Διάλεξη 8 / Διάλεξη 8 / Διάλεξη 8 - Τσόκας Γρηγόρης (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2013)
Διάλεξη 8: Μπορείτε μέσω του ίντερνετ, στο διαδίκτυο δηλαδή, να μπείτε στο Πανεπιστήμιο του Κολοράδο των Ηνωμένων Πολιτειών, να μπείτε στο Πανεπιστήμιο του Κολοράδο των Ηνωμένων Πολιτειών, να μπείτε στο Πανεπιστήμιο του Κολοράδο των Ηνωμένων Πολιτειών, να μπείτε στο Πανεπιστήμιο του Κολοράδο των Ηνωμένων Πολιτειών, να μπείτε στο Πανεπιστήμιο του Κολοράδο των Ηνωμένων Πολιτειών, να μπείτε στο Πανεπιστήμιο του Κολοράδο των Ηνωμένων Πολιτειών, να μπείτε στο Πανεπιστήμιο του Κολοράδο των Ηνωμένων Πολιτειών, να μπείτε στο Πανεπιστήμιο του Κολοράδο των Ηνωμένων Πολιτειών, το οποίο βλέπετε μπορώ να κινήσω μπορώ να το φέρω κοντά στο πουλόβερ και να το τρίψω και να δούμε τι συμβαίνει βλέπουμε ότι με το τρίψιμο οι ηλεκτρόνοι αποκολλώνται από το πουλόβερ και μεταφέρονται στο μπαλόνι μας λέει μετά τι θα γίνει ακριβώς μπορείτε να βάλετε και δύο μπαλόνια έχει πάρα πολλά παραδείγματα απλώς σας τα λέω γιατί είναι ένα είδος παιγνιδιού όπου μπορείτε να παίζετε μαθαίνοντας παραδείγματος χάρη είναι πολύ εντυπωσιακό το παρακάτω παράδειγμα όπου έχουμε ένα ηλεκτρικό hockey βλέπετε ότι υπάρχει ένα δοκιμαστικό φορτίο το οποίο εδώ απεικονίζεται με τη μαύρη μπάλα είναι ένα δοκιμαστικό θετικό φορτίο και από ένα καλάστι φορτίων μπορώ να φέρω άλλα φορτεία προφανώς αν φέρω ένα θετικό φορτίο κοντά θα εξασκηθεί δύναμη βλέπουμε το διανισμα της δύναμης θα το αφήσω ελεύθερο και να δούμε τι θα γίνει είναι ένα παιχνίδι μπορείτε να φέρετε αρνητικά φορτεία για να δείτε τι θα γίνει εδώ βλέπετε και τις δυο δυνάμεις οι οποίες εξασκούνται πάνω στο δοκιμαστικό φορτίο δηλαδή τόσο τη θετική δύναμη την αποστική δηλαδή του δοκιμαστικού φορτίου το οποίο εγώ υπέθασα θετικό προφανώς η συνολική δύναμη η οποία εξασκείται πάνω στο δοκιμαστικό φορτίο θα είναι το διανισματικό άθροισμα της δύναμης της οποίας εξασκεί το αρνητικό φορτίο και της δύναμης της οποίας εξασκεί το θετικό φορτίο αν αφήσω ελεύθερο το δοκιμαστικό φορτίο τι θα γίνει σας προτρέπω με άλλα λόγια να μπείτε στον δικτυακό τόπο αυτόν του Πανεπιστημίου του Κολοράδου έχει πάρα πολλές τοσομοιώσεις σχεδόν για οτιδήποτε είπαμε μέχρι τώρα οπότε μπορείτε να παίζετε και έτσι να εμπεδώσετε κατά κάποιο τρόπο τις γνώσεις τις οποίες αποκομίζετε από το μάθημα ή από το διάβασμά σας να ανοίξουμε μια μικρή παρένθεση εδώ να σας πω ότι η εκπαιδευτική διαδικασία δεν είναι μόνο τι λέμε εδώ μόνο τι διαβάζετε εσείς μπορεί να γίνει και μέσω διαφόρων άλλων πράξεων όπως παρ' όντως χάρη το να ψάξετε και να παίξετε με τις προσομοιώσεις ή να συζητήσουμε μαζί ή οτιδήποτε άλλο λοιπόν γυρίζουμε τώρα στο σημερινό μας μάθημα και πριν φτάσουμε να μιλήσουμε για ενεργτική δυναμική ενέργεια να μιλήσουμε λίγο για το τι είπαμε μέχρι τώρα στο πρώτο μάθημα μιλήσαμε για φορτία μιλήσαμε για το νόμο του κουλόμπ έτσι, βρήκαμε επίσης τα πεδία τα οποία δημιουργούν διάφορες κατανομές φορτίων ξεκινώντας με κλασικά παραδείγματα όπως παρ' όντως χάρη είδαμε το πεδίο το οποίο δημιουργείται μακριά από φορτισμένο δακτήλιο το πεδίο που δημιουργείται μακριά από φορτία τα οποία κατανέμονται πάνω σε μια γραμμή σε ένα σύρμα απείρων διαστάσεων και μετά συνεχίσαμε στο δεύτερο μάθημα με το νόμο του Καούς είδαμε ότι οι δύο νόμοι του κουλόμπ και του Καούς είναι ισοδύναμοι και βρήκαμε πάλι τα πεδία μακριά από τις κατανομές τα οποία είχαμε βρει στο πρώτο μάθημα με το νόμο του Κουλόμπ εδώ τα βρήκαμε στο δεύτερο μάθημα με το νόμο του Καούς έτσι αφού οι δύο νόμοι είναι ισοδύναμοι θα πρέπει να μπορούμε για να βρούμε και έτσι είναι στην πραγματικότητα το είδαμε τα πεδία μακριά από κατανομές είτε χρησιμοποιώντας ή από κάποιον άλλον αυτά σε γενικές γραμμές έχουμε μάθει μέχρι τώρα επίσης στο δεύτερο μάθημα μιλήσαμε για τη ροή έτσι εφόσον μιλήσαμε για το νόμο του Καούς προχωράμε λίγο παρακάτω τώρα να μιλήσουμε για ενεργίες ξέρουμε από τη μηχανική ότι όταν σε ένα σώμα ασκείται μια δύναμη και αυτό μετατοπίζεται η δύναμη επί τη μετατόπιση, αν η δύναμη είναι σταθερή είναι το έργο το οποίο παράγεται το έργο δηλαδή το οποίο παράγεται πάνω στο έργο πάνω στο σώμα το οποίο κινείται αυτό εδώ είναι η δύναμη την οποία βάζω εγώ επί τη μετατόπιση, εφόσον η δύναμη είναι σταθερή ή αλλιώς είχαμε πει τότε στη μηχανική όχι μαζί, το είχατε πει με τον κ. Παπαζάφο ότι το έργο για να μεταφερθεί ένα κινητό από το σημείο α στο σημείο β είναι προφανώς το ολοκλήρωμα της δύναμης πολλαπλασιαζόμενης εσωτερικώς επί τη μετατόπιση όταν δεν είναι σταθερή ανάγκαζομαι και παίρνω τη δύναμη σε στοιχειώδη κομμάτια της μετατόπισης και μετά ολοκληρώνω αθρίζω δηλαδή για όλα αυτά όταν η μετακίνηση γίνεται πιο μικρή και στο τέλος προφανώς το όριο είναι το ολοκλήρωμα έχουμε πει αυτά έχω τώρα εδώ στην ηλεκτροστατική τη δύναμη που ενεργεί πάνω σε ένα σωμάτιο που κινείται από το σημείο α στο β για τη μηχανική μιλούσα για ένα κινητό από το σημείο α στο β, εδώ θα μιλώ πάντα για ένα φορτίο έχω ένα φορτίο που κινείται από το α στο β για τη μετακίνηση αυτή είναι το ολοκλήρωμα της δύναμης πολλαπλασιοζόμενης εσωτερικώς επί τη μετατόπιση το εσωτερικό γινόμενο ξέρω πολύ καλά τι είναι έχει μέτρο το εσωτερικό γινόμενο είναι μονόμετρο μέγεθος είναι ένα νούμερο αυτό που θα βγει και το εσωτερικό γινόμενο είναι το μέτρο της δύναμης επί το μέτρο της μετατόπισης επί το συμμήτωμα της γωνίας στην οποία σχηματίζουν αυτά τα δύο είναι προφανές ότι αν η γωνία είναι 0 μοιρές δηλαδή η δύναμη εξασκείται πάνω είναι συγγραμμική με την μετατόπιση τότε αυτό γίνεται ένα αλλά από την άλλη μεριά βλέπετε ότι όταν η γωνία αυτή δηλαδή η γωνία μεταξύ δύναμης και μετατόπισης αν η δύναμη είναι έτσι και αυτό μετατοπίζεται έτσι για το φορτίο, τότε βλέπετε ότι το έργο είναι 0 όμως, γιατί το συμμήτωμα εδώ γίνεται 0 άρα μηδενίζει τα πάντα εντάξει δεν σ' άγουσα οποιαδήποτε είναι προφανώς είναι κάθετη στην μετατόπιση δεν μεταβάλλει δεν παράγει έργο αυτό είναι σίγουρο και επίσης δεν μπορεί για να μεταβάλλει την ταχύτητα κίνησης με την έννοια μεταβάλλει μόνο την φορά μπορεί να το κάνει δηλαδή να κάνει το κινητό για να περιγράψει μια περιστροφική κίνηση ορίστε? ως κεντρομόλβος μόνο μπορεί να δράσει λοιπόν, αν το πεδίο τώρα δυνάμεων είναι διατηρητικό το έργο μπορεί να δοθεί σαν μια συνάρτηση δυναμικής ενέργειας εντάξει ας υποθέσουμε τώρα το σωματίδιο το οποίο θεώρησα το οποίο μεταφέρεται από τη θέση Α στη θέση Β οι αντίστοιχες θέσεις έχουν δυναμική ενέργεια Ά ΒΑ κατά συνέπεια το έργο αφού το πεδίο είναι συντηρητικό μπορεί να δοθεί σαν διαφορά κάποιας δυναμικής ενέργειας από τη μία θέση ως την άλλη την οποία μετακινήθηκε αυτό το ξέρετε πάρα πολύ καλά στο πεδίο βαρύτητας ξέρετε πολύ καλά δηλαδή το διάβασμα το σχάρι από εδώ τα κινδύα θα πέσουν προς τα κάτω τι έγινε από μία θέση που έχει δυναμική ενέργεια α, θέση α με δυναμική ενέργεια ΙΑ μετακινήθηκε προς μία θέση κάτω που πέσανε β με δυναμική ενέργεια ΙΒ εντάξει λοιπόν το έργο επομένως μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό το σημείο έχει μεγαλύτερη δυναμική ενέργεια θα το εξηγήσουμε αυτό ως το πεδίο βαρύτητας μετά για να το κατανοήσουμε και να πάμε και στο ηλεκτροστατικό πεδίο αλλά είναι σαφές και από τα μαθηματικά είναι σαφές δηλαδή και από τη σχέση αυτή η οποία περιγράφει το έργο που φαίνεται καθαρά ότι αν το σημείο Β έχει ψηλότερη δυναμική ενέργεια από το Ά τότε το έργο θα είναι αρνητικό το μηχανικό ανάλογο το μόλις το ανέφερα θα το ξανακάνουμε το πεδίο βαρύτητας αφήνω ένα δικείμενο πέφτει τι έγινε τα άφησα τα κλειδιά πέσανε μόνα τους το πεδίο βαρύτητας έκανε το έργο πραγματοποιήσει αυτό το έργο έγινε κάποιο έργο έγινε αυτά πέσανε παρήγαγε αυτό το έργο έγινε από μόνο του έγινε με τη βούληση του πεδίου το πεδίο αυτό ήθελε να γίνει αν κάνω το ανάποδο τώρα παίρνω τα κλειδιά από εκεί και τα σηκώνω εκεί κουράστηκα εγώ, είναι μια κίνηση, κατέβαλα εγώ το έργο εγώ δεν είμαι πεδίο, είμαι εξωτερικό έπιο σηκώνω τα κλειδιά πάνω καταβάλλω εγώ το έργο το οποίο χρειάζεται για να μεταφερθούν από μια θέση χαμηλής δυναμικής ενέργειας σε μια θέση ψηλής δυναμικής ενέργειας κι αν από εδώ αφεθούν το πεδίο κάνει μόνο το αυτί πραγματοποιεί μόνο το αυτό το έργο ο πρακτικός κανόνας που εγώ θυμόμουν πάντα και σαν φοιτητής είναι ότι αν πληρώνω είναι αρνητικό, απλά πράγματα γιατί για να το κάνω αυτό σημαίνει ότι εγώ το καταβάλλω εγώ καταβάλλω ένα τίμημα, έτσι δεν είναι αν γίνεται από μόνο του, αν το πεδίο δηλαδή το κάνει από μόνο του αυτή την κίνηση, είναι θετικό ορίστε από μόνο έτσι πως αλλιώς αυτό θυμόμουν, ότι αν πληρώνω είναι αρνητικό πράγματι αρνητικό είναι, χάνεις λεφτά κάπως έτσι, καταβάλεις ένα τίμημα δηλαδή λοιπόν εδώ βλέπετε είναι αρνητικό το έργο γιατί αναγκάζομαι εγώ να βάλω δύναμη για να σηκώσω κάτι προς τα πάνω ωραία λοιπόν, θεώρημα έργου ενέργειας ξέρω τώρα ότι μεταβολή της κινητικής ενέργειας επίσης από μια θέση α' σε μια θέση β είναι ίση με το έργο που παράγεται στο σωμάτιο το σωμάτιο που θεωρώ ότι μετακινείται από μια θέση α' σε μια θέση β η θέση α' θα έχει κάποια κινητική κατάσταση η θέση β μια άλλη κινητική κατάσταση θέση α' μια κινητική ενέργεια, επομένως μια δεύτερη κινητική ενέργεια στο σημείο β ξέρω ότι η διαφορά της κινητικής ενέργειας είναι το έργο αλλά αυτό το έργο επίσης εγώ το όρισα και σαν διαφορά δυναμικής ενέργειας έτσι, κατά συνέπεια είναι το ίδιο από την ισότητα αυτή, εύκολα βγαίνει το θεώρημα διατήρησης της ενέργειας πάρα πολύ απλά δηλαδή ότι η κινητική ενέργεια στο β και η δυναμική ενέργεια στο β θα είναι ίση με την κινητική στο α είναι το θεώρημα διατήρησης της ενέργειας αυτό σημαίνει ότι η συνολική ενέργεια παραμένει αναλείωτη στις δύο θέσεις αλλά τι γίνεται, οι συνισθώσεις της μπορεί να έχουν μεταβληθεί όμως δηλαδή μπορεί να έχει αλλάξει η δυναμική ενέργεια από τις δύο θέσεις έτσι θα είναι κιόλας μάλλον, κατά πάσα πθανότητα εκτός ειδικής περίπτωσης το άθρισμα όμως θα παραμένει πάντα σταθερό η συνολική ενέργεια μεταξύ των θέσεων θα παραμένει αναλείωτη, σταθερή συμφωνήσαμε? πάμε τώρα να εξειδικεύσουμε αυτά που μάθαμε στο ηλεκτροστατικό πεδίο θεωρώ όπως πάντα ένα θετικό δοκιμαστικό φορτίο το οποίο κινείται στο σημείο α στο σημείο β σχήματος που βλέπετε έχω θεωρήσει δύο παράλληλες πλάκες έτσι, φορτισμένες έχουμε μιλήσει για το πεδίο που δημιουργούνται ανάμεσα από τις δύο πλάκες στο προηγούμενο μάθημα, το έχουμε βρει εδώ παίρνω συγκεκριμένα ότι το δοκιμαστικό μου φορτιάκι το Q-tone βρίσκεται ανάμεσα από τις δύο πλάκες γιατί παίρνω το πεδίο των δύο πλακών γιατί ξέρω ότι είναι ομογενές είναι παντού το ίδιο ανάμεσα στις δύο πλάκες αυτό θα μου διευκολύνει πάρα πολύ τους υπολογισμούς που έχω να κάνω λοιπόν και θεωρώ τώρα ότι έχω το φορτιάκι Q-tone στο οποίο μετακινείται από το α' στο β' ωραία, κάνει αυτό δηλαδή λοιπόν το πεδίο εξασκεί μια δύναμη αυτή η δύναμη είναι σταθερή, αφού το πεδίο είναι ομογενές το πεδίο είναι παντού το ίδιο άρα και η δύναμη είναι παντού ίδια η δύναμη εκεί μέσα που εξασκείται πάνω στο φορτιάκι είναι παντού η ίδια αυτό με διευκολύνει, γι' αυτό πήρα το ομογενές πεδίο έτσι, για να μην πλέξω με τα ολοκληρώματα εξ αρχής έτσι, να μιλήσουμε και έννοιες και μετά φτάνουμε για να δούμε τι γίνεται όταν μεταβάλλεται η δύναμη η δύναμη η οποία εξασκείται πάνω στο φορτιάκι είναι αυτή λοιπόν κατά την κίνηση αυτή παράγεται έργο κατά την κίνηση αυτή παράγεται έργο παράγεται έργο από το πεδίο το πεδίο δηλαδή παράγει αυτό το έργο έτσι όπως είναι τα πράγματα στο σχήμα δηλαδή με το θετικό φορτίο ανάμεσα από τις δύο πλάκες έτσι, το πεδίο παράγει το έργο κατά την κίνηση από το α' στο β' λοιπόν για να δούμε τι γίνεται για να δούμε τι γίνεται έχω την κίνηση από το α' στο β' και θέλω να βρω το έργο το έργο λοιπόν από το α' στο β' σύμφωνα με τον ορισμό που έχω