5.2 Η λύση της τριτοβάθμιας εξίσωσης / ενότητα 5 ,#2 ,29/04/14 - Χαραλάμπους Χαρά (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
ενότητα 5 ,#2 ,29/04/14: Λοιπόν, ο Κατάνο ήταν ανθιλεγόμενη προσωπικότητα, έτσι, θα δούμε τη λύση του σήμερα για το τρίτο βάθμιο, για το τετάπτο βάθμιο θα μιλήσουμε αύριο. Έζησε τον δέκατο έκτο αιώνα και βλέπουμε ότι το βιβλίο του, το μεγάλο έργο, έτσι το As Magna, βγήκε το 1545. Είναι το βιβλίο στο οποίο είχε μαζέψει την πληροφορία, ήταν το πιο σπουδαίο του έργο, είχε μέσα λοιπόν τη λύση του τριτο βάθμιου για όλες τις περιπτώσεις, καθώς και για το τετάρτο βάθμιο. Και ήδη μιλήσαμε για το σκάνδαλο που είχε γίνει σχετικά με τη λύση του τριτο βάθμιου πολυονύμου. Για να δούμε λοιπόν τον τύπο που δίνει ο Κατάνο, στην περίπτωση που το πολυόνυμο έχει τη μορφή Χ3 στην ΣΕΠΧ ίσον με ΔΕ. Να θυμίσω ότι όταν μιλάμε για τους διαφορετικούς τύπους, θεωρούμε ότι το ΣΕ και το ΔΕ είναι θετικοί ρυθμοί. Ένας λοιπόν τύπος μιας εξίσουσης είναι το Χ3 ΣΕΠΧ ίσον με ΔΕ, ισοδύναμα λύνει το πολυόνυμο Χ3 ΣΕΠΧ ΜΕΟΝ ΔΕ, όπως Ι και ΔΕ είναι θετικοί ρυθμοί. Εντάξει, διότι ακόμα έχουμε πρόβλημα με τους αρνητικούς αριθμούς, πάλι ξεχωρίζουμε διάφορες περιπτώσεις. Και οι περιπτώσεις ξεχωρίζονται, δεν δίνεται ενωποιημένους τύπους, σε κάθε περίπτωση δίνει ένα διαφορετικό τύπο, τον οποίον τύπο τον εξηγεί χρησιμοποιώντας κάποια γεωμετρία για να εξηγήσει το πώς έφτασε στον αντίστοιχο τύπο. Στην περίπτωση λοιπόν αυτή, όπου κύβος και σύμφορες ή πρώτη δύναμης ούτε με κάποιον αριθμό, ο καντάνο δίνει αυτήν εδώ τη λύση. Βλέπουμε ότι η λύση θα είναι πάντα, η λύση που δίνει ο καντάν είναι πάντα θετικός αριθμός, έτσι γιατί αυτό που αφαιρούμε είναι σίγουρα μικρότερο από αυτό από το πρώτο κομμάτι. Ναι, γιατί μας ενδιαφέρνουν οι αριθμοί και ο καντάνο δίνει αυτές εδώ τις λύσεις. Ήθελα να μιλήσουμε για αυτήν εδώ την εφαρμογή, τι γίνεται αν πάρουμε αυτόν τον τύπο για την εξίσουσι χειτρή της σε, πιχύσε με δε. Έτσι, όταν αντικαταστήσουμε τις τιμές για το σε και το δε, βγαίνει αυτή εδώ η λύση, η οποία περιγράφεται μυριζικά. Και έχουμε το τρίτο ρυζικό της ρίζας του 108 συν 10 και μετά αφαιρούμε κάτι. Και πριν από τις γιορτές είχαμε πει ότι θα είναι μια καλή άσκηση να προσπαθήσει κανείς να δείξει, όπως σημείωσε ο καντάνο, ότι αυτή εδώ η λύση είναι ίση με το δύο. Και εξηγήσαμε ότι αν δεχτούμε ότι αυτό δεν είναι λύση, που το δεχόμαστε, γιατί εντάξει ο τύπος είναι σωστός στον καντάνο, αυτό πρέπει να είναι ίση με το δύο, γιατί δεν υπάρχει αληθιτική λύση. Και πώς το είδαμε αυτό, εντάξει είχαμε πει, είχαμε δώσει μια δικαιολόγηση για να το ξαναδούμε. Το χ' με δύο είναι σίγουρα λύση και αν πάρω το χ' στην 6Χ-20Χ και βγάλω το χ'2, το γράψω σαν γινόμενο παραγώνα, το χ'2 είναι παράγοντας, αφού το δύο είναι ρίζα του πολυόνιμου, το χ'2 λοιπόν θα διαιρεί το πολυόνιμο, τι περισσέβει ένα πολυόνιμο δευτέρου βαθμού και οι ρίζες αυτού του πολυονίμου δεν είναι πραγματικές. Ένας