπορούμε να το λύσουμε και έτσι. Αλλά αυτός είναι ένα διαφορετικό στρόφος με βάση στη μεθοδολογία της άλγυβρας των γεγονότων που αναφτύσουμε εδώ πέρα. Και να προχωρήσουμε λίγο παρακάτω στην ολική πιθανότητα. Στο τρίτο κεφάλαιο για να κλείσουμε την πιθαναθειωρία. Τη μεθοδολογία με την οποία υπολογίζουμε την πιθανότητα η οποίποτε γεγονότος. Εκτός από τους κανόνες που έχουμε αναφέρει μέχρι τώρα, ένας κανόνας ο πιο χρήσιμος από όλους είναι η ολική πιθανότητα. Ίδη το θεώρημα της ολικής πιθανότητας. Ίσως θα το έχετε ακούσει κι άλλη φορά. Εδώ πέρα έχουμε μια μπιαμέρηση του δειγματικού χώρου από κάποια γεγονότα. Άρα αν ο δειγματικός χώρος χωρίζεται με κάποια γεγονότα τα οποία είναι ξένα μεταξύ τους και η Ένωση τους κάνει το δειγματικό χώρο, τότε λέμε ότι ακολουθεί το γεγονό των ΑΕΚ αποτελεί διαμέρηση του δειγματικού χώρου. Άρα λοιπόν έχουμε μια διαμέρηση του δειγματικού χώρου και έχουμε ένα γεγονός ε, που τείνει τη διαμέρηση. Τότε η πιθανότητα του γεγονότους ε μπορεί εύκολα να υπολογιστεί. Το ε όπως παρατηρείται είναι η Ένωση της τωμής με το ΑΕΚ, της τωμής με το ΑΔ, της τωμής με το ΑΚ κτλ. Το ε αποτελείται από τις τωμές με το ΑΕΚ. Και επειδή τα γεγονότα ΑΕΚ είναι ξένα, η ένωση αυτών των τωμών με το ε αυτές οι τωμές είναι ξένας μεταξύ τους όπως βλέπετε και στο σχήμα. Η ένωση αυτών των ξένων τωμών που κάνει το ε, η πιθανότητα του ε είναι η πιθανότητα της ένωσης αυτών των ξένων τωμών. Η πιθανότητα της ένωσης και των γεγονότων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων τους. Δηλαδή το π ε είναι η πιθανότητα της πρώτης τωμής ε τωμή ΑΕΚ συν πιθανότητα ε τωμή ΑΔ συν πιθανότητα ε τωμή ΑΚ. Και επειδή είπαμε αυτές οι τωμές μπορούμε να τις υπολογίσουμε γιατί μπορούμε να εφαρμόσουμε την πιθανότητα της τωμής η πιθανότητα της τωμής είναι η πιθανότητα ΑΕΚ συν πιθανότητα ε τωμή ΑΕΚ και ο δεξίς. Δηλαδή καταλήγουμε σε έναν κανόνα που είναι πάρα πολύ χρήσιμο. Έχουμε λοιπόν για την ολική πιθανότητα ότι η πιθανότητα του ε εισούνται με άθροισμα πιθανότητα του ΑΑΙ επί την πιθανότητα του ε δεδομένον του ΑΑΙ. Ά ίσον από 1 μέχρι κάπου. Καταλήγουμε λοιπόν σε ένα πολύ χρήσιμο κανόνα. Το κανόνα της ολικής πιθανότητας είναι το θεώρημα της ολικής πιθανότητας. Και στη συνέχεια μπορούμε να αναφέρομαι και σαν τελευταίο κανόνα το θεώρημα του Μπάγιας. Στο θεώρημα του Μπάγιας γνωρίζουμε ότι συμβαίνει το γεγονός έψιμος διαμέρισης και ζητάμε να συμβαίνει το γεγονός αΑΙ. Στο θεώρημα του Μπάγιας λοιπόν έχουμε μια υποσυντήκη πιθανότητα. Γνωρίζουμε ότι συμβαίνει το γεγονός ε που έχουμε εκεί πέρα. Το ε που τείνει τη διαμέριση. Είναι γνωστό τι συμβαίνει. Ποια είναι η πιθανότητα να προέρχεται από το αΑΙ γεγονός της διαμέρισης. Αυτό είναι υποσυντήκη πιθανότητα και μπορεί εύκολο να γραφεί στον παραμαστή πιθανότητα του ε και στην αριθμητή πιθανότητα της τομής αΑΙ το μη ε. Το ποιο ισούτε βέβαια με την πιθανότητα του αΑΙ. Το γράφω με τη σειρά που θέλω. Επιπέψιλον δεδομένο του αΑΙ. Προς πέψιλον. Αυτό είναι μια υποσυντήκη πιθανότητα και πότε θα χρησιμοποιώ το θεώρημα του Μπάιας. Όταν γνωρίζω ότι συμβαίνει το γεγονός ε και ζητώ την πιθανότητα να προέρχεται από το αΑΙ ή από το αΑΔ και τα λοιπά. Θα αναφέρω με ένα μικρό παράδειγμα. Σε μία αυτοκίνητοβιομηχανία το 60% των μηχανών προμηθεύονται από ένα εργοστάσιο Α. Το 40% των μηχανών το προμηθεύεται από ένα