Διάλεξη 9 / Διάλεξη 9 / Διάλεξη 9 - Ζιούτας Γεώργιος (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Διάλεξη 9: Παρακαλώ, κύριέ μου, για να μιλήσω. Παρακαλώ, κύριέ μου, για να μιλήσω. Παρακαλώ, κύριέ μου, για να μιλήσω. Παρακαλώ, κύριέ μου, για να μιλήσω. Λοιπόν, παιδιά, σήμερα θα μιλήσουμε για χρήσιμες κατανομές που αφορούν την διακριτή τυχαία μεταβλητή. Πολλές φορές ο μηχανικός, στο πρόβλημά του, όταν κάποιο μέγεθος είναι στοχαστικό, είναι τυχαία μεταβλητή, για να εκτιμήσει την πιθανότητα τυχαία μεταβλητή να πάρει κάποιες τιμές, πρέπει να ξέρει τη συνάτηση επικρινότητας πιθανότητας. Σε πολλά προβλήματα, όμως, δεν γνωρίζει τη συνάτηση επικρινότητας πιθανότητας. Και μπορεί να επιλέξει μία από τις χρήσιμες κατανομές, των οποίων ο τύπος της συνάτησης επικρινότητας πιθανότητας δίνεται και μπορεί να το χρησιμοποιήσει. Ποια, όμως, θα επιλέξει? Θα επιλέξει εκείνη την κατανομή που είναι πιο κοντά, που ταιριάζει πιο πολύ με την τυχαία μεταβλητή με το μέγεθος, το οποίο έχει συναντά στο πρόβλημά του. Και θα επιλέξει εκείνη όπου πληρούνται οι κατάλληλες προϋποθέσεις. Και αυτές οι προϋποθέσεις, βέβαια, σπανίως ικανοποιούνται. Θεωρητικά πληρούνται αυτές οι προϋποθέσεις, γι' αυτό και αυτές οι κατανομές ονομάζονται και θεωρητικές κατανομές. Δηλαδή, οι προϋποθέσεις δεν πληρούνται εξελοκλήρου, πληρούνται μόνο θεωρητικά. Θα ξεκινήσουμε από την περνούλη κατανομή, η οποία δεν είναι πολύ χρήσιμη, αλλά είναι η βασικότερη για να δημιουργήσουμε τις άλλες κατανομές. Στη συνέχεια θα αναφέρομαι αρκετά παραδείγματα, θα λύσουμε ασκήσεις, προβλήματα, όπως και αύριο θα κάνουμε το ίδιο πράγμα, γιατί το βασικότερο δεν είναι να κατανοήσετε μόνο τις κατανομές αυτές, αλλά και να λύνετε και προβλήματα. Και στην επόμενη εβδομάδα θα περάσουμε για την συνεχή τυχαία μεταβλητή, θα λύσουμε και εκεί πέρα προβλήματα και θα τελειώσουμε, γιατί μετά θα ξεκινήσετε σταθεστική με τον κ. Κουγιωμπτσί. Εν ελλακτικά, εάν κάποιος δεν επιλέξει για το μέγεθος, για την τυχαία του μεταβλητή, μία από τις χρήσιμες κατανομές, θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει τον πίνακα κατανομή συχνοτήτων, να κάνει την πολυγωνική γραμμή και να δει η πολυγωνική γραμμή, η οποία παριστάνει την συνάρτηση πυκνών της πιθανότητας κατά κάποιο τρόπο, να δει ποιο είναι το σχήμα της και να χρησιμοποιήσει την ανάλογη κατανομή πιθανότητας. Ή, ένας άλλος τρόπος είναι, από εμπειρία από το παρελθόν, από τη βιβλιογραφία δηλαδή, να ξέρει η τυχαία του μεταβλητή, ποια κατανομή ακολουθεί. Δηλαδή, αν δίνεται στη βιβλιογραφία, ή από εμπειρία από άλλους μηχανικούς ή άλλους ερευνητές. Ο κυριότερος όμως τρόπος είναι αυτός εδώ πέρα, να χρησιμοποιήσουμε για την τυχαία μεταβλητή, μία από τις χρήσιμες κατανομές, αυτές τις πέντε που ανέφερα, ή και μερικές άλλες, οι οποίες δεν θα προλάβουμε να τις πούμε εδώ πέρα. Ξεκινάμε λοιπόν από την περνούλη. Πρέπει να δούμε, πότε μία τυχαία μεταβλητή λέμε ότι ακολουθεί την κατανομή περνούλη. Όταν έχω ένα πείραμα τύχης, όπου ο δειγματικός χώρος έχει δύο ενδεχόμενα, να συμβεί το γεγονός α ή να μην συμβεί. Σε αυτή την περίπτωση ο ρίζος αν τυχαία μεταβλητή τον αριθμό γεγονό των α, που σε αυτή την περίπτωση είναι 1 και στην άλλη την περίπτωση είναι 0. Σε αυτό το πείραμα λοιπόν, το οποίο έχει μόνο δύο ενδεχόμενα να συμβεί το α να μην συμβεί, η τυχαία μεταβλητή παριστάνει αριθμό εμφάνισης του α στο πείραμα που είναι 1 όταν συμβαίνει και 0 όταν δεν συμβαίνει. Το πεδίο τη μόνη της χ είναι απλό, είναι 1 και 0. Η συνάρτηση μάζας της πιθανότητας της χ είναι η πιθανότητα χ ίσον με 1, το οποίο συμβολίζεται συνήθως σαν πι. Είναι η πιθανότητα δηλαδή να φανεί το γεγονός α, η πιθανότητα να συμβεί το α ίσον πι. Και η πιθανότητα τυχαία μεταβλητή να πάρει την άλλη την μη μη μεν, αυτό εισούνται φυσικά με 1 μη οπί. Γιατί το άθλισμα τους δίνει τη μονάδ. Και αυτό είναι η πιθανότητα να μη συμβεί το γεγονός α. Εδώ πέρα το πείραμα αυτό το οποίο έχει δύο ενδεχόμενα να συμβεί το α να μη συμβεί ονομάζεται και δοκιμή Μπερνούλη. Και μία βασική ιδιότητα είναι ότι σε κάθε δοκιμή η πιθανότητα να συμβεί το γεγονός α είναι πι και να μη συμβεί είναι 1 μη οπί σε κάθε δοκιμή που κάνουμε. Σε αυτή την κατανομή μπορούμε να συμπληρώσουμε ότι η μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής χ, που έχει σαν παιδί οτιμών, ποιο έχει σαν παιδί οτιμών το 1 και μη 0 και συνάρτηση μάζας το πι και 1 μη οπί, σύμφωνα με τον ορισμό η μέση τιμή θα είναι άθλισμα χΑ επί πέχει ίσου χΑ, δηλαδή η μία τιμή 1 επί την πιθανότητα πι συν την τιμή 0 επί την πιθανότητα 1 μη οπί. Αυτό κάνει 0 και αυτό εδώ πέρα κάνει πι. Άρα η μέση τιμή μιας τέτοιας τυχαίας μεταβλητής είναι πι. Και η διακύμανση θα είναι όπως είχαμε πι σύμφωνα με κάποια ιδιότητα, το ε η μέση τιμή του χ δετράγωνο, μίον τη μέση τιμή στο δετράγωνο που είναι το πι στο δετράγωνο. Και εδώ πέρα θα έχουμε λοιπόν αυτό θα είναι 1 στο δετράγωνο, θα είναι πι το δετράγωνο, μίον πι στο δετράγωνο και αυτό ισούνται με πι επί ένα μίον πι. Έτσι λοιπόν αναφέραμε όλες τις δύο βασικές παραμέτρους μέση, τιμή και διακύμανση. Αυτή είναι η συνάρτηση μας και αυτό είναι το παιδί τιμών της τυχαίας μεταβλητής. Σε αυτή την περίπτωση η τυχαία μεταβλητή λέμε ότι ακολουθεί μπερνούλη κατανομή. Ο μηχανικός όμως δεν έχει πολλές φορές τέτοια απλή τυχαία μεταβλητή. Αλλά όπως είπαμε αυτή την τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί μπερνούλη, ότι έχουμε πει εδώ είναι η βάση για να δημιουργήσουμε τις άλλες χρήσιμες κατανομές. Και πριν προχωρήσουμε εκεί πέρα, να αναφέρομαι την ακολουθία μπερνούλη. Σε μία ακολουθία μπερνούλη έχουμε ενδοκιμές μπερνούλη. Έχουμε ενδοκιμές. Στις ενδοκιμές μπορεί την πρώτη φορά να συμβεί το γεγονός α, την δεύτερη φορά να συμβεί, την τρίτη να μη συμβεί. Μετά να μη συμβεί. Έχουμε διάφορες περιπτώσεις. Αν, λοιπόν, στις ενδοκιμές έχουμε χ φορές το α και προφανώς εν μιον χ φορές όχι α. Σε μία ακολουθία μπερνούλη έχουμε ενδοκιμές. Κάθε φορά που δοκιμάζουμε αν συμβαίνει ή όχι το α, σε κάποιες από αυτές συμβαίνει, σε κάποιες δεν συμβαίνει και ούτε ο κατεπτής. Συγκεκριμένα, σε αυτή την ακολουθία που έχουμε ενδοκιμές, χ φορές εμφανίζεται το α και εν μιον χ φορές δεν εμφανίζεται. Η πιθανότητα στις ενδοκιμές να έχουμε αυτήν την συγκεκριμένη ακολουθία είναι η πιθανότητα της τομής αυτών των γεγονότων. Εδώ πέρα εννοούμε ότι υπάρχει το μι με συμβαίνουν αυτά τα γεγονότα. Τα γεγονότα όμως αυτά είναι ανεξάρτητα. Γιατί τονίσαμε πριν ότι σε κάθε δοκιμή μπερνούλη η πιθανότητα να συμβεί το γεγονός α είναι σταθερή πάντα σε κάθε δοκιμή. Αν συμβαίνει ή δεν συμβαίνει το α, πάντα είναι σταθερή η πιθανότητα. Άρα η πιθανότητα της τομής αυτών των γεγονότων, σύμφωνα με τον πολυποσιαστικό κανόνα, είναι το γινόμενο των πιθανότητων τους. Και επειδή είναι ανεξάρτητα όπως τονίσαμε εκεί, έχουμε το γινόμενο των πιθανότητων τους που είναι πι επί πι, επί έναν μιον πι, άρα θα είναι πι στην χ, αφού είναι χ φορές το α, επί έναν μιον πι στην έναν μιον χ, γιατί αν μιον χ είναι το συμπληρωματικό του α. Άρα λοιπόν η πιθανότητα, αν έχω ενδοκιμές Μπερνούλη, η πιθανότητα να φανούν χ φορές