2.3 Τα περίφημα γεωμετρικά προβλήματα της αρχαιότητας / Ενότητα 2 ,#3 ,13/03/14 ( από αρχή εως 22,02 - Χαραλάμπους Χαρά (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Ενότητα 2 ,#3 ,13/03/14 ( από αρχή εως 22,02: Είχαμε αναφέρει τον Πλάτωνα την περασμένη φορά και τη Φιλοσοφία για τη Γεωμετρία και τα Μαθηματικά, έχουν μια ξεχωριστή θέση. Κατά τον Πλάτωνα είναι η τέλεια μορφή. Στον κόσμο των ιδεών τα μαθηματικά δικείμενα έχουν την τέλεια μορφή και ήθελα να το συνδέσω αυτό με το δήλιο πρόβλημα. Σύμφωνα λοιπόν με όλες τις πηγές που έχουμε, ο Χρισμούς δόθηκε στους δηλείους κατά τη διάρκεια λοιμού και λεγόταν ότι για να σταματήσει ο λοιμός θα πρέπει να κατασκευάσουν έναν κυβικό βωμό, ο οποίος να έχει όγκο, ο οποίος να έχει διπλάσιο μέγεθος από αυτόν που ήδη υπήρχε. Τι σημαίνει αυτό, σημαίνει ότι έχουμε έναν κύβο, να τον πάρω να έχει μονάδα, έχω έναν κύβο, έτσι ήταν κυβικός ο βωμός, να υποθέσω ότι αυτό έχει ακμή ένα, ο όγκος όλος είναι ένα, ένα στην τρίτη είναι ένα και θέλουμε να κατασκευάσουμε έναν άλλον βωμό, έτσι ο οποίος να έχει όγκο δύο, έτσι το έκανα παίρνοντας την ακμή ένα είναι η τελείως αναλογία αν πάρεις οποιοδήποτε άλλη ακμή έχεις ένα, θέλεις να κατασκευάσεις δύο, έτσι. Δηλαδή να το μεταφράσουμε πόσο θα πρέπει να είναι το μήκος αυτούν εδώ, θα πρέπει να είναι τρίτη ρίζα του δύο, έτσι, για να σου δώσει το δύο. Τι εννοούμε να κατασκευάσουμε, έτσι στην ελληνική σκέψη, στον τρόπο έτσι όπως είχε τέθηκε για τα μαθηματικά των ελλήνων, κατασκευή σήμαινε να το κατασκευάσει κανείς χρησιμοποιώντας κανόνα, δηλαδή έναν χάρεκα στον οποίον όμως δεν έχεις μετρήσει τις αποστάσεις, έτσι δεν είναι μετρημένα πάνω στο χάρεκα. Και διαβήτη. Και προφανώς ακόμη και να ήταν μετρημένα στον κανόνα ή στον χάρεκα, δεν θα μπορούσες να έχεις σημειώσει που είναι ακριβώς η τρίτη ρίζα του δύο, θα μπορούσες. Τρίτη ρίζα του δύο αν έχεις ξεκινήσει με τη μονάδα, η τρίτη ρίζα του δύο δεν θα εμφανίζεται ποτέ σαν κανέναν χάρεκα, έτσι γιατί η τρίτη ρίζα του δύο είναι, έτσι δεν γράφεται, δεν είναι ρητός αριθμός, έτσι στον χάρεκα αυτά που μπορείς να επικονίσεις είναι μόνο. Εντάξει, αγκαίρι, ρητή, το πολύ πολύ. Ο πλάτωνα αυτό δυσκόλεψε, δεν είναι εύκολο το πρόβλημα, έτσι για όσους ξέρετε λίγο παραπάνω ίσως να ξέρετε και την απάντηση, έτσι. Προσπάθησαν πολύ επίμονα να το λύσουν αυτό το πρόβλημα. Ο πλάτωνας μάλιστα υποδέθηκε το ανέθεση κατευθείαν στους καλύτερους μαθηματικούς που είχε στην Ακαδημία του, στους καλύτερους μαθηματικούς της εποχής