δοσιγού είναι το ολοκλήρωμα έτσι δεν είναι του εσωτερικού γυνομένου της δύναμης επί την στοιχειώδη απόσταση δύναμη επί στοιχειώδη απόσταση το αναλείω δεν χρειάζεται πια πολλά πολλά η δύναμη όμως είναι σταθερή κατά μέτρο είναι σταθερή εδώ μέσα είναι αυτή αυτό είναι ομογενές το πεδίο άρα η δύναμη είναι σταθερή άρα βγαίνει έξω από την ολοκλήρωση και έχω τώρα το ολοκλήρωμα από το α' στο β' της στοιχειώδης απόστασης αυτό είναι η απόσταση από το α' στο β' μόνο η απόσταση από το α' στο β' είναι D είναι η απόσταση των δύο πλακών από αυτό να είναι η απόσταση από μένος το έργο είναι η δύναμη επί την απόσταση και αν τη δύναμη την γράψω ως δοκιμαστικό φορτίο επί πεδίο, δοκιμαστικό φορτίο επί πεδίο, επί απόσταση μου κάνει το έργο από το α' στο β' παιδιά δεν πάτε να τα πείτε έξω και την προηγούμενη φορά μου κάνεις τα ίδια, σε παρακαλώ δηλαδή λοιπόν ή πας έξω τώρα λοιπόν την πρώτη φορά που θα σας ξαναδω πηγαίνω έξω ειλικρινά εντάξει, για να μην σε βαθμολογίσω μην με αναγκάσεις να σε σκώσω πάνω και δεν θα σε αφήσω να δώσω εξετάσεις μετά εντάξει γιατί είναι το δύναμο που είναι σταθερή γιατί στυλωρήσαμε η δύναμη είναι σταθερή γιατί το πεδίο είναι ομογενές το πεδίο ανάμεσα από τις πλάκες είναι ομογενές και έγινα και το παράδειγμα αυτό με τις δύο πλάκες για να πάρω ομογενές πεδίο εντάξει λοιπόν έχω βρει επομένως το έργο για την κίνηση από το Α στο Β ότι είναι το δοκιμαστικό φορτίο επί το πεδίο επί την απόσταση προσέξτε η κίνηση είναι από το Α στο Β από το Α στο Β λοιπόν επομένως η συνισθόσα κατά Ψ της δύναμης είναι η ίδια η δύναμη δεν έχει άλλη συνισθόσα εδώ στη συγκεκριμένη διάταξη που έχω θεωρήσει λοιπόν άρα η δύναμη είναι η QΕ και δεν υπάρχει άλλη συνισθόσα δύναμης ούτε κατά Χ ούτε κατά Ψ με σχολείτε ούτε κατά Χ ούτε κατά Ζ υπάρχει μόνο κατά Ψ μια παρένθεση τα συστήματα αναφοράς στα προβλήματα μπορώ να τα πάρω έτσι που να με βολεύουν εμένα πάντοτε και αυτό κάνω να τα κάνω εύκολη τη ζωή μου στους υπολογισμούς και εδώ θεώρησα τον ΆΧ αυτόν τον ΆΨΠ αυτόν ο ΆΨΠ Ζ προφανώς είναι κάθετος στο επίπεδο της διαφάνειας λοιπόν τώρα το έργο που βρήκα είναι ανεξάρτητο από τη διαδρομή αφού είναι πρόκειται για συντηρητικό πεδίο λοιπόν η δυναμική ενέργεια τώρα του ηλεκτρικού πεδίου από τα προηγούμενα που βρήκα προσέξτε βρήκα ότι το έργο έτσι είναι QΕΠΙΔ άρα εύκολα συμπερένω ότι η δυναμική ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου είναι QΕΠΙΨ όπου Ψ θα είναι η απόσταση από το 0 αν θεωρήσω το 0 εκεί κάτω έτσι γι'αυτό έκανα όλη την εισαγωγή λέγοντας ότι θεωρώ τα συστήματα αναφοράς όπως θέλω εγώ έτσι που να με βολεύουν και εδώ με βολεύει αφάνταστα και απλοποιεί τις μαθηματικές εκφράσεις εφοβερά αν θεωρήσω σύστημα αναφοράς το οποίο έχει αρχή του άξονα Ψ στην κάτω πλάκα έτσι σ'ένα σημείο πάνω στην κάτω πλάκα άρα θεωρώ την αρχή του συστήματος αναφοράς σ'ένα σημείο στην κάτω πλάκα το Χ να πηγαίνει κατά μήκος της κάτω πλάκας και το Ψ να είναι κάθετο στις δύο πλάκες με τη θεώρηση αυτή μου διευκολύνονται οι εκφράσεις ή μαθηματικές πάρα πολύ και αφού βρήκα ότι το έργο για να μεταφερθεί από το A στο B είναι, θυμάστε, Qεπιεψιλόν επί D εκεί όχι Ψ το έργο, εύκολα συμπερένω τη δυναμική ενέργεια σε οποιοδήποτε σημείο εδώ μέσα είναι Qεπιεψιλόν επί Ψ, όπου Ψ είναι η απόσταση από το σημείο αυτό, από το σημείο 0 εκεί προς τα πάνω. Και είναι ακριβές ανάλογο αυτό η δυναμική ενέργεια μέσα στο πεδίο βαρύτητας έτσι, που ξέρω ότι η δύναμη βαρύτητας εδώ αυτό, έτσι, εδώ που το βαστάω υπόκειται σε μια δύναμη που θα είναι MPG της βαρύτητας προς τα κάτω, αν θεωρήσω από το Ψ τον άξονα προς τα πάνω, τότε η δυναμική ενέργεια δίνεται MGC, έτσι εννοείται ότι όσο ανεβαίνω προς τα πάνω, τόσο μεγαλώνει η δυναμική ενέργεια, έτσι, αν το ανεβάζω αυτό η δυναμική ενέργεια, γιατί έχει μεγαλύτερη ικανότητα για να παράγει έργο όσο το ανεβάζω ψηλότερα. Το ίδιο συμβαίνει και εδώ αν το φορτιάκι αυτό το πάω από εδώ προς τα πάνω, μεγαλώνω την δυναμική ενέργεια, έτσι, γιατί έχει ικανότητα προς παραγωγή περισσότερου έργου, πολύ απλά Λοιπόν, για να το αναλύσουμε αυτό παρακάτω τώρα το δοκιμαστικό μας φορτίο, κινείται τώρα από τη θέση Cα, οι δύο πλάκες οι δύο πλάκες που είχα πριν κινείται από τη θέση Cα, εδώ το Α θα πάει στη θέση Β προσέξτε, θα ακολουθήσει τη βούληση του πεδίου προσέξτε πως είναι το πεδίο και εδώ είναι το φορτιάκι μου το φορτιάκι, αν το αφήσω ελεύθερο από τη θέση Α θα κινηθεί όπως θέλει το πεδίο και το πεδίο θέλει να το δει μπρος προς τα κάτω έτσι, είναι σαφές αυτό λοιπόν, για να δούμε εδώ τι γίνεται θα κάνει αυτό δηλαδή όρθα, το πεδίο θα το αναγκάσει να κάνει αυτή την κίνηση ωραία επομένως, αφού αυτό θα κινηθεί κατά πως θέλει το πεδίο, χωρίς να πληρώσει κανείς εντός εισαγωγικών, χωρίς να το πιάσω εγώ και να αναγκαστώ να τον μπρώξω να πάει στη θέση εκείνη, έτσι αν το αφήσω από τη θέση Α, θα το σπρώξει αυτό το πεδίο προς τα κάτω κατά συνέπεια, το πεδίο θα παράξει αυτό το έργο το οποίο έργο θα είναι που το βρήκα πριν η διαφορά της δυναμικής ενέργειας από τη θέση Α στη θέση Β άρα, τη δυναμική ενέργεια στη θέση Α την είχα βρει πριν τη μαθηματική της έκφραση συναρτήση της απόστασης από εδώ εντάξει και τη δυναμική ενέργεια στη θέση Β κατά συνέπεια, το έργο θα παραχθεί από την διαφορά στη δυναμική ενέργεια η διαφορά στη δυναμική ενέργεια καταλήγει στη σχέση αυτή, όπου είναι το φορτίο μου αυτό, το δοκιμαστικό, επί το πεδίο επί τη διαφορά στην απόσταση ΨΑ-ΨΒ εδώ φαίνονται απλά τα πράγματα, αλλά θα πάμε παρακάτω και θα δούμε ότι τα πράγματα γίνονται πιο πολύπλοκο όταν πάρουμε αρνητικά φορτία, όταν κάνουμε ανάποδες κινήσεις και όλα αυτά θεώρησα θετικό φορτίο Ωραία, το ΨΑ είναι μεγαλύτερο από το ΨΒ το φορτίο θα κινηθεί, όπως το έδειξα πριν προς τα κάτω κινείται δηλαδή στην ίδια κατεύθυνση με αυτή του πεδίου επομένως το έργο είναι θετικό εδώ τη δυναμική ενέργεια ελατώνεται στη θέση Ά είναι μεγαλύτερη η δυναμική ενέργεια από τη θέση Β το φορτίο θα κάνει αυτό προσέξτε η παρένθεση αυτή, αυτό που έχει μέσα είναι θετικό άρα και το έργο είναι θετικό εδώ αλλά τι γίνεται όμως στην ανάποδη περίπτωση αν το ΨΑ είναι μικρότερο από το ΨΒ δηλαδή πάμε εδώ, εδώ είναι η αρχική θέση κι εγώ θέλω να το πάω εκεί, θέλω να το πιάσω δηλαδή να το πάω πάνω το είπα μόνο, θέλω να το πιάσω, να πληρώσω, να καταβάλω έργο λοιπόν, τότε το πεδίο παράγει αρνητικό έργο, εντάξει το έργο είναι αρνητικό, προσέξτε πρέπει να γίνει αυτό εντάξει, πρέπει να γίνει αυτό αυτό είναι αντίθετο με το τι θέλει το πεδίο να κάνει κάποιος πρέπει να το αναγκάσει το πεδίο έτσι για να γίνει αυτή η κίνηση αυτό το κάνω εγώ, είναι σαν να το πιάνω με το χέρι μου και να το σβρώχνω να πάει ανάποδα, έτσι καταβάλω το έργο, καταβάλω το τίμημα, πληρώνω αρνητικό από χέρι και προσέξτε ότι αυτή η παρένθεση πια είναι έτσι, εκεί πάνω είναι αρνητική, γιατί το Ψα είναι μικρότερο από το Ψβ εδώ, Ψα είναι πάντοτε η αρχική θέση η αρχική θέση είναι μικρότερη από τη Ψβ ωραία τώρα, τι γίνεται αν το δοκιμαστικό μου φορτίο είναι αρνητικό έτσι, τότε πάμε ανάποδα η δυναμική ενέργεια αυξάνει όταν το σωμάτιο κινείται προς τη φορά του πεδίου ανάποδα και το έργο που μου παράγει το πεδίο τότε είναι αρνητικό γιατί το τι γίνεται, το αρνητικό σωμάτιο το πεδίο θέλει να το τραβήξει προς τα πάνω έτσι, αν κάνει αυτή την κίνηση αν πάει δηλαδή τη θέση Α στη θέση Β εκεί προς τα κάτω εντάξει, πρέπει να το σμπρόξω εγώ φανταστείτε να το πατήσω για να πάει αυτό γιατί το πεδίο θέλει να το τραβήξει προς τα πάνω άρα το έργο είναι αρνητικό εντάξει και βέβαια εδώ πέρα βλέπουμε και κάποιες σχέσεις για προσέξτε η δυναμική ενέργεια στο σημείο Α προσέξτε το φορτίο τώρα είναι μίον Q αυτό αλλάζει την κατάσταση το πρόσιμο μίον εδώ είναι μίον, προσέξτε το ΨΑ αυτό είναι μεγαλύτερο από το ΨΒ εύκολα επομένως συμπεριόδομαι από τα πάνω ότι η δυναμική ενέργεια στο Β, εδώ δηλαδή είναι μεγαλύτερη από ότι εκεί απλώς γίνεται λίγο πιο πολύπλοκο προχωρώντας το κάνουμε λίγο πιο πολύπλοκο σου μέχρι γίνεται αυτό δηλαδή αυτή η κίνηση για να γίνει αυτή η κίνηση κάποιος πρέπει να το σμπρώξει το αριντικό λοιπόν και βέβαια μπορείτε να τα σημειώσετε αυτά το έργο το οποίο θα παραχθεί για την κίνηση από το Ά στο Β είναι αρνητικό μάλλα λόγια δεν εκφράστηκα σωστά αν θέλουμε να είμαστε σωστοί είπα το έργο που θα παραχθεί είναι ακριβώς το έργο που θα καταβληθεί θα το πληρώσουμε το έργο δηλαδή μια εξωτερική δύναμη θα καταβάλει μια εξωτερική δύναμη όχι ηλεκτρική κάτι άλλο δηλαδή θα αναγκάσει το αρνητικό μου φορτιάκι να κάνει αυτή την κίνηση όχι το ηλεκτρικό πεδίο όμως μια άλλη δύναμη αν φανταστείτε νοερά το χέρι μου αυτό πρωτακάτω λοιπόν το συμπέρασμα είναι εύκολο πια το έργο είναι αρνητικό εδώ εντάξει λοιπόν η δυναμική ενέργεια ελατώνεται όταν το φορτίο κινείται αντίθετα με το πεδίο και δεν τραβάει το φορτίο αυτό που σας είπα πριν έτσι στην αντίθετη περίπτωση παίρνω παίρνω κίνηση τέτοια έτσι παίρνω κίνηση δηλαδή σύμφωνη με τη θέληση του πεδίου τώρα προχωράω την διερεύνησή μου πριν είχα κίνηση αντίθετη με το τι θέλει να κάνει το πεδίο τώρα έχω κίνηση σύμφωνη με το τι θέλει να κάνει το πεδίο το πεδίο τείνει για να τραβήξει αυτό έτσι προς τα πάνω εύκολα συμπερένω τώρα ότι η δυναμική ενέργεια από εκεί που ξεκινάει είναι μεγαλύτερη της δυναμικής ενέργειας στο σημείο που καταλήγει έτσι άρα χωρίς πολλά πολλά και χωρίς να κάνω ανάλυση μαθηματική αμέσως θα φανεί ότι το έργο είναι πια τι είναι το έργο τώρα θετικό είναι θετικό το έργο το πεδίο δηλαδή κάνει αυτό το έργο για την κίνηση αυτή αυτό γίνεται από μόνο του και βλέπετε ότι και τα μαθηματικά μας βγάζουμε ότι το έργο που θα παραχθεί αυτό είναι θετικό θα παραχθεί έργο δηλαδή προσπαθήσαμε με τις διαφάνειες αυτές τις προηγούμενες να ξεκαθαρίσουμε τις σχέσεις έργου ενέργειας στο ελεκτροστατικό πεδίο περιμένω λίγο για τις σημειώσεις δηλαδή βλέπω ότι γράφεται αρκετή αν και υπάρχουν ακριβώς αυτά στο ίντερνετ στο διαδίκτυο δηλαδή μπορείτε από εκεί να τα πάρετε και να το βρείτε έχουμε το έργο το οποίο παράγεται όταν το δοκιμαστικό φορτίο Q κινείται μέσα στο πεδίο που δημιουργεί στατικό μονομένο σημιακό φορτίο τώρα πάμε ανάποδα πριν θεώρησα την περίπτωση που έχω δύο φορτισμένες πλάκες και φορτίο που κινείται ανάμεσα στις δύο αυτές πλάκες και είδα τι γίνεται αν το φορτίο είναι θετικό και αρνητικό τώρα πάμε να δούμε τι γίνεται με το έργο το οποίο παράγεται και δημιουργεί ένα στατικό μονομένο φορτίο το πεδίο του και κάποιο φορτίο δοκιμαστικό που κινείται εδώ μέσα και θέλω να δω τι γίνεται για τέτοια κίνηση θα δω πρώτα τι γίνεται για ακτινική κίνηση δηλαδή αν θεωρήσω θυμάστε γιατί το κάνω αυτό γιατί θυμόμαστε ότι το πεδίο σημιακού φορτίου έχει σφαιρική συμμετρία πολύ λογικά το πρώτο πράγμα που θα κάνω είναι να δω τι γίνεται για ακτινική κίνηση κίνηση δηλαδή κατά μήκος μιας ακτίνας είτε κατά αυτή την έννοια είτε κατά αυτή λογικό είναι άρα πάω να δω τι γίνεται για ακτινική κίνηση να το σημιακό μου φορτίο το οποίο αυτό δημιουργεί το πεδίο και εγώ θεωρώ ένα δοκιμαστικό φορτιάκι ένα πυροελάχιστο δηλαδή θετικό φορτίο δοκιμαστικό πιου τόνο σε κάποια θέση θέλω να δω τι γίνεται όταν αυτό θα κινηθεί από το α' στο β κινείται κατά μήκος μιας ακτίνας όπως σας είπα διαλέγω την ακτινική κίνηση γιατί είναι το πρώτο δήμα σε μια προσέγγιση επίλυσης το απλό δήμα το οποίο πρέπει να κάνω Ωραία, τι γίνεται με την ακτινική κίνηση λοιπόν έχω τον όμο του κουλόμπ τον όμο του κουλόμπ μου λέει ποια θα είναι η δύναμη η οποία της ασκείται στο δοκιμαστικό μου φορτίο Ωραία, η δύναμη αυτή είναι σταθερή κατά μήκος της ακτινικής κίνησης Όχι, δεν είναι γιατί προφανώς αντιστοίχω ως ανάλογο η δύναμη με το τετράγωνο της απόστασης δεν είναι η ίδια η δύναμη στο α με αυτή που φάνε στο β έτσι, είναι κατανοητό μέχρι στιγμής κυρίες και κύριοι είναι κατανοητό το καταλαβαίνουν έτσι αυτή είναι η δύναμη η