Ακτίνα Σύγκλισης, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες / Διάλεξη 13 / Ακολουθίες και σειρές. Κριτήρια σύγκλισης, υπολογισμός ακτίνας σύγκλισης. - Βλάχος Λουκάς (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Ακολουθίες και σειρές. Κριτήρια σύγκλισης, υπολογισμός ακτίνας σύγκλισης.: Υπόσχεσαι, κύριε Παραδοσιακό, για να κλείσουμε το θέμα των Συρών, θα πρέπει νομίζω να αναφέρουμε κάτι που εμείς το ξεκινήσαμε πριν αρχίσουμε να συζητάμε για τις ΣΥΡΕΣ και όμως οι ΣΥΡΕΣ, πως μπορούμε έναν πολυόνιμο να το αναπτύξουμε σε σειρά. Και τώρα που έχουμε μάθει ένα σωρό πράγματα για τις ΣΥΡΕΣ, αξίζει να γυρίσουμε πίσω και να πούμε ότι με τον τρόπο που είχαμε εξηγήσει στα περασμένα μαθήματα, μπορούμε να δημιουργήσουμε μία σειρά, η οποία να αποτελείται από το άθλισμα k ίσον 0 μέχρι ν, αυτή να γράφεται η δύναμη στο σημείο χ, κ παραγοντικό, χ-χ0 στην κ. Αυτή εδώ είναι μια καινούργια σειρά, την οποία είχαμε πει ότι μπορούμε να τη δημιουργήσουμε έτσι ώστε μία συνάρτηση f του x που μας δίνεται, να την παρουσιάσουμε με τη μορφή μιας σειράς που η ν πρώτη όρη θα είναι αυτό που γράψαμε εκεί πέρα και θα υπάρχει ένα λάθος στη σειρά, το οποίο θα είναι το r του ν και αυτό το λάθος στη σειρά το είχαμε γράψει, r του ν θα είναι η απόλυτη τιμή, η απόλυτη τιμή του r του ν, αυτό του λάθος, θα είναι ίση με κάτι που θα το ονομάσουμε m στον αριθμητή, είναι μικρότερη η ίση, θα τα εξηγήσω όλα αυτά, ν-1 παραγοντικό επί απόλυτο το χ-χ0, ν-1. Λοιπόν, θέλω να δω, όταν μιλούσαμε για τα πολυόνιμα Taylor, θεωρούσαμε ότι μπορούμε και μια συνάρτηση να την παρουσιάσουμε με τη μορφή μιας σειράς, άρα αυτή είναι μια νέα έκφραση των συναρτήσεων που έχετε μάθει, οι συναρτήσεις μπορούν να παρασταθούν σαν σειρές αυτού του τύπου. Το m εδώ, θα αναορίσω τι ήταν αυτό το m, θα είναι ίσον με την απόλυτη τιμή, η απόλυτη τιμή του k-1 του χ, θα θεωρήσουμε ότι είναι μικρότερη η ίση μιας τιμής m, και όπου όταν το χ βρίσκεται σε κάποια θέση μεταξύ του χ-0 και του χ. Αν το βάλουμε αυτό ξίγμπαλ για να είναι διαφορετικό. Λοιπόν, να εξηγήσω λοιπόν τι έχουμε στον πίνακα. Έχουμε ζητήσει και έχουμε καταφέρει μέσα από το πολυόνιμο Taylor να παρουσιάσουμε αυτή τη σειρά σε μορφή πολυονίμου. Αυτό το είχαμε γράψει, είχαμε εξηγήσει πώς βρίσκονται αυτοί οι όροι και αυτή η σειρά μπορεί να γραφτεί με τη γενικότερη μορφή Ck, αυτός είναι μια σταθερά διότι όλο αυτό εδώ πέρα το πράγμα είναι μια σταθερά. Και δίπλα της έχει μια δύναμη χ-χ0 εις την Κ. Από Κ ίσον 0 έως άπειρο. Άρα λοιπόν μπορούμε να μιλήσουμε τώρα για μια νέα κατηγορία σειρών που είναι με τη μορφή δυνάμεων. Όπου το Κ παίρνει τις τιμές 1, 2, 3 κτλ μέχρι το ν. Μέχρι το ν, όχι το άπειρο. Αν αφαιρέσουμε το λάθος θα μπορούμε να πούμε ότι η F του X είναι περίπου ίση με το πολυόνυμο αυτό το οποίο είναι το Pn του X. Και είχαμε ονομάσει σαν λάθος στον υπολογισμό αυτή την έκφραση αυτού του πολυονύμου, αυτή είναι εδώ την έκφραση, η οποία έκφραση γράφεται έτσι όπως την έχουμε γράψει. Και το απόλυτο τιμή της Κ συν ένα δύναμης με 6 μέσα σαν αυτά τα δύο τα σημεία θα είναι μικρότερο ίσο του Μ κάποιος αριθμός τον οποίο θα βάλουμε σε αυτήν εδώ τη σχέση. Αυτό είναι το πολυόνυμο Taylor το οποίο το παρουσιάσαμε με τη μορφή μιας τέτοιας σειράς. Υπάρχει και ένα άλλο το πολυόνυμο του Maclauren το οποίο ουσιαστικά μας δίνει πάλι την Pn του X το οποίο θα το γράψουμε με την ίδια μορφή K ίσον 0 έως ν. Εδώ θα βάλουμε την F την δύναμη την παράγωση K φορές του 0, K παραγωτικό και εδώ θα βάλουμε X στην K. Άρα λοιπόν μια άλλη μορφή σειράς η οποία λέγεται Maclauren και είναι και αυτή μια σειρά με αυτήν εδώ την διαδικασία όπως την βλέπετε εκεί πέρα. Πάλι μπορούμε να έχουμε ένα λάθος και σε αυτή τη σειρά. Αυτή στη σειρά το λάθος Rν θα είναι η απόλυτος τιμή αυτού του πράγματος θα είναι μικρότερη ίση και αυτό με τιμή K1 παραγωτικό επιχεί απόλυτο τιμή του X στην K. Λοιπόν αυτά είχαμε συζητήσει έτσι είχαμε παρουσιάσει τα δύο αυτά πολιώνυμα το Maclauren και το πολιώνυμο του Taylor και εδώ για να δώσουμε μια να τα συνδέσουμε αυτό με κάτι πραγματικό θα ήθελα να σας δείξω και θα ήθελα να το ξέρετε και εσείς ότι αν πάμε να εφαρμόσουμε σε επίπεδο Maclauren δηλαδή χρησιμοποιήσουμε εκείνη τη σειρά εάν σε αυτήν εδώ λοιπόν τη σειρά θέλουμε να παρουσιάσουμε μια συγκεκριμένη συνάντηση τη συνάντηση συνειμήτωνο του X. Αν αναπτύξουμε αυτή τη συνάντηση του συνειμήτωνο του X σε σειρά Maclauren θα εμφανιστεί μια σειρά η οποία θα έχει τη μορφή 1 μίον 1 δυα 2 παραγωτικό X τετράγωνο συν 1 δυα 4 παραγωτικό X τετάρτις μίον 1 δυα 6 παραγωτικό X στην έκτη κτλ. Αυτό εδώ καταλήγει στο μίον 1 ή στην ε, ένα δυα δύο ν παραγωτικό X στην δύο ν. Άρα λοιπόν βλέπετε ότι ένας άλλος τρόπος έχουμε πει πολλά τώρα για τις σειρές ένας άλλος τρόπος είναι μια σειρά αν σας είχα κρύψει εγώ το συνειμήτωνο εδώ πέρα και βλέπατε αυτήν εδώ τη σχέση θα έπρεπε εσείς να μαντέψετε πιανή συνάντησης αυτή εδώ αποτελεί το άθροισμα. Δηλαδή το άθροισμα μιας σειράς εδώ πέρα είναι μια συγκεκριμένη συνάντηση. Άρα βλέποντας κάποιες από αυτές τις σειρές τουλάχιστον όταν είναι σε δυνάμεις η πρώτη μας σκέψη είναι εάν αυτές οι δυναμωσυρές δηλαδή που είναι σε δυνάμεις του χ ή του χ- κάτι χ-χ0 μήπως αποτελούν το ανάπτυγμα σε Taylor μια συγκεκριμένη συνάντησης. Οπότε το άθροισμα αυτό αν σας δώσω μια τέτοια σειρά θα πρέπει μπορείτε να βρείτε με τι μορφή μπορεί να γραφτεί σαν σειρά. Οπότε αυτό γράφεται αν το γράψουμε σαν σειρά θα γραφτεί όπως το έχουμε γράφει σήμερα μειον 1 εις την κάπα δια 1 δια 2 κάπα παραγωτικό χ εις την 2 κάπα το κάπα μπορεί να πάρει την τιμή από μηδεν μέχρι μη. Αυτή λοιπόν είναι η συνάντηση με οποία μας ενδιαφέρει έχουμε αναπτύξει τους συνειμήτων. Τώρα υπάρχει ένας όρος ο τελευταίος όρος αυτής της σειράς και θέλω να μου αποδείξετε εσείς το εξής τώρα. Ότι υπάρχει ένα λάθος αυτή τη σειρά αρ μη το οποίο γράφεται ως εξής είναι η απόλυτος τιμή του νιωστού αυτού όρου δηλαδή του μειον 1 εις την κάπα συν 1 δια κάπα συν 1 παραγωτικό. Χ εις την κάπα. Λοιπόν οπότε βλέπετε εδώ πέρα ότι έχουμε μία τέτοια μία τέτοια αυτός είναι ο νιωστός όρος και το ερώτημα είναι εάν πιστεύετε ότι αυτός ο όρος όταν το νι πηγαίνει στο άπειρο. Αυτά είναι αυτά από αυτά που έχουμε μάθει εμείς εάν μπορούμε να αποδείξουμε ότι ποιο είναι το όριο αυτού εδώ πέρα του νιωστού όρου του αρ του νι όταν το νι πηγαίνει στο άπειρο. Βλέπετε ότι αυτό εδώ πέρα σαν απόλυτο τιμή θα μας δώσει η μονάδα άρα αυτό γράφεται με 1 δια 2 κάπα συν 1 παραγωτικό επί απόλυτο τιμή του χ του κάπα συν 1. Αυτό είναι το αρ του νι η απόλυτος τιμή του. Και το ερώτημα είναι μπορείτε να μου αποδείξετε εσείς εάν μπορείτε να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε τιμή του χ ας πούμε για ποιες τιμές πάρετε μια συγκεκριμένη τιμή του χ αυτό εδώ πέρα το όριο αυτής της συνάντησης σε πού θα τύνει. Παραδείγματος χάρη εάν χρησιμοποιήσουμε το χ να είναι σε αυτή την περίπτωση 10 δια χ ίσον 10 εάν πραγματικά αυτή εδώ η συνάντηση συγκλίνει δηλαδή δίνει όριο το οποίο είναι συγκεκριμένο και ποιο είναι. Αυτό το είχαμε αποδείξει σε μία σχέση θα σας το πω μόνο δεν θα καθίσουμε να φάμε πάρα πολύ χρόνο ότι αυτή η σειρά όπως την έχουμε γράψει μπορεί να αποδειχθεί και θα το αποδείξετε εσείς ότι αυτή η σειρά για το νι να πηγαίνει στο άπειρο τύνει πάντα στο μηδέν έχει όριο το μηδέν οπότε αυτή η σειρά θα ξέρουμε ότι για οποιοδήποτε χ θα συγκλίνει. Που σημαίνει ότι εδώ πέρα βάζοντας οποιοδήποτε τιμή του χ αυτή