Διάλεξη 10 / Διάλεξη 10 - Νικολαϊδης Αργύριος (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Διάλεξη 10: Είχαμε αρχίσει, λοιπόν, να κουβεντιάζουμε για την έννοια του απίρου. Σταθήκαμε στο κείμενο εκείνο που μας άφησε ο Ρομπετ Μιούζιλ για ένα νεαρό του. Τέλος. Είχαμε αρχίσει, λοιπόν, να κουβεντιάζουμε για την έννοια του απίρου. Σταθήκαμε στο κείμενο εκείνο που μας άφησε ο Ρομπετ Μιούζιλ για ένα νεαρό του. Τέλος. Κατά κάποιον τρόπο πήγε και σκόνταψε πάνω στην έννοια του απίρου και κάπως τρόμαξε. Μετέφερε, λοιπόν, αυτή την αγωνία του τι μπορεί να είναι αυτό το άπιρο, το άγριο, το καταστροφικό. Και κάπου και μόνοι μας, στην πορεία, είδαμε ότι, όντως, είναι κάπως δύσκολο να το προσδιορίσουμε και να μιλήσουμε για το άπιρο. Ενώ μιλάμε, λοιπόν, για τους φυσικούς αριθμούς, μιλάμε ένα, δύο, τρία, κτλ. Πάμε στο νήτη. Μετά, ξέροντας πως υπάρχει το νή, μπορούμε να πάμε και στο νη συν ένα. Υπάρχει μια κάποια σκέψη, αυτή την ιστορία να την κάνουμε ξανά, ξανά και ξανά. Άρα, λοιπόν, να μπούμε σε μια διαδικασία της επανάληψης επάπιρων. Κάποιος θα μπορούσε να πει ότι το όλο εγχείρημα δεν έχει βάση και πιθανό και να έχει δίκιο. Δηλαδή, θα μπορούσε για να παρατηρήσει ότι το μόνο που ξέρουμε εμείς είναι τα περασμένα πράγματα, αυτά που έχουμε μπροστά μας και μπορούμε για να τα μετρήσουμε. Άρα, η ιστορία αυτή εδώ, όπου βάζω τις τελίτσες και λέω τελίτσες, τελίτσες, τελίτσες, τελίτσες, τελίτσες, τελίτσες κάπου εκεί στο άκρο, εφόσον κάνω αυτό άπειρες φορές θα συναντήσω αυτό το άπειρο, δεν έχει νόημα και το σταματά. Ένας άλλος, πιθανό όμως για να ισχυριστεί, ότι την ώρα που νιώθουμε οι κοί με τους φυσικούς αριθμούς θα μπορέσουμε ίσως να διερευνήσουμε τη δυνατότητα ότι πέρα από αυτούς τους αριθμούς που τους λέμε πεπερασμένους αριθμούς, υπάρχουν οι υπερπεπερασμένοι αριθμοί. Και σαν επόμενο βήμα, την ώρα που ξέρουμε πώς μπορούμε να κάνουμε πράξεις με το 2, το 3, το 5, για να πούμε το 2 συν 3 μας κάνει 5, το 4 φορές το 2 και μας κάνει 8, εάν αυτό όλο το πράγμα το οποίο μας διαφεύγει, παρ' όλα αυτά λοιπόν το αποκαλέσουμε το Άλεφ 0, τι μπορεί για να σημαίνει αυτό το Άλεφ 0 και πώς μπορούμε να κάνουμε πράξεις με αριθμούς σαν αυτό λοιπόν το Άλεφ 0, τον υπερπερασμένο αριθμό. Και προφανώς αυτή ήταν η ιδέα του Κάντορ. Αλλά το ξαναλέω πως κάποιος έχει κάθε δικαίωμα για να πει ότι αυτή η ιστορία δεν έχει νόημα, δεν πατάει σίγουρα μαθηματικά, πως είμαστε σε λάθος δρόμο και κάποιος λέει ναι ίσως αλλά εγώ παρ' όλα αυτά θα ήθελα να πάρω αυτό το ρίσκο και να πάω λοιπόν σε ένα κάποιο κλάδο για να καθίσω λοιπόν και να παίξω με αυτό το Άλεφ 0. Ανακαλύψαμε ήδη από την προηγούμενη τη συζήτηση ότι αυτό το Άλεφ 0 ότι έχει κάποιες παράξενες ιδιότητες που δεν συναντάμε με τους συνήθιστους αριθμούς. Με άλλα λόγια, αν πάρω το 100 και το διαιρέστω διά 2 θα πάω στο 50. Πηγαίνω στο 1000, το διαιρό διά του 2 πηγαίνω στο 500. Είδαμε και το δείξαμε ότι αν πάρουμε το Άλεφ 0 και το διαιρέσουμε διά 2 θα πάρουμε ξανά το Άλεφ 0. Έτσι δεν είναι. Δεν ξέρω εάν και το βλέπετε ότι αν κάποιος… Γενικά δεν πρέπει να πω ότι γυρνούμε το Άλεφ 0 με κάποιον τρακσισμό, γιατί τράξη του πολλαπλασιασμού, ας το πούμε, κορίστες μεταξύ του Άλεφ, γενικά η φαρή μου, είναι τράξη σωστά μεταξύ συνολών. Δηλαδή θα έδωσαν στο ντιμό το Άλεφ 0 ένα καρδισιανό γεγονό και έστρελαν πολλαπλασιασμό. Δεν είναι και τόσο σωστά. Έχεις δίκιο. Απλώς στην παρέα μας έχουμε παιδιά που δεν προέρχονται από το μαθηματικό και προσπαθούν να διασφαλίσουν ένα μήνυμο επικοινωνίας μαζί τους. Σίγουρα δεν είναι διαιρέση. Απλώς εκείνο που θέλω να πω είναι εκείνο που είδαμε την άλλη φορά, ότι αν κάποιος γράψει το 1, 2, 3, 4, νι και μετά κάπου εδώ λοιπόν είναι ξανά το άφυρο και μετά πάρει τους άρτιους, θα πει ότι αυτό είναι το 2, το 4, το 6, το 8, το 2νι και κάπου δεν ξέρω και πού θα σταματήσει. Όπως δείξαμε ότι υπάρχει