Συνάρτηση Χρησιμότητας-Αριστοποίηση / 13η διάλεξη - Βαρσακέλης Νικόλαος (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2013)
13η διάλεξη: Λοιπόν, την προγούμενη φορά είχαμε ξεκινήσει την ανάλυση της συμπεριφοράς του καταναλωτή χρησιμοποιώντας πια την συνάρτηση χρησιμότητας. Με την συνάρτηση χρησιμότητας όπως θυμάστε ορίζουμε μία αντιστοιχία μεταξύ ενός αριθμού ο οποίος ανήκει στο R το θετικό και των φυσικών ποσοτήτων των αγαθών τα οποία περιλαμβάνονται στα καλάθια. Η συνάρτηση χρησιμότητας όπως είχαμε πει θα πρέπει να έχει ορισμένα χαρακτηριστικά ώστε να θεωρείται συνάρτηση χρησιμότητας. Με άλλα λόγια δεν μπορεί οποιαδήποτε συνάρτηση να είναι και συνάρτηση χρησιμότητας. Η πρώτη υπόθεση την οποία κάναμε ήταν η απλή αντιστοίχηση μεταξύ του αξιώματος της δημελούς σχέσης και της συνάρτησης χρησιμότητας και είπαμε ότι αν υπάρχουν δύο καλάθια που ανήκουν στο κατανοητικό σύνολο σε το χ και το χ τόνος και ισχύει ότι το χ τόνος είναι τουλάχιστον ίσως προς το χ τόνος τότε θα ισχύει ότι η χρησιμότητα που αποκομίζουμε από το καλάθι χ είναι μεγαλύτερη ή ίση από την χρησιμότητα που αποκομίζουμε από το καλάθι χ τόνος. Με άλλα λόγια μια συνάρτηση χρησιμότητας για φυσιολογικά αγαθά και όχι κακά θα πρέπει να έχει ένα χαρακτηριστικό ότι όσο περισσότερο προτιμάται ένα καλάθι τόσο μεγαλύτερη χρησιμότητα έχει. Ή αντίστροφα εάν ένα καλάθι χ μας δίνει μεγαλύτερη χρησιμότητα τότε αυτό το καλάθι είναι τουλάχιστον ίσως προς το άλλο καλάθι. Κι αυτό υπάρχει η διπλή συνεπαγωγή. Επίσης η δεύτερη ιδιότητα που πρέπει να έχει μία συνάρτηση χρησιμότητας θα είναι η μεταβατικότητα. Δηλαδή εάν γιούχι μεγαλύτερο από το γιούχι τόνος και γιούχι τόνος μεγαλύτερο ή ίσως από το γιούχι δίστωνο τότε θα ισχύει ότι γιούχι μεγαλύτερο ή ίσως από το γιούχι δίστωνο. Εδώ είναι η ευθεία αντιστοίχηση των δύο αξιωμάτων σε ιδιότητες της συνάρτησης χρησιμότητας. Άρα η συνάρτηση χρησιμότητας, δηλαδή η ανάλυση που θα γίνει με τη συνάρτηση χρησιμότητας είναι μέρος, είναι κομμάτι, είναι συνέχεια της αξιωματικής θεμελίωσης της συμπεριφοράς του καταναλωτή. Δεν είναι ξεχωριστή ανάλυση, είναι μέρος, είναι κομμάτι της συμπεριφοράς του καταναλωτή, της αξιωματικής θεμελίωσης. Δηλαδή για να έχουμε αυτά τα πράγματα πρέπει να έχει προηγηθεί η αξιωματική θεμελίωση. Και αυτά τα οποία κάναμε, όπως είχαμε πει την προηγούμενη φορά, αυτά τα οποία κάναμε με τις καμπύλες αδιαφορίας των χώρων των δύο διαστάσεων είναι περίπτωση, υπό περίπτωση μάλλον, περίπτωση μάλλον της συνάρτησης χρησιμότητας. Και δείξαμε πως μια συνάρτηση χρησιμότητας με δύο μόνο αγαθά μας δίνει τις ισοϊψείς καμπύλες, οι οποίες ισοϊψείς καμπύλες δεν είναι τίποτα άλλο παρά οι καμπύλες αδιαφορίας. Άρα από το γράφημα μία συνάρτησης U ίσον Ux1x2, αν έχουμε μία συνάρτηση με δύο αγαθά μόνο, τότε από αυτή τη συνάρτηση παίρνουμε το γράφημά της σε τρεις διαστάσεις και από αυτό το γράφημα των τριών διαστάσεων παίρνουμε τις ισοϊψείς καμπύλες που είναι οι καμπύλες αδιαφορίας. Άρα η όλη ανάλυση με τις καμπύλες αδιαφορίας δεν είναι τίποτα άλλο παρά μέρος της ανάλυσης την οποία έχουμε κάνει με την συνάρτηση χρησιμότητας. Στη συνέχεια μεταφράσαμε το αξίωμα της ορθολογικότητας λέγοντας ότι η σύγκριση μεταξύ των