6.2 Μέθοδοι παραγώγισης / Ενότητα 6 , #2 , 13/05/14 (από αρχή εως 34,28) - Χαραλάμπους Χαρά (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Ενότητα 6 , #2 , 13/05/14 (από αρχή εως 34,28): Παρακαλώ, θα φανταστώ το τελετήριο. Παρακαλώ, να βάλουμε και το τελετήριο! Παρακαλώ, θα φανταστώ το τελετήριο! Θα ξεμαγινήσουμε στον 10η στιγμό, στο κατέσιο. Να θυμηθούμε ότι η γενισή του δεκάτου ήταν 1596 και πέθανε 54 χρονών το 1650. Πριν όμως πάμε εκεί για αυτό ήθελα να συγκρίνω τις μονομονίες να δούμε και τον πατέρα Μερσεν μοναχός ο οποίος έζησε περίπου την ίδια εποχή. Κι αυτός Γάλλος. Έτσι είπαμε ότι το μεγάλο κέντρο έχει τώρα σιγά σιγά προχωρήσει, μετακινηθεί στη Γαλλία. Έχουμε φύγει από τα ιταλικά μαθηματικά και είμαστε τώρα στη Γαλλία. Και οι δυο προσωπικότητες στους οποίες συναφέρθηκα. Ο Μερσεν μοναχός την εποχή του 1620 ξεκίνησε να γράφει κατά της νέας φιλοσοφίας του Δεκάτ και του Γαλληλαίου. Ξεκίνησε σαν πολέμιος της εκκλησίας να γράφει κατά του Γαλληλαίου κυρίως για τη νέα θεωρία. Στο τέλος του 1630, όταν ο ίδιος είναι κιόλας 40 κάτι χρονών, έχει αλλάξει τη γνώμη του. Έτσι και από πολέμιος έχει γίνει παρασπιστής. Το οποίο δείχνει πόσο ανοιχτός ήταν στον ακούση τα αντίθετα επιχειρήματα και ανοιχτό μυαλό. Έχει ξεκινήσει η αλληλογραφία, είναι από τους πρώτους που είναι γνωστός έτσι. Έχει ξεκινήσει η αλληλογραφία το 1623 όταν πέθανε βρέθηκαν στα χαρτιά του 78 ακόμη διαφορετικοί αποστολείς, είχε αλληλογραφία με τουλάχιστον 78 διαφορετικά άτομα. Και την ίδια εποχή όταν έκανε αυτήν την μεταστροφή από την πολεμική κατά του Γαλιλαίου και άρχισε να μελετάει τα πράγματα και την επιστήμη, κατάλαβε τη σημασία της επιστήμης παράλληλα με τη θρησκεία, ο ίδιος το μοναχός όπως είπαμε και άρχισε να μαζεύει γύρω του έναν κύκλο από τους καλύτερους μαθηματικούς της Γαλλίας. Τα ονόματα τον Κατέσιο, ο Τεκάτ, ο Ρομπερβάν, ο Θεμά, ο Πασκάλ, ο γιος και ο πατέρας, εκτός από τις αλληλογραφίες που είχε αλληλογραφίες επίσης σχεδόν σε όλη την Ευρώπη προσπαθώντας να φέρει σε επαφή τον ένα με τον άλλον, στους μαθηματικούς μεταξύ τους, για να μεταδοθεί γνωστό, η ομάδα αυτή των μαθηματικών του συναδιόντουσαν ήταν σε ένα σπίτι από τα μέλη, έτσι και είχαν βάλει το όνομα της Ακαδημίας της Παρισιό ή την Ακαδημία του Μερσένα. Και όταν ο Μερσένα ρωσούλε, καλικά με ζεβόττουσε στο κενί το να μην μπορούσε να ταξιδέψει. Ο Μερσένα τώρα είναι γνωστός κυρίως για τους πρώτους του Μερσένα και αυτό ήθελα να μην φέρω. Δεν είμαι όλη η πρώτη αυτής της μοφής που είναι στο πίνακα, στη διαφάνεια, πρώτη. Δεν είμαι όλη η αριθμή η πρώτη, ναι. Δεν μειώνει όλη η αριθμή λοιπόν της μοφής 2 στις πίνακες μειώνει 1 πρώτη, αλλά για να είναι πρώτος ένας τέτοιος αριθμός θα πρέπει ο εκθέτης του 2 να είναι πρώτος. Ο Μερσένα έφτασε σ' αυτούς γιατί προσπαθούσε να βρει έναν τύπο ο οποίος να περιγράφει όλους τους πρώτους. Είναι ένας τύπος ο οποίος θα περιγράφει όλους τους πρώτους. Υπάρχει τέτοιος τύπος, βάζονταν αριθματικό, υπάρχει ένας τέτοιος τύπος. Υπολόγησε εκεί και υπολόγησε για ποιους έδωσε και κάποιους πρώτους, για τους οποίους όντως αυτή η αριθμή είναι πρώτη. Ήταν γνώστης ότι κάποιοι από αυτοί, κάποιοι από αυτούς τους αριθμούς αυτής της μορφής δεν είναι πρώτοι. Αλλά αυτοί είναι ενδιαφέροντες αριθμοί. Αναφερθήκαμε στον Δεκάρτ, φιλόσφο και μαθηματικό, κυρίως για την συμβολή του στην αναλυτική γεωμετρία. Και σήμερα αυτό το οποίο θέλουμε να δούμε είναι το πώς συνδέεται αυτά τα οποία έχει κάνει με τον λογισμό. Γιατί πηγαίνουμε στην ιστορία, πάνω να εξηγήσουμε το πώς εφευρέθηκε ο λογισμός, να καταλάβουμε πώς έφτασε σε αυτό το σημείο της εφεύρεσης. Το μεγάλο πρόβλημα που αποσχολούσε τους μαθηματικούς εκείνη την εποχή είναι και αυτό ξεκίνησε το πρόβλημα αυτό του. Η προσπάθεια αυτού του προβλήματος για αυτό το πρόβλημα πάει πίσω στον Αρχιμήτη και πολύ παλιότερα. Πώς να υπολογίζει κανείς εμβαδόν. Πώς να υπολογίζει εμβαδόν ενός σχήματος ή τον όγκο. Πώς να υπολογίζει κανείς εμβαδόν. Ο λογισμός, η εφεύρεση του λογισμού, θα μπορούσε έτσι κανείς να πει σε πολύ γενικές γραμμές τι είναι ο λογισμός, το βασικό θεώρημα ποιο είναι, το θεμελιώδητο θεώρημα του λογισμού, εντύστροφη σχέση ανάμεσα στην παραγώγηση και στην ολοκλήρωση. Στην παραγώγηση, η έβρεση των εφαπτωμένων. Το να βρεις την εφαπτωμένη, το να παραγωγίσεις, να βρεις την εφαπτωμένη είναι το αντίστροφο πρόβλημα, το να βρεις το εμβαδόν. Αυτή είναι η βασική θέση. Λοιπόν και θα το δούμε αυτό. Να θυμίσω να πω δύο πράγματα παραπάνω για τον Δεκάτ. Ο οποίος παρόλο που γεννήθηκε στην Γαλλία, τελικά πέθανε στην Στοκχόλμη. Έχω βάλει πάλι και σήμερα για να θυμίσουμε το μεγάλο γνωμικό, σκέφτομαι άρα υπάρχουν. Αυτό πέθηκε περίπου το 1637, περίπου την ίδια εποχή που έβγαλε το βιβλίο με τη Γεωμετρία και ο Καπτίσιος θεωρεί το πατέρας μοντένας φιλοσοφίας και ακόμη κάποια από τα βιβλία του βράσκονται σαν βασικό κείμενο σε σημερινά κμήματα φιλοσοφίας. Τον έφερα την προηγούμενη φορά ότι γύρω στο 1616 όταν ήταν 20 χρονών αποφάσισε να γίνει στρατιώτης και όταν κατατάχτηκε σαν στρατιώτης μπήκε σε ένα κμήμα που είχε μέσα μηχανική. Και σε κάποια φάση, γιατί είχε έφυση στα γράμματα, εντάξει, είχε σπουδάσει, από το όνειρο του πατέρα του στην αρχή ήταν να γίνει δικαιόρος, εντάξει, κατατάχτηκε σαν στρατιώτης. Στην Ολανδία, ένα κρύο βράδυ, η ιστορία λέει, ο ίδιος το λέει, το έχει πει η ιστορία, κλείστηκε σε ένα πολύ ζεστό δωμάτιο, σε ένα δωμάτιο