Διάλεξη 10 / Διάλεξη 10 / Διάλεξη 10 - Βλάχος Λουκάς (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Διάλεξη 10: Υπόσχεσαι, κλείσου με το σημερινό μας μάθημα με μερικές εφαρμογές από την αναλυτική γεωμετρία. Ενώ στην επιφάνεια το κάθετο διάνυσμα στο εφαπτόμενο είναι η κλείση, θέλω να σας ρωτήσω κάτι άλλο. Σε μία καμπύλη στο χώρο, η οποία περιγράφεται, πώς περιγράφω μία καμπύλη στο χώρο, με ένα το διάνυσμα ρο. Το διάνυσμα ρο που περιγράφει την καμπύλη είναι χι έψιλον χι, συν ψι έψιλον ψι, συν ζετ έψιλον ζετ. Φυσικά τα χι είναι συναρτήσεις του ταφ, το ψι είναι παραμετρικά ορίζονται δηλαδή και ζετ είναι συναρτήσεις του ταφ. Άρα αυτή η καμπύλη στο χώρο ορίζεται σαν ρ του ταφ, χ του ταφ, έψιλον χι, συν ψι του ταφ, έψιλον ψι, συν ζετ του ταφ, έψιλον ζετ. Ωραία. Αν γράψω την καμπύλη στο χώρο με αυτό το διάνυσμα γνωρίζω μια ιδιαίτερη διεύθυνση για αυτή την καμπύλη. Γνωρίζω κάτι ιδιαίτερο για αυτή την καμπύλη, ένα ιδιαίτερο διάνυσμα για αυτή την καμπύλη. Ξέρετε κάποιο ιδιαίτερο διάνυσμα αυτής της καμπύλης που μπορεί να ορίσω. Όπως η κλήση μου έδωσε το κάθετο στην εφαπτόμενο, αυτή τη δίνει. Τι μπορώ να βγάλω, μπορώ να βγάλω κάποια ιδιαίτερη διεύθυνση από αυτό το ρο. Με το δεάρ προς δε τέ τι βγάζω, το δεάρ προς δε τέ τι ορίζει, ποιο διάνυσμα ορίζει και ποια διεύθυνση. Το κάθετο. Το κάθετο ή το εφαπτόμενο. Το εφαπτόμενο. Άρα λοιπόν στο σημείο μη μηδέν, το δεάρ δε τέ στο σημείο αυτό το μη μηδέν, αν το πάρω στο σημείο μη μηδέν, αυτό το διάνυσμα είναι γνωστό μου. Εάν θέλω τώρα να βγάλω σε αυτή την καμπύλη, να βρω την εξίσωση ενός επιπέδου, το οποίο κόβει την καμπύλη αυτή κάθετα. Δηλαδή θέλω να φτιάξω ένα επίπεδο, να το ένα επίπεδο, το οποίο να είναι κάθετο σε αυτήν εδώ την εφαπτομένη. Άρα τι σημαίνει, ότι αν πάρω εδώ πέρα όπως έκανα στο άλλο σχήμα, αν πάρω ένα τυχαίο σημείο απάνω στο επίπεδο που το ονομάσω ρο και αυτό το ονομάσω ρο μη δέν. Αυτό το ρο μη ρο μη δέν είναι αυτό το διάνυσμα, αυτά τα δύο είναι κάθετα μεταξύ τους. Μπορείτε να μου βρείτε την εξίσωση του επιπέδου, ζητάω την εξίσωση του επιπέδου, που είναι κάθετο σε μια γνωστή μου καμπύλη, που είναι η ρο. Πώς θα την κάνω. Έχοντας ορίσει αυτό το διάνυσμα, το οποίο είναι αυτό, τούτο δω, το εσωτερικό γινόμενο αυτό το δύο με τι θα είναι ίσο. Μη δέν. Άρα αν πολλαπλασιάσω εσωτερικά το ρο μη ρο μη δέν, αυτό θα είναι ίσο με το μη δέν. Μια καμπύλη στο χώρο ορίζεται με