Μαθηματικά - Πολλαπλασιασμός, Διαίρεση (10,100,1000) - Δ'-ΣΤ' Δημοτικού Επ. 115 (Υπουργείο Παιδείας και Θρησκευμάτων, 2020)
: [♪ Μουσική Παιδιά, γεια σας! Καλώς ήρθατε στο μάθημά μας. Σήμερα θα κάνουμε μαθηματικά. Εγώ ονομάζομαι Χρυστολουκά Ιωάννα και με αυτό που θα ασχοληθούμε σήμερα... είναι ο πολλαπλασιασμός και η διέρεση με το 10, το 100 και το 1.000. Συγκεκριμένα θα μάθουμε εύκολο και γρήγορο τρόπο, τόσο να πολλαπλασιάζουμε, όσο και να διαιρούμε, με το 10, το 100 και το 1.000 σε ακέριαυς και δεκαδικούς αριθμούς. Πριν όμως ξεκινήσουμε, πάμε να θυμηθούμε δύο πολύ σημαντικά πράγματα. Για να δούμε. Αρχικά, έχουμε έναν αριθμό, το 123,456. Πρέπει να θυμόμαστε πως όποιος αριθμός χωρίζεται με κόμμα, το κόμμα αυτό ονομάζεται υποδιαστολή, έχει δύο μέρη. Το ακέραιο μέρος που βρίσκεται αριστερά της υποδιαστολής, και το δεκαδικό μέρος που βρίσκεται δεξιά της υποδιαστολής. Αριστερά από την υποδιαστολή ξεκινάμε. Έχουμε πρώτα τις μονάδες, μετά τις δεκάδες, μετά τις εκατοντάδες, τις χιλιάδες και ούτω καθεξής. Ενώ μετά την υποδιαστολή, δεξιά δηλαδή και στο δεκαδικό μέρος, έχουμε τα δέκατα, τα εκατοστά και τα χιλιοστά. Ακόμα όμως κάτι που πρέπει να θυμόμαστε για να προχωρήσουμε, είναι ότι ένας ακέραιος αριθμός μπορεί να γραφτεί πάρα πολύ εύκολα και ως δεκαδικός αριθμός. Αυτό γίνεται όταν βάζουμε μετά το τελευταίο ψηφίο του ακεραίου την υποδιαστολή και ένα μηδενικό. Για παράδειγμα, έχουμε το 11, τότε πολύ εύκολα θα το γράφαμε 11,0. Στη συνέχεια έχουμε το 4, και αυτό πολύ εύκολα θα το γράφαμε ως δεκαδικό 4,0. Και φυσικά να δούμε και έναν μεγαλύτερο. 1786, πολύ ωραία όπως θα το σκεφτήκατε, γράφουμε 1786,0. Πάμε λοιπόν να προχωρήσουμε σιγά σιγά στον πολλαπλασιασμό μας. Πριν πούμε για το 10% και το 1.000, να θυμηθούμε ότι στον πολλαπλασιασμό ο πρώτος όρος ονομάζεται πολλαπλασιαστέος, δηλαδή αυτός που θα πολλαπλασιαστεί. Ο δεύτερος όρος που εδώ έχουμε το 4 είναι ο πολλαπλασιαστής μας, δηλαδή αυτός που θα πολλαπλασιάσει, το πολλαπλασιαστέο. Και φυσικά το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού που ονομάζεται γινόμενο. Πάμε λοιπόν να δούμε στο μάθημα μας σήμερα. Αρχικά θα ασχοληθούμε με τους ακέραιους. Τι κάνουμε στον πολλαπλασιασμό με τους ακέραιους, με το 10% και το 1.000. Αρχικά ξαναγράφουμε τον αριθμό μας στο αποτέλεσμα. Έπειτα παρατηρούμε πόσα μηδενικά έχει ο πολλαπλασιαστής μας. Και όσα μηδενικά έχει ο πολλαπλασιαστής, τόσα προσθέτω και δεξιά του αριθμού. Πάμε όμως να το καταλάβουμε καλύτερα αυτό, κάνοντας κάποιες πράξεις στον πίνακά μας. Λοιπόν, θα ξεκινήσω και θα γράψω. 15 επί 100. Όπως είπαμε, το πρώτο βήμα, γράφω τον αριθμό μου όπως ακριβώς είναι. 10, 5. Πάω και μετράω πόσα μηδενικά έχει ο πολλαπλασιαστής. 1, 2. 2 μηδενικά. Άρα λοιπόν πάω και προσθέτω και 2 μηδενικά στο γινόμενο. 