Διάλεξη 11 / Διάλεξη 11 / σύντομη περιγραφή - Καρατζάς Κωνσταντίνος (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2015)
σύντομη περιγραφή: Αυτό είναι το πρώτο και τελευταίο μάθημα. Πραγματικά πρέπει να πω ότι δεν κατάλαβα το πώς πέρασε αυτό το εξάμινο και ήδη νοσταλγώ το εξάμινο που πέρασε. Από την άλλη είναι ώρα να τελειώνουμε αυτό το εξάμινο και πρέπει να πω ότι δεν κατάλαβα το πώς πέρασε αυτό το εξάμινο και πρέπει να πω ότι δεν κατάλαβα το πώς πέρασε αυτό το εξάμινο και πρέπει να πω ότι δεν κατάλαβα το πώς πέρασε αυτό το εξάμινο και πρέπει να πω ότι δεν κατάλαβα το πώς πέρασε αυτό το εξάμινο και πρέπει να πω ότι δεν κατάλαβα το πώς πέρασε αυτό το εξάμινο και πρέπει να πω ότι δεν κατάλαβα το πώς πέρασε αυτό το εξάμινο. Από την άλλη είναι ώρα να τελειώνουμε αυτό τον κύκλο μαθημάτων και να ολοκληρώσουμε και τις δράσεις μας και τις εκπαιδευτικές μας ενέργειες για να δούμε πώς πήγαμε. Δεν έχετε ξεκινήσει καν σε βιβλία των μαθηματικών τρία. Είναι το επόμενο εξάμινο ενταγμένο το μάθημα αυτό. Όμως περιγράφουν πάρα πολλά από τα φαινόμενα ενδιαφέροντος μηχανικού αφενός και αφετέρου ιδιαίτερα σε υπολογιστικά περιβάλλοντα όπως το MATLAB. Οι δυνατότητες διαχείρισης, επίλυσης, διερεύνησης που έχουμε είναι εξαιρετικές. Άρα λοιπόν δεν θα μπορούσαμε να τις αφήσουμε απέξω. Και στο δεύτερο μισό του μαθήματος θα ασχοληθούμε με το υπολογιστικό περιβάλλον Simulink σε MATLAB, το οποίο επίσης δίνει πραγματικά μια καινούργια οπτική και καινούργες δυνατότητες στη μοντελοποίηση συστημάτων. Για να ασχοληθούμε με τις διαφορικές θα δουλέψουμε στη βάση ενός παλαιού καλού παραδείγματος αυτού των αρμονικών ταλαντώσεων. Πρέπει να σας πω ότι η δυναμική των κατασκευών μηχανολόγου, μηχανικού και ιταλαντώσης μηχαντολογικών συστημάτων αποτελούν ένα από τα βασικά αντικείμενα έρευνας και διδασκαλίας και στο τμήμα μας και διερευνούνται σε πολύ μεγάλο βάθος. Οπότε λοιπόν θα δείτε τις λεπτομέρειες σε πλήρη έκταση στα αντίστοιχα μαθήματα στα επόμενα έτη. Παρ' όλα αυτά εγώ ξεκινώντας θα ήθελα να διαμορφώσω το τοπίο των διαφορικών το οποίο έχει να κάνει με τα εξής. Ότι αν σε μία εξίσωση βλέπω να υφίστανται ταυτόχρονα μία μεταβλητή χ, μία άγνωστη σε εμένα συνάρτηση ψήτου χ και μία ή περισσότερες παράγωγοι πρώτης, τέθερης, τρίτης τάξης αυτής της άγνωστης συνάρτησης τότε η εξίσωση ονομάζεται διαφορική. Άρα μια διαφορική εξίσωση εμπλέκει την ανεξάδητη μεταβλητή, την άγνωστη συνάρτηση αυτής της μεταβλητής και της παραγώγος της. Η επίλυση συνίσταται στην έβρεση της συνάρτησης. Αυτό επιδιώχομαι εδώ. Για ποιον λόγο? Διότι η συνάρτηση είναι αυτή που εκφράζει την δυναμική συμπεριφορά ενός συστήματος. Μια που ακριβώς επειδή οι διαφορικές εξησώσεις πέραν της άγνωσης μεταβλητής και της συνάρτησης εμπλέκουν παραγώγους αυτής, εμπλέκουν μεταβολές της συνάρτησης. Και οι μεταβολές αυτές έχουν να κάνουν το πώς ένα σύστημα, ένα πρόβλημα, μια κατασκευή, μια συσκευή μεταβάλλει τη συμπεριφορά, τη θέση, τη στάση, την ισορροπία της, ως προς το χρόνο. Άρα, εδώ μπαίνει το λεγόμενο δυναμικό στοιχείο. Δυναμικό, ίσον, μεταβαλόμενο με το χρόνο. Έχουμε πολλά παραδείγματα διαφορικών εξησώσεων. Από το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, που σας είναι γνωστός εδώ γραμμένο στη γενικευμένη του μορφή, το οποίος μας λέει κάτι πολύ απλό και πάρα πολύ χρήσιμο βέβαια, πως η πρώτη παράδογος του γυνομένου της μάζας και της ταχύτητας είναι η ίση με την δύναμη που ασχείται στο σώμα. Έχουμε τον νόμο της ραδιανεργούς διάσπασης που εμπλέκει τον συντελεστή διάστασης. Και επέλεξα και δύο εξησώσεις διαφορικές πολλών μεταβλητών, μια που τώρα στα μαθηματικά δύο είσαστε στις εξησώσεις πολλών μεταβλητών. Και είναι πολύ πιθανό ότι έχετε δει τέτοιες μορφές. Αυτές λοιπόν οι μορφές που βλέπετε δεν σας απασχολούν για λόγους απλά θεωρητικής μαθηματικής παιδιάς, αλλά για λόγους πρακτικούς, ρεαλιστικούς, διότι αυτή για παράδειγμα είναι η εξήσωση διάδοσης με το θερμότητες, όπου οι μερικές δεύτερης τάξεις παράγωγοι, όσπρος χ, ψ, ζ, δείχνουν τη σχετική μεταβολή της μετάδοσης θερμότητας. Και επάνω είναι η κυματική εξήσωση. Και επειδή βέβαια ήδη εσείς μαθηματικά αντιλαμβάνεστε την ομοιότητα που υπάρχει εδώ, δεν θα σας ξαφνιέζεται ο γεγονός πως η κυματική εξήσωση με την εξήσωση διάδοσης θερμότητας έχουν ομοιότητες μαθηματικές και όχι μόνο. Το μαθηματικό στοιχείο είναι η ακτινογραφία της ουσίας του προβλήματος. Άρα λοιπόν η γνώση της μαθηματικής δομής του προβλήματος είναι ισοδύναμη με τη γνώση του εσωτερικού, των συστατικών συστατικών του προβλήματος. Αυτά λοιπόν είναι στοιχεία διαφορικών και ακριβώς επειδή σε ένα κόσμο που συνεχώς μεταβάλλεται, οι διαφορικές αποτελούν τον τρόπο περιγραφής και μελέτης του, ακριβώς για αυτό το λόγο αποτελούν και σημαντικότατο αντικείμενο της δουλειάς του μηχανικού. Περνάμε λοιπόν στη βάση αυτών στις αρμονικές ταλαντώσεις. Θα δούμε απλή αρμονική ταλάντωση και φθύνουσα ταλάντωση. Θα δούμε τι εννοούμε εδώ, τα γνωρίζετε αυτά θα σας τα θυμίσω εν συντομία, σε αβαρές ελατήριο που ισορροπεί σε αρχική θέση. Κρεμώ μάζα M και παρατηρώ ότι επέρχεται μια ισορροπία δυνάμεων η οποία μας λέει ότι το βάρος της μάζας που έχει αναρτηθεί ως δύναμη ισούται με τη δύναμη που ασκεί το ελατήριο κατά την επιμήκυνση του. Αυτή η σχέση ισχύει καθόλου τη διάρκεια της κίνησης, είτε δηλαδή απλά το αναρτήσω και το αφήσω, είτε αφού ισορροπήσει το απομακρύνω από τη θέση ισορροπίας και το αφήσω να επιτελέσει η κίνηση. Αυτή η σχέση ισχύει συνεχώς. Δεν υπάρχει προφανώς στιγμή κατά την οποία να μην είναι η δύναμη του ελατήριου ήσοι με την βαρύτητα. Άρα, οι δυνάμεις αυτές μπορούν να αγνοηθούν και στη βάση αυτού, εφαρμόνοντας το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, λέμε πως το σύνολο των δυνάμεων που ασκούνται τελικά στο σώμα είναι ίσως με τη μάζα επί την επιτάχυνση του σώματος και εμπλέκω εδώ ως σύνολο δυνάμεων την σταθερά του ελατήριου και την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας. Κρέμασα τη μάζα, ισορρόπισε το ελατήριο. Αυτή τη στιγμή ισορροπίας δύναμη ελατήριου με δύναμη βάρους ισορροπούν. Εγώ όμως διαταράσω αυτή την ισορροπία απομακρύνοντας το σώμα από τη θέση ισορροπίας. Άρα, τεντώνω περισσότερο το ελατήριο. Αυτή η επιπρόσθετη επιμήκυνση συνεπάγεται επιπρόσθετη δύναμη η οποία ασκείται συνεχώς και εκφράζεται από το δεύτερο νόμο του Νεύθονα. Αυτή η σχέση, και σας θυμίζω ότι γράφαμε και στα ηλικιακά χρόνια, γράφατε την δύναμη ελατήριου με αρνητικό πρόσημο για να δείξετε τι πάντοτε είναι, αντίθετη στην κίνηση, έτσι. Αυτή η σχέση λοιπόν μίον Κεπιψή ίσον Μάζα Επιπιτάχυνση γράφεται και με αυτή τη μορφή όπου α είναι η επιτάχυνση, δηλαδή η δεύτερη παράγωγος της μετατόπισης ως προς το χρόνο, έτσι δεν είναι. Η πρώτη παράγωγος είναι η ταχύτητα, η δεύτερη είναι η μετατόπιση, είναι η επιτάχυνση και επ' αυτήν την έννοια η σχέση γράφεται μη Ψ δύστονο, σημαίνει η δεύτερη παράγωγος της μετατόπισης ως προς χρόνο, συν Κ συντελεστής ελατηρίου επί Ψ ίσο με το 0. Έχω λοιπόν αυτή τη διαφορική εδώ με την γραφή στη βάση των τόνων, εδώ με την πιο σύγχρονη αν θέλετε ή πιο γνωστή σε εσάς γραφή. Άρα το γινόμενο της Μάζας επί τη δεύτερη παράγωγος της μετατόπισης ως προς το χρόνο, συν την σταθερά του ελατηρίου επί τη μετατόπιση ίσο με το 0. Πώς επιλύεται αυτό διότι δεν ξέρουμε εμείς την μορφή που έχει η συνάρτηση η οποία εκφράζει την μετατόπιση. Δεν την γνωρίσουμε ότι είναι μια γραμμική συνάρτηση, είναι μια εκθετική συνάρτηση, είναι μια πολυονυμική συνάρτηση. Τι στο καλό είναι ως συνάρτηση. Κάνω κι ανένα μετασχηματισμό που θα τον μάθετε καλύτερα στο μάθημα των ταλαντώσεων διαιρώ με τη Μάζα, οπότε εδώ προκύπτει ένα ΚΕΠΕΜ, το οποίο βαφτίζω ΩΜΕΓΑΤΕΤΡΑΓΟΝΟ διότι είναι η γωνιακή συχνότητα ή η ιδιοσυχνότητα ένα χαρακτηριστικό μέγεθος του προβλήματος. Έχοντας λοιπόν όλα αυτά κατά νου, καθόμαστε και ατενίζουμε την συνάρτηση, αυτή την εξίδωση αυτή, μη έχοντας προς το παρόν εργαλεία μαθηματικής παρέμβασης και επίλυσης θα τα μάθουμε αυτά, θα τα μάθετε αυτά στα μαθηματικά τρία, χαρακτηρίζεται ως δευτεροτάξια διότι εμπλέκει παραγωγείο δεύτερου βαθμού και η λύση της όπως θα μάθετε και θα μάθετε και το πώς προκύπτει, εδώ σας τη δίνω απευθείας, είναι η εξής η συνάρτηση ψ που μας δίνει την μετατόπιση του σώματος από τη θέση ισορροπίας, συναρτήθη του χρόνου, είναι η σημαία, το ημίτων ωμέγα μηδέν τάφ επί βε μηδέν προς ωμέγα μηδέν, όπου βε μηδέν είναι η αρχική ταχύτητα που έχει, στη στιγμή που το απομακρύνω, τα αφήνω, κτανκ πετάγεται, έχει μια αρχική ταχύτητα. Ψη μηδέν είναι η αρχική απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας επί το συνειμήτων ωμέγα μηδέν τάφ. Δεδομένο λοιπόν για εμάς αυτό, προς χάρην συντομίως. Και η αρχική θέση λοιπόν στο σημείο μηδέν και η ταχύτητα στο χρόνο μηδέν. Εδώ το μηδέν τι σημαίνει όταν ξεκινάω χρόνος, απομακρύνω και στη στιγμή που αφήνω πατάω το χρονόμετρο. Άρα στο χρόνο μηδέν έχω μια αρχική ταχύτητα και μια αρχική απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας. Έτσι λοιπόν αυτή είναι η λύση της διαφορικής και μπορεί να γραφεί σε μια πιο συμπαγή μορφή. Σε αυτή τη μορφή ότι ψ του τάφ είναι α επιζύνους το ωμέγα μηδέν τάφ συν θήτα, κάνοντας χρήση τριγωνομετρικών ιδιωτήτων, διότι έχω ως α αυτό εδώ το μέγεθος, το πλάτος της παράτης ταλάνδωσης και εφαπτομένη θήτα ένα άλλο μέγεθος. Αυτή είναι απλά μαθηματική χειρισμή τριγωνομετρικού χαρακτήρα. Άρα λοιπόν είναι πράγματα που μπορούμε να κάνουμε. Ας τα θεωρήσουμε δεδομένα εδώ πάλι χάρη συντομίας. Από εκεί και πέρα μπορώ να επιλύσω μια τέτοια διαφορική στο MATLAB εδώ στη συγκεκριμένη περίπτωση. Γνωρίζω την αναλυτική λύση και θα δείτε στα μαθηματικά τρία διάφορες μεθόδους επίλυσης διαφορικών εξισώσεων δηλαδή έβρεσης της