καλαθιών μάλλον γίνεται πλέον με την χρησιμότητα. Άρα εάν υπάρχουν δύο καλάθια χ και χ τόνος και η χ γχ μεγαλύτερο ισο από το γχ τόνος τότε ο κατανοτής ποτέ δεν θα επιλέξει το καλάθι χ τόνος όταν στις δυνατότητές του υπάρχει ένα άλλο καλάθι χ τέτοιο ώστε να του δίνει μεγαλύτερη χρησιμότητα. Μετά προχωρήσαμε λίγο παρακάτω και εκεί θα επιμείνουμε λίγο ακόμα. Είδα το αξίωμα του μη κορεσμού, η υπόθεση του μη κορεσμού δηλαδή όσο περισσότερο καταναλώνουμε από ένα αγαθό τόσο μεγαλύτερη είναι η ευημερία μας. Άρα με την ίδια λογική όσο περισσότερο καταναλώνουμε από ένα αγαθό τόσο μεγαλώνει η χρησιμοτητά μας. Έτσι λοιπόν θυ τα γιου θυ τα χι αι είναι θετικό. Δηλαδή η μεταβολή που προκαλείται στην χρησιμότητα στο επίπεδο ευημερίας μας από την μεταβολή της ποσότητας του συγκεκριμένου αγαθού αι. Το αι εδώ πηγαίνει στο αγαθό όχι στο καλάθι. Το χι αι το χι δύο. Άρα στο παράδειγμά μας εδώ θα ήταν θυ τα γιου θυ τα χι αι και θυ τα γιου θυ τα χι δύο. Άρα αυτά είναι όλα θετικά. Όσο περισσότερο καταναλώνουμε τόσο μεγαλύτερη είναι η χρησιμότητα την οποία αποκομίζουμε από το συγκεκριμένο αγαθό. Άρα για να είναι μια συνάρτηση χρησιμότητας θα πρέπει να έχει αυτό το χαρακτηριστικό. Δηλαδή οι πρώτες παράγωγοι ως προς τις ποσότητες των αγαθών θα πρέπει να είναι θετικές. Και επίσης είπαμε ότι οι δεύτερες μερικές παράγωγοι θα πρέπει να είναι αρνητικές. Δηλαδή όσο αυξάνει η ποσότητα του αγαθού αι μεγαλώνει η χρησιμότητά μας αλλά μεγαλώνει μευθύνοντα ρυθμό. Αυτό μας λέει η δεύτερη παράγωγος. Μεγαλώνει η χρησιμότητα αλλά αυτή η αύξηση χρησιμότητας γίνεται μευθύνοντα ρυθμό. Και επίσης την προηγούμενη φορά είχαμε ορίσει μάλλον ότι η μερική παράγωγος της συνάρτησης χρησιμότητας ως προς ένα αγαθό ονομάζεται οριακή χρησιμότητα του συγκεκριμένου αγαθού. Άρα η οριακή χρησιμότητα είναι η μεταβολή της χρησιμότητας. Συνεπώς τι έχουμε, u είναι το σύνολο, mu είναι η οριακή μεταβολή και θμuθxi είναι ο ρυθμός της μεταβολής. Το u μας δείχνει πώς είναι η χρησιμότητα, το mu η οριακή χρησιμότητα μας δείχνει πώς μεταβάλλεται η χρησιμότητα, όταν μεταβάλλεται η ποσότητα και η δεύτερη παράγωγος μας δείχνει τον ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται, αν επιταχύνει ή αν επιβραδύνει. Εάν θα θέλαμε να το δούμε λίγο αυτό με κάτι στον πραγματικό κόσμο, σκεφτείτε ότι ξεκινάτε με το αυτοκίνητο να πάτε στην Κατερίνη. Το οριακό άρα έχουμε να διανύσουμε μία απόσταση, η ταχύτητα είναι η μεταβολή στην απόσταση μέσα στον χρόνο, άρα είναι το οριακό και η δεύτερη παράγωγος είναι η επιτάχυνση και στη συνέχεια η επιβραδύνση. Δηλαδή καθώς ξεκινάμε από το σημείο μηδέν, το αυτοκίνητο είναι σταματημένο, αρχίζει και μεταβάλλεται η ταχύτητα, αρχίζει και μεταβάλλεται η απόσταση, η ταχύτητα του αυτοκίνητου στη συνέχεια αυξάνει και πώς αυξάνει με επιτάχυνση. Επιταχύνει το αυτοκίνητο, πάει από μηδέν σε 20, 40, 60, 80, 100 χλμ την ώρα και καθώς πλησιάζουμε προς την Κατερίνη μετά αρχίζουμε και επιβραδύνουμε. Δηλαδή η δεύτερη παράγωγος αρχίζει και γίνεται αρνητική, είναι μηδέν, κατά τη διάρκεια της διαδρομής η δεύτερη παράγωγος είναι μηδέν, δηλαδή κρατάμε σταθερή βάζουμε ας πούμε το cruise control του αυτοκίνητου και η ταχύτητα παραμένει σταθερή μέχρι να