εργοστάσιο Β. Έχουμε την πληροφορία ότι η μηχανή είναι ελαττωματική όταν προέρχεται από το αεργοστάσιο. Είναι ελαττωματική κατά 1%. Η πιθανότητα να είναι ελαττωματική η μηχανή όταν προέρχεται από το β εργοστάσιο είναι το διπλάσιο. Σε μία αυτοκίνητοβιομηχανία το 60% των μηχανών το προμηθεύεται από ένα εργοστάσιο Α. Το 40% από ένα δεύτερο εργοστάσιο. Η πιθανότητα η μηχανή να είναι ελαττωματική όταν προέρχεται από το α είναι 1%. Δηλαδή οι 1% μηχανές από το α εργοστάσιο είναι ελαττωματικές. Ενώ 2% των μηχανών όταν προέρχονται από το β είναι ελαττωματικές. Εσείς αγοράζετε ένα αυτοκίνητο αυτής της μάρκας ποια είναι η πιθανότητα να έχει ελαττωματικό κινητήρα. Θα εφαρμόσω την ολική πιθανότητα για να το λύσω. Γιατί μπορεί ο κινητήρας που φοράει το αυτοκίνητό σας να προέρχεται ή από το α εργοστάσιο ή από το β, αλλά αυτό δεν το γνωρίζετε εσείς. Πρέπει να εκτιμήσουμε την πιθανότητα το αυτοκίνητό σας να φοράει ελαττωματικό κινητήρα. Είναι η πιθανότητα να φοράει ελαττωματικό εάν ο κινητήρας προέρχεται από το α. Συν την πιθανότητα να είναι ελαττωματικός όταν προέρχεται από το β. Σύμφωνα με την ολική πιθανότητα ισχύει αυτή η εξίσωση. Και εδώ πέρα έχουμε τώρα αυτό είναι 1% επί 0,60. Αυτό είναι 2% επί 0,40. Και έτσι υπολογίζουμε την πιθανότητα ο κινητήρας που το αυτοκίνητο που αγοράσατε από αυτή την μηχανή να έχει ελαττωματικό κινητήρα. Τώρα ας υποθέσουμε ότι πήρατε ένα αυτοκίνητο και έχει ελαττωματικό κινητήρα. Ποια είναι η πιθανότητα να προέρχεται από το δεύτερο εργοστάσιο. Η πιθανότητα θα είναι 2% ή παραπάνω. Ποια είναι η πιθανότητα να προέρχεται από το δεύτερο εργοστάσιο. Πήρατε ένα αυτοκίνητο από την αυτοκίνητο μηχανή και έχει ελαττωματικό κινητήρα. Ποια είναι η πιθανότητα ο κινητήρας αυτός να προέρχεται από το δεύτερο εργοστάσιο. Η πιθανότητα ο κινητήρας να προέρχεται από το δεύτερο εργοστάσιο είναι 40% χωρίς καμία άλλη πληροφορία. Το 5β είναι 40% χωρίς καμία άλλη πληροφορία. Εδώ θέλω να απολογίσω την πιθανότητα του β δεδομένου ότι ο κινητήρας είναι ελαττωματικός. Σύμβερα με το θεόριμα του Μπάγιες θα έχουμε την πιθανότητα του ευσυλον και στον αρχητήρα θα έχουμε πβ επί πε ευσυλον δεδομένου β. Εδώ πέρα αν κάναμε πράξεις το αποτέλεσμα εδώ πέρα είναι 0,06 χιλιοστά αυτό είναι 248 χιλιοστά. Μου κάνει 14 χιλιοστά αυτό. Άρα εδώ πέρα έχω 0,14 χιλιοστά. Στον αριθμητήρα έχουμε 8 χιλιοστά. Άρα η πιθανότητα αυτή είναι 8 προς 14. Άρα η πιθανότητα λοιπόν είναι 8 προς 14 ή 4 προς 7 δηλαδή είναι μεγαλύτερη από 40%. Με την πληροφορία λοιπόν ότι ο κινητήρας που φοράει αυτό το κινητό σας είναι ελαττωματικός η πιθανότητα να προέρχεται από το β εργοστάσιο είναι παραπάνω από 40%. Ενώ η πιθανότητα ο κινητήρας να προέρχεται από το β εργοστάσιο χωρίς καμία άλλη πληροφορία είναι 40%. Με λίγα λόγια αυτή είναι εκ των πρωτέρων πιθανότητα του β αυτή είναι εκ των ιστέρων δηλαδή αν έχουμε την πληροφορία ότι είναι ελαττωματικός. Λοιπόν η πρώτη άσκηση λέει έστω ότι έχω την πιθανότητα της Ένωσης α-β να είναι ίση με 0,7. Η πιθανότητα του ενδεχομένου α να είναι 0,4 και η πιθανότητα του β να είναι ίσο με το π. Το πρώτο ερώτημα λέει για ποια τιμή του π τα γεγονότα α και β είναι ανεξάρτητα. Εσείς τι μάθατε ότι για να είναι ανεξάρτητα τι πρέπει να ισχύει. Ότι η πιθανότητα της τομής πρέπει να είναι ίση με το γινόμενο τον πιθανοτή του. Τώρα το π του α δεν