η σειρά πραγματικά θα μας δώσει ένα συγκεκριμένο αριθμό που είναι το συνειμήτωνο του χ για το συγκεκριμένο χ που μας ενδιαφέρει. Λοιπόν άρα βλέπουμε ότι μπορούμε να παρουσιάσουμε το συνειμήτωνο του χ μέσα από μία τέτοια σχέση και να δείξουμε ότι αυτή η σειρά επίσης συγκλίνει και συγκλίνει για οποιαδήποτε τιμή του χ θέλετε μπορείτε να πείτε σε ποιο αριθμό συγκλίνει γιατί το χ αν δώσετε μία τιμή θα μας δώσει το κοζάνι του χ θα μας δώσει μία συγκεκριμένη τιμή. Δηλαδή η συνάντηση αυτή είναι μικρότερη η ίση γιατί κάτι λείπει από αυτήν εδώ τη σχέση γιατί αυτή η σχέση το αρνί θα τίνει στο μηδέν άρα λοιπόν μπορούμε να πούμε ότι αυτή η συνάντηση συγκλίνει και συγκλίνει σε ένα συγκεκριμένο σημείο όταν δώσουμε τιμή στο χ. Άρα ένας άλλος τρόπος να κοιτάξουμε μία σειρά ιδιαίτερα όταν είναι σε δυνάμεις του χ είναι να την εκφράσουμε σαν μία συνάντηση η οποία συνάντηση μπορεί να δούμε αν συγκλίνει. Για να κάνετε εσείς μία τέτοια παρουσίαση να μου πείτε με τι σειρά θα μπορείτε να παρουσιάσετε το ε στην χ σαν γύρω από το σημείο χ ίσον μηδέν σαν σειρά μακλόρεν. Για να παρουσιάσετε λοιπόν το ε στην χ αναλύγιοντας το ε στην χ αναπτύσσοντας σε σειρά μακλόρεν παρουσιάσετε το όπως το έκανα εγώ εδώ πέρα σαν μία σειρά όπως έκανα το συνημήτωνο του χ το ε στην χ να μου πείτε ποια σειρά θα είναι αυτή. Οπότε μερικές από τις βασικές συναρτήσεις όπως το ημήτωνο το συνημήτωνο και άλλα θα τα βλέπουμε πλέον και με μία ένα αλλο μάτι σαν αναπτύγματα μιας συγκεκριμένης σειράς μιας συγκεκριμένης διαιραμμός σειράς. Άρα αν ήθελα σε αυτή τη μορφή σαν άθρησμα να παρουσιάσετε το ε στην χ ποιος θα είναι ο τύπος που θα το δίνει σε σειρά μακλόρεν. Για πέστε μου. Ναι τι θα ναι. Ναι. Και γενικά αν θέλω να το παρουσιάσω με τη μορφή αυτή άθρησμα k ίσο με το μηδέν έως ν πως θα το γράψω. Το κάνατε ή δεν το πήγατε. Δεν το πήγατε μέχρι εκεί. Λοιπόν να σας το δείξω εγώ και βέβαια πρέπει σας είπα ότι όλα αυτά είναι f του k, k παραγοντικό, x στην k. Αυτή είναι η. Αυτό εδώ πέρα αν κάνετε τις πράξεις βγαίνει ακριβώς το ίδιο πράγμα από αυτό που είπε η συνάδελφός σας. Λοιπόν. Ναι στον αριθμητή έχω. Στον αριθμητή έχω. Είναι ε όχι αυτό το σύμβολο είναι η παράγωγος. Με αυτό το σύμβολο έχω συμβολήσει αυτό. Μέσα σε παρένθεση την πρώτη δύναμη αυτό εδώ πέρα θα το ονομάσω dFdx και το f2 στο σημείο μηδέν θα είναι η δεύτερη παράγωγος του f ως προς x. Και γενικά αν προχωρήσω η f του k αυτή εδώ στο σημείο μηδέν θα είναι η k παράγωγος της f ως προς το dx, k στο σημείο x ίσον μηδέν. Εντάξει. Αυτός είναι ο συμβολισμός που χρησιμοποιώ. Το χρησιμοποίησα και προηγουμένως αλλά δεν μου χρειάστηκε. Αλλά λοιπόν αυτό εάν το παραγωγήσεις και βγάζεις στις παραγώγους οι παράγωγοι για το A στην X δίνουν αυτά που έδωσε η συνάδελφός σας. Δηλαδή αυτά δίνουν εδώ πέρα συνέχεια μονάδα. Αυτό είναι όλα μονάδα. Γι' αυτό η συνάδελφός σας είχε πει εδώ ότι αν συνεχίσει θα βγάλει 1 δια k παραγωγτικό, X στην k. Έτσι, όλες οι παράγωγοι του A στην X στο σημείο μηδέν είναι μονάδα. Όπως βλέπετε εδώ πέρα είχε 1 δια 1 παραγωγτικό, 1 δια 2 παραγωγτικό, 1 δια 3 παραγωγτικό, 1 δια k παραγωγτικό, Fk. Γιατί έχει εδώ πέρα ένα, γιατί όλες οι παράγωγοι του Fk στο σημείο μηδέν είναι μονάδα. Ακούω, ερωτήσεις. Σας ακούω, μιλήστε, κάντε ερωτήσεις. Δεν σημαίνει ότι αυτά που είπα δεν θέλουν κάποιες διευκρινήσεις, ακούω. Είναι καθαρό. Τι είναι καθαρό, δηλαδή ότι μια συνάρτηση A στην k, μη το νοείς στην χειμή. Να γράψετε και εσείς μια συνάρτηση, να δημιουργήσετε και εσείς από μια συνάρτηση, να πάρουμε μια ακόμα συνάρτηση, η οποία θα είναι το ημύτωνο τώρα του χ. Να δούμε πως διαφέρει. Αν σας δώσω το ημύτωνο του χ και αυτό μπορείτε να το αναπτύξετε στο σημείο χ ίσον με μηδέν, που είναι η σειρά Maclauren, μπορούμε να φτιάξουμε, όπως φτιάξαμε για το συνημύτωνο, μια αντίστοιχη σειρά. Οπότε ποια θα είναι αυτή. Μπορείτε να δείτε πως θα πάει το ημύτωνο του χ, να το φτιάξουμε και αυτό με τη μορφή της σειράς που έγραψα εδώ πέρα, όπως έγραψα για το συνημύτωνο. Πως θα είναι η σειρά, η αντίστοιχη σειρά για το ημύτωνο του χ, σαν Maclauren. Όλο που θέλετε είναι να πάρετε τους πρώτους όρους και βλέποντας τους πρώτους όρους να καταλάβετε πως προχωράει η ανάπτυξη για να παρουσιάσετε το γενικό όρο. Άρα αυτή είναι η διαδικασία, αν σας δώσω μια συνάρτηση και σας πω γράψτε μου τη συνάρτηση αυτή με τη μορφή μιας σειράς, με ράθρισμα δηλαδή, όλο που πρέπει να κάνετε είναι να πάρετε τους πρώτους όρους, να δείτε πως εξελίσσονται και να καταλάβετε τον γενικό όρο πως θα είναι. Και άμα έχετε καταλάβει το γενικό όρο, θα γράψετε το γενικό όρο όπως είναι εδώ. Δηλαδή παίρνοντας αυτό εδώ, δεν φαινόταν ότι εδώ πάει σε αυτήν τη σχέση ή τουλάχιστον πρέπει να το δείτε. Το βλέπετε? Άρα εύκολα δημιουργούμε αυτήν εδώ τη γενική έκφραση. Εδώ τη φτιάξαμε και ήταν έτσι. Και εδώ ποια θα είναι, δηλαδή, ποιο είναι για το ημύτωνο του Χ, στη Μακλόρεν η γενική έκφραση. Ποια θα είναι δηλαδή να φτιάξετε το ημύτωνο του Χ, να το φτιάξετε και αυτό μια σειρά αντίστοιχη με αυτό εδώ πέρα. Για φτιάξτε το. Το έχεις φτιάξει αργή, το φτιάξες, για το ημύτωνο. Κάτσε να δούμε και οι άλλοι τι θα πούνε. Λοιπόν, ο Αργυριστός θέλει να μας πει πώς είναι, αλλά πέστε μου και οι υπόλοιποι πώς μπορούμε να παρουσιάσουμε, δηλαδή τι θέλω να κάνετε. Θέλω να πάρετε τους πρώτους όρους του ημυτώνου Χ και να τους γράψετε, δηλαδή να φτιάξετε όπως έφτιαξε συνάδελφός σας μια τέτοια σειρά. Μετά να σκεφτείτε πώς θα είναι ο νοιωστός όρος και μετά να την δημιουργήσετε αυτό εδώ πέρα. Αυτό ήθελα να κάνετε. Το πρώτο που πρέπει να δείτε είναι οι όροι F0 στο 0, για αυτήν εδώ τη σειρά, F1 στο 0, F2 στο 0, η πρώτη, η δεύτερη παραόγορα. Να δείτε πώς πάνε στην αρχή των αξώνων, πώς πάνε δηλαδή σαν πρόσημα εδώ πέρα, τι μας δίνουνε. Και να φτιάξετε μια αντίστοιχη σειρά σαν αυτή που έφτιαξε εδώ η συνάδελφός σας. Αργύρη για πες μας πώς νομίζεις ότι θα είναι ο γενικός όρος αυτής της σειράς. Δεν έχει στην Κ για να κάνω παραδοτικό. Το Χ είναι στην Κ? Σε τι είναι αυτή η σειρά? Κ1-1 Όχι, αυτή βγαίνει αν κάνουμε την ανάπτυξη, επειδή το F0 βγαίνει 0, το F1 βγαίνει 1, το F2 βγαίνει 0, μετά το F3 εννοώ, F3 είναι θεωρώ την παράγωγο, έτσι. Η πρώτη παράγωγο του ημητώνου στο σημείο 0 μου δίνει 0. Τι έχετε σκεφτεί το πως είναι η σειρά. Ωραία, να εξηγήσω λίγο τι θέλω, καταρχήν μήπως οι υπόλοιποι δεν το έχουν πάρει μιλόδια. Πρώτα που φτιάχνω σαν μια τέτοια δυναμή σειρά, θα φτιάξω τους όρους, πρέπει να φτιάξω, η γενική μορφή φυσικά θα έχει, η γενική μορφή θα έχει F στην Κ εδώ πέρα, στο σημείο 0, δια Κ παραγωγτικό, ή στην Κ, αυτή θα είναι η γενική μορφή. Το ερώτημα όμως είναι ότι έτσι γράφονται όλες οι δυναμόσυρες. Όλα τα αναπτύγματα Maclaurin γράφονται έτσι. Ναι αλλά ξέρετε ότι στα αναπτύγματα Maclaurin κάποιοι όροι λείπουν. Έτσι αυτό είναι το καινούργιο. Άρα λοιπόν, γιατί βλέπετε, αν πάρω στο ημίτονο χ, το F0 είναι 0, το F1 είναι 1, το F2 είναι 0, το F3, δηλαδή, η τρίτη παράγωγος του F είναι μειών 1, η τέταρτη παράγωγος στο μηδέν είναι, μας δίνει μηδέν και συνεχίζουμε. Άρα, με αυτόν τον τρόπο, θα ακούσε τώρα το συναδελφός σας, όταν το αναπτύξει μέσα από αυτήν τη διαδικασία, τι πια σειρά νομίζει ότι γίνεται. Νομίζω ότι είναι στην 2ΚΠΣ1 παραγωγτικό. Άρα λοιπόν, λέει ότι είναι, καταρχήν υπάρχει το μειών 1 στην ΚΠΑ, έτσι, γιατί υπήρχε μια εναλλαγή. Υπάρχει λοιπόν το 2ΚΠΣ1, είπες, παραγωγτικό, ναι, πολύ όμορφα. Αυτό είναι, αυτό είναι. Η ανάπτυξη δηλαδή του ημητώνου, μας