φτάσουμε έξω από την Κατερίνη, μόλις φτάνουμε έξω από την Κατερίνη βγάζουμε το cruise control άρα αρχίζει και μεταβάλλεται η δεύτερη παράγωγος, αρχίζουμε και επιβραδύνουμε το αυτοκίνητο και μόλις φτάνουμε στο κέντρο της Κατερίνης σταματάμε. Εκεί η ταχύτητα γίνεται μηδέν και έχουμε καλύψει όλο το U, όλη την απόσταση. Αυτός είναι και ο ρόλος, εδώ πέρα, αυτός είναι ο ρόλος της δεύτερης παραγωγού. Μας δείχνει δηλαδή κατά πόσο η μεταβολή στη χρησιμότητα όταν αυξάνουμε την ποσότητα, επιταχύνει ή επιβραδύνει. Για να είναι μια συνάρτηση-συνάρτηση χρησιμότητας θα πρέπει αυτό να είναι αρνητικό, δηλαδή θα πρέπει να επιβραδύνει. Ξεκινάμε από κάπου πολύ ψηλά και σταδιακά αρχίζει και επιβραδύνει η χρησιμότητα, η μεταβολή της χρησιμότητας. Τώρα, να δούμε κάτι ακόμα στην οριακή χρησιμότητα. Να το δούμε χρησιμοποιώντας μία απλή συνάρτηση που έχουμε πει την προηγούμενη φορά, την συνάρτηση τύπου cold-douglas. Αύριο το πρωί θα κάνουμε στις 10 η ώρα μάθημα με τον κ. Φουσέκη. Πού τα ξέρετε εσείς? Έχετε πηγές έτσι. Λοιπόν, ας πούμε ότι έχουμε τη συνάρτηση χρησιμότητας τύπου cold-douglas. Και παίρνουμε την οριακή χρησιμότητα του αγαθού 1 και την οριακή χρησιμότητα του αγαθού 2. Η οριακή χρησιμότητα του αγαθού 1 είναι η μερική παράγωγος... Έχει κανείς χαρτομάντυλο, ψάξα να πάρω το... Δώστε, δώστε, είπαμε, χαρτοπετσέτα έτσι. Φυταγιού φυταγιένα. Σας υπενθυμίζω, γιατί χθες τα κάναμε λίγο βιαστικά, σας υπενθυμίζω ότι όταν παίρνουμε τη μερική παράγωγο, παίρνουμε την παράγωγο κανονικά και θεωρούμε όλες τις υπόλοιπες μεταβλητές σταθερές. Άρα η μερική παράγωγος αυτή είναι κρατώντας το χ2 σταθερό. Είναι μια σταθερά. Άρα η παράγωγος της σταθεράς είναι 0. Στη θεωρία σαν να είναι συντελεστής. Άρα η μερική παράγωγος της συνάρτησης χρησιμότητας ως προς το χ1 είναι ίση το α κατεβαίνει μπροστά, χ1α-1 και το χ2 επειδή είναι μια σταθερά παραμένει μέσα στη συνάρτηση της οριακής χρησιμότητας. Και επίσης η οριακή χρησιμότητα του αγαθού 2 είναι η μερική παράγωγος ως προς το αγαθό 2 κρατώντας το χ1 σταθερό και είναι ίσο με β, χ1α, χ2β-1. Ας δούμε τώρα τι γίνεται. Η μερική παράγωγος είναι θετική. Το α είναι θετικό, το β είναι θετικό, το χ1 και το χ2 είναι φυσικές ποσότητες, εξ ορισμού είναι θετικά, άρα και οι δύο μερικές παράγωγοι είναι θετικές. Έχει ενδιαφέρον όμως το εξής, το α είναι θετικό, το α και το β είναι θετικά γιατί διότι πρέπει η μερική παράγωγος να είναι θετική. Το α και το β θα ήταν αρνητικά στην περίπτωση εκείνη που τα αγαθά είναι κακά. Δηλαδή όσο περισσότερο καταναλώνουμε μόλυνση τόσο μειώνεται η χρησιμοτητά μας. Για προσέξτε λίγο, εάν το χ1 ήταν κακό, ήταν μόλυνση του περιβάλλοντος με βάση αυτά τα οποία είχαμε πει. Τι σημαίνει ότι ένα αγαθό είναι κακό, σημαίνει ότι όσο αυξάνει η ποσότητα που καταναλώνω από αυτό το αγαθό, η χρησιμοτητά μου τι θα πρέπει να κάνει, να μειώνεται. Άρα, αν προσθέσω ένα κιλό εθαλομύχλη ακόμα, θα πρέπει η χρησιμοτητά μου να μειωθεί. Συνεπώς αυτό θα πρέπει να είναι αρνητικό. Για να είναι αρνητικό, επειδή το χ1 και το χ2 είναι φυσικές ποσότητες, ακόμα και η εθαλομύχλη είναι φυσική ποσότητα. Έτσι, ένα λίτρο εθαλομύχλης, ξέρω και εγώ πώς τα μετράνε αυτά τα πράγματα, 4 κιλά αποθρολήματα και ούτω καθεξής. Αυτά