του, έτσι. Το ένα όνομα το έχετε ακούσει, είναι ο Εύδοξος και στον Αχίδα και στον Μενέχμιο. Βρέθηκαν λύσεις, δεν τους πήρε πολύ για να βγουν λύσεις, αλλά λύσεις που δεν χρησιμοποιούσαν και άλλα πράγματα εκτός από αυτά που τους επέτρεπαν. Χρησιμοποιούσανε καμπύλες, πιάξανε κάποιες καμπύλες, έτσι, δεν χρησιμοποιούσανε κανόνα και διαβήτη. Και μάλιστα οτίθετε ότι ο πλάτωνας δεν ήταν πολύ ευχαριστημένος με αυτό, γιατί γι' αυτό το πρόβλημα αυτό τους έλεγε ότι θα πρέπει να ασχοληθούμε παραπάνω με την γεωμετρία και τα μαθηματικά. Δεν είναι το μόνο από τα περίφημα αρχαία προβλήματα που υπάρχει, έτσι, όταν λέμε αρχαία ελληνικά προβλήματα, εννοούμε εκτός από το δήλιο πρόβλημα άλλα δύο. Τα περίφημα, έχω πει η δίτυλη απάνω, άλλητα, άλλητα, έτσι, τα περίφημα γεωμετρικά προβλήματα της αρχαιότητας. Ποιο είναι το ένα είναι αυτό, το δήλιο, ο Χρησμός εκεί που λέει πως διπλασίασε τον κύβο. Το άλλο είναι να τετραγωνήσεις τον κύκλο, έτσι, τετραγωνήσω τον κύκλο, δηλαδή να κατασκευάσεις με κανόνικη διαβήτη ένα τετράγωνο που έχει εμβαδό πίσω με το εμβαδό δωθέντος κύκλο. Έτσι, θέλεις να κατασκευάσεις, ας πάρουμε αυτόν εδώ τον κύκλο, ο οποίος να έχει ακτίνα 1, θέλεις να κατασκευάσεις ένα τετράγωνο που να έχει όγκο, να έχει εμβαδό, όσο και το εμβαδό του κύκλου, να έχει εμβαδό πί, έτσι αυτό θέλεις να είναι το εμβαδό, άρα αυτό εδώ το θέλεις να είναι ρίζα του πί. Έτσι, να κατασκευάσεις ένα τετράγωνο, μια πλευρά που να έχει μήκος ρίζα πί και βέβαια να κατασκευάσεις και την κάθετη και όλα αυτά, να κατασκευάσεις ένα τέτοιο τετράγωνο. Και το τρίτο πρόβλημα που επίσης έτσι δυσκόλεψε πάρα πολύ και βέβαια βλέποντας το τίτλο της διαφάνειας καταλαβαίνουμε γιατί τους δυσκόλεψε, γιατί αυτά τα προβλήματα δεν έχουν λύση, δεν μπορούν να γίνουν, να πραγματοποιηθούν με κανόνα και διαβήτη. Το τρίτο λοιπόν έχει να κάνει με το πένις μια γωνία, οποιαδήποτε γωνία και την χωρίζεις στα τρία, τριχωτόμηση της γωνίας, αλλά τα μόνα εργαλεία που σου επιτρέπουν να χρησιμοποιήσεις πάλι είναι κανόνας και διαβήτης. Εντάξει, υπάρχουν πολλά πράγματα που μπορεί κανείς να κάνει με κανόνα και διαβήτη. Για να δούμε. Εντάξει, είδαμε ότι ο διπλασιασμός του κύβου έχει να κάνει με το να κατασκευάσουμε μια ακμή που να έχει μήκος τρίζα τρία. Το ρίζα δύο είναι κατασκευάσιμο με κανόνα και διαβήτη. Έτσι, για να το δούμε ότι το ρίζα δύο μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη. Έτσι, το κατασκευαστεί μέσα σε εισαγωγικά γιατί όταν το γράφει νό μόνο με κανόνα και διαβήτη. Εντάξει, νομίζω