2.2 Πυθαγόρας ,Πλατωνικά Στερεά , άρρητα μεγέθη , Παράδοξα του Ζήνωνα / Ενότητα 2 , #2 , 12/03/14 - Χαραλάμπους Χαρά (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Ενότητα 2 , #2 , 12/03/14: Είχαμε σταματήσει την προηγούμενη φορά μιλώντας για κάποια από τα πράγματα που αποδίδονται στον Πυθαγόρα και στους Πυθαγόριους. Έτσι είχαμε πει ότι γι' αυτούς τα μαθηματικά ήταν οι αριθμοί μάλλον αποτελούσαν τη βάση του κόσμου. Και το μότο είναι ότι το παν είναι αριθμός. Με τους Πυθαγόριους συνδέονται αυτά εδώ τα πλατωνικά στερεά. Τα πλατωνικά στερεά βέβαια έχουν στο όνομά τους, είναι στερεά που αποδίδονται στον Πλάτωνα παρόλο που γίνεται μνία και στους Πυθαγορίους. Για να εξηγήσω τι εννοούμε με αυτά. Το βλέπετε από την εικόνα. Έτσι έχω βάλει εδώ τρία στερεά. Παρατηρούμε λοιπόν τα σχήματα που έχω βάλει επάνω κάποια από τα πλατωνικά στερεά. Γιατί λέγονται πλατωνικά στερεά, τι παρατηρούμε. Έτσι είναι πολυέδρα. Κανονικά πολύγουνα οι έδρες τους. Το πρώτο στο τετράδρο έχουμε τριγωνά, κανονικά τριγωνά. Το ενδιαφέρον είναι ότι σε κάθε κορυφή συναντιούνται ο ίδιος αριθμός όψων. Σε κάθε κορυφή στο τετράδρο έχουμε τρία τριγωνά τα οποία συναντιούνται. Αυτό έχει το νόημα τρία και τρία. Τρίγωνο και σε κάθε κορυφή τρία τρίγωνα συναντιούνται. Τρεις έδρες. Αν πάμε στον κύβο, σε κάθε κορυφή συναντιούνται τέσσερις έδρες. Συναντιούνται τρεις έδρες. Και η πλευρά είναι το τετράγωνο, το κανονικό πολύγουνο με τέσσερις πλευρές. Το κύβος λοιπόν έχει το τέσσερα τρία. Το δωδεκάειδρο πάλι οτελείται από πεντάγωνα. Κάθε όψη είναι πεντάγωνα. Και σε κάθε κορυφή πάλι συναντιούνται τρεις ακριβώς έδρες. Πόσες έδρες έχει το καθένα το όνομα του στερεού προκύπτει από τον αριθμό των εδρών. Τετράεδρο τέσσερις ο κύβος εξάεδρο, ή κύβος έτσι όπως το έχουμε συνηθίσει, το δεκάεδρο έξι δώδεκα. Συμετράμε. Μία μπρος, μία πίσω, οι πλευρές κλπ. Οι Πυθαγόροι γιατί γίνεται μία από τις ιστορικές πηγές που είδαμε φαίνεται να είχαν γνώση για κάποια από αυτά τα κανονικά στερεά. Κάποια από αυτά τα κανονικά πολυέδρα. Τα πλατωνικά στερεά. Το όνομα ήρθε από τον Πλάτων ο οποίος ήταν μεταγενέστηρος. Και ήρθε γιατί τα αναφέρει ο Πλάτων στον Τημαίου, έτσι στο έργο Τημαίος. Αναφέρει και κάνει ένα διάλογο για πλατωνικά στερεά και μάλιστα στα στερεά αυτά αντιστοιχεί αποδίδει κάτι. Έτσι σε κάποια αποδίδει τη γη, σε κάποια αποδίδει τον αέρα, τον νερό, αν θέλετε μπορείτε να τα φανταστείτε. Αλλά η ερώτηση που έχω βάλει και που είναι ακόμη εκεί, είναι αν υπάρχουν άλλα κανονικά πολυέδρα. Και ποια πολυέδρα αν μπορείτε να φανταστείτε κάποιο άλλο πολυέδρο. Έτσι αυτά που έχω βάλει εγώ είναι σχετικά απλά, το τετράεδρο, ο κύβος, το δωδεκάεδρο. Η απάντηση είναι στην επόμενη διαφάνεια. Έτσι προσπαθήστε όμως να φανταστείτε από τις γνώσεις γεωμετρίας που έχετε, αν υπάρχει κάτι άλλο. Ή πως θα μπορούσε κανείς να το δει. Έτσι θέλουμε κανονικά πολύγονα να