άλλος τρόπος για να το δει κανείς αυτό είναι να πάρει το γράφημα, εντάξει σας δείχνω εδώ το γράφημα με μαθημάτικα. Το γράφημα αυτό σε περνάει τον άξονα τον χ' ακριβώς μία φορά, άρα μόνο μία ρίζα. Το δύο είναι ρίζα, αναγκαστικά το δύο είναι ίσο με αυτό. Στο τέλος της σημερινής διάλεξης θα προσπαθήσουμε να πάρουμε μία ιδέα. Το γιατί το δύο είναι ίσο με αυτό, εάν διαβάσετε παρακάτω τις σημειώσεις από τις προηγούμενες χρονιές, το έχει δώσει ένας μαθηματικός πενήντα χρόνια μετά τουλάχιστον ο Μπομπέλη. Έδειξε ότι αυτό είναι ίσο με το δύο και έδειξε και τον τρόπο για να γίνει αυτό. Πάντως, ήδη αναγνωρίζεται ότι μία τέτοια παράξενη έκφραση είναι ίσο με το δύο, παρόλο που ακόμη ο Καντάνος δεν μπορεί να ερμηνεύσει το γιατί. Πώς κατέληξε ο Καντάνος αυτόν τον τύπο για την λύση, ποια είναι η βασική ιδέα. Έτσι, θέλω να εξηγήσω και αυτό θα προσπαθήσουμε να κάνουμε, είναι πώς φτάσαμε σε αυτή την βασική ιδέα. Να θυμίσω ότι ο αρχικός τύπος, η ιδέα δεν ήταν του Καντάνο, παρόλο που του δώθηκε ο τύπος, αλλά η μεθοδολογία, κατά πάση επιφανότητα, ο τρόπος γιατί δουλεύει αυτό, τα συμπλήρωσε ο ίδιος ο Καντάνος, αλλά είναι κάτι το οποίο το έχει πάρει από τα τείλια, αν θυμάστε την ιστορία. Έχουμε λοιπόν το ΧΤΤΣΕΠΗΧΗΣΩΝΜΕΝΤΕ και η ιδέα είναι έστω ότι μπορούμε να βρούμε ένα U και ένα V, που η διαφορά τους να είναι ίση με το D, ενώ το γινόμενό τους να είναι ίσιο με το κύβο του C30, τότε η ρίζα που θέλουμε είναι τρίτη ρίζα του U μίον τρίτη ρίζα του V. Ποια είναι η ιδέα λοιπόν για τη ρίζα, για τον τύπο που έδωσε ο Καντάνο, πριν φτάσουμε εκεί λέει, αρκεί να βρούμε δύο ρυθμούς U και V, έτσι ώστε η διαφορά τους να είναι ίση με το D, ενώ το γινόμενό τους να είναι σε τρίτη ή στην τρίτη. Αν τους βρούμε αυτούς εδώ τους αριθμούς λέει ο Καντάνο, τότε όταν πάρει κανείς τη διαφορά της τρίτης ρίζας του ενός μίον την τρίτη ρίζα του άλλου, θα βρούμε τη ρίζη, έτσι για να το επιβεβαιώσουμε, δεν είναι δύσκολο, αυτό είναι απλή άλγευρα, αλλά θα το επιβεβαιώσω αλγευρικά εδώ και μετά θα προσπαθήσω να δώσω και την γεωμετρική ευμηνεία. Έστω λοιπόν ότι U μίον V είναι ίση με το D, μας ενδιαφέρει το X τρίτης στην C επί V ίσον με το D. U μίον V είναι ίσον με το D και έστω ότι U επί V είναι ίσον με το C τρίτης στην τρίτη. Παίρνω αυτήν εδώ την εξίσωση, παίρνω τις τρίτες ρίζες, έχω τη τρίτη ρίζα του U επί V είναι ίσον με το C τρίτα, πολλοπλασιάζουμε το τρία και βγαίνει ότι τρεις φορές, όμως έχω τη τρεις φορές τρίτη ρίζα του U επί V είναι ίση με το C. Χρήσιμο είναι αυτό. Αυτό το οποίο ισχυρίζεται ο Καρντάνο, αυτό το οποίο ισχυρίστηκε σε αυτό το σημείο είναι ότι θα πάρω την τρίτη ρίζα του U μίον την τρίτη ρίζα του V. Και ότι αυτό εδώ είναι ρίζα, η κανοπή αυτήν εδώ την εξίσωση, ρίζα. Δηλαδή τι θα ελέγξουμε, για να πάρω λοιπόν την τρίτη ρίζα του U μίον την τρίτη ρίζα του V, θα το υψώσω στην τρίτη, θα την κατεστήσω εδώ, θα πάρω το C, θα πολλοπλασιάσουμε το H, θα κοιτάξω αν όντως είναι ίσο με το