δίνει, κοιτάξτε τη διαφορά από το συνημήτωνο, το συνημήτωνο είχε 2ΚΠΑ παραγωγτικό, 2ΚΠΑ. Είχε το μειών 1 στην ΚΠΑ και ήταν έτσι το συνημήτωνο. Το ημητώνο έχει 2ΚΠΑ συν 1 και βγαίνει παρακολουθώντας 4-5-6 όρους της σειράς, τις κάνουμε αναλυτικά, τους κοιτάμε πώς εξελίσσονται και κοιτάμε να τους παρουσιάσουμε σαν γενικό όρο, δεν καταλάβατε ποια είναι η τεχνική. Τώρα, για αυτή τη δουλειά δεν τη μαθαίνετε με το που το είπα εγώ, θα πρέπει να πάτε στο σπίτι και κάποιες από αυτές τις σειρές στο τυπολόγιο μπορείτε πολλές από τις κλασικές συναρτήσεις να τις αναπτύξετε σε σειρές. Και να δείτε ας πούμε η εφαπτωμένη του χ στην αρχή των αξώνων, μπορεί να μπει σε μια σειρά με αυτή τη μορφή αθρηστική. Δηλαδή να βρείτε πώς εξελίσσεται η εφαπτωμένη του χ στην αρχή των αξώνων, να δείτε πώς πάνε οι όροι και να δείτε αν μπορεί να μπει όπως έκανε ο συνάδελφός σας σε μια τέτοια μορφή. Αυτή είναι μια δουλίτσα που πρέπει να μπορείτε να την κάνετε. Τώρα, υπάρχει κάτι ακόμα. Εάν σας δώσω εγώ μία σειρά, μία έκφραση, άρα αυτό το αφήνω και αφήνω να παίξετε κι εσείς με κανονικά θα πρέπει να μπορείτε πολλές σειρές από τις σειρές τον Τέιλορ, τον Μάκ Λόρεν, από τις ειδικές συναρτήσεις που έχουμε δουλέψει, να μπορείτε να τις αναπτύξετε και να τις φέρετε στη μορφή δυναμοσυρών. Έτσι, αυτό είναι λοιπόν μια δουλίτσα που έχετε να κάνετε εσείς. Αν σας δώσω εγώ μία συνάρτηση και σας πω παρουσιάστε τη σαν δύναμο σειρά, θα βρείτε τις παραγώγους της συνάρτησης αυτής στην αρχή των αξώνων, γιατί μόνο αυτό σας λείπει. Για να παρουσιάσετε σε Μάκ Λόρεν τη σειρά, εδώ στον παρονομαστή έχετε το Κ παραγωγτικό, στον αριθμητή θα έχετε το Κ στο μηδέν και εδώ θα έχετε Χ στον Κ. Αυτή από εκεί ξεκινάτε. Έτσι είναι μια σειρά. Όλες οι σειρές Μακ Λόρεν είναι έτσι. Ναι, αλλά δεν είναι ακριβώς έτσι, γιατί κάποια από αυτά λόγω ότι το Φ Κ στο μηδέν μπορεί να έχει μηδενικά ή μπορεί να έχει διάφορους όρους, κάποιοι όροι λείπουν. Οπότε αυτή μεταφράζεται, μετατρέπεται σε μια πιο συγκεκριμένη σειρά για την κάθε συνάρτηση. Οπότε πρέπει να την βρείτε εσείς πως πρέπει να γίνει και νομίζω ότι υπάρχουν αρκετές ασκήσεις που μπορείτε να εξασκηθείτε προς αυτή την κατεύθυνση. Να σας δώξω τώρα ένα άλλο ενδιαφέρον θέμα και να δω αν σας δώσω αυτήν εδώ τη σειρά που γράφω άθρισμα μίον ένα εις την Κ, τρία εις την Κ Κ συν ένα και εις την Κ. Να λοιπόν γενικά παίρνω μια τέτοια σειρά που το Κ είναι ίσο με το μηδέν έως το άπειρο, έχω λοιπόν μια τέτοια σειρά όπως έγραψα τώρα, μπαίνω σε ένα άλλο θέμα τώρα. Μπαίνω στο ενερώτηση αν αυτή η σειρά όπως την έχω γράψει είναι μια δυναμή σειρά μίον ένα εις την Κ, τρία εις την Κ και στον παρονομαστή Κ συν ένα κλείνει η παρένθεση. Ο αριθμητής λοιπόν έχει μίον ένα εις την Κ, ο παρονομαστής έχει τρία εις την Κ, ανοίγει παρένθεση Κ συν ένα κλείνει παρένθεση Χ εις την Κ. Μου δίνουν λοιπόν αυτή τη σειρά και τι με ρωτάνε. Με ρωτάνε εάν μπορούμε να βρούμε σε ποια περιοχή του Χ συγκλίνει αυτή η σειρά. Να βρούμε λοιπόν σε ποια σε περιοχή του Χ αυτή η δυναμή σειρά. Αυτή είναι μια δυναμή σειρά όπως την βλέπετε. Εγώ σας την έχω φτιάξει. Δεν έρχεται από κάποια συνάρτηση έτσι. Λοιπόν σας δίνω μια δυναμή σειρά σαν αυτή και σας ζητάω να βρείτε για ποιες τιμές του Χ η σειρά αυτή συγκλίνει. Είχαμε πει ότι ένα κριτήριο σύγκλισης ήταν να πάρουμε δύο διαδοχικούς όρους της σειράς και να βρούμε αν το όριο του Χ να πηγαίνει στο άπειρο. Δηλαδή να πάρουμε το όριο της απόλυτης τιμής του ΑΚ συν ένα δια ΑΚ. Το Χ σίγουρα πάει στο μηδέν. Να δούμε με τι είναι ίσον αυτό το πράγμα. Αν υπάρχει δηλαδή συγκεκριμένος αριθμός. Και είχαμε πει μέσα σε αυτά τα κριτήρια, είχαμε δημιουργήσει το κριτήριο του λόγου λεγόταν σε μια σειρά. Υπήρχε ένα κριτήριο του λόγου και είχαμε πει ότι ένας τρόπος να ελέγξουμε τη σύγκλιση αυτής της σειράς ήταν μέσα από το λόγο αυτόν. Να βγάλουμε αν αυτό το όριο, δηλαδή το ΑΚ συν ένα δια Κ, δίνει και είπαμε ότι αν το ρ, αν βγει δηλαδή κάποιος αριθμός για το όριο του ΑΚ συν ένα δια Κ, ο οποίος είναι μικρότερος της μονάδος, τότε η σειρά αυτή συγκλίνει. Λέω, σε μια σειρά με όρους Α1, Α2, Α3, ΑΚ, αν πάρουμε δύο διαδοχικούς όρους ΑΚ συν ένα δια ΑΚ, την απόλυτο τιμή της και το Κ πάει στο άπειρο, και αποδείξουμε ότι αυτή η σειρά έχει όριο το ρ, κάποιον αριθμό, τότε λέμε ότι αν αυτό το ρ είναι μικρότερο της μονάδος, η σειρά αυτή θα συγκλίνει. Άρα σας ζητάω, σε αυτό εδώ το παράδειγμα, σε αυτής της σειράς, να πάρετε δύο διαδοχικούς όρους και να δείτε αν το Κ πηγαίνοντας στο άπειρο αυτή η σειρά θα συγκλίνει. Θα μας δώσει ένα ρ, θα δούμε ποιο ρ θα μας δώσει αυτή η σειρά. Άρα λοιπόν, παίρνοντας αυτήν εδώ τη σχέση, να λοιπόν ο όρος ΑΚ της σειράς είναι αυτός, τον διαιρούμε, παίρνουμε τον ΑΚ συν ένα, παίρνουμε δηλαδή και φτιάχνουμε αυτήν εδώ τη σχέση και την προχωράμε και αν μπορείτε να καταλήξετε να δείτε αυτό το πράγμα. Αν διαιρέσετε δύο διαδοχικούς όρους τον Κ συν ένα με τον Κ, αν θα καταλήξετε τον Κ πάει στο άπειρο, θα καταλήξετε σε κάτι. Να δούμε ποιο είναι αυτό το κάτι. Μπορείτε να το βρείτε, με καταλάβατε τι ζητάω. Αυτός είναι ο όρος ΑΚ της σειράς που λέει ποιοι είναι ένα εις την Κ, τρία εις την Κ στον παρονομαστή, παρένθεση Κ συν ένα, επιχεί εις την Κ. Να λοιπόν μια δυναμώ σειρά. Παίρνω δύο διαδοχικούς όρους αυτής της σειράς και παίρνω να βρω αν υπάρχει το όριο και ποιο είναι όταν το Κ πάει στο άπειρο. Για κάντε λοιπόν τις πράξεις, φτιάξτε αυτό το πράγμα, φτιάξτε αυτό το λόγο και βρέστε αν αυτό το πράγμα θα μας δώσει ένα αποτέλεσμα και να δούμε τι θα κάνουμε στη συνέχεια. Εάν πάρετε τους δύο διαδοχικούς όρους και προχωρήσετε, το Κ κάνετε τις πράξεις, απλοποίησης όσες απλοποίησης παίρνει, κάντε λίγο τι σας παρακαλώ τις πράξεις, διαιρέστε δύο διαδοχικούς όρους και κοιτάξτε αν μπορείτε να κάνετε τις πράξεις να δούμε πού θα καταλήξουν αυτές οι πράξεις. Σε ποιο πράγμα θα καταλήξουν αυτό εδώ το πράγμα, ποιο θα είναι το ρ δηλαδή από το όριο του αΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚ Είναι απλές πράξεις οι οποίοι οι μερικοί δεν θέλετε να τις κάνετε, δεν είναι κακό να κάνετε λίγο δουλίτσα, βαριέστε δεν ξέρω τι γίνεται, αλλά έχει ενδιαφέρον. Υπόσχεσαι, κύριε Παραδοσιακή, για να μην ξεχάσεις το πρόγραμμα και να μην ξεχάσεις το πρόγραμμα και να μην ξεχάσεις το πρόγραμμα. Το βρήκες ποιο είναι το ρο? Ποιο είναι? Μίον ένα τρίτο χ. Έτσι είναι, δεν είναι, έχεις κάνει κάπου λάθος, έχεις κάνει κάπου λάθος. Για να μην βλέπεις σωστά δεν βγαίνει αυτό που λες. Γιατί η απόλυτος τιμή του ΑΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚ να είναι μικρότερο από το 1. Για να είναι αυτό μικρότερο το 1 το x πρέπει να είναι μεταξύ του πλήν 3 και του 3. Και τι λέει τώρα αυτό, ότι η σειρά αυτή θα συγκλίνει μέσα στην περιοχή που το x είναι μεταξύ του μειών 3 και του 3. Και αυτό λέγεται ακτίνα σύγκλισης της σειράς. Να ένα καινούργιο πράγμα. Παίρνουμε μια σειρά, μας τη δίνουμε. Η οποία έχει ένα γενικό όρο αυτόν που γράψαμε τώρα. Παίρνουμε 2 διαδοχικούς όρους της σειράς και προσπαθούμε να δούμε εάν παίρνοντας το κ να πηγαίνει στο άπειρο, καταλήγουμε σε κάτι. Και τώρα παίρνουμε ότι το x θα είναι μεταξύ μειών 3 και 3. Και αν μας ρωτήσουν τώρα αυτή η σειρά μέσα σε ποια περιοχή του x συγκλίνει, αυτή η περιοχή από το μειών 3 μέχρι το 3 λέγεται ακτίνα σύγκλισης. Άρα μόνο μέσα σε αυτή την περιοχή συγκλίνει αυτή η σειρά για τους λόγους που εξηγήσαμε. Άρα μπορώ λοιπόν εγώ παίρνοντας τους διαδοχικούς όρους μιας σειράς να βρω την ακτίνα