ότι καταρχήν να ξεκινήσουμε και από το πιο βασικό με κανόνα και διαβήτη μπορώ να κατασκευάσω ευθείες. Έτσι, λέω ξεκινάω εδώ, έχω τον κανόνα μου, βάζω το ένα σημείο με το διαβήτη, βάζω το άλλο το σημείο. Εντάξει, έχω αυτό εδώ το διάστημα. Να θεωρήσω ότι αυτό είναι το διάστημα ένα. Με αυτό εδώ μπορώ να κατασκευάσω όποιο πολλαπλάσιο του ένα θέλεις. Έτσι, με το βασικό αυτό ή με τη βασική αυτή απόσταση. Μπορώ επίσης να κατασκευάζω καθέτους με κανόνα και διαβήτη απλά παίζοντας. Έτσι, βασική γεωμετρία, βάζω εδώ το ένα σημείο, μετράω την απόσταση, παίρνω κάτι εδώ, παίρνω και τον αντίστοιχο κύκλο εδώ, φέρνω την δίχοτό μου. Το ευθύχρομο τμήμα μπορώ να φέρω καθέτους κάνοντάς το και από το αντίθετο σημείο, έτσι, φέρνω αυτήν εδώ την κάθετο, δίχοτομό, μπορώ να φέρω κάθετο, φέρνω καθέτους, όπου θέλω και από όπου θέλω. Δεν με προβληματίζει να φτιάχνω καθέτους ούτε τετράγωνα, γιατί από τη στιγμή που μετρήσω το ένα, φέρνω την κάθετο, μπορώ να φτιάξω τετράγωνα. Μπορώ επίσης να διχοτομίσω τις γωνίες μου. Δεν είναι δύσκολο να διχοτομίσω μια γωνία. Έτσι, παίρνουμε εδώ, βάζουμε εδώ πέρα, μαζί μου αυτή τη γωνία, βάζω εδώ το διαβήτημο, βρίσκω σημεία που να είναι, κάνω τον κύκλο, έτσι βρίσκω αυτά εδώ τα σημεία, μετά από εδώ φέρνω αντίστοιχους, μετράω, κάνω άλλους κύκλους, αυτό εδώ το σημείο θα με διχοτομίσει, τα ενώνω με τον κανόνα μου, διχοτομίει τη γωνία. Έτσι, πολλά πράγματα που μαθαίνει κανείς παίζοντας, βασική γεωμετρία, ίσως και στο δημοτικό, παίζοντας με αυτά, μαθαίνει τα βασικά σχήματα τα οποία κάνει. Και αυτό λοιπόν ήταν το παρακάτω βήμα, τους ζητούσα να δοκιμάσουν αυτά εδώ. Και σε αυτά έχουν γίνει αναφορές σε θεατρικά έργα της εποχής και στον Ευρυπίδη αναφέρονται και στον Αριστοφάνη αναφέρονται. Εδώ λέω ότι ο διπλασιασμός του κύβου αντιστοιχεί στην κατασκευή της τρίτης ρίζας του δύο, ενώ ο τετραγωνισμός αντιστοιχεί στην κατασκευή της τετραγωνικής ρίζας του π, γιατί με τριχοτόμηση της γωνίας θ, έτσι δεν είναι απόλυτα σωστό αυτό που γράφω, τριχοτόμηση γωνίας θ, έτσι εδώ θα διουρθωθεί, να το δούμε. Ξέρετε ότι έχω αυτήν εδώ τη γωνία και είναι η γωνία θ και έχω καταφέρει να την τριχοτομήσω και αυτό εδώ είναι το θ3. Αυτό εδώ το κομμάτι είναι ακριβώς αυτό που ψάχνουμε, το θ3. Δεν είναι δύσκολο να το δει κανείς αυτό. Παίρνεις το δεοβίδι σου, μετράς 1 εδώ πάνω, φαίνεις την κάθετο, αυτό εδώ το κομμάτι, αν αυτό εδώ είναι 1, έτσι αν υποτίνουσα είναι 1 του ορθού τριγόνου, αυτό εδώ το κομμάτι είναι το συνημείτονο του θ3. Άρα το να τριχοτομήσω και πάμε και αντίστροφα, αν μπορέσω και κατασκευάσω, αν ξέρω ποιο είναι το συνημείτονο θ3 μπορώ να κατασκευάσω τη γωνία πηγαίνοντας στον αντίστροφο. Μοναδιαίως κύκλος, βάζω αυτό εδώ στην μια διάμετρο, παίρνω, παίρνω την κάθετο, βλέπω που χτυπάει, έτσι μετράω το συνημείτονο θ3, βλέπω που χτυπάει επάνω και φτιάχνω ακριβώς τη γωνία την οποία ζητάω. Άρα το να κατασκευάσω γωνία θ3 να την τριχοτομήσω είναι το ίδιο, είναι ισοδύναμο με το να κατασκευάσω ένα ευθύγραμο τμήμα το οποίο να έχει μήκος συνημείτονο θ3. Αυτά πάνω κάτω είχαν τις αντίστοιχες έννοιες. Τώρα, όπως είπα πριν, οι Έλληνες βρήκαν και πολύ εξυπνές λύσεις για να τα λύσουν αυτά τα ζητήματα αλλά χρησιμοποίησαν άλλα εργαλεία. Ήδη ο Εύδοξος χρησιμοποίησε μια πολυονομική καμπύλη τετάρτου βαθμού. Δεν είχε πει ότι είναι πολυονομική καμπύλη τετάρτου βαθμού αλλά χρησιμοποίησε αυτό το σχήμα. Δεν της είχε αποδώσει την ιδιότητα της πολυονομικής καμπύλης και δεν είχε αποδώσει ότι είναι τετάρτου βαθμού όπως έχουν δουλέψει πάρα πολύ με καμπύλες, με έλικες και με όλα αυτά. Ο Αρχιμίδης χρησιμοποίησε την έλικα για να το τραγωνήσει στον κύκλο. Βρήκε χρησιμοποιώντας την έλικα που τέμνεται, βρήκε τα σημεία τα κατάλα, βρήκε πόσο θα πρέπει να είναι η ρίζα του π, χρησιμοποιώντας την έλικα. Ενώ ο ΥΠΙΑς χρησιμοποίησε μια άλλη καμπύλη, η οποία λέει εδώ, είναι μία αλγυβρική, αν έχετε κάνει λίγο παραπάνω άλγυβρα, μπορεί να έχετε δει κάποιες από αυτές τις έννοιες, να πω, το είπαμε και στην προηγούμενη διαφάνεια, ότι αυτά είναι άλλη τα προβλήματα. Πότε τα αντιλήφθηκαν αυτό, αυτά είναι προβλήματα που απασχόλησαν τους μαθηματικούς. Πέμπτο αιώνα π.Χ., τους αρχαίους Έλληνες, συνέχισε να τους απασχολεί, η απάντηση ότι αυτά δεν μου πρόκειται να λυθούν, τρέθηκε όταν αναπτύχθηκε η άλγυβρα. Και η απάντηση είναι ότι ποιοι αριθμοί πραγματικοί, είναι τελικά κατασκευάσιμοι με κανόνα και διαβίτη, ποιά τμήματα μήκους έναν πραγματικό αριθμό, είναι κατασκευάσιμα με κανόνα και διαβίτη. Έτσι αυτή είναι η ερώτηση, έχω ένα τμήμα το οποίο έχει μήκος κάποιον αριθμό πραγματικό, πότε μπορώ να το κατασκευάσω με κανόνα και διαβίτη και η απάντηση σε αυτό, πάει σε εζητές στην άλυβρα και λέει ότι μπορώ να το κατασκευάσω με κανόνα και διαβίτη, αν και μόνο αν, καταρχήν είναι αδιευρικός αυτός αριθμός, δηλαδή μπορώ να βρω ένα πολυόνυμο που έχει συντελεστές ρητούς ή ακόμη και θα αρκούσε αν μπορώ να βρω ένα πολυόνυμο με συντελεστές, δε το ρητή δεν είναι ανεγκαίει, ακέραιοι. Σε αν μπορώ να βρω ένα πολυόνυμο με