τα βάλουμε μαζί. Κάθε έδρα πρέπει να είναι το ίδιο. Θέλουμε να τις μαζέψουμε μαζί, έτσι ώστε σε κάθε κορυφή να συναντιούνται, σε όλες τις κορυφές να συναντύεται ο ίδιος αριθμός. Υπάρχουν σχέσεις ανάμεσα στις σχονίες που σχηματίζονται, υπάρχουν κάποιοι περιορισμοί εκεί. Υπάρχουν άλλα δύο πολύεδρα και αυτά τα βρήκε ο Φαίτητος της εποχής του Πλάτωνα. Έτσι και αυτά είναι στην επόμενη διαφάνεια. Είναι το οκτάεδρο και είναι και το οικοσάεδρο. Και αυτό που είναι έτσι εντυπωσιακό, αν θέλετε, είναι ότι αυτά τα στερεά τα οποία έχω σε αυτήν εδώ τη διαφάνεια, και τα δύο και το οκτάεδρο και το οικοσάεδρο, οι έδρες τους είναι τρίγωνα, κανονικά τρίγωνα. Όπως και το τετράεδρο στην αρχή. Αλλά και αυτά εδώ αποτελούνται από τρίγων. Και μάλιστα τα στερεά που υποτίθεται ότι ξέραν οι Πυθαγόροι πέρα από τον Νοκίβο, ο οποίος είναι ο Πασικός, είναι αυτά τα οποία είχαν να κάνουν αυτά εδώ με κάποια, νομίζω με το οκτάεδρο. Το οκτάεδρο είχαν γνώσει γι' αυτό. Δεν έχει τόσο σημασία όσο μετά να ξαναπατήσουμε στην άλλη την ερώτηση. Υπάρχουν άλλα. Και ο Ευκλήδης, στο βιβλίο στα στοιχεία, στο 13ο βιβλίο, σε μια πρόταση που η απόδειξή της αποδίδεται στο θέτο, που όπως είπα βρήκε τα υπόλοιπα, λέει όχι δεν υπάρχουν άλλα, το αποδεικνύει πλήρως. Είναι από τα τελευταία βιβλία του Ευκλήδη, είναι από τα τελευταία βιβλία στο στοιχεία του Ευκλήδη, αυτή εδώ η πρόταση που το βιβλίο αυτό ασχολείται με τα στερεά. Έχουμε πάει λοιπόν και στην γεωμετρία στα στερεά. Υπάρχει μια ένδειξη από αυτούς τους πυθαγορίους. Έχω βάλει άλλα δύο σχήματα εδώ πέρα. Να ξεκινήσω από αυτό που είναι στα αριστερά, την τετρακτής. Βλέπετε ότι και το σχήμα της τρίγωνα έχουμε εκεί πέρα. Ήταν από τα μαγικά σχήματα των πυθαγορίων, ορκίζονταν σε αυτήν. Θεωρούσαν ότι αυτό εδώ αναπαριστά το σύμβαντο, γιατί δουλεύουν τα πράγματα, είναι η μαγική αριθμία, ήταν ένα σημαντικό σύμβολο. Αποτελείται από το ένα, το δύο, βλέπετε τα βοτσαλάκια, οι τελείες εκεί, τους αριθμούς, ένα, δύο, τρία και τέσσερα που αθρίζουν και μας δίνουν το δέκα. Και αν δείτε μέσα σε αυτό, ένας λόγος για το οποίο το θεωρούσε ότι είναι σημαντικό, είναι ότι εδώ πέρα αποικονίζονται όλες οι διαστάσεις του σύμπαντος. Έχουμε την γενήτωρα διάσταση, τη διάσταση 0, που είναι το σημείο. Έχουμε την ευθεία, που έχει τη διάσταση 1, διάσταση 2, διάσταση 3. Γιατί στον κόσμο που ζούμε, μπορούμε να φανταστούμε αυτές τις τρεις διαστάσεις. Η φυσική βέβαια μιλάει για τη θεωρία χορδών, string theory, μιλάει για πολύ περισσότερες διαστάσεις, πλεγμένες σημείες μέσα στην άλλη, αλλά αυτές είναι οι τρεις διαστάσεις εκείνης εποχής και το μαγικό σχήμα. Από δίπλα είναι το πεντάγραμμο, κανονικό πεντάγωνο. Αν πάρω και φτιάξω τις διαγωνίους και δω στα σημεία στα οποία τέμνονται, παρατηρούμε ότι έχουν μια σημαντική ιδιότητα, έχουμε τη χρυσή τομή να εμφανίζεται εδώ. Αν πάρουμε α το μήκος ολόκληρης της διαγωνίου και