οποία εξασκείται θα πάω να πάρω πάλι το έργο το έργο θα είναι ολοκλήρωμα δύναμης επί απόσταση με τη μόνη διαφορά τώρα πια ότι η δύναμη δεν είναι σταθερή η δύναμη εδώ δεν είναι σταθερή προσέξτε και έχω ακτινική κίνηση αφού έχω ακτινική κίνηση θυμηθείτε ήταν δύναμη εσωτερικός επί dl επί στοιχειώδη απόσταση η στοιχειώδη απόσταση όμως εδώ για μένα αφού θεωρώ ακτινική κίνηση είναι DR είναι μεταβολή της ακτίνας δύναμη και μεταβολή της ακτίνας έχουν την ίδια διεύθυνση γιατί η δύναμη εξασκείται πάνω σε μια ακτίνα έτσι άρα το συμμημήτωνο εκείνο το οποίο έμπαινε πριν είναι ένα δεν χρειάζεται είναι το ολοκλήρωμα της δύναμης επί τη στοιχειώδη ακτινική μεταβολή έτσι άρα έχω την δύναμη εδώ από το νόμο του κυλόμπ μέσα έτσι και λύνω αυτό το ολοκλήρωμα προσέξτε αυτό το κομμάτι είναι σταθερό μπορώ να το βγάλω απέξω άρα είναι το ολοκλήρωμα DR προς R στο ετράγωνο έτσι και εύκολα βγαίνει ότι είναι αυτή η μαθηματική σχέση άρα το έργο το οποίο παράγεται για την ακτινική κίνηση είναι αυτή η μαθηματική σχέση προσέξτε αμέσως φαίνεται ότι είναι διαφορά δύο πραγμάτων δηλαδή και αμέσως μπορώ να ορίσω ποια είναι η δυναμική ενέργεια στο α και το β έτσι αμέσως φαίνεται ότι είναι διαφορά δυναμικής ενέργειας από το α στο β εδώ από τη σχέση αυτή η οποία μου λέει μάλιστα και ποια είναι η δυναμική ενέργεια στο α και το β ας δούμε τώρα τι γίνεται για μια πιο γενικευμένη μετατόπιση έτσι μια μετατόπιση η οποία δεν είναι πάνω στην ακτινική διεύθυνση όταν προσπαθώ να λύσω ένα πρόβλημα στη φυσική προφανώς κάνω κάποιες υποθέσεις και αρχίζω από την απλούσταρη μορφή του προβλήματος και τώρα πηγαίνω σε πιο πολύπλοκες μορφές του η απλούσταρη μορφή του ήταν να θεωρήσω ακτινική κίνηση κατά μήπως της ακτίνας πριν τώρα θα θεωρήσω κίνηση τυχαία μέσα έτσι παραδείγματος χάρη να το φορτίω το οποίο δημιουργεί το πεδίο και θα θεωρήσω μια κίνηση από το α στο β όπως φαίνεται στη διαφάνεια τέτοια έτσι από το α πηγαίνει στο β μία τυχαία κίνηση δεν είναι ακτινική όμως πλέον δεν είναι ακτινική προχωράμε εδωμένως παρακάτω η δύναμη αναλύεται σε δύο στιγμές μία θα είναι κατά τη διεύθυνη της ακτίνας και μία κάθεται στην ακτίνα ή αλλιώς εφαπτομενική της τροχιάς θα είναι η δεύτερη λοιπόν αυτή θα είναι η συνιστοσά που είναι κάθετη στην τροχιά και αυτή που θα είναι εφαπτομενική στην τροχιά έτσι να τις ξαναδούμε η κάθετη συνιστοσά η κάθετη στην τροχιά και εφαπτομενική στην τροχιά όταν αρχίσαμε τη συζήτηση τι μας είπε ο συνάδελφος δεν παράγει έργο λοιπόν επομένως από τις δύο αυτές μόνο η εφαπτομενική συνιστοσά παράγει έργο εφόσον αυτή μπορεί να μεταβάλει το μέτρο της ταχύτητας θυμηθείτε τι είπαμε ότι η κάθετη στην τροχιά συνιστοσά μπορεί να μεταβάλει διεύθυνση της ταχύτητας μόνο μπορεί να λειτουργήσει ως κεντρομόλος δεν παράγει όμως έργο παράγει έργο μόνο τούτη μόνο η εφαπτόμενη στην τροχιά για να δούμε τώρα πόσο είναι αυτό το έργο έτσι λοιπόν το έργο το είχα θεωρήσει το εσωτερικό γινόμενο της δύναμης επί τη μετατόπιση προσέξτε είναι το γινόμενο της προβολής της δύναμης επί τη μετατόπιση γιατί είναι εσωτερικό γινόμενο το εσωτερικό γινόμενο δεν μάθαμε από το πρώτο μάθημα ότι είναι η προβολή του ενός διανύσματος πάνω στο άλλο άρα το εσωτερικό γινόμενο της δύναμης επί τη μετατόπιση θα είναι το γινόμενο της προβολής της δύναμης επί τη μετατόπιση η προβολή της δύναμης πάνω στη μετατόπιση κατά συνέπεια να τη δούμε κιόλας αυτή θα είναι η προβολή της δύναμης επί τη μετατόπιση καταλαβαίνετε γιατί μιλάμε δεν μιλάω κοινέζικα είναι εσωτερικό γινόμενο δύναμης επί μετατόπιση μπορούμε να το κάνουμε ακόμα πιο αναλυτικά το έργο είναι το εσωτερικό γινόμενο της δύναμης επί τη μετατόπιση εντάξει εσωτερικό γινόμενο δύναμης επί τη μετατόπιση σημαίνει το μέτρο της δύναμης το μέτρο της μετατόπισης συνειμήτωνο της γωνίας που σχηματίζουν αν το σωματίδιο είναι αυτό η δύναμη που εξασκείται είναι αυτή αλλά το σωματίδιο κινείται έτσι με μία τροχιά πάω και βρίσκω την προβολή της δύναμης πάνω στη μετατόπιση που είναι αυτή και αυτή είναι η γωνία Φ εντάξει αυτό όμως είναι σαν να παίρνω αν πάρω αυτό επί αυτό είναι η προβολή της δύναμης πάνω στη μετατόπιση η συνεισθόσα της δύναμης που είναι πάνω στη μετατόπιση για να δούμε τώρα τι έχω κάνει προσπαθώ πάντοτε για να βρω το έργο για τη μετακίνηση από το Α στο Β μην μιλάτε μόνο σε κάποιο σημείο της τροχιάς θεωρώ τη δύναμη επί τη μετατόπιση εσωτερικώς που είναι σαν να παίρνω την προβολή της δύναμης πάνω στη μετατόπιση επί την ίδια τη μετατόπιση και έχω αυτό εδώ αλλά προσέξτε κάτι τι έγινε εδώ είναι από τη θέση Α στη θέση Β η ολοκλήρωση η θέση Α υπάρχει μια ακτίνα που τη χαρακτηρίζει η Rα και η θέση Β η ακτίνα Rβ το Α στο Β σαν από την ακτίνα στο Α ως την ακτίνα στο Β εδώ όμως έχω φτάσει να λέω ότι το έργο είναι η προβολή της δύναμης επί τη μετατόπιση αλλά η προβολή της δύναμης επί τη μετατόπιση προσέξτε από την άλλη μεριά επί τη διαφορά σε ακτίνα από το Α στο Β αυτό θα το δούμε καλύτερα εδώ γιατί το συνημείωτο νοφί επί τη μετατόπιση ανάποδα πάω τώρα έτσι προσέξτε συνημείωτο νοφί επί την δύναμη, επί αυτό θα μου δώσει την προβολή της δύναμης αυτό βγάζει ο τύπος εγώ παίρνω τώρα και αναδιατάσω λίγο το τύχα μέχρι τώρα και παίρνω την προβολή το συνημείωτο νοφί επί τη μετατόπιση αυτό μου κάνει μεταβολή στην ακτίνα ξέρετε γιατί εκεί φαίνεται το συνημείωτο νοφί επί τη μετατόπιση είναι σαν να προβάλλω τώρα την στοιχειώδη μετατόπιση πάνω στην ακτίνα ανάποδα γιατί η γωνία φ είναι αυτή πάλι κατά συνέπεια είναι μια άλλη προβολή είναι μια προβολή του νοφί πάνω στην ακτίνα γι' αυτό ακριβώς το συνημείωτο νοφί επί τη μετατόπιση ξέρετε που έχω καταλήξει τώρα στο ίδιο που είχα πριν κατέληξα δηλαδή να αυτή είναι η στοιχειώδη ακτινική μεταβολή κατά συνέπεια κατέληξα ότι το έργο που παράγεται για κάθε μετατόπιση εξαρτάται μόνο από τη μεταβολή της ακτινικής απόστασης μεταξύ των δύο φορτίων δηλαδή του Q το όνος που είναι το δοκιμαστικό και του Q το οποίο είναι το πεδίο το οποίο μεσχωρείται το φορτίο το οποίο δημιουργεί το πεδίο γύρω του λοιπόν καταλήγω που δηλαδή αυτό είναι το πιο σημαντικό για κάθε μικρή μετατόπιση DL το έργο εξαρτάται από τη μεταβολή της ακτινικής απόστασης έχω τώρα ότι αυτό το έργο εξαρτάται μόνο από τη μεταβολή της ακτινικής απόστασης που το είχα πριν μεταξύ αρχικής και τελικής θέσης κατά μήκος της ακτίνας αυτή που είχα βρει πριν άρα βλέπω ότι όποια κίνηση και να κάνει μέσα στο πεδίο στην ουσία εξομοιώνεται με τη διαφορά της δυναμικής ενέργειας από το α' στο β' θα σας δοθεί τυπολόγιο στις εξετάσεις όπως και στη μηχανική στη μηχανική θα δε με τυπολόγιο αντίστοιχο τυπολόγιο θα υπάρχει και στον ηλεκτρομαγνητισμό δεν έχετε να σκεφτείτε με το πως θα αποστηθήσετε απ' έξω τύπους είναι όλοι μέσα λοιπόν άρα το έργο το οποίο παράγεται για τη μετατώπιση από το α' στο β' εξαρτάται από τις ακτίνες δεν είναι τυχαία και για να είναι συνεπής μεταξύ τους οι εξισώσεις που έγραψα πριν προσέξτε το είναι το έργο έτσι αμέσως φαίνεται ότι αυτός ο όρος με αυτόν τον όρο μετά είναι η διαφορά της δυναμικής ενέργειας την οποία θέλω άρα εγώ αν ορίσω τη δυναμική ενέργεια έτσι πως είναι στον πίνακα είναι συνεπής με τις εξισώσεις μου λοιπόν να και η απόδειξη ότι έτσι πρέπει να είναι γιατί απέδειξα αυτή τη σχέση για ακτινική κίνηση και την απέδειξα και για τυχαία κίνηση μέσα στο πεδίο που δημιουργείται από σημιακό φορτίο σημιακό φορτίο έτσι δημιουργεί πεδίο γύρω του και απέδειξα τη σχέση αυτή για μία κίνηση που είναι ακτινική τυχαία μέσα λοιπόν το έργο είναι διαφορά δυναμικής ενέργειας αλλά η δυναμική ενέργεια πλέον ορίζεται από τη μαθηματική αυτή σχέση αυτό βρήκα δηλαδή λοιπόν ξέρουμε όμως και από τη μηχανική αυτό ότι η δυναμική ενέργεια βρίσκεται πάντως προς κάποιο σημείο αναφοράς για το οποίο θεωρώ ότι η δυναμική ενέργεια είναι μηδέν εδώ θανερά με βολεύει και σας εφιστώ την προσοχή μόνο για το πεδίο σημιακού φορτίου όχι για άλλα πεδία που θα δούμε στο μέλλον να θεωρήσω ότι όταν το αρτίνει στο άπειρο η δυναμική ενέργεια γίνεται εκεί μηδέν με βολεύει αφάνταστα εντάξει λοιπόν η δυναμική ενέργεια στην πραγματικότητα παριστά το έργο το οποίο προσφέρεται από το πεδίο του φορτίου Q στο φορτιάκι στο σημιακό στο δοκιμαστικό στο Q τόνος για να μεταφερθεί αυτό από το σημείο στο άπειρο δηλαδή το πεδίο είναι θετικό το δοκιμαστικό φορτίο είναι θετικό κατά συνέπεια η δυναμική ενέργεια στο άπειρο είναι το έργο που θα προσφερθεί από το πεδίο για να μεταφερθεί αυτό το δοκιμαστικό φορτίο στο άπειρο συμφωνούμε εντάξει πάει αυτό ωραίο προσέξτε τώρα θεώρησα πριν ότι και τα δύο φορτία δηλαδή το φορτίο που δημιουργεί το πεδίο αφενός και το δοκιμαστικό φορτίο από την άλλη εντάξει έχουν ίδιο πρόσημο τότε στην περίπτωση αυτή τα θεώρησα μάλιστα θετικά στην περίπτωση αυτή η αλληλεπίδραση που έχουν μεταξύ τους είναι αποστική το δοκιμαστικό φορτιάκι αποθείται αποθείται δηλαδή μέσα στο πεδίο για να πάει στο άπειρο και το έργο για να πάει το κυου τόνος τότε στο άπειρο είναι θετικό από τον ορισμό που έχω δώσει εγώ είναι σαφές ότι θετική είναι και η δυναμική ενέργεια σε οποιοδήποτε πεπερασμένη απόσταση φανερά πια αυτά λοιπόν δεν είναι το ίδιο αν αλλάξω την κατάσταση να έχει μαθηματική απόδειξη αυτό που λέω λέω ότι το έργο για να πάει στο άπειρο εντάξει είναι θετικό κατά συνέπεια η δυναμική ενέργεια σε οποιαδήποτε πεπερασμένη απόσταση είναι θετική έτσι γιατί το έργο να πάει στο άπειρο είναι δυναμική ενέργεια στο α και δυναμική ενέργεια στο άπειρο αφού το έργο αυτό είναι θετικό και η δυναμική ενέργεια στο άπειρο είναι 0 κατά συνέπεια και η δυναμική ενέργεια στο α είναι πάντα θετική αυτό μου λέει αυτή η εξίσωση εδώ κάτω σε κάθε πεπερασμένη απόσταση η δυναμική ενέργεια είναι θετική και αυτό βγαίνει απλούστατα γιατί η δυναμική ενέργεια στο άπειρο είναι 0 εδώ στο πάνω όριο του ολοκληρώματος αφού είναι 0 η δυναμική ενέργεια στο άπειρο τότε σε κάθε πεπερασμένη απόσταση θα είναι μεγαλύτερη του 0 αφού το έργο είναι θετικό απλά δεν είναι προσέξτε τώρα τι γίνεται αν το φορτίο που δημιουργεί το πεδίο και το δοκιμαστικό μου φορτιάκι έχουν αντίθετα πρόσημα τότε ξέρω ότι η αλληλεπίδραση θα είναι ελκτική των δύο αυτών και για να πάει το Q τόνο στο άπειρο πρέπει να προσφερθεί έργο γιατί το πεδίο το τραβάει άρα το Q τόνος για να το πάρει κανείς από εδώ πρέπει να το πιάσει με το χέρι πρέπει να βάλει μια εξωτερική δύναμη που δεν βρίσκεται μέσα στο πεδίο να πάει στο άπειρο τότε από τον ορισμό το έργο είναι αρνητικό γιατί πληρώνω, καταβάλετε, προσφέρω αρνητική όμως θα είναι και η δυναμική ενέργεια τότε σε κάθε πεπερασμένη απόσταση και θα το δούμε και στα μαθηματικά αυτό πως γίνει εντάξει, προσέξτε είναι το μίον στο δοκιμαστικό φορτίο το οποίο δημιουργεί την κατάσταση, μας την αντιστρέφει για αυτό το μίον βγαίνει έξω από το ολοκλήρωμα το ολοκλήρωμα αυτό που μένει μετά είναι το ίδιο με αυτό που είχα βρει πριν προσέξτε η δυναμική ενέργεια στο άπειρο είναι 0 αλλά το αρνητικό πρόσωμο παραμένει κατά συνέπεια το έργο είναι αρνητικό και η δυναμική ενέργεια σε οποιοδήποτε σημείο είναι αρνητική μέσα στο πεδίο δεν είναι τα μαθηματικά αυτά εντάξει όλη την ώρα αυτή την οποία πέρασε περίπου 1 ώρα και 10 λεπτά, όχι μια ακαδημαϊκή ώρα και 10 λεπτά εντάξει, φυσική ώρα 1 ώρα παρά 5 λεπτά εντάξει μιλάγαμε για σχέση σε έργο ενέργειας έτσι και τις εξειδικεύσαμε στη δική μας περίπτωση εντάξει λοιπόν προφανώς η διαφάνεια μας λέει το προφανές να καταβάλουμε το έργο για να αποκολλήσουμε ένα φορτίο να το πάμε στο άπειρο γενικεύουμε τώρα λοιπόν ας υποθέσω ότι έχω πολλά φορτία και το πεδίο τότε που δημιουργείται από τα πολλά σημιακά φορτία έτσι το είχαμε πει στο πρώτο μάθημα έτσι ότι θα είναι το διανισματικό άθροιμα το πεδίο ναι λοιπόν η δυναμική ενέργεια επομένως θα είναι το άθροιμα των δυναμικών ενέργειών και αυτό γιατί γιατί θεωρώ πολλά φορτία και