άγνωστης συνάρτησης. Αυτό όμως δεν είναι πάντοτε εφικτό. Υπάρχουν πάρα πολλά προβλήματα στα οποία δεν υφίσταται αναλυτική λύση. Αυτό πρέπει να το έχουμε κατά νου. Έχοντας αυτό κατά νου όμως πάμε τώρα να δούμε αν σε περιβάλλον MATLAB μπορώ να λύσω αναλυτικά. Αν το MATLAB δηλαδή πέραν της αριθμητικής επίλυσης που είδατε στο εργαστήριο της προηγούμενης εβδομάδας στο παράδειγμα του καφέ που ξύχετε, σωστόν, έχει και τη δυνατότητα να λύσει αναλυτικά. Να κάνει τις πράξεις επίλυσης, αναλυτικής επίλυσης της διαφορικής εξίσωσης. Η επίλυση στην περίπτωση της απλής αρμονικής ταλάντασης μπορεί να γίνει με τη χρήση της Dissolve. Είναι μια εντολή η οποία έχει την εξής σύνταξη. Dissolve η εξίσωσή μας μέσα στην παρένθεση όπου έχουν όλα τα ορίσματα κόμμα αρχικές συνθήκες κόμμα μεταβλητή επίλυσης. Δηλαδή, εδώ, εάν έχω αυτή την εξίσωση, αυτή δεν είναι η αρχική εξίσωσή μου. Τότε, σε συμβολική μορφή, διότι έτσι πρέπει να την μεταγράψω για να γίνει αντιληφτή στην συμβολική επίλυση που επιδιώκω εδώ, έχω την εξίσωση. Βαφτίζω μια μεταβλητή, Accuation, Nikos, LOL, Troll, όπως θέλετε. Ίσως, απλά, εισαγωγικά, στην αρχή και στο τέλος, οτιδήποτε υπάρχει μέσα είναι ένα string. Είναι μια συμβολοσυρά που, εδώ μας δίνει την εξίσωση, ο συμβολισμός είναι δε κεφαλαίο δύο σημαίνει δεύτερη παράγωγος ώσπρος του ψ. Άρα, αν θέλω να γράψω δεύτερη παράγωγος του ψ ώσπρος στην ανεξάρτητη μεταβλητή, θα γράψω δε κεφαλαίο δύο του ψ. Πέμπτη παράγωγος δε κεφαλαίο πέντε του ψ. Ωραία. Άρα, λοιπόν, αυτός ο όρος είναι ο όρος της δεύτερης παραγώγου. Συν ω, έτσι το βάφτισα, στο τετράγωνο επί ψ, ίσο με το μηδέν. Όλοι αυτοί είναι η διαφορική μου εξίσωση. Οι αρχικές μου συνθήκες, επίσης, είναι οι εξής, αυτές που είπα πιο πριν, δηλαδή η ταχύτητα της στιγμή μηδέν είναι η γη μηδέν και η μετατόπιση είναι η ψ μηδέν. Άρα, initial conditions, initial, το βαφτιζώ πάλι, οποιοδήποτε όνομα θα μπορούσα να δώσω στην μεταβλητή, της οποίας το περιεχόμενο είναι συμβολική μεταβλητή, γιατί, διότι περιέχει σύμβολο χεριθμούς, της οποίας το περιεχόμενο είναι οι αρχικές συνθήκες. Θα μπορούσα και εδώ να είναι σκουλικομυρνικότρυπα, βεβαίως. Είναι valid, είναι νόμιμο όνομα μεταβλητής. Ίσον, απλά εισαγωγικά, μέσα στα απλά εισαγωγικά, θα εγγράψω όλες τις αρχικές μου συνθήκες. Έχω μία αρχική συνθήκη ότι η D, όταν είναι 1, παραλείπεται η πρώτη παράγωγος. Έτσι, η D ψ σημαίνει, η D κεφαλότου ψ σημαίνει πρώτη παράγωγος του ψ ως προς μηδέν. Πρώτη ποια είναι η πρώτη παράγωγος του ψ σημαίνει μηδέν, πρώτη ποια είναι η πρώτη παράγωγος της μετατόπισης, η ταχύτητα. Άρα, η ταχύτητα, τη στιγμή που ο χρόνος είναι μηδέν, είναι ίση με 0,0 και η μετατόπιση, τη στιγμή που ο χρόνος είναι μηδέν, είναι ίση με ψ 0. Αυτό δεν συνέβη, έτσι όπως έστεισα το πρόβλημά μου. Οπότε, λοιπόν, έχοντας σε συμβολικό τρόπο, με συμβολικό τρόπο, εγγράψη τις μεταβλητές που δίνουν την εξίσουση και τις αρχικές συνθήκες, μπορώ να κάνω χρήση της Dissolve όταν εξής τρόπο. Τι είπα ότι κάνει η Dissolve, λύνει συμβολικά διαφορικές εξισώσεις. Η Dissolve, λοιπόν, εδώ, θέλει, είπαμε μέσα σε παρένθεση, ο ορίσμα, στοιχεία εισόδου, την εξίσουση και τις αρχικές συνθήκες. Και εάν παραλυφθεί, επειδή εδώ είναι μιας μεταβλητής, δεν χρειάζεται καν να δηλώσουμε το ως προς ποια μεταβλητή να λύσει. Δεν είναι συνάντηση πολλών μεταβλητών. Άρα, λοιπόν, Dissolve, Accuation και Initial Conditions. Θυμίζω ότι αυτά θα μπορούσαν να είναι οποιαδήποτε και πάλι ονόματα και ότι μέσα στα ονόματα αυτά υπάρχουν αντίστοιχα. Η εξίσουση διαφορική. Λέω εδώ ότι ο βασικός συμβολισμός έχει να κάνει με τη χρήση του D-κεφαλαίου ως παράγωγος. D2, D3, D4, D5, 25, 25 παράγωγος. Και από εδώ και πέρα μέσα στην δεύτερη μεταβλητή, όπως και να τη λένε, η Dissolve, δηλαδή, είναι τυφλή και λέει, θέλω μέσα στην παρένθεση μια πρώτη μεταβλητή στην οποία, εφόσον την ανοίξω, να βρω μέσα γραμμένη σωστά τη διαφορική, όπως και να τη λένε. Αμέσως μετά το κόμμα να ακολουθεί μια δεύτερη μεταβλητή, μέσα στην οποία θα βρω τις αρχικές συνθήκες, όπως και να τις λένε. Τα έχω αυτά στη θέση τους, θα προχωρήσω σε λύση. Και η λύση εδώ είναι αυτή. Είναι ο λίγον τι πολύ πιο εκεί, είναι exp του μίον ωμέγα τάφε πι Άι. Ωχ, τι είναι αυτό το Άι, είναι το γνωστό Άι των εγκαδικών. Δηλαδή η λύση είναι ε' στην μίον ωμέγα πι τάφε πι Άι, εσύ μίον ωμέγα πι τάφε πι Άι, εσύ μίον ωμέγα πι τάφε πι Άι, εσύ μίον ωμέγα πι τάφε πι Άι, εσύ μίον ωμέγα πι τάφε πι Άι, είναι ένα μακρινάρι. Και θα μου πείτε βέβαια ότι αγαπητέ, αυτή η λύση δεν μου μοιάζει και πολύ γι' αυτή. Αυτή δεν είπαμε ότι είναι η λύση της διαφορικής μας σε compact μορφή, μια τριγωνομετρική τέλος πάντων. Όμως εγώ με τη βοήθεια του δαίμονα του Μάξουελ εδώ, του εικονιδίου, θα θυμίσω ότι υπάρχει αυτή η σχέση του Euler, η οποία διασυνδέει μαγική σχέση, τους μηγαδικούς με την τριγωνομετρία. Οπότε λοιπόν, ισχύει πως ε' στην Άι ωμέγα μηδεν τάφ, είναι ίσο με κοζίνους το ωμέγα μηδεν τάφ, συν Άι ζίνους ωμέγα μηδεν τάφ. Εφόσον αυτό ισχύει και η σχέση του Euler ισχύει, είναι ξαναλέω, το μονοπάτι που συνδέει, που μας δείχνει μάλλον την διασύνδεση που υπάρχει μεταξύ τριγωνομετρίας και μηγαδικών, τότε αυτή εδώ η σχέση ξέρετε πως γράφεται, αν κάνετε πράξεις. Και σας προσκαλώ να κάνετε τις πράξεις αν θέλετε. Καταλήγουμε σε αυτή. Άρα τελικά το Matlar τι κάνει? Το έχουμε συνειδητοποίηση. Επιλεί συμβολικά, αντί για εμάς, την διαφορική εξίσωση. Θα μου πείτε παρακάμπτι τα μαθηματικά τρία, ζήτο. Δεν είναι ακριβώς έτσι. Διότι δεν έχει κανένα νόημα να ταΐζουμε τυφλά, χωρίς να γνωρίζουμε τις μαθηματικές λεπτομέρειες και την φυσική τους σημασία. Πάντως, γεγονός είναι ότι, και αυτό θέλω να μείνει σε εσάς, με το Matlar μπορώ να επιλύσω συμβολικά διαφορικές εξισώσεις, όχι όλες. Υπάρχουν πολλές που δεν επιλύονται, αυτές που δεν επιλύονται και με το χέρι, δεν επιλύονται και με το Matlar, διότι δεν υπάρχουν αλγόριθμοι επιλύσεις. Εκεί μπορούμε να επιλύσουμε όμως αριθμητικά. Έχουμε αυτό το μεγάλο πλεονέκτημα. Και στη βάση αυτού μπορούμε να διερευνήσουμε χαρακτηριστικά του προβλήματος με το οποίο ξεκινήσαμε σήμερα. Οι καμπύλες είναι πολλές και τα γράμματα είναι πάρα πολύ μικρά. Οπότε, συνοπτικά θα σας πω τι συμβαίνει εδώ. Αν επιλύσω για διάφορες τιμές της ιδιοσυγχνότητας, είναι 1, 2, 3 και 4, είναι 1, 2, 3 και 4 οι τιμές της ιδιοσυγχνότητας και με αρχικές συνθήκες από μακρινή συνδέκα και αρχική ταχύτητα τη στιγμή εκείνη 0, δηλαδή όταν το αφήνω το σώμα, τεντώνω το ελατήριο με τη μάζα από κάτω, το αφήνω. Τι σημαίνει αρχική ταχύτητα 0? Σημαίνει ότι το αφήνω και τη στιγμή εκείνη έχει ταχύτητα, τη στιγμή 0. Όχι. Μετά θα αρχίσει να επιταχύνει. Αν όμως εγώ εκείνη τη στιγμή του δώσω και μια κτινγκ, ώθηση τότε έχει και αρχική ταχύτητα. Αυτή είναι η διαφορά. Προσοχή στις λεπτομέρειες. Οι λεπτομέρειες καθορίζουν τα στοιχεία του προβλήματος. Άρα λοιπόν βλέπετε πώς διαφορετική ιδιοσυγχνότητα, πώς δηλαδή με το ίδιο ελατήριο και την ίδια αναρτώμενη μάζα και την ίδια απομάκρυνση έχω διαφορετικές τι? Ταλαντώσεις εξαιτίας ενός μεγέθους. Της ιδιοσυγχνότητας, η οποία βέβαια είναι πια… Συγγνώμη, ας γυρίσω πίσω. Είναι το K2M, άρα δεν είναι ακριβώς η ίδια μάζα, όπως σας είπα. Κάτι από τα δύο έχω αλλάξει. Άρα, αν αλλάξω είτε το ελατήριο είτε τη μάζα, αλλά κρατήσω την απομάκρυνση η ίδια, και κάνω την ιδιοσυγχνότητα από ένα, είσαι με δύο, είσαι με τρία, έχω σταθερά ελατειρίου προς μάζα, τον κάνω από ένα, δύο, τρία, τέσσερα, τότε αλλάζει και η ταλάντωση εδώ. Ξαναλέω λοιπόν, και το γράφω αυτό, αυτό το ω0, τετράγωνο, είναι η σταθερά του ελατειρίου προς τη μάζα του σώματος, όπου έχω το ελατήριό μου εδώ, την αρχική θέση στην οποία είναι η μάζα, και τη θέση στην οποία βρέθηκε μετά την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας. Αυτή είναι η θέση ισορροπίας, αυτό είναι το ψ0, τη στιγμή 0, το απομάκρυνα και τη στιγμή που πατάω το χρονόματρο το αφήνω. Άρα πόσο αφέχει από τη θέση ισορροπίας, ψ0 και η ταχύτητα τη στιγμή 0, και προφανώς αν αλλάξω, ξαναλέω, το λόγο μεταξύ σταθεράς ελατειρίου και μάζας, τότε αλλάζει η συχνότητα. Αν ήσασταν πάνω σε ένα αυτοκίνητο, πού θα ήθελετε να είσαστε, εδώ ή εδώ. Τι νομίζετε ότι θα ήταν ανετώτερο για εσάς. Το ευρωσταλάνδοσης παραμένει το ίδιο. Βλέπετε πως δεν παραμένει το ίδιο το ευρωσταλάνδοσης. Μάλλον, να σας πω και τι δείχνουν τα διαγράμματα, γιατί δεν τα βλέπετε από απόσταση και έχετε δίκιο. Αριστερά είναι το ευρωσταλάνδοσης, άρα βλέπουμε ότι παντού το ευρωσταλάνδοσης είναι προφανώς το ίδιο, ψ0. Εννοείτε ότι δεν μπορεί να φύγει πιο πέρα από την αρχική απομάκνηση. Δεξιά όμως, ξέρετε τι βλέπετε. Την πρώτη παράγωγω, την ταχύτητα. Αυτό που βλέπετε είναι η ταχύτητα. Άρα όταν βλέπετε αυτή την τιμή εδώ, αυτή την τιμή είναι 10 μέτρα το δευτερόλεπτο. Αυτή η τιμή εδώ όμως είναι 20 μέτρα το δευτερόλεπτο. Αυτή είναι 25 και αυτή είναι 40. Άρα μεταβάλλοντας απλά τον λόγο σταθερά σαλατηρίου προς ΜΑΖΑ, ναρτόμενη, εγώ μεταβάλλω όχι μόνο την συχνότητα αλλά και την ταχύτητα κίνησης. Άρα ξαναρωτώ, αν ήσασταν μέσα σε αυτοκίνητο σε ποιο θα θέλετε αν είσαστε από τα 4. Που νομίζετε ότι θα αισθανόσασταν ανετώτερα. Τι θέλετε όταν είσαστε μέσα στο αυτοκίνητο. Να κινείτε αργά όταν σκαμπανεβάζεις το οδόστρωμα και με χαμηλή ταχύτητα ή να κινείτε γρήγορα και με μεγάλη ταχύτητα. Απλό ερώτημα είναι. Προφανώς το πρώτο. Άρα λοιπόν να πως αρχίζει και μπαίνει κανείς στα στοιχεία σχεδιασμού της ανάρτησης ενός οχείματος. Αν σας ενδιαφέρει λοιπόν το να αντιληφθείτε πως δουλεύει ένα όχημα ανάμεσα στα πολλά άλλα που πρέπει να μάθετε είναι και ταλαντώσεις και δυναμικοί. Και βέβαια αν θέλετε να το κάνω πιο ανθρωποκεντρικό ακόμη να σας πω το εξής. Κρανείο. Η ζωγραφική μου σκοτώνει. Στόμα. Ισοφάγος. Στομάχι. Σπονδυλική στήλη. Την κάνω από