6.4 Newton και το Θεώρημα του δυωνύμου / Ενότητα 6 , #4 , 14/05/14 ( από 23,21 εως τέλος ) και 15/05/14 - Χαραλάμπους Χαρά (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Ενότητα 6 , #4 , 14/05/14 ( από 23,21 εως τέλος ) και 15/05/14: Εκείνος τον οποίον προσπαθούμε να φτάσουμε και να καλύψουμε είναι ο Νεύτωνας, 1642-1727. Η δεύτερη μορφή σ' αυτούς που συζητάμε σαν ένας από τους τρεις μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των αιώνων. Πρώτος Αρχιμίδης, δεύτερος χρονικά ο Νεύτωνας, τρίτος τον τρίτο που θα συζητήσουμε είναι ο Γκάος. Νεύτωνας λοιπόν, 1642-1727, ένα ασθενικό αγόρι, το οποίο τελικά κατάφερε και σπούδασε. Έχουνε μείνει κάποια από αυτά τα οποία έχει πει. Ίσως ένα από τα πιο γνωστά από όλα και πολύ σημαντικό και πολύ αληθινό είναι ότι αν μπόρεσα να δω μακρύτερα είναι μόνο και μόνο γιατί μπόρεσα και στάθηκα πάνω στους όμους γιγάντων. Έτσι η αναγνώριση του έργου των προηγούμενων. Έφτασε η κατάλη στιγμή για κάποιον να τα βάλει στη σειρά και να πάει στο επόμενο βήμα. Και αυτό έγινε όταν ο Νεύτωνας ήταν μόλις 19-20 χρονών, όταν από τον λοιμό αναγκάστηκε να μελετήσει μόνος του, τον λοιμό ο οποίος υπήρχε στην Βρετανία. Μελέτησε τον Ευκλήδη, την Καρτεσιανή Γεωμετρία, μελέτησε τα έργα του Βιέτε, του Κέπλερ και μελέτησε και τις διαλέξεις του Μπέρο. Και βέβαια τα έργα του Γαλιλαίου, τον Φαρμά, τον Χάιτζανς. Και από αυτά ορίμασε και έβγαλε, μπόρεσε να φτάσει στην εφεύρεση του λογισμού. Τα πιο σημαντικά βήματα προς αυτή την κατεύθυνση είναι ότι μπορείς να απεικονίσεις, μπορείς να αντιστοιχίσεις, συναρτήσεις σαν δυναμωσιρές. Αυτά τα οποία έγραφα προηγουμένως, τα οποία στηρίχτηκε ο Φαρμά και είπε, εντάξει αυτό το άπειρο άθρησμα τελικά είναι ίσο με αυτό, ο Νεύτωνας το έκανε συστηματικά, θα το δούμε. Έτσι και μπόρεσε να χρησιμοποιήσει, να δείξει ότι οι συναρτήσεις δεν είναι απλά σύμβολα, ότι με τις δυναμωσιρές, δεν είναι απλά σύμβολα να γράψω τέτοιου είδους αθρίσματα, αλλά όταν εμπαριστούν συναρτήσεις. Το άλλο είναι ότι μπόρεσε και είδε την παραγωγηση μέσα από μια μηχανική, μέσα από τη μηχανική. Δηλαδή έδειξε ότι ο ρυθμός μεταβολής μεγεθόνος προς τον χρόνο αντιστοιχεί σε αυτές που λέμε φαπτομένες, είναι αυτή η έννοια του φλάξιο. Παραγωγηση, ρυθμός μεταβολής μεγεθόνος προς τον χρόνο. Αυτό μετά σε συνδυασμό με το θεόριμα του Διονύμου. Θα προλάβουμε να πούμε κάτι γι' αυτό. Το θεόριμα του Διονύμου, αυτό το οποίο αν μας πούνε θεόριμα του Διονύμου, σκεφτόμαστε τι γίνεται άμα πάρω το χ συν ψ και το βάλω σε μια δύναμη N, όπου N είναι ένας ακέραιος, γνωστός σχεδόν από την αρχαιότητα με διάφορους μορφές. Και πολύ παλιότερο από τον Νεύτωνα. Δεν είναι αυτό που έκανε ο Νεύτωνας. Αυτό που έκανε ο Νεύτωνας είναι μίλησε για την ανάπτυξη αυτού του Διονύμου όταν το N δεν είναι ακέραιος. Όταν το N είναι ακέραιος φαίνεται απλά αυτό το οποίο ήταν γνωστό. Να το τομίσω λοιπόν η ανάπτυξη του Διονύμου του Νεύτωνα, το οποίο εμφανίστηκε η περιγραφή σε ένα γράμμα το 1676, δεν το δημοσίευσε ο ίδιος ο Νεύτωνας, γιατί δεν του άρεσε να εμπλάκεται στις δημοσίευσες, αλλά δημοσιεύτηκε από τον Γουάλες σχεδόν μια δεκαετία αργότερα. Όλα αυτά τα αποτελέσματα κυκλοφορούσαν και ανάμεσα σε εκείνο το χρόνο το 65 με 66, εκτός από το θεόριμα του Διονύμου έβγαλε και τον απειραστικό λογισμό, ήρθε με τον νόμο της βαρύτητας, τη φύση των χρωμάτων, απίστευτα πράγματα σε διαφορετικούς κλάδους, όχι μόνο μαθηματικά, φυσική. Το θεόριμα λοιπόν του Διονύμου, εδώ πέρα θα το γράψω για το ένα συν χ, αυτό έχω γράψει για το ένα εις συν χ σε ένα ρήτο αριθμό κιου, είναι το άπειρο άθροισμα αυτών των Διονυμικών συντελεστών του χ στην κ, έτσι για να μπορέσει κανείς να το γράψει αυτό, θα πρέπει να θεωρήσει αυτό το άπειρο άθροισμα, ότι είναι μία συνάρτηση, να τολμήσει να το κάνει κανείς αυτό και το άλλο είναι τι είναι αυτός εδώ συντελεστής το αρ προς κ, και το αρ προς κ αν το γράψεις αυτήν εδώ τη μορφή, δηλαδή αρ επί αρμιον 1 μέχρι το αρμιον κ συν 1 έχει νόημα όταν το αρ δεν είναι αναγκαστικά ακέραιος. Για να γράψω λοιπόν ποιος είναι εδώ ο συντελεστής το αρ προς κ, το κ είναι ακέραιος, έτσι γιατί στο άθροισμα που έγραψα προηγουμένως από το 1 έως το άπειρο έχω το αρ προς κ επί χ ή στην κ, σε αυτό εδώ το άθροισμα το κ είναι πάντα ακέραιος και το χ είναι στην κ, το αρ αυτό εδώ όμως μπορεί να είναι ρητός το κ λοιπόν είναι ακέραιος και το κ παραγωδικό γνωρίζουμε τι είναι, είναι από το 1 στο 2 