το οποίο είχε το παρατσό κλαιοφούρνος. Έκανε κρύο, ήταν Νοέμβριο, 11 Νοέμβριου, Ολανδία, κρύο, αγωνιά και κλείστηκε και σε αυτό το ζεστό δωμάτιο, στον φούρνο, το οποίο το κρατούσανε ζεστό. Και το πρωί, τη διάρκεια αυτής της νύχτας, η οποία είναι και καταγεγραμμένη στα ιστορικά, 10-11 Νοέμβριου, κατά τη διάρκεια αυτής της νύχτας είδε τρία οράματα. Το ένα από αυτά ήταν σχετικά με τη γεωμετρία, η σημασία των μαθηματικών, η πώς να πλησιάσει κανείς τη φιλοσοφία με μαθηματική μέθοδο. Εκεί λοιπόν κάπου ήρθε με την ιδέα της κατασιανής γεωμετρίας, συμβολικής γεωμετρίας, δηλαδή να περιγράψει αγιευρικά τα προβλήματα της γεωμετρίας. Επίσης ενδιαφέρον είναι ότι σε κάποια φάση πίστηκε και πήγε στην Στοκχόνημη, εκεί πέθανε δηλαδή, φιλοξενήθηκε στο σπίτι του ολανδού προξένου και κάπου πέθανε επίσημα, αυτό που θεωρείτε είναι ότι πέθανε από πνευμονία και ο λόγος που το εξηγούν είναι γιατί ο Δεκάτρ ήταν επαγγοσμίου φημής πλέον μαθηματικός, συναντιόταν με την Βασίλισσα Χριστίνα, την είχε, της έκανε φροντιστήριο, σε μαθήματα φιλοσοφίας, σε μαθήματα μαθηματικών, της έκανε φροντιστήριο, υπάρχουν πίνακες που τους δείχνουνε, αυτούς τους δε μαζί, το πρόγραμμα της Βασίλισσας Χριστίνας είναι να ξυπνάει πέντε η ώρα το πρωί και να ξεκινάει τη μέρα της και όλες τις δουλειές. Ο Καρτές ίσως ήταν συνθυσμένος να ξυπνάει το μεσημέρι. Πωτίστε λοιπόν ότι αυτή η αλλαγή στο βιοριθμό του εξασθάνισε τον οργανισμό του και υπέκυψε. Υπάρχουν όμως κάποιες υπόνοιες ότι τον φωνήθηκε και αν θέλετε μπορείτε να τα διαβάσετε και πιο προσεκτικά. Μέμινε στην επίσημη προς το παρόλο το οποίο ανακοινωθέν είναι ότι πέθανε από πνευμονία. 1637 λοιπόν δημοσιεύσε την μέθοδό του. Μέσα στην μέθοδό του είχε την γεωμετρία. Είδαμε και την προηγούμενη φορά ότι ήταν ιδιαίτερα μετριόφρον. Θα το δείτε στις διαφάνειες αν δεν είστε στην προηγούμενη φορά γιατί αφήνει τη χαρά στους άλλους να ανακαλύψουν. Ανέβρατη με καντεσιανία γεωμετρίας αισθηματική χρήση της συμβολικής αλγεύρας και κάθε πρόβλημα γεωμετρίας μπορεί εύκολα να μετατραπεί σε ένα πρόβλημα αλγεύρα στην ουσία. Και όπως είπα αυτό που μας ενδιαφέρει τώρα είναι να δούμε σε αυτή τη μετάναση ο λογισμός δεν οφείλται στον Δεκάρτ αλλά ο Δεκάρτ έπιασε ένα από τα προβλήματα του λογισμού το πως να υπολογίζει κανείς στην εφαρτωμένη. Και αυτό το έβαλε είναι σε αυτό το βιβλίο του στη Μέθοδο, το εμφανίζεται λοιπόν και αυτός ο τρόπος και όπως γράφει στα Γαλλικά είναι ότι το μόναπο και αυτό το πρόβλημα της έβρεσης της εφαρτωμένης είναι το πιο χρήσιμο. Όχι μόνο από αυτά που ξέρω, η μέθοδος και ο τρόπος που το δείχνω για να το λύσω είναι όχι μόνο το πιο χρήσιμο ανάμεσα σε αυτά που ξέρω αλλά ακόμη και σε αυτά που θα ήθελα ποτέ να ξέρω, θα ήθελα ποτέ να μάθω στα προβλήματα της Γεωμετρίας. Έτσι ήταν πολύ περήφανος για τη Μέθοδο του στο πως να βρίσκει κανείς στην εφαρτωμένη. Πως βρίσκει κανείς στην εφαρτωμένη σήμερα? Σήμερα έχουμε ένας δόδος για παραγώση. Αν δελαμβανόμαστε ότι η εφαρτωμένη είναι παράγωση. Έχουμε τους κανόνες. Η κλήση της εφαρτωμένης βγαίνει από την παράγωση. Έτσι στο σημείο που ψάχνουμε να βρούμε την εφαρτωμένη αρκεί να έχουμε την συνάτηση, τον τύπο για την συνάτηση. Αν θέλουμε λοιπόν να βρούμε εφαρτωμένη σήμερα, αυτό που θα κάνουμε θα πάρουμε τον τύπο και θα κάνουμε παράγωση. Λοιπόν, και για την παράγωση έχουμε δοθεί κανόνες. Αλλά αυτό είναι κομμάτι λογισμού. Έχουμε συνάξει κανόνες, μην σκεφτόμαστε και κάνουμε την παράγωση. Υπάρχει επίσης και ο τύπος που έχει να κάνει με όρια. Προσπαθούμε να ενδιαινεύσουμε με όρια. Αυτά δεν υπήρχαν ακόμη. Για να δούμε λοιπόν το πώς προσέγγισε το πρόβλημά του ο Δεκάρτη. Σύστημα στενταγμένων. Έχουμε πει ότι αυτό το που καθιέρωσε είναι... Έχεις κάποια εξίσουσι, βάζεις μια αυθία στην οποία αναφέρεις, στον άξονα των στενταγμένων. Στην περίπτωση αυτή και στην εικόνα που δείχνω, ο άξονας των στενταγμένων είναι η κόκκινη διακομμένη γραμμή. Έχουμε λοιπόν το ψήρισμα με χ τετράγωνο, την παραβολή. Και αυτό που θέλουμε να βρούμε είναι στο σημείο σε. Θέλουμε να βρούμε την εφαπτωμένη. Η μέθοδος του Δεκάρτη είναι η εξής. Θα βρω τον εφαπτόμενο κύκλο στο σημείο σε. Τι σημαίνει εφαπτόμενος κύκλος. Είναι ένας κύκλος ο οποίος σε εκείνο το σημείο εφάπτεται την καμπύλη μας. Σε τι μας βοηθάει αυτό. Εμείς θέλουμε να βρούμε την εφαπτομένη. Έχει αποφασίσει για τον άξιο με τον στεταγμένο. Λέει για αυτή την εφαπτομένη θα βρω τον εφαπτόμενο κύκλο. Δεν ξέρω πού είναι το κέντρο του κύκλου. Κάπου πάνω σε αυτήν την ευθεία τον θέλουμε να είναι αυτόν τον κύκλο. Έτσι έχω αποφασίσει και αυτός είναι άξιος του στεταγμένου. Τον θέλω λοιπόν σε αυτήν την ευθεία. Ποια είναι η ιδιότητα του εφαπτομένου κύκλου. Εφάπτεται αυτήν εδώ την καμπύλη. Κάνε τον κύκλο λοιπόν. Δεν είναι πολύ καλό το σχήμα μου. Έχω έναν κύκλο ο οποίος εφάπτεται αυτήν εδώ την καμπύλη. Ποια είναι η ιδιότητα του κύκλου. Δεν ξέρω πού είναι. Δεν ξέρω την ακτίνα του. Δεν ξέρω και το κέντρο του. Αλλά ποια είναι η ιδιότητα του. Βλέπω το κέντρο εδώ και φέρω αυτήν την ακτίνα στο κέντρο του κύκλου. Η ιδιότητα του εφαπτομένου κύκλου είναι όχι μόνο ότι εφάπτεται την καμπύλη μας. Αλλά ότι αυτήν εδώ η ακτίνα. Αυτή που ενώνει το κέντρο με εκείνο το σημείο. Και αυτήν εδώ η εφαπτομένη. Κάνω ψηγονία. Πολύ βασικό αυτό. Οπότε λέει θα βρω τον εφαπτόμενο κύκλου. Το μόνο το οποίο χρειάζεται να κάνει. Να πάρει την εξίσουση του κύκλου. Μια γενική εξίσουση του κύκλου. Έχει