η απεικόνιση, η αφημονοσήματι, ανάμεσα στους φυσικούς αριθμούς και τους άρτιους. Και σε πρώτη προσέγγιση κάποιος θα έλεγε οι άρτιοι, έτσι δεν είναι, οι άρτιοι δεν είναι τίποτα άλλο παρά το μισό των φυσικών αριθμών. Εάν κάποιος μου πει ότι έχω το 100, από το 100 για να βγάλω μόνο τους άρτιους και κρατήσω δηλαδή το 2, το 4, το 6 και θα βγάλω πως οι άρτιοι λοιπόν ότι δεν είναι τίποτα άλλο παρά το μισό των 100. Άρα εάν κατά κάποιον τρόπο, ερχόταν κάποιος και μου έλεγε πως έχει κάποια μήλα και υπάρχει ένας άλλος που έχει τις δικές του πατάτες και μπαίνει και το ρέντομα πόσα είναι τα μήλα και πόσα είναι και οι πατάτες που έχει ο άλλος. Εάν κάθε φορά αυτός που βάζει στη μία άκρη το μήλο ο άλλος καταφέται την δική του πατάτα και δούμε ότι για κάθε ένα μήλο υπάρχει και μια πατάτα σημαίνει πως ο πληθυκός αριθμός των μήλων είναι ο ίδιος με τον πληθυκό αριθμό του συνολού που αφορά λοιπόν τις πατάτες. Και με την ίδια έννοια λοιπόν βλέπουμε εδώ ότι οι αριθμοί που είναι το υποσύνολο των φυσικών έχουν τον ίδιο πληθυκό αριθμό με τους φυσικούς. Είναι κάπως παράξενο γιατί πάντα θα θέλουμε για να σκεφτούμε ότι αν κάποιος μας δώσει ένα κάποιο σύνολο, να το, και θεωρήσω εγώ αυτό εδώ το υποσύνολο, να το, το υποσύνολο αυτό εδώ θα έχει πληθυκό αριθμό που θα είναι πιο μικρός από το σύνολο το ίδιο εκτός και αν το σύνολο αυτό εδώ έχει για πληθυκό αριθμό το άλλο 0. Οπότε στην περίπτωση αυτή εδώ αυτό που βλέπουμε είναι ο πληθυκός ο αριθμός του υποσυνόλου, εντάξει, να είναι και αυτός το άλλο 0. Δεν ξέρω αν γίνεται κάπως σαφέστον και το γεγονός ότι την ώρα που κάναμε πράξεις με σύνολα που έχουν πεπερασμένο αριθμό στοιχείων μπορούμε να κάνουμε κάποιες πράξεις οι οποίες δεν έχουν νόημα και πάμε σε άλλους κανόνες όταν θεωρούμε και τα σύνολα αυτά εδώ με άπειρο αριθμό στοιχείων. Αν πιστεύετε ότι πρέπει για να το κουβεντιάσουμε για να μείνουμε ξανά για να το κουβεντιάσουμε αλλά πάρα πολύ χοντρά θα έλεγα ότι αν κάποιος μας φέρει 10 κιλά ψωμί το κόβουμε στη μέση θα έχουμε 5 και 5. Πάμε στα 1000 κιλά ψωμί, θα είναι τα 500 και τα 500. Και αν μας φέρει άπειρα κιλά ψωμί και το χωρίσουμε στη μέση θα είναι το άπειρο και το άπειρο. Φανταστείτε δηλαδή ότι κάποιος σας έλεγε πως εάν έχω το άπειρο και το κόψω στη μέση θα πάρω κάτι άλλο πέρα από το άπειρο, θα πάρω ένα κάποιο μεγάλο νούμερο. Σίγουρα δύο φορές και το νούμερο αυτό δεν είναι το άπειρο. Άρα λοιπόν, αν κάποιος δεχθεί και την ύπαρξη αυτών των αριθμών καταλήγει στο συμπέρασμα ότι κατά κάποιον τρόπο το Άλεφ 0 για 2 είναι ξανά το ίδιο με το Άλεφ 0 και προφανώς αυτό μπορεί το παιχνίδι για έναν να το παίξει και με άλλον ακέραιο. Με άλλα λόγια, εάν πάρουμε όλα τα πολλαπλάσια και του πέντε. Άρα από το σύνολο εδώ και το φυσικό τα πολλαπλάσια και του πέντε σε πρώτη προσέγγιση θα είναι το ένα πέμπτο το φυσικό. Αλλά επειδή αυτή η ιστορία πάει στο άπειρο, το Άλεφ 0 για πέντε, όπως και το Άλεφ 0 για κάποιο φυσικό αριθμό κ πα, παραμένει το Άλεφ 0. Το βλέπετε με άλλο μάτι, ναι. Ακόμα και η ιδέα μας τα στέλνει βασικά και κάνει μία ερώτηση ένας συμβάλλοντος σχετικά με το Άλεφ 0 και Άλεφ 0. Θέλαμε τι μπορεί να στέλνει αυτό. Και νομίζω ότι αν δώσουμε έναν πιο ευκολαχτικό ρεμμό σχετικά με την TDS και τις δύο εργασία συνολών, χωρίζουμε πράξη μεταξύ, διότι χωρίζουμε μόνο το πολλαπλασιασμό και τότε παίρνουμε, ας πούμε, το πιτάξιμο του Κατσιένου Κοινομένου. Και τότε θα θέλαμε να δώσουμε έναν αντίστοιχο ρεμματικό ρεμμό για παράδειγμα TDS και πούμε ότι όταν γράφουμε Άλεφ 0 η δηρατεία, ουσιαστικά χωρίζουμε το 1 σε δύο συνολών, όταν το διαμερήσουμε σε δύο συνολών, η σομπιχάει και βλέπουμε ότι είναι σομπιχτάθυμο καθώς το πρακτικό. Σωστά. Ωραία. Τώρα, για τη σκηνική περίπτωση, παίρνουμε το Άλεφ 0 για πάλι να χωρίσουμε το σύμβου των φυσικών σε ένα συνολό. Σωστά. Και λέμε τώρα ποιο μπορεί να είναι το Άλεφ 0 διαμερήσουμε