1, 2. Βάζω και τη τελίτσα μου, άρα λοιπόν το γινόμενό μου είναι 1.500. Επόμενο παράδειγμα. Έχω 3.250 επί 10. Ίσον, πάω και γράφω πάλι τον πολλαπλασιαστέ μου, το πρώτο αριθμό. Και γράφω 3.250. Μετράω πόσα μηδενικά έχω στον πολλαπλασιαστή. Πολύ σωστά, 1 μηδενικό, εφόσον έχω το 10. Άρα λοιπόν πάω και προσθέτω 1 μηδενικό στο τέλος. Το γινόμενό μου, το αποτέλεσμά μου δηλαδή, είναι 32.500. Νομίζω λοιπόν πως ο πολλαπλασιασμός με το 10% και το 1.000 είναι πάρα πολύ απλό, ειδικά στους ακέραιους. Αυτό που ίσως να σας δυσκολεύει λίγο, και από εδώ και πέρα δεν θα σας δυσκολεύει γιατί θα το πούμε αναλυτικά, έχει να κάνει με τον πολλαπλασιασμό με τους δεκαδικούς. Πάμε να δούμε λοιπόν. Όπως ακριβώς και με τους ακέραιους, στους δεκαδικούς ξαναγράφουμε τον αριθμό στο αποτέλεσμά μας, αυτή τη φορά όμως χωρίς την υποδιαστολή, διότι μιλάμε για δεκαδικούς. Παρατηρούμε πάλι πόσα μηδενικά έχει ο πολλαπλασιαστής. Μετράμε λοιπόν τα μηδενικά του πολλαπλασιαστή. Και έπειτα, όσα μηδενικά έχει ο πολλαπλασιαστής, τόσες θέσεις δεξιά, μεταφέρον την υποδιαστολή. Όπως λοιπόν και πριν, πάμε να το δούμε στην πράξη. Έχουμε λοιπόν τον αριθμό 6,35 και θα το πολλαπλασιάσω με τον αριθμό 100. Τι είπαμε πως κάνουμε σαν πρώτο βήμα? Πάμε και γράφουμε τον πρώτο αριθμό χωρίς όμως την υποδιαστολή. Άρα λοιπόν, αντί για 6,35, γράφω απλά 635. Έπειτα, είπαμε, μετράω πόσα μηδενικά έχει ο πολλαπλασιαστής. Έχει 2 μηδενικά, έχουμε το 100. 1, 2. Πάμε και τι κάνουμε όμως τώρα στον δεκαδικό αριθμό. Δεν προσθέτουμε μηδενικά στο τέλος, αλλά μετράμε τόσες θέσεις όσα μηδενικά έχουμε. Και μεταφέρουμε την υποδιαστολή δεξιά. Άρα λοιπόν, βάζω εγώ το δαχτυλάκι μου και λέω, ήταν εδώ η υποδιαστολή, άρα θέλω να τη μεταφέρω δύο θέσεις δεξιά. Άρα 1, 2 κόμπα. Και επειδή ξέρουμε ότι είναι ένας ακέραιος, βάζουμε ένα μηδέν. Όμως, επίσης ξέρουμε πως το μηδενικό στο δεκαδικό μέρος δεν έχει αξία. Άρα το διαγράφουμε ή μπορούμε απλά να το σβήσουμε και μένει σκέτο 635. Να επισημάνω πως η λέξη κλειδί στον πολλαπλασιασμό με το 10% και το 1.000 είναι η λέξη δεξιά. Ό,τι δηλαδή προσθέτουμε, το προσθέτουμε δεξιά. Πάμε να κάνουμε άλλο ένα παράδειγμα. Έχουμε τον δεκαδικό μας 0,5 επί 1.000. Πάμε και γράφουμε τον πρώτο αριθμό χωρίς την υποδιαστολή, χωρίς το κόμμα, όπως αλλιώς το λέμε. Γράφουμε λοιπόν 0,5, όπως το βλέπουμε. Λέμε πόσα μηδενικά έχει ο πολλαπλασιαστής μας. Έχει τρία μηδενικά, 1, 2, 3, είναι το 1.000. Πάω εγώ και βάζω το ταξιλάκι μου εδώ όπου είχα την υποδιαστολή πριν στον αρχικό αριθμό μου. Και προχωράω δεξιά τρεις θέσεις αφού 3 μηδενικά έχω. Άρα από εδώ, 1, 2, 3, εδώ θα ήταν. Έχουμε δύο καινές θέσεις. Πολύ σωστά, καταλάβετε ότι τις καινές θέσεις τις συμπληρώνουμε με μηδενικά. Το κόμμα το σβήνουμε διότι δεν μας χρειάζεται. Και όπως ξέρουμε και τα μηδενικά πριν, στην αρχή ενώ σε κεραιού μέρους δεν έχουν αξία. Άρα σβήνουμε και αυτό. Επομένως ο αριθμός μας είναι το 500. Έτσι, λοιπόν, γίνεται ο πολλαπλασιασμός με το 10% και το 1.000. Είναι πάρα πολύ απλά. Εμείς αυτό που πρέπει να θυμόμαστε είναι πως η λέξη κλειδί μας είναι δεξιά. Πηγαίνουμε δεξιά. Ας πάμε τώρα στη διέρεση. Η διέρεση. Έχουμε εδώ ένα παράδειγμα διέρεσης. 