σύγκλιση της. Εάν φυσικά μπορώ να φτάσω σε ένα αποτέλεσμα σαν αυτό εδώ πέρα. Να σας δείξω μια την οποία θα δουλέψετε εσείς στο σπίτι. Να σας δουλέψω μια ακόμα, ένα δεύτερο παράδειγμα το οποίο δεν θα το κάνω εγώ, απλώς θα το κάνετε εσείς στο σπίτι. Έχω ένα παράδειγμα που λέει από το Κ-1 μέχρι το άπειρο, να μια σειρά θα τη γράψω, 1 δια ΚΤ, χ-5 εις την Κ. Να λοιπόν μια άλλη δυναμή σειρά. Με την ίδια τεχνική παίρνοντας την απόλυτο τιμή δύο διαδοχικών όρων του Κ-1 και του Κ, προχωράμε κάνουμε τις πράξεις να δούμε πού θα καταλήξει και εκεί που θα καταλήξει θα ψάξουμε να βρούμε την ακτίνα σύγκλιση σε αυτή τη σειράς. Με τον ίδιο τρόπο που είπαμε θα πάρουμε δηλαδή το αποτέλεσμα, θα το κάνουμε μικρότερο του 1 και αν είναι απόλυτος τιμή με το χ μέσα μικρότερο 1 θα βρούμε την ακτίνα σύγκλιση της σειράς. Κατανοητό σαν μέθοδο, όχι τις πράξεις. Υπάρχει περίπτωση στο λόγο μέσα στο άπειρο μας βγήκε το ΚΤ. Αν βγει το ΚΤ θα πηγαίνει στο άπειρο ή θα πηγαίνει στο μηδέν. Οπότε αν πάρεις ένα από αυτά τα δύο θα πρέπει να αποφασίσουμε δεν μπορούμε να δώσουμε απάντηση γιατί είχαμε πει ότι με αυτά τα κριτήρια, τα κριτήρια αυτά που είχαμε βγάλει για το ΡΟ αν τα θυμάστε του λόγου, για το μηδέν δεν δίνανε απάντηση. Δίνανε μόνο ένα μικρότερο του 1. Άρα λοιπόν το ΚΤ αν μείνει μέσα κάτι μας έχει διορίσει. Δηλαδή το ΚΤ, εάν το ΚΤ πάει το ΡΟ σε αριθμό μεγάλο γιατί αν μείνει και πάει το ΚΤ στο άπειρο αυτό το παίρνουμε το όριο να πάει στο ΚΤ στο άπειρο. Αν μείνει το ΚΤ μέσα θα πηγαίνει ή στο μηδέν ή στο άπειρο γιατί αν είναι στον αριθμητή θα μας δώσει μια διέξοδο να πάμε στο άπειρο, αν είναι στον παρονομαστή και είναι ένα αριθμός θα πηγαίνουμε στο μηδέν. Έχουμε πει όμως τα κριτήρια του λόγου ήταν. Το ΡΟ, το όριο δηλαδή, αν είναι μεγαλύτερο της μονάδας τότε το αποκλίνει. Αν το ΡΟ είναι μικρότερο της μονάδας συγκλίνει και αν το ΡΟ ίσον με ένα το τεστ δεν δουλεύει. Άρα λοιπόν σε μια τέτοια περίπτωση εάν μας οδηγεί με το ΚΤ να μείνει μέσα να πάμε στο άπειρο θα είμαστε στην περίπτωση του ΡΟ μεγαλύτερος της μονάδας και θα πούμε ότι η σειρά αποκλίνει. Εάν μας πάει στο μηδέν όμως, στο μηδέν είναι μικρότερο της μονάδας οπότε πρέπει να πραγματικά να σιγουρέψουμε τότε μπορεί πραγματικά να δώσει μια συγκεκριμένη και αν μάλιστα πηγαίνει για οποιοδήποτε τιμή του Χ, η ακτή ανασύγκλησης είναι όλος ο χώρος, δεν έχει φραγμό. Καταλάβατε εάν το ΚΤ οδηγήσει σε μικρότερο της μονάδας δεν χρειάζεται να φράξουμε το Χ μεταξύ κάποιων στιμών. Αυτό που σας έδωσα εγώ, το δεύτερο παράδειγμα αυτό εδώ, θέλω να αποδείξετε ποια είναι η ακτή ανασύγκλησης. Δηλαδή να πάρετε δύο διαδοχικούς όρους όπως κάναμε εδώ, να καταλήξετε σε κάτι, να το φράξετε με τη μονάδα και να δείτε αν αυτό βγάζει μια περιοχή μέσα στην οποία θα την ονομάσουμε ακτή ανασύγκλησης για τη σύγκληση της σειράς. Λοιπόν, τι άλλο εμάς μας ενδιέφερε και θέλω να σας το θυμίσω για να κλείσουμε με αυτή την ώρα και με τα Taylor. Με τα Taylor λοιπόν, και τα McClure είναι πολύ όνειμα, ένα πράγμα που ενδιέφερε είπαμε, να υπολογίσουμε το λάθος. Έχουμε πει πάρα πολλά, άρα ο νιωστός όρος, το νι δηλαδή αυτό που είπαμε, ο οποίος είναι ο όρος τον οποίον δεν κρατάμε στη σειρά, αυτός ο όρος όποιος είναι λέγεται αρνί, είναι ίσως με την απόλυτη τιμή αυτό το απόλυτο αρνί, είναι το εφ εις την νιωστή παράγωγο στο μηδέν, αν πούμε και το McClure, νι παραγωτικό, χι εις την νι. Αυτή είναι όλα απόλυτο τιμή. Επειδή το εφ, η νιωστή παράγωγο του μηδενός, θα κοιτάξουμε μήπως αυτό μπορούμε να το βάλουμε μικρότερο ίσως κάποια στιγμής μη, δηλαδή να προελογίσουμε στην περιοχή για την οποία συζητάμε, αν αυτό φράζεται, η νιωστή παράγωγος φράζεται με κάποιον αριθμό θετικό. Η νιωστή παράγωγος στο σημείο μηδέν, παραμένως, αν αυτό είναι πλήν ένα εις την νι, η απόλυτος τιμή του πλήν ένα εις την νι είναι μονάδα. Άρα λοιπόν, η απόλυτος τιμή της νιωστής παραγωγού στο σημείο μηδέν θα είναι μονάδα. Άρα μπορούμε να αντικαταστήσουμε τον αριθμητή μονάδα. Και να μας μείνει μία παράγωγος που λέει χι εις την νι δια νι παραγωτικό. Τώρα, τι υπολογίζει αυτό. Βάζοντας κάποια τιμή στο χι εσύ, επειδή ξέρεις το χι ότι περικινείται απομακρύνοντας από την αρχή των αξώνων, το χι, καταλαβαίνεις ότι αυτός εδώ ο όρος θα γίνεται όλο και πιο μεγάλος. Και σε ενδιαφέρει να δεις ότι σε ποια περιοχή αυτό το είχαμε πει, αν θέλεις δηλαδή το λάθος να είναι συγκεκριμένο, δέκα εις τιμήων τέσσερα, τότε θα γυρίσεις τη σχέση αυτή και θα υπολογίσεις, θα πάρεις το χι, όλη την ακτήνα σύγκλισης, δηλαδή λέγαμε ότι είμαστε στην αρχή του μηδενός. Οπότε το χι μπορεί να το πάρουμε εμείς σε μια απόσταση, πρέπει να μας δώσει κανένας, την απόσταση πρέπει να απομακρυνθούμε από το μηδεν. Να το μηδεν. Και το χι είναι αυτό εδώ πέρα, είναι η απομάκρυνση μας από την αρχή των αξώνων. Άρα λοιπόν, κάποιος μπορεί να μας ρωτήσει, σε αυτήν εδώ τη σειρά, πότε μπορεί να είναι μικρότερο από το δέκα εις τιμήων τέσσερα. Τι κάνουμε σε αυτή την περίπτωση, υπολογίζουμε αν αυτό εδώ πέρα φράζεται. Και αυτό μπορεί να φράζεται με ένα ρυθμό μη, μεγάλο. Εδώ έχουμε το ν παραγωτικό και εδώ το χι, μας έχουν δώσει το εύρος των τιμών, αν το χι λοιπόν είναι 0,1, βάζω εδώ πέρα 0,1 και λύνω ως προς ν, για να βρω το λάθος της σειράς. Ο άλλος τρόπος είναι, υπολογίζω τον τρίτο, τον τέταρτο, έτσι έναν έναν τους όρους τους μεγαλύτερους και βλέπω πότε ο όρος ο τέταρτος πέφτει κάτω από το λάθος που θέλω στην ακρίβεια της ανάπτυξης σε σειρά μακλόρεν μιας συνάρτησης. Λοιπόν για να βρούμε σε ποιο όρο πρέπει να σταματήσω, αυτό που το είχαμε πει από την αρχή, επαναλαμβάνω για τέταρτη φορά, γιατί το έχουμε πει πολλές φορές, ή προχωράω και προσθέτω όρους στη σειρά και κοιτάζω αυτοί οι όροι τι τιμές έχουν και βλέπω πότε περνάω κάτω από το 10 στιγμίων 4, οπότε εκεί σταματάω, λέω δεν θέλω άλλους όρους, γιατί οι άλλοι όροι θα είναι πολύ μικρότεροι από αυτό, ή παίρνω το γενικό όρο και βρίσκω το ν, ώστε η σειρά αυτή να έχει λάθος μικρότερο από το 10 στιγμίων 4. Για να βρω το ν θα πρέπει να μου έχει δώσει κάποιος την απόλυτη τιμή του χ. Αυτή τη τιμή μου λέει ότι αν απομακρυνθώ 10 στιγμίων 1 από την αρχή των αξώνων, πόσο είναι το λάθος στο αν κρατήσω το τέταρτο ή το πέμπτο όρο. Ακούω ερωτήσεις. Άρα στον ανάπτυγμα μακλόρεν δεν έχουμε πολλά πράγματα να κάνουμε, είναι μια διαδικασία απλή. Εκείνο που έχει ενδιαφέρον είναι πώς σταματάμε. Σας είχα πει πότε σταματάμε και ποιον όρο κρατάμε σαν το τελευταίο. Πόσους όρους να κρατήσουμε, εάν θέλουμε το λάθος να είναι συγκεκριμένο, όταν ξέρουμε πόσο έχουμε απομακρυνθεί από την αρχή των αξώνων. Η ερώτηση που έχει ενδιαφέρον είναι εάν εσείς, θα ήθελα να ρωτήσω αν έκανε κανένας, είχε κανένα στην περίεργεια, να πάρει το μηχανάκι του, να υπολογίσει ένα συγκεκριμένο αριθμό, ας πούμε εις την Δευτέρα, αριθμητικά από τον υπολογιστή σας των μικρών, την αριθμομηχανή και να σηκάνει και έναν ανάπτυγμα εδώ πέρα και να δει αν το λάθος που αφήνει φαίνεται να είναι αυτό που βλέπει και στην απομακρύνση, δηλαδή αν πάρει τον τρίτο όρο και τον κρατήσει και δει αν το λάθος είναι αυτό που βγαίνει από το ανάπτυγμα Taylor, αν παίρνει δηλαδή με τους τρεις πρώτες όρους αυτή την ακρίβεια που θέλει. Δηλαδή σας είχα πει να κάνετε ένα πείραμα, να πάρτε να υπολογίσετε μια συνάρτηση σε σειρά, να κρατήσετε τρεις όρους και τον τέταρτο όρο να τον υπολογίσετε και μετά να πάρετε την αριθμομηχανή και να δείτε πραγματικά αν το συνειμήτωνο του 0,3 το αναπτύξετε στην αριθμομηχανή και το