Διάλεξη 20 / Διάλεξη 20 - Νικολαϊδης Αργύριος (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Διάλεξη 20: Μουσική Καλησπέρα και από μου. Ονομάζομαι Καβουρός Περικλής και είμαι φοιτητής του Μαθηματικού. Το θέμα είναι Γεμετρία και Φιλοσοφία. Η αφορμή για το θέμα υπήρξε σε μία συζήτηση που είχε γίνει σε ένα μάθημα σχετικά με τον ευκλήδη και το κατά πόσο καθόρισε την εξέλιξη της γεωμετρίας και της μη ευκλήδης γεωμετρίας που ανακαλύφθηκε και κατά πόσο αυτές αποτελούν ένα ριζοσπαστικό και νούριο ρεύμα στην επιστήμη ή όχι. Κυρίως θέλω να σας συνδέσω τη γεωμετρία με τη φιλοσοφία γιατί η γεωμετρία απεικονίζει με ιδεατά σχήματα σε ένα μαθηματικό χώρο, καθαρά μαθηματικό, τον τρόπο με τον οποίο ο κάθε άνθρωπος αντιλαμβάνεται την πραγματικότητα γύρω του. Και τα στοιχεία της ερμηνείας του φυσικού αυτού κόσμου δίνονται με κάποιες ιδιότητες των αντίστοιχων γεωμετρικών σχημάτων. Έτσι θα παρατεθούν στην αρχή κάποια ιστορικά στοιχεία για την εξέλιξη της γεωμετρίας. Πώς ανακαλύφθηκε και πού, ποια είναι η ρίζα της λέξης που βλέπετε με τις διάφορες μορφές της επιστήμης. Και αργότερα θα μιλήσουμε για τις ευκλήδες και μη ευκλήδες γεωμετρίες και στο τέλος θα έχουμε μια φιλοσοφική προσέγγιση τόσο απευθείας της φιλοσοφίας μέσα της γεωμετρίας, αλλά θα παρατεθούν και κάποιες απόψεις διαφορών μεγάλων επιστημών. Στο τέλος θα ξαναθυμηθούμε το στίχος του Ελλήτη, για όσους τους γνωρίζουν και για όσους δεν τους γνωρίζουν. Στα σπλάχνα μου σάλευε σπόρος ακριβώς αυτός ο κόσμος, ο μικρός ομέγας. Θα δεις την ερεμνιά και θα της δώσεις το δικό σου νόημα. Ό,τι σώσεις μέσα στην αστραπή, κάθε ωρό στον αιώνα θα διαρκέσει. Επίσης θέλω να σας πω ότι ο Einstein είχε πει ότι τα μαθηματικά περιγράφουν την πραγματικότητα με ένα τρόπο ασαφή, ενώ όταν δεν αναφέρονται σε αυτήν αποκτούν με μεγαλύτερη σαφήνια. Η γεωμετρία. Η λέξη της γεωμετρίας προέρχεται από τη μέτρηση της Γης και προέκυψε κυρίως αυτή η ανάγκη αναπαράστασης των ιδεατών αποικονίσεων. Προέκυψαν καθαρά από κοινωνικές ανάγκες. Ο ήλιος άρχισε να αναπαρίσταται με ένα κυκλικό σχήμα και ιδιαίτερα στην περιοχή της Αιγύπτου, που παρουσιάζεται η πρώτη μεγάλη ανάπτυξη της γεωμετρίας. Αργότερα μεταφέρθηκε στους Έλληνες σε μας και αργότερα πήγε στους Βαβυλώνιους και μετά επικτάθηκε η χρήση της. Η αρχή της οφείλεται σε καθαρά κοινωνικές ανάγκες που προέκυψαν από τον ποταμό νύλο, ο οποίος δημιουργούσε, κάθε φορά που πλημμύριζε, χανόταν η εκτάση των χωραφιών. Έχουμε κάποιο τρόπο να μετρηθούν. Αργότερα οι Βαβυλώνιοι ανέπτυξαν τη γεωμετρία για να μετρήσουν τα αστέρια και να βρουν κάποιους εμπορικούς δρόμους που θα τους οδηγούσαν προς το Μεσόγειο, στην οποία υπήρχε ανάπτυξη στο εμπορίο και μπορούσαν να δεκινήσουν πιο εύκολα τα εμπορέματά τους και το αυστηρά θεωρητικό και επιστημονικό υπόβαθρο δόθηκε από τους αρχαίους Έλληνες. Θέλω να σας μιλήσω λίγο για την έννοια της ευθείας γραμμής μεταξύ δύο σημείων για να μπορέσουμε να έχουμε μια αντίληψη σχετικά με το τι ακριβώς εννοούμε όταν προσπαθούμε να προσδιορίσουμε κάποια γεωμετρικά σχήματα. Η πρώτη εξήγηση, εδώ βλέπουμε τρεις γραμμές οι οποίες ενώνουν δύο σημεία. Η πρώτη εξήγηση θα είναι μια λογική εξήγηση και η δεύτερη θα είναι μια διαισθητική προσέγγιση της γεωμετρίας. Αυτό για να δούμε με πόσους πάρα πολλούς τρόπους μπορούμε να μιλήσουμε για τις ιδιότητες των διαφορών γεωμετρικών σχημάτων. Έτσι λοιπόν παρατηρούμε ότι καθώς μεταβάλλεται η διεύθεση της εφαπτωμένης σε οποιασδήποτε από τις δύο ευθείες την πάνω ή την κάτω μπορούμε να θεωρήσουμε ότι αυτές δεν είναι ευθείες γραμμές ενώ όταν δεν μεταβάλλεται η εφαπτωμένη η διεύθεση της τότε μπορούμε να μιλήσουμε για μια ευθεία γραμμή. Η λογική, η ιδιαισθητική προσέγγιση μας θα ήταν φυσικά ότι είναι η μικρότερη απόσταση μεταξύ δύο σημείων και έτσι λοιπόν μπορούμε να ορίσουμε μια ευθεία. Τώρα φανταστείτε ότι αργότερα αυτή η ευθεία τα σημεία α και β τοποθετήθηκαν πάνω σε μια σφαιρική επιφάνεια οπότε η ίδια ευθεία, αν θεωρήσουμε το χώρο σφαιρικό διαφοροποιείται ως προς τις όλες ιδιότητές της. Δεν μπορεί να οριστούν δύο ευθείες παράλειες πάνω σε μια σφαιρική επιφάνεια. Άρα μπορούμε και διευθετικά αλλά και λογικά να τεχμιριώσουμε και να ορίσουμε κάποια γεωμετρικά σχήματα. Εδώ θα θέλα να σας διαβάσω κάποιο κείμενο στο οποίο αναφέρεται ο Ευτύχης Μπιτσάκης σχετικά με τα αξιώματα, τις βασικές προτάσεις και τη θεώρηση των αρχαίων Ελλήνων σχετικά με το κοσμολογικό τους πρότυπο, το γεωκεντρικό πρότυπο και γιατί δεν υιοθετήθηκε το ηλιοκεντρικό πρότυπο αφού μια ευκλήδια γεωμετρίας θα μπορούσε να δώσει μία ώθηση στην επιστημονική σκέψη. Γράφει λοιπόν «Τα αξιώματα, οι βασικές προτάσεις και οι σχέσεις ευκλήδιας γεωμετρίας προκύπτουν με αφαίρεση και γεννήκευσης