πίσω. Έτσι. Σπονδυλική στήλη. Πόδια. Τι είναι ελαστικό και τι δεν είναι εδώ. Η σπονδυλική στήλη σε σχέση με τον ισοφάγο είναι σταθερή. Άρα λοιπόν αν δείτε το ανθρώπινο σώμα, είπαμε ότι ο μηχανικός αρχίζει και βλέπει τον κόσμο αλλιώς. Αν δείτε τον ανθρώπινο σώμα έτσι, τότε πρακτικά είναι σαν να λέμε ότι το στωμάχι μας κρέμεται από το κρανείο μας μέσω ενός ελατηρίου που είναι ισοφάγος. Έτσι δεν είναι. Δεν μπορεί να ανεβοκατεβεί το στωμάχι μας. Αυτό δεν συμβαίνει. Προφανώς. Δεν είναι σταθερό. Το μόνο που συνδέει το στωμάχι μας με οτιδήποτε άλλο είναι ο ισοφάγος. Αυτή η σωλήνα που πηγαίνει μέχρι το σημείο εισόδου της τροφής. Σωστά. Όταν λοιπόν κάποιοι από εμάς, εγώ είμαι μέσα, παθαίνουμε ναυτία, τι συμβαίνει, χωρίς να θέλω να γίνω αιμετικός πρωί πρωί, αυτό που συμβαίνει είναι ότι περιεχόμενο του στωμάχου εξέρχεται σωστά. Τι σημαίνει αυτό, προσέξτε με. Τι σημαίνει αυτό, τι άλλαξε, αυτή η ισχέση δεν ισχύει σε αυτή την ταλάντωση. Διότι σκαμπανεβάζουμε στο αυτοκίνητο, στο αεροπλάνο, στο πλοίο, εκεί όπου παθαίνουμε ναυτία. Δεν ισχύει αυτή η ισχέση, πάντα ισχύει. Τι άλλαξε με την εξαγωγή τμήματος της μάζας του στωμάχου, αυτό. Ο οργανισμός μας τι έκανε, έκανε το εξής πολύ απλό. Αντελήφθη ότι υπάρχει ένα σύστημα σε μια κατάσταση που τον φέρνει σε δύσκολη θέση και αποφασίζει ότι είσο πάγο δεν μπορώ να αλλάξω. Περιεχόμενο στωμάχου μπορώ να αλλάξω. Δεν το αλλάζω μήπως και μεταπέσω σε μια κατάσταση όπου αυτή η ιδιοσυχνότητα θα είναι καλύτερη για μένα. Άρα το αποτέλεσμα της ναυτίας είναι μια προσπάθεια του οργανισμού μας, ερμηνεία μηχανολόγου μηχανικού αυτή, να μεταπέσει σε μια κατάσταση διαφορετικής λειτουργίας, η οποία θα είναι περισσότερο ανεκτή από τα αισθητήρια ναυτίας που έχουν. Οπότε λοιπόν μπορείτε να εξηγήσετε τη ναυτία και μένα τέτοιο τρόπο. Θα μου πείτε, εγώ βλέπω πως καθώς αυτό το κλάσμα μειώνεται, δηλαδή όταν μειώνεται η μάζα, αυτό εδώ αυξάνει το κλάσμα, έτσι δεν είναι. Άρα πηγαίνω προς τα κάτω, αλλά δεν ξέρουμε από πού ξεκινάει και δεν ξέρουμε ποιες είναι οι συχνότητες που επηρεάζουν. Μπορεί δηλαδή το στωμάχι μας να είναι καλύτερα εδώ από ότι εδώ ας πούμε, έτσι. Λοιπόν, πώς μπορούμε να εξηγήσουμε πολλά και όλα ξεκίνησαν με μια συζήτηση του τι είναι ταλάντωση, πώς εκφράζεται με τη βοήθεια μιας εξίσωσης, ποια είναι η μορφή της λύσης της εξίσωσης, εβουαλά. Και τι σημασία φυσική έχει η εξίσωση. Η δουλειά του μηχανικού λοιπόν είναι να ξεκινήσει από το πρόβλημα, να το μαθηματικοποιήσει πλήρως ώστε να έχει μια γλώσσα στιβαρή, σταθερή, την οποία στους χειρισμούς να γνωρίζει απόλυτα και στη φάση των χειρισμών αυτόν να μεταδεί από το πρόβλημα στην λύση και όταν έχει τη λύση στα χέρια του να μπορεί να την ερμηνεύσει με όρους του φυσικού κόσμου και του μηχανικού συστήματος που μελετά. Αυτό κάνουμε. Αυτή είναι η διαφορά του μηχανικού από τους άλλους. Κλείνει τον βρόχο. Έτσι ξεκινά από το πρόβλημα, το μαθηματικοποιεί, επιλύει, κάνει ό,τι χρειαστεί και διερευνά τη λύση και ξαναγυρίζει στο πρόβλημα, εξηγώντας πλέον τη λειτουργία του συστήματος. Με τον ίδιο τρόπο, τι έχω αλλάξει εδώ. Είναι το ίδιο, έτσι. Α, πώς προέκυψαν τα σχήματα, βέβαια. Πώς προέκυψαν τα σχήματα, λοιπόν, να σας δείξω κάτι τώρα εδώ. Πώς προέκυψαν τα σχήματα αυτά που είναι πολλά σε ένα σχήμα, έτσι. Πρώτα απ' όλα, για να γυρίσουμε, πρακτικό θέμα είναι, αλλά όχι εναιδιαφέρον. Προσέξτε τι κάνω εδώ, επειδή έχω τέσσερα και τέσσερα οκτώ σχήματα. Όπως θα θυμάστε, στη σελίδα αυτή έχω οκτώ σχήματα. Πρώτο, δεύτερο, τρίτο, πέταρτο, πέμπτο, έκτο, έβδομο, όκδο. Πώς κατασκευάζω σε MATLAB τέτοια πολλά σχήματα. Προφανώς χρησιμοποιώ subplots, το έχουμε ξαναακούσει, όμως, να δούμε κάτι. Πρώτα απ' όλα, χρειάζομαι να θυμίσω ότι αριστερά ήταν τα ψή, οι μετατοπίσεις, και δεξιά ήταν οι ταχύτητες, που είναι πρώτοι παράγωγος. Άρα είναι ψητόνος, ή αλλιώς είναι το ολοκληρώμα της ψηδίστωνος. Ε, απλά πράγματα. Ή ολοκληρώνεις την επιτάκυνση, ή παραγωγίζεις την μετατόπιση, για να καταλήξεις την ίδια παράγωγη. Έχω τέσσερα διαγράμματα και θέλω να τα φτιάξω για τέσσερα διαφορετικά ωμέγα. Οι τιμές του ωμέγα, του ωμέγα 0 δηλαδή, είναι 1, 2, 3, 4. Ορίζω τις τιμές αυτές, σωστά. Και του λέω τώρα, για ΆΙΜΑΚΣ ίσον με το length του ωμέγα, ποιο είναι το length του διανύσματος ωμέγα, τέσσερα στοιχεία δεν έχει το ωμέγα, μήκος τέσσερα έχει λοιπόν. Για length ίσον τέσσερα, για ΆΙΑΠΟΕΝΕΩΣ τέσσερα, λύσε, προσέξτε, equation είναι οι δύο, αν δεν θέλω την προσοχή σας, έχω έναν τρόπο να δημιουργώ τη στιγμή που κάνω το γράφημα για τις εξισώσεις. Προσέξτε πώς το κάνω. Η εξίσωση δεν είναι πάντοτε ανάμεσα σε απλά εισαγωγικά, σωστά. Δεν το είπαμε ότι η εξίσωση είναι ανάμεσα σε απλά εισαγωγικά. Άρα αυτή είναι μια εξίσωση, τη βλέπετε εσείς και λέτε πολύ λογικά, πάει ο Καρατζάς τον χάσαμε. Είναι το D2ΨΝ, ανάμεσα σε απλά εισαγωγικά. Κόμμα, είναι το NUM TO STRING του ΩΜΕΓΑΙ. Τι είναι αυτό? Η εντολή NUM TO STRING μετατρέπει έναν αριθμό σε σύμβολο. Έχω τον αριθμό 1 και θέλω να γίνει το σύμβολο 1. Το ΩΜΕΓΑ για ΆΙΣΟΝ 1 πόσο είναι? 1. Και μετά αυτό το ΩΜΕΓΑ στο τετράγωνο συμψεί, κλείνει. Οπότε ενώνει ουσιαστικά, τώρα έχω ένα puzzle. Η εξίσουσή μου αποτελείται από το πρώτο μέρος που είναι η δεύτερη παράγωση του ΨΙ, από το δεύτερο μέρος που είναι το ΩΜΕΓΑ στο τετράγωνο και το τρίτο μέρος που είναι το 2ΨΙ ίσο με το 0. Έτσι λοιπόν έχω όλη την εξίσουση για ΩΜΕΓΑ ίσο με 1, για ΩΜΕΓΑ ίσο με 2, 3 και 4. Από κάτω λέω ΨΙ του ΆΙ, άρα όταν το ΩΜΕΓΑ είναι 1, το ΨΙ του ΆΙ είναι dissolve, τι κάνω? Επιλείω. Ποια? Την εξίσουση που μόλις έφτιαξα πιο πάνω. Με αρχικές συνθήκες δε του ΨΙ μηδέν ισον 0, ΨΙ μηδέν ισον 10, τελείωσα. Και η ταχύτητα, επειδή η ΨΙ είναι η μετατόπιση, σωστά, και η πρώτη παράγωση της μετατόπισης είναι η ταχύτητα. Δεν θέλω την ταχύτητα δίπλα. Η ταχύτητα είναι differentiate, παράγωγος, συνάρτηση που παράγει παραγόγους. Υπολογίζει συμβολικές παραγόγους. Η ταχύτητα είναι η παράγωγος της ΨΙ. Έτσι λοιπόν, για κάθε ΩΜΕΓΑ, για κάθε ΆΙ, για κάθε ένα από τα 4 ΩΜΕΓΑ, επιλείω τη στιγμή που τρέχει το loop, δημιουργώ την εξίσωση, επιλείω και υπολογίζω και την, η επίλυση υπολογίζει την ΨΙ και παραγωγίζω και μια φορά για να υπολογίζω την ΨΙ τόνος που είναι η ταχύτητα. Αυτό το κάνω τέσσερις φορές και έτσι έχω όλα τα ζεύγη. Θα μου πείτε εντάξει άντε και να το καταπιούμε αυτό, τέλος πάντων είναι σχετικό μάσημα. Όπως προς τα γραφήματα αυτά καθεαυτά, λοιπόν, πρώτα απ' όλα δείχνω εδώ την εξίσωση, έτσι. Τα γραφήματα τώρα θυμίζω πράγματα που αφορούν την κατασκευή γραφημάτων. Όταν θέλω η εικόνα μου να παραμείνει σταθερή και να τη χτίσω με subplots, χρησιμοποιώ την εντολή figure η οποία δημιουργεί το πλαίσιο της εικόνας, το σκελετό της εικόνας και το κρατάει σταθερό ώστε να μπορώ να ρίχνω επάνω διάφορα subplots. Τη βαφτίζω και 10, γιατί μπορώ να έχω πολλές, 10, 20 και τα λοιπά, μπορώ να της δώσω ένα οποιοδήποτε όνομα. Για i από 1 ως imax, το imax είναι πόσο, 4. Subplot του imax, προσέξτε τώρα ποια είναι η σύνταξη της subplot. Subplot του imax, κόμμα 2, κόμμα 2, κόμμα 1, του σκότωσες όλους, έτσι. Ξανά, δημιουργώ ένα subplot, τι κάνει η εντολή subplot, δημιουργεί ένα τμήμα μιας γραφικής παράστασης. Ποιο, για imax-1 εδώ, για να το μεταφράσουμε, subplot του 1, κόμμα 2, κόμμα 2 επί 1, 2-1, 1, έτσι. Η σύνταξη της subplot εδώ είναι η εξής και η σημασία της subplot. Γραμμές, κόμμα, στήλες, κόμμα, ενεργή στήλη. Άρα, γραμμές, είμαστε στη γραμμή 1. Σωστά. Γραμμή 1, το imax, οπότε ξεκινά από 1 και παίρνει τιμές 1, 2, 3, 4. Είμαι στη γραμμή 1. Κόμμα, στήλη, 2, κόμμα, ενεργή στήλη. Άρα, είναι μία γραμμή. Αυτό λοιπόν που λέω στο γράφημα είναι ότι η πρώτη γραμμή θα έχει δύο στήλες. Έτσι, η subplot θέλει αριθμό γραμμών, αριθμό στυλών, πόσες γραμμές θα έχει όλο το γράφημα, για να φτιάξω το τμήμα που μου λες. Η subplot λοιπόν ουσιαστικά λέει στο γράφημα, το imax πόσο είναι? Τέσσερα, δεν είναι τελικά. Το i είναι από 1 έως 4. Εγώ μπερδεύτηκα λίγο πριν. Το imax είναι 4, άρα λέει η subplot στον υπολογιστή μας. Θα μου φτιάξεις μία εικόνα που θα έχει θέση για πόσες γραμμές? Τέσσερις. Τέσσερις. Πόσες στήλες? Δύο. Και τώρα θα σου πω αμέσως μετά τι θα βάλεις στην ενεργό στήλη. Η ενεργό στήλη είναι η 2 επί 1, 2 επί i το i είναι 1. Μειών 1, έτσι, άρα είναι η πρώτη στήλη και η δεύτερη και αρχίζει και μετράμετα. Πρώτο, δεύτερο γράφημα, τρίτο γράφημα, τέτατο γράφημα, πέμπτο γράφημα, έκτο γράφημα, έβδομο γράφημα, όπλο γράφημα. Ωραία. Και λοιπόν κάθε φορά, γι' αυτό βλέπετε ότι όταν για παράδειγμα το i γίνει 4, ποια τιμή παράγεται εδώ? 2 επί i, 2, 4, 8, μειών 1, 7. Το πρώτο γράφημα της τέταρτης είναι το έβδομο και το επόμενο είναι το 2i. 2, 4, 8. Οπότε το πρώτο γράφημα είναι το ψ του i και το δεύτερο είναι το ψιτόνος του i. Έτσι λοιπόν κατασκεύασα ένα σύνολο από γραφήματα μέσα στο ίδιο τελικό συνολικό γράφημα με τέσσερις γραμμές και δύο στήλες όπου σε κάθε γραμμή το πρώτο είναι η μετακτόπιση και το δεύτερο είναι η ταχύτητα για το συγκεκριμένο ω0. Ω0 ίσον 1, Ω0 ίσον 2, Ω0 ίσον 3, Ω0 ίσον 4. Και με αυτόν τον τρόπο μπορώ να κατασκευάσω τα γραφήματα αυτά και έτσι να διερευνήσω για ποιο λόγο το κάνω, όχι απλά για να γνωρίσω την ικανότητα του ΜΑΘΛΑΠ, περισσότερα πράγματα σε σχέση με την ικανότητα του ΜΑΘΛΑΠ να κατασκευάζει γραφικές παραστάσεις, αλλά μέσω αυτού να δω πως μπορώ να διερευνήσω χαρακτηριστικά τις λύσεις. Γιατί εμένα δεν με ενδιαφέρει να θαυμάζω το ΜΑΘΛΑΠ, εμένα με ενδιαφέρει να διερευνώ τη λύση. Μπορώ να παράγω αυτό εδώ το γράφημα και έτσι να κάνω όλη την ανάλυση που προηγήθηκε. Και βέβαια, μπορώ τώρα να επιλύσω για διαφορετικές συνθήκες, δηλαδή για άλλο Β0, για άλλο Ψ0 και να δω τις διαφορές. Και έτσι να δω περισσότερα πράγματα ως προς τα χαρακτηριστικά της λύσης. Βλέπετε εδώ το εύρος είναι 5, 5 και 10. Εδώ έχω το Β0 Ψ0 Ψ0 Ψ10. Έχω διαφορετικές λύσεις και άρα έχω διαφορετικά πλάτη ταλάντωσης, 10, 5 και 5,385 και φάσης ταλάντωσης, όπου φάση είναι η αλλαγή της αρχικής κονιακής ταχύτητας. Αυτά θα τα μάθετε σε ελεκτομέρειες της ταλάντωσης, όμως θέλω να έχετε την εικόνα του πώς μπορείτε να κατασκευάσετε τις λύσεις και να διευτευνήσετε τη συμπεριφορά τους. Ερωτήσεις εδώ, παρακαλώ. Ρωτά ο συνάδελφος εδώ. Για ποιο λόγο βάλαμε δύο Ι. Για να το δούμε πάλι, η σύνταξη της subplot είναι. Subplot σημαίνει ότι αυτόματα χωρίζω το figure σε υποπεριοχές. Περιμένει, λοιπόν, να μας πει, περιμένει ο υπολογιστής να του πούμε σε πόσες περιοχές. Η subplot χωρίζει σε γραμμές και στήλες. Πόσες γραμμές θέλω, τέσσερις. Imax, που είναι τέσσερα. Πόσες στήλες θέλω, δύο. Και το πρώτο γράφημα που θα τοποθετηθεί, αυτό δεν θέλω να είναι το πρώτο γράφημα, που είναι η μετατώπιση για ω0. Άρα, η τρίτη είναι η ενεργός στήλη, που αριθμίται όμως αυξητικά. Πρώτη στήλη, δεύτερη στήλη, τρίτη, τέταρτη, πέμπτη, έκτη, εβδομή, όγδοη. Άρα, το πρώτο γράφημα που θα τοποθετηθεί στη θέση 1. Δύο φορές το I. Το I πόσο είναι? 