το 1. Όταν γράφουμε Άλεφ 0 διαμερήσουμε το 1, σημαίνει ότι χωρίζουμε το ν σε ερκύσεις μασίλων τα οποία διαμερίζουν αυτό το 1. Αυτά όμως μπορεί να είναι από τη μία μονοσύνολα, γιατί τα μονοσύνολα διαμερίζουν φυσικά το 1, αλλά μπορεί να είναι και αχ, μάλλον, πως να πούμε. Στην οποία καλύτερα στο Άλεφ 0 διαμερήσουμε το 2, σημαίνει ότι είναι 1, γιατί καθένα από αυτά τα σύνολο που διαμερίζουν το 1 έχει πληθάρρει το 1. Και όλα αυτά όμως. Περακολουθώ. Θα να κάνεις δηλαδή το σχετικά που λέω ότι είναι το Άσινγκ. Όχι λοιπόν. Στην περίπτωση του Άλεφ 0 διαμερήσουμε το 1, απλά είναι το γραμμένο συνολό που διαμερίζουν το 1. Και όλα αυτά όμως έχει πληθάρρρει το 1. Αλλά Άλεφ 0 διαμερήσουμε το 2. Στην οποία καλύτερα το Άλεφ 0 διαμερήσουμε το 2, σημαίνει ότι είναι 1, γιατί καθένα από αυτά τα σύνολο που διαμερίζουν το 1 έχει πληθάρρει το 1. Και όλα αυτά όμως. Περακολουθώ. Θα να κάνεις δηλαδή το σχετικά που λέω ότι είναι το Άσινγκ. Όχι λοιπόν. Στην περίπτωση του Άλεφ 0 διαμερήσουμε το 2, απλά είναι το γραμμένο συνολό που διαμερίζουν το 1. Και όλα αυτά όμως. Περακολουθώ. Ναι, είναι κάτι που το συναντάμε και στα συνήθειες μαθηματικά. Ξέρουμε όλοι ότι αν κάποιος γράψει το άπειρο δια άπειρο δεν είναι κάτι το πάρα πολύ σαφές. Πρέπει να γράψει κάτω τι εννοεί με το πρώτο άπειρο και πώς συγκλίνει προς το άπειρο αυτό εδώ. Να δει τι σημαίνει το δεύτερο το άπειρο και να πει αυτό το άπειρο δια άπειρο τι δίνει. Δηλαδή αν έχουμε το χ τετράγωνο δια χ, το χ είναι στο άπειρο προφανώς και θα μας δώσει και το άπειρο πάλι. Αν είναι όμως το χ δια χ τετράγωνο, πάλι το χ είναι στο 0 αλλά θα πάει προς το 0. Άρα θα έλεγα ότι αυτό που έχουμε ανάγκη είναι να ορίσουμε τον πρακτικό τρόπο και να μιλήσουμε λοιπόν πρακτικό τρόπο τι σημαίνει και τι κάνουμε στην κάθε μια περίπτωση. Άρα την ώρα που τα ορίζουμε τα διάφορα σύμβολα θα πρέπει να λέμε πώς τα ορίζουμε, τι σημαίνει αυτό για εμάς και πώς κάνουμε και τις πράξεις μας. Έστω στα πλαίσια αυτών των αριθμών που δεν έχουν καμία συνάθεια με τους αριθμούς που ξέρουμε. Όπως το ίδιο γίνεται και με τους αριθμούς που ξέρουμε. Από πίσω υπάρχουν κάποιοι κανόνες που είναι οι αυστηροί κανόνες των μαθηματικών τους. Το γεγονός ότι εμείς πάμε στο δημοτικό, μας λένε το 2 και 3 που είναι 5 επειδή βάζουμε τα δακτυλάκια μας και τα μετράμε, από πίσω κρύβεται μια θεωρία που την αγνοούμε, αλλά δεν είναι αθώα πρόταση το 1 και 1 μας κάνει 2, εντάξει, ναι. Θέλω να ακούσω και ακριβώς αυτούς τους κανονικολόγους που δημιουργήθηκε η πρώτη σκέψη όταν έχουμε μίστη της συνομοθερίας. Δηλαδή είναι ότι συνήθως η μαθηματική της συνομοθερίας αποτελειάζεται όπως είπαμε, σχεδόν όλη η υπόλοιπη τομή στο μαθηματικό, στους υπόλοιπους τομής ξεκινάμε, φτιάχνουμε θεωρία, μετά απολέγονται κάποια πράγματα και εν συνεχεία ανάγκουμε, βλέπουμε τι στέκεται όταν βγαίνουμε ας πούμε σε υψηλότερες βαθμίδες και ξεκινούνται ταξιώματα. Συνομοθερία ξεκινάει ανάποδα, ξεκινάει ταξιώματα και ύστερα βρέσκει μοντέλα για ταξιώματα. Δεν παίρνει τα μοντέλα και περιμένει σε κάποια φάση να δει τι θα ερχίσει να είναι αλλιώς το άμυρο σανακέλογα. Είναι μια δική μας κατασκευή και θες να παίξεις, παίξε. Κανένας δεν μπορεί να πει σε ένα παιδί να καθίσει να παίξει με το παιδικό του και το παιχνίδι, αλλά και το παιδί ξέρει και εμείς ξέρουμε πως πρόκειται για ένα παιχνίδι για μια σύμβαση με κάποιους κανόνες. Άρα, λέμε να παίξουμε με αυτή τη θεωρία συνολών και κάποιος λέει παρόλο που δεν ξέρω τι στο καλό είναι αυτό το πράγμα, και κάνουμε την υπόθεση ότι υπάρχει. Από δική μου πλευρά που προέχομαι από το χώρο της φυσικής, θεωρώ πως η βαβούρα που κρύβεται από πίσω είναι μια διάκριση ανάμεσα στο διακριτό και το συνεχές, το διακριτό κάθε στιγμή και το μετράσκι. Όλοι ξέρουμε ότι μια ευθεία έχει τα άπειρα σημεία. Συνεπώς είναι μια σύγκριση ανάμεσα σε πράγματα που μας δίνουν και καθόμαστε