αναπτύξετε και σε σειρά, θα σας δώσουν τα ίδια αποτελέσματα. Το έκανε κανένας εδώ μέσα, Αργύρη το έκανες? Εγώ το έκανα και εδώ και δεν μου έγινε το ίδιο πρώτα. Δηλαδή τι έκανες? Δηλαδή να καταλάβω όμως αν έκανες το σωστό. Πήρας το συνειμήτωνο του 0,3 έτσι. Βασικά δεν πήρατε συγκεκριμένο, ρίζα πήρα. Ρίζα πιανού πράγματος. Πήρα τρίτη ρίζα του 0,1. Του 0,1. Σωρί, του 1,1. Του 1,1. Λοιπόν, εάν και αυτό που σε μια τέτοια ανάλυση θα έπρεπε κανένας αν κρατήσει ας πούμε τους τρεις όρους, ο τέταρτος όρος να συμπληρώνει μια ακρίβεια παρόμη με αυτή που δίνει το μηχανάκι. Και τι έβλεπες, είχε μεγάλη απόκλειση, δηλαδή τι διαφορά. Πώς θα παρόμει σε τι τάξη. Κοίταξε, εδώ θα δώσει έναν αριθμό αυτό το 1,1. Ο όρος αν σταματήσει στην τρίτη τάξη, θα πρέπει να δεις υπολογίζοντας το R3, να δεις τι νούμερο θα βγάλει. Εσύ έχεις κρατήσει το πρώτο, το μηδενικό, το πρώτο και το δεύτερο όρο. Ωραία, αυτούς τους έχεις και έχεις βρει ένα νούμερο με αυτούς τους τρεις. Τους προσθέτεις και έχεις βρει ένα νούμερο. Πας λοιπόν στο R3 τώρα και προσπαθείς για αυτήν εδώ την ανάπτυξη να δεις πόσο είναι το R3. Εάν αφαιρέσεις αυτό που βγάλαν οι τρεις πρωτοιόρι, από αυτό που έβγαλε η αριθμομηχανή, θα πρέπει να ενίσω με το R3. Πολύ μεγάλη διαφορά. Είναι αρκετά μεγάλη. Μπορεί κάποιος, μπορείτε να το κάνετε και οι υπόλοιποι για να βρούμε να το κάνουμε, να το βάλουμε σαν πρότζεκτ αυτό τώρα. Μπορεί και επειδή είμαι λίγο και ασύμπαλαιο. Ωραία, να το βάλουμε σαν πρότζεκτ. Θέλετε να το δοκιμάσετε. Κάντε σας παρακαλώ αυτό που είπαμε, δηλαδή να αναπτύξετε την τρίτη ρίζα του 1,1, να το αναπτύξετε καταλλήλως σε σειρά, να πάρετε το μηδενικό όρο, να πάρετε τους τρεις πρωτοιόρους και ο τέταρτος να τον υπολογίσετε ποιος είναι, οπότε αφαιρώντας αυτό που βγάζει το μηχανάκι από τους τρεις πρωτοιόρους, θα πρέπει να βγαίνει το R4. Μπορείτε να το κάνετε και να δείτε τη διαφορά. Στείλτε τη διαφορά, εγώ θα τη στείλω σε όλους. Όποιος έχει κάνει τη δουλειά, θα τη μοιράσω σε όλους. Με καταλάβατε τι ζήτησα όμως. Αν πάρετε την τρίτη ρίζα του 1,1 με το μηχανάκι, θα βγάλει έναν νούμερο. Εάν πάρετε τους τρεις πρωτοιόρους από το ανάπτυγμα σε Taylor και αφαιρέσετε αυτό από αυτό που έβγαλε το μηχανάκι, θα σας μείνει κάτι. Αυτό το κάτι που θα μείνει πρέπει να βγαίνει ίσως με το R3. Αν έχω κρατήσει τους δύο πρώτους όρους. Όποιος μου το στείλει αυτό αναλυτικά, είναι δεν είναι ό,τι έχει βγάλει, θα ήθελα να το μοιράσω στους υπόλοιπους. Και αυτό σας παρακαλώ, κάντε το, στείλτε το σε μένα. Έτσι με το ανάπτυγμα. Κάνετε μια μικρή εργασιούλα με αυτά τα πράγματα που σας είπα. Να δούμε τι βγάζει. Είναι τρεις ραμμές θα μου γράψετε. Αυτό έβγαλε το μηχανάκι, αυτό έβγαλε οι τρίτσοι πρώτοι όροι, τους αφαίρεσα, έβγει και αυτό το αριθμός και αυτό έβγαλε το R3. Ή το R4, ό,τι θέλετε δοκιμάστε, δεν έχει καμία σημασία. Να δούμε αν το R4 είναι ίσο με τη διαφορά. Καταλάβατε? Ok, να κάνουμε ένα διάλειμμα και να επανέλθουμε αφήνοντας τις σειρές και τις ακολουθίες πίσω μας. Ανοίγοντας το κεφάλαιο των ολοκληρωμάτων είναι γνωστό σε εμάς, μπορούμε να αρχίσουμε. Ανοίγοντας το κεφάλαιο των ολοκληρωμάτων είναι γνωστό σε εμάς, σε εμένα, σε εσάς, ότι δεν ανοίγουμε ένα κεφάλαιο το οποίο πρώτη φορά θα το ακούσετε. Το πρώτο και σημαντικό πράγμα είναι πώς εμείς θα επιστρέψουμε σε αυτά που έχετε κάνει στο λύκειο για τα ολοκληρώματα και να τα ανεβάσουμε λίγο περισσότερο κυρίως στο επίπεδο των εφαρμογών και σε κάποια ολοκληρώματα. Δύο πράγματα νομίζω ότι πρέπει να εξασφαλίσει κανένας. Το πρώτο είναι να μπορεί όπως με τις παραγώγους αν σας δώσω μια συνάρτηση της οποίας θέλω το ολοκλήρωμα και έχουμε το αόριστο ολοκλήρωμα, έχουμε το ολοκλήρωμα το οποίο κινείται μέσα σε δύο συγκεκριμένες τιμές το ορισμένο ολοκλήρωμα, έχουμε το ολοκλήρωμα που είναι από μια τιμή μέχρι το χί, το οποίο και αυτό πρέπει να το συζητήσουμε και μια τιμή, μια τυχαία τιμή και όλα αυτά να τους δώσουμε και μια παράσταση. Αλλά το πιο σημαντικό είναι αν εσείς θυμάστε και ποια θυμάστε από τα ολοκληρώματα των κλασικών συναρτήσεων, δηλαδή αυτά που λέμε βασικά ολοκληρώματα. Ποια θα ονομάσουμε βασικά ολοκληρώματα και αν αυτά θα υπάρχουν μέσα σε ένα, θα δημιουργήσετε δηλαδή ένα είδους πίνακα, στον πίνακα αυτόν να βάλετε μέσα 10, 15, 20 πόσα θα είναι αυτά τα πολύ βασικά ολοκληρώματα τα οποία να μπορείτε να τα κάνετε. Ξεκινώντας από αυτά που είναι πολύ συνηθισμένα, το χί στην ί, άμα το ολοκληρώσω, ποιο θα είναι το ολοκλήρωμα του ημητών, ο χί, ας τα στριβονομετρικές συναρτήσεις να μπορώ να τις ολοκληρώσω και πάει λέγοντας, έχουμε λοιπόν το πρώτο πράγμα που εγώ ήθελα να εξασφαλίσω, ότι εσείς στα βασικά ολοκληρώματα, γι' αυτό και στις σημειώσεις και παντού στο βιβλίο, υπάρχουν πίνακες που δείχνουν πως θα ολοκληρώσουμε τις βασικές συναρτήσεις. Από αυτά τα ολοκληρώματα, μερικά σας είναι πάρα πολύ εύκολο να τα δείτε γιατί ξέρετε ότι το ολοκλήρωμα είναι το αντίστροφο της παραγώγου, οπότε ξέρετε πάρα πολύ εύκολα πως να κινηθείτε, κάποια όμως δεν είναι τόσο εύκολα, είτε γιατί έχετε ξεχάσει ποια είναι η αντίπαραγωγος της συναρτήσεις, ή για κάποια τα οποία πραγματικά δεν τα θυμάστε, οπότε ενώ υπάρχουν αρκετά τα οποία θα τα βάλετε στην άκρη και δεν θα κάνετε ξανά επανάληψη, βασικά ολοκληρώματα που τα θυμάστε, μερικά μπορεί να μην τα θυμάστε. Παραδείγματος χάρη θα ήθελα να δω πως εδώ μέσα θυμώνται το ολοκλήρωμα του μπ εις την χ δx με τι είναι ίσον. Το ολοκλήρωμα μιας σταθεράς μπ εις την χ δx, αυτό το θυμάστε με τι είναι ίσον. Δεν είναι η ώρα να σας κάνω εξετάσεις, είναι ώρα να σας δείξω, θα μου πείτε, είναι ώρα να σας δείξω ότι κάποια από σας, μερικά από αυτά τα ολοκληρώματα δεν τα έχετε έτοιμα στο μυαλό σας. Αυτό λοιπόν είναι ένα από τα βασικά αυτά που εγώ ονόμασα σε έναν πίνακα που λέει βασικός πίνακας ολοκληρωμάτων, τον οποίον τον έχω μέσα στις σημειώσεις, τον έχει και το βιβλίο. Αυτόν τον πίνακα το πρώτο πράγμα που θα σας ζητήσω εγώ είναι, επειδή δεν είμαι σίγουρος στον τυπολόγιο που θα σας δώσω, θα κοιτάξετε ποια από αυτά τα βασικά ολοκληρώματα υπάρχουν ή μπορείτε μέσα από τις παραγώγους που υπάρχουν εκεί πέρα να τα βρείτε. Άρα λοιπόν το πρώτο που ζητάω είναι μια επανάληψη από το πίνακα των βασικών ολοκληρωμάτων και για να τα θυμηθείτε αυτή η επανάληψη μπορεί να γίνει και παραμονές των εξετάσεων ή να ξέρετε που βρίσκονται στο βιβλίο. Άρα λοιπόν αυτό είναι το πρώτο, παραδείγματος χάρη ποιος θυμάται ποιο είναι το ολοκλήρωμα του 1 τετραγωνική ρίζα του 1-χ4δχ. Επειδή έχεις μανία να θυμάσαι κάτι που ξέρω Αργύρη το θυμήθηκες αμέσως ποιο είναι η παράγωγος πιανού πράγματος είναι η παράγωγος του 1-2 τετραγωνική ρίζα του 1-χ4δχ. Ποιος άλλος το θυμάται, για πες το μου ξε. Παράγωγος του ΑΡΚΟΣΚΙ. Άρα λοιπόν αυτό το ολοκλήρωμα θα είναι η παράγωγος πιανού του ΑΡΚΟΣΚΙ, όχι ΚΟΣ είναι η ΜΙΤΟΝΟ του ΧΙ. Αργύρη αυτό ήθελες να πεις και εσύ ή κάτι άλλο. Όχι, το τετραγωγός του ΙΜΙΤΟΝΟ δεν είναι με ένα ΣΙΝ, αυτό είναι το ΙΜΙΤΟΝΟ. Αυτό που έχω γράψει εσείς, είπες του ΣΙΝΙΜΙΤΟΝΟ, δεν είπες. ΑΡΚΣΑΙΝ. ΑΡΚΣΑΙΝ είπες. Όχι εγώ είπα τέτοιο. ΑΡΚΟΣΑΙΝ είπες. Το ΆΡΚΣΑΙΝΙΧΙ δεν είναι με ένα ΣΙΝΙΜΙΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕΤΕ Υπόλοιποι πιθανότατα να μην τα θυμάστε, δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα, να σας πω την αλήθεια, ούτε εγώ τα θυμάμαι, αλλά δεν δίνω εξετάσεις, έχω δώσει τις εξετάσεις μου, εντάξει, να είμαστε ειλικρινείς, αν έχω δίπλα μου το τυπολόγιο και αν χρειαστώ κάτι τέτοιο θα