ανθρώπινης εμπειρίας. Το αξίωμα ότι από σημείο εκτός ευθείας δε έρχεται μία και μόνη παράλληλος προς την ευθεία εναρμονίζεται με την εποπτική εικόνα ενός άπειρου κεπίπεδου σύμπαντος. Η σταθερότητα του μήκους, η θετική μετρική του ευκλήδιου χώρου, γενικά οι μετρικές της σχέσης ευκλήδιας γεωμετρίας όχι μόνο αντιστοιχούν προσεγγιστικά στις χωρικές σχέσεις του πραγματικού κόσμου, όχι μόνο είναι σύμφωνες με την εποπτία και με την ακρίβεια των τότε μετρήσεων, αλλά και αποτελούν μια γεννήκευση της πύρας που έχει συσσορευθεί στο χώρο της παραγωγής των τεχνών. Βεβαίως, ο μαθηματικός μπορεί να γνωρεί εμπειρικές ρίζες επιστήμης του και να μην ενδιαφέρεται για τα υλικά σώματα, να ζει σε έναν κόσμο καθαρών μορφών, να αντιστρέφει στη φαντασία του τις σχέσεις της έννοιας και του πράγματος, όλα αυτά όμως δεν ανερούν το γεγονός ότι τα μαθηματικά εκφράζουν σχέσεις του πραγματικού κόσμου. Ο βασικότερος λόγος για τους οποίους δεν υιοθετήθηκε το γεωκεντρικό πεπερασμένο σύμπαν ήταν σύμφωνα με την εποπτία της λαϊκής δοξασίας, αλλά και την κυρίαρχη τότε ιδεολογία. Δεν είναι λοιπόν τυχαίο ότι ο Αρίσταρχος κατεγορήθηκε για εθεεία, αλλά δέζωσε σε μια δημοκρατική Αθήνα για να πιεί το κόνιο. Αντιλαμβανόμαστε λοιπόν ότι η επιστήμη της γεωμετρίας βρίσκεται σε μια απόλυτη σχέση με την ιδεολογία της κάθε εποχής, με την τέχνη της κάθε εποχής, αλλά και με την γενικότερο πολιτιστικό ρίμα της κάθε εποχής. Ο Ευκλήδης στην οικοδόμηση της γεωμετρίας του χρησιμοποιεί σε κάποιες αποδεικτικές μεθόδους για να μπορέσει να ορίσει αξιωματικά την θεμελιώση του Ευκλήδιου χώρου. Με λογική συνεπαγωγή λοιπόν αποδεικνύει κάθε άλλη γεωμετρική σχέση και έτσι χρησιμοποιεί την μέθοδο της σύνθεσης, με βάση την οποία χρησιμοποιεί διάφορα αξιώματα και καταλήγει σε κάποια θεωρήματα ή προτάσεις. Έτσι χρησιμοποιεί την εισάτοπο απαγωγή αποδεχόμενος το αντίθετο της πρότασης που επιθυμεί να αποδείξει καταλήγοντας σε άτοπο και επανέρχεται και την αναλυτική φυσικά μέθοδο, η οποία είναι μια διαδοχική χρήση προτάσεων που αληθεύουν και με την αντίστροφη απαγωγική διαδικασία επανερχόμαστε στην αρχική σχέση. Έτσι δόμισε την αρχική, την πρώτη γεωμετρία, βασιζόμενος αυτή είναι από ευθείας από το κείμενο από το βιβλίο του Ευκλήδη, από τα στοιχεία του Ευκλήδη είναι και η απόδοση τους στη δική μας νεοελληνική. Από κάθε σημείο μπορούμε να φέρουμε ευθεία που να συνδέει σε οποιοδήποτε άλλο σημείο, το ευθύγραμμα προεκτείνεται συνεχώς και ευθύγραμμα με κέντρο ένα τυχίο σημείο και ακτή να κάθε τμήμα είναι δυνατό να γράψουμε ένα κύκλο, όλες οι ορθές γωνίες είναι μεταξύ τους ίσες και το τελευταίο, το πέμπτο αξίωμα του Ευκλήδη με βάση το οποίο δημιουργήθηκαν όλες οι υπόλοιπες γεωμετρίες, οι μη Ευκλήδιες είναι το εξής. Αν μια ευθεία τέμνει δύο άλλες και σχηματίζει με αυτές ένα ζεύγος εντός και πίτ' αυτά γωνιών με άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, τότε τέμνονται προς το μέρος που βρίσκονται οι γωνίες αυτές. Αυτό είναι και το αξίωμα της παραλληλίας και πολύ γρήγορα διατυπώθηκε η άποψη ότι πρόκειται για ένα θεόρημα και όχι για αξίωμα. Οι επόμενοι λοιπόν μαθηματικοί άρχισαν να αμφισβητούν το αξίωμα αυτό και να προσπαθούν με λογικές διαδικασίες από τα υπόλοιπα τέσσερα αξιώματα να το αποδείξουν. Οι προσπάθειες να αποδείξουν το αξίωμα των παραλλήλων διαχρονικά οδήγησε σε ισοδύναμες προτάσεις με το αξίωμα αυτό, οι οποίες είναι ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγόνου είναι δύο ορθές, υπάρχουν ζεύγιο μειών τριγόνων, υπάρχει ζεύγος ευθιών που εισαπέχουν, δοθέντων τριών διαφορετικών σημείων μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα κύκλο που διέρχεται από αυτά. Αν τρεις γωνίες ενός τραπλεύλου είναι ορθές, τότε και η τέταρτη είναι και αυτή η ορθή και αν μια ευθεία τέμνεται από δοθήσεις παράλληλες ευθείες, τότε τέμνει και την άλλη ευθεία. Επίσης, αφού πέρασαν λοιπόν αρκετά χρόνια και άρχισαν να δημιουργούνται οι προϋποθέσεις της αμφισβήτησης της ιερής αυτής γεωμετρίας, οι παράλληλες ευθείες που επεκτείνονται άπειρα μέσα στο χρόνο αντικαθιστούν την παρατήρηση και έτσι λοιπόν η άρνηση του πέμπτου αξιώματος του ευκλήδη μπορεί να γίνει με δύο τρόπους. Ο πρώτος τρόπος είναι ότι δεν υπάρχουν ευθείες που να τέμνονται αναδύο. Αυτό οδηγεί σε μία μη ευκλήδια γεωμετρία όπως επίσης και το δεύτερο αξιώμα, η δεύτερη ανάλυση του αξιώματος είναι ότι οι ευθείες τέμνονται αναδύου μεταξύ τους. Έτσι λοιπόν οδηγηθήκαμε σε κάποιες άλλες νέες γεωμετρίες οι οποίες δημιουργήθηκαν επικαλυπτικά της αρχικής. Θα ήθελα πριν να μπω στις μη ευκλήδες γεωμετρίες για να μη σας κουράσω με τοπολογικές αναλύσεις και με ορισμούς να σας μιλήσω λίγο για την τέταρτη διάσταση η οποία εισήχθη με τη γενική θεωρία της κοινωνικής