1. 2. Μίον 1, 1. Πάμε στο δεύτερο γράφημα. Δύο φορές το I. 2 x 1. Για επόμενο I. Έκλεισε το loop. Τώρα το I έγινε από 1, 2. Δύο φορές το I. 2 x 2, 4. Μίον 1, 3. Εδώ. 4. 5. 6. 7. 8. Άρα λοιπόν, ναι, και καλά κάνεις και τον ρωτάς αυτό, πρέπει να διευκρινίσουμε ότι στην subplot, εκτός από το ότι πρέπει να ορίσουμε γραμμές και στήλες, μετά η θέση του κάθε γραφήματος αριθμείται από πάνω, αριστερά, προς κάτω, δεξιά, αυξητικά. Αν είχα τρεις στήλες, ήταν 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Πάντοτε, λοιπόν, αυτή είναι η λογική. Ερώτημα. Η figure, λοιπόν, τι κάνει, η figure σαν εντολή δημιουργεί το πλαίσιο του γραφήματος και το κρατά σταθερό, ώστε κάθε φορά που δημιουργείται ένα plot, να μην διαγράφεται το προηγούμενο γράφημα για να προκύπτει το καινούριο. Να μπορούμε, λοιπόν, να βάλουμε τα πολλαπλά subplots, υπογραφήματα, μέσα σε μια figure. Γιατί η οντότητα σε επίπεδο MATLAB, που περιγράφει όλη την εικόνα, είναι το figure. Έτσι, λοιπόν, μπορούμε να το κρατήσουμε εκεί. Ενώ, όταν θέλουμε πάνω στη ολόκληρη την εικόνα, να βάλουμε μία άλλη εικόνα που καταλαμβάνει τον ίδιο χώρο, όχι υποχώρο, τότε δεν χρησιμοποιούμε αυτή τη λογική, αλλά την hold on. Hold on που λέει μην είναι στη θέση σου αρχική εικόνα, να βάλω επάνω το δεύτερο, το τρίτο, το τέταρτο επίπεδο και έτσι να βλέπω πολλαπλές εικόνες μαζί, σαν να είναι όλες πάνω σε διαφανή χαρτιά, ζωγραφισμένες. Αυτή είναι η διαφορά. Θα δούμε το ίδιο πρόβλημα, αλλά πλέον, οι δαλάντες είναι φθήνουσα και αυτοί είναι πολύ πιο κοντά στην πραγματικότητα μιας ανάρτησης οχείματος, για παράδειγμα, η ποδηλά του ή μοτοσυκλέτας ή οτιδήποτε άλλο. Εδώ, εκτός από το ελατήριο, έχουμε και έναν αποσβεστήρα. Διαφορετικά θεωρητικά, εάν δεν υπήρχε, δηλαδή, η τριβή, το σώμα δεν θα σταματούσε ποτέ. Όμως, έχουμε μία δύναμη απόσβεσης, είναι η δύναμη τριβής, πάντοτε αντίθετη στην κίνηση. Γι' αυτό λοιπόν και φέρει το αρνητικό πρόσημο και μάλιστα είναι ανάλογη της ταχύτητας, εξού και το γεγονός πως ο συντελεστής αποσβεσής πολλαπλασιάζεται με την πρώτη παράγωγος μας στην μετατόπιση, πρακτικά με την ταχύτητα. Άρα, όσο πιο πολύ πας να κινηθείς, τόσο περισσότερο ο αποσβεστήρας την κίνηση. Αυτό συμβαίνει και στους αποσβεστήρες οχημάτων. Όπως ίσως έχετε παρατηρήσει, ειδικά εάν κάποια από εσάς έχετε εμπειρία μετακίνησης με απλά αγροτικά οχήματα τα οποία δεν φέρουν αποσβεστήρες. Εάν δηλαδή πρακτικά ανεβείτε στην καρότσα ενός αγροτικού, το οποίο ως ανάρτηση έχει ελατήρια μόνο, δεν έχει αποσβεστήρα, θα δείτε ότι πραγματικά αισθάνεστε ότι είστε μέσα σε ένα πληντήριο. Σε αντίθεση με αυτό το αίσθημα, αυτό που εισπράτεται εντός ενός οχήματος είναι πως ακόμα και μια απότομη μετακίνηση αποσβένεται πολύ γρήγορα και με ταχύτητα ανάλογη με αυτή με την οποία έγινε αρχική μετακίνηση. Αυτό επιδιώκουμε. Εδώ λοιπόν έχουμε πέραν της γωνιακής συχνότητας και ιδιοσυχνότητας και μια άλλη σταθερά, σημαντική, απόλυτα σημαντική για την αρχιτεκτονική, μάλλον για τη λειτουργία της αποσβέσης, που είναι το μέτρο αποσβέσης του συστήματος και είναι ίσο με το Σε, που είναι η σταθερά της αποσβέσης, διαιρεμένο με το δύο ρίζα ΚΕΜΑ. Άρα στον παρονομαστή έχω έναν όρο μάζας του σώματος και έναν όρο σταθεράς ελατηρίου και στον αριθμητή έχω την σταθερά αποσβέση. Η διαφορική μου γράφεται έτσι τώρα. Προσέξτε, μη Ψ δύστονο, μη επί δεύτερη παράγωγος του Ψ, επί Σ Ψ τόνος, Σ Κ Ψ είσο με το μηδέν δηλαδή, μη επί Δ, έτσι, αυτός είναι ο πρώτος όρος, Σ Σ ΔΤΨ προς ΔΤΕ, Σ ΚΕΜ Ψ είσο με το μηδέν. Και, εάν διαιρέσω κτλ, μεταβαίνω σε μία μορφή η οποία εμπλέκει την ιδιοσυχνότητα και το μέτρο απόδοσης του συστήματος. Έχω και εδώ, ευτυχώς, αναλυτική σχέση. Η διαφορική είναι μια δευτεροτάξια διαφορική και η γενική της λύση, την προσοχή σας εδώ, μπαίνουμε σε κάτι άλλο που περιγράφει τις διαφορικές, είναι μια οικογένεια λύσεων, δεν είναι μία, είναι άπειρες. Οποιαδήποτε, τι σημαίνει αυτό, αυτό σημαίνει ότι οποιαδήποτε ψή, συνάρτηση της μορφής ΣΕΝΑ ΕΠΙΕΨΛΟΝΙΣΤΗΝ, λάμδα ένα τάφ συν ΣΕΝΑ ΕΠΙΕΨΛΟΝΙΣΤΗΝ λάμδα δύο τάφ, οποιασδήποτε τιμές και αν βάλουμε στις ΣΕΝΑ ΣΕΝΑ Δύο λάμδα ένα λάμδα δύο, θα δούμε ότι οικανοποιείται η διαφορική. Άρα, πρόκειται για μια οικογένεια άπειρων λύσεων. Οι ΣΕΝΑ και ΣΕΝΑ Δύο είναι αφθαίρετε σταθερές που προσδιορίζονται από αρχικές συνθήκες και οι λάμδα ένα και δύο είναι σταθερές που προσδιορίζονται από τα χαρακτηριστικά του προβλήματος. Μάλλον θα τα περάσουμε γρήγορα αυτά, ώστε να σας αφήσω με την απορία για το μάθημα των θαλαντόσεων. Πάντως, έχουμε εδώ τρεις υποπερρυπτώσεις. Πρώτη υποπερρύπτωση, υποκρίσιμη απόσβεση. Εκεί το Z, που είναι το μέτρο απόσβεσης, είναι μεταξύ 0 και 1. Υπερκρίσιμη απόσβεση. Το μέτρο απόσβεσης είναι μεγαλύτερο του 1. Και κρίσιμη απόσβεση. Και, προσοχή, έχουμε διαφορετικές λύσεις σε κάθε περίπτωση. Σε την διαφορετική μαθηματική μορφή των λύσεων. Εδώ έχω ένα ημήτωνο, εδώ έχω εκθετικά στοιχεία. Οπότε, λοιπόν, έχω τρεις διαφορετικές εξισώσεις. Μπορώ, και εδώ είναι τώρα το ερώτημα, μπορώ να λύσω σε MATLAB συμβολικά αυτή εδώ την εξίσωση. Έχω δηλαδή την δυνατότητα να υπολογίσω τις λύσεις σε μια αρκετά πολύπλοκη εξίσωση όπως αυτή. Ξανά ορίζω την εξίσωσή μου ως συμβολική και η Dissolve παράγει την αναλυτική λύση με δύο αφθαίρετες σταθερές, διότι δεν χρησιμοποίησα καθόλου αρχικές συνθήκες. Θα θυμάστε ότι πριν το διάλειμμα σας είχα πει πως η Dissolve θέλει την εξίσωση και τις αρχικές συνθήκες. Αν δεν χρησιμοποιήσω αρχικές συνθήκες, τότε παράγει την γενικευμένη λύση. Αυτό, λοιπόν, πλέον το έχετε μπροστά σας. Άρα θα πρέπει με κάποιον τρόπο να κάνω πιο συγκεκριμένη τη λύση. Να βάλω τις αρχικές συνθήκες στη θέση τους, ώστε αυτές οι αφθαίρετες σταθερές, οι C1 και οι C2, να προσδιοριστούν. Να δούμε και τις μορφές και θέλω τώρα να αναρωτηθείτε ποια απόσβεση θα επιλέγατε για το δικό σας όχημα. Ή μάλλον θα ήθελα να κάνω το ερώτημα πιο γενικό. Εάν θέλατε να διαλέξετε αποσβεστήρα για τους κραδασμούς που παράγει το κλιμαριστικό του γείτονά σας το καλοκαίρι και μπορούσατε να έχετε οποιαδήποτε από αυτές τις συμπεριφορές, ποια συμπεριφορά αποσβεστήρα θα επιλέγατε? Πέμπτη. Πέμπτη εννοείται αυτή εδώ? Άρα αυτή. Άλλη προσέγγιση. Θα έλεγα να μετράμε όπως στην subplot, για να την εμπεδώσουμε κιόλας, άρα 1, 2, 3, 4, 5, 6. Έτσι. Η δική σου είναι η 4. Όχι, η πρόταση του άλλου συναδέλφου σας είναι η 3. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ των 2? Οι καρδίλες φαίνονται ίδιες, αλλά εδώ η μέγιστη ταλάντωση είναι μικρότερη. Έτσι. Άλλη πρόταση. Εκεί τι θα θέλαμε. Εάν δηλαδή θέλατε να αποσβέσετε τους κραδασμούς και τον θόρυβο που παράγει το κλιμαριστικό του γείτονα, το οποίο είναι βιδωμένο στη βάση, η οποία είναι αναρτημένη στον τείχο. Τι θα θέλατε. Ο μηχανικός σκέφτεται, κλιμαριστικό στον τείχο σημαίνει ότι έχω μια πηγή κραδασμών πάνω σε μια μεγάλη επιφάνεια είναι ο τείχος, η οποία πώς θα λειτουργήσει, ως μεμβράνη. Πάλεται όλος ο τείχος. Αφού πάλεται όλος ο τείχος, αυτός ο μικρός κραδασμός θα δημιουργήσει πολύ μεγάλο θόρυβο. Πρώτα από όλα είναι λάθος να γίνεται ανάρτηση σε τείχους. Έτσι. Δεύτερο, θέλω εξαιτίας αυτού να ελαχιστοποιήσω το μέγιστο πλάτος και να σβήσω τον κραδασμό σου το δυνατό περισσότερο. Να κινητοποιήσω αυτή την κίνηση της μεμβράνης του τείχου. Άρα εδώ θα ήθελα κάτι πραγματικά δραστικό. Εάν, προσέξτε με λίγο, εάν όμως σχεδιάζετε αυτοκίνητο, θα θέλατε κάτι τέτοιο? Προσέξτε δεξιά. Εδώ η λογική είναι, και ξέχασα να σας το πω, ότι οι επιλογές και των δυο σας είναι καλές, διότι εδώ αριστερά έχουμε τη μετατόπιση και δεξιά τις ταχύτητες. Άρα εδώ έχουμε το πώς μεταβάλλεται η μετατόπιση με τον χρόνο και εδώ έχουμε το πώς μεταβάλλεται η ταχύτητα με τον χρόνο. Για αυτούς που επέλεξαν την τρία και την τέσσερα, λοιπόν, ήταν μια καλή προσέγγιση, την ίδια λύση επιλέξατε. Εάν τώρα επιλέγαμε απόσβεση για αυτοκίνητο, τι θα θέλαμε? Κατά βάση θα, επειδή είναι ένα ερώτημα δύσκολο απαντήσιμο εδώ, θα θέλαμε μια λύση η οποία δεν υπάρχει στα διαγράμματα. Θα θέλαμε πιθανά, πιθανά, μια λύση μεταξύ αυτών των δύο. Για ποιο λόγο? Γιατί προσέξτε, εδώ μπορεί η απόσβεση να είναι πολύ γρήγορη, αλλά κοιτάξτε την ταχύτητα, φτάνει στιγμία σε μεγάλο βαθμό, σε μεγάλο μέγεθος, πάνω από 15 μέτρα το δευτερόλεπτο. Άρα, εδώ η απόσβεση έρχεται με ένα κόστος, ότι ο επιβάτης θα εισπράξει πολύ μεγάλη ταχύτητα μετατόπιση στο εσωτερικό του οχείματος και γνωρίζουμε ότι αυτό γενικά δημιουργεί αίσθημα δυσφορίας. Άρα, θα θέλαμε μικρότερες ταχύτητες. Θα θέλαμε, λοιπόν, κάτι που είναι διαφορετικό από τα γραφήματα αυτά. Η ανάρτηση είναι κάτι διαφορετικό. Εδώ μιλάμε συγκεκριμένα για το σύστημα