μέχρι το κ. Τι έχουμε πάνω, έχουμε το αρ επί αρμιον 1 έως το αρμιον κ συν 1 Αυτό πάντα μπορώ να το κάνω, είτε το αρ είναι ακέραιος είτε δεν είναι. Εάν μεν το αρ είναι ακέραιος, τότε αυτό που έχω γράψει το αρ προς κ σε αυτήν εδώ την μορφή είναι απλά το γνωστό κ παραγωδικό, αρ παραγωδικό, αρμιον κ παραγωδικό. Όταν ο αρ δεν είναι ακέραιος δεν έχει νόημα να γράψω αρ παραγωδικό, έχει όμως νόημα να γράψω αυτό εδώ Αυτή είναι εδώ την σειρά και να μην θυμάται κανείς το θεόριμα του Διονύμου, έτσι του Νεύτερνα πάντα μπορεί να τη βγάλει χωρίς να θυμάται ότι αυτό είναι το θεόριμα του Διονύμου, μπορεί να τη βγάλει χρησιμοποιώντας λογισμό, έτσι, σειρές Τέιλον, έτσι μπορεί να το βγάλει Είναι κλασικό ερώτημα στις εξετάσεις, δώστε μου, εφαρμόστε το θεόριμα του Διονύμου για κάτι και υπάρχουν πολλοί τρόποι για να το βγάλει κανείς ακόμη και αν δεν θυμάται από τον τύπο ο οποίος τον βγάζει έτσι Όπως είπα το θεόριμα του Διονύμου ήταν γνωστό όταν το N είναι θετικός ακέραιος από το τρίγωνο του Πασκάλ έτσι και πριν από τον Πασκάλ από τους Κινέζους για παράδειγμα ήταν γνωστό έτσι αυτό είναι από το 1303 Το τρίγωνο του Πασκάλ είναι εδώ πριν από τον Πασκάλ τουλάχιστον κατά 300 έτη και μια εικόνα του Πασκάλ μιάς και τον αναφέραμε δίπλα έχουμε την υπολογιστική του μηχανή την οποίαν έβγαλε το 1642 ο πρόδρομος όλων των υπολογιστών μπορούσε να κάνει μηχανικά τις πράξεις για πρόσθεση και αφαίρεση και για πολλαπλασιασμό και να βγάλει αποτελέσματα ο τύπος λοιπόν τον οποίον έγραψα τον έχω γράψει όταν το ΆΡΕΝΑ είναι ρητός εκείνο όμως το οποίο θα μας απασχολούσε σήμερα είναι αν αυτό εδώ το άθροισμα συγκλίνει ή όχι εντάξει το έχουμε γράψει έτσι τυπικά το έχουμε γράψει έτσι είναι όμως ένας έχει νόημα είναι ένας αριθμός συγκλίνει αυτή εδώ η σειρά αν δώσω μια συγκεκριμένη τιμή για το χει θα πάρω κάτι θα πάρω ένα συγκεκριμένο αριθμό ή θα το αφήσω γραμμένο έτσι τυπικά συγκλίνει αυτή εδώ η σειρά είναι συνάρτηση αυτή εδώ του χει μπορείς να γράψεις τον τύπο και να πεις εντάξει ισχύει αυτός εδώ ο τύπος θα πρέπει να πεις αν έχεις μια συνάρτηση και πότε συγκλίνει αυτή η σειρά αυτό λοιπόν είναι το θέμα το οποίο απασχολεί τον λύστιο λύνεται στα πρώτα μαθήματα του λογισμού πότε συγκλίνουν αυτές οι άπειρες σειρές ή όχι όταν βέβαια ο Ά είναι θετικός ακέραιος το άθροισμα είναι πεπερασμένο δεν είναι τέτοιο ζήτημα προσθέτω πεπερασμένος αριθμός το ζήτημα τίθεται αν υπάρχει ένας τελικός αριθμός όταν έχω άπειρα στοιχεία σε αυτήν εδώ τη σειρά όταν λοιπόν το 1 είναι ίσον με το μειον 1 καταρχήν όταν έχω για κάπα ίσον με το μηδέν ο συντελεστής είναι πάντα 1 εάν βάλω συντελεστή μονάδα και αντικαταστήσω εκεί πάνω το κάπα ίσον με 1 μένω με το μειον 1 όταν το κάπα είναι ίσον με το 2 πηγαίνω από το 1 μειον 1 μειον 2 δια το 2 και αρχίζω και παίρνω τα πρόσημα ένα αλλάξι και παίρνω βέβαια τη γνωστή μορφή και νομίζω έχω και αυτό εδώ το παράδειγμα για 1 ίσον με 1 δεύτερο καλό είναι να δοκιμάσει κανείς και να εξασκηθεί παίρνοντας διάφορα τέτοια παραδείγματα για να γράψει ποια είναι αυτή εδώ η σειρά γνωρίζουμε ότι η σειρά συγκλίνει όταν η απόλυτη τιμή του χ είναι μικρότερη από τις μονάδες αυτές εδώ τις περιπτώσεις και έχοντας βάλει αυτά τίζονται τα εξής ερωτήματα το πρώτο ερώτημα είναι για τη σύγκλιση δεν θα μας απασχολήσει τόσο αυτό ιστορικά δεν θα μας απασχολήσει γιατί αυτό απασχολεί τους μαθηματικούς αργότερα γιατί το αναφέρουμε όμως γιατί είναι το διονυμικό θεώρημα τόσο σημαντικό στην εξέλιξη των μαθηματικών και στην ανακάλυψη του λογισμού ο Νεύτωνας πως είχε την έμπνευση για το διονυμικό θεώρημα είναι ένα σημαντικό βήμα από την πεπερασμένη περίπτωση από όταν το 1 είναι ακέραιος στο 1 να είναι φυσικός οριθμός ο τύπος αλλάζει πως του ήρθε του Νεύτωνα αυτή η έμπνευση η γεννήκευση και μετά βέβαια ιστορικά ρωτάει κανείς αν ο ίδιος ο Νεύτωνας έδωσε πλήρη απόδειξη του θεωρήματος ή απλά θεώρησε ότι αυτό εδώ ισχύει όπως είχαμε πει ότι ο Νεύτωνας μελέτησε τα έργα των προηγούμενων μαθηματικών και μελέτησε ιδιαίτερα το έργο του Βάλις και όλα ξεκινήσαν επειδή προσπαθούσαν να υπολογίσουν εμβαδάμου έτσι και ο Βάλις επειδή ήδη είχαν υπολογιστεί πολλά εκείνο που τον ενδιέφερε είναι να πάρει αυτή την καμπύλη το ένα μειον ταφ τετράγωνο ή στην εν και να προσπαθήσει να το υπολογίσει και ιδιαίτερα αφού καταλαβαίνω ότι πρόκειται για κύκλο έτσι το ένα μειον ταφ τετράγωνο στο ένα δεύτερο είναι ένας κύκλος και αυτό το εμβαδό το γνωρίζουν