Διάλεξη 6 / Διάλεξη 6 / Διάλεξη 6 - Ζιούτας Γεώργιος (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Διάλεξη 6: Ένα είδος άσκησης είναι να σας δίνεται η αθροιστική συχνότητα, έστω λέει η δύο άσκηση, μην ακούω μουρμουρητά. Υποθέστε ότι η τυχαία μεταβλητή χ έχει αθροιστική κατανομή πιθανότητα σε αυτήν εδώ. Θα μπορούσα να σας ρωτήσει ποια είναι η πιθανότητα, γιατί τα το χ να ξεπερνά το 1. Τώρα, σε αυτή την περίπτωση που έχετε την αθροιστική συχνότητα, τι μπορείτε να κάνετε. Από τη θεωρία γνωρίζετε ότι όταν έχουμε μέσα στην πιθανότητα το χ να είναι μεγαλύτερο του 1, και έχουμε την αθροιστική συχνότητα, τι μπορούμε να κάνουμε, ότι αυτό ισούτε με ένα μίον το π του χ, να είναι μικρότερο ίσον της μονάδας. Και τώρα κατευθείαν τι μπορούμε να γράψουμε, θυμάται κάποιος να μου πει. Πέρσι. Αχ, χθες. Οπότε κάποιος θυμάται να μου πει. Θα το πω εγώ. Κατευθείαν αυτό εδώ να θυμάστε, όταν έχουμε την αθροιστική συχνότητα, ισούται με εφ του 1. Οπότε απευθείας μπορούμε να πάμε να αντικαταστήσουμε, όπου θα πάμε να δούμε, όταν το χ είναι 1, θα πάμε σε αυτή την περίπτωση στην κάτω. Αυτό μπορείτε να το πείτε. 1. Οπότε πάμε και αντικαθιστούμε. 1 μίον. 1. Και οπότε μου μένει 1 για ε. Αυτό. Στις εξετάσεις πάντα θα παίρνετε κομπιτεράκι, δεν θα ξεχνάτε. Οπότε θα γράψετε και πόσο βγαίνει απλή αυτή η άσκηση. Ότι όταν έχουμε πέτου χ μεγαλύτερο του 1, είναι 1 μίον. Της αθροιστικής, όχι, των πιθανοτήτων. Ότι το πέτου χ μεγαλύτερο του 1, είναι 1 μίον πέτου χ μικρότερο ίσο του 1. Της αθροιστικής είναι ότι το f του 1, ίσουδε με την πιθανότητα το χ είναι μικρότερο ίσο του 1. Αυτό το κάνετε στη θεωρία, έτσι, είναι από τη θεωρία. Καλή αυτή η άσκηση, την καταλάβαμε. Αυτό τώρα δεν θα πει έτσι και να πάρετε πολύ βαθμό, αλλά μπορεί να είναι πω ρώτημα. Αυτή από το βιβλίο σας. Τώρα ένα άλλο είδος άσκησης είναι. Λέει υποθέτουμε ότι η τυχία μεταβλητή χ είναι συνεχής με συναρτυση πυκνότητας πιθανότητας. Τώρα δεν έχουμε αθροιστική συναρτυση, έχουμε τη συναρτυση πυκνότητας πιθανότητας. Αυτά θα τα ξεχωρίζετε. Με αθροιστική συναρτυση έχουμε κεφαλαίο f. Συναρτυση πυκνότητας πιθανότητας είναι το μικρό το f. Τώρα μας δίνεται η συναρτυση πυκνότητας πιθανότητας και είναι. Όταν βλέπετε ότι εδώ στην f δεν μου δίνεται ποια είναι η ακριβής του μορφή. Βλέπουμε ότι υπάρχει ένα άγνωστο σε. Θα πρέπει αυτό το σε να το βρείτε. Μπορεί να μη σας λέει μέσα στην άσκηση βρείτε το σε. Μπορεί να σας λέει επευθείας βρείτε την πιθανότητα τάδε. Τώρα εδώ στη συγκεκριμένη άσκηση λέει να βρείτε ποια είναι η τιμή σε. Αλλά πάντα εσείς όταν βλέπετε άγνωστο σε ή άγνωστο άλφα μπορεί να έχει και δύο αγνώστους μια συναρτυση. Εσείς θα πρέπει να βρείτε πρώτα τους αγνώστους και μετά να πάτε στα επόμενα ερωτήματα της άσκησης. Επομένως τώρα θα πρέπει να βρούμε μία μορφή μία εξίσωση έτσι ώστε να βρούμε τον άγνωστο σε. Άρα αφού έχουμε συναρτυση πυκνώντας πιθανότητας θα πρέπει να βρούμε. Γιατί γελάτε λέω κάτι αστείο. Θα πρέπει να βρούμε ιδιότητα της συναρτυσης πυκνώντας πιθανότητας που να μου δώσει