το α και εν μιον χ, με αυτήν τη σειρά, όπως την βλέπετε στον πίνακα, είναι πι στην χ, επί έναν μιον πι στην εν μιον χ. Αυτά τα σχετικά ήθελα να πω σχετικά με την Μπερνούλη κατανομή, αλλά ιδιαίτερα με την ακολουθία ενδοκιμών, που η πιθανότητα είναι πι στην χ, επί έναν μιον πι στην εν μιον χ, και αυτό θα με βοηθήσει να φτιάξω την διονομική κατανομή. Υπάρχει και μια πορεία, ναι. Η διακύμανση του χ είναι ε χ τράγωνον μιν τη μέση τιμή του χ, είναι μια βασική ιδιότητα που αναφέραμε για τη διακύμανση. Το χ τράγωνον, εδώ είναι η μέση τιμή του χ, είναι το πι. Ναι. Η μέση τιμή του χ τράγωνον είναι ένα στο δετράγωνον επί πι, στις μηδένες στο δετράγωνον επί έναν μιον πι. Εντάξει, τυχαίνει να βγαίνει πι, γιατί ένα στο δετράγωνον πάλι πι κάνει. Λοιπόν, υπάρχει και μια άλλη πορεία σχετικά με την περνούλη. Η περνούλη δεν χρησιμοποιείται πολλές φορές, είναι μια απλή κατανομή, αλλά θα χρησιμοποιήσουμε όλα τα σχετικά για τη δυναιμική. Στην δυναιμική έχουμε εν δοκιμές περνούλη. Ας πούμε, ελέγχουμε εν ανταλλακτικά. Το κάθε ανταλλακτικό μπορεί να είναι καλό ή ατοματικό. Έχουμε δύο γεγονότα. Υπάρχει μια σταθερή πιθανότητα το κάθε ατοματικό να είναι ατοματικό πι. Υπάρχει μια σταθερότητα πι, το κάθε ένα να είναι ατοματικό. Μια τυχαία μεταβλητή χ παριστάνει γενικά αριθμό γεγονότων, παριστάνει αριθμό γεγονότων α. Στις εν δοκιμές. Άρα το χ μπορεί να πάρει την τιμή έξω από δύο τιμών το 0, 1, 2, μέχρι 1. Σε μια τέτοια περίπτωση όπου έχουμε εν δοκιμές περνούλη πάντα υπάρχει μια σταθερή πιθανότητα πι. Είναι πιθανότητα να συμβεί το γεγονός α. Μια τυχαία μεταβλητή χ σε αυτό το πρόβλημα παριστάνει αριθμό πραγματοποίηση εμφάνισης του α. Στις εν δοκιμές περνούλη που κάνουμε. Και προφανώς το πεδίο τιμών είναι από 0, 1, 2, μέχρι 1. Άρα σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για τη συνάρτηση μάζας πιθανότητας της διονυμικής την οποία θα υποδείξουμε τώρα πώς θα την ορίσουμε. Δηλαδή σε μία τέτοια σε ένα τέτοιο πρόβλημα ποια είναι η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή χ στις εν δοκιμές να πάρει την τιμή χ μικρό. Και αυτή η επιθανότητα είναι η συνάρτηση μάζας πιθανότητας της χ. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρει την τιμή χ μικρό, δηλαδή η 0, η 1, η 2, η 1. Πώς θα την υπολογίσουμε αυτή την πιθανότητα. Μήπως μπορεί να μας μπορευθήσει η ακολουθή απερνούλη της οποίας η πιθανότητα είναι. Γιατί και εδώ έχουμε ενδοκιμές και εδώ χ φορές έχουμε το α. Και εδώ θέλουμε το χ να πάρει την τιμή χ μικρό. Το χ παριστάνει αριθμό γεγονότων α. Θέλουμε το γεγονότων α να είναι χ. Δηλαδή αυτό το γεγονός είναι ίδιο με αυτό. Και εδώ έχουμε στις ενδοκιμές έχουμε χ φορές το α. Και υπολογίζουμε την πιθανότητα στις ενδοκιμές να έχουμε χ φορές το α. Να την υπηθανότητα. Μπορώ να γράψω εδώ πι εις τη χ επί ένα μειο πι εις την εν μειο χ. Είναι σωστό αυτό. Λέγε. Γιατί να αντιρρέσουμε το χ. Να το κάνουμε λίγο πιο σοφιστικαίτητο. Πρέπει να το δικηλογήσουμε όμως. Ό,τι λες πρέπει να το δικηλογείς. Εγώ θα το δικηλογήσω τώρα ότι θα πω. Το γεγονός ότι στις ενδοκιμές θα έχω χ φορές το α. Μια πιθανότητα είναι αυτή. Αλλά δεν είναι μόνο αυτή η πιθανότητα. Πρέπει να προσθέσω και την πιθανότητα όλων των άλλων τρόπων. Όπου στις ενδοκιμές μπορεί να έχω χ φορές το α. Γιατί εδώ στην ακολουθία αυτή είναι η πιθανότητα στις ενδοκιμές να έχω χ φορές το α. Μα αυτή τη σειρά. Δυό φορές να εφανίζεται το α μετά να μην εφανιστεί και το κατ' εξής. Αλλά σε αυτή την ακολουθία στις ενδοκιμές χ φορές να εφανίσει το α. Υπάρχουν και άλλες τρόποι και άλλες ακολουθίες που μπορώ να έχω. Δηλαδή το γεγονός αυτό μπορεί να συμβεί με περισσότερο από έναν τρόπο. Αν ήταν ο μοναδικός τρόπος μόνο αυτός εδώ πέρα τότε αυτή η πιθανότητα θα ήταν αυτή της ακολουθίας. Αλλά υπάρχουν διαφορετικές ακολουθίες όπως στις ενδοκιμές χ φορές να εφανίζεται το α. Και πώς είναι όλη αυτή η δυνατή τρόπη όπως στις ενδοκιμές χ φορές να εφανίζεται το α. Πώς είναι όλη αυτή η τρόπη. Μήπως μπορούμε να θυμηθούμε λίγο τους συνδυασμούς εν πραγμάτων ανακάπα που είχαμε πει. Ή να χρησιμοποιήσουμε τον κατησιανό γυνόμενο όπως είχαμε πει σαν τρόπο με μέθοδο απαρρύθμισης. Ή τις μεταθέσεις. Ποιος μπορεί να μου πει με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να το έχω αυτό όπου στις ενδοκιμές χ φορές θα εφανίζεται το α. Υπάρχουν πολλοί τρόποι. Μπορεί να εφανιστούν στην αρχή όλα τα α. Να εφανιστούν χ φορές τα α και εν μείον χ μετά ένας τρόπος είναι αυτός. Ένας άλλος τρόπος είναι να αλλάγαζουν θέσεις μέσα. Ναι. Ένα αναχεί. Τι θα πει αυτό ένα αναχεί. Εν όχι ένα συγνώμη εγώ δεν άκουσα καλά. Εν αναχεί. Συνδυασμή λέω συναδελφός σας εν αναχεί. Αυτό είναι σωστό. Αλλά πρέπει να δοκιολογήσουμε. Ναι. Το ίδιο είπε. Η συνδυασμή εν αναχεί είναι το εν παραγωδικό προς χ παραγωδικό επί ανα μείον χ. Αυτές δεν είναι οι μεταθέσεις με επαναλαμβανόμενα στοιχεία. Αυτό που είπες είναι ο τύπος του συνδυασμού εν πραγμάτων αναχεί. Πρέπει όμως να δοκιολογήσουμε γιατί παίρνουμε τους συνδυασμούς εν πραγμάτων αναχεί. Γιατί θεωρείστε ότι εδώ έχουμε εν θέσεις. Ενδοκιμές εν θέσεις. Έχουμε εν θέσεις και το α πιάνει την πρώτη, την δεύτερη, όπως βλέπετε εδώ, την τρίτη, κάποιες από αυτές χ της πιάνει το α. Δηλαδή έχω εν διαφορετικές θέσεις, τη μία, δύο, τρία, μέχρι την εν διαφορετικές θέσεις και το α παίρνει μία υποομάδα κ από αυτές τις θέσεις. Εδώ πέρα δεν το συμβολίζουμε με κ, το συμβολίζουμε με χ μικρό. Με πώς διαφορετικούς τρόπους το α πιάνει αυτές τις θέσεις, γιατί εξετάζω μόνο για το α, γιατί το α συμπληρωματικό θα πιάνει αυτές που μένουνε. Άρα αρκεί να πω με πώς διαφορετικούς τρόπους το α παίρνει αυτές τις θέσεις. Δηλαδή από εν θέσεις το α θα πάρει χ μικρό θέσεις. Με πόσους τρόπους μπορεί να το κάνει αυτό, δεν με ενδιαφέρει η σειρά των θέσεων, αλλά ποιες θέσεις είναι. Είναι η πρώτη, η δεύτερη, η λάμδα, η μη, η νή, πια είναι κτλ. Είναι δηλαδή αν έχω εν διαφορετικά πράγματα και να πάρω χ μικρό από αυτά ή κ όπως λέγαμε κάποτε. Είναι δηλαδή συνδυασμή εν πραγμάτων ανα κ. Με ενδιαφέρει η ομάδα ποιες θέσεις είναι και όχι η σειρά των θέσεων. Δηλαδή με ενδιαφέρει ότι το α θα πιάνει την πρώτη, την δεύτερη, την εν, την εν κτλ. Άρα αυτή είναι συνδυασμή εν πραγμάτων ανα χ, όπως είπα και στην αδελφή σας πριν. Άρα αυτή η πιθανότητα είναι η πιθανότητα όχι μόνο της μιας ακολουθίας, αλλά με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ να έχω αυτή την ακολουθία. Την έχω συνδυασμή εν πραγμάτων ανα χ, δηλαδή είναι η πιθανότητα της ένωσης όλων αυτών των διαφορετικών τρόπων. Και ο κάθε τρόπος έχει πιθανότητα π ή στι χ, επί έναν εν μοιωπή, π ή στι χ, επί έναν μοιωπή ή στην εν μοιωχή. Άρα αυτή είναι η συνάντηση μαζας πιθανότητας της διονυμικής κατανομής. Δηλαδή όταν έχω εν δοκιμές, όταν έχω μια σταθήρια πιθανότητα να συμβεί το α και όταν το χ παριστάνει αριθμό γεγονότων στις εν δοκιμές και έχεις αντεδείο τιμών το 0, 1, 2 μέχρι το εν, τότε η συνάντηση μαζας, ο τύπος δηλαδή της διονυμικής είναι αυτός εδώ. Αν ταιριάζει το πρόβλημά μου, αν ταιριάζουν αυτές οι προϋποθέσεις, τότε ο μηχανικός, σαν πως είπαμε, θα επιλέξει την διονυμική, θα επιλέξει τον τύπο