και τα μετράμε, ένα, δύο, τρία, και ξαφνικά σου δίνει ο άλλος το σπάγκο και το σπάγκο αυτό δεν ξέρεις και τι να το κάνεις και πως να το μετρήσεις, εντάξει. Άρα, στην ουσία αυτό που κρύβεται είναι μια ιστορία ανάμεσα στο διακριτό και το συνεχές και το πέρασμα, που είναι κάτι πάρα πολύ δύσκολο από μια θεωρία που είναι στριγμένη στο διακριτό σε μια άλλη θεωρία που είναι στριγμένη στο συνεχές. Από την πλευρά του φυσικού, ξέρω τώρα πως η μαθηματική θα έχετε μια αλληθεμελίωση. Απλώς αυτό που θέλω να περάσω στους υπόλοιπους, ότι αν κάποιος μου δώσει ένα καρβέλι ψωμί, το οποίο είναι όσο μεγάλο εγώ μπορώ να φανταστώ, και αυτό το όσο μεγάλο εγώ το λέω άπειρο, όταν την κόψω, το καρβέλι στη μέση, μη μου πείτε πως το κόβω στη μέση, εντάξει. Εν πάση περιπτωσία, αν το κόψεις στα δύο, το κάθε ένα κομμάτι πάλι θα έχει τόσα κιλά όσα εγώ θέλω. Μου φαίνεται πως αυτό πως κάπως στέκεται, γιατί αν μου δίνε ένα κάποιο νούμερο, τόσα κιλά, το διπλάσιο του θα ήταν, δεν ξέρω, αν ζήγιζε πεντακόσια κιλά, το διπλάσιο θα ήταν και στα χίλια. Άρα λοιπόν φτάνουμε σε ένα υπερπεπερασμένο αριθμό που έχει αυτήν την παράξενη ιδιότητα και υπακούν σε κανόνες που δεν έχουν σχέση με τους κανόνες που ξέρουμε εμείς από την αριθμητική που μάθαμε στις πρώτες τάξεις του δημοτικού σχολείου. Ναι, υπάρχει κάτι. Μια συγκεκριμένη συμπέραση του αριθμού του κέντρου, δηλαδή όταν παραθέσεις το άφυλο από την πλευρά και το περασμένο από την άλλη σαν δύο ατωφανικά πράγματα, θα διαφορήσεις, οπότε έτσι σημαίνει ότι το άφυλο λειθεί την διάρκεια σε κάτι σαν το περασμένο. Έχει ένα όριο από όπου ξεκινάει και το περασμένο. Αυτό λόγω αφύλου αφύλου. Και γι' αυτό σε ό,τι μοιάζει το αφύλου αφύλου αφύλου αφύλου αφύλου αφύλου αφύλου αφύλου αφύλου αφύλου αφύλου αφύλου αφύλου αφύλου αφύλου αφύλου αφύλου αφύλου αφύλου... Άρα λοιπόν αυτό που κάναμε είναι να ασχολούμαστε με φάπλες ιστορίες και με φάβλα πράγματα. Yes. Ποιος το είπε αυτό, συγγνώμη. Ο Κάτρος, ναι. Μα δεν έχουμε φτάσει ακόμα έξω. Υπάρχει. Υπάρχει. Υπάρχει. Υπάρχει. Υπάρχει. Υπάρχει. Υπάρχει. Υπάρχει. Υπάρχει. Υπάρχει. Υπάρχει. Μα δεν έχουμε φτάσει ακόμα. Είμαστε στην αρχή του εγχειρήματος. Μιλάμε... Μιλάμε... Μιλάμε... Μιλάμε... Προφανώς... Ο Χέγγελ δεν ήξερε τον Κάτρο για να κάνουμε ερώτηση στον Χέγγελ. Ε? Ορίστε. Προφανώς, άρα δεν έχει ναμή να λέμε στο Χέγγελ τι εννοείς εσύ το δικό στο άπειρο όπως το έχει παρουσιάσει μετά αιώνες έχει ο Κάτρο. Έχει να κάνει με ένα θέμα δικό μας αν θέλουμε να κάνουμε κάτι ή δεν θέλουμε να κάνουμε κάτι. Κάποιος έχει κάθε δικαίωμα να πει αυτό που κάνεις δεν έχει νόημα πάνε στο σπίτι σου και κάποιος λέει θέλω και να κλειστώ σε ένα γραφείο να ξεχάσω ένα, δύο, τρία προβατάκια και τα λοιπά και να φανταστώ ότι υπάρχει ένα ν. Και δίπλα στο ν βάζω και το ν συν ένα. Και το κάνω ξανά και ξανά και ξανά και ξανά και λέγεται εύκολα επάπυρο. Λέω αν έχω το σύνολο με τα τρία προβατάκια ισχυρίζομαι πως υπάρχει ένα σύνολο με όλους τους φυσικούς αριθμούς. Και την ώρα που δεν μπορώ για να τους μετρήσω λέω πως ο πληθυκός ο αριθμός τους είναι το αριθμι 0. Τελεία. Και μετά βρίσκει το πολύ πολύ παράξενο πράγμα ότι αν πάρω το υποσύνολο από αυτό το σύνολο που έχει για πληθυκό αριθμό το αλεφ 0 είναι δυνατό το υποσύνολο που κανονικά πρέπει να έχει σαν στοιχεία πιο λίγα από το μητρικό να έχει και αυτό για πληθυκό αριθμό το αλεφ 0. Άρα πάμε σε άλλους κανόνες και μάλιστα ένας τρόπος για να ορίσεις το άπειρο είναι να πεις όπως το λέω εδώ ότι ένα σύνολο είναι άπειρο όταν το σύνολο είναι ισοδύναμο με ένα από τα μέρη του. Που σίγουρα παραβιάζει τους κανόνες των σύνολων που ξέρουμε όταν μιλάμε για τα συνήθει τα σύνολα. Άρα λοιπόν εάν συναντήσουμε ένα σύνολο και βλέπουμε ότι αυτό είναι ισοδύναμο με ένα από τα μέρη του αυτό σημαίνει πως το σύνολο αυτό είναι το άπειρο σύνολο και είναι ένας θετικός τρόπος για να ορίσεις