Κίνηση Σε Πολικές Συντεταγμένες / Διάλεξη 9 / Εισαγωγή στη χρήση πολικών συντεταγμένων και εφαρμογή τους στην περιγραφή κίνησης υλικού σημείου. - Βλάχος Λουκάς (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Εισαγωγή στη χρήση πολικών συντεταγμένων και εφαρμογή τους στην περιγραφή κίνησης υλικού σημείου.: Λοιπόν, δεν θέλω να φύγω μαζί σας και να τρέξω να παραδόσω κάτι άλλο, εάν δεν εξασφαλίσω ότι όχι μια μικρή ομάδα εδώ μέσα έχει καταλάβει πολύ καλά ορισμένα πράγματα, αλλά όλοι σας σχετικά έχετε καταλάβει, γιατί αυτά τα πράγματα που θα επαναλάβω σήμερα είναι κατά τη γνώμη μου τα κυριότερα που πρέπει να κρατήσουν από το μάθημα. Θέλετε να ρωτήσετε κάτι. Μπορείτε να μιλήσω για τη McClure. Τη McClure να την ξαναπώ. Βεβαίως, να σας την ορίσω τι είναι. Είναι ένα ανάπτυγμα, να μου πείτε αν σας ικανοποιεί αυτή η απάντηση, είναι ένα ανάπτυγμα Taylor, που αντί να διαλέξουμε το χ0 να είναι ένα τυχαίο σημείο, ένα, δύο, τρία και τα λοιπά, είναι το μηδέν. Οπότε αυτό είναι, τίποτα άλλο. Δηλαδή όπου θα έβαζες χ0 στο ανάπτυγμα Taylor, θα βάλεις μηδέν. Το McClure είναι αυτό. Συνήθως όταν λένε ανάπτυγμα σε πολυόνυμο, εννοούν το McClure, γιατί είναι πάρα πολύ πιο όμορφο, γιατί αυτό το χ0-1 μας δημιουργεί έτσι, δεν φαίνεται τόσο κόμψα. Όταν σας λένε δηλαδή ότι έχω το ανάπτυγμα του ε στην χ, θεωρούν γύρω από το μηδέν και το αναπτύσσουν όλα, δηλαδή τα αναπτύγματα που θα δείτε για τα ημήτωνα, για τα ε στην χ, για τα συνημήτωνα και τα λοιπά, είναι σε McClure. Έτσι, γιατί το άλλο είναι κάτι ειδικό, το Taylor, που θα πρέπει να έχουμε κάποιο λόγο να πάμε στο σημείο 1, στο σημείο 2, στο σημείο 3, θα πρέπει να είναι στην εκφώνηση. Άλλη ερώτηση από τα παλιά. Λοιπόν, θέλω να, εγώ από την αρχή και πάρα πολλές φορές μαζί σας, έχω επιμείνει στο να καταλάβουμε λίγο καλύτερα το διάνισμα θέσεις και την τροχιά. Και τίση πώς περιγράφουμε την τροχιά ενός υλικού σημείου. Αυτό το πράγμα το λέμε και το ξαναλέμε και το ξαναλέμε. Θα το επαναλάβω γιατί θέλω να πάω λίγο να προεκτείνω και να δω τι θα γίνει στην περίπτωση των υπολικών συντεταγμένων. Να δω τις διαφορές της περιγραφής μιας κίνησης, της γνωστής μας κίνησης ενός υλικού σημείου, σε καρτεσιανές και υπολικές τεταγμένες. Να τα βάλουμε δίπλα δίπλα, να τα δούμε. Και να δούμε πώς θα περιέγραφα την κίνηση ενός υλικού σημείου σε καρτεσιανές τεταγμένες και πώς θα περιγράψω την κίνηση ενός υλικού σημείου σε πολικές τεταγμένες. Και να δούμε τις διαφορές και να δούμε τι καινούργιο μαθαίνουμε από το ΜΕΝ και το ΔΕΚ και να δούμε αν υπάρχουν και ομοιότητες. Αν ξεκινήσω, θα ξεκινήσω πράγματα που ξέρετε, αν ξεκινήσω από τις καρτεσιανές, είχαμε πει ότι το ρ, διάνισμα, είναι συνάρτηση του χρόνου, αυτό είναι το διάνισμα θέσεις, έτσι. Και έχει συντεταγμένες, έτσι μας προέκυψαν το χ το τ, που είναι το αναλείωστο εχ και το ψ του τ, το οποίο το αναλείωστο εψιλον ψ. Αν θέλω γραφικά να παραστήσω αυτό, αυτές είναι οι παραμετρικές, το χ τ και ψ τ είναι οι παραμετρικές εξισώσεις και γι' αυτές μιλήσαμε χωρίς τα. Και αν θέλω να το γράψω αυτό, να το περιγράψω σε ένα συγκεκριμένο άξονα, θα γράψω ότι να το υλικό σημείο και να το διάνισμα θέσεις, ρ, και αυτό το αναλείω στο χ του τ και το ψ του τ. Και αν θέλω κάθε στιγμή να ξέρω τη θέση του σημείου, αρκεί να μου δώσεις το χ του τ και το ψ του τ. Αν λοιπόν μου δώσεις τις παραμετρικές εξισώσεις σαν συναρτήσεις του χρόνου, ξέρω να παρακολουθήσω την τροχιά ενός υλικού σημείου. Μέχρι εδώ όλα καλά? Ωραία. Για να την βρω είχαμε πει εμείς την τροχιά, θα πρέπει να παραγωγήσω αυτή τη σχέση εδώ, το ρ, το διάνισμα θέσεις και να γράψω μια εξίσωση την οποία αν την ξέρουμε είναι η εξίση του νεύτωνα που λέει μ η μάζα του υλικού σημείου, δεύτερη παράγω, διάνισμα ρ, δεύτερη παράγω του διάνισματος ρ θέσεις, δε τετράγωνο. Αυτό λέμε είναι ίσο με τη δύναμη, ωραία, αυτό μάζα, η δεύτερη παράγω του διάνισματος θέσεις είναι επιτάχυνση, μάζα επιταχύνση ίσον δύναμη. Εάν αναλύσω αυτή την εξίσωση στις κάρτες οι ανέστητε τετραγμένες, θα μου προκύψουν δύο εξισώσεις, από αυτήν εδώ θα προκύψουν δύο εξισώσεις. Αναλύω, γράφω το ρ όπως είναι αυτό εδώ, δηλαδή το γράφω έτσι και θέλω να παραγωγήσω τώρα αυτό το ρ μία φορά, αν το παραγωγήσω το διάνισμα θέσεις μία φορά, θα μου προκύψει χ του τ, έτσι παραγωγίζω διανίσματα, παραγωγίζω το χ του τ, εχ, συν ψ του τ, παράγωγος εψιλον ψ. Η τελεία από πάνω είναι παράγωγος, είναι η πρώτη παράγωγος και αυτό είναι το διάνισμα της ταχύτητας, με σταματάτε, οπουδήποτε με χάνετε, πες μου. Είπαμε η τελεία είναι παράγωγος προς τον χρόνο. Η τελεία είναι παράγωγος προς τον χρόνο σαν συμφωνία μας, δηλαδή όταν βλέπετε την τελεία είναι παράγωγος προς τον χρόνο, αυτή είναι η συμφωνία διεθνής, εντάξει. Λοιπόν, τώρα, αν παραγωγήσω αυτό άλλη μια φορά, αυτό το πράγμα που έγραψα, ταχύτητα, ίσον, διάνισμα θέσης παράγωγος, ίσον, χ παράγωγος τ, εχ ψ παράγωγος τ, εψιλον ψ. Αυτό είναι λοιπόν η ταχύτητα στις καρτεσιανές συνδεταγμένες, ωραία. Και τι είναι αυτές εδώ, είναι οι συνισθώσεις της ταχύτητας, δηλαδή άλλος τρόπος γραφής να ήταν το β του χ, εχ ψ, συν β του ψ, εψιλον ψ. Τώρα σας το έχω γράψει με όλους τους δυνατούς τρόπους. Έχω αναλύσει την ταχύτητα, ξέρω πώς είναι. Τώρα αν θέλω να πάω στην επιτάχυνση, θα πάρω τη δεύτερη παράγωγο του διανίσματος θέσης, και αυτή θα την ονομάσω επιτάχυνση. Επιτάχυνση λοιπόν, θα είναι εψιλον, θα παραγωγήσω αυτό άλλη μια φορά. Ένα ερώτημα δεν απάντησα, να μου το εξηγήσετε εσείς. Όταν παραγωγίζω αυτή τη σχέση, δεν έπρεπε, έχω εδώ πέρα το χ του τ, δεν έπρεπε να παραγωγήσω και τα μοναδία διανίσματα. Έπρεπε, δεν έπρεπε. Γιατί όμως θα έβαλα μηδέν. Γιατί εδώ κανονικά όταν παραγωγίζω αυτό, έπρεπε να παραγωγήσω αυτό επί αυτό, που το έχω, να το. Έπρεπε να έχω έναν ακόμα όρο που λέει χ του τ παράγωγος του εχ. Γιατί δεν έβαλα, γιατί αυτό το έδιωξα, χωρίς να σας το πω καθόλου. Πέστε μου. Το διανίσμα θέσης στο σύστημα αναφοράς είναι σταθερό. Και το διανίσμα θέσης έχει μια συγκεκριμένη θέση και είναι καρφωμένο. Δεν αλλάζει με το χρόνο. Δεν αλλάζει με το χρόνο, σωστά. Παραγωγίζω με τον ίδιο τρόπο αυτήν εδώ τη σχέση. Τι θα βγάλω. Θα βγάλω χ δεύτερη παράγωγος του τ εχ. Συν ψ δεύτερη παράγωγος ε ψ. Αυτή θα είναι η επιτάχυνση. Αυτά θα, αν θέλετε να το αναλύσω. Θα είναι η επιτάχυνση εχ σύν η επιτάχυνση ε ψ ε ψ. Άρα έχω αναλύσει και την επιτάχυνση στις καρτεσιανές τεταγμένες. Και έχω δεύτερη παράγωγος του χ εχ δεύτερη παράγωγος του ψ ε ψ. Και αυτά τα δεύτερη παράγωγος είναι η επιτάχυνση. Και αν τώρα πάω στη βασική μου εξίσωση. Που μου τα δίνει όλα που είναι η νευτόνια. Αυτή θα τη γράψω. Την έχω αναλύσει τώρα στα δύο θα μου προκύψουν δύο εξισώσεις. Η μία για την κατεύθυνση χ και η μία για την κατεύθυνση ψ. Θα είναι μαζα δεύτερη παράγωγος του χ. Ίσον εφ του χ που είναι η συνιστώσα της δύναμης στη διεύθυνση χ. Μάζα δεύτερη παράγωγος του ψ. Ίσον εφ του ψ που είναι η συνιστώσα της δύναμης ως προς το ψ. Άρα λοιπόν εδώ έχω τελειώσει. Αυτά είναι τα πάντα. Έχω αναλύσει την κίνηση ενός ειδικού σημείου. Έχω μιλήσει για το διάνυσμα θέσεις. Έχω μιλήσει για την παράκληση. Κλείστε το. Κι εγώ το κλείσα όταν μπήκα. Το κουβάλησα κάτι λάθος μαζί μου και το κλείσα μόλις μπήκα. Λοιπόν. Όποιος έχει μία απορία ή κάτι δεν καταλαβαίνει από αυτά που είναι στον πίνακα να τα θεωρήσω δεδομένα για αυτό το τμήμα αυτά. Ωραία. Λοιπόν τώρα θέλω να τραβήξω μία κάθετη γραμμή και να περιγράψω όλα αυτά. Πάλι αυτή την κίνηση να την περιγράψω. Αλλά τώρα θέλω να την περιγράψω για λόγους που θα μου πείτε εσείς γιατί το κάνω. Θέλω να την περιγράψω και να δω πώς θα παρασταθεί αυτή η δύναμη εάν εγώ μεταφερθώ σε σύστημα πολικών συντεταγμένων. Αυτό είναι το ερώτημα. Και το πρώτο πρώτο που θέλω να μεταφέρω στις πολικές συντεταγμένες. Οι πολικές συντεταγμένες να κάνω το διάνισμα. Οι πολικές συντεταγμένες έχουν το διάνισμα το πρώτο είναι το ρο και η γωνία είναι το θ. Αυτό είναι το ρο και το θ. Αυτές είναι οι μεταβλητές. Έχω το διάνισμα ρο και έχει και την συνάρτηση μέσα. Αυτό εξατάται από το θ. Και πώς περιγράφεται η κίνηση αυτού του σημείου αλλάζει και το ρο. Και το διάνισμα ρο αλλάζει και θέση για να κινείται ένα υλικό σημείο. Το ρο αλλάζει και θέση οπότε το θ αλλάζει. Και ουσιαστικά αλλάζει και το ρο και η παράγωση του διανισμάτος θέσης. Λοιπόν, αυτό είναι ένα υλικό σημείο. Θέλω να περιγράψω και σε αυτό την κίνηση του. Και θα ξεκινήσω από το διάνισμα θέσης στις πολικές συντεταγμένες. Ποιος θα μου πει το είπαμε το περασμένο μάθημα αλλά δεν ξέρω αν το αφομιώσατε ή το καταλάβατε. Πώς θα γράψω το διάνισμα θέσης ενός μοναδιέου διανίσματος που παρακολουθεί την τροχιά ενός διανίσματος στις πολικές συντεταγμένες. Πέστε μου, θυμήστε μου και το όνομά σας. Αλέξανδρε, πες μου. Είναι αρνητικτές ούτε με... Αυτό είναι άμα αντικαταστήσω. Αν εγώ θέλω να το γράψω και δεν ξέρω ταχύκεψη καθόλου. Θέλω να γράψω το διάνισμα θέσης χωρίς αυτή την ανάλυση που πήγες να μου πεις. Η οποία είναι σωστή. Νομίζω για να μεταφερθείς τις πολικές συντεταγμένες ο Αλέξανδρος έκανε κάτι το οποίο δεν είναι λάθος αλλά δεν είναι αυτό που ζητάμε. Τι έκανε, πήρε και σύνδεσε το ΧΤ και το ΨΤ με τις καινούργιες συντεταγμένες θα το κάνουμε και εμείς τώρα και μου άρχισε να μου περιγράφει αυτό εδώ πέρα αλλά τα ΨΤ και ΨΤΨ τα άφησα η ίδια. Δηλαδή μου άφησε το καρτεσιανό σύστημα απλώς μετέφερε τα ΧΤ και τα ΨΤ στις πολικές. Δεν μου μετέφερε όμως τις συντεταγμένες. Καταλάβατε τι λάθος έχει κάνει. Λάθος. Μεσαγωγικά τώρα. Το καταλαβαίνετε ενώ. Η πραγματική ανεξάρτητη γραφή σε πολικές συντεταγμένες μιας τροχιάς είναι διαφορετική. Ποιος τη θυμάται ή ποιος την ξέρει πριν έρθει σε αυτό το μάθημα. Ο Αργύρης φαίνεται σηκώνητο χέρι για να δούμε κανένας άλλος. Την είπα, αλλά βλέπετε ότι σας έχω πει ότι από ό,τι λέω εγώ, από ό,τι λένε οι καθηγητές σας, αυτό που μένει μετά από μια σειρά μαθήματα και άλλες υποχρεώσεις μέσα στη μέρα είναι ελάχιστο σε εσάς. Να το ξέρετε αυτό, μόνο αν το κυνηγείστε και μόνο εσάς. Αργύρη δεν πειράζει αφού είσαι ο μόνος που σήκωσες το χέρι. Πες μας τι σκέφτηκες. Εγώ σκέφτηκα ότι λογικά το μοναδίο διάνισμα θα είναι 1,0. 1,0. Τι είναι το 1,0. Ψαλεντάχει. Θα είναι στις 0 μήρες και θα το Άρ θα είναι 1. Όχι, όχι. Λοιπόν, θα το γράψω και να το καταλάβουμε. Είναι το μέτρο του Άρ, εψιλον Άρ. Αυτό είναι το διάνισμα θέσης. Το διάνισμα θέσης λοιπόν είναι Άρ, το μέτρο του Άρ, εψιλον Άρ. Και ποιο είναι το εψιλον Άρ, ποιο είναι το νέο σύστημα συνδεταγμένων. Το νέο σύστημα συνδεταγμένων για μας είναι ένα ορθογώνιο σύστημα το οποίο έχει εψιλον Άρ είναι η μία διεύθυνση και εψιλον Θ είναι η άλλη. Η εψιλον Θ είναι κάθετη στην εψιλον Άρ. Αυτό αν δεν το καταλάβατε δεν θα το αφομιώσετε και ούτε θα τα ξανασχοληθείτε μαζί του παρά μόνο όταν θα το βρείτε σε μια άσκηση και θα βρεθείτε σε πολύ δύσκολη θέση. Λοιπόν γράφω το διάνισμα θέσης το ξαναλέω ενός ειδικού σημείου που κινείται σε πολικές διεταγμένες είναι Άρ, μέτρο του Άρ, εψιλον Άρ. Πού βρίσκεται το Θ εδώ μέσα, το Άρ είναι το μέτρο του Άρ, έχει να κάνει με την απόσταση που είναι από την αρχή των αξώνων. Το Θ που βρίσκεται, το Θ που βρίσκεται στο μοναδιέο διάνισμα. Και άρα το μοναδιέο διάνισμα έχει μέσα του και για να παρακολουθήσω εγώ ένα σημείο και το Άρ. Και το Άρ είναι συνάρτηση του χρόνου, το μοναδιέο διάνισμα λέει ο συνάδελφός σας ότι είναι συνάρτηση του εψιλον Άρ και το Θ είναι συνάρτηση και αυτό του χρόνου. Κοιτάξτε τι έχω γράψει. Λέω, το έχω γράψει τώρα με την πληρώτητά του. Όταν ένα συλληκό σημείο κινείται σε πολυκές τεταγμένες, αλλάζει το διάνισμα, η απόσταση του από την αρχή των αξώνων, άρα το Άρ είναι συνάρτηση του χρόνου, το διάνισμα θέσης είναι το εψιλον Άρ, άρα έτσι γράφεται η τροχιά ενός συλληκού σημείου και όπως πολύ σωστά μου είπε ο συνάδελφός σας, το Θ βρίσκεται κρυμμένο μέσα στο εψιλον Άρ. Και το Θ αλλάζει και αυτό με το χρόνο, διότι όπως είχα το ΧΨΤ τώρα έχω το ΡΟΤΕ ΘΙΤΑΤΕ. Για να περιγράψω την κίνηση ενός σημείου θα αλλάζει η γωνία και θα αλλάζει και η απόσταση. Αν δηλαδή θέλετε να περιγράψετε μια τροχιά εδώ πέρα, η τροχιά αυτή κοιτάξτε τι θα κάνει, θα κάνει αυτή την κίνηση, άρα για να πάω εδώ που θα έχω ένα μεγαλύτερο Άρ, θα αλλάζει με το χρόνο το μέτρο του Άρ, θα αλλάζει και το Θ. Όπως είχα λοιπόν ποιες ήταν οι ανεξάρτητες, ποιες ήταν οι παραμετρικές εξοσώσεις στις καρτεσιανές που ορίζουν το ΧΙ, είναι το διάνισμα θέσης το ΧΤΕΨΤΕ. Ποιες είναι στις πολικές τεταγμένες οι δύο συναρτήσεις που ορίζουν παραμετρικές που ορίζουν το διάνισμα θέσης πολικές, το ΡΟΤΑΦ και το ΘΙΤΑΤΑΦ. Και ποια είναι τα καινούργια διανείσματα στις παραμετρικές εξοσώσεις το ΥΡ και το ΥΘΤ. Ποια διεύθυνση έχει το ΥΡ έχει τη διεύθυνση του Άρ. Ποια διεύθυνση έχει το ΥΘΤ είναι κάθετος το ΥΡ. Άρα έχει μια στροφή αυτό το διάνισμα και επειδή το Θ αλλάζει αυτό το σύστημα συντεταγμένων και αλλάζει με το χρόνο. Και οι συντεταγμένες του αλλάζουν με το χρόνο. Άρα είναι αρκετά μεγαλύτερη, έχει πολύ δυσκολία να το περιγράψουμε. Πάρτε τώρα το πρώτο που θέλω να κάνω και πρέπει να το πείτε εσείς, θέλω να αναλύσω το ΥΡ στις συντεταγμένες της Καρτεσιανές, την ΥΧ και την ΥΨ. Θέλω να αναλύσω τα δύο διάνισματα το ΥΡ και το ΥΘΤ, να τα αναλύσω στις δύο συντεταγμένες ΥΧ και ΥΨ. Ποιος θα μου πει πως είναι. Αναλύστε δηλαδή, να το το ΥΡ και το αναλύετε στις δύο συντεταγμένες. Πάρτε λοιπόν ένα τυχαίο μοναδείο διάνισμα, αναλύστε το στο ΥΧ και ΥΨ και πεςτε μου το ΥΡ πως θα είναι αν το αναλύσω στο σταθερό σύστημα ΥΧ ΥΨ. Ποιος θα μου το πει. Να σας εξηγήσω τι ζητάω. Αυτό είναι το ΥΧ και το ΥΨ, συμφωνείτε? Το ΥΡ είναι με γωνία θ, φέρνω το ΥΡ. Να το το ΥΡ. Και το ΥΘΤ είναι αυτό εδώ πέρα. Όλα αυτά είναι μοναδεία τώρα. Είναι τα μοναδεία. Τα μοναδεία του καινούργιου συστήματος έχουν στραφεί. Το καινούργιο σύστημα έχει στραφεί κατά γωνία θ. Και έχει το ΥΡ και το ΥΘΤ. Να το το νέο σύστημα συντεταγμένο. Μπορείτε τώρα να μου αλλαλήσετε το ΥΡ στις