το κοιτάξω, αν με ενδιαφέρει να δω τι γίνεται. Ωραία, άρα λοιπόν το πρώτο πράγμα που ήθελα να παρακαλέσω για να μην κάνουμε μαθήματα σε αυτά και δεν χρειάζεται να κάνουμε είναι αυτό, να φτιάξουμε αυτούς τους πίνακες με όλα τα συνήμη των ένα, άλλο πράγμα που δεν ξέρω αν το θυμάστε γιατί ήταν καινούριο που το είδαμε μέσα, το βάλαμε στα θέματα που συζητάμε, είναι πραγματικά ποιο είναι το ολοκλήρωμα των υπερβολικών συναρτήσεων. Είπαμε ποιες είναι οι παράγωγοι των υπερβολικών συναρτήσεων και αν δεν τις θυμάστε μπορείτε να τις βγάλετε και βλέποντας αυτές τις παραγώγους μπορείτε να υπολογίσετε ποιο είναι το ολοκλήρωμα, παράδειγμα τος χάρη, του υπερβολικού ημητώνου ΧΙΝΤΧ. Αυτό είναι βέβαια πρέπει τώρα να θυμηθείτε ποιά ήταν οι παράγωγοι, πως χωρίζαμε το υπερβολικό ημητώνο, δεν ξέρω πόσοι από εσάς το θυμάστε, μετά είπαμε βρίσκαμε πάρα πολύ εύκολα την παράγωγο του υπερβολικού ημητώνου με τι είναι ίσον και βέβαια αφού ξέρετε την παράγωγο του υπερβολικού ημητώνου μπορείτε να βρείτε και το ολοκλήρωμα του υπερβολικού ημητώνου. Λοιπόν, η απάντηση είναι ότι είναι το υπερβολικό ημητώνο ΧΙΝΤΧ. Ωραία, όλα αυτά είναι μια καλή στιγμή να πάντε να τα κάνετε μια καλή επανάληψη και να είστε έτοιμοι και να ξέρετε πού είναι στο βιβλίο και πως θα τα κάνετε επανάληψη όταν χρειαστεί. Τώρα, εκτός από αυτά υπάρχουν και άλλα πράγματα τα οποία ήθελα να συζητήσουμε και ένα από αυτά τα πράγματα που με ενδιαφέρει πάρα πολύ εμένα για να μπούμε έτσι από τα βασικά σιγά σιγά να πηγαίνουμε εκτός από πως ολοκληρώνονται οι βασικές συναντήσεις και το ολοκλήρωμα. Με ενδιαφέρει να δημιουργήσουμε μια εικόνα την οποία την έχετε κι εσείς για το πως μια γραφική παράσταση που έχω εδώ πέρα στο Χ και εδώ έχω τη συναντήση FΤΧ. Η συναντήση FΤΧ είναι μια συγκεκριμένη οποιαδήποτε και εάν εγώ θέλω να υπολογίσω το ολοκλήρωμα για αυτήν τη σημαίνει το ολοκλήρωμα από αυτήν εδώ τη συναντήση FΤΧ. Τι σημαίνει το ολοκλήρωμα λοιπόν της FΤΧ-ΔΧ από πλευράς παραστατικής είναι ότι αν πραγματικά πάρω συγκεκριμένα σημεία από τα οποία ξεκινάω από το Α έως το Β, το ολοκλήρωμα αυτό αποτελεί το εμβαδόν που είναι κάτω από την επιφάνεια αυτής της καμπύλης. Αυτό λοιπόν το ξέρετε έτσι τι μας σημαίνει παραστατικά το ολοκλήρωμα και τι μας δίνει αυτή παράσταση. Ένας τρόπος να υπολογίσω που το θεωρώ πάρα πολύ σημαντικό, υπάρχει ένας τρόπος να υπολογίσω το ολοκλήρωμα όχι κάνοντας πράξεις από το Α έως το Β, αλλά δημιουργώντας έναν τρόπο και δεν ξέρω αν πόσοι από εσάς ξέρετε να υπολογίσω αριθμητικά ένα ολοκλήρωμα. Δηλαδή να φτιάξω έναν τύπο στο δεύτερο μέλος ο οποίος θα μου δίνει την αριθμητική τιμή του ολοκληρώματος σαν νούμερο όμως, όχι σαν συνάρτηση. Δηλαδή έχω μια συνάντηση από Α έως Β, μια συνάντηση ευτυχή, με τι θα είναι ίση αυτή η συνάντηση, με πως μπορώ να υπολογίσω εγώ ώστε να βγάλω τι νούμερο βγάζει από Α έως Β, μια συγκεκριμένη συνάντηση εντεχή. Την ευτυχή μας τον έχουν δώσει και το Α και το Β μας το έχουν δώσει. Ξέρετε πως αριθμητικά θα υπολογίσω ένα ολοκλήρωμα, ποιοι από εσάς το ξέρουν. Δεν το έχετε πει αυτός του Λύκειου, αριθμητικά πως θα υπολογίσετε ένα ολοκλήρωμα. Εσείς δυο βαριέζεις και εσύ φαίνεται ότι τα έχετε δουλέψει λίγο τα ολοκληρώματα, οι υπόλοιποι δεν το θυμάστε. Αυτό ήταν στο Λύκειο αυτό κάναμε. Τι κάνατε. Τα ορισμένα ολοκληρώματα. Αλλά πως υπολογίσατε, πως υπολογίσετε αυτό το ολοκλήρωμα. Αριθμητικά εννοώ, όχι να βρείτε, δεν εννοώ να βρείτε μια συνάντηση Φ, δεν εννοώ να βρείτε αυτό Φβ-Φα, δηλαδή έτσι να υπολογίσετε, δηλαδή να υπάρχει το ολοκλήρωμα του Φ του Χ, να είναι όπως κάναμε την ολοκλήρωση του Φ του Χ γενικά, δε Χ, είχαμε βγάλει ότι είναι Φ του Χ συσταθερά, έτσι. Οπότε ξέραμε ότι για να πάρουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα θα πάρουμε αυτήν εδώ τη σχέση. Πολύ ωραία. Αν ξέρουμε τα όρες, το ξέρουμε και το ορισμένο ολοκλήρωμα, σωστά. Δεν εννοώ αυτό. Εννοώ πως μπορώ να υπολογίσω ένα ολοκλήρωμα, δημιουργώντας έναν τρόπο διαφορετικό, πιθανόντα να μην ρωτάω, σωστά, για αυτό ή περισσότερο να μην αντιτράτε. Λέω ότι το ολοκλήρωμα στην ουσία είναι να υπολογίσω την επιφάνεια που είναι κάτω από αυτήν την καμπύλη, σωστά. Ωραία. Αν εγώ διαιρέσω αυτό το χώρο από Α μέχρι Β, σε ν μικρά διαστήματα, αυτός ο ορισμός όμως μπορεί να υλοποιηθεί με ένα προγραμματάκι που θα φτιάξετε εσείς στη φόρτρα, ή σε οποιαδήποτε γλώσσα χρησιμοποιείτε, μπορούμε να υπολογίσουμε με αυτόν τον τρόπο να φτιάξουμε εδώ πέρα, να εισηκώσουμε αυτές τις σχέσεις εδώ, να φτιάξουμε αυτές εδώ πέτα τα μικρά διαστήματα και εδώ πέρα έχουμε επιφάνειες. Οπότε ένα ολοκλήρωμα σε μια γενική μορφή από το Α έως το Β, του Φ, του Χ, ΔΧ, θα είναι ίσον με άθρισμα. Της τιμής της συνάρτησης στο συγκεκριμένο σημείο Κ, επί το ΔΚ που αυτά τα ΔΚ θα είναι τα διαστήματα που έχω εγώ χωρίσει, τα διαστήματα αν είναι ν θα πάρω να είναι από ένα έως ν, όλα αυτά τα διαστήματα. Οπότε η συνάρτηση θα υπολογίζεται Φ, εδώ πέρα προσέξτε τι έχουμε, αν πάρω ένα τομεσαίο σημείο εδώ, σε αυτή τη συνάρτηση μεταξύ δηλαδή του Α και του ΑΣΔΧ, αυτό είναι το ΔΧ, άρα αυτό είναι ΑΣΔΧ, εδώ πέρα είναι η τιμή της συνάρτησης στο μέσον του διαστήματος ΑΣΔΧ, άρα δηλαδή η τιμή της συνάρτησης το ΑΣΔΧ δεύτερα, επί το ΔΧ και αν προχωρήσω θα φτιάξω ένα δεύτερο όρο, ο οποίος θα είναι ΑΣΔΧ, επί ΔΧ, συν Φ του ΑΣΔΧ, συν τρίες φορές το ΔΧ δεύτερα, έτσι, επί ΔΧ. Αυτός είναι ο τρόπος να ολοκληρώσω μια συνάρτηση όταν δεν μπορώ να βρω αναλυτική της έκφραση, όταν εγώ έχω στα χέρια μου το ολοκλήρωμα μπορώ να το κάνω και μια συνάρτηση Φ του Χ μου δίνει το Φ και μια καινούργια συνάρτηση ολοκληρώντας, δεν ξέρω να βρω το αόριστο ολοκλήρωμα, εάν ξέρω να βρω το αόριστο ολοκλήρωμα μπορώ να βρω και το ορισμένο ολοκλήρωμα, παίρνοντας την τιμή αυτής της συνάντησης στα δύο σημεία Α και Β. Πάρτε όμως το παράδειγμα που εσείς δεν ξέρετε να υπολογίσετε, δεν υπάρχει τρόπος, δεν είναι τόσο απλό να κάνετε αυτήν εδώ την ολοκλήρωση υπολογίζοντας το τεόρισο, ολοκλήρωμα της Φ του Χ είναι Φ του Χ κεφαλαίο και θέλετε να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα σε μια συνάντηση που δεν την ξέρετε. Αυτό λοιπόν το έκανε ο Ρήμαν ο οποίος άνοιξε, δεν ξέρω αν το ονομάστε στο Λύκειο σαν ορισμό, αλλά εδώ θέλω να σας ετοιμάσω με το πιο τρόπο εγώ θα μπορούσα να βγάλω αυτό το ολοκλήρωμα δημιουργώντας τετράγωνα, του οποίου η τιμή της συνάντησης την παίρνω στο μέσον και αυτό εδώ πέρα θα φτιάχνω δηλαδή τετραγωνάκια σαν αυτό εδώ που σας κάνω τώρα, τα οποία θα είναι αυτής της μορφής, θα πάρω στη μέση, σε κάθε τετραγωνάκι το ανοίγω για να το δείτε τι κάνω, αν αυτή είναι η καμπύλη μου και πάρω δύο διαδοχικά σημεία Χ, Α και εδώ είναι Α συν ΔΧ, πηγαίνω στο κέντρο εδώ και παίρνω αυτήν εδώ τη σχέση, πηγαίνω δηλαδή στο κέντρο που είναι Α εδώ που είναι Α συν ΔΧ δεύτερα, υπολογίζω την τιμή της συνάντησης σε αυτό το σημείο και την πολλαπλασιάζω με το ΔΧ που είναι αυτό εδώ πέρα και φτιάχνω το εμβαδόν αυτό του πράγματος, λίγο χάνω από εδώ, λίγο προσθέτω από εδώ, αυτό εδώ πέρα έχει μια σχετικά μεγάλη ακρίβεια. Το βλέπετε πώς υπολόγησα το ολοκλήρωμα, άρα αν εγώ συνεχίσω και όλη μου την καμπύλη, την σπάσω σε τετραγωνάκια, στο μέσον μεταξύ των διακριτών σημείων που είναι τα άκρα, παίρνω τη τιμή της συνάντησης στο μέσον και την πολλαπλασιάζω με τα ΔΧ. Οπότε οποιοδήποτε ολοκλήρωμα θέλετε εσείς να σας δώσω να κάνετε, ας πάρουμε ένα που ξέρουμε την απάντηση, που είναι το ε' η στοιχεία από το 0 μέχρι 1 ΔΧ, να λοιπόν ένα ολοκλήρωμα που