αν πάρουμε χ το μεγαλύτερο τμήμα της διαγωνίου, τότε το α με το χ σηματίζουν ένα λόγο. Έτσι έχω πάρει το α προς χ. Αυτό που μπορεί κανείς να δείξει με απλή γεωμετρία, χρησιμοποιώντας τα τρίγωνα που εμφανίζονται εδώ πέρα και τις γωνίες, είναι ότι ο λόγος α προς χ, το μήκος ολόκληρης της διαγωνίου ως προς χ, το σημείο στο οποίο τέμνεται, βγαίνουν να είναι ίσο με τον λόγο του χ, του μεγαλύτερου τμήματος της τομής, αυτήν την τομή, ως προς το μικρότερο, το α μοιών χ. Και μάλιστα μπορεί, αν ονομάσει κανείς φ, αυτόν εδώ το λόγο, το α προς χ, τότε μπορεί να λύσει ως προς το φ και να βρει και την τιμή του φ. Η χρυσή τομή, αυτός εδώ αριθμός, εμφανίζεται σε πολλά σχήματα, εμφανίζεται και στη φύση, έτσι έχει συνδέσεις με φιμπονάτσια, υπάρχουν μελέτσεις και μελεττίες πάνω σε αυτό, στο πώς έχει φτιαχτεί ο Παρθενώνας, πάρα πολλά πράγματα εδώ πέρα. Και αυτό είναι κάτι το οποίο μπορεί κανείς να αποδείξει ότι το φ είναι ίσο με το τάξιο τρόπος που το αποδεικνύει, φαίνεται, παίρνεις το α προς χ, αποδίπλα έχεις ότι αυτό είναι ίσο με το χ ως προς το α-χ, αν διαρρέσεις με το χ και τα δύο μέρη, βγάζεις ότι το φ είναι ίσο με το 1 προς φ-1, αν στο λόγο λοιπόν διαρρέσεις στο δεύτερο από τα αριστερά, διαρρέσεις με το χ, παίρνεις 1 προς φ-1 και λύνοντας βγάζεις ακριβώς αυτήν εδώ τη τιμή για το φ, ο οποίος είναι μύριτος αριθμός και ήταν ένας αριθμός τον οποίον τον αναγνωρίζαν και εμφανίζεται σε πολλά σημεία, υποτίθεται δίνει τη συμμετρία. Αυτό που λέγαμε λοιπόν χτες είναι ότι σύμφωνα ότι οι αριθμοί περιγράφουν τα πάντα, αριθμοί, πώς βλέπεις τους αριθμούς, και μετά με αυτό χτίζεις όλα τα υπόλοιπα και αυτό που προσπαθούσα να εξηγήσω χτες είναι ότι στην φιλοσοφία τους κάθε τι μπορεί να μετρηθεί, τι σημαίνει να μπορεί να μετρηθεί, σημαίνει ότι αν έχω δύο ποσότητες μπορώ να τις συγκρίνω και ότι υπάρχει μια κοιμή μονάδα μέτρησης, έτσι αν πάρω το α και το β τότε θα υπάρχει το σε έτσι ώστε το α και το β να είναι και τα δύο ακέρια πολλαπλάσια του σε. Το α λοιπόν θα είναι ένα πολλαπλάσιο του σε έστω εμ, το β θα είναι ένα άλλο πολλαπλάσιο του σε έστω εν και αυτό σημαίνει στην οσία ότι αν πάρω το α προς β αν κάνω αυτόν εδώ το λόγο θα πάρω το εν προς ελ και ο α προς β είναι ρητός. Αν όλοι λοιπόν οι αριθμοί μπορούν να συγκριθούν, να μετρηθούν, έχουν κάτι κοινό και μπορώ να τους μετρήσω τότε ό,τι προκύψει ως λόγος θα είναι ρητός. Και πολύ απλά αν θέλετε βάζετε κάτω από το β τη μονάδα και αυτό σημαίνει ότι όλοι οι αριθμοί κατά συνέπεια μιας και όλοι οι λόγοι είναι ρητοί και όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν θα είναι ρητοί, ρητοί με τη σύγχρονη εγμηνία μας. Αν μπορεί κάτι να μετρηθεί αυτό σημαίνει ότι σύμφωνα με αυτά που λέμε τώρα όλοι οι αριθμοί είναι ρητοί. Και όπως είπα ήταν σοκτου η έβρεση του ότι υπήρχαν αρίτι και από το έργο του Αριστοτέλη αυτό είναι μια γνώση η οποία αποδίδεται στους