Διάλεξη 12 / Διάλεξη 12 / Διάλεξη 12 - Κουγιουμτζής Δημήτριος (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Διάλεξη 12: Λοιπόν, ας ξεκινήσουμε λοιπόν. Εδώ πέρα βλέπω ότι έχετε ωραία θεματάκια. Τι είναι αυτά, ποιο μάθημα είναι? Τεχνική Μηχανική Τεχνική Μηχανική. Τελικά ρε παιδιά, εμείς εδώ στη Στατιστική έχουμε ένα παράπονο. Μας έχετε. Στατιστική τώρα. Τι κάνω εγώ στη Στατιστική. Εγώ είμαι πολιτικός μηχανικός. Όλοι έτσι δε λέτε. Δε λέτε, αμα να το περάσω και αυτό να μην το κουβαλάω. Ενώ Στατική Μηχανική είπαμε. Τεχνική Μηχανική ακούγεται. Τεχνική Μηχανική. Αυτό είναι για μένα, δεν είναι Στατιστική. Θα φτάσετε όμως στο τέταρτο, πέμπτο έτος που θα έρχονται εκεί τα δεδομένα από την Τεχνική Μηχανική, από τα δομικά, δεν ξέρω τι έχετε εκεί πέρα. Δομικά υλικά. Δεν έχετε δεδομένα. Από εκεί. Και θα λέτε τι τα κάνω εγώ αυτά τώρα. Και θα θυμηθείτε ότι είχατε ένα μάθημα Στατιστική κάποτε. Και για να μπω και λίγο στο θέμα, στις σχέσεις και επανειδρώμηση, τα δεδομένα που έχετε μπορεί να μην είναι μόνο από ένα μέγεθος, όπως λέγαμε η αντοχή θράφισης κυροδέματος, μπορεί να είναι δύο μεγέθη. Και αυτό που λέγαμε για το μοντέλο για όσους ήρθαν στο εργαστήριο που μάλλον ήταν περισσότεροι, έχουμε δύο μεγέθη και θέλουμε να δούμε τι σχέση έχουμε μεταξύ τους. Αυτό το πράγμα θα το βρείτε μπροστά σας πάρα πολύ συχνά, σε ό,τι κατέβησε και να πάρετε στον κλάδο που είστε εσείς. Γενικά λοιπόν μπορεί να έχουμε δύο τυχαίες μεταβλητές που συσχετίζονται. Και όταν δύο μεταβλητές συσχετίζονται, εγώ λέω ότι μπορεί να συμβαίνει ένα από αυτά τα δύο. Διαβάστε το. Μπορείτε, αφού το διαβάσετε και αυτό, να μου πείτε κάνα παράδειγμα από δύο τυχαίες μεταβλητές, δύο μεγέθη δηλαδή, που συσχετίζονται ή που δεν συσχετίζονται. Να σκεφτείτε. Το ύψος και το βάρος. Το ύψος και το βάρος, πολύ ωραίο, θα το έλεγα εγώ. Με πρόλαβες. Πολύ ωραίο παράδειγμα. Ήψος και βάρος συσχετίζονται. Θα λέει κανένας ότι δεν συσχετίζονται. Δεν μπορεί να το πεις. Και μάλιστα θετικά, έτσι. Σε ποια από τις δύο κατηγορίες θα το βάζεις? Στην πρώτη. Στην πρώτη. Και ποια θα έλεγες ότι επηρεάζει την άλλη. Ε, πώς, αφού λες στην πρώτη. Ε, αλλά δεν είναι στην πρώτη. Γιατί η πρώτη λέει ότι η μία επηρεάζει την άλλη. Αν πας να το βάλεις, είναι η κότα έκανε το αυγό ή το αυγό την κότα. Ε, δεν μπορείς να πεις, το βάρος επηρεάζει το ύψος. Το ύψος επηρεάζει το βάρος. Μήπως επηρεάζονται και τα δύο από κάποια άλλη μεταβλητή. Από ποια μπορεί να είναι αυτή. Το φαγητό, ναι. Η διατροφή, γενικά. Αφιβάλλεις ότι η διατροφή παίζει ρόλο, παίζει ρόλο. Η ηλικία, αλλά να πούμε ότι μιλάμε για ενήλικες, μπορούμε σε μια ηλικιακή κατηγορία να το αφήσουμε απ' έξω. Αλλά και η ηλικία. Κάποιες, τι είπε κάποιες από εδώ. Το DNA, πολύ σωστά. Το DNA, φιλετικά, ας πούμε ξέρετε ότι οι Έλληνες δεν είναι οι πιο ψηλοί άνθρωποι. Όπως οι Κινές δεν είναι και επίσης οι πιο ψηλοί. Έχει και άλλες φυλές που είναι πιο ψηλοί. Όπως η Ολλανδία, ας πούμε, και τα λοιπά. Άρα θα το βάζουμε σε αυτή την κατηγορία. Κάποιο παράδειγμα. Ναι. Η χρήση των αυτοκινήτων και η ρήπαση του αέρα. Η χρήση των αυτοκινήτων και η ρήπαση του αέρα. Ναι. Βέβαια, πιο επίκαιρο θα ήταν η χρήση των τζακιών, έτσι. Και η ρήπαση του αέρα με την εθαλομίχλη και τα λοιπά. Όπου και αυτά. Εδώ όμως, σε ποια κατηγορία θα το έβαζες. Στο πρώτο, έτσι ξεκάθαρα. Δηλαδή, δεν είναι απλά ότι συσκετίζονται. Υπάρχει η αιτιότητα εκ μέσα. Δηλαδή, το ένα προκαλεί το άλλο, επηρεάζει το άλλο. Άρα, αυτό θα είναι ένα παράδειγμα όπου η χρήση των αυτοκινήτων ή του τζακιού επηρεάζει τους δίκτες ρήπασης και γενικά τη ρήπαση των αέρα. Άλλο παράδειγμα. Είσαι πολύ άτακτη σήμερα. Άλλο παράδειγμα. Τυχνική μηχανική είναι και αυτό. Τι γίνεται, έχει να δω παραδόσεις σε μια εργασία. Καλά εδώ μέσα την κάνει. Πάτε στο κοιλικείο κάτι σαν την κάνει, ρε παιδιά. Ε παιδί μου. Άλλο παράδειγμα. Η λιοφάνεια και η ανάπτυξη ενός φυτού. Ναι, όσο περισσότερο ο ήλιος είναι, του δίνει ενέργεια, αναπτύσσεται περισσότερο. Άρα μπορούμε να το μετρήσουμε με κάποιους δείκτες. Παλιά έβαζα ένα παράδειγμα, το οποίο δεν ήταν πολύ πετυχημένο χρόνο με το χρόνο. Έλεγα το κάπνισμα. Δηλαδή, εδώ όμως είναι η συνήθεια του κάπνισματος. Να καπνίζει ή να μην καπνίζει κάποιος. Και το να πίνει ή να μην πίνει καφέ. Και απέτυχα τελείως με αυτό το παράδειγμα. Γιατί, αν ρωτήσω παιδιά πώς καπνίζεται εδώ πέρα. Πώς καπνίζεται εδώ πέρα. Δε σας φακελώσω. Ένας, ένας, δύο, τρεις, τέσσερις. Σιγά, σιγά. Εγώ, όταν ήμουνα γραφητητής, βέβαια υπήρχαν πολλοί που καπνίζανε. Οπότε, εκεί πέρα είχε νόημα να ρωτήσεις. Γιατί μπορούσε να πεις πόσοι καπνίζουν, πόσοι πίνουν καφέ. Εδώ πέρα, άμα καπνίζουν τέσσερα άτομα, τι να ρωτήσεις. Πόσοι από εσάς πίνετε καφέ, πίνετε καφέ, πίνεις. Θα μου πείτε, όλοι πίνετε καφέ τώρα, έτσι. Χάθηκε. Παλιά, όμως, δεν ήταν έτσι. Τέτοιου δυστυχιές μεταβλητές, όμως, δεν θα δουλέψουμε εδώ πέρα. Γιατί αυτές οι δυστυχιές μεταβλητές είναι διακριτές. Δηλαδή, καπνίζω, δεν καπνίζω. Παίρνει δύο τιμές. Εμείς θα μιλήσουμε για συνεχής. Και ένα επίσης παράδειγμα είναι αυτό που κάναμε στο εργαστήριο, που ήταν ο χρόνος μελέτης σε ένα μάθημα και ο βαθμός που θα πάρεις στο μάθημα. Σε ποια κατηγορία θα το βάζατε για αυτό? Στην πρώτη, έτσι, γιατί το ένα... Κυκλάζει και βάζει. Σε το είπες. Δεν παραβούλευσε καθόλου. Λοιπόν, τώρα πώς μπορούμε να το μετρήσουμε αυτό. Δηλαδή, τη συσκέτηση που υπάρχει μεταξύ δύο μεταβλητών, να βρούμε έναν δίκτυ για να το μετρήσουμε. Η διασπορά τι εκφράζει. Είμαστε και μία μεταβλητή, όταν λέμε διασπορά, αναφερόμαστε μόνο σε μία μεταβλητή. Η διασπορά του χ, ας πούμε, ή του ψ, τι εκφράζει. Ναι, Όλγα. Πόσο απλωμένες είναι οι τιμές, πόσο διασπέρονται. Ή θα το λέγαμε, σε σχέση πάντα τη βάζουμε τη διασπορά όμως απλωμένες ως προσθή. Γύρω από τη μέση τιμή, έτσι, έχουμε αναφορά στη μέση τιμή. Άρα η διασπορά μας λέει πόσο απέχουν από τη μέση τιμή. Θέλουμε ένα μέτρο και το μέτρο αυτό το λέμε συνδιασπορά, που αντί να μετράμε πόσο απέχουν από τη μέση τιμή, εδώ πέρα θέλουμε να δούμε για μία τιμή του χ, άρα η αναφορά δεν είναι στη μέση τιμή της θείας μεταβλητής, είναι στη μία τιμή της μίας μεταβλητής του χ, πόσο αλλάζει το ψ. Δεν έχει τετράγωνο, έτσι το βάζουμε, χωρίς τετράγωνο. Συνδιασπορά το λέμε, χ και ψ. Είναι θέμα συμβολισμού ότι είναι έτσι. Άρα μας λέει λοιπόν για μία δεδομένη τιμή του βάρους ας πούμε πόσο αλλάζει το ύψος. Αν αλλάζει λοιπόν το ύψος πολύ θα έχω μεγάλη συνδιασπορά, αν αλλάζει λίγο θα έχω μικρή συνδιασπορά. Και αντί να χρησιμοποιούμε τη διασπορά, την κανονικοποιούμε, τη διαιρούμε με το γινόμενο των τυπικών αποκλήσεων και βλέπετε ότι εκεί πέρα μπαίνει το σίγμα του χ ή το σίγμα του ψ. Τώρα γιατί το κάνουμε