μία εξίσωση. Θυμάται κανένας της ιδιότητας της συναρτυσης πυκνώντας πιθανότητας μήπως. Το άσκημα δηλαδή από το μη ονάπηρο μέχρι το συνάπηρο να μου κάνει το ολοκλήρωμά τους δηλαδή αφού είναι τώρα συνεχής να μου κάνει τη μονάδα. Άρα, από το μη ονάπηρο έως το συνάπηρο, το ολοκλήρωμα ευ του χ δε χ να μου κάνει τη μονάδα. Και πάω τώρα. Βλέπω ότι έχω από το 0 έως το 2, έχει αυτή τη μορφή η ευ του χ. Οπότε θα το σπάσω τώρα σε κομμάτια. Από το μη ονάπηρο έως το 2 έχω το 1 κομμάτι. Από το μη ονάπηρο έως το 0. Από το 0 έως το 2 έχω ένα δεύτερο κομμάτι. Και από το 2 έως το συνάπηρο έχω το τρίτο κομμάτι. Σε αυτό το κομμάτι και σε αυτό το κομμάτι η ευ του χ μου τι είναι. Άρα, και το ολοκλήρωμα μου τι θα είναι. Άρα, τα διώχνω κατευθείαν. Αυτό μου κάνει τη μονάδα. Άρα, ασχολούμαι μόνο με το μεσαίο. Γράφω το σε από έξω βγαίνει. Και τώρα εσείς που είστε ηλεκτρολόγοι και θυμάστε να ολοκληρώνετε. Για πείτε μου το 4χ πώς ολοκληρώνετε. Με μία φωνή όλοι. Και το 2χ τετράγωνο. Και τώρα πάμε και αντικαθιστούμε. Άρα το σε μου βγαίνει 3ο. Καταλάβαμε πως θα βρίσκουμε τη σταθερά. Έχουμε έναν άγνωστο θα πρέπει να βρούμε μία εξίσουση για να βρούμε αυτόν τον άγνωστο. Και μετά πηγαίνουμε στο επόμενο ερώτημα. Που το επόμενο ερώτημα λογικά θα μας λέει να βρούμε μία πιθανότητα μάλλον. Και λέει ποια είναι η πιθανότητα το χ μου να είναι μεγαλύτερο του 1. Πάω εδώ. Στην προηγούμενη άσκηση είχα αθροιστική συχνότητα. Και το έκανα με αυτόν εδώ τον τρόπο. Τώρα έχω συνάντηση πιθανότητας πιθανότητας. Θα το κάνω αλλιώς. Θα το κάνω με το ολοκλήρωμα. Και πως θα το κάνω. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι το χ μεγαλύτερο του 1. Θα πάω από το ολοκλήρωμα από το 1 έως το συνάπηρο. Ευ του χ δε χ. Καταλάβαμε τη διαφορά. Όμως από το 1 έως το 2 είναι με το σε. Και από το 2 στο συνάπηρο είναι 0. Επομένως το περιορίζω από το 1 στο 2. Και το γράφω κατευθείαν το σε μου είναι 3,8. Και αντικαθυστούμε πάλι. Έτσι. Και βγαίνει. Τι έκανα. Και βγαίνει ένα δεύτερο. Και βγαίνει ένα δεύτερο. Εντάξει και αυτή άσκησε κάποια πορεία. Εύκολη και αυτή. Ας βγαίνω. Ας βγαίνω. Θα σας κάνω τώρα ένα πρόβλημα. Το 4 από τη σελίδα 166. Διάρκεια επίδρασης μιας δύναμης πάνω σε ένα σημείο μιας μηχανής. Είναι τυχαία μεταβλητή. Με συνάρτηση πυκνώντας πιθανότητας. Όπως φαίνεται στο σχήμα. Τώρα λέει να βρεθούν οι τιμές α και β για τη συνάρτηση πυκνώντας πιθανότητας. Αυτή είναι η f. Το τ. Τώρα βλέπετε ότι έχουμε δύο γνώστους. Η συνάρτηση πυκνώντας πιθανότητας είναι α τε τράγωνο. Και έχουμε και έναν άγνωστο β που είναι στον άξοδο το ψ. Και θέλουμε να βρούμε αυτά τα δύο γνώσεις. Τώρα δεν μας αρκεί μία εξίσωση. Θέλουμε δύο εξίσωση να βρούμε. Τη μία εξίσωση θα τη βρούμε όπως και την προηγούμενη φορά. Από την ιδιότητα της συνάρτησης πυκνώντας πιθανότητας. Που πια ήτανε ότι το ολοκλήρωμα από μη ονάπηρο έως συνάπηρο μου κάνει μονάδα. Εδώ πέρα αφού έχω χρόνο μπορώ να το περιορίσω από μη δέν ο συνάπηρο. Να μου κάνει μονάδα. Και πάω από μη δέν έως δώδεκα. Και από δώδεκα έως δεκαέξι. Από μη