τι είναι το άπειρο. Υπάρχει ακόμα η ανάγκη η έγνοια να το κουβετιάσουμε αυτό το πράγμα. Πώς κατασκευάζεται, κάτω από ποιους όρους το σπρώχνουμε και κυρίως αυτήν εδώ την ιστορία ότι παρόλο που το κόβω σε κομμάτια ο πληθυκός ο αριθμός παραμένει το άλλο μηδέν γιατί αυτό που έχω είναι το άπειρο. Ένα άλλο παράδειγμα να σας πω την ιστορία του Χίλμπερτ μπορούμε να φανταστούμε πως υπάρχει ένα κάποιο ξενοδοχείο με άπειρα δωμάτια και λένε και στη ρεσεψιόν ξέρεις πως το ξενοδοχείο μας είναι πλήρες και φτάνει μια κάποια στιγμή κάποιος θα ήθελα για να μείνω στο ξενοδοχείο σας, θα ήθελα να έχω και το δικό μου δωμάτιο, ο άλλος του λέει συγγνώμη αλλά είναι πλήρες, αλλά ο άλλος μπορεί λοιπόν για να πει αυτός που μένει στο πρώτο δωμάτιο μπορεί να πάει στο δεύτερο, ο δεύτερος να πάει και στον τρίτο, συνεπώς θα διάσει το πρώτο δωμάτιο και εκεί στο πρώτο δωμάτιο μπορεί να μείνει αυτός που μόλις ήρθε. Και γίνεται αυτό γιατί στο άπειρο αυτό εδώ αν βάλεις 1,2,3,4,5 δεν αλλάζει τίποτα και παραμένει πάλι το άπειρο. Άρα λοιπόν εκτός από την ιδιότητα ότι διαιρώ το Άλεθ-0-2k και παίρνω ξανά το Άλεθ-0 υπάρχει μια άλλη ιδιότητα που λέει το Άλεθ-0-sin-k το k λοιπόν είναι ένας κάποιος ακέραιος, είναι ίσο με Άλεθ-0. Λοιπόν, μπορούμε ξανά ξανά, ξανά, ξανά για να το κλοντιάσουμε από μαθηματική πλευρά, από φυσική πλευρά, από φιλοσοφική, θεολογική. Εγώ απλώς θυμάμαι μια ταινία, ήταν ταινία ενός Ρώσου σκηνοθέτη Ταρκόσκη όπου δείχνει έναν τύπο σε ένα σπήλαιο και πάνω στο σπήλαιο πηγαίνει και γράφει ένα-συν-ένα ίσο με ένα. Προφανώς δεν έχει σχέση με τους συνείδους κανούς που ξέρουμε, αλλά αυτό το ένα-συν-ένα είναι ίσο με ένα, μας παραπέμπει σε μια ιστορία όπου το Άλεθ-0-sin-k μας ξανακάνει πάλι το Άλεθ-0. Με άλλα λόγια, εάν πάρουμε τους αρτιούς είναι το Άλεθ-0, εάν πάρουμε τους περιττούς είναι πάλι και το Άλεθ-0, αθρίζουμε τους αρτιούς και τους περιττούς θα πάρουμε τους φυσικούς που είναι πάλι το Άλεθ-0 άρα πάλι μπορούμε να πούμε ότι Άλεθ-0-sin-Άλεθ-0 είναι το Άλεθ-0, δύο φορές το Άλεθ-0 μας κάνει και το Άλεθ-0 και κάποιος μπορεί να πει πάλι ότι κάπα φορές το Άλεθ-0 είναι ξανά το Άλεθ-0. Παράξενο, παράξενο, αλλά είπαμε από την αρχή ότι μπαίνουμε σε βαθιά νερά όπου η επίκληση δεν είναι σε κάτι που το έχουμε μπροστά μας, είναι μία κάποια κατασκευή δικιά μας και λέμε τι θα γίνει άφανταστούμε ότι έχουμε ένα σύνολο με άπειρα στοιχεία. Άλλη παρατήρηση ενόχληση σχόλιο πριν να συνεχίσω για το Άλεθ-0. Εάν όχι το επόμενο πράγμα που ασάνισε τον Κάντορ είναι η ιστορία με τους ρητούς αριθμούς. Ρητούς αριθμούς λοιπόν λέμε όλους εκείνους τους αριθμούς που μπορούμε να γράψουμε σαν κλάσμα. 1 προς 1 όπου το 1 και το 1 είναι ακέρει. 3.50, 8.15 6.22 Όλοι αυτοί οι αριθμοί που μπορούν και γράφονται σαν κλάσμα. Τους λέμε λοιπόν ότι είναι οι ρητοί οι αριθμοί. Μπαίνει τώρα και το ερώτημα εάν εμείς συμφωνήσαμε μεταξύ μας ότι όλοι οι φυσικοί οι αριθμοί έχουν για πληθυκό αριθμό το Άλεθ-0. Αν θελήσουμε να πάμε για να μετρήσουμε πόσοι είναι οι ρητοί αριθμοί ποιο είναι και το μέγεθος τους. Είναι το Άλεθ-0, είναι κάτι παραπάνω. Μπήκαμε σε ένα λουκι για να μετράμε την απειρία κάποιων συνόλων. Προφανώς μπορούμε να κάνουμε και το εξής που είναι και το σημείο της εκκίνησης. Στην πρώτη σειρά πηγαίνουμε και γράφουμε τους φυσικούς που ξέρουμε. Στην ουσία θεωρούμε πως οι αριθμοί του 1,2,3,4,5,6 δεν είναι τίποτα άλλο παρά το κλάσμα όπου στην θέση του 1 πήγαμε και βάλαμε 1. Άρα αυτά όλα τα m δια n όπου το n είναι σωμένα μας δίνουν το 1,2,3,4,5,6 και προφανώς εδώ πρέπει να θυμηθούμε πως έχουμε τελείτσες ότι αυτό πηγαίνει και συνεχίζει μέχρι το άπειρο. Από κάτω μπορούμε να βάλουμε τα κλάσματα όλα με παρανομαστή το 2. Άρα θα γράψω το 1 δεύτερο. Εδώ προφανώς θα γίνει 2 δεύτερα. 3 δεύτερα. 4 δεύτερα. 5 δεύτερα. 