της διονυμικής. Αλλά αρκεί να ταιριάζουν αυτές οι προϋποθέσεις, δηλαδή να το πόλημά του να μπορεί να το μοντελάρει σαν να δει ποιες είναι οι δοκιμές Μπερνούλη, όπου υπάρχει σταθερή πιθανότητα κάθε δοκιμή να έχει πιθανότητα το α, και να δηλώσει ξεκάθαρα ότι η τυχαία του μεταβλητή είναι αυτή που παρουστάρει, τουλάχιστον, γεγονότων στις ενδοκιμές και ότι πράγματι παίρνει τιμές από το 0 μέχρι το εν. Σε αυτή την περίπτωση αυτή είναι η συνάντηση μάλλας. Το άθροισμα όμως αυτό εδώ πέρα, για να το ελέγξουμε, για να είμαστε και συνεπίσεις με αυτά που είπαμε πριν, το άθροισμα αυτό, τον 1x, επί πίστη x, επί 1-p, εις την 1-x, για x από 0 μέχρι 1, εις ούτε με τη μονάδα. Τα πρέπει, αφού είναι συνάντηση μάλλας πιθανότητας, σύμφωνα με την βασική ιδιότητα, το άθροισμα αυτό, εσείς είστε με τη μονάδα. Με τη βοήθεια του αναπτύγματος του διονύμου α'συν β'συν εν, αν θυμάστε από το λύκειο, που είχαμε εκεί πέρα έναν συντελεστή α'συν εν επί β, στην κάποιον άλλο συντελεστή σαν κι αυτό εδώ πέρα που ήταν α'συν χ-1, επί β, εις την εν-1, δηλαδή ο χθέτης το α ανεβαίνει, το β κατεβαίνει κτλ, είχαμε αυτό το αναπτύγματο διονύμου. Όπου οι συντελεστές ήταν κάτι παρόμοια σαν κι αυτό εδώ πέρα. Και αυτό εδώ πέρα, το άθροισμα δηλαδή, είναι σαν το ανάπτυγμα του διονύμου που γνωρίζουμε. Όπου α, μπάλουμε το π και β το ένα μειο π, δηλαδή αν μπάλω όπου α το π και σαν β το ένα μειο π και το υψώσω εις την εν, αυτό εδώ είναι αυτό εδώ. Το π συν ένα μειο π εις την εν, το π συν ένα μειο π εις την εν, είναι σαν το ανάπτυγμα του διονύμου. Και είναι αυτό εδώ. Όπου αυτό είναι το α, αυτό είναι το β, ο εκθέτης του α είναι αυτός, το β είναι αυτός, πέφτει ο εκθέτης καθώς του μεγαλώνει το άθροισμα, πέφτει αυτός ο εκθέτης ή μάλλον ανεβαίνει αυτός ο εκθέτης, πέφτει ο άλλος και έχουμε συντελεστεί το συνδυασμούς εν πραγμάτων ανάγκη. Άρα λοιπόν αυτό το άθροισμα το οποίο θέλω να δω αν κάνει τη μονάδα είναι το ανάπτυγμα π συν ένα μειο π εις την εν. Αλλά αυτό όμως είναι μονάδα. Αυτό εδώ κάνει μονάδα. Γιατί π συν ένα μειο π ένα, ένα εις την εν κάνει μονάδα. Και επειδή αυτή η απόδειξη έγινε με βάση το ανάπτυγμα του διονύμου, γι' αυτό και αυτήν την κατανομή την ονομάσαμε, ονομάζεται διονομική. Γιατί αυτή η απόδειξη ότι το άθροισμα των πιθανοτήτων της συνάρτησης σημάδας είναι ένα που πρέπει να είναι ένα για να είναι αυτό συνάρτηση σημάδας, η απόδειξη στηρίζεται στο ανάπτυγμα του διονύμου. Συνδυασμή ένα πραγμάτον αναχεί. Το είχαμε αναφέρει αυτό στα πρώτα βαθύματα με τους συνδυασμούς, με τους μεθόδους απαρίστησης. Εντάξει. Και από το ανάπτυγμα του διονύμου είχατε κάποιους συντελεστές εκεί πέρα. Είναι αυτοί οι συντελεστές. Αν παραγωδικό, προσέν, μειονχή παραγωδικό, επιχεί παραγωδικό. Ήταν οι συντελεστές του ανάπτυγματος του διονύμου α' στη β' στη ν. Και επίσης τώρα δούμε ποια είναι η μέση τιμή και η διακύμανση για να έχουμε όλους τους τύπους που αφορούν μία κατανομή. Σε μία κατανομή πρέπει να ξέρουμε το πεδίο τιμών της Χ, ή πρώτα απ' όλα να ξέρουμε τι παριστάνει τη χεή μεταβλητή, ποιο είναι το πεδίο τιμών, ποια είναι η συνάτηση μας πιθανότητας, ποια είναι η μέση τιμή και ποια είναι η διακύμανση. Έχουμε όλες τις πληροφορίες. Εδώ πιάνει η μέση τιμή, θα μπορούσε κάποιος να πει ότι η διονυμική είναι το άθρυσμα εν μπερνούλι κατανομών. Έχουμε ένα δοκιμές. Θα μπορούσε κάποιος να πει ότι η τυχαία μεταβλητή Χ που ακολουθεί τη διονυμική είναι το άθρυσμα εν μπερνούλι τυχαίων μεταβλητών που είχαμε πει στην αρχή. Γιατί αφού το Χ παριστάνει τον αριθμό γεγονό των άρθα στις εν δοκιμές, αυτή η τυχαία μεταβλητή είναι ισοδύναμη με το άθρυσμα εν απλών μπερνούλι τυχαίων μεταβλητών που παριστάν το μηδέν ένα αν θυμάστε την μπερνούλη. Δηλαδή την πρώτη δοκιμή αν πάρει την τιμή μηδέν ή ένα, στη δεύτερη θα πάρει την τιμή μηδέν ή ένα και το άθρυσμα αυτό το μηδέν ή ένα θα δώσει την τιμή στην διονυμική. Γιατί αυτή παριστάνει τον αριθμό άλφα στις εν δοκιμές. Και αν θέλω να βρω τη μέση τιμή της διονυμικής, σύμφωνα με μια διότητα που είχαμε πει για τη μέση τιμή, είναι η μέση τιμή του αθρίσματος φωνέν και η κάθε μία από αυτές έχει π μέση τιμή, άρα τελικά βγαίνει ν επί π, επειδή όλες είναι το ίδιο και έχουν π μέση τιμή. Θα μπορούσε έτσι κάτι να θα βρει τη μέση τιμή της διονυμικής ή από τον αριθμό να κάνει πράξη στη μέση τιμή της διονυμικής, ισούτερ με άθρυσμα, τη μη χ, επί εν χ, επί την πιθανότητα, πί στη χ, επί εν ομοιοπί ή συν εν μοιοχ. Είναι η πιθανότητα μας επί τη μη χ για χ ίσον από μη 0 μέχρι όσον είναι το πεδίο τιμών. Εδώ πέρα το άθρυσμα ισούτερ τελικά με ν επί π. Στο διβλίο άμα θέλει κάποιος μπορεί να βρει την αποδειξούλα πώς προχωράνε οι πράξεις εδώ πέρα. Γίνεται κάποιο τρίκ εκεί πέρα όπου λέει ότι αυτό εδώ πέρα το εν αν χ ισούτερ με εν προς χ και συνδυασμή εν μοιον ένα πράγματον αν χ μοιον ένα το βάζει εδώ κάνει κάποιες πραξούλες, κάποιες αποποιήσεις για να μπορέσει να υπολογίσει αυτό το άθρυσμα, για να μπορέσει να το υπολογίσει τελικά και βγαίνει ο ισούτερ με ν επί π. Επίσης για να μην χρονοτριβούμε άλλο έχουμε και τη διακύμανση της χ για να ολοκληρώσουμε τη διονομική. Βγάζει τη σχή, πάλι θα πρέπει να πάρει κανένας το εχ τετράγωνο μοιον το μι που είναι εν επί π στο τετράγωνο, εδώ πάλι να χρησιμοποιήσει αυτό τον ορισμό, να βάλει εδώ χ τετράγωνο και να κάνει πράξεις και τελικά να βγάλεται ο ισούτερ με εν επί π μετά από πράξεις επολοποιήσει ο ισούτερ με εν επί π επί ένα μοιο π, είναι η διακύμανση. Είναι η διακύμανση της διονομικής. Υπάρχει και μια πορεία να κάνουμε μερικά παραδείγματα στη διονομική. Ναι, ναι. Ποιο? Εν επί π ή ένα μοιο π. Όχι, εδώ πέρα η εχ τετράγωνο είναι αυτό εδώ πέρα το άδεισμα με χ τετράγωνο εκεί. Να κάνεις πράγκια να το βρεις, δεν είναι τόσο εύκολο. Το εχ τετράγωνο δεν είναι εν επί π στο τετράγωνο. Δεν είναι εν επί π, ε? Αυτό το εχ στο τετράγωνο, ισούτερ με εν επί π στο τετράγωνο. Το εχ τετράγωνο όμως είναι άλλο. Δεν ξέρω πόσο είναι ακριβώς. Δεπτομέρεις μπορείς να δεις μέσα στο βιβλίο, να πάρεις εδώ πέρα άθλησμα χ τετράγωνο, επί την πιθανότητα και ούτω καθεξής. Πάλι θα κάνεις πράξεις. Δεν έχω υπόψημα στις στιγμές για να το γράψω ακριβώς πόσο είναι, πως γίνονται οι πράξεις. Δεπτομέρειες θα δεις μέσα στο βιβλίο. Γιατί και εδώ που βγάλαμε αυτό εν επί π, πάλι είπαμε ότι έχει κάποια πράξεις να γίνουν, να προποιήσεις κτλ. Περισσότερες δεπτομέρειες υπάρχουν μέσα στο βιβλίο. Θα μπορούσεις και από εδώ βέβαια να το βγάλεις πιο απλά. Το βάρινς χ, από εδώ θα μπορούσεις να παίρνεις το μέσο χ 1 τετράγωνο, να το αντικαταστήσεις και να αφαιρέσεις το αν πει τετράγωρο. Από εδώ και εδώ μπορείς να κάνεις εμπροπήση και εύκολα να το βγάλεις. Αλλά αυτό είναι ένας έμεσος τρόπος. Ο άμεσος τρόπος είναι αυτός εδώ πέρα. Σε βάση συμπεριπτώση, ας κάνουμε μερικά παραδείγματα. Ρίχνουμε ένα ζάρι 20 φορές. Ποια επιθανότητα να έχουμε 5 άσους. Άμα ρίξω ένα ζάρι 20 φορές, κάθε φορά που το ρίγνω υπάρχει μια επιθανότητα να φέρω άσο, η οποία είναι ένα έκτο. Άμα ρίξω σαν τυχαία μεταβλητή, όσοι άσοι ήρθαν στις 20 δοκιμές που έχουν είχες 20 φορές που άρχισαν το ζάρι, παίρνουν τη μη 0, 1, 2, 3, μέχρι 20. Μπορεί και στις 20 να έχουν άσους. Εγώ θέλω την επιθανότητα να έχω 5 άσους. Άρα έχω συνδυασμοί τον 20, ανα 5, επί π, εις την πέμπτη, που είναι το 1 έκτο, επί 1 μη 1 π, εις την δεκάτη πέμπτη. Το π είναι 1 έκτο. Άμα κάνουμε πράξεις, θα βρούμε εδώ πέρα ότι η επιθανότητα περίπου ισούται με 0,13 περίπου. Κάπου 0,13 περίπου. Δεν είναι ακριβώς, αλλά περίπου βγαίνει 0,13. Και ποιος είναι ο μέσος αριθμός των άσων που έρχονται στις 20 ρήψεις. Αν θέλουμε να ξέρουμε ποιος είναι ο μέσος αριθμός των άσων στις 20 ρήψεις. Αυτό ισούται με 1 επί π, ισούται με 20 επί 1 έκτο, 20 έκτα, το οποίο είναι 3,30. Συγνώμη, 21,6 είναι 3,618, 1 επί π είναι 3,33. Τρία περίπου άσους έχουμε στις 20 ρήψεις. Αν υποθέσουμε, ας δούμε τι καμία άσκηση από το test. Δεν έχει πιθανότητα στις 20 φορές που θα ρίξουμε το ζάρι να έχουμε πέντε άσους. Όταν ρίχνουμε το ζάρι έχουμε δύο ανδεχόμενα. Εδώ όμως το πρόβλημά μας έχουμε, να έρθει άσος ή να μην έρθει. Δεν μας ενδιαφέρει αν δεν έρθει άσος τι άλλο θα έρθει. Είναι το άλλο γεγονός, το συμπληρωματικό του Ά, το οποίο έχει πέντε έκτα και ο άσος έχει ένα έκτο. Δηλαδή εδώ πέρα στο πείραμα ο δημοτικός χώρος έχει άσο να έρθει άσος ή να μην έρθει. Δεν έχουμε ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε, έξι ανδεχόμενα. Δεν το φορμάρω έτσι το πρόβλημα. Το φορμάρω όπως οι προϋποθέσεις της δυναιμικής. Και υπάρχει πάνω τη σταθερή πιθανότητα να έρθει ο άσος ένα έκτο. Με αυτές τις προϋποθέσεις έχουμε δυναιμική κατσανομία. Αν κάθε φορά που ρίχνει το ζάρι δεν έχω σταθερή πιθανότητα, για τον αφροβιταλόγο δεν είναι δυναιμική. Και έτσι μπορώ να προχωρήσω. Αν έχουμε μία ηλεκτρική γραμμή όπου έχουμε στήλος, υποθέτει ότι η πιθανότητα ένας στήλος να έχει βλάβη είναι 1%. Αν ελέγξουμε για παράδειγμα 100 στήλους στη γραμμή, ποια είναι η πιθανότητα να βρούμε ότι οι στήλοι που έχουν βλάβη το πολύ να είναι 5, για παράδειγμα. Υποθέτει ότι σε μία ηλεκτρική γραμμή έχουμε 100 στήλους. Υπάρχει πιθανότητα κάθε στήλος να είναι ερωτηματικός με πιθανότητα 1%. Ποια είναι η πιθανότητα να έχουμε λιγότερο από πέντε στήλους ερωτηματικούς. Αυτό θα είναι η αθροιστική της γραμμικής. Χ ίσον από μηδέν μέχρι πέντε συνδυασμοί 1X, επί 0,01X, επί 0,99X. Χρησιμοποιούμε εδώ την αθροιστική της γραμμικής. Όταν θέλουμε να απολογίσουμε την πιθανότητα του Χ να είναι μικρότερον ίσον από κάτι, χρησιμοποιούμε προφανώς την αθροιστική. Εδώ είναι επί 0,99 ή στην έμειο Χ. Κάνουμε πράξη και βρίσκουμε αυτήν την πιθανότητα. Η μέση τιμή εδώ πέρα είναι εκατό επί ένα. Μας κάνει η μέση τιμή των ερωτηματικών στυλών στους εκατό. Είναι 1 επί πί, ή σούτε με 1. 1 επί πί σούτε με 1. Δηλαδή, κατά μέσο όρο έχουμε έναν στύλο ερωτηματικό στους εκατό στύλους. Σε μια ελεκτρική γραμμή. Εδώ πέρα να παρατηρήσουμε ότι σε μια ελεκτρική γραμμή στους εκατό στύλους, ο ένας κατά μέσο όρο είναι ερωτηματικός. Και αυτό θα μπορούσε κάποιος να πει, δεν είναι απαραίτητο να είναι συνεχόμενοι οι εκατό στύλοι. Εκατό στύλοι δεν απαραίτητο να είναι συνεχόμενοι. Αν μου πει κάποιος ότι εκατό στύλοι αυτοί δεν είναι συνεχόμενοι, πάλι η μέση τιμή των ερωτηματικών στους εκατό, έστω και δεν είναι συνεχόμενοι, πάλι είναι ένα. Το ίδιο είναι. Δεν πειράζει αν είναι συνεχόμενοι οι στύλοι εκατό ή όχι. Γιατί ο κάθε ένας έχει πιθανότητα σταθερή να είναι ερωτηματικός 1% Το επανέλθουμε πάλι εδώ πέρα στην δυναιμική για να προχωρήσουμε λίγο στην γεωμετρική. Στην γεωμετρική έχουμε αντίστροφα ότι η τυχαία μεταβλητική δεν παριστάνει αριθμό γεγονό των α, παριστάνει αριθμό δοκιμών. Είναι το αντίστροφο. Παριστάνει αριθμό δοκιμών, μπερνούλι εννοούμε, δοκιμών μέχρι εμφάνιση του α. Πόσες δοκιμές μπερνούλι θα κάνουμε μέχρι να φανεί το α. Αλλά λοιπόν εδώ πρέπει να καταλάβουμε ποια είναι η τυχαία μεταβλητική. Στην δυναιμική η τυχαία μεταβλητική παρίστανε, στις ενδοκιμές το χ παρίστανε αριθμό γεγονότων α. Εδώ αντίστροφα στη γεωμετρική η τυχαία μεταβλητική παριστάνει αριθμό δοκιμών, μέχρι να φανεί για πρώτη φορά το α. Δηλαδή, αν θέλω να απολογίσω την πιθανότητα τυχαία μεταβλητική να πάρει μία κοιμή χ μικρό, αυτό θα είναι η πιθανότητα να έχουμε, στην πρώτη δοκιμή δεν φαίνεται το α, στην δεύτερη δεν φαίνεται, στην τρίτη δεν φαίνεται και στις χ-1 φορές δεν φαίνεται. Οι χ-1 φορές είναι αυτές εδώ. Στις χ-1 φορές δεν φαίνεται το α, στις χ-1 δοκιμές δεν φαίνεται το α και τη χωστή φορά φαίνεται ακριβώς το α. Άρα λοιπόν, ακριβώς στη χωστή φορά έρχεται το α, άρα η τυχαία μεταβλητική παίρνει τη μη χ μικρό. Έχουμε δηλαδή χ δοκιμές μέχρι να φανεί για πρώτη φορά το α. Και θέλω να φέρει την πιθανότητα της τομής αυτού των γεγονότων. Επειδή είναι ανεξάρτητα, είναι n-π, να μην συμβεί το α, στην χ-1, γιατί είναι η πιθανότητα της τομής χ-1 γεγονότων, επί την τελευταία φορά να φανεί είναι π. Άρα αυτή είναι η συνάρτηση μας της πιθανότητας, αλλά κάποιος πάλι πρέπει να αποδείξει ότι αυτό το άθροισμα π στην χ επί 1-π στην χ-1, αυτό το άθροισμα για χ, ίσον από 1 μέχρι άφυρο τώρα, εδώ δεν σημειώσαμε το πεδίο τιμών, το πεδίο τιμών της χ, σε μια τέτοια περίπτωση, ξεκινάει όχι από το 0, γιατί πρέπει να κάνουμε τουλάχιστον μία δοκιμή για να φανεί το α. Μπορώ να πάρω τη τιμή 1, 2, 3 μέχρι το άφυρο. Θεωρητικά μέχρι το άφυρο μπορώ να πάω, γιατί μπορεί να δοκιμάζομαι, να δοκιμάζομαι, να δοκιμάζομαι και να μην φαίνεται το α. Άρα λοιπόν θεωρητικά μπορώ να πάρω τις τιμές από το 1 μέχρι το άφυρο. Θα πρέπει το άφυρο αυτό εδώ από το 1 μέχρι το άφυρο να ισούνται με τη μονάδα. Και εδώ πρέπει να κάνουμε κάποιες πραξούλες λίγο, κάποιες επροποίησεις, για να δείξουμε ότι το άφυρο ισούνται πράγματι με το 1. Περισσότερες πλετωμέρειες μπορεί να δει κανένα στο βιβλίο, ναι. Είναι π. Α, συγγνώμη, είναι π. Είναι π, π. Ένα μειο π στην χ-1. Και το άφυρο με αυτό θα πρέπει να ισούνται με 1. Κάντε μια δοκιμή λίγο να δοκιμάσετε και τα μαθηματικά σας, πώς μπορεί να αποδείξετε ότι αυτό είναι 1, το άλλο ότι είναι 1. Δέστε και μέσα στο βιβλίο τα μαθηματικά tricks που κάνει και τις αποποίησεις για να τα αποδείξει. Μετά έχουμε βέβαια, πριν τελειώσουμε, και τη μέση στιγμή της χ. Το π θα πρέπει πάλι να πάρει τον ορισμό. Και άμα κάνει πράξη με τον ορισμό, δηλαδή άθρησμα, χ επί π, επί ένα μειο π, στην χ-1, άμα πάρει για χ, ίσον από 1 μέχρι άφυρο, αυτό ισούνται με 1 προς π. Το 1 προς π είναι η μέση στιγμή της χ. Αυτό στην πράξη τι σημαίνει? Σημαίνει ο μέσος αριθμός δοκιμών επανειμφάνισης του α. Και αν αυτός ο μέσος αριθμός δοκιμών επανειμφάνισης του α, σκεφτείτε ότι έχετε μία γραμμή μεταφοράς ρεύματος και έχετε στήλες, όπως είχαμε πει πριν. Και δοκιμάζουμε κάθε στήλη, αν είναι λατουματική ή όχι. Λοιπόν, εάν η κάθε στήλη έχει πιθανότητα 1% να είναι λατουματική, κατά μέσο όρο, κάθε πόσες στήλες συναντάμε μία λατουματική. Συναντάμε το 1 προς π κατά μέσο όρο. Δηλαδή κάθε 100 στήλες περίπου, συναντάμε κατά μέσο όρο, κατά μέσο όρο, κάθε 100 στήλες καλές συναντάμε και μία λατουματική. Αυτό έχει ιδιαίτερη σημασία για τους μηχανικούς και ονομάζεται περίοδος επαναφοράς. Δηλαδή ο μέσος αριθμός δοκιμών επανειμφάνισης του α, επειδή το α για τους μηχανικούς μπορεί να είναι μία αβλάβη, μπορεί να είναι ένα κακό γεγονός που τον ενδιαφέρει