το είπατε πριν. Τα α και β για να είναι ανεξάρτητα γεγονότα θα πρέπει η πιθανότητα της τομής τους να είναι ίσο με το γινόμενο τον πιθανοτή των ξεχωριστά. Αυτός είναι ο ορισμός των ανεξάρτητων γεγονότων. Το μαθαίνετε σαν θεωρία. Λοιπόν αυτή είναι η θεωρία. Λέει ότι τα α και β για να είναι ανεξάρτητα θα πρέπει. Παιδιά κάντε σας παρακαλώ ησυχία δηλαδή το ρεζίλι μας να βγει και στην κάμερα. Ακούω. Δεν σε ακούω πιο δυνατά. Αυτό δεν είναι ανεξάρτητα γεγονότα, αυτό είναι εξένα γεγονότα. Εγώ λέω για τα ανεξάρτητα γεγονότα. Ωραία, σας το λέω τώρα, ανεξάρτητα γεγονότα είναι αυτά τα οποία όταν η πιθανότητα της τομής να είναι ίσο με το γινόμενο τον πιθανοτή των ξεχωριστά. Αυτός είναι ο ορισμός των ανεξάρτητων γεγονότων. Τα ανεξάρτητα γεγονότα. Το διάγραμμα βένει εδώ πέρα είναι της τομής, δεν μπορώ να το κάνω, απλά είναι αυτός ο ορισμός. Όταν έχω ανεξάρτητα γεγονότα θα πρέπει η πιθανότητα της τομής να είναι ίση με το γινόμενο τον πιθανοτή των ξεχωριστά. Άρα, μας δίνει εδώ πέρα πΑΕ β0.7 μας δίνει πΑΕ β0.4 και πΑΕ ίσον με πΑΕ και λέει να βρείτε την τιμή του πΑΕ ώστε τα α και β είναι ανεξάρτητα. Παίρνοντας τον ορισμό για να είναι αυτά ανεξάρτητα θα πρέπει η πιθανότητα της τομής να είναι ίση με το γινόμενο τον πιθανοτή των ξεχωριστά. Το πΑ μας λέει ότι είναι 0.4. Το πΑΕ ότι είναι ίσο μαζί με το π. Και τώρα την τομή αφού μας δίνει την ένωση εγώ μπορώ να κάνω αντικατάσταση από τον τύπο. Δηλαδή να πω ότι είναι πΑ συν πΑ μειών την ένωση αφού αυτό είναι γνωστό. Το πΑ το κάνω αντικατάσταση κανονικά 0.4. Το πΑ θα το βάλω π και την ένωση μας δίνει ότι είναι 0.7. Λοιπόν, τα κλασικά χωρίζω γνώσεις από αγνώστους. Οπότε, από το πΑ, αν αφαιρέσω 0.4 θα μου κάνει 0.6 και από εδώ θα έχω το 0.3. Διαιρώ με 0.6 θα προσπαθήσω. Άρα το πΑ η πιθανότητα είναι ίση με 1 δεύτερο. Επομένως, για να είναι ανεξάρτητα τα γεγονότα α και β θα πρέπει η τιμή του πΑ να είναι ίσο με 1 δεύτερο. Απλή εξίσως είναι. Λύνουμε ως πΑ. Αυτό είναι το πρώτο το ερώτημα. Μετά, το δεύτερο ερώτημα λέει για ποια τιμή του πΑ τα γεγονότα α και β είναι εξένα. Λοιπόν, ο ορισμός για να είναι εξένα τι θα πρέπει, η τομή να είναι ίση με το μηδέν. Τα α και β για να είναι εξένα θα πρέπει η τομή τους να είναι εξένα. Αυτή εδώ είναι η συνθήκη. Αυτό εδώ πέρα ήταν για να είναι εξάρτητα. Οπότε, παίρνω τη συνθήκη πΑ το μη β να είναι ίσο με το μηδέν. Κάνω την κατάσταση πάλι από τον τύπο πΑ συμπ β. Και λύνω πάλι ως προς πΑ. Το πΑ είναι ίσο με το μηδέν κομματέσσερα. Το πΑ το ψάχνω και το πΑ-Α είναι ίσο με μηδέν κομμαεφτά. Οπότε, λύνω ως προς πΑ και η πιθανότητα βγαίνει ίση με μηδέν κομματρία. Σε αυτή την περίπτωση τα α και β είναι εξένα. Γιατί το μη τους βγαίνει ίση με το μηδέν. Όταν λέτε εξένα τι εννοείτε? Ότι δεν έχουν κοινά στοιχεία. Δηλαδή, αν θέλω να τα κάνω σε διάγραμμα β, το α με το β είναι έτσι, δεν έχουν το μη. Γι' αυτό βάζω και το μη να είναι ίση με το μηδέν. Όχι, όχι. Αυτός είναι ορισμός το ανεξαρτώ. Ανοίξτε μέσα το βιβλίο. Το σχόλειό μου είναι αυτό. Ότι η πιθανότητα της τομής πρέπει να είναι ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων ξεχωριστά. Αυτός είναι ορισμός. Είμαστε ok με αυτήν α? Λοιπόν, πάμε στη δύο λέει. Ένα στόχος λέει αποτελείται από δύο τμήματα, ένα και δύο. Επομένως έχω εδώ πέρα ένα στόχο ένα και ένα στόχο δύο. Και λέει, οι αντίστοιχες πιθανότητες ευστοχίας