αυτό, γιατί εάν μετρήσω εγώ τη συνδιασπορά για το βάρος και το ύψος και πω ότι είναι 10 ή πω ότι είναι 1, αυτά δεν μπορώ να τα αναφέρω κάπου και να πω είναι μεγάλο ή μικρό. Ο δείξης δηλαδή παίρνει μια μεγάλη μικρή τιμή. Γιατί το 10 ή το 1 εξαρτάται από τη μονάδα μέτρησης. Άλλη τιμή θα πάρω εάν το βάρος το μετρώ σε γραμμάρια και άλλη τιμή αν το μετρώ σε κιλά. Άλλη τιμή θα πάρω αν το ύψος το μετρώ σε εκατοστά ή σε μέτρα. Αυτή λοιπόν η τιμή της συνδιασποράς εξαρτιέται από τη μονάδα μέτρησης. Όταν διαιρώ εκεί πέρα με το γινόμενο των τυπικών αποκλήσεων, γίνεται το μέγεθος αδιάστατο. Δηλαδή δεν αναφέρεται σε κάποια μονάδα μέτρησης πλέον και μπορεί να πάρει τιμές που είναι μεταξύ του μ-1 και 1. Αυτό τώρα με βοηθάει γιατί αυτό το ρώτορο που το λέω συντελεστή συσχέτησης παίρνει μεταξύ μ-1 και 1. Μπορώ να το ερμηνεύσω. Αν έχω τιμές λοιπόν που είναι στο 1, μιλάω για τέλεια συσχέτηση. Αν έχω τιμές που είναι στο μ-1, είναι η τέλεια αλλά αρνητική συσχέτηση που είναι αυτό που λέγαμε ανάλογα και αντιστρόφως ανάλογα. Το 1 είναι για τα πλήρες ανάλογες τυχές μεταβλητές και το μ-1 για τη δυσαντιστρόφως ανάλογες. Τιμές κοντά στο μ-1 και 1 λένε για ισχυρή συσχέτηση και τιμές κοντά στο 0 για ασυσχέτηστης. Και αυτά τα είπαμε ήδη ότι είναι ανεξάρρυτα από τη μονάδα μέτρησης και βέβαια είναι συμμετρικό γιατί αν αλλάξω τη θέση των χ και ψ δεν παίζει κανένα ρόλο. Αν θέλουμε να δούμε τώρα γραφικά αυτά θα πρέπει να πάρουμε στην πράξη πλέον ένα δείγμα και εδώ το δείγμα τώρα δεν είναι όπως είχαμε ένα δείγμα της τυχαίας μεταβλητής χ, έχουμε δείγμα από την χ και από την ψ. Είναι ζευγαρωτές οι παρατηρήσεις. Για το παράδειγμα του βάρους και του ύψους θα έχω για κάθε άτομο δύο τιμές, μία για το ύψος, μία για το βάρος. Έτσι λοιπόν πάνω στη ζευγαρωτά χ1 ψ1, χ2 ψ2 κτλ. Αυτά λοιπόν μπορώ να τα δω σε ένα διάγραμμα διασποράς και να έχω κάτι τέτοιο. Αυτές είναι τρεις περιπτώσεις εδώ πέρα. Η επάνω υπερρύπτωση είναι όταν έχω συντελεστεί συσχέτηση 1. Είναι η τέλεια αυθεντική συσχέτηση. Λίγο πιο κάτω είναι 0,97 και λίγο πιο κάτω είναι 0,8. Το βάρος και το ύψος σε ποια από τις τρεις αυτές κατηγορίες θα το βάζουν? Στις τρεις περιπτώσεις μάλλον. Θα το βάζετε στην πρώτη? Δεν μπορείς δηλαδή για κάποιο βάρος να ξέρεις ακριβώς πού είναι το ύψος. Γιατί εδώ μου λέει ότι για κάποιο βάρος το ύψος δεν παίζει πουθενά, είναι ακριβώς σε μία τιμή. Εδώ μου λέει ότι παίζει λίγο το ύψος. Για κάθε βάρος που έχω εδώ κάτω το ύψος παίζει αλλά λίγο. Ενώ εδώ πολύ περισσότερο. Πού θα το βάζετε σε ποια περίπτωση? Στην τρίτη. Μάλλον πιο πραγματικό είναι το τρίτο. Γιατί δεν περιμένουμε να είμαστε ούτε καν σε αυτή την περίπτωση. Γιατί αυτή μου λέει ότι αν γνωρίζω το βάρος ενός ανθρώπου το ύψος μπορώ να το προσδιορίσω με αρκετά μεγάλη ακρίβεια. Που δεν είναι βέβαια σωστό. Αυτό το ρο αυτό βέβαια είναι το θεωρητικό. Αν θυμηθείτε ότι όταν μιλούσαμε για τις παραμέτρους μιας κατανομής είχαμε το ύψος όλων των φοιτητών. Και είχαμε το μέσο ύψος που το συμβολίζαμε με το μη. Αυτό είναι το θεωρητικό. Και μετά παίρναμε από το δείγμα το μέσο όρο που ήταν το χ με την παρά. Εδώ λοιπόν έχουμε το ρο τώρα που είναι το θεωρητικό δηλαδή σε όλο τον πληθυσμό. Και αυτό το Ά που θα μιλήσουμε στη συνέχεια που είναι ο εκτιμητής. Αυτές οι περιπτώσεις εδώ πέρα είναι παρόμοιες αλλά με αντίστροφη κατεύθυση. Δηλαδή εδώ έχουμε αντιστρόφος ανάλογα μεγέθη. Και εδώ έχουμε μηδέν. Δηλαδή είναι σκόρπια. Τι σημαίνει μηδέν. Ότι για οποιαδήποτε τιμή της μιας μεταβλητής η άλλη μπορεί να είναι οπουδήποτε μέσω των παιδιωτιμών που μπορεί να πάρει. Αυτή η περίπτωση τώρα και εδώ λέει το ρο είναι μηδέν. Τι συμβαίνει εδώ. Το ρο είναι μηδέν σημαίνει ότι είναι ασυσχέτιστα τα δύο μεγέθη. Έχουμε δηλαδή δύο μεγέθη Χ και Ψ εδώ πέρα. Αναφέρομαι σε αυτό το τελευταίο σχήμα εδώ. Όπου έχουμε Χ και Ψ δύο μεγέθη και είναι ασυσχέτιστα. Συμφωνείτε ότι είναι ασυσχέτιστα τα Χ και Ψ. Ότι δεν συσχετίζονται. Δεν συσχετίζονται γραμμικά. Το ασυσχέτιστα λοιπόν έχει μέσα σε μια παρένθεση και τη λέξη γραμμικά. Γιατί αυτός ο συντελεστής συσχέτης μετράει μόνο αν έχουμε αναλογική σχέση, γραμμική σχέση. Εδώ η σχέση πώς είναι. Τι σχέση είναι αυτή. Κάνει μια παραβολή. Η παραβολή πώς δίνεται στην πιο απλή της μορφή. Με ποια εξίσωση. Ψ ίσον Χ τετράγωνο. Αυτό το τετράγωνο είναι που δίνει τιμή γραμμικότητα. Και αργότερα θα δείτε πόσο σημαντικό είναι αυτό. Γιατί δυστυχώς οι σχέσεις που υπάρχουν στη φύση δεν είναι γραμμικές. Απλά εμείς τις απλοποιούμε για να μπορούμε να τις μελετήσουμε πιο εύκολα. Γιατί το να πας να βρεις μια τέτοια σχέση είναι πιο δύσκολο από το να πας να βρεις μια σχέση γραμμής. Ας σας πω ότι υπάρχει μία μη γραμμική σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών. Δεν είναι τόσο εύκολο να την προσδιορίσεις από τα σημεία. Το τελευταίο βέβαια είναι μια τετριμένη περίπτωση όπου η μία μεταβλητή δεν μεταβάλλεται οπότε δεν ορίζεται. Να δούμε τώρα πώς το εκτιμούμε αυτό. Πώς εκτιμούμε λοιπόν το συντελεστή συσχέτησης. Σας επαναλαμβάνω ότι είναι όπως είχαμε τη μέση τη μη και τη διασπορά στον πληθυσμό. Με το μη και το σίγμα τετράγωνο και μετά είχαμε την εκτίμησή τους από το δείγμα. Έτσι είναι και εδώ πέρα ότι έχουμε το ρο που είναι ο συντελεστής συσχέτησης στον πληθυσμό. Δηλαδή η σχέση θεωρητική μεταξύ δύο τυχίων μεταβλητών. Και θέλουμε να δούμε τώρα πώς εκτιμούμε από ένα δείγμα εν ζευγαρωτών παρατηρήσεων. Έχουμε λοιπόν τη δειγματική διασπορά. Να σας θυμίσω ότι το ρο είναι αυτό εδώ. Και θέλω να κάνω την εκτίμηση. Πώς σκέφτεστε να το εκτιμήσετε αυτό αν δεν σας έλεγα τίποτα. Αυτό εδώ μπορώ να το εκτιμήσω. Το σίγμα του χ. Μπορώ να το εκτιμήσω ναι. Πώς. Ποιο τύπο. Έχω τύπο για το σίγμα του χ. Αυτό είναι το θεωρητικό ε. Εγώ τι ξέρω. Τι μπορώ να υπολογίσω. Το S του χ. Τι λέει εκεί πέρα. S του χ τετράγωνο. Έχω λοιπόν το τύπο για τη δειγματική διασπορά. Άρα μπορώ να εκτιμήσω από το δείγμα τη δειγματική διασπορά. Να πάρω τη τετραγωνική ρίζα και αυτό θα είναι το S του χ. Εντάξει. Για αυτό εδώ. Ακριβώς το ίδιο. Έτσι δεν έχει τίποτα. Με τον ίδιο τρόπο. Τι μου μένει τώρα αυτό εδώ. Το σίγμα του χ ψ. Όπως το S του χ τετράγωνο για το S του χ τετράγωνο. Έχω ότι το σίγμα τετράγωνο είναι ε του χ τετράγωνο. Μίον. Ή μπορώ να το κάνω ακόμα πιο απλά. Είναι αυτό εδώ. Αυτή είναι η διασπορά. Ορίζεται έτσι σαν τη μέση τιμή του χ μίον τη μέση τιμή στο τετράγωνο. Αν λοιπόν εδώ πέρα αντί για το τελεστή της μέσης τιμής εγώ πάρω μέσο όρο. Ο μέσος όρος τι λέει. Ο μέσος όρος είναι αυτός εδώ. Μάλιστα εδώ θα έβαζα το εν όχι το εν μιον ένα. Αλλά είπαμε το κάνουμε τη διόρθωση επειδή δεν γνωρίζουμε αυτό το μι. Και εδώ πέρα θα είχα επειδή δεν γνωρίζω το μι βάζω το χ και