κοινωνικής κοινωνικής κοινωνικής κοινωνικής κοινωνικής κοινωνικής κοινωνικής κοινωνικής κοινωνικής κοινωνικής κοινωνικής κοινωνικής κοινωνικής κοινωνικής κοινωνικής κοινωνικής κοινωνικής κοινωνικής κοινωνικής κοινωνικής κοινωνικής κοινωνικής Εδώ, πριν να συνεχίσω, θα ήθελα να σας παραθέσω τα λόγια του Λέβκιπου, ο οποίος ήταν μαθητής του Δημοκριτού και μας αναφέρε τα εξής, νομίζω ότι το έχουμε αναφέρει και σε ένα μάθημα που έχουμε κάνει αυτό ότι σχετικά με την νόθαμορφη γνώσης και βλέπουμε φυσικά και την επίδραση της πλατωνικής θεώρης του κόσμου ότι η γνώση γενικά δεν μπορεί να γίνει αντιληπτή μέσω των ανθρώπινων αισθήσεων Η γνώση μπορεί να προσεγγιστεί μόνο με την ανθρώπινη νόηση. Οτιδήποτε άλλο μπορούμε να βιώσουμε γύρω μας, είναι ψεύτικο και απατηλό. Τώρα, οι αισθήσεις μας. Θα σας δώσω δύο παραδείγματα για να μπορέσουμε να αντιληφθούμε άμεσα πώς οι ανθρώπινες αισθήσεις μας πλανώνται. Είναι αυτό που λέμε πολύ συχνά και στις παρέες μας και μεταξύ μας, ότι πολύ γρήγορα περνάει ο καιρός όταν βιώνουμε κάτι ευχάριστα. Ο χρόνος, τον οποίον εξετάζουμε σαν τέταρτη διάσταση μέσα στα πλαίσια μιας γεωμετρίας, της οποίας θα την αναλύσουμε αργότερα. Ο χρόνος, λοιπόν, κυλάει γρήγορα ή αργά. Αυτό αφορά την πυκνότητα καταγραφής των γεγονότων και είναι καθαρά η συνηστηματική διαργασία που πραγματοποιεί ο εγκέφαλος στον άνθρωπο. Και έτσι μπορούμε να βιώσουμε τις ευχάριστες στιγμές σε πάρα πολύ σύντομο χρονικό διάστημα, ενώ αντίστοιχα βιώνουμε τις δυσάρεσες στιγμές πολύ πιο έντονα. Ένα ακόμη παράδειγμα της πλάνης των αισθήσεων μας είναι γενικά στο σύμπαν ότι παρατηρούμε μια εικόνα του παρελθόντος. Πολλές φορές. Μάλλον πάντοτε παρατηρούμε μια εικόνα του παρελθόντος, καθώς η πραγματική εικόνα του σύμπαντος, αφού το φως χρειάζεται να ταξιδέψει σε κάποιο χρονικό διάστημα, δεν μπορεί να γίνει κατανοητή από τις ανθρώπινες αισθήσεις. Τα δύο αυτά παραδείγματα σας τα παρέσθασα εδώ με σκοπό να αντιληφθείτε ότι οτιδήποτε υπάρχει γύρω μας είναι μια πλάνη και ότι ο κόσμος είναι ψεύτικος. Αργότερα θα τον ονομάσουμε αυτόν τον ψεύτικο χώρο του δικών μας αισθήσεως ψευτοχώρο Μικώβσκη. Μέσα στα πλαίσια της δικής μας αντιληπτικής δυνατότητας. Αυτό που αντιλαμβανόμαστε είναι μια προβολή ενός άλλου χώρου τον οποίο μπορούμε να προσδιορίσουμε με μαθηματικές σχέσεις. Μπορούμε να αντιληφθούμε με τη νόηση, με τα μαθηματικά, αλλά δεν μπορούμε να κατανοήσουμε μέσα των αισθήσεών μας. Αυτό που μπορούμε να κατανοήσουμε είναι αυτός ο ψευτοχώρος Μικώβσκη μέσα στον οποίο μπορούμε να αναλύσουμε συστήματα συντεταγμένων, ισχύουν ευθών οι νόμοι, ισχύουν... παρακαλώ. Δεν γνωρίζω ότι έχουν κάποια αντίστοιχη αύξη ως προς την απαντηρή μορφή αυτού του κόσμου, αλλά θεωρώ ότι ο Μικώβσκη χρειάζεται στη γενική θεωρία από τη στιγμή ότι η τοπολογία του ήταν αυτή που ικανοποιούσε καλύτερα από όλες τα θεωρία που βλέπουμε όταν είναι η γενική θεωρία της χειδικότητας. Σωστό. Ευωμένως, αν είχαμε έναν άλλο μαθηματικό, ο οποίος έκανε κάποιον άλλο τοπολογικό χώρο, θα μπορούσαμε να τον αγώσουμε και τον χώρο του τάδε ή του δύναμα. Μα δεν ισχυρίζουμε ότι είναι μοναδικός ή ότι θα μπορούσε να είναι... ή ότι είναι το πρότυπο που δημιουργητεία. Απλώς το χρησιμοποιώ για να αναφερθώ στον κόσμο, το φυσικό, ο οποίος μας περιβάλλει. Γιατί είναι ψεύτικος, έτσι, γιατί αποτελεί μια προβολή. Θα το εξηγήσω αργότερα, λίγο πιο παραστατικά. Ας δούμε το πρότυπο που βάζει για το ψευλό. Είναι κάτι που βλέπετε από την Φιλισοφία, από τα αστατικά, από τη Λιβουλία, από τη Συντησυρία. Ενοχλεί αυτό το πρότυπο. Είναι ένας χωρός που τόψει. Σε το Ρυμάνι δεν θα το βλέπεις. Όχι, σε αυτό το χώρο δεν το βλέπω. Σε το Ρυμάνι, επειδή έχει ένα ουρειονομιμετρική χώρο, η Ρυμάνι χώρο είναι είτε εγκλητικά είτε... Θα το δούμε παρακάτω. Δεν το κάνει ο Ρυμάνι. Απλώς υλικά έχουν συνεργητήσεις και τα λοιπά. Απλώς γενικά αυτός ο τετραδιάστατος χώρος, ο οποίος προσπαθούν να προσεγγιστεί με τα μαθηματικά, είναι ένας μη γραμμικός χώρος και υπάρχει μια αντιστρέψη με τάξεις αυτών. Δηλαδή δεν μπορούμε να γυρίσουμε τον χρόνο πίσω. Και ο βασικότερος λόγος που δεν μπορούμε να τα αντιληφθούμε όλα αυτά είναι γιατί ζουν μέσα σε αυτό. Το αναλύσαμε, ήδη μιλήσαμε για αυτό, για την προβολή λοιπόν του πραγματικού χώρου και του τετραδιάστατος, του πραγματικού μη ευκλήδιου χώρου στον αντιληπτό ευκλήδιο χώρο. Δηλαδή μιλάμε για μια παραμόρφωση κάποιων ιδιατών αληθινών αντικειμένων. Και η αίσθηση που δημιουργείται στον άνθρωπο της συμπαντικής πραγματικότητας, έγκειται μόνο στα περιθώρια της δικής του αντιληπτικής διαδικασίας και νόησης. Επίσης, ήθελα να πω εδώ πέρα ότι γενικότερα όλες οι διαστάσεις ενός χώρου, ο οποίος μελετάται στα μαθηματικά, πρέπει να είναι μεταξύ τους στις