ένα δοκιμαστικό φορτιάκι τότε ξέρω ότι το πεδίο εδώ στο σημείο α θα είναι πρώτα από όλα το διανισματικό άθροιμα των πεδίων που δημιουργεί κάθε ένα σημιακό φορτίο χωριστά έτσι το είχαμε πει αυτό στο πρώτο πρώτο μάθημα λοιπόν ξέρω επίσης ότι το έργο το οποίο θα παραχθεί για μία μετατόπιση πες ότι το κυου τόνος πάει από εκεί εκεί θα είναι το άθροιμα των έργων των επιμέρους έργων τα οποία παράγουν τα χωριστά πεδία το κάθε επιμέρους πεδίο έτσι επομένως και η δυναμική ενέργεια σε κάποιο σημείο του χώρου που βρίσκεται μέσα στην ομάδα αυτή των φορτίων στο πεδίο που δημιουργεί αυτή η ομάδα των φορτίων θα είναι το άθροιμα των επιμέρους δυναμικών ενέργειών αυτό αν το πούμε μαθηματικά είναι αυτό έκανα γεννήκευση έτσι πριν βρήκα τη δυναμική ενέργεια που οφείλεσε σε κάθε σημείο του χώρου σε πεδίο που δημιουργεί σημιακό φορτίο και εδώ θεωρώ πολλά σημιακά φορτία δημιουργούν ένα πεδίο πάλι έτσι ξέρω ότι το πεδίο αυτό θα είναι το άθροισμα των επιμέρους πεδίων και η δυναμική ενέργεια θα είναι το άθροισμα των επιμέρους δυναμικών ενέργειών αυτό μου λέει αυτή η μαθηματική σχέση έτσι λοιπόν και εύκολα βλέπω ότι η δυναμική ενέργεια εξαρτάται από τις επιμέρους αποστάσεις δηλαδή από την απόσταση του μικρού φορτίου Q τόνος από τα επιμέρους φορτία αυτό που βρήκα το τελευταίο είναι πολύ σημαντικό γιατί βρήκα ότι η δυναμική ενέργεια είναι το άθροισμα των δυναμικών ενέργειών οι οποίες προκαλούνται από διάφορα σημιακά φορτία από ένα άθροισμα λοιπόν είναι πολύ σημαντικό αυτό γιατί μπορώ να θεωρήσω τώρα ως οποιοδήποτε σώμα μπορώ να το θεωρήσω ως σύνολο σημιακών φορτίων οποιοδήποτε φορτισμένο σώμα μπορώ να το θεωρήσω ως σύνολο στοιχειοδόν φορτίων έτσι και να εφαρμόσω την προηγούμενη μαθηματική σχέση γι' αυτό είναι πολύ σημαντική αυτό σημαίνει τελικά ότι μπορώ να βρω μια συνάρτηση δυναμικής ενέργειας για κάθε στατικό ηλεκτρικό πεδίο και δυναμική ενέργεια μέσα στο πεδίο που δημιουργούν διάφορα σημιακά φορτία έτσι μπορώ να θεωρήσω ότι οποιοδήποτε σώμα φορτισμένος σώμα είναι στην πραγματικότητα άθροσμα σημιακών φορτίων και επίσης ένα τελευταίο θα πούμε ότι μπορώ να θεωρήσω το πεδίο ε μια συλλογής φορτίων και τη δυναμική ενέργεια που συνδέεται με την παρουσία δοκιμαστικού φορτίου δηλαδή έχω τα διάφορα φορτία και λέω φέρνω δοκιμαστικό φορτίο εκεί θεώρησα δηλαδή τη δυναμική ενέργεια σε σχέση με κάποιο δοκιμαστικό φορτίο την οποία φέρνω μέσα υπάρχει όμως και μια δυναμική ενέργεια που συνδέεται με τα φορτία αυτά καθε αυτά δηλαδή μια δυναμική ενέργεια αν θεωρήσω τώρα αυτά μια συλλογή φορτίων Q1, Q2, Q3 τα οποία βρίσκονται πολύ μακριά σε άπειρη απόστηση μεταξύ τους και τα παίρνω και τα βάζω μαζί τότε είναι προφανές ότι το σύστημα αυτό θα αποκτήσει μια εσωτερική ενέργεια εσωτερική αυτό καθε αυτό ακριβώς γιατί τα φορτία ήρθανε κοντά το ένα στο άλλο έτσι το σύστημα θα αποκτήσει μια δυναμική ενέργεια στην περίπτωση αυτή που δίνεται από τη συγκεκριμένη μαθηματική σχέση έτσι και εννοείται ότι κάθε ζεύγος φορτίων Q1, Q2 το μετράω μια φορά το βάζω μια φορά μέσα στο μαθηματικό τύπο αυτό όχι και ανάποδα και αντίστοφα το σύστημα λοιπόν θα κάνουμε ένα μικρό διάλειμμα και θα μιλήσουμε για δυναμικό να θυμηθούμε μερικά πράγματα ας υποθέσω ότι έχω ένα σημειακό θετικό φορτίο θα δημιουργήσει γύρω του πεδίου έστω τώρα ότι φέρνω ένα μικρό δοκιμαστικό φορτίο Q τόνος αυτό να το πω λοιπόν επαναλαμβάνω έχω το φορτίο Q το οποίο δημιουργεί ένα πεδίο γύρω του μέσα στο πεδίο φέρνω ένα μικρό δοκιμαστικό φορτιάκι Q τόνος να θυμηθούμε λίγο θα εξασκηθεί δύναμη πάνω στο φορτιάκι Q τόνος έτσι αν το θεωρήσω και το δοκιμαστικό φορτιάκι αυτό θετικό τότε η δύναμη αυτή θα έχει το μέτρο που το έχουμε πει 1 προς 4 πήει ε0 Q τόνος προς R τετράγωνο όπου R θα είναι η απόσταση αυτή μεταξύ των δύο φορτίων είχαμε πει τότε ότι αν διαιρέσω τη δύναμη αυτή θα είναι η δύναμη πάνω στο φορτίο το δοκιμαστικό Q τόνος αυτό μου κάνει το ηλεκτρικό πεδίο έτσι δεν είναι το είχα ορίσει τότε δύναμη αναφορτίο ή αλλιώς δύναμη αναμονάδα φορτίου είναι πεδίο με βάση το τι είπα την προηγούμενη ώρα στο ίδιο σημείο θα υπάρχει κάποια δυναμική ενέργεια αν θεωρήσω ότι έφερα το σημείο Q τόνος στο σημείο α του πεδίου στο σημείο α θα υπάρχει κάποια δυναμική ενέργεια α έτσι δεν είναι την οποία βρήκα ότι θα είναι 1 προς 4 πήει ε0 Q προς R θα είναι δηλαδή 1 προς 4 πήει ε0 Q προς R ναι αυτή θα είναι η δυναμική ενέργεια Q τόνος προς R αν τώρα διαιρέσω τη δυναμική ενέργεια αυτή στο α2 του δοκιμαστικού φορτίου πάλι έχω μια άλλη ποσότητα την οποία ορίζω ως δυναμικό άρα το δυναμικό είναι δυναμική ενέργεια αναμονάδα φορτίου όπως το πεδίο ήταν δύναμη αναμονάδα φορτίου έτσι βλέπετε ότι οι δύο έννοιες είναι αντίστοιχες υπάρχει όμως μια βασική διαφορά το πεδίο είναι διάνισμα το δυναμικό είναι μονόμετρο μέγεθος έτσι το πεδίο είναι δύναμη αναμονάδα φορτίου είναι δυναμική ενέργεια αναμονάδα φορτίου εντάξει λοιπόν βλέπουμε τώρα αυτά με διαφάνειες από εδώ και πέρα ορίσαμε επομένως το δυναμικό σε κάποιο σημείο έτσι λοιπόν το δυναμικό σε κάποιο σημείο το επαναλαμβάνω ενεφατικά σε κάποιο σημείο του πεδίου ορίζει τόσο η δυναμική ενέργεια προς το αναμονάδα φορτίου είναι σαν να φέρω εκεί στο σημείο αυτό δοκιμαστικό φορτίο έτσι τη δυναμική ενέργεια αναμονάδα φορτίου είναι δυναμικό λοιπόν ξέρω εγώ τώρα ότι το έργο για τη μετακίνηση από ένα σημείο στο α' σε ένα σημείο β' είναι η διαφορά των δυναμικών ενέργειών αν διαιρέσω αυτή τη σχέση με το φορτίο προσέξτε τι γίνεται έργο αναφορτίου το φορτίο που θα κινηθεί από το α' στο β' είναι δυναμική ενέργεια στο α' προς το φορτίο νίον δυναμική ενέργεια στο β' ναι αλλά δυναμική ενέργεια προς το φορτίο είναι δυναμικό επομένως έργο αναμονάδα φορτίου είναι διαφορά δυναμικού εντάξει προσέξτε αυτές τις έννοιες είναι βασικές στη φυσική πρώτα μέχρι τώρα βασικά θυμόμαστε δύναμη αναμονάδα φορτίου δυναμικό είναι δυναμική ενέργεια αναμονάδα φορτίου αντίστοιχες έννοιες έργο αναμονάδα φορτίου είναι διαφορά δυναμικού αυτό μας λέει η τελευταία σχέση την οποία βρήκαμε διαφορά δυναμικού μεταξύ δύο θέσεων το οποίο χρειάζεται ένα φορτίο για να πάει από τη μία θέση στην άλλη δια το φορτίο αυτό του διαφορά δυναμικού άμα έχω συλλογή φορτίων εύκολα γενικεύεται η σχέση την οποία έχω βρει αφού έχω την γενικεύση σχέση που θα μου δώσει την δυναμική ενέργεια για συλλογή φορτίων άρα μπορώ να βρω και στην περίπτωση συλλογής φορτίων ποια θα είναι η σχέση που θα μου δίνει το δυναμικό από εδώ εύκολα βγαίνει η τελευταία σχέση αν έχω τότε συνεχή κατανομή φορτίων όπως παραίμαντος χάρη μπορώ να τα έχω κατά μήκος μιας γραμμής τα φορτία όπως τα είχα θεωρήσει πριν πάνω σε ένα δίσκο πάνω σε ένα επίπεδο σε ένα κύλινδρο ή σε ένα δακτήλιο τι γίνεται τότε τότε το δυναμικό έτσι γενικεύεται από την προηγούμενη σχέση εδώ θεώρησα το δυναμικό συλλογής φορτίων και είπαμε ότι είναι στην ουσία το άθροισμα των δυναμικών που δημιουργεί κάθε φορτίο χωριστά αν τώρα τα φορτία αυτά είναι συνεχώς κατανεμημένα δηλαδή έχω μια σφαίρα με φορτία και όχι ένα σημιακό φορτίο τότε το άθροισμα αυτό γιατί γίνεται ολοκλήρωμα θα βάλω στοιχειώδες φορτίο και κατά συνέπεια το δυναμικό στην περίπτωση συνεχούς κατανομής φορτίων θα δίνεται από τη σχέση αυτή η οποία είναι ολοκληρωτική και αν νοείται αυτή η απόσταση του στοιχειούδες φορτίου DQ έτσι έτσι ως προς το σημείο που θέλουμε να υπολογίσουμε το δυναμικό πριν θεώρησα το πεδίο το πεδίο σημιακού φορτίου εντάξει εν προκειμένου για να καταλήξω εδώ ας υποθέσουμε ότι έχω ένα σώμα φορτισμένο αυτό το σώμα μπορώ να το θεωρήσω ως απαρτιζόμενο από ένα σύνολο σημιακών φορτίων παρακαλώ λίγο για το θόρυβο τελευταία προεδοποίηση είναι αυτή το δυναμικό εδώ μπορώ να το βρω πολύ εύκολα στην περίπτωση του σημιακού φορτίου διαιρώντας τη δυναμική ενέργεια προς το δοκιμαστικό φορτίο 1 προς 4 π ε0 q q τόνος r τετράγωνο q τόνος αυτό και αυτό θα φύγει είναι q προς r και είχα πει ότι αν έχω συλλογή σημιακών φορτίων ένα άλλο εδώ ένα άλλο εδώ τότε το δυναμικό σε ένα σημείο α θα ήταν αυτό τώρα θεωρώ αντί της συλλογής ένα σώμα απαρτιζόμενο από σύνολο φορτίων κατά συνέπεια το άθρισμα αυτό θα γίνει ολοκλήρωμα ακριβώς όπως δείχνει η διαφάνεια και το δυναμικό σε ένα σημείο εδώ 1 π ε0 το ολοκλήρωμα dq προς r όπου το r είναι η απόσταση αν θεωρήσω αυτό το κομμάτι εδώ ως στοιχειώδες dq στοιχειώδες φορτίων είναι η απόσταση αυτού από το σημείο α στο οποίο θέλω να υπολογίσω το δυναμικό είναι έννοιες τις οποίες αν τις κατανοήσουμε κατανοούμε όλη την φυσική αυτές οι βασικές έννοιες λοιπόν προφανές τώρα ότι μονάδες του δυναμικού δεν είναι μονάδες του δυναμικού δεν είναι μονάδες του δυναμικού δεν είναι μονάδες του δυναμικού αφού το δυναμικό ορίστηκε ως δυναμική ενέργεια μονάδα φορτίου θα είναι το τζαουλ ανακουλόβ το τζαουλ ανακουλόβ το λέμε volt προς τιμήν ενός Ιταλού φυσικού του Αλεσάνδρου Βόλτα ποιος φαίνεται στη διαφάνεια αυτή επαναλαμβάνω οι μονάδες του δυναμικού είναι το volt τα σημερινά όργανα μπορούν να μετρήσουν μέχρι 10 στιγμίων 12 στιγμίων 12 του volt με πάρα πολύ ευαίσθητα τα συνηθισμένα μετρούν μέχρι μικροβόλτ έχουν ευαισθησία μικροβόλτ 10 στιγμίων 6 δηλαδή λοιπόν να δουλέψουμε με το πεδίο και όχι με το δυναμικό μπορούμε να καταλήψουμε σε μία σχέση που να συνδέει αυτά τα δύο αυτό είναι εύκολο σχετικά από το έργο ξεκινώντας που ξέρω ότι το έργο είναι η δύναμη επιμετατόπιση η δύναμη στο ελεκτροστατικό πεδίο είναι φορτίο επί πεδίο διαιρώντας εδώ καταμέλη με το φορτίο βρίσκω ότι έργο αναμονάδα φορτίου είναι το ολοκλήρωμα του πεδίου προλαπλασιαζόμενος οτερικός επί μετατόπιση άρα έχω βρει μία σχέση η οποία συνδέει εδώ το έργο το οποίο παράγεται για τη μετακίνηση από το α' στο β' με το πεδίο και επίσης όμως ξέρω ότι το έργο το οποίο παράγεται από το α' στο β' διά του φορτίου είναι διαφορά δυναμικού άρα αν συνδυάσω αυτές τις δύο σχέσεις εύκολα βγαίνει ότι η διαφορά δυναμικού είναι το ολοκλήρωμα του πεδίου λίγο πιο σιγά θα σας ακούω συνέχεια και είναι λίγο ενοχλητικό εντάξει είναι μία σχέση που συνδέει το πεδίο με το δυναμικό αυτή απλώς θα κάνω μία δήλωση η οποία δεν μου χρειάζεται άμεσα αλλά θα χρειαστεί παρακάτω στο μάθημα λοιπόν, αν χρειαστεί να μεταφέρω ένα φορτίο από τον πίστο α ανάποδα να πάω τότε χρειάζεται μία εξωτερική δύναμη μίον ε μία εξωτερική δύναμη αναμονάδα φορτίου προσέξτε το πεδίο ε είναι δύναμη αναμονάδα φορτίου άρα λέω χρειάζομαι μία εξωτερική δύναμη αναμονάδα φορτίου ένα μίον ε εντάξει το έργο το οποίο θα παραχθεί αναμονάδα φορτίου από την εξωτερική αυτή δύναμη είναι διαφορά δυναμικού απλώς λέω το ίδιο πράγμα με άλλα λόγια και κάνω αυτή την δήλωση γιατί θα μου χρειαστεί μετά όταν αντιστρέψω τα όρια της ολοκλήρωσης λοιπόν, το ψεχνάω αυτό προς το παρόν αυτή τη σχέση που έγραψα είναι το ίδιο πράγμα είναι η ίδια σχέση, προσέξτε, γραμμένη λίγο διαφορετικά θεωρώντας μίον ε μια άλλη εξωτερική δύναμη και θεωρώντας την ολοκλήρωση από το Μ στο Α έτσι, άρα είναι το ίδιο προσέξτε, έχω αλλάξει τα όρια της ολοκλήρωσης από εκεί, αλλά και το ε το έχω κάνει μίον ε για να λέω, να πάω από το Α στο Β, χρειάζομαι τόσο έργο ή ανάποδα, χρειάζομαι το έργο αυτό μπορεί να δοθεί, αν έχω μια εξωτερική δύναμη η οποία είναι αντίθετη με αυτή, μίον τόσο για να το πάω από το Β στο Α ανάποδα, λέω το ίδιο πράγμα ακριβώς αλλά απλώς θα μου χρειαστεί αυτή η μαθηματική σχέση, αυτή η διατύπωση για τη διαφορά δυναμικού, παρακάτω για αυτό την αναφέρω ήδη από τώρα πάμε να κάνουμε παραδείγματα, εμείς τώρα, έτσι ασκησούλια σαν αυτές που θα λύσουμε στις εξετάσεις λοιπόν, έχω ένα πρωτόνιο το πρωτόνιο έχει συγκεκριμένο φορτίο δεν χρειάζεται να αποστηθείτε κάτι τέτοιο απ' έξω, έτσι πόσο είναι το φορτίο του ηλεκτρονίου, εντάξει, ή του πρωτονίου θα φραστοδύνουμε προφανώς λοιπόν, το οποίο κινείται μέσα σε ένα γραμμικό επιταχυντή εντάξει, ωραία κινείται από το σημείο Α στο