δέν έως δώδεκα βλέπουμε ότι η συνάρτησή μου είναι α τ δετράγωνο. Από δώδεκα έως δεκαέξι καταλαβαίνουμε όλα ότι είναι σταθερή και είναι β. Για αυτό γράφουμε εδώ β. Και από δεκαέξι έως συνάπηρο ότι είναι μη δέν. Να το γράψω κιόλας. Άρα αυτό φεύγει κι αυτό μου κάνει τη μονάδα. Το ολοκλήρωμα του τε τετράγωνο. Παιδιά συμμετέχουμε. Και το β. Άρα η μία εξίσωση που βρήκα είναι αυτή. Θέλω όμως και μία δεύτερη εξίσωση. Αυτή την εξίσωση θα τη βρω μέσα από τη γραφική παράσταση. Από εδώ θα βοηθηθώ για να βρω τη δεύτερη εξίσωση. Κάποιος μπορεί να μου μπει κάποια ιδέα. Μπορώ δηλαδή άμα πάω εδώ πέρα. Μπορώ να πω ότι όταν το τε είναι δώδεκα το ψι μου είναι β. Οπότε η δεύτερη μου εξίσωση είναι εφ του δώδεκα ίσο με β. Δηλαδή αδώδεκα εις την δευτέρα είναι ίσο με β. Αυτή είναι η δεύτερη μου εξίσωση. Και πάω και αντικαθιστώ το δώδεκα εις την δευτέρα α ίσο με β στην πρώτη εξίσωση. Και έχω, το βάζω τώρα εδώ πέρα, βα τρίτης συν τέσσερα β. Ναι. Όχι, περιμένετε λίγο. Β δει δώδεκα αυτό ήθελα να πω. Β δώδεκα τρίτη συν τέσσερα β ίσο με ένα. Και τώρα πάμε. Και το β μου βγαίνει ένα όγδο. Τώρα πάω και αντικαθιστώ το α. Το α είναι β προς δώδεκα εις την δευτέρα. Είναι ένα επί οχτώ προς δώδεκα εις την δευτέρα και το υπολογίζετε εσείς. Καταλάβαμε πως βγάζουμε το α και το β. Και τώρα το δεύτερο ερώτημα. Α αυτό εδώ πέρα βγαίνει για να το έχουμε. 1 προς 1.152 και το 1.8 βγαίνει 0,125 για να το έχουμε. Και τώρα το β ερώτημα λέει να υπολογίσετε την πιθανότητα το χ να είναι μεγαλύτερο του έξι. Δηλαδή θέλουμε πέστε ότι το έξι είναι εδώ. Ποια η πιθανότητα το χ να είναι μεγαλύτερο του έξι. Τώρα αυτό μπορούμε να το κάνουμε με δύο τρόπους. Είτε μπορούμε να προσθέσουμε το ολοκλήρωμα από έξι έως δώδεκα. Και από δώδεκα έως δεκάξι. Είτε πιο εύκολα το πι του χ μεγαλύτερο του έξι να το κάνουμε ένα μειον πι χ μικρότερο ίσο του έξι. Και να υπολογίσουμε αυτό εδώ. Και να το κάνουμε ένα μειον το ολοκλήρωμα από 0 έως 6. Και να έχουμε να υπολογίσουμε μόνο αυτό το ολοκλήρωμα. Πιο απλό είναι το πάνω. Οπότε ένα μειον ολοκλήρωμα 0 έως 6. Από 0 έως 6 η f του t είναι α τετράγωνο το α είπαμε ότι είναι 1 προς 1.152. Και υπολογίσουμε τώρα. 36 επί 6. Βασικά εδώ πέρα στο βιβλίο να ξέρετε ότι έχει λάθος. Και βγαίνει για να έχετε το σωστό άμα θέλετε. 0.9375. Και με τον άλλο τρόπο για να έχετε και τον άλλο τρόπο. Θα σας γράψω μόνο τα ολοκληρώματα. Από 6 έως 12 1 προς 1.152 τετράγωνο τε τε. Συν από 12 έως 16 το β 1.8 τε τε. Από 16 έως συνάπηρο 1.0 δεν το γράφω. Και υπολογίζετε αυτά τα δύο ολοκληρώματα πάλι θα βγει το ίδιο αποτέλεσμα 0.9375. Εύκολη και αυτή. Τώρα ένα άλλο είδος άμα. Τώρα ένα άλλο είδος άσκησης είναι να σας δίνετε η αθροιστική συχνότητα. Και από αυτήν να πρέπει να βγάλετε τη συναρτήση πυκνότητας πιθανότητας. Πώς θα το κάνουμε αυτό. Κάθε μία από τις ακόληθες συναρτήσεις παριστάνει την αθροιστική συναρτήση κατανομής πιθανότητας από μία τυχαία μεταβλητή χ. Για κάθε μία από τις ακόληθες περιπτώσεις προσδιορίζετε τη συναρτήση πυκνότητας πιθανότητας και επιβεβαιώστε ότι είναι