γι' αυτό ήταν σε τσιγκλά ή να ρωτήσεις τι γίνεται γενικότερα Ήθελε λοιπόν να υπολογίσει το εμβαδό του ένα μειον ταφ τετράγωνο στο εν όταν το εν παίρνει και κλασματικές θυμές γιατί όταν το εν είναι το ένα δεύτερο ξέρει ότι αυτό πρόκειται για ένα κομμάτι του κύκλου και μπορούσε να το κάνει για όλες τις ακέραιες θυμές του εν δεν μπορούσε όμως να το κάνει για τις κλασματικές και αυτό που έκανε ο Νεύτανας ήταν να υπολογίσει αυτά τα εμβαδά από το μηδέν έως κάποιο άγνωστο χ. Ξεκινάει λοιπόν πένει το ένα μειον ταφ τετράγωνο στην τζέι και για διάφορα τζέι ακαιρέως υπολογίζει πόσο είναι το εμβαδό αυτό το οποίο κάνει είναι ότι πηγαίνει από το μηδέν μέχρι το χ όχι μια συγκεκριμένη τιμή, δεν πάει σε μια συγκεκριμένη τιμή όπως προσπαθούσαν να το κάνουν από το μηδέν μέχρι το ένα αλλά αφήνει την τιμή στην οποία πάει να είναι το χ και αρχίζει και υπολογίζει και βλέπει ποιο ένα το εμβαδό το οποίο παίρνει κανείς. Στην μηδενική γραμμή αν πάρεις το ένα μειον ταφ τετράγωνο στο μηδέν παίρνεις απλά τη σταθερά. Άρα αυτό που θα βγάλεις είναι απλά το χ σε κάθε περίπτωση το κάνει λοιπόν αυτό εδώ και παρατηρεί ποιοι είναι οι συντελεστές του χ τους ο οποίος βγάζει. Θα χρειαστούμε πολύ παραπάνω χρόνο για να τα αναλύσουμε θα το συνεχίσουμε λοιπόν αυτό εδώ το κομμάτι ολοκληρωμένα θα μιλήσουμε για το διονυμικό θεόρημα και αναλυτικά γι' αυτόν τον πίνακα του Νεύτανα στην επόμενη διάλεξη Λοιπόν το πως έφτασε σε αυτήν εδώ την περιγραφή ο Νεύτανας δηλαδή πως του ήρθε ιδέα για το ανάπτυγμα του διονύμου το περιγράφει σε μια σειρά από γράμματα του 1676 τα οποία τα έστειλαν το 1676 παρόνου που το είχε το θεόρημα και ήταν γνωστό ότι το είχε το θεόρημα από τότε γνωστό και στους όλους τους μαθηματικούς δεν ήταν εκκληφό και ότι ο Πουάρνις τα δημοσιεύσε το 1676 Εντάξει μιλήσαμε για το στήσιμο πως είναι τι σημαίνει αυτός ο συντελεστής ότι όταν ο Άιβιν Μακέριος παίρνει απλά τον τύπο του διονύμου ότι ήταν γνωστός ο τύπος αυτός του διονύμου για ακεραίους ήδη από τους Κινέζιους κάπου εκεί αναφέρθηκε και ο Πασκάλ πως του ήρθε ένα πολύ μεγάλο βήμα από πεπερασμένα θρίσματα να πάει σε αυτά τα άπειρα θρίσματα παρόλο που ήδη έχουμε δει ότι αυτό τη δουλειά με το άπειρο έχουν αρχίσει και την χρησιμοποιώνει επίσημα έτσι ο Φερμά για να υπολογίσει το εμβαδό που είναι κάτω από εκείνη την καμπύλη με το χ στην μιον κάπα τη μιούργησε τέτοια ορθογόνια άπειρου πλήθους ορθογόνια έτσι που μεγάλωνε οι βάσεις τους για να μπορέσει τελικά να καλύψει όλο εκείνο το κομμάτι και κάπως τελείωσε το κομμάτι. Δικαιολόγησε ότι εκείνο το άδρασμα θα ήταν επεπερασμένο. Το είχε βέβαια κάνει και ο Χιμήρης αρκετά νωρίτερα. Πώς λοιπόν δικαιολόγησε σε αυτά τα γράμματα την έμπνευση του ο Νεύθυνας. Και είχα πέσει και αυτά τα ερωτήματα. Καταρχήν το ερώτημα της σύγκλησης. Ήδη είπαμε ότι αυτό δεν τον απασχόλησε ιδιαίτερα. Μας απασχολεί εμάς βέβαια σήμερα γιατί μιλάμε για άπειρες σειρές. Την άπειρη σειρά εμείς σήμερα τη σκεφτόμαστε ως συνάρτηση την οποία τη συμβολίζουμε έτσι. Σκεφτόμαστε ίσως σαν συνάρτηση, σαν όριο συναρτήσεων οι οποίες αποτελούνται από περασμένα θρύσματα. Είναι μια συνάρτηση. Η σύγκληση πρέπει να μας απασχολεί. Αυτό το κομμάτι δεν φαίνεται στην τότε δουλειά του Νεύθυνου. Γιατί το θεωρούμε τόσο σημαντικό αν όντως αυτή η εξήγηση που έδωσε ο Νεύθυνας για την έμπνευσή του αν αποτελεί απόδειξη. Εξηγούμε πως ήρθε αυτή η έμπνευση. Είδαμε ότι όλα εν μέρει ξεκίνησαν, γιατί ο Γουάλις ενδιαφερόταν για να βρείτε εδώ κάτω από την καμπύλη ένα μειον ταφ τετράγωνο στην εν για να το γράψω εδώ. Έχουμε ένα μειον ταφ τετράγωνο στην εν και θέλει να το κάνει για εν θετικούς. Γιατί για εν θετικούς πάνω κάτω υπάρχουν τύποι. Και για εν θετικό ακέραιο μπορείς να το αναπτύξεις αυτό το διόνυμο και να το βρεις. Αυτό λοιπόν το οποίο ενδιαφέρεται τον Γουάλις είναι να το κάνει γενετικούς ακέραιος ή να το γενικεύσει. Και ιδιαίτερα για την περίπτωση που το εν, όχι μόνο για κλασματικές θυμές, ιδιαίτερα για την περίπτωση για εν κλασματικό. Το αρνητικό δεν μας πειράζει, ας βάλω εδώ μέσα και τους αρνητικούς. Όχι μόνο αρνητικούς, κλασματικούς και αρνητικούς. Για το ειδικό κλάσμα του 1 δεύτερο το αναγνωρίζει από τη συνάρτηση του κύκλου. Έτσι είναι το 1 τεταρτιμόριο του κύκλου. Άρα μπορεί κανείς να το κάνει το 1 δεύτερο γιατί ξέρει την τελική απάντηση αλλά πως προκύπτει και πως γενικεύεται. Ποια ήταν η ιδέα του Νεύτωνα. Και μέχρι τότε αυτό το οποίο