ελατηρή, όπως βεστήρα. Η ανάρτηση είναι όλος ο μηχανισμός. Ξέρετε που αλλού έχουμε τέτοια προβλήματα? Άπειρα προβλήματα ταλαντώσεων. Να σας δώσω ένα παράδειγμα λίγο πιο εξωτικό, όπου πραγματικά η νέα ταλάντωση μπορεί να αποβεί καταστροφική. Προσοχή. Είσαστε ο σχεδιαστής ή η σχεδιάστρια, συμμετέχετε στην ομάδα σχεδίασης του διαστημικού σταθμού. Εκεί, όταν γίνεται η διασύνδεση, έχετε το διαστημικό σταθμό και έχετε το όχημα το οποίο έρχεται και προσκολάται. Τι σημαίνει προσκόληση? Έχετε κάτι το οποίο εωρείτε στο διάστημα ή έχετε κάτι άλλο με μια μάζα κάποιων τόνων. Αργά και κάνει αυτό. Τι θα συμβεί στον διαστημικό σταθμό? Ο διαστημικός σταθμός θα υποστεί ένα αρχικό σήμα, το οποίο θα δημιουργήσει ταλαντοντικές συμπεριφορές. Υπάρχει δυνατότητα να το αποβάσεις αυτό, αν αρτάται από κουδήποτε, έχει οποιαδήποτε δυνατότητα αλληλεπίδραση με άλλο σύστημα, όχι. Εωρείται στο σύμπαν. Άρα, εάν ταλεντοθεί με τρόπο τέτοιο ώστε κάποια στοιχεία να φτάσουν σε εύρη μεγαλύτερα από τα επιτρεπτό, μπορεί να υποστεί τεράστιες καταστροφές. Άρα, λοιπόν, και εκεί η μελέτη τέτοιου εξισώσεων παίζει πολύ σημαντικό ρόλο. Για να μην μιλήσουμε για τις ταλαντώσεις της ανθρώπινης σπονδυλικής στήλης, στοιχείων του ανθρωπίνου σώματος, όχι μόνο του στωμάχου, η σπονδυλική μας στήλη, όταν είμαστε μέσα σε ένα όχημα, σε ένα αυτοκίνητο, σε ένα αεροσκάφος. Όλα αυτά, λοιπόν, είναι στοιχεία που είναι πάρα πολύ σημαντικά. Εδώ έχω και κάποιες άλλες ταλαντώσεις, με άλλες αρχικές οριακές συνθήκες. Βλέπουμε, λοιπόν, παντού μια συμπεριφορά αυθύνουσα, αλλά η ταχύτητα, προφανώς, είναι διαφορετική και το εύρος της ταλάντωσης είναι διαφορετικό και τα χαρακτηριστικά είναι επίσης διαφορετικά. Θα ήθελα να συνοψήσω το τι είδαμε μέχρι τώρα. Θα έλεγα ότι η Dissolve, ότι είδαμε το πώς επιλύουμε διαφορικές εξισώσεις συμβολικά στο MATLAB και είναι η τελευταία φορά που θα τις δούμε μαζί. Θα ήθελα, λοιπόν, να θυμάσω ότι έχω και αριθμητικό, αναλυτικό τρόπο επίλυσης, με συναρτήσεις όπως η ODE45, που είδαμε στα παραδείγματα του εργαστηρίου, και συμβολικό τρόπο επίλυσης με τη Dissolve, ότι πάντοτε θέλω την μορφή της εξίσωσης, τις αρχικές τιμές τις οποίες εισάγω στη μεταβλητή, με όποιο όνομα θέλω, in it, και τις τιμές της μεταβλητής για την οποία θέλω να αναλύσω αν είναι συνάρτηση πολλών μεταβλητών. Δεν έχουμε τέτοιο θέμα εδώ. Η Easy Plot δημιουργεί γραφικές παραστάσεις συμβολικών συναρτήσεων και η Subplot δημιουργεί πολλαπλέδες γραφικές παραστάσεις συνταγμένες μέσα σε μία εικόνα. Και βέβαια, για όσους ταξιδεύουν με τρένο, το ερώτημα είναι αυτό, πώς το λύνεις. Διότι αυτή είναι μια απλή μορφή ενός σιδηροδομικού συρμού, όπου όμως έχουμε πολλαπλές διασυνδέσεις με αποσβεστήρες, με ελαντήρια, έχουμε, όπως λέμε, πολλαπλούς βαθμούς ελευθερίας. Αυτό θα το δείτε σε άλλο μάθημα, στα μαθήματα των ταλαντώσεων και της δυναμικής. Στο επόμενο μεγάλο μας κεφάλαιο για σήμερα, στη Simulink. Είναι κάτι τελείως καινούριο. Θέλω την προσοχή σας γιατί αυτό δεν το έχετε ξαναδει και δεν μοιάζει με οτιδήποτε άλλο έχουμε δει. Το MATLAB, εκτός από υπολογιστικό περιβάλλον, είναι και μια πλατφόρμα πάνω στην οποία χτίστηκαν καινούργια υπολογιστικά συστήματα με βιβλιοθήκες. Εδώ λοιπόν, έχουμε το Simulink, θα το χρησιμοποιήσετε πολύ στο μάθημα του αυτομάτου ελέγχου, το οποίο είναι όμως ένα γραφικό αλληλεπιδραστικό περιβάλλον για την προσομοίωση δυναμικών μεταβαλόμενων με τον χρόνο συστημάτων. Να δώσω κάποια παραδείγματα εδώ. Θέλετε να σχεδιάσετε την ταχύτητα με την οποία θα ανοιγκλίνει το ηλεκτρικό παράθυρο ενός αυτοκινήτου και να σχεδιάσετε και τη συμπεριφορά του συστήματος όταν θα μπει ένα ξένο σώμα, ένα χέρι ενός παιδιού και άρα θα πρέπει ένας αισθητήρας να αντιληφθεί την ύπαρξη του σώματος, να σταματήσει την κίνηση ώστε να μην τραυματίσει το χέρι και να απομακρυνθεί από τη θέση αυτή για να δώσει στο σώμα τη δυνατότητα απ' εγκλωβισμού. Πόσο γρήγορα πρέπει να κινείτε, ποια είναι τα έυρη με τα οποία θα κινείτε το τσάμι στο αυτοκινητό σας, με ποια ταχύτητα πρέπει να απομακρυνθεί, πόσες φορές θα μπορεί να επαναλάβει αυτή την κίνηση, δηλαδή πόσο γρήγορα θα πρέπει να επιτρέπετε να βάζετε το χέρι σας, να ανεβάζετε το τσάμι, να βρίσκετε το χέρι σας, να κατεβαίνει, να το ξαναανεβάζετε, πόσο γρήγορα μπορεί να ξαναγίνει αυτό και πόσες φορές, πόσο πάντα κάνεις τέτοια προβλήματα, έχουμε αναλυτικές σχέσεις για κάτι τέτοιο, έχουμε τρόπο υπολογισμού, εδώ μιλούμε για τη συμπεριφορά ενός συστήματος και πώς θα συμπεριφορθεί το ελεκτρικό σύστημα του αυτοκινήτου, αν ταυτόχρονα όλοι οι πειβάτες παίζουν με τα παράθυρα με αυτόν τον τρόπο, θα δώσει προτεραιότητα σε κάποια κίνηση, θα είναι ένα κεντρικό σύστημα που θα αποφασίζει για κάθε παράθυρο, θα υπάρχουν ξεχωριστοί ελεγκτές για κάθε παράθυρο, αυτόνοι, με ποιον τρόπο θα λαμβάνεται αυτή η απόφαση, ποια κίνηση θέλει στη λύση, χρησιμοποιείται όμως τέτοιου είδους συσκευές και συστήματα, καθημερινά, είναι η ώρα να αρχίσουμε να αναλογιζόμαστε πως κάποιοι άλλοι σχεδίασαν κάτι τέτοιο, για να μην πάμε σε πιο ίσως ενδιαφέροντα αλλά και πιο εξωτικά παραδείγματα, είστε ο πιλότος ενός F-16, λαμβάνετε πολλαπλά σήματα, σας πάει κάποιος να σας εγκλωβίσει, ταυτόχρονα εσείς προσπαθείτε να εγκλωβίσετε, ταυτόχρονα τα τζή σας είναι στο όριο της λιποθυμίας ενώ παίρνετε σήμα για έλλειψη καυσίμου, με κάποιον τρόπο παρά την εκπαίδευσή σας θα πρέπει ένα σύστημα να ιεραρχήσει αυτές τις πληροφορίες και να σας τις παρουσιάσεις με έναν τρόπο τέτοιο ώστε να βοηθήσει την απόφασή σας. Ποιος είναι ο βέλτιστος τρόπος παρουσίασης αυτών των πληροφοριών, όταν οι αποφάσεις δεν λαμβάνονται σε δευτερόλεπτου αλλά σε κλάσματα δευτερολέπτου με έναν τρόπο ενστικτόδι. Τι θα κάνουμε για να λύσουμε τέτοιου προβλήματα, θα αφήσουμε πιλότους να παίζουν διαφορετικά αεροσκάφη, να τραυματίζονται ή να χάνουν τη ζωή τους απλά και μόνο για να μάθουμε τι είναι καλύτερο και τι όχι. Πώς θα λειτουργήσουμε λοιπόν όταν πρέπει να εμπλέξουμε αυτοματισμούς, αποφάσεις πολλαπλών σημείων, αποφάσεις σε πραγματικό χρόνο. Επίσης, στο όχημα ένα πολύ κλασικό παράδειγμα, όλοι γνωρίζουμε ότι στο σύγχρονο αυτοκίνητο είναι σύνηθες το να βρούμε ABS. Το ABS είναι ένα σύστημα αντιπλοκαρίσματος. Πατάτε το φρένο και οι αισθητήρες αναλαμβάνουν να κρατήσουν την πέδιση, το φρενάρισμα, ενεργό μέχρι του σημείου που θα συνεχίζει η κύληση ώστε να μην κοκαλώσει, όπως λέμε, να μην σταματήσει ο τραχός, να μην χάσει την πρόσφυση με αυτόν τον τρόπο, ώστε τότε πάβει να μπορεί να περάσει την ροπή στο έδαφος και άρα το φρενάρισμα καθίσταται ανενεργό. Υπάρχουν στα σύγχρονα αυτοκίνητα πολλαπλοί ελεγκτές, κάθε ρόδα αποφασίζει μόνη της. Μπορεί το αυτοκίνητο να πατά αριστερά σε βρεγμένο, δεξιά σε στεγνό, αριστερά σε χαλίκι, το οποίο έπεσε στο δρόμο από ένα φορτικό, δεξιά σε κανονική άσφαλτο. Μπορεί κάποια ρόδα να το παθαίνει αυτό. Πατάμε το φρένο, κάποια από αυτές θα λειτουργήσει. Σε ποιο βαθμό θα υπάρξει πέδιση μόνο σε μια ρόδα? Διότι αν έχετε, σκεφτείτε το σε κάτωψη, το όχημα, τέσσερις τροχοί, τι θα συμβεί αν εγώ εφαρμόσω πέδιση και αφήσω τους τροχούς να αποφασίσουν μόνοι τους. Και τι θα συμβεί αν υποστεί πέδιση μόνο αυτός ο τροχός. Θα αλλάξει η πορεία του αυτοκίνητου, θα συνεχίσει να κινείται ευθεία? Όχι. Αν αυτό συμβεί σε κάποιον από τους κινητήριους τροχούς, θα συνεχίσει να κινείται ευθεία. Σε ποιο βαθμό λοιπόν αυτή η αυτονομία του τροχού θα πρέπει να θυσιαστεί έτσι όταν πατάμε το φρένο, να φρενάρει περισσότερο αυτός ο οποίος μάλλον αρχίσει να λειτουργεί το EPS στο σημείο αυτό, αλλά ταυτόχρονα η δύναμη πέδισης να μοιραστεί με έναν τρόπο τέτοιο, ώστε και η πέδιση να είναι ευέλτιστη και το αυτοκίνητο να μην χάσει την γεωμετρία κίνησης. Διότι μετά το ατύχημα ελοχεύει. Πώς απαντούμε σε τέτοια προβλήματα, πώς δίνουμε λύση σε τέτοια προβλήματα. Δεν θα δώσει λύσης κάποιος άλλος. Ξέρετε αυτά είναι τα προβλήματα του μηχανολόγου μηχανικού. Όχι μόνο αυτά, αλλά τέτοια είναι προβλήματα μηχανολόγου μηχανικού. Άρα εμείς καλούμαστε να δώσουμε λύση σε τέτοια προβλήματα. Θέλουμε λοιπόν να έχουμε την δυνατότητα, εκεί το πηγαίνω προφανώς, να προσωμιώνουμε τέτοια συστήματα. Άρα ενώ μέχρι τώρα μάθαναμε ότι μέσα στα προγράμματα τι κάνουμε, να μητάσουμε συναρτήσεις που προσωμιώνουν ή κουβαλούνται σε συμπεριφορά κάποιων μαθηματικών συναρτήσεων, θα θέλαμε μέσα στα προγράμματα μας να εντάξουμε, να ενθυλακώσουμε στοιχεία λογισμικού, τα οποία θα κουβαλούνται σε συμπεριφορά του ABS, του ελεγκτή στο αυτοκίνητο, για να μην κινδυνεύσει το μικρό παιδί να τραυματιστεί σοβαρά στο χέρι του. Όλα αυτά θα τα θέλαμε μέσα σε στοιχεία λογισμικού. Μπορούμε λοιπόν, όπως σε ένα περιβάλλον τύπου MATLAB, χτίζουμε ένα πρόγραμμα δομώντας το με συναρτήσεις, με υπό προγράμματα διάφορα, με τμήματα κώδικα που διαβάζουν είσοδο, παράγουν έξοδο, κάνουν γραφικές παραστάσεις, υπάρχει περιβάλλον υπολογιστικός, στο οποίο να μπορώ να χτίσω ένα ολόκληρο σύστημα βάζοντας γρανάζια, βάζοντας ταλαντοτικά συστήματα, βάζοντας συσκευές που να προσωμιώνουν αισθητήρες θερμότητας, ABS, οτιδήποτε και βάζοντάς τα να λειτουργούν πραγματικά. Η απάντηση είναι ναι και είναι το Simulink ή η Simulink. Η Simulink λοιπόν, ή το Simulink είναι αυτό το παραθυρικό περιβάλλον, το οποίο χρησιμοποιεί ξεχωριστά παράθυρα για να επιτύξει επιλογές από μια μεγάλη βιβλιοθήκη έρχεται λοιπόν αυτό το υπολογιστικό περιβάλλον με μια τεράστια βιβλιοθήκη έτοιμων στοιχειοδών ενεργειών πείτετες, συναρτήσεων, μαθηματικών πράξεων, σημάτων, εισόδων, εξόδων, θα το δούμε. Με τη βοήθεια αυτών, σαν να είναι τουβλάκια τύπου Lego, ενώνουμε τα τουβλάκια μεταξύ τους και δημιουργούμε μια ροή πληροφορίας ώστε να αναπαραστήσουμε ένα πραγματικό σύστημα και να διερευνήσουμε τη συμπεριφορά του. Είναι ξεχωριστό