D. Για να το κοιτάξουμε, να το ελέγξουμε αυτό, για να πάρω αυτό το κομμάτι καταρχήν στην τρίτη. Αυτό θα μου βγάλει το U, τρίτη ρίζα στην τρίτη είναι το U μίον τρεις φορές το πρώτο, τρίτη ρίζα του U στο τετράγωνο επί τρίτη ρίζα του V συν τρεις φορές, τρίτη ρίζα του U επί τρίτη ρίζα του V τετράγωνο μίον το V. Αυτό είναι υποσώτες στην τρίτη. Έχω και το σε, πολλοπλασιάζω λοιπόν τώρα σε επί χ, ποιος είναι ο ισχυρισμός σε επί αυτό εδώ, σε επί τρίτη ρίζα του U μίον τρίτη ρίζα του V είναι ίσο που είναι το σε, είναι ίσο με αυτήν εδώ την ποσότητα. Έχω λοιπόν τρεις φορές τρίτη ρίζα του U μιά φορά τη ρίζα του U, τρίτη ρίζα του U στο τραγωνο επί ρίζα του V μίον τρεις φορές τρίτη ρίζα του U επί τρίτη ρίζα του V τετράγωνο. Αυτό είναι το σε επί χ. Τα προσθέτω, τι μένει όταν τα προσθέτω, μένει του U μιά V. Το U μιά V είπαμε ότι είναι ίσο με το δε. Αν λοιπόν μπορώ να βρω U και V τα οποία να έχουν αυτές εδώ τις ιδιότητες τότε αυτό εδώ το κομμάτι είναι ρίζα. Αυτό το επιβεβαιώσαμε αγιευρικά. Πώς εξηγεί, πώς ήρθε κανείς σε αυτήν εδώ την ιδέα, τι εξήγηση, μένει βέβαια να βρούμε ότι υπάρχουν τέτοια U και V. Αν μπορούμε να τα βρούμε θα έχουμε τότε μία ρίζα. Πώς λοιπόν εξηγεί γεωμετρικά το ότι προέκυψε αυτή εδώ η ιδέα. Για να κοιτάξουμε αυτό εδώ το κύβο. Έχω έναν κύβο. Η εξωτερική του έχω δύο κύβους στον ένα μέσα στον άλλο. Η εξωτερική ακμή του κύβου είναι α, είναι μεγάλη ακμή. Το β είναι μικρό, είναι πολύ μικρό. Ο εσωτερικός κύβος έχει ακμή α-β. Έχω δύο κύβους στον ένα μέσα στον άλλο. Ο εξωτερικός έχει ακμή α, ο εσωτερικός αυτός με την διακεκομένη γραμμή έχει ακμή α-β. Τι περισσεύει από τον εξωτερικό κύβο όταν βγάλω τον εσωτερικό. Ο εξωτερικός κύβος είναι ίσως ο εσωτερικός κύβος. Μετά βλέπουμε έχουμε τρία παραλληλεπίπεδα. Το ένα στην κορυφή. Στην όψη που βλέπουμε και ένα στο πλάι. Τρία τέτοια παραλληλεπίπεδα. Έχω το μικρό το κύβο μέσα, αυτά τα τρία παραλληλεπίπεδα και μου μένει ακόμη ένα κομμάτι. Ποιο είναι αυτό το κομμάτι που μένει για να γεμίσω με τον κύκλο. Είναι αυτό εδώ. Εδώ πέρα. Τι είναι αυτό δεν φαίνεται τόσο καθαρά στην εικόνα είναι και αυτό ένας κύβος. Ένας μικρός κύβος που η κάθε του πλευρά είναι ίση με το β. Ο εξωτερικός λοιπόν κύβος αυτό γράφουμε σε αυτήν εδώ τη σχέση. Ο εξωτερικός κύβος όποιος έχει ακμή α το ατρίτης είναι ίσο με τον εσωτερικό κύβο αμιον β στην τρίτη. Το οποίο βέβαια αυτή εδώ η σχέση προκύπτει και αγγευρικά. Τι γράφουμε όμως με βάση στην εικόνα. Ο εξωτερικός κύβος είναι το α στην τρίτη προκύπτει από τον εσωτερικό κύβο αμιον β στην τρίτη. Συν τρεις φορές αυτό εδώ το παρέλαιο επίπεδο όλα τα παρέλαιο επίπεδα έχουν το ίδιο όγκο η μία πλευρά τους είναι α μιον β η άλλη πλευρά είναι α η άλλη πλευρά είναι β. Άρα αυτός είναι ο όγκος. Τρεις φορές λοιπόν τον όγκο αυτού του παρέλαιο επίπεδο. Συν τον όγκο του μικρού κύβου. Και αν φέρω το β από την άλλη μεριά τώρα αυτής της εξίσωσης μένω με αυτό εδώ. Τι μας λέει αυτό εδώ. Λέει εσωτερικός