το ρο ταφ, σωστά. Το εφαπτόμενο σε κάποιο σημείο με μη δέν είναι το τε ρόντε τε στο σημείο μη μη δέν. Πάρα πολύ ωραία. Άρα εγώ τι σας έχω δώσει, σας έχω δώσει την καμπύλη, δηλαδή σας έχω δώσει το ρο που είναι χ του τέψι του τέζε του τές, αυτά σας θα έχω δώσει. Και ζητάω να μου βρείτε το επίπεδο στο σημείο μη μη δέν, ένα ένα ένα, δηλαδή αυτή η άσκηση και ζητάω αυτό το επίπεδο. Ποια είναι η εξίσουση αυτού του επίπεδου. Παίρνω λέω ένα τυχαίο σημείο μη απάνω στο επίπεδο και αυτό έχει διανισμα θέσης ρο μη δέν και αυτό έχει διανισμα θέσης ρο. Το ρο μη ρο μη δέν είναι αυτό το διανισμα. Αφού είναι απάνω στο κάθετο επίπεδο, είναι κάθετο στην εφαπτομένη. Άρα αυτά τα δύο διανισμάτα μεταξύ τους δίνουν μη δέν. Άρα αν αναπτύξω αυτό θα μου δώσει. ΔΧΔΤ ΧΜΙΩΝ ΧΜΙΔΕΝ ΣΙΝ ΔΕΠΣΙ ΔΕΤ ΨΙΜΙΩΝ ΨΙΜΙΔΕΝ ΣΙΝ ΔΖΕΝ ΔΕΤ ΖΕΤ ΜΙΩΝ ΖΕΤ ΜΙΔΕΝ. Τα σημεία αυτά θα είναι στο σημείο ΜΙΜΙΔΕΝ ΜΙΜΙΔΕΝ ΜΙΜΙΔΕΝ. Άρα αν εγώ δώσω σαν παράδειγμα το ρο τάφ που είναι τρία τάφ τετράγωνο. ΕΠΣΙΛΟΝ ΧΙ ΣΙΝ ΠΕΝΔΕ ΤΑΦ ΣΙΝ ΤΕΣΕΡΑ ΤΑΦ ΣΙΝ ΠΕΝΔΕ ΤΑΦ ΣΙΝ ΠΕΝΔΕ ΕΠΣΙΛΟΝ ΨΙ ΣΙΝ ΤΑΦ ΤΡΙΤΗΣ ΕΠΣΙΛΟΝ ΖΕΝ. Να λοιπόν μια συγκεκριμένη καμπύλη στο χώρο. Αλλάζοντας το τάφ τη ζωγραφίζω. Συμφωνείτε ότι αυτή είναι μια καμπύλη στο χώρο. Εάν λοιπόν στο σημείο ΤΑΦΙΣΟΝΕΝΑ θέλω να βρω το κάθετο στο σημείο ΤΑΦΙΣΟΝΕΝΑ στο σημείο δηλαδή που προσδίδει από το ΤΑΦΙΣΟΝΕΝΑ τη τάφ χρονική στιγμή ΤΑΦΙΣΟΝΕΝΑ θέλω να βρω την κάθετη επιφάνεια σε εκείνον το σημείο θα πάρω την παράγω αυτούν του πράγματος δε ρο δε τε στο σημείο ΤΑΦΙΣΟΝΕΝΑ και θα βρω ένα διάνισμα θα το πολλαπλασιάσω εσωτερικά με το χιμιον χιμιδέν και θα βγάλω το κάθετο επίπεδο στην καμπύλη στο σημείο ΤΑΦΙΣΟΝΕΝΑ Καθαρές πράξεις? Άρα με τη ΜΕΝ κλήση προσδιορίσαμε το εφαπτόμενο επίπεδο σε μια επιφάνεια με τη ΜΕΝ παράγω του δε ρο σε μια καμπύλη προσδιορίσαμε και αυτό το επίπεδο και το Άρ το δε ρο δε τε και το Άρ με το Άρ μηδέν είναι το ίδιο διάνισμα Όχι, όχι, έχεις δίκιο και ευχαριστώ πολύ που το είπες αυτό έπρεπε να το ορίσω αλλιώς έπρεπε να το ορίσω ένα ΤΑΦΙ διάνισμα και αυτά εδώ πέρα είναι μια χαρά αρκεί να είναι αυτά τα χίπια που ορίζονται στο ΤΑΦΙ τώρα είναι σωστό Λοιπόν ο συνάδελφός σας πολύ σωστά παρατήρησε ότι αυτό το Άρ που είναι αυτό εδώ δεν είναι το ίδιο με αυτό που περιγράφει γι'αυτό έπρεπε να κάνω αυτή τη διευκρινήση δεν υπάρχει πρόβλημα όταν κάνω την ανάλυση και χωρίς αυτό το διάνισμα το ΤΑΦΙ εδώ πέρα είναι αυτό που ορίζει την