κάθετες. Έτσι, λοιπόν, η καμπύλωση του χώρου που αντιλαμβανόμαστε εμείς προς τον χρόνο, δημιουργεί με αυτόν τον τρόπο και την τέταρτη διάστηση, είναι κάτι το οποίο δεν μπορούμε να αντιληφθούμε νοητικά. Απλώς μπορούμε να περιγράψουμε μόνο μαθηματικές εξισώσεις. Πριν πάω σε μία ευκλή της γεωμετρίας, θέλω να σας πω ότι γενικά για το χρόνο και αυτό που είχαμε συζητήσει κάποια στιγμή, είναι πολύ σημαντικό να αντιληφθούμε ότι γενικά η ύλη γύρω μας είναι μια από αυτές τις καμπυλώσεις κάτω από ένα εκατότατο όριο αυτού του χωροχρονικού συνεχές, το οποίο προσδιορίζεται με ένα μαθηματικό σημείο ΥΠΣΙΖΑΤΑΦ. Είναι πολύ σημαντικό να αντιληφθούμε ότι όλο αυτό είναι απατηλό, όπως είπαμε και πριν. Και ότι γενικά ο τρόπος με τον οποίο μετράμε εμείς αυτή τη στιγμή το χρόνο, ενώ δεν θα έπρεπε να τον μετράμε με αυτές τις μονάδες μέτρησης, είναι μια ανθρώπινη ειφεύρεση. Και σίγουρα η φύση δεν μετρά αυτό το πράγμα, μετρά τη φθορά της ύλης, και όχι κάποια δευτερόλεπτα ή κάποια λεπτά. Τώρα θα θέλαμε να μπούμε λίγο στις μία ευκλήδες γεωμετρίες. Μια γεωμετρία για να μπορέσει ένα σύστημα να θεμελιωθεί αξιωματικά, πρέπει να διαθέτει τα εξής τυχεία. Πρέπει να διαθέτει κάποιους αρχικούς όρους, που είναι κάποιες απροσδιόριστοις έννοιες. Πρέπει να διαθέτει κάποιους ορισμούς, που είναι κανόνες, με τους οποίους δομίδει αυτή η νέα γεωμετρία ή οποιαδήποτε γεωμετρία. Και είναι και μια λογική διαδικασία, η οποία κανονίζει τη διαδικασία που θα συσχετίζονται τα προηγούμενα, οι ορισμοί με τις απροσδιόριστοις έννοιες. Καθώς εμείς μελετάμε τις ιδιότητες των απροσδιόριστοιων έννοιων, και όχι αυτό καθ' αυτό τις απροσδιόριστοις έννοιες. Και επίσης είναι κάποια θεωρήματα και προτάσεις που προκύπτουν απ' όλα τα προηγούμενα. Επίσης, η λογική πρέπει να ικανοποιεί της παρακάτω απαιτήσεις. Πρέπει να έχει συνέπεια, να αποφεύγονται δηλαδή αντιφάσεις. Πρέπει να έχει πληρότητα. Αν και με την απόδειξη της μη πληρότητας ο Γκέντελ αργότερα αμφισβήτησε, είναι πολύ δύσκολο όσο δύνατο να αποδειχτεί η πληρότητα ενός χώρου. Δηλαδή, στην ουσία, δεν μπορούμε να προσθέσουμε ένα ανεξάρτητο αξίωμα στο συνολικό μας σύστημα, κάτι ισοδύναμο, σας λέω. Και η ανεξάρτησή, δηλαδή, κανένα αξίωμα δεν προκύπτει απ' όλα τα προηγούμενα. Η υπερβολική γεωμετρία, ο Λομπατσεύσκης, ο οποίος καθιέρωσε, δημιούργησε την υπερβολική γεωμετρία, προσπάθησε κι αυτός να αποδείξει το αξίωμα της παραλληλείας. Στην προσπάθεια, την αποδεικτική διαδικασία αυτή, λοιπόν, βρήκε ότι δεν δημιουργούνται αντιφάσεις. Γνωρίζουμε από τα ημερολόγια του ΚΑΟΣ ότι και αυτός είχε προσπαθήσει, όπως και ο Σακέρη λίγο πιο πριν είχαν προσπαθήσει και είχαν βρει κάποια σημαντικά αποτέλεσματα αυτής της γεωμετρίας, όπως ότι το αίτημα της παραλληλείας είναι αδύνατον να αποδειχτεί και με το αντίθετο της δημιουργίας, το δημιουργείται μια λογική γεωμετρία. Ταυτόχρονα, λοιπόν, με τον Λομπατσεύσκη, ήταν και ο Μπολάι ο οποίος επιχείρησε να αποδείξει τη γεωμετρία και σχεδόν ταυτόχρονα είχαν κάποιες ανακοινώσεις, αλλά ο Λομπατσεύσκης είχε προηγηθεί γι' αυτό και θεωρείται ο θημελιωτής αυτής της γεωμετρίας. Πώς μοιάζουν οι ευθείας, θα το δούμε παρακάτω, θα το δούμε παρακάτω γιατί από το θεώρηση, από ποια γεωμετρία θα θεωρήσουμε, σαν αυτήν που εξηγεί τον κόσμο, δημιουργούνται και τα αντίστοιχα κοσμολογικά πρότυπα, τα οποία θα δούμε αργότερα πώς προσδιορίζονται για να μην... Λοιπόν, με αντικατάσταση του πέντου αξιώματος, όπως είπαμε, της γεωμετρίας του Ευκλήδη, δημιουργήθηκε η γεωμετρία αυτή. Υπάρχει και ένα στο αξίωμα του Λομπατσεύσκη, διατυπώνεται τοπολογικά εδώ πέρα. Υπάρχει μια ευθεία τζέκια, ένα σημείο α που δεν βρίσκεται πάνω σε αυτήν, τότε από το σημείο α δε έρχονται τουλάχιστον δύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο με την τζέκια και δεν την τέμνουν. Επίσης το υπερβολικό αξίωμα διατυπώνεται και με δύο άλλους ορισμούς. Εδώ θα ήθελα να σας διαβάσω λίγο τις απόψεις του Λομπατσεύσκη σχετικά με τη θεμελιώση αυτής της γεωμετρίας. Ο Λομπατσεύσκης μας λέει ότι τώρα που έχουμε δείξει σε ότι προηγήθηκε το τρόπο με τον οποίο τα μήκη των καμπυλών και επιφάνειες και οι όγκοι του στερεό μπορούν να υπολογιστούν, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι όπως προκύπη από αυτές η πανγεωμετρία, όπως πίστευε για τη γεωμετρία που ανακάλυψε, είναι ένα πλήρη σύστημα γεωμετρίας. Μια απλή ματιά στις εξισώσεις που εκφράζουν τις υπάρχουσες σχέσεις ανάμεσα στις πλευρές και τις γωνίες των επιπέδων τριγόνων είναι αρκετή για να διαπιστωθεί η πανγεωμετρία ενός κλάδος της ανάλυσης, περιλαμβάνοντας και επεκτείνοντας τις αναλυτικές μεθόδους στη συνήθεια γεωμετρία. Μπορούμε να αρχίσουμε, λοιπόν, την έκθεση της πανγεωμετρίας από αυτές τις εξισώσεις. Έπαιτα μπορούμε να προσπαθήσουμε να αντικαταστήσουμε αυτές τις εξισώσεις με άλλες που μπορούν να εκφράσουν τις σχέσεις ανάμεσα στις πλευρές και τις γωνίες κάθε επιπέδου τριγόνου. Όμως, στην τελευταία περίπτωση, είναι απαραίτητο να δείξουμε ότι οι νέες αυτές οι εξισώσεις είναι σύμφωνοι με τις θεμελιώδες έννοιες της γεωμετρίας. Είναι απαραίτητο σύμφωνα με αυτές και όλες τις εξισώσεις που θα τις αντικαταστήσουν, αν δεν μπορούν να παραχθούν από τις εξισώσεις αυτές, τότε μπορεί να οδηγήσουν σε αποτελέσματα που έρχονται σε αντίθεση με τις λόγω ενείς. Οι εξισώσεις μας είναι επομένως το θεμέλιο της πιο γενικής γεωμετρίας, μια και δεν στηρίζεται πάνω στην υπόθεση ότι το άθρησμα των γωνιών του τριγόνου είναι ίσως με δύο ορθές γωνίες. Αυτό γράφει ο ίδιος Λομπατσεύσκι και είχε δημοσιευτεί το 1955 στην Ευκλήδεια Γεωμετρίας, ένα περιοδικό στην Αμερική, νομίζω, είχε δημοσιευτεί. Θέλω λίγο να περάσουμε, για να μην επεκταθούμε στη γεωμετρία αυτή του Λομπατσεύσκι, στην οποία το άθρησμα των γωνιών είναι μικρότερο από καθόλου οδούνα και τα λοιπά, θα πάμε λίγο στην γεωμετρία του Ρήμαν, η οποία αποτελεί συνέχευτης της γεωμετρίας. Γενικά ο Ρήμαν παρουσίασε τη νέα γεωμετρία του μπροστά στον Γκάους, σε ένα συνέδριο στο οποίο επιζητούσε μια θέση σε ένα πανεπιστήμιο ο Ρήμαν. Είναι πολύ μικρή η παρουσίασή του, δεν είναι πολλές σελίδες, αλλά είναι πολύ ποιοτική βέβαια. Και όπως σας είχα πει, ο Γκάους είχε κάνει πολύ σημαντικές αναλύσεις πάνω στις δύο γεωμετρίες, είχε καταλήξει πολύ σημαντικά συμπεράσματα στα ημερολόγια του, αλλά δεν τα δημοσιεύεται επειδή φοβόταν την γνώμη της επιστημονικής κοινότητας εποχής. Ο Ρήμαν, λοιπόν, μας λέει στο έργο του, επί των υποθέσεων που βρίσκονται στις βάσεις της γεωμετρίας, ότι η απεριόριστη επέκταση μιας ευθείας στον χώρο, δεν οδηγεί στο συμπέρασμα το απίρου μήκος, αλλά σημαίνει απλά ότι αυτή η γραμμή δεν έχει τέλος. Δηλαδή, το τόξενος μέγιστος του κύκλου που συνδέει την επιφάνεια μιας σφαίρας, μπορεί να επεκταθεί απεριόριστα στην επιφάνεια του κύκλου, αλλά δεν συνειπάγεται ότι θα έχει και άπειρο μήκος. Στο ίδιο το έργο, καθώς το παρουσιάζε, έχει καταλήξει ο ίδιος και ανέφερε στην εργασία του στο τέλος, η αξία μιας τέτοιας έρευνας εντοπίζεται στη δυνατότητα να μας απελευθερώσει από έτοιμες ιδέες και να έρθει ο καιρός που η εξερεύνηση των φυσικών νόμων θα απαιτήσει μια τέτοια γεωμετρία για να την εξυπηρετήσει. Επαλιθεύτηκε λίγο αργότερα, νομίζω περίπου 50 χρόνια αργότερα, με τη θεωρία της σχετικότητας. Αυτός ήταν ο ρήμαν. Η γεωμετρία του ρήμαν αποτελεί μια γενήγηση της γεωμετρίας του Λομπατσεύσκη και δημιουργείται εκτός από την αφυσβήτηση του πέμπτου θεωρήματος, το οποίο δεν το περιλαμβάνει, δημιουργείται και η αφυσβήτηση του πρώτου ευκλήντου θεωρήματος. Ένας τέτοιος χώρος δεν είναι ομογενής ως προς ιδιότητες, δηλαδή δεν είναι πάντα σταθερής καμπηλότητας, αυτό σημαίνει ότι όποιαδήποτε σημεία μέσα σε αυτό το χώρο μπορεί να κινηθεί, σίγουρα θα μεταβάλλει την απόστασή του. Αυτή είναι και η βασικότερη θεωρήση της σημάνειας γεωμετρίας. Τώρα, τα αξιώματα της γεωμετρίας του ρήμαν θα σας τα παραθέσω εδώ πέρα. Δεν θέλω να σας κουράσουμε για κάποια τοπολογική μια γραμμή. Είναι απεριόριστη ότι μπορεί να διέλθει του κύκλου άπειρες φορές. Αυτό σημαίνει όμως ότι και το μήκος της ταυτίζεται με το άπειρο. Είναι ακριβώς αυτό. Επειδή στην διατύπωση της γεωμετρίας του έπρεπε να αποφυφθεί η παραλία, γι' αυτό ορίζει λοιπόν ότι μια ευθεία χωρίζει το επίπεδο. Με την άρνηση της έχουμε την απλή γεωμετρία και με την ανάλυση ότι δύο διαφορετικά μεταξύ του σημεία ορίζουν μια μοναδική ευθεία, δηλαδή δύο διαφορετικά σημεία μπορούν να λειτουργήσουν και περισσότερες ευθείες, δημιουργείται η διπλή ελλειπτική γεωμετρία. Αυτή είναι ένα μοντέλο της απλής ελλειπτικής γεωμετρίας και αργότερα θα σας παραθέσω και ένα μοντέλο της διπλής ελλειπτικής γεωμετρίας. Τώρα από τη σύγκριση των δύο μοντέλων της ρημάνιας αυτής γεωμετρίας δημιουργούνται αυτές οι διαφορές και ομοιότητες οι οποίες παρατήθονται εδώ πέρα. Γενικότερα ο ρήμαν είχε φανταστεί λοιπόν κάποιο μοντέλο σε ένα καμπύλο χώρο και αργότερα ο Einstein χρησιμοποιεί σε όλη αυτήν την θεωρία σαν το γεωμετρικό υπόβαθρο της θεμελιώσης της θεωρίας σχετικότητας. Ο καμπύλος αυτός χώρος όπως έχουμε πει είναι σε ορισμένα σημεία του ευκλήδιος και γι' αυτό γίνεται αντιληπτός. Επίσης οι σύγχρονες θεωρίες το 1911 περίπου συγκρίνουν ευκλήδιος χώρος με διαφορετικά... Γενικά με την ανακάλυψη των διωμετριών δόθηκε μια ώθη στα μαθηματικά ώστε να αρχίσει να αναζητείτε η διαστατικότητα στους χώρους. Το 1911 λοιπόν όπως σας προανέφερα οι ευκλήδιοι χώροι με διαφορετικές διαστατικότητες έχουν δείχνει ότι δεν είναι μεταξύ τους ομοιόμορφοι. Δηλαδή δεν υπάρχει