κύβος συν τα τρία παρέλαιο επίπεδα μου δίνουν τον εξωτερικό κύβο εκτός από εκείνο το μικρό κυβάκι εκτός από εκείνο το μικρό σχήμα. Το μικρό στερεό. Και αυτό εδώ τι αντιστοιχεία έχει με αυτά τα u και v που ακόμη έχω εδώ στον πίνακα. Θα σκεφτούμε το u να είναι ο κύβος ο οποίος έχει ακμή α έτσι το u είναι το α στην τρίτη. Το v να είναι ο κύβος που έχει ακμή β δηλαδή να αντιστοιχεί στο β στην τρίτη. Και το χ αυτό που θέλουμε αυτό που ψάχνουμε το μικρό χ είναι αυτό το α μιον β. Γεωμετρικά λοιπόν αν κάνει κανείς τη γεωμετρία φαίνεται κατευθείαν αυτό το που ψάχνει. Αρκεί να αντιστοιχήσει εντάξει έχει στην τρίτη δύναμη άρα έχει στον κύβο. Μόλις αντιληθείς το τι γίνεται με τους κύβους και βάλει στο μεγάλο κύβο μέσα στο μικρό τα υπόλοιπα προκύπτουν. Έτσι λοιπόν γεωμετρικά γι' αυτό ξεκινήσαμε να αναζητάμε u και v έτσι ώστε το u μιον v να είναι ίσου με το δ. ενώ το γινόμενο το u επειδή να είναι c τρίτα c διατρία ή στην τρίτη. Υπάρχουν όμως τέτοια u και v έτσι ώστε να ισχύουν αυτές εδώ οι σχέσεις. Παρόλο που το γράφω πολύ αναλυτικά ας τα ξανακάνουμε πάνω στον πίνακα. Έχουμε λοιπόν αυτήν εδώ τη σχέση αυτές εδώ ψάχνουν να δω αν υπάρχουν u και v τα οποία να ικανοποιούν αυτές εδώ τις σχέσεις. Ψάχνουμε να τα βρούμε αν υπάρχουν. Παίρνω λοιπόν εδώ αυτήν εδώ τη σχέση και πολλαπλασιάζω με u. u επειδή u μιον v είναι ίσο με το u επειδή. Δηλαδή u τετράγωνο μιον u επειδή το θέλω να είναι ίσο με το u επειδή. Θέλω να βρω u τα οποία να ικανοποιούν αυτά, u και v που να ικανοποιούν αυτήν εδώ τη σχέση. Μετά θέλω το u επειδή να είναι ίσο με αυτό εδώ, άρα αυτό το οποίο ψάχνω και το c είναι μια σταθερά. Έχω διώξει το v στην ουσία και έχω ότι u τετράγωνο μιον c τρίτα στο τετράγωνο είναι ίσο με το u επειδή. Δηλαδή αυτό το οποίο πρέπει να ισχύει για το u είναι ότι u τετράγωνο μιον u επειδή μιον c τρίτα στο τετράγωνο πρέπει να είναι ίσο με το 0. Αυτό λοιπόν το οποίο ψάχνουμε τώρα δεν είναι u και v που να ικανοποιούν αυτές τις σχέσεις. Αυτό που ψάχνω είναι να βρω τις ρίζες ή αυτό που αρκεί είναι να βρω ρίζες του ψ δετράγωνο μιον ψ επειδή τα d και τα c είναι σταθερά και από αυτό το πολιώνυμο που είναι βαθμού 3 ψάχνω να βρω τις ρίζες του ψ δετράγωνο μιον ψ επειδή μιον c τρίτα στο τετράγωνο αυτού του πολιωνύμου. Από ένα πολιώνυμο τρίτου βαθμού θα βρω u και v που να ικανοποιούν αυτές τις σχέσεις και μετά θα πάρω την τρίτη ρίζα του u μιον την τρίτη ρίζα του v. Αυτή εδώ είναι η ρίζα. Για να βρω λοιπόν το u αρκεί να βρω το u για να βρω το v και για να το κάνω αυτό αρκεί να λύσω αυτό το πολιώνυμο. Να βρω ρίζες αυτούνου εδώ του πολιώνυμου. Ξανά πολιώνυμο τρίτου βαθμού χτρίτης σε επειχή μιον δε για να βρω τις ρίζες του που θα προκύψουν από αυτόν εδώ τον τύπο αρκεί να βρω τις ρίζες αυτούνου εδώ του πολιώνυμου. Τι είναι σημαντικό, τι θέλω να τονίσω εδώ. Βαθμός 3 για να βρω τη λύση αρκεί να βρω ρίζες ενός πολιωνύμου που έχει βαθμό 2 από το βαθμό 3 κατέβηκα βαθμό. Και για αυτό το