πράγματι συναρτήση πυκνότητας πιθανότητας. Εμείς σας πάρουμε αυτή την περίπτωση έστω ότι έχετε αυτή τη συναρτήση κατανομής. Τώρα σε αυτή την περίπτωση όταν σας δίνετε αθροιστική κατανομή και πρέπει να κάνετε τη συναρτήση πυκνότητας πιθανότητας πάντα θα σχεδιάζετε την αθροιστική κατανομή για να βλέπετε αν είναι συνεχής ή υπάρχουν σημεία συνέχειας. Εμείς θα πάμε να τη σχεδιάσουμε τώρα γιατί άμα υπάρχουν σημεία συνέχειας δεν μπορούμε να παραγωγίσουμε. Αν θυμάστε από τη θεωρία για να πάμε από την αθροιστική κατανομή στη συναρτήση πυκνότητας πιθανότητας παραγωγίζουμε ενώ το αντίστροφο από τη συναρτήση πυκνότητας πιθανότητας για να πάμε στην αθροιστική κατανομή ολοκληρώνουμε. Αν έχουμε σημεία συνέχειας θα έχουμε διακριτές σημείες. Ναι αυτό. Δηλαδή στα σημεία συνέχειας θα πάμε θα έχουμε διακριτές σημείες και εκεί πέρα θα υπολογίσουμε την πιθανότητα σε αυτά τα σημεία. Θα πάμε να υπολογίσουμε τα άλματα. Πάμε να το σχεδιάσουμε. Να κάνουμε τα εύκολα πρώτα λέει όταν το χ είναι μικρότερο του μίον 1 είναι η συναρτήση μου μηδενική. Όταν το χ είναι μεγαλύτερο ίσο του 1 είναι πάλι μηδενική. Τώρα έχω το νόμος είναι από μίον 1 έως 1 είναι της μορφής χ τρίτης τέταρτα. Συγγνώμη. Είναι 1 αλλά όταν έχω από μίον 1 έως 1 είναι χ τρίτης τέταρτα σημεία 0.5. Αν θυμηθούμε ποια είναι η μορφή της χ τρίτης. Είναι περίπου αυτής εδώ της μορφής. Κάπως έτσι. Εδώ που έχουμε και το 0.5 θα μετατοπιστεί κάπως προς τα πάνω. Και όταν έχουμε αρνητικές τιμές είναι αύξουσα όταν έχουμε αρνητικές πάει κάπως έτσι και όταν έχουμε θετικές πάει κάπως έτσι. Και να ξέρουμε ότι όταν είναι 0.5 θα μετατοπιστεί κατά πάνω. Άρα όταν είναι μίον 1 θα έχουμε το 0.25. Δηλαδή κάπου εδώ. Όταν είναι 0 το 0.5 άρα θα είναι κάπως έτσι. Και όταν έχουμε το 1 θα είναι 0.75. Δηλαδή κάπου εδώ και θα πάει κάπως έτσι. Τώρα στη ζωγραφική με λίγο χάλια. Κάπως έτσι θα είναι. Στο βιβλίο σας την έχει λίγο διαφορετικά. Δηλαδή αυτό εδώ το έχει λίγο πάνω εσάς κάνει αυτή την καμπύλη. Λεπτομέρεια είναι αυτό. Αυτό τώρα βλέπουμε ότι στο μίον 1 εδώ πέρα υπάρχει ασυνέχεια. Όπως και στο 1 υπάρχει ασυνέχεια. Άρα σε αυτό το σημείο το μίον 1 και το 1 είναι διακριτές τιμές. Δεν θα μπορέσουμε να παραγωγίσουμε. Σε εκείνο το σημείο θα βρούμε την πιθανότητα. Ενώ η ευθουχή από το σημείο μίον 1 έως το 1 είναι συνεχής. Και τότε σε αυτό το διάστημα θα παραγωγίσουμε. Και θα μπορέσουμε να βρούμε τη συνάντηση πυκνώντας πιθανότητας. Και αυτό θα κάνουμε τώρα. Ποια είναι η παράγωγος του x3-4. Να το γράψω λίγο για κάποιον που δεν θα θυμάται. Άμα το δει έτσι μπορεί να μπερδευτεί. Ναι δεν ήταν εδώ δέκατα. Είναι 3x4 προς 4. Το 0,5 φεύγει. Άρα όταν πάμε να το μετατρέψουμε σε συνάντηση πυκνώντας πιθανότητας. Στο διάστημα από μίον 1 χωρίς το μίον 1 τώρα έως το 1 χωρίς το 1. Η συνάντηση πυκνώντας πιθανότητας είναι 3x4. Αυτό το καταλάβαμε όλοι. Επειδή η αθροιστική συνάντηση είναι συνεχής. Στα σημεία της ασυνέχειας το μίον 1 και το 1 τώρα που είναι διακριτά σημεία. Θα πάμε να βρούμε τις πιθανότητες. Άρα θα βρούμε να πάω