συνεχής και αμφιμονότιμη αντιστοιχία. Τώρα λίγο να δούμε μια κίνηση ενός νομίσματος μέσα στο ευκλήδιο χώρο όπως μπορούμε να αντιληφθούμε. Βλέπουμε το μέγιστο ύψος το οποίο μηδυνίζεται η εφαπτομένη. Βλέπουμε την κίνηση καθώς επιδράει δύναμη της βαρύτητας σε αναλογία. Βλέπουμε το ύψος το οποίο κινείται με το χρόνο ο οποίος διέρχεται κατά την κίνηση του νομίσματος. Ήσχυον είναι αυτόν οι νόμοι. Είναι γνωστή η παραβολική αυτή κίνηση η οποία πραγματοποιείται μέσα στον ευκλήδιο χώρο. Και τώρα θα δούμε πώς με αυτόν τον τρόπο μπορούμε σε ένα δυσδιάστατο επίπεδο να απεικονίσουμε μια κίνηση σε ένα τετραδιάστατο χώρο. Δηλαδή, στην οσία, αυτή η γραμμή αποτελεί ένα υποθετικό τέτομο μιας ελαστικής ταινίας μεταξύ δύο διαφορετικών σημείων μιας σφαιρικής επιφάνειας την οποία είδαμε πριν. Φανταστείτε αυτήν τη σφαιρική επιφάνεια και στο σημείο που καμπυλώνεται έχουμε μια ευθεία η οποία αναπαριστά την κίνηση ενός σώματος το οποίο δραμμώνει η βαρύτητα με αυτόν τον τρόπο. Στην ουσία, δηλαδή, η προβολή, όλες οι κινήσεις των πλανητών στο ηλιακό σύστημα ακολουθούν αυτή τη μορφή και η προβολή τους είναι αυτό που γίνεται αντιληπτός στο χώρο όπως η ελλειπτική κίνηση της Γης, ας πούμε, μπορεί να αναπαρασταθεί τα διάστατα με μία έλικα. Δηλαδή, έχουμε πάλι μια προσπάθεια αναπαράσταση ακόμα και αυτού των χώρων, έστω προσεγγιστικά, για την αυτοσυμμετρία της ευκλήδειας. Τώρα, ας δούμε λίγο τα πικρατέστερα κοσμολογικά μοντέλα τα οποία, όπως είπατε πριν, δημιουργήθηκαν μετά το 1920 και καταλήγουμε σε δύο μοντέλα τα οποία, εν συντομία, είναι ένα άπειρο διαστελόμενο σύμπαν. Το οποίο είναι ένα σύμπαν το οποίο διαστέλεται συνεχώς. Θα δούμε μετά τα χαρακτηριστικά του. Το πρόκειται μέσα σε κάποιο χρονικό διάστημα το οποίο είναι 10 ή στην 19 να καταλήξει σε αστέρες νετρονίων, Μελανέσο ΠΕΣ και Μελανούς Νάνος. Επίσης, θα καταλήξει, καθώς διαστέλεται άπειρα, σε ένα νεκρό συμπαντικό χώρο το οποίο η θερμοκρασία θεμιώνεται διαρκώς. Και έχουμε και το παλώμενο σύμπαν το οποίο πρόκειται να διασταλεί μέχρι ένα σημείο. Αργότερα θα συσταλεί. Θα προκληθούν σύγκρους γαλαξιών. Θα αναπαραχθούν φωτώνια και θα γυρίσουμε σε ένα σημείο μηδέν διαφορετικό από το σημείο που ξεκίνησε το σύμπαν. Αυτά είναι κάποια στοιχεία που αφορούν το άπειρα διασταλώμενο σύμπαν και το παλώμενο σύμπαν. Τώρα θα δούμε αυτό που λέγαμε πριν σχετικά με την εποπτική εικόνα των κοσμολογικών μοντέλων. Η γεωμετρία του Λομπατσεύσκι αφορά το πρώτο στο οποίο το άσθρωμα των γωνιών του τριγόνου οι ευθύες είναι όπως μπορούμε να αναπαραστήσουμε σε έναν δυσδιάστατο επίπεδο, φανταστείτε, πάνω στη σελ αυτού του χαλόου. Είναι μικρότερες από 180 μήρες και αφορούν ένα σύμπαν το οποίο είναι ανοιχτό, έχει μια αρνητική καμπυλότητα και πρόκειται να διασταίλεται άπειρα. Ανάλογα λοιπόν με το μοντέλο της γεωμετρίας που ηθοτούμε αντιστοιχήθηκε μια εικόνα ενός κοσμολογικού μοντέλου. Έχουμε το επίπεδο βέβαια με τις 180 μήρες το άσθρωμα των γωνιών του τριγόνου με έναν ρυθμό διαστολής το οποίος είναι σχεδόν μηδενικός, τίμιστο μηδέν. Και έχουμε και το σφαιρικό φυσικά σύμπαν το οποίο είναι κλειστό, πεπερασμένο, έχει μια αυθεντική καμπυλότητα, έχει μια κλειστότητα όσον αφορά τις διαστάσεις του, οι παράλιας γραμμές όλες συγκλίνουν σε ένα σημείο και φυσικά το άσθρωμα των γωνιών του τριγόνου είναι πάνω από 180 μήρες συγκεκριμένα 270. Τώρα πάμε λίγο στο βασικότερο κομμάτι αυτής της παρουσιασίας το οποίο αφορά τη φιλοσοφική προσέγγιση της γεωμετρίας καθώς η γεωμετρία καθορίζεται από προτάσεις οι οποίες είναι αναγκές και καθολικές για να μπορέσουν να πληκονήσουν ένα καθαρά μαθηματικό χώρο και μπορούν να προσδιορίσουν καθαρά κάποιες χωρικές σχέσεις. Ο μαθηματικός λοιπόν δημιουργεί τη σύμβαση πίσω από κάποιους χώρους, μάλλον δημιουργεί τη σύμβαση για τη μελέτη αυτών των χώρων. Ο φυσικός αναζητά την πραγματικότητα μέσα σε αυτούς και ένας φιλόσοφος προσπαθεί να δει κάποιες στοχάζεται γενικά πέρα από αυτούς τους χώρους. Ο Πλάτωνας λοιπόν θεώρησε ότι η μόνη πραγματικότητα η οποία δεν αλλιώνεται είναι αυτή του κόσμου των ιδεών. Περιέγραψε, όπως γνωρίζουμε, τη σπηλιά με τις σκοιές που δημιουργούνται και την προσπάθεια του ανθρώπου να ξεφύγει από όλα αυτά. Και οι ανθρώπινες αισθήσεις γενικά δεν μπορούν να κατανοήσουν τον κόσμο και συνέχως εγκλωβίζονται μέσα σε μια ηλική πραγματικότητα που αποτελεί τη σκιά. Αργότερα ο Σπινόζα, στα πλαίσια μιας της φιλοσοφίας του, θεώρησε λοιπόν το χώρος κατηγορήματα του θεού στην ηθική του λοιπόν, η γεωμετρική μέθοδος προσέγγισης της πραγματικότητας αντιτήθηται σε αυτό που ο ίδιος αποκαλεί σάτρα, δηλαδή ό,τι βρίσκεται μέσα στην ευχαρίστηση και στα δεινά των ανθρώπων. Ένας μόνος όρος υπάρχει η ζωή, η οποία συμπεριλαμβάνει και τη σκέψη, αλλά