πολιώνυμο βαθμό 2, εντάξει, έχω τον τύπο. Έτσι ξέρω πως να λύνω το πολιώνυμο δευτέρου βαθμού και μάλιστα κάνοντας τον τύπο μπορούμε να βεβαιωθούμε ότι θα έχει τουλάχιστον μια θετική ρίζα. Μας ενδιαφέρουν οι θετικές ρίζες. Παίρνουμε λοιπόν αυτή τη θετική ρίζα, αυτό εκεί είναι το U που ψάχνουμε, το θέλουμε να είναι θετικό, παίρνουμε λοιπόν θετική ρίζα εδώ πέρα, αντικαθιστούμε για να βρούμε το W. Το πολιώνυμο αυτό πάντα θα έχει μια θετική ρίζα. Το έχω βάλει ερωτηματικό εδώ, δεν πρέπει λοιπόν να βεβαιωθείτε γιατί έχει πάντα μια θετική ρίζα και μπορείτε να το κάνετε σε αυτό εδώ το σημείο ή μπορείτε απλά να βεβαιωθείτε και από εδώ. Έτσι θα έχουμε σε πολλά σημεία μπορείτε να το δείτε ότι θα έχουμε μια θετική ρίζα. Τώρα η περίπτωση που έγραψα επάνω στον πίνακα αυτή ήταν η εξής, τι γίνεται στην περίπτωση που έχω το πολιώνυμο X3 sin cx-d. Το καρντάνο όπως είπα έκανε όλες τις περιπτώσεις. Τι άλλη περίπτωση που εξετάζω και γράφω εδώ πέρα είναι όταν έχουμε το X3 sin cx όπως είναι θετικά. Πάλι σε αυτή την περίπτωση βγάζει το X είναι μια τέτοια που θα πηγαίνει πάλι ως λύση αυτής της μοφής. Αυτή ήταν η περίπτωση που κάναμε και αυτή είναι η νέα περίπτωση όταν έχουμε λοιπόν X3 sin cx-d τότε ο τύπος που δίνει ο καρντάνο είναι αυτός εδώ πάλι περίπου της ίδιας μορφής. Τώρα τι θέλω να τονίσω αν κοιτάξουμε μέσα στον τύπο έχει ένα ρυζικό. Στην προηγούμενη περίπτωση για αυτό είχα ξαναβάλει τη διαφάνεια ότι είναι μέσα στο ρυζικό είναι πάντα θετικό. Έχει νόημα έτσι είναι ένας θετικός αριθμός θα μας βγει το ρυζικό ενός θετικού αριθμού. Στην περίπτωση όμως αυτή σίγουρα μπορεί να φτιάξει κανείς περιπτώσεις για παράδειγμα όπως στην περίπτωση 15x sin 4 όπου αυτό που θα βγάλουμε μέσα στο ρυζικό θα είναι αρνητικός. Παρ' όλα αυτά με τον ίδιο συλλογισμό ο Καρντάνου είπε ότι αυτό είναι η γης και ότι άσχητα με το τι είναι μέσα στην ρίζα του δευτέρου είτε έχω κάτι θετικό είτε έχω κάτι αρνητικό το οποίο σίγουρα δεν το καταλαβαίνουν ακόμη. Τετραγωνική ρίζα ενός ονητικού αριθμού δηλαδή μεγαλτικός αριθμός τώρα ξεκινάει αυτή η συζήτηση δεν το καταλαβαίνω ακόμη ξέρουν ότι αυτό το οποίο θα βγει πρέπει να είναι λύση. Έτσι άσχετα με την αριθμητική με τον αριθμό που θα βγάλεις ξέρουν ότι το συνολικό αποτέλεσμα είναι ένας θετικός αριθμός άσχητα με το τι είναι μέσα στο ρυζικό. Στην περίπτωση που έχω 15x sin 4 αυτό το οποίο θα βγάλεις Στην περίπτωση του x τρίτης ίσον με 15x sin 4 απλά για να σας πείσω για αυτό κάνοντας το γράφημα με το μαθημάτικα προκύπτει ότι το πολυόνυμο έχει τρεις πραγματικές ρίζες. Ο τύπος του καντάνο δίνει μία από αυτές. Ό,τι και να είναι αυτό που δίνει ο καντάνο πρέπει να είναι ένας πραγματικός αριθμός. Έτσι η μίξη μοιραδικών, η ρίζα του μοιών 121 στο τέλος θα μας δώσει έναν πραγματικό αριθμό. Αυτά τα ήμοι παράδοξα έσπρωξαν τους μαθηματικούς στην ανακάλυψη των μοιραδικών αριθμών. Από κάποιες παρατηρήσεις ότι ο καντάνο ακόμη δεν χρησιμοποίησε τα σύμβολα. Ο τύπος