πρόγραμμα το οποίο έρχεται συνήθως μαζί με τη MATLAB ή με το MATLAB και επειδή έχουμε σύνδεση στο διαδίκτυο θα επιχειρήσω να σας δείξω ένα μικρό βιντεάκι το οποίο μπορείτε να δείτε με μεγαλύτερη άνεση online. Μέχρι στιγμής λοιπόν για να μπορέσουμε να χτίσουμε για παράδειγμα μία ενεμογενήτρια πρέπει να μπορούμε να υπολογίσουμε την επίδραση που έχει η γωνία κλήσης των πτεριγίων στο αποτέλεσμα σε σχέση με τη ροή, να βελτιστοποιήσουμε τις διαστάσεις καθώς επίσης και να βελτιστοποιήσουμε τον τρόπο με τον οποίο η παραγόμενη ενέργεια θα μπει στο συνολικά παραγόμενο ηλεκτρικό φορτίο και αυτό θα διανεμηθεί. Ουσιαστικά σε επίπεδο simulink λοιπόν κάθε ένα από αυτά τα στοιχεία επειδή αυτό είναι ένα συνολικό σύστημα του οποίου τη συμπεριφορά ενδιαφερόμαστε να μελετήσουμε δεν έχει νόημα να μελετήσουμε ξεχωριστά την ανεμογενήτρια από το σύστημα στο οποίο θα παίρνει το ηλεκτρικό ρεύμα και θα το διανέμει, αποθηκεύει κτλ κτλ δεν έχει νόημα να μελετήσουμε ξεχωριστά το κυβώτιο ταχυτήτων της ανεμογενήτριας από το απτερήγεια αυτά θα σχεδιαστούν έτσι ώστε το ένα να λαμβάνει υπόψη του τα χαρακτηριστικά και τις ανάγκες και τις ιδιαιτερότητες του άλλου ώστε όταν θα έρθουν μαζί να μπορούν να συνεργαστούν με έναν βέλτιστο τρόπο. Άρα λοιπόν τα καθένα από αυτά είναι μια οντότητα που πρέπει σχεδιαστικά να συνδυαστεί με τις υπόλοιπες και λειτουργικά να δέσει. Αυτό που βλέπετε είναι προσομοίωση σε Simulink. Άρα βλέπεις την εικόνα ταυτόχρονα τις καμπύλες βλέπεις το σύστημα. Μπορείς να έχεις αναλογικά ψηφιακά και μικτά σύστημα. Μπορείς να κάνεις το μοντέλο σου όσο πιο λεπτομερές θέλεις συνδέοντας στοιχεία του μοντέλου μεταξύ τους κατάλληλα. Μπορείς να συγκρίνεις το πώς συμπεριφέρεται το μοντέλο σου σε σχέση με άλλες λύσεις. Μπορείς να δημιουργηθείς εφαρμογές φυσικούς σύστημας, να σχεδιάσεις για εφαρμογές εφαρμογές και να σχεδιάσεις σύστημα συμπεριφέρεται. Και ένα από τα πιο σημαντικά στοιχεία σε Simulink εφόσον χτίσεις το μοντέλο σου σε Simulink προσωμιώσεις την πραγματική λειτουργία, παραμετροποίησεις τα στοιχεία του έτσι ώστε να βελτιστοποιήσεις τη λειτουργία μετά μπορείς να δημιουργήσεις τον κώδικα το software που πραγματικά θα ελέγχει τη λειτουργία αυτόματα γράφεται ο κώδικας από τη Simulink και εξάγεται σε μορφή τέτοια ώστε να ενσωματωθεί σε άλλα συστήματα λοδηγισμικού. Με αυτόν τον τρόπο λοιπόν όταν θέλεις για παράδειγμα να δημιουργήσεις ένα νέο component σε ένα αυτοκίνητο θέλεις να βρεις ένα καινούριο software το οποίο θα ελέγχει καλύτερα τη λειτουργία του κλιματιστικού διότι το μοντέλο αυτό πλέον θα απολύτε και σε χώρες με υψηλότερες θερμοκρασίες από αυτές που είχες αρχικά σχεδιαστεί. Τι κάνει λοιπόν η ομάδα των μηχανικών προσωμιώνει το σύστημα κλιματισμού στις νέες συνθήκες λειτουργίας δημιουργεί το νέο software το οποίο δεν υπάρχει στο αυτοκίνητο και στέλνει το νέο software αυτό στις αντιπροσωπίες της κατατόπους οι οποίες καλούν τους ιδιοκτήτες και τις ιδιοκτήτρες να προσέλθουν με στόχο την αναβάθμιση λογισμικού ώστε αυτό το λογισμικό που ξεκίνησε να σχεδιάζεται με Simulink και φτιάχτηκε με τη βοήθεια Simulink να περάσει στον εγκέφαλο του οχημάτός σας και πλέον το κλιματιστικό του αυτοκινήτου να μπορέσει να λειτουργήσει και σε συνθήκες για τις οποίες αρχικά δεν είχε σχεδιαστεί αυτές είναι πραγματικές λειτουργίες μηχανικού και εδώ μεταφέρω μέρος της εμπειρίας που έχουμε και εμείς σαν ερευνητική ομάδα διότι αυτό που περιγράφω χρειάστηκε να το κάνουμε σε επίπεδο καταλυτών οχημάτων χρειάστηκε λοιπόν να αναπτύξουμε λογισμικό με στόχο να μπει στο σύστημα του λεγόμενου εγκεφάλου του οχήματος ώστε να μπορεί να ελέγχεται σε πραγματικό χρόνο, να υπολογίζεται και να ελέγχεται σε πραγματικό χρόνο η συγκέντρωση των ρήπων που παράγεται μετά την κατάληση και έτσι σε πραγματικό χρόνο να ρυθμίζεται από το αυτοκίνητο το αυτοκίνητο παίρνει αποφάσεις ανεξάρτητες και από τον οδηγό για κάποια πράγματα να ρυθμίζεται από το αυτοκίνητο συναρτήση των χαρακτηριστικών λειτουργίας που ο οδηγός αποφασίζει γάζι, ταχύτητα, στροφές και τα λοιπά να ρυθμίζεται η κατανάλωση καυσίμου συναρτήση της υποδύναμης που απαιτείται εκείνη τη στιγμή και της ροπής έτσι ώστε να πετύχουμε την βέλτιστη κατανάλωση, την βέλτιστη επίδοση μειώνοντας τις εκπομπές και η ανάγκη είναι μετά από όλα αυτά να πάρει κανείς τον κώδικα που αναπτύσσει και να τον βάλει σε μία μονάδα σε έναν ας το πούμε έτσι πολύ στρυφνό υπολογιστή γιατί οι υπολογιστές αυτοκινήτων όπως οι υπολογιστές των αεροπλάνων όπως οι υπολογιστές των πλοίων είναι πολύ στρυφνοί, υπό ποιαν έννοια έχουν πάρα πολύ αυστηρές προδιαγραφές ως προς το είδος και την ποιότητα του κώδικα ο κώδικας απαγορεύεται να κάνει λάθος δεν μπορεί δηλαδή να έχεις ένα λάθος στο κώδικα και έτσι τη στιγμή που ο οδηγός θέλει περισσότερη ισχύ το αυτοκίνητο να αποφασίσει να μειώσει την ισχύ αυτό είναι τραγικό αυτό δεν πρέπει να μπορεί να γίνει προσέξτε ποια είναι η διαφορά εδώ το λάθος απαγορεύεται άρα λοιπόν πως εδώ πηγαίνουμε σε μια άλλη περιοχή προσομοίωσης συστημάτων πως προσομοιώνουμε συστήματα των οποίων η λειτουργία είναι κρίσιμη πως δηλαδή εγώ μπορώ να κρίνω πως θα συμπεριφερθεί ένα σύστημα όταν λειτουργεί στο όριο για πάρα πολλές ώρες σχεδιάζω μια αντλία εξωσωματικής κυκλοφορίας αίματος για μια εγχείρηση ανοιχτής καρδιάς για πόσες ώρες θα πρέπει να μπορεί να λειτουργεί αυτή η αντλία και σε ποιες συνθήκες λειτουργίας πως απαντάς σε ένα τέτοιο ερώτημα το ιατρικό team μπορεί να σου πει ότι μια εγχείρηση καρδιάς δεν μπορεί να κρατήσει πάνω από 18 ή 20 ώρες μάλιστα εσύ ως μηχανικός τι σχεδιάζεις πως αυτό το σύστημα θα το προσομοιώσεις θα το βάλεις να λειτουργήσει σε κάποιες συνθήκες συναρτήσει των αναγκών ιατρικών κυκλοφορίας του αίματος ψήξεις, χρήσης ουσιών κτλ υπάρχει αναλυτικό μοντέλο υπάρχει μια εξίσωση στην οποία να βάλεις τα στοιχεία του ασθενούς και να σου βγάζει πως θα λειτουργήσει η ενδλία δεν είναι έτσι τα πράγματα ο γιατρός θα έχει και τον εξειδικευμένο μηχανικό στο χειρουργείο ο οποίος θα ρυθμίζει όλα αυτά τα πράγματα επίσης δεν είναι έτσι ένα σύνολο από αυτοματισμούς και λογισμικού θα παίρνει αποφάσεις εκείνη τη στιγμή το παιχνίδι είναι στα χέρια όχι του μηχανήματος αλλά τον ανθρώπο όμως το μηχανήμα πρέπει να βοηθήσει τον άνθρωπο στην δουλειά του άρα εδώ περνάμε λοιπόν στη λειτουργία συστημάτων σε κρίσιμες περιοχές θέλουμε Simulink για αυτό το λόγο τώρα μετά από αυτά και υπάρχουν πάρα πολλά παραδείγματα σε MATLAB επιστρέφω εγώ στις διαφάνειές μας για να δούμε βασικά χαρακτηριστικά θα δούμε τώρα κάποια στοιχεία του παγόβουνου καλό ερώτημα ρωτάω συναδεφό σας κάποια στοιχεία που είδαμε στα παραδείγματα στα demo στην επίδειξη σχεδιάστηκαν από Simulink όχι σχεδιάζονται αλλού κάνεις με CAD το σχέδιο κάνεις με SOLIDWORKS το σχέδιο και το περνάς σε Simulink όλα αυτά επικοινωνούν μεταξύ τους στο τέλος ο υπολογισμός σας θα πρέπει να λαμβάνει υπόψη αυτό που αρχικά σχεδιάσατε ή να βοηθεί στην τελική σχεδίαση ο υπολογισμός σας θα πάει να γίνει υλοποιημένη κατασκευή σε SOLIDWORKS η οποία θα γυρίσει σε ένα περιβάλλον προσωμίωσης η κατασκευή θα αρχίσει να λειτουργεί να κινείται με κάποιον τρόπο και όταν εσείς θα έχετε το στοιχείο στα χέρια σας τη μηχανή, το πιστόνι, την ανεμογενήτη, το περίγιο Άλλο ερώτημα, σε τι μορφή είναι ο κώδικας αν και δεν αφορά το μάθημα σε αυτήν την ισχυρογηγική μορφή να πω ότι η Simulink δίνει εύκολα κώδικα ο οποίος είναι στην ελευθερία δηλαδή έτοιμενο διοργητήριο είναι κάτω από άλλες βιβλιοθήκες ακριβώς να πρέσουν να δέσουν τα ισχυρογηγισμικού που αναπτύσσονται από ετερογενείς συστήματα όταν όμως θέλουμε να μπει on board τότε μπορούμε να εξάγουμε τον κώδικα σε ANSI-C κλασική C γιατί τα περισσότερα από αυτά τα συστήματα τρέχουν από την ANSI-C δηλαδή την C που ακολουθεί το ANSI από την λόγω σας της κληροπυρηνικής μορφωσίας γιατί είναι μια από τις πιο ελεγμένες γλώσσες σε σχέση με τα λάθη που πάρουν σε πραγματικό χρόνο τώρα βασικά δομικά συστήματα εάν ανοίξετε Simulink click Simulink, type Simulink τότε εμφανιστεί ένα σύνολο από Simulink ας το πούμε είναι τα ονόματα που βλέπετε εκεί που το κάθε όνομα διαπροσωπεύει μια κατηγορία συστημάτων πολλά από αυτά δεν μας λένε πράγματα γιατί πρέπει να σας πω, γιατί Simulink αρχικά αναπτύχθηκε και χρησιμοποιείται κατά κόρο στην επιστήμη του ηλεκτρολόγου μηχανικού και του μηχανικού τηλεκοινωνιών εκεί έχουμε την ανάγκη ανάλυσης διαφόρων ειδών σημάτων πάρα πολλά από τα Lego boxes δεν έχουν τίτλους που μας είναι πολύ οικοί αρκετά όμως έχουν για παράδειγμα βλέπουμε εδώ διάφορα components η βιβλιοθήκη λοιπόν είναι μια διαδροηδής δομή κάνεις κλικ και παίρνεις εφημέρου στοιχεία να σας δείξω παράδειγμα υπάρχουν τα commonly used blocks τα πιο απλά block του βλάκια λογισμικού που είναι από αυτά που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε είναι οι σταθερές ένα τουβλάκι που αναπαστά σταθερά είναι μια καθυστέρηση είναι ένας ολοκληρωτής είναι ένα τουβλάκι που κάνει ολοκληρώματα έτσι μπαίνει μια συνάρτηση βγαίνει το ολοκληρωμά της είναι το scope το scope είναι κάτι σαν μια οθόνη τηλεόρασης η οποία οπτικοποιεί ένα σήμα θέλεις να δεις ας πούμε την ταλάντωση, θέλεις ένα scope είναι ένας αθριστής θέλω να αθρίσω στοιχεία που έρχονται από τρία μέρη από τρεις υπολογισμούς, θέλω έναν αθριστή ένα τουβλάκι που θα καταλήγουν αυτά τα στοιχεία και αυτό θα κάνει το άθρισμα αυτό το τουβλάκι μπορεί να κάνει μια απλή άθρηση θέλω το 2 συν 2 θέλω έναν αθριστή και ένα τουβλάκι που θα κάνει ένα πιντετζέις έχει λοιπόν μια τέτοια λογική, έχω επίσης μάθοπερέιτορς έχω τουβλάκια που ας πούμε να παρουστούν πολύ όνειμα πάλι αθριστή στοιχείων τριγωνομετρικές συναρτήσεις διαιρέσεις, απόλυτες τιμές αποκλήσεις, gain που σημαίνει