εδώ. Η πιθανότητα το χ να είναι μίον 1. Θυμάστε από τη θεωρία όταν το χ τώρα είναι ίσον με κάτι. Πώς το βρίσκουμε. Το θυμίσω εγώ. Είναι η διαφορά του πέτου χ να είναι μικρότερο ίσον από αυτή τη τιμή. Μίον το πέτου χ να είναι μικρότερο από αυτή τη τιμή. Το θυμήθηκε κανείς. Αυτό τώρα το αντικαθιστούμε με την αθροιστική κατανομή. Το f του μίον 1. Αλλά τώρα όταν το μίον 1 και να το ξεχωρίσετε είναι ίσον. Δηλαδή θα πάμε τώρα στην αθροιστική εδώ και θα πάμε στην περίπτωση όπου θα είναι το χ θα είναι σε αυτό το διάστημα. Θα είναι και το μίον 1 στο διάστημα αυτό. Ενώ εδώ πάλι θα βάλουμε f του χ, f του μίον 1. Αλλά θα πάμε στην περίπτωση όπου το μίον 1 δεν είναι σε αυτό το διάστημα. Θα το προσεγγίζει αλλά δεν θα είναι και το μίον 1 σε αυτό το διάστημα. Καταλάβαμε τη διαφορά. Βάζω εδώ το ίσον για να ξεχωρίσετε. Εδώ πέρα έχουμε τις πιθανότητες. π του χ μικρότερο ίσον του μίον 1 μοιον π του χ μικρότερο του 1. Και τα δύο τα αντικαθιστούμε με την αθροιστική f του μίον 1. Εδώ βάζουμε πάντα την τιμή που έχει εδώ πάνω. Μικρότερο ίσο μικρότερο. Αλλά επειδή εδώ έχει το ίσον και εδώ δεν το έχει. Θα πάμε εδώ αντίστοιχα στις περιπτώσεις που το μίον 1 θα ανήκει. Και στην περίπτωση που το μίον 1 δεν θα ανήκει. Αναλόγως αν εδώ είναι το ίσον και αν δεν είναι. Τώρα το καταλάβατε. Όχι, ε. Γιατί? Γιατί εδώ πέρα είναι στο ίσον. Δηλαδή πρέπει να ανήκει το μίον 1. Ενώ εδώ πέρα είναι το όριο. Έτσι είναι απ' τον ορισμό. Δηλαδή το μίον 1 δεν ανήκει, το προσεγγίζει. Άρα εδώ πάμε στην περίπτωση αυτήν. Και βάζουμε μίον 1 τέταρτο σύμμι 0,5. Ενώ σε αυτή την περίπτωση πάμε εδώ πάνω. Όπου η f του μίον 1 είναι 0. Άρα αυτό μου κάνει 0,25. Και πάω και βάζω εδώ πέτου x ίσον μίον 1 ίσον 0,25. Το ίδιο θα κάνω και όταν πέτου x είναι ίσον με 1. Να το υπολογίσουμε με τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Πέτου x μικρότερο ίσον του 1 μίον πέτου x μικρότερο του 1. Και πάλι εδώ θα βάλω f του 1 μίον f του 1. Εδώ θα πάρω την περίπτωση αυτήν. Όπου εδώ το 1 ανήκει. Άρα το f του 1 θα μου κάνει τη μονάδα. Εδώ πέρα όμως που είναι το όριο θα πάω σε αυτήν εδώ την περίπτωση. Οπότε θα αντικαταστήσω 1 τέταρτο σύμμι 0,5. Και αυτό ισούται με 1 μίον 0,75. Και πάλι έχω 0,25. Στην ουσία αυτά που βρίσκω εδώ πέρα είναι τα άλματα. Δηλαδή αυτά εδώ πέρα το πέτου 1 είναι 0,25. Και το πέτου μίον 1 είναι πάλι 0,25. Αυτά εδώ τα διαστήματα, τα άλματα, οι διαφορές. Και η f του x είναι 0 οπουδήποτε αλλού. Και έτσι βρήκαμε τη συνάρτηση πυκνόντας πιθανότητας. Οπότε όταν σας δίνεται η αθροιστική κατανομή και θέλετε να βρείτε τη συνάρτηση πυκνόντας πιθανότητας παραγωγίζετε όπου η συνάρτησή μου είναι συνεχής και αν υπάρχουν σημεία συνέχειας βρίσκετε τις πιθανότητες. Και τώρα, μας έλεγε η άσκηση αν είναι όντως συνάρτησης πυκνόντας πιθανότητας. Πρέπει να δούμε αν ισχύουν οι ιδιότητες. Πρέπει η συνάρτησή μου να είναι θετική. Είναι? Είναι. Από το μειονάπηρο έως τη συνάρτηση να μου κάνει μονάδα. 