θέλαμε μαθηματικοί είναι συγκεκριμένο ολοκληρώματα. Στην περίπτωση λοιπόν αυτή όταν λέμε θέλει το ολοκλήρωμα, ο Wallis ψάχνει για αυτό το ολοκλήρωμα από το μηδέν από κάποιο στοιχείο, εντάξει να το βάλω από το μηδέν έως ένα, θέλει να το γράψω από το μηδέν ως α του ένα μειών τετράγωνο εις την εν. Σήμερα θα το γράφουμε dt. Το σύμβολο αυτό είναι σημερινό σύμβολο, το είπαμε αυτό, εντάξει ο Wallis θέλει να το κάνει για συγκεκριμένες στιγμές α όπως εκεί είναι μια συγκεκριμένη τιμή το 1. Η πρώτη ιδέα λοιπόν του Νεύτωνα, αυτό εξηγώ, αυτό εξηγεί ο ίδιος στα γραμματά του είναι ότι αντί να το κάνεις για α συγκεκριμένο βάζεις το χ. Αντί λοιπόν εδώ για α το κάνεις για να χ και βλέπεις τι παίρνεις, αυτό μπορείς να το κάνεις για τους θετικούς ακεραίους. Ξεκινάει λοιπόν από αυτά που γνωρίζει, μπορείς να το κάνεις για θετικούς ακεραίους είναι γνωστό, προσπαθεί όμως να βρει ένα μοτίβο το οποίο επαναλαμβάνεται. Κάνει λοιπόν τον εξής πίνακα, αρχίζει και κάνει τον πίνακα αυτών των υπολογισμών για να ξεκινήσω να τον κάνω κι εγώ, να αρχίσουμε να τον κάνουμε μαζί για να γεμίσουμε αυτά εδώ τα ολοκληρώματα. Θα πάρουμε λοιπόν από το μηδέν έως πι, το ένα μιον τετράγωνο, εδώ πέρα θα ξεκινήσω με το εν, το κάνει, ξεκινάει από εν ίσον με το μηδέν, ένα και ούτω καθεξής για να δούμε τι παίρνουμε. Για να βάλω λοιπόν εν ίσον με το μηδέν, έχω μηδέν έως πι το ένα μιον τετράγωνο, στη μηδενική το ένα λοιπόν δι τάφ. Το αποτέλεσμα είναι χ, δεν έχει κάτι άλλο. Για εν ίσον με ένα, ξεκινάω λοιπόν αυτή είναι η στήλη που έχει το μηδέν. Σε αυτήν την στήλη βάζω το εν, στην πρώτη στήλη, στην πρώτη γραμμή, η γραμμή αυτή βάζει τις διάφορες τιμές του εν, έχω λοιπόν εδώ μηδέν, ενώ οι στήλες τώρα θα μου δώσουν το συντελεστή, εδώ θα βάλω το συντελεστή του χ. Το πρώτο λοιπόν όταν βάζω εν ίσον με το μηδέν, παίρνω απλά ένα μπροστά στο συντελεστή του χ. Από κάτω θα βάλω το συντελεστή του μιον χ τρίτη στην πέμπτη, θα βάλω ένα λάξευ τους συντελεστές, θα είναι ξεκάθαρο γιατί θα χρειαστεί να τους βάλω. Έτσι στο επόμενο θα έχω το συν χ5 για 5, την επόμενη φορά θα έχω μιον χ7 για 7, μπορώ να το συνεχίσω, τα πρώτα σήματα πηγαίνουν να αλλάξουν. Και από κάτω έχω το χ σε αυτή τη δύναμη για αυτό εδώ. Γιατί το κάνει αυτό, γιατί έχει ήδη υπολογίσει τα ολοκληρώματα και ξέρω ότι έχει κάτι ενδιαφέρον αν το κάνει κανείς αυτό. Για να δούμε λοιπόν ποιο είναι αυτό το ενδιαφέρον. Για 1 ίσον με το μηδέν το υπολογίσαμε, για 1 ίσον με 1, εντάξει και αυτό είναι πολύ εύκολο, έχω το μηδέν έως το χ, το 1 μιον τετράγωνο διτά, τι μας βγαίνει, χ μιον χ τρίτης διατρί. Πάω λοιπόν σε αυτόν εδώ το πίνακα, έτσι καταρχήν εδώ πέρα όλοι οι άλλοι συντελεστές είναι μηδέν, τους βάζω λοιπόν είναι μηδέν, εντάξει τελείωσα όταν ο εκθέτης είναι μηδέν, όταν ο εκθέτης είναι 1 για να δούμε τι θα χρειαστεί να συμπληρώσουμε. Συντελεστής του χ η μονάδα εδώ, βάζω λοιπόν 1, ο συντελεστής του μιον χ τρίτης είναι πάλι 1, όλα τα υπόλοιπα είναι μηδέν. Πάμε στη τρίτη στιγμή για το 2, 1 ίσον με το 2, τι θα μου βγει, να αρχίσουμε να το αναπτύσσουμε για να μας χωρέσει εδώ πέρα, τι βγαίνει, έχω το ολοκλήρωμα από το μηδέν έως χ, έχω το 1 μιον, βάζω που 1 ίσον με 2, έτσι, έχω 1 μιον τετράγωνο στο τετράγωνο, έχω το 1 μιον, 2 τετράγωνο, συν τάφ ή στην τετάρτη, έτσι δηλαδή. Άρα το αποτέλεσμα είναι, ξεκινάμε από εδώ, έχω το χ μετά, 2 τρίτα, το χ στην τρίτη, έτσι μετά, 7 στην πέντη, 2 πέντε, έτσι. Συμπληρώνουμε, έχουμε 1 πάλι για το χ, συντανεστής του μιον χ τρίτης θέλουμε εδώ πέρα, βάζω λοιπόν 2, όταν κάνει αυτό κανείς για τις διαφορετικές δυνάμεις του 1, βλέπετε τα πρόσωπα πηγαίνουν με μαλάξ, και γι αυτό τα κράτησε έτσι και πάντα θα εμφανίζεται το χ τρίτης δια 3, το χ 5 δια 5, το χ 7 μες δια 7, αυτά σύμφωνα εμφανίζονται και αυτό που διαφέρει μπροστά είναι ο συντελεστής. Έχω λοιπόν το 1, το 2, το 1, έτσι, από κει και πέρα έχω τα 0, έτσι μπορεί να το κάνει κανείς για τα επόμενα, για να το κάνουμε ακόμη, πόσο έχω βάλει, 1, 2, 3, εντάξει το κάνει κανείς για το 3, δεν είναι τυχείο ότι μένουν μόνο αυτές οι δυνάμεις, γιατί ό,τι δυνάμεις θα έχω εδώ πέρα, όποιες δυνάμεις και να έχω εδώ, θα μου βγουν να είναι άτη οι εκθέτες, έτσι και εφόσον θα εμφανίζεται το τ στο τετράγωνο, σίγουρα μετά θα έχω τ τρίτης τρίτα, χ τρίτης τρίτα, έτσι όλοι οι εκθέτες είναι άτη, άρα θα έχω μόνο αυτές εδώ τις μορφές και επίσης όταν αναπτύσεις, θα γίνει και με τα πρόσημα, γι' αυτό τα πρόσημα