224-5. Ο πρώτος όρος της διέρεσης ονομάζεται διαιρετέως. Διότι αυτός θα διαιρεθεί. Ενώ ο δεύτερος όρος ονομάζεται διαιρέτης, δηλαδή ο αριθμός που θα διαιρέσει τον διαιρετέο. Το αποτέλεσμά μας ονομάζεται πηλίκο. Πάμε να δούμε πως γίνεται η διέρεση τώρα όμως και στους ακέραιους και στους δεκαδικούς με το 10%, το 100% και το 1.000. Αρχικά, όπως και στο πολλαπλασιασμό, έτσι και στη διέρεση, ξαναγράφουμε τον αριθμό στο αποτέλεσμα. Χωρίς την υποδιαστολή. Πολύ σημαντικό αυτό. Έπειτα πάλι παρατηρούμε πόσα μηδενικά έχει ο διαιρέτης. Όσα μηδενικά έχει ο διαιρέτης, τόσες θέσεις αριστερά αυτή τη φορά μεταφέρω την υποδιαστολή. Άρα λοιπόν, η λέξη κλειδί της διέρεσης είναι αριστερά και όχι δεξιά. Πάμε να δούμε και εδώ κάποια παραδείγματα. Αρχικά να σβήσω τη λέξη δεξιά και να γράψω αριστερά, εφόσον θα μιλήσουμε για διέρεση. Και πάμε να δούμε κάποια άλλα παραδείγματα. Μπορείτε και εσείς μαζί μου να σημειώνετε τα παραδείγματα αυτά, ώστε μετά το τέλος του μαθήματος να μπορείτε να τα μελετήσετε. Πάμε οπότε να δούμε ορισμένα παραδείγματα με τη διέρεση. 925 x 10 Ο διαιρετέος μου είναι το 925. Πάω όπως είπαμε και το γράφω όπως είναι. Γράφω λοιπόν 925 στο τέλος. Μετράω τώρα πόσα μηδενικά έχει ο διαιρέτης. Έχει ένα μηδενικό. Άρα λοιπόν όσα μηδενικά έχει ο διαιρέτης, τόσες θέσεις μεταφέρω την υποδιαστολή μου αριστερά. Εδώ έχουμε ένα ανακέραιο αριθμό. Ξέρουμε εμείς ότι μπορούμε να φανταστούμε μία υποδιαστολή μετά το τέλος του αριθμού, μετά το 5. Άρα λοιπόν από εδώ μεταφέρω με μία θέση αριστερά και η νέα μου υποδιαστολή μπαίνει εδώ. Άρα λοιπόν 925 δια 10 ίσον 92,5. Πάμε στο επόμενο παράδειγμα. 3.762 δια 100. Πάω και γράφω πάλι τον διαιρετέο μου. 3.765. Μετράω πόσα μηδενικά έχει ο διαιρέτης μου. Έχει δύο μηδενικά, είμαστε στο 100. Άρα δύο θέσεις θα μετακινήσω την υποδιαστολή μου αριστερά. Και εδώ, όπως και στο πρώτο παράδειγμα, έχουμε έναν ακέραιο αριθμό. Άρα φανταζόμαστε ότι η υποδιαστολή είναι μετά το τελευταίο ψηφίο του αριθμού, δηλαδή μετά το 5, και θα τη μετακινήσω δύο θέσεις αριστερά. Αφού είναι και δύο θέσεις στο 100. 1, 2. Με συγχωρείτε λίγο, μόλις διαπίστωσα πως πριν, και φαντάζομαι το παρατηρήσατε κι εσείς, ότι γράψαμε αριστερά, αλλά δεν αλλάξαμε το βελάκι, βρε παιδιά. Για να αλλάξουμε το βελάκι, μη δείχνει δεξιά και μη λέμε αριστερά, το συνώρα. Οπότε συνεχίζουμε. Πάμε στο επόμενο παράδειγμα. 72 x 1000. Ο διαιρετέος μου εδώ είναι το 72. Πάω λοιπόν και το γράφω όπως είναι στο αποτέλεσμα. 72. Πάω και μετράω τα μηδενικά μου. Τα μηδενικά μου εδώ είναι 3, γιατί έχω το 1000. 