όλο στο τετράγωνο. Και αυτός είναι ο τύπος που έχουμε εκεί πέρα για τη διασπορά. Για να βρούμε λοιπόν τη διασπορά την εκτίμηση τι κάνουμε. Αντικαθιστούμε το τελεστή του μέσου όρου εδώ πέρα. Το τελεστή της μέσης τιμής με το μέσο όρο. Άρα όταν έχω τώρα ότι το σίγμα του χ ψ είναι το ε. Ότι είναι αυτό εδώ. Στην ουσία η διασπορά τι λέει είναι να πάρω αυτό με τον εαυτό του. Γι' αυτό έχει το τετράγωνο. Ενώ εδώ σου λέει να πάρεις το γινόμενο αυτό το δύο. Όπου είναι η μέση τιμή του χ και η μέση τιμή του ψ. Για να βρω λοιπόν τον τύπο για το ε στο χ ψ σύμφωνα με αυτά που έκανα εδώ τι θα κάνω. Θα πρέπει να αντικαταστήσω τώρα το τελεστή της μέσης τιμής με το μέσο όρο. Κι άρα εδώ πέρα να έχω χ-χ, yi-y. Και έτσι λοιπόν προκύπτει αντίστοιχα ο τύπος για τη διγματική διασπορά. Με τον ίδιο τρόπο λοιπόν μπορούμε να έχουμε τον τύπο για τη διγματική διασπορά. Που εδώ το γράφω στην πιο απλή του μορφή. Και μπορώ μετά να κάνω αντικατάσταση πλέον στα τρία μεγέθη που έχω μέσα εδώ στον τύπο που ορίζουν το συντελεστή συσχέτησης. Και να πάρω την εκτίμηση του συντελεστής συσχέτησης που είναι ο συντελεστής συσχέτησης του πύρσων όπως λέγεται. Και έτσι λοιπόν έχω αυτό το r τώρα που είναι η εκτίμηση του ρ από το δείγμα μου. Και εδώ είναι στην πλήρη του μορφή όπου έχω αντικαταστήσει αυτά τα τρία μεγέθη εδώ πέρα και παίρνω τα θρύσματα. Έχει φύγει από εδώ πέρα το 1-1 που υπάρχει. Λοιπόν ο τύπος λοιπόν υπάρχει στον τυπολόγιο δεν είναι κάτι που πρέπει να το θυμάστε. Αυτός λοιπόν λέγεται και στην τελεστή συσχέτησης του πύρσων. Υπάρχουν και άλλοι και μπορούμε εδώ πέρα να υπολογίσουμε διαστήματα εμπιστοσύνης όπως κάναμε για τη μέση, τη μήκη και τη διασπορά. Δεν θα το κάνουμε εδώ είναι εισαγωγικό το μάθημα δεν θα προχωρήσουμε σε αυτό. Μπορούμε να κάνουμε επίσης έλεγχο για μία τιμή του ρο όπως το ρο ίσον 0 που μας ενδιαφέρει περισσότερο για να δούμε αν δύο μεγέθησης σχετίζονται. Δεν θα το κάνουμε στη συλλειπτομέρειά του γιατί είναι εισαγωγικό το μάθημα. Και υπέρ υπάρχει και μία τιμή ένας δείκτης που λέγεται συντελεστής προσδιορισμού και δεν είναι τίποτα άλλο από το να πάρουμε αυτό το συντελεστή συσχέτησης. Είστε φοβεροί ρε παρακολουθώ τώρα μιλάω εγώ μιλάνε σταματάω εγώ σταματάει μιλάω εγώ μιλάει σταματάω εγώ σταματάει. Το έχετε εκπαιδεύσει αυτό το πράγμα έτσι δεν είναι η πρώτη φορά που το κάνετε λοιπόν. Το R τετράγωνο λοιπόν λέγεται συντελεστής προσδιορισμού και όπως γράφει εκεί...ξεχάστηκες. Όπως γράφει εκεί δηλώνει το ποσοστό μεταβλητότητας που μπορούμε να ερμηνεύσουμε τη μία τυχαία μεταβλητή όταν γνωρίζουμε την άλλη. Αν λοιπόν εγώ έχω ότι ο συντελεστής συσχέτησης μεταξύ του ύψους και του βάρους είναι 0,8 πόσο είναι το R τετράγωνο. 0,8 είναι ο συντελεστής συσχέτησης. Το R τετράγωνο 0,64 πρέπει να είναι. Άρα 64% μπορώ να γνωρίζω για το ύψος ενός ατόμου όταν γνωρίζω ποιο είναι το βάρος του. Αν λοιπόν μου πεις ότι κάποιος έχει ένα βάρος 70 κιλά μπορώ να σου πω πού θα βρίσκεται το ύψος κατά 65%. Το ύψος μπορεί να είναι από το 1,50 μέχρι το 2,10. 1,65% μπορώ να στο δικαιολογήσω εκεί μέσα. Να σου το βάλω σε ένα άλλο παράδειγμα που έχει πιο πολύ σχέση με εσάς. Μήπως και κάνετε λίγο ησυχία μερικοί, μερικοί εκεί πέρα λέω. Θυμάστε το άλλο παράδειγμα που κάναμε στο εργαστήριο. Εάν πω ότι στο εντελεστήριο η σχέση μεταξύ του χρόνου μελέτης και του βαθμού είναι 0,9 το αρτετράγωνο πόσο είναι? 0,81. Δηλαδή περίπου 80%, 81% για την ακρίβεια μπορώ να εξηγήσω από το βαθμό όταν γνωρίζω το χρόνο μελέτης. Δηλαδή αν ξέρω ότι κάποιος μελέτησε κάποιες 6 ώρες τη βδομάδα μπορώ να πω ότι θα πάρει για παράδειγμα μεταξύ 7,9. Δηλαδή κατά 80% μπορώ να το προσδιορίσω, ένα 20% μου μένει που δεν μπορώ να προσδιορίσω. Αυτό λοιπόν μου λέει το αρτετράγωνο, ο βαθμός μπορεί να είναι οπουδήποτε μεταξύ του 0 και του 10, αλλά ένα 80% μπορώ να το προσδιορίσω, ένα 20% μου μένει που δεν μπορώ να προσδιορίσω. Αλλά όσο πιο μεγάλο είναι το αρ, τόσο πιο μεγάλο είναι το αρτετράγωνο και τόσο πιο πολύ μπορούμε να προσδιορίσουμε που βρίσκεται μια τυχαία μεταβλητή όταν γνωρίζουμε την άλλη. Παράδειγμα, με μπλε γράμματα... Καλά σταμάτα καλέ, πώς θέλεις να το πω, κάθισε εδώ μπροστά μου και μιλάς όλη την ώρα, γελάει η Άννη. Άιντε, έχετε ξεφύγες εσείς ε. Θέλουμε να εκτινήσουμε λέει τη συσχέτηση με μπλε γράμματα, της αντοχής συμπίεσης με μπλε γράμματα και αντοχής κάμψης με μπλε γράμματα. Άρα αυτά τα μπλε γράμματα είναι λέξη κλειδιά. Η αντοχή συμπίεσης κυροδέματος και η αντοχή κάμψης κυροδέματος είναι οι δύο τυχές μεταβλητές, ταχύ και ψη. Και η συσχέτηση είναι αυτό που με ενδιαφέρει. Δείγμα 20 δοκιμίων κυροδέματος. Αυτά εδώ. Τι λέτε έτσι που τα κοιτάτε, υπάρχει συσχέτηση? Δύσκολο να πούμε. Πάντως φαίνεται μάλιστα τις πρώτες τυχές μεταβλητής εκεί που είναι η αντοχή συμπίεσης, οι τιμές είναι σε αύξησα σειρά. Αν κοιτάξουμε τώρα και τις τιμές του ψη φαίνεται και αυτές να τύνουν να αυξάνουμε το χ. Άρα φαίνεται να υπάρχει κάποια σχέση. Για να το δούμε όμως καλύτερα τι κάνουμε. Το διάγραμμα διασποράς. Άρα κάνουμε το διάγραμμα διασποράς. Και βλέπουμε ότι είμαστε σε μια περίπτωση που έχουμε μια σχέση θετική. Όσο αυξάνει το χ αυξάνει και το ψη. Άρα μιλάμε για θετική. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι είναι μια γραμμική σχέση εδώ πέρα. Κάποιος θα μπορούσε να πει ότι δεν είναι γραμμική και είναι ξέρω εγώ κάποια άλλη. Να βάλει μια άλλη γραμμή. Ξέρω εγώ να πηγαίνει κάπως έτσι και μετά από εδώ και μετά επάνω. Θα μπορούσε κάποιος να πει διάφορα πράγματα. Αλλά για να το σκεφτούμε λίγο αυτό. Αν εδώ έχω ένα, δύο, τρία, τέσσερα σημεία μόνο. Τι σχέση μπορείτε να βρείτε. Εγώ λέω ότι μπορώ να είναι μια γραμμική σχέση. Κάποιος όμως μπορεί να πει να είναι μια σχέση που να πηγαίνει κάπως έτσι. Σωστά. Που μπορεί να είναι καλύτερη περιγραφή γιατί περνάει πιο κοντά από τα σημεία. Άρα να πει ότι είναι μια μη γραμμική σχέση. Αλλά με τέσσερα σημεία μπορείς εύκολα να προσδιορίσεις μια τέτοια σχέση. Θα το δούμε αργότερα που θα δούμε για τα μοντέλα πως θα τραβήξουμε μια τέτοια γραμμή. Αλλά γενικά όταν έχουμε λίγα σημεία περιοριζόμαστε σε πιο απλές σχέσεις. Εδώ λοιπόν μένει να πούμε ότι είναι γραμμική δηλαδή είναι δύσκολο να πάμε να δούμε κάτι πιο πολύπλοκο εδώ πέρα. Άρα μιλάμε για μια γραμμική σχέση θετική. Θα λέγατε ότι είναι ισχυρή. Θα λέγατε ότι είναι ισχυρή αυτή η σχέση. Όχι έτσι γιατί είναι αρκετά σκόρπια τα σημεία. Δεν είναι πολύ κοντά σε μια ευθεία. Τα σχόλιά μας εδώ θα ήταν ότι είναι μια θετική γραμμική σχέση αλλά όχι τόσο ισχυρή. Πώς γίνεται ο υπολογισμός τώρα. Παίρνουμε τον τύπο, ο τύπος χρειάζεται αυτούς τους πέντε αριθμούς. Δηλαδή τους μέσους όρους του χ και ψ, τα αθρίσματα τετραγώνων του χ και ψ και το άθρισμα των γινωμένων του χ και ψ. Υπολογίζουμε αυτούς τους πέντε αριθμούς, τους βάζουμε στον τύπο και βρίσκουμε το συντελεστή σχέτηση 0,81 περίπου. Αυτό λοιπόν μας επιβεβαιώνει ότι έχουμε μια γραμμική θετική σχέση αλλά όχι ισχυρή. Τώρα το ποσοστό μεταβλητότητας στο R τετράγωνο είναι 0,65. Αυτό λοιπόν μου λέει ότι αν γνωρίζω εγώ την αντοχή συμπίεσης μπορώ να προσδιορίσω την αντοχή κάμψης κατά 65%. Μου μένει 1,35% που δεν μπορώ να το προσδιορίσω. Και εδώ πέρα είναι τέσσερα θέματα που αναφέρονται όλα στη συσχέτηση. Το πρώτο θέμα είναι για τον συντελεστή σχέτηση σπίρσεων που είπαμε πριν. Όπου εδώ πέρα μιλάμε για την έλεγχο σημαντικότητας δηλαδή πότε αυτό μπορεί να είναι 0. Είναι αυτός ο έλεγχος που σας ανέφερα το ρο ήσον 0. Το οποίο μπορεί κάποιος να το παρουσιάσει και να μας δώσει κάποιο παράδειγμα. Το 14 και 15 είναι για δύο άλλους συντελεστές συσχέτησης που είναι του σπίρμαν και του κένταλ που κάνουν κάτι διαφορετικό. Απλά θέλω να σας προσδιορίσω ότι δεν υπάρχει μόνο ένας τρόπος για να μετρήσουμε τη συσχέτηση. Το 14, 15 και 16 μας δίνουν τρεις άλλους τρόπους. Οι δύο είναι για το σπίρμαν και το κένταλ όπου βλέπετε όλα είναι να παρουσιαστούν ιδιότητες και παραδείγματα. Και τελευταίο είναι ένα για μη γραμμικό μέτρο συσχέτησης όπως λέει εδώ πέρα όπου μπορούμε να δούμε σχέση όπως αυτής της παραβολής. Και να μπορούμε να τη διακρίνουμε ενώ με τα άλλα μέτρα δεν μπορούν. Του σπίρμαν και του κένταλ απαιτούν να είναι μονότονη η σχέση. Μπορεί να μην είναι γραμμική αλλά να είναι μονότονη. Ενώ αυτή είναι η γενικότερη περίπτωση. Αυτά λοιπόν είναι τα θέματα που μπορεί κάποιος να επιλέξει για να παρουσιάσει. Λοιπόν ας ξεκινήσουμε με ένα παράδειγμα και μετά να περάσουμε εδώ πέρα. Θα πάω λοιπόν στο παράδειγμα που είχαμε από το εργαστήριο που κάναμε. Όπου αν θυμάστε είχαμε το χρόνο μελέτης. Εδώ λοιπόν είναι ο χρόνος μελέτης. Ο χρόνος δηλαδή που αφιερώνει ένας φοιτητής για ένα μάθημα αλλά τον βάζουμε ως μέσο όρο ορών αναβδομάδα. Μέσο όρο δηλαδή του χρόνου μελέτη αναβδομάδα. Και εδώ έχουμε το βαθμό που παίρνει στο μάθημα. Άρα αυτή είναι η μεταβλητή χ εδώ πέρα και αυτή είναι η μεταβλητή ψ. Πέρα πλέον λοιπόν είμαστε σε μια περίπτωση όπου δεν μας ενδιαφέρει μόνο να δούμε αν υπάρχει συσχέτηση που όπως είπαμε είναι μια συμμετρική σχέση είτε επίσης συσχετίζεται το χ με το ψ είτε επίσης συσχετίζεται το ψ με το χ είναι το ίδιο πράγμα. Αλλά με σε ενδιαφέρει να δούμε αν μπορούμε να προσδιορίσουμε το βαθμό από το χρόνο μελέτης. Άρα εδώ πέρα είμαστε στην περίπτωση που έχουμε μία μεταβλητή που παίζει ένα συγκεκριμένο ρόλο και είναι η εξαρτημένη μεταβλητή και η άλλη που είναι η ανεξάρτητη. Σε αυτή που το λέμε τώρα παλινδρώμηση λοιπόν όχι συσχέτηση μας ενδιαφέρει η εξάρτηση της μίας τυχαίας μεταβλητής από κάποια άλλη. Η εξαρτημένη μεταβλητή είναι τυχαία, η ανεξάρτητη μπορεί να είναι καθορισμένη. Στο παράδειγμα αυτό που λέει διατημητική αντοχή αργύλου σε διάφορα βάθη, εδώ είναι προφανές ότι το χ είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι το βάθος, το ψ είναι η διατημητική αντοχή. Στο παράδειγμα τώρα εδώ, και να κλείσω λίγο από εδώ γιατί κάνει θόρυβο, λοιπόν ο χρόνος μελέτησης είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή και αυτή μπορεί να είναι καθορισμένη. Μπορεί δηλαδή εγώ να πάω και να ορίσω για κάποιες συγκεκριμένες τιμές, για κάποιον που αφιερώνει χρόνο μελέτησης 0, κάποιος λοιπόν που δεν μελέτησε καθόλου, τι βαθμό θα πάρει αυτός, 1, εδώ είναι το 5, εδώ είναι το 10, εδώ είναι το 1, το 2, το 3 και το 4. Άρα αυτός θα πάρει 1. Μπορούμε αυτός να τους βγάλουμε και απ' έξω. Είναι καθορισμένη η ανεξάρτητη μεταβλητή μεταβλητή, η ανεξάρτητη μεταβλητή, η ανεξάρτητη μεταβλητή, μπορούμε αυτούς να τους βγάλουμε και απ' έξω. Είναι αυτοί που συνήθως έρχονται στις εξετάσεις, δεν τα ξέρετε εσείς, γιατί πρώτη φορά θα δώσετε, ξέρετε, τώρα έρχονται στις εξετάσεις, μερικοί έρχονται, ας πούμε, να διαβάζουν τα θέματα, μετά που γράφουν και το όνομά τους, γιατί πρέπει να το γράψεις σε μια κατάσταση, το ονομάζεις με την υπογραφή σας για να δηλώσετε ότι ήρθατε και να δώσετε εξετάσεις και μετά φέρουν μια κόλλα αλευκή και φεύγουν. Είναι αυτοί που καταναλόγουν χαρτί, απλά, δεν κάνουν τίποτα άλλο, έρχονται να δουν τα θέματα, το έχετε ακούσει αυτό, πού θα πας στις εξετάσεις, να γράψεις, όχι να πας να δω τα θέματα. Βολτίτσα δηλαδή, στις εξετάσεις, υπάρχει αυτό, ας τους αφήσουμε απ' έξω. Ας πάμε λοιπόν σε αυτούς που αφιερώνουν μία ώρα την εβδομάδα, είναι κάτι παιδιά που έρχονται εδώ πέρα, παρακολουθούν την πρώτη ώρα, περισσότερο, δεν έρχονται ακριβώς για να παρακολουθήσουν, να ψαρέψουν κανένα να πάει να πιούν καφέ μετά, λοιπόν είναι ο Κώστας στο μάθημα, άρα θα έρθω και εγώ την πρώτη ώρα, Κώστα θα πάμε για καφέ στην δεύτερη ώρα, Κώστα θα πάμε για καφέ στην δεύτερη ώρα, παίρνουν τον Κώστα μετά στην δεύτερη ώρα και πάει για καφέ. Αυτοί λοιπόν είναι που αφιερώνουν μία ώρα στο μάθημα, βέβαια και αυτοί δεν αφιερώνουν ακριβώς μία ώρα γιατί είναι μόνο η φυσική παρουσία, πνευματικά δεν έχουν, έχουμε αυτούς που αφιερώνουν δύο ώρες που είναι αυτοί που κάθονται την πρώτη ώρα, αντέχουν και την δεύτερη και την τρίτη, λέτε τον Κουγιουντζή δεν τον μπορώ άλλο, εγώ φεύγω λοιπόν, που κάνουν δύο ώρες την εβδομάδα, έχουμε αυτούς που αφιερώνουν τρεις ώρες την εβδομάδα που είναι τα παιδιά τα καλά που έρχονται εδώ, υπομένουν ένα τρίωρο τον Κουγιουντζή στο μάθημα και τα λοιπά, αλλά αυτό, από εκεί πέρα δεν κάνουν τίποτα άλλο. Βγαίνουν μετά το τρίωρο στις 12 η ώρα και λέει εγώ την στατιστική την έχω πετάξει, την ξέρω, δεν χρειάζεται να διαβάσω για τις εξετάσεις, τίποτα, θα πάω να δώσω. Έχουν αυτούς που αφιερώνουν τέσσερις ώρες οι οποίοι έρχονται το Σαββατοκύριακο και λέει εκείνη τη στατιστική για να κάνω ένα ξεφίλησμα μια ωρίτσα. Και αφού κάνουν και το ξεφίλησμα μια ωρίτσα λένε είμαι ευχαριστημένος, στις εξετάσεις δεν χρειάζεται άλλο να προετοιμαστώ και πάνε και δίνουν εξετάσεις. Έχουμε αυτούς λοιπόν που αφιερώνουν πέντε ώρες που εκτός από το ξεφίλησμα το τρίωρο που παρακολουθούνε κάθονται και ένα δωδεκάωρο πριν τις εξετάσεις και διαβάζουν οπότε συμπληρώνουν πέντε ώρες. Που λέγαμε ότι κάνουν τρεις μέρες πριν τις εξετάσεις από οκτώ ώρες την κάθε μέρα τρεις οκτώ εικοστέσσερις δηλαδή τρεις ώρες παρακολούθηση ξεφίλησμα Σαββατοκύριακο και δύο ώρες αναβδομάδα πριν τις εξετάσεις. Παρακολουθούν κάθονται το Σαββατοκύριακο τρώνε και τριάντα έξι ώρες πριν τις εξετάσεις διαβάζουν έχουμε αυτούς που αφιερώνουν οκτώ ώρες που παρακολουθούν κάθονται το Σαββατοκύριακο δύο τρεις ώρες εκεί τα πετάνε πάλι τα μαθαίνουν κάθονται καμιά τριανταριό ώρες πριν τις