σημείο Β λοιπόν, θεωρώ ότι υπάρχει ομογενές πεδίο εκεί μέσα, το οποίο πεδίο έχει αριθμητική τιμή 1,5x10⁷μν θέλω να βρεθεί η δύναμη πάνω στο πρωτόνιο, η οποία εξασκείται ανά πάσα στιγμή, εδώ μέσα, η δύναμη είναι η ίδια παντού γιατί, προσέξτε, είναι το πεδίο ομογενές έτσι, αφού το πεδίο είναι ομογενές είναι ίδιο δηλαδή παντού, η δύναμη η οποία είναι πεδίο επιφορτίο γιατί το πεδίο ορίζεται σαν δύναμη αναμονάδα φορτίου, αναφορτίο δηλαδή έτσι, άρα και η δύναμη θα είναι σταθερή παντού εδώ μέσα και μου ζητάει τρία πράγματα εύκολα το πρωτόνιο, το έργο που θα παραχθεί από τη μετακίνηση αυτή και τη διαφορά δυναμικού μεταξύ των δύο θέσεων έτσι, είναι εύκολο πράγμα ξέρω ότι το έργο είναι η διαφορά δυναμικού έργο αναμονάδα φορτίου είναι η διαφορά δυναμικού έτσι είπα πριν λοιπόν, αυτή είναι η κίνηση που θέλω να κάνει έτσι, όχι που θέλω να κάνει, που κάνει είναι από το α στο β δεν με νοιάζει τίποτα άλλο εδώ δεν μου ζητάει ενέργειες, ταχύτητες ή κάτι άλλο γι'αυτό ζητάει δυναμικά και δύναμη μέσα σε ένα ομογενές πεδίο λοιπόν, η δύναμη είναι κυουτώνωσο πιέψιλο απλούστατα άρα μια απλή εφαρμογή τύπων είναι η άσκηση, την βρίσκω από τον ορισμό του πεδίου που είναι ομογενές, η δύναμη είναι σταθερή μέσα, η δύναμη είναι παντού εκομμένως ίδια μέσα στο πεδίο το οποίο θεωρεί η συγκεκριμένη άσκηση και θα είναι 2,4 x 10 στιγμήνων 12 νν ωραία, το έργο που παράγεται τώρα μετακίνηση από το α στο β το έργο είναι δύναμη επί μετατόπιση αφού η δύναμη είναι σταθερή βρίσκω και αυτό το έργο, 1,2 x 10 στιγμήνων 12 ντ και αυτό που έχει σχέση με εμάς με αυτά που μάθαμε τη διαφορά δυναμικού πως θα βρω τι είναι η διαφορά δυναμικού τι είναι η διαφορά δυναμικού έργο προσφορτή πολύ απλά αυτό είναι, έργο προσφορτή διαφορά δυναμικού έτσι άρα η διαφορά δυναμικού βγαίνει ότι είναι 7,5 x 10 στιγμήνων 6 ν λοιπόν η άσκηση αυτή ήταν απλούστατη ήταν μια απλή εφαρμογή τύπων πάμε να κάνουμε τώρα κάτι πιο πολύπλοκο έχω δηλαδή 2 ίσα αλλά αντιθέτου προς ήμου φορτία να τα το Q1 και το Q2 αυτά είναι τα δύο φορτία και η άσκηση μου λέει ότι είναι το ένα 12 νανοκουλόμ και το άλλο μίον 12 νανοκουλόμ και η απόσταση ανάμεσά τους είναι 10 εκατοστά και θέλει να υπολογίσουμε το δυναμικό στο σημείο α, στο σημείο β και στο σημείο σ στο σημείο β στο οποίο βρίσκεται εκτός έτσι τον δύο φορτίο μάλιστα βρίσκεται προς το σημείο προς το θετικό φορτίο και σε ένα σημείο το οποίο απέχει ίση απόσταση από τα δύο φορδεία λοιπόν τα δυναμικά θέλω να βρω έτσι άρα θα εφαρμόσω το συγκεκριμένο μαθηματικό τύπο ναι λοιπόν, ο συγκεκριμένος μαθηματικός τύπος είναι δίνει το δυναμικό σε κάποιο σημείο το οποίο οφείλεται στο πεδίο που προκαλεί μια συλλογή φορτίων 1 και 2 και 3 εδώ η συλλογή εν προκειμένου άσκηση αυτή είναι δύο φορτεία ένα θετικό και ένα αρνητικό άρα θα πάω πρώτα να το βρω για το σημείο α αυτό είναι το δυναμικό το οποίο προκαλεί η συλλογή φορτίων όπως μου τα δίνει η άσκηση όμως δηλαδή δύο φορτεία το σημείο α το οποίο βλέπουμε εδώ εφαρμόζω τον συγκεκριμένο τύπο είναι πάρα πολύ απλή εφαρμογή του και βγάζω ότι το δυναμικό στο σημείο α είναι μίον 900V έτσι το σημείο α απέχει 4 εκατοστά από το αρνητικό φορτίο και 6 εκατοστά από το θετικό φορτίο το αρνητικό δυναμικό νομίζω είναι εύλογο γιατί είναι αρνητικό είναι πιο κοντά στο αρνητικό φορτίο η δυναμική ενέργεια αλλιώς που προκαλείται από το αρνητικό φορτίο είναι μεγαλύτερη από τη δυναμική ενέργεια η οποία προκαλείται από το θετικό φορτίο ακριβώς γιατί το σημείο α είναι πιο κοντά στο αρνητικό φορτίο το λέμε το ίδιο πράγμα με πολλούς τρόπους εντάξει τώρα στο σημείο Β το οποίο είναι εκτός της ευθείας που ενώνει του ευθύγραμμου κλίματος μάλλον που ενώνει αυτά τα δύο φορτία πάλι εφαρμόζω την σχέση για συλλογή φορτίων και εύκολα συμπερένω ότι το δυναμικό στο σημείο Β έχει αριθμητική τιμή 1930V και εδώ σας παιδημίζω λογικά ότι είναι πιο κοντά στο θετικό φορτίο κατά συνέπεια η δυναμική ενέργεια η οποία οφείλεται στο θετικό φορτίο θα είναι μεγαλύτερη από το αρνητικό το οποίο απέχει 14 εκατοστά από το σημείο Β ενώ το θετικό φορτίο απέχει μόνο 4 εκατοστά είναι πολύ κοντά απλώς για να καταλαβαίνουμε και χωρίς εξισώσεις τις έννοιες της φυσικής να έχουμε μία γνώση των ενιών εύκολα είναι μέχρι εδώ νομίζω αν υπάρχει απορία μπορείτε να μου την πείτε θα προχωρήσουμε στο σημείο Σ που τα πράγματα είναι λίγο πιο περίπλοκα πώς πρέπει να είναι το δυναμικό στο σημείο Σ δυναμική ενέργεια χωρίς εξισώσεις χωρίς τίποτα μόνο από τη συμμετρία δυναμική ενέργεια δυναμική ενέργεια προς αναμονάδα φορτίου για να αφήσουμε τα μαθηματικά να μας το πούν αυτό να χρησιμοποιήσω το συγκεκριμένο τύπο εντάξει βέβαιος μπορείτε να το πείτε κατευθείαν μόνο αν σας ζητήσει να το λύσετε είναι μηδέν έτσι άρα το δυναμικό στο σημείο Σ το οποίο απέχει ίση απόσταση από τα δύο φορτία είναι μηδέν για να το διερευνήσουμε αυτό λίγο λοιπόν τώρα φέρνω ένα φορτίο 4 νανοκουλόμπ στα σημεία A B και C πάω πρώτα στο σημείο A προηγούμενη άσκηση μου ζήτησε τα δυναμικά στα σημεία A B και C τώρα πάω και φέρνω ένα φορτιάκι στα σημεία A B και C το φορτιάκι είναι 4 νανοκουλόμπ και η καινούργια άσκηση, η νέα, μου λέει να υπολογιστούν οι δυναμικές ενέργειες που συνδέονται με το φορτίο αυτό εγώ ξέρω ότι δυναμικό είναι δυναμική ενέργεια δια φορτίο άρα η δυναμική ενέργεια πολύ απλά θα είναι επομένως δυναμικό που το έχω βρει από την προηγούμενη άσκηση επί φορτίο απλά πράγματα άρα η δυναμική ενέργεια στο σημείο A η οποία συνδέεται με το φορτιάκι που έφερα στο σημείο A θα είναι το δυναμικό στο σημείο A επί το φορτιό που έφερα τα 4 νανοκουλόμπ 10 στιγμών ενάτια πολλαπλασιαζόμενα επί το δυναμικό στο σημείο A βλέπετε ότι έχει αρνητική τιμή έτσι αυτό που είπαμε πριν το περιγράψαμε πριν ότι η δυναμική ενέργεια πρέπει να έχει στο A είπαμε αρνητική τιμή σωστά υπάρχουν δύο πράγματα υπάρχουν οι έννοιες της φυσικής που πρέπει να κατανοήσουμε και από εκεί και πέρα η κωδικοποίηση αυτών των εννοιών είναι τα μαθηματικά όσον καταλαβαίνουμε τις έννοιες αλλιώς φαίνονται όλα βουνό πάω τώρα στο σημείο B το φορτιάκι η δυναμική ενέργεια στο σημείο B θα είναι το δυναμικό στο σημείο B επί το φορτίο και βάζοντας τις αριθμητικές τιμές που μου δίνει η άσκηση βρίσκω ότι η δυναμική ενέργεια στο σημείο B θα είναι 7,7 ή τις 10 στιγμίων έκτη τζαού έτσι πάω τώρα στο σημείο C στο σημείο C η δυναμική ενέργεια θα είναι 0 το είπαμε πριν αφού και το δυναμικό είναι 0 όλα άρα και η δυναμική ενέργεια όλες οι τιμές που είπαμε της δυναμικής ενέργειας θα είναι σταθμή εγώ για το πεδίο του σημιακού φορτιού θεώρησα ότι η σταθμή αυτή είναι στο άπειρο και είναι 0 ότι η δυναμική ενέργεια στο άπειρο γίνεται 0 έτσι σας επαναλαμβάνω όμως για το πεδίο σημιακού φορτίου για το πεδίο σημιακού φορτίου σημιακό φορτίο και το πεδίο που δημιουργείτε τότε η δυναμική ενέργεια θα είναι στο άπειρο Ωπέρ σημαίνει ότι αν το πάω εγώ από τη θέση που ήτανε από εδώ και το πάω στο άπειρο πράξη πόσο έργο θα έχει παραχθεί κανείς παίρνω το φορτίο από τη θέση αυτή παίρνω το φορτίο από τη θέση αυτή και το πάω στο άπειρο το παίρνω και πάει στο άπειρο πόσο έργο θα έχει παραχθεί πες το γιατί μπράβο γιατί και η αρχική δυναμική ενέργεια της αρχικής θέσης είναι 0 και της θεμικής θέσης 0 πάει στο άπειρο αν το μεταφέρω οπουδήποτε πάνω στη μεσοκάθετο πάλι το έργο θα είναι 0 γιατί οπουδήποτε πάνω στη μεσοκάθετο η δυναμική ενέργεια είναι 0 σωστά οπουδήποτε είναι 0 πριν προχωρήσουμε στην επόμενη άσκηση τώρα σας ευχαριστώ την προσοχή ότι τέτοιου είδους ασκήσεις είναι αυτές που προτιμούμε στις εξετάσεις γιατί είναι συνδυασμός του ηλεκτρομαγνητισμού και της μηχανικής αυτό που μας ζητά η άσκηση μας ζητάει ταχύτητες κάπου προόδο στο μάθημα αυτό θα γράψουμε μάλλον στο κομμάτι του ηλεκτρομαγνητισμού Αυτό πρέπει να το γνωρίζεις εσύ, δε ας το λέει πιθανά. Ότι το μίκρο είναι 10 στιγμήων 6, το νάνο είναι 10 στιγμήων 9, το πίκο είναι 10 στιγμήων 12, στιγμήων 12, αυτά πρέπει να τα θυμάστε. Έτσι, και ανάποδα, από την κατάυξουσα κλίμακα. Ότι κίλο είναι 10 στην τρίτη, μέγκα είναι 10 στην έκτη και ούτω καθεξής. Εντάξει. Όλα αυτά. Κίγκα 10 στην ενάτη, τέρα 10 στην δωδεκάτη και ούτω καθεξής. Νομίζω τα είπατε στο πρώτο μάθημα, έτσι, όλα αυτά. Αυτά πρέπει να τα ξέρετε απ' τα έξω, δεν το συζητάμε. Λοιπόν, εδώ θεωρώ ένα σωμάτιο με μάζα 5 γραμμάρια, έτσι, το οποίο ξεκινά από την ηρεμία, από το α και πηγαίνει στο μπι. Μέσα στο πεδίο που δημιουργείται από τα δύο αυτά φορτεία, από ένα θετικό φορτίο 3 νανοκουλόπ και ένα αρνητικό μίον 3 νανοκουλόπ τα οποία απέχουν 3 εκατοστά. Έτσι. Έχω ένα... φορτιάκι, κοιουτώνος, 2 νανοκουλόπ, το οποίο ξεκινά απ' το α και πάει στο μπι. Έτσι. Ποια θα είναι η ταχύτητά του όταν φτάσει στο μπι. Κάνει αυτό δηλαδή. Προφανώς αυτή την κίνηση θα κάνει, έτσι. Αν το αφήσω ελεύθερο εγώ στο α, θα κάνει αυτή την κίνηση. Γιατί? Γιατί. Στο σημείο α σπρώχνεται, έτσι, είναι αποστική η δύναμη την οποία προκαλεί το φορτίο των 3 νανοκουλόπ εδώ πέρα. Το σπρώχνει επομένως το α προς τα εδώ. Και, αντίθετα, το φορτίο μίον 3 νανοκουλόπ έλκει το α. Έτσι, έλκει το φορτιάκι που θα είναι στο α. Άρα και δύο δυνάμεις είναι προς την ίδια κατεύθυνση. Αυτό θα κάνει αυτή την κίνηση. Τη στιγμή που περνάει από το β, θέλω να μου πείτε τι ταχύτητα θα έχει. Αυτό δεν λέει η άσκηση. Εντάξει. Λοιπόν. Πες το, έλα, ερώτηση. Είναι ανοιγτημένη στο διαδίκτυο, για σκέψεις. Εντάξει. Μαζί με τη λύση. Εντάξει. Από εδώ θα τη συζητήσουμε λίγο τη λύση. Χρησιμοποιώ την αρχή διατήρησης της ενέργειας, για να το λύσω αυτό. Πηγαίνω ενεργιακά. Θεωρώ ότι η δυναμική ενέργεια στο α και η κινητική στο α, θα είναι η ίδια, ως σύνολο, με την κινητική ενέργεια στο β, και τη δυναμική στο β. Δηλαδή, η ενέργεια του συστήματος παραμένει η ίδια, αλλά οι συνισθώσες της αλλάζουν. Έτσι. Άρα θα πάω να βρω τις ενέργειες στο α και το β. Θα πάω να βρω την κινητική και την δυναμική ενέργεια στο α, και αντίστοιχα την κινητική και την δυναμική στο β. Σωστά. Να σας άκουσα καθόλου, λίγο πιο δυνατά. Πέραστε, πέραστε. Ναι. Τι είναι αυτό? Θεόρημα? Θεόρημα αεροενέργειας. Θεόρημα αεροενέργειας, ναι. Ναι, ναι. Οφανός. Είναι αεροενέργειας, άμα θέλεις. Εντάξει. Λοιπόν, η κινητική ενέργεια στο α, το εύκολο, είναι μηδέν. Η άσκηση μου λέει ότι ξεκινά από την ηρεμία, έτσι ξεκινά την ηρεμία από το α. Ωραία. Η κινητική ενέργεια στο β, εύκολο θα είναι. Δεύτερον, εν από την ταχύτητα, μάζα από την ταχύτητα στο ετράγωνο. Και θα είναι η κινητική ενέργεια στο β. Αντίστοιχα τώρα πάω. Η δυναμική ενέργεια στο α, έτσι, πόση θα είναι. Και τη δυναμική ενέργεια στο α, τη βρίσκω συναρτήση του δυναμικού. Έτσι, ομοίως την δυναμική ενέργεια στο β. Αν τα συνδυάσω όλα αυτά και τα εξισώσω δηλαδή τις ενέργειες στο σημείο α και β, βγάζω τη συγκεκριμένη σχέση, από που εύκολα επιλύω ως προς την ταχύτητα, βρίσκω ότι η ταχύτητα θα δοθεί σαν συναρτήση των δυναμικών. Άρα πρέπει να υπολογίσω τα δυναμικά στο α και β και έχω λύσει την άσκηση. Σωστά. Απλή είναι η άσκηση, έτσι. Θεώρημα διατήρησης ενέργειας πήρα, έτσι. Αρχή διατήρησης ενέργειας, συγγνώμη. Λοιπόν, πάω τώρα να βρω τα δυναμικά. Τα δυναμικά είναι πολύ εύκολα, είναι συλλογή δύο φορτίων. Έτσι, η απλή εφαρμογή τύπου είναι για να βρω το δυναμικό στο α και το δυναμικό στο β. Ναι, σωστά. Τα βάζω στον συγκεκριμένο τύπο επομένως, βρίσκω και τη διαφορά δυναμικού για να κάνω τη ζωή μου πιο εύκολη, έτσι, γιατί αυτό είναι διαφορά δυναμικού. Έτσι, τα βάζω στον συγκεκριμένο τύπο και από αυτά συμπερένω ότι η ταχύτητα θα δίνεται σαν 4,6 επί 10 στιγμήων δευτέρα μέτρα ανασεκών στο δετράγωνο. Έτσι, μέτρα ανασεκών, συγγνώμη, δεν είναι επιτάχυνση. Μπορούσα να σας ζητήσω και την επιτάχυνση. Με δύναμη, ναι. Εύκολα, γιατί θα βρίσκατε δύναμη εκεί και ήταν εύκολο μετά. Ποια είναι η επιτάχυνη σκοτάγια? Λοιπόν, οι ασκήσεις αυτές συνδυάζουν του νεκρομαγνητισμού με μηχανική, έτσι, με