που δόθηκε δόθηκε με λόγια. Χρειάστηκε να περιγράψει όταν λέει κύβος δεν το έγραφε σαν κύβο, τον περιέγραφε. Είπαμε ότι δίνει μόνο μία ρίζα. Δεν δίνει τις υπόλοιπες ρίζες. Ο τύπος που δίνει τον αρκεί ότι υπάρχει μία λύση. Στην περίπτωση που βρίσκει τους ανητικούς αριθμούς, τότε τους λέω ότι είναι πλασματικοί αριθμοί. Κάτι πολύ σημαντικό γιατί το έργο του μελετήθηκε. Σχέσεις ανάμεσα στις ρίζες. Έτσι έχει κάνει ήδη την παρατήρηση ότι αν αφρύσεις τις ρίζες του, αυτό που παίρνεις είναι το αντίθετο του συντελεστή του χ τετράγωνα. Σχέση λοιπόν τι γίνεται όταν κοιτάξεις τις ρίζες. Και το τελευταίο είναι ότι η παρατήρηση εδώ που την έχουμε ήδη χρησιμοποιήσει, ότι έδωσε μια γεωμετρική δικαιολόγηση για τη μεθοδολογία και για τον τύπο. Ακόμη και σε ένα πρόβλημα με δευτεροβάθμια εξίσωση, σε ένα παράδειγμα που κάνει ο Καντάνο, για παράδειγμα συζητάει το πρόβλημα είναι να διαρρεφεί το 10 σε δύο μέρη, έτσι ώστε το γινόμενο να είναι 40. Πρέπει να το κάνετε με τον αλγυβρικό συμβολισμό, χ συν ψ είναι ίσο με το 10, χ π ψ είναι ίσο με το 40, οι λύσεις που προκύπτουν είναι αυτές εδώ οι δύο. Ο Καντάνο λοιπόν γράφει ρίζα του μίον 15, έτσι ότι η λύση θα είναι πέντε συν ρίζα του μίον 15 και το αντίστοιχο, αλλά κάνει τη σημείωση ότι η ευθυμητική αυτή δεν οδηγεί πουθενά. Έχουμε λοιπόν την εμφάνιση των λαδικών, ακόμη και για προβλήματα δευτέρου βαθμού. Και αυτό το οποίο θα ήθελα να κάνω είναι να ξαναγυρίσω σε αυτόν εδώ τον τύπο, έτσι θα τον γράψω επάνω, έχω γράψει τη σημείωση ότι αυτό κάτω από τον Καντάνο είναι ίσο με το 2, γιατί αυτή είναι η μόνη πραγματική ρίζα και να προσπαθήσουμε καταρχήν να με καταλάβουμε, δεν ξέρω αν δοκίμασε κανένας να το δείξει ότι αυτό είναι ίσο με το 2, δοκίμασε κανείς. Θα προσπαθήσω να φλησιάσω το πρόβλημα αυτό λίγο ανωσθόδοξα, έτσι έχω ότι τρίτη ρίζα του 108 συν 10 μειών τρίτη ρίζα του 108 μειών 10. Και η ιδέα είναι ότι αυτό εδώ είναι ίσο με το 2 και από πού προκύπτει αυτή εδώ η σχέση, για να το δούμε λοιπόν αυτό. Και ίσως να είναι πιο εύκολο να καταλάβει κανείς πώς ξεκίνησε αυτή η σκέψη, αν έκανε το αντίστοιχο πρόβλημα όπου η ρίζα βγαίνει να είναι ένας πραγματικός αριθμός αλλά μέσα στον τύπο έχουμε την ρίζα του μειών 121. Θα γράψω λοιπόν τη βασική ιδέα. Καταρχήν πριν φτάσω στην ιδέα, θα σας βάλουμε ακόμη σε αναμονή αυτό το κομμάτι, για να προσπαθήσουμε να καταλάβουμε τι είναι το 108, μήπως βγαίνει κάπως πιο απλά. Για να προσπαθήσω λοιπόν να γράψω το 108, το 108 διαιρείται με το 4 έτσι, είναι 4 επί 27, 4 φορές το 27 μας δίνει 108 σωστά, 4 φορές επί 3 στην τρίτη, άρα αυτό είναι 4 επί 3 ρίζα 3, εντάξει αντί να το κουβαλάω έτσι, να το γράψω σαν 12 φορές το ρίζα 3, 2 επί 3, άρα 6 φορές το ρίζα 3. Να πω κάτι, το ρίζα 3 είναι μύρητος, αυτό το γνωρίζουμε, έτσι το ρίζα 3 είναι μύρητος και αν πάρω την τρίτη ρίζα ενός μύρητου, αν έχω κάποιον ο οποίος δεν είναι ρητός και παίρνει την τρίτη ρίζα του, δεν ξέρω πως θα περιμένουν ότι θα βρουν κάτι