εξετάσεις. Έχουμε λοιπόν αυτούς που αφιερώνουν αυτές τις ώρες το μάθημα και πάμε τώρα στο βαθμό. Έχουμε λοιπόν αυτοί που αφιερώσαν μια ώρα στο μάθημα που ενδεχομένως έχουν μια κατανομή που πηγαίνει κάπως έτσι. Καταλαβαίνετε αυτό που έκανα τώρα είναι η κατανομή του βαθμού που σημαίνει ότι οι περισσότεροι παίρνουν μονάδα και κάποιοι λίγοι παίρνουν ενάμιση δύο κτλ. Έχουμε αυτούς που αφιερώνουν δύο ώρες το μάθημα που ο βαθμός πηγαίνει κάπως έτσι. Είναι η κατανομή του βαθμού για αυτούς που αφιερώνουν δύο ώρες. Αυτοί που αφιερώνουν τέσσερις ώρες το μάθημα που είναι κάπως έτσι. Αυτοί που αφιερώνουν πέντε ώρες το μάθημα που είναι κάπως έτσι η κατανομή. Αυτοί που αφιερώνουν έξι ώρες το μάθημα πηγαίνει κάπως έτσι. Με εφτά ώρες είμαστε κάπου εδώ. Το οκτάρω αρχίζει και συγκεντρώνεται εδώ πέρα κτλ κτλ. Σας άρεσε παιδιά το μοντελάκι έτσι όπως το έκανα. Πώς σας φαίνεται καλό. Πού βλέπετε το νέα αυτούλι σας. Κατά εδώ ή κάτω εδώ. Κατά εδώ είμαστε καλά είστε. Κατά εδώ δεν σας βλέπω και πολύ καλά. Λοιπόν τώρα εμείς τι θέλουμε να κάνουμε εδώ πέρα. Αυτό που ιδανικά θα θέλαμε να βρούμε είναι αν πραγματικά μπορούμε να κάνουμε κάτι τέτοιο. Δηλαδή για κάθε χρόνο μελέτης χει να μπορώ εγώ να βρίσκω την κατανομή του βαθμού. Άρα εγώ τι θέλω ιδανικά να βρω. Την κατανομή του βαθμού όχι γενικά αλλά για κάθε χρόνο μελέτης. Πώς θα το γράψω αυτό. Όταν μου δίνεται μια συγκεκριμένη τιμή για το χει. Μπορείτε να το διαβάσετε αυτό. Είναι η κατανομή του ψ υποσυνθήκη δεσμευμένη κατανομή όταν το χει παίρνει μια τιμή. Αυτό θέλω. Εάν τώρα εγώ πάρω ένα δείγμα από 20 άτομα και λέω έχω αυτές τις τιμές. Ενδεχομένως να έχω και κάποιες άλλες εδώ πέρα. Κάποιες που αφιέρω σε δυόμιση ώρες κτλ. Έχω κάποιες τιμές. Αυτά τα σταυροδάκια που βάζω εδώ πέρα είναι για κάποιες τιμές που έχω. Με αυτές τις 20, 30, 40 όσες τιμές έχω μπορώ εγώ να πάω να βρω αυτή την κατανομή. Αδύνατο. Δηλαδή για κάθε χει που θα μου δίνεσαι σου βρίσκω την κατανομή. Αυτό λοιπόν είναι ένα πρόβλημα που δεν μπορώ να το αντιμετωπίσω. Πώς μπορώ να το απλοποιήσω όπως λέγαμε ότι παίρνουμε μια τυχαία μεταβλητή το ύψος και λέγαμε να βρούμε την κατανομή του ύψους και δεν μπορούσαμε. Πήγαμε μετά και επικεντρωθήκαμε σε κάποια χαρακτηριστικά της κατανομής. Ποιο ήταν το βασικό χαρακτηριστικό μιας κατανομής που επικεντρωθήκαμε πρώτα. Θυμάστε. Γελάει και ο Κώστας από εκεί. Ποιο ήταν το βασικό χαρακτηριστικό μιας κατανομής. Μέση τιμή. Μέση τιμή. Το πρώτο που μας κοιτάμε είναι μεση τιμή το κέντρο. Άρα εδώ τώρα αφού δεν μπορώ να πάω στην κατανομή να πάω σε αυτό το χαρακτηριστικό που είναι η μέση τιμή του ψ. Όταν το χ ίσον χ. Και να δω μπορώ να το προσδιορίσω αυτό. Μέση τιμή τι είναι. Να πάρω τη μέση τιμή εδώ, τη μέση τιμή εδώ, τη μέση τιμή εδώ και τα λοιπά. Και να δω εάν μπορώ τη μέση τιμή του ψ να την προσδιορίσω. Να την προσδιορίσω ως προστή. Για κάθε χ που μου δίνεται. Ένας τρόπος να την προσδιορίσω είναι να πω ότι η μέση τιμή του ψ όταν το χ ίσον χ είναι α. Είναι πάντα ίδια. Ανεξάρτητα από το χ. Θα θέλατε κάτι τέτοιο. Αυτό τι σημαίνει. Για οποιοδήποτε χ βάλω η μέση τιμή είναι εδώ. Η βαθμή θα παίζουν γύρω από μια μέση τιμή. Θα θέλατε κάτι τέτοιο. Γιατί σημαίνει είτε έχεις διαβάσει είτε έχεις αφιερώσει 1 ώρα είτε 10 ώρες. Κάπου γύρω από μια μέση τιμή θα παίζει. Βέβαια ίσως να θέλατε αν η μέση τιμή ήταν εδώ πάνω. Άμα την βάζαμε εδώ κάτω όμως δεν νομίζω να σας άρεσε και πολύ. Είναι αυτή η βαθμολογία ξέρετε που παίρνει στα γραφτά. Ξέρετε αυτό. Παίρνει στα γραφτά πάνω από το τραπέζι κάνεις ένα γιαγμα και λες όσα είναι πάνω περνάνε όσα πέσουν κάτω κόβονται. Αυτό το λέγανε παλιά ότι το κάνανε κάποιοι καθηγητές. Δεν θα θέλατε κάτι τέτοιο. Να πάμε λίγο να το προσδιορίσουμε ως προστοχή. Τι να βάλουμε άλλο εδώ. Όχι να είναι ένα α δηλαδή η μέση τιμή να βρίσκεται σε ένα οριζόντιο επίπεδο. Πώς να εξαρκείται από το χ. Η διασπορά είναι το πόσο θα παίζουν οι τιμές γύρω από το χ. Αλλά λέω η μέση τιμή που θα βρίσκεται. Να μην την βάλω να είναι ένας σταθερός αριθμός αλλά να αλλάζει με το χ. Πώς να αλλάζει. Γραμμικά. Δηλαδή να βάλω και ένα. Δηλαδή μια γραμμή. Και να υποθέσω ότι η μέση τιμή του βαθμού εξαρτάται από το χρόνο μελέτης γραμμικά. Δηλαδή είναι από μια τέτοια σχέση. Αυτό είναι που λέμε γραμμική πανεδρόμηση. Αυτό λοιπόν είναι το πρόβλημα που θέλω να αντιμετωπίσω. Και τώρα θα έρθω να ρωτήσω πώς μπορώ να την βρω μετά αυτή τη σχέση. Πώς μπορώ να την προσδιορίσω αυτό το μοντέλο. Αν γυρίσουμε τώρα εδώ λοιπόν. Γενικά λοιπόν θέλουμε να βρούμε όλη την κατανομή. Περιοριζόμαστε τη μέση τιμή. Υποθέτουμε γραμμική εξάρτηση. Και έχουμε αυτό το πρόβλημα της απλής γραμμικής πανεδρόμησης. Και το λέω απλή εδώ πέρα δεν το γράφω. Αλλά είναι απλή γραμμική πανεδρόμηση. Γιατί εξαρτάται μόνο από το χ. Θα μπορούσα εδώ πέρα να βάλω και άλλες τιμές μέσα. Να δεσμεύσω δηλαδή το βαθμό έως όχι μόνο το χρόνο με έτσι να βάλω και άλλο. Τι άλλο θα μπορούσατε να βάλετε. Άλλοι παράγοντες που επηρεάζουν το βαθμό στο μάθημα. Καθηγητής είναι τι. Τι να βάλεις σε. Καθηγητής επηρεάζει. Πώς θα το βάζεις μέσα. Αυτό είναι δύσκολο πρόβλημα που λες τώρα. Για σκεφτείτε το λίγο. Πες ότι σε ένα μάθημα μπορείς να έχεις δύο καθηγητές. Πώς θα το βάλεις εκεί πέρα. Αυτό. Σαν όρο. Γίνεται. Αυτό είναι πολύ πλοκό πρόβλημα γιατί αυτή η μεταβλητή που βάλαμε ηχοί είναι ποσοτική. Μετράμε τον χρόνο μελέτησης. Αριθμούς. Είναι αριθμητική. Μπορεί να ρυθμί εκεί κάτω. Αν βάλεις τον καθηγητή τι. Μπορείς να βάλεις ένα δίκτυ να βάλεις μηδεν ένα. Αλλά αυτό είναι λίγο πέρα από αυτά που έχουμε εδώ πέρα να κάνουμε. Άλλο. Άλλος παράγοντας. Τον καθηγητή μόνο βρήκατε εσείς, έτσι. Το άγχος. Το άγχος. Ναι. Ένας δίκτυς άγχου. Σας περνάμε από την αίθουσα να το πάρετε να το εξετάσεις. Με ένα μετρητή. Τι δίκτυ άγχος έχεις εσύ και να δούμε αν τύχει. Ναι. Δυσκολία των θεμάτων. Ναι. Ο χρόνος που είναι. Είναι το πρωί, το μεσημέρι, το βράδυ. Πόση διάρκεια. Πόση διάρκεια. Ναι. Αλλά η διάρκεια έχει να κάνει και με τα θέματα. Οπότε μπαίνει στη δυσκολία των θεμάτων. Γιατί μπορώ να σε αφήσω πέντε ώρες και θα σας δώσω ένα κατεβατό από θέματα. Οπότε να μην είναι πρώτα. Α, επίσης για το χρόνο των θεμάτων μια μικρή παρένθεση. Πολλοί διαμαρτύρουν ότι δεν τους φτάνει ο χρόνος. Αυτό που... Υπάρχει κάτι που λέγεται διαχείριση χρόνους εξετάσεις, έτσι. Ότι ξεκινάμε τα θέματα που τα ξέρουμε, γράφουμε, δεν κολλάμε σε ένα θέμα και τα λοιπά. Αυτά τα ξέρετε και από τις πανελλαδικές που δώσατε νομίζω, ε. Υπάρχουν και άλλα θέματα, δεν χρειάζεται να τα συζητήσουμε εδώ πέρα. Εδώ τώρα. Έχω πάρει λοιπόν το δείγμα μου. Ε, είναι αυτές οι ζευγαρωτές παρατηρήσεις. Χρόνος, μελέτης και βαθμός για κάθε έναν από τους εν