είναι φυσικές ποσότητες, δεν μπορεί να είναι αρνητικά. Άρα, για να είναι αρνητικό αυτό, ένας τρόπος υπάρχει τεχνικά. Το α να είναι αρνητικό. Αν το α είναι αρνητικό, τότε το αγαθό είναι κακό. Ή όταν το αγαθό είναι κακό, τότε το α είναι αρνητικό. Δηλαδή, αυξάνει η ποσότητα, μειώνεται η χρησιμοτήτα. Εδώ τώρα, υπάρχει μέσα και το χ2, το οποίο είναι ένας θετικός αριθμός. Να ρθούμε λίγο να γράψουμε από εδώ. Το χ2 μπαίνει στην οριακή χρησιμοτήτα το αγαθού 1. Για δείτε λίγο. Το χ2 είναι μια φυσική ποσότητα και το χ2 στην β είναι ένας θετικός αριθμός. Τι μας λέει λοιπόν εδώ πέρα, για να το διαβάσουμε. Η οριακή χρησιμοτήτα μας δίνει την επίδραση που έχει η μεταβολή του χ1 πάνω στη χρησιμοτήτα. Η οριακή χρησιμοτήτα μας δείχνει την επίδραση που έχει πάνω στο u μια μεταβολή της φυσικής ποσότητας του αγαθού 1. Άρα το μυ μας δείχνει την επίδραση της μεταβολής του χ1 πάνω στο u. Εδώ τι έχουμε τώρα. Η επίδραση της μεταβολής του χ1 πάνω στο u εξαρτάται από τα εξής. Πρώτον από τον συντελεστή του χ1. Άρα το μυ, να το γράψουμε, το μυ εξαρτάται από το α. Όσο μεγαλύτερο είναι το α, τόσο πιο μεγάλο είναι το μυ. Επειδή το α είναι θετικό, όσο μεγαλώνει το α και τα υπόλοιπα παραμένουν σταθερά, το μυ τι κάνει. Μεγαλώνει. Το α είναι θετικό. Και, συνεπώς, όταν το α μεγαλώνει, μεγαλώνει το μυ χ1. Είναι πιο μεγάλο, μάλλον το μυ χ1. Δεν παίζει ρόλο στο πρόσημο, έτσι. Άρα, τι είναι το α στη συνάρτησή μας. Για να δούμε λίγο τι είναι το α και το β. Ο ρόλος του α και του β, δηλαδή οι συντελεστές στην ουσία του χ1 και του χ2, μας δίνουν το βάρος που δίνει ο καταναλωτής στο συγκεκριμένο αγαθό. Το α και το β μας δίνουν το βάρος, την σημασία που δίνει ο καταναλωτής στο συγκεκριμένο αγαθό. Αν το α είναι μικρό, η σημασία που δίνει ο καταναλωτής στο χ1 είναι μικρή. Αν το α είναι μεγάλο, η σημασία που δίνει στο αγαθό χ1 είναι μεγάλη. Άρα το α και το β μας δείχνουν την σημασία, το βάρος των δύο αγαθών για τον καταναλωτή. Αυτό είναι οι προτιμήσεις. Μην ξεχνάμε ότι η συνάρτηση χρησιμότας είναι οι προτιμήσεις μας. Αν για παράδειγμα τώρα, να το πάμε λίγο παραπέρα. Εάν πιχεί το α είναι μεγαλύτερο από το β, τότε για αυτό τον καταναλωτή το αγαθό 1 είναι πιο σημαντικό σε σχέση με το β. Ο χάρτης των καμπυλών αδιαφορίας είναι πιο κοντά στον άξονα του χ1, στο παράδειγμά μας. Εάν πιο σημαντικό το χ1 σε σχέση με το χ2. Εάν το β είναι μεγαλύτερο, τότε πιο σημαντικό είναι το αγαθό χ2. Άρα τα α και β δεν είναι οι τυχαίοι αριθμοί, τυχαίοι όχι με την έννοια της στατιστικής. Δεν είναι κάποια σύμβολα τα οποία τα βάζουμε έτσι, αλλά στις συναρτήσεις χρησιμότητας τα α και β και οι οποιασδήποτε άλλες παράμετρη τις οποίες έχουμε στις συναρτήσεις μας, μας δίνουν την σημασία των αγαθών, δηλαδή πόσο βάρος έχουν τα συγκεκριμένα αγαθά στις προτιμήσεις του καταναλωτή. Αν το α είναι μεγαλύτερο από το β, γράφω εδώ πιο σημαντικό, στις προτιμήσεις μου, δηλαδή με ενδιαφέρει περισσότερο το χ1 σε σχέση με το χ2. Εάν θα θέλαμε να το μεταφράσουμε αυτό σε αυτά τα οποία είχαμε κάνει με τις καμπύλες αδιαφορίας, αυτή είναι η περίπτωση α μεγαλύτερο του β, δηλαδή και τα δυο αγαθά με ενδιαφέρουν, αλλά με ενδιαφέρει περισσότερο το αγαθό 1 και αυτή είναι η περίπτωση το β μεγαλύτερο