0,25 και 0,25 μου κάνει 0,5 συν 0,0 και από μειον 1 έως 1 να μου κάνει άλλο 0,5. Για να το δούμε, μου κάνει. Μου κάνει 0,5 άρα 0,5 και 0,5 μου κάνει τη μονάδα. Οπότε ισχύουν και οι ιδιότητες συνάρτησης πυκνόντας πιθανότητας. Οπότε δεν ήθελε κάτι άλλο η άσκηση. Αυτή ήταν η άσκηση. Οπότε όταν σας δίνεται μια τέτοια άσκηση αυτό θα κάνετε. Να δω αν έχουμε ώρα να κάνουμε κάτι άλλο. Και τώρα στην αντίθετη περίπτωση να κάνουμε άλλη μία άσκηση. Τα σβήνω. Να κάνουμε τώρα το άλλο που σας είπα. Σας δίνεται η συνάρτηση πυκνόντας πιθανότητας να βρείτε την αθροιστική. Λέει η αντοχή x ενός τύπου σχοινιού δεν είναι σταθερή. Είναι τυχαία μεταβλητή. Από μία μεγάλη δειγματολυψία που δοκιμάστηκε η δύναμη αντοχής σχοινιού, καταλήξω με τη βοήθεια της περιγραφικής στατιστικής, ότι μεταβλητή x έχει συνάρτηση πυκνόντας πιθανότητας αυτήν εδώ. Πρόβλημα 1 του βιβλίο είναι... Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης πυκνόντας πιθανότητας. Θα πάμε και θα κάνουμε όπως και πριν, 1400, θα πάμε όπως και πριν κάναμε για την αθροιστική συνάρτηση, τώρα θα κάνουμε για την συνάρτηση πυκνόντας πιθανότητας. Χ... Όχι, έφτωχη, ναι. Και τώρα από 0 μέχρι 40 είναι x προς 1400. Άρα θα είναι της μορφής, θα περνάει από την αρχή των αξώνων με μία κλήση τέλος πάντων τώρα μέχρι το 40. Θα είναι κάπως έτσι. Από 40 μέχρι 70, θα είναι 70 μιών x προς 1050. Και όταν το x είναι 40, θα έχουμε 30 προς 1050. Και πέρα όταν το x ήταν 40, είχαμε 40 προς 1400. Για να μην καθυστερούμε, θα βγει το ίδιο. Ναι, για να μην σας καθυστερώ, εσείς θα το κάνετε τέλος πάντων, θα δείτε. Για 0 πόσο βγαίνει, βγαίνει 0, για 40 θα βγει κάτι. Εδώ πέρα για 40 θα βγει το ίδιο. Επομένως θα δείτε ότι εδώ στους 40 συμπίπτουν, για 70 βγαίνει 0. Επομένως πάμε εδώ στο 70 και θα βγει η τριγωνική μορφή. Όταν το x είναι μικρότερο του 70, όχι μικρότερο, κάτι πρέπει να κάνω λάθος. Όταν το x είναι μικρότερο του 0, όσα έχουμε το 0 και όταν το x είναι μάλλον μεγαλύτερο, έπρεπε να γράψω. Ναι, όταν το x είναι μεγαλύτερο το 70, έχουμε πάλι 0. Άρα η f του x έχει αυτή τη μορφή. Τώρα το δεύτερο ερώτημα μου έλεγε να προσδιορίσουμε την αθροιστική κατανομή πυκνόδας πιθανότητας. Όπως είπαμε πριν, όταν έχουμε από αθροιστική κατανομή να κάνουμε την συνάρτηση πυκνόδας πιθανότητας, παραγωγίζουμε. Το αντίστροφο από συνάρτηση πυκνόδας πιθανότητας στην αθροιστική κατανομή ολοκληρώνουμε. Άρα τώρα θα πάμε και θα ολοκληρώσουμε βήμα-βήμα. Όταν το x μου είναι μικρότερο του μηδενός, τότε ολοκληρώνοντας το μηδέν τι θα έχω. Μηδέν, άρα το γράφω. Σε αυτό δεν έχω πρόβλημα. Τώρα πάω από μηδέν μέχρι το σαράντα και πάω να ολοκληρώσω. Όταν πάτε να ολοκληρώσετε θα γράψω από μηδέν μέχρι το x. Και εδώ πέρα, ποιος θα μου πει όταν ολοκληρώσω ότι θα γράψω από μηδέν έως x. Κουραστήκατε. Ο κύριος Γιούτες μου είπε να σας κρατήσει και παραπάνω. Ένα μισάρο παραπάνω, δεν σας έκανα διάλουμο. Θα είναι x τετράγωνο προς 2 από 1400. Άρα όταν έχω από μηδέν μέχρι σαράντα, έχω την αθροιστική μου κατανομή θα είναι x τετράγωνο προς 2800. Το καταλάβαμε. Τώρα θα πάω από σαράντα μέχρι εβδομήντα. Και τώρα θα ολοκληρώσω όμως, μπορεί να λέω