Πυθαγορίους. Και εκείνο το οποίο αποδίδεται στους Πυθαγορίους είναι ότι αν έχεις ένα τετράγωνο η ακμή και η διαγώνιος του τετραγώνου δεν μπορούν να μετρηθούν έτσι όπως το λέγαμε προηγουμένως δεν μπορούν να συγκρίτσουν. Δεν υπάρχει ακέραιο πολλαπλάσιο κάποιας μονάδας η οποία να μας δώσει την ακμή και κάποιο άλλο ακέραιο πολλαπλάσιο να μας δώσει τη διαγώνιω. Και μάλιστα στο έργο του Αριστοτέλη υπάρχει αυτό το οποίο λέει ότι αν μπορούσαμε να το δείξουμε αυτό τότε θα προέκυπτε ότι θα μπορούσαμε να δείξουμε ότι όλοι οι περητή αριθμοί είναι ίσοι με τους άρτιος αριθμός. Θα κατελήγουμε σε ένα τέτοιο άτοπο που θα μας επέτρεπε να δείξουμε ότι όλοι οι περητή αριθμοί είναι ίσοι με τους άρτιος. Αν θέλετε μπορείτε να σκεφτείτε τι να ήθελε να πει ο Αριστοτέλης ο ποιητής σχετικά με αυτό. Τι σημαίνει ότι όλοι οι περητή αριθμοί είναι ίσοι με τους άρτιος και από πώς θα προέκυπτε, πώς θα προσπαθούσετε να το δείξετε αυτό. Να θυμίσω όμως στην απόδειξη, τη συνήθεια απόδειξη που δίνουμε, πολύ σύντομα εδώ, γιατί θέλω να την αναλύσουμε την απόδειξη που αποδίδουμε, να την δούμε σε παραλία με την απόδειξη ότι η ακμή και η διαγώνιος δεν μπορούν να συγκριθούν. Πώς δείχνει κανείς ότι αν πάρει ένα τετράγωνο που έχει ακμή 1, τότε η διαγώνιος που έχει μήκος ρύζα 2, έτσι όπως το ξέρουμε, έχει ρύζα 2. Αυτό εδώ δεν είναι ρητός, λέμε εντάξει παίρνουμε το ρύζα 2, ρύζα 2 προς 1, το γράφουμε ως ρητό αριθμό, θα καταλήξουμε σε άτομο. Το γράφουμε ως ρητό αριθμό 1 προς 1, εμείς σήμερα θα λέγαμε σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής, που λέει ότι ο τρόπος για να γράψεις έναν ακέραιο με πρώτους παράγοντες, σε δυνάμεις, είναι στην ουσία μοναδικός, πέρα από ότι μπορείς να αναδιατάξεις, έτσι. Σύμφωνα λοιπόν με αυτό, μπορείς να το γράψεις με τέτοιο τρόπο, έτσι ώστε ο αριθμητής και ο παρανομαστής, να έχεις ακυρώσει όλους τους κοινούς παράγοντες και μένει με ένα 1 προς 1, που μέγιστος κοινός διαίρετης να είναι μονάδα. Υψώνεις το τετράγωνο, 2ν τετράγωνο είναι ίσον με το μ τετράγωνο και αυτό σημαίνει το 2 διαιρεί το μ τετράγωνο. Αυτό σημαίνει ότι το μ είναι άρτιος και κατά συνέπεια καταλήγεις το 4 διαιρεί το μ τετράγωνο, το οποίο σημαίνει από την πρώτη σχέση ότι και το 1 τετράγωνο θα είναι άρτιος, αλλά ξέρουμε ότι μπορείς να έχεις έναν άρτιο μόνο, ένα άρτιο τετράγωνο μόνο, να έχεις ξεκινήσει από έναν άρτιο. Και έτσι βγάζεις το άτοπο γιατί στην αρχή υπεθέσαμε ότι ο μέγιστος κοινός διαίρετης των M και N είναι η μονάδα. Κλασική απόδειξη, για να τη δούμε τώρα και να εξηγήσω αυτή είναι η απόδειξη που βρίσκεται στην ουσία, αυτό το οποίο βρίσκεται στον επικλήδι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι η διαγώνιος που είναι στο σχήμα μας το bi, μιλάμε λοιπόν για το εσωτερικό τετράγωνο, είμαστε στο εσωτερικό τετράγωνο, έχουμε ένα εξωτερικό τετράγωνο και ένα εσωτερικό, σκεφτόμαστε το bi ως τη