του α. Δηλαδή με ενδιαφέρουν και τα δυο αγαθά, γι' αυτό υπάρχουν μέσα στη συνάρτηση και τα δυο αγαθά. Αλλά μου αρέσει περισσότερο το χ1 ή το χ2. Άρα οι συντελεστές αυτοί παίζουν σημαντικό ρόλο, δεν είναι τυχαία η αρθμή δηλαδή. Συνεπώς, εάν ισχύουν αυτά, τότε όταν το α είναι μεγάλο, η οριακή χρησιμότητα είναι μεγάλη. Δηλαδή, επειδή δίνω μεγάλο βάρος στο αγαθό αυτό, είναι σημαντικό αυτό το αγαθό για μένα σε σχέση με τα υπόλοιπα αγαθά, όταν θα μεταβληθεί η ποσότητα αυτού του αγαθού, του αγαθού χ1, τότε μεταβάλλεται πολύ η χρησιμότητά μου. Το ξαναλέω, διαβάζω τώρα τη συνάρτηση με λόγια. Διαβάζω τη συνάρτηση με λόγια και λέω, εάν το α είναι μεγάλο, τι είναι το α, έτσι, είναι ένα συντελεστής. Τι μου δίνει αυτός ο συντελεστής, αυτός ο συντελεστής μου δίνει την βαρύτητα που έχει το συγκεκριμένο αγαθό στις προτιμήσεις του καταναλωτή. Αν το α είναι μεγάλο, σημαίνει ότι αυτό το αγαθό έχει μεγάλη βαρύτητα στις προτιμήσεις του. Αν το α είναι μικρό, αυτό το αγαθό δεν έχει βαρύτητα, έχει μικρή βαρύτητα στις προτιμήσεις του. Εάν λοιπόν είναι έτσι τα πράγματα, τότε να δούμε την επίδραση. Αν το α είναι μεγάλο, τότε η παράγωγος είναι μεγάλη. Δηλαδή, θα το κάνουμε ακόμα πιο καθαρό. μx1 του καταναλωτή α, μx1 του καταναλωτή α, είναι ίσο με α του καταναλωτή α, x1α του καταναλωτή α-1, x2β του καταναλωτή α. Είναι μια συνάρτηση, πρώτοι παράγωγος, μια συνάρτηση χρησιμώντας για τον καταναλωτή. και μy του καταναλωτή β, x2β-1 του β και β. Είναι δίκτης συμβολικός, δεν παίζει ρόλο, είναι δίκτης συμβολικός. Αυτό το έκανα εδώ πέρα για να δείξω ότι έχουμε μια άλλη συνάρτηση χρησιμότητας με άλλους συντελεστές, με διαφορετικούς συντελεστές. Α, συγγνώμη, συγγνώμη, ναι, ναι, γιατί μιλάμε για το x1 μόνο. Και έστω, στο παράδειγμά μας τώρα, ότι το αα είναι μεγαλύτερο από το αβ. Δηλαδή, για τον καταναλωτή α, το αγαθό x1 έχει μεγαλύτερη βαρύτητα στις προτιμήσεις του σε σχέση με το ίδιο αγαθό στις προτιμήσεις του β. Τότε αυτό τι συνέπειες έχει, οικονομικές συνέπειες, έτσι, με βάση αυτά τα οποία κάνουμε, τότε εάν, να γράψω επίσης, έστω ότι το β του α είναι ίσο με το β του β, δηλαδή τα υπόλοιπα όλα παραμένουν τα ίδια, δηλαδή η βαρύτητα του αγαθού 2 και στους 2 καταναλωτές είναι ίδια. Τότε, με βάση αυτά τα οποία έχουμε πει, σβήνω από εδώ, τότε η οριακή χρησιμότητα του καταναλωτή 1 για το αγαθό 1 είναι μεγαλύτερη από την οριακή χρησιμότητα του αγαθού 1 επίσης, για τον καταναλωτή β. Δηλαδή, όταν θα μεταβάλετε η ποσότητα του αγαθού 1, θα επηρεάζει περισσότερο την χρησιμότητα του καταναλωτή α σε σχέση με την χρησιμότητα του καταναλωτή β. Το ξαναλέω, επειδή η βαρύτητα του αγαθού 1 στις προτιμήσεις του καταναλωτή α είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη του καταναλωτή β, τότε, όταν θα μεταβάλετε η ποσότητα του αγαθού 1, η επίδραση στην χρησιμότητα του καταναλωτή α θα είναι μεγαλύτερη από την επίδραση στην χρησιμότητα του καταναλωτή β. Και επειδή, όπως θυμάστε, όταν ξεκινήσαμε να συζητάμε για καμπύλες αδιαφορίας, για προτιμήσεις, είπαμε ότι ο καθένας μας έχει τις δικές του προτιμήσεις. Κατά συνέπεια, ο καθένας μας έχει την δική του συνάρτηση χρησιμότητας και στην συνάρτηση χρησιμότητας του καθενός μας, αυτές οι βαρύτητες είναι