φοιτητές. Το έχω βάλει εδώ πέρα και εδώ έχω βάλει και τρεις γραμμές και αρχίζω και το τραβάω γραμμές. Και λέω ποια γραμμή τελικά να πάρω. Γιατί εγώ δεν γνωρίζω ποια είναι αυτή η εξίσωση, ποια είναι αυτά τα α και τα β, δεν τα γνωρίζω. Κάνω μια υπόθεση και λέω, α, υποθέτω ότι ο βαθμός, ο μέσος βαθμός, η μέση τιμή δηλαδή, αλλάζει γραμμικά ως προστοχή. Άρα υποθέτω μια τέτοια σχέση. Πώς θα μπορέσω να την προσδιορίσω όταν μου δίνεται ένα δείγμα από εν φοιτητές, μου δίνοντας αυτά τα σταυρουδάκια εδώ πέρα. Ποια γραμμή να πάω να τραβήξω, πώς θα την τραβούσα την γραμμή εσείς. Αν έχω τρεις τιμές του ψη, μπορούμε να το τραβούμε. Πόσα τραβήξεις την γραμμή εδώ. Αυτό είναι προφανές, έτσι. Αν σου δώσω μια ακόμα. Εδώ έχουμε πολλές, πολλά σημεία, έχουμε εν σημεία. Πώς θα τραβήξουμε την γραμμή. Αν ακυρώσεις θα βγαίνει περίπου συμμετρικά. Αν ακυρώσεις θα βγαίνει περίπου συμμετρικά. Ακυρώσεις, δηλαδή θα βγάλεις έξω από το δείγμα. Αν ανερεί το άλλο. Τι σημαίνει συμμετρικά ως προς τι. Ποια είναι η ευθεία. Αυτό λέω, ποια ευθεία θα τραβήξω όμως. Αν τραβήξω την ευθεία, μπορώ να μιλάω για συμμετρία γύρω από την ευθεία. Αλλά πρέπει πρώτα να τραβήξω μια ευθεία. Καμιά ιδέα. Βρε Κώστα, λέμε μία σχέση υπάρχει και θέλω να προσδιορίσω. Θέλω να την προσδιορίσω με δύο ευθείες. Μια ευθεία. Ναι, το παλιγάρι. Να βρούμε την ευθεία που θα συνδυάει την απόσταση. Περισσότερη απόσταση. Μικρότερη απόσταση. Πώς την προσδιορείς την απόσταση. Κάθετη. Δηλαδή, αν πάρω ένα σημείο εδώ, την κάθετη απόσταση είναι την ευθεία. Την κάθετη απόσταση είναι την ευθεία λοιπόν. Ένα κριτήριο. Άλλο. Αυτή συνήθως είναι η πρόταση που ακούω πρώτα. Να τραβήξουμε την μια ευθεία γεωμετρικά κατά κάποιο τρόπο. Είναι η προσέγγιση του αρχιτέκτον αυτοί. Οι αρχιτέκτονες ας πούμε δεν ακάθονται να κάνουν υπολογισμούς. Πώς θα την τραβήξω. Να έχει μισά από πάνω, μισά από κάτω. Αυτό μπορεί να είναι ένας τρόπος, εάν θα έβαζα ως κριτήριο με καθόλου πράξεις. Γιατί αυτό που είπε ο Γιώργος, έχει πράξεις. Αν όμως έλεγα να βρω μια ευθεία χωρίς να κάνω καθόλου πράξεις, θα ήτανε η πρόταση της Μάγδας. Ναι, άλλη πρόταση. Ε, μήπως πρέπει να πηγαίνει ότι έρχεται από το χέρι το κατανομί. Δεν τη ξέρω την κατανομή, εγώ έχω μόνο τα σταυρουδάκια, ή μόνο εκείνες τις τελίτσες, τους ανοιχτούς κύκλους εκεί πέρα. Αυτό που έβαλα με την κατανομή, ήταν το θεωρητικό. Το τι μπορεί να είναι από πίσω. Αλλά εγώ έχω ένα δείγμα, από εν παρατηρήσεις, ζευγαρωτές. Πώς πρέπει το τέτοιο σταυρουδάκι να έρθει από πάνω. Αυτό που είπε η Μάγδα, δηλαδή να αφήνει τα μισά από πάνω, τα μισά από κάτω. Δεν είναι κακή ιδέα, αλλά μένει στο γραφικό, στο γεωμετρικό, μόνο να πάω να κάνω μια χάραξη. Αυτό που είπε ο Γιώργος είναι υπολογιστικό, γιατί λέει να πάρω την ευθεία που... Τι είχες πει, ότι κάνει αυτές τις αποστάσεις σε όλων των σημείων από την ευθεία της κάθετες, να είναι το άθλησμά τους, να είναι το μικρότερο, έτσι, ναι. Δηλαδή να βράσουμε την αφήνει τα πόρτες από ποια στιγμή. Δεν την έχουμε, αλλά είναι το κριτήριό μας για να την βρούμε. Δηλαδή, να πάω να τραβήξω την ευθεία με τέτοιο τρόπο, που να επιλέξω εκείνη την ευθεία, όπου όλες αυτές οι αποστάσεις, οι κάθετες των σημείων, αθρίζονται στο μικρότερο αριθμό. Είναι το κριτήριο που βάζω, για να την βρω. Ναι. Ναι, αυτό που λες τώρα, ίσως είναι χρήσιμο, αλλά ίσως είναι λίγο παραπλανητικό αυτό που σας κάνω, δηλαδή πήρα πολλές τιμές για κάθε χ. Αυτή είναι μια εξειδικευμένη περίπτωση. Θα μπορούσα να ήταν κάτι τέτοιο, που δεν έχω πολλές τιμές για κάθε χ. Θα μπορούσα δηλαδή να έχω τους χρόνους να διαφέρουν εδώ πέρα. Έτσι, ώστε τα σταυροδάκια τα μην ανήκουν σε κάποιο χ. Οπότε αυτό δεν θα ίσχει, που λες. Δεν είναι γενικό λοιπόν. Άλλο, ναι. Να πάρω αναζεύγει τέτοια σημεία. Ναι, αλλά αν έχω, για παράδειγμα εδώ πέρα, αν έχω αυτό το σημείο και αυτό το σημείο, να πάρω και αυτήν εδώ την ευθεία, όταν τα περισσότερα είναι έτσι. Να πάρω αυτήν την πιο ευθύνη. Πώς ξέρεις ποια κατεύθυνση που ψάχνεις. Ναι, βέβαια προσπαθώ λίγο να είμαι κριτικός. Μέχρι τώρα εγώ τουλάχιστον χρατάω δύο προτάσεις. Η μία που λέει να πάρουμε εκείνη την ευθεία που παίρνει αυτές τις αποστάσεις, το σημείο της κάθετες και βρίσκει εκείνη την ευθεία που το άθρισμά τους είναι μικρότερο και η άλλη που είναι η εμπειρική να τραβήξω μία ευθεία που να έχει μισά επάνω μισά κάτω σημεία. Κάθετες αποστάσεις. Άλλη πρόταση κάθετες αποστάσεις. Αντίγια κάθετες. Ναι. Οριζόδιες αποστάσεις. Οριζόδιες. Οριζόδιες. Αυτή είναι η κάθετη απόσταση. Πιένει πάνω. Όχι, έχω ένα σημείο. Ως προς την ευθεία μπορώ να τραβήξω την κάθετη απόσταση, αλλά αφού έχω το καρτεσιανό σύστημα συνδεταγμένο μπορώ να έχω και μία άλλη απόσταση. Που είναι αυτή η απόσταση, κατακόρυφη. Δεν μπορώ να χρησιμοποιήσω και την κατακόρυφη αντί για την κάθετη. Αυτό είναι άλλο κριτήριο με την κατακόρυφη απόσταση. Το άρμο δίνει μία συσχέτηση μόνο. Δεν με βοηθάει εδώ. Ξέρω περίπου τι σχέση έχουμε, αλλά αφού είναι περίπου μεταλλογητική. Δεν μπορεί το άρμο να είναι αυθεντικό και εγώ να βάλω και τα ψάχνω τέτοια συσκευή. Αυτή εδώ μπορώ να κάνω μία κλήση που να είναι λίγο λιγότερη αντί να είναι θετική. Θα την πάρεις και τι θα βάλεις με αυτό. Θα πάρεις όλες αυτές ευθείες και θα πάρεις το μέσο όρο των κλήσεων. Είναι και αυτό μία αντίδυο, δεν το έχω δουλέψει, δεν το έχω δει πουθενά. Μπορεί να σου δείξει. Ναι, σου δείχνει την κλήση. Είναι κάστρο να μπορείς το χ. Ποιο? Είναι κάστρο να μπορείς το χ και μπορούμε να βρουμε και έναν τέτοιο άρμο. Ναι, αλλά η διασπορά δεν σου βγάζει κάτι. Μια μεστητή. Όχι, δεν μπορείς να το βρεις αυτό. Εδώ τώρα έτυχε, αυτό έλεγα και στο άλλο το παιδί τον Κώστα, ότι βάλαμε τα σταυροδάκια να είναι για κάθε τιμή του χ. Μπορούσε να μην έχω βάλει έτσι, να έχω βάλει διαφορετικές τιμές του χ εδώ πέρα και να δυστυχούν διαφορετικά ψ. Δεν είναι, ας πούμε, εκεί πέρα σε εκείνο το σχήμα, δεν έχεις πολλές τιμές για κάθε χ. Λοιπόν, το κρατάμε αυτό. Το πρόβλημα λοιπόν είναι να βρούμε ένα σταθερό όρο και να συντελεστεί το χ. Θέλουμε να προσδιορίσουμε αυτά. Δηλαδή, για κάθε πραγματική τιμή ψi και χi που έχω, για κάθε ζεύγος, αυτά δεν θα είναι πάνω στην ευθεία α'συβχ που υποθέτω. Θα υπάρχει μια απόκλειση, αυτό το ψi είναι η απόκλειση που λέγεται το σφάλμα πανεδρόμησης. Το ρώτημα τώρα λοιπόν είναι να βρω την καλύτερη ευθεία και αυτό θα πρέπει να το κάνω βρίσκοντας στα α και β. Υπάρχουν και κάποιες συνθήκες εδώ που τους περνάω λίγο γρήγορα. Το πρώτο είναι το χ, δεν χρειάζεται να είναι τυχαία μεταβλητή, αλλά να την καθορίζω εγώ. Δηλαδή να επιλέγω εγώ ποιους χρόνους μελέτης θα βάλω εκεί. Το άλλο είναι που κάνω την υπόθεση ότι είναι γραμμική. Και εδώ υπάρχει μια ακόμα υπόθεση που