κέρδος σε πορεία αποκλήσεις, gain που σημαίνει κέρδος σε πορεία αποκλήσεις, gain που σημαίνει κέρδος σε πορεία αποκλήσεις, gain που σημαίνει κέρδος σε πορεία ερώτημα ερώτημα ερώτημα ερώτημα ερώτημα ερώτημα ερώτημα ερώτημα ερώτημα ερώτημα ερώτημα ερώτημα δημιουργή Κάνεις κλικ από εδώ, θα ενώνεις με αυτό, δεξί κλικ αλλάζει τις ιδιότητες σας. Θα σας δείξω παραδείγματα. Έχουμε τι άλλο, διάφορα άλλα, stop, εξόδους, παλμούς, πώς κυλά ο χρόνος επίσης, αποφασίζουμε αν ο χρόνος είναι συνεχής, αν είναι διακριτός, ανάλογα, μπορούμε να επιλέξουμε συγκεκριμένα ήδη βιβλιοθήκων. Πώς τρέχει λοιπόν, στο παράθυρο εντολών δίνουμε Simulink. Ή επιλέγουμε το εικονίδιο Simulink και ανοίγει αριστερά συνήθως το σύντολο των βιβλιοθήκων και δεξιά ένας λευκός χώρος. Αν δεν ανοίξει αυτός ο λευκός χώρος μπορούμε να τον ανοίξουμε με την εντολή create ή δημιούργησε ή new model. Με το που θα του πούμε δημιούργησε ένα μοντέλο, πηγαίνει και ανοίγει ένα λευκό παράθυρο. Αυτό είναι το παραπέδι που πρέπει να κουμπήσουμε τα διάφορα blocks. Και από εδώ και πέρα επιλέγω το κάθε block ξεχωριστά και η κατάληξη του αρχείου σημαντικό, η κατάληξη ενός αρχείου Simulink είναι μοντέλο, MDL, είναι άλλος τύπος αρχείου και γίνεται αντιληπτός μόνο από MATLAB. Σε Octave ας πούμε δεν υπάρχει Simulink, υπάρχει κάτι ισοδύναμο σε κάποιες άλλες πλατφόρμες, το γεγονός είναι όμως ότι η Simulink είναι πάρα πολύ εξελιγμένη σαν περιβάλλον προσωμίωσης από τη MathWorks. Εκεί δηλαδή έχει το απόλυτο πλεονέκτημα από την εταιρεία που έχει κάνει το MATLAB. Να δούμε ένα μικρό παράδειγμα πριν το διάλειμμα και περισσότερα πράγματα στο διάλειμμα, μετά το διάλειμμα μάλλον. Θα ανοίξω ένα MATLAB. Έχουμε λοιπόν τη δυνατότητα, είπαμε, να προσωμιώσουμε διάφορα συστήματα, έχουμε τη δυνατότητα να διερευνήσουμε τη συμπεριφορά συστημάτων. Σε MATLAB μπορείτε να βρείτε και έτοιμα αντέμους, άρα μπορείτε να τα κατεβάσετε και να πειραματιστείτε με αυτά. Πολλά από τα παραδείγματα που θα σας δείξω προέρχονται από τα αντέμους του MATLAB έτσι κι αλλιώς. Βοηθάζομαι λίγο την υπομονή σας εδώ, διότι είναι ένας εργός υπολογιστής, το έχουμε πει. Τα ρώτημα εντωμεταξύ. Έχετε επίσης, επειδή είναι στα βασίλαια των Mindstorms, έχετε δει πρόγραμμα που δίνει λεπίδες προγραμματισμούς. Ναι. Ναι, ακριβώς η ίδια μοναδική. Ναι, να σας πω τώρα, επειδή ξύνεται πληγές, λέει εδώ στην αδερφό σας ότι υπάρχει μια σχέση με Mindstorms. Όχι απλά υπάρχει σχέση με Mindstorms, υπάρχει δυνατότητα να συνδέσεις Simulink με Mindstorms, να κάνεις το προγραμματισμό σε Simulink, να μεταφέρετε απευθείας ο κώδικας σε Mindstorms. Και θα ήθελα πάρα πολύ κάποια στιγμή να βρούμε τη δυνατότητα και τον χρόνο να πειραματιστούμε με όλα αυτά. Εάν ήσαστε κάποιοι από εσάς εδώ το καλοκαίρι, ας πούμε, θα μπορούσαμε να το σκαλίσουμε το θέμα. Για να δούμε λοιπόν ένα απρό παράδειγμα, έστω στη βάση όλων όσων έχουμε δει με τη βοήθεια των παραδειγμάτων της αρμονικής θαλάντοσης, έστω ότι θέλω να επιλύσω μια απλή διαφορική εξίσουση, η οποία έχει αυτή τη μορφή. Η μορφή είναι η x' – ο συμβολισμός κατά Λάιμπλιντς – 3ζ2τ, που σημαίνει δx – δτ, ίσο με 3ζ2τ. Για να το κάνω αυτό, χρειάζομαι ένα δομικό στοιχείο, ένα τουβλάκι, το οποίο θα αναπαριστά το συνειμήτωνο, σωστά. Άρα θέλω ένα τουβλάκι συνειμητώνου, ζήνους. Το αποτέλεσμα των πράξεων που λαμβάνουν χώρα μέσα σε αυτό το κουτάκι τουβλάκι-ζήνους πρέπει να μπαίνει σε τι? Επειδή έχω διαφορική, για να λύσω τις διαφορικές, οι διαφορικές τι έχουν παραγώγους, άρα με ποιον τρόπο μπορώ να απαλλαγώ από παραγώγους, ολοκληρώνοντας. Πρέπει λοιπόν την έξοδο από το κουτάκι να την βάλω σαν είσοδος σε έναν ολοκληρωτή, integrator. Ο integrator λοιπόν θα παίρνει την παράγωγο ως είσοδο, θα ολοκληρώνει και θα παράγει την μεταβλητή που θέλουμε ως έξοδο. Και βέβαια αυτή η μεταβλητή είναι συνάρτηση του χρόνου. Άρα λοιπόν αυτή τη διαδικασία θα την προσομοιώσω με Simuli. Πώς θα το κάνουμε αυτό μετά το διάλειμμα. Είχαμε πει ότι θέλουμε να δούμε κάποια από τα παραδείγματα χρήσεις του περιβάλλοντος Simuli. Παρά το γεγονός ότι μερικές φορές ο νόμος του Μέρφη ισχύει στον υπερθετικό βαθμό. Άρα δεν λειτουργούν οι υπολογιστές όταν θέλουμε να λειτουργήσουν. Τώρα αυτό κατέστηκτο τελικά. Και αυτό που βλέπετε, οι συνθήκες φωτισμού ίσως να μη βοηθούν πολύ, αλλά μπορούμε να το δούμε, είναι το εξής. Έχω βάλει στην λευκή περιοχή που σας είπα ότι αποτελεί το μοντέλο Simulink ένα μπλοκ το οποίο είναι το μπλοκ παραγωγής ημητονοϊδούς σήματος και ένα άλλο μπλοκ το οποίο είναι το μπλοκ οπτικοποίησης σημάτων. Με διπλό κλικ μπορώ να αποφασίσω τα χαρακτηριστικά του συγκεκριμένου μπλοκ. Άρα άνοιξα το μπλοκ τριγωνομετρικού σήματος ημητονοϊδούς μορφής και αποφασίζω ότι το frequency θα είναι 2 για να συνάδει με ότι το ημητονοϊδούς είναι 2Τ και ότι το amplitude, το εύρος δηλαδή της ταλάνδωσης, είναι 3 ακριβώς πάλι για να προσωμιώσω εκείνη την συνάρτηση. Άρα εγώ θέλω να προσωμιώσω την συνάρτηση 3 ζήνους του 2Τ. Απλά για να τη δω αρχικά, να δω τι μορφή έχει. Κλείνω λοιπόν αυτό το μπλοκ, συνδέω, βλέπετε ότι αυτή είναι μια γραμμή, μπορώ να τη διαγράψω. Τα μπλοκ είναι ελεύθερα, μπορώ να τα μετακινήσω όπου θέλω μέσα στο περιβάλλον του μοντέλου και μπορώ να του πω τώρα ότι ξέρεις, επειδή εδώ έχεις μια εξοδό, ένα μικρό βελάκι, συνέδεσε αυτό με αυτό και τρέξε. Αυτό που βλέπω είναι το σήμα σε πραγματικό χρόνο. Μαύρο φόντο και κίτρινο είναι το εξοδισμό. Αν αλλάξω τα χαρακτηριστικά του σήματος, εάν για παράδειγμα το amplitude από τρία το κάνω πέντε, βλέπετε ότι το εύρος της θελάνδοσης τώρα είναι τρία. Αν το κάνω πέντε και το τρέξω, το εύρος έχει αλλάξει. Αν τώρα θελήσω να επιλύσω εκείνη τη διαφορική εξίσωση, τι πρέπει να παρεμβάλλω? Εδώ έχω, ας το πούμε έτσι, την μηχανή παραγωγής ημιτονοϊδούς σήματος και από την άλλη πλευρά έχω τη μηχανή σε ισαγωγικά οπτικοποίησης του σήματος. Αυτό που μου λείπει είναι το μπλοκ που θα κάνει τη μετατροπή του ημιτονοϊδού σήματος στο αμέσως προηγούμενό του ολοκληρώνοντάς του. Γιατί αυτό το ημιτονοϊδέ σήμα το τρία Ζ, δύο Τ, είναι η παράγωγος του χίος προς χρόνο. Άρα, αν περάσω, αν φιλτράρω αυτό το σήμα μέσω από το μπλοκ το οποίο κάνει ολοκλήρωση, τότε βγάζω από πάνω μου, βγάζω από το σήμα, τα χαρακτηριστικά της παραγώγου. Για να το κάνω αυτό, πηγαίνω στη Simulink Library και ψάχνω να βρω τον ολοκληρωτή. Παίρνω, λοιπόν, τον Integrator και τον σέρνω επάνω στην επιφάνεια του μπλοκ. Ορατό, ελπίζω. Και τώρα, λοιπόν, αυτό που πρέπει να κάνω είναι να διασυνδέσω το ημιτονοϊδέ σήμα με τον ολοκληρωτή και τον ολοκληρωτή με την οθόνη, εφόσον θέλω να δω το αποτέλεσμα. Και η οθόνη μου αυτή τη στιγμή δείχνει το ημιτονοϊδέ σήμα. Αν το τρέξω, ανοίγω το scope, το τρέχω, τι βλέπω, βλέπω αυτό το σήμα. Τι είναι αυτό το σήμα, ο ολοκληρωτής τι κάνει, ολοκληρώνει. Άρα, τι βλέπω εδώ, ας το μεγαλώσω περισσότερο για να μπορέσω να εξηγήσω τα τεκτενόμενα. Αυτό που βλέπω εδώ είναι το αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης από μηδέν μέχρι δύο π. Αυτό είναι το πρώτο π, αυτό είναι το δεύτερο π. R είναι μηδέν, π δεύτερα, να θυμίσω ότι εδώ έχω τις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής. Άρα, όταν μηδενίζεται, αυτό είναι το ολοκλήρωμα. Το ολοκλήρωμα λοιπόν μεγιστοποιείται στο π δεύτερα, μηδενίζεται εδώ. Άρα λοιπόν βλέπω τη συμπεριφορά της συνάρτησης που προκύπτει ως επίλυση ουσιαστικά της χ τόνος, της χ παράγωγος, ίσον με τρία ζ του δύο τ. Μπορώ να προσθέσω και άλλα στοιχεία, να προσθέσω και άλλα blocks και να κάνω και άλλες πράξεις. Και με αυτόν τον τρόπο, ουσιαστικά να μελετήσω πιο πολύπλοκα συστήματα. Αυτό λοιπόν θα κάνω, αυτό έχω κάνει ήδη, στα παραδείγματα που θα σας δείξω, τα οποία ξεκινούν από την πολύ απλή επίλυση αυτής της διαφορικής και συνεχίζουν σε πιο πολύπλοκα και πιο κοντά στην πραγματικότητα, πραγματικά συστήματα. Εδώ μπορούμε να πούμε ότι αυτό που βλέπουμε δεν είναι τίποτα άλλο παρά η αντίδραση μιας ανάρτησης, χωρίς ιδιαίτερα χαρακτηριστικά, σε έναν δρόμο με ημητονοϊδή υφή. Για να δούμε λοιπόν κάποια από τα υπόλοιπα παραδείγματά μας. Η αρχική συνθήκη, η γραφική παράσταση για τρία δεστερόλεπτα. Το είδαμε εμείς αυτό, το πώς διασυνδέουμε το ιμητονοϊδές με τον integrator και τον οπτικοποιητή, το πώς μπορούμε να πειράξουμε τα χαρακτηριστικά του ιμητονοϊδούς με διπλό κλικ επάνω σε αυτό. Έτσι μπορούμε να πειράξουμε, να διαμορφώσουμε δηλαδή τα χαρακτηριστικά κάθε μπλοκ και να οπτικοποιήσουμε το αποτέλεσμα. Και με το που επιλέγουμε simulate ουσιαστικά τρέχουμε το πρόβλημα σε πραγματικό φρόνο. Για να δούμε τώρα, χάρη συνέχειας από τα προηγούμενα, αυτό το παράδειγμα. Αυτή είναι η διαφορική εξίσωση με απόσβεση, η οποία προσωμιώνει κάτι τέτοιο. Ας πούμε ότι ο δρόμος μας είναι ιμητονοϊδής, ότι είναι τριγωνομετρικού προφίλ και ότι πάνω σε αυτό το τριγωνομετρικού προφίλ οδόστρωμα κινείται, όχημα, εξοπλισμένο με ελατήριο, με αποσβεστήρα στην ανάρτησή του. Εδώ λοιπόν ξεκινώ, χτίζω πρώτα απ' όλα το αριστερό τμήμα της εξίσωσης, που είναι η έξοδος ενός stamp block, διότι αθρίζονται χαρακτηριά, θα αθριστεί. Η δεύτερη παράγωγος, η πρώτη παράγωγος δεν έχει τρία στοιχεία αυτή η εξίσωση. Άρα κάποιος πρέπει να αναλάβει να τα αθρίσει. Αυτά τα κάνει ο αθριστής. Δημιουργώ λοιπόν τον αθριστή, τον τοποθετώ στο πεδίο του μοντέλου. Αμέσως μετά ο πολλαπλασιαστής. Γιατί μου χρειάζεται, διότι αυτή η αρχική παράσταση, το M δίστωνο του X, θέλω να απαλλαγεί από την μάζα, άρα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με το 1 προς M, να φιλτρατιστεί δηλαδή με το 1 προς M ώστε να απαλλαγεί από την μάζα, να μείνει μόνο το X δίστωνο. Αμέσως μετά να προσθέσω δύο ολοκληρωτές. Ο πρώτος ολοκληρωτής θα πάρει το X δίστωνο τη δεύτερη παράγωγο και θα το μεταφέρει στην κατάσταση του X