διαφορετικές. Κατά συνέπεια, όταν μεταβάλλεται η κατανάλωσή μας σε αυτά τα αγαθά, η αντίδρασή μας σε σχέση με τη χρησιμότητά μας είναι τελείως διαφορετική. Αυτό είναι το συμπέρασμα, έτσι. Ήταν το τελικό συμπέρασμα αυτό, που σημαίνει τι, ότι καταρχήν εμείς θέλοντας να ασκήσουμε οικονομική πολιτική, μας ενδιαφέρει τι γίνεται με αυτά. Και επειδή δεν γνωρίζουμε τα 10 εκατομμύρια ατομικές συναρτήσεις χρησιμότητας, είναι 10 εκατομμύρια, προσπαθούμε να μετρήσουμε τα βάρη, δηλαδή το α και το β, να έχουμε πραγματικά νούμερα, χρησιμοποιώντας δεδομένα από το πραγματικό κόσμο και χρησιμοποιώντας στατιστική. Με αυτόν τον τρόπο, όπως κάνατε στατιστική, έχουμε μια μέση συναρτήση χρησιμότητας ή μια συναρτήση χρησιμότητας του μέσου τυπικού καταναλωτή. Και αν θέλουμε να το τραβήξουμε περισσότερο, γιατί πολλές φορές μας ενδιαφέρουν συγκεκριμένες ομάδες του πληθυσμού. Αν πουλώ για παράδειγμα νεανικά ρούχα, δεν με ενδιαφέρουν οι προτιμήσεις ανθρώπων μεγαλύτερης ηλικίας. Άρα τι προσπαθώ να κάνω, χρησιμοποιώντας δεδομένα και κάνοντας στατιστική ανάλυση, βρίσκω την συναρτήση χρησιμότητας, εκτιμώ τη συναρτήση χρησιμότητας του μέσου νέου καταναλωτή. Άρα έχω μία ένδειξη για το πόσο είναι το α, τη συμπεριφορά του οριακού λόγου υποκατάστασης, χρησιμοποιώντας πια την συναρτήση χρησιμότητας. Α, συγγνώμη, ξεχάσαμε κάτι ακόμα εδώ. Ένα δεύτερο σχόλιο που έχουμε να κάνουμε εδώ είναι ότι το μυ, δηλαδή η επίδραση που θα έχει το χ1 πάνω στην χρησιμότητα εξαρτάται και από το χ2. Δείτε το εδώ, το χ2 είναι μέσα στη συναρτήση της παραγώγου, άρα όσο πιο μεγάλο είναι το χ2, τόσο πιο μεγάλη είναι η επίδραση του χ1 πάνω στη χρησιμότητα. Δηλαδή όταν καταναλώνω πολύ από το αγαθό 2 και μεταβληθεί η ποσότητα του αγαθού 1, η επίδραση είναι μεγαλύτερη πάνω στη χρησιμότητα σε σχέση με το να καταναλώνω λίγο από το 2 και να μεταβληθεί σώποσα η ποσότητα του χ1. Που σημαίνει ότι μία οικονομική λογική πίσω από αυτό το οποίο έχουμε εδώ πέρα είναι ότι δεν αρκεί μόνο να καταναλώνει στο χ1, αλλά μία τέτοια συναρτήση χρησιμοτήτας σαν και αυτή την οποία έχουμε εδώ πέρα προϋποθέτει ότι βελτιώνεται η θέση μου όταν καταναλώνω περισσότερο και από τα 2 αγαθά. Προσέξτε το, δεν αρκεί να καταναλώνω μόνο από το αγαθό 1 ή να μεταβάλλετε μόνο η ποσότητα από το αγαθό 1, αλλά η θέση μου βελτιώνεται πολύ περισσότερο όταν καταναλώνω περισσότερο και από τα 2 αγαθά. Βρίσκομαι δηλαδή σε καλύτερη θέση από το να αυξάνεται μόνο το 1. Αυτή είναι η λογική πίσω από το το υπάρχει στην παράγωγο συναρτήση υπάρχει μέσα το χ2. Δηλαδή ο καταναλωτής ως άτομο θέλει περισσότερο και από τα 2 αγαθά. Βελτιώνει δηλαδή περισσότερο τη θέση του παρά παίρνοντας μόνο από το 1. Είμαστε ok. Άρα εδώ βλέπουμε λοιπόν το νόημα της οριακής χρησιμοότητας. Πάμε τώρα να δούμε τον οριακό λόγο υποκατάστασης. Εάν πάρουμε τις ισοειψείς καμπύλες, δηλαδή τις καμπύλες αδιαφορίας, έτσι όπως τις κατασκευάσαμε, x1, x2, στην καμπύλη αδιαφορίας i1 αντιστοιχεί χρησιμότητα, ένα ύψος χρησιμότητας. Βλέπουμε ότι είναι u1. Όλα τα σημεία που βρίσκονται πάνω στην καμπύλη αδιαφορίας, ισοειψείς καμπύλη, όλα τα σημεία προσφέρουν την ίδια χρησιμοτητα. Αν πάρουμε μία i2 χαμηλότερη, όλα τα σημεία προσφέρουν χρησιμοτητα u2 και