θέλουμε να το ολοκληρώσουμε από το 0 μέχρι το 1 σε κάτι που το ξέρουμε. Πώς θα την κάνουμε αυτή την ολοκλήρωση, θα σπάσουμε αυτό, θα το βγάλουμε σαν μια σειρά, θα φτιάξω μια σειρά και τι θα έχει, θα διαιρέσω από το 0 μέχρι το 1, θα διαιρέσω όλο αυτό το διάστημα σε 10 κομμάτια. Στο κάθε κομμάτι θα πηγαίνω στο μέσον από αυτή τη διαιρέση και θα βρίσκω την τιμή του ε' στην χ. Και θα την πολλαπλασιάζω από το 0 μέχρι 1, άμα το διαιρέσω με το 10 θα μου βγαίνει 0,1. Όλα αυτά τα πολλαπλασιάζω με το 0,1. Άρα δηλαδή θα έχω ε αν το διαιρέσω αυτό από το 0 μέχρι το 1 και το διαιρέσω διάτα και αυτό θα είναι 0,1, 0,2, 0,3 και να φτάσω στο 1. Αυτά είναι τα ενδιάμεσα σημεία. Πηγαίνω λοιπόν μεταξύ του 0 και του 0,1, βρίσκω την τιμή στο 0,5 και την πολλαπλασιάζω με το 0,1. Να ο πρώτος μου όρος. Ο δεύτερος όρος θα πάω στη μέση μεταξύ του 0,1 και του 0,2. Θα βρω την τιμή στη μέση της συνάρτησης μεταξύ του 0,1 και του 0,2 και θα την πολλαπλασιάσω πάλι με το 0,1. Εάν είχα ένα προγραμματάκι τώρα, έφτιαχνε ένα πρόγραμμα στο basics οπουδήποτε και μου πολλοπλουσίαζε τις τιμές της συνάρτησης στο μέσον επί το εύρος αυτός αυτό το τετραγωνάκι και τα άθρυζα όλα αυτά αυτό θα μου έδινε την ίδια τιμή που θα μου δώσει η ολοκλήρωση του 0,1 στην ε ή στην χ με προσέγγιση. Θα μου λείπει, δεν θα είναι ακριβώς, θα μου λείπει κάτι, γιατί αυτή η ακρίβεια δεν είναι πολύ μεγάλη. Αν εγώ έχω τη δυνατότητα να φτιάξω το πρόγραμμα γενικά και το ν το αυξάνω, το δώσω 15, 20, θα πλησιάζω το σωστό αποτέλεσμα. Και έτσι και το κατάλαβα σε κάτι που ξέρω, μπορώ να το εφαρμόσω σε οποιοδήποτε ολοκλήρωμα που δεν μπορώ να κάνω την ολοκλήρωση. Αυτή είναι η αριθμητική ολοκλήρωση. Δηλαδή μπορώ να ολοκληρώσω συναρτήσεις, τους οποίους δεν ξέρω την αναλυτική έκφραση, πολύ πλωκές, πολύ δύσκολες, μπορώ να τις ολοκληρώσω και να φτιάξω το περίπου πόσο θα είναι η απάντηση της ολοκλήρωσης. Άρα λοιπόν θέλω να το συζητήσω, αν με καταλάβατε θέλω να σηκώσετε χέρι να δω τι ερωτήσεις έχετε σε αυτό. Πώς θα κάνω πριν πω για την αναλυτική ολοκλήρωση, υπάρχει και η αριθμητική ολοκλήρωση. Στη μαθημάτικα που θα μάθετε σε λίγο υπάρχει επιλογή ή και σε προγράμματα που μπορείτε να φτιάξετε εσείς. Αν ξέρετε να προγραμματίζετε στη FORTRAN ή στη MATLAB ή σε οποιαδήποτε γλώσσα ξέρετε, θα μπορείτε να φτιάξετε ένα μικρό προγράμμα στο οποίο να δίνετε τη συνάρτηση. Αυτά τα προγράμματα έχουν και έτοιμες υπορρουτίνες για να κάνετε ολοκληρώσεις. Δοκιμάζετε την υπορρουτίνα σας σε κάτι που ξέρετε πως ολοκληρώνετε και ξέρετε την απάντηση όπως το ευστην χεία από 0 μέχρι 1 ξέρετε πως είναι το αποτέλεσμα. Αυτό λοιπόν το δοκιμάζετε και προσπαθείτε μετά να παίξετε λίγο με το να χωρίσετε τη διάστημα από 0-1 σε πολλά μικράτερα διαστήματα. Και να δείτε αν κάνοντας άθροισμα αυτόν του τύπου που περιέγραψα τώρα θα μπορείτε να πιάσετε το ίδιο αποτέλεσμα και μετά από πως ανεί θα προσεγγίσετε το ακριβές αποτέλεσμα. Ό,τι κάναμε με το ανάπτυγμα Taylor και το λάθος. Άρα η προσεγγιστική αριθμητική ολοκλήρωση είναι πάρα πολύ σημαντική και εδώ βέβαια βάζει σε εσάς ένα ερώτημα πόσο γρήγορα στο επόμενο εξάμηνο θα μάθετε νομίζω να προγραμματίζετε. Και πρέπει να μερικοί από σας θα το πάρετε σαν ένα μάθημα που θα το περάσετε και θα τελειώσετε με τον προγραμματισμό. Όποιοι από εσάς είστε πραγματικά και δεν έχετε κάνει ποτέ προγραμματισμό είναι μια ευκαιρία μεγάλη το επόμενο εξάμηνο να μάθετε να κάνετε μερικά από αυτά τα πράγματα με τρόπο αριθμητικό ώστε να είστε έτοιμοι να ολοκληρώσετε συναρτήσεις των οποίων οι βασικοί πίνακες ή απλός τρόπος ολοκλήρωσης δεν μας βγάζει. Ποιος έχει ερωτήσεις και ποιος δεν με έχει καταλάβει ας σηκώσει το χέρι μέσα από τις ερωτήσεις να διευκρινίσω τι ήθελα να πω με την αριθμητική ολοκλήρωση για να την έχουμε μέσα στο βιβλίο μαζί με τα βασικά ολοκληρώματα που ξέρουμε να την ολοκληρώσουμε να μπορούμε να ολοκληρώσουμε με αυτόν τον τρόπο και τέτοιες συναρτήσεις. Ποιος θέλει να με ρωτήσει ακούω. Ήταν τόσο καθαρό. Λοιπόν τελειώσαμε την αριθμητική ολοκλήρωση σας εξήγησα και μένει σε εσάς να την δουλέψετε λιγάκι και να την ψάξετε και στο βιβλίο που την περιγράφει πως κάνουμε την αριθμητική ολοκλήρωση. Τώρα υπάρχει ένα άλλο θέμα που μας ενδιαφέρει και είναι πως θα ολοκληρώσω γιατί σας είπα ότι δεν θέλω να κάνω μάθημα γιατί σε πράγματα τα οποία τα ξέρετε απλώς θέλω να σιγουρευτώ ότι τα θυμάστε. Θέλω να μου πείτε πως θα ολοκληρώσω την εξής συναρτήσει και με τι τεχνική θα την ολοκληρώσω. Σας χάρη θέλω να κάνω το ολοκλήρωμα του ημητώνου τετραγωνική ρίζα του χδχ. Αυτό το ολοκλήρωμα πως θα το κάνω. Κάτσε περιμένα γύρι να σηκώσουν και να το δουλέψουν και οι άλλοι να το θυμηθούν να το φέρουν στο μυαλό τους και να μου πούνε ποια είναι η τεχνική που χρησιμοποιούμε σε τέτοια ολοκληρώματα. Έχετε βρει και το αποτέλεσμα ή πως ξέρετε πως θα το κάνετε. Όχι θέλω να κάνεις και το αποτέλεσμα ή θέλω να σηκωθείς στον πίνακα να το κάνεις γιατί βλέπω λίγοι αντιδρούν ή δεν δουλεύουν οι υπόλοιποι. Οι υπόλοιποι γιατί δεν το κάνετε. Αν το ξέρετε και δεν έχει νόημα να το κάνετε γιατί το ξέρετε απλώς πέστε το μου να προχωρήσω να κάνουμε κάτι άλλο. Εγώ αυτή τη στιγμή ελέγχω λίγο πολύ αν τεχνικές βασικές ολοκλήρωσεις αυτή ποια τεχνική ολοκλήρωσης χρησιμοποιεί. Σαν τεχνική, σαν μέθοδο που είπε ο συνάδελφός σας. Ποια μέθοδο είναι αυτή. Πώς τη λέμε. Και τι έτσι. Δεν τη ξέρετε ή δεν θέλετε να μιλήσετε. Δεν τη θυμάστε. Σαν αντικατάστασης. Τώρα σας παιδιά ειλικρινά θα με βοηθήσετε πάρα πολύ γιατί ξέρετε τι κάνω τώρα. Αντί να αρχίσω να σας λέω γνωστά σας πράγματα να προχωρήσουμε κάνω ένα ελεγχό να δω αυτά τα πράγματα αν τα ξέρετε τόσο καλά που θα μην χρειαστεί να κάνουμε. Αν χρειαστεί θα γυρίσω πίσω να τα κάνουμε. Αν όμως τα ξέρετε πως θα δουλέψετε με ολοκληρώματα με αντικατάσταση με τη μέθοδο της αντικατάστασης δεν βλέπω τον λόγο γιατί να χάσουμε χρόνο. Έχουμε πάρα πολύ ωραία πράγματα να πούμε που δεν τα έχετε ακούσει στο Λύκειο. Και αυτά θα μας χρησιαστούν στο μέλλον που είναι οι εφαρμογές των ολοκληρωμάτων και κάποιες κλασικές μέθοδοι ολοκλήρωσης που πιθανόν να μην τις κάνετε στο Λύκειο. Αλλά αυτή τη μέθοδο με αντικατάσταση είμαι σίγουρος ότι την έχετε κάνει και θέλω να μου πείτε ποιος είναι ο τύπος για τον οποίον συζητάμε. Είναι αυτός εδώ που λέει αν έχω εγώ να ολοκληρώσω το ολοκλήρωμα U επί D V το αποτέλεσμα είναι U επί V μειον ολοκλήρωμα του V D U. Αυτός είναι ο τύπος της αντικατάστασης και ξέρετε πώς έχει προκύψει αυτή η σχέση. Νομίζω ότι αυτά τα έχετε κάνει όλα στο Λύκειο ή όχι. Πέστε αν τα έχετε κάνει τουλάχιστον. Τα έχετε κάνει έτσι δεν είναι. Λοιπόν, εάν θέλω να χρησιμοποιήσω μια τέτοια σχέση πέστε μου το αποτέλεσμα από την ολοκλήρωση αυτήν εδώ πέρα του ημιτώνου τετραγωνγκύριζα του ΧΔΧ. Αυτό το αποτέλεσμα είναι ο τύπος της αντικατάστασης και ξέρετε πώς έχει προκύψει αυτή η σχέση. Νομίζω ότι αυτά τα έχετε κάνει όλα στο Λύκειο ή όχι. Πέστε αν τα έχετε κάνει όλα στο Λύκειο ή όχι. Πέστε αν τα έχετε κάνει όλα στο Λύκειο ή όχι. Κατά παράγοντες. Εντάξει, η έκφραση αυτή σας λέει τίποτα. Μπορεί κάποιος να μας πει αυτός ο τύπος που έχει προκύψει. Θυμάται κανένας αυτός ο τύπος πώς αποδεικνύεται. Ο τύπος που λέει το ολοκλήρωμα του ΥΔΒ είναι ίσον με ΥΔΒ μίον το ολοκλήρωμα του ΒΔΥΥ. Αυτός ο τύπος αποδεικνύεται από το γεγονός ότι αν έχω δύο συναρτήσεις ΥΔΒ και Β, η παράγωγος των ΔΥΔΒ ως προς Χ, οι δύο συναρτήσεις αυτές είναι συναρτήση του Χ και συναρτήση του Β. Άρα αν θέλω να