τόνος, την πρώτη παράγωγο. Ο δεύτερος ολοκληρωτής θα πάρει την πρώτη παράγωγο και θα την μεταφέρει στο X. Θα βάζω λοιπόν στη σειρά. Και μετά συνδέω loops διότι, να βρω, η πρώτη παράγωγος πολλαπλασιασμένη με το S πηγαίνει και αθρίζεται, σωστά. Όπως επίσης και το X πολλαπλασιασμένο με το K, όλα αυτά πηγαίνουν και αθρίζονται τελικά στον αθριστή. Άρα αυτό το παράξενο σχήμα που βλέπετε είναι το ισοδύναμο της διαφορικής διότι έχουμε. Το M-X δύστονο, το οποίο απαλάσεται μέσω αυτού του block από το M και παραμένει το X δύστονο. Ολοκληρώνεται δύο φορές, μια για να παραχθεί το X τόνος, η πρώτη παράγωγος, και μια για να παραχθεί το X. Το X τόνος, η πρώτη παράγωγος, πολλαπλασιάζεται με το S για να προσθεθεί. Όπως επίσης και το X πολλαπλασιάζεται με το K για να προσθεθεί, αυτά τα δύο προστήθενται και είναι αρνητικά. Άρα είναι M-X δύστονο μίον σε X τόνος μίον K ίσο με το 0. Αυτή λοιπόν είναι η συναρτησή μου, αυτή είναι η συγγνώμη εξίσωσή μου. Καθορίζω αρχικές οριακές συνθήκες και με το που θα την τρέξω παράγω το αποτέλεσμα. Τώρα λοιπόν μπορώ να πειραματιστώ με την απόκριση, να πειραματιστώ με διάφορα στοιχεία, άρα έχω ένα μοντέλο το οποίο μπορώ να χρησιμοποιήσω με στόχο να πειραματιστώ με τα χαρακτηριστικά αυτής της ανάρτησης. Αλλάζοντας τον αποσβεστήρα μπορώ να δω ποια θα είναι η καμπύλη της απομάκρυνσης, αλλάζοντας το ελαττήριο επίσης και με αυτόν τον τρόπο ουσιαστικά να προβώ σε όλες τις ενέργειες που απαιτούνται εδώ. Εδώ έχω ένα πιο ενδιαφέρον μπλοκ διάγραμμα που προσομοιώνει ένα σύστημα θέρμανσης. Τώρα βέβαια δεν φαίνεται καθόλου και δεν μας βοηθά καθόλου και ο τείχος εδώ. Λοιπόν, αυτό που βλέπουμε είναι ότι υπάρχει ένα μπλοκ σταθερής τιμής που είναι η θερμοκρασία σε φαρενάιτ. Είναι παράδειγμα θέρμανσης οικίας από τις ΗΠΑ. Έχω τον μετασχηματιστή της θερμοκρασίας από φαρενάιτ σε Κελσίου. Έχω ένα μπλοκ που προσομοιώνει το θερμοστάτη. Έχω ένα μπλοκ που προσομοιώνει τη θέρμανση. Έχω ένα μπλοκ που προσομοιώνει το σπίτι. Και τελικά έχω ένα μπλοκ που προσομοιώνει τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται η κατανάλωση ενέργειας και το συνολικά παραγώμενο έξοδο για τη θέρμανση της συγκεκμένης οικίας, το αθεριστικό κόστος θέρμανσης. Μεταβάλλοντας εμείς την εσωτερική και την εξωτερική θερμοκρασία, και αυτό είναι ένα παράδειγμα που υφίσταται σε ΜΑΤΛΑΜΑ, δηλαδή μπορούμε να πειραματιστούμε και στο εργαστήριο με αυτό, εδώ απλά θέλω να σας ενημερώσω για τα βασικά χαρακτηριστικά του, μεταβάλλοντας την αρχική και την εξωτερική θερμοκρασία, το πόσο κρύο η ζέστη έχει λοιπόν στο εξωτερικό περιβάλλον και τη θερμοκρασία εντός του σπιτιού, το τι θερμοκρασία θέλουμε μέσα στο χώρο μας, μπορούμε να δούμε το πώς μεταβάλλεται το κόστος της θέρμανσης, το οποίο αντιλαμβάνουμε ότι είναι πολύ δύσκολα διακριτό, γιατί είναι αυτή εδώ η μικρή καμπύλη εδώ. Οπότε λοιπόν μπορούμε να δούμε διαφορετικά στοιχεία κόστου συναρτήσης διαφορετικών θερμοκρασιών. Άλλο στοιχείο με το οποίο μπορούμε να πειραματιστούμε στο MATLAB και στη Simulink είναι η μοντελοποίηση ενός μηχανικού συστήματος. Εδώ έχω διαθέσει μία βιβλιοθήκη που έχει εξειδικευμένα μηχανολογικού χαρακτήρα blocks. Έχει πακτώσεις, έχει συνδέσμους, έχει δοκούς, έχει βαρύτητες. Μοιάζει σαν ένα σύνολο από block με τη βοήθεια των οποίων μπορώ να φτιάξω έναν κόσμο μηχανολογικό. Άρα μπορώ να συναρμολογήσω μία διάταξη και να μοντελοποιήσω τη συμπεριφορά της. Μπορώ λοιπόν να μοντελοποιήσω τη συμπεριφορά ενός αρθρωτού ρομπότ. Μπορώ επίσης να μοντελοποιήσω τη συμπεριφορά ενός κινητήρα. Προσθέτοντας επιμέρους στοιχεία κυλίνδρων, στροφαλοφόρου και χαρακτηριστικά λειτουργίας αυτού του συστήματος. Και άρα να δω στοιχεία όπως το πώς μεταφάλλεται η ροπή συναρτήσει του χρόνου ή οι στροφές ένα δευτερόλεπτο ή ένα λεπτό συναρτήσει του χρόνου. Συνολικά λοιπόν έχω τη δυνατότητα να μοντελοποιήσω συστήματα αρκεί βέβαια να έχω στη διάθεσή μου τα κατάλληλα blocks. Η Simulink έρχεται με κάποια βασικά blocks και υπάρχουν και extensions. Υπάρχουν επεκτάσεις στη Simulink με εξειδικευμένα blocks που χρησιμοποιούνται σε συγκεκριμένες βιομηχανίες. Είναι γεγονός ότι αν κανείς θελήσει να δουλέψει στον σχεδιασμό και στη μελέτη προϊόντων και μηχανολογικών συστημάτων, τότε οι γνώσεις Simulink αποτελούν ένα πλεονέκτημα. Από την άλλη είναι γεγονός ότι στα πλαίσια του προγράμματος σπουδών μας, Simulink θα συναντήσετε σε πολύ συγκεκριμένες στιγμές και σε πολύ συγκεκριμένα μαθήματα. Ξανααναφέρω εδώ το μάθημα του Αυτομάτου Ελέγχου Βασικό Θεμελιώδες Αντικείμενο Μηχανολόγου Μηχανικού που θα διδαχθείτε στο τρίτο έτος τον διδάσκει ο συνάδελφος ο Πάνος Σεφερλής. Εκεί λοιπόν θα ζητηθεί από εσάς να κάνετε αρκετές προσωμοιώσεις με Simulink διαφόρων στοιχείων ελέγχου. Συνοψίζω λέγοντας επίσης πως οι διαδικασίες που αφορούν την παραγωγή του κώδικα από το μοντέλο και την μεταφορά τους σε εφιστάμενες λύσεις ξεφεύγουν από τα όρη αυτού του μαθήματος και πηγαίνουν σε περιοχές διπλωματικών εργασιών για παράδειγμα που θα μπορέσουμε να τις κάνουμε μαζί εάν θελήσετε σε στάδιο των σπουδών σας αργότερα. Και ότι με αυτό το περιβάλλον ολοκληρώνουμε ουσιαστικά και το μέρος της μοντελοποίησης που άπτεται του MATLAB μια και στο επόμενο μάθημα αυτό που θα δούμε είναι ένα με δύο παραδείγματα που θα συνοψήσουν βασικά προγραμματιστικά στοιχεία και χαρακτηριστικά όχι μόνο του MATLAB αλλά κάθε, θα έλεγα, γλώσσας προγραμματισμού και κάθε προγραμματιστικού υπολογιστικού περιβάλλοντος. Ερωτήσεις, απορίες εδώ. Επαναλαμβάνω και πάλι το ερώτημα εάν μπορούμε τα blocks simulink να εισαχθούν αυτούσια σε CAD. Όχι, αυτό που μπορεί να γίνει είναι το ανάποδο, όπως είπαμε. Δηλαδή, να σχεδιάσω κάτι σε CAD, να το κουβαλήσω σε simulink να το σχεδιάσω έτσι ώστε να μπορεί να περιστραφεί και τα λοιπά και από εκεί και πέρα να χρησιμοποιήσω χαρακτηριστικά του MATLAB το οποίο μπορεί να πάρει μια πτέρυγα που έχετε σχεδιάσει εσείς και να προσομοιώσει την περιστροφή. Μπορεί να δημιουργήσει, δηλαδή, ένα βίντεο αυτού του είδους και το βίντεο αυτό να το κινεί με τρόπο ρεαλιστικό στην αντίστοιση πραγματικών χαρακτηριστικών του συστήματος και να το εντάξω σε simulink. Να το βάλω, δηλαδή, σαν front-end στη simulink όπου από πίσω κρύβεται ένα μπλοκ ή περισσότερα μπλοκ που συνολικά καθορίζουν το τρόπο με το οποίο θα κινείται αυτή η πτέρυγα. Άρα το ερώτημα είναι αν θέλουμε να τροποποιήσουμε χαρακτηριστικά το μπλοκ, τότε ναι μπορούμε να το κάνουμε αυτό. Σε simulink. Κάνουμε σε simulink το αριθμητικό μέρος της τροποποίησης και σχεδιαστικά μετά το τμήμα της χειλοποίησης. Εάν με ρωτάτε το αν μπορεί κανείς να κάνει έναν αρχικό σχεδιασμό, να κάνει τους υπολογισμούς σε simulink και μετά κάνοντας αλλαγές και βελτιώσεις στο σχεδιασμό αυτόματα να παράγεται το νέο σχέδιο σε CAD. Δηλαδή, αλλάζω εγώ διαστάσεις της ενωμογενήτριας, των πτεριγίων, διωμετρία, σχήμα και τα λοιπά υπολογιστικά, προσωμιωτικά, αποφασίζω το μήκος της χορδής, το μήκος της πτέρυγας και τα λοιπά, βρίσκω την βέληση στη για τη χρήση μου και ενημερώνω μετά το σχέδιο σε CAD. Η απάντηση είναι ναι. Μπορεί αυτό να γίνει. Ουσιαστικά μιλούμε για ολοκληρωμένο σχεδιασμό και υλοποίηση. Αυτού του είδους τα συστήματα είναι μέρος του computer-aided engineering design, και πρακτικά σημαίνει ότι μπορώ να βάλω στη σειρά, να δημιουργήσω μια έκφραση που χρησιμοποιείται είναι το pipeline, σαν να βάζω σωλήνες στον ένα μετά τον άλλο, σωλινώσεις, να βάλω στην ίδια σειρά παραγωγής υπολογισμούς, προσωμίωση, σχεδίαση και να το κλείσω αυτό το loop, μετά τη σχεδίαση να πηγαίνω πίσω στον υπολογισμό, επαναυπολογίζω, επαναπροσωμιώνω στη βάση των αποτελεσμάτων, επανασχεδιάζω, κλείνει αυτό το loop και το τρέχω τόσες φορές όσες χρειάζεται ώστε να βελτιστοποιήσω τη λειτουργία του συστήματος στη βάση των αναγκών του πελάτη, για παράδειγμα, ή ενός άλλου συστήματος με τον οποίο θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί. Αυτό είναι κλασικό παράδειγμα όταν έχω συστήματα που συνεργάζονται μεταξύ τους. Ίσως θυμάστε στο βιντεάκι την ανεμογενήτρια, εκεί έχω, ξαναλέω, το κυβώτιο ταχυτήτων. Αυτό θα πρέπει να συνεργαστεί με τα πτερίγια και με τάλλα κινητά μέρη. Το κυβώτιο ταχυτήτων κατασκευάζεται από άλλο κατασκευαστή, ο οποίος θα πάρει τα στοιχεία, τα λειτουργικά των πτεριγίων και τα λοιπά και θα προσπαθήσει να φτιάξει ένα κυβώτιο που να αποκρίνεται σε αυτές τις ανάγκες. Το πώς σχεδιάζουμε ένα κυβώτιο, ένα σύστημα οδοντοτών τροχών, το οποίο να ανταποκρίνεται στις ανάγκες λειτουργίας ενός συγκεκμένου εύρους στροφών, ροπών κτλ. Στοιχείο μηχανών είναι το μάθημά σας. Εκεί θα τα μάθετε αυτά. Το πώς όμως όλα αυτά μπαίνουν στη διαδικασία του να συνεργαστούν με ένα άλλο σύστημα, αυτό μπορούμε να το δούμε με τη βοήθεια Simulink. Δεν υποκαθίστεται η γνώση, έτσι λοιπόν ανέφερα ένα σετ μαθημάτων που είναι από τα κλασικά μαθήματα του κμήματος μας, τα στοιχεία μηχανών. Το ότι μπορεί να υπάρξει ένα σύστημα δεν σημαίνει ότι δεν πρέπει να ξέρει κανείς στοιχεία μηχανών για να προσωμιώσει. Όχι, αναγκαστικά θα πρέπει να ξέρει στοιχεία μηχανών, ώστε να ξέρει τι παραμετροποιήσεις θα βάλει στη προσωμίωση. Θα αλλάξει η γεωμετρία με τρόπο τέτοιο ώστε να είναι εφικτή, να είναι πραγματική γεωμετρία, να μην βάλει γεωμετρία εδώ το του τροχού που να μην ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα, υλικά, ιδιότητες, δυνάμεις, αντοχές, όλα αυτά τα στοιχεία. Από γει και πέρα, είπαμε ότι συνεργάζεται το Simulink ή Simulink με αίτημα περιβάλλοντα όπως τα Lego Mindstorms, που μας δίνουν τη δυνατότητα να παίξουμε και να πειραματιστούμε. Συνεργάζεται με άλλους είδους Roboto-ID και με συστήματα που χρησιμοποιούν έτοιμο κώδικα που παράγεται από εδώ και συνεργάζεται και με άλλους είδους συστήματα σχεδίασης.