καμπύλη έτσι, οπότε η παράγωγος αυτού του διάνισματος θα σου δώσει εσωτερικά με εκείνο θα σου δώσει το σημείο αυτό που μας ενδιαφέρει πεςτε μου θα είναι τρία, το ΧΜΙΔΕΝ θα είναι τρία εδώ θα είναι πέντε συν πέντε δέκα και εδώ θα είναι ένα εντάξει άρα λοιπόν εδώ αυτό θα είναι, ας δούμε στο δικό μας παράδειγμα αυτά θα είναι όλα τα ΧΜΙΔΕΝ, ΣΙΜΙΔΕΝ, ΣΙΤΜΙΔΕΝ θα βγαίνουν από αυτό το τρόπο που είπα και οι παράγωγοι πρέπει να κάνουν την παράγωγή να βρω τα καινούργια και να βάλω αυτούς τους συντελεστές δηλαδή αν μου ζητήσετε, θα πρέπει να πάρω εδώ την παράγωγοντε ρο ας την βάλω τάφ λοιπόν για να είμαστε συμβατοί το τέ τάφ δέ τέ αυτό θα μου δώσει έξι τάφ εΧ συν πέντε εΨΠ συν τρία τάφ τετράγωνο εΨΖ άρα εδώ πέρα οι παράγωγοι θα έχουν τρία εΧ συν πέντε εΨΠ συν τρία εΨΖ αυτά είναι αυτοί οι συντελεστές εδώ αυτός, αυτός και αυτός είναι τρία άρα στο δικό μας παράδειγμα εδώ για να τελειώσουμε αυτή την πράξη θα γράφαμε τρία επί χί μίον το χι μηδέν είναι πάλι τρία λάθος έκανα έξι είναι εδώ αυτό είναι έξι έξι χί μίον τρία προσέξτε να κάνω λάθος το χι μηδέν γένει από εκεί και το χι μηδέν είναι τρία η παράγωγος μου βγάζει ένα έξι εδώ και μετά αφήσω μονάδα είναι έξι συν θα έχει εδώ πέρα πέντε αυτό εδώ πέρα στο σημείο αυτό είναι δέκα επί δέκα μίον ψ ψ μίον δέκα συν στο τελευταίο θα έχει συντελεστεία πέξω τρία επί μονάδα άρα ζ μίον ένα ίσο με το μηδέν, να λοιπόν το επίπεδο που ψάχνω εντάξει συμφωνείτε με αυτό θέλω σε αυτήν εδώ την επιφάνεια να βρω την εξίσουση της καμπύλης η οποία θα είναι κάθετη στο εφαπτόμενο επίπεδο ή κάθετη στην επιφάνεια έτσι το λέμε θέλω την εξίσουση της καμπύλης έρχεται μια καμπύλη στο χώρο η οποία προσγειώνεται κάθετα απάνω στην επιφάνεια και τώρα το εφαπτόμενο διάνυσμα στην καμπύλη με το διάνυσμα της κλήσης τι θα είναι μεταξύ τους πως θα τα υπολογίσω αυτά λέω ότι έχω το εφαπτόμενο διάνυσμα σε αυτή την καμπύλη το οποίο το βρίσκω με το ντερό ντε τέ έτσι δεν είναι αυτό είναι το εφαπτόμενο πάντα το διάνυσμα το εφαπτόμενο είναι το ντερό ντε τέ με το διάνυσμα της κλήσης τι είναι μεταξύ τους είναι παράλληλα το εξωτερικό λοιπόν για αυτή την καμπύλη όλο που χρειάζομαι είναι να υπολογίσω το ντερό ντε τέ στο σημείο μη μηδέν με την κλήση στο σημείο εξωτερικός και αυτό πρέπει να είναι ίσο με το μηδέν λοιπόν για να βρω αυτή την καμπύλη και το ίδιο μπορώ να κάνω και για την καμπύλη η οποία έρχεται εφαπτόμενα σε αυτήν εδώ πάλι το εξωτερικό γινόμενο θα είναι μηδέν άρα δηλαδή χρησιμοποιώ τα κάθετα διανύσματα για να υπολογίσω με το εξωτερικό γινόμενο τα παράλληλα διανύσματα με το εξωτερικό γινόμενο όχι εδώ δεν έπρεπε να βάλω εδώ έχω κάνει ένα μικρό λαθάκι εγώ συγγνώμη να το διορθώσω να το κάνουμε σωστά εκείνο ήταν λάθος έχω λοιπόν την επιφάνεια έχω ένα σημείο μη μη δέν έχω την κλίση που είναι το κάθετο και έρχεται η καμπύλη μου και είναι αυτή εδώ η οποία προσγειώνεται κάθετα άρα εγώ τι θα πάρω θα πάρω δύο σημεία ένα σημείο πάνω στην καμπύλη το ρο και ένα σημείο το σημείο μη μη δέν το ρο μη δέν αυτό το διανύσμα ρο μήον ρο μη δέν εξωτερικώς με την κλίση αυτό θα είναι ίσο με το μη δέν δεν έκανα λάθος στο ότι χρησιμοποίησα την παράγωγο και για αυτό πρέπει να το διορθώσουμε λοιπόν αυτό είναι ίσο με το μη δέν γιατί έχω πάρει ένα διανύσμα πάνω στην καμπύλη αυτό είναι το ρο μήον ρο μη δέν και αυτό εξωτερικώς με την κλίση επειδή είναι παράγειλα μεταξύ τους είναι ίσο με το μη δέν και από εδώ βγαίνει η εξίσουση της καμπύλης η οποία προσγειώνεται απάνω στην επιφάνεια κάθετα ολόκληρη λοιπόν αυτό βγαίνει αν το κάνετε της πράξης χ-χ0 με την κλίση θφθχ ίσον με το μη μη δέν ίσον με το ψ-ψ0 θφθψ στο μη μη δέν ίσον με το ψ-ψ0 θφθζ μη μη δέν αυτή είναι η καμπύλη που προσγειώνεται κάθετα στην επιφάνεια F στο σημείο μη μη δέν οικογένεια από καμπύλες σαφώς γιατί μπορεί να έρθουν πολλές καμπύλες από διάφορα σημεία και να προσγειώνεται κάθετα είναι οικογένεια από καμπύλες όπως είπε ο συναδερφός σας να φτιάξουμε ένα προβληματάκι και να μου πείτε πως θα το λύσετε για την άλλη τρίτη το δεύτερο που έχουμε, το πρώτο ποιο ήταν, είχαμε αφήσει καινό είχαμε αφήσει τη μετατροπή του διανυσματικού ταλισθή σε κυλινδρικές και σφαιρικές τεταγμένες αυτό είναι ένα θέμα το οποίο σας το έχω αφήσει να το κοιτάξετε το δεύτερο που θα σας ρωτήσω είναι το εξής, φανταστείτε ότι έχουμε δύο επιφάνειες, την F ίσον με 0 και την G ίσον με 0, δύο επιφάνειες στον χώρο και τέμνονται, έχω λοιπόν δύο επιφάνειες την F ίσον με 0 και την G ίσον με 0 οι επιφάνειες ορίζονται έτσι παιδιά F,X,C,Z ίσομαι με το 0 και το G,X,C,Z ίσομαι με το 0, δύο επιφάνειες στον χώρο αυτές τις ζωγραφίζω εγώ, να τις, να η μία και ας υποθέσουμε ότι τέμνονται και σχηματίζουν και μία καμπύλη εδώ πέρα αυτή είναι η F και αυτή η G μπορώ να πάρω ένα σημείο εδώ πέρα, που να το ονομάσω μη μη 0, που είναι στην τομία πάνω και