ολοκληρώσω το ολοκλήρωμα του ΥΔΒΧ, αυτό θα μου βγει ΥΔΒΧ μίον το ολοκλήρωμα του ΒΔΥΧ. Αυτό είναι όλο. Θυμάται κανένας πώς το αποδεικνύει αυτό το ολοκλήρωμα, δηλαδή πώς αποδεικνύει αυτή εδώ τη σχέση, η οποία είναι η ολοκλήρωση καταπαράγοντας. Όχι, άρα εδώ θα ανακαλύπτω ότι πρέπει να κάνουμε δουλειά και πρέπει τουλάχιστον να φτάν, να πάμε σιγά σιγά. Μας κάποτε ήταν εκτός σύλλησης. Σοβαρά ήταν εκτός σύλλησης. Καλά, δεν έχει σημασία. Αυτή είναι μια τεχνική ανεξαρτήτως αν βάλω εδώ πέρα από ΆΛΦΑ ΥΟΒΙΤΑ. Δηλαδή, η μέθοδος αυτής της ολοκλήρωσης είναι γενικότερη, γιατί αν είναι έτσι, ο συνάδελφός σας που ολοκλήρωσε το ημήτωνο, ή εσείς που ολοκλήσατε το ημήτωνο του ΡΙΖΑΧΙΝΤΕΧΙ, πώς το δουλέψατε. Για πέστε. Ωραία, σηκωθείτε στον πίνακα. Ωραία, για πάρτε την τυβολία να το κάνεις. Ναι. Αλλά εδώ πραγματικά κάνουμε την κατάσταση. Έτσι, αλλάζουμε μεταβλητές δηλαδή. Αυτό, και αυτό, και αυτό είναι διου με το ημήτωνο. Και αυτό, αν το βάλουμε σχετικά, αυτό βλέπεις και αυτό. Ναι, αλλά όλα αυτά που έκανες τα έκανες εμπειρικά, αλλά εφαρμόσες όλα αυτά που είπαμε. Δηλαδή, πρώτα-πρώτα, έφτασες σε αυτήν εδώ τη σχέση που έφτασες εδώ, στο δύο, σε αυτήν εδώ. Ο τρόπος είναι ότι σκέφτηκε ότι αυτό μπορεί να είναι αυτό. Και μετά το ολοκλήρωσε και έβγαλε σαν αποτέλεσμα ποιο. Ποιο ήταν το αποτέλεσμα που έκανες. Έχουν σαν επίλυση. Ναι, για βάλτο να δούμε στο τέλος πώς θα βγει. Ποιος άλλος το έχει κάνει. Τι έβγαλες σαν αποτέλεσμα. Εσείς τι βγάλετε, βγάλετε αυτό σαν αποτέλεσμα. Όχι. Εσείς? Όχι, αλλά δεν συμφωνώ και με αυτό που έχει γράψει. Και με αυτό που έχει γράψει γιατί, γιατί αυτοί οι παράγους δεν μας δίνει αυτό. Ναι. Για κάνε το. Ωραία. Τι λέτε. Τι λέτε. Σας ακούω. Συμφωνείς τώρα ή όχι. Ωραία. Λοιπόν, να ευχαριστώ να δουλέψουμε λίγο πιο συστηματικά για να δούμε αν θα φτάσουμε στο ίδιο αποτέλεσμα. Εγώ λέω ότι αν ξεκινήσουμε και κάνουμε πραγματικά αυτό που ο συνάδελφός σας ήθελε να χρησιμοποιήσει. Δηλαδή, ξεκινήσουμε από το ημύτωνο του ριζα χ δx και κάνουμε αντικατάσταση το ταφ να είναι η τετραγωνική ρίζα του χ. Οπότε το τε ταφ θα είναι ίσον με ένα δια δύο ριζα χ δx. Οπότε, σε αυτήν εδώ τη σχέση, το ημύτωνο αυτό εδώ πέρα θα μπορούμε να το γράψουμε σε καινούργιες μεταβλητές, σαν το ημύτωνο του ταφ επί δυο ταφ δε ταφ. Είναι ακριβώς αυτό που έγραψε. Στο τέλος, δηλαδή, θα καταλήξουμε στη σχέση ολοκλήρωμα του ταφ, ημύτωνο ταφ δε ταφ. Λοιπόν, με την αντικατάσταση καταλήγουμε σε αυτό που κατέληξε και αυτός εδώ πέρα. Με αυτή την αντικατάσταση. Μέχρι εδώ είμαστε μια χαρά. Μέχρι εδώ, το βλέπετε, είτε με τον ίδιο ακριβώς τρόπο που το έκανε ο συνάδελφός σας. Τώρα, από εδώ και πέρα όμως, εκτός από το να μαντέψει για να δούμε αν μπορούμε να φτάσουμε στην ίδια σχέση, αν μπορούσαμε να πάρουμε το εξής. Να γράψουμε αυτό που είχε καταλήξει. Δηλαδή, να θεωρήσουμε ότι το δύο του ολοκληρώματος ταφ, ημύτωνο του ταφ, δε ταφ. Αυτό μπορούμε να το γράψουμε και με άλλους τρόπους. Μπορούμε να πούμε ότι έχουμε εδώ πέρα τις σχέσεις που λέει, αν ονομάσω το U-T, τότε το D-U είναι D-T. Και ονομάσω και το D-V ίσον ημύτωνο, ορίσω και το V ίσον με μίον συνυμύτωνο T. Οπότε το D-V θα είναι ίσον με το ημύτωνο T-D-T. Τα βλέπετε αυτά. Όρισα δύο παραμέντρους, το U θέλω να το πάω στην περίπτωση που θέλω να το κάνω με την ολοκλήρωση καταπαράγοντας. Οπότε έβαλα το U να είναι το ταφ και το D-U να είναι το D-T. Το D εδώ πέρα, V να είναι το μίον συνυμύτωνο θεώρησα να είναι το μίον συνυμύτωνο ταφ. Οπότε σε αυτή την περίπτωση, χρησιμοποιώντας την ολοκλήρωση καταπαράγοντας, αυτόν τον τύπο που έχω γράψει εγώ, θα μου βγει ότι είναι ίσον, αυτό το ολοκλήρωμα θέλω να κάνω, το δύο το κρατάω απ' έξω και μέσα θα μου βγει ότι είναι μίον ταφ συνυμύτωνο ταφ συν το ολοκλήρωμα του συνυμητώνου ταφ-δε ταφ. Και αν συνεχίσω από εδώ θα βγάλω μίον δύο ταφ συνυμύτωνο ταφ συν δύο υμύτωνο ταφ. Αλλά το ταφ το έχω πάρει εγώ απ' την αρχή, το τι έχω πάρει, έχω ονομάσει το ρίζα χ, απ' την αρχή που είχα καρχίσει το ταφ αυτό εδώ πέρα είναι η τετραγωνική ρίζα του ρίζα χ. Οπότε το αποτέλεσμα θα είναι μίον δύο τετραγωνική ρίζα του χ συν υμύτωνο τετραγωνική ρίζα του χ συν δύο υμύτωνο τετραγωνική ρίζα του χ συν σε. Που έκανε λάθος ο συνάδελφός σας, άρα πρέπει να γυρίσουμε, άρα εδώ πέρα στην ανάλυση που έχεις κάνει εσύ έβαλες το πού το. Το χ εδώ σε σένα τι είναι, είναι το ρίζα χ, άρα λοιπόν αν βάλουμε ρίζα χ εδώ πέρα θα βγάζει δύο ρίζα χ των δεύτερων επίσης από που προέκυψε. Ωραία, άρα αν το χ εδώ είναι το ρίζα χ βγαίνουμε να βγάζει το ίδιο αποτέλεσμα, εδώ είναι ρίζα χ, είναι ρίζα χ και εδώ είναι ρίζα χ, γιατί είχε κάνει το μετασχηματισμό. Η διαφορά ποια είναι, ότι σε αυτήν εδώ τη μέθοδο ακολουθήσαμε δύο συγκεκριμένες τεχνικές την αντικατάστασης και την καταπαράγοντας. Ο δε συναδελφός σας προσπάθησε με το που βλέπει αυτήν εδώ τη σχέση να θεωρήσει πιανού πράγματος είναι αυτό μέχρι ένα σημείο μπορείς να πας. Δηλαδή πρέπει να σε βοηθήσει, μια χαρά την έκανα έτσι φυσικά, πρέπει να σε βοηθήσει όμως η έκφραση να μπορείς να τη δεις πιανείς συνάντησης είναι το διαφορικό. Δηλαδή με το που είδε τη σχέση που είχε εδώ πέρα στην αρχή δηλαδή το 2χ η μη τον χ φαντάστηκε δεν ξέρω αν σας βόλευε καλύτερα αυτή εδώ πέρα. Φαντάστηκε από ποια συνάντηση αυτή είναι η παραγωγός της και έκανε μετά την ολοκλήρωση πολύ απλά. Ο άλλος τρόπος είναι αυτός, να χρησιμοποιήσουμε την τεχνική καταπαράγωτης. Την βλέπετε αυτή την τεχνική. Τώρα δεν σας έχω αποδείξει και νομίζω αυτό θα κλείσουμε πως βγαίνει αυτός ο τύπος. Πως βγαίνει η καταπαράγωτης σχέση που έχουμε εκεί. Λοιπόν αυτό βγαίνει από το εξής θα ξεκινήσουμε από το γεγονός ότι εάν πάρω εγώ την παράγωγος προς χ δύο συναρτήσεων που είναι το γινόμενο δύο συναρτήσεων του u και του v του χ. Αυτή με τι θα είναι ίσον, θα είναι ίσον με το u du dx συν v του χ dv. Λοιπόν ξεκινάω με αυτή τη σχέση χ. Βλέπετε έχω την παράγωγο του u επί δε χ. Επειδή είναι γινόμενο δύο συναρτήσεων θα είναι ίσο με εκείνο. Εάν λοιπόν πάρω εγώ και πάρω τη μία σχέση από αυτές, την πάρω από το άλλο μέλος, θα έχω ότι το ux dv dx είναι ίσον με το d ux dvx. Μίον το v του x du. Παρακολουθείτε τι έκανα. Πήρα αυτή τη σχέση την οποία ξέρω ότι ισχύει. Δηλαδή το γινόμενο δύο συναρτήσεων u και v, η παράγωγός του, είναι u το γινόμενο της πρώτης επί την παράγωγό της δεύτερης, η δεύτερη επί την παράγωγό της πρώτης. Οπότε έχω αυτή εδώ τη σχέση. Συμφωνείτε? Μιλήστε βρε παιδιά, ναι ή όχι. Ωραία, άρα αν πάρω αυτόν εδώ τον όρο και τον κρατήσω και τον άλλον τον πάω στο άλλο μέλος, θα μου προκύψουν αυτές εδώ οι σχέσεις. Κρατήσω αυτόν από το ένα μέλος και από το άλλο πάω αυτόν, μίον αυτό εδώ. Εντάξει? Ωραία, τώρα ας ολοκληρώσουμε. Το ux λοιπόν, επί dvx, δx, επί δx, είναι ίσον με το ολοκλήρωμα, του d ux, επί vx, δx, επί δx, μίον το ολοκλήρωμα του vx, ολοκλήρωσα όλα τα μέλη αυτής της σχέσης εδώ. Άρα ολοκλήρωσα αυτό επί dx, αυτό επί dx και αυτό επί dx. Συμφωνείτε? Ωραία, ελάτε να διώξουμε τώρα τα dx και θα προκύψει αυτή εδώ η σχέση. Πέστε μου ποιος δεν τη βλέπει. Όλο δηλαδή που έκανα ξεκίνησα από την παραγώγηση του ux, δx, δηλαδή το γινόμενο δύο συναρτήσεων. Προέκυψε αυτό το πράγμα. Αυτό μετέφερα το ένα από τα δύο, το πήγα στο άλλο μέλος και ολοκλήρωσα. Στο τέλος προκύπτει αυτή εδώ η σχέση, την οποία στο επόμενο μάθημα θα κάνουμε αρκετά παραδείγματα ώστε να μπορείτε να τη βάλουμε εντός ύλης. Εντάξει? Θα μιλήσουμε λοιπόν για την ολοκλήρωση καταπαράγοντες αφού δεν την έχετε δουλέψει αρκετά στο λίκιο.