είναι π1 και π2. Δηλαδή η πιθανότητα να πετύχω το στόχο 1 είναι ίση με π1 και η πιθανότητα να πετύχω το στόχο 2 είναι π2. Γίνεται μια βολή και δεν πετυχαίνω το στόχο 1. Να βρεθεί λέει η πιθανότητα να πληγεί το τμήμα 2. Λοιπόν, αφού έχω τους στόχους όταν θα ρίξω ή θα πέσει εδώ, ή θα πέσει εδώ, ή θα πέσει έξω. Τώρα κάνω κάποιες παραδοχές δηλαδή ας πούμε αν θα πέσει εδώ πέρα θα το κάνω παραδοχή ότι δεν υπάρχει τέτοια περίπτωση για να συνεχίσω. Ή θα είναι εδώ, ή θα είναι εδώ, ή θα είναι από εδώ έξω. Και λέει ρίχνω εγώ το στόχο και έστω ότι δεν πετυχαίνει το στόχο 1. Ποια είναι η πιθανότητα να πετύχω το στόχο 2. Αφού δεν πετυχαίνω το στόχο 1 ή το 2 θα έχω ή απέξω. Επομένως εγώ πρέπει να βρω ποια είναι η πιθανότητα να πετύχω το στόχο 2. Όπως καταλαβαίνουμε αυτό είναι δεσμευμένη πιθανότητα γιατί η παραδοχή που έκανα στην αρχή πια είναι ότι δεν πετυχαίνω το στόχο 1. Άρα έχω δέσμευση γνωρίζοντας ότι έριξα και δεν πετυχα το 1 ποια είναι η πιθανότητα να βγάλω το 2. Αυτό που θα κάνω πρώτα είναι να ονομάσω τα γεγονότα μου δηλαδή α να πετύχω το στόχο 1. Σαν β θα βάλω να πετύχω το στόχο 2. Για το καθένα από αυτά μας λέει ότι η πιθανότητα του α είναι ίση θεωρητικά με π1. Η πιθανότητα του β μου λέει θεωρητικά όχι θα είναι ίση με π2. Και ουσιαστικά μου λέει να βρω την πιθανότητα να πετύχω το στόχο 2 δηλαδή να συμβεί το β με την προϋπόθεση ότι δεν πετυχαίνω το α. Άρα θα πάει α συμπληρωματικό. Οπότε ποια είναι η πιθανότητα να πετύχω το στόχο 2 με την προϋπόθεση ότι δεν έχω πετύχει το στόχο 1. Αυτό είναι δεσμευμένη πιθανότητα και μάθατε προηγουμένως ότι αυτό είναι ίσο με την πιθανότητα β το μ συμπληρωματικό προς το π συμπληρωματικό. Τώρα αυτό το π β το μ α τόνος αν κάνω την ανάποδη δεσμευση θα είναι ίσο με το π του β επί π α τόνος το μ β ίσον με π του α τόνος. Δηλαδή όταν έχω δέσμευση όσο πως το α τόνος είναι π β το μ α προς π του α τόνος συμπληρωματικό. Αυτό εδώ πέρα η τομή μπορώ να κάνω την κατάσταση με την ανάποδη δέσμευση δηλαδή να έχω π του β π α τόνος επί β. Τώρα αυτό εδώ με τι είναι ίσο. Η πιθανότητα να πετύχω το β όπως είπαμε είναι ίση με π2. Άρα την βάζω. Η πιθανότητα να μην πετύχω το στόχο α από τη στιγμή που μας λέει ότι δεν έχω πετύχει το στόχο 1 άρα δεν πραγματοποιήθηκε είναι ίση με το 1. Άρα αυτό εδώ πέρα το συμπληρώνουμε 1 και η πιθανότητα να μην πετύχω το στόχο α αν το κάνω σαν συμπληρωματικά γεγονότα είναι 1 μοιον πε 1. Άρα αυτό που ψάχνω τελικά η πιθανότητα να πετύχω το στόχο 2 χωρίς να έχω πετύχει το 1 είναι π2 προς 1 μοιον π1. Πες μου λίγο πιο δυνατά. Κάντε λίγο ησυχία για να ακούσω. Γιατί είναι 1 γιατί στην εκφώνηση μας έλεγε ότι σε συγκεκριμένη βολή δεν πλήτεται το τμήμα 1 άρα εγώ το ξέρω. Άρα η πιθανότητα να μην πληγεί το τμήμα 1 ξέρω ότι είναι ίσο με το 1 γιατί μου λέει η εκφώνηση ότι δεν βρίσκω το στόχο 1 άρα το ξέρω και το βάζω ίσο με 1. Πες μου λίγο τα ενδεχόμενα. Α και β είναι ασυμβίβεστα. Άρα την ιδιωμία που λέει β είναι ασυμβιωματικό όσο να το πάρουμε κατευθείαν β. Να την βάλω ίση με πε β δηλαδή να την βάλω ίση με αυτό εδώ πέρα και γιατί να μην έχω τη δέσμευση. Αφού δουλεύω με δεσμευμένες πιθανότητες ο τύπος των δεσμευμένων πιθανότητων είναι να θέλω το β με την προϋπόθεση ότι δεν έχω το α επομένως πρέπει να το κάνω ανάλυση με τη δεσμευμένη πιθανότητα. Α δηλαδή εννοείς ότι είμαι σε ένα