το κέντρο του σ' αυτόν εδώ τον άξομα. Άρα η εξίσουση του κύκλου είναι αυτό το οποίο φαίνεται. Η απόσταση μη την οποία δεν γνωρίζουμε. Μη τετράγωνα. Το μήκος της ακτή μας. Μη τετράγωνο στο δε τράγωνο. Ίσον με ψ τετράγωνο. Η ψ συνδεταγμένη είναι μηδέν. Γιατί η ψ άξομα στον χ, θεωρούμε εκεί πέρα ότι είναι το ψ. Το ψ είναι μηδέν λοιπόν. ψ μη μηδέν στο δε τράγωνο. Δηλαδή ψ τετράγωνο. Που έχουμε βάλει το κέντρο, δεν ξέρουμε ποιο είναι το κέντρο. Δεν ξέρουμε πώς είναι η απόσταση του κέντρου. Αλλά θεωρεί ότι αυτό εδώ είναι ίσο με το βήκο. Το σημείο λοιπόν το κέντρο. Έχει δύοι. Συνδεταγμένες δύοι. Και μηδέν. Και η αξίωση του κύκλου. Αυτό εδώ είναι 1. Άρα η αξίωση του κύκλου δίνεται από εκεί. Τώρα τι ξέρω για αυτόν τον κύκλο. Είναι εφαπτόμενος κύκλος. Έχει αυτήν εδώ την ιδιότητα. Είναι εφαπτομένοι, είναι κάθηκες. Και αυτό που ξέρω είναι ότι ο κύκλος και η καμπύλη. Έχουν ακριβώς ένα σημείο τομής. Πώς βρίσκει κανείς στα σημεία τομής. Παίρνει την αξίωση του κύκλου. Και όπου έχει ψήθει θέτει ψητετράγωνο. Παίρνεις την αξίωση του κύκλου και θέτεις ψητετράγωνο. Για να δούμε την αξίωση του κύκλου. Το τράγωνο ίσο με ψητετράγωνο. Συν χ τετράγωνο μίον δύο β χ. Συν β δετράγωνο. Όπου έχω ψή αντικαθιστώ το χ τετράγωνο. Όπου έχω ψή θα βάλω χ τετράγωνο. Άρα η αξίωση η οποία βγαίνει τελικά. Είναι αυτή η οποία φαίνεται χ τετάτης. Συν χ τετράγωνο μίον δύο β χ. Συν β δετράγωνο μίον εν τετράγωνο. Να είναι ίσο με το μηδόν. Εντάξει. Το σημείωσε. Είναι πάνω στην καμπύλη. Αυτό εδώ είναι το σημείωσε. Και έχεις θεταγμένες χ 0. Η θεταγμένη του ψή μιας και είναι πάνω στην καμπύλη θα είναι χ 0 τετράγωνο. Τώρα τα σημεία του μης τα βρίσκω από αυτούν εδώ την εξής. Ποια είναι η ιδιότητα του κύκλου θέλουν στο σημείο χ 0 να έχει μία διπλή ρίζα. Άρα για να συμβεί αυτό θα πρέπει το χ μίον χ 0 τετράγωνο να βγαίνει το άλλο πολυόνωμα. Το χ 0 είναι διπλή ρίζα. Άρα χ μίον χ 0 τετράγωνο ποιο χ πρέπει να είναι ίσο με το άλλο πολυόνωμα. Τώρα γιατί έχω το δεύτερο άρα. Κοιτάζω τους βαθμούς. Από τη μία έχω βαθμό 4 στο χ. Από την άλλη το κομμάτι που έχει χ μίον χ 0 τετράγωνο έχει βαθμό 2 στο χ. Άρα το Q του χ πρέπει να είναι δεύτερου βαθμού επίσης. Αντικάθεστον χ τετράγωνο συν α, χ συν β γιατί ο συντελεστής του χ. Παρατήρησε εδώ τα πράγματα τα οποία έχει παρατηρήσει ο δεκάτη τις σχέσεις ανάμεσα στους συντελεστές των πολυεωνίων. Απλά πράγματα εδώ αλλά τα έχει γράψει χ μίον χ 0 τετράγωνο επί χ τετράγωνο συν α, χ συν β. Κάνω το πολλαπλασιασμό και συγκρίνω. Για να κάνουμε το πολλαπλασιασμό. Έχουμε το χ μίον χ 0 τετράγωνο δηλαδή έχουμε χ τετράγωνο μίον 2 χ επί χ 0 συν χ 0 τετράγωνο επί χ τετράγωνο συν α, χ συν β. Για να δούμε τι θα μας βάλει αυτό. Έχουμε