6 δεύτερα. Και τα λοιπά, και τα λοιπά, και τα λοιπά. Και εδώ λοιπόν έχουμε γράψει τα κλάσματα όλα με παρανομαστή, δηλαδή στη θέση του 1 πήγα και βάλαμε το 2. Προφανώς βλέπετε, μετά θα πάμε στα κλάσματα με παρανομαστή το 3. Άρα το 1 τρίτο. 2 τρίτα. 3 τρίτα. 4 τρίτα. 5 τρίτα. 6 τρίτα. Και τα λοιπά. Να γράψω ακόμα μια σειρά όπου θα βάλω τα κλάσματα όλα όπου στη θέση του 1 θα έχω το 4. Άρα λοιπόν αυτό είναι το 1 τέταρτο. 2 τέταρτα. 3 τέταρτα. 5 τέταρτα. Όχι, συγγνώμη. 1, 2, 3, 4 τέταρτα. 4 τέταρτα. 5 τέταρτα. 1, 2, 3, 4 τέταρτα. 6 τέταρτα. Και τα λοιπά και τα λοιπά. Λοιπόν, θα πρέπει για να φανταστείτε πως η σειρά αυτή εδώ πηγαίνει κάτω μέχρι τέρμα. Δηλαδή, μετά θα υπάρχει μια σειρά όπου στη θέση του 1 θα βάλω το 5. Άρα λοιπόν θα είναι εκείνα τα κλάσματα με παρανομαστή το 5, το 6, το 7 και τα λοιπά. Και αυτό όλο θα πάει πού? Πάλι στο άπειρο. Άρα λοιπόν πηγαίνει κάποιος πίσω, κοιτάζει την ιστορία και λέει τι έχω φτιάξει. Έχω φτιάξει αυτό το πλαίσιο, όπου εδώ συναντάω όλους τους ρητούς αριθμούς και όλα τα κλάσματα. Άμα κάποιος μου πει ότι σε παρακαλώ βρίσκω το κλάσμα 30-8. 30-8 σημαίνει πως θα αρχίσω εδώ για να μετράω το 1. Θα αρχίσω να λέω 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Θα βρω κάπου εδώ το 30. Παρανομαστής είναι το 8 και θα πω 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 και κάπου εδώ θα είναι τα 38. Και συνεπώς βλέπουμε πως όλα τα κλάσματα πως είναι μέσα στο πλαίσιο αυτό που έχουμε κάνει. Το κοιτάω λίγο προσεκτικά και βλέπω ότι αυτό στην ουσία είναι κάτι σαν πλαίσιο, σαν ένα τετράγωνο ίσως, όπου αυτή η διάσταση είναι ίσημε. Πόσα στοιχεία βλέπετε εσείς στο 1, 2, 3, 4, 5, 6, τελείτσι τελείτσι. Το άλλο έχουμε 0. Αυτά τα στοιχεία που έχω βάλει στην πάνω τη σειρά 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 πηγαίνει μέχρι το άπειρο στην ουσία λοιπόν πρόκειται για το άλλο 0. Ο κριστικός ο αριθμός των φυσικών είναι το άλλο 0. Πηγαίνω στην άλλη σειρά αυτή εδώ και αρχίζω και μετράω ένα το ένα δεύτερο, ένα τρίτο, ένα τετράτο, πηγαίνω κάτω, ένα διανεί, ένα διανεί συνένα, κάτω κάτω κάτω και λέω πως αν τα μετρήσω αυτά όλα είναι πάλι? Πόσο? Γιατί είναι ένα διάλεφα? Πηγαίνω και τα μετράω είναι 1, 2, 3, 4 και πάει κάτω μέχρι το άπειρο άρα ξανά έχω το άλλο 0. Έτσι δεν είναι? Στην ουσία έχω αυτό το τετράγωνο με άπειρη πλευρά, με άπειρο μήκος και άπειρο πλάτος. Αυτό το μήκος εδώ είναι το άλλο 0. Και όταν καθίσω για να μετρήσω και τα στοιχεία αυτά είναι 1, 2, 3 και τα λοιπά είναι πάλι το άλλο 0. Άρα καταλήγως στο συμπέρασμα πως ο πληθυκός αριθμός λοιπόν ο πληθυκός αριθμός των ρητών που το γράφω Q δεν είναι τίποτα άλλο παρά το άλευ 0 επί άλευ 0 στο τετράγωνο. Άρα βρήκαμε ένα άπειρο που σίγουρα είναι πιο μεγάλο φαίνεται τουλάχιστον ότι είναι πιο μεγάλο από το άπειρο των φυσικών. Το άπειρο των φυσικών. Ορίστε. Θα το πω σε λίγο, μην βιάζεσαι. Αν είναι για να λέμε τα θεωρήματα από την αρχή. Άρα λοιπόν φτάσαμε σε ένα σύνολο με πληθυκό αριθμό το άλευ 0 στο τετράγωνο που θα έλεγε κάποιος πως έχουμε τελειώσει την άσκηση. Έχουμε το σύνολο των φυσικών, όπου το άπειρο είναι το άλευ 0 και ξαφνικά πάμε σε ένα άλλο σύνολο με τους ρητούς όπου η ένταση του άπειρου είναι ακόμα πιο μεγάλη γιατί είναι το άλευ 0 επί άλευ 0 στο τετράγωνο. Πλήνω όμως πλήνω όμως ο Κάντρο, γι' αυτό μιλάμε γι' αυτό, προχώρησε σε ένα τρόπο άλλο για να καταγράψει τους ρητούς αριθμούς. Εκείνο που έκανε ήταν να θεωρήσει μία άλλη σειρά, την οποία την έχει βγάλει με μία σειρά από βέλη. Αρχίζει από το 1 και με ένα δέλος πηγαίνει στο 2. Από το 2 πηγαίνει στο 1 δεύτερο. Από το 1 δεύτερο πηγαίνει και κατεβαίνει στο 1 τρίτο. Από το 1 τρίτο γυρίζει πάνω στα 2 δεύτερα. Τα 2 δεύτερα πηγαίνει στο 3. Από το 3 πηγαίνει στο 4. Από το 4 πηγαίνει στα 3 δεύτερα. Από τα 3 δεύτερα πηγαίνει στα 2 τρίτα. Από τα 2 τρίτα πάει στο 1 τέταρτο και τα λοιπά και τα λοιπά. Αρχίζετε και βλέπετε. Είναι μια λεπτή επιχείρηση που τη χρωστάμε