κίνηση. Εύκολες είναι, δεν υπάρχει καμιά δυσκολία. Απλώς πρέπει να ξέρουμε τις έννοιες, να τις έχουμε κατανοήσει και επομένως να μπορούμε να λύσουμε τις ασκήσεις. Πάμε τώρα να κάνουμε ένα μικρό πείραμα, αλλά πείραμα στα χαρτιά, ας το δούμε. Έστω μία αστερή αγώγινη σφαίρα με φορτίο Q και θέλω να υπολογιστεί το δυναμικό σε κάθε σημείο μέσα και έξω από τη σφαίρα. Λοιπόν, σας υπενθυμίζω, στο προηγούμενο μάθημα χρησιμοποιήσαμε το νόμο του ΚΑΟΣ για να βρούμε το πεδίο έξω από τη σφαίρα. Έτσι, και εσωτερικά. Και είχαμε βρει, έτσι, ότι η φορτισμένη σφαίρα φαίνεται σαν σημιακό φορτίο αν είμαι μακριά της. Έτσι, όσο μακριά είμαι από τη σφαίρα, τη βλέπω σαν να είναι σημιακό φορτίο. Συμπεριφέρεται δηλαδή σαν να είναι σημιακό φορτίο, αυτό τα είχαμε πει, έτσι. Λοιπόν, και μάλιστα το σημιακό αυτό φορτίο να είναι στο κέντρο της σφαίρας. Εσωτερικά της σφαίρας το πεδίο είναι παντού μηδέν, το είχαμε βρει λογούμενη φορά. Δεν συνηθιέται, έτσι. Και τώρα θεωρώ πάλι ότι θεώρησα για το σημιακό φορτίο. Θεωρώ δηλαδή ότι το δυναμικό θα είναι μηδέν στο άπειρο. Έτσι. Έχω λόγους για να το κάνω αυτό. Όταν είμαι έξω, ναι, γιατί είπα ότι όταν είμαι έξω από τη σφαίρα, όλο το φορτίο της σφαίρας φαίνεται σαν να είναι σημιακό φορτίο στο κέντρο της. Έτσι. Κατά συνέπεια έχω λόγο να πω ότι το δυναμικό, σε άπειρη απόσταση από τη σφαίρα, το ορίζω μηδέν. Ω, προφανώς δεν είναι μηδέν, ναι. Εντάξει. Λοιπόν, σε ένα οποιοδήποτε σημείο, λοιπόν, που απέχει απόσταση r από το κέντρο της σφαίρας, η σφαίρα θα φαίνεται σαν σημιακό φορτίο, κατά συνέπεια το δυναμικό της θα δίνεται από τη συγκεκριμένη μαθηματική σχέση, την οποία βρήκα πριν, θυμηθείτε, τη σχέση αυτή τη βρήκα για σημιακό φορτίο. Αλλά σας είπα τώρα ότι όλο το φορτίο Q της σφαίρας, αφού με μακριά της, έτσι, όλο το φορτίο της σφαίρας φαίνεται σαν να είναι συγκεντρωμένο στο κέντρο. Και να είναι ένα σημείο στο κέντρο, έτσι. Για αυτό χρησιμοποιώ τον ίδιο τύπο για το δυναμικό. Ωραία, στην επιφάνεια της σφαίρας τώρα, όταν φτάσω στην επιφάνεια της σφαίρας, το δυναμικό θα είναι, αντί για R εκεί, θα βάλω R κεφαλαίο, όπου Άρει η ακτίνα της σφαίρας πια. Ωραία, εσωτερικά της σφαίρας τώρα τι γίνεται, εσωτερικά της σφαίρας το πεδίο είναι 0, έτσι, το ξέρουμε. Το πεδίο είναι παντού 0, που σημαίνει δεν παράγεται έργο για οποιαδήποτε μετακίνηση μέσα. Έργο είναι δύναμη επιμετατόπιση. Η δύναμη όμως είναι πεδίο επιφορτίο. Αφού το πεδίο είναι 0 και η δύναμη είναι 0. Εσωτερικά της σφαίρας η δύναμη είναι παντού 0. Άρα δεν θα παραχθεί έργο για μετακίνηση. Συμφωνούμε? Το δυναμικό ευωμένως θα είναι σταθερό, αφού δεν παράγεται έργο, το δυναμικό είναι σταθερό, για οποιοδήποτε σημείο μέσα στη σφαίρα, και είναι αυτό που είναι στην επιφάνεια της σφαίρας. Έχει την ίδια τιμή παντού μέσα στη σφαίρα. Δεν παράγεται έργο για μετακίνηση, κλασικά πια, γιατί το πεδίο είναι 0, μπορώ να σας το πω με άλλα λόγια. Η διαφορά δυναμικού είναι 0 για οποιαδήποτε άλλα σημεία, γιατί το έργο είναι διαφορά δυναμικού επιφορτίου επίσης. Άρα με πολλούς τρόπους μπορούμε να πούμε το ίδιο πράγμα. Και το πεδίο στην επιφάνεια το είχα βρει και σε προηγούμενη άσκηση, σε προηγούμενο μάθημα, θα έχει τη συγκεκριμένη τιμή. Κατά συνέπεια μπορώ να κάνω την γραφική αποικώνηση της μεταβολής του πεδίου σε συνάρτηση με την απόσταση από το κέντρο της σφαίρας, έτσι, φτάνοντας στην επιφάνεια της και προχωρώντας μετά στο άπειρο. Βλέπω, μέσα στη σφαίρα το πεδίο είναι 0, από την επιφάνεια της σφαίρας και μετά προς το άπειρο, το πεδίο μειώνεται, έτσι, ανάλογα με το αντίστροφο τετράγωνο. Το δυναμικό τώρα, μέσα στη σφαίρα είναι σταθερό, εκεί μέσα είναι σταθερό, από την επιφάνεια της σφαίρας πηγαίνοντας προς το άπειρο, το δυναμικό μειώνεται αντιστρόφως ανάλογα με την απόσταση. Έτσι, το δυναμικό είναι αντιστρόφος ανάλογα με την απόσταση. Άρα μειώνεται, έτσι, ανάλογα με το 1 προς R. Πάμε τώρα αυτά που είδαμε σαν ένα νοερό πείραμα, να το δούμε με μια πρακτική εφαρμογή. Ποιο είναι το μέγιστο δυναμικό στο οποίο μπορώ να θέσω έναν αγωγός στον αέρα. Ας πω θέσω ότι έχω έναν αγωγός, αυτός είναι αγωγός, έτσι, τον βάζω στον αέρα, εδώ. Ποιο είναι το μέγιστο δυναμικό που μπορεί να έχει, πριν αρχίζει ο αέρας να καταραίει γύρω του, ο αέρας δηλαδή να γίνεται αγώγημος, έτσι, και να έχω αστραπές και βροντές και να φεύγει το φορτίο από εδώ στον αέρα. Σωστά. Λοιπόν, ξέρω ότι τα μόρια του αέρα ιωνίζονται για ελεκτικό πεδίο αρκετά ψηλό. Τρία επί δέκα εις την έκτη νιούτον ανακουλόμπ. Δηλαδή, τόσο είναι το φορτίο που χρειάζεται για να καταστεί ο αέρας αγώγημος. Αγώγημος σημαίνει να περνάνε ηλεκτρόνια από μέσα του. Να περνάνε φορτία από μέσα του, γενικά. Ναι, ωραία. Από το προηγούμενο παράδειγμα, που είχαμε βρει το δυναμικό στην επιφάνεια της σφαίρας, το είχα βρει εψιλονεπιάρο, που είναι η ακτίνα της σφαίρας. Γιατί είχα πει στο προηγούμενο παράδειγμα, αν θυμάστε, ότι το πεδίο στην επιφάνεια της σφαίρας δίνεται από αυτή τη μαθηματική σχέση. Έτσι, σε συνάρτηση είναι ακριβώς στην επιφάνεια της σφαίρας, άρα είναι αντιστρόφος ανάλογο το πεδίο με την ακτίνα της σφαίρας. Άρα είναι η ακτίνα της σφαίρας, το αναλύω αυτό λιγάκι, έτσι, και το πρώτο μέρος αυτό εδώ μου κάνει β, μου κάνει το δυναμικό. Ναι, εξού γιατί έχω αυτήν την σχέση, ότι το δυναμικό είναι ίσο με το πεδίο επί την ακτίνα. Ναι, στην επιφάνεια. Παντού ισχύει, αλλά το πήρα πάνω στην επιφάνεια για να είμαστε... Επειδή θα θεωρήσω ως αγογό μια σφαίρα τώρα, έτσι, την οποία βάζω στον αέρα και λέω ωραία, ποιο είναι το μέγιστο δυναμικό που μπορεί να έχει αυτήν την σφαίρα, πριν αρχίσει ο αέρας δίπλα, έτσι, για να χτυνοβολεί, να έχει γίνει αγόγημος δηλαδή, να καταρέψει. Λοιπόν, εύκολα λοιπόν βγαίνουν από εδώ, δηλαδή το μέγιστο αυτό δυναμικό θα είναι το μέγιστο πεδίο επί την ακτίνα της σφαίρας, έτσι. Για προσέξτε, το μέγιστο δυναμικό εξαρτάται από το μέγιστο πεδίο, το οποίο ξέρω, δεν μπορεί να πάει παραπάνω, αυτό είναι, έτσι. Μέχρι τέτοιο πεδίο μπορεί να αντέξει ο αέρας, μετά καταραίει, γίνεται αγόγημος. Επί την ακτίνα της σφαίρας όμως, το μέγιστο δυναμικό είναι συνάρτηση και της ακτίνας της σφαίρας. Ωραία. Αν η ακτίνα της σφαίρας είναι 1 cm, βλέπω ότι το μέγιστο δυναμικό στο οποίο μπορώ να φέρω τη σφαίρα, πριν ο αέρας αρχίσει να καταραίει γύρω, είναι 30.000 V, είναι πολύ ψηλό. Εντάξει. Και επίσης δεν υπάρχει κανένας τρόπος για να υψώσω το δυναμικό πάνω από τα 30 kV, έτσι. Σωστά. Δεν υπάρχει τρόπος. Λοιπόν, αν ξεπεράσω αυτήν την αιτημή, ο αέρας ιωνίζεται προφανώς γύρω, καταραίει δηλαδή, γίνεται αγώγημος και το φορτίο θα διαφύγει στον αέρα. Γι' αυτό και δεν υπάρχει τρόπος για να υψώσω το δυναμικό της σφαίρας πάνω από τα 30 kV. Έτσι. Είπα, έχω μια σφαίρα ενός εκατοστού, δηλαδή η σφαίρα είναι τόση. Εντάξει, αν της βάλω 30 kV, μέχρι εκεί αντέχει ο αέρας που είναι γύρω της. Μόλις υπερβεί τα 30 kV, ο αέρας ιωνίζεται που είναι γύρω από τη σφαίρα, έτσι. Το φορτίο από τη σφαίρα μεταφέρεται όλο στον αέρα και φεύγει, διαφεύγει εντελώς, μετραπετεύει δηλαδή. Εντάξει. Άρα δεν υπάρχει τρόπος να αυξήσω το δυναμικό της σφαίρας πάνω από τα 30 kV. Κανένας. Ο αέρας ιωνίζεται, όπως ακριβώς βλέπετε στις αστραπές, αυτό θα γίνει γύρω από τη σφαίρα. Θα αρχίσουμε να βλέπουμε αστραπές, έτσι, και βροντές, για να συνοδεύονται και από θόρυβο. Και αυτό το εφαρμόζουμε στις γενήτριες van der Graaf, έτσι, όπου έχουμε σφαίρες, συνήθως τις κάνουμε μεγάλες, γιατί σας είπα πριν ότι το μέγεθο δυναμικό εξαρτάται για την ακτίνα της σφαίρας, έτσι, έτσι ώστε να αντέχουν πάρα πολλά volt. Πριν αρχίσει ο ιωνισμός. Από τη σχέση αυτή, εδώ, μας λέει ότι το μέγεθο δυναμικό το οποίο μπορώ να βάλω στη σφαίρα, εξαρτάται για την ακτίνα της σφαίρας, αν η ακτίνα είναι μικρή, είναι ευθέως ανάλογα, αν αυτό είναι μικρό, τότε είναι μικρό και τούτο, έτσι. Και να το δούμε, τι σημαίνει αυτό πρακτικά, ότι κοντά σε οξείες απολύξης, σε κεραίες δηλαδή, ή δελώνες μπορείτε να φανταστείτε, έτσι, αν αυτές φορδιστούν παράγονται σπινθείρες. Και τι κάνουμε τότε, αυτό το ρέμα λέγεται κορώνα, εντάξει, πρέπει να το ξέρατε από το λύκειο, γι' αυτό οι κεραίες, αν έχετε προσέξει, έχουν στην άκρη ένα μπαλάκι, ή κάτι τέτοιο. Ακριβώς αυτό κάνει, μεγαλώνει, έτσι, μεγαλώνει στην πραγματικότητα το μέγιστο δυναμικό, μεγαλώνει την ακτίνα της σφαίρας, γι' αυτό βάζουμε μπαλάκι, να μην είναι οξία η απολύξη, βάζοντας το μπαλάκι πάνω, σημαίνει ότι μπορεί να αντέξει περισσότερο δυναμικό, μπορούμε να η κεραία να έχει περισσότερο δυναμικό χωρίς να ακτινοβολεί. Εντάξει, αυτή είναι μια πρακτική εφαρμογή. Προχωράμε λίγο παρακάτω σε αυτά που ξέραμε. Έχω φορτισμένες παράλληλες πλάκες, όπως το σχήμα, και θέλω να υπολογιστεί το δυναμικό σε κάθε σημείο μεταξύ των δύο πλακών. Έτσι, μέχρι τώρα μιλήσαμε για σημειακό δυναμικό, το πεδίο που δημιουργεί και το δυναμικό σε κάποιο σημείο μέσα στο πεδίο που δημιουργείται από σημειακό φορτίο. Και μιλήσαμε για το πεδίο φορτισμένης σφαίρας, την οποία είπαμε όμως ότι πραγματικότητα ανάγκηται στο πεδίο του σημειακού φορτίου, γιατί έτσι μακριά από τη σφαίρα βλέπουμε τη σφαίρα σαν να είναι σημειακό φορτίο. Τα είπαμε αυτά. Τώρα πάμε λίγο παρακάτω. Έχω δύο φορτισμένες παράλληλες πλάκες, έτσι, και θέλω το δυναμικό σε κάθε σημείο μεταξύ των δύο πλακών. Εδώ προσέξτε, εδώ θεωρώ το σημείο 0 των αξώνων στην κάτω πλάκα, δηλαδή θεωρώ ένα σύστημα συντεταγμένων έτσι που να με βολεύει εμένα. Και θεωρώ ότι η δυναμική ενέργεια για το κυμαστικό φορτίο Q σε απόσταση ψή από την κάτω πλάκα που το είχα βρει πριν, θα είναι αυτήν η δυναμική ενέργεια σε οποιοδήποτε σημείο εδώ μέσα γιατί το είχα βρει πριν. Και το είχα βρει αρχίζοντας αυτήν την συζήτηση. Λοιπόν, η δυναμική ενέργεια είναι το φορτίο επί το πεδίο, επί την απόσταση από την κάτω πλάκα, έτσι, ωραία, αυτό δηλαδή εκεί. Τώρα, διαιρώ τη δυναμική ενέργεια με το φορτίο, με το φορτιάκι που είναι ανάμεσα, και αυτό το οποίο μένει είναι το πεδίο επί την απόσταση ψή. Δυναμική ενέργεια όμως δια φορτίο είναι τι? Είναι δυναμικό, έτσι. Άρα έχω το δυναμικό σε ένα οποιοδήποτε σημείο, το οποίο απέχει ψή απόσταση από την κάτω πλάκα, να δίνεται σαν το πεδίο επί την απόσταση. Είναι κατανοητή αυτή η σχέση ή θέλετε για να την ξαναπούμε? Θέλω να βρω το δυναμικό οπουδήποτε εδώ μέσα, μέσα στην πλάκα, έτσι. Ξέρω ότι η δυναμική ενέργεια είναι σε οποιοδήποτε σημείο μέσα στην πλάκα, είναι το φορτίο που θα βάλω στο σημείο αυτό, επί το πεδίο, επί την απόσταση του φορτίου αυτό από την κάτω πλάκα, εδώ. Ωραία, τη δυναμική ενέργεια αυτή, έτσι, αν τη διαιρέσω με Q, δυναμική ενέργεια προς Q τόνος προς το φορτίο, αυτό που θα μείνει θα είναι το πεδίο επί την απόσταση, αλλά υπενθυμίζω ότι η δυναμική ενέργεια προς φορτίο είναι δυναμικό, είναι δηλαδή αυτό που ψάχνω για να βρω. Άρα το δυναμικό, σε οποιοδήποτε σημείο εκεί ψή, είναι το πεδίο επί την απόσταση ψή. Έτσι, για όταν είμαι ανάμεσα στις δύο πλάκες. Είναι κατανοητό, από όλους. Αλλιώς με σταματάτε, έτσι, ρωτάτε, κάνετε. Συμφωνούμε? Λοιπόν, εδώ, προσέξτε, θεωρώ ότι η δυναμική ενέργεια είναι 0 και το δυναμικό είναι 0 στην κάτω πλάκα, εδώ. Στο σημείο ψή, ίσον με το 0, εκεί. Δηλαδή, στην κάτω πλάκα. Αυτή τη σχέση βρήκα, ότι το δυναμικό είναι το πεδίο επί την απόσταση. Αλλά κι οποιοδήποτε άλλο σημείο αναφοράς, αν θεωρούσα, πάλι στην ίδια σχέση θα κατέληγα. Δηλαδή, αν έπαιρνα σαν αναφορά ένα σημείο B, εκεί πέρα, οποιοδήποτε, πάλι στο ίδιο θα κατέληγα. Αν, δηλαδή, έλεγα, αν επέλεγα μια διαφορετική τιμή για το μηδενισμό της δυναμικής ενέργειας, μια διαφορετική απόσταση ψή, πάλι στο ίδιο αποτέλεσμα θα κατέληγα. Στο ίδιο ακριβώς θα κατέληγα. Λοιπόν, τι έχω βρει τώρα, ότι το δυναμικό, εδώ, ελατώνεται γραμμικά, καθώς πηγαίνω από την πάνω πλάκα προς την κάτω. Γιατί το πεδίο είναι παντού το ίδιο, ανάμεσα από τις δύο πλάκες, η απόσταση ψή, όμως, μικρένει από κει