Διάλεξη 11 / Διάλεξη 11 / Διάλεξη 11 - Βλάχος Λουκάς (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Διάλεξη 11: Ποια είναι τα θέματα που εμείς θέλουμε να καλύψουμε στα μέγιστα και λάχιστα. Θέλουμε να γνωρίζουμε σίγουρα αν μας δώσει κάποιος μια συνάρτηση, δύο. Τώρα όταν πάμε στις τρεις μεταβλητές τα πράγματα της ανάλυσης είναι πολύ πιο δύσκολα. Και φαντάζομαι ότι πρέπει να ξέρετε λίγο να βρείτε πού θα ανατρέξετε, αλλά κυρίως όταν δουλεύετε στο σπίτι. Δηλαδή δεν πιστεύω ότι στις εξετάσεις θα χρειαστεί να θυμάστε απ' έξω πώς θα βρείτε τα μέγιστα και λάχιστα σε μια συνάρτηση τριών μεταβλητών. Αυτό το αποφεύγουμε γιατί τα κριτήρια είναι πιο δύσκολα από τις δύο μεταβλητές. Είναι ότι όταν έχουμε μια συγκεκριμένη επιφάνεια στο χώρο, ζέντισον F2XC, με ενδιαφέρει να ξέρω πώς θα μελετήσω τα ακρότατα αυτής της συνάρτησης. Το πρώτο λοιπόν πράγμα που είπαμε, το ακρότατο βέβαια προσδιορίζεται είναι ένα τοπικό ακρότατο που βρίσκεις ότι στο σημείο αυτό όλα τα σημεία στη γειτονιά, το σημείο X0X0 είναι μικρότερα. Τότε λέμε ότι το έχουμε σε αυτό το σημείο μέγιστο ή σε αυτό το σημείο έχουμε ελάχιστο, γιατί όλα τα σημεία είναι πάνω αλλά αναφερόμαστε στη γειτονιά το σημείο X0X0. Αυτό έχει σημασία. Βρήκαμε λοιπόν πρώτα απ' τα πρώτα πρέπει να ορίσουμε ποια είναι τα σημεία που παρουσιάζει ακρότατα η συνάρτηση και μετά να προσδιορίσουμε το χαρακτήρα των ακρότατων, αν δηλαδή είναι μέγιστα ή ελάχιστα. Και είπαμε ότι στο περασμένο μάθημα ότι ο τρόπος που αναλύουμε τα μέγιστα και ελάχιστα, τουλάχιστο να βρούμε τις άκρες τιμές μιας συνάρτησης, είναι ο ίδιος με αυτό που κάναμε και στη ΜΜΕ. Στη ΜΜΕ προσπαθούσαμε να βρούμε την πρώτη παράογο της συνάρτησης να είναι ίσο με 0, αυτό ήταν ισοδύναμο με το να είναι εφαπτόμενοι, οι εφαπτόμενοι είναι παράλληλοι προς τον άξιωνα ομικρών Χ. Και εδώ κάνουμε κάτι αντίστοιχο, αυτή είναι η έκφραση του εφαπτωμένου επίπεδου σε αυτή τη συνάρτηση, στο σημείο Χ0 Ψ0 Ζ0. Αν λοιπόν αυτό είναι το εφαπτώμενο επίπεδο, στην περίπτωση αυτή θέλουμε αυτούς τους δυο συντελεστές να τους μηδενίσουμε, και τότε το Ζ είναι ίσον με Ζ0, που σημαίνει ότι είναι παράλληλο προς τον άξιωνα ομικρών, στο επίπεδο Χ ομικρών Ψ. Άρα λοιπόν ψάχνουμε για μια επιφάνεια η οποία σε αυτό το σημείο η επιφάνεια αυτή έχει πιθανότητα να έχει μέγιστο, αυτό είναι το σημείο Μ0, είναι το ακρότατο με Χ0 Ψ0 και θα μας δώσει και ένα Ζ0. Άρα αν το εφαπτώμενο επίπεδο είναι παράλληλο προς τον άξιωνα ομικρών Χ Ψ, που αυτό εξασφαλίζεται με αυτές τις δυο, άρα με το να μηδενίσουμε αυτούς τους δυο συντελεστές, το Ζ είναι Ζ0, οπότε σημαίνει αυτό το πράγμα. Άρα λοιπόν βρήκαμε το πρώτο κριτήριο, ότι αν εγώ ψάχνω για μια συναρτήση να δω αν έχει μέγιστα-ελάχιστα, όπως το είπαμε στο περασμένο μάθημα, το πρώτο πράγμα που θα κάνω είναι να μηδενίσω αυτές τις δυο συναρτήσεις και να υπολογίσω ότι σε ποιο σημείο γίνονται τα ΦΤΧ και τα ΦΤΨ γίνονται 0. Άρα λοιπόν εδώ βλέπετε όμως μια σειρά από σημεία, στα οποία η συναρτήση παρουσιάζει και μέγιστα και ελάχιστα μέσα σε αυτό το κουτί, βλέπετε πάρα πολλά μέγιστα, πάρα πολλά ελάχιστα, οπότε θα βρούμε μια πληθώρα από σημεία αν μας δώσουν ένα συγκεκριμένο πρόβλημα, για τα οποία το ΦΤΧ και το ΦΤΨ θα είναι ταυτόχρονα 0. Λοιπόν αυτό ήταν το πρόβλημά μας. Να δούμε ένα τέτοιο θέμα, να προσδιορίσουμε σε μια συναρτήση συγκεκριμένη, να σας πάρουμε μια συναρτήση την FΧΨ, η οποία είναι το ΧΤΕΤΑΡΤΙΣ, ΣΝΔΕΚΑΧΣΙΣΙΣΤΕΤΕΤΑΡΤΙΣ, ΜΙΩΝ 2ΧΙ, ΜΙΩΝ 2ΨΙ και όλος το τετράγωνο. Και εδώ θέλουμε να βρούμε καταρχήν ποια είναι σε αυτή τη συναρτήση και ποια είναι τα ακρότατα. Για να προσδιορίσετε λοιπόν εσείς ποια είναι τα ακρότατα αυτής της συναρτής και στη συνέχεια να ψάξουμε να βρούμε τι είναι αυτά τα ακρότατα. Είναι μέγιστα ή είναι ελάχιστα. Ας προσδιορίσουμε λοιπόν πρώτα τα ποια είναι, να τα βρούμε. Αυτή είναι η συναρτήση, ΧΤΕΤΑΡΤΙΣ, ΣΝΔΕΚΑΧΙΣΙΨΤΕΤΕΤΑΡΤΙΣ, ΜΙΩΝ 2ΧΙ, ΜΙΩΝ 2ΨΙ και όλος το τετράγωνο. Άρα ψάχνουν για τα κρίσιμα σημεία. Τρία σημεία, το ένα λοιπόν είναι το μηδέν μηδέν, και το άλλο είναι το μηδέν μηδέν. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση. Αυτή είναι η συναρτήση.