και θέλει να κάνει πιο αξιόπιστο το σύστημά του, θέλει να ξέρει ποια είναι η περίοδος επαναφοράς, δηλαδή ο μέσος αριθμός δοκιμών, αλλά οι άλλες δοκιμές αντιστοιχούν σε στήλες, ο μέσος αριθμός στυλών στην ηλεκτρική γραμμή, μέχρι επανεμφάνισης μιας λατουματικής στήλης. Ή, εν πάσης περιπτώσει, η κάθε δοκιμή να μην αντιστοιχεί σε στήλες, σε άλλο πρόβλημα μπορεί κάθε μέρα να γίνεται μια δοκιμή, αν χάλασε ή δεν χάλασε το σύστημά του. Και τον ενδιαφέρει η περίοδος επαναφοράς, δηλαδή τον ενδιαφέρει ο μέσος αριθμός δοκιμών, ο μέσος αριθμός ημερών επανεμφάνισης μιας βλάβης, για να μπορεί από εκεί πέρα να αριθμίσει τη συντήρηση, για να μεγαλώσει τη μέση περίοδο επαναφοράς της βλάβης, γιατί θα είναι πιο αξιόπιστο το σύστημα και τα λοιπά. Την διακύμαση μπορούμε να τη βρούμε πάλι κάπως ανάλογα, αλλά δεν μας ενδιαφέρει τόσο πολύ εδώ πέρα. Και τέλος, για να κλείσουμε θεωρητικά για τη γεωμετρική, η γεωμετρική έχει έλλειψη μνήμης. Δηλαδή, στις στήλες που λέμε, αν υποθέσουμε ότι έχω ελέγξει 100 στήλες και δεν βρήκα καμία ενατοματική, την επόμενη που θα ελέγξω, ή τις επόμενες που θα ελέγξω, η πιθανότητα να βρεθεί, δεν εξαρτάται απ' το πόσες στήλες έχω ελέγξει και δεν βρήκα καμία. Ή αν πούμε για τη ροκέτα. Στέλνουμε μια ροκέτα μέχρι να πλήξει το στόχο. Υπάρχει η απιθανότητα πει να πλήξει το στόχο. Δοκιμάζω, δηλαδή, στέλνω μια ροκέτα, δεν να πλήξει το στόχο. Την επόμενη φορά, η πιθανότητα να πλήξει το στόχο είναι πει. Αν υποθέσουμε ότι δοκίμασα χίλιες φορές για να πλήξω το στόχο και δεν έπληξε ακόμα το στόχο στις χίλιες δοκιμές, ποια είναι η πιθανότητα να δοκιμάσω άλλες 10 φορές και να μην πλήξω το στόχο. Δεν εξαρτάται απ' το πόσες ροκέτα έστειλα και δεν έπληξα το στόχο. Έχει, δηλαδή, έλειψη μνήμης και αυτό αποδεικνύεται με την υποστητή πιθανότητα. Λοιπόν, αν δεν υπάρχει απορία, να κάνουμε ένα διάλειμμα και την άλλη ώρα θα δείσουμε ασκήσεις και προβλήματα. Αφού αναφέρομαι την Μπασκάλ και την Πουασσόν, θα συνεχίσουμε με προβλήματα και παραδείγματα. Εντάξει. Θα συνεχίσουμε με την Μπασκάλ και την Πουασσόν για να ολοκληρώσουμε έτσι τις 4-5 πουδιότερες χρήσιμες κατανομές. Στην Μπασκάλ, η τυχαία μεταβλητία έχει ένα δίκτυ εδώ. Συνήθως είναι R. Και παριστάνει τι? Είναι σαν τη γεωμετρική. Παριστάνει αριθμό δοκιμών, όπως και η γεωμετρική, μέχρι R εμφανίσεις του α. Όχι μία εμφάνιση για πρώτη φορά του α, αλλά να έχουν συμπληρωθεί ακριβώς R εμφανίσεις του α. Δηλαδή η Πασκάλ για R1 είναι η γεωμετρική. Και τώρα πώς μπορούμε να ορίσουμε τη συνάρτηση μας πιθανότητας. Είναι η πιθανότητα το χρ να πάρει τη μη χ μικρό. Δηλαδή στις χ μικρό δοκιμές που θα γίνουν, να έχουν συμπληρωθεί ακριβώς R εμφανίσεις του α. Το γεγονός αυτό μπορεί να συμβεί ως εξής. Συμβαίνει το α, δεν συμβαίνει, συμβαίνει κτλ. Μέχρι εδώ στις χ-1 φορές, μέχρι εδώ που είναι χ-1 δοκιμές, εμφανίζεται R-1 φορές του α. Το γεγονός ότι στις χ δοκιμές θα φανεί ακριβώς R φορές του α, είναι ισοδύναμο με το γεγονός ότι στις χ-1 δοκιμές εμφανίστηκε R-1 φορές του α εδώ. Και στη χειωστή δοκιμή, εμφανίζεται πάλι το α και έχουμε συμπληρώσει R φορές του α. Ακριβώς στη χειωστή φορά συμπληρώθηκαν R φορές του α και αυτό γίνεται αν στις προηγούμενες χ-1 δοκιμές είχε εμφανιστεί R-1 φορές του α, εδώ θα μπορούσε και να μην είναι απαραίτητα συμπλήρωμα, αλλά εδώ στις χ-1 δοκιμές R-1 φορές του α η χειωστή φορά εμφανίζεται ακριβώς το α και συμπληρώνει R φορές του α. Άρα θέλω την πιθανότητα αυτήν, η οποία είναι η πιθανότητα του πρώτου κομματιού, που λέει ότι στη χ-1 δοκιμές να φανεί R-1 φορές του α επί την πιθανότητα να συμβεί το α την τελευταία φορά που είναι π. Αλλά η προηγούμενη πιθανότητα είναι πιθανότητα δυναιμικής, να την γράφω από εδώ ίσον, συνδυασμή χ-1 συνδυασμή R-1 επί π στην R-1, επί 1-π, ή στην χ-1 όπως τη δυναιμική, μίον R-1, επί την πιθανότητα ότι χιωστεί φορά να φανεί το α είναι π. Λέω η πιθανότητα στις χ-1 δοκιμές να φανεί R-1 φορές του α είναι δυναιμική, όπου είχαμε αντί για 1 δοκιμών χ-1 δοκιμές. Πόσες φορές θέλουμε να φανεί το α, R-1. Επί π στην R-1, επί 1-π, ή στην χ-1, μίον R-1, είναι ο τύπος της δυναιμικής, όπου στις χ-1 φορές θέλω να φανεί ακριβώς R-1 φορές το α. Και επί π την πιθανότητα, τυχιωστεί φορά να έρθει ακριβώς α, οπότε συμπληρώνει R φορές το α. Και αυτός ο τύπος μπορεί, άμα κάνουμε προποίηση εδώ, προποσιάσουμε με π, έχουμε γενικά χ-1 συνδυασμί ανά R-1, επί π στην R, και εδώ έχουμε επί 1-π, ένα με ένα φεύγουν και γίνεται στην χ-R. Άρα αυτή είναι η συνάρτηση σημάδας πιθανότητας στην πασκάλ κατανομή, όπου τελικά ο τύπος της πασκάλ είναι αυτός εδώ, όπως στην δυναιμική κατανομή. Υπάρχει και μια πορεία, πώς δικαιολογήσαμε την πιθανότητα η πασκάλ κατανομή τυχαία μεταβλητή να πάρει μια τιμήχη μικρό, εδώ μην ξεχνάτε το δείχτη που έχει η τυχαία μεταβλητή R, που παριστάνει ότι είναι όπως η γεωμετρική, δηλαδή αριθμός δοκιμών, μέχρι να συμπληρωθούν ακριβώς R εμφανίσεις του γεωγραμμότος α. Και κάποιος βέβαια πρέπει πάλι να αποδείξει ότι το άρθρος με αυτό ισούτε με τη μονάδα, εδώ πέρα βέβαια είναι πάλι ανάπτυγμα του διονύμου κατά κάποιο τρόπο και μπορεί εύκολο να αντιγυπεί στην απόδειξη. Επίσης μπορεί να υπολογίσει και τη μέση τιμή της χ, όπως τη γεωμετρική, και αν κάνει πράξη κλπ, αυτό βγαίνει ότι ισούτε με R προς π. Δηλαδή, η μέση τιμή, ο μέσος αριθμός δοκιμών, μέχρι να συμπληρωθούν R εμφανίσεις του α, κατά μέσο όρο είναι R δια π. Και αν το R πάρει τη τιμή 1, θα γίνει 1 προς π, όπως τη γεωμετρική. Και νομίζω ότι μπορούμε να προχωρήσουμε σε κάποια προβουλήματα με τη γεωμετρική ή την αρνητική δυναιμική. Ένα αεροπλάνο, όταν πετάει, πρέπει να δουλεύει ένας υπολογιστής. Για αυτό το αεροπλάνο έχει τρεις υπολογιστές. Σε περίπτωση που χαλάσει ο ένας, να έχει τον άλλο. Για να έχει ασφαλή πτήση, πρέπει να δουλεύει ένας υπολογιστής. Και έχει προφανώς τρεις υπολογιστές για να τους χρησιμοποιήσει σε περίπτωση που κάποιος χαλάσει. Υπάρχει μια πιθανότητα να χαλάσει ο υπολογιστής ανα ώρα λειτουργίας. Δηλαδή σε μια ώρα που λειτουργεί, υπάρχει πιθανότητα να χαλάσει, βέβαια είναι πολύ μικρή αυτή εδώ πέρα. Είναι πιθανότητα να χαλάσει ανα ώρα λειτουργίας. Δουλεύει μια ώρα ο υπολογιστής, μπορεί να προσιάσει μια βλάβη. Βέβαια εδώ πέρα δεν σημαίνει ότι αν δουλέψει 20 λεπτά μέσα στην ώρα 20 λεπτά δουλέψει χαλάσει και σταματάει. Δεν σταματάει. Απλώς θα δουλέψει μια ώρα και θα προσιάσει ενδιάμεσα βλάβη, συνεχίζει να δουλεύει, αλλά μετά σταματάει. Δηλαδή σταματάει στο τέλος της ώρας η λειτουργία του. Εντάξει. Όπως είχα πει πριν ότι αυτές είναι θεωρητικές κατανομές, δηλαδή υποθέσεις που κάνουμε, υποθέσεις που πρέπει να πληρούνται μπορεί να μην πληρούνται ακριβώς στην πράξη και να πληρούνται μόνο στη θεωρία. Για αυτό λέγονται και θεωρητικές. Γιατί ο υπολογιστής μπορεί να το βάλει να δουλέψει να χαλάσει μέσα στο 20 λεπτά και όχι να χαλάσει μέσα στην ώρα. Γιατί μπορεί να χαλάσει και ενδιάμεσα και να σταματήσει. Εμείς θεωρούμε ότι υπάρχει οδηγόμενο ανα ώρα, έχουμε μια δοκιμή καθώς δουλεύει ο υπολογιστής. Ανα ώρα. Χάλασε ή δεν χάλασε. Την άλλη ώρα. Χάλασε ή δεν χάλασε. Και επίσης κάπως θεωρώ ότι αν χαλάσει ενδιάμεσα