τον όρο χ δετάτης. Επίσης έχουμε και έναν όρο τρίτου βαθμού. Για να γράψω ποιος είναι ο συντελεστής. Τρίτου βαθμού θα προκύψει από αυτό εδώ το μίον με αυτό εδώ δηλαδή θα είναι μίον 2 χ 0 με το χ τετράγωνο. Και επίσης θα προκύψει από αυτό το άλθα μας είναι άγνωστο με το χ τετράγωνο συν α λοιπόν χ όλα αυτά θα μου δώσουν είναι ο συντελεστής του χ τρίτης. Για να πάμε παρακάτω έχω τον όρο με το χ τετράγωνο. Όρος με το χ τετράγωνο προκύπτει από αυτό μαζί με το β έχω τον όρο του χ 0 αυτό εδώ με αυτό εδώ και έχω και τον όρο του χ με αυτό εδώ μίον 2 χ επί α. Έχουν και τους άλλους συντελεστές τους γράφει κανείς κάνει τους πολλοκλασιασμούς και αυτό που έχει είναι ότι αυτή εδώ η έκφραση αφού κάνει τον πολλοκλασιασμό είναι ίση με την προηγούμενη έκφραση. Αφού λοιπόν οι αντίστοιχοι συντελεστές πρέπει να είναι ίση προκύπτει ότι ο συντελεστής του χ τρίτης πρέπει να είναι 0. Γιατί η άλλη έκφραση δεν είχε χ στην τρίτη μίον 2 χ 0 συν α λοιπόν πρέπει να είναι ίσο με το 0. Μίστηχα συγκρίνει τον όρο για το χ τετράγωνο βγάζει αυτές εδώ τις εξίσουσες μιλήνει ως προς το α έτσι φτάνει κανείς στην τρίτη εξίσουση αντικαθιστάει χρησιμοποιεί τις εξίσουσες όσο αν είναι εξίσουσες στις οποίες γίνει αντικαθιστά και βγάζει ότι αυτό το β αυτό που μας ενδιαφέρει εν μέρη δηλαδή αυτό εδώ λοιπόν αυτή εδώ η απόσταση το β είναι ίσο με το 2 χ 0 τρίτης συν χ 0. Τώρα τι μας ενδιαφέρει από αυτό έχουμε αυτήν εδώ την ευθεία για να μπορέσουμε να την καταλάβουμε δηλαδή αν ξέρουμε την κλήση αυτής εδώ της ευθείας ξέρουμε και την κλήση αυτής εδώ. Έχουμε την ιδιότητα ότι είναι το αντίθετο του αντιστρόφου η κλήση στους. Αλλά θέλει να βρει την κλήση αυτής εδώ της ευθείας. Αυτής εδώ της ευθείας την κλήση. Πώς το κάνεις αφαιρείς τα ψ, αφαιρείς τα χ. Αφαιρώντας τα ψ το ένα είναι στο ψ 0 το άλλο είναι στο μη 0 κάνεις την αφαίρεση μίον ψ 0 κάνεις το αντίστοιχα για το χ το ένα έχει απόσταση δε το άλλο σημείο εδώ έχει απόσταση χ 0. Κάνοντας τα λοιπόν αυτά προκύπτει ότι η κλήση είναι μίον 1 δεύτερ για 2 χ 0 και άρα η κλήση σαφαπτομένης είναι 2 χ 0. Αυτή ήταν η μεθοδόστο. Το έκανα για ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Πολύ εύκολο να παρακολουθήσεις κανείς τι γίνεται στο γεωστή γενική περίπτωση. Το ωραίο είναι ότι το αποθετεί το κύκλος αξιωνασδεταγμένων πάει χρησιμοποιεί την άλλη δρα χρησιμοποίηση των αξιωνατών νοσοδεταγμένων και λύνεις αλγευρικά. Ό,τι λοιπόν έκανα στη συγκεκριμένη περίπτωση μπορεί κανείς να το κάνεις σε οποιοδήποτε άλλη φινάριση. Ήδη ενέφερα το όνομα του Φερμά όταν συζητούσαν για τον Μερσέν. Ο οποίος έφυγε τους μαθηματικούς κοντά στον ένα στον άλλο. Ο Φερμά την ίδια αποθεί λοιπόν στο Σολόμι του Μερσέν είχε βγάλει μια δικιά του