συντεταγμένες ΥΧ και ΥΣ. Αυτό σας ζητάω. Πώς θα είναι. Μοναδεία. Είναι όλα. Όχι εσείς οι δύο. Και εσείς πώς θα είναι το μικρό σας. Ο Οργύρης και ο Χρήστος έχουν καταλάβει γιατί αρκετά. Οι υπόλοιποι δεν έχετε καμία συμμετοχή και με ενησυχεί. Πες το. Το ΥΡ λοιπόν θα είναι ίσον συνειμήτωνο συνειμήτωνο θ με το διάλειγμα ποιό. Το συνειμήτωνο θ για το ΥΡ είναι ουσιαστικά αυτό εδώ πέρα και είναι ΥΧ. Εάν μου πεις και την ανάλυση του ΥΤ θα χειροκροτήσουμε. Όπως θέλησαν το εσείς εσείς εάν θέλετε να το δουλέψετε λίγο όλοι και εσείς να το δουλέψετε το χαρτί και να μου το πείτε κατευθείαν θα ήταν τα πιο χαρούμενος. Λοιπόν δουλέψτε το λίγο στο χαρτί. Πώς θα αναλύσουμε όπως η συνάδελφός σας πολύ ωραία ανέλησε το ΥΡ θέλω να αναλύσετε και το ΥΤ. Να καταλάβετε το ΥΤ είναι 90 προσθέξτε οι γωνίες εδώ πως είναι αυτή είναι θ αυτή είναι 180 είτε θα πάρετε 180 μιον θ είτε θα βάλετε αυτή εδώ που είναι 90 συνθ. Θα βλέπετε κατευθείαν από πού θα είναι το ποιο θα έχει μίον δηλαδή μπροστά στο ΥΧ οτιδήποτε προκύψιμή των ισυγνημίτων θα έχει μίον γιατί είμαστε στην ανοιγητικό άξονα είτε θα το κάνετε με το με το με το γωνίες και τα λοιπά. Βλέπετε μου λοιπόν το ΥΤ πόσο είναι αφού το κάνετε στις φράξεις με το χέρι σας εκεί στο τετράδιο σας. Τίποτα ανάλυση ενός μοναδιέων διανύσματος του ΥΡ του κάναμε το ΥΤ θέλουμε αυτό να το κάνουμε αυτό θέλουμε όλο πως θα αναλύσουμε το διανύσμα ΥΤ στις καρτεσιανές συντεταγμένες σαν συνάρτηση του μοναδιέων διανύσματος ΥΧ και ΥΤ. Πάλι μύτωνο συνυμύτωνο θα είναι αλλά πως θα είναι έτσι αυτό θέλω να μου πείτε. Βάσου. Θα βάλεις λοιπόν πως θα πεις τι είπες να δώσετε για το ΥΧ πως συνυμύτωνο συνυμύτωνο. Ποιο είναι το συνυμύτωνο του ΥΧ και ποιο είναι το συνυμύτωνο του ΥΧ. Τώρα επειδή θέλω να μεταφερθεί στο Θ και να αφήσουμε το Π έξω κάνε τη μεταφορά και πέζουμε από κάτω πως θα είναι το συνυμύτωνο του ΥΧ είναι πόσο. Ποιο είναι το συνυμύτωνο του ΥΧ και ποιο είναι το συνυμύτωνο του ΥΧ και ποιο είναι το συνυμύτωνο του ΥΧ. Συμφωνείτε μαζί της ή όχι. ΥΧ Ψ. Συμφωνείτε. Εγώ δεν συμφωνώ. Πέστε μου εσείς. Εδώ έχω ΥΧ, ΥΧ Ψ. Αυτό το έχω σωστά. Συμφωνείτε. Αλλά εδώ πρέπει να βάλω ΥΧ Ψ. Πέστε μου αν αυτό που μας είπε η βάση είναι σωστό. Το μιον και το συν είναι σωστά αλλά δεν είναι σωστό. Αυτό που δεν μας είπε είναι το θ. Προσέξτε αυτό εδώ πέρα πόσο είναι. Έχουμε 180 μιον θ. Το συνυμύτωνο εδώ πέρα αναλύοντας αυτή εδώ η γωνία είναι 180 μιον θ. Συμφωνείτε. Αυτή η γωνία είναι 180 μιον θ. Είναι 90 μιον θ. Α, μπράβο αυτό ήταν το πρόβλημα. Άρα λοιπόν εδώ ήταν πιδεύτερα 90 μιον θ και εδώ ήταν 90 μιον θ. Οπότε τώρα τι θα γίνει να είναι 90 μιον θ. Θα αλλάξει το κ με το σ. Θα είναι σ του θ και εδώ θα είναι κ θ. Τώρα τα κάναμε σωστά. Γράψτε λοιπόν το σωστό. Θα γράψετε για το διάνυσμα θέσεις του ερ. Θα έχουμε το συνυμύτωνο θεύσιλον χ, συνυμύτωνο θεύσιλον ψ. Και για το εθ θα είναι αυτή η σχέση. Γράψτε αυτές τις σχέσεις και παράκληση όχι να τις γράψετε μόνο. Αν δεν τις καταλαβαίνετε να ζητήσετε διευκριγίες από αυτούς που τους καταλάβαμε. Γιατί αυτή η γωνία αυτή εδώ πέρα έτσι θα πρέπει να την ορίσουμε που αλαλείουμε. Ό,τι κάναμε σε αυτό θα κάνουμε και σε αυτή η ίδια γωνία και στα δύο. Δηλαδή θα πάρουμε τη γωνία και στα δύο. Όπως μας τα είπε, πολύ καλά μας τα είπε, το μόνο λάθος που έκανε η βάση ήταν αντί να πει δεύτερα εδώ πέρα είπε πει. Οπότε βγαίνουν αυτά να είναι τα αποτελέσματα. Άρα λοιπόν έχω μεταφέρει, Αργύρη κάτι θέλεις. Αυτό δεν γίνεται και με εξωτερικό γυνώμα να το κάνουμε. Φυσικά γινόταν και αλλιώς. Δηλαδή αυτό που έλεγες είναι να κάνεις το εξωτερικό γυνόμενο με τα εχ και εχ. Με τα εχ και εχ, ναι για να πει το εχ. Βεβαίως γινόταν και αλλιώς αλλά τώρα κάναμε μια απλή ανάλυση. Μια χαρά είμαστε. Λοιπόν, γράφετε και τα δύο αυτά και το εχ και το εχ να τα κρατήσουμε. Τώρα προσέξτε. Πήγαμε σε ένα σύστημα που το θήτα, που το ερ και το θήτα είναι συναρτήσεις του χρόνου. Δεν είναι σαν τις καρτετισιανές θεταγμένες. Οπότε ελάτε τώρα να παραγωγήσουμε ως προς το χρόνο το διανύσμα θέσεις στις πολικές θεταγμένες. Και να βρούμε ταχύτητες και επιταχύνσεις στις πολικές θεταγμένες. Ελάτε να το κάνουμε αυτό. Είναι πάρα πολύ χρήσιμο. Αν δεν το έχετε κάνει θα το βρείτε και πολύ ενδιαφέρον. Λοιπόν, σβήνω και θέλω να πάρω. Είπα ότι το διανύσμα θέσεις είναι αυτό, έτσι. R διανύσμα ίσον ρο μέτρο του διανύσματος ερ που είναι το διανύσμα θέσεις προς τη θέση R. Και επειδή εμείς τώρα ξέρουμε ότι το ερ είναι αυτό και το θήτα είναι συναρτήσεις του χρόνου. Εντάξει, άρα αυτό το διανύσμα περιστρέφεται. Ήθελα να έχω μια ερώτηση για το προηγούμενο, γιατί δεν κατάλαβα. Ναι. Τι βρήκατε πριν για το επίσημο θήτα το πάνω στο κράτες Ιανώδη που στέλνουν το μπροστά από το ημίτωνο, γιατί τεγε μία. Γιατί το συνημίτωνο το 1991 θήτα πόσο είναι. Ημίτωνο. Ήταν ο θήτα. Δια στιγμή, μήπως έχουμε κάνει λάθος, μήπως έχουμε κάνει λάθος παιδιά. Το θήτα είναι αυτό, μήπως εγώ, μήπως ήμασταν, εδώ είναι το θήτα, έτσι. Άρα αυτή η γωνία πόσο είναι εδώ πέρα, όποιος δεί πως να την αλύσσουμε θέλουμε να αλύσσουμε προς αυτήν. Πόσα είναι αυτή η γωνία, ορίστε. Το πίσω που μας καταλάβησαν ήταν 99 θήτα. Ωραία, άρα λοιπόν, εδώ όμως όταν αλυαλίσαμε, είχαμε ποιο. Για να βρούμε το χι εδώ πέρα, σε αυτή τη γωνία, το χι πόσο είναι. Έχει ένα, το χι πόσο είναι εδώ πέρα. Αν θα πάρουμε αυτήν εδώ τη γωνία, αυτή η γωνία είναι πόσο αντιβάλλεται. Ρωτάω, μιλήστε. Αντιμώθει ο Μαϊκάρ. Όχι, αυτή είναι το θήτα, με αυτοί κινούμαστε. Όλοι αυτοί είναι 180, άρα αυτή εδώ πέρα πόσοι είναι. Μπορούμε να την εκφράσουμε, πως αν την ονομάσουμε Ωμαίγα και είχουμε 180, ίσον θήτα στην 90 στην ομάδα. Άρα αυτό το Ωμαίγα είναι ίσον 180 μιον 90 μιον θήτα. Ωραία. Άρα 180 συνθήτα, δηλαδή, θα είναι αυτή η γωνία. Όχι, λέω, 90 συνθήτα είναι σπάνια στην 180 μιον θήτα. Ωραία, άρα λοιπόν θα είναι 180 μιον θήτα. 90 μιον θήτα. Ωραία. Λοιπόν, άρα αν δουλέψουμε με αυτή τη γωνία 90 μιον θήτα και πάρουμε να κάνουμε τις προβολές αυτής εδώ πέρα, θα βάλουμε τα πρόσημα όπως φαίνονται εδώ πέρα. Δηλαδή, η ανάλυση αν το βγάλουμε αυτό είναι 90 μιον θήτα. Δεν είναι σωστό τότε ότι το χ, μπροστά στο εχ, αυτό, θα έχει ένα μιον. Νάτο, είναι σε ενδιεύθυνση αρνητική, δεν είναι? Το μιον έρχεται επειδή είναι η προβολή, νάτο, έχει μιον μόνο του μέσα. Και οπότε έχει 90 μιον θήτα και βάλει το βάζομα αυτό, η μήτωνο θήτα, με το πρόσημο που έχει. Οπότε μιον χρειάζεται και στην προηγούμενη. Όχι στην προηγούμενη γιατί η προηγούμενη είναι στο συν. Το ψή είναι στο συν, δεν είναι στο συν, νάτο, δεν αναλύω αυτό το διάνυσμα. Το ένα έχει μιον πρόσημο, νάτο, γιατί είμαι στα αρνητικά του, το άλλο έχει συν πρόσημο. Στο έψοδο, όταν αρχίσουν τα αρνητική, δεν έπρεπε να έχουν πάει κατευθείαν. Μιον. Αυτό είναι το. Το μιον, λοιπόν, υπάρχει γιατί όταν αναλύω αυτό το διάνυσμα, έχει μιον το εχ. Εντάξει, το βλέπετε τώρα, βάζο το βλέπεις? Ναι ή όχι. Δηλαδή αυτό το διάνυσμα εδώ, αυτή η γωνία για την οποία συζητάω, είναι πράγματι 90μΘ και αυτό εδώ πέρα έχει το μιον, άρα είναι μιον συνειμήτωνο του 90μΘ, συνειμήτωνο του 90μΘ. Και βγάζει αυτήν εδώ τη σχέση. Να μην φάμε άλλο χρόνο, αν τα δείτε στο σπίτι, κρατήστε αυτές τις δύο σχέσεις για την ανάλυση των διάνυσματών. Τι θέλω να κάνω τώρα. Θέλω να πάρω αυτό το διάνυσμα, που έχω γράψει το R ίσον R του T, τα ερ που μέσα έχει το θ, το ερ θα το πάρετε από εγώ. Και θέλω να παραγωγίσετε να βρείτε την ταχύτητα, αυτού του διάνυσματος, παραγωγίστε αυτό το πράγμα ως προς το χρόνο. Τι θα βγάλει παραγωγίστως προς το χρόνο αυτήν εδώ τη σχέση. Και πέστε μου το αποτέλεσμα. Το διάνυσμα λοιπόν θέσεις στις πολικές τεταγμένες είναι R του T, ε Ρ και αυτό είναι του T μέσα από το θ είπαμε. Και το ερ σας το έχω δώσει, να το. Οπότε ελάτε να παραγωγίσουμε το διάνυσμα θέσεις στις πολικές τεταγμένες. Ποιος θα μου πει τι θα βγάλει. Είναι δύο συναρτήσεις, λοιπόν πέστε μου ποιος θα μιλήσει. Ακούω παιδιά μην τρέπεστε να μιλήσετε, πέστε ό,τι θέλετε ελεύθερα. Πέστε μου, R παράωγος ε R συ, δεν το είπαμε για τις πολικές είναι αλλά είπαμε ακριβώς το αντίθετο. R επί ερ παράωγος. Αυτό όμως για να το βρείτε το ερ παράωγος και επειδή τα εχ και εχ δεν διαλάζουν, θα πάτε στο ερ όπως είναι και θα το παραγωγίσετε. Να το παραγωγίστε το το R. Θεωρώντας ότι ο χρόνος είναι μόνο εδώ μέσα. Το ερ το γράψαμε. Θήτα τάφ που έχει μέσα το χρόνο εχ. Η μύτωνο θήτα τάφ εψί. Για παραγωγίστε το αυτό και πέστε μου τι βγάζει. Παραγωγίζω προς το χρόνο αυτό το πράγμα. Ωραία. Έχω δύο συναρτήσεις. Τη ρ του τάφ και την ε ρ αυτές είναι δύο συναρτήσεις. Τώρα θα την κάνεις. Εγώ αυτό το έβαλα για διευκρινήση. Για μένα είναι παράγωγος. Τώρα αν θα την κάνεις εσύ πως θα παραγωγίσαι από εδώ και πέρα ως προς αυτή τη συναρτήσει που είναι ερ συμμύτωνο θήτα που είναι συναρτήσει του χρόνου κτλ. Θα το κάνεις τώρα. Το τελείωσες. Το έκανες. Για πες μου. Η παράγωγος του ερ. Με τι είναι εσύ. Εγώ. Ναι. Μίον ημίτωνο θήτα επί ευσύλων χιμώνα διέο. Μίον ημίτωνο. Θήτα επί ευσύλων χιμώνα διέο. Επί ευσύλων χιμώνα διέο. Συνσιμίτωνο θήτα επί ευσύλων χιμώνα διέο. Έχει κάνει λάθος. Που έχει κάνει λάθος. Πες μου. Έχει παντού και το θήτα τόνους. Άρα η παράγωγος λοιπόν του ερ είναι μίον ημίτωνο θήτα. Θήτα τόνους ημίτωνο θήτα ευσύλων χι. Θήτα τόνους συν ημίτωνο θήτα ευσύλων ψ. Τώρα μπορώ να βγάλω το θήτα τόνους κοινό παράγοντα. Και το υπόλοιπο που θα μου μείνει. Τι διάνοισμα θα προκύψει. Ευσύλων θήτα. Άρα εδώ γράφω ίσον ρο παράγωγος ευσύλων ρο. Συν ρο θήτα παράγωγος ευσύλων θήτα. Συμφωνείτε με αυτό. Πες μου αν συμφωνείτε στις πράξεις παιδιά. Βάζω. Εδώ σε αυτή την παραγωγήση. Εδώ αυτό παραγωγίζουμε. Εντάξει. Λοιπόν όποιοι δεν καταλαβαίνουν σηκώνουν χέρι. Πήρα το ρο. Τι έκανα σαν βήματα. Πήρα το ρο και το γράψα ρο του τάφ ευσύλων ρο του τάφ. Το ευσύλων ρο του τάφ είναι μέσα από το θήτα. Το ευσύλων ρο το έχω. Παραγωγίζω αυτός προς το χρόνο. Θα βγάλω το θήτα παράγωγος ευσύλων θήτα. Ωραία. Και εδώ έχω λοιπόν στις πολυκές. Έχω φτιάξει τώρα. Τι έφτιαξα με αυτό όλο. Έχω φτιάξει την ταχύτητα. Πώς θα περιγράψω την ταχύτητα στις πολυκές τεταγμένες. Κοιτάξτε πως θα έχω ένα β του ρ ευσύλων ρ. Συν ένα β του θήτα ευσύλων θήτα. Και το β του θήτα είναι ίσον με ρ. Φύτα τόνους. Αυτό εσείς το ξέρετε από το Λύκειο. Αυτό που έχω γράψει ότι η γωνιακή ταχύτητα είναι ρ επί ω. Το ξέρετε από το Λύκειο. Το ξέρετε ή δεν το ξέρετε. Απλώς δεν το συνδέσετε με αυτά όλα. Δεν ξέρετε ότι προέκυψε γιατί αλλάξαμε σύστημα στις τεταγμένων. Και πήγαμε στις πολυκές και μας προέκυψε αυτό το πράγμα. Και αν κάνω κυκλική κίνηση. Τι θα βάλω μηδέν σε αυτή τη σκέση. Κυκλική κίνηση κάνω. Ποιο. Το ρ. Το ρ και το ψ. Και το ρ παράγωγος δεν αλλάζει ακτίνα. Θα το βάλω μηδέν. Και θα μου προκύψει η πολύ όμορφη κυκλική θήνυση που είναι ρ επί ω. Το θήτα τόνους δηλαδή. Συμφωνείτε. Άρα λοιπόν εμείς μάθαμε κάτι τώρα. Και το μάθαμε από το μετασχηματισμό μας. Μας προέκυψε σαν αποτέλεσμα του μετασχηματισμού. Ξέρετε τι όμορφια θα προκύψει αν πάρετε να βρείτε. Και να το κάνετε μόνοι σας μόλις γυρίσετε απ' το διάλειμμα. Να πάρετε να βρείτε τώρα την επιτάγινση. Άχ. Συμφωνεί μου. Λοιπόν να βρείτε την επιτάγινση. Στις πολικές τεταγμένες πως είναι. Αυτό να βγει μια πολύ όμορφη άσκηση. Αν την κάνετε μόνοι σας. Τώρα εδώ πέρα χωρίς να την διαβάσετε. Θα έχετε πάρει μια πολύ καλή πρύκα μαζί σας και θα ανακαλύψουμε και ωραία πράγματα. Από πλευράς μηχανικής. Αλλά θέλω να την κάνετε εσείς γι' αυτό γυρίστε να σταματήσουμε για το διάλειμμα. Από όλη αυτή τη δουλειά στην περασμένη ώρα. Θα κρατήσουμε τα εξής χρήσιμα πράγματα. Πρώτη πληροφορία. Ότι σε πολικές τεταγμένες το διάνισμα θέσης που περιγράφει την τροχιά ενός ειδικού σημείου. Σε πολικές τεταγμένες είναι το R ίσον R YR. Προσέξτε ποια από αυτά έχουν μέσα το χρόνο. Το δεύτερο στοιχείο είναι ότι παραγωγίσαμε και βγάλαμε δύο τα διάνισματα YR παράγωγος. Το δουλέψαμε και είναι εκείνο το συνειμήτωνο θήτα. Συνειμήτωνο θήτα Υχ συν ημήτωνο θήτα Υψ. Και το Υθ είναι μίον ημήτωνο θήτα. Μίον ημήτωνο θήτα Υχ συν συνειμήτωνο θήτα Υψ. Αυτές είναι πληροφορίες που της βγάλαν. Αυτά εδώ πέρα είναι η θέση και η ταχύτητα. Το θήτα φυσικά έχει μέσα το χρόνο όπως έχει και το R. Όπως είχαμε το χήτε ΥψΤ τώρα έχουμε RΤΤ. Αυτές είναι οι συναρτήσεις που περιγράφουν την κίνηση σε πολικές τεταγμένες. Μέχρι εδώ είναι όλα καθαρά. Θέλω να μου κάνετε μια δουλίτσα τώρα. Και να την κάνετε όλη για να μας μείνει. Θα παραγωγήσουμε τώρα την πρώτη παράωγω, την ταχύτητα δηλαδή, για να γράψουμε μέσα σε αυτό το σκεπτικό που βγάλαμε την ταχύτητα, να πάμε ένα βήμα παραπέρα και να βγάλουμε την επιτάχυνση. Θέλω δηλαδή να μου γράψετε την επιτάχυνση, την δένυση της επιτάχυνσης, η οποία είναι διάνυσμα του θέσης δεύτερη παράωγω ίσον. Να μου το γράψετε αυτό, να μου πείτε τι είναι. Να το μεταφέρετε στο ερ εθ συντεταγμένος, όχι σταχύ και ψιταχύ, ταχύ και ψιταχύ θα φύγουνε, γιατί όπως φύγανε και εδώ πέρα που έμεινε τούτο εδώ, όπως φύγανε εδώ και έγινε ερ εθ και εδώ ήταν έτσι, έτσι θα φύγουνε και εκεί. Δηλαδή θα εμφανίσετε το διάνυσμα στην ερ, συν το διάνυσμα στην ερ θ. Άρα θέλω να μου πείτε τι είναι εδώ μέσα, δηλαδή θέλω να μου πείτε ποια είναι η συνιστόσα του ερ, η συνιστόσα της επιτάχυνσης στη διεύθυνση ερ και η συνιστόσα της επιτάχυνσης στη διεύθυνση θ. Αυτά θέλω να μου τα δώσετε εδώ. Και γιατί θέλω να μου τα δώσετε, γιατί θέλω να τα κάνετε εσείς και ενταγράφω εγώ στον πίνακα, γιατί δεν πάμε σε ένα βιβλίο να τα διαβάσουμε. Γιατί κάποια στιγμή όλο αυτό το παραμύθι θα βρεθείτε μπροστά και να δε θα θυμάστε ποιες είναι οι επιταχύνσεις σε πολικές δεταγμένες. Αν το κάνετε τώρα μόνοι σας, τελείως δεν χρειάζεται να το θυμάστε, θα το βγάλετε. Αρκεί να θυμάστε το r του τ είναι r ερ, να θυμάστε ότι τα r είναι συναρτήσεις του χρόνου γιατί αυτό το σύστημα περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα θ, το θ είναι συναρτής του χρόνου αλλά θυμάστε όλα αυτά τα οποία και αυτά τα βγάλαμε, δεν τα πήραμε τυχαία. Και τώρα θέλω να βγάλουμε την επιτάχυνση και να δούμε αν επιτάχυνση μας λέει και τίποτα καινούργια από τη φυσική. Η κίνηση σας θα αναποθεί εδώ τη σχέση. Από εδώ θα ξεκινήσετε και θα την παραγωγήσετε άλλη μια φορά, την ταχύτητα δηλαδή. Μια ενδιαφέρουσα προεργασία είναι να πάρετε το ερ και το θ, τα μοναδιαδιαγνήσματα και να βρείτε την παράγωγό τους με τι είναι ίσο. Είναι πολύ χρήσιμη η προεργασία αυτή. Προηγουμένως είπατε ότι το ερ αν το παραγωγήσω μου δίνει θ παράγωγο εθ. Να μια παραγώγηση που ενδιαφέρει. Μια ερώτηση χρήσιμη έβαλε στην ώρα του διαλύματος ο Αργύρης. Λέει γιατί παίρνουμε πάντα κάθετα συστήματα στα ταγμένα, γιατί είναι ορθογόνια τα συστήματα. Έχει πολύ μεγάλο ενδιαφέρον αυτή η ερώτηση, γιατί μας βολεύει να απλοποιούνται οι προβολές, το πώς γράφουμε δηλαδή το χ και το ψ, διότι αν τα συστήματα ήτανε αμβληγόνια, δηλαδή δεν ήταν κάθετα, θα έμπαινε και αυτή η γωνία που είναι τώρα 90 μοίρες, και όντας 90 μοίρες απλοποιεί πάρα πολλά πράγματα, θα έμπαινε μέσα στις προβολές, στις αναλύσεις, στις μετατροπές. Τα συστήματα συντεταγμένων πρέπει να ξέρετε στη φυσική, αποτελούν ένα από τα πιο μεγαλύτερα ενδιαφέροντα πράγματα, για να απλοποιήσουμε τις πράξεις. Γιατί αν διαλέξουμε ένα έξυπνο σύστημα συντεταγμένα, στο οποίο μεταφέρουμε τη λύση του προβλήματος, έξυπνο σημαίνει ότι παίρνω υπόψη μου τις συμμετρίες του προβλήματος, και όταν πάω σε αυτό το νέο σύστημα, η εξίσουση που θέλω να το λύσω είναι πάρα πολύ απλή. Αυτό το σκέφτηκε πρώτος, όταν μετά τον Νεύτωνα υπήρχε εξέλιξη στη μηχανική. Και οι μεγάλοι, ο Χάμιλτον και ο Τζακόμπι, ήταν δύο άνθρωποι, που σκέφτηκαν ότι ο Νεύτωνας ήταν κολλημένος σε συστήματα συντεταγμένων καρτεσιανά. Και μπλέχτηκε πάρα πολύ για να βγάλει ορισμένα πράγματα. Δεν εκμεταλλεύτηκε διάφορες συμμετρίες και έφτιαξαν μια μηχανική, την οποία θα την μάθετε εσείς στο επόμενο έτη, την αναλυτική μηχανική του Χάμιλτον-τζακόμπι, οι οποίοι ουσιαστικά ψάχνουν να βρουν το καλύτερο σύστημα να περιγράψω ένα πρόβλημα. Και αν το βρούμε το πρόβλημα απλοποιείται, το λύνω σε αυτό το σύστημα και κάνω μετασχηματισμούς πίσω μετά. Καταλάβατε δηλαδή το PAUS είναι ένα σύστημα το οποίο δεν μου λέει τίποτα άλλα, εκμεταλλεύεται τις συμμετρίες και αυτό είναι η όλη εξυπνάδα για τη λύση του προβλήματος και επιστρέφω μετά στο καρτεσιανό. Αυτά έτσι γενικά για πληροφορίες, για εσάς. Λοιπόν, ποιος έχει τελειώσει, έχει τελειώσει ένας συνάδελφός σας, και λοιπόν για την επιτάχυνση, εγώ τη γράφω εδώ πέρα α, η επιτάχυνση που ήταν ρ, δεύτερη παράγωγος του διανύσματος θέσης, είναι η ίση με τί, για πες μου, δεύτερη παράγωγος του α, ναι συν, ναι επί, π, π, π, π, π, π, π, π, π, π, π, π, π, π, π, π, π, π, π, π, π, π, π, π, π, π, π, π, π, π, π, π, π, π. Το εδώ πέρα, ήταν ρ εδώ έτσι, εγώ σας άκουσα καλά, εδώ τι ήτανε, δεν σε παρακολούθησα, Αυτή είναι η δεύτερη παράγωση του R, που προέκυψε από... Πρώτη παράγωση του R. Εδώ είναι η πρώτη παράγωση του R, μάλιστα. Επί θήτα T. Επί... Δε θήτα T παράγωση. Δε θήτα T είναι, ρε παιδί. Δε θήτα T και δε θήτα. Ναι, θέλω να αφήσουμε το ρ και το θ μέσα. Δεν θέλω να πάμε στο δε θήτα ακόμα. Δεν καταλαβαίνετε. Θέλω να δουλέψουμε μέχρι εδώ. Και να είμαστε με το ρ και με το θ. Να μην μπλέξουμε τα δε θήτα, γιατί θα κάνουμε αντικαταστάσεις μετά. Και μπλέκονται τα πράγματα. Το ρ, επί το θήτα παράγωση, είναι το δε θήτα. Το ρ, επί το θήτα παράγωση, είναι το δε θήτα, ναι. Αυτό είχες εδώ πέρα να βάλεις. Όταν παραγωγήσω εγώ... Ναι, ωραία. Προχώρα τότε. Απλά δεν σε άκουσα καλά. Έχουμε την πίνακα για να μην έχουμε στην επαγόρευση πλόδιμα. Δεν πειράζει. Συνέχισε. Συν ρ, επί θήτα παράγωση, επί θήτα παράγωση... Τετράγωνο δηλαδή. Ναι. Ωραία. Τι διανισμά να βάλω. Τι διανισμά να βάλω. Το διανισμά. Το διανισμά. Μάλλον πρέπει να έρθει στον πίνακα. Μερδευόμαστε πάρα πολύ. Μεσό να μην τα μεταφέρεις. Δεν έχεις σημειώσει σου γιατί δεν τις έφερας. Δεν τις έχεις σημειώσει με το... Τις έκανα με το... Τις έχω σημειώσει με το τράπεζο. Δώστε μου το πλαγματιό. Ευχαριστούμε. Απλά εγώ αυτό εδώ πέρα, το είχα με θήτα. Ναι, αυτό μας μπερδεύει λιγάκι. Δεν θέλουμε να την κάνουμε τη δουλειά, κατευθείαν εδώ. Οπότε ξεκινάς. Δεύτερη παράγωση, αυτό επί ευσυλονάρ. Μάλιστα. Μετά παραγωγή. Μετά παραγώγεις αυτό και... Είναι αυτή η παράγωση εδώ, δεν είναι? Ναι, είναι αυτή η παράγωση. Οπότε η παράγωση του ευσυλονάρ θα μας δώσει το θ παράγωση ευσυλονθ. Ωραία, με αυτό τελειώσαμε. Τώρα πάμε εδώ και έχουμε ρ παράγωγο θ παράγωγο ευσυλονθ. Άρα το πρώτο, γράψε το πάλι. Άρα ρ παράγωγο... Ρ παράγωγο... Επί ευσυλονθ. Ωραία, πάμε παρακάτω και έχουμε ρ επί δεύτερη παράγωγο του θ. Δύο τελείες ευσυλονθ. Ψ, ρ, επί θ πρώτη παράγωγος... Λίγο πιο μεγάλα. Αν πάρεις την παράγωγο του ευσυλονθ ναι, πόσο θα βγει. Η θ παράγωγος πόσο είναι. Από έξω και μέσα θα μας μείνει μία κοσπίδα. Όχι, όχι, όχι, όχι, όχι, όχι. Όχι, η παράγωγος όπως έκανες την παράγωγο του ευσυλονάρ. Η παράγωγος του ευσυλονθ με τι είναι? Εδώ η παράγωγος του ευσυλονάρ, η παράγωγος του ευσυλονθ με τι είναι ίση? Με μειον κοσπίδα τάθε ποιεύση. Ναι, το οποίο στο τέλος γίνεται... Μειον ευσυλονάρ γίνεται. Γίνεται θ παράγωγος ευσυλονάρ. Η παράγωγος του ευσυλονθ γίνεται μειον θ παράγωγος ευσυλονάρ. Ωραία, γράψτε το. Εντάξει, ας μην κάνουμε πράξη, τώρα το βγάζαμε. Το ευσυλονχ πώς μας προέκυψε τώρα? Α, ευσυλονρόσυνο. Να βάλουμε τις τελείες πολύ έντονα. Να βάλουμε εδώ τελείες έντονα, τελείες τελείες. Λοιπόν, κλείστο αυτό. Ωραία, για να δούμε αν πάμε όλοι μαζί. Δεύτερη παράγωγος του αρ ευσυλονάρ, πάει αυτός όλος. Παραγωγίζουμε αυτό και μένει η πρώτη παράγωγος του αρ. Η παράγωγος του ευσυλονάρ μας βγάζει θ παράγωγος ευσυλονθ. Οπότε, να τη εδώ πέρα, αυτή εδώ είναι η παράγωγος του ευσυλονάρ. Συμφωνείτε? Ωραία. Πάμε τώρα, συνεχίζουμε και παραγωγίζουμε αυτό. Αυτό θα βγάλει τρεις όρους. ρ παράγωγος θ παράγωγος, τον έβγαλε, νάτος. Με ευσυλονθ. Δεύτερος όρος. Το ρ θα μείνει όπως είναι δεύτερη παράγωγος του θ, ευσυλονθ. Και τρίτος όρος, θα παραγωγήσουμε ρ θ παράγωγος, θα τα αφήσουμε όπως είναι, θα παραγωγήσουμε το εθ, το οποίο βγάζει μίον θ παράγωγος ευσυλονάρ. Αν τα μαζέψει τώρα όλα και βγάλει ό,τι έχει στο εθ, συν ό,τι έχει στο ευσυλονάρ. Και ό,τι έχει, ναι, ευχαριστώ πάρα πολύ. Τι θα μας βγάλει αυτό το πράγμα τώρα όλο, θα βγάλει ρ δεύτερη παράγωγος, μίον ρ θ πρώτη παράγωγο τετράγωνο, δύο ρ παράγωγο θ παράγωγο, συν ρ θ δεύτερη παράγωγο. Αυτό είναι το αποτελέσμα. Έχω μαζέψει τώρα και μπροστά στο ερ, έχω ρ δεύτερη παράγωγο μίον ρ θ παράγωγο στο τετράγωνο, ευσυλονάρ, και εδώ έχω δύο ρ παράγωγο θ παράγωγο, συν ρ δεύτερη παράγωγο του θ ευσυλονθ. Το βλέπετε όλοι ή όχι. Αν δεν το βλέπετε να το συζητήσουμε, να το δούμε. Τώρα, εάν έχω μία κυκλική κίνηση. Αν παραγωγήσεις αυτό και αυτό ως προς θ, θα βγάλεις το αποτέλεσμα. Θα το έχεις κάνει, θα το κάνεις. Συμφωνείς? Βγαίνει αυτό, πραγματικά βγαίνει. Λοιπόν, άλλη ερώτηση. Τώρα, σε μία κυκλική κίνηση, τι θα