συνεχίζει μέχρι το τέλος της ώρας η λειτουργία του και μετά βέβαια το αντικατηστά άλλος υπολογιστής. Πάνω στη δοκιμή Μπερνούλη που θέλουμε εδώ πέρα είναι ανα ώρα λειτουργίας του υπολογιστή. Πετάει το αεροπλάνο, ανα ώρα λειτουργίας του υπολογιστή, χάλασε ή όχι υπολογιστής. Την άλλη ώρα, χάλασε ή όχι έχουμε δοκιμές Μπερνούλη. Τώρα, ποιος είναι ο μέσος αριθμός ωρών όπου θα χαλάσουν οι τρεις υπολογιστές με αυτά τα δεδομένα, ο μέσος αριθμός ωρών λειτουργίας μέχρι να χαλάσουν και οι τρεις υπολογιστές. Είναι αρ δια π ισούται με τρία προς μηδέν πέντε, ισούται δηλαδή με έξι χιλιάδες ώρες. Δηλαδή έξι χιλιάδες ώρες, κατά μέσο όρο θα χαλάσουν και οι τρεις υπολογιστές. Αν θεωρήσουμε ότι το αεροπλάνο θα ξεκινήσει ένα ταξίδι και θα πετάξει, το ταξίδι αυτό διαρχεί έξι χιλιάδες ώρες, υπάρχει ένα μεγάλο ενδεχόμενο να μην προλάβει να τελειώσει το ταξίδι του, γιατί θα χαλάσουν και οι τρεις υπολογιστές. Αλλά εντάξει, τα ταξίδια δεν λειτουργούν έξι χιλιάδες ώρες, είναι δύο ωρών, τριών ερών, δέκα ωρών, οπότε αν έχει χαλάσει κάποιος, στο καινούριο ταξίδι που θα ξεκινήσει, τον έχουν αντικαταστήσει κτλ. Αυτό είναι η μέση τιμή του Χ3 που παριστάνει αριθμό λειτουργίας μέχρι να χαλάσουν και οι τρεις υπολογιστές. Σε ένα ταξίδι έξι ωρών, ποια η πιθανότητα ασφαλούς πτήσεις του αεροπλάνου? Εννοούμε ότι ασφαλή πτήση έχουμε όταν σίγουρα δουλεύει ο ένας υπολογιστής. Θα βρω την πιθανότητα να χαλάσουν μέσα στις έξι ώρες οι τρεις υπολογιστές και θα το αφαιρέσω από τη μονάδα. Η πιθανότητα να χαλάσουν και οι τρεις υπολογιστές μέσα στις έξι ώρες είναι η πιθανότητα στην μπασκάλ κατανομή. Δηλαδή παριστάνει το γεγονός ότι το χ3 σημαίνει πόσες δοκιμές, πόσες ώρες θα περάσουν μέχρι να χαλάσουν και οι τρεις υπολογιστές. Εδώ το χ3 έχει σαν πεδίο τιμών το τρία, η μπασκάλ ξεκινάει το τρία, γιατί δεν μπορεί να χαλάσουν και οι τρεις. Πρέπει να παρέχουν τουλάχιστον τρεις ώρες. Μία ώρα θα λειτουργήσει ο ένας, αν χαλάσει την άλλη ώρα θα αντικατασταθεί με τον άλλο. Την δεύτερη ώρα αν χαλάσει και ο δεύτερος, την τρίτη ώρα θα αντικατασταθεί με τον τρίτο, όπως βάλαμε στις προϋποθέσεις. Και τουλάχιστον πρέπει να παρέχουν τρεις ώρες για να χαλάσουν και οι τρεις. Ή να χαλάσουν οι τρεις τις τέσσερις ώρες. Ή στις πέντε ή στις έξι ή στις εφτά. Και αυτό μπορεί να πάει μέχρι το άπειρο. Εγώ για να μην έχει ασφαλεί πτήσει το αεροπλάνο, για να βρω την πιθανότητα να μην έχει ασφαλεί πτήσει, να χαλάσουν δηλαδή οι τρεις υπολογιστές σε λιγότερο από έξι ώρες που διαρχεί το ταξίδι. Ας βάλουμε μικρότερο ίσιο τον έξι δοκιμό, των έξι ώρων. Δηλαδή, είναι το άθρισμα της Πασκάλ, όπου το ήταν συμβιασμί x-1 προς r-1. Ή μάλλον, ας το κάνουμε πιο αναλυτικά. Έχουμε την πιθανότητα, για να το καταλάβετε καλύτερα, οι τρεις βλάβες να γίνουν στις τρεις ώρες, στην πιθανότητα οι τρεις βλάβες να συμπληρωθούν στις τέσσερις ώρες, στην πιθανότητα οι τρεις βλάβες να συμπληρωθούν στις πέντε ώρες. Τώρα, κάποιος θα μπορούσε να πει, να μην βάλουμε την έκτη, αλλά μάλλον, θεωρούμε ότι αν οι τρεις βλάβες συμπληρωθούν στις έξι ώρες, πάλι δεν θα έχουμε ασφαλιπτήση. Αν το θεωρήσουμε έτσι, θα βάλουμε την πιθανότητα ότι οι τρεις βλάβες θα συμπληρωθούν μέσα στην έκτη ώρα, οπότε ενδεκομένως, να μην προλάβει να προσδιοθεί προς το τέλος της έκτης ώρας. Αν το θεωρήσουμε έτσι, πρέπει να υπολογίσουμε να θρήσουμε αυτές τις πιθανότητες. Και εδώ πέρα έχουμε δηλαδή, ίσον, αυτό εδώ πέρα είναι x-1, 3-1 δηλαδή, συνδυασμή, σημανά r-1 που είναι 3-1, επί π, εις την 3-1, επί 1-π, όπως είπαμε, εις την 3-1r-1, αυτό κάνει μηδέν, συνδυασμή, το άλλο, είναι 4-1, εδώ είναι 3-1, δηλαδή, επί π, εις την 2, επί 1-π, εις την 1, συν 5-1, 1-2, επί π, εις την 2, επί 1-π, εις την 2, συν 6-1 συνδυασμή, να δείτε πώς εφαρμορώνω τον τύπο της Πασχάρ, επί π, εις την 2, επί 1-π, εις την 3, είναι το άλλο. Όπου π εδώ πέρα, θα βάλω τη μικρή πιθανότητα, η οποία είναι πολύ μικρή, και τελικά, αν κάνω πράξεις, αυτό εδώ πέρα βγαίνει μια πολύ μικρή πιθανότητα, υπάρχει λειμμένο αυτό το πρόβλημα, 27 επί 10 στιγμών 10, είναι μια πολύ μικρή πιθανότητα. Αυτή είναι η πιθανότητα να χαλάσουν οι τρεις υπολογιστές μέσα στις 6 ώρες πτήσης στο αεροπλάνο, οπότε, δεν θα έχει ασφαλή πτήση. Και αυτό, αν το αφαιρέσουμε από τη μονάδα, μας δίνει την πιθανότητα ασφαλούς πτήσης μέσα στις 6 ώρες. Γιατί ο τύπος εις Πασκάλ πxr, γενικά η πιθανότητα χr ίσο με χ μικρό, ίσουτε, στις δυασμούς χ-1 προς r-1, επί π στην r, ναι, συγγνώμη εδώ πέρα, έχουμε 3, εντάξει. Και εδώ έχουμε εις την χ που είναι 6, ναι, εδώ πέρα έχεις δίκιο, ρίξαμε μία μονάδα παρακάτω, εδώ είναι εις την 3, εντάξει. Όλα αυτά είναι εις την 3. Γιατί ο τύπος είναι, αν θυμηθούμε, εις την r, επί ένα μειο π, εις την χ-r, που βασικά δηλαδή είναι, το 3 είναι το ίδιο, αλλά εδώ πέρα όμως το χ είναι 3, χ-3, 3, 0, το 0 είναι σωστό εδώ πέρα, εδώ πέρα είναι 4-3, μου κάνει 1, εδώ είναι 5-3, μου κάνει 2, εντάξει. Εκτός από το π που ανεβάζουμε, είναι 3, είναι στην r και όχι r-1, όπως έβαλα εγώ προηγουμένως και έκανα λάθος. Ναι, είναι λίγο πιο συνθεστοτύπως, πρέπει να προσθέξουμε λίγο τους δίκτες. Και η τυχαία μεταβλητή εδώ πέρα παριστάνει αριθμό ωρών μέχρι να συμπληρωθούν 3 βλάβες. Και ο μέσος αριθμός ωρών είναι 6.000 κατά μέσο όρο. Αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι το αεροπλάνο έχει κατά μέσο όρο 6.000 ώρες ασφαλή πτήση, γιατί τα ταξίδια είναι μικρά, περνάνε 2-3 ώρες, μετά όταν ξεκινάει το άλλο ταξίδι έχει αντικατασταθεί, έχει ο υπολογιστής επισκευάζεται, ξεκινάει δηλαδή το ταξίδι του πάντουτε με 3 καλούς υπολογιστές. Άρα το 6.000 ώρες εδώ διευκρινίζω είναι ο μέσος αριθμός ωρών μέχρι να χαλάσουνε οι 3 υπολογιστές. Αυτό δεν σημαίνει ότι το αεροπλάνο κατά μέσο όρο θα ταξιδέψει μόνο κατά μέσο όρο 6.000 ώρες, γιατί λίγο διαφέρει το ένα από το άλλο, γιατί κάθε φορά που ξεκινάει το ταξίδι ξεκινάει με 3 καινούργιους υπολογιστές και όχι με ό,τι έμεινε από το προηγούμενο ταξίδι. Και αυτό εδώ πέρα που υπολογίσουμε είναι η πιθανότητα να έχει ασφαλή πτύση για 6 ώρες. Αυτό σημαίνει να μην χαλάσουνε οι 3 υπολογιστές στις 3 πρώτες ώρες ή στις 4 πρώτες ώρες ή στις 5 πρώτες ώρες ή στις 6 ώρες. Και η πιθανότητα αυτή είναι πάρα πάρα πολύ μικρή βέβαια, έτσι. Ας προχωρήσουμε λίγο στην Πουασσόν κατανομή. Στην Πουασσόν η τυχαία μεταβλητή παριστάνει αριθμό γεγονότων σε χρόνο τί, όχι στις ενδοκιμές. Βάζουμε την ιδιονυμική, αλλά η ιδιονυμική αναφέρει τις αριθμό γεγονότων στις ενδοκιμές. Ενώ η Πουασσόν σε χρόνο τάφ. Στην Πουασσόν η τυχαία μεταβλητή χτάφ παριστάνει. Έχει ένα δίκτη κι αυτή, συνήθως βάζουμε τάφ, μπορεί κάποιος να αλλάξει το δίκτη. Παριστάνει χρόνο ή επιφάνεια ή κτλ. Δηλαδή παριστάνει αριθμό γεγονότων, όπως στη ιδιονυμική, αριθμό γεγονότων α, σε χρόνο τάφ. Μπορεί να είναι επιφάνεια, μπορεί να είναι το μήκος του δρόμου, μπορεί να είναι το μήκος μιας ηλεκτρικής γραμμής, πόσες ηλεκτρικές στήλες ελαττωματικές έχουμε κτλ. Ας πούμε, αν ήταν σε μια ηλεκτρική γραμμή και α είναι το γεγονός ελατωματικής στήλης που συναντάμε, στη ιδιονυμική, το χί παρίστανε αριθμό ελατωματικών στυλών στις 100 στήλες που θα ελέγξουμε. Ενώ στην Μποασσόν, το χί τάφ παριστάνει αριθμό ελατωματικών στυλών, αλλά όχι σε 1 στήλες που θα ελέγξουμε. Σε μια απόσταση ας πούμε 10 χιλιομέτρων ξέρω εγώ. Παριστάνει πάλι, είναι παρόμοια με την ιδιονυμική, παριστάνει αριθμό γεγονότων α, αλλά όχι σε ενδοκιμές, σε κάποιο χρονικό διάστημα ή σε κάποιο μήκος του δρόμου κτλ. Γι' αυτό το πεδίο τιμών της χί τάφ εδώ πέρα δεν μπορεί να είναι 0, 1, 2 μέχρι 1 που ήταν της ιδιονυμικής, γιατί δεν έχουμε ενδοκιμές. Μπορεί σε μία απόσταση σε ένα χρόνο, θεωρητικά, να συμβούν πολλές φορές σε αυτά τα γεγονότα α. Δεν υπάρχει φράγμος και να πούμε μέχρι 1 θα γίνουν όπως στη διονυμική, γιατί στη διονυμική είχαμε ενδοκιμές. Εντάξει. Τώρα, πότε όμως θα λέμε κάθε φορά που έχουμε μια τυχαία μεταβλητή που παρουσιάζει έναν αριθμό γεγονότων α σε χρόνο τάφ, θα λέμε όταν ακολουθεί ποασό κατανομή, ποιες υπό υποθέσεις πρέπει να πληρούνται. Αν ας πούμε το χί τάφ αυτό παρουσιάζει αριθμό άθληξης αυτοκινήτων σε έναν καράζ. Σε χρονικό διάστημα τάφ. Το τάφ μπορεί να είναι μια ώρα, δύο ώρες κλπ. Πότε θα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το τύπο της ποασόν που θα βρούμε, ή να επιλέξουμε την ποασόν κατανομή σε αυτό το πρόβλημα. Πρέπει να πληρούνται εξής προϋποθέσεις, ότι υπάρχει ένα μικρό χρονικό διάστημα ΔΤ, όπου εκεί πέρα μπορεί να συμβεί το γεγονός Ά, μία φορά, ή να μην συμβεί. Δηλαδή, αν παριστάνει το αριθμό άθληξης αυτοκινήτων σε έναν καράζ, υπάρχει μια χρονική στιγμή μικρή, όπου εκεί πέρα μπορώ να υποθέσω, ότι δεν μπορούν να έρθουν παραπάνω από ένα αυτοκίνητα. Μέσα στην εκείνη τη μικρή χρονική στιγμή ΔΤ, δεν υπάρχει κανένα. Να έρθουν ταυτόχρονα μέσα εκεί πέρα δύο ή παραπάνω, αυτό δεν γίνεται. Δεύτερον, η πιθανότητα να συμβεί το γεγονός Ά μέσα σε μία μικρή χρονική στιγμή ΔΤ, ή η πιθανότητα, δηλαδή, η τυχαία μεταβολιτή μέσα στη μικρή χρονική στιγμή ΔΤ, να πάρει την τιμή 1, αυτό ισούτε με το εύρος του ΔΤ, επί μία παράμετρο λ, που είναι ο μέσος αριθμός του γεγονότον στη μονά του χρόνου. Αυτή η πιθανότητα είναι ανάλογη του διαστήματος ΔΤ. Και τρίτον, ότι μέσα στον χρόνο Τ, τα γεγονότα συμβαίνουν τυχαία μέσα στον χρόνο. Δηλαδή, η πιθανότητα μέσα στον χρονικό διάστημα Τ2 να συμβούν τα γεγονότα Χ φορές, δεν εξαρτάται απ' το πόσο συνέβησαν σε μία προηγούμενη χρονική περίοδο. Δηλαδή, κι αν η πιθανότητα στις επόμενες δύο ώρες να έρθουν πέντε αυτοκίνητα στο γκαράζ, δεν εξαρτάται απ' το πόσο αυτοκίνητα ήρθαν το πρωί ή το μεσημέρι κλπ. Είναι ανεξάρτητο. Αυτές είναι οι τρεις βασικές προϋποθέσεις που πρέπει να πληρούνται, για να επιλέξουμε ότι η τυχαία μεταβλητή ακολουθεί την ποασόν κατανομή και θα επιλέξουμε τον τύπο της ποασόν. Και ο τύπος της ποασόν είναι ότι η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή σε χρόνο Τ, να πάρει μία τιμή Χ μικρό, ισούται με ε, εις τη μία λαμβά επί Τ, ή στην χ μικρό προς χ παραγωγικό. Αυτός είναι ο τύπος της συνάρτησης μας πιθανότητας της ποασόν. Βέβαια το άθροισμα αυτό εύκολα μπορεί να αποδείξει ότι για χ από μηδέν μέχρι άπυρο, ότι ισούται με τη μονάδα. Γιατί το άθροισμα ως προς χ από μηδέν μέχρι άπυρο αυτό είναι σταθερό βγαίνει απ' έξω, εις τη μία λαμβά επί Τ. Το μέσα άθροισμα πρέπει να ξέρετε ότι κάνει εις τη λαμβά επί Τ. Οπομένως έχεις εις τη μία λαμβά επί Τ, εις τη λαμβά επί Τ, εις τη μηδημηχή δηλαδή, ισούται με τη μονάδα. Και μετά κανένας μπορεί να βρει ποια είναι η μέση τιμή της Χ, ποια είναι η μέση τιμή της ΧΤ. Θα πρέπει να πάρει άθροισμα τις τιμές που μπορεί να πάρει Χ, επί την πιθανότητα εις τη μία λαμδα Τ, επί λαμδα Τ, εις τη Χ, προς Χ παραγωγητικό, Χ ίσον από 0 μέχρι άπειρο, και να βρει ότι τελικά αυτό το άθροισμα ισούται με λαμδα επί Τ. Δηλαδή αυτό το λαμβά που είδαμε πριν είναι η μέση τιμή, αναμονάδα χρόνου, θα βάλω εδώ πέρα Τ1, αναμονάδα χρόνου, θα πάρω λαμβά. Το λαμβά είναι η μέση τιμή των γεγονότων Χ, αναμονάδα χρόνου. Και η μέση τιμή των γεγονότων Ά, αναμονάδα χρόνου. Και η μέση τιμή των γεγονότων Ά ανατά χρόνου είναι λαμδα επί Τ. Τώρα το θέμα είναι, κάποιος θα πει, πώς καταλήξουμε ότι πιθανότητα το Χ θα πάρει τιμή Χ μικρό, ίσουτε με εις τη μία λαμδα Τ, με λαμδα επί Τ, σε όλες τις άλλες κατανομές το δοκιολογήσαμε. Εδώ δεν το δοκιολογήσαμε ακόμα. Αυτό έκανε ο Πουασσόν, για αυτό πήρε το όνομα Πουασσόν, γιατί ο Πουασσόν θεώρησε ότι εφόσον πληρώνουν τα θέση προϋποθέσεις, εάν θέλουν με την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να πάρει την τιμή Χ μικρό, δηλαδή σε χρόνο Τ, λέμε σε χρόνο Τ, να συμβούν Χ μικρό τα γεγονότα Ά, θεώρησε ότι διαιρεί το χρόνο Τ σε μικρά χρονικά διαστήματα ΔΤ. Δηλαδή πόσα χρονικά διαστήματα αφού διαιρούμε το Τ με ΔΤ. Διαιρούμε το χρόνο Τ σε μικρά χρονικά διαστήματα ΔΤ, έτσι ώστε εκεί μέσα σε κάθε διάστημα, σε κάθε διάστημα ΔΤ είναι πολύ μικρό έτσι ώστε να συμβαίνει το γεγονός Ά ή να μην συμβαίνει. Να έχουμε άφεξο αυτοκίνητο να μην έχουμε, παραπάνω να πούμε να έχουμε. Εγώ ζητώ την πιθανότητα το ΧΤ να πάρει την τιμή Χ μικρό. Αυτό το πρόβλημα ανάγκηται στη διονυμική, γιατί έχω έναν δοκιμές, έχω έναν δοκιμή διονυμικό διάστημα Τ χώρισα σε ένα διαστήμα και είναι πολλά τα διαστήματα, είναι Τ διανδύνει ΔΤ, ΔΤ μικρό, αλλά αυτό μπορεί να τυνεί και προς το άπειρο, είναι πολύ μεγάλο το ΔΤ είναι πολύ μικρό. Επίσης η πιθανότητα σε κάθε δοκιμή ΔΤ να συμβεί αυτό το γεγονός, σε κάθε ΔΤ να έχω μία φορά το Ά, είναι ΔΤΠΛ. η πιθανότητα είναι ΔΤΠΛ και είναι πολύ μικρή, γιατί το ΔΤΠ είναι πολύ μικρό. Είπαμε ότι είναι ο μέσος αριθμός γεγονότων Ά στη μονάλα του χρόνου ΤΑΦ. Είναι η μέση του τιμή. Και ο Ποασσών ξεκίνησε από τη δυναμική, δηλαδή είπε ότι αν θέλει αυτήν την πιθανότητα, το ΤΑΦ χρόνο να συμβεί 6 φορές στο γεγονός Ά, το ΤΑΦ χρόνο θα το διαιρέσω, αν δεν τα ΤΑΦ διαστήματα μικρά, σε 1 διαστήματα. Μέσα σε κάθε διάστημα συμβαίνει ή δεν συμβαίνει το γεγονός Ά. Δηλαδή έχω δοκιμές όπως η δυναμική μπερνούλη σε κάθε μικρό διάστημα. Και πόες δοκιμές έχω? 1. Άρα λοιπόν εδώ πέρα αυτή η πιθανότητα, σύμφωνα με τη δυναμική, είναι 1 δοκιμές ανα χ μικρό, επί π, όπου το π είναι ΔΤ επί Λ, κι αυτό εις την χ. Κι αυτό 1-ΔΤ επί Λ, εις την 1-χ. Δηλαδή εφήρμοσε τον τύπο της δυναμικής. Όπου, γιατί το εφήρμοσε τον τύπο της δυναμικής. Είπα ότι θα του χωρίσω το εικονομικό διάστημα σε 1 διαστήματα, δηλαδή το ΤΤ ανα ΔΤ πλάτος, οπότε τα διαστήματα θα είναι ΤΤ προς ΔΤ. Και επειδή το ΔΤ είναι πολύ μικρό, είπαμε, το 1 είναι πολύ μεγάλος αριθμός. Και το π είναι η πιθανότητα μέσα σε κάθε δοκιμή μπερνούλη, όπως λέμε, μέσα σε κάθε διάστημα, να συμβεί ή να μην συμβεί το γεγονός Ά. Και η πιθανότητα αυτή είναι σταθερή, είναι ΔΤ πιλάντα, σύμφωνα με τις υποθέσεις που κάναμε πριν. Για αυτό είχαμε πει ότι πρέπει να πληρούνται αυτές οι προϋποθέσεις. Και αν πληρούνται αυτές οι προϋποθέσεις, η πιθανότητα αυτή που θέλουμε να βρούμε τον τύπο της, είναι αυτόν τον τύπο της δυναμικής. Αλλά όπου π, είναι το ΔΤ πιλάντα. Και εδώ βέβαια, το 1 είναι πολύ μεγάλο και το όριο αυτής της πιθανότητας, για ν την δοση στο άπειρο, και για π την δοση στο μηδέν, το όριο αυτής της πιθανότητας, άμα δείτε περισσότερες λεπτομέρειες μέσα εδώ πέρα, το όριο αυτό ισούζεται τελικά με 1 στη μη λπτ, επί λπτ στην χ μικρό