μπορώ να βάλω που λέει ότι έχω ομοσκεδαστικότητα. Δηλαδή η διασπορά της ψi δεν μεταβάλλεται με τυχή. Ας πούμε σε αυτή την περίπτωση εδώ πέρα, έτσι όπως το έχω γράψει το πρόβλημα, δεν έχω ομοσκεδαστικότητα. Ομοσκεδαστικότητα μου λέει ότι για κάθε χ η διασπορά είναι ίδια. Εδώ ας πούμε δεν είναι ίδια. Εδώ είναι στενή η κατανομή, έχει μικρή διασπορά, εδώ ανοίγει, ανοίγει παραπάνω και εδώ στενεύει πάλι. Άρα δεν έχω κάτι τέτοιο. Συνήθως όμως τα προβλήματα παλινδρόμησης που έχουμε, θεωρούμε ότι έχουμε ομοσκεδαστικότητα και αυτό μας βοηθάει στο να βρούμε μετά κάποιες κατανομές. Καρασοκάκου. Ναι. Αυτό που προσπάθησα εδώ πέρα με τις ερωτήσεις που έκανα και τις απαντήσεις μάλλον που πήρα, είναι ότι τελικά δεν υπάρχει μία μοναδική λύση. Δεν υπάρχει μία ευθεία να εκτιμήσουμε. Βάζουμε κάποιο κριτήριο. Είναι το κριτήριο να το κάνουμε με τον πιο εύκολο γραφικό τρόπο, είναι αυτό που είπε η Μάγδα, μισά σημεία πάνω, μισά κάτω. Κάποιος μπορεί να πει να πάρουμε την κάθετη απόσταση, που είπε ο Γιώργος, άλλο κριτήριο. Κάποιος να πει να πάρουμε την κατακόρυφη απόσταση, άλλο κριτήριο. Ποιο θα χρησιμοποιήσουμε εδώ? Εμείς θα πάμε να πάρουμε αυτό το κριτήριο. Αυτό είναι το πιο διαδεδομένο. Δεν σημαίνει ότι είναι το πιο σωστό. Βλέπετε ότι άλλη φορά προσπάθησα να σας πω, λέγαμε για τη διασπορά, δεν είναι το καλύτερο μέτρο. Θα μπορούσατε να πάρετε, αντί για τη διασπορά που παίρνει τετράγωνα, να πάρετε απόλυτη τιμή, είναι άλλο μέτρο. Όπως και εδώ, αντί να πάρεις το άθρησμα των τετραγώνων, των κατακόρυφων αποστάσεων, θα μπορούσε να πάρεις τον κάθε των αποστάσεων. Αυτή είναι άλλη μέθοδος. Αυτή η μέθοδος που θα κάνουμε εδώ πέρα, λέγεται μέθοδος ελαχής των τετραγώνων. Αλλά ελαχής των τετραγώνων, των κατακόρυφων αποστάσεων. Εντάξει, το σημαίνω από την ευθεία, πότε αυτό θέλουμε να το κάνουμε ελάχιστο. Δηλαδή, θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε το άθρησμα αυτών των αποστάσεων, των κατακόρυφων. Γιατί, αυτό που σας έδειξα εδώ πέρα, τι είναι? Για κάποιον ζευγάρι ΧΑΙ-ΨΑΙ που έχω εδώ, αυτό το σημείο, που αντιστοιχεί σε ένα ζεύγο στιμών ΧΑΙ-ΨΑΙ, είναι η απόσταση του ΨΑΙ από την ευθεία, η κατακόρυφη απόσταση. Αυτό είναι το ΨΑΙ. Δηλαδή, το ΨΑΙ, το ίΑΙ, μειών το ΆΛΦΑ συν ΒΙΚΙΑΙ. Πώς ελαχιστοποιώ αυτό εδώ τώρα, ως προς τα ΆΛΦΑ και ΒΙΚΙΑΙ, ναι. Ναι, ως προς τα ΆΛΦΑ. Έχω δύο άγνωστοι, το ΆΛΦΑ και το ΒΙΚΙΑΙ. Με μερικές παραγώγους. Με μερικές παραγώγους, έτσι. Εάν το κάνετε αυτό, πάρε τη μερική παράγωγος προς το ΆΛΦΑ, το μηδέν, το ίδιος προς το ΒΙΚΙΑΙ, φτάνετε σε αυτό το σύστημα, το λύνετε και πάτε σε αυτή τη λύση που είχατε στην τρίτη ηλικίου. Στην τρίτη ηλικίου είχατε μια τέτοια λύση. Μπορεί να μην τη λέγατε Σ του Χ, ΨΑΙ, ΨΑΙΚΙΑΙ, Τετράγωνο. Είχατε κάτι αθρίσματα εκεί πέρα. Αλλά το άθρισμα εδώ πέρα βγαίνει από τη συνδιασπορά του Χ και ΨΑΙ. Και αυτή είναι η διασπορά του Χ. Και ο σταθερός όρος δίνεται από αυτή τη σχέση. Το τι είναι με κόκκινα γράμματα σημαίνει ότι υπάρχει στον τυπολόγιο. Δεν χρειάζεται να το αποστηθείτε να το θυμάστε. Ή να έχετε κάποιον άλλο τρόπο να το θυμάστε. Όλα αυτά υπάρχουν στον τυπολόγιο. Άρα λοιπόν έχουμε έναν τρόπο που με αυτή τη μέθοδο, το επαναλαμβάνω πάλι, δεν είναι η μοναδική λύση. Είναι η λύση της μεθόδου ελαχής των τετραγώνων. Βασιζόμαστε στις κατακόρυφες αποστάσεις και βρίσκουμε εκείνη την ευθεία που ελαχιστοποιεί αυτές τις αποστάσεις. Αυτό μας δίνει λοιπόν τις εκτιμήσεις B και A για τα Β και Α. Έχουμε την ευθεία των ελαχής των τετραγώνων. Και αφού έχουμε την ευθεία των ελαχής των τετραγώνων, έχουμε την εκτίμηση για κάθε ΧΙ το ΨΙΚ. Μας λέει δηλαδή ποια είναι η εκτίμηση με βάση αυτή την ευθεία. Εμείς έχουμε και την πραγματική τιμή ΨΙΚ. Η διαφορά αυτών εδώ μας δίνει την εκτίμηση των σφαλμάτων, της παλιδρόμησης δηλαδή των σφαλμάτων των ελαχής των τετραγών. Και η διασπορά αυτών των σφαλμάτων αντί να την πάρουμε με αυτόν τον τύπο, βλέπετε ότι εδώ βάζουμε 1-2 τώρα, γιατί βάζουμε 1-2 και όχι 1-1. Γιατί γι' αυτό το ΨΙΚ τι έχουμε χρησιμοποιήσει το A και το B. Άρα 2 βαθμούς ελευθερίας έχουμε χρησιμοποιήσει, γι' αυτό βάζουμε 1-2. Εν πάση περίπτωση υπάρχουν και αυτοί οι τύποι με κόκκινα γράμματα εδώ πέρα, οι οποίοι είναι κάπως πιο πολύπλοκοι, που δείχνουν το πώς μπορούμε να υπολογίσουμε τη διασπορά των σφαλμάτων όταν έχουμε υπολογίσει την ευθεία ή έχουμε τις συνδιασπορές και τις διασπορές. Κάποιες παρατηρήσεις πρώτα εδώ. Η μία παρατήρηση είναι απλή ότι αυτή η ευθεία των ελαχής των τραγών έχει την ιδιότητα ότι περνάει από το σημείο αυτό εδώ, που είναι ο μέσος όρος του Χ και του Ψ, περνάει λοιπόν από το κέντρο και γι' αυτό υπάρχει ένας εναλλακτικός τύπος να ορίσει στην ευθεία, που είναι αυτός με τα μπλε γράμματα εδώ πέρα. Τη δεύτερη παρατήρηση την περνάω λίγο γρήγορα γιατί δεν θα τη χρησιμοποιήσουμε εδώ πέρα. Δεν προϋποθέτει σταθερή διασπορά και κανονική κατανομή για τη Ψ. Δεν τα υποθέτουμε για να μπορούμε να κάνουμε διαστήματα εμπιστοσύνης και τα λοιπά που δεν θα τα κάνουμε εδώ. Η τρίτη παρατήρηση που είναι η σημαντική είναι ότι για κάθε τιμή του Χ μηδέν, για κάθε τιμή της Χ μηδέν ας πούμε, μπορώ μετά να προσδιορίσω το Ψ μηδέν. Τι μου λέει αυτό ότι αν έχω βρει εγώ την ευθεία των ελαχής των τραγώνων, μπορεί να έρθεις εσύ πριν τις εξετάσεις και να μου πεις εγώ αφιέρωσα 4 ώρες ή 5 ώρες ή 5,5 ώρες το μάθημα, τι βαθμό θα πάρω, το βάζεις αυτόν τον τύπο εδώ πέρα, βάζεις 5 ώρες εδώ και σου βγάζει το Ψ μηδέν αυτό που κάναμε στο εργαστήριο. Αλλά προσοχή προσοχή, η τιμή του Χ μηδέν πρέπει να ανήκει στο εύρος των γνωστών τιμών της Χ. Δηλαδή αν έρθει ένα παιδί το οποίο είναι πάρα πολύ μελετηρό και έρθει και μου πει εγώ αφιέρωσα 12 ώρες την εβδομάδα, παιδί μου 12 ώρες την εβδομάδα, τι βαθμό θα πάρω, το 12 είναι εδώ, τι βαθμό θα πάρει, θα πάρει 13, 11, όχι. Άρα δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε να εκτιμήσουμε το Ψ για τιμές στο Χ που είναι έξω από το πεδίο τιμών. Παιδί ο τιμών είναι αυτές τις τιμές που έχουμε από το δείγμα. Λοιπόν, παράδειγμα. Βλέπετε εδώ πέρα λέει θέλουμε να μελετήσουμε την αντοχή αλουμινίου και γι' αυτό κάναμε ένα πείραμα. Μετρήσαμε. Επιμήκηση αλουμινίου. Παραδείγμα. Παραδείγμα. Παραδείγμα. Παραδείγμα. Παραδείγμα. Παραδείγμα. Παραδείγμα. Παραδείγμα. Παραδείγμα. Παραδείγμα. Παραδείγμα. Παραδείγμα. Παραδείγμα. Παραδείγμα. Παραδείγμα. Παραδείγμα. Παραδείγμα. Παραδείγμα. Άρα λοιπόν δίνονται αυτά τα δεδομένα, όταν λοιπόν θα πάω να κάνω τώρα το διάγραμμα διασποράς όπως αυτό εκεί, θα πρέπει να έχω αποφασίσει τι θα βάλω στον Άξοναντοχή και τι στον Άξοναντοψή. Ότι εδώ η τάση θα μπει στον Άξοναντοχή και η επιμήκυνση στον Άξοναντοψή. Προσέξτε, γιατί αν τα κάνετε διαφορετικά θα μιλάτε