στη φαντασία του Κάντορ. Είναι ότι ενώ σε εμάς αυτό μας φαινόταν σαν ένα πλέγμα σωστά, και είπαμε πως το πλέγμα αυτό από τη μια μεριά έχει ένα μήκος στο Άλευ Μηδέν, από την άλλη μεριά έχει το μήκος στο Άλευ Μηδέν, άρα συνολικά οι αριθμοί που είναι κρυμμένοι μέσα στο πλέγμα είναι Άλευ Μηδέν επί Άλευ Μηδέν, έρχεται και μας λέει κοιτάξτε, δεν μου αρέσει αυτή η ιστορία, εγώ μπορώ να κάνω τι, για να το ξυλώσω το πλέγμα και να πάρω τη σειρά αυτήν εδώ, ένα, δύο, το ένα δεύτερο, το ένα τρίτο, δύο δεύτερα, τρία, τέσσερα, τρία δεύτερα και τα λοιπά, τα γράφω σε μια σειρά, ένα, δύο, από το δύο μετά είπαμε πάει στο ένα δεύτερο, από το δεύτερο, μετά από το ένα δεύτερο πηγαίνει στο ένα τρίτο, μετά από το ένα τρίτο πηγαίνει στο δύο δεύτερα, στο δύο δεύτερα, από το δύο δεύτερα πηγαίνει στο τρία, από το τρία πηγαίνει στο τέσσερα, από το τέσσερα πηγαίνει στα τρία δεύτερα, τρία δεύτερα και μετά πηγαίνει πηγαίνει στα δύο τρίτα και από τα δύο τρίτα πηγαίνει μετά τα δύο τρίτα πηγαίνει στο ένα τέταρτο και τα λοιπά και τα λοιπά. Αυτό που θέλω για να δείτε εσείς τι είναι ότι μέσα από αυτήν η διαδικασία του ζικ ζακ αρχίζει έτσι πηγαίνει έτσι πηγαίνει πάνω κατεβαίνει θα ξαναγυρίσει έτσι και θα το ξυλώσει όλο και το βάζει σε μία σειρά και επειδή το έχει βάλει σε μία σειρά λέει μετά ότι αυτή τη σειρά εγώ την αντιστοιχώ με το ένα, δύο τρία, τέσσερα πέντε έξι, εφτά οχτώ, εννέα, δέκα και τα λοιπά και άρα αυτό που πετυχεί είναι άφιμονο σημαντική αντιστοιχία ανάμεσα στους ρητούς, σωστά και τους φυσικούς αλλά εμείς ξέρουμε πως ο πληθυκός αριθμός των φυσικών αριθμών είναι το Άλευ Μηδέν δείξαμε πως ο πληθυκός αριθμός των ρητών είναι είναι το Άλευ Μηδέν Κέτραγωνο και άρα λοιπόν καταλήγουμε το σημαντικό συμπέρασμα ότι Άλευ Μηδέν Τετράγωνο είναι ίσο με Άλευ Μηδέν Άρα λοιπόν το άπειρο το Άλευ Μηδέν επί ξανά λοιπόν και το Άλευ Μηδέν μας δίνει ξανά το ίδιο το Άλευ Μηδέν προφανώς αυτό μπορεί μπορώ για να το γενικεύσω δηλαδή βλέπω αυτή τη σχέση που όλα παρουσιάσω με Άλευ Μηδέν θα πάρω το Άλευ Μηδέν κύβος είναι ίσο με Άλευ Μηδέν Τετράγωνο που σημαίνει πως είναι ίσο με Άλευ Μηδέν και γένει Άλευ Μηδέν στην Κάπα σε μια ακέρει δύναμη είναι ίσο με Άλευ Μηδέν άρα μπορείτε να για να φανταστείτε κακιαπλέγματα σε δύο διαστάσεις σε τρεις διαστάσεις, σε κάπα διαστάσεις θα πας για για να μετρήσεις την απειρία τους και θα βγαίνει πάντα πως είναι το Άλευ Μηδέν πως σας φαίνεται εεε φτάμε λοιπόν σε μια άλλη παράξενη ιδιότητα του Απείρου, το Άλευ Μηδέν σε αδίποτε δύναμη μας ξαναδίνει το Άλευ Μηδέν τι καταλαβαίνει κανένας με έμεσε τρόπο με εμπειρικό, φιλοσοφικό θεολογικό είναι παράξενο ότι θα πρέπει λίγο να το συλλογιστούμε ότι σας δίνω εγώ ένα πράγμα που μοιάζει με τετράγωνο σωστά και το τετράγωνο το ανάγκωσε σε μια ευθεία που φαίνεται πως πρέπει για να σας σοκάρει λίγο ή όχι στο βαθμό που στο βαθμό που μέσα το μόνο που έχω βάλει είναι τους ρητούς αλλά λοιπόν αν φτιάξω εγώ ένα ένα τετράγωνο πλέγμα κυδικό πλέγμα ή ένα πλέγμα σε ίδια στάση σωστά αν έχει μέσα μόνο τους ρητούς ισχύει αυτή εδώ η σχέση δηλαδή η πληροφορία που μπορώ να βάλω σε ένα πλέγμα που είναι φτιαγμένο από τους ρητούς είναι η ίδια την οποία μπορώ να βάλω πάνω σε μια ευθεία που έχω πάλι μόνο τους ρητούς δεν πρόκειται για να κερδίσω κάτι αν έχω αυτό το πλέγμα για το πλέγμα σε κάποια διαστάση γιατί μπορώ αυτό για να το πάρω να το ανοίξω και να δείξω ότι στην ουσία δεν είναι ένα πλέγμα αλλά είναι η ευθεία γραμμή πάνω στην οποία πάω και μετράω 1,2,3,4,5 μπράβο ο κανόνας είναι αυτός που δεν έχω βάλει ότι το 1 πηγαίνω και το κολλάω στο 1 το 2 στο 2 το 1 δεύτερο στο 3 το 1 τρίτο στο 4 το 2 δεύτερα στο 5 το 3 στο 6 το 4 στο 7 το 3 δεύτερα στο 8 το 4 στο 7 το 3 δεύτερα στο 8 το 4 στο 7 το 3 στο 8 το 4 στο 9 τώρα αν κάποιος παρατηρήσει και μου πει συγγνώμη το 2 δεύτερα είναι το 1 άρα εδώ το 1 το λες 1 και εδώ το 1 το λες 5 σίγουρα εδώ θα πρέπει για να διώξω μερικά νούμερα που είναι την ίδια τιμή δηλαδή από τη σειρά αυτή θα χρειαστώ για να διώξω το 2 δεύτερα που είναι το 1 άρα θα πρέπει λίγο για να αλλάξω την αντιστοίχηση αλλά αυτό δεν πρόκειται να αλλάξει την ουσία του επιχειρήματος δηλαδή αν διώξω αυτά τα λίγα στοιχεία όπου ξαναβλέπω ξανά τους ίδιους τους αριθμούς δεν πρόκειται να αλλάξει τι ότι αυτό είναι το άλλευ μηδέν και το πάνω είναι το άλλευ μηδέν επί άλλευ μηδέν Παρακολουθώ να παρακολουθώ για μάνα τις πιστυχίες που έπρεπε να κάνω στην αρχή του περιεστηριώνα που χρησιμοποιούμε εδώ πέρα για να δώσουμε να βγάλουμε την τύρα και την ποιοί σημασία όλα αυτά και σ' ένας αριθμός που πρέπει να έχουμε στο άλλευ μηδέν είναι ότι θέλουμε άνοιγμα ότι το NDA είναι ουσιαστικά το δεύτερο NDA ας το φανταστείτε όσοι δεν το έχουμε έρθει αυτό δηλαδή του 1 έγινε και του άλλου έγινε και άμα βγάλουμε μια δικώνση που πούμε ότι τάτα ένα από αυτά τα ζευγάκια συνταρμένες είναι δύο αυτές είναι πρώτο, δεύτερο, τρίτο, δεύτερο και τα υπάρχουν εμείς θέλουμε να δούμε να μας πούμε ποιο είναι ξέρω όλο το το K λάμβαρ έτσι δηλαδή το K και λάμβαρ σε αυτό εδώ πέρα άμα θα κάνεις άμα προσπαθείς να βρεις αυτό το γράμμα να σου πει ότι είναι M συν M σημαίνει παρέμβεση επί M σημαίνει σημαίνει γιατί όλοι αυτό εδώ πέρα, αυτή η συνάρτηση είναι κανόνας του Πλεριμένου και ο οποίος είναι δραστημονισμός σωστά άρα βρήκαμε ένα τρόπο να αντιστοιχίσουμε σε όλους τους ρητούς και έναν από τους φυσικούς οπότε αυτό μας επιτρέπει να πούμε το Άλευ Μηδέν επί Άλευ Μηδέν είναι στον Άλευ Μηδέν Όχι, το δυο δεύτερα είναι το ένα και είναι πως στις πράξεις που κάνουμε θα βγούνε μερικά νούμερα να είναι τα ίδια απλώς τα νούμερα αυτά που βγαίνουν που είναι τα ίδια είναι τόσα πολύ λίγα που δεν αλλάζουν την ιστορία ότι πρόκειται για το γινόμενο του Άλευ Μηδέν επί του Άλευ Μηδέν αλλά δες το λίγο τα τρία τρίτα είναι ένα τα τέσσερα τρίτα είναι ένα αυτά μπορείς για να τα υπολογείς πως θα είναι μπορείς για να τα αφαιρέσεις από το Άλευ Μηδέν επί Άλευ Μηδέν δεν πρόκειται να αλλάξει αυτό το Άλευ Μηδέν είναι πολύ πολύ πιο λίγα από το Άλευ Μηδέν στο τετράγωνο και συνεπώς τα νούμερα που βγαίνουν ξανά και ξανά τα ίδια είναι λίγα σε σχέση με την τρία που έχουμε μπροστά μας Αυτή η αδυστυχία έχει κάποια πρακτική επαρμογή, δηλαδή μπορεί να έχει κάποια πρακτική επαρμογή, μέχρι και της ευκαιρίας περιογονός ότι εδώ το 1 η αδυστυχία με το 1, το 1 δεύτερο το οποίο είναι μικρότερο, όπως λέγαμε, από το 1 το μισό, δηλαδή η αδυστυχία με το 3, το οποίο είναι μεγαλύτερο από το 1 Δεν είναι κανείς σημασία απολύτως το βασικό είναι η αδυστυχία, πως την κάνεις και γιατί την κάνεις δεν είναι ότι τα βάζουμε σε διάταξη, σε σειρά ποιο είναι το πιο μικρό και το πιο μεγάλο όχι, το ίδιο μπορείς να κάνεις και με τους ακέραιους, δεν θα τις βάζεις σε σειρά, ένα δύο τρία και το κάνουμε εμείς, ένας άλλος μπορεί να αλλάξει σειρά και να τα βάλει με έναν άλλο τρόπο, αλλά το άλλο 0 και θα παραμείνει, άρα η έννοια της διάταξης δεν είναι ότι υπάρχει μια σειρά, το μεγαλύτερο και το μικρότερο απλώς τους αριθμούς που εσύ μου δίνεις και μου λέσεις και πως είναι ρητή, εγώ τους παίρνω τους απλώνω σε μια μπουγάδα και λέω πως η μπουγάδα μου την έχω απλώσει πάνω σε ένα σχοινί τέλεισε, μόλις πεις πως μια μπουγάδα που την βγάζεις από το πληντήριο και λες και τι πράγμα έχω, εγώ την απλώσω σε ένα σχοινί λες αυτό το λέω πρώτο, το δεύτερο, το τρίτο και τέταρτο. Ναι. Ναι. Σωστά, απλώς η αφαίρεση που κάνω ότι βγάζω αυτούς τους αριθμούς δεν είναι κάτι που θα αλλάξει το λιθάριθμο που υπάρχει. Θα πρέπει να το βγάλω αλλά η απειρία παραμείνει εκεί. Δηλαδή αυτά που βγάζουμε είναι σχετικά πολύ λίγα σε σύγκριση με το όλο παιχνίδι που βγάζετε. Θέλει κάποιος να σταθεί στην κομπίνα του κάτω. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι. Ναι.