πηγαίνουν να εναλλάξουν, έχω το 1- τ τετράγωνο, ανάλογα με τον εκθέτη, όποιος και να είμαι ο εκθέτης, τα πρόσημα θα πάνε εναλλάξει, έτσι, δεν μας εκπλήσουν λοιπόν ούτε τα εναλλάξει ούτε ο παρανομαστής εδώ, κάνοντάς το λοιπόν για το 3 για να τα βάλω, για να κρατήσω στον πίνακα γιατί θα πάσουν επόμενη διαφάνεια, όταν βάλει κανείς το 3, έχει εδώ 1, προκύπτει ότι αυτό εδώ είναι το 1, μετά είναι το 3, το 3, 1, ήδη ενδιαφέρον έτσι, για να βάλω εδώ, εδώ θα έχω 0 και αν πάει κανείς για το 4, θα έχει το 1, το 4, το 6, το 4, το 1 και μετά 0, νομίζω να σας ρωτούσα τι πιστεύετε ότι θα είναι εδώ, μπορείτε να το φανταστείτε χωρίς να τα υπολογίσετε, έτσι τι φαντάζεστε ότι θα είναι στο κάθετο, αν φαντάζεστε, από το Πασχαλ, ο κανονικός ειτελεστής, πηγαίνοντας στις στήλες λοιπόν, υπάρχει αυτή εδώ, τώρα τι έκανε όμως ο Νέφτανας, ποιο είναι το σημαντικό που έκανε ο Νέφτανας, δεν τον επηρέασαν οι στήλες, έτσι, να θυμηθούμε ότι θέλει να προσπαθήσει να καταλάβει, να βρει το μοτίβο για ένα γενικό 1, εδώ πέρα βέβαια το έχει κάνει μόνο για τους σακερεύους, αλλά θέλει να το κάνει και για κλασματικά, δεν τον ενδιαφέρει λοιπόν τόσο η στήλη, θέλει να καταλάβει ποιος είναι ο συντελεστής του χ, έτσι, θέλει να καταλάβει ποιος είναι ο συντελεστής του χ και παρατηρεί ότι τουλάχιστον ο συντελεστής του χ θα είναι πάντα μονάδα, έτσι, είναι ένα σταθερό πολυόνυμο βαθμού 0, ο συντελεστής κοιτάζει τώρα τις γραμμές, αντί να κοιτάζει τις στήλες, κοιτάζει γραμμές. Για να δούμε το συντελεστή του μιον χ τρίτης για τρία, ξεκινάμε με το μηδέν και μετά έχω το ένα, δύο, τρία, τέσσερα ήδη κάποιος είπε το πέντε, περιμένουμε ότι μετά θα έχει το έξι, ποιο είναι το πολυόνυμο στο ένα, αν να σκεφτώ τους συντελεστές του μιον χ τρίτης για τρία, σαν ένα πολυόνυμο στο ένα, ποιο θα έβαζα, ποιο πολυόνυμο. Υπάρχει μια συνάντηση η οποία θα μου δώσει αυτόν το συντελεστή, μια πολυονομική συνάντηση δηλαδή κάποιοι πολυόνυμο που θα μου δώσει το συντελεστή του μιον χ τρίτης για τρία, το πολυόνυμο το θέλω να είναι με μεταβλητή το ένα, όταν το ένα είναι ίσον με το μηδέν θα μου δώσει το μηδέν, όταν το ένα είναι ίσον με ένα η συνάντηση μου δίνει το ένα, ποιο πολυόνυμο ικανοποιεί αυτήν εδώ. Δεν είναι τόσο, το σβήνω λοιπόν αυτό εδώ, για να τα ξαναδούμε, έτσι θέλω να βρω ένα πολυόνυμο σε ένα, έτσι ώστε όταν αντικαταλήψω το μηδέν, όταν αντικαταλήψω το μηδέν, όταν αντικαταλήψω το μηδέν, όταν αντικαταλήψω το μηδέν, όταν αντικαταστήσω, αντικαταστήσω την τιμή της στήλης J, όταν αντικαταστήσω την τιμή J, να βρω το συντελεστή, να βρούμε το συντελεστή. Θα το κάνω για όλους αυτούς. Καταρχήν, για να πάω ένα βήμα πίσω, για κάθε γραμμή διαφορετικό πολυόνυμο, έτσι, για κάθε γραμμή θα βρω διαφορετικό πολυόνυμο, πολυόνυμο λοιπόν σε μεταβλητή το N, έτσι ώστε όταν ανικαταστήσω την τιμή J, να βρω το συντελεστή, ξεκινάω πάρα πάρα, το συντελεστή του X, ποιο πολυόνυμο είναι αυτό, το σταθερό πολυόνυμο, έτσι. Απαντάω λοιπόν για το X, έχω το σταθερό πολυόνυμο 1, όποια τιμή J και να βάλω θα πάρω πίσω το 1, μου δίνει το συντελεστή του X. Πάμε τώρα, θέλω τον συντελεστή του μίον X τρίτης για 3, μη σκέτο, έτσι, άμα βάλω 0, παίρνω 0, άμα βάλω 1, παίρνω 1, 2, 3, 4, έτσι. Δείτε το λοιπόν τώρα για το συνεχί 5-5, και αυτό ίσως να μπορείτε να το δείτε, όταν βάλω την τιμή 0 θα πάρω 0, όταν βάλω την τιμή 1 θα πάρω 0, το ενδιαφέρον μου ξεκινάει από εδώ. Αυτούς τους αριθμούς 1, 3, 6, ο επόμενος είναι το 10, και ο επόμενος να σας πω και ποιος είναι, είναι το 1 συν 3, 4 συν 6, μου δίνει το 10, συν 10 θα μου δώσει το 20, ο επόμενος είναι το 20. Ποιοι αριθμοί είναι αυτοί, είναι το άθρησμα όλων των αριθμών μέχρι να φτάσω εδώ, είναι το 10, με συγχωρείτε το 15, πένω εδώ έχω το 0 συν 1 είναι 1, έχω το 1 συν 2 είναι το 3, το 3 συν 3 μου δίνει το 6, το 6 συν 4 μου δίνει το 10, το 10 συν 5 μου δίνει το 15. Ποιος είναι ο συντελεστής του χ 5 της 5, να δούμε τι να σβήσω εδώ πέρα, να προσπαθήσω να πάω από την άλλη, ναι, αλλά ν επειδή μειώνει ένα δεύτερο, έχουμε ξεκινήσει πηγαίνοντας προς τα πίσω. Αυτά που προσθέτουμε είναι σε αυτήν εδώ τη θέση το 0 συν 1, άρα είναι το άθρησμα όλων των αικαιρέων μέχρι να φτάσω στον τζέι, μέχρι να φτάσω εκεί. Ο αριθμός λοιπόν εδώ πέρα, για να προχωρήσω στην επόμενη διαφάνεια για την οποία το εξηγεί. Ο Νέφτουνας λοιπόν αναγνώρισε ότι ο συντελεστής του χ 5 της 5 είναι οι τριγωνικοί αριθμοί που προκύπτουν από αθρίσματα 1 συν 2 μέχρι το