ακέραιους συντελεστές που να έχει αυτόν εδώ τον αριθμό μου ως ρίζα. Αν μπορείς να το κάνεις αυτό για αυτόν τον αριθμό, τότε έχεις ελπίδα να είναι κατασκευάσιμος. Αν ο αριθμός σου δεν είναι αλγευρικός, δεν είναι ρίζα ενός πολυονίμου με ακέραιους συντελεστές ή ρητούς συντελεστές, τότε δεν έχεις καμία ελπίδα. Από όλα λοιπόν, για να είναι κατασκευάσιμος ο αριθμός σου πρέπει να είναι αλγευρικός. Αυτό δεν φτάνει. Πρέπει επίσης, και ούτε αυτό φτάνει, αλλά είναι αναγκαίες αυτές τις δυο συνθήκες, πρέπει επίσης να δείξεις ότι αυτό το πολυόνυμο που ικανοποιείται από τον αλγευρικό σου αριθμό, όχι μόνο όταν πας και βρεις το πολυόνυμο που έχει τον μικρότερο βαθμό, το οποίο ικανοποιείται από τον αλγευρικό σου αριθμό πραγματικό, το ελάχιστο βαθμό πολυόνυμο που έχει τον αλφος ρίζα, αυτό το πολυόνυμο πρέπει να έχει βαθμό μία δύναμη του δύο. Τώρα, η τρίτη ρίζα του δύο είναι αλγευρικός αριθμός, αυτός είναι ο α, είναι αλγευρικός αριθμός και το ελάχιστο πολυόνυμο που ικανοποιείται από αυτό, είναι το x3-2, αυτό είναι το f του x, είναι το ελάχιστο πολυόνυμο που ικανοποιείται από το α. Έχει το f του α είναι 0 και αυτό το πολυόνυμο, δεν υπάρχει άλλο πολυόνυμο μικρότερου βαθμού που να έχει την τρίτη ρίζα του δύο σαν ρίζα. Ξεκινή το α είναι μύριτος, έτσι, άρα δεν ικανοποιείται από κανένα πολυόνυμο βαθμού 1. Και μετά δεν είναι δύσκολο να δείξει κανείς χρησιμοποιώντας πολύ βασικό εργαλείο, τον ευκλήδιο αλγόριθμος, το πολυόνυμα, ότι δεν είναι δυνατόν να υπάρχει οτιδήποτε άλλο γιατί θα πρέπει να διαιρεί το x3-2, δεν υπάρχει άλλο πολυόνυμο που να έχει το α ως ρίζα, δεν υπάρχει άλλο. Το πολυόνυμο αυτό λοιπόν είναι το ελάχιστο πολυόνυμο, ο βαθμός του f του x είναι 3, το οποίο δεν είναι δύναμη του 2. Κατευθείαν λοιπόν από αυτό εδώ προκύπτει οτι η τρίτη ρίζα του 2 δεν είναι κατασκευάσιμη, άρα δεν υπάρχει περίπτωση να μπορέσεις να κάνεις με κανόνα και διαβήτη, να κατασκευάσεις με κανόνα και διαβήτη έναν κύβο ο οποίος να έχει ο όγκο διπλάσιο από τον όγκο που ξεκίνησες. Αυτό έχει ιδέες από τη θεωρία Γκαλουά. Στη θεωρία Γκαλουά πήγαμε 1800, το πρόβλημα μετά Χριστό, το πρόβλημα έχει τεθεί πεντακόσια π.