δειγματικό χώρο ω. Α είναι να πετύχω το στόχο α β είναι να πετύχω το στόχο β δεν γίνεται να πετύχω και τα δύο και έξω είναι να μην πετύχω τίποτα. Ωραία και μου λες δηλαδή να βάλω το β το μη α δηλαδή το β με το συμπληρωματικό του α το β είναι αυτό το συμπληρωματικό έξω να πάρω το β κατευθείαν. Υσχύει και αυτό μπορείς να το κάνεις κατευθείαν. Αφού ξέρουμε ότι δεν πετυχαίνω το 1 το π α δεν μπορείς να το κάνεις μη δεν απλά στη συγκεκριμένη βολή που έριξα δεν πετυχα το στόχο γενικά η πιθανότητα να πετύχω το στόχο σου λέει ότι είναι ίση με π 1. Απλά τώρα επειδή ξέρω μια προϋπόθεση ότι στη βολή που έριξα δεν το πετυχα γι'αυτό η δέσμευση έρχεται και μου βγαίνει ίση με 1. Πάμε να κάνουμε τώρα ένα πρόβλημα. Λοιπόν λέει άσκηση για την ανήψωση λέει ενός μεγάλου βάρος Ω. Πρόκειται να χρησιμοποιηθεί ένα χονδρό σχοινί Α. Στην περίπτωση που κοπεί το σχοινί λέει Α υπάρχει ένα εφεδρικό σχοινί Β το οποίο λέει θα συνεχίσει την ανήψωση του φορτίου Ω. Η πιθανότητα να κοπεί το σχοινί Α κατά την ανήψωση του φορτίου είναι 0,04. Στην περίπτωση αποτυχίας λέει του Α η πιθανότητα ανήψωσης του βάρους από το σχοινί Β είναι ίση με 0,8. Ποια είναι η πιθανότητα λέει να ανηψωθεί το φορτίο. Το πρώτο που θα κάνω είναι να ονοματίσω τα γεγονότα και μετά τις τιμές που μου έδωσε να τις περάσω με τις πιθανότητες. Δηλαδή αν Ά βάλω το γεγονός να σπάσει το σχοινί Ά. Μετά σαν Β να βάλω το ενδεχόμενο σπάει το σχοινί Β. Από τη στιγμή που μου ζητάει την πιθανότητα να ανηψωθεί το φορτίο επομένως θα βάλω ένα γεγονός Ά γίνεται η ανήψωση του φορτίου. Οπότε αν ήθελα το Ά το γεγονός να το εκφράσω σαν σύνολα Ά και Β. Πώς θα μπορούσα να το κάνω αυτό για να ανηψωθεί το φορτίο. Τι επιλογές υπάρχουν όχι πιθανότητα. Ή να μην σπάσει το σχοινί Ά. Ή να σπάσει το Ά αλλά ταυτόχρονα να μην σπάσει το Β. Άρα για να γίνει η ανήψωση του φορτίου θα πρέπει ή να μην σπάσει το Ά και να το σηκώσει το σχοινί Ά. Ή να σπάσει το Ά και μετά να μην σπάσει το Β. Οπότε αυτές οι δύο επιλογές υπάρχουν. Ή να μην σπάσει το Ά και να ανηψωθεί ή να σπάσει το Ά και να μην σπάσει το Β. Τότε είμαστε στην πρώτη περίπτωση. Βασικά δεν ενεργοποιείται το Β άμα δεν σπάσει το Ά. Δηλαδή δεν τραβάνε και τα δύο. Σε περίπτωση που σπάσει αυτό τότε ενεργοποιείται το Β και τραβάει. Επομένως δεν έχω να δουλεύουν και τα δύο ταυτόχρονος. Ή θα σηκώσει αυτό εδώ οπότε το Β δεν δουλεύει. Θα σπάσει αυτό και θα δουλέψει το Β. Έγινε. Ωραία. Άρα η πιθανότητα που ψάχνω είναι να βρω αυτήν εδώ. Η πιθανότητα του Ά. Εμείς αυτό είπαμε ότι είναι ίσο με. Ά συμπρογραμματικό ένωση. Ά το μη Β συμπρογραμματικό. Αυτά τα γεγονότα τώρα είναι μεταξύ τους ξένα. Αφού είναι ξένα μπορώ να τα σπάσω με τον απλό προσθετικό νόμο και να το γράψω. Π του Ά συμπρογραμματικού συν Π του Ά το μη Β συμπρογραμματικού. Τώρα αυτό εδώ πέρα μπορώ να το κάνω αντικατάσταση με τη δεσμευμένη πιθανότητα και να έχω Π του Ά συμπρογραμματικού να είναι Π του Ά επί Π του Β. Αυτό εδώ δηλαδή το έκανα αντικατάσταση από τον τύπο της δεσμευμένης πιθανότητας. Και τώρα σύμφωνα με τα δεδομένα μου έλεγε. Η πιθανότητα λέει να σπάσει το σχοινή 1 είναι 0,04. Άρα το να μην σπάσει θα είναι το Συμπρογραμματικό 0,96. Η πιθανότητα να σπάσει το Ά είπαμε ότι είναι 0,04 και η πιθανότητα λέει να μην σπάσει το Β ενώ έχει σπάσει το Ά είναι με 0,8. Αυτό μας το έλεγε πάλι στην εκφώνηση. Επομένως κάνοντας τις πράξεις αυτό το αποτέλεσμα βγαίνει 0,992. Μας έλεγε δηλαδή στην εκφώνηση ότι η πιθανότητα να σπάσει το Ά είναι με 0,04. Μας έλεγε ότι η πιθανότητα να ανιψωθεί από το Β ενώ έχει σπάσει το Ά είναι με 0,8. Αυτά ήταν τα δεδομένα της άσκησης. Σύμφωνα με αυτά εδώ χρησιμοποίησα τον τύπο της δεσμευμένης πιθανότητας έκανα αντικατάσταση και έβγαλα την πιθανότητα. Επομένως η πιθανότητα να ανιψωθεί τελικά το σώμα Ω είναι ίσο με 0,992. Αυτό ήταν το πρώτο ερώτημα. Το δεύτερο ερώτημα λέει αν ανιψωθεί το φορτίο τότε ποια είναι η πιθανότητα ότι κανένα σχοινί δεν έχει κοπεί. Αυτό εδώ ήταν το ερώτημα Ά. Να το είχα ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ. Αυτό εδώ και μετά τι θα κάνετε μετά από αυτό. ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ. Λοιπόν ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ είναι να σπάσει το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ. Η τομή τους ποια είναι να σπάσει και το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ και το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ. Εδώ πέρα που έχω βάλει να μην σπάσει το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ. Τι σχέση έχουν αυτά τα δύο. ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ είναι να σπάσει το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ και το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ και το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ. Εδώ πέρα που έχω βάλει να μην σπάσει το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ και το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ και το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ. Εδώ πέρα που έχω βάλει να μην σπάσει το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ και το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ και το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ. Εδώ πέρα που έχω βάλει να μην σπάσει το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ και το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ και το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ. Εδώ πέρα που έχω βάλει να μην σπάσει το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ και το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ και το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ. Εδώ πέρα που έχω βάλει να μην σπάσει το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ και το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ και το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ και το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ. Εδώ πέρα που έχω βάλει να μην σπάσει το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ και το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ και το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ. Εδώ πέρα που έχω βάλει να μην σπάσει το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ και το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ και το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ και το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ και το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ και το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ και το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ και το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ και το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ και το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ και το Ά Από την ανάποδη δέσμευση θα έχω μετά η πιθανότητα να μην κοπεί το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ επί την πιθανότητα να ανυψωθεί εάν δε κοπεί το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ προς το πε του R που είναι η πιθανότητα της ανύψωσης το να μην κοπεί το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ μας το έδινε στην αρχή ότι είναι ίσο με 0,96 αφού μας έδινε το να κοπεί ότι είναι 0,04 αυτά είναι συμπληρωματικά γεγονότα οπότε θα πάει 0,96 η πιθανότητα τώρα να γίνει ανύψωση χωρίς να κοπεί το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ εννοείται ότι είναι ίση με το 1 γιατί αφού δεν θα κοπεί το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ σημαίνει ότι θα ανυψωθεί άρα αυτ κάνοντας τις πράξεις βγάζετε το αποτέλεσμα ποια είναι η πιθανότητα να μην κοπεί το σχοινί με την προϋπόθεση ότι έχει ανυψωθεί το φορτίο πες μου θες πιο δυνατά το πέστο ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ δε θεωρούμε ότι θα ανυψωθεί δηλαδή μόνο από αυτό θα μπορούσε να κάνει το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ δηλαδή 0,96 δεν έχουμε προϋποθέσεις για άλλα το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ θα σπάσει ναι ναι αλλά λέει τώρα αν ανυψωθεί το φορτίο ποια είναι η πιθανότητα ότι κανένα σχοινί δεν έχει κοπεί δεν ψάχνω την πιθανότητα αυτό που λες εσύ το πέστο ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ ότι είναι με 0,96 είναι η πιθανότητα να μην κοπεί το σχοινί εγώ θέλω να βρω την πιθανότητα να μην κοπεί το σχοινί με την προϋπόθεση ότι έχει ανυψωθεί το φορτίο βάζω δέσμευση ακριβώς ακριβώς επομένως επειδή ψάχνω κάτι συγκεκριμένο δεν ψάχνω απλά την πιθανότητα να μην κοπεί το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ το να μην κοπεί το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ εντάξει είναι ίσο με 0,04 εγώ θέλω την πιθανότητα να μην κοπεί το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ αν γνωρίζω ότι έχει σηκωθεί το φορτίο εγώ θέλω την πιθανότητα να μην κοπεί το ΆΤΟΜΙΒΙΤΑ αν γνωρίζω ότι έχει σηκωθεί το φορτίο λοιπόν λέει η άσκηση δύο παρόμοιες μονάδες Α και Δ παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας τροφοδετούν λέει μια πόλη με ηλεκτρισμό η πιθανότητα βλάβεις για κάθε μονάδα είναι με 0,1 ενώ η πιθανότητα ταυτόχρονης βλάβεις και στις δύο μονάδες είναι 0,02 πρώτα λέει να εκφράσετε το γεγονός ότι μόνο μια μονάδα έχει βλάβει με συμβολισμό συνόλων και να υπολογίσετε την πιθανότητά του το πρώτο που θα κάνω είναι να συμβολίσω το γεγονότητα δηλαδή να πω σαν Α να έχω βλάβει στη μονάδα Α σαν Β να έχω βλάβει στη μονάδα Β και μετά σαν Ρ αυτό που μας ζητάει στο πρώτο ερώτημα είναι εκφράστε το γεγονός ότι μόνο μια μονάδα έχει βλάβει άρα σαν Ρ θα πω ότι έχω βλάβει μόνο σε μία μονάδα λοιπόν ποια ήταν τα δεδομένα της άσκησης μας έλεγε ότι η πιθανότητα να έχουν βλάβει και οι δύο είναι ίση με 0,1 άρα η πιθανότητα του Α είναι ίση με 0,1 να έχει βλάβει η μονάδα Α η πιθανότητα να έχει η μονάδα Β βλάβει είναι ίση με 0,1 και αυτή και οι δύο και η πιθανότητα λέει και οι δύο να έχουν βλάβει είναι ίση με 0,02 άρα το π α το μ β είναι ίση με 0,02 αυτά είναι τα