για άλλο μοντέλο, θα βγάλετε άλλη εξίσωση, πότε όλο είναι λάθος. Άρα είναι σημαντικό να καταλάβετε από το πρόβλημα ποια είναι η ανεξάρτητη και ποια εξαρτημένη. Αφού λέει θέλουμε να μελετήσουμε την αντοχή αλουμινίου για διάφορες τάσεις, θέλουμε να δούμε πώς επηρεάζει η τάση στην αντοχή αλουμινίου, θα μετρήσουμε λοιπόν την τάση ως ανεξάρτητη και την επιμήκυση ως εξαρτημένη. Λοιπόν, όπως βλέπετε τα εδομένα φαίνεται να υπάρχει μια εξάρτηση της επιμήκυνσης του αλουμινίου από τη δύναμη της τάσης. Ξεκάθαρα, έτσι, αυξάνει 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 η τάση, αυξάνει και η επιμήκυνση. Πώς μπορούμε να το δούμε αυτό, διάγραμμα διασποράς. Άρα υπάρχει μια ξεκάθαρη σχέση εδώ πέρα, γραμμική, θετική και είναι και ισχύρη. Εντάξει, δεν υπάρχει κάποια αφιβολία εδώ. Παρ' όλο που έχουμε μόνο 7 παρατηρήσεις βλέπουμε ότι η σχέση εδώ πέρα είναι πολύ ισχυρή. Άρα υπάρχει μια ισχυρή εξάρτηση. Πώς θα την βρούμε τώρα, πάλι θα πάρω τους 5 αριθμούς, δηλαδή τους 2 μέσους όρους χ και ψ, άθροισμα τετραγώνων του χ, άθροισμα τετραγώνων του ψ, άθροισμα γινομένων χ ψ. Υπολογίζω από αυτά τη διγματική συνδιασπορά του χ και τη διασπορά του ψ και αντικαθιστώ στους τύπους. Και βρήκα λοιπόν ότι η κλίση των π είναι 1099, περίπου 11, και το α είναι μίον 6,65. Παίρνω και τον τύπο για τη διασπορά των σφαλμάτων και βρίσκω ότι είναι 7,75. Άρα έχω την ευθεία των ελαχίσεων τετραγώνων, μίον 6,65 σταθερός όρος, είναι περίπου 11 η κλίση και το τετράγωνο των διασποράτων σφαλμάτων 7,75. Πώς τα ερμηνεύω αυτά τώρα. Το μπιτ που βρήκα αυτό το 10,99 τι μου λέει. Το 10,99 σε 10 στιγμίων τρίτη, οι ίντσες είναι σε ίντσες αυτό, μου λέει πόσο θα αλλάξει η επιμήκυνση αν μετατωπίσω τη δύναμη κατά μία μονάδα. Αν αλλάξω τη δύναμη μία μονάδα, πώς αλλάζει η επιμήκυνση. Αυτή η κλίση λοιπόν εδώ πέρα, αυτό το β μου λέει, αν αυξήσω εγώ κατά μία μονάδα το χ, πώς μεταβάλλεται το ψ, εδώ επειδή μεταβάλλεται θετικά, η κλίση μου λέει πόσο θα αλλάξει το ψ. Κατά μία μονάδα θα το αλλάζω, είναι αυτό εδώ. Αυτή λοιπόν είναι η β. Το α τι μου λέει, που το βρήκα εγώ μίον 6,65. Τι λέει το α, πώς το ερμηνεύεται φυσικά το α. Έχω την εξίσουση ψ ίσον α συμβιταχή. Το α τι δηλώνει. Σταθερός όρος. Σταθερός όρος, τι δηλώνει σταθερός όρος, φυσικά τι λέει ο σταθερός όρος. Όχι. Θυμάστε τι λέγατε γεωμετρικά. Τι είναι το α ναι Γιώργο. Το α, δηλαδή όταν το χ είναι μηδέν, εκεί που τέμνει δηλαδή τον άξονα τον κατακόρυφο. Άρα μου λέει για χ ίσον μηδέν πόσο είναι το ψ. Άρα το μίον 6,65 εδώ πέρα πόσο το ερμηνεύσω. Τι μου λέει αυτό, όταν εγώ δεν έχω καθόλου τάση, είναι μηδενική η δύναμη της τάσης, η επιμήγηση είναι μίον 6,65. Μαζεύει. Υσχύει κάτι τέτοιο. Όχι, έτσι. Δεν ισχύει κάτι τέτοιο. Μπορεί να ερμηνεύεται έτσι. Γιατί αυτό μου λέει ο σταθερός όρος, για χ ίσον μηδέν πόσο είναι το ψ. Αλλά αυτό είναι αδύνατο. Γιατί είναι αδύνατο. Γιατί αν γυρίσουμε στο σχήμα, που είναι το μίον 6,65 είναι εδώ κάτω. Αν τραβήξω εδώ την ευθεία, θα τέμνει εδώ κάτω. Αλλά αυτό δεν έχει καμιά φυσική σημασία. Γιατί? Γιατί αναφέρεται για τιμές του χ έξω από το πεδίο τιμών. Δεν ξέρω τι γίνεται εδώ πέρα πέξω. Δηλαδή αν αρχίζω και μικραίνω το χ πιο πολύ από την μία μονάδα, που είναι το αριστερό άκρο, δεν ξέρω τι συμβαίνει. Κανένας δεν μου λέει ότι θα συνεχίσει να πέφτει γραμμικά. Είναι αδύνατο να πέφτει γραμμικά, γιατί δεν μπορεί να ξεπερνάει το μηδέν. Δεν μπορεί δηλαδή αν εγώ δεν εφαρμόζω τάση από μόνο το αλουμίνιο να μαζεύει. Που σημαίνει δηλαδή ότι εδώ κάτω συμβαίνει κάτι άλλο. Μπορεί να είναι μια εκθετική σχέση εδώ πέρα. Να πηγαίνει κάπως έτσι. Άρα αυτό δεν μπορώ να το εμπινεύσω φυσικά. Και το S τετράγωνο, που είναι η διασπορά, συνήθως απ' τη διασπορά παίρνει τετραγωνική ρίζα για την τυπική απόκλυση. Και μου λέει ότι η τυπική απόκλυση είναι 2,7810 στιμμίων 30 ίντσες, που σχετικά είναι μικρό. Λοιπόν, να το δούμε λίγο και σε πρόβλεψη τώρα. Μπορώ λοιπόν να προβλέψω οπουδήποτε μεταξύ του 1 και του 7. Αν λοιπόν έρθεις και μου πεις ότι έχεις μία τιμή τάσης 3,5, μπορώ λοιπόν να πάω εδώ, να κάνω τον υπολογισμό και να βρω ότι είναι 31,82. Άρα για 3,5 εδώ πέρα βλέπω ότι η τιμή πάνω στην ευθεία είναι το 31,82. Η ακρίβεια πρόβλεψης λοιπόν εδώ είναι 31,82, σύν πλυν 2,78, που χοντρικά μου λέει πόσο μπορεί να παίζει γύρω από τη μέση τιμή. Αυτό το σύν πλυν 2,78 είναι μία ζώνη εδώ πέρα, που είναι έτσι αρκετά μικρή, όπως φαίνεται. Λοιπόν, υπάρχουν και κάποια θέματα εδώ πέρα για τη σχέση που έχει ο συντελεστής της σχέτησης 3 με την κλήση. Η σχέση που έχουν είναι ποιοτική, τη βλέπετε εδώ πέρα. Τη βλέπετε εδώ τη σχέση με τα κόκκινα γράμματα. Αλλά απλά αυτό μας λέει ότι έχουν μια ποιοτική σχέση, που όταν δηλαδή ο συντελεστής της σχέτησης είναι θετικός, όταν έχουμε θετική σχέτηση θα έχουμε και θετική κλήση, όταν έχουμε αρνητική σχέτηση θα έχουμε και αρνητική κλήση. Από εκεί πέρα η κλήση, η τιμή της κλήσης δεν με βοηθάει για να δω αν η εξάρτηση είναι ισχυρή ή όχι. Δηλαδή, εάν εδώ πέρα βρω μια κλήση που είναι 0,5 για παράδειγμα, όταν έχω ώρες εδώ, αν αυτό το κάνω σε λεπτά το 0,5 μπορεί να γίνει 4. Άρα το να έχω 0,5 ή 4 δεν με βοηθάει στο να πω αν έχω μεγάλη ή μικρή εξάρτηση, ή αν είναι ισχυρή ή όχι. Αυτό που μου δίνει την ένταση της εξάρτησης είναι ο συντελεστής της σχέτησης. Και ο συντελεστής της σχέτησης επίσης συσχετίζεται και με τη διασπορά των σφαλμάτων, υπάρχει αυτή η σχέση μεταξύ τους, είτε το S4 έως προς το R4, είτε το R4 έως προς το S4. Και στην περίπτωση που είχαμε πριν με την επιμήκυνση και τη δύναμη της θάσης, η συντελεστή της σχέτησης είναι πραγματικά πάρα πολύ υψηλός, είναι στο 0,995, που σημαίνει ότι έχουμε πάρα πολύ υψηλή σχετική συσχέτηση. Λοιπόν, επειδή έχετε ένα εργαστήριο μετά με το σχέδιο, και επειδή νομίζω ότι αφήσατε πράγματα που δεν τα είπατε μετά τις πστιακοπές, έτσι δεν είναι, έχετε να πείτε πολλά πράγματα, και επειδή κάνατε ησυχία και τελειώσαμε γρήγορα, εγώ λοιπόν θα σας ευχαριστήσω για τη συνεργασία μας αυτό το εξάμινο. Ευχαριστώ για τη συνεργασία να συνεχιστεί ομαλά και στις εξετάσεις. Ελπίζω να μη σας ξαναδω με εσάς εδώ και εμένα εδώ πέρα, τουλάχιστον στο μάθημα της στατιστικής, που σημαίνει, σας εύχομαι να περάσετε όλοι το μάθημα. Δεν θα κάνουν άλλη εβδομάδα. Προετοιμαστείτε για τις εξετάσεις, δεν έχετε εξετάσεις, πότε ξεκινάτε. Πότε ξεκινάνε οι εξετάσεις σας. 20. Α, να σας θυμίσω ότι στην ιστοσελίδα του μαθήματος υπάρχει ένα αρχείο που λέγεται επαναληπτικές ασκήσεις. Εκεί πέρα υπάρχουν λοιμμένες ασκήσεις επαναληπτικές που είναι ένας πολύ καλός μπουσούλας για τις εξετάσεις. Θα ήταν καλό να μη δείτε απευθείας τη λύση, να προσπαθήσετε μόνοι σας και μετά να κοιτάξετε τη λύση. Σας ευχαριστούμε.