προκύψει από την επιτάχυνση. Δηλαδή, στην επιτάχυνση σε μία κυκλική κίνηση, ποια θα είναι. Έχω μία κυκλική κίνηση. Ό,τι έχει να κάνει με r παράγωγο, μηδενίζεται. Τι θα μας μείνει από όλο αυτό το πράγμα σε μία κυκλική κίνηση. Από αυτό που σας έχω γράψει, θέλω να διώξετε, ότι έχει να κάνει με r παράγωγο. Στην κυκλική κίνηση μόνο το θ έχει παράγωγο που μένει, έτσι. Το ρ είναι μηδέν. Οπότε, για πέστε μου τι θα μείνει στην κυκλική κίνηση. Στην κυκλική κίνηση, η επιτάχυνση θα είναι, λέμε, α στην κυκλική κίνηση, θα είναι ίση με τί. Ένα συγκονιδοχείο και δύο κύβας. Ασίς έχετε μιλήσει όλοι και οι υπόλοιποι. Παιδιά, δεν σας ζήτησα τίποτα φοβερό τώρα. Γιατί χασμουριέστε πρωί πρωί πάλι. Θέλω να ευμηδενήσω την πρώτη παράγωγο στο r. Γιατί το r είναι σταθερό στην κυκλική κίνηση. Αν σε αυτή τη σχέση που έχω γράψει, διώξτε οτιδήποτε έχει να κάνει με δεύτερη παράγωγο στο r. Τι θα μας μείνει. Ακούω. Πες τελείως εσείς. Ναι. Μίον r θήτα τόνος ευσυλον r μοναδίου. Συν r επί δεύτερη παράγωγο του θήτα. r επί δεύτερη παράγωγο του θήτα. Επί ευσυλον θήτα μοναδίου. Το βλέπετε. Από αυτά που βλέπετε, μπορείτε να αναγνωρίσετε κάτι από αυτά που ξέρατε από το Λύκειο. Από αυτό που είναι στον πίνακα, αναγνωρίζετε τίποτα από αυτά που ξέρατε στο Λύκειο. Παραδείγματος χάρη, εάν η γωνιακή ταχύτητα είναι σταθερή, ποιος ακόμα ώρας θα φύγει. Έχουμε λοιπόν ένα υλικό σημείο που κινείται σε έναν κύκλο και το r δεν έχει παραγωγό γιατί είναι σταθερό. Και τώρα βάζω κι άλλη μια συνθήκη. Αυτό το σημείο που κινείται γύρω σε μια κυκλική κίνηση έχει και σταθερή γωνιακή ταχύτητα που σημαίνει το θ του παράγωγο είναι σταθερό. Τι θα φύγει εδώ, θα φύγει και ο όρος ε θα φύγει και αυτός. Και μας έμεινε στην κυκλική κίνηση με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ένας όρος που λέει μίον ρ θ παράγωγος το τετράγωνο. Τον θυμάστε? Ποια είναι αυτή ρε παιδιά, πως τη λέγατε στο Λύκειο? Μόνο αργή δε σηκώνει τα χέρια, οι υπόλοιποι. Πες μας εσύ, εσείς οι δύο μιλάτε, έλα. Είναι κέντρο μόλος. Ναι, δηλαδή, ναι Αργή τι θες να πεις. Άρα ουσιαστικά, χρησιμοποιούμε αυτό το σύστημα, γιατί μας ενδιαφέρει πως μην τα βάλετε σαν μέτρο και σαν γωνία. Σαν μέτρο και σαν γωνία. Όταν είμαστε σε μία κυκλική κίνηση, η κίνηση του σωματιδίου κάνει ένα σωμάτιο κίνηση κυκλική. Προσέξτε τι έχω κάνει τώρα. Μπήκα σε ένα μη αδρανιακό σύστημα, γιατί έτσι λέγεται αυτό. Η τρίτο σύστημα δεν είναι σταθερό. Σταθερό σύστημα το κατησιανό είναι αδρανιακό σύστημα. Μπήκα σε ένα περιστρεφόμενο σύστημα. Και κοιτάξτε πόσο απλή έγινε η κίνησή μου. Από κύκλος έγινε ένα σημείο. Και μένει για μένα που είμαι στο κινούμενο σύστημα, έμεινε ακίνητο το σημείο. Το καταλαβαίνετε. Εγώ που κινούμαι με το σύστημα βλέπω ένα σημείο να κάθεται εκεί δίπλα μου και πάω μαζί του. Άρα στο δικό μου σύστημα το σημείο είναι ακίνητο. Στου άλλου νου κινείται. Τι γίνεται τώρα. Μπαίνω σε άλλο σύστημα και βλέπω άλλη φυσική. Πρέπει να επικοινωνούν. Πρέπει να είναι η ίδια η φυσική. Άρα για να είναι ακίνητο ένα πράγμα που κάνει κυκλική κίνηση θα πρέπει να έχει μία δύναμη ίση και αντίθετη με αυτή που το τραβάει. Και αυτή είναι η κεντρομόλως. Γι' αυτό λέμε βάλαμε μία δύναμη η οποία μπήκε από το σύστημα. Γιατί το σύστημα δεν είναι ένα δρανιακό. Κάθε φορά δηλαδή που μπαίνεις σε ένα περιστρεφόμενο σύστημα προσθέθονται ή οτιδήποτε κινούμενο σύστημα προσθέθονται νέες δυνάμεις που πρέπει να ερμηνεύσουν το τι βλέπεις στο κινούμενο σύστημα. Διαφορετικά ένας παρατηριστός κινούμενος λέει τι βλέπεις ένα ακίνητο σωματίδιο. Ένας άλλος στον Καρτεσιανό λέει εγώ βλέπω να κάνει κύκλο. Πρέπει να συμφωνήσουν αυτοί οι δύο. Και λέει ναι κύκλο κάνει αλλά έχει προσθεθεί μία δύναμη για να ακίνητοποιήσει το σωματίδιο στο κινούμενο σύστημα προσθέθηκε η φυγόκεντρος. Πρέπει να ρωτηθείτε κι εσείς πως μας προέκυψε η φυγόκεντρος. Αφού εγώ βραστικές δυνάμεις ξέρω την έλξη. Άρα έχω μια έλξη, όποιαδήποτε έχω μια έλξη από τον ήλιο στους πλανήτες και τους αναγκάζω να κάνουν κύκλους. Αυτή την κίνηση ξέρω εγώ. Αλλά αν είμαι πάνω σε ένα περιστρεφόμενο σύστημα ο πλανήτης είναι ακίνητος. Και πρέπει να το ερμηνεύσω. Με λίγα λόγια. Από τέλεσμα της μετατροπής από το καρτεσιανό στο πολικό σύστημα συντεταγμένων μας προέκυψαν καινούριες δυνάμεις. Τις βλέπετε είναι πολλές εδώ. Απλώς εγώ τις έχω αφαιρέσει γιατί μπήκα σε ένα σύστημα που και το R και το Θ τόνους είναι σταθερά. Αν διαλέξω ένα τέτοιο σύστημα απλοποιείται η δυνάμη και μου μένει μόνο μία. Φέρνει και αυτό. Και μου μένει μόνο μία που είναι η φυγόκεντρος. Η φυγόκεντρο που ξέραμε και το ρωω. Αυτά που ξέραμε στην κυκλική κίνηση στο λύκειο. Δεν είναι έτσι αφαιρημένες έννοιες που μας είπες. Ξέρεις όταν κάνει ένα σωματήριο κυκλική κίνηση η ταχύτητά του είναι ρωεπιω. Γιατί. Γιατί. Πώς έκαινε. Εσείς ποια ερμηνεία δώσατε σαν μικρά παιδιά που ήσασταν τότε για αυτή την. Και στη φυγόκεντρο τι ερμηνεία δώσατε. Γιατί μας προέκυψε η φυγόκεντρος σε ένα περιστρεφόμενο παρατηρητική. Το σχεύτηκε κανένας. Το ορδημάτησε κανέναν. Για να δώσω πάλι. Πες μου εσύ το λόγο. Ακούστον και για το πρώτο. Όταν που είχατε μπείτε για το στιοπούς της κυκλικής κίνησης τελείως γεωμετρικά τους δείχνουμε στο βίντεο με γεωμετρική προσέγγιση. Τι έλεγε η γεωμετρική προσέγγιση ότι αλλάζει η γωνία δθτρ και επειδή το τόξο είναι ρο επί θίτα το ρο ήταν σταθερό παραγωγίζαμε το θίτα για να βρουν την ταχύτητα. Άρα με μία παραγωγή σε πάνω σε αυτό. Τότε δεν είναι τίποτα λάθος αυτό που μάθατε. Τί παραγωγή. Και είχαμε το χρόνο και το χρόνο. Τι έκανες δηλαδή. Ναι. Τώρα προσθέσατε κάτι σε αυτό που ξέρατε. Αυτό με ενδιαφέρει. Φάραγαμε όλη αυτή την ώρα τζάμπα. Φάγαμε ένα Σάββατο τζάμπα. Δεν έχετε συνέχεια. Είστε σίγουροι. Βλέπω ένα χαμόγελο πονηρό έτσι. Πολύ έτσι λέει. Συγγνώμη τζάμπα το φάγαμε. Αλλά ντρεπόμαι να σας το πούμε. Γιατί εσείς πρέπει να έχετε ενθουσιαστεί. Κάτι τέτοιο θέλετε να μου πείτε. Αλλά δεν το λέτε γιατί ντρέπεστε. Λοιπόν. Μάλλον δεν σας έχω μεταδώσει τη σημασία αυτού του πράγματος. Επειδή είστε πριν για τη φυγόκεντρο. Εγώ σημαίνω ότι φανταζόμουν ότι είναι ουσιαστικά η τάση του σώματος να έχει μια ευπωτομενική ταχύτητα να φύγει προς τα έξω. Τι είναι το σωμανό μου. Γιατί να θέλει να φύγει προς τα έξω όταν μπαίνει σε μια κυκλική γυνήση. Ποιος το αναγκάζει. Μα αφού έχει μια ευπωτομενική ταχύτητα και το κέντρο μόνο το αναγκάζει να στρίξει. Άρα η τάση του σώματος να φύγει προς τα έξω. Η τάση του σώματος να φύγει προς τα έξω. Γιατί ξαφνικά όταν κάνει μια κυκλική γυνήση και θέλει να στρίψει το σώμα έχει μια τάση να φύγει προς τα έξω. Γιατί την έχει. Αφού αυτό ήθελε να πάει ίσια. Και κέντρο μόνος το στρίβει. Αυτό είναι τα μόνος που θα πηγηνήσει. Ο κέντρο μόνος δεν το στρίβει. Ο κέντρο μόνος είναι ακτινική αργή. Παίρνω μια κυκλική κίνηση εκτός και δεν σε καταλαβαίνω. Εδώ πέρα είναι ένα σημείο. Το οποίο κινείται με σταθρή γωνιακή ταχύτητα σε αυτό το κύκλο. Αυτό το σημείο κινείται. Και λες εσύ ότι επειδή