θέλω, όταν λέω ότι αυτές οι δύο επιφάνειες σχηματίζουν μία γωνία όπως τέμνονται, σχηματίζουν όπως βλέπετε σχηματίζουν μία γωνία η γωνία βέβαια ορίζεται, αν πάρω την εφαπτωμένη στην G ένα επίπεδο εφαπτόμενο στην G και ένα επίπεδο εφαπτόμενο στην F να μην το ζωγραφίσω και κάνω πολλά πράγματα αυτά τα δύο επίπεδα, τέμνονται και θηματίζουν μία γωνία αν πάρω ένα επίπεδο στην F, στο σημείο μη μη 0 και ένα επίπεδο στην G αυτά τα δύο εφαπτόμενα επίπεδα, το ένα και το άλλο δεν τέμνονται σε μία γωνία απάνω σε εκείνο το σημείο και δημιουργούν αυτή η γωνία τους, δημιουργείται μία εφαπτομένη που είναι η τομή των εφαπτόμενων επιπέδων στο G και στο F το καταλάβατε τι είπα φανταστείτε δύο επιφάνειες στο χώρο, οι οποίες τέμνονται και θηματίζουν μία καμπύλη παίρνω ένα σημείο απάνω στην καμπύλη και λέω ότι σε αυτό το σημείο μπορώ να θεωρήσω εφαπτόμενο επίπεδο στην F και εφαπτόμενο επίπεδο στην G τα εφαπτόμενα επίπεδα τέμνονται και δημιουργούν μία ευθεία, οι οποίοι είναι εφαπτόμενοι στην καμπύλη που σχηματίζουν οι τομές τους ποιο είναι το ερώτημά μου εάν έψαχνα να βρω την γωνία που σχηματίζουν τα εφαπτόμενα επίπεδα πως θα μπορούσα να τη βρω, δεν θέλω να κάνετε πράξεις μόνο την ιδέα θέλω να μου πείτε τη γωνία που σχηματίζουν τα εφαπτόμενα επίπεδα στις δύο επιφάνειες F και G δηλαδή παίρνεις την επιφάνεια G και φέρνεις το εφαπτόμενο επίπεδο στο μη μη 0 αυτό είναι ένα στο χώρο παίρνεις την επιφάνεια F και φέρνεις τον εφαπτόμενο επίπεδο στο μη μη 0 πάλι αφού είναι κοινό σημείο αυτό άρα αυτά τα δύο επίπεδα είναι δύο επίπεδα τα οποία τέμνονται και δημιουργούν μία γωνία μεταξύ τους πως θα τη βρω αυτή τη γωνία, μπορώ να τη βρω και πως εύκολο είναι να τη βρω αυτή τη γωνία Ανάδελτα της F είναι κάθετος στην επιφάνεια και βρίσκεται στη G θα πάρουν το ευθερικό τσινόμι Τέλειο, αυτό ήταν η συνάδελφός σας λοιπόν είπε ότι αυτό εδώ πέρα της G είναι κάθετος στη G εσωτερικά με το ανάδελτα της F είναι κάθετος στη G εσωτερικά με το ανάδελτα της F πίσω με το μη 0 η γωνία που θα σχηματίσει αυτό θα σχηματίσει το εσωτερικό γινόμενο θα μας δώσει τα μέτρα της F επί το μέτρο της G όλα αυτά στο σημείο μη 0 επί το συνειμήτωνο της γωνίας θ αυτή η γωνία θ θα φέρουν τα μέτρα από κάτω και αυτή η γωνία θ βρέθηκε εντάξει, λοιπόν να περάσετε καλά την πρωτομαγία έχω βαρεθεί να σας λέω να περάσετε καλά κάποτε να διαβάσετε και καλά εντάξει και τα λέμε την ερχόμενη Τρίτη