διαγώνιο, είναι η διαγώνιος και θέλουμε να δείξουμε ότι το bi διαγώνιος μαζί με την αγμή βτ, δεν έχουν κοινή μονάδα μέτρησης. Ακριβώς ότι η ρίζα του 2 προς 1 δεν είναι ρητός αριθμός. Αυτό το κομμάτι λοιπόν είναι ότι η ρίζα 2 προς 1 δεν είναι ρητός, θέλουμε να υποθέσουμε ότι το βδ, το μήκος σαχνιστου τετραγώνου είναι μονάδα. Στην κλασική απόδειξη το γράφουμε, έτσι το γράφουμε σαν ρητό αριθμό και υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει κοινός παράγοντας. Στην απόδειξη λοιπόν εδώ με το σχήμα του ευκλήδη βλέπουμε ότι λέμε έστω πώς καταλήγει σε αυτό, λέει έστω ότι το βι και το βδ είναι ακέρια πολλαπλάση μιας κοινής μονάδας, υποθέτει λοιπόν ότι είναι ίσο με το 1 προς 1, την παίρνουμε να είναι η μεγαλύτερη κοινή μονάδα σύγκρισης. Αν του δουλέψε κανείς αυτό, καταλήγει στην επόμενη πρόταση. Λέει αφού παίρνουμε αυτή η κοινή μονάδα σύγκρισης, εκείνο το σε το οποίο εμφανιζόταν το σε που εμφανιζόταν, έτσι, λέμε έστω ότι η βι, για να το γράψω εδώ για να φτάσουμε ακριβώς σε αυτό το σημείο, έστω ότι η βι είναι 1 επί σε, ενώ η ακμή που είναι το βδ είναι 1 επί σε. Αυτή είναι η κοινή μονάδα σύγκρισης, το σε. Και όταν πάρω βι προς βδ, τη διαγώνιο ως προς την ακμή, βάζω 1 προς 1. Τι έχουμε υποθέσει εδώ, ότι το σε είναι η μεγαλύτερη μονάδα σύγκρισης, δεν υπάρχει κάτι άλλο κοινό. Το οποίο εντιστοιχεί στο να λέει ότι αυτά τα εμ και εν δεν έχουνε τίποτα άλλο κοινό παρά μόνο τη μονάδα. Δεν υπάρχει κοινός όρος πέρα από τη μονάδα. Τώρα το επόμενο είναι ότι εφόσον δεν έχουνε τίποτα κοινό, δεν μπορεί να είναι και τα δύο άρτια. Δεν μπορεί το εμ να είναι άρτιο και το εν να είναι άρτιο, γιατί τότε θα είχαν κάτι παραπάνω κοινό. Άρα σημαίνει ότι τουλάχιστον ένα από τα δύο είναι απεριτό πολλαπλάσιο αυτής της κοινής μονάδας. Γιατί αν ήταν και τα δύο άρτια, τότε θα είχαμε μια άλλη κοινή μονάδα σύγκρισης, μεγαλύτερη από την αρχική. Δύο σε θα ήτανε κοινή μονάδα σύγκρισης. Από το σχήμα προκύπτει ότι το εμβαδόν του εξωτερικού τετραγώνου, το εξωτερικό τετράγωνο που φτιάξαμε, έχει πλευρά ίση με το ΒΑΙ. Αυτό το οποίο παρατηρούν και αντιστοιχεί ακριβώς στο να πολλαπλασιάσουμε με το δύο. Έχουμε ρίζα δύο ίσον εμ προς εν, δύο προς ένα ίσον με το εμ προς εν. Αν πάρουμε το τετράγωνο που αντιστοιχεί στο ΒΑΙ, δηλαδή πάρουμε το εμ τετράγωνο, θα πάρουμε το εμβαδόν του εξωτερικού τετραγώνου. Και παρατηρούν ότι είναι δύο φορές το εμβαδόν του εξωτερικού τετραγώνου. Το σχήμα είναι ξεκάθαρο, γιατί όλα τα τριγωνάκια εκεί μαζεύουν και μου δίνουν το ξανά ένα τετράγωνο. Το εμβαδόν του εξωτερικού τετραγώνου είναι δύο φορές το εμβαδόν του εξωτερικού τετραγώνου. Άρα δύο εμ τετράγωνο είναι ίση με το εμ τετράγωνο, αυτό λέει. Το εμβαδόν του εξωτερικού, το εμ τετράγωνο είναι δύο φορές το εμβαδόν του εξωτερικού τετράγωνο. Αυτό σημαίνει ότι το εμ είναι άρτιος. Επομένως το εμβαδόν, σύμφωνα με τη γεωμετρική ερμηνεία, αυτό