μέθοδο στο πώς να υπολογίζει κανείς τις εφαρτωμένες. Αλλά θα δούμε και μετά την ιδέα του για το πώς να υπολογίζει τα γάμματα. Λοιπόν για τη μέθοδο της εφαρτωμένης το ήθελα να σχολιάσω. Τώρα να δούμε ποια είναι η μέθοδος του Φερμά. Έχει ουσιαστική συμβολή στην ανάπτυξη της αναλυτικής γεωμετρίας με τη μελέτη του η οποία γνωσιεύτηκε το 1679 μετά το θανατό του και αυτή. Αυτή είναι η ιδέα του. Θέλουμε να βρούμε την εφαρτωμένη πάνω στην καμπύλη ψήσω με ευτουχή. Το σχήμα υπονοεί ότι η ευτουχή έχει μία κυκλική μορφή δεν είναι κύκλος. Έχω μία καμπύλη. Αυτή είναι εδώ. Έχουμε την εφαρτωμένη που είναι με διακυκομένη. Το σημείο β είναι πάνω στην καμπύλη. Το σημείο α που είναι πάνω από το β δεν είναι πάνω στην καμπύλη είναι πάνω στην εφαρτωμένη. Απέχει λοιπόν από την καμπύλη. Αλλά αυτό που θέλει να δει ο Φερμάκ είναι για να καταλάβει ποια είναι η εφαρτωμένη μικλήση της εφαρτωμένης. Για να δει την κλήση της εφαρτωμένης παίρνεις πάλι το ύψος β σε ως προς το Ι σε. Πάλι έχουμε τον άξιον ασυνδεταγμένο. Ο Φερμάκ χρησιμοποιεί τον άξιον ασυνδεταγμένο. Έχει χρησιμοποιήσει τις καλές ιδέες του δουκάρ. Έχει εμπνευστεί και από αυτές. Έχουμε λοιπόν το ΙΣΙ. Αντί να βρω αυτό εδώ θα χρησιμοποιήσω αυτό εδώ το όμιο τρίγωνο. Όποια τρίγωνα έχουν τους ίδιους λόγους θα χρησιμοποιήσω το αΐ ως προς το ΙΑΙ. Αν το α είναι πολύ κοντά στο Β και το σημείο Φ είναι ακριβώς αυτό εδώ, είναι το σημείο του μίσης Καμπίλης και του εφήγηματμήματος αΐ, τότε μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το ύψος αΐ είναι σχεδόν ίσως με το ΦΑΙ. Εδώ στο σχήμα το D λειτουργεί περίπου σαν την αρχή των αξώνων, το Dζ είναι το Χ, το Ιζ έχει μήκος Σ, το μήκος Βζ έχει μήκος ΦΑΙ. Εδώ είμαστε στο σημείο Β, είναι πάνω στην Καμπίλη, το τμήμα Βζ έχει μήκος ευτυχή. Πάμε να δούμε λοιπόν τι γίνεται. Πάλι στο ίδιο σχήμα είμαστε, είδαμε ότι μιας και ο λόγος ΒΣΕ είναι ίδιος με τον λόγο του Άνου Τριγόνου, του Ωμίνου Τριγόνου αΐ ως προς ΙΑ και το αΐ είναι σχεδόν ίσως με το ΦΑΙ. Όταν εδώ πέρα υπάρχουν τυπογραφικά τα οποία θα πρέπει να διουρθωθούν, αλλά όταν το ί είναι πολύ μικρό, ποιο είναι το ί, είναι η απόσταση ανάμεσα στο Σ και στο Άν. Όταν λοιπόν το ί είναι πολύ μικρό το σημείο Φ για να προσπαθήσω να ξεκαθαρίσουμε και πράγματα εδώ. Αυτή εδώ η απόσταση είναι το ί, αντί να χρησιμοποιήσω το αΐ θα χρησιμοποιήσω το ΦΑΙ. Αυτό λοιπόν το οποίο προκύπτει είναι το ΦΑΙ ως προς ΙΑ από τα Ωμία Τρίγωνα, είναι σχεδόν ίσως με το ΦΑΙ ως προς το Τ. Πολαπλασιάζω και βγαίνουν τα εξής. Αυτά τα οποία λέγαμε προηγουμένως είναι ότι το ΦΑΙ, τα Ωμία Τρίγωνα ως προς το ΦΑΙ είναι περίπου ίσως με το ΤΦΑΙ ως προς το ΤΦ. Άρα πολλαπλασιάζοντας με τους παρανομαστές βγαίνει και το ΤΦΑΙ είναι