τζέι και άρα λέει εντάξει αυτός εδώ ο συντελεστής είναι το 1 επί 1 μειώνει 1 δια 2. Ο μόνος λόγος είναι γιατί οι στήλες μου έχουν ξεκινήσει από το 0, ξεκινάει μια θέση πιο μετά. Προσθέτω το τζέι για να το βάλω σε αυτήν εδώ τη θέση, άρα πηγαίνω μέχρι το τζέι, 1 επί 1 μειώνει 1 δεύτερο. Και όταν κάνει αυτόν εδώ τον πολλαπλασιασμό, αυτό εδώ είναι το πολυόνυμο 1 τετράγωνο μειώνει 1 δια 2. Αυτός είναι ένας άλλος τρόπος για να το γράψεις. Αυτό εδώ το πολυόνυμο είναι το 1 τετράγωνο μειώνει 1 δεύτερο. Αυτό το λέω γιατί αυτό που θα παρατηρήσουμε είναι ότι ο βαθμός του πρώτου πολυονύμου, αυτόν που ανησυχεί στο χ, είναι σταθερό πολυόνυμο, έχει βαθμό 0. Για το δεύτερο που ανησυχεί στο μειών χ τρίτης τρίτα έχω ένα πολυόνυμο πρώτου βαθμού. Όταν έχω το χ5-5 έχω ένα πολυόνυμο δεύτερου βαθμού. Αυτό λοιπόν το οποίο περιμένει κανείς είναι ότι όταν ψάξω να βρω το συντελεστή του χ 7.5-7, τί πολυόνυμο θα έχω? Τρίτο βαθμό. Συμμετρικά θα προχωρήσω με τη σειρά την οποία μου δίνει. Ένα πολυόνυμο λοιπόν τρίτο βαθμό. Δεν είναι δύσκολο να το υπολογίσει κανείς, εντάξει τουλάχιστον για πεπερασμένα και να επιβεβαιώσει μετά κάνοντάς τα αν η υπόθεσή του αληθέτει. Υπόθετης είναι κάτι, κάνεις για ένα πεπερασμένο αριθμό και λες επιβεβαιώνεται η υπόθεσή μου, τουλάχιστον για αυτά τα πεπερασμένα βήματα. Για να δούμε λοιπόν πώς το σκέφτηκε ο Νέφτωνας και να φτάσουμε και εμείς στην ίδια την υπόθεση. Λέει εντάξει θα είναι καλό, θα ταιριάζει με τη θεωρία μου να έχω ένα πολυόνυμο τρίτο βαθμό. Ένα πολυόνυμο τρίτο βαθμό, το οποίο άμα το δεις εδώ, ξέρω γι' αυτό ότι έχει μηδενικά στο μηδέν, στο ένα και στο δύο. Ένα πολυόνυμο τρίτο βαθμό για το οποίο ξέρω τρεις ρίζες. Ένα πολυόνυμο τρίτο βαθμό για το οποίο ξέρω τρεις ρίζες. Ένα πολυόνυμο με ρητούς συντελεστές για το οποίο ξέρω τρεις ρίζες. Ε, δεν είναι αυτό, μπορούμε να το κάνουμε. Για να δούμε λοιπόν πώς θα το πλησιάζουμε. Το πολυόνυμο αυτό λέμε έχει τρεις ρίζες και ξέρω και ποιες είναι οι ρίζες. Το πολυόνυμο αυτό θα είναι, αφού έχει τρεις ρίζες και οι ρίζες είναι στο μηδέν, στο ένα και στο δύο είναι ρίζες, αυτό πάει να πει ότι το 1 διαιρεί το πολυόνυμο, το 1-1 επίσης διαιρεί το πολυόνυμο και το 1-2 διαιρεί το πολυόνυμο. Άρα και το γινόμενό τους θα διαιρεί το πολυόνυμο. Εκείνο που δεν ξέρω είναι ότι μπορεί να υπάρχει κάποιος συντελεστής. Τον βάζω λοιπόν σε, έτσι το άγνωστο τώρα είναι αυτός εδώ σε άγνωστος. Μπορώ να τον υπολογίσω, αρκεί να μου δώσει μια τιμή. Μου λέει έχουμε υπολογίσει το χ7 μισέβδομα, το έχουμε υπολογίσει στο τρία. Στο τρία παίρνει τη τιμή 1. Για να δούμε, στο τρία λοιπόν αν αυτό εδώ είναι το πολυόνυμο g του n, το g του τρία μου λέει είναι ίσο με τη μονάδα. Άρα η μονάδα θα είναι ίση με το σε επί τρία, επί δύο, επί ένα. Άρα το σε θα είναι ένα έτσι. Και το πολυόνυμο g του n, τώρα πρέπει να σας θυμίζει τον διονυμικό συντελεστή που είπαμε, το πολυόνυμο g του n, τελικά είναι 1, επί 1-1, επί 1-2, διά έξι. Το ποιο έξι είναι απλά το τρία παραγωδικό. Αυτές εδώ τις πολύ συγκεκριμένες παρατηρήσεις, το επόμενο βήμα του Νεύτωνα, η επόμενη υπόθεση του Νεύτωνα είναι, εντάξει εδώ περιγραφή γίνεται στην τρίτη γραμμή, ότι ο συντελεστής του μιον x στην εβδόμη έβδομα θα είναι αυτός εδώ για πάντα. Αν όντως είναι τελικά πολυόνυμο, θα πρέπει να είναι αυτό. Και πειραματικά, τουλάχιστον για όσες τιμές υπολόγησε ο Νεύτωνας, που σίγουρα είναι πεπερασμένες τιμές, αλλά για αυτές τις τιμές επιδιδεώνεται. Έτσι δεν είναι απόδειξη ακόμη αυτό. Επιδεδεώνεται όμως ότι μέχρι σε κάποιο σημείο πάντα θα ικανοποιούν αυτήν εδώ, αν πάω στη σωστή στήλη και αντικαταστήσω, θα πάρω μια τιμή, η οποία επιδιδεώνεται από τις πράξεις. Και λέει γιατί δεν θα σταματήσω στο 7, ίσως να το κάνει και για παραπάνω και για το 9. Λέει, είχα υποθέσω ότι αυτό δεν δουλεύει μόνο για ακαιρέους, αλλά και γιατί να δουλεύει μόνο για ακαιρέους, εντάξει, το έχω υπολογίσει. Λέει ότι όταν πάω να υπολογίσω αυτό το κλήρωμα, πάντα οι όροι που θα εμφανίζονται θα είναι αυτής της μορφής, όπως αν είχα ακαιρέους. Έτσι, αυτό είναι ένα μεγάλο κενό, ένα πείδημα στη σκέψη του Νεύτεμα, ένα άλμα στη σκέψη του Νεύτεμα, ότι αυτή η συμπεριφορά δεν θα ικανοποιείται μόνο όταν έχω ακαιρέους, αλλά όταν έχω κυκλάσματα. Και ότι κάθε φορά, όταν υπολογίζει κανείς αυτό το ολοκλήρωμα, θα παίρνει το Χ, το Χ3Τ, το Χ5Τ και ούτω καθεξής, με αυτόν εδώ τόσο δελεστή μπροστά. Γεννήκευση της γεννήκευσης. Εδώ μιλάει για