μας λέει ότι το εμβαδόν του εξωτερικού τετραγώνου είναι άρτιος αριθμός. Και ο μόνος τρόπος για να γίνει αυτό, γιατί αυτό το έχουμε δει, είναι η ακμή να είναι άρτιος αριθμός. Το αζ, το οποίο είναι το ίδιο με το βΑ. Και συνεχίζουμε με αυτόν τον τρόπο και η αντιστοιχία βγαίνει ότι για να μπορεί αυτό να είναι άρτιο θα βγει να είναι πολλαπλάσιο του τέσσερα. Το μισό του το εμβαδόν που θέλουμε είναι άρτιος αριθμός. Αυτό αντιστοιχεί στο ότι τελικά το δύο θα διαρρέσει το εν. Και καταλήγουμε τελικά στο άτομο, γιατί υποθέσαμε ότι το σε ήταν η μέγιστη μονάδα και η μέγιστη κοινή μονάδα. Κάνει εντύπωση το ότι τα έχουμε περιγράψει όλα αυτά γεωμετρικά. Και ότι στο βιβλίο του Ευκλίδη θα δούμε ότι οι αποδείξεις δεν είναι δουλεύουν αριθμούς, δουλεύουν με σχήματα, με γεωμετρία. Προσπαθεί να δώσει όλες τις αποδείξεις ακόμα και για αυτά που τώρα τα λέμε άλυβρα με γεωμετρικό τρόπο. Ο λόγος που είναι να γίνει αυτό είναι ότι έχοντας δείξει οι Πιθαγόροι ότι υπάρχουν λόγοι οι οποίοι δεν πέφτουν, δεν σε φωνούν με την ιδέα ότι τα πάντα μπορούν να μετρηθούν. Έτσι δεν υπήρχε έννοιο του Αρίτου. Αλλά ότι υπάρχουν πράγματα τα οποία δεν μπορούν να συγκριθούν. Κατευθείαν έβγε η έμφαση από την άλυβρα και προσπάθησαν να τα στηρίξουν και με τέτοιου τρόπου αποδείξεις στην γεωμετρία. Ο άλλος λόγος τον οποίον θα δούμε είναι ότι μπλέχτηκαν και τα παράδοξα του Απείρου και της Κίνησης, τα παράδοξα του Ζήνονα, θα τα δούμε λίγο παρακάτω. Θα τα δούμε αμέσως μετά. Ο Ζήνονας έζησε περίπου λίγο σύγχρονος των Πιθαγοριών, λίγο αργότερα 490-430. Και έζησε αυτά εδώ τα παράδοξα. Θα δούμε τρία από αυτά. Θα δούμε ότι έχουν να κάνουν με το Άπειρο και με την Κίνηση. Το ένα έχει να κάνει με τη Δυχοτόμη. Επίσης τώρα που θα τα δούμε αυτά τα παράδοξα. Είδαμε εισασύπατο αποτέλεσμα που είχαν στη σκέψη των Αρχαίων Ελλήνων. Μετέφεραν το βάρος από την Άλυβρα πήγε στη Γεωμετρία και γι' αυτό καθυστέρησε να αναπτυχθούν οι Αλγυβρικοί τρόποι. Η Άλυβρα καθυστέρησε σε σχέση με τη Γεωμετρία. Και η αφυρημένη Άλυβρα καθυστέρησε και αναπτύχθηκε στο τέλος του 18ου αιώνα. Όμως σε αυτά εδώ τα παράδοξα τα οποία επηρεάσανε σημαντικά την εξέλιξη των μαθηματικών και την πορεία των μαθηματικών σήμερα έχουμε να δώσουμε μια απάντηση. Δεν είναι παράδοξα για εμάς σήμερα. Και θα ήθελα να σκεφτείτε το πώς επιλύονται αυτά. Το πρώτο παράδοξο λοιπόν το οποίο εμφανίζεται εδώ έχει να κάνει με τη Δυχοτόμηση. Το άπειρο στην ουσία. Έτσι, αν πάρεις ένα ευθύγραμμο τμήμα και το διαιρέσεις, απείρος όπως φαντάζεις ότι μπορείς να το κάνεις, απείρος διαιρετό, τότε υπάρχει οσχυρισμός ότι η κίνηση είναι αδύνατη. Έτσι, εμείς ξέρουμε ότι αν πάρουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα μπορούμε να το διαιρέσουμε πάπυρο. Κάθε φορά να διαιρούμε. Σύμφωνο όμως με το ζήνονα και γι' αυτό είναι παράδοξο αυτό θα σημαίνει ότι η κίνηση είναι αδύνατη. Γιατί είναι αδύνατη? Γιατί