προς τα κάτω. Έτσι, αφού μικρένει η απόσταση από κει προς τα κάτω, εδώ, αυτό το ψή δηλαδή μικρένει, τότε και το δυναμικό μικρένει, όσο πηγαίνω προς την κάτω πλάκα. Εντάξει. Λοιπόν, πάω τώρα να δω τι γίνεται στο σημείο α. Στο σημείο α, η απόσταση από την κάτω πλάκα είναι δ. Είναι, δηλαδή, η απόσταση μεταξύ των δύο πλακών. Επομένως, το δυναμικό εκεί θα το πω δυναμικό στο σημείο α και εύκολα βγαίνει ότι η διαφορά δυναμικού από το α στο μπ, που είχαν το πεδίο επί την απόσταση, από ό,τι έχω βρει πριν, εντάξει. Και, αν τα αντιστρέψω αυτά, λύνω όσο στο πεδίο, και το πεδίο μου λέει ότι θα είναι η διαφορά δυναμικού από το α στο μπ, διά της απόστασης, διά του μπ. Μάλιστα. Αυτό θα σας εφηστήσω ότι η προσοχή ισχύει μόνο εδώ. Ισχύει μόνο για επίπεδη γεωμετρία, έτσι. Ισχύει μόνο για το πεδίο ανάμεσα στις δύο πλάκες και όχι για το πεδίο που θα είναι ανάμεσα σε δύο ομόκεντρες σφαίρες ή σε ομοαξιονικούς κυλίνδρους. Τώρα θα αλλάξουμε λίγο τη μονάδα του πεδίου, γιατί εδώ βλέπουμε ότι το πεδίο ορίζεται σαν η διαφορά δυναμικού από το α στο μπ, διά της απόστασης. Άρα εύκολα βλέπω ότι το πεδίο έχει μονάδες βόλτα αναμέτρο. Λοιπόν, το βόλτα αναμέτρο το οποίο αποδεικνύεται πολύ εύκολα ότι είναι το νιούτον ανακουλόβ, το οποίο ήξερα πριν. Και από εδώ και πέρα δεν θα χρησιμοποιούμε ως μονάδα πεδίου το νιούτον ανακουλόβ, αλλά το βόλτα αναμέτρο, έτσι. Οπουδήποτε έχετε δει να αναφέρονται πεδία, τα πεδία αναφέρονται σε βόλτα αναμέτρα. Λοιπόν, αυτό μας βολεύει πάρα πάρα πολύ ότι το πεδίο είναι βόλτα αναμέτρο, έτσι. Γιατί τα βόλτα μετριούνται, η διαφορά δυναμικού με μετριέται με ένα βολτόμετρο. Ενώ δεν έχουμε όργανα να μετρήσουμε την επιφανειακή πυκνότητα του φορτίου, να μετρήσουμε δηλαδή τα πετακουλόβ, καταλάβατε. Για αυτό ακριβώς βολεύει πάρα πολύ αυτός ορισμός και πάρα πολύ αυτή η μονάδα, την οποία χρησιμοποιούμε το βόλτα αναμέτρο. Προχωράμε τώρα λίγο σε πιο περίπλοκα παραδείγματα. Θέλω το δυναμικό σε απόσταση R από πολύ μακριά κατανομή φορτίου, γραμμική κατανομή, σαν αυτή εδώ βλέπετε, είναι σαν φαντάζεστε ένα σύρμα, έτσι, απίρων διαστάσεων, δηλαδή πολύ μακρή σύρμα στο οποίο πάνω κατανέμονται φορτία, ομοιόμορφα κατανέμειμένα πάνω. Εντάξει και θέλω το πεδίο και το δυναμικό, το δυναμικό αν προκειμένω, το πεδίο το είχα βρει σε προηγούμενες ασκήσεις, έτσι, σε απόσταση R από το σύρμα και επίσης σε απόσταση R από τον άξονα κιλίνδρου, εδώ, φορτισμένου κιλίνδρου. Θυμηθείτε ότι για τα παραδείγματα αυτά, για αυτού του είδους τις κατανομές, χρησιμοποιούσα πάρα πολύ το φορτίο αναμονάδα μήκους, έτσι, το φορτίο αναμονάδα μήκους που έχω, λοιπόν, από τα προηγούμενα παραδείγματα έχω βρει το πεδίο, το έχω βρει και στο πρώτο και στο δεύτερο μάθημα, το πεδίο σε κάποια απόσταση από το σύρμα, έτσι, ωραία. Το δυναμικό τώρα μεταξύ δύο σημείων που είναι σε ακτινικές αποστάσεις, εδώ Rα και Rβ, ας πούμε, δηλαδή από το σημείο αυτό στο σημείο εκείνο, έτσι, η διαφορά δυναμικού, σύμφωνα με τις σχέσεις που έχω βρει ήδη σε προηγούμενες διαφάνειες, θα είναι, έτσι, το ολοκλήρωμα του πεδίου εσωτερικός επί την απόσταση. Και εύκολα βλέπω ότι η διαφορά δυναμικού δίνεται από το συγκεκριμένο τύπο. Ναι, πολύ εύκολα, χρησιμοποιώντας μια απλή σχέση εδώ, βρίσκω τη δυτική διαφορά δυναμικού. Βέβαια αυτό θέλει λίγο διερεύνηση, γιατί εδώ πέρα δεν μπορώ να θεωρήσω το δυναμικό 0 σε άπειρη απόσταση από το σύρμα. Γιατί, ξέρετε γιατί, γιατί τότε, κοιτάξτε τι γίνεται, το δυναμικό γίνεται άπειρο και σε οποιαδήποτε πεπερασμένη απόσταση. Δηλαδή, αν θεωρήσω ένα σύρμα και το δυναμικό σε κάποιο σημείο, ένα σύρμα στο οποίο είναι φορτισμένο, και το δυναμικό σε κάποιο σημείο μακριά από το σύρμα, το σύρμα αυτό, τεράστιο, με άπειρες διαστάσεις, εκτυνόμενο απείρος προς τα πάνω και προς τα κάτω, και ένα σημείο εδώ. Ναι, λέω ότι αν θεωρήσω το δυναμικό 0 στο άπειρο, τότε είναι άπειρο και στο σημείο αυτό. Γιατί, γίνεται μαθηματικά. Έτσι, γιατί το δυναμικό σε κάποια πεπερασμένη απόσταση δίνεται από το συγκεκριμένο τύπο, και αν για απόσταση Rb, εγώ θεωρήσω το Rb είναι το άπειρο, έτσι ώστε να πάρω σημείο αναφοράς για το δυναμικό, τότε όμως ο συγκεκριμένος τύπος μου λέει ότι είναι άπειρο το δυναμικό και σε οποιαδήποτε πεπερασμένη απόσταση. Άρα δεν μπορώ να το κάνω αυτό. Με τίποτα. Δεν μπορώ να το κάνω, έτσι. Πρέπει να βρω άλλο σημείο αναφοράς. Εντάξει, αν το δυναμικό είναι 0 στο άπειρο, είναι άπειρο το δυναμικό είναι πάρα πολύ μεγάλο, είναι τεράστιο σε κάθε πεπερασμένη απόσταση. Δεν μπορώ να το κάνω επομένως αυτό. Πρέπει να ορίσω κάτι άλλο. Άρα πρέπει να το ορίσω 0 σε μια αυθαίρετη απόσταση από το σύρμα. Μια αυθαίρετη απόσταση. Αν το Rb το πάρω R0, εγώ λέω ότι κοιτάξτε, εδώ είναι το σύρμα, το σημείο αυτό το θεωρώ 0, σημείο αναφοράς. Κι όλα τα άλλα δυναμικά, εκεί, εκεί, εκεί και εκεί, αναφέρονται πάνω σε αυτό. Εντάξει, σε μια συγκεκριμένη ακτινική απόσταση. Το κατανοούμε? Ορίζω εγώ δηλαδή ποιο είναι το σημείο στο οποίο το δυναμικό μηδενίζεται. Η σχέση η ίδια μπορώ να τη χρησιμοποιήσω για να βρω το δυναμικό μέσα στο πεδίο κυλίνδρου. Την ίδια σχέση. Είναι θέμα. Βέβαια τώρα, έξω από τον κύλινδρο, ο κύλινδρος θεωρώ ότι έχει μια ακτίνα R κεφαλαίο, έξω από τον κύλινδρο ποιο είναι το δυναμικό. Και εδώ κάνω κάτι πιο έξυπνο, ορίζω το δυναμικό να είναι 0 πάνω στην επιφάνεια του κυλινδρού. Αυτός είναι ο κύλινδρος, λέω το δυναμικό πάνω στον κύλινδρο είναι 0, αυτό είναι το σημείο αναφοράς και έτσι μπορώ να βρω το δυναμικό σε οποιαδήποτε άλλη απόσταση μακριά από τον κύλινδρο που θα δίνεται από τη σχέση αυτή. Είναι η ίδια σχέση που θα πρέπει για τη γραμμική κατανομή. Μπορώ για να τα προχωρήσω αυτά, να τα κάνω συνεχώς πιο περίπλοκα. Θέλω να βρω το δυναμικό σε ένα σημείο π. Όπως θυμηθείτε, στα δύο προηγούμενα μαθήματα βρήκα το πεδίο σε ένα σημείο π, το πεδίο το οποίο οφείλεται σε ένα φορτισμένο δακτήλιο, σε έναν ομοιόμορφο φορτισμένο δακτήλιο, στο σημείο π. Και είχα ξεκινήσει για να λύσω τότε το αντίστοιχο πρόβλημα με το πεδίο, κάνοντας την παρατήρηση ότι το σημείο π απέχει το ίδιο από όλα τα σημεία του δακτυλίου. Αφού βρίσκεται πάνω στον άξονα του δακτυλίου, απέχει το ίδιο από όλα τα σημεία του δακτυλίου. Αυτή είναι η απόσταση του σημείου π. από οποιοδήποτε σημείο του δακτυλίου. Και χρησιμοποιώ την σχέση για τη συλλογή φορτίων, μόνο που εδώ την διαμορφώνω λιγάκι, το QI εκείνο μπορώ να το θεωρήσω DQ για ένα στοιχειώδες φορτίο και κατά συνέπεια να θεωρήσω το άθροισμα. Αφού όλα τα στοιχειώδη φορτία απέχουν το ίδιο από το σημείο π, τότε η απόσταση RI εδώ είναι σταθερή και βγαίνει έξω από την άθροιση. Το άθροισμα που θα μείνει όλων των στοιχειωδών φορτίων θα είναι το συνολικό φορτίο που έχει ο δακτύλιος. Έτσι δεν θα το κάνουμε πιο αναλυτικά. Έχω το δακτύλιο φορτισμένο και θεωρώ ένα σημείο π το οποίο βρίσκεται πάνω στον άξονα. Το σημείο π απέχει το ίδιο από όλα τα σημεία του δακτυλίου, έτσι είναι ο δακτύλιος και το σημείο. Απέχει το ίδιο από όλα τα σημεία του δακτυλίου είναι φανερό. Δηλαδή το σημείο π απέχει το ίδιο από ένα σημείο εδώ και από ένα σημείο εκεί πέρα. Από όλα τα σημεία του δακτυλίου έχει διά απόσταση. Και η απόσταση αυτή είναι αυτό που λέει η διαφάνεια. Η απόσταση αυτή R θα είναι η ρίζα χ τετράγωνο και α τετράγωνο όπου α θα θεωρήσω την ακτίνα του δακτυλίου. Και έχει την απόσταση από το κέντρο του δακτυλίου, την απόσταση αυτή δηλαδή. Εντάξει. Επαναλαμβάνω, το σημείο π απέχει το ίδιο από όλα τα σημεία του δακτυλίου. Ο δακτύλιος είναι φορτισμένος, έτσι. Μπορώ να θεωρήσω ένα στοιχειώδες τμήμα του, το οποίο θα έχει φορτίο DQ. Ναι. Εντάξει. Το φορτιάκι αυτό το DQ θα προκαλέσει πεδίο στο σημείο π, θα έρθει και κάποιο δυναμικό στο σημείο π. Το δυναμικό στο σημείο π από το φορτίο DQ, δηλαδή το στοιχειώδες δυναμικό DV θα είναι από ότι ξέρω ένα προς τέσσερα π ε0, γιατί είναι στοιχειώδες σημιακό φορτίο το DQ, έτσι. DQ προς R την αφώσταση αυτή. Πάρτε το DQ εδώ, το ίδιο είναι. Μας κάνει το ίδιο. Έτσι. Αν εγώ θεωρήσω όλα τα DQ, κι αυτό κι εκείνο κι εκείνο, και θυμηθείτε τι έχω πει, ότι το πεδίο μιας συλλογής φορτίων, έτσι, είναι το άθρησμα των επιμέρους πεδίων. Αυτό δεν έχω πει. Έτσι δεν είναι. Άρα και το δυναμικό εδώ πέρα, το συνολικό δυναμικό θα είναι το άθρησμα DQ προς RI, της αποστάσης δηλαδή, αν θεωρήσω αυτή την αποστάση RI, έτσι, ή GI από όσα έχω, έτσι. Αυτές οι αποστάσεις όμως, όπου κι αν βρίσκεται το φορτιάκι DQ είναι ίδιες. Άρα αυτό το RI βγαίνει έξω από το άθρησμα, θα μου κάνει 1 προς 4P, ε0, 1 προς R, σ, DQ. Αυτό εδώ είναι το φορτίο Q ολόκληρο που έχει ο δακτήλιος. Αυτό βρήκα πριν, αυτό έγραψα πριν χωρίς πολλά πολλά. Έτσι, το φορτίο Q που έχει ο δακτήλιος όλος. Άρα βρήκα το δυναμικό το οποίο προκαλείται σε απόσταση P από το κέντρο του δακτήλιου. Και σε μεγάλη απόσταση είναι προφανές, αν ξαναγυρίσω πίσω κάνω διερεύνηση όπως έκανα πριν, σε πολύ μεγάλη απόσταση από το δακτήλιο, όταν το χ δηλαδή θα είναι κατά πολύ μεγαλύτερο του α και το α θα είναι αμεληταίο, τότε έχω ότι το δυναμικό θα δίνεται από τη σχέση αυτή δηλαδή θα εξαρτάται μόνο από το χ. Μάλλα λόγια σε πολύ μεγάλη απόσταση ο δακτήλιος φαίνεται όλος σαν να είναι σημείο, σαν όλο το φορτίο να είναι σημιακό και συγκεντρωμένο στο κέντρο του. Εντάξει? Αυτό μας λέει αυτή η σχέση. Και καταλήγουμε στο ίδιο συμπέρασμα που είχα καταλήξει και στα προηγούμενα μαθήματα θεωρώντας μόνο το πεδίο. Ότι ο δακτήλιος από μακριά φαίνεται σαν σημιακό φορτίο. Το ίδιο θα συμβεί και πηγαίνω πολύ γρήγορα για το δυναμικό μακριά από ένα ευθύγραμο τμήμα φορτισμένο. Να φανταστείτε αυτό εδώ, ένα σηλό που έχει φορτία, έτσι και το δυναμικό σε κάποια απόσταση. Έτσι? Στα προηγούμενα μαθήματα είχα βρει το πεδίο στο σημείο π. Θεωρώ πάλι στοιχειώδες φορτίο, ή μάλλον διαιρό αν θέλετε αλλιώς το ευθύγραμο τμήμα σε στοιχειώδη φορτία, σε πάρα πολλά στοιχειώδη φορτία. Το καθένα από αυτά θα απέχει από το σημείο π. Απόσταση που δίνεται από τη σχέση αυτή, δηλαδή από το πιθαγόριο θεώρημα για το τρίγωνο ομικρον δικιού π. Αυτό για το τριγωνάκι αυτό. Προσέξτε, η απόσταση τώρα του στοιχειώδους φορτίου από το σημείο που θέλω να βρω το δυναμικό, δεν είναι η ίδια παντού. Αλλάζει, έτσι, όπως πριν στο δακτήλιο. Και το στοιχειώδες δυναμικό που θα προκαλεί στοιχειώδες φορτίου δικιού, θα δίνεται από τη σχέση αυτή, η ίδια την οποία χρησιμοποίησα πριν. Εδώ βέβαια χρησιμοποιώ και τη σχέση συμμετρίας, την οποία είχα χρησιμοποιήσει στα προηγούμενα μαθήματα. Αυτή είναι η σχέση συμμετρίας η οποία ισχύει για το ευθύγραμο τμήμα, το οποίο θεώρησα ομοιόμορφα φορτισμένο, που σημαίνει ότι το στοιχειώδες φορτίο προς όλο το φορτίο θα έχει την ίδια σχέση που έχει. Το στοιχειώδες ευθύγραμο τμήμα προς όλο το μήκος αυτό, το οποίο είναι 2α, γιατί πάει από μειών α έως α. Και με βάση αυτές τις δύο σχέσεις εύκολα πια καταλήγω σε μία σχέση για το στοιχειώδες δυναμικό και τι έχω να κάνω πια, ολοκλήρωση. Η ολοκλήρωση, η οποία μην τη βλέπετε να καταλήγει σε μία περίπλοκη έκφραση, είναι εύκολα υπολογίζεται αυτό το ολοκλήρωμα, είναι ένα από τα κλασικά ολοκληρώματα, η λύση που υπάρχει στα μαθηματικά τυπολόγια σε όλα και εύκολα βρίσκεται ότι όταν το χ είναι πολύ μεγάλο και το δυναμικό τύνει στο μηδέν. Όταν το χ τύνει στο άπειρο αυτό τύνει στο μηδέν. Αυτό δεν είναι τόσο εύκολο για να το δείξετε μαθηματικά αλλά τέλος πάντων αποδεικνύεται. Και καταλήγουμε πάλι στο ίδιο όπως πριν. Εδώ σταματάω με την ιστορία αυτή, δηλαδή το πως βρίσκουμε δυναμικά. Είναι φανερό όμως όχι, ότι τα δυναμικά βρίσκονται πολύ πιο εύκολα από ότι το πεδίο αυτό κάθε αυτό. Γιατί το πεδίο είναι διανισματικό μέγεθος και το δυναμικό μονόμετρο. Άρα οι υπολογισμοί που έχουν να κάνουν δυναμικά είναι πιο εύκολοι. Λογικό είναι προφανώς. Κάθε επιφάνεια τώρα στην οποία το δυναμικό έχει διατιμήσει όλα τα σημεία λέγεται ισοδυναμική. Αυτό το ξέρετε από το Λύκιο