ολοκλήρωμα και την υπόθεση του Νεύτεμα, ότι θα είναι αυτής εδώ της μορφής. Δεν είμαστε ακόμη ακριβώς στο διαινομικό θεόριμα. Το διαινομικό θεόριμα λέει ότι αν πάρω το 1 συν κάτι σε μία δύναμη, θα βγάλω μία σειρά που την περιγράφουμε με τους διαινομικούς συντελεστές. Εδώ πέρα απλά έχει πάρει ένα ολοκλήρωμα, το 1 μιουν τα φ τετράγωνα εις την 1 από το 0 έως το Χ και υποθέτει γεννικεύοντας, κάνοντας τις δικές του γεννικεύσεις και από την παρατήρηση για αυτούς τους θετικούς ζακεραίους, ότι βγαίνει αυτό εδώ. Εντάξει. Για το 1 δεύτερο λέει, ειδικότερα, αν βάλει κανείς το 1 δεύτερο, βγαίνει αυτή εδώ η τιμή. Κοιτάζοντας όμως αυτή τη σειρά, λέει εντάξει, το αποτέλεσμα του ολοκληρώματος, δηλαδή το 0 εδώ, παριστάνεται με κάτι τέτοιο. Λέει, αν ξεκινήσει κανείς αντίστροφα μέσα, αν ξεκινήσει με αυτήν εδώ τη σειρά, το 1 μιουν 1 δεύτερο τα φ τετράγωνο, μιουν 1 8 τα φ τετάρτιστο, ό,τι περιγράφεται εκεί, και τώρα πάρει εκεί η ολοκληρώση κάθε όρο, τότε θα βρει πάλι τη σειρά που είναι από πάνω. Από τη μία λοιπόν υπολόγησε, με βάση κάποιες γενικεύσεις, μάντεψε, το μάντεψε δεν είναι σωστή λέξη, αλλά έκανε την οικάζει, ότι το αποτέλεσμα θα είναι αυτής εδώ της μορφής. Αυτό που γράφεται στη δεύτερη σειρά της διεφάνειας, ότι όταν κανείς πάρει το εμβαδό, έτσι αυτό που λέμε ολοκλήρωμα, το αποτέλεσμα θα είναι αυτή εδώ η άπειρη σειρά που είναι στη δεύτερη γραμμή. Στη συνέχεια, αυτή είναι λοιπόν η κασία. Στη συνέχεια λέει, αν παρατηρήσει κανείς αυτό εδώ, μπορεί κανείς να ξεκινήσει με μια άλλη σειρά, την οποία την γράφουμε στην πέμπη γραμμή και ολοκληρώσει, πάρει το ολοκλήρωμα του κάθε όρου, πάλι θα καταλήξει επάνω. Άρα λέει, αυτό που έχω μέσα στο ολοκλήρωμα στα δεξιά της δεύτερης γραμμής, είναι ακριβώς ίσο με το 1 μίον 1 δεύτερο ταύφετ τετράγωνο, μίον 1 όγδο τάφισι δετάτη και ούτω καθεξής. Εντάξει, ταιριάζει. Αυτό λέει, ταιριάζει. Και πάλι συμπερένει η κάζη, ότι το 1 μίον τάφι τετράγωνο 1 δεύτερο, είναι ακριβώς η σειρά, την οποία περιγράφεται κάτω κάτω, σε αυτήν εδώ τη διαφάνεια. Γιατί ταιριάζουν όλα αυτά. Έχει κάνει κασίες. Τι κάνει μετά? Για να βεβαιωθεί ότι όντως αυτό που λέει είναι σωστό, πήρα όντως αυτές τις δύο σειρές. Αυτό που λέει, ότι το 1 μίον τάφι τετράγωνο 1 δεύτερο, θα πρέπει να είναι με αυτό εδώ. Πένει λοιπόν με το τι πρέπει να είναι και το πένει στη δευτέρα. Το πολλοκλασιάζει με τον εαυτό του. Και κάνοντας τις πράξεις βγάζει ότι όντως όταν πολλοκλασιάζει αυτά τα δύο, βγάζει το 1 μίον χ τετράγωνο, όπως θα έπρεπε. Ταιριάζει λοιπόν όλη αυτή εδώ η θεωρία. Και από εκεί προέκυψε ο τύπος. 1 μίον χ τετράγωνο στο 1 δεύτερο, είναι ίσως με αυτό εδώ. Έχει δώσει απόδειξη μέχρι τώρα, έτσι όπως το έχουν περιγράψει τουλάχιστον. Έτσι, απόδειξη δεν έχει δοθεί ακόμη. Αλλά αυτό που έχει πει είναι ότι όλα έχει κάνει οικασίες, και έχει χρησιμοποιήσει συγκεκριμένες περιπτώσεις, έχει κάνει κάποιον έλεγχο. Είναι το γινόμενο των δύο σειρών, γιατί πήρε δύο σειρές και τις πολλαπλασιάσει μεταξύ τους. Πήρε αυτήν εδώ τη σειρά που γράφω εδώ πάνω, πήρε αυτήν εδώ τη σειρά και την πολλαπλασιάσει με τον εαυτό της. Και επιβεβαίω σε ότι αυτό που βγάζει είναι το 1 μιον χί τετράγωνο στο 1 δεύτερο. Είναι αυτό εδώ απόδειξη. Είναι απόδειξη. Ότι το 1 μιον χί τετράγωνο, η ρίζα του είναι ίση με αυτό εδώ, αφού το παίρνει και το πολλαπλασιάζει με τον εαυτό του και επιβεβαιώνει. Εντάξει, ξεκίνησε από γενικέψεις και από οικασίες, έβγαλε ένα αποτέλεσμα και μετά το παίρνει και το πολλαπλασιάζει με τον εαυτό του. Αυτό είναι το κομμάτι που είναι όσο γίνεται πιο κοντά σε απόδειξη. Είναι απόδειξη. Είναι άπειρο και... Αλλά δεν ξέρουμε αν συγκλίνει αυτό λέμε. Είχες κάποια άλλη ιδέα ότι είναι άπειρο αλλά πώς πολλαπλασιάζουμε. Εντάξει, αυτό τονίζει κάτι. Ότι ο Νέφτωνας χειρίστηκε τις σειρές, έτσι, τις άπειρο σειρές, σαν όπως τα χειριζόταν κανείς στα πολιώνυμα, έτσι. Δεν έχει πρόβλημα να το κάνει αυτό. Εμείς σήμερα θα μπορούσαμε να το κάνουμε. Το κάνουμε εμείς σήμερα. Όχι. Τυπικές δυναμωσυρές. Τυπικές δυναμωσυρές τώρα είναι ένα αντικείμενο καθερά γευρικό που μπορείς να το κάνεις, έτσι. Αν κοιτάξεις τυπικές δυναμωσυρές μπορείς να το κάνεις. Δεν τις κοιτάς σαν συναρτήσεις, τις κοιτάζεις σε έναν, αυτά είναι τώρα σύγχρονα, τις κοιτάζεις σε έναν δακτήλιο στον δακτήλιο των δυναμωσυρών, των οποίων το γράφεις με δύο αγγείλες, έτσι. Έχεις δυναμωσυρές, δηλαδή άπειρες, τα οποία τα θεωρείς σαν τυπικά τέτοια θρύσματα, έτσι. Ένινα