ταυτόχρονα συμπεριλαμβάνει και τη σαφτήν. Αργότερα ο Κάντ πρήκε σε όλους τους νόμους με μια απολυτότητα, μια καθολικότητα και πίστεψε στην αναγκαιότητα όλων των προμπυρικών τύπων. Αργότερα θα αναλύσουμε λίγο αυτό το... Στην κριτική λοιπόν του καθαρού λόγου θέτητο ερώτημα είναι, η γνώση μπορεί να βασιστεί μόνο στην εμπειρία ή προέρχεται και από άλλες πηγές. Έτσι λοιπόν, ο Κάντ θεωρεί ότι δεν είναι δυνατόν η κρίση μας να αφορά ένα γενικότερο τρόπο. Παράδειγμα, τους χάρη, αν ο ήλιος ανατέλει το πρωί, αυτό δεν γίνεται να το γνωρίζουμε και δεν γνωρίζουμε σίγουρα... Μάλλον γίνεται να το γνωρίζουμε, αλλά δεν γνωρίζουμε καμία εξέλιξη σε αυτό τον κανόν, οπότε είναι κάτι το οποίο πρέπει να το δεχτούμε απριόρι. Όπως επίσης και ένα παιδί, όταν παίζει μία μπάλα και βρίσκεται ακόμα μία, δεν είναι ανάγκη να ανατρέξει σε προεμπειρικές εμπειρίες για να μπορέσει να κατανοήσει ότι αυτές οι μπάλες είναι δύο. Και αυτή ήταν κυρίως η φιλοσοφική προσέγγιση του Kant, ο οποίος στην περίπτωση του χώρου μας δίνει τα παρακάτω επιχειρήματα σχετικά με την αντίληψή του ότι δεν είναι εμπειρική έννοια, ότι είναι μια αναγκαία αντίληψη απριόρι και ότι δεν συμπεριλαμβάνει οποιασδήποτε σχέση μεταξύ των πραγμάτων. Σίγουρα ότι ο χώρος πρέπει να νοηθεί σαν ένα άπειρο μέγεθος. Πριν να σας αναφέρω κάποιες επιστημονικές άλλες προσεγγίσεις, θα ήθελα να σας πω ότι γενικότερα η συμπαντική νομοτέλεια που πηγάζει από τη μελέτη της γεωμετρίας του συμπαντικού χώρου δημιουργεί και μία αίσθηση καθολικότητας ως προς την εξέταση όλων των πραγμάτων που μας αφορούν και μία αίσθηση της ανταποδοτικότητας. Γιατί αντιλαμβανόμαστε ότι είμαστε κομμάτι ενός ενειώσην όλου. Έτσι, η γεωμετρία επηρεάζει τον ανθρώπινο... Το βασικό ερώτημα είναι αν η γεωμετρία επηρεάζει τον ανθρώπινο πολιτισμό ή γενικά κατά πόσο η επιστήμη της γεωμετρίας μπορεί να συμβάλει στη διαμόρφωση του πολιτισμού. Γενικότερα με την έννοια του πολιτισμού μπορούμε να θεωρήσουμε τη θρησκεία, τον πολιτισμό, με συγχωρείται τη θρησκεία, την επιστήμη και την κοινωνική δομή οι οποίες γεννήθηκαν από τους αντίστοιχους φόβους του ανθρώπου ως προς το περιβάλλον, επιστήμη, ως προς το μεταφυσικό, θρησκεία και ως προς τον άλλον συνάνθρωπό τους και δημιουργήθηκαν κάποιες κοινωνικές δομές. Όλα αυτά επηρεάζονται απόλυτα από τις επιστημονικές ανακαλύψεις. Είναι η άποψη προσωπική δική μου και σίγουρα η γεωμετρία είναι ένας τομέας ο οποίος επέδρασε στην νοτροπία των ανθρώπων και αυτό μπορούμε να το δούμε ακόμα και στην τέχνη, στα λογοτεχνικά κείμενα. Έχω κάποιο λογοτεχνικό κείμενο για να σας εξηγήσω τι ακριβώς εννοώ ο Ντοστογιεύσκη... Θα σας διαβάσω λίγο τι γράφει ο Ντοστογιεύσκη την εποχή που άρχισαν να αναπτύσσονται οι νέες γεωμετρίες, πριν να πάμε σε αυτά. Λοιπόν, λέει ο Ντοστογιεύσκη στους αδερφούς Καραμαζόφ, έχει ένα εκπλητικό σχόλιο. Και είναι το εξής. Σου λέω λοιπόν ότι απλώς δεχόμαστε τον Θεό. Πρέπει όμως να σημειώσεις και το εξής. Εάν ο Θεός υπάρχει και αυτός πράγματι δημιούργησε τον κόσμο, τότε όπως γνωρίζουμε τον δημιούργησε σύμφωνα με τη γεωμετρία του Ευκλήδη και το ανθρώπινο γυαλό με την αντίληψη των τριών διαστάσεων του χώρου. Ωστόσο υπάρχουν γεωμέτρες και φιλόσοφοι και μάλιστα μερικοί από αυτούς πιο διακεκριμένους που αμφιβάλλουν εάν το σύμπαν ή ευρύτατα του σύνολό του δημιουργήθηκε μόνο σύμφωνα με τη γεωμετρία του Ευκλήδη. Θέλουν μάλιστα να ισχυριστούν ότι οι δυο παράλληλες ευθείες σύμφωνα με τον Ευκλήδη δεν μπορούν ποτέ να συναντηθούν στη Γη, είναι δυνατόν να συναντηθούν κάπου στο άπειρο. Έφτασα λοιπόν και εγώ στο συμπέρασμα ότι αφού δεν μπορώ να καταλάβω ούτε αυτό, δεν πρέπει να ελπίζω ότι θα καταλάβω του Θεού. Αυτό απαντάται σε λογοτεχνικό κείμενο. Τώρα εδώ παραθέτω κάποιες επιστημονικές προσεγγίσεις. Κυρίως θα θέλω να σας διαβάσω αυτήν που αναφέρω αργότερα, του Κάους. Πίθομαι όλο και περισσότερο ότι η αναγκαιότητα της γεωμετρίας μας δεν μπορεί να αποδειχθεί τουλάχιστον από την ανθρώπινη διάνοια. Ίσως σε κάποια μελλοντική ζωή να αποκτήσουμε ιδέες για τη φύση του χώρου οι οποίες προς το παρόν δεν μας είναι προσιτές, όπως αποδείχτηκε αργότερα. Επομένως, μέχρι τότε η γεωμετρία δεν πρέπει να κατατάσσεται μαζί με την αναστημητική η οποία έχει καθαρά, απριόρι φύση, αλλά με τη μηχανική. Και αργότερα όλο μπατσεύστηκε. Σε κάθε περίπτωση η νέα γεωμετρία της οποίας τα θεμέλια βρίσκονται σε αυτήν εδώ την εργασία, στην εννοή της συνεργασίας του αυτών του κλείσουμου, αν και δεν έχει εφαρμογή στη φύση, μπορεί να αποτελεί σε αντικείμενο φαντασίας της φαντασίας μας. Παρόλο που δεν χρησιμοποιείται σε πραγματικές μετρήσεις, ωστόσο ανοίγεται ένα νέο πεδίο για την εφαρμογή της γεωμετρίας στην ανάλυση και αντιστρόφος. Στην ανάλυση, Περιφωτός ο Γιώργιος