περίπου ίσως με το ΤΦΑΙ. Είναι αντιληπτό ότι δεν είναι ακριβώς ίσα και είναι περίπου ίσα. Κάνει κανείς τους πολλαπλασιασμούς. Διώχνει το ΤΧΜΙΔΕΤΕΤΡΑΓΩΝΟ που εμφανίζεται και στα δύο μέρη. Αυτό που μένει είναι ότι δύο ΤΧΜΙΔΕΤΕΤΡΑΓΩΝΟ είναι περίπου ίσως με το ΧΜΙΔΕΤΕΤΡΑΓΩΝΟ. Πάλι μετά εκεί κάποιος κάνει το σχόλιο. Βάζεις ε με το μηδέν και καταλήγεις ότι δύο ΤΧΜΙΔΕΤΕΤΡΑΓΩΝΟ είναι με το ΧΜΙΔΕΤΕΤΡΑΓΩΝΟ. Η κλήση που σε ενδιαφέρει είναι το ΧΜΙΔΕΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ως προς το ΤΧΜΙΔΕΤΕΤΕΤΡΑΓΩΝΟ. Αυτό το κομμάτι είναι το ΧΜΙΔΕΤΕΤΕΤΡΑΓΩΝΟ. Αυτή η απόσταση είναι από το σημείο Α. Αυτό λοιπόν είναι το ΤΧΜΙΔΕΤΕΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ως προς το ΤΧΜΙΔΕΤΕΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ως προς το ΤΧΜΙΔΕΤΕΤΕΤΡΑΓΩΝΟ. Βγάζεις την ίδια πάνση όπως περιμένει κανείς να βγάλει. Πώς μοιάζει αυτό το επάχει ερωτηματικό. Είναι ίδια μέζεδος. Αυτό είναι που κάνει. Κάνει παράγωγος στην ουσία. Είναι ακριβώς αυτό που βγάζει, εντάξει θέτει ή ίσο με το μηδέν. Όταν το όριο πάει στο μηδέν δεν θα το λέει, υπάρχει μια διαφορά στο πώς θα το ρωτήσει κανείς. Αλλά είναι στην ουσία η ισοδυναμή να οικονογήσει κανείς αυτό το κλάσμα και να βγάλει. Πάρτε το παράδειγμα το οποίο έκανα και παρακολουθήστε το. Είναι κοντά αλλά δεν είναι ακριβώς το ίδιο. Θέλει λίγο να το σκεφτούμε όμως. Σε αυτήν την διαφάνεια βλέπουμε το φύλλο του δεκάτ. Το οποίο ίσως να είναι γνωστό, έχει ωραίες ιδιότητες το φύλλο του δεκάτ. Συμμετρικό ως προς... Αν θεωρήσω ότι οι δύο κόκκινες ζαραμές είναι η αρχή των αξώνων, εντάξει είναι συμμετρικός προς την ευθεία ψήσον μηχή. Κόβει το επίπεδο έτσι στη μέση. Έχει μια ωραία ασίδατο. Το φύλλο αυτό του δεκάτ, το πέτανο του δεκάτ, είχε προβληματίσει ο δεκάτ. Ο δεκάτ το έβγαλε. Είρθε με αυτήν την... Είναι πολύ δύσκολο να βγάλει κανείς να το περιγράψει. Να περιγράψει, να βρει τον ακριβή τύπο. Είναι εύκολο να το κάνει κανείς, αρκετά με συνδεκταυμένης. Πάρα μεντροπίσει, είναι εύκολο να γίνει κανείς. Οι τέτοιες πάνω το περιέγραψε ο δεκάτ. Και δεν μπορούσε με τη μέθοδο του, με τη μέθοδο που είδαμε προηγουμένως, να βρει την εφαπτωμένη. Το έδισε λοιπόν σαν πρόκληση στον Φερμά, γιατί μόλις είχε βγει τότε και η μέθοδος του Φερμά. Το έβγαλε σαν πρόκληση στον Φερμά να δει αν μπορεί να βγάλει την εφαπτωμένη. Η μέθοδος του Φερμά, έτσι, ο Φερμά μπορούσε και να βρει και την εφαπτωμένη σχετικά εύκολα. Θεωρητικά, σύμφωνα με την ιστορία, την εμπομένη έδωσε την εφαπτωμένη, σε ένα πρόβλημα το οποίο είχε αποσχολεί στον Δεκάτ, το οποίος δεν είχε μπορέσει να του δώσει. Η μέθοδος, σίγουρα, του Φερμά, μας φέρνει πιο κοντά, μοιάζει πολύ πιο κοντά με αυτά που κάνουμε στο νοστισμό.