ισχύει ότι u2 μικρότερο από το u1 με βάση την κατασκευή των ισοειψών καμπυλών. Εάν πάρουμε ένα σημείο α, ένα καλάθι α και ένα καλάθι β, το γειτονικό του, το αμέσως επόμενο. Απλώς το βάζω μακριά για να κάνουμε την ανάλυση μας πιο καλά, να φαίνεται πιο καθαρά. Άρα η μετακίνηση από το α στο γειτονικό του προϋποθέτει κάποιες μεταβολές. Για να δούμε τι μεταβολές προϋποθέτει. Είμασταν στο χ2α και πάμε στο χ2β, χ1α, χ1β. Αυτό είναι μονάδα και ας πούμε ότι αυτό εδώ είναι δύο, δηλαδή χ1α, χ1β είναι ίσο με τη μονάδα. Δηλαδή η μεταβολή στην ποσότητα του αγαθού 1 είναι μονάδα, Δx1 είναι ίσο με τη μονάδα και Δx2 είναι ίσο με χ2α, χ2β είναι ίσο με δύο μονάδες. Καθώς πήγαμε από το α, καταρχήν να απομονώσουμε τις δύο μεταβολές, δηλαδή μία μεταβολή που έγινε στο χ2 και μία μεταβολή που έγινε στο χ1. Το ότι πήγαμε από το α στο γ, κρατώντας σταθερό το χ1α, πήγαμε από το α στο γ καταρχήν ενδιάμεσο σταθμός και μετά από το γ πήγαμε στο β, ο τελικός προορισμός. Το ότι πήγαμε από το α στο γ αυτό οφείλεται στο ότι μειώθηκε η ποσότητα λόγω Δx2 και αυτή η μεταβολή στο χ2 προκάλεσε μια μεταβολή στη χρησιμότητα u1-u2. Στη συνέχεια πήγαμε από το γ στο β και αυτό έγινε λόγω το ότι μεταβλήθηκε το Δx1 και είχαμε μία μεταβολή στη χρησιμότητα u2-u1. Για να δούμε λοιπόν τι έχουμε πει. Έχουμε πει ότι ο οριακός λόγος υποκατάστασης του χ2 με χ1 στα δύο γειτονικά σημεία από το α στο β είναι ίσο με δύο προς ένα. Δύο μονάδες μειώνεται το χ2 μία μονάδα αυξάνει το χ1. Διαβάζουμε τον οριακό λόγο υποκατάστασης ως εξής σας το θυμίζω πόσες μονάδες πρέπει να θυσιάσω από το α2 για να αποκτήσω μία μονάδα από το α1. Έτσι διαβάζετε ο οριακός λόγος υποκατάστασης θυσία. Εάν και στα δύο διαρρέσω αυτό να το κάνουμε με μειών u1 μειών u2, αν διαρρέσω και τα δύο με αυτό τότε θα έχουμε και αν αντιστρέψουμε τους όρους αυτό μέσους με άκρα τότε το πάνω θα είναι μυ χ1 και το κάτω θα είναι μυ χ2. Αυτό είναι το Δx2 αυτό είναι το Δx1. Και καταλήγουμε τελικά στο μυ χ1 και το μειών που έχουμε από την πράξη είναι ο οριακός λόγος υποκατάστασης είναι ίσως με τον λόγο των οριακών χρησιμοτήτων. Έτσι λοιπόν ο οριακός λόγος υποκατάστασης είναι ίσως με τον λόγο των οριακών χρησιμοτήτων. Για δείτε τώρα γιατί είναι ευθύνον πια τα μυ χ1 και μυ χ2 είναι θετικά. Εντάξει εξ ορισμού εξ υποθέσως μάλλον μυ χ1 και μυ χ2 είναι θετικά. Πάμε τώρα να δούμε γιατί είναι ευθύνον. Καθώς κινούμαστε από πάνω προς τα κάτω αυξάνει το χ1 και μειώνεται το χ2. Για κοιτάξτε λίγο μην γράφετε. Καθώς κινούμαστε από το α προς το β αυξάνει το χ1 και μειώνεται το χ2. Είμαστε σύμφωνοι. Καθώς αυξάνει το χ1 το μυ τι θα παθαίνει. Καθώς αυξάνει η ποσότητα του χ1 η οριακή χρησιμοτητά του τι θα παθαίνει. Θα μικραίνει. Επειδή η δεύτερη παράγωγος είναι αρνητική καθώς αυξάνει το χ1 η οριακή του χρησιμοτητά μικραίνει. Καθώς τώρα πάμε από το α προς το β το χ2 τι κάνει μειώνεται. Άρα η οριακή του χρησιμοτητά τι κάνει αυξάνει. Συνεπώς καθώς πάμε από το α στο β το χ1 αυξάνει και προκαλεί μίωση της οριακής χρησιμοτητάς. Και το χ2 μειώνεται και προκαλεί αύξηση της οριακής χρησιμοτητάς. Κατά συνέπεια σε απόλυτη τιμή πάντα ο όλι ακολουθεί φθύνουσα πορεία. Δηλαδή συνεχώς σε απόλυτη τιμή μικραίνει. Συνεπώς καθώς πάμε από