προς χ παραγωντικό. Αυτό το ανέπτυξε για πρώτη φορά ο Πουασόν, γι' αυτό πήρε και το όνομα κατανομή Πουασόν. Έτσι δημιουργήθηκε από την δυναμική, με αυτές τις προϋποθέσεις. Βέβαια αυτά που βάλαμε εδώ, είναι αυτές οι προϋποθέσεις που πρέπει να πληρούν. Στην πράξη βέβαια, μπορεί κανένα φορά τα γεγονότατα που συμβαίνουν, να μην υπάρχει, μπορεί και να συμβούν και ταυτόχρονα. Αν συμβαίνουν ταυτόχρονα πολλά γεγονότατα, δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε βιονομική. Γιατί αν δεν υπάρχει μικροχρονικό διάστημα, όπου εκεί μέσα να συμβεί το πολύ ένα, δηλαδή εάν δεν συμβαίνουν ταυτόχρονα 2 και 3 και 4 γεγονότα, τότε μπορούμε να εφαρμόσουμε Πουασόν. Αν όχι, δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε. Τώρα, η μέση τιμή της Πουασόν είναι το NPP, αφού του προσεγγίσαμε με δημιουργική, μπορεί κάποιος να πει τη μέση τιμή της Πουασόν, μπορώ να την πάρω σύμφωνα με τον τύπο, να κάνουμε πράγματα σύμφωνα με τον τύπο, ή να πει ότι η μέση τιμή της ΧΤ, όπως είχαμε πει ότι είναι περίπου το όριο πλησιάζει το NPP, όπου το N είναι το ταφ προς δέλτα ταφ και Π είναι το λάμδα επί δέλτα ταφ, δέλτα τάφ με δέλτα τάφ φεύγει και μένει λάμδα επί τάφ. Αφού είπαμε ότι η μέση τιμή της ΧΤ, ο μέσος αριθμός διαγωνότων σε χρονικό διάστημα τάφ, αφού το χωρίσαμε σε διάστηματα πολλά και το προσεγγίσαμε με δημιουργική και είπαμε ότι εδώ μέσα έχουμε N δοκιμές, που είναι πόσες τάφ προς δέλτα τάφ, είναι πάρα πολλές δηλαδή, εν πάση περιπτώση και το Π είναι αυτό εδώ πέρα, τότε η μέση τιμή του ΧΤ, αν υποθέσουμε ότι το ΧΤ το έχουμε προσεγγίσει με τη δημιουργική εδώ πέρα, είναι το N επί Π και το N με τίς, ούτε με το τάφ προς δέλτα τάφ. Το Π δέλτα τάφ επί λάμδα και είναι λάμδα επί τάφ. Η διακύμανση, αν πάρουμε με το ίδιο σκοπτικό, τη διακύμανση ΧΤ είναι το όριο του N επί Π, επί ένα μειο Π. Αλλά το Π εδώ πέρα, το N είναι μεγάλο, το Π είναι μικρό, και όταν εγώ προοπροσιάζω το N επί Π, που είναι μια ποσότητα, όσο θέλας είναι, αν την προοπροσιάζω με ένα μειο Π και το Π είναι πάρα πολύ μικρός αριθμός, τότε περίπου πρακτικά είναι σαν το προοπροσιάζω με το 1. Δεν αλλάζει δηλαδή. Άρα ισούτε με N επί Π πάλι, ισούτε με λάμδα επί τάφ. Δηλαδή, στη Πουασσόν, η μεστιμή και η διακύμανση είναι το ίδιο. Γιατί εκεί πέρα το 1 μειο Π, το 1 επί Π το προοπροσιάζουμε 1 μειο Π, και επειδή το Π είναι πολύ μικρό, είναι στο μηδέν αυτό εδώ πέρα, αν ένα αριθμό το προοπροσιάζουμε το 1 ή το 1 μειο κάτι και αυτό το κάτι είναι πολύ κουτά στο μηδέν, δεν αλλάζει πολύ αυτό. Και έτσι έχουμε την ίδια διακύμανση και την ίδια μεστιμή. Δηλαδή, η Πουασσόν έχει μόνο μία παράμετρο το λάμδα, και για τη μεστιμή και για τη διακύμανση. Τι ήθελες να ρωτήσεις? Η τρίτη συνθήκη είναι ότι, στη Πουασσόν τα γεγονότα συμβαίνουν τυχαία μέσα στον χρόνο. Τυχαία σημαίνει ότι η πιθανότητα να συμβούν εδώ πέρα κάποια γεγονότα, δεν εξαρτάται από το πόσο συνέβησαν πριν. Εντάξει. Δηλαδή, αν σου πω κατά μέσο ώρα στο γκαράζ έρχονται 10 αυτοκίνητα. Κατά μέσο ώρα έχουν 10 αυτοκίνητα. Την ημέρα. Και σου πω ποια είναι η πιθανότητα το απόγευμα να έρθουν 10 αυτοκίνητα. Δεν εξαρτάται αν το πρωί ήρθαν 20. Γιατί κάποιος θα πει αν ήταν το πρωί 20 και αν ο μέσος αριθμός αυτοκίνητων που έχουν την ημέρα είναι 10, θα σου πει η πιθανότητα το απόγευμα να έρθουν αυτοκίνητα θα είναι πολύ μικρή. Δεν εξαρτάται από το πόσο ήρθαν πριν. Αυτό σημαίνει ότι τα γεγονότα συμβαίνουν τυχαία μέσα στην ημέρα. Η πιθανότητα το πόσο θα έρθουν, το γεγονός πόσο θα έρθουν στη χρονική στιγμή τα 2, δεν εξαρτάται από το πόσο ήρθαν στις προηγούμενες στιγμές. Έρχονται τυχαία μέσα στο χρόνο και βέβαια η συχνότητα αυξής τους εξαρτάται από λάμδα, από τη μέση του στιγμή. Αυτό συμφωνούμε, αλλά όχι από το προηγούμενο διάστημα. Και να δώσουμε και κανένα παράδειγμα τώρα με την Πουασσόν. Σε ένα μετρητή καταφθάνουνε κάποια σωματίδια. Σε ένα μετρητή 10 στο δετράγωνο σωματίδια ένα λεπτό. Ποια η πιθανότητα να φτάσουν 100 σωματίδια σε ένα λεπτό. Ποια η πιθανότητα σε ένα λεπτό να καταθάσουν 100 σωματίδια. Το x1 παίρνει τη μέση από το 0 μέχρι το άπυρο θεωρητικά. Σύμφωνα με τον τύπο της Πουασσόν θα είναι 0 λαμβδά τάφ 1 λαμβδά 0 εκατό 100 εκατοστή 100 παραγοντικό. Εδώ το παραγοντικό πρέπει να το υπολογίσετε. Υπάρχει ένας τύπος του Stirling ο οποίος είναι ρίζα 2NP επί 1 στην 1 και τα λοιπά είναι ένας τύπος. Προσέγγιση δίνει το εκατό πραγματικό. Και αυτή η πιθανότητα είναι 4%. Για προσέξτε λίγο αν αναλεπτό καταθάσουν 100 σωματίδια το επόμενο λεπτό να έρθουν 100 σωματίδια θα είναι πολύ μεγάλη. Αφού ο μέσος αριθμός σωματιδίων που έχουν το λεπτό είναι 100. Και με ρωτάς τώρα ποια είναι η πιθανότητα στο επόμενο λεπτό να έρθουν 100 σωματίδια. Θα είμαι σχεδόν σίγουρος είμαι με μεγάλη πιθανότητα να έρθουν 100 σωματίδια. Και όμως η πιθανότητα στο επόμενο λεπτό είναι αυτό. Η πιθανότητα σωματιδία πόσο είναι 4%. Γιατί είναι 4% γιατί αυτή η τυχαία μεταβλητή πόσες στιμές μπορεί να πάρει. Άπειρες. Ένα, δύο, τρία, κάπου εδώ είναι το 100 μετά το 101 μέχρι το άπειρο. Δηλαδή εδώ είναι η μέση της στιμή αυτή είναι τυχαία μεταβλητή το πεδίο της μόνη της. Είναι πολλές στιμές που μπορεί να πάρει. Δεν υπάρχει η μάζα πιθανότητα X1 ίσον με 100 δεν μπορεί να είναι μεγάλη γιατί η μάζα σκορπίζεται πού σε άπερες στιμές. Η πιθανότητα να πάρει τη δημή 101 είναι περίπου ίδιο με το 100. Ή λίγο παραπάνω ή λίγο λιγότερο είναι περίπου ίδιο με το 100 να το υπολογίσετε. Έχει άπερες στιμές που παίρνει και η μάζα σκορπίζεται εκεί πέρα. Δεν μπορεί εδώ να έχει συγκεντρωμένη η μάζα 80-90% και μετά τι θα γίνει με τις άλλες στιμές που είναι κοντά. Γι' αυτό η πιθανότητα και στην δημιουργική και στην ποασόνα να πάρουν τη μή ίσον με τη μέση στιμή είναι μικρή ενώ θα περίμενε κανένας να είναι μεγάλη. Εσείς υπολογίστε ποια είναι η πιθανότητα στο επόμενο δευτερόλεπτο να έχουμε στο 1.620 να έχουμε στο επόμενο δευτερόλεπτο να έχουμε πάλι 100 σωματίδια. Για να το κάνετε αυτό θα πρέπει να προσέξετε στον τύπο ότι το λάμπρα παριστάνει ο μέσος αριθμός σωματιδίων αναλεπτώ και εσείς τώρα θέλετε την πιθανότητα σε ένα δευτερόλεπτο. Άρα, όταν το μετατρέψετε θα πρέπει να συμφωνούν οι μονάδες μέτρησης του δίκτη της στοιχείας μεταβελτητής TAF με το λάμπρα που παριστάνει τον μέσο αριθμό αύξησης σωματιδίων. Άρα, δεν θα το προσέξετε το λάμπρα τώρα στον τύπο με 1 αλλά με 1.620 γιατί το TAF θα το μεταφέρετε σε δευτερόλεπτα. Και όχι, μάλλον, ναι, το μεταφέρετε σε δευτερόλεπτα και είναι, επειδή το λάμπρα εκφράζεται αναλεπτό, το TAF το εκφράζεται αναλεπτά, δηλαδή το 1 δευτερόλεπτο είναι 1.620. Άρα θα βάζετε A στη μία λάμδα που είναι το 100 και το TAF θα είναι 1.620. Αύριο, μία με δύο, θα κάνουμε και απ' το τεστ αυτά που σχετίζονται με Πουασσόν, γιατί την άλλη εβδομάδα θα δώσω εγώ το τεστ δεκαεφτά ασκήσεις, αλλά τις έχουμε κάνει εδώ. Εσείς θα τις καθαρογράψετε και θα μου τις φέρετε. Αύριο θα κάνουμε τις ασκήσεις που αφορούν την Πουασσόν και την άλλη, η Παρασκευή, θα κάνουμε τις ασκήσεις που αφορούν τη συνεχή τυχία μεταβλητή και θα δώσω και το τεστ. Αύριο, λοιπόν, θα κάνουμε αρκετά προβληματάκια, ασκήσεις με αυτές τις διακριτές κατανομές.