δεδομένα της άσκησης και μας λέει τώρα να συμβολίσουμε με τα παραπάνω σύνολα καταρχήν το σύνολο ότι μονάδα έχει μία μονάδα έχει μόνο βλάβει επομένως για να το παραστείς αυτό πέρα σαν σύνολο για να έχει μία μονάδα βλάβει σημαίνει ότι ή θα είναι η Α ok δεν θα έχει βλάβει αλλά θα έχει βλάβει η Β άρα αν θα έχει βλάβει η Α σημαίνει ότι η Β δεν θα έχει βλάβει γι' αυτό θα βάλω συμπληρωματικό ή Α συμπληρωματικό δεν έχει βλάβει η Α αλλά έχει η Β με αυτόν τον τρόπο εκφράζω το γεγονός ότι έχω μία βλάβει σε αυτήν εδώ την περίπτωση έχει βλάβει η Α δεν έχει η Β άρα δουλεύει από την Β ή δεν έχει βλάβει η Α άρα δουλεύει η Α και δεν δουλεύει η Β ορίστε το μη θέλει προφανώς λοιπόν Α ναι άμα κάνεις διάγραμμα μετά σε αυτό εδώ πέρα προκύπτει ότι είναι Α-Β Β-Α ναι απλά θα με βοηθήσει αυτός ο συμβολισμός για να πω ότι δεν συμβείνει πιθανότητα γιατί έχω κάποιες υποθέσεις λοιπόν τώρα επομένως αφού ονόμασα τώρα το συνολό μου ότι είναι το Ρ θα πάω να το βρω η πιθανότητα του Ρ όπως είπε ο συναδελφός σας εδώ πέρα αυτό είναι το Α-Β και αυτό εδώ πέρα είναι το Β-Α αυτά εδώ πέρα είναι δύο ξένα άρα από τον απλό προσθετικό νόμο αυτό είναι ίσο με ΠΑΤΜΒ συμπληρωματικό συν ΠΑΤΜΒ συμπληρωματικό το καθένα από αυτά τώρα μπορώ να την καταστήσω από τον τύπο της εφαρμονής πιθανότητες δηλαδή το πρώτο να είναι ΠΑ με την πιθανότητα του Β τόνος Α συν ΠΒ επί την πιθανότητα Α τόνος το ΜΒ τώρα το ΠΑ και το ΠΒ τα ξέρουμε μας τα έδωσε η άσκηση πως θα βγάλω τώρα το Β συμπληρωματικό με τη δέσμευση του Α και το Α συμπληρωματικό με τη δέσμευση του Β κανονικά ισχύουν και εδώ πέρα οι τύποι του συμπληρωματικού δηλαδή το ΠΒ συμπληρωματικό με το Α θα είναι ίσο με 1 ΜΠ χωρίς δέσμευση Β του Α που αυτό εδώ είναι ίσο 1 ΜΑ το ΜΒ προς το ΠΑ δηλαδή για να βρω την πιθανότητα να μην έχει το βλάβει το Β επί την προϋπόθεση το Α να έχει βλάβει μπορεί να είναι ίσο με το ΜΑ από τα συμπληρωματικά ξέρουμε ότι όταν έχω ΠΑ τόνος είναι 1 ΜΠ το ίδιο σχετίζεται για τις δεσμευμένες πιθανότητες δηλαδή όταν έχω συμπληρωματικό είναι 1 ΜΠ το κανονικό από το Β να πάει στο Α μπορεί να έχουν και οι δύο μοναδες βλάβει οπότε δεν το ξέρω μου είπες να φύγει το Β και να πάει στο Α δεν μου λες δεν πάει στην τύχη λοιπόν δεν ξέρεις ότι το ΠΑ τόνος είναι ίσο με 1 ΜΠΑ αυτό κάνω επομένως όταν έχω ένα συμπληρωματικό είναι ίσο με το 1 ΜΠ χωρίς το συμπληρωματικό απλά η δέσμευση δεν επηρεάζεται το γεγονός επηρεάζεται επομένως από τον τύπο μετά τη δεσμευμένη πιθανότητας το Β με δέσμευση το Α από τον τύπο θα είναι ΠΑΤΜΙΒ προς ΠΑ τώρα η τωμή είναι ίση με 0,02 το ΠΑ είναι ίσο με 0,1 αν υπολογίσουμε αυτό εδώ βγαίνει το αποτέλεσμα 0,8 με ίδιο τρόπο μπορώ να πάω να βγάλω μετά το ΠΑ συμπληρωματικού με δέσμευση στο Β αυτό θα είναι 1 ΜΠΑΒ με την προϋπόθεση τώρα από κάτω θα έχω ΠΑΤΜΙΒ επομένως θα είναι 1 ΜΠΑΤΜΙΒ που είναι 0,02 και από κάτω θα βάλω 0,1 προφανώς επειδή το να έχει βλάβει το Ά και Β είναι ακριβώς ίδια με 0,1 το αποτέλεσμα θα βγει το ίδιο δηλαδή πάλι θα βγει 0,8 και τώρα αφού βρήκα και τις δύο πιθανότητες στα νούμερα απλά έρχομαι και κάνω εδώ αντικατάσταση και θα έχω ΠΑ θα είναι 0,1 επί 0,8 και το αποτέλεσμα βγαίνει 0,16 οπότε η πιθανότητα να έχει μία μόνο βλάβει να έχω βλάβει μόνο σε μία μονάδα θα είναι ίση με το 0,16 τώρα το δεύτερο ερώτημα δεν το προλαβαίνω γιατί θα κρατήσει πολύ θα το κάνω στο επόμενο