Χ. Έτσι είχαμε αυτήν την οριμόριτα. Για το ρίζα τρίτης του 2 το βλέπουμε, για το π, η ρίζα του π που έχει να κάνει με τον τετραγωνισμό του κύκλου, εντάξει για εμάς είναι ακόμη από τη στιγμή που ξέρουμε την απάντηση του κατασκευάσιμου αριθμίου πρέπει οπωσδήποτε να είναι αλιευρική. Εντάξει, ένα από τα πολύ βασικά πράγματα που σαν μαθηματική γνωρίζουμε, έτσι και μη μαθηματική, είναι ότι το π δεν υπάρχει κανένα πολυόνυμο το οποίο θα έχει με ρητούς συντελεστέσια και ριοσυντελεστέσια που θα έχει το π σαν ρίζα. Το π είναι υπερβατικός αριθμός, δεν είναι αλιευρικός, έτσι και γι'αυτό ο τετραγωνισμός του κύκλου είναι αδύνατο, ούτε το π είναι αλιευρικός ούτε η ρίζα του π είναι αλιευρική αριθμή, είναι υπερβατική αριθμή, πολύ πολύ βασικό. Εντάξει, τώρα η απόδειξη γι'αυτό, έχουνε δοθεί κάποιες αποδείξεις, ίσως η πρώτη απάντηση είναι το χίλια τέλος του 1800 στο 1882 από τον Λίντερμαν. Τώρα η τριχωτόμηση της γωνίας δεν μπορεί να γίνει γενικά, μπορεί να λυθεί για κάποιες περιπτώσεις, για παράδειγμα αν η γωνία σου είναι 90 μμ, θα μπορέσεις να το κάνεις, μπορεί να λυθεί σε κάποιες περιπτώσεις, αλλά δεν μπορεί να γίνει γενικά, γιατί υπάρχει μια γωνία, οι 60 μμ, για τις οποίες είναι αδύνατον να την τριχωτομήσω. Η απάντηση λοιπόν γενική είναι ότι είναι αδύνατον να τριχωτομήσεις κάθε γωνία, χρησιμοποιώντας χάρκα και διαβίτη, γιατί η γωνία των 60 μμ δεν μπορεί να τριχωτομηθεί. Γιατί δεν μπορεί να τριχωτομηθεί, γιατί ήδη έχουμε δει ότι η γωνία των 60 μμ μπορεί να τριχωτομηθεί. Δηλαδή μπορώ να κατασκευάσω γωνία α' 20 μμ, αν μπορώ να κατασκευάσω ένα τμήμα, το οποίο να έχει μήκος το συνημίτωνο των 20 μμ. Εντάξει, χρησιμοποιεί κανείς τις τριγωνικές ταυτότητες, την τριγωνική ταυτότητα που λέει ότι το συνημίτωνο του α είναι 4 φορές, το συνημίτωνο, να το βάλω λίγο πιο γενικά, συνημίτωνο του θ είναι 4 φορές, συνημίτωνο εις την τρίτη, θ-3 μειώνει 3 φορές, το συνημίτωνο θ-3. Εμάς μας ενδιαφέρει αυτό. Στην περίπτωση που το θ είναι 60, το συνημίτωνο του θ είναι 1 δεύτερο, αυτό εδώ έχω 1 δεύτερο. Και η εξίσωση η οποία προκύπτει είναι, βάζω λοιπόν το συνημίτωνο των 20 να είναι το ψ, αυτό που προκύπτει είναι ότι 1 δεύτερο είναι 4 ψ τρίτης μειών 3 ψ. Το συνημίτωνο των 20 ικανοποιεί αυτήν εδώ την εξίσωση ή ακόμη από αυτό εδώ προκύπτει κατευθείαν ότι 8 ψ τρίτης, το βάλω εδώ, 8 ψ τρίτης, πολλαπλασιάζουμε το 2, μειών 6 ψ, μειών 1 είναι ίσο με το 0. Είναι αλγευρικό, το συνημίτωνο των 20 είναι αλγευρικός αριθμός, αλλά το ελάχιστο πολυόνυμο το οποίο ικανοποιείται από το συνημίτωνο των 20 έχει βαθμό 3 και δεν είναι δύναμη του 2. Κι αυτό λοιπόν έγινε κοντά στο 1840 από τον Γουάντζελ, όλα αυτά χρειάστηκαν να αναπτυχθεί, να ξεκινήσει η ανάπτυξη της απειρημένης άλυβρας και χρειάστηκαν, χρησιμοποίησαν ιδέες από τη θεωρία Γκαλουά. Θα τα ξαναδούμε, θα μιλήσουμε για τον Γκαλουά πολύ αργότερα και για τις βασικές ιδέες.