1, 2, 3. Άρα λοιπόν 3 θέσεις θα μετρήσω αριστερά. Πάω επομένως στο 72. Έχω φανταστεί εννοείται την υποδιαστολή μετά το 2. Και πάω να μετρήσω 3 θέσεις αριστερά. Από εδώ λοιπόν που έχω βάλει το χεράκι μου, λέω 1, 2, 3. Όπως και στον πολλαπλασιασμό, έτσι και εδώ, πολύ σωστά θα έχετε καταλάβει... πως η καινηθέση που μου έμεινε πρέπει να βάλω ένα μηδενικό. Μπορώ όμως εγώ να το αφήσω έτσι? Μα προφανώς δεν μπορώ να το αφήσω έτσι. Ένας αριθμός δεν μπορεί να μην έχει ακέραιο μέρος. Άρα λοιπόν, πάω εγώ και του δημιουργώ ένα ακέραιο μέρος και βάζω ένα μηδενικό. Επομένως το πηλίκο μου, το αποτέλεσμα αυτής της διέρεσης, είναι 0,072. Πάμε να κάνουμε και ακόμα ένα παράδειγμα για να το εμπεδώσουμε. 4 x 100. Ο διαιρετέος μου είναι το 4. Βάζω λοιπόν το 4 στο αποτέλεσμα. Μετράω πόσα μηδενικά έχω στον διαιρέτη μου. Έχω δύο μηδενικά, εφόσον μιλάμε για το 100. Και άρα θα μετρήσω δύο θέσεις αριστερά. Όπως και θα μετακινήσω την υποδιαστολή μου. Από εδώ λοιπόν που έχω φανταστεί την υποδιαστολή μου, λέμε 1, 2. Εδώ λοιπόν η υποδιαστολή. Συμπληρώνω εδώ τη κενή μου θέση με το μηδενικό. Και πάω και δημιουργώ εγώ το ακέραιο μέρος. Και το αποτέλεσμά μου είναι 0,04. Τώρα λοιπόν φαντάζομαι, καταλάβατε, πως είναι πάρα πολύ εύκολο να γίνεται και ο πολλαπλασιασμός, και η διέρεση με το 10, το 100 και το 1.000. Πάμε να κάνουμε άλλο ένα παράδειγμα όμως, με δεκαδικό αριθμό αυτή τη φορά στον διαιρετέο. Έτσι, να ανεβάσουμε λίγο το επίπεδό μας. Να γίνουμε ακόμη πιο δύσκολο, για να δούμε ότι μπορούμε όλοι να τα καταφέρουμε. Άρα λοιπόν, αυτό που θα γράψω εγώ είναι 13,74 x 10. Ίσου. Πάμε και γράφουμε τον αριθμό στο αποτέλεσμα, χωρίς την υποδιαστολή. Άρα λοιπόν, αντί για 13,74, πάω εγώ και γράφω 1374. Λέω, σκέφτομαι, πόσα μηδενικά έχει ο διαιρέτης. Έχει ένα μηδενικό, είναι το 10. Άρα λοιπόν, μία θέση αριστερά θα μεταφέρω την υποδιαστολή μου. Τώρα όμως, δεν θα πάω από το τέλος, κοιτάω πού ήταν η υποδιαστόλη στην αρχή, ήταν μετά το 3. Άρα λοιπόν, βάζω εδώ το χεράκι μου, μη το ξεχάσω, και μεταφέρω αριστερά την υποδιαστολή μία θέση, αφού έναν είναι και το μηδενικό μου. Από το 3 λοιπόν, θα μεταφερθεί εδώ, ακριβώς μετά το 1, και το πηλίκο μου θα είναι 1,374. Άρα λοιπόν, για τον πολλαπλασιασμό και τη διέρεση, τόσο των ακέραιων, όσο και των δεκαδικών, με το 10, το 100 και το 1000, πρέπει να θυμόμαστε δύο πολύ σημαντικά πράγματα. Πρώτον, στον πολλαπλασιασμό, στους ακέραιους προσθέτω μηδενικά δεξιά, ενώ στους δεκαδικούς μεταφέρω την υποδιαστολή δεξιά. Άρα λοιπόν, πολλαπλασιασμός αυτόματα το μυαλό μας έχει πάει στην λέξη δεξιά. Σκέφτομαι προς τα δεξιά. Ενώ, αντίθετα, στην διέρεση μεταφέρω την υποδιαστολή αριστερά. Τόσο στους ακέραιους, όσο και στους δεκαδικούς. Αυτά λοιπόν από το σημερινό μάθημα. Πιστεύω πως όλοι το έχετε καταλάβει και από εδώ και πέρα θα σας φαίνεται παιχνιδάκι. Σας ευχαριστώ πολύ. Να είστε καλά και καλή συνέχεια!