τα κοιτάξεις σαν συναρτήσεις, σε απασχολεί η σύγκληση και θα πρέπει να μίλησες για όρια και το πώς ισχύουν αυτά. Αφήνω το ερωτηματικό, αποτελούντα παραπάνω απόδειξη ότι η σειρά που δόθηκε για αυτή τη συναρτήση είναι σωστή. Γεννήκευση του διονυμικού θεωρήματος, πριν την έγραψα για το ένα συν χ στην α, εντάξει είναι εύκολο να το δείξει αν αντικαταστήσει κανείς, αν πάρει το χ συν ψ, διαιρεί με το χ και παίρνει το ένα συν ψ δια χ. Αν λοιπόν ισχύει η σχέση για το ένα συν ψ δια χ, ισχύει και γι αυτό εδώ. Πάντως εκείνο το οποίο είναι ενδιαφέρον είναι το πώς χρησιμοποίησε το ολοκλήρωμα, πώς χρησιμοποίησε και το εμβατό για να βγει αυτή εδώ η σειρά. Έτσι, για να βγει η σειρά ή τουλάχιστον στο μυαλό του μ' έφτανα, πήρε ολοκλήρωμα και μετά παρατήρησε ποια είναι η συνάγκηση που θα χρειαστεί με την παραγώγηση, που αντιστοιχεί στο αποτέλεσμα. Που είναι ολοκλήρωμα-παραγώγηση. Έτσι, οι σχέσεις ενάντια στιρές και τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων. Φαημογή του διονυμικού εφεωρήματος. Έτσι, θέλεις να υπολογίσεις τη ρίζα του 7, στις προσεγγίσεις θέλεις να υπολογίσεις τη ρίζα του 7. Για να μην μας απασχολεί η σύγκληση, βρίσκεις το πρώτο τετράγωνο που είναι μεγαλύτερο από το 7. Στην περίπτωσή μας το 9. Το 1 γράφεις το 7 σαν 9 επί 7 έννοτα. Το 7 έννοτα είναι το 1 μίουν κάτι. Και το αφαιρείς κάτι που έχει απόλυτη τιμή, μικρότερη της μονάδας. Εντάξει με τη σύγκληση. Η ρίζα του 7 βγάζεις το 9 απ' έξω. Βγάζεις σαν 3 και μένεις με τη ρίζα του 1 μίουν 2 έννατα. Και μετά εφαρμόζεις το διονυμικό θεώρημα για ένα αριθμό όρων. Όσους περισσότερους όρους βάζεις, τόσο καλύτερη προσέγγιση θα έχεις. Οι απειροσυρές συνέβαλαν στην ανάπτυξη του απειροστικού λογισμού. Αυτό το οποίο συζητάμε έχει σάπηρους όρους. Όμως σύμφωνα με τον Νεύτωνα υπακούν τους ίδιους γενικούς κανόνες. Όπως και τα πεπερασμένα θρίσματα. Και τουλάχιστον είναι ξεκάθαρο στην μυαλό του Νεύτωνα. Ότι τις θεωρίσαν εναλλακτικές μορφές των συναρτήσεων. Έτσι, αυτά είναι μεγάλα βήματα, άλματα στην πορεία του λογισμού και της ανάλυσης. Στα επόμενα θα τα φίξω, νομίζω έχω δύο διαφάνειες ακόμη. Θα τα φίξω αυτήν εδώ τη διαφάνεια πάρα πολύ σύντομα. Γιατί θα μας απασχολήσει αναλυτικότερα την επόμενη εβδομάδα. Θα μελειώσουν οι θεωρήματα του λογισμού που μιλάνε για την αντίστροφη σχέση ανάμεσα στο ολοκλήρωμα και στην παραγώγηση. Τα έχουμε ήδη τονίσει. Στην εργασία αυτή που πάλι πάει από το 1865 και η οποία δημοσιεύτηκε το 1869, δημοσιεύτηκε το 1711. Με λατινικό τίτλο στη γεργασία. Έχει σαν περιεχόμενα γιατί πιέστηκε να τα εμφανίσει αυτά. Θα δούμε γιατί πιέστηκε και πως κολλάει αυτό με την μεγάλη διαμάχη στο λογισμό, για την πατρόετα του λογισμού. Ποιος ανακάλυψε το λογισμό πρώτος, ο Νέφτωνας ή ο Λάιμπνης. Σε αυτό λοιπόν το βιβλίο μιλάει για άπειρο σειρές και γίνεται και η πρώτη περιγραφή του απειροστικού λογισμού. Όπως είπα πριν οι ιδέες του Νέφτωνα έχουν να κάνουν με την μηχανική, με την κίνηση. Οι ποσότητες και οι μεταβλητές και το χι και το ψι μεταβάλλονται ως προς το χρόνο. Και το χι και το ψι αλλάζουν θέση σχέση με το χρόνο. Το ίδιο και για το ψι. Και η ταχύτητα οριθμός μεταβολής του χι είναι αυτό το οποίο λέει flaxion και το συμβολίζει με μικρό πι. Αντίστοιχα ο χρόνος συμβολίζεται με μικρό όμικρο. Έτσι αν περάσει χρόνος σε πολύ μικρό χρονικό διάστημα αυτά είναι πολύ μικρές ποσότητες. Πάμε σε πολύ πολύ μικρές ποσότητες. Στο χρόνο όμικρο το χι θα έχει μετακινηθεί, θα έχει μεταβληθεί κατά μικρό πι. Και αντίστοιχα για το ψι. Για τη μεταβλητή ψι. Και αυτό που θέλεις να υπολογίσεις η κλήση της καμπύλης αυτό που λέμε παράγος δηλαδή εφαπτωμένη είναι πόσο έχει μεταβληθεί το ψι ως προς τη μεταβολή του χι. Αυτό θα σου δώσει την κλήση της καμπύλης. Και αυτό εδώ η εφαπτωμένη δίνεται με μικρό πι ως προς μικρό πι. Σαν μια πρώτη ιδέα γιατί θα τα δούμε πολύ αναλυτικά την επόμενη φορά. Και τελειώνοντας μιας και ξεκινήσαμε κοιτάζοντας την εικόνα του Νεύτωνα στην πρώτη διαφάνεια ο Νεύτωνας πρέπει να ήταν γύρω στα 40 νομίζω εκείνη την εποχή. Αυτή εδώ η επόμενη διαφάνεια έχει την εικόνα του Νεύτωνα και είναι κοντά στο φανατό του. Στην αρχή σχολιάσουμε αν από την προσωπογραφία κάποιου μπορείς να βγάλεις κάποια συμπεράσματα. Το ίδιο ερώτημα και τώρα που είναι κοντά στο τέλος της ζωής του. Συμπεράσματα για τη ζωή που έζησε κάποιος. Και την επόμενη φορά θα αναφέρω και κάποια προσωπικά ζητήματα από την βιογραφία του.