το στρίβει η κυκλική κίνηση, το αναγκάζει να μπει σε κύκλο, τι θα γίνει. Εμείς ξέρουμε ότι αυτό αν δεν ήταν κέντρο μόνος, αυτό θα πηγείνει ίσια σωστά. Μπράβο. Το λες εσύ με άλλα λόγια. Λες το γεγονός ότι κάνει κυκλική κίνηση και έχει σταθερή θέση πάνω στον κύκλο και δεν φεύγει προς τα έξω, χρειάζεται μια δύναμη να το κρατήσει. Ναι. Δεν λες το ίδιο πράγμα. Είναι πιο εύκολο να το καταλάβω. Εγώ το καταλαβαίνω ότι αυτό πάει ίσια, η κέντρο μόνος το στρίβει και έτσι πηγαίνει γύρω γύρω. Ναι, αλλά κάποιος πρέπει να το αναγκάσει, πρέπει να μπει μια καινούργια δύναμη, γιατί έχουμε μια δύναμη την έλξη που το αναγκάζει να κάνει κυκλική κίνηση. Εάν είχα αφήσαμε μόνο την έλξη, αυτό το σώμα θα πήγαινε στο κέντρο. Χρειάζεται μια ίση και αντίθετη για να κάνει κυκλική κίνηση. Και αυτή η αντίθετη μπει και γιατί περιστρέφεται και είναι η κέντρο μόνος. Ό,τι όλο που θέλω να κρατήσουμε εδώ πέρα είναι πρώτον, σε πολικές τεταγμένες το διάνεισμα θέσης γράφει τέλειος. Δεύτερον, σε πολικές τεταγμένες η ταχύτητα και η επιτάχυνση έχουν σε αυτό το σύστημα, στο σύστημα των πολικών τεταγμένων, διαφορετικές εκφράσεις, τις οποίες τις γράψαμε σήμερα και οι οποίες έχουν πολλαπλές χρήσεις για συστήματα περιστρεφόμενα. Και τώρα στην κυκλική πήραμε την πιο απλή περίπτωση, που το ρ είναι σταθερό και το ρ παράγωγος δεν είναι. Αν έχουμε μια κίνηση γενικότερη που το ρ δεν είναι σταθερό. Θα γράφω εδώ πέρα πώς θέλω να το προχωρήσουμε αυτό, γιατί από τον νόμο του Νεύτωνα ξεκινήσαμε. Ο νόμος του Νεύτωνα λοιπόν θα είναι σε αυτό το κίνηση σύστημα των τεταγμένων, θα είναι δεύτερη παράγωγος του ρ, δε τετράγωνο, ίσον με F. Η δεύτερη παράγωγος του ρ είναι αυτές οι δύο, αυτές που γράψαμε για την επιτάχυνση. Η F όμως έχει μόνο μια συγκυστόσα, την FR. Το F, τουλάχιστον της βαρύτητας, είναι μόνο προς τη διεύθυνση R. Που σημαίνει η παράγωγος ως προς το θ, η επιτάχυνση εθ, στην κίνηση της βαρύτητας είναι 0. Και αυτό θα προκύψουν ορισμένα ωραία πράγματα από εκεί, τα οποία δεν θα κάνω εγώ μάθημα μηχανική, θα το κάνετε κάποτε αργότερα. Θέλω να πω λοιπόν ότι σε ένα, αν περιγράψετε τις δυνάμεις, σε ένα περιστρεφόμενο σύστημα στεταγμένων, η δύναμη θα αναλύεται στο FR, Fθ. Και αυτές οι δύο συγκυστώσεις είναι που θα κανονίσουμε την επιτάχυνση ΑΡ και ΑΘ. Αυτό είναι όλο που θέλαμε να ξεπαθαρίσουμε σήμερα. Τώρα να κλείσω με ένα, να κλείσω αυτό το θέμα. Δεν έχω τίποτα άλλο να σας πω. Εάν αυτά τα οποία θα τα βρείτε σε, θα σας βάλω σημειώσεις για αυτά όλα τα πράγματα που είπαμε, τα οποία κι εσείς πρέπει να πάτε να τα διαβάσετε και στο βιβλίο, υπάρχουν αυτά. Οι κινήσεις είναι τεράστια σημασίας αυτό το πράγμα, για την κίνηση. Και αυτό το πράγμα έχει και προέκταση λίγο παραπέρα. Αν θέλατε να συνεχίσουμε αυτή την ιστορία, να συνεχίσουμε με μια εργασία που είχε κάνει ένας συμφιλητής σας πριν από λίγα χρόνια, την οποία την έχω και ευχαρίστως να σας τη στείλει, στον οποίο μπήκε το εξής ερώτημα και είχε περάσει όλα τα μαθήματα το καλοκαίρι και εγώ λέω ότι στους συμφιλητές δεν έχουν τίποτα να κάνουν το καλοκαίρι, τόσο να κάθονται στην παραλία και να κάνουν μπάνια όλο το καλοκαίρι, να είναι στο ποσίδι το περισσότερο καιρό. Τους προτείνω κάτι, για αυτούς που έχουν χρόνο, να πάρουν ένα θέμα καινούριο και να το ψάξουν και να γράψουν μια εργασία πάνω σε αυτό το θέμα. Αυτός ο φοιτητής ανταποκρίθηκε, όπως και φέτος ανταποκρίθηκαν δυο-τρεις, και του δώσα το εξής ερώτημα, το οποίο είναι μέσα στην βιβλιογραφία σας, μέσα στα βιβλία σας. Ο Νεύτωνας βρήκε μπροστά του τρεις νόμους του Κέπλερ, αυτούς είχε στα χέρια του για να φτιάξει, να προτείνει τους νόμους. Και η ερώτηση είναι, αν ο Νεύτωνας είχε τους νόμους του Κέπλερ, πώς οδηγήθηκε στους δικούς του νόμους. Πώς οδηγήθηκε δηλαδή να λέει ότι η δύναμη είναι G EPM EPM dr τετράγωνο, γιατί r τετράγωνο, γιατί r τρίτης, γιατί r τετάρτης, γιατί έβαλε r τετράγωνο στον πρόγραμμα. Μετά, εφόσον έδωσε τη δύναμη αυτή F G EPM EPM dr τετράγωνο, μπορούσε να ερμηνεύσει όλους τους άλλους νόμους του Κέπλερ. Και ποιοι είναι οι άλλοι νόμοι του Κέπλερ, πρέπει να τους δούμε. Το βιβλίο σας, το έχει αυτό σαν εφαρμογή, δηλαδή δείχνει πάρα πολύ όμορφα, πως ο Νε프τώνας βρέθηκε μπροστά και έκανα την ανακάλυψη, έχοντας μόνο τους νόμος του Κέπλερ, Αυτό είναι πάρα πολύ ενδιαφέρον θέμα. Αν σας ενδιαφέρει, εγώ θα σας στέλνω διάφορα πράγματα. Κάντε τα delete κατευθείαν αν σας ενδιαφέρουν. Θα σας στείλω αυτή την εργασία του φοιτητή, ο οποίος πέρυσι την παρουσίασε και εδώ πέρα στο τμήμα, αλλά φέτος δεν τον βλέπω και τόσο ενθουσιασμένον θα το κάνει. Αλλά την εργασία του την έχω και ευχαρίσω να σας τη στείλω. Λοιπόν, αυτές οι εργασίες τελειώνουν κάποτε σε αυτό το περιοδικό του φυσικών που έχουμε, το οποίο όμως έχει μεγάλο back-lag και περιμένει ένα άμυσι χρόνο πέρα να δημοσιευτεί. Θα δημοσιευτεί κάποια μέρα στο περιοδικό των φυσικών που έχουμε. Θέλω να κλείσω τις πολικές στεταγμένες με ένα θέμα. Ότι αυτό που ξέρετε εσείς για τη σχέση των πολικών στεταγμένων με τις καρτεσιανές, δηλαδή το ρ και το θ, μου το είπατε αρκετές φορές, με το χ και το ψ, αυτά συνδέονται, είπαμε έτσι, πώς συνδέονται με τις προβολές. Και λέμε ότι το ψ είναι ίσον, προσέξτε, το ψ είναι το ημύτωνο, είναι ρ. Το ρ είναι συνάρτηση του θ, του ημυτώνου θ. Και το χ είναι ρ του θ, συνημύτωνο θ. Συμφωνείτε με αυτό? Προσέξτε όμως πώς έχουν γραφτεί. Εγώ είπαμε, ενώ στις καρτεσιανές η συνάρτησή μου είναι ψ, ευ, του χ, μια συνάρτηση θα σας τη δώσω στις πολικές στεταγμένες, πώς θα τη δώσω, ρ, του θ, μια συνάρτηση του θ. Ωραία, άρα τα χ και ψ είναι, αν της γράψω χ ίσον ρ του θ, αυτό που μου έχεις δώσει, επιημύτωνο θ. Συμφωνείτε, να το χ. Το ψ είναι αυτό που είπα, το χ είναι ρ του θ αυτό που μου είχατε δώσει, άρα κοιτάξτε έχω πάει σαν να είναι χ του τ, ψ του τ, είναι δηλαδή παραμετρικές. Η χ, αν μου δώσεις το ρ και θ, η χ έχει μόνο το θ σαν άγνωστη και το ψ έχει μόνο το θ. Είναι σαν να έχει το χρόνο. Οπότε ό,τι ισχύει για τις παραμετρικές, ισχύει και εδώ πέρα. Τώρα θα πείτε γιατί μου το λέτε αυτό. Έχει μεγάλη σημασία. Και θα σας δώσω και ασκήσεις τις οποίες θα εξασκηθείτε και θα τις κοιτάξουμε μαζί μετά. Αργύριτι, τι θες να ρωτήσεις. Δηλαδή αυτό σημαίνει ότι ας πούμε αν θέλουμε να βρούμε την παράγωγο θα πρέπει να το κάνουμε... Όπως τις χ, που είναι παραμετρικές. Αυτό σημαίνει. Αν θέλετε δηλαδή σε μια συνάρτηση η οποία είναι ας πούμε το καρδιοειδές και θέλετε να βρείτε τις εφαπτόμενες του καρδιοειδός, τον τέψι δε χ, μπορεί να το γράψετε ίσον τέψι δε θ, διά τέχι δε θ. Και αυτό θα ζώσε το τέψι δε χ. Θα σας το βάλω και ασκήσεις και θα παίξετε μαζί μου. Εντάξει. Χρησιμοποιώ αυτές τις λέξεις. Θα παίξετε την ομορφιά, διότι έτσι τα αισθάνομαι ότι τα αισθάνεστε κι εσείς. Δεν ήρθατε εδώ να καταπονηθείτε για να γίνετε φυσική. Ήρθατε για να αυχαριστηθείτε για να γίνετε φυσική. Άνετε να καταπονηθείτε, να κοιτάξετε να φύγετε, να μην πάτε εκεί που καταπονείστε, να πάτε εκεί που