ρητό, ή αν πάρω έναν ρητό και προσθέσω κάτι που είναι μύρητος και μετά πάρω, δεν θα πάρω πάλι ρητό. Ρητός σαν κάτι που δεν είναι ρητός, δεν θα είναι ρητός, αυτό λοιπόν δεν είναι ρητός οριθμός, έχω την τρίτη ρίζα κάτι που δεν είναι ρητός, δεν θα είναι ρητός. Όμως εμείς αυτό που προσπαθούμε να δείξουμε είναι ότι αυτό εδώ το άθροισμα είναι ίσου με το 2, έτσι. Άρα πως θα το σκεφτούμε, θα σκεφτούμε ότι αν είμαστε τυχεροί, πάω πίσω στην ιδέα, ποια είναι η ιδέα, αν είμαστε τυχεροί, είμαστε ο μόνος τρόπος με τον οποίον θα μπορούσε να δουλεύει αυτό, έτσι. Προσμοποιώντας αυτήν εδώ την ιδέα για ρητούς, μύρτους, είναι ότι για να δουλέψει αυτό θα πρέπει να συμβαίνει το εξής, ιδέα λοιπόν, γράφω εδώ για να μην απλώνω με πολύ. Πρέπει, θα ήταν πολύ όμορφα, αυτό εδώ η τρίτη ρίζα της ρίζας του 108 στην 10, περιμένω ότι αυτό δεν είναι ρητός, αλλά θα έχει κάποιο ρητό κομμάτι, δηλαδή με την έννοια του εφτώ μπορώ να το γράψω σαν άλφα συν ρίζα β. Μετά, αν είμαστε τυχεροί, το μίον τρίτη ρίζα του 108, μίον 10, αυτό εδώ θα είναι κάτι, να το βάλω εδώ σε μίον τη ρίζα β. Ξεχάστε το μίον μπροστά, έτσι σε συν ρίζα β και το ένα και το άλλο να έχουν μέσα τη ρίζα β, έτσι ώστε όταν τα αφαιρέσω, εάν τα αφαιρέσω αυτά εδώ τα δύο, να μου μείνει το κομμάτι αφαιρών και θα μου μείνει το κομμάτι άλφα μίον σε, τα ρίζα β θα εξαφανιστών. Κατανοητό αυτό που λέω. Έχει ένα κομμάτι εδώ το οποίο θα είναι ρητός, το άλφα μίον σε θα μου δώσει αυτό το δύο, τα άλλα κομμάτια, το άλλο κομμάτι, το ρίζα β με το ρίζα β θα εξαφανιστών. Αν λοιπόν συμβαίνει αυτό, τότε όλα θα δουλέψουμε, έτσι. Δεν είναι απλά ότι θα είμαστε τυχεροί, γιατί δεν υπάρχει τύχη εδώ πέρα. Το άκουσα πολύ πρόσφατα ότι τύχη είναι η τομή της παρατήρησης και των πειραμάτων, της εμπειρίας, παρατήρησης και εμπειρίας. Για να το δούμε λοιπόν αν ισχύει αυτή εδώ η ιδέα, αν μπορούμε να δούμε. Θα το ξεκινήσουμε τουλάχιστον. Ωραία, έτσι. Για να δω λοιπόν, γράφω εδώ, τρίτη ρίζα του 108 στις 10, έτσι, το γράφω να είναι α στις διζαβίδες. Αυτό το οποίο ζητάω να ελέγξω είναι τι γίνεται εάν θα πάω εδώ, έτσι. Αυτό εδώ θα είναι ίσου με το ριζα βήτα, αυτό είναι το ρευματικό. Αν αυτό εδώ είναι ίσου με το α στις ριζα βήτα, τι μπορώ να πω για αυτό εδώ το κομμάτι. Ξεκινάω λοιπόν εδώ, παίρνω το υψόνο στην τρίτη και παίρνω ότι ρίζα του 108 στις 10 είναι το α σιν ριζα βήτα στην τρίτη. Πάλι ξανά, ο τύπος α τρίτης σιν, όλα θα είναι θετικά, έτσι έχω θετικό το πρόσημο. Για να προσπαθήσω να βάλω μαζί τα ρητά με τα μυριτά κομμάτια, έτσι, θα έχω α τετράγωνο, τρεις φορές το α τετράγωνο, επί ριζα βήτα, αυτό θα είναι το ριζα βήτα, το μυριτό. Μετά θα έχω τρεις φορές το α, επί ριζα βήτα στο τετράγωνο, αυτό θα μου δώσει ριτό, το γράφω λοιπόν εδώ, τρεις φορές α τετράγωνο βήτα, α επί βήτα. Εντάξει, και μετά όλα τα άλλα θα είναι τα μυριτά, για να τα γράψω, σιν, έχω τρεις φορές α τετράγωνο, επί ριζα βήτα, εντάξει, τρεις φορές α τετράγωνο, επί ριζα βήτα και μετά έχω