Γραμματικάκης, στην αυτοβιογραφία μας, συγχωρείται Περιφωτός, αναφέρει, «Είναι ασφαλώς δύσκολο να φανταστούμε έναν καμπύλο χώρο και μάλιστα τετραζιάστατο τα μάτια μας, αυτά τα πολύ πλόκα ειστητήρια όργανα, αλλά και το ίδιο το μυαλό μας είναι κατασκευασμένο ώστε να συλλέγουν πληροφορίες που υπακούν μόνο στον ευκλήδιο χώρο. Και ο βυτίχης Μπιτσάκης κατατάσσουμε τα αντικείμενα αλλά και τα γεγονότα στον χώρο και τα αντιστοιχούμε σε μια θέση στο σύστημα αναφοράς. Καθίστερα διατάσσουμε τα γεγονότα και στον χώρο, στον χρόνο. Η σχέση αυτή είναι μια σχέση ολικής διατάξεως. Πριν κλείσω θα ήθελα να σας, για να μην αναφερθώ παρακάτω, έχω και κάποιες άλλες επιστημονικές απόψεις σχετικά με τον τρόπο δημιουργίας και της αντίληψης του σύμπαντος από φυσικούς και μαθηματικούς σε διάφορες εποχές. Ναι, τελειώνω σε ένα λεπτό ακριβώς. Η επιστήμη, λοιπόν, θα ήθελα να σας αφέρω τότε μόνο το πλανκ, το οποίο η επιστήμη δεν μπορεί να λύσει το ύψος του μυστήρια της φύσης και αυτό επειδή στη τελευταία αναλύση εμείς είμαστε μέρος του μυστήριου που προσπαθούμε να λύσουμε. Και αυτός είναι ο επίλογος στον οποίο κατέληξα μέσα από αυτή την εργασία. Η αντίληψή μου είναι ότι ποιά θα πρέπει να είναι τα δομικά στατικά του πολιτισμού και το δεύτερο βασικότερο είναι ότι πρέπει να υπάρξει μια πνευματική αναγέννηση με βάση την ανακάλυψη αυτών των γεωμετριών, την οποία ακόμα δεν έχουμε δει. Και αυτό είναι και ένα ερώτημα που μου μείνει από αυτή την εργασία, είναι ότι συνήθως η εξέλιξη μιας κοινωνίας προσδιορίζεται και από το επίπεδο των επιστημονικών ανακαλύψεων σε αυτή την περίπτωση δεν το έχω δει. Δηλαδή επιστημονικές ανακαλύψεις από αυτά που βλέπουμε γύρω μας δεν βλέπω αντίστοιχη κοινωνική πολιτισμική εξέλιξη του κόσμου μας, ανθρωπότητας. Εγώ τελείωσα με την παρουσία σε αυτά οι εθνάσεις. Δεν έχω σκοβάσει φέρος σε δύσκολη θέση, αλλά βέβαια πάνω... Αλλά βέβαια όπως έχουμε είναι συμφέρουμενοι. Θεωρώ ότι είναι λάθος αυτό που είπες, ότι για να έχουμε διάφορες διαστάσεις θα πρέπει να είναι μεταξύ τους κάποιους. Είναι λάθος αυτό που είπες, ότι για να έχουμε διάφορες διαστάσεις θα πρέπει να είναι μεταξύ τους κάποιους. Είναι λάθος αυτό που είπες, ότι για να έχουμε διάφορες διαστάσεις θα πρέπει να είναι μεταξύ τους κάθετες. Για να έχουμε κάποια διάσταση θα πρέπει να έχουμε την καταρχή μια βάση και αυτή η βάση θα πρέπει να πληρεί κάποια κριτήρια. Το να είναι κάθετες διαστάσεις, αυτό σημαίνει ότι εμείς πηγαίνουμε προς μία εκκληρή γεωμετρία. Όχι, εγώ το ανέφερα αυτό το πράγμα και ανέφερα τις κάθετες διαστάσεις για να μπορέσουμε όχι μαθηματικά, αλλά αντιληπτικά να δομίσουμε ένα χώρο. Μπορείς να αντιληπθείς κάποιες... Φτιάξουμε μια γεωμετρία με διαστάσεις που δεν είναι κάθετες και πες μου αν την αντιλαμβάνεις. Ναι, εγώ δεν διαφαίνομαι αυτό που λες τώρα. Όχι, αυτό που λέω τώρα ήταν μέσα στα πλαίσια αυτό που είπα. Όχι, όχι, σωστό, σωστό. Όχι, όχι, δεν είπα. Το είπα αυτό μέσα στα πλαίσια της πλάνησης των αισθήσεων και μέσα στην ανθρώπινη νόηση δηλαδή ότι οι κάθετες και μια δόμιση τέτοιες γεωμετρίας είναι αυτοί που μπορούμε να αντιληφθούμε αλλιώς δεν μπορούμε να το αντιληφθούμε. Εκεί αναφέρομαι. Όχι, ήθελα απλώς να πω ότι για να μπορέσει να δομηθεί μια γεωμετρία η οποία να γίνεται αντιληπτή πρέπει να υπάρχει αυτή η καθετότητα. Δεν αναφέρομαι γενικότερα σε ένα μαθηματικό ιδεατόπεδιο το οποίο μπορεί να δημιουργηθεί και να δομηθεί με πολλούς τρόπους αλλά πρέπει να δομηθεί με κάποιο τρόπο να γίνεται αντιληπτός. Ο αντιληπτός τρόπος είναι αυτός. Πίσω αλλά δεύτερο, δηλαδή αφού ανοίξουμε ότι τα μαθηματικά μιλάμε για συνέχεια πληρώντα, τότε δημιουργήθηκαν καινούργιες γεωμετρίες για τα μαθηματικά. Τι σημαίνει αυτό? Πώς το αντιλαμβάνεσαι? Εγώ το αντιλαμβάνομαι όπως είχαμε πει ότι ο τρόπος δόμησης χρησιμοποίησαν θεμέλια για να δομίσουν ένα άλλο κτίσμα. Έτσι αντιλαμβάνομαι τις νέες γεωμετρίες. Δηλαδή χρησιμοποιήθηκαν κάποια δομικά στατικά ακόμα και μία, όπως είπαμε, τα τρία η πληρωότητα, η συνέπεια και η σύνθεση για να μπορέσουν να δομηθεί μια νέα γεωμετρία. Έτσι αντιλαμβάνομαι. Προς τα μαθηματικά δικείμενα. Είναι νέα, δημιουργήθηκαν νέα μαθηματικά δικείμενα. Αλλά από χώρος των μαθηματικών μπορεί να αφησιάσουν διάβολες. Ναι, έτσι πιστεύω. Αυτή είναι η προσωπική μου αντίληψη. Ποια είναι η αλήθεια που έχετε στον βαθμό σας? Μα δεν υπάρχει κάποια αλήθεια η οποία είναι γενική και εγώ μπορώ να την πω αυτή τη στιγμή ή μπορώ να σου πω ότι ήρθα εδώ πέρα να σου κάνω μια αυθεντία αυτή είναι η γενική αλήθεια. Πιστεύω ότι... Ναι, ότι δεν είναι... Προφανώς δεν ήρθα ό,τι αυθεντία να το παίξω τίποτα. Απλώς πιστεύω ότι όπως λες, αυτό μπορεί να επεκταθεί άπειρα και με τα διαφορετικά δομικά συστατικά, όχι μόνο με τα ιδέα.