για να διανύσει κάποιος να κινηθεί σε αυτό το ευθύγραμμο τμήμα πρέπει πρώτα να περάσει το μισό του. Και πριν φτάσεις στο μισό του πρέπει να έχει περάσει στο μισό του μισού. Κάθε φορά πριν φτάσει εκεί που θέλεις πρέπει να περάσει από το μισό. Και κάθε φορά, αν το διαιρέσεις, έτσι να κάνεις άπειρες κινήσεις, οπότε ποτέ δεν θα μπορέσεις να φτάσεις στο σημείο που θέλεις. Γιατί μέσα σε ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα πρέπει να περάσεις από άπειρο αριθμό σημείων. Κατά το ζήνονα λοιπόν αυτό δείχνει ότι η κίνηση είναι αδύνατη. Τώρα αν αυτά μας παραξενεύουν να σκεφτούμε και τον ιδεατό κόσμο, την φιλοσοφία του Πλάτων, έτσι όλα αυτά έχουν πολύ δεμένα μαθηματικά και η φιλοσοφία, αν ο κόσμος είναι ο πραγματικός, είναι ο ιδεατός. Σύμφωνα με αυτό όμως ο ζήνονας αποδείκνει ότι δεν κινούμαστε, ότι η ιδέα ότι κινούμαστε δεν είναι αληθής. Παράδοξο. Το ένα είναι αυτό. Το επόμενο, αχιλέας και χελώνα. Γιατί ο αχιλέας δεν θα μπορέσει ποτέ να φτάσει στη χελώνα. Γιατί αν ο αχιλέας αφήσει τη χελώνα να ξεκινήσει πριν από αυτόν και να τη φτάσει ο αχιλέας, πριν τη φτάσει θα πρέπει να περάσει από το σημείο από όπου ξεκίνησε η χελώνα. Όμως μέχρι τότε η χελώνα ήδη θα έχει προχωρήσει. Και μέχρι να τη φτάσει ο αχιλέας θα πρέπει να περάσει από το σημείο που ήταν πριν έχει να προχωρήσει η χελώνα και ούτω καθεξής. Κοντά το ένα το άλλο. Τι δείχνουν αυτά. Δέχνουν ότι αν δεχτούμε τις άπειρες υποδιαιρέσεις του χώρου και του χρόνου τότε η κίνηση είναι αδύνατη. Άπειρο. Τι είναι το άπειρο. Προβλημάτησε τους μαθηματικούς, ακόμη καλά καλά δεν είχαν δεχτεί το μηδέν. Έτσι το μηδέν δεν υπήρχε καν σύμβολο για το μηδέν. Το όλο το παράδοξο πάλι με την κίνηση. Ένισε ένα βέλος. Ο τρόπος που σκεφτόντουσαν τους αριθμούς ήταν σαν διακριτές έννοιες. Αριθμός όταν μιλάμε αντιστοίχε σε αυτό το οποίο σκεφτόμαστε εμείς σαν φυσικός αριθμός. Ένα βέλος λοιπόν κινείται και ο χρόνος στον οποίο κινείται έχει να κάνει τώρα με τον χρόνο. Το προηγούμενο είχε να κάνει με τον χώρο, τώρα αυτό έχει να κάνει με τον χρόνο. Ο χρόνος στον οποίο κινείται είναι ένας αριθμός από διαδοχικές χρονικές στιγμές. Σε κάθε μία από αυτές βλέπεις το βέλος ότι είναι σε μια θέση, την επόμενη στιγμή είναι στην άλλη. Πότε κινήθηκε, πώς κινήθηκε. Το νομίζω ότι έχουμε μία ιδέα το πώς να το αντιμετωπίσουμε. Και όλα τα ζητήματα, πώς θα τα απλησιάζουμε, αν τα δεχτούμε σαν παράδοξα και αν δεχτούμε ότι έχουν μαθηματική υπόσταση. Έχουν μαθηματική υπόσταση και είναι συνδεμένα με αυτά που κάνουν. Για να δούμε αυτό εδώ το οποίο είναι σχετικά πιο απλό, ο χρόνος συνείσταται από έναν αριθμό διαδοχικών χρονικών στιγμών. Τη μια στιγμή βλέπεις το βέλος εδώ, την άλλη στιγμή το βλέπεις αλλού. Πότε κινήθηκε το βέλος. Αυτό έχει να κάνει με την υποδιέρηση του χρόνου. Αν δεν υπήρχε άπειρη. Το προηγούμενο έδειχνε ότι αν υπήρχε άπειρη, τότε δεν υπάρχει