το ριζα βήτα στην τρίτη, δηλαδή είναι βήτα, επί ριζα βήτα, εντάξει, γίνει λοιπόν σιν βήτα. Βλέπεις, αυτό είναι. Ωραία. Ωραία, τώρα, τι θέλουμε να ισχύει από εδώ, παρένθεση, γιατί εμείς ψάχνουμε να βρούμε αν υπάρχουν τέτοια αλφα και βήτα και τι θα συμβεί από εδώ. Έτσι, αυτό λοιπόν είπαμε ότι είναι ίσο με το απλοποιήσα προηγουμένως και είναι το έξι ριζα τρία, έξι ριζα τρία, σιν δέκα. Στην ουσία λοιπόν λέμε ότι αυτό εδώ το κομμάτι είναι το δέκα, αυτό λέμε, και το άλλο το κομμάτι είναι το ριζα τρία επί έξι. Αυτό λοιπόν λέμε ότι θα πρέπει να είναι το έξι η ριζα τρία. Μας λέει πόσο πρέπει να είναι το βήτα, μετά μπορούμε να λύσουμε για να βρούμε το άλφα, θα το αφήσω αυτό εδώ για να το συνεχίσετε. Για να ξαναγυρίσω όμως στην βασική μου ερώτηση. Εντάξει, αν αυτό εδώ είναι ίσο με αυτό εδώ, με τι είναι ίσο είναι το άλφα λοιπόν σιν ριζα βήτα. Τι μπορώ να πω για την τρίτη ρίζα του εκατούν οπτώ για να το βάλουμε μιουντεκ. Εντάξει, είπα προηγουμένως ότι αυτό εδώ είναι πάλι το σε σιν να το βάλω ρίζα ενός άλλου αρισμό σε σιν ρίζαντε. Εντάξει, θα ήθελα αυτό εδώ ρίζαντε να είναι ίσο με το ριζα βήτα. Για να δούμε λοιπόν τι θα προκύψει από εδώ. Εδώ προκύπτει ότι η ρίζα εκατόν οκτώ μιον δέκα είναι το σε σιν ρίζαντε εις την τρίτη. Οι πράξεις γι αυτό παραμένουν ίδιες μόνο που εντύγια το σε αλλάζει τη θέση με το άλφα δηλαδή θα έχω σιν τρία σε επί τή, σιν τρία σε τετράγωνο, σιν δή, επί ρίζα δή. Και αυτό εδώ με τι θα πρέπει να είναι ίσο, αυτό εδώ είναι πάλι το έξι ριζα τρία ενώ αυτό είναι το μιον δέκα. Το δέ είναι το ριζα τρία, το βήτα είναι το ριζα τρία. Αυτό το οποίο δείξαμε τώρα είναι ότι αν μπορέσω να βρω το βήτα τότε σε αυτό εδώ το κομμάτι, αυτό εδώ το δέ τελικά βγαίνει να είναι το ίδιο με το βήτα μόλις το δείξαμε. Αυτό λοιπόν είναι ίσο με το βήτα. Ακριβώς αυτό το οποίο θέλαμε και όταν τα προσθέσω αυτά τα δύο θα φύγουν. Θα το αφήσω λοιπόν σε αυτό το σημείο για να ολοκληρώσετε και να αποδείξετε να φτάσει μέχρι το τέλος, ότι αυτό είναι όντως ίσο με το δύο. Βρήκαμε το βήτα, μένει να βρούμε το άλφα. Έτσι να λύσετε για να βρείτε το άλφα και να τα προσθέσετε για να αποδείξετε τελικά αυτό είναι ίσο με το δύο. Αυτό που θα δούμε αύριο είναι η λύση της τεταρτοβάθμιας και ξαναγυρνάω στο κεντρικό σημείο γιατί αυτό θα μας οδηγήσει έτσι αμέσως μετά θα ρωτήσουμε εντάξει έχουμε βρει τύπο για τη λύση της τεταρτοβάθμιας. Υπάρχει τύπος για τη λύση ενός φολιονίμου πέντου βαθμού. Και το κλειδί σε όλα αυτά για πάντη συνόχη θα το δούμε αλλά το κλειδί για την έβριση τύπου της τριτοβάθμιας είναι να βρούμε μια δευτεροβάθμια εξής. Αυτό που θα δούμε αύριο είναι το κλειδί για τη λύση της τεταρτοβάθμιας είναι να μπορέσουμε να το ανάβουμε το πρόβλημα στη λύση μιας τριτοβάθμιας για την οποία υπάρχει ο τύπος. Και θα δούμε ότι αυτό είναι αδύνατο για το φολιόνιμο πέντου βαθμού. Έτσι πέντου βαθμού δεν μπορείς να το ανάγεις στη λύση ενός φολιονίμου που να έχει βαθμό μικρότερο του πέντου.