έχετε χαρά. Οπότε όποιοι με ρωτάνε, ήρθα στο φυσικό κατά τύχη να μείνω, εγώ λέω όχι. Εντάξει, όχι. Το ξαναλέω δυνατά, φωναχτά, να το πείτε και στους γονείς σας, να με πάρουν τηλέφωνο, να τους πούμε όχι. Θα πάμε εκεί που μας αρέσει, εντάξει. Τώρα βέβαια αν αυτό που σας αρέσει είναι το θέατρο, εντάξει, θα το ψυχευτούμε. Ωραία είναι και στο θέατρο. Λοιπόν, να τελειώσουμε με κάτι άλλο. Νομίζω με τις πολικές δεταγμένες εγώ δεν έχω τίποτα άλλο να σας πω. Το βιβλίο έχει πάρα πολλά πράγματα, σας στέλνω λοιπόν στο βιβλίο, θα βρείτε από τα περιεχόμενα που λέει για πολικές δεταγμένες, θα διαβάσετε όλα αυτά και θα μας χρησιμεύσουν πάρα πολύ στα ολοκληρώματα, θα βρούμε επιφάνειες και τα λοιπά. Τι δεν έχω δουλέψει πολύ μαζί σας. Δεν έχω δουλέψει πολύ στο εξής θέμα. Πώς εγώ, αν μου δώσεις την Rθ, θα κάνω γραφικές παραστάσεις. Αυτό είναι δυσκολό θέμα. Πώς από την Rθ θα ζωγραφίσω μια καμπύλη. Πολλά από αυτά που είχαμε μάθει για την ψήσεων F του X, ισχύουν και για την καμπύλη Rθ. Η καμπύλη Rθ θα πρέπει να σας αφήσει εσάς, και εμείς αφήσαμε μερικά, να σας αφήσει μερικές σχέσεις, γιατί αυτές βρίσκουμε συνήθως μπροστά μας, και μερικές εγώ τις έδωσαμε ήδη. Ένας από αυτούς μερικές σχέσεις, δηλαδή, θα πρέπει να δείτε μερικές εκφράσεις του Rθ. Θυμάστε ότι είπαμε το R3 η μητωνοθ, είναι γνωστή μας καμπύλη, που τη βλέπουμε μόνο λέμε να αυτή είναι. Τι θυμάστε, τι ήτανε. Τι πες Μαργιούν. Ένας κύκλος. Ένας κύκλος είναι. Άρα λοιπόν τέτοιας μορφής R ίσον α, η μητωνο ίσον η μητωνο θ, πάμε για κύκλο. Τα την παίρνουμε την ιδέα αμέσως. Υπάρχουν, άρα θέλω να κάνετε ένα φινακάκι, με συναρτήστες, οι οποίες όταν τις βλέπετε, λέτε να αυτό ξέρω τι είναι. Άλλη μία τέτοια, ήτανε το R ίσον 1 συν η μητωνο ίσον η μητωνο θ. Αυτό εδώ πέρα, είτε και μπορεί να έχει ένα συντελεστή μπροστά εδώ. Αυτό εδώ πέρα, το 2 R μίον. Θα αναγράψω αυτό που έχω εδώ. Μίον ή συν και τα λοιπά, υπάρχουν όλες αυτές οι εκφράσεις. Μια τέτοια έκφραση, R συν ίσον α, 1 μίον συν μητωνο θ. Υπάρχει λοιπόν στο βιβλίο σας, αυτό που λένε καρδιοειδή. Τα καρδιοειδή και με διάφορες διευθύνσεις. Άρα μόλις βλέπετε μια τέτοια έκφραση, λέτε είναι το καρδιοειδή. Κάτσε να δω πως είναι προσανατολισμένο. Γιατί είπα να πω πως είναι προσανατολισμένο. Το καρδιοειδή μπορεί να έχει την καρδιά του, έτσι. Να την έχει δηλαδή το σημείο να κινείται προς τον άξιον αχ. Μπορεί να είναι έτσι. Μπορεί να είναι έτσι. Και μπορεί να είναι και έτσι. Βλέπετε τέσσερα καρδιοειδή που έχουν στρίψει το ένα κομμάτι προς τον άξιον αχ. Το καρδιοειδή είναι μια καρδιά. Το τέλος της καρδιάς μπορεί να είναι προς τον άξιον αχ. Μπορεί να είναι στο Ψ, μπορεί να είναι στο Ζ και τα λοιπά. Άρα λοιπόν τα καρδιοειδή μπορεί να στραφούν προς τέσσερις διευθύνσεις. Τι αλλάζει σε ένα καρδιοειδές για να στραφεί προς τις τέσσερις διευθύνσεις. Αυτό είναι στραμμένο προς το Χ. Αυτό είναι στραμμένο προς το μίον Ψ. Αυτό είναι στραμμένο προς το μίον Χ. Αυτό είναι στραμμένο προς το μίον Ψ και αυτό είναι στραμμένο προς το Ψ. Υπάρχουν άλλα σχήματα που έχουν ενδιαφέρον. Άρα δηλαδή τα καρδιοειδή μπορεί να έχουν μια συγκεκριμένη μορφή. Υπάρχουν και άλλα σχήματα που έχουν ενδιαφέρον και είναι αυτά που φτιάχνουν τα φύλλα. Το τετράφυλλο, το δίφυλλο. Κοιτάξτε τι είναι αυτό. Υπάρχουν φύλλα, το τριαντάφυλλο δηλαδή. Θα το χάσαμε πολλά τέτοια φύλλα. Άρα το ρ ήσον θ υπάρχει δηλαδή αυτό εδώ πέρα είναι το ρ. Προσέξτε το ρ. Τέσσερα συνειμήτων δύο θ. Ή μπορώ να βάλω ένα εδώ πέρα και αν βάλω ένα θα γίνουν πολλά τα φύλλα. Με ακούτε. Τώρα. Τι πες αυγή. Το ν έχει να κάνει με το πόσα φύλλα είναι στο ν. Εδώ στο τέσσερα, στο δύο. Εδώ μέσα είναι η λογοφορία. Άρα λοιπόν προτείνω το διάβασμά σας να επικεντρωθεί στις καμπύλες των πολικών στεταγμένων. Στο να αναγνωρίζετε και να βλέπετε σχήματα με τις εκφράσεις πολύ λίγων. Όπως έχουμε το χ τετράγωνο, διάλφα τετράγωνο, σιψή τετράγωνο, διαβίδα τετράγωνο, ίσον ένα. Δεν χρειάζεται να κάνετε καθόλου την καμπύλη. Ξέρετε ποια είναι. Έτσι λοιπόν πρέπει να προσαρμοστείτε στα κλασικά. Τα φύλλα και την έλικα που είπαμε το περασμένο μάθημα. Το ρθ είναι μια έλικα. Λοιπόν πολύ χαρακτηριστικές αυτό το ρθ είναι αυτό. Είναι μια έλικα. Άρα λοιπόν κρατάω από το διάβασμά μου μερικά σχήματα. Δεν ξέρω πως ουσιαστικά κινούνται αλλάζοντας συντελεστές. Πότε είναι προς τα πάνω, πότε προς τα κάτω, πότε έχει 4 φύλλα, πότε έχει 2 φύλλα και τα λοιπά. Τώρα ένα πρόβλημα το οποίο δεν έχουμε χρόνο να το κάνουμε σήμερα. Είναι να μετατρέψετε αν κάποιος θέλει την έλειψη να την περιγράψει σε πολικές τεταγμένες πως θα προχωρήσει. Θα μου πείτε την μεθοδολογία και θα σας αφήσω να φύγετε και να την κάνετε σπίτι. Η έλειψη σε καρτεσιανές είναι αυτή εδώ. Χ τετράγωνο διά α τετράγωνο. Συν ψ τετράγωνο διά β τετράγωνο. Ίσον 1. Αυτή θέλω να μου τη γράψετε στο σπίτι να μετατρέψετε αυτή την εξίσιοση των καρτεσιανών σε πολικές. Και να πείτε αν δείτε αυτή την έκφραση σε πολικές λέτε έλειψη είναι. Όπως είπαμε προηγουμένως ότι το τρία ημίτων οθήτα είναι κύκλος. Και αν θέλετε να γενικεύσετε, γιατί ο κύκλος και στις καρτεσιανές μπορεί να σας μπερδέψει. Αν ο κύκλος είναι χ μίον α και όλος τα τετράγωνο. Συν ψ μίον β και όλος τα τράγωνο και τον αναπτύξετε. Και αν δεν έχετε ξασκηθεί να βλέπετε έναν τέτοιο κύκλο μετατοπισμένον στο ένα σημείο α β. Δεν είναι εύκολο να τον δείτε και να πείτε είναι κύκλος και να βρω τις στολί και όμως κάνετε πολλές τέτοιες ασκήσεις οπότε σε αυτό είστε ξεσκριμένοι. Η ερώτηση είναι πως θα μετατρέψω. Και πάλι να σας θυμίσω ότι ο κύκλος στις πολικές τεταγμένες είναι... Ποιος θα μου το πείτε αν είπαμε την άλλη φορά. Ποιά είναι εξίσου του κύκλου στις πολικές τεταγμένες. Εξίσου του κύκλου. Όχι οι ίδιοι βρε παιδιά, οι υπόλοιποι τι κάνατε, πού ήσασταν, τι πήρατε, κάτι πήρατε. Πέστε μου. Υπάρχει βέβαια και το άλλο φαινόμενο το να μην θέλετε να μιλήσετε και αν θέλα να φτιάξω μια γραμμή, αυτή τη γραμμή. Αν θέλα να φτιάξω μια γραμμή η οποία είναι... Το α είναι κύκλος. Εάν θέλω την εξίσουση αυτή εδώ να περιγράψω με μια γωνία θ, σταθερή θ. Μια ευθεία η οποία έχει μια γωνία συγκεκριμένη θ. Αυτή πώς θα είναι η εξίσουση αυτής της ευθείας θα είναι θ ίσον 3, ίσον 30. Το θ ίσον 30 είναι μια γραμμή η οποία έχει αυτή τη γωνία. Έτσι το θ ίσον 30 είναι αυτή η γραμμή. Λοιπόν, δεν θα πούμε τίποτα άλλο για πολικές. Θα μπούμε και θα φιερώσουμε την Δευτέρα στις υπερβολικές συναρτήσεις. Μια καινούργια ομάδα συναρτήσεων. Και μετά θα μπούμε στην υπόλοιπη εβδομάδα μας, ό,τι χρόνος μας μείνει. Θα αρχίσουμε να μιλάμε για ακολουθίες και σειρές. Κλείνοντας τις ακολουθίες και σειρές τελειώνει... Εδώ τελειώνουμε ουσιαστικά το διαφορικό κομμάτι, το διαφορικό λογισμό, τους παραβόλους. Πολύ γρήγορα θα μπούμε στα ολοκληρώματα. Αν δεν θα φιερώσουμε χρόνο σε αυτά που ξέρετε, θα καθίσουμε πολύ σε αυτά που δεν ξέρετε. Άρα πάμε για υπερβολικές συναρτήσεις, πάμε για ακολουθίες και σειρές. Και μετά ολοκληρώματα και αυτά είναι όλα, τελειώσαμε.