το α προς το β το χ1 αυξάνει και προκαλεί μίωση της οριακής χρησιμοτητάς. Και το χ2 μειώνεται και προκαλεί μίωση της οριακής χρησιμοτητάς. Και το χ2 μειώνεται και προκαλεί μίωση της οριακής χρησιμοτητάς. Μισό λεπτό με τα πρόσημα. Αυτό είναι αρνητικό. Αυτό θέλουμε να δούμε είναι με το πρόσημο υπάρχει το πρόβλημα. Μετά διαιρούμε με το γ1 γ2 για να πάμε στις οριακές χρησιμοτητες. Όταν έχουμε το δx2 αυτό είναι αρνητικό. Το δx1 αυξάνει και αυτό πρέπει να είναι θετικό. Θα το δούμε τώρα για να μην χάνουμε χρόνο. Πάμε να δούμε χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση τώρα ότι ο οριακός λόγος υποκατάστασης βγαίνει είσο με τον λόγο των οριακών χρησιμοτήτων. Εάν πάρουμε τη συνάρτηση γx1 γ2 το ολικό διαφορικό το κάνετε με τον κύριο Κυρίτσι. Παίρνουμε το ολικό διαφορικό της συνάρτησης διότι από το α στο β μεταβάλλονται και οι δύο. Δε γιου η συνολική μεταβολή που θα προέλθει στο γιου είναι ίση με τη μερική παράγωγο του χ1 επειδή χ1 στην τη μερική παράγωγο του χ2 επειδή χ2. Η μερική παράγωγος του χ1 είναι η οριακή χρησιμοότητα του χ1 και αυτό είναι η οριακή χρησιμοότητα του χ2. Άρα δε γιου είναι ίσο με μιου χ1 επειδή χ1 συν μιου χ2 επειδή χ2. Καθώς όμως κινούμαστε από το α στο β είμαστε πάνω στην ίδια ισοήψη. Άρα η μεταβολή της χρησιμοότητας πώς είναι εφόσον είμαστε στην ίδια ισοήψη είναι μηδέν. Άρα το δε γιου είναι ίσο με μηδέν. Κατά συνέπεια έχουμε μηδέν ίσον μιου χ1 επειδή χ1 συν μιου χ2 επειδή χ2. Και κατά συνέπεια δε χ2 προς δε χ1 είναι ίσο με μηδέν μιου χ1 προς μιου χ2. Ο οριακός λόγος υποκατάστασης είναι ίσως με τον λόγο των οριακών χρησιμοτήτων. Προσέξτε κάτι, ρωτάει ο συνάδελφός σας. Καθώς πάμε από το α στο β, αυξάνει το χ1 και μειώνεται η οριακή χρησιμοτήτα. Προσέξτε τι είπαμε, χρησιμοτήτα ως μέγεθος, η μεταβολή της χρησιμοτήτας και ο ρυθμός μεταβολής. Εδώ τώρα δεν μιλάμε για τον όγκο, σε εισαγωγικά, της χρησιμοτήτας, μιλάμε για τη μεταβολή της χρησιμοτήτας, για το οριακό. Εξακολουθεί να είναι θετικό το μιου χ1, δηλαδή η οριακή χρησιμοτήτα καθώς αυξάνει το χ1 είναι θετική, αλλά καθώς αυξάνει το χ1 αυτό τι κάνει, μειώνεται η δεύτερη παράγωγος ενώ συμβαίνει το αντίστροφο από την άλλη μεριά. Ποιο το? Εφόσον είμαστε πάνω στην ίδια ισοίψη, η μεταβολή της χρησιμοτήτας είναι μηδέν. Τα συνέπεια αυτό είναι οριακός λόγος υποκατάστασης στο σημείο α. Με άλλα λόγια, προσέξτε τώρα αυτό είναι σημαντικό και για τις ασκήσεις, οριακός λόγος υποκατάστασης πλέον είναι συνάρτηση. Είναι μια παράγωγο συνάρτηση. Στις ασκήσεις μπορεί να σας ζητηθεί ως ερώτηση ποια είναι η συνάρτηση του οριακού λόγου υποκατάστασης αυτής της συνάρτησης, χρησιμοτήτας, 1 και δεύτερον ή δεύτερον ή και δεύτερον, αφού βρείτε την παράγωγο συνάρτηση, αφού βρείτε τη συνάρτηση οριακού λόγου υποκατάστασης, να σας δοθούν αριθμοί και να υπολογίσετε τον οριακό λόγο υποκατάσταση σε συγκεκριμένο σημείο. Άρα αυτό το οποίο έχετε να κάνετε είναι αφού βρείτε τη συνάρτηση, εδώ, να αντικαταστήσετε τους αριθμούς που σας δίνονται και να βρείτε τον οριακό λόγο υποκατάστασης σε κάποιο συγκεκριμένο σημείο. Συνήθως ζητούνται και τα 2, δύο σε ένα. Αφού θα έχετε βρει την συνάρτηση είναι πολύ εύκολο μετά να βρείτε, είναι δώρο δηλαδή η δεύτερη ερώτηση.