φαντάζομαι. Λοιπόν, και οι ισοδυναμικές επιφάνειες μας δίνουν μια εποπτική εικόνα του πεδίου, όπως ακριβώς μας έδινε οι γραμμές του πεδίου, ή αλλιώς τις είπαμε δυναμικές γραμμές αυτές. Λοιπόν, άρα τι μου χρησιμεύουν οι ισοδυναμικές επιφάνειες, το να έχω μια εποπτική εικόνα του πεδίου. Ωραία. Αν έχω τώρα ένα δοκιμαστικό φορτίο, το οποίο κινείται πάνω σε μια ισοδυναμική επιφάνεια, είναι προφανές ότι δεν παράγει έργο. Αφού το δυναμικό είναι το ίδιο πάνω στην επιφάνεια αυτή, το έργο το οποίο θα παραχτεί για κίνηση από ένα σημείο στην επιφάνεια αυτή σε ένα άλλο σημείο της επιφάνειας είναι 0. Έτσι. Θυμηθείτε, έργο προς φορτίο είναι διαφορά δυναμικού. Ναι, αφού η διαφορά δυναμικού είναι 0 και το έργο είναι 0 πάνω στην ισοδυναμική. Λοιπόν, επομένως το πεδίο, αφού το έργο είναι 0, το πεδίο δεν έχει συνηστώσα εφαπτομενική της ισοδυναμικής. Γιατί το έργο είναι 0, γιατί τότε για κίνηση πάνω στην ισοδυναμική θα παρεί για το έργο, ενώ δεν παράγεται. Είναι κατανοητό αυτό. Αυτή είναι η πιο δύσκολη έννοια που έχουμε να καταλάβουμε σήμερα. Εντάξει, το πεδίο δεν έχει συνηστώσα εφαπτομενική πάνω στην ισοδυναμική. Γιατί αν είχε τέτοια συνηστώσα τότε θα παρεί για το έργο για κίνηση ενός φορτίου πάνω στην ισοδυναμική επιφάνεια. Έτσι. Άρα το πεδίο είναι πάντα κάθετο στην ισοδυναμική επιφάνεια. Γιατί έχει συνηστώσα μόνο κάθεται στην ισοδυναμική επιφάνεια. Δεν μπορεί να έχει συνηστώσα εφαπτομενική της ισοδυναμικής επιφάνειας. Το καταλάβαμε κυρίες και κύριοι. Στο πεδίο οποιασδήποτε κατανομίσεις φορτίουν συμβαίνει αυτό. Από αυτό συνάγεται ότι οι δυναμικές γραμμές και οι ισοδυναμικές επιφάνειες είναι πάντα κάθετες μεταξύ τους. Εντάξει. Διαβάζουμε και λίγο κατά τη διάρκεια της εβδομάδας. Παρένθεση είναι αυτό. Εντάξει. Θέλει. Το θέλει. Λίγο. Εντάξει. Λοιπόν, το ηλεκτρικό πεδίο μόλις έξω από έναν αγογό πρέπει να είναι κάθετο στην επιφάνεια του αγογού. Λοιπόν, μπορούμε να το αποδείξουμε αυτό. Μπορούμε. Άλλαξα λίγο τώρα. Μέχρι στιγμής απέδειξα ότι οι ισοδυναμικές επιφάνειες και οι γραμμές του πεδίου είναι πάντα κάθετες μεταξύ τους. Ναι. Συμφωνούμε. Τώρα πάω λίγο σε μία άλλη έννοια. Θέλω να δω τι γίνεται για το πεδίο μόλις έξω από έναν αγογό. Ναι. Και λέω ότι το ηλεκτρικό πεδίο έξω από τον αγογό πρέπει να είναι και αυτό κάθετο στην επιφάνεια του αγογού. Και πάω να το αποδείξω. Θεωρώ ένα παραλληλόγραμμο βρόχο, όπως αυτός ο οποίος φαίνεται, ο οποίος είναι μερικός μέσα και μερικός έξω από τον αγογό. Έτσι. Έχω τον αγογό εδώ με το κίτρινο χρώμα, το κενό από πάνω και θεωρώ ένα βρόχο αυτόν μερικός μέσα και μερικός έξω από τον αγογό. Μέσα στον αγογό τι ξέρω, ότι το πεδίο είναι μηδέν, έτσι. Αν θεωρήσω όμως εγώ κίνηση ενός χορτίου πάνω στον βρόχο αυτόν, δηλαδή να το χορτιάκι, να το βάζω να κινηθεί κλειστά πάνω στον βρόχο, δηλαδή να κάνει μια κίνηση από ένα σημείο του βρόχου και να ξαναγυρίσει στο ίδιο σημείο. Έτσι. Τότε το έργο θα είναι μηδέν. Θα είναι μηδέν, γιατί το πεδίο είναι διατηρητικό, το ξέρω. Ναι. Θα είναι μηδέν, ωραία, τώρα αρχίζουν και τα δύσκολα όμως. Αφού θα είναι μηδέν, έτσι, το έργο για την κίνηση αυτή, προσέξτε, σημαίνει τι? Ότι θα είναι μηδέν για τις δύο διαδρομές όπου βλέπω ότι είναι με αντίθετη κατεύθυνση, αλλά, εντάξει, θα είναι μηδέν και από την άλλη μεριά μέσα στον αγωγό, στη διαδρομή, έτσι. Κατά συνέπεια, αν δεν είναι το έργο μηδέν και για τη διαδρομή που είναι έξω από τον αγωγό, τότε έχω κάποιο άτοπο εδώ πέρα, έτσι. Δεν μπορεί να είναι το συνολικό έργο μηδέν, θα το κάνουμε και με σχηματάκια να το καταλάβουμε. Θεωρώ έναν αγωγό, αυτό να δω, εντάξει, και λέω τι γίνεται αμέσως έξω από τον αγωγό. Έτσι, αμέσως έξω από τον αγωγό θα έχω ένα πεδίο, αφού θα έχω πεδίο θα έχω και κάποια δύναμη, που θα εξασκείται σε οποιοδήποτε φορτίο φέρω εγώ εκεί. Ωραία, φέρω ένα στοιχειόδες φορτιάκι τέτοιο και το αναγκάσω να κάνει αυτή την κίνηση. Να κινηθεί έτσι, να περάσει μέσα την επιφάνεια του αγωγού, να κινηθεί μέσα στον αγωγό και να ξαναγυρίσει πίσω. Εντάξει, εγώ ξέρω ότι το συνολικό έργο θα είναι μηδέν για την κίνηση αυτή του φορτίου. Ωραία, θα είναι μηδέν. Εύκολα συμπερένω ότι το έργο αυτό για την κίνηση αυτή θα είναι ίσο και αντίθετο με το έργο για την κίνηση αυτή. Αλλά θα είναι μηδέν εδώ, ας το πούμε. Θα είναι όμως μηδέν και μέσα στον αγωγό, εδώ, γιατί μέσα στον αγωγό το πεδίο είναι παντού μηδέν. Έτσι, θυμηθείτε το πεδίο είναι φορτίο επί δύναμη. Άρα και η δύναμη θα είναι μηδέν, άρα και το έργο θα είναι μηδέν, εδώ μέσα. Έτσι, κατά συνέπεια μένει το έργο, το συνολικό έργο, κατά την κίνηση αυτή ανάγκηται στο έργο, στο έργο, κατά την γραμμή αυτή μόνο, έτσι, το οποίο εγώ είπα ότι το συνολικό θα είναι μηδέν. Εντάξει, για να είναι το συνολικό μηδέν, αυτό είναι μηδέν, αυτό με αυτό φεύγει, άρα και αυτό είναι μηδέν, εκεί. Και από εδώ έως εκεί είναι μηδέν, δεν μπορεί να γίνει αλλιώς, αλλιώς θα καταλήξω σε άτοπο. Αλλιώς καταλήγω σε άτοπο. Εντάξει. Που κατέληξα τώρα, κατέληξα ότι και το έργο για τη διαδρομή αυτή από εδώ έως εκεί θα είναι και αυτό μηδέν. Έτσι, αναγκαστικά, δεν γίνεται αλλιώς, αφού το έργο θα είναι μηδέν, έτσι, δεν υπάρχει, θα είναι και η δύναμη, οποιαδήποτε δύναμη μηδέν και το πεδίο επομένως μηδέν, γιατί το πεδίο είναι δύναμη αναμονάδα υποθέματος, έτσι. Άρα θα είναι και το πεδίο, θα είναι μηδέν, όχι ακριβώς, δεν θα έχει συνηστώσα, έτσι, το πεδίο, κατά μήκος αυτής της γραμμής, έτσι, για να κάνει το έργο μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι έχει συνηστώσα μόνο κάθετη, μόνο αυτή η συνηστώσα υπάρχει. Δεν υπάρχει εφαπτομενική συνηστώσα, δεν υπάρχει συνηστώσα κατά μήκος της κίνησης αυτής, έτσι, γιατί τότε έρχεται σε αντίφαση με το διατηρητικό πεδίο και καταλήγουμε σε άτοπο. Κατά συνέπεια τι βγάλαν ως συμπέρασμα, υπάρχει μόνο η κάθετη συνηστώσα στην επιφάνεια του αγωγού, έτσι, αφού υπάρχει μόνο η κάθετη συνηστώσα στην επιφάνεια του αγωγού, η επιφάνεια του αγωγού είναι ισοδυναμική. Τι είχαμε αποδείξει πριν, είχαμε αποδείξει ότι οι ισοδυναμικές επιφάνειες και οι δυναμικές γραμμές πεδίου είναι κάθετες, έτσι. Τι αποδείξαμε τώρα με το νοερό πείραμα αυτό, δηλαδή με την κίνηση ενός φορτίου εδώ μερικός μέσα και μερικός έξω από τον αγωγό, έτσι. Αποδείξαμε ότι το πεδίο, αμέσως έξω από τον αγωγό, στην επιφάνεια του αγωγού, δηλαδή, έχει μόνο κάθετη συνηστώσα. Άρα ο αγωγός είναι ισοδυναμική επιφάνεια. Η επιφάνεια του αγωγού είναι ισοδυναμική επιφάνεια. Σωστά. Κάθε αγώγημη επιφάνεια επομένως είναι ισοδυναμική επιφάνεια. Αυτό αποδείξαμε τώρα. Πολύ σημαντικό αυτό. Αυτό σημαίνει ότι οι γραμμές του πεδίου σταματάνε στις ισοδυναμικιστής επιφάνειες των αγωγών. Ναι, να το, καλη ώρα. Έχω το πεδίο το οποίο δημιουργεί αυτή η κατανομή φορτίων εκεί, σφέρα, εδώ μια αγώγημη σφέρα πάλι, έτσι. Έτσι. Βλέπω ότι οι γραμμές του πεδίου σταματάνε πάνω στην αγώγημη επιφάνεια. Και η επιφάνεια αυτή η ίδια είναι μια ισοδυναμική επιφάνεια. Εντάξει. Λοιπόν, να ένα άλλο παράδειγμα. Η ισοδυναμική επιφάνεια αυτή η αγώγημη είναι ισοδυναμική επιφάνεια. Οι γραμμές του πεδίου σταματούν πάνω εκεί. Έτσι. Βλέπετε και τις άλλες ισοδυναμικές που είναι ζωγραφισμένες με μπλε χρώμα στη διαφάνεια αυτή και είναι ομόκεντρικύκλοι οι άλλες ισοδυναμικές. Λοιπόν, εδώ βλέπουμε τις ισοδυναμικές γραμμές πάνω στην επιφάνεια της Γης. Είναι γραμμές ίσου δυναμικού. Αυτό σας το θέλω σε ένα παράδειγμα γιατί είμαστε γεωλόγοι, έτσι. Στην εφαρμοσμένη γιοφυσική, την ειδικότητά μου, μετράμε πολύ συχνά το δυναμικό στην επιφάνεια της Γης. Εντάξει, και χαράσουμε ισοδυναμικές επιφάνειες. Μάλιστα λέγεται μέθοδος SP, Spontaneous Polarization, του αυτοφυούς, αυτόνομου δυναμικού, κάπως έτσι, αυθόρμητου δυναμικού, αυθήπαρτιου δυναμικού στην επιφάνεια της Γης, όπως θέλετε πείτε το. Είναι πολύ συχνό, δηλαδή, στη δουλειά μας να δούμε χάρτες ισουδυναμικού πάνω στην επιφάνεια της Γης. Λοιπόν, προχωράω λίγο γρήγορα από αυτά από τις Κασουλιανές, δεν μας ενδιαφέρουν, είναι αποδείξεις, να πούμε ότι αποδεικνύεται και αποδεικνύεται εδώ, δεν θα σας, δεν θα πούμε λόγω χρόνου την απόδειξη, θα πάμε κατευθείαν στο αποτέλεσμα, η απόδειξη υπάρχει μες στο βιβλίο όμως, είναι ότι το πεδίο κατά τη διεύθυνση DL είναι ο ρυθμός μεταβολής του δυναμικού κατά την ίδια διεύθυνση, αυτή είναι από τις πιο σημαντικές σχέσεις. Λοιπόν, το πεδίο κατά μια διεύθυνση, γιατί το πεδίο θυμηθείται είναι διάνισμα, έτσι, άρα μπορώ να το αναλύσω σε συνιστώσες, μπορώ να πάρω τη συνιστώσή του κατά μια διεύθυνση, καθεανδήποτε διεύθυνση εγώ θέλω, λέω ότι το πεδίο κατά μια διεύθυνση DL είναι ο ρυθμός μεταβολής του δυναμικού κατά την ίδια διεύθυνση. Προχώρησα, παρέληξα την απόδειξη, η οποία είναι εύκολη, λόγω χρόνου, μια απόδειξη η οποία υπάρχει στις διαφάνειες. Δεν είναι κάτι το οποίο μπορεί να μας κάνει να σπαταλούσουμε χρόνο τώρα αυτή τη στιγμή. Λοιπόν, και σε καρτεσιανό σύστημα αν θεωρήσω τη σχέση αυτή, δηλαδή είπα ότι η συνιστώσα του πεδίου καθεανδήποτε διεύθυνση είναι η παράγωγος του δυναμικού στη διεύθυνση αυτή. Αν αντί να πω οποιαδήποτε διεύθυνση θεωρήσω τις τρεις διεύθυνσεις χύψης ζέτενος της ορθογώνιου συστήματος, τότε το πεδίο κατά τις τρεις αυτές διεύθυνσεις είναι η παράγωγος του δυναμικού προς τις διεύθυνσεις αυτές, το αρνητικό της παραγώγου του δυναμικού, το αντίθετο δηλαδή. Το αντίθετο πηγαίνει ως προς τη μεταβολή του δυναμικού. Ξέρω ότι το πεδίο όμως είναι διανισματικό μέγεθος και κατά συνέπεια αν συνδυάσω, αν το εκφράσω αυτή τη σχέση διανισματικά θα μπορώ να την γράψω έτσι. Αυτό γίνεται πολύ πιο εύκολο αν χρησιμοποιήσω τον τελεστή ανάδελτα ο οποίος είναι ακριβώς ο τελεστής των μερικών παραγώγων. Το ανάδελτα είναι η γενικευμένη παράγωγος θα μπορούσαμε να πούμε, η παράγωγος στον χώρο, η γενικευμένη παράγωγος, ή αλλιώς ο ρυθμός μεταβολής στον χώρο. Απλώς να σας αναπούμε τώρα κάτι σχετικά με ισοδυναμικές επιφάνειες. Στο πεδίο βαρύτητας ποιες είναι οι ισοδυναμικές επιφάνειες. Οι ισουψείς ενός χάρτη είναι γραμμές ισοδυναμικού? Είναι. Αυτό σημαίνει ότι έχει το ίδιο ύψος, δηλαδή την ίδια απόσταση από το κέντρο της Γης. Κατά συνέτεια θα βρίσκεται και σε ίδιο δυναμικό από το κέντρο της Γης. Άρα η κίνηση πάνω σε μια ισουψή δεν παράγει έργο, αν δεν υπήρχε η τριβή. Δεν παράγει έργο χωρίς τριβή. Άρα το ακριβές αντίστοιχο της ισοδυναμικής επιφάνειας είναι οι ισουψείς γραμμές του τοπογραφικού χάρτη. Σας πενθυμίζω εκεί ότι οι επιφάνειες των λιμνών είναι επιφάνειες ισοδυναμικού στην πραγματικότητα. Δεν σκόνται σε ίσια απόσταση από το κέντρο της Γης. Άρα μπορούμε να θεωρήσουμε κατά κάποιο τρόπο τις επιφάνειες των λιμνών αντίστοιχες με τις επιφάνειες των αγογών. Εδώ. Οι επιφάνειες των αγογών στον υγρουστατικό πεδίο έχουν ίδιο δυναμικό. Οι επιφάνειες των λιμνών στο πεδίο βαρύτητας της Γης έχουν ίδιο δυναμικό επίσης. Άρα είναι αντίστοιχες οι επιφάνειες των υγρών στο πεδίο βαρύτητας με τις επιφάνειες των αγογών στον ηλεκτροστατικό πεδίο. Βέβαια, με τη σχέση που σας είπα πριν, μπορούμε να βρούμε, γι' αυτό πηγαίνω λίγο γρήγορα αυτές τις σχέσεις, δεν πω ούτως ή άλλως, δεν πρόκειται να σας τις ζητήσουμε στις εξετάσεις, απλώς θεωρώντας ότι το πεδίο είναι η παράγωγος του δυναμικού, το πεδίο προς μια συγκεκριμένη κατεύθυνση είναι η παράγωγος του δυναμικού προς την ίδια κατεύθυνση, έτσι, μπορώ να χρησιμοποιήσω αυτή τη σχέση για να βρω το πεδίο ξέροντας το δυναμικό. Καταλήγω στις ίδιες σχέσεις που κατέληξα στα προηγούμενα μαθήματα, εδώ, έτσι, θεωρώντας δηλαδή για ένα σημιακό φορτίο παίρνω, ξέρω το δυναμικό, έτσι, και λέω πόσο είναι το πεδίο, παραγωγίζω το δυναμικό και βρίσκω το πεδίο. Για ένα σημιακό φορτίο, για κάποιο κίνδυνο, μπορώ να το πάρω το ίδιο για όλα τα παραδείγματα που σας είπα πριν, έτσι. Λοιπόν, νομίζω ότι εδώ τελειώνουμε σήμερα, ελάχιστα πράγματα έχουμε να πούμε την άλλη φορά για το ηλεκτρονιοβόλτ και να προχωρήσουμε σε ένα καινούργιο μάθημα.