κίνηση. Αυτό λέει ότι αν δεν υπάρχει άπειρη, το προηγούμενο έλεγε λοιπόν, αν υπάρχει άπειρη υποδιέρεση δεν κινείται τίποτα. Ενώ αυτό λέει ότι αν υπάρχει άπειρη υποδιέρεση, αν δεν υπάρχει άπειρη, πάλι δεν μπορεί να κινηθεί κάτι. Τη μια στιγμή το βέλος είναι εδώ, την άλλη είναι εκεί, πότε μετακινήθηκε. Πώς λοιπόν τα λύνουμε αυτά τα παράδοξα. Πού οδηγούν αυτά. Πώς σκεφτόμαστε η θεμελίωση των αριθμών. Αυτό έχει να κάνουμε με το πώς σκεφτόμαστε και τους αριθμούς. Πώς σκεφτόμαστε πώς θεμελιώθηκαν οι αριθμοί. Τι είδους ποσότητα είναι να τους πω οι πραγματικοί αριθμοί. Όταν βλέπω ένα ευθύγρομο τμήμα τι είναι αυτό, τι αντιπροσωπεύει. Διακριτά, πράγματα το ένα μετά το άλλο, διαδοχικά, συνέχεια, τι σημαίνει συνέχεια. Αυτές είναι οι μαθηματικές ερωτήσεις. Και θα σταματήσουμε κάπου εδώ. Αυτό ήταν το πρόβλημα με τους αριθμούς και τα παράδοξα του ζήνονα. Ο κόσμος των αριθμών, όπως τους λέγαν αριθμούς, όταν λέγαμε αριθμούς εννοούμε τους φυσικούς αριθμούς, είχε τη διακλητότητα. Ενώ για τα συνεχή μεγέθη που τα περισσότερα πόσο μελετούμε, είναι συνεχή μεγέθη, ήταν αναγκαία η μελέτη με άλλες μεθόδους. Και γι' αυτό σε ό,τι ακολούθησε, κυριάρχησε η γεωμετρία. Ο πλάτων είναι στην περίφημος γι' αυτό εδώ το δις αγεωμέτρητος ισύ, το οποίο σημαίνει, κανένας που δεν ξέρει γεωμετρία, μετά, ισύ, να μείνει σέλφι, έτσι. Αυτό ήταν στην Ακαδημία του, έτσι και είχε έντονες πιθαγόριες επιδράσεις, γι' αυτόν η γεωμετρία και τα μαθηματικά έχουν μια ξεχωριστή θέση, δεν θα λέγουμε τον πλάτωνα μαθηματικό. Αλλά γι' αυτόν, αυτός είχε έναν θαυμασμό για τα μαθηματικά. Στον κόσμο των ιδεών τα μαθηματικά αντικείμενα έχουν την τέλεια, την τέλεια μορφή. Αλλά στον κόσμο των αισθήσων, που είναι ο κόσμος που αντιλαμβανόμαστε εμείς, που ζούμε, τα αντικείμενα απλά προσπαθούν να μοιάσουν την τέλεια μορφή τους. Η τέλεια μορφή είναι τα μαθηματικά αντικείμενα και απλά προσπαθούμε να τα φτάσουμε, προσπαθούμε να αυξήσουμε την γνώση μας για να πλησιάσουμε στην τέλεια μορφή. Αυτή είναι η ίδια φάνεια με την οποία θα ολοκληρώσω γιατί είναι από αυτά που αποδίδονται στον πλάτωνα. Αυτό είναι από το νόμο 747, λέει ότι κανένα μάθημα δεν έχει τόση μεγάλη εκπαιδευτική δύναμη όσο η ανασχόληση με τα μαθηματικά. Γιατί το πιο σημαντικό από όλα είναι ότι αυτός ο οποίος είναι κοιμισμένος στο μυαλό και αυτός ο οποίος δεν έχει κλείσει για μάθηση, αυτή η ανασχόληση με τα μαθηματικά, με τους αριθμούς, τον διαγύρει και τον κάνει να μαθαίνει και να αυξάνει την αντιληπτική του ικανότητα. Έτσι και αυτό ήταν μια απεποίθηση που κράτησε με το θαυμασμό για τους αρχαίους, αυτή το ότι τα μαθηματικά, για να μπορέσει κάποιος να έχει μια ολοκληρωμένη παιδεία ή να είναι αναγκαίο να έχει μαθηματικά, γι' αυτός ακριβώς τους λόγους, κράτησε στην εκπαίδευση όταν περάσαμε, όχι στην μοντέρνα εκπαίδευση, έχει περάσει αυτή η ιδέα. Σταματάμε λοιπόν εδώ και συνεχίζουμε αύριο.