από σαράντα σε εβδομήντα, αλλά στην αθροιστική θα πρέπει να πηγαίνω από το μηδέν μέχρι έως το x, δηλαδή θα πρέπει να λαμβάνω υπόψη μου και όλα τα προηγούμενα. Άρα παίρνω. Παιδιά, λίγο ηρεμία να τελειώσουμε. Και τώρα αυτό πως θα το ολοκληρώσουμε, λίγο να συμμετέχετε. Πες μου. Θέλω να το γράψω για όταν κάποιος πάει σπίτι να ξέρει τα βήματα που θα κάνουμε. Άρα τώρα θα πάω και θα γράψω. Αυτό πάει εδώ. Και τώρα όταν το x είναι μεγαλύτερο του εβδομήντα, το f του x τι θα είναι η αθροιστική κατανομή πάντα. Δηλαδή παίρνει όλα τα άλλα. Με προλάβατε. Καταλάβαμε πως βρίσκουμε την αθροιστική. Όταν πάμε να βρούμε την αθροιστική, στην αρχή ξεκινάμε από μηδέν. Όταν ήταν εδώ πέρα ολοκληρώνουμε πάντα από μηδέν έως χ. Και βάζουμε εδώ γιου δε γιου και βρίσκουμε αυτό εδώ το ολοκλήρωμα. Μετά στο τρίτο βήμα θα πρέπει να θρήσουμε όλα τα προηγούμενα επειδή είναι αθροιστική και να ολοκληρώσουμε από σαράντα έως χ. Άρα βάζω όπου έχει εδώ το σαράντα, σαράντα στη Δευτέρα προς δύο οχτακόσια, θρίζω δηλαδή αυτό ήταν μηδέν έτσι κι αλλιώς, θρίζω τα προηγούμενα και ολοκληρώνω αυτό από σαράντα έως χ. Και μετά αυτά όλα τα άλλα έβαζα στην ουσία εδώ όπου έχει το εβδομήντα μετά εδώ όπου τα προηγούμενα και θα ολοκλήρωνα εδώ πέρα και θα βρίσκω τη μονάδα. Πάντα δηλαδή στο τέλος το άθροισμα είναι η μονάδα. Και έτσι βρίσκουμε την αθροιστική. Και το τελευταίο ερώτημα, να το βρω. Το τελευταίο ερώτημα λέει δοκιμάζουμε το σχοινί σε τυχαίο σημείο του να υπολογιστεί η πιθανότητα ότι η αντοχή βρίσκεται μεταξύ 30 και 60. Άρα θα βρω την πιθανότητα το χ να είναι μεταξύ του 30 και του 60. Άρα έχω και την αθροιστική και τη συνάντηση πυκνώντας πιθανότητας. Εγώ διαλέγω με ποιον τρόπο θα το κάνω εφόσον έχω την αθροιστική όταν μου έχει πιθανότητες πάντα θα διαλέγω τον τρόπο να το βρίσκω με την αθροιστική. Οπότε όταν έχω πιθανότητα μέσω της αθροιστικής θα είναι η διαφορά f του 60 μειών f του 30 και όταν το χ είναι 60 σε ποια περίπτωση μέσα είμαι σε αυτήν εδώ. Και πάρ 70 μειών 60 προς 1050 όταν το χ είναι 30 σε ποια περίπτωση είμαι σε αυτήν 30 προς 1400 και θα αντικαταστήσετε και τις πράξεις θα τις κάνετε παιδιά τώρα είναι απλές. Δεν θα ξεχνάτε στις εξετάσεις να έχετε κομπιουτεράκι γιατί τα κινητά δεν επιτρέπονται. Πού είναι το σφουγγάρι μου γιατί δεν μου το είπατε πριν να τα γράψω το πρώτο είναι το f του 60 πάω σε εκείνη την περίπτωση. Με βόλευε είχε λιγότερα τέτοια λιγότερα λιγότερα νούμερα. 70 προς 60 προς 1050 μειών 60 εις τη Δευτέρα προς 200 πλιν και όταν είναι 30 είναι το πάνω 30 εις τη Δευτέρα προς 2800. Και θα αντικατοστήσετε και θα κάνετε τις πράξεις τώρα δεν έχει νόημα να τις κάνω είναι εύκολες οι πράξεις με το κομπιουτεράκι έτσι κι αλλιώς. Θέλετε να κάνουμε άλλη μια άσκηση εύκολη με ταζάρια. Ότι μου πείτε άλλη μια άσκηση είναι πανεύκολη. Γιατί με ταζάρια νομίζω μπορεί να έχει βάλει και καμιά φορά. Τι καταλάβατε κι αυτήν. Αυτό είναι για το. Ναι σε αυτό παίρνουμε από 40 όσχοι. Τα σβήνω. Και άλλη μια πολύ γρήγορη είναι πολύ απλή. Με ταζάρια. Λέει υποθέστε ότι με χ συμβολίζουμε την τυχαία μεταβλητή η οποία παριστάνει το άθρισμα των ενδείξεων δύο ζαριών. Δηλαδή ρίχνουμε δύο ζάρια και η τυχαία μεταβλητή είναι το άθρισμα που φέρνει τα δύο ζάρια. Δηλαδή ρίχνουν ένα και δύο η τυχαία μεταβλητή είναι το τρία δηλαδή το ένα συν δύο. Ποιο είναι το πεδίο τιμών της μεταβλητής χ. Ποιο θα είναι το πεδίο μεταβλητών της χ μεταβλητής μου. Το ένα θα είναι μέσα. Άρα το πεδίο τιμών μου θα είναι από το δύο μέχρι το δώδεκα. Αυτό το καταλάβαμε όλοι. Θα μπορεί να είναι από ένα συν ένα μέχρι έξι συν έξι. Αυτό το βιβλίο είναι η άσκηση 1 από το βιβλίο. Στην σελίδα 158. Και θέλει να βρούμε τώρα την πιθανότητα για κάθε τυχαία μεταβλητή χ. Δηλαδή την πιθανότητα να φέρει δύο την πιθανότητα να φέρει τρία μέχρι την πιθανότητα να φέρει δώδεκα. Το χ ίσο δύο. Πόσα ζεύγοι πιθανά ζεύγοι μπορούν να είναι. Το ένα ένα ας το γράψουμε. Άρα η πιθανότητα αυτή θα είναι ένα για το σύνολο όλων των ζευγαριών. Πώς βρίσκουμε το σύνολο όλων των πιθανών ζευγαριών. Έχουμε δύο ζάρια τα οποία έχουν από έξι αριθμούς. Δύο ζάρια από έξι αριθμούς και θέλουμε το άθροισμα. Θέλουμε να βρούμε πόσα πιθανά τέτοια ζευγάρια. Πώς θα το βρούμε αυτό. Δηλαδή έξι στη Δευτέρα έξι στο Τετράγωνο. Άρα όλα τα πιθανά ζευγάρια θα είναι 36. Επομένως εδώ πέρα έχουμε ένα ζεύγος στα 36 στο σύνολο. Η πιθανότητα θα είναι 1 προς 36. Θα πάμε στο πέχει ίσον 3. Πόσες περιπτώσεις έχουμε εδώ. Άρα η πιθανότητα θα είναι να τα γράφουμε όλα προς 36 γιατί μετά τα άλλα δεν θα μπορούμε να τα απλοποιήσουμε. Εδώ πέρα έχουμε το 1-3, το 3-1 και το 2-2. Άρα είναι 3 προς 36. Και αυτό μπορούσαμε να το απλοποιήσουμε. Να μου λέτε κι εσείς παιδιά. Αυτό είναι σαν παιχνιδάκι άσκηση για διάλειμμα. Αντί για διάλειμμα παίζουμε αυτό το παιχνίδι. Αλλά όχι τέτοια μουρμούρα. Με το 5 πώς μπορούμε να το κάνουμε. 1-4, 2-3, μπορούμε κάτι άλλο όχι. Άρα είναι 4 προς 36. Το πιο εύκολο για να μην σας φύγει κανένα, να μην τα πάτε, δηλαδή όπως μου τα λέγα τα 1-3-3, να παίρνετε. Με το 1 τι μπορεί να είναι. 1-5, μπορεί να γίνει κάτι άλλο με το 1 όχι. Πάτε στο 2, 2-4, μπορεί να γίνει κάτι άλλο με το 2. 3-3, μετά πάτε 4-2-5-1, για να μην σας φύγει κανένα, γι' αυτό. Και πάμε 5 προς 36. 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10. Μπαρεθήκατε. Αυτό είναι γελοίο για σας. Και με τον ίδιο τρόπο θα δουλέψετε με τα άλλα, δηλαδή άμα σας δοθεί μια τέτοια άσκηση, θα πάτε να βρείτε πρώτα πόσα θα είναι τα πιθανά ζεύγι. Ή μπορεί να σας δίνονται, ας πούμε, τρία ζάρια, να σας λέει για γινόμενο. Να σας λέει, δηλαδή, για κάτι άλλο. Πρώτα θα βρείτε ποια θα είναι αυτά τα πιθανά ζεύγι, θα βρείτε το πεδίο τιμών. Και μετά θα βρίσκετε όλες τις πιθανές περιπτώσεις για την κάθε τιμή. Και θα βρίσκετε την επιθανότητα. Και με αυτόν τον τρόπο θα δουλέψετε και για τα επόμενα. Σήμερα κάναμε όλο τον ιδόν της ασκήσεις. Απορία. Α, δεν μας ενδιαφέρει διάταξη, όχι. Όχι. Θέλουμε